N-1848

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N-1848 REV. C 12 / 2011 
 
PROPRIEDADE DA PETROBRAS 48 páginas, Índice de Revisões e GT 
Projeto de Fundações de Máquinas 
 Procedimento 
Esta Norma substitui e cancela a sua revisão anterior. 
 
Cabe à CONTEC - Subcomissão Autora, a orientação quanto à interpretação do 
texto desta Norma. A Unidade da PETROBRAS usuária desta Norma é a 
responsável pela adoção e aplicação das suas seções, subseções e 
enumerações. 
CONTEC 
Comissão de Normalização 
Técnica 
 
Requisito Técnico: Prescrição estabelecida como a mais adequada e que 
deve ser utilizada estritamente em conformidade com esta Norma. Uma 
eventual resolução de não segui-la (“não-conformidade” com esta Norma) deve 
ter fundamentos técnico-gerenciais e deve ser aprovada e registrada pela 
Unidade da PETROBRAS usuária desta Norma. É caracterizada por verbos de 
caráter impositivo. 
Prática Recomendada: Prescrição que pode ser utilizada nas condições 
previstas por esta Norma, mas que admite (e adverte sobre) a possibilidade de 
alternativa (não escrita nesta Norma) mais adequada à aplicação específica. A 
alternativa adotada deve ser aprovada e registrada pela Unidade da 
PETROBRAS usuária desta Norma. É caracterizada por verbos de caráter 
não-impositivo. É indicada pela expressão: [Prática Recomendada]. 
SC - 04 
Cópias dos registros das “não-conformidades” com esta Norma, que possam 
contribuir para o seu aprimoramento, devem ser enviadas para a 
CONTEC - Subcomissão Autora. 
As propostas para revisão desta Norma devem ser enviadas à CONTEC - 
Subcomissão Autora, indicando a sua identificação alfanumérica e revisão, a 
seção, subseção e enumeração a ser revisada, a proposta de redação e a 
justificativa técnico-econômica. As propostas são apreciadas durante os 
trabalhos para alteração desta Norma. 
 
Construção Civil 
“A presente Norma é titularidade exclusiva da PETRÓLEO BRASILEIRO 
S.A. - PETROBRAS, de uso interno na PETROBRAS, e qualquer 
reprodução para utilização ou divulgação externa, sem a prévia e 
expressa autorização da titular, importa em ato ilícito nos termos da 
legislação pertinente, através da qual serão imputadas as 
responsabilidades cabíveis. A circulação externa será regulada mediante 
cláusula própria de Sigilo e Confidencialidade, nos termos do direito 
intelectual e propriedade industrial.” 
 
 
Apresentação 
 
As Normas Técnicas PETROBRAS são elaboradas por Grupos de Trabalho 
- GT (formados por Técnicos Colaboradores especialistas da Companhia e de suas Subsidiárias), são 
comentadas pelas Unidades da Companhia e por suas Subsidiárias, são aprovadas pelas 
Subcomissões Autoras - SC (formadas por técnicos de uma mesma especialidade, representando as 
Unidades da Companhia e as Subsidiárias) e homologadas pelo Núcleo Executivo (formado pelos 
representantes das Unidades da Companhia e das Subsidiárias). Uma Norma Técnica PETROBRAS 
está sujeita a revisão em qualquer tempo pela sua Subcomissão Autora e deve ser reanalisada a 
cada 5 anos para ser revalidada, revisada ou cancelada. As Normas Técnicas PETROBRAS são 
elaboradas em conformidade com a Norma Técnica PETROBRAS N-1. Para informações completas 
sobre as Normas Técnicas PETROBRAS, ver Catálogo de Normas Técnicas PETROBRAS. 
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Sumário 
 
1 Escopo................................................................................................................................................. 6 
2 Referências Normativas ...................................................................................................................... 6 
3 Termos e Definições............................................................................................................................ 6 
4 Dados Básicos para o Projeto de Fundações de Máquinas ............................................................. 10 
4.1 Parâmetros do Solo ............................................................................................................. 10 
4.2 Parâmetros do Equipamento ............................................................................................... 10 
4.3 Parâmetros Geométricos da Fundação ............................................................................... 10 
5 Requisitos Gerais de Projeto............................................................................................................. 11 
5.1 Fundações Superficiais ou Profundas ................................................................................ 11 
5.2 Fundações Superficiais....................................................................................................... 11 
5.3 Fundações Profundas .......................................................................................................... 12 
5.4 Fundações para máquinas elevadas ................................................................................. 13 
6 Critérios de Cálculo .......................................................................................................................... 14 
6.1 Parâmetros do Solo ............................................................................................................. 14 
6.1.1 Massa Específica do Solo () ...................................................................................... 14 
6.1.2 Módulo de Cisalhamento Dinâmico do Solo (G).......................................................... 14 
6.1.3 Coeficiente de Poisson do Solo ().............................................................................. 14 
6.1.4 Módulo de Elasticidade do Solo (E)............................................................................. 15 
6.2 Parâmetros Geométricos do Sistema (Fundação + Máquina)........................................... 15 
6.2.1 Centróide...................................................................................................................... 15 
6.2.1.1 Fundação Superficial ........................................................................................... 15 
6.2.1.2 Fundação em Estacas (Profunda) ....................................................................... 15 
6.2.2 Centro de Gravidade do Sistema (Fundação + Máquina) ........................................... 16 
6.2.3 Momento de Inércia ..................................................................................................... 16 
6.2.4 Momento de Massa...................................................................................................... 17 
6.2.5 Raios Equivalentes (Fundações Superficiais) ............................................................. 18 
6.3 Teorias de Análise e Projeto ................................................................................................. 19 
6.4 Parâmetros Preliminares do Sistema Solo-Fundação para Fundações Superficiais pela 
Teoria da Constante de Mola sem Peso..................................................................................... 19 
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6.4.1 Coeficiente Dinâmico de Compressão Elástica Uniforme (Cu).................................... 19 
6.4.2 Coeficiente Dinâmico de Cisalhamento Elástico Uniforme (C) .................................. 19 
6.4.3 Coeficiente Dinâmico de Compressão Elástica Não-Uniforme (C) ............................ 19 
6.4.4 Coeficiente Dinâmico de Cisalhamento Elástico Não Uniforme (C) .......................... 20 
6.5 Parâmetros Preliminares do Sistema Solo - Fundação para Fundações em Estacas - 
Coeficientes de Rigidez e Amortecimento das Estacas Individuais ........................................... 20 
6.5.1 Coeficiente de Rigidez Horizontal com a Estaca Engastada no Bloco de Coroamento 
(fx1)..........................................................................................................................................20 
6.5.2 Coeficiente de Rigidez Horizontal com a Estaca Rotulada no Bloco de Coroamento 
(fpx1) ........................................................................................................................................ 21 
6.5.3 Coeficiente de Rigidez Vertical (fz1) ............................................................................. 21 
6.5.4 Coeficiente de Rigidez à Flexão (f1) ........................................................................... 24 
6.5.5 Coeficiente de Rigidez Cruzada (fx1) .......................................................................... 24 
6.5.6 Coeficiente de Amortecimento Horizontal com a Estaca Engastada no Bloco de 
Coroamento (fx2)..................................................................................................................... 24 
6.5.7 Coeficiente de Amortecimento Horizontal com a Estaca Rotulada no Bloco de 
Coroamento (fpx2) ................................................................................................................... 24 
6.5.8 Coeficiente de Amortecimento Vertical (fz2)................................................................. 24 
6.5.9 Coeficiente de Amortecimento à Flexão (f2) ............................................................... 24 
6.5.10 Coeficiente de Amortecimento Cruzado (fx2) ............................................................ 24 
6.6 Determinação das Constantes de Rigidez (Mola) e de Amortecimento de uma Estaca 
Individual ..................................................................................................................................... 24 
6.6.1 Constantes de Mola ..................................................................................................... 24 
6.6.2 Constantes de Amortecimento..................................................................................... 25 
6.7 Determinação das Constantes de Rigidez (Mola) e de Amortecimento de uma Fundação Direta....25 
6.7.1 Pela Teoria da Constante de Mola sem Peso ............................................................. 25 
6.7.2 Pela Teoria Elástica do Semi-Espaço.......................................................................... 26 
6.8 Determinação das Constantes de Rigidez (Mola) e de Amortecimento de uma Fundação 
em Estacas (Grupo de Estacas ou Estaqueamento).................................................................. 27 
6.8.1 Hipóteses Simplificadoras............................................................................................ 27 
6.8.2 Formulação .................................................................................................................. 27 
6.9 Determinação das Freqüências Naturais da Fundação sem a Consideração de Modos de 
Vibração Acoplados .................................................................................................................... 28 
6.9.1 Sem a Consideração do Amortecimento ..................................................................... 28 
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6.9.2 Com Consideração do Amortecimento ........................................................................ 29 
6.10 Acoplamento dos Modos de Vibrações - Análise das Freqüências Naturais Resultantes do 
Acoplamento ............................................................................................................................... 31 
6.11 Cômputo das Freqüências Naturais Acopladas................................................................. 32 
6.12 Estimativa das Forças Dinâmicas ....................................................................................... 32 
6.12.1 Forças Decorrentes de Máquinas Alternativas.......................................................... 32 
6.12.2 Forças Desbalanceadas em Máquinas Rotativas ...................................................... 35 
6.13 Determinação das Amplitudes de Oscilação ..................................................................... 38 
6.13.1 Amplitudes de Oscilação do Centro de Gravidade do Sistema (Fundação + Máquina)...... 38 
6.13.1.1 Teoria da Constante de Mola sem Peso ........................................................... 38 
6.13.1.2 Teoria Elástica do Semi-Espaço........................................................................ 39 
6.13.2 Amplitudes de Oscilação de um Ponto Qualquer do Sistema (Fundação + Máquina)42 
6.14 Determinação das Velocidades Eficazes........................................................................... 42 
6.15 Critérios de Severidade de Vibração ................................................................................. 43 
Anexo A - Simbologia ............................................................................................................................ 45 
A.1 Letras Romanas Maiúsculas.......................................................................................................... 45 
A.2 Letras Romanas Minúsculas.......................................................................................................... 46 
A.3 Letras Gregas Maiúsculas ............................................................................................................. 47 
A.4 Letras Gregas Minúsculas ............................................................................................................. 47 
 
 
Figuras 
 
Figura 1 - Planta da Fundação Direta ................................................................................................... 16 
Figura 2 - Planta da Fundação Estaqueada.......................................................................................... 16 
Figura 3 - Fundação Direta - Raios Equivalentes ................................................................................. 19 
Figura 4 - Coeficientes de Rigidez e Amortecimento para Estacas de Ponta - Perfis constantes ... 22 
Figura 5 - Coeficientes de Rigidez e Amortecimento para Estacas de Ponta - Perfis Parabólicos.. 22 
Figura 6 - Coeficientes de Rigidez e Amortecimento para Estacas Flutuantes - Perfis Constantes 23 
Figura 7 - Coeficientes de Rigidez e Amortecimento para Estacas Flutuantes - Perfis Parabólicos 23 
Figura 8 - Principais Características de um Mecanismo Alternativo - Pistão Único ......................... 33 
Figura 9 - Forças Desbalanceadas em Máquinas Alternativas............................................................. 34 
Figura 10 - Excentricidades de Massas Giratórias................................................................................ 36 
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Figura 11 - Oscilação Translacional em X e Rotacional em Torno de Y....................................... 42 
 
 
Tabelas 
 
Tabela 1 - Freqüências Naturais ........................................................................................................... 14 
Tabela 2 - Coeficiente de Poisson ........................................................................................................ 15 
Tabela 3 - Momentos de Massa de Figuras Geométricas Comuns...................................................... 17 
Tabela 4 - Relação entre C e Cu .......................................................................................................... 20 
Tabela 5 - Parâmetros de Rigidez e Amortecimento Horizontal para Estacas com Razão L/Ro  25 
para Perfis de Solo Homogêneo e L/Ro  30 para Perfis de Solo Parabólico ...................................... 21 
Tabela 6 - Rigidez de uma Estaca Individual para Cada Tipo de Deformação .................................... 25 
Tabela 7 - Constante de Amortecimento de uma Estaca Individual para Cada Tipo de Deformação . 25 
Tabela 8 - Rigidezas de Acordo com os Graus de Liberdade pela Teoria da Constantede Mola sem 
Peso ......................................................................................................................................... 26 
Tabela 9 - Rigidezas de Acordo com os Graus de Liberdade pela Teoria Elástica do Semi-Espaço.. 26 
Tabela 10 - Rigidezas e Constantes de Mola para Grupo de Estacas ................................................. 27 
Tabela 11 - Amortecimento Crítico e Fator de Amortecimento para Cada Grau de Liberdade............ 28 
Tabela 12 - Freqüências Naturais de Acordo com Cada Grau de Liberdade Desacopladas de uma 
Fundação ..................................................................................................................................... 29 
Tabela 13 - Amortecimentos Críticos e Fatores de Amortecimento Segundo os Graus de Liberdade 30 
Tabela 14 - Freqüências Naturais Amortecidas de Acordo com Cada Grau de Liberdade.................. 30 
Tabela 15 - Velocidades Angulares Acopladas de Acordo com a Direção Pertinente ......................... 32 
Tabela 16 - Excentricidades de Desbalanceamento............................................................................. 36 
Tabela 17 - Excentricidades de Desbalanceamento - Geradores (API) ............................................... 37 
Tabela 18 - Excentricidades de Desbalanceamento - Motores Elétricos (NEMA)................................ 37 
Tabela 19 - Excentricidades de Desbalanceamento - Motores de Indução (NEMA)............................ 37 
Tabela 20 - Excentricidades de Desbalanceamento - Motores Indução (API) ..................................... 37 
Tabela 21 - Faixas de Severidade de Vibração .................................................................................... 44 
Tabela 22 - Faixa de Severidade de Vibração e Exemplos de suas Aplicações a Máquinas Pequenas 
(Classe I), Máquinas de Tamanho Médio (Classe II), Máquinas Grandes (Classe III) e Turbomáquinas 
(Classe IV) ..................................................................................................................................... 44 
 
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1 Escopo 
 
 
1.1 Esta Norma fixa os parâmetros geotécnicos, dimensionais e de verificação de desempenho para 
a elaboração de projeto de fundações de máquinas estacionárias (rotativas e alternativas), sujeitas à 
cargas vibratórias. 
 
 
1.2 Esta Norma se aplica a procedimentos iniciados a partir da data de sua edição. 
 
 
1.3 Esta Norma contém Requisitos Técnicos e Práticas Recomendadas. 
 
 
2 Referências Normativas 
 
Os documentos relacionados a seguir são indispensáveis à aplicação desta Norma. Para referências 
datadas, aplicam-se somente as edições citadas. Para referências não datadas, aplicam-se as 
edições mais recentes dos referidos documentos (incluindo emendas). 
 
PETROBRAS N-1644 - Construção de Fundações e de Estruturas de Concreto Armado; 
 
PETROBRAS N-1784 - Apresentação de Projetos de Fundações e Estruturas de Concreto; 
 
ABNT NBR 6118 - Projeto de Estruturas de Concreto; 
 
ABNT NBR 6122 - Projeto e Execução de Fundações; 
 
ABNT NBR 6489 - Prova de Carga Direta sobre Terreno de Fundação; 
 
ABNT NBR 8681 - Ações e Segurança nas Estruturas; 
 
ABNT NBR 12131 - Estacas - Prova de Carga Estática; 
 
ABNT NBR 13208 - Estacas - Ensaios de Carregamento Dinâmico; 
 
ABNT NBR 15928 - Ensaio Não Destrutivo - Análises de Vibrações - Terminologia; 
 
API-686 - Recommended Practice for Machinery Installation and Installation Design; 
 
DIN 4024 - Machine Foundations; 
 
ISO 2631 - Mechanical Vibration and Shock - Evaluation of Human Exposure to Whole-Body 
Vibration. 
 
 
3 Termos e Definições 
 
Para os propósitos desta Norma são adotados os termos e definições indicadas em 3.1 a 3.29. 
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3.1 
acoplamento 
fenômeno físico em que se observa, em um sistema elástico, a transferência de energia entre modos 
de vibração distintos. Isto altera os modos de vibração originais (também denominados 
desacoplados) e suas respectivas freqüências naturais de vibração. 
 
 
3.2 
amortecimento 
fenômeno associado à dissipação de energia e que se opõe ao movimento vibratório de um sistema 
elástico. 
 
NOTA Para o âmbito desta Norma, entende-se por amortecimento o “amortecimento geométrico” 
da fundação. 
 
 
3.3 
amplitude 
máximo desvio de posição de um ponto ou parte de um sistema vibrátil em relação à sua posição de 
repouso. 
 
 
3.4 
análise dinâmica (para vibrações) 
estudo do movimento de um sistema físico num tempo particular. 
 
 
3.5 
análise estática 
investigação de um sistema físico em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças estacionário. 
 
 
3.6 
análise modal 
análise dinâmica de um sistema com múltiplos graus de liberdade, onde as respostas obtidas para 
cada modo de vibração (cada qual tratado independentemente como um sistema com um único grau 
de liberdade) são determinadas separadamente, e então superpostas (ou “acopladas”) para se obter 
a resposta final resultante do sistema. 
 
 
3.7 
balanceamento 
ajustamento da distribuição de massa de um corpo rotativo de maneira a controlar ou evitar 
vibrações. 
 
 
3.8 
ciclo 
gama completa de estados ou valores, através do qual passa um fenômeno ou função periódica, 
antes de se repetir identicamente. O ciclo de uma partícula é associado a um deslocamento angular 
de 360°, onde a partícula inicia o movimento na posição angular  = 0° e completa o ciclo 
com  = 360°. 
 
 
3.9 
excitação harmônica 
esforço (força ou momento) descrito através de função trigonométrica (senoidal), e que se repete a 
intervalos de tempo iguais. 
 
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3.10 
fator de amplificação dinâmica 
razão entre a deformação produzida em um dado ponto de uma estrutura pela aplicação dinâmica de 
um esforço (força ou momento) e a deformação produzida neste mesmo ponto pela aplicação estática 
do esforço. 
 
 
3.11 
força dinâmica (carga dinâmica) 
força cuja duração e amplitude é função do tempo. 
 
 
3.12 
freqüência (f) 
inverso do período. É o número de ciclos realizados por uma partícula em movimento periódico na 
unidade de tempo. Tem-se a relação: 
 
1/Tf  
 
NOTA As unidades mais empregadas são o Hertz (Hz) ou ciclos/segundo e a Rotação Por Minuto 
(rpm) ou ciclos/minuto. 
 
 
3.13 
freqüência angular () 
produto da freqüência de uma grandeza senoidal pelo fator 2. A unidade de freqüência angular é o 
radiano pela unidade de tempo. 
 
NOTA Podem ser tomadas as relações: 1 Hz = 6,28 rad/s = 60 rpm. 
 
 
3.14 
freqüência natural 
propriedade dinâmica de um sistema elástico pela qual ele oscila harmonicamente em relação a uma 
posição fixa, quando a aplicação da ação externa é removida. 
 
NOTA Um sistema elástico possui tantas freqüências naturais quantos forem os seus graus de 
liberdade. No caso de bases maciças de compressores supostamente rígidas, o número de 
freqüências naturais da fundação é 6. 
 
 
3.15 
fundações sobre-sintonizadas (“over-tuned”) 
fundações de máquinas onde a freqüência fundamental da fundação é superior à freqüência 
operacional ou freqüência excitante da máquina. Neste tipo de fundação a razão de freqüência é 
menor que a unidade. 
 
 
3.16 
fundações sub-sintonizadas (“low-tuned”) 
fundações de máquinas onde a freqüência fundamental da fundação é inferior à freqüência 
operacional ou freqüência excitante da máquina. Neste tipo de fundação a razão de freqüência é 
maior que a unidade. 
 
 
3.17 
modo de vibração 
movimento ordenado de um sistema elástico onde cada ponto do sistema vibra com uma mesma 
freqüência, a qual é uma das freqüências naturais do sistema. 
 
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NOTA Um sistema elástico possui tantos modosprincipais de vibração quantas forem as 
freqüências naturais que possui. 
 
 
3.18 
modo fundamental 
também chamado de 1o modo de vibração, é o modo de vibração associado à freqüência natural mais 
baixa de um sistema elástico. Esta freqüência é denominada freqüência fundamental. 
 
 
3.19 
movimento harmônico simples 
movimento de um corpo ou parte de um sistema, descrito por meio de uma função trigonométrica 
(senoidal), e que se repete a intervalos de tempo iguais. 
 
NOTA Todo movimento harmônico é necessariamente periódico. 
 
 
3.20 
movimento periódico 
movimento que se repete identicamente a intervalos regulares de tempo. 
 
 
3.21 
oscilação 
variação, habitualmente em função do tempo, de uma grandeza, em relação ao seu valor de 
referência especificado, quando esta grandeza varia em torno de um certo valor médio. 
 
 
3.22 
período (T) 
o menor incremento de variável independente de uma quantidade periódica, antes de se repetir 
identicamente. 
 
 
3.23 
razão de freqüência 
razão entre a freqüência da força ou esforço excitante e a freqüência natural do sistema. 
 
NOTA Em ressonância, a razão de freqüência torna-se igual à unidade. 
 
 
3.24 
resposta dinâmica (“response”) 
conjunto de deslocamentos e/ou tensões dependentes do tempo que surgem em um sistema elástico 
quando este é submetido à aplicação de um esforço dinâmico. 
 
 
3.25 
ressonância 
fenômeno que ocorre quando a freqüência de excitação coincide com uma das freqüências naturais 
de um sistema elástico. As amplitudes de vibração de um sistema em ressonância podem atingir 
valores muito elevados, razão pela qual esta condição deve ser evitada. 
 
 
3.26 
severidade de vibração 
nesta Norma, o termo severidade de vibração é definido como uma unidade característica 
compreensível e simples para descrever o estado de vibração de uma máquina. Baseado em 
considerações teóricas e experiência prática, o valor eficaz da velocidade de vibração foi escolhido 
como unidade de medida para indicação de severidade de vibração. 
 
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3.27 
velocidade eficaz de vibração (vef) 
máximo valor da raiz quadrática média da velocidade de vibração medida em pontos significativos da 
máquina, tais como um mancal, um ponto da fundação etc. 
 
 
3.28 
vibração 
variação no tempo do valor de uma grandeza a qual descreve o movimento ou posição de um 
sistema mecânico, quando o valor é alternadamente maior ou menor do que certo valor médio ou de 
referência, geralmente a posição de equilíbrio. 
 
 
3.29 
vibrações forçadas 
vibrações desenvolvidas por forças excitantes aplicadas externamente. As vibrações forçadas 
ocorrem na freqüência da força excitante aplicada. 
 
NOTA A freqüência de excitação não depende da freqüência natural do sistema. 
 
 
4 Dados Básicos para o Projeto de Fundações de Máquinas 
 
Para o projeto de fundações de máquinas devem ser obtidas as informações contidas em 4.1 a 4.3. 
 
 
4.1 Parâmetros do Solo 
 
a) posição e natureza das camadas/perfil do solo; 
b) cota máxima do lençol freático; 
c) resistência à penetração, definida pelo ensaio SPT; 
d) massa específica do solo (); 
e) módulo de cisalhamento do solo (G); 
f) coeficiente de Poisson (); 
g) módulo de elasticidade do solo (E). 
 
 
4.2 Parâmetros do Equipamento 
 
Os documentos de fabricação do equipamento devem conter as seguintes informações: 
 
a) desenho dimensional do equipamento contendo: 
— dimensões do chassi; 
— dimensões principais do equipamento; 
— posição do centro de gravidade do conjunto ou das partes componentes; 
— fixação do equipamento à base/fundação (chumbadores, insertos); 
b) peso do conjunto ou dos elementos componentes do conjunto; 
c) freqüências operacionais dos elementos componentes do conjunto; 
d) cargas dinâmicas (forças centrífugas, forças de inércia das massas móveis e 
momentos); 
e) freqüências críticas de operação da máquina (fc); 
f) amplitudes máximas permissíveis de vibração; 
g) momento de curto-circuito (para motores elétricos ou geradores). 
 
 
4.3 Parâmetros Geométricos da Fundação 
 
a) centróide da área da base; 
b) centro de gravidade do conjunto fundação + máquina; 
c) momento de inércia da área da base; 
d) momento de massa do conjunto fundação + máquina. 
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5 Requisitos Gerais de Projeto 
 
 
5.1 Fundações Superficiais ou Profundas 
 
O projeto deve atender às condições estabelecidas nas PETROBRAS N-1644, N-1784, 
ABNT NBR 6118, NBR 6122, NBR 6489, NBR 8681, NBR 12131, NBR 13208, NBR 15928, API 686, 
DIN 4024 e ISO 2631. 
 
 
5.1.1 As fundações das máquinas devem ser desvinculadas das estruturas e fundações vizinhas. 
Caso isto não seja possível, cuidados especiais devem ser tomados para evitar transmissão de 
vibrações a essas estruturas. 
 
 
5.1.2 A análise de vibrações deve ser realizada considerando o solo como corpo elástico, com as 
características de módulo de elasticidade transversal (G), coeficiente de Poisson () e massa 
específica do solo (). 
 
 
5.1.3 Se uma análise dinâmica prevê condição de ressonância para uma freqüência dentro da faixa 
de velocidade de operação da máquina, deve-se alterar a massa da fundação ou suas constantes de 
mola. A freqüência natural da fundação deve ser mantida a uma distância de, pelo menos, 20 % da 
faixa de velocidade de operação da máquina. 
 
 
5.1.4 Os recalques sofridos pela fundação devem ser inferiores aos admitidos pelas tubulações que 
se ligam à máquina. 
 
 
5.1.5 Recomenda-se o uso de fundações profundas, para os seguintes casos: [Prática 
Recomendada] 
 
a) baixa tensão admissível do terreno; 
b) recalques estimados elevados; 
c) lençol freático elevado; 
d) fundações próximas que não atendam ao item 5.1.2. 
 
 
5.2 Fundações Superficiais 
 
 
5.2.1 A base deve ser ajustada para que o centróide da área de contato com o solo e o centro de 
gravidade do conjunto fundação + máquina estejam na mesma vertical. A distância em planta entre 
os 2 pontos, projetada segundo uma das dimensões (em planta) da base, deve ser, no máximo, igual 
a 5 % desta dimensão. 
 
 
5.2.2 A tensão no solo devida às cargas estáticas deve ser, no máximo, igual a 50 % da tensão 
admissível do terreno. A soma das tensões devidas aos efeitos estático e dinâmico não deve exceder 
75 % da tensão admissível do terreno. 
 
 
5.2.3 A base deve possuir uma espessura mínima de 0,6 m a fim de se ter uma fundação “rígida” em 
acordo com a teoria de projeto desenvolvida para este tipo de fundação. 
 
 
5.2.4 A altura da base da fundação não deve ser menor que 1/5 da menor dimensão e 1/10 da maior 
dimensão da base. 
 
 
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12 
 
5.2.5 Deve-se adotar uma razão ‘massa da fundação / massa da maquinaria’ maior que 3 para 
máquinas rotativas, e de 5 a10 para máquinas alternativas. 
 
 
5.2.6 Devem ser adotadas as relações de massa apresentadas no item 5.2.5, a menos que a análise 
dinâmica comprove que um valor menor que o especificado possa ser usado de forma adequada. 
 
 
5.2.7 Deve-se manter um espaço ao redor da máquina de no mínimo 0,30 m para manutenção e 
outras atividades. 
 
 
5.2.8 Deve-se evitar dispor a base em terreno com lençol freático elevado, pois em solos saturados 
ocorre a amplificação das vibrações. Deve-se atentar principalmente para o efeito de vibrações em 
solos saturados arenosos. 
 
 
5.2.9 A fundação não deve ser assentada em solo de aterro. 
 
 
5.2.10 A dimensão da base na direção de rotação deve ser pelo menos 1,5 vezes maior que a 
distância vertical entre a linha de centro da máquina e a base. 
 
 
5.2.11 Para fundações vizinhas de mesma característica, a cota de assentamento da fundação 
vibrante deve estar afastada e abaixo da nãovibrante obedecendo, no mínimo, à relação 
de 1:3 (V:H). 
 
 
5.3 Fundações Profundas 
 
 
5.3.1 Recomenda-se a seguinte relação. [Prática Recomendada] 
s/d  5 
 
Onde: 
s é o espaçamento entre estacas (eixo a eixo); 
d é o diâmetro da estaca. 
 
 
5.3.2 A carga estática em cada estaca deve estar limitada a 50 % de sua carga admissível. 
 
 
5.3.3 Para máquina rotativa, o bloco de coroamento deve ter uma massa de cerca de 1,5 vezes 
a 2,5 vezes a massa da máquina. Para máquinas alternativas, esta relação deve ser de 2,5 vezes 
a 4 vezes. 
 
 
5.3.4 Devem ser adotadas as relações de massa apresentadas no item 5.3.3, a menos que a análise 
dinâmica comprove que um valor menor que o especificado possa ser usado de forma adequada. 
 
 
5.3.5 O centróide do estaqueamento e o centro de gravidade do conjunto fundação + máquina 
devem estar na mesma vertical. A distância em planta entre os 2 pontos, projetada segundo uma das 
dimensões (em planta) do bloco de coroamento, deve ser, no máximo, igual a 5 % desta dimensão. 
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13 
 
5.3.6 Deve-se garantir uma boa ancoragem entre as estacas e o bloco de coroamento. Como 
requisito mínimo, deve-se adotar 60 cm de penetração para a armadura da estaca no bloco e 30 cm 
de embutimento para estacas metálicas. 
 
 
5.4 Fundações para Máquinas Elevadas 
 
 
5.4.1 A espessura da laje de fundação não deve ser menor que 0.11 L4/3, onde L (em metros) é a 
média de 2 vãos adjacentes entre colunas. 
 
 
5.4.2 A carga estática nas colunas deve ser, no máximo, igual a 1/6 da sua máxima carga admissível 
e a tensão média de compressão deve ser aproximadamente a mesma para todas as colunas. 
 
 
5.4.3 O espaçamento máximo entre as colunas deve ser de 3,5 m. 
 
 
5.4.4 A altura das vigas deve ser maior que 1/5 do vão livre. A flecha devida ao carregamento 
estático não deve exceder 0,5 mm. 
 
 
5.4.5 A rigidez à flexão das vigas deve ser, no mínimo, 2 vezes superior à das colunas. 
 
 
5.4.6 Para máquinas rotativas, a massa total da estrutura deve ser, no mínimo, igual a 3 vezes a 
massa suportada pela máquina. Esta relação deve ser de 5 para máquinas alternativas. 
 
 
5.4.7 Devem ser adotadas as relações de massa apresentadas no item 5.4.6, a menos que a análise 
dinâmica comprove que um valor menor que o especificado possa ser usado de forma adequada. 
 
 
5.4.8 A massa da laje do topo não deve ser menor que a da máquina. 
 
 
5.4.9 O centróide das colunas deve coincidir com o centro de gravidade (em planta) do equipamento 
mais a metade superior da estrutura. A distância em planta entre os 2 pontos, projetada segundo uma 
das dimensões (em planta) da laje da fundação deve ser, no máximo, igual a 5 % desta dimensão. 
 
 
5.4.10 A deflexão horizontal das colunas, devida aos carregamentos dinâmicos, não deve ultrapassar 
0,5 mm em qualquer caso. 
 
 
5.4.11 Deve ser feita a verificação das colunas e vigas do pórtico para evitar a possibilidade de 
ressonância isolada dos membros constitutivos da estrutura. 
 
 
5.4.11.1 A freqüência natural fn, em rotações por minuto, de ordem mais baixa de uma coluna é dada 
aproximadamente por: 
 
H σ
f . 800 44f
.c 
4 ck
n  
 
Onde: 
fck é a resistência do concreto em psi (1 psi = 6 895 KPa); 
c é a tensão média de compressão atuante na coluna, em psi; 
H é a altura da coluna em polegadas (1 pol = 2,54 cm). 
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5.4.11.2 A freqüência natural dos vãos de vigas entre colunas pode ser estimada por intermédio da 
Tabela 1. 
 
 
Tabela 1 - Freqüências Naturais 
 
Viga fn 
bi-apoiada 4ql
E
2
87,9 
 
engastada-apoiada 4ql
E
2
4,15 
 
bi-engastada 4ql
E
2
4,22 
 
engastada-livre 4ql
E
2
52,3 
 
 
Onde: 
q é a carga total por unidade de comprimento da viga (usualmente em t/m); 
I é o comprimento do vão (em m); 
E é o módulo de elasticidade do material (em t/m2); 
 é o momento de inércia à flexão da viga (usualmente em m4). 
 
 
6 Critérios de Cálculo 
 
 
6.1 Parâmetros do Solo 
 
As grandezas do solo necessárias à análise de fundações de compressores, independentemente do 
tipo de base e da teoria empregada, são as que se encontram em 6.3.1 a 6.3.4. 
 
 
6.1.1 Massa Específica do Solo () 
 
Na falta de ensaios geotécnicos, recomenda-se  = 1,8 t/m3. [Prática Recomendada] 
 
 
6.1.2 Módulo de Cisalhamento Dinâmico do Solo (G) 
 
Obtido através do ensaio “cross-hole”. Na falta do referido ensaio, recomenda-se: [Prática 
Recomendada] 
 
G = 12 000 N0,8 
 
Onde: 
G é obtido em KPa; 
N é o número de golpes SPT (obtido de sondagem). 
 
 
6.1.3 Coeficiente de Poisson do Solo () 
 
Na falta de ensaios geotécnicos ou de “cross-hole”, devem ser adotados os valores constantes da 
Tabela 2. 
 
 
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15 
 
Tabela 2 - Coeficiente de Poisson 
 
Tipo de solo Coeficiente de Poisson () 
Argila saturada 0,45 - 0,50 
Argila parcialmente saturada 0,35 - 0,45 
Areia densa ou pedregulho 0,40 - 0,50 
Areia medianamente densa ou pedregulho 0,30 - 0,40 
Silte 0,30 - 0,40 
 
 
6.1.4 Módulo de Elasticidade do Solo (E) 
 
Obtido por intermédio do ensaio “cross-hole”, através da fórmula (1). Na falta do referido ensaio, 
deve-se adotar a fórmula (2): 
 
)1(V.2E 2s  (1) 
 
)1( G.2E  (2) 
 
Onde: 
Vs é a velocidade transversal de propagação do som no solo, obtida no ensaio. 
 
 
6.2 Parâmetros Geométricos do Sistema (Fundação + Máquina) 
 
 
6.2.1 Centróide 
 
 
6.2.1.1 Fundação Superficial 
 
As coordenadas (xc, yc) do centróide da área da base são dadas por: 
 





i
i
i
ii
c
i
i
i
ii
c A
yA
y;
A
xA
x 
 
Onde: 
xi, yi são as coordenadas do centro de cada área. 
 
NOTA Uma vez localizado o centróide da área da base, a origem do sistema de coordenadas 
retangulares (x, y, z) deve ser localizada neste ponto, de maneira que todos os cálculos 
posteriores são feitos em relação a este sistema de eixos. 
 
 
6.2.1.2 Fundação em Estacas (Profunda) 
 
O centróide do estaqueamento é dado por: 
 
n
y
Y;
n
X
X
n
i
i
c
n
i
i
c

 
 
Onde: 
xi, yi são as coordenadas de cada estacas; 
n é o número de estacas. 
 
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6.2.2 Centro de Gravidade do Sistema (Fundação + Máquina) 
 
As coordenadas (xcg, ycg, zcg) do centro de gravidade da máquina e da fundação são dadas por: 
 







i
i
i
ii
cg
i
i
i
ii
cg
i
i
i
ii
cg m
zm
z;
m
ym
y;
m
xm
x 
 
Onde: 
xi, yi, zi são as coordenadas do centro de gravidade de cada elemento de massa mi. 
 
 
6.2.3 Momento de Inércia 
 
 
6.2.3.1 Para fundações superficiais retangulares tendo como dimensões L e B (ver Figura 1), os 
momentos de inércia Jx, Jy e Jz são dados por: 
 
yxz
3
y
3
x JJJ;12
BLJ;
12
LBJ  
 
Onde: 
Jx, Jy, Jz é o momento de inércia da área da base em relação aos eixos ortogonais X, Y e Z, 
passando pelo seu centróide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - Planta da Fundação Direta 
 
 
6.2.3.2 Para fundações sobre estacas, o momento de inércia do estaqueamento em relação ao seu 
centróide, segundo orientação da Figura 2, é dado por: 
   n
i
n
i
yxz
2
ipiy
2
ipix JJJ;xAJ;yAJ 
 
Onde: 
I representa cada estaca, n é o número total de estacas e Api é a área da seção reta da 
estaca de ordem i. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 - Planta da Fundação Estaqueada 
 
B 
Y 
X 
L 
Y 
X 
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17 
 
6.2.4 Momento de Massa 
 
Os momentosde massa Ix, Iy e Iz do conjunto (fundação + máquina) em relação a estes eixos são 
dados por: 
 






i
2
i
2
iiz
i
2
i
2
iiy
i
2
i
2
iix
)xy(mI
)zx(mI
)zy(mI
 
 
Onde: 
xi, yi, zi são as coordenadas do centro de gravidade de cada elemento de massa mi em 
relação ao sistema de eixos coordenados X, Y e Z (com origem no centróide da 
área de contato com o solo). 
 
 
NOTA 1 O momento de massa I’ de uma massa m em relação a um eixo x’ que dista h de seu centro 
de gravidade vale: I’ = I + m.h2, onde I é o momento de massa de m em relação a um eixo x 
paralelo a x’ e passando pelo centro de gravidade de m. 
NOTA 2 A unidade corrente para momentos de massa é o t.m2 (tonelada metro quadrado). 
NOTA 3 A Tabela 3 indica os momentos de massa de formas geométricas conhecidas. 
 
 
Tabela 3 - Momentos de Massa de Figuras Geométricas Comuns 
 
Barra Esbelta 
G 
Y
Z
L
X
 
 
2
zy mL12
1II  
 
 22x bam121I  
 
 
2
y ma12
1I  
 
Placa Retangular Fina 
G 
Z'
a
Y 
b
X
 
 
2
'z mb12
1I  
 
 
 22x bam121I  
 
 
 22y Lam121I  
 
Paralelepípedo 
z'
z
L/2
L
b
a
Y
X
 
 22z Lbm121I  
 
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Tabela 3 - Momentos de Massa de Figuras Geométricas Comuns (CONTINUAÇÃO) 
 
 
2
x mr2
1I  
 
 
 
 
 
Disco Fino 
z
x
Y
r
 
 
2
zy mr4
1II  
 
 
2
x ma2
1I  
 
 
 22zy La3m121II  
 
 
 
 
 
 
 
Cilindro 
 
z'
z
Y
L
a
x
 
4/mLII 2z'z  
 
 
2
z ma10
3I  
 
Cone Circular 
Y
z
h
x
a
 
 


  22zy ha4
1m
5
3II 
 
Esfera 
z
x
a
Y
 
 
 
2
zyx ma5
2III  
 
 
6.2.5 Raios Equivalentes (Fundações Superficiais) 
 
A Teoria Elástica do Semi-Espaço é concebida para bases circulares. No caso de fundação direta 
retangular, devem ser calculados os raios equivalentes de acordo com o modo de vibração a 
considerar, conforme fórmula abaixo: 
 
 
4
22
z
4
3
y
4
3
xzyx 6
)ba(abr;
3
bar;
3
abr;abrrr 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 - Fundação Direta - Raios Equivalentes 
 
 
6.3 Teorias de Análise e Projeto 
 
 
6.3.1 Para efeito desta Norma, são adotadas duas teorias de análise distintas para o projeto de uma 
fundação: 
 
a) teoria elástica do semi-espaço; 
b) teoria da constante de mola sem peso. 
 
 
6.3.2 Recomenda-se a teoria elástica do semi-espaço caso se queira considerar o amortecimento 
geométrico da fundação, ou se esteja dimensionando a base em ressonância. [Prática 
Recomendada] 
 
 
6.4 Parâmetros Preliminares do Sistema Solo-Fundação para Fundações Superficiais pela 
Teoria da Constante de Mola sem Peso 
 
 
6.4.1 Coeficiente Dinâmico de Compressão Elástica Uniforme (Cu) 
 
Na falta de ensaios deve ser adotado: 
 
A
1.
1
E.13,1C
2u  
 
Onde: 
A é a área de contato da fundação com o solo, não se tomando valor superior a 10 m2. 
 
 
6.4.2 Coeficiente Dinâmico de Cisalhamento Elástico Uniforme (C) 
 
Na falta de ensaios deve ser adotado como valor de C: a metade do valor de Cu. 
 
 
6.4.3 Coeficiente Dinâmico de Compressão Elástica Não-Uniforme (C) 
 
Na falta de ensaios deve ser adotada a Tabela 4, onde se obtém C a partir de Cu. 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
b 
x 
a 
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20 
 
Tabela 4 - Relação entre C e Cu 
 
 C/Cu 
1,0 1,87 
1,5 2,11 
2,0 2,31 
3,0 2,63 
5,0 3,04 
10,0 3,53 
NOTA  é a razão entre a maior e a menor dimensão da base em 
planta (adimensional). 
 
 
6.4.4 Coeficiente Dinâmico de Cisalhamento Elástico Não Uniforme (C) 
 
Na falta de ensaios, deve ser adotado: C = 0,75 Cu 
 
 
6.5 Parâmetros Preliminares do Sistema Solo - Fundação para Fundações em Estacas - 
Coeficientes de Rigidez e Amortecimento das Estacas Individuais 
 
 
6.5.1 Coeficiente de Rigidez Horizontal com a Estaca Engastada no Bloco de Coroamento (fx1) 
 
É adimensional e deve ser extraído da Tabela 5, onde: 
 
a) Ep: módulo de elasticidade da estaca; 
b) Gs: módulo de cisalhamento dinâmico do solo (= G); 
c) : coeficiente de Poisson do solo; 
d) l: comprimento da estaca; 
e) ro: raio da seção reta da estaca (suposta circular). 
 
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21 
Tabela 5 - Parâmetros de Rigidez e Amortecimento Horizontal para Estacas com 
Razão L/Ro  25 para Perfis de Solo Homogêneo e L/Ro  30 para Perfis de 
Solo Parabólico 
 
 
 
6.5.2 Coeficiente de Rigidez Horizontal com a Estaca Rotulada no Bloco de Coroamento (fpx1) 
 
É adimensional e é obtido conforme fx1 (ver Tabela 5). 
 
 
6.5.3 Coeficiente de Rigidez Vertical (fz1) 
 
É adimensional e deve ser extraído dos ábacos das Figuras 4, 5, 6 e 7. Os dados de entrada nos 
ábacos são análogos ao 6.5.1. 
 Coeficientes de rigidez Coeficientes de amortecimento 
 Eest./G solo f1 fx1 fx1 fpx1 f2 fx2 fx2 fpx2 
Perfil homogêneo do solo 
10 000 0,213 -0,021 0,004 0,002 0,157 -0,033 0,010 0,005 
2 500 0,299 -0,042 0,011 0,006 0,215 -0,064 0,029 0,015 
1 000 0,374 -0,066 0,023 0,012 0,259 -0,098 0,057 0,030 
500 0,441 -0,092 0,039 0,021 0,295 -0,133 0,095 0,051 
0,25 
250 0,518 -0,128 0,065 0,035 0,329 -0,178 0,155 0,086 
10 000 0,220 -0,023 0,004 0,002 0,163 -0,035 0,011 0,006 
2 500 0,309 -0,045 0,013 0,006 0,222 -0,069 0,032 0,007 
1 000 0,386 -0,071 0,026 0,013 0,267 -0,105 0,064 0,033 
500 0,454 -0,099 0,043 0,023 0,303 -0,142 0,105 0,057 
0,40 
250 0,533 -0,136 0,072 0,039 0,337 -0,189 0,171 0,095 
Perfil parabólico do solo 
10 000 0,180 -0,014 0,001 0,001 0,145 -0,025 0,006 0,0028 
2 500 0,245 -0,026 0,004 0,002 0,202 -0,048 0,015 0,007 
1 000 0,300 -0,040 0,008 0,003 0,249 -0,073 0,030 0,014 
500 0,349 -0,054 0,013 0,005 0,291 -0,100 0,049 0,024 
0,25 
250 0,404 -0,073 0,021 0,009 0,336 -0,137 0,079 0,039 
10 000 0,185 -0,015 0,020 0,001 0,150 -0,027 0,006 0,003 
2 500 0,252 -0,028 0,005 0,002 0,210 -0,051 0,017 0,008 
1 000 0,309 -0,042 0,009 0,004 0,258 -0,079 0,033 0,016 
500 0,359 -0,057 0,014 0,006 0,300 -0,107 0,054 0,026 
0,40 
250 0,417 -0,078 0,023 0,010 0,346 -0,146 0,088 0,044 
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22 
 
 
Figura 4 - Coeficientes de Rigidez e Amortecimento para Estacas de Ponta - Perfis 
constantes 
 
 
 
Figura 5 - Coeficientes de Rigidez e Amortecimento para Estacas de Ponta - Perfis 
Parabólicos 
 
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23 
 
 
Figura 6 - Coeficientes de Rigidez e Amortecimento para Estacas Flutuantes - Perfis 
Constantes 
 
 
 
Figura 7 - Coeficientes de Rigidez e Amortecimento para Estacas Flutuantes - Perfis 
Parabólicos 
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24 
 
6.5.4 Coeficiente de Rigidez à Flexão (f1) 
 
É adimensional e deve ser extraído da Tabela 5, conforme fx1 (ver 6.5.1). 
 
 
6.5.5 Coeficiente de Rigidez Cruzada (fx1) 
 
É adimensional e deve ser extraído da Tabela 5, conforme fx1 (ver 6.5.1). 
 
 
6.5.6 Coeficiente de Amortecimento Horizontal com a Estaca Engastada no Bloco de 
Coroamento (fx2) 
 
É adimensional e deve ser extraído da Tabela 5, conforme fx1 (ver 6.5.1). 
 
 
6.5.7 Coeficiente de Amortecimento Horizontal com a Estaca Rotulada no Bloco de 
Coroamento (fpx2) 
 
É adimensional e deve ser extraído da Tabela 5, conforme fx1 (ver 6.5.1). 
 
 
6.5.8 Coeficiente de Amortecimento Vertical (fz2) 
 
É adimensional e deve ser extraído das Figuras 4, 5, 6 e 7. Osdados de entrada nos ábacos são 
análogos aos 6.5.1, à exceção do coeficiente de Poisson (). 
 
 
6.5.9 Coeficiente de Amortecimento à Flexão (f2) 
 
É adimensional e deve ser extraído da Tabela 5, conforme fx1 (ver 6.5.1). 
 
 
6.5.10 Coeficiente de Amortecimento Cruzado (fx2) 
 
É adimensional e deve ser extraído da Tabela 5, conforme fx1 (ver 6.5.1). 
 
 
6.6 Determinação das Constantes de Rigidez (Mola) e de Amortecimento de uma Estaca 
Individual 
 
 
6.6.1 Constantes de Mola 
 
A Tabela 6 fornece a formulação das rigidezas de uma estaca individual. Para estaca rotulada no 
bloco de coroamento, deve-se substituir fx1 por fpx1, conforme definido anteriormente. 
-PÚBLICO-
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25 
Tabela 6 - Rigidez de uma Estaca Individual para Cada Tipo de Deformação 
 
Estacas individuais 
Tipo de deformação Rigidezas 
Horizontal )f(
r
IE
'k'k 1x3
o
pp
yx  
Vertical )f(
r
AE
'k 1z
o
pp
z  
Rotação (Flexão) )f(
r
IE
'k 1
o
pp
  
Cruzada (Flexão + Horizontal) )f(
r
IE
'k'k 1x2
o
pp
yx   
 
 
6.6.2 Constantes de Amortecimento 
 
A Tabela 7 fornece a formulação das constantes de amortecimento de uma estaca individual. Para 
estaca rotulada no bloco de coroamento, deve-se substituir fx2 por fpx2, conforme definido 
anteriormente. 
 
 
Tabela 7 - Constante de Amortecimento de uma Estaca Individual para Cada Tipo de 
Deformação 
 
Estacas individuais 
Tipo de deformação Constantes de amortecimento 
Horizontal )f(
Vr
IE
'c'c 2x
s
2
o
pp
yx  
Vertical )f(
V
AE
'c 2z
s
pp
z  
Rotação (Flexão) )f(
V
IE
'c 2
s
pp
  
Cruzada (Flexão + Horizontal) )f(
Vr
IE
'c'c 2x
so
pp
yx   
 
Onde: 
Ep é o modulo de elasticidade da estaca; 
Ip é o momento de inércia à flexão da estaca; 
Gs é o módulo de cisalhamento do solo; 
Ap é a área da seção reta da estaca; 
ro é o raio da estaca; 
Vs é a velocidade de onda transversal do solo. 
 
 
6.7 Determinação das Constantes de Rigidez (Mola) e de Amortecimento de uma Fundação 
Direta 
 
 
6.7.1 Pela Teoria da Constante de Mola sem Peso 
 
A Tabela 8 fornece as constantes de mola de uma fundação direta segundo os 6 graus de liberdade 
possíveis. 
-PÚBLICO-
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26 
 
Tabela 8 - Rigidezas de Acordo com os Graus de Liberdade pela Teoria da Constante 
de Mola sem Peso 
 
Teoria da constante de mola sem peso - fundação direta 
Modo de vibração Constante de mola 
translação em X kx = CA 
translação em Y ky = CA 
translação em Z kz = CA 
rotação em X kx = CJx - mgL 
rotação em Y ky = CJy - mgL 
rotação em Z kz = CJz 
 
Onde: 
A é a área da base; 
M é a massa do sistema (fundação + máquina); 
g é a aceleração da gravidade; 
L é a distância do centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) em relação à 
base (assentamento) da fundação. 
 
 
6.7.2 Pela Teoria Elástica do Semi-Espaço 
 
A Tabela 9 fornece as constantes de mola e de amortecimento de uma fundação direta segundo os 
seus 6 graus de liberdade possíveis. 
 
NOTA A razão de massa é uma grandeza adimensional criada para auxiliar nos cálculos 
intermediários da tabela. 
 
 
Tabela 9 - Rigidezas de Acordo com os Graus de Liberdade pela Teoria Elástica do 
Semi-Espaço 
 
Teoria elástica do semi-espaço - fundação direta 
Modo de vibração Razão de massa Fator de amortecimento Constante de mola 
Translação em X 3
x
x
r.
m.
)1(32
)87(B 
 
x
x
B
2875,0D  xx r.G.87
)1(32k 
 
Translação em Y 3
y
y r.
m.
)1(32
)87(B 
 
y
y
B
2875,0D  
yy r.G.87
)1(32k 
 
Translação em Z 3
z
z r.
m.
4
)1(B 
 
z
z
B
425,0D  
 1
r.G4
k zz 
Rotação em torno 
de X 5x
x
x r.
I.
8
)1(3B

 
 
xx
x
B)B1(
15,0D

  )1(3
r.G8
k
3
x
x 
 
Rotação em torno 
de Y 5y
y
y
r.
I
.
8
)1(3B

 
 
yy
y
B)B1(
15,0D

  )1(3
r.G8
k
3
y
y 

 
Rotação em torno 
de Z 5z
z
x r.
IB

  )B21(
5,0D
z
z

  
3
zz r.G3
16k   
 
 
-PÚBLICO-
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27 
 
6.8 Determinação das Constantes de Rigidez (Mola) e de Amortecimento de uma Fundação em 
Estacas (Grupo de Estacas ou Estaqueamento) 
 
 
6.8.1 Hipóteses Simplificadoras 
 
a) as constantes de rigidez e amortecimento à torção das estacas individuais são 
desprezadas; 
b) a interação entre estacas (efeito de grupo) é desprezada; 
c) admite-se que as estacas sejam todas iguais. 
 
 
6.8.2 Formulação 
 
 
6.8.2.1 A Tabela 10 fornece as constantes de mola e amortecimento de uma fundação profunda. Os 
somatórios contidos nesta Tabela estendem-se a todas as estacas que compõem o grupo. 
 
 
Tabela 10 - Rigidezas e Constantes de Mola para Grupo de Estacas 
 
Grupo de estacas 
Tipo de 
deformação Rigidezas Constantes de amortecimento 
Horizontal  
 

n
1i
n
1i
yx
g
y
g
x 'k'kkk  
 

n
1i
n
1i
yx
g
y
g
x 'c'ccc 
Vertical 


n
1i
z
g
z 'kk 


n
1i
z
g
z 'cc 
Rotação em 
torno de X 
 

 
n
1i
cy
2
cy
2
iz
g
xx z'k2z'ky'k'kk  

 
n
1i
cy
2
cy
2
iz
g
xx z'c2z'cy'c'cc 
Rotação em 
torno de Y 
 

 
n
1i
cx
2
cx
2
iz
g
yy z'k2z'kx'k'kk  

 
n
1i
cx
2
cx
2
iz
g
yy z'c2z'cx'c'cc 
Rotação em 
torno de Z 
 


n
1i
2
i
2
ix
g
zz )yx('kk  


n
1i
2
i
2
ix
g
zz )yx('cc 
 
Onde: 
Zc é a altura do centro de gravidade do bloco de estacas acima de sua cota de fundo. 
 
 
6.8.2.2 A Tabela 11 fornece os amortecimentos críticos e os fatores de amortecimento segundo 
os 6 graus de liberdade. 
 
-PÚBLICO-
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28 
 
Tabela 11 - Amortecimento Crítico e Fator de Amortecimento para Cada Grau de 
Liberdade 
 
Grupo de estacas 
Tipo de 
deformação Amortecimentos críticos Fatores de amortecimento 
Translação em 
torno 
de X 
m.k2c gx
g
cx  g
cx
g
x
x
c
c
D  
Translação em 
torno 
de Y 
m.k2c gy
g
cy  g
cy
g
y
y c
c
D  
Translação em 
torno 
de Z 
m.k2c gz
g
cz  g
cz
g
z
z
c
c
D  
Rotação em 
torno de X Ix.k2c
g
xx
g
cxx  g
cxx
g
xx
x
c
c
D  
Rotação em 
torno de Y Iy.k2c
g
yy
g
cyy  g
cyy
g
yy
y
c
c
D  
Rotação em 
torno de Z Iz.k2c
g
zz
g
czz  g
czz
g
zz
z
c
c
D  
 
 
6.9 Determinação das Freqüências Naturais da Fundação sem a Consideração de Modos de 
Vibração Acoplados 
 
 
6.9.1 Sem a Consideração do Amortecimento 
 
A Tabela 12 fornece as freqüências naturais desacopladas de uma fundação segundo os 
seus 6 graus de liberdade possíveis. 
-PÚBLICO-
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29 
 
Tabela 12 - Freqüências Naturais de Acordo com Cada Grau de Liberdade 
Desacopladas de uma Fundação 
 
Freqüências naturais (n) 
Deslocamento Amplitude de força excitante Fo = cte. 
Amplitude de força 
excitante Fo = mo.e.2 
Translação em X 
m
k x
nx  m
k x
nx  
Translação em Y 
m
k y
ny  m
k y
ny  
Translação em Z 
m
k z
nz  m
k z
nz  
Rotação em torno de X 
x
x
xn I
k   
x
x
xn I
k   
Rotação em torno de Y 
y
y
yn I
k 
  
y
y
yn I
k 
  
Rotação em torno de Z 
z
z
zn I
k   
z
z
zn I
k   
 
Onde: 
mé a massa (fundação + máquina); 
Ix, Iy, Iz são os momentos de massa do sistema em relação aos eixos ortogonais X, Y e Z 
passando pelo centróide da área da base; 
mo é a massa do rotor; 
e é a excentricidade da massa do rotor; 
 é a velocidade angular excitante. 
 
 
6.9.2 Com Consideração do Amortecimento 
 
 
6.9.2.1 Fatores de amortecimento, de acordo com as fórmulas na Tabela 13. 
 
-PÚBLICO-
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30 
 
Tabela 13 - Amortecimentos Críticos e Fatores de Amortecimento Segundo os 
Graus de Liberdade 
 
Amortecimento crítico (cc) e fator de amortecimento (D) 
Deslocamento Amortecimento crítico Fator de amortecimento 
Translação em X mk2c xcx  
cx
x
x C
C
D  
Translação em Y mk2c ycy  
cy
y
y C
C
D  
Translação em Z mk2c zcz  
cz
z
z C
C
D  
Rotação em torno de X mk2c xxc   
xc
x
x C
C
D

  
Rotação em torno de Y mk2c yyc   
yc
y
y C
C
D


  
Rotação em torno de Z mk2c zzc   
zc
z
z C
C
D

  
 
 
6.9.2.2 A Tabela 14 fornece os valores das freqüências naturais amortecidas, sem consideração do 
acoplamento, em função da natureza da força excitante. 
 
 
Tabela 14 - Freqüências Naturais Amortecidas de Acordo com Cada Grau de 
Liberdade 
 
Freqüências naturais amortecidas (d) 
Deslocamento Amplitude de força excitante Fo = cte. 
Amplitude de força 
excitante Fo = mo.e.2 
Translação em X 2xnxdx D1 2xnxdx D21 
Translação em Y 2ynydy D1 2ynydy D21 
Translação em Z 2znzdz D1 2znzdz D21 
Rotação em torno de X 2xxnxd D1   2xxnxd D21   
Rotação em torno de Y 2yynyd D1   2yynyd D21   
Rotação em torno de Z 2zznzd D1   2zznzd D21   
NOTA 1 As fórmulas descritas nas Tabelas 13 e 14 são velocidades angulares naturais, 
em rad/s. 
NOTA 2 As freqüências naturais obtidas através da fórmula descrita abaixo (aplicadas a todas 
as velocidades angulares) são freqüências em Hz: 
 


2
f 
 
 
 
-PÚBLICO-
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31 
 
6.10 Acoplamento dos Modos de Vibrações - Análise das Freqüências Naturais Resultantes do 
Acoplamento 
 
 
6.10.1 Para fundações comumente encontradas na prática (nem muito extensas nem muito baixas), 
os modos de vibração tendem a se acoplar, de modo a resultar em freqüências naturais distintas das 
calculadas independentemente para cada direção de oscilação. O acoplamento se processa da 
seguinte forma: 
 
a) a translação em X se acopla com a rotação em torno de Y; resultam daí 2 freqüências 
naturais finais, distintas de nx e ny; 
b) a translação em Y se acopla com a rotação em torno de X; resultam daí 2 freqüências 
naturais finais, distintas de ny e nx; 
c) os demais modos, correspondentes à translação vertical (nz) e à torção (rotação em 
torno de z: nz) permanecem independentes e inalterados. 
 
 
6.10.1.1 O acoplamento deve ser levado em consideração sempre que: 
 
a) na direção X, tivermos: 
 
f
3
2
ff
ff
ynnx
2
yn
2
nx 



 
b) na direção Y, tivermos: 
 
f
3
2
ff
ff
xnny
2
xn
2
ny 



 
 
Onde: 
f é a freqüência excitante. 
 
 
6.10.1.2 Caso contrário, os modos de translação e rotação correspondentes podem ser tratados 
separadamente, e os resultados independentes combinados adequadamente. 
 
 
6.10.2 Possíveis Modos de Vibração 
 
Modos de vibração a serem considerados para uma fundação: 
 
a) translação vertical: este modo é possível desde que haja componente de força agindo 
nesta direção; 
b) translação horizontal: este modo é possível desde que haja componente de força agindo 
nesta direção (X ou Y); 
c) rotação (em torno de X ou Y): este modo é possível desde que o ponto de aplicação da 
força horizontal esteja acima do centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) 
ou desde que haja um binário que produza um momento em torno do eixo horizontal 
(X ou Y); 
d) torção (em torno de Z): este modo é possível quando as forças horizontais formam um 
binário no plano horizontal; 
e) modos acoplados: translação em X + rotação em torno de Y; translação em Y + rotação 
em torno de X, como visto em 6.10.1. 
 
 
 
 
 
 
-PÚBLICO-
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32 
 
6.11 Cômputo das Freqüências Naturais Acopladas 
 
A Tabela 15 fornece as equações do 4o grau por meio das quais são obtidas as freqüências 
angulares naturais acopladas (com ou sem a consideração do amortecimento) 
2a
xdy
1a
xdy
2a
ydx
1a
ydx
2a
xny
1a
xny
2a
ynx
1a
ynx ,,,,,,,   em função das respectivas freqüências angulares 
naturais calculadas sem levar em conta o acoplamento. 
 
 
Tabela 15 - Velocidades Angulares Acopladas de Acordo com a Direção Pertinente 
 
Velocidades angulares acopladas 
Direção Não-amortecidas Amortecidas 
X 0)(
2222
24 

 
y
ynnx
y
ynnxa
ynx
a
ynx 0)(
2222
24 

 
y
yddx
y
yddxa
ydx
a
ydx
Y 0)(
2222
24 

 
x
xnny
x
xnnya
xny
a
xny 0)(
2222
24 

 
x
xddy
x
xddya
xdy
a
xdy
Translação 
em Z Não acopla Não acopla 
Rotação 
em torno 
de Z 
Não acopla Não acopla 
NOTA 
x
2
x
x I
)mLI(  e 
y
2
y
y I
)mLI(  
 
Onde: 
x e y é a razão entre os momentos de massa do sistema (fundação + máquina) tomados no 
centro de gravidade combinado e os respectivos momentos de massa tomados em relação 
ao centróide da área da base, em relação aos eixos X e Y; 
L é a distância da base ao centro de gravidade do sistema (fundação + máquina). 
 
 
6.12 Estimativa das Forças Dinâmicas 
 
 
6.12.1 Forças Decorrentes de Máquinas Alternativas 
 
 
6.12.1.1 Máquinas de um Único Cilindro 
 
Ver Figura 8. 
 
)t.2(cos
l
rm)t.cos(.r)mm(F
)t.(sen..r.mF
22
2
2
21x
2
1z


 
 
Onde: 
Fx é a força inercial desbalanceada que surge ao longo da direção X, isto é, ao longo da 
direção do pistão; 
Fz é a força inercial desbalanceada que surge na direção Z, isto é, na direção 
perpendicular ao movimento do pistão; 
r é o raio da manivela; 
l é o comprimento da biela; 
 
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33 
2
mm
m BM1
 
 
Onde: 
mM é a massa da manivela e mB a massa da biela. 
 
2
m
mm BP2  
 
Onde: 
mP é a massa do pistão. 
 
B
M
W
 
0
Z
1
r l 2 X
P
 
 
Figura 8 - Principais Características de um Mecanismo Alternativo - Pistão Único 
 
 
6.12.1.2 Máquinas com Mais de um Cilindro 
 
A força inercial P desenvolvida ao longo do eixo do pistão de uma máquina com um ou mais cilindros 
é dada por: 
 
)2cos(cos..10.84,2 5 
l
rfrWP   
 
Onde: 
P é a força desbalanceada (ou inercial), em libras-força (lbf) (1 libra-força = 4,4482 
N = 0,45359 kgf); 
W é o peso da parte alternativa de um cilindro, em lbf; 
r é o raio da manivela, em polegadas; 
f é a freqüência do cilindro, em rpm; 
l é o comprimento da biela, em polegadas; 
 é a inclinação entre a manivela e o eixo do pistão. 
 
 
6.12.1.2.1 A força máxima corresponde a  = 0, Assim: 
 


  
l
r1f.r.W10.84,2P 5máx 
 
Onde: 
máxima força primária (P1) = 2,84 x 10-5 W . r . f; 
máxima força secundária (P2) = P1 . r/l; 
usando como unidades o metro e o Newton ao invés da polegada e da libra-força: 
 
Para  = 0, 

  
l
r1f.r.W1011,1P 3máx 
 
 
-PÚBLICO-
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34 
6.12.1.2.2 Com relação ao peso da parte alternativa do cilindro (W), pode-se adotar: 
W = 10 000 d3, com W em newtons e d odiâmetro do pistão, em metros. [Prática Recomendada] 
 
 
6.12.1.2.3 A Figura 9 fornece os esforços primários e secundários (forças e momentos) que surgem 
em máquinas alternativas de um ou mais cilindros de acordo com diferentes arranjos de manivelas. A 
Figura 9 vale apenas para equipamentos com cilindros idênticos. 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 - Forças Desbalanceadas em Máquinas Alternativas 
 
-PÚBLICO-
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35 
 
6.12.2 Forças Desbalanceadas em Máquinas Rotativas 
 
a) a força excitante que surge devido ao funcionamento de uma máquina rotativa 
desbalanceada é dada por: 
 
2
o .e.mF  
 
Onde: 
 é a velocidade angular de operação (rad/s); 
m é a massa do rotor; 
e é a excentricidade efetiva: distância do centro de gravidade do rotor ao eixo de rotação. 
 
NOTA As componentes horizontal e vertical da força desbalanceada são dadas respectivamente 
por: 
    tsenemFetemF ozox ....cos.. 22   
 
b) quando 2 máquinas rotativas com as mesmas características e tendo o mesmo 
desbalanceamento, são acopladas uma à outra, as massas desbalanceadas em cada 
uma delas podem estar em fase como indicado na Figura 10 b), defasadas em 180º 
como mostrado na Figura 10 c), ou com qualquer outro ângulo de fase como na 
Figura 10 d); a força desbalanceada resultante no caso (b) é dada por: 
 
2...2 emF o 
 
NOTA As componentes horizontal e vertical desta resultante são dadas respectivamente por: 
    tsenemFetemF ozox ....2.cos...2 22   
 
c) para o caso dos rotores mostrados na Figura 10 c), a resultante de forças 
desbalanceadas devidas às 2 massas se cancela em qualquer tempo, mas existe um 
momento resultante M atuando perpendicularmente ao eixo. M é resultado do binário 
desenvolvido pelas forças centrífugas das 2 massas desbalanceadas e é dado por: 
 
lemM o ...
2 , 
 
Onde: 
l é a distância entre os centros de gravidade dos rotores, como indicado na Figura 10 c). 
 
NOTA As componentes do momento M nas direções horizontal, e vertical são dadas por: 
    tsenlemMetlemM ozox .....cos... 22   
 
d) quando as massas têm uma orientação semelhante à da Figura 10 d), surgem uma força 
e um momento desbalanceados. Para o projeto, deve-se assumir a pior combinação de 
cargas possível atuando sobre a fundação. A força desbalanceada será dada por: 
 
2...2 emF o e lemM o 2..  
 
e) para mais que 2 rotores em um eixo comum, os momentos e forças desbalanceadas 
resultantes devem ser obtidos de maneira similar. 
 
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36 
Z
X
Y
W mo
mo
e
e
mo
e
mo
e
mo
mo
e
mo
W
W
W
e
e
a)
b)
c)
d)
l
 
 
Figura 10 - Excentricidades de Massas Giratórias 
 
 
6.12.2.1 Avaliação do Peso do Rotor 
 
Esta informação deve ser fornecida pelo fabricante do equipamento. Na ausência desta informação, 
recomenda-se tomar para peso do rotor cerca de 18 % do peso da máquina. [Prática 
Recomendada] 
 
 
6.12.2.2 Avaliação da Excentricidade Efetiva 
 
 
6.12.2.2.1 Frequentemente a magnitude e a direção de forças desbalanceadas não são fornecidas 
pelos fabricantes de máquinas rotativas, sob alegação de que seus produtos são perfeitamente 
balanceados. Esta condição de balanceamento completo, muitas vezes atendida quando a máquina é 
nova, acaba depois de alguns anos de uso e desgaste dando lugar a excentricidades que originam os 
esforços inicialmente inexistentes. A Tabela 16 fornece valores de projeto de excentricidades para 
máquinas rotativas com freqüências de operação de até 3 000 rpm. 
 
 
Tabela 16 - Excentricidades de Desbalanceamento 
 
Velocidade de operação (rpm) Excentricidade (mm) 
750 0.178 - 0.4064 
1 500 0.1016 
3 000 0.0254 
 
-PÚBLICO-
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37 
 
6.12.2.2.2 O API (“American Petroleum Institute”) sugere a seguinte fórmula para compressores 
rotativos: 
0,1
f
12000e  
 
Onde: 
 0,5 na época da instalação ou 1,0 após alguns anos de operação; 
f é a freqüência da máquina (rpm); 
e é a excentricidade, em mil (1 mil = 0,001 polegada). 
 
 
6.12.2.2.3 Para geradores, o API sugere o descrito na Tabela 17. 
 
 
Tabela 17 - Excentricidades de Desbalanceamento - Geradores (API) 
 
Velocidade máxima (rpm) Excentricidade (mm) 
até 8 000 0.0254 
8 000 a 12 000 0.01905 
acima de 12 000 < 0.01905 
 
 
6.12.2.2.4 Para motores elétricos convencionais, o “National Electrical Manufacturers Association” 
(NEMA) indica o descrito na Tabela 18. 
 
 
Tabela 18 - Excentricidades de Desbalanceamento - Motores Elétricos (NEMA) 
 
Velocidade (rpm) Excentricidade (mm) 
3 000 - 4 000 0.0127 
1 500 - 2 999 0.01905 
1 000 - 1 499 0.0254 
< 1 000 0.03175 
 
 
6.12.2.2.5 Para motores de grande indução, o NEMA indica o descrito na Tabela 19. 
 
 
Tabela 19 - Excentricidades de Desbalanceamento - Motores de Indução (NEMA) 
 
Velocidade máxima (rpm) Excentricidade (mm) 
 3 000 0.0127 
1 500 - 2 999 0.0254 
1 000 - 1 499 0.0318 
 999 0.0381 
 
 
6.12.2.2.6 Para motores de indução do tipo “enrolamento em gaiola”, podem ser aplicados os valores 
da Tabela 20. 
 
Tabela 20 - Excentricidades de Desbalanceamento - Motores Indução (API) 
 
Excentricidade (mm) Velocidade síncrona 
(rpm) Mancais elásticos Mancais rígidos 
720 - 1 499 0.0254 0.0318 
1 500 - 3 000 0.0191 0.0254 
> 3 000 0.0127 0.0127 
-PÚBLICO-
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38 
 
6.12.2.3 Fórmulas Empíricas - DIN 4024 
 




0003
fm.g.5,0F r 
 
Onde: 
F é a máxima força desbalanceada (usualmente em KN); 
g é a aceleração da gravidade ( 10,0 m/s2); 
mr é a massa do rotor (usualmente em t); 
f é a freqüência da máquina (em rpm). 
 
NOTA A DIN 4024 estabelece também um “coeficiente de fadiga” para minimizar as tensões na 
fundação igual a 3, e toma um fator de amplificação igual a: 
12
2

 
 
Onde: 
 é a razão entre a freqüência natural da fundação e a freqüência da máquina. Com isso, 
chega-se a uma força estática equivalente: 
 






0003
fm.g.
1
.5,1F r2
2
est 
 
 
6.13 Determinação das Amplitudes de Oscilação 
 
 
6.13.1 Amplitudes de Oscilação do Centro de Gravidade do Sistema (Fundação + Máquina) 
 
 
6.13.1.1 Teoria da Constante de Mola sem Peso 
 
a) cálculo de Az (translação vertical): 
 
)(m
FA 22
nz
z
z  
 
Onde: 
Fz é a amplitude da força excitante segundo o eixo Z; 
 é a freqüência angular operacional da máquina. 
 
b) cálculo de Az (torção): 
 
)(I
MA 22
znz
z
z  
 
 
 
Onde: 
Mz é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo Z: 
c) cálculo de Ax (translação segundo X): 
  
)(
M)L.AC(F.)mLI(mgLJCL.AC
A 2
x
yx
22
yy
2
x 
  
 
 
-PÚBLICO-
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39 
 
Onde: 
A é a área da base; 
L como é definido anteriormente; 
Fx é a amplitude da força excitante segundo o eixo X; 
My é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo Y: 
x(2) é dado por: ))()(mLI(m)( 222a ynx221a ynx2y2x   . 
 
d) cálculo de Ay (translação segundo Y): 
  
)(
M)L.AC(F.)L.mI(mgLJCL.AC
A 2
y
xy
22
xx
2
y 
  
 
Onde: 
Fy é a amplitude da força excitante segundo o eixo Y; 
Mx é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo X; 
y(2) é dado por: ))()(L.mI(m)( 222a xny221a xny2x2y   . 
 
e) cálculo de Ax (rotação em torno de X): 
 
)(
M)mAC(F)L.AC(
A
2
y
x
2
y
x 
  
 
f) cálculo de Ay (rotação em torno de Y): 
 
)(
M)mAC(F)L.AC(
A
2
x
y
2
x
y 
  
 
 
6.13.1.2Teoria Elástica do Semi-Espaço 
 
a) cálculo de Az (translação vertical): 
 
2
1
222
.21


















nz
z
nz
z
z
z
Dk
FA




 (1) 
 
Onde: 
 
Fz é a amplitude da força excitante segundo o eixo X. 
 
b) cálculo de Az (torção): 
 
2
1
2
zn
z
22
zn
z
z
z
.D21k
MA


























 (2) 
 
Onde: 
Mz é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo Z. 
 
-PÚBLICO-
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40 
c) cálculo de Ax (translação segundo X): 
— devido a um momento (My): 
 
   
)(
D2
.
mLI
M
A 2
x
2
1
2
nxx
22
nx
2
y
y
x 


 
 (3) 
 
Onde: 
L como é definido anteriormente; 
My é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo Y. 
 
 
2
1
2
22
nx
y
yny22
yn
y
nx
2
y
2
yn
2
nx
y
ynnxyx
y
2
nx
2
yn24
2
x
)(
D
)(
D
4
DD4)(

















 


















 (4) 
 
— devido a uma força (Fx): 
 
   
)(
mkDLIkD4kLk'I
.
'mI
FA 2
x
2
1
2
xx
2
yyy
22
x
2
y
2
y
y
x
x 


 


 (5) 
 
Onde: 
Fx é a amplitude de força excitante segundo o eixo X; 
2
yy mLI'I  
x(2) como é definido anteriormente. 
 
 
d) cálculo de Ay (translação segundo Y): 
— devido a um momento (Mx): 
 
 
)(
)D2()(
.
mLI
MA 2
y
2
1
2
nyy
22
ny
2
x
x
y 

 (6) 
 
Onde: 
Mx é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo X; 
 
2
1
2
22
ny
x
xnx22
xn
x
nyy
2
x
2
xn
2
ny
x
xnnyxy
x
2
ny
2
xn24
2
y
)(
D
)(
D
4
DD4)(

















 

















 (7) 
 
 
— devido a uma força (Fy): 
 
-PÚBLICO-
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41 
   
)(
mkDLIkD4kLk'I
.
'mI
F
A 2
y
2
1
2
yy
2
xxx
22
y
2
x
2
x
x
y
y 


 


 
 
 
Onde: 
Fy é a amplitude de força excitante segundo o eixo y; 
2
xx mLI'I  
y(2) como é definido anteriormente. 
 
 
e) cálculo de Ax (rotação em torno de X): 
— devido a um momento (Mx): 
 
   
)(
D2
.
L.mI
MA 2
y
2
1
2
nyy
222
ny
2
x
x
x 


 
 
 
Onde: 
Mx é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo X; 
y(2) como é definido anteriormente. 
— devido a uma força (Fy): 
 
)(
)D4(
.
mLI
LF
A 2
y
2
1
2
y
2
nyny
2
x
y
x 

 
 
Onde: 
Fy é a amplitude da força excitante segundo o eixo Y; 
y(2) como é definido anteriormente. 
 
f) cálculo de Ay (rotação em torno de Y): 
— devido a um momento (My): 
 
   
)(
D2
.
mLI
M
A 2
x
2
1
2
nxx
222
nx
2
y
y
y 


 
 
 
Onde: 
My é a amplitude do momento resultante excitante em torno do eixo Y; 
x(2) como é definido anteriormente. 
 
 
 
— devido a uma força (Fx): 
 
)(
)D4(.
mLI
LFA 2
x
2
1
2
x
2
nxnx
2
y
x
y 

 
 
Onde: 
Fx é a amplitude da força excitante segundo o eixo X; 
x(2) como é definido anteriormente. 
 
-PÚBLICO-
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42 
NOTA O cômputo de Mx, My e Mz deve ser feito em relação ao centro de gravidade do sistema 
(fundação + máquina). 
 
 
6.13.2 Amplitudes de Oscilação de um Ponto Qualquer do Sistema (Fundação + Máquina) 
 
 
6.13.2.1 Definido o movimento oscilatório no centro de gravidade do sistema por meio de suas 
amplitudes (Ax, Ay, Az, Ax, Ay, Az), a amplitude de oscilação de qualquer ponto P da máquina ou da 
fundação distando h do centro de gravidade ficam determinadas através das equações: 
 
Apx = Ax + Ayhz + Azhy 
Apy = Ay + Axhz + Azhx 
Apz = Az + Axhy + Ayhx 
 
 
6.13.2.2 A Figura 11 esclarece o exposto através do exemplo de uma base com oscilação 
translacional em X e rotacional em torno de Y. 
 
 
 
Figura 11 - Oscilação Translacional em X e Rotacional em Torno de Y 
 
 
6.14 Determinação das Velocidades Eficazes 
 
 
6.14.1 Determinadas as amplitudes de oscilação (Apx, Apy, Apz) de um dado ponto P, a obtenção de 
suas componentes de velocidades máximas (vpx, vpy, vpz) se faz através das equações (velocidades 
em m/s): 
 
vpx =  . Apx 
vpy =  . Apy 
vpz =  . Apz 
 
 
Aθy 
-PÚBLICO-
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43 
Onde: 
 é a velocidade angular excitante, em rad/s. 
 
 
6.14.2 As componentes da velocidade eficaz (vefx, vefy, vefz) do ponto são calculadas através das 
equações abaixo e devem satisfazer os limites estabelecidos no item 6.15. 
 
2
v
2
A.
v
,
2
v
2
A.
v
,
2
v
2
A.
v
pzpz
efz
pypy
efy
pxpx
efx



 
 
 
6.15 Critérios de Severidade de Vibração 
 
 
Devem ser observadas as prescrições e limitações especificadas na ISO 2631, além dos itens 6.15.1 
e 6.15.2. 
 
 
6.15.1 As classificações das máquinas vibráteis e as faixas de severidade de vibração devem seguir 
as descrições dos subitens abaixo e a tabela 21, respectivamente. 
 
a) classe I: partes individuais de motores e máquinas, integralmente conectadas com a 
máquina completa na sua condição de operação normal (motores elétricos de produção 
até 15 KW são exemplos típicos de máquinas nesta categoria); 
b) classe II: máquinas de tamanho médio, (tipicamente motores elétricos de 15 KW 
até 75 KW de potência sem fundações especiais, motores ou máquinas montados 
rigidamente até 300 KW) sobre fundações especiais; 
c) classe III: máquinas motrizes grandes e outras máquinas grandes com massas rotativas 
montadas sobre fundações rígidas e pesadas, que são relativamente rígidas na direção 
de medição de vibração; 
d) classe IV: máquinas motrizes grandes e outras máquinas grandes com massas rotativas, 
montadas sobre fundações que são relativamente flexíveis na direção de medição de 
vibração (por exemplo, conjunto de turbogeradores, especialmente aqueles montados 
sobre estruturas leves); 
e) classe V: máquinas e sistemas acionadores mecânicos com forças de inércia 
não-balanceáveis (devido às partes alternativas), montados sobre fundações que são 
relativamente rígidas na direção da medição de vibração; 
f) classe VI: máquinas e sistemas acionadores mecânicos com forças de inércia 
não-balanceáveis (devido às partes alternativas), montados sobre fundações que são 
relativamente flexíveis na direção de medições de vibração; máquinas com massas 
rotativas frouxamente acopladas, tais como eixos batedores em moinho; máquinas, 
como centrífugas, com desbalanceamentos variáveis capazes de operação como 
unidades próprias sem componentes de conexão; peneiras vibratórias, máquinas de 
ensaios dinâmicos de fadiga e excitadores de vibração usados em processos industriais. 
 
 
 
-PÚBLICO-
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44 
 
Tabela 21 - Faixas de Severidade de Vibração 
 
Faixa de velocidade 
(valor eficaz da velocidade de vibração) 
mm/s Faixa de classificação 
Acima de Até 
0,11 0,071 0,112 
0,18 0,112 0,18 
0,28 0,18 0,28 
0,45 0,28 0,45 
0,71 0,45 0,71 
1,12 0,71 1,12 
1,8 1,12 1,8 
2,8 1,8 2,84,5 2,8 4,5 
7,1 4,5 7,1 
11,2 7,1 11,2 
18 11,2 18 
28 18 28 
45 28 45 
71 45 71 
 
 
6.15.2 Para avaliação do comportamento dinâmico da máquina, utilizar a tabela 22 considerando a 
faixa de severidade de vibração e a classificação da máquina. 
 
 
Tabela 22 - Faixa de Severidade de Vibração e Exemplos de suas Aplicações a 
Máquinas Pequenas (Classe I), Máquinas de Tamanho Médio (Classe II), 
Máquinas Grandes (Classe III) e Turbomáquinas (Classe IV) 
 
Faixa de severidade de vibração Exemplos de avaliação de qualidade para classes diferentes de máquinas 
Faixa Velocidade efetiva v (mm/s) nos limites da faixa Classe I Classe II Classe III Classe IV 
0,28 0,28 
0,45 0,45 
0,71 0,71 
A 
1,12 1,12 
A 
1,8 1,8 B 
A 
2,8 2,8 B 
A 
4,5 4,5 C B 
7,1 7,1 C B 
11,2 11,2 C 
18 18 C 
28 28 
45 45 
71 
D D D D 
NOTA O projeto da fundação deve ser orientado de modo que a máquina se enquadre dentro 
das faixas A ou B de comportamento. 
 
Onde: 
A é bom; 
B é satisfatório; 
C é pouco satisfatório; 
D é ruim ou não satisfatório. 
 
 
-PÚBLICO-
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45 
 
Anexo A - Simbologia 
 
 
A.1 Letras Romanas Maiúsculas 
 
A - área da base de fundação em contato com o solo; 
 - amplitude de deslocamento; 
Ax - amplitude de translação no centro de gravidade do sistema (fundação + 
máquina) segundo o eixo X (geralmente em m); 
Ay - amplitude de translação no centro de gravidade do sistema (fundação + 
máquina) segundo o eixo Y (geralmente em m); 
Az - amplitude de translação no centro de gravidade do sistema (fundação + 
máquina) segundo o eixo Z (geralmente em m); 
Ax - amplitude de rotação no centro de gravidade do sistema (fundação + 
máquina) em torno do eixo X (usualmente em rad); 
Ay - amplitude de rotação no centro de gravidade do sistema (fundação + 
máquina) em torno do eixo Y (usualmente em rad); 
Az - amplitude de rotação no centro de gravidade do sistema (fundação + 
máquina) em torno do eixo Z (usualmente em rad); 
APx - amplitude de oscilação do ponto P de uma fundação ou máquina segundo 
o eixo X (usualmente em m); 
APy - amplitude de oscilação do ponto P de uma fundação ou máquina segundo 
o eixo Y (usualmente em m); 
APz - amplitude de oscilação do ponto P de uma fundação ou máquina segundo 
o eixo Z (usualmente em m); 
B: - dimensão em planta de uma base ou fundação (usualmente em m); 
Bx - razão de massa a translação segundo o eixo X (adimensional); 
By - razão de massa a translação segundo o eixo Y (adimensional); 
Bz - razão de massa a translação segundo o eixo Z (adimensional); 
Bx - razão de massa a rotação em torno do eixo X (adimensional); 
By - razão de massa a rotação em torno do eixo Y (adimensional); 
Bz - razão de massa a rotação em torno do eixo Z (adimensional); 
Cu - coeficiente de compressão elástica uniforme (em KN/m3); 
C - coeficiente de cisalhamento elástico uniforme (em KN/m3); 
C - coeficiente de compressão elástica não uniforme (em KN/m3); 
C - coeficiente de cisalhamento elástico não uniforme (em KN/m3); 
D - fator de amortecimento (adimensional); 
Dx, Dy, Dz - fatores de amortecimento segundo translações em X, Y e Z 
(adimensionais); 
Dx, Dy, Dz - fatores de amortecimento segundo rotações em torno de X, Y e Z 
(adimensionais); 
E - módulo de elasticidade do solo (em KN/m2); 
Ep - módulo de elasticidade de uma estaca (em KN/m2); 
F - amplitude de força excitante (em KN); 
Fx, Fy, Fz - componentes da amplitude de força excitante segundo os eixos X, Y e Z 
(em KN); 
G, Gs - módulo de cisalhamento do solo (em KN/m2); 
Ip - momento de inércia de uma estaca (em m4); 
I - momento de massa (em t.m2); 
Ix, Iy, Iz - momentos de massa do conjunto (fundação + máquina) em relação aos 
eixos X, Y e Z (usualmente em t.m2); 
J - momento de inércia (em m4); 
Jx, Jy, Jz - momentos de inércia da área da base em relação aos eixos X, Y e Z, 
respectivamente (em m4); 
L - distância do centro de gravidade do sistema (fundação + máquina) em 
relação à base da fundação (em m); 
M - momento, amplitude de momento excitante (em KN.m); 
Mx, My, Mz - componentes da amplitude de momento excitante em torno dos eixos X, Y 
e Z (em KN.m); 
N - fator de amplificação (adimensional); 
-PÚBLICO-
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46 
O - origem do sistema de coordenadas retangulares XYZ; 
P - ponto genérico de uma fundação ou máquina; 
V - amplitude de velocidade (em m/s); 
Vs - velocidade de onda transversal ou cisalhante no solo (em m/s); 
Vx, Vy, Vz - componentes da amplitude de velocidade devido à oscilação de um ponto 
genérico segundo os eixos X, Y e Z; 
X, Y, Z - eixos coordenados retangulares; 
W - peso (em KN). 
 
 
A.2 Letras Romanas Minúsculas 
 
a - dimensão (usualmente em m); 
ax, ay, az - dimensões de uma base ou fundação de máquina segundo os eixos 
X, Y e Z; 
b - dimensão (em m); 
c - constante de amortecimento (usualmente em N.s/m); 
c’x, c’y, c’z - constantes de amortecimento à translação de uma estaca segundo 
os eixos X, Y e Z; 
c’ - constante de amortecimento à rotação de uma estaca (em 
N.m.s/rad); 
c’x, c’y - constantes cruzadas de amortecimento de uma estaca (usualmente 
em N.s/rad); 
c’ - constante de amortecimento à torção de uma estaca (em N.m.s/rad); 
cgx, cgy - constantes de amortecimento horizontais de um grupo de estacas 
(em N.s/m); 
cgz - constante de amortecimento vertical de um grupo de estacas; 
cgxx, cgyy, cgzz - constantes de amortecimento à rotação de um grupo de estacas em 
torno dos eixos X, Y e Z, respectivamente (usualmente em 
N.m.s/rad); 
cc - amortecimento crítico; 
d - diâmetro de uma estaca; 
e - excentricidade da massa de um rotor (em m); 
f - freqüência operacional; freqüência excitante (usualmente em Hz); 
fx1, fpx1, fz1, f1, fx1 - parâmetros de rigidez para estacas (adimensionais); 
fx2, fpx2, fz2, f2, fx2 - parâmetros de amortecimento para estacas (adimensionais); 
fck - resistência característica do concreto da base (usualmente em MPa); 
fn - freqüência natural (em Hz); 
fnx, fny, fnz - freqüências naturais para translações segundo X, Y e Z do sistema 
(fundação + máquina) (em Hz); 
fnx, fny, fnz - freqüências naturais para rotações em torno dos eixos X, Y e Z do 
sistema (fundação + máquina) (usualmente em Hz); 
fd - freqüência natural amortecida (em Hz); 
fdx, fdy, fdz - freqüências naturais amortecidas para translações segundo X, Y e Z 
do sistema (fundação + máquina) (em Hz); 
fdx, fdy, fdz - freqüências naturais amortecidas para rotações em torno dos eixos X, 
Y e Z do sistema (fundação + máquina) (em Hz); 
g - aceleração da gravidade ( 10,0 m/s2); 
h - distância entre um determinado ponto e o centro de gravidade do 
sistema (fundação + máquina) (em m); 
hx, hy, hz - projeções segundo os eixos X, Y e Z da distância entre determinado 
ponto da máquina ou fundação e o centro de gravidade do sistema 
(fundação + máquina) (usualmente em m); 
k - constante de mola (em KN/m); 
kx, ky, kz - constantes de mola (ou rigidezes) à translação de uma fundação 
segundo os eixos X, Y e Z. (usualmente em KN/m); 
kx, ky, kz - constantes de mola (ou rigidezes) à rotação de uma fundação em 
torno dos eixos X, Y e Z; 
k’x, k’y, k’z - constantes de mola à translação do topo de uma estaca segundo os 
eixos X, Y e Z (usualmente em KN/m); 
k’ - constante de mola à rotação do topo de uma estaca (em KN.m/rad); 
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47 
k’x, k’y - constantes cruzadas de mola de uma estaca (usualmente em KN/rad 
ou KN.m/m); 
k’ - constante de mola à torção de uma estaca (em KN.m/rad); 
kgx, kgy - constantes de mola horizontais de um grupo de estacas (usualmente 
em KN/m); 
kgz - constante de mola vertical de um grupo de estacas (usualmente em 
KN/m); 
kgxx, kgyy, kgzz -constantes de rigidez à rotação de um grupo de estacas em torno dos 
eixos X, Y e Z. (em KN.m/rad); 
l - vão; distância; comprimento de uma estaca; 
m - massa do sistema (fundação + máquina) (usualmente em t); 
mo - massa do rotor; 
n - número de estacas de uma fundação; 
rx, ry, rz - raios equivalentes da área de contato da fundação com o solo para 
efeito de translação do sistema (fundação + máquina) segundo os 
eixos X, Y e Z (em m); 
rx, ry, rz - raios equivalentes da área de contato da fundação com o solo para 
efeito de rotação do sistema (fundação + máquina) em torno dos 
eixos X, Y e Z (em m); 
ro - raio da seção da estaca (usualmente em m); 
s - espaçamento entre eixos de estacas (em m); 
t - tempo (usualmente em s); 
v - velocidade (em m/s); 
vp - amplitude da velocidade de vibração de um determinado ponto do 
sistema (fundação + máquina) (usualmente em m/s ou mm/s); 
vpx, vpy, vpz componentes da velocidade máxima de vibração de um determinado 
ponto do sistema (fundação + máquina) segundo os eixos X, Y e Z 
(em m/s ou mm/s); 
vef - velocidade eficaz ou velocidade média quadrática (usualmente em 
m/s ou mm/s); 
vef x, vef y, vef z - componentes da velocidade média quadrática de um determinado 
ponto do sistema (fundação + máquina) segundo os eixos X, Y e Z; 
x, y, z - ordenadas de uma partícula constitutiva do sistema (fundação + 
máquina) em relação aos eixos X, Y e Z. 
 
 
A.3 Letras Gregas Maiúsculas 
 
x (2) - expressão que é função da freqüência angular operacional e que é 
utilizada no cálculo das amplitudes de vibração do sistema (fundação 
+ máquina) segundo o eixo X; 
y (2) - expressão que é função da freqüência angular operacional, que é 
utilizada no cálculo das amplitudes de vibração do sistema (fundação 
+ máquina) segundo o eixo Y; 
 - somatório. 
 
 
A.4 Letras Gregas Minúsculas 
 
 - razão entre dimensões da base em planta (adimensional); 
a - coeficiente de Poulos (adimensional); 
 - razão entre a freqüência natural da fundação e a freqüência da 
máquina; 
 - peso específico (usualmente em KN/m3); 
x, y - razão entre os momentos de massa do sistema (fundação + máquina) 
tomados no centro de gravidade combinado e os respectivos 
momentos de massa tomados em relação ao centróide da área da 
base, em relação aos eixos X e Y; 
 - rotação; deslocamento angular (usualmente em rad); 
x, y, z - rotações ou deslocamentos angulares do sistema em torno dos eixos 
X, Y e Z; 
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 - coeficiente de Poisson do solo (adimensional); 
 - pi ( 3,1416); 
 - massa específica do solo (usualmente em t/m3); 
 - tensão no terreno exercida pela fundação (usualmente em MPa); 
adm - tensão admissível do solo (em MPa); 
 - tensão cisalhante exercida no terreno (em MPa); 
 - rotação; deslocamento angular devido à flexão do elemento 
considerado (em rad); 
 - rotação; deslocamento angular devido à torção do elemento 
considerado (em rad); 
 - freqüência ou velocidade angular; freqüência angular operacional da 
máquina (em rad/s); 
n - freqüência angular natural (em rad/s ou Hz); 
nx, ny, nz - freqüências angulares naturais para translações segundo X, Y e Z do 
sistema (fundação + máquina) (usualmente em rad/s ou Hz); 
nx, ny, nz - freqüências angulares naturais para rotações em torno dos eixos X, Y 
e Z do sistema (fundação + máquina) (usualmente em rad/s ou Hz); 
d - freqüência angular natural amortecida (em rad/s ou Hz); 
dx, dy, dz - freqüências angulares naturais amortecidas para translações 
segundo X, Y e Z do sistema (fundação + máquina) (usualmente em 
rad/s ou Hz); 
dx, dy, dz - freqüências angulares naturais amortecidas para rotações em torno 
dos eixos X, Y e Z do sistema (fundação + máquina) (usualmente em 
rad/s ou Hz); 
a1nxy, a2nxy - velocidades ou freqüências angulares naturais não-amortecidas 
resultantes do acoplamento entre a translação segundo X e a rotação 
em torno de Y do sistema (fundação + máquina) (usualmente em 
rad/s ou Hz); 
a1nyx, a2nyx - velocidades ou freqüências angulares naturais não-amortecidas 
resultantes do acoplamento entre a translação segundo Y e a rotação 
em torno de X do sistema (fundação + máquina) (usualmente em 
rad/s ou Hz); 
a1dxy, a2dxy - velocidades ou freqüências angulares naturais amortecidas 
resultantes do acoplamento entre a translação segundo X e a rotação 
em torno de Y do sistema (fundação + máquina) (usualmente em 
rad/s ou Hz); 
a1dyx, a2dyx - velocidades ou freqüências angulares naturais amortecidas 
resultantes do acoplamento entre a translação segundo Y e a rotação 
em torno de X do sistema (fundação + máquina) (usualmente em 
rad/s ou Hz). 
 
NOTA Usualmente, o termo freqüência (f) é utilizado quando do emprego de unidades como hertz 
ou o rpm. A freqüência angular se determina correntemente em termos de 
radianos/segundo. Neste caso, com f em Hz e  em rad/s, tem-se a relação: 
 


2
f . 
 
 
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IR 1/2 
 
ÍNDICE DE REVISÕES 
REV. A 
Não existe índice de revisões. 
REV. B 
Partes Atingidas Descrição da Alteração 
Todas Revisadas 
REV. C 
Partes Atingidas Descrição da Alteração 
5.1, 5.2, 5.3 e 5.4 Renumerados 
5.5, 5.6 e 5.7 Excluídos 
6. Alteração de conteúdo 
6.1 Renumerado 
6.1.1 a 6.1.3 Renumerado antigo 6.3.1 a 6.3.4 
6.2 Renumerado com alteração de conteúdo do antigo 6.6 
6.3 Alterado 
6.4 e 6.5 Manteve a numeração, com alteração de conteúdo 
6.6 Renumerado, antigo 6.7, com alteração de conteúdo 
6.7 Renumerado, antigo 6.8, com alteração de conteúdo 
6.8 Renumerado, antigo 6.9, com alteração de conteúdo 
6.9 Renumerado, antigo 6.10, com alteração de conteúdo 
6.10 Renumerado, antigo 6.11, com alteração de conteúdo 
6.11 Renumerado, antigo 6.12, com alteração de conteúdo 
6.12 Renumerado, antigo 7, com alteração de conteúdo 
7 Excluído 
Tabela 2 Renumerado, antiga tabela 4 
Tabela 3 Renumerado, antiga tabela 7 
Tabela 4 Renumerado, antiga tabela 5 
Tabela 5 Renumerado, antiga tabela 6 
Tabela 6 Renumerado, antiga tabela 8 
Tabela 7 Renumerado, antiga tabela 9 
Tabela 8 Renumerado, antiga tabela 10 
Tabelas de 9 a 22 Renumerado na sequencia 
 
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IR 2/2 
 
REV. C 
Partes Atingidas Descrição da Alteração 
Figura 1,2 e 3 Renumeradas antigas 5, 6 e 7 respectivamentes 
Figura 4,5, e 6 Renumeradas antigas 1, 2, 3 e 4 respectivamentes 
Figura 8,9, 10 e 11 Renumeradas antigas 9, 10, 11,4