LISTA 3 - EXERCICIOS RESOLVIDOS MECANICA DOS FLUIDOS

Prévia do material em texto

Manometria – Equação manométrica 
Regra apresentada em Brunetti (2005): 
Fonte: (Brunetti, 2005) 
Questão 1 - Um manômetro é usado para medir a pressão de um tanque pressurizado. O fluido 
utilizado possui gravidade específica de 0,85 e a coluna de água do manômetro é de 55cm. Se 
a pressão atmosférica local é de 96kPa, determine a pressão absoluta no tanque. 
 
Fonte: (Çengel, 2015) 
 
Resolução 
 
Primeiramente, precisamos descobrir o valor da Massa Específica do fluido manométrico, 
utilizando o valor da Gravidade Específica, através da equação: 
 
𝑆𝐺 = 𝜌𝑟 =
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝜌𝐻2𝑂
 → 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑆𝐺 ∙ 𝜌𝐻2𝑂 = 0,85 × 1.000 𝑘𝑔/𝑚³ 
 
→ 𝝆𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 = 𝟖𝟓𝟎 𝒌𝒈/𝒎³ 
 
 
Onde: 
𝑆𝐺 = 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 (𝐴𝑑𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 
𝜌𝐻2𝑂 = 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎 (𝑘𝑔/𝑚³) 
 
Seguindo a regra apresentada em Brunetti, temos que: 
 
 
𝑃 − 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = 𝑃𝑎𝑡𝑚 → 𝑃 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ∙ 𝑔 ∙ ℎ + 𝑃𝑎𝑡𝑚 
 
→ 𝑃 = 850 𝑘𝑔/𝑚³ × 9,81 𝑚/𝑠² × 0,55 𝑚 + 96 𝑘𝑃𝑎 → 𝑷 = 𝟏𝟎𝟎, 𝟓𝟖𝟔 𝒌𝑷𝒂 
 
 
Observe que outra maneira de solucionar a questão é utilizando o Peso Específico, que também 
poderia ser encontrado pela equação da Gravidade Específica. Se realizado dessa forma, haveria 
uma pequena diferença no valor final, mas que poderia ser desconsiderada. A equação ficaria 
da seguinte forma: 𝑃 − 𝛾𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ∙ ℎ = 𝑃𝑎𝑡𝑚. 
 
Questão 2 – Medição de pressão com um manômetro de vários fluidos. A água de um tanque 
é pressurizada a ar, e a pressão é medida por um manômetro de vários fluidos. O tanque está 
localizado em uma montanha a uma altitude de 1400m, onde a pressão atmosférica é de 
85,6kPa. Determine a pressão do ar no tanque se h1=0,1m; h2=0,2m e h3 =0,35m. Considere 
as densidades da água, do óleo e do mercúrio, respectivamente: 1000kg/m3; 850 kg/m3; 
13.600 kg/m3. 
 
Fonte: (Çengel, 2015) 
 
Resolução 
 
Seguindo a regra apresentada em Brunetti, temos que: 
 
 
𝑃𝑎𝑟 + 𝜌𝐻2𝑂 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 + 𝜌ó𝑙𝑒𝑜 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 − 𝜌𝐻𝑔 ∙ 𝑔 ∙ ℎ3 = 𝑃2 
 
→ 𝑃𝑎𝑟 = 𝑃2 − 𝜌𝐻2𝑂 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 − 𝜌ó𝑙𝑒𝑜 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 + 𝜌𝐻𝑔 ∙ 𝑔 ∙ ℎ3 
 
→ 𝑃𝑎𝑟 = 𝑃2 + 𝑔 ∙ (−𝜌𝐻2𝑂 ∙ ℎ1 − 𝜌ó𝑙𝑒𝑜 ∙ ℎ2 + 𝜌𝐻𝑔 ∙ ℎ3) 
 
→ 𝑃𝑎𝑟 = 85,6 𝑘𝑃𝑎 + 9,81 𝑚/𝑠² × (−1000 𝑘𝑔/𝑚³ × 0,1 𝑚 − 850 𝑘𝑔/𝑚³ × 0,2 𝑚
+ 13.600 𝑘𝑔/𝑚³ × 0,35 𝑚) 
 
→ 𝑷𝒂𝒓 = 𝟏𝟐𝟗, 𝟔𝟓 𝒌𝑷𝒂 
 
Observe que a pressão no ponto 2 (𝑃2) é a própria pressão atmosférica local. 
 
Questão 3 – Determine P1 – P2: 
 
Fonte: (Çengel, 2015) 
 
Resolução 
 
Seguindo a regra apresentada em Brunetti, temos que: 
 
𝑃1 + 𝜌1 ∙ 𝑔 ∙ (𝑎 + ℎ) − 𝜌2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ − 𝜌1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑎 = 𝑃2 
 
→ 𝑃1 − 𝑃2 = −𝜌1 ∙ 𝑔 ∙ (𝑎 + ℎ) + 𝜌2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ + 𝜌1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑎 
 
→ 𝑃1 − 𝑃2 = −𝜌1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑎 − 𝜌1 ∙ 𝑔 ∙ ℎ + 𝜌2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ + 𝜌1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑎 
 
→ 𝑃1 − 𝑃2 = −𝜌1 ∙ 𝑔 ∙ ℎ + 𝜌2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ → 𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 = 𝒈 ∙ 𝒉 ∙ (𝝆𝟐 − 𝝆𝟏) 
 
Observe que a parte inclinada do manômetro não interfere na equação, pois, para fluidos 
incompressíveis, o que altera a pressão é a cota (dentro da coluna de fluido) em que se encontra 
o ponto analisado. 
 
Questão 4 – No manômetro diferencial da figura, o fluido A é água, B é óleo e o fluido 
manométrico é mercúrio. Sendo h1=25cm, h2=100cm, h3=80cm e h4=10cm, qual é a 
diferença de pressão PA – PB em Kpa? ℽH20=10000 N/m3 ℽHg= 136000N/m3 ℽóleo = 
8000 N/m3. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
Seguindo a regra apresentada em Brunetti, temos que: 
 
𝑃𝐴 + 𝛾𝐻2𝑂 ∙ ℎ1 + 𝛾𝐻𝑔 ∙ ℎ2 − 𝛾ó𝑙𝑒𝑜 ∙ ℎ3 = 𝑃𝐵 
 
→ 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = −𝛾𝐻2𝑂 ∙ ℎ1 − 𝛾𝐻𝑔 ∙ ℎ2 + 𝛾ó𝑙𝑒𝑜 ∙ ℎ3 
 
→ 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = −10.000 𝑁/𝑚³ × 0,25 𝑚 − 136.000 𝑁/𝑚³ × 1,00 𝑚
+ 8.000 𝑁/𝑚³ × 0,80 𝑚 
 
→ 𝑷𝑨 − 𝑷𝑩 = −𝟏𝟑𝟐, 𝟏 𝒌𝑷𝒂 
 
Observe que o resultado negativo indica que 𝑃𝐵 é superior à 𝑃𝐴. Isto pode ser averiguado pela 
figura, em que o fluido manométrico se desloca em direção ao fluido A, sendo “empurrado” pelo 
fluido B. 
Diferentemente das questões anteriores, a equação manométrica utilizou os Pesos Específicos 
dos fluidos, em vez de suas Massas Específicas. No entanto, note que ambas as formas são 
equivalentes, uma vez que: 𝛾 = 𝜌 ∙ 𝑔. 
 
Questão 5 - Considere um manômetro de fluido duplo preso a um tubo de ar, como mostrado 
na figura. Se a gravidade específica de um fluido for 13,55, determine a gravidade específica 
do outro fluido para a pressão absoluta indicada do ar. Tome a pressão atmosférica como 
100kPa. (Considere a massa específica da água igual a 1000 kg/m3). 
 
Fonte: (Çengel, 2015) 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
Primeiramente, precisamos descobrir o valor da Massa Específica do fluido manométrico 
conhecido, utilizando o valor da Gravidade Específica, através da equação: 
 
𝑆𝐺 = 𝜌𝑟 =
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝜌𝐻2𝑂
 → 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑆𝐺 ∙ 𝜌𝐻2𝑂 
 
Dessa forma: 
 
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜1
= 𝑆𝐺1 ∙ 𝜌𝐻2𝑂 = 13,55 × 1.000 𝑘𝑔/𝑚
3 → 𝝆𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐𝟏
= 𝟏𝟑. 𝟓𝟓𝟎 𝒌𝒈/𝒎³ 
 
Para encontrar a Gravidade Específica do outro fluido manométrico, precisamos seguir a regra 
utilizada por Brunetti para pressões manométricas, dada por: 
 
𝑃 + 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜1 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 − 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 
 
→ 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜2
=
𝑃 + 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜1
∙ 𝑔 ∙ ℎ1 − 𝑃𝑎𝑡𝑚
𝑔 ∙ ℎ2
 
 
→ 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜2 =
76 𝑘𝑃𝑎 + (13.550 𝑘𝑔/𝑚³ × 9,81 𝑚/𝑠² × 0,22 𝑚) − 100 𝑘𝑃𝑎
9,81 𝑚/𝑠² × 0,40 𝑚
 
 
→ 𝝆𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐𝟐
= 𝟏. 𝟑𝟑𝟔 𝒌𝒈/𝒎³ 
 
Agora podemos encontrar a Gravidade Específica do fluido através da equação: 
 
𝑆𝐺2 =
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜2
𝜌𝐻2𝑂
=
1.336 𝑘𝑔/𝑚³
1.000 𝑘𝑔/𝑚³
 → 𝑺𝑮𝟐 = 𝟏, 𝟑𝟑𝟔 
 
Questão 6 -Exercício manômetro inclinado. Considerando fluidos diferentes, determinar PA – 
PD 
 
 
 
Resolução 
Analisando o segmento L do manômetro e aplicando ao Teorema de Stevin (Pág. 19 do livro do 
Brunetti – 2ª Ed.), temos que: 
𝑝𝐵 − 𝑝𝐶 = 𝛾2 ∙ (ℎ1 + ℎ2) 
Adotando ℎ2 como a diferença de cota entre o ponto A e o ponto C e sabendo que 𝑝𝐴 = 𝑝𝐵 e 
𝑝𝐶 = 𝑝𝐷 (dados na questão), então temos: 
𝑝𝐴 − 𝑝𝐷 = 𝛾2 ∙ (ℎ1 + ℎ2) 
Pela figura, podemos analisar a triangulação do segmento L, de maneira que: 
 
 
Pelo triângulo, podemos concluir que: 
sin 𝜃 =
ℎ1 + ℎ2
𝐿
 → ℎ1 + ℎ2 = sin 𝜃 ∙ 𝐿 
Assim: 
𝒑𝑨 − 𝒑𝑫 = 𝜸𝟐 ∙ 𝑳 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 
 
 
Resolver exercícios dos problemas resolvidos e exercícios propostos dos Livros Çengel; 
Brunetti e Munson. 
L 
h1 + h2 
θ