Estatística Aplicada - Material Complementar

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ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Celso Ribeiro Campos
Teoria elementar da probabilidade
1) Dois processadores, tipos A e B, são 
colocados em teste em dois 
computadores diferentes. A 
probabilidade de que o processador A 
apresente defeito é de 1/30, enquanto a 
probabilidade de que o processador Bprobabilidade de que o processador B 
apresente defeito é de 1/80. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de que ambos os 
processadores apresentem defeito nesse 
teste?
b) Qual a probabilidade de que nenhum 
processador apresente defeito nesse 
teste?
Solução
a) Trata-se de eventos independentes:
P(A e B) = P(A)*P(B) = 1/30 * 1/80 = 1/2400
b) Probabilidade de A não apresentar 
defeito = 1 – 1/30 = 29/30
Probabilidade de B não apresentarProbabilidade de B não apresentar 
defeito = 1 – 1/80 = 79/80
Probabilidade de ambos não 
apresentarem defeito = 29/30 * 79/80 = 
2291/2400
Teoria elementar da probabilidade
2) Dois alunos, A e B, vão resolver, 
individualmente, um exercício de 
Estatística. A probabilidade do aluno A 
acertar o exercício é 3/5 e, do aluno B é 
4/7. Qual a probabilidade de que A ou B 
acertem o exercício?acertem o exercício?
Solução
 São eventos quaisquer, pois nada 
impede que ambos acertem o problema. 
Assim, P (A ou B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
 P(A∩B) = P(A) * P(B) = 3/5 * 4/7 = 12/35
Logo, temos:Logo, temos:
 P(AouB) = 3/5 + 4/7 – 12/35 = 
(21+20-12)/35 = 29/35.
Esperança matemática
3) Uma seguradora cobra $1.000 pelo 
seguro de um automóvel. Considere que 
ela paga $30.000,00 em caso de acidente 
de carro e que a probabilidade de que 
um carro sofra acidente é de 3%. Qual é 
o lucro esperado da seguradora poro lucro esperado da seguradora por 
carro?
Solução
 Se não houver acidente, a seguradora 
lucra $1.000
 Se houver acidente, a seguradora tem 
um prejuízo igual a 1.000 – 30.000 = -
$29.000
 A probabilidade de haver acidente é de 
3%, portanto a probabilidade de não 
haver acidente é de 97%.
Assim, o resultado esperado da seguradora 
é:é:
E = 1.000*0,97 + (-29.000*0,03) = 970 + (-870)
E = $100
Interatividade
Um casal planeja ter 2 filhos. Qual a 
probabilidade de que os 2 sejam homens?
a) 1/2
b) 1/4
c) 1/6c) 1/6
d) 1/8
e) 1/3
Solução
 Dois filhos são eventos independentes.
 A probabilidade do primeiro filho ser 
homem é 1/2.
 A probabilidade do segundo filho ser 
homem também é 1/2.homem também é 1/2.
 Sendo assim, a probabilidade de ambos 
serem homens é 1/2 * 1/2 = 1/4
 Alternativa B
Distribuição binomial
4) Numa determinada cidade, estima-se que 
20% de seus habitantes desenvolve 
algum tipo de alergia. Calcule, para uma 
empresa com 10 funcionários, a 
probabilidade de que nenhum deles 
desenvolva alergiadesenvolva alergia.
Solução
n = 10
k = 0
p = 0,2
q = 1 – 0,2 = 0,8 Knk qpk
n
P 




P = 1*0,20*0,810-0 = 0,810 = 0,107 ou 10,7%
  1!010!0
!10
0 
10 




 !!
!
knk
n
k
n




Distribuição binomial
5) Em média, 5% dos produtos vendidos 
por uma loja são devolvidos. Qual a 
probabilidade de que, das seis próximas 
unidades vendidas desse produto, 
exatamente duas sejam devolvidas?
Solução
n = 6
k = 2
p = 0,05
q = 0,95
R t 3%
  152
30
!42
!456
!26!2
!6 




k
n
03,08145,00025,01595,005,015 262  p
Resposta: 3%
Distribuição normal
6) Numa certa região, o peso de um recém-
nascido é uma variável aleatória com 
distribuição normal, apresentando média 
de 3,2 kg e desvio padrão de 0,6 kg. Um 
recém nascido é selecionado 
aleatoriamente Qual a probabilidadealeatoriamente. Qual a probabilidade 
dele ter um peso superior a 4 kg?
Solução
 Você precisará da tabela da curva normal 
para resolver esse problema.
 Observe abaixo o gráfico que representa 
o problema:
Solução
A variável transformada z é:
33,1
6,0
8,0
6,0
2,34 
S
xxz i
 Na tabela da curva normal, esse número 
corresponde a 4082 ou 40,82%. Esse 
valor corresponde à área verde.
A resposta do problema é a área cinza, ou 
seja:
 50 – 40,82 = 9,18%
Interatividade
Uma certa categoria profissional tem seus 
salários distribuídos normalmente, com 
média R$2.800,00 e desvio padrão de 
R$500,00. Um profissional dessa categoria 
é selecionado ao acaso. Qual a 
probabilidade dele ter salário menor queprobabilidade dele ter salário menor que 
R$2.800,00?
a) 30%
b) 40%
c) 50%c) 50%
d) 60%
e) 70%
Solução
 A probabilidade de uma variável, em 
distribuição normal, assumir um valor 
menor que a média é de 50%, assim 
como é de 50% a probabilidade dela ser 
maior que a média.
 Resposta: alternativa C 
Estimação
7) Em uma amostra de 20 impressoras, a 
duração média do tonner foi de 700 
páginas, com desvio padrão de 50 
páginas. Com base nesses dados, estime 
a duração média desse tipo de tonner, 
considerando um intervalo de confiançaconsiderando um intervalo de confiança 
de 95%.
Solução
 Trata-se de um exercício de estimação 
de média populacional, sendo que 
consideraremos a população infinita.
A fórmula para essa estimação é:

 O valor de zc para 95% de confiança é 
1,96 (dado em tabela).
N
zx c
 
O cálculo fica então assim:
Solução
472,4
98700
20
5096,1700 
92100 9,21700
Solução
472,4
98700
20
5096,1700 
9,21700
 Ou seja, a duração do tonner será entre 
678 e 722 páginas, com 5% de 
probabilidade de erro. 
Estimação
8) Numa empresa foi retirada uma amostra 
de 100 funcionários, escolhidos 
aleatoriamente com reposição, e foi 
medido o nível de colesterol no sangue 
deles. O resultado mostrou que 30 
apresentavam nível alto de colesterolapresentavam nível alto de colesterol. 
Com esses dados, estime a proporção de 
funcionários com colesterol alto nessa 
empresa, considerando um nível de 
confiança de 95%.
Solução
Trata-se de uma estimação de proporção da 
população, cuja fórmula é:
N
qpzPp c

 P é a proporção da amostra, ou seja, 
30/100 = 0,3.
 O valor de zc para 95% de confiança é 
1,96.
 q = 1 – p = 1 – 0,3 = 0,7
 O tamanho da amostra é N = 100 
Solução
Assim, temos:
04583,096,13,0
100
7,03,096,13,0 p
09,03,0 p
Ou seja, a proporção é 30  9%, com 
probabilidade de erro de 5%.
Interatividade
Uma amostra com 100 itens de um certo 
produto apresentou peso médio de 20kg, 
com desvio padrão de 1kg. O intervalo de 
confiança de 95% para o peso médio 
desses itens é:
a) 20  1,96kg
b) 20  0,196 kg
c) 20  19,6kg
d) 20  0,392kg 
e) 20  3,92kg
Solução
O intervalo de confiança é:
196,020
10
96,120
100
196,120 
 Alternativa B
Correlação e regressão
 Os dados da tabela a seguir 
correspondem às variáveis renda familiar 
e gasto com alimentação numa amostra 
de 7 famílias, representadas em salários 
mínimos.
Correlação e regressão
Renda Gastos com 
alimentação
3 1,5
5 25 2
7 3
10 6
15 8
20 10
25 12
Correlação e regressão
9) Calcule o coeficiente de correlação 
linear de Pearson para os dados da 
tabela.
Solução
Da tabela, temos:
 ΣX = 85
 ΣY = 42,5
 ΣXY = 715,5
 ΣX² = 1433
 ΣY² = 359,25
 n = 7
     
YXXYnr       ²².²². YYnXXnr 
99,0
98,1409
1396 r
Correlação e regressão
10) Para a tabela anterior, obtenha a 
equação de regressão linear pelo 
método dos mínimos quadrados.
Solução
 A equação de regressão é Y = a + b.X
 ²² XXn
YXXYnb 

497501396b 4975,0
2806
1396 b
n
XbYa 
21200
 Logo, temos: Y = 0,0303 + 0,4975.X
0303,0
7
2120,0 a
InteratividadeSuponha que queremos estudar a 
correlação entre as variáveis vendas (V) e 
gastos com propaganda (G). Nesse 
contexto, pode-se dizer que a variável 
dependente é:
a) V
b) G
c) V ou G, tanto faz
d) V e G, as duas são dependentes
e) Nem V nem G são dependentes pois não 
se correlacionam
Solução
 As vendas dependem dos gastos com 
propaganda, portanto a variável 
dependente é vendas (V).
 Resposta: alternativa A
ATÉ A PRÓXIMA!