Numeros Reais

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO CARIRI 
CAMPUS CRATO
LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
MATEMÁTICA INSTRUMENTAL
CONJUNTOS DOS 
NÚMEROS REAIS
Noções preliminares: Números reais
O sistema de numérico da Matemática começou com os números usados para contar, a saber:
1, 2, 3, 4, ... Estes são os números naturais. Esse conjunto, originalmente tinha a capacidade de 
representar “todas” as quantidades. A representação geométrica dos números naturais pode ser pensada 
como pontos sobre uma semi-reta, em que cada ponto é separado do anterior por uma unidade de 
comprimento. Sua representação algébrica é dada na forma de conjunto, denotada por 
1,2,3,4,5,6,7,8,9,...= . 
Um membro de um conjunto de números é chamado elemento do conjunto. 
O quadro a seguir fornece a notação usada para indicar a relação de pertinência entre um 
número x qualquer e um conjunto numérico A. 
Notação Significado Exemplos 
Ax x é um elemento de A 
x pertence a A 
N9876543
Ax x não é um elemento de A 
x não pertence a A 
N15,1
N−5
O conjunto dos números naturais é fechado em relação à soma e à multiplicação, isto é, 
NyxeNyxNyx + .,
O símbolo  significa “para todo” ou “qualquer que seja”. 
Como uma extensão do conjunto dos números naturais, pois neste não é possível, por exemplo, 
fazer operações de subtração entre todos os seus elementos, uma vez que se podem obter números fora 
do conjunto- operação de subtração não é fechada nos naturais. Surgem então, os números inteiros, 
compreendendo os números negativos, o zero e os positivos. Sua representação geométrica é dada 
como pontos sobre uma reta. 
Sua representação algébrica é  ...,4,3,2,1,0,1,2,3,4..., −−−−= . Vamos destacar alguns
subconjuntos de Z: 
- O conjunto dos números inteiros positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .}.
- O conjunto dos números inteiros negativos: Z− = {. . . , −3, −2, −1, 0}.
- O conjunto dos números inteiros menos o zero: 
*Z = Z − {0}. 
O surgimento dos números racionais está diretamente associado a noção de medidas. 
Matematicamente, os racionais surgem pelo fato de que dentro do conjunto dos números 
inteiros não há como fazer a operação de divisão entre todos os seus elementos, por exemplo, como 
representar a divisão 1:2. O termo “racional” deriva da palavra “razão” que, em matemática, denota o 
quociente entre dois números. Assim, todo número racional pode ser representado pela divisão de dois 
números inteiros, ou seja, por uma fração na qual o numerador e o denominador são inteiros. 
Definem-se os números racionais como todos aqueles numerais que podem ser escrito na forma 
b
a
, com a e b inteiros, e 0b . A representação geométrica dos números racionais é também dada 
por pontos sobre uma reta. 
Algebricamente, o conjunto é representado por: 






= 0,/ bcombea
b
a
Q
Quando b = 1, temos Za
a
b
a
==
1
, assim, Z é subconjunto de Q ( )QZ  .
Exemplo Marque sobre a reta numérica os números: 
a) 
1
2
b) 
1
3
c) 
3
5
Observação. Todo número racional 
a
b
ocupa um ponto bem definido na reta e, 
reciprocamente, a todo ponto racional na reta corresponde um número racional. 
Exemplo Transforme as seguintes frações em números decimais.
a) 
3
5
b) 
3
2
c) 
55
3
d) 
3
16
e) 
3
20
f)
3
7
g) 
30
7
h)
2
3
i) 
3
50
Observando os resultados obtidos, quando podemos dizer que a representação decimal resulta 
em decimais finitas? E quando surgem as decimais periódicas? 
Todo número racional 
a
b
 pode ser representado por um número decimal. Passa-se um número 
racional 
a
b
 para a forma de número decimal dividindo o inteiro a pelo inteiro b. Na passagem de 
uma notação para outra podem ocorrer dois casos: 
1) O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero, isto é, é uma
decimal exata.
2) O número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente,
isto é, é uma dízima periódica. O termo periódico indica que, apesar de haver um número
infinito de algarismos depois da vírgula, estes aparecem em grupos que se repetem,
Observação: todo número na forma decimal exata ou de dízima periódica pode ser convertido 
à forma de fração
a
b
 e portanto representa um número racional. 
Exemplo. Escreva na forma de fração os números racionais:
a) 0,4444...
b) 0,323232...
c) 0,32
d) 6,434343...
e) 0,2171717...
f) 0,3511111...
Infelizmente, os números racionais ainda não são suficientes para representar alguns números 
com os quais trabalhamos com frequência, como 2 ou o número  . Números como esses são 
denominados de irracionais, pois não podem ser escritos como a razão de dois números inteiros. A 
forma decimal dos irracionais é infinita e não periódica, ou seja, inclui um número infinito de 
algarismos, mas esses não formam grupos que se repetem. Desse modo, não é possível representar 
exatamente um número irracional na forma decimal, mas é possível apresentar valores aproximados 
indicados pelo símbolo “ " . Assim, tem-se que 414,12  e 14,3 
A seguir alguns exemplos de números irracionais: 
a) 0,3131131113... c) ...71828182,2=e
b) 2,1112131415... d) ...73205080,13 =
Da união dos números racionais com os irracionais surge o conjunto que pode ser colocado em 
correspondência biunívoca com os pontos da reta, denominado conjunto dos números reais, denotado 
por R Q I=  . 
Assim, para um segmento de reta qualquer sempre existe um número real que representa a 
medida do seu comprimento. 
Temos que: RQZN  e RI  . Além desses subconjuntos (N, Z, Q e I), o conjunto dos 
números reais apresenta outros subconjuntos importantes: 
Conjunto dos números reais não nulos: 
   00/* −== RxRxR
Conjunto dos números reais não negativos: 
 0/ =+ xRxR
Conjunto dos números reais positivos: 
 0/* =+ xRxR
Conjunto dos números reais não positivos: 
 0/ =− xRxR
Conjunto dos números reais negativos: 
 0/* =− xRxR
Obs.: Operação com conjuntos 
Sejam A={1,3,5,7,9, 11} e B={1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
➢ União de Conjuntos: A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto de todos os elementos
que pertencem a A ou B. Indicaremos a união pelo símbolo .  BxouAxxBA = /
➢ Interseção de Conjuntos: A interseção de dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos
elementos comuns a A e B. Indicaremos a interseção pelo símbolo  .  BxeAxxBA = /
➢ Diferença de conjuntos: A diferença entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A e não pertencem a B.  BxeAxxBA =− /
Intervalos Reais 
O conjunto dos números reais possui subconjuntos chamados intervalos. Tipos de intervalos: 
Sejam os números reais a e b, com ba  
 = 
   axRxa = /,
   axRxa = /,
   axRxa =− /,
   axRxa =− /,
Em muitas ocasiões também denota-se R = ( , )−  . 
O intervalo [a,b] pode ser degenerado, isto é, a pode ser igual a b e, então [a, a] = {a}. 
Atividades 
1) Represente sobre a reta real, cada um dos seguintes conjuntos:
a)  ,1 6A x N x=   
b)  , 2 4A x Z x=  −  
c)  ,1 2A x R x=   
d)  ,1 2A x R x=   
e)  , 0 ou 2A x R x x=   
f)  ,1 6A x N x=   
g) [2,8]
h)  , 2 5x R x  
i) ( , 2−
j) [0, [
2) Represente no plano cartesiano os subconjuntos abaixo: 
a)  ( , ) |A x y N N x y=   =
b)  ( , ) |A x y Z Z x y=   =
c)  ( , ) |A x y R R x y=   =
d)   2( , ) 0 |A x y Z N x y=    =
e)  ( , ) | 1A x y R R y x=   = −
3) Dados os intervalos  32/ −= xRxA ,  11/ −= xouxRxB e  2,−=C .
Determine os conjuntos: ,,,,, CABACBACABA  CBA  e BA− .
Operações envolvendo Potenciação 
A potenciação é utilizada em muitos cálculos em matemática e o objetivo aqui é estudar as 
propriedades, para serem utilizadas. 
Sendo a um número real e m número natural, definimos: 
0,10 = aa
aa =1
aaaaam .......= (m fatores), m = 2,3,4,.... 
Observação: 
m
m
a
a
1
=− m = 1,2,3,.... 
Exemplo 4. Cálculo de potência 
a) =





3
52
b) =
3
5
2
c) ( ) =− 42
d) =−
42 e) =
− 42 f) =





−3
5
2
Propriedades: Sejam a e b números reais, m e n inteiros positivos, tem-se: 
nmnm aaa += nm
n
m
a
a
a −=
( ) nmnm aa = ( ) mmm baab =
m
m
m
b
a
b
a






=
Exemplo . Escreva na forma de uma só potência cada uma das seguintes expressões: 
a)
3
5
2
10








= b) 2
1
2 33  = 
c) 4
1
3
1
22  = d) 8
1
2
1
55 
Exemplo . Utilizando as propriedades da potência, calcule as expressões abaixo: 
223
4 4 4
21
5 2
)( 3) ) 3 )3 ) )
5 3
a b c d e
−
−  − −  
 
f) ( )238 g) 7 56 6− h) ( )25 3+ i) 
4
5
10
10
Operações envolvendo Radicais 
Se a um número real positivo, e r um racional. Escrevendo qpr /= , p e q inteiros, 0q , 
definimos 
q pqpr aaa == /
Exemplo 7. Transforme em radicais os números abaixo: 
1 1
21
2 2
1/3 52
2 2
)2 )3 )4 ) )
9 5
a b c d e
−
   
   
   
Exemplo 8. Transforme em potências os números abaixo 
3 23 3) 4 ) 5 ) 2 )
2
a b c d
 
 
 
As propriedades da potenciação com expoentes inteiros continuam válidas para expoentes 
fracionários. 
A existência da operação inversa entre potenciação e radiciação implica que 
NnnBABA nn == ,2,
a)
. . , , 0 ) , 0, 0
n
n nn n
n
A A
A B A B A B b A B
B B
=  =  
Atividade. Resolva as expressões abaixo: 
Notação Científica 
Observe as frases abaixo e descubra o que elas têm em comum: 
- “No início de 2012, a população mundial era estimada em 7.068.000.000 habitantes.”
- “O rinovírus (causador do resfriado) tem cerca de 0,00000003 metros de diâmetro.”
- “O número de moléculas de água em um litro do líquido é de aproximadamente
33.400.000.000.000.000.000.000.000.” 
- “Um átomo de Carbono 12 tem massa atômica equivalente a cerca de
0,0000000000000000000000000199 gramas.” 
Quando queremos expressar valores muito grandes ou muito pequenos, utilizamos uma 
notação especial, denominada notação científica. 
A notação científica utiliza sempre um número m entre 1 e 10, com 101  m , multiplicado 
por uma potência de base 10 com expoente inteiro, da seguinte forma: 
nm 10 onde m é a mantissa, 1 10m  e o expoente n é um numero inteiro. 
Conversão para a notação científica 
Converta os números abaixo para a notação científica. 
a) 500.000
b) 7.068.000.000
c) 0,00000003
d) 33.400.000.000.000.000.000.000.000
e) 0,0000000000000000000000000199
Conversão para a notação decimal 
Converta os números abaixo para a notação decimal. 
a) 7 × 104 
b) −2,178 × 107
c) 2 × 10-5
d) 8,031 × 10-9
Analisando os exemplos, percebe-se que existe uma relação entre o expoente da potência e o
número de zeros antes e depois da vírgula decimal. Cada vez que movimenta-se a vírgula um algarismo 
para a direita, aumenta-se o expoente de 10 em uma unidade. Por outro lado, ao movimentar a vírgula 
um algarismo para a esquerda, 
o expoente de 10 é reduzido em uma unidade.
Cálculos em notação científica 
Efetue os cálculos a seguir. 
a) 1,2 × 104 + 7,4 × 104 
b) 3,5 × 103 + 6,91 × 105 
c) 9,81 × 10-2 + 4,2 × 10-3
d) 2,83 × 109 − 1,4 × 107 
e) 5,2 × 105 − 1,9 × 106 
f) (2 × 106) . (4 × 103)
g) (−6,1 × 105) .(3 × 10-2)
h) (1,2 × 107): (4 × 105)
i) (8 × 10-2):(2 × 10-4)
Noções de álgebra 
O desenvolvimento do pensamento algébrico se expressa por abstrações e generalizações, 
especialmente as provenientes do estudo de regularidades e padrões, expressos e representados por 
uma linguagem simbólica cujo domínio proporciona a substituição, quando necessária, da linguagem 
usual pela linguagem matemática. 
1. Produtos Notáveis
a) Considere a figura abaixo e determine sua área.
b) Determine a área da figura abaixo, decompondo a figura em função da medida dos seus lados.
c) Representar geometricamente um quadrado de lado a. Do lado desse quadrado, subtrair um
valor b. Pintar a região correspondente a 2( )a b− e encontrar a expressão que representa a área
dessa região.
Resumindo: 
a) O quadrado da soma de dois termos
( ) ( )( )=++=+ bababa 2 
b) O quadrado da diferença de dois termos
( ) ( )( ) =−−=− bababa 2 
c) O produto da soma pela diferença de dois termos
( )( ) =−+ baba 
d) O cubo da soma de dois termos
( ) ( )( ) =++=+ 23 bababa 
e) O cubo da diferença de dois termos
( ) ( )( ) =−−=− 23 bababa