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Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba - DAMAT
MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear - Profa. Dra. Diane Rizzotto Rossetto
LISTA 3 - Retas e Planos
⇒ Desenvolvidas juntamente com os professores Adriano Verdério e Nara Bobko a partir das referências que
constam no plano de ensino.
Questão 1: Considere o ponto A = (2, 3,−4) e o vetor ~v = (1,−2, 3).
a) Escreva as equações vetoriais da reta r que passa por A e tem a direção de ~v.
b) Encontre os pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente.
c) Veri�que se os pontos D = (4,−1, 2) e E = (5,−4, 3) pertencem a r.
d) Determinar os valores de m e n tal que o ponto (m, 5, n) pertence a reta r
Questão 2: O ponto P = (m, 1, n) pertence à reta que passa pelos pontos A = (3,−1, 4) e B = (4,−3,−1).
Determine P .
Questão 3: Sejam r1 : (x, y, z) = (2mt − 3, 1 + 3t,−4t) e r2 = {(x, y, z) ∈ R3;x = 2y − 1 e z = −y + 4}.
Determine m para que as retas sejam ortogonais.
Questão 4: Considere os planos π1 : mx+ y− 3z− 1 = 0 e π2 : 2x− 3my+4z+1 = 0. Determinar m para que
os planos π1 e π2 sejam perpendiculares.
Questão 5: Escrever a equação geral do plano que passa por A = (−1, 2,−1) e é paralelo as retas r1 = {(x, y, z) ∈
R3; y = x e z = 1− 3x} e r2 = {(x, y, z) ∈ R3; 2x = y = 3z}.
Questão 6: Considere as retas
r1 :=
{
3x− y − z = 0
8x− 2y − 3z + 1 = 0
r2 :=
{
x− 3y + z + 3 = 0
3x− y − z + 5 = 0
.
Mostre que as retas são paralelas e encontre uma equação geral para o plano determinado por essas
retas.
Questão 7: Calcule a distância entre o ponto P = (1,−1, 0) e a reta r : (x, y, z) = (2− t, 0, t).
Questão 8: Calcule a distância entre o ponto P = (0, 0, 0) e o plano π : 3x− 4y + 20 = 0.
Questão 9: Dados os pontos A = (0,−2,−2), B = (3, 1, 0), o escalar α = −3 e os vetores ~u = (5, 6, 7),
~v = 2~i+ ~k − 3~j e ~w = (−15, 0,−9). Determine:
a) Uma equação geral para o plano π1 que passa pelo ponto A e tem como vetores diretores os vetores
~u e ~v.
b) Uma equação vetorial para a reta r que passa pelo ponto B e tem como vetor diretor o vetor ~w.
c) A distância entre o plano π1 e a reta r.
d) Uma equação geral para o plano π3 que passa pelo ponto B e tem como vetores diretores os
vetores ~u e ~v.
e) Uma equação geral para o plano π4 que passa pelo ponto A e tem como vetor normal o vetor ~u.
f) A intersecção entre o plano π3 e o plano π4.
g) Uma equação vetorial para a reta r que passa pelo ponto B e tem como vetor diretor o vetor ~u.
1
h) Uma equação vetorial para a reta s que passa pelo ponto A e tem como vetor diretor o vetor ~v.
i) Se possível, a equação do plano π5 que contém as retas r e s.
j) A distância entre as retas r e s.
Questão 10: Determine as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P sobre o plano π, nos casos:
a) P = (1, 0, 1) e π : x− 2y + 4z = 1.
b) P = (4, 0, 1) e π : 3x− 4y + 2 = 0.
Questão 11: Obtenha o simétrico do ponto P em relação ao plano π, nos casos:
a) P = (1, 4, 2) e π : x− y + z − 2 = 0.
b) P = (1, 1, 1) e π : 4y − 2z + 3 = 0.
Questão 12: Sejam A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0). Determine o ponto P da reta que passa pelos pontos A e B de
modo que ‖
−−→
PB‖ = 3‖
−→
PA‖.
Questão 13: Sejam A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1). Determine os pontos de r
equidistantes de A e B.
Questão 14: As equações X = (0, 0, 0) + tα(1, 2, 4) e X = (1, 0,−2) + t(−1,−1,−1), t ∈ R, descrevem os
movimentos de duas partículas. Determine o valor de α para que haja colisão. Em que instante ela
ocorre?
Questão 15: O triângulo ABC é retângulo em B e está contido em π1 : x+y+z = 1. O cateto BC está contido
em π2 : x− 2y − 2z = 0 e a hipotenusa mede
2
√
6
3
, sendo A = (0, 1, 0), determine B e C.
Respostas
1.
a) (x, y, z) = (2, 3,−4) + t(1,−2, 3), t ∈ R
b) B = (3, 1,−1) e C = (6,−5, 8)
c) D sim e E não
d) m = 1 e n = −7
2. P = (2, 1, 9)
3. m = −7/4
4. m = −12
5. 20x− 11y + 3z + 45 = 0
6. 4x+ 2y − 3z + 5 = 0
7.
√
6/2
8. 4
9a. π1 : 3x+ y − 3z − 4 = 0
9b.r : (x, y, z) = (3, 1, 0) + t(−15, 0,−9)
9c. dist(π1, r) = 0.
9d.π3 : 3x+ y − 3z − 10 = 0
2
9e.π4 : 5x+ 6y + 7z + 26 = 0
9f. π1 ∩ π2 =
(
86
13
,−128
13
, 0
)
+ z(25,−36, 13)
9g.r : (x, y, z) = (3, 1, 0) + t(−4, 6,−2)
9h.s : (x, y, z) = (0,−2,−2) + t(2,−3, 1)
9i.π5 : −9x− y + 15z + 28 = 0
9j.dist(r, s) = 4, 68 ou
√
307
14
10.
a)
(
17
21
,
8
21
,
5
21
)
b)
(
58
25
,
56
25
, 1
)
11.
a) (3, 2, 4) b) (1,−1, 2)
12.
(
3
4
,
7
4
,
15
4
)
ou
(
3
2
,
5
2
,
15
2
)
13. (1, 0, 0)
14. α = −1
2
; t = 2
3