Resumo - Método de Estimação dos Momentos

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Método dos Momentos: 
O método consiste em igualar os momentos amostrais aos populacionais para poder encontrar 
os estimadores. 
 
m1 = 𝐸(𝑋)
m2 = 𝐸(𝑋
2)
m3 = 𝐸(𝑋
3)
⋮
m𝑘 = 𝐸(𝑋
𝑘)
 
 
 
Momento Amostral: 
 
1° 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ⟹ m1 =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= x̅
2° 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ⟹ m2 =
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
3° 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ⟹ m3 =
∑(𝑥𝑖)
3
𝑛
⋮
𝑘° 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ⟹ m𝑘 =
∑(𝑥𝑖)
𝑘
𝑛
 
∑(𝑥𝑖 − x̅)
2
𝑛
=
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
− x̅2 = 𝑆2 ⟹ 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
 
 
 
Momento Populacional: 
 
1° 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ⟹ 𝐸(𝑔(𝑋)) = ∫ 𝑔(𝑋) ∙ 𝑓(𝑋) ∙ 𝑑𝑥 
2° 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ⟹ 𝐸(𝑋2)
3° 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ⟹ 𝐸(𝑋3)
⋮
𝑘° 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ⟹ 𝐸(𝑋𝑘)
= {
𝐸(𝑋𝑘) =
𝑑𝑘
𝑑𝑡𝑘
𝑀𝑥(𝑡)|
𝑡=0
𝐸(𝑋2) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝐸(𝑋)2
 
 
 
 
 
Exercícios: 
Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑿~𝑩𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊(𝑷), onde 
𝑓(𝑥𝑖|𝑃) = 𝑃
𝑥 ∙ (1 − 𝑃)1−𝑥; 𝑥 = {0, 1}; 𝑃 ∈ (0, 1). Encontre o estimador de momentos de 𝑃. 
m1 =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= x̅ 𝐸(𝑋) = 𝑃 
m1 = 𝐸(𝑋) ⇒
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= �̂� 
 
Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑿~𝑷𝒐𝒊𝒔𝒔𝒐𝒏(𝝀), onde 
𝑓(𝑥𝑖|𝜆) =
𝑒−𝜆∙𝜆𝑥
𝑥!
; 𝑥 = 0, 1, 2, ⋯; 𝜆 > 0. Encontre o estimador de momentos de 𝜆. 
m1 =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= x̅ 𝐸(𝑋) = 𝜆 
m1 = 𝐸(𝑋) ⇒
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= �̂� 
 
Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑿~𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍(𝜷), onde 
𝑓(𝑥𝑖|𝛽) =
1
𝛽
∙ 𝑒
−𝑥
𝛽 ; 𝑥 > 0; 𝛽 ≥ 0. Encontre o estimador de momentos de 𝛽. 
m1 =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= x̅ 𝐸(𝑋) = 𝛽 
m1 = 𝐸(𝑋) ⇒
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= �̂� 
 
Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑿~𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍(𝝀), onde 
𝑓(𝑥𝑖|𝛽) = 𝜆 ∙ 𝑒
−𝜆𝑥; 𝑥 > 0; 𝛽 ≥ 0. Encontre o estimador de momentos de 𝜆. 
m1 =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= x̅ 𝐸(𝑋) =
1
𝜆
 
m1 = 𝐸(𝑋) ⇒
∑ 𝑥𝑖
𝑛
=
1
�̂�
⇒ �̂� ∙ ∑ 𝑥𝑖 = 𝑛 ⇒ �̂� =
𝑛
∑ 𝑥𝑖
 
 
Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑿~𝝌𝟏
𝟐(𝒏). Encontre o estimador 
de momentos de 𝑛. 
m1 =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= x̅ 𝐸(𝑋) = 𝑛 
m1 = 𝐸(𝑋) ⇒
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= �̂� 
Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑿~𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍(𝝁; 𝝈
𝟐), onde 
𝑓(𝑥𝑖|𝜇, 𝜎
2) =
1
√2𝜋𝜎2
𝑒𝑥𝑝 [
−1
2
(𝑥−𝜇)2
𝜎2
] ; 𝑥 ∈ ℝ. Encontre o estimador de momentos de 𝜇 e 𝜎2. 
m1 =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= x̅ 𝐸(𝑋) = 𝜇 𝐸(𝑋2) = 𝜇2 + 𝜎2 
m1 = 𝐸(𝑋) ⇒
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= �̂� 
m2 = 𝐸(𝑋
2) ⇒
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
= �̂�2 + �̂�2 ⇒
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
= �̅�2 + �̂�2 ⇒ �̂�2 =
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
− �̅�2 ⇒ 
⇒ �̂�2 =
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑛
= 𝑆2 
 
Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑿~𝑮𝒂𝒎𝒂(𝜶, 𝜷), onde 
𝑓(𝑥𝑖|𝛼, 𝛽) =
1
Γ(𝛼)∙𝛽𝛼
∙ 𝑥𝛼−1 ∙ 𝑒
−𝑥
𝛽⁄ ; 𝑥 ≥ 0; 𝛼 > 0; 𝛽 > 0. Encontre o estimador de momentos 
de 𝛼 e 𝛽. 
m1 =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= x̅ 𝐸(𝑋) = 𝛼𝛽 𝐸(𝑋2) = 𝛼𝛽2 + 𝛼2𝛽2 
m1 = 𝐸(𝑋) ⇒
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= �̂��̂� ⇒ x̅ = �̂��̂� 
m2 = 𝐸(𝑋
2) ⇒
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
= �̂��̂�2 + �̂�2�̂�2 ⇒ 
⇒
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
= �̂��̂�(�̂� + �̂��̂�) ⇒
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
= x̅(�̂� + x̅) ⇒ 
⇒
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
= x̅�̂� + x̅2 ⇒ x̅�̂� =
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
− x̅2 ⇒ 
⇒ x̅�̂� =
∑(𝑥𝑖 − x̅
2)2
𝑛
⇒ x̅�̂� = 𝑆2 ⇒ �̂� =
𝑆2
x̅
 
x̅ = �̂� ∙
𝑆2
x̅
⇒ �̂� = x̅ ∙
x̅
𝑆2
⇒ �̂� =
x̅2
𝑆2
 
 
 
 
 
 
 
Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑿~𝑮𝒂𝒎𝒂(𝜶, 𝝀), onde 
𝑓(𝑥𝑖|𝛼, 𝛽) =
1
Γ(𝛼)∙𝛽𝛼
∙ 𝑥𝛼−1 ∙ 𝑒
−𝑥
𝛽⁄ ; 𝑥 ≥ 0; 𝛼 > 0; 𝛽 > 0. Encontre o estimador de momentos 
de 𝛼 e 𝛽. 
m1 =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= x̅ 𝐸(𝑋) =
𝛼
𝜆
 𝐸(𝑋2) =
𝛼
𝜆2
+
𝛼2
𝜆2
 
∑ 𝑥𝑖
𝑛
=
�̂�
�̂�
⇒ x̅ =
�̂�
�̂�
 
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
=
�̂�
�̂�2
+
�̂�2
�̂�2
⇒
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
=
�̂�
�̂�
[
�̂�
�̂�
+
1
�̂�
] ⇒ 
⇒
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
= x̅ [x̅ +
1
�̂�
] ⇒
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
− x̅2 =
x̅
�̂�
⇒ 𝑆2 =
x̅
�̂�
⇒ �̂� =
x̅
𝑆2
 
x̅ =
�̂�
�̂�
⇒ �̂� = x̅ ∙
x̅
𝑆2
⇒ �̂� =
x̅2
𝑆2
 
 
Seja 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 uma amostra aleatória da variável aleatória 𝑿~𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍(𝒏, 𝑷), onde 
𝑓(𝑥𝑖|𝑛, 𝑃) = (
𝑛
𝑥
) ∙ 𝑃𝑥 ∙ (1 − 𝑃)𝑛−𝑥; 𝑥 = {0, 1}; 𝑃 ∈ (0, 1). Encontre o estimador de 
momentos de 𝑛 e 𝑃. 
m1 =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= x̅ 𝐸(𝑋) = 𝑛 ∙ 𝑃 𝐸(𝑋2) = 𝑛𝑃 + 𝑛2𝑃2 − 𝑛𝑃2 
∑ 𝑥𝑖
𝑛
= �̂� ∙ �̂� ⇒ x̅ = �̂� ∙ �̂� 
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
= �̂��̂� + �̂�2�̂�2 − �̂��̂�2 ⇒
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
= �̂��̂�(1 + �̂��̂� − �̂�2) ⇒ 
⇒
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
= x̅(1 + x̅ − �̂�) ⇒
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
= x̅ + x̅2 − x̅�̂� ⇒ 
⇒
∑(𝑥𝑖)
2
𝑛
− x̅2 = x̅ − x̅�̂� ⇒ 𝑆2 = x̅ − x̅�̂� ⇒ 
⇒ 𝑆2 − x̅ = −x̅�̂� ⇒ x̅ − 𝑆2 = x̅�̂� ⇒ �̂� =
x̅ − 𝑆2
x̅
 
x̅ = �̂� ∙
x̅ − 𝑆2
x̅
⇒ �̂� =
x̅2
x̅ − 𝑆2