ESFERA - Geometria Espacial

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ESFERA 
1. (Imed) Uma bola maciça, totalmente vedada, em 
formato de uma esfera perfeita, de diâmetro igual a 
2 metros, foi lançada em uma piscina, de base re-
tangular com dimensões medindo 5 metros e 12 
metros e com água até a altura de 1,2 metros. Sa-
bendo que a bola ficou completamente submersa 
pela água, quantos metros o nível da água se ele-
vará? 
a) .
180
π
 
b) .
90
π
 
c) .
45
π
 
d) .
30
π
 
e) .
15
π
 
 
2. (Espcex (Aman)) Um recipiente cilíndrico, cujo 
raio da base tem medida R, contém água até uma 
certa altura. Uma esfera de aço é mergulhada 
nesse recipiente ficando totalmente submersa, sem 
haver transbordamento de água. Se a altura da 
água subiu 
9
R,
16
 então o raio da esfera mede 
a) 
2
R
3
 
b) 
3
R
4
 
c) 
4
R
9
 
d) 
1
R
3
 
e) 
9
R
16
 
 
3. (Ueg) Uma laranja com formato esférico e com 
6 cm de diâmetro foi descascada até a sua metade. 
Considerando-se esses dados, verifica-se que a 
área total da casca retirada da laranja é de aproxi-
madamente (use 3,14)π  
a) 248 cm b) 257 cm c) 274 cm d) 295 cm 
 
4. (Udesc) Uma bola esférica é composta por 24 
faixas iguais, como indica a figura. 
 
 
 
Sabendo-se que o volume da bola é 32304 cm ,π en-
tão a área da superfície de cada faixa é de: 
a) 220 cmπ c) 228 cmπ e) 225 cmπ 
b) 224 cmπ d) 227 cmπ 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
A(s) quest(ões) abaixo se referem às informa-
ções do quadro a seguir. 
 
É possível construir um dado redondo e honesto, 
isto é, com probabilidade 1 6 para cada um dos 
seis valores que ele pode sortear. As marcações do 
dado redondo são pintadas sobre a superfície de 
uma esfera, usando-se uma disposição análoga à 
do cubo convencional. Dentro da esfera, encontra-
se uma cavidade na forma de um octaedro. Dentro 
da cavidade, coloca-se uma pequena esfera metá-
lica pesada, que fica solta. Quando o dado redondo 
é lançado, toda a estrutura tende a se equilibrar 
com a pequena esfera, ocupando a posição de um 
dos seis vértices do octaedro e fazendo com que o 
topo da superfície esférica apresente uma das seis 
marcações. 
 
 
 
 
 
5. (Upf) Se a esfera metálica que está dentro da 
cavidade em forma de octaedro do dado redondo 
tiver 6 mm de diâmetro e for feita de chumbo, que 
tem massa específica de 311,3 g cm , qual é a 
massa dessa esfera? 
a) 0,4068 gπ 
b) 4,068 gπ 
c) 12,204 g 
d) 0,8136 gπ 
e) 8,136 g 
 
6. (Enem) Para fazer um pião, brinquedo muito 
apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o 
torno mecânico para trabalhar num pedaço de ma-
deira em formato de cilindro reto, cujas medidas do 
diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A 
parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a 
parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme 
Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o 
centro da base do cilindro. 
 
 
 
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura 
que esse pedaço de madeira possa proporcionar e 
de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser 
descartada. 
 
Dados: 
O volume de uma esfera de raio r é 3
4
r ;
3
π  
O volume do cilindro de altura h e área da base S 
é S h; 
O volume do cone de altura h e área da base S é 
1
S h;
3
  
Por simplicidade, aproxime π para 3. 
 
A quantidade de madeira descartada, em centíme-
tros cúbicos, é 
 
a) 45. 
b) 48. 
c) 72. 
d) 90. 
e) 99. 
7. (Cefet MG) Um artesão resolveu fabricar uma 
ampulheta de volume total V constituída de uma se-
miesfera de raio 4 cm e de um cone reto, com raio 
e altura 4 cm, comunicando-se pelo vértice do 
cone, de acordo com a figura abaixo. 
 
 
 
Para seu funcionamento, o artesão depositará na 
ampulheta areia que corresponda a 25% de V. Por-
tanto o volume de areia, em cm3, é 
a) 16 .π 
b) 
64
.
3
π
 
c) 32 .π 
d) 
128
.
3
π
 
e) 64 .π 
 
8. (Pucrs) Resolver a questão com base na regra 
2 da FIFA, segundo a qual a bola oficial de futebol 
deve ter sua maior circunferência medindo de 68cm 
a 70cm. 
Considerando a mesma circunferência de 70cm, o 
volume da bola referida na questão anterior é 
_____ cm3. 
a) 
2
4 70
3π

 
b) 
3
2
4 70
3π

 
c) 
2
3
4 35
3π

 
d) 
2
2
4 35
3π

 
e) 
3
2
4 35
3π

 
 
9. (Espcex (Aman)) Considere que uma laranja 
tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta 
de 12 gomos exatamente Iguais. A superfície total 
de cada gomo mede: 
a) 
3
24
cm
3
π
 c) 
2
24
cm
3
π
 e) 3 24 cmπ 
b) 
3
24
cm
9
π
 d) 
2
24
cm
9
π
 
 
 
10. (Uneb) Sua bexiga é um saco muscular elástico 
que pode segurar até 500ml de fluido. A incontinên-
cia urinária, no entanto, tende a ficar mais comum 
à medida que envelhecemos, apesar de poder afe-
tar pessoas de qualquer idade; ela também é mais 
comum em mulheres que em homens (principal-
mente por causa do parto, mas também em virtude 
da anatomia do assoalho pélvico). 
(BREWER. 2013, p. 76). 
 
Considerando-se que a bexiga, completamente 
cheia, fosse uma esfera e que 3,π = pode-se afir-
mar que o círculo máximo dessa esfera seria deli-
mitado por uma circunferência de comprimento, em 
cm, igual a 
a) 20 
b) 25 
c) 30 
d) 35 
e) 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [C] 
 
O volume da piscina é dado por V a b c,=   onde 
a, b e c as dimensões. 
O volume da esfera é dado por 3
4
V R
3
π= , onde R 
é o raio da esfera. 
Logo, o volume de água deslocado na piscina é 
equivalente ao volume da esfera imersa na piscina, 
isto é: 
Volume deslocado = Volume da esfera 
3 34 4 4
5 12 h R 60h (1) 60h h m
3 3 3 45
π π
π π  =  =  =  = 
 
Resposta da questão 2: [B] 
 
 
 
Considerando que x seja o raio da esfera e escre-
vendo que o volume da esfera é igual ao volume da 
água deslocada, pode-se escrever: 
 
3
3 2 34 9R 27R 3
x R x x R
3 16 64 4
π π  =    =  =  
 
Resposta da questão 3: [B] 
 
Sabendo que área da superfície de uma esfera é 
igual a 
2
D
4 ,
2
π
 
   
 
 em que D é o diâmetro da es-
fera, segue que a resposta é 
2 2
2 3 18 3,14 57 cm .π     
 
Resposta da questão 4: [B] 
 
Seja r o raio da esfera. Sabendo que o volume da 
esfera é 32304 cm ,π temos 
 
34
r 2304 r 12 cm .
3
π π  =  = 
 
Portanto, a área da superfície de cada faixa é igual 
a 
 
2 2 21 1
r 12 24 cm .
6 6
π π π  =   = 
 
Resposta da questão 5: [A] 
Seja m a massa da esfera. 
 
Lembrando que a massa específica de uma subs-
tância é a razão entre a massa e o volume, temos 
 
3
m 36
11,3 m 11,3
10004 3
3 10
m 0,4068 g.
π
π
π
=  =  
 
   
 
 =
 
 
Resposta da questão 6: [E] 
 
A quantidade de madeira descartada corresponde 
ao volume do cilindro subtraído dos volumes da se-
miesfera e do cone. Portanto, o resultado é 
 
2 2
3
3
6 1 4 1 6
7 (7 4) 4 189 54 36
2 2 3 3 2
99 cm .
π π π
   
  −    − −     − −   
   
=
 
 
Resposta da questão 7: [A] 
 
O resultado pedido é dado por 
 
3 2
3
1 4 1 1
0,25 4 4 4 64
2 3 3 4
16 cm .
π
π π
π
 
   +    =  
 
=
 
 
Resposta da questão 8: [E] 
 
O volume V da bola (esfera) será dado por: 
3 3
2
4 35 4 35
V .
3 3
π
π π
 
=   = 
  
 
 
Resposta da questão 9: [A] 
 
 
 
360° : 12° = 30° 
 
A área total de cada gomo é a soma das áreas de 
um fuso esférico como as áreas de dois semicírcu-
los. 
 
 
 
2 2
3
2
30 4 4 4
A 2
360 2
16
A 16
3
64 4
A cm .
3 3
   
= + 

= +
= =
π π
π
π
π π
 
 
Resposta da questão 10: [C] 
 
R = raio da bexiga. 
 
500 =
4𝜋 ⋅ 𝑅3
3
⇔ 500 =
4 ⋅ 3 ⋅ 𝑅3
3
⇔ 𝑅3 = 125 ⇔ 𝑅
= 5𝑐𝑚. 
 
Comprimento do círculo máximo: 
C 2 R 2 3 5 30cm.π=  =   = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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