teorico 2

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Geometria Analítica
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dra. Ana Lucia Junqueira
Revisão Textual:
Profa. Ms. Fátima Furlan
A reta no espaço
• Equações da reta no R3: vetorial e paramétricas
• Reta definida por dois pontos
• Equações simétricas e reduzidas da reta
• Posições relativas de duas retas no espaço
• Interseção de duas retas
• Retas paralelas aos planos e aos eixos coordenados
• Reta como interseção de dois planos
• Ângulo entre duas retas e entre reta e plano. 
• Reta ortogonal a duas retas
• Posição relativa entre reta e plano e entre duas retas no espaço
• Distância de ponto a reta, entre duas retas e de reta a plano. 
• Exercícios resolvidos
· Apresentar a reta no espaço
· Definir as formas de equações da reta: vetorial, paramétricas e simétricas.
· Estudar posições relativas: entre ponto e reta, entre duas retas, entre 
reta e plano.
· Definir ângulo: entre retas e entre reta e planos.
· Definir distância: entre ponto e reta, entre retas e entre reta e plano.
· Resolver problemas envolvendo estes conceitos.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Na unidade, vamos tratar do estudo da reta no espaço. Veremos as equações 
de reta em suas diversas formas, de maneira a conduzir à identificação e 
exploração da reta no espaço, bem como a poder utilizar a forma adequada 
em cada contexto ou aplicação nas atividades. Veremos também as posições 
relativas de duas retas e de reta e plano, bem como a definição e aplicação 
de ângulo e distância entre retas e entre retas e planos. Como pode ver, a 
temática sobre planos, já estudada em unidade anterior, se articula com a 
temática desta unidade.
A cada tópico abordado, são apresentados exemplos relacionados a esse 
tópico e, ao final, encontram-se exercícios resolvidos para auxiliar a 
compreensão dos conceitos tratados. 
Vamos aprender sobre retas no espaço?
ORIENTAÇÕES
A reta no espaço
UNIDADE A reta no espaço
Contextualização
Para iniciar esta Unidade, reflita sobre a importância de termos condições de 
encontrar a equação de retas e, posteriormente, descobrir o ângulo entre as retas. 
Vejamos alguns exemplos da aplicabilidade destes conceitos.
Na Engenharia
Imagine que um engenheiro precise calcular o ângulo formado pelas cordas, 
cujas vistas laterais estão representadas na figura a seguir e, em seguida, precise 
descobrir pontos de tensão ao longo das retas que contêm os segmentos AB e AC. 
Figura 1
Na Física
Outra aplicação de retas diz respeito a movimentos retilíneos de deslocamentos 
de corpos estudados na Física. Movimento retilíneo pode ser conceituado como 
um movimento de um móvel em relação a um referencial, descrito ao longo de uma 
trajetória retilínea (reta). Sendo assim consideramos o movimento retilíneo tanto 
como um descolamento horizontal (movimento de um carro) ou também na vertical, 
como é o caso da queda ou lançamento de um objeto, como indica a figura a seguir.
Figura 2 - Lançamento Vertical
Livro Didático Público/SEED
A Física trata de movimento retilíneo uniforme, retilíneo progressivo e retilíneo 
retrógrado, todos na direção de uma reta, como o próprio nome indica. Portanto, 
o movimento é chamado de retilíneo quando ele se dá ao longo de uma reta 
6
7
em relação a um sistema de referência. Em outras palavras, quando sua trajetória 
é uma reta.
Veja no esquema abaixo o exemplo de movimentos retilíneos uniformes de duas 
esferas, uma ao encontro da outra, com velocidades distintas. 
v = 7m/sv = 4m/s
d
Figura 3
t
s
S0
V > 0
Progressivo
t
s
S0
V < 0
Retrógado
Figura 4 - Representação gráfi ca de movimentos retilíneos, progressivo e retrógrado.
Na Geofísica: ondas sísmicas
Na busca por reservatórios de petróleo, os geofísicos investigam o interior da 
Terra, usando ondas mecânicas chamadas ondas sísmicas, que são geradas por 
explosões próximas à superfície e se propagam nas rochas, sofrendo reflexões e 
refrações nas várias camadas e estruturas subterrâneas. Quando os levantamentos 
sísmicos são feitos no mar, as ondas são geradas na água, se propagam até o fundo 
e penetram nas rochas, como representado na figura abaixo.
Rocha
Água
Figura 5
A sísmica é a principal ferramenta geofísica utilizada na exploração de petróleo 
e gás. A sísmica de reflexão é um método indireto de exploração de sub-superfície 
7
UNIDADE A reta no espaço
da Terra. Vem sendo largamente utilizado pelo fato de ser capaz de cobrir grandes 
áreas e ser mais econômico quando comparado a um método direto, como por 
exemplo, perfuração de poços.
A metodologia geofísica denominada “sísmica à reflexão”, se aplicada em 
corretas condições, permite a melhor descrição das características dos terrenos e das 
suas geometrias, assim como a possibilidade de explorar a notáveis profundidades 
utilizando origens energizantes de potência limitada.
Figura 6
Podemos ainda apresentar outro exemplo de uso de retas, contido em uma 
questão de vestibular da Universidade Federal do Pará. 
Um terremoto é um dos fenômenos naturais mais marcantes envolvidos com a 
propagação de ondas mecânicas. Em um ponto denominado foco (o epicentro é o 
ponto na superfície da Terra situado na vertical do foco), há uma grande liberação 
de energia que se afasta pelo interior da Terra, propagando-se através de ondas 
sísmicas tanto longitudinais (ondas P) quanto transversais (ondas S). A velocidade 
de uma onda sísmica depende do meio onde ela se propaga e parte da sua energia 
pode ser transmitida ao ar, sob a forma de ondas sonoras, quando ela atinge a 
superfície da Terra. O gráfico a seguir representa as medidas realizadas em uma 
estação sismológica, para o tempo de percurso (t) em função da distância percorrida 
(d) desde o epicentro para as ondas P e ondas S, produzidas por um terremoto.
10
5
2 3 4
10
15
20
t (min)
Onda S
Onda P
d(km)x10³
Figura 7
Com certeza, para todos esses tipos de movimento é de suma importância saber 
encontrar a equação que define essas trajetórias retilíneas. É do que tratamos nesta 
unidade.
8
9
Introdução
Retas podem estar posicionadas no plano cartesiano 2 ou no espaço 3 . 
Retas no plano possuem pontos com duas coordenadas, (x,y), e já vimos seu estudo 
anteriormente. 
O espaço 3 é o lugar geométrico único onde estão todos os elementos 
tridimensionais. Entre outros objetos matemáticos, o espaço tem infinitos pontos, 
infinitas retas e infinitos planos. 
As retas no espaço possuem pontos com três coordenadas, x y z, , .� � Na imagem 
a seguir, temos segmentos de reta que encontramos no dia a dia. Por exemplo, 
os segmentos de reta em azul indicam arestas de formas retangulares e têm retas 
infinitas como suporte. 
Figura 8
Adaptado de Wikimedia Commons
Equações da reta no R3
Qualquer representação cartesiana de uma reta no espaço tridimensional se faz 
com pelo menos duas equações. 
Equação vetorial da reta
Consideremos um ponto A x y z� � �1 1 1, , e um vetor não nulo 

 

v ai bj ck� � � . 
Então só existe uma reta que passa por A e tem a direção de v, conforme indica 
a figura da página seguinte. 
9
UNIDADE A reta no espaço
A
x
P
r
z
y
0
v
Figura 9
Um ponto P x y z� � �, , pertente à reta r se, e somente se, o vetor AP
� ���
 é paralelo 
ao vetor 
v, isto é, AP tv
� ��� �
= , para algum t∈ . Então temos a equação vetorial 
da reta:
x x i y y j z z k t ai bj ck�� � � �� � � �� � � � �� �1 1 1 

 

x x y y z z t a b c� � �� � � � �1 1 1, , , ,
Que também pode ser expressa na notação simplificada de vetores:
P A tv� � 
O vetor 
v é chamado vetor diretor da reta r e t é o parâmetro.
Equações paramétricas da reta
A igualdade dos vetores na equação vetorial da reta implica em:
x x ta
y y tb
z z tc
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
1
1
1
Estas são consideradas a equações paramétricas da reta r. 
Equação vetorial
AB tv
x x y y z z t a b c
� ��� �
�
� � �� � � � �1 1 1, , , ,
Equação paramétricas
x x ta
y y tb
z z tc
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
1
1
1
10
11
Exemplo 1: 
Seja a reta rque passa por A � �� �1 1 4, , e tem direção de v � � �2 3 2, , . Vamos 
encontrar a equação vetorial e as equações paramétricas da reta r . 
Resolução:
Se P x y z� � �, , pertence à reta r , a equação vetorial nos dá que AP tv
� ��� �
= . 
Logo: AP x y z t
� ���
� � � �� � � � �1 1 4 2 3 2, , , , é a equação vetorial de r . 
E as equações paramétricas de r são: 
x t
y t
z t
� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
1 2
1 3
4 2
Para encontrar pontos desta reta, basta substituir valores para t. Claro que para 
t=0 temos o ponto A. Para outros valores de t encontramos outros pontos da reta 
distintos de A e distintos entre si, ou seja, para cada valor de t∈ encontramos 
um único ponto da reta r e vice-versa. Vejamos alguns: 
Para t P� � � � �1 3 2 61 , ,
Para t P� � � � �2 5 5 82 , ,
Para t P� � � � �3 7 8 103 , ,
Para t P� � � � � �� �1 1 4 24 , ,
Confira na figura a seguir:
x
r
z
y
0-1
1
2
3
v
P4
t=-1
A
t=0
P1
t=1
P2
t=2
P3
t=3
Figura 10
Fonte: Winterle, 2000, p. 104
Vamos agora verificar se os pontos P � � � �� �5 10 2, , e Q � �
�
�
�
�
�2
1
2
5, , pertencem 
à reta em questão .
11
UNIDADE A reta no espaço
Para P � � � �� �5 10 2, , temos: 
� � � � � �
� � � � � � �
� � � � � �
�
�
�
�
�
� � �
5 1 2 3
10 1 3 3
2 4 2 3
3
t t
t t
t t
t e P r∈
Para Q � �
�
�
�
�
�2
1
2
5, , temos:
2 1 2
1
2
1
2
1 3
1
2
3 4 2
1
2
� � � �
� � � � �
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
t t
t t
t t
t� �comum e Q r∉
Logo P pertence à reta r com parâmetro t � �3 e Q não pertence à reta r, 
pois não existe um único parâmetro que satisfaça simultaneamente as três equações 
paramétricas da reta r .
Observação:
A equação vetorial de uma reta r não é única. Na verdade, existem infinitas 
equações vetoriais e, consequentemente, também paramétricas, de uma mesma 
reta, basta pegar outro ponto da reta ou ainda outro vetor não nulo que seja múltiplo 
do primeiro vetor diretor.
 
Por exemplo, a equação x y z t� � �� � � � �1 1 4 4 6 4, , , , é outra equação vetorial de 
r que usa o mesmo ponto A � �� �1 1 4, , , mas como vetor diretor  w v= 2 . Também 
podemos escolher o ponto P2 5 5 8� � �, , e como vetor diretor 
 u v� � � �
��
�
��
1
2
1
3
2
1, , . 
Daí, a equação vetorial da reta r é x y z t� � �� � � �
��
�
��
5 5 8 1
3
2
1, , , , . De cada uma 
dessas equações vetoriais da reta r temos as correspondentes equações 
paramétricas. 
12
13
Exemplo 2: 
Dado o ponto A � �� �0 2 4, , e o vetor v � � �1 2 3, , pede-se:
a) As equações paramétricas da reta que passa por A na direção de v
b) Os pontos B e C de r de parâmetros t � �1 e t = 3
2
, respectivamente
c) O ponto D de r cuja coordenada y = 6
d) Verificar se o ponto D � �
�
�
�
�
�
5
2
7
7
2
, , pertence ou não à reta r
e) Determinar para que valores m e n o ponto E m n� � �, ,5 pertence a r
Resolução:
a) Se P x y z� � �, , é um ponto genérico da reta r temos que AP tv
� ��� �
= , logo 
AP x y z t
x t
y t
z t
� ���
� � � �� � � � ��
�
� �
� � �
�
�
�
�
�
0 2 4 1 2 3 2 2
4 3
, , , , �são as equações paramétricas de r .
b) Para t
x
y
z
� � �
� �
�
� �
�
�
�
�
�
1
1
0
7
 e para t
x
y
z
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
2
3
2
5
1
2
. 
Logo B � � �� �1 0 7, , e C � �
�
�
�
�
�
3
2
5
1
2
, ,
c) Se y t t t
x
z
D� � � � � � � � �
�
�
�
�
�
� � � �6 2 2 6 2 4 2 2
2
2 6 2, ,
d) Para D � �
�
�
�
�
�
5
2
7
7
2
, , , x t= = 5
2
. Verificando as outras coordenadas temos:
y � � � � �2 2 5
2
2 5 7 e z � � � � � � � � � �4 35
2
4
15
2
8 15
2
7
2
. LogoD r∈ .
e) Para E m n� � �, ,4 pertencer à reta r temos:
m t
t
n t
m
n m
m
�
� �
� � �
�
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �4 2 2
4 3
4 2 2
4 3
1 e n � � � � �4 3 1. Logo E � �� �1 4 1, ,
13
UNIDADE A reta no espaço
Equações paramétricas de um segmento de reta
Consideremos dois pontos A x y zA A A� � �, , e B x y zB B B� � �, , e o segmento AB 
de origem em A e extremidade em B . As equações paramétricas do segmento 
AB são as mesmas de uma reta r na direção do vetor AB
� ���
, porém com 0 1≤ ≤t , 
isto é, 
AB
x x t x x
y y t y y
z z t z z
A B A
A B A
A B A
:
� � �� �
� � �� �
� � �� �
�
�
�
�
�
, 0 ≤ t ≤ 1
B rA
Figura 11
Observe que para t = 0 , obtém-se o ponto A , para t =1,�obtém-se o ponto B e 
para 0 1< <t , obtém-se os pontos entre A e B. 
Exemplo 3: 
Seja o segmento determinado pelos pontos A � � �1 4 1, , e B � �� �2 1 3, , . Vamos 
encontrar as equações paramétricas do segmento AB . Sabemos que o vetor 
AB
� ���
� �� �1 5 2, , que é o vetor diretor da reta que contém este segmento. Como a 
origem do segmento é o ponto A, as equações paramétricas do segmento são:
AB
x t
y t
z t
:
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
1
4 5
1 2
, 0 ≤ t ≤ 1
14
15
Reta defi nida por dois pontos
A reta definida pelos pontos A x y zA A A� � �, , e B x y zB B B� � �, , passa por A (ou 
B ) e tem a direção do vetor �
� ���
v AB x x y y z zB A B A B A� � � � �� �, , . Assim, se P x y z, ,� �
pertence à reta, a equação vetorial é AP t AB
� ��� � ���
= , ou seja:
x x y y z z t x x y y z zA A A B A B A B A� � �� � � � � �� �, , , ,
E as equações paramétricas dessa reta são:
x x t x x
y y t y y
z z t z z
A B A
A B A
A B A
� � �� �
� � �� �
� � �� �
�
�
�
�
�
Exemplo 4:
 Achar as equações vetorial e paramétricas da reta que passa pelos pontos 
A � �� �1 3 2, , e B � �� �3 0 5, , . 
Resolução:
 O vetor AB
� ���
� � �� �4 3 7, , e uma equação vetorial dessa reta é:
x y z t� � �� � � � �� �1 3 2 4 3 7, , , ,
Que geram as seguintes equações paramétricas da reta 
x t
y t
z t
� � �
� �
� �
�
�
�
�
�
1 4
3 3
2 7
Observação: 
A equação vetorial AP t AB
� ��� � ���
= pode ser expressa por P A t B A� � �� � ou 
ainda P tB t A� � �� �1
15
UNIDADE A reta no espaço
Equações simétricas da reta
A reta que passa pelo ponto A x y z� � �1 1 1, , na direção do vetor diretor 
v a b c� � �, , 
tem as equações paramétricas r
x x ta
y y tb
z z tc
:
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
1
1
1
. Dessas equações paraméricas, 
supondo a.b.c ≠ 0, podemos escrever: t x x
a
y y
b
z z
c
�
�
�
�
�
�1 1 1 . 
Então temos:
Equações simétricas
x x
a
y y
b
z z
c
�
�
�
�
�1 1 1
Exemplo 5: 
A reta que passa por A � �� �2 3 4, , e tem direção do vetor v � �� �2 1 5, , tem as 
seguintes equações simétricas: 
x y z�
�
�
�
�
�2
2
3
1
4
5
.
Para obter outros pontos da reta, basta atribuir um valor qualquer a uma das 
variáveis e, a partir disso, encontrar as outras coordenadas que satisfaça a equações 
simétricas. Por exemplo, se x =1 , temos:
1 2
2
1
2
3
1
4
5
3
1
2
4
5
2
5
2
3
2
�
� � �
�
�
�
�
�
� �
� � �
�
�
��
�
�
�
�
� �
�
�
�
��
�
�
�
y z y
z
y
z
Assim, o ponto P � ��
�
�
�
�
�1
5
2
3
2
, , pertence a essa reta. 
Observação:
Se a reta r é paralela a algum dos planos coordenados, então ela não pode ser 
representada por uma equação simétrica.
16
17
Equações reduzidas da reta
Dadas as equações simétricas de uma reta r
x x
a
y y
b
z z
c
�
�
�
�
�1 1 1
Podemos deduzir duas igualdades independentes entre si:
y y
b
x x
a
z z
c
x x
a
�
�
� � �
�
�
� � �
�
�
��
�
�
�
1 1
1 1
1
2
 
 
Isolando a variável y em (1): y p x q� �1 1
Isolando a variável z em (2): z p x q� �2 2
Equações reduzidas
r
y p x q
z p x q
 : 
� �
� �
�
�
�
1 1
2 2
Exemplo 6:
Seja a reta r dada pelos pontos A � �� �2 3 1, , e B � �� �2 5 3, , . Encontrar as 
equações reduzidas da reta r . 
Resolução:
Como a reta passa pelos pontos A e B , seu vetor diretor é AB
� ���
� �� �4 2 4, , e, 
portanto, suas equações simétricas, escolhendo passar por A, são:
x y z�
�
�
�
�
�2
4
3
2
1
4
Reduzindo a duas equações independentes, temos: 
y x
z x
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
3
2
2
4
1
4
2
4
. Daí, isolando 
y e z dessas equações temos as equações reduzidas de r
y x
z x
:
� � �
� � �
�
�
�
��
1
2
4
1
17
UNIDADE A reta no espaço
É fácilverificar que todo ponto da reta é da forma P x x x� � � � ��
�
�
�
�
�, ,
1
2
4 1 . 
Por exemplo, para x = 6 , P � �� �6 1 5, , pertence à reta r .
Observação: 
As equações reduzidas em função de x serão sempre as mesmas. Entretanto, 
podemos também encontrar equações reduzidas em função das outras duas 
variáveis, que obviamente representam a mesma reta.
Por exemplo, se deduzirmos em função de y temos:
x y
z y
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
2
4
3
2
1
4
3
2
 
Daí, isolando x e z resulta nas equações reduzidas de r
x y
z y
:
� � �
� �
�
�
�
2 8
2 7
 .
Observe que P � �� �6 1 5, , satisfaz esta equações reduzidas, o que de fato deve 
acontecer, uma vez que este ponto pertence à reta r dessas equações.
Exemplo 7:
 Achar as equações reduzidas da reta r de equações simétricas: 
x y z
2
3
3
2
2
�
�
�
�
�
�
Resolução:
Das equações podemos deduzir duas equações independentes:
y x
z x
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
3
3 2
2
2 2
Assim, isolando y e z temos as equações reduzidas em função de 
x :
y x
z x
� � �
� � �
�
�
�
��
3
2
3
2
.
18
19
A reta r representada por essas equações reduzidas é fruto da interseção dos 
planos �
1
3
2
3: y x� � � e �
2
2: z x� � � . Veja a figura a seguir:
r
z
x
y3
2
0
2
P0
α1
α2
Figura 12
Fonte: Venturi, 2015, p. 191
Observe que o plano α1 é paralelo ao eixo Z e o plano α2 é paralelo ao eixo Y. 
A reta r “fura” o plano YZ no ponto P0 0 3 2� � �, , e tem como vetor diretor o vetor 
v � � ��
��
�
��
1
3
2
1, , . 
Posições relativas de duas retas no espaço
No espaço 3 duas retas r1 e r2 podem ser: paralelas, concorrentes e reversas.
a) Coplanares e paralelas
As retas r1 e r2 � pertencem a um mesmo plano α e têm a mesma direção, ou 
seja, seus vetores diretores são paralelos. Como um caso particular, podem ser 
coincidentes. 
r
s
r s r s/ / ou � ��
Figura 13
19
UNIDADE A reta no espaço
b) Coplanares e Concorrentes
As retas r1 e r2 � pertencem a um mesmo plano α e se interceptam num ponto P. 
As coordenadas de P x y z� � �, , satisfazem o sistema formado pelas duas retas, ou 
seja, satisfazem tanto as equações de r1 quanto de r2 . 
rs
P
r s P� �� �
Figura 14
c) Reversas
As retas r1 e r2 pertencem a planos distintos e não têm ponto comum.
r
s
r s� ��
Figura 15
Caso a reta s seja perpendicular ao plano que contém a reta r , as retas r e s 
serão reversas e ortogonais. Voltaremos com mais detalhes mais à frente, ainda 
nessa unidade, sobre o estudo de posições relativas entre reta e plano. 
Interseção de duas retas
Duas retas têm interseção se tiverem um único ponto comum. Então, dadas 
duas retas r e s devemos procurar saber se estas retas são concorrentes e daí 
verificar o ponto de interseção. Logo, devemos eliminar o caso das retas serem 
paralelas e mesmo coincidentes (quando os vetores diretores são paralelos), pois no 
caso de paralelas ela não têm ponto de interseção e no caso de coincidentes têm 
todos os pontos comuns, o que não é o caso de ponto de interseção. 
20
21
Exemplo 8:
 Verificar se as retas r e s são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar 
o ponto de interseção.
a) r
y x
z x
:
� �
� �
�
�
�
3 3
 e s
x t
y t
z t
:
�
� �
� �
�
�
�
�
�
4
1
b) r
x t
y t
z t
:
�
� �
� � �
�
�
�
�
�
12 2
8 2
 e s x y z: � � � �
�
2
2
1
6 4
Resolução:
No item (a) para achar um vetor diretor de r basta pegar dois pontos de r, A e 
B, e tomar v ABr
�� � ���
= . Seja A o ponto de abscissa x = 0 , assim, y � �3 e z = 0 ,
logo A � �� �0 3 0, , . Seja B o ponto de abscissa x =1 , assim, y = 0 e z � �1 e, 
portanto, B � �� �1 0 1, , . Daí, v ABr
�� � ���
� � � � �� � � ��� �� � �� �1 0 0 3 1 0 1 3 1, , , , . Já um 
vetor diretor da reta s é vs
��
� �� �1 1 1, , . Dessa forma, claramente vemos que vr
��
 e vs
��
não são múltiplos entre si, logo, as retas não são paralelas (nem coincidentes). 
Restam duas opções: elas podem ser concorrentes, que tem ponto de 
interseção, ou reversas, que não tem ponto de interseção, pois se encontram em 
planos distintos. 
Vamos então buscar se essas duas retas tem algum ponto comum. Para tal 
vamos substituir as equações de s em r e ver se encontramos solução. 
Na primeira equação de r : 4 3 3 4 7 7
4
� � � � � � �t t t t
Na segunda equação de r : 1 2 1 1
2
� � � � � � � � �t t t t
Logo, não existe solução, pois não há um mesmo valor de t para ambas as 
equações. Então, não há ponto de interseção e as retas são reversas. 
21
UNIDADE A reta no espaço
No item (b) os vetores diretores de cada reta são: vr
��
� �� �1 2 2, , e vs
��
� �� �2 6 4, , , 
que não são múltiplos um do outro. Portanto, as retas não são paralelas e podem 
ser ou reversas ou concorrentes. Vamos substituir as equações de r em s para ver 
se encontramos solução. Ficamos então com o seguinte sistema de equações:
t t t�
�
�
�
� �
�
2
2
11 2
6
8 2
4
Das duas primeiras equações temos: 6 12 22 4 10 10 1t t t t� � � � � � �
Das duas últimas equações temos: � � � � � � � � �44 8 48 12 4 4 1t t t t
Da primeira e terceira equações temos: � � � � � � � � �4 8 16 4 8 8 1t t t t
Logo, o sistema admite solução única para t =1. Substituindo em qualquer um 
dos sistemas de equações de r ou s , teremos o ponto de interseção. Por facilidade 
vamos substituir nas equações paramétricas de r e obtemos P � �� �1 10 6, , . Verifique 
você que este ponto pertence à reta s , só para testar. 
Retas paralelas aos planos coordenados
Uma reta é paralela a um dos planos coordenados XY, XZ ou YZ se qualquer de 
seus vetores diretores for paralelo ao correspondente plano. Nesse caso, uma das 
componentes do vetor é nula. 
Veja na figura a seguir que a reta r é paralela ao plano XY, passa pelo ponto 
A � �� �1 2 4, , e tem vetor diretor v � � �2 3 0, , , cuja terceira componente é nula, 
porque 
v é paralelo ao plano XY. 
z
-1
4
2
4
A
r
-1
2
v
0
2
x
3
y
Figura 16
Fonte: Winterle, 2000, p. 111
22
23
Um sistema de equações paramétricas da reta r é: 
x t
y t
z
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
1 2
2 3
4
Observe que todos os pontos da reta r tem cota z = 4 , então se pegarmos 
quaisquer dois pontos de r , P t t1 1 11 2 2 3 4� � � �� �, , e P t t2 2 21 2 2 3 4� � � �� �, , , 
o vetor diretor PP t t t t1 2 2 1 2 12 3 0
� ����
� �� � �� ��� ��, , terá cota nula. 
Analogamente teríamos para o caso de reta paralela, respectivamente, aos outros 
dois planos coordenados. Por exemplo, na figura seguinte a reta r passa pelo ponto 
A � � �1 5 3, , e tem vetor diretor v � �� �1 0 2, . . Suas equações paramétricas são:
z
A
r
-1
1
5
v
0
2
x
y
Figura 17
Fonte: Winterle, 2000, p.112
As equações paramétricas de r são: 
x t
y
z t
� �
�
� �
�
�
�
�
�
1
5
3 2
Retas paralelas aos eixos coordenados
Uma reta é paralela a um dos eixos coordenados se seus vetores diretores forem 
paralelos ou a 

i � � �1 0 0, , , ou a 

j � � �0 1 0, , ou a 

k � � �0 0 1, , . Nesse caso, duas das 
componentes de um vetor diretor serão nulas. 
Por exemplo, seja a reta que passa pelo ponto A � � �2 3 4, , e tem a direção do 
vetor 
v � � �0 0 3, , . Como as duas primeiras componentes desse vetor diretor são 
23
UNIDADE A reta no espaço
nulas, temos que 
v tem mesma direção de 

k . Aliás, 

v k= 3 . Logo a reta r é 
paralela ao eixo OZ. Confira na figura a seguir:
z
A
r
k
0
2
x
3
y
Figura 18
Fonte: Winterle, 2000, p. 113
A reta r pode ser representada pelas equações paramétricas 
x
y
z t
�
�
� �
�
�
�
�
�
2
3
4 3
Reta como interseção de dois planos
Seja r a reta dada como interseção de dois os planos � : a x b y c z d
1 1 1 1
0� � � � 
e � : a x b y c z d
2 2 2 2
0� � � � , conforme indica a figura seguinte:
r
B
�
A
�
Figura 19
Em outras palavras r
a x b y c z d
a x b y c z d
:
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
� � � �
� � � �
�
�
�
 
24
25
Como v a b c1 1 1 1
��
� � � �, , � e v a b c2 2 2 2
���� � � �, , � e, além disso, r a� � � , temos 
que v r1
��
⊥ e v r2
���
⊥ . Portanto, v v
1 2
�� ���
 × é um vetor paralelo à reta r . Então já temos 
um vetor 
� �� ���w v v� �
1 2
 que dá a direção da reta r . Logo, para determinar a equação 
paramétrica de r , falta encontrar um ponto A r∈ , que é obtido satisfazendo o 
sistema de equações dado por r . Feito isso, teremos as equações paramétricas 
dadas por r A tw t A t v v t� � �� � � � �� � �� �� �� ���; ; 1 2
Exemplo 9:
Encontre as equações paramétricas da reta r
x y z
x y z
:
� � � �
� � � �
�
�
�
2 1 0
2 3 4 5 0
Resolução:
 Vemos pelas equações dos planos dados no sistema que determina a reta r que 
n
1
1 1 2
��
� �� �, , é um vetor normal ao plano � : x y z� � � �2 1 0 e n2 2 3 4
���
� �� �, , é um 
vetor normal ao plano � : 2 3 4 5 0x y z� � � � . Portanto, o vetor �
�� ���
w n n� �
1 2
 é um 
vetor paralelo à reta r , ou seja, um vetor diretor da reta r .

 

 

w
i j k
i j k� �
�
� � �� � � � �� � � �� � � � �1 1 2
2 3 4
4 6 4 4 3 2 2 0 1, ,
Agora, precisamos encontrar um ponto da reta r e para tal, podemos escolher 
x = 0 e daí resolver o sistema resultante:
y z
y z
y z
y z
y y y
� � �
� � �
�
�
�
�
� � � �
� � �
�
�
�
� � � � � � �
2 1 0
3 4 5 0
2 4 2 0
3 4 5 0
3 2 5 2 0 33 1� �z
Assim, o ponto A r� � ��0 3 1, , .� Dessa forma, as equações paramétricas de r são:
r
x t
y
z t
t: ;
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
2
3
1

25
UNIDADE A reta no espaço
Ângulo entre duas retas
Sejam as retas r1 e r2 com direções v1
��
 e v2
���
, respectivamente. Confira na figura:
z
v2
0
ϴ
x
y
v1
r2
ϴ r1
Figura 20
Fonte: Winterle, 2000, p. 114
Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 ao menor ângulo de um vetor v1
��
 diretor 
de r1 e de um vetor diretor v2
���
 de r
2
. Se chamarmos de θ este ângulo, tem-se que:
cos
v v
v v
� �
1 2
1 2
�� ���
�� ���
.
, com 0
2
� �� �
Em outras palavras, o cosseno do ângulo é o quociente entre o módulo do 
produto interno entre os dois vetores diretores e o produto dos módulos destes 
dois vetores. 
Exemplo 10:
(Winterle-p.114) Calcular o ângulo entre as retas a seguir:
r
x t
y t
z t
1
3
1 2
:
� �
�
� � �
�
�
�
�
�
 e r x y z
2
2
2
3
1 1
:
�
�
�
�
�
26
27
Resolução:
Vamos encontrar vetores diretores paras cada uma das retas. 
A reta r1 está representada por suas equações paramétricas, um seu vetor diretor 
é v1 1 1 2
��
� �� �, , . Já a reta r2 está representada por suas equações simétricas e um 
seu vetor diretor v2 2 1 1
���
� �� �, , . Dessa forma, para encontrar o ângulo θ entre estas 
retas temos que encontrar o produto interno dos dois vetores e os módulos dos 
vetores e do produto interno para usar na expressão cos
v v
v v
� �
1 2
1 2
�� ���
�� ���
.
.
v v
1 2
1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3
�� ���
. , , . , , . . .� �� � �� � � �� � � � �� � � � � � � � � �33 3�
v v
1
2 2 2
2
1 1 2 6
�� ���
� � � �� � � �
Portanto, substituindo na equação, temos:
cos� � � �3
6 6
3
6
1
2.
Logo, � � �
�
�
�
�
�arccos
1
2
, e como 0
2
� �� � , temos que �
�
� � �
3
60rad
Observação:
Duas retas r1 e r2 são ortogonais se, e somente se, v v1 2 0
�� ���
. = .
Por outro lado, duas retas ortogonais podem ou não serem concorrentes. Veja 
na fi gura a seguir, em que r1 e r2 são ortogonais à reta r , mas r1 e r2 não 
são concorrentes.
r2
r1
Figura 21
Fonte: Winterle, 2000, p. 115
27
UNIDADE A reta no espaço
Observe na figura seguinte que podemos ter o ângulo entre duas retas r e s , 
tanto quando estas duas retas forem concorrentes quanto elas forem reversas. 
No caso de serem retas reversas, o ângulo é medido entre a reta r e uma reta t 
que seja paralela à reta s e concorrente com a reta r . 
0
A r
θ
B s
0
θ
t // S S
r
Ângulo entre retas concorrentes Ângulo entre retas reversas
Figura 22
Reta ortogonal a duas retas
Sejam as retas r1 e r2 não-paralelas, com direções dos vetores v1
��
 e v2
���
, 
respectivamente. Toda reta r ao mesmo tempo ortogonal a r1 e r2 terá a direção 
do vetor 
v tal que: 
� ��
� ���
v v
v v
.
.
1
2
0
0
�
�
�
�
�
��
 . Como não nos interessa o vetor 


v = 0 como solução 
deste sistema, vamos recordar que podemos utilizar o produto vetorial 
� �� ���v v v� �
1 2
 
para a direção mutuamente ortogonal aos dois vetores diretores originais. 
Exemplo 11:
Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto 
A � �� �5 4 1, , e é ortogonal à retas:
r x y z t
1
0 0 1 2 3 4: , , , , , ,� � � � � � � � e r
x
y t
z t
2
3
1:
�
� �
�
�
�
�
�
�
Resolução:
Observe que o ponto A não precisa pertencer a nenhuma das retas em questão 
(que é o caso aqui, verifique!). Os vetores diretores das retas r1 e r2 são: v1 2 3 4
��
� � �, , 
e v2 0 1 1
���
� �� �, , . Então temos: 
v v
i j k
i j k i
1 2
2 3 4
0 1 1
3 4 0 2 2 0 7 2
�� ���
� � �
� � � �
� �
�
� � �� �� � � �� � � � �� � � � ��
�
j k� 2
28
29
Como a reta r terá a direção do vetor v � � �� �7 2 2, , e deve passar pelo ponto 
A � �� �5 4 1, , , as equações paramétricas de r são:
r
x t
y t
z t
:
� �
� �
� � �
�
�
�
�
�
5 7
4 2
1 2
Ângulo entre uma reta e um plano
Sejam r uma reta e α um plano no espaço. Sejam n um vetor normal ao plano 
α e 
v um vetor paralelo à reta r . Considere ainda θ o menor ângulo entre r e v , 
0
2
� �� � . O ângulo φ entre r e α é definido como sendo o complementar do 
ângulo θ . Em outras palavras, �� � � � �r, ,� � � �
2
 conforme indica figura a seguir. 
r
n
θ
�
Ø
Figura 23
Fonte: Venturi (2015, p. 221)
Observe que dado o plano � : ax by cz d� � � � 0 e a reta
r x x
l
y y
m
z z
n
:
�
�
�
�
�
0 0 0 temo que 
n a b c� � �, , é o vetor normal a α e 
v l m n� � �, , é o vetor na direção de r . O ângulo θ entre n e v é calculado por 
meio do produto escalar entre estes vetores:
cos
n v
n v
� �
 
 
.
.
O ângulo φ é complementar de θ , então temos: sen sen cos� � � �� ��
�
�
�
�
� �
2
.
Logo:
sen
n v
n v
� �
 
 
.
.
29
UNIDADE A reta no espaço
Exemplo 12:
Seja a reta r
x t
y t
z
: ,
�
� �
�
�
�
�
�
�
2 1
4
 t∈ e o plano � : x y z� � � �2 3 0 
Encontre o ângulo entre a reta r e o plano α . 
Resolução:
Temos que o 
n � �� �1 2 1, , é o vetor normal ao plano α . Para encontrar um vetor 
diretor da reta r , vamos pegar dois pontos e formar o vetor v . Para tal, basta 
escolher aleatoriamente dois valores para t , por exemplo:
 
t P� � � �� �0 0 1 4, , e t Q� � � � �1 1 1 4, ,
Daí o vetor 
� � ���v PQ� � � �1 2 0, , . Logo, sendo � � �� � � �� �r n v n, ,   podemos 
calcular cos
n v
n v
sen sen� � �� � ��
�
�
�
�
� � �
 
 
.
. 2
 , em que � � �� �r,� . 
Como 
 n v. , , . , , . . . .� �� � � � � � � � � � � �1 2 1 1 2 0 1 1 2 2 1 0 1 2 0 1 Também temos que 
n � � �� � � �1 2 1 62 2 2 e v � � � �1 2 0 52 2 2 . Assim:
sen cos� � �
�
� � ��
1
6 5
1
30
30
30
0 18
.
,
Logo, � � � � � �arcsen 0 18 10 5, , é o ângulo entre a reta r e o plano α .
Atenção:
Embora sen cos� � � , o ângulo procurado é ∅ , portanto temos que procurar o 
valor de ∅ � como a função inversa do seno, no caso, � � � �arcsen 0 18, .
30
31
Posição relativa entre reta e plano no 
espaço
Dadas uma reta e um plano no espaço, podemos encontrar três situações: 
a) a reta é paralela ao plano; b) a reta pertence ao plano; c) a reta é secante ao 
plano , como pode ser conferida na imagem a seguir: 
P
A
Reta paralela ao plano
Reta contida no plano
Reta secante ao plano
B
Figura 24
Então dada uma reta r e um plano π podemos sintetizar:
r
r
r r
/ /
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
r r P � �� � �� �
Sejam a reta r Q A tvr: � �
��
 , sendo vr
��
 vetor diretor da reta e Q x y z r� � ��, , ,
e o plano � : ax by cz d� � � � 0 , sendo n a b c� � � �, , � . Podemos então 
concluir que:
• r v nr/ / .� � �
�� �
0 e, além disso, se B r∈ também pertence a π, r��
• v n r Pr
�� �
. � � � �� �0 � , e se vr
��
 e 
n forem paralelos, temos que r �� .
vr nπ
π
r
Figura 25
31
UNIDADE A reta no espaço
Exemplo 13:
Determine, se houver, a interseção da reta r com o plano π, nos casos:
a) r P t t: , , , , ,� � � � � � �1 6 2 1 1 1  e � : x z� � �3 0
b) r x y z: � � � � �1 2 2 2 e � : , , , , , ,P h t h t� � � � � � �6 2 1 1 2 1 
c) r
x t
y t
z t
:
�
� � �
� �
�
�
�
�
�
3 3 , t∈ e � : x y z� � �2 0
Resolução: 
a) O vetor diretor de r é vr
��
� � �1 1 1, , e o vetor normal a π é n � �� �1 0 1, , , 
portanto, v nr
�� �
. , , . , , . . .� � � �� � � � � �� � � � � �1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 . Logo, podemos ter 
r r� �� ou r � �� � . Como o ponto A r� � ��1 6 2, , , mas A�� , então r � �� �, 
ou seja, r é paralela a π.
 
b) O vetor diretor de r é vr
��
� �
��
�
��
1 1
1
2
, , e o vetor normal a π é 
n � � ��� �6 2 1 1 2 1, , , , ,
logo 

 

n
i j k
� � � � �� � � �� �6 2 1
1 2 1
2 2 1 6 12 2 0 5 10, , , , . Portanto, temos:
v nr
�� �
. , , . , , . . .� �
��
�
��
�� � � � �� � � � � � �1 1 1
2
0 5 10 1 0 1 5
1
2
10 0 5 5 0
Logo, podemos ter r r� �� ou r � �� � . Por outro lado, vemos que o ponto 
P r� � ��1 2 1, , e P � � ��1 2 1, , � (para h et= =0 1 ), portanto, r �� .
c) Vemos que vr
��
� � �1 3 0, , e n � � �1 2 1, , , daí v nr
�� �
. , , . , ,� �� � � � � �1 3 1 1 2 1 6 0 . 
Concluímos, então, que r e π são concorrentes, mas r não é ortogonal a π, uma 
vez que v nr
�� �
 . Seja r P a b c� �� � � � �� �� , , . Portanto, o ponto P deve satisfazer 
as equações de π e de r , a saber:
(1) a b c� � �2 0 e (2) 
a t
b t
c t
�
� � �
� �
�
�
�
�
�
3 3
Substituindo (2) em (1) temos:
32
33
t t t t t t t t� � �� � � �� � � � � � � � � � � �2 3 3 0 6 6 0 6 6 1
Logo, P a b c� � � � �� �, , , ,1 0 1 . Assim, a reta r é secante ao plano π e o ponto de 
interseção de r e π é o ponto P � �� �1 0 1, , . 
Posição relativa entre duas retas no espaço
Sintetizando as posições relativas entre duas retas no espaço temos: dadas 
duas retas no espaço, se as duas pertencem a um mesmo plano, dizemos que 
são coplanares, podendo ser concorrentes ou paralelas (coincidentes ou não). 
Caso contrário, se não pertencem a um mesmo plano, dizemos que as retas são 
reversas.
Portanto, temos que dadas duas retas r1 e r2 no espaço, essas retas podem ser: 
Coplanares
concorrentes
paralelas
r r P
coincidentes r r
distintas
� �� �
� �
�
1 2
1 2
�� �
�
�
�
�
�
�
�
� �r r
1 2
�
ou Reversas
Confira nas representações a seguir:
πP
r1 r2
Coplanares concorrentes
πP
r1
r2
Reservas
πr1
r2
Paralelas não coincidentes
π
r1 Ξ r2
Paralelas coincidentes
Figura 26
Podemos estabelecer condições para identificar a posição relativa de duas retas 
no espaço. Considere as retas r P A hvr: � �
��
 e s Q B tvs: � �
��
, com h t, ∈ .
Se r e s são coplanares, então os vetores AB vr
� ��� ��
, e vs
��
 são coplanares e, 
portanto, o produto misto AB v vr s
� ��� �� ��
, ,�� �� � 0 . Reciprocamente, se AB v vr s
� ��� �� ��
, ,�� �� � 0
podemos ter:
i) v vr s
�� ��
/ / , e nesse caso r e s são paralelas, logo são coplanares.
33
UNIDADE A reta no espaço
ii) v vr s
�� ��
��  , ou seja, vr
��
 não é múltiplo de vs
��
, então podemos escrever AB
� ���
 
como combinação linear vr
��
 e vs
��
. Assim, existem escalares h t, ∈ tais que 
AB hv tvr s
� ��� �� ��
� � , ou seja, B A hv tvr s� � �
�� ��
. Logo, o plano definido por 
� : P A hv tvr s� � �
�� ��
 contém as retas r e s , que, portanto, são coplanares. Observe 
ainda que nesse caso as retas são concorrentes.
iii) Um caso particular de retas concorrentes são as retas perpendiculares, daí 
v vr s
�� ��
⊥ e, portanto, v vr s
�� ��
. = 0 . 
Exemplo 14:
Analise a posição relativa das retas r e s nos casos:
a) r
x y z
x y z
:
� � � �
� � � �
�
�
�
3 1 0
2 2 0
 e s P h h: , , , , ,� � � � �� � �1 0 2 1 3 5 
b) r
x t
y t
z t
t: ;
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
1
4 4
 e s x y z: 1
2 3
8
�
� � �
c) r P h h: , , , , ,� �� � � � � �4 3 1 0 2 1  e s
x
y t
z t
t: ,
�
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
4
1 2
3

Resolução: 
No caso (a) a reta r é dada como interseção de dois planos, cujos vetores 
normais aos planos são, respectivamente, n1 1 3 1
��
� � �� �, , e n2 2 1 1
���
� �� �, , , portanto, 
o vetor diretor v n nr
�� �� ���
/ /
1 2
× e vs
��
/ / , ,�� �1 3 5 . Temos que:
n n
i j k
1 2
1 3 1
2 1 1
3 1 2 1 1 6 4 1 7
�� ���
� � �
� � � �
�
� � � � �� � � �� �, , , ,
Como 4 1 7 1 3 5, , , ,�� � �� � as retas ou são concorrentes ou são reversas. Vamos 
tomar um ponto em cada reta, por exemplo:
34
35
Na reta r , se y
x z
x z
x e z A� �
� � �
� � �
�
�
�
� � � � � � �� �0 1
2 2
1 0 1 0 0 , ,
Na reta s , fazendo h = 0 temos o ponto B � � �1 0 2, , . Portanto, AB
� ���
� � �2 0 2, ,
Calculando o produto misto AB v vr s
� ��� �� ��
, ,�� �� temos:
2 0 2
4 1 7
1 3 5
10 24 2 42 10 0�
�
� � � � � � �
Logo, como estes três vetores não são coplanares, as retas r e s são reversas. 
No caso (b) temos que vr
��
� �� �1 1 4, , e vs
��
� � �2 3 1, , , logo, as retas r e s são 
concorrentes ou reversas. Vamos pegar um ponto em cada uma das retas.
Na reta r , fazendo t = 0 temos o ponto A � � �0 1 4, , e na reta s , fazendo y = 0
temos o ponto B = ( , ,1 0 8 ). Então, AB
� ���
� �� �1 1 4, , . Agora, calculando o produto 
misto destes três vetores temos:
1 1 4
1 1 4
2 3 1
0
�
� � , pois duas linhas são iguais. Portanto, os três vetores são 
coplanares e, portanto, as retas são concorrentes. 
Se quisermos encontrar o ponto de interseção das retas, podemos substituir as 
coordenadas de r em s e temos:
1
2
1
3
4 4
�
�
�
� �
t t t
Das duas primeiras equações temos: 3 3 2 2 1� � � � �t t t , que também satisfaz 
as outras equações, duas a duas. Portanto, o ponto de interseção corresponde na 
reta r a t =1, que é o ponto P � � �1 0 8, , . Observe que P s∈ .
 No caso (c), os vetores diretores das retas são, respectivamente, vr
��
� � �0 2 1, , e 
vs
��
� � �� �0 2 1, , , logo, v vr s
�� ��
� � e, portanto as retas são coplanares e paralelas, 
podendo ser ou não coincidentes. Como o ponto A s� �� ��4 1 3, , , mas não 
pertence a r , então as retas são paralelas e não coincidentes, ou seja, paralelas 
e distintas. 
35
UNIDADE A reta no espaço
Distância de um ponto a uma reta
Dados uma reta r e um ponto P0 fora da reta, já vimos no caso de retas no plano 
que a distância de P0 à reta r é dist P r min dist P P P r0 0, , ;� � � � � �� � . Isto se dá 
também no caso de ponto e reta no espaço, uma vez que dada uma reta e um ponto 
fora dela, existe um plano que contém a reta e o ponto. Daí, basta tomar um ponto 
qualquer da reta, digamos o ponto P1 , encontrar o vetor PP1 0
� ����
 e depois encontrar a 
distância d dist P r
v P P
v
� � � �
�
0
0
,
� � ���
� , em que 
v é o vetor diretor da reta r . 
Observe a representação a seguir:
P 1
P 0
P1
V
d
rP0
d = d(P0 ,r)=
|v x P1P0|
|v|
Figura 27
Exemplo 15:
Calcule a distância do ponto P0 2 0 7� � �, , à reta dada pelas equações simétricas: 
x y z
2
2
2
6
1
�
�
�
�
 .
36
37
Resolução:
Vemos que um vetor diretor da reta r é 
v � � �2 2 1, , e podemos escolher um 
ponto P1 da reta, por exemplo, se tomarmos x y e z� � � �0 2 6 . Assim, o ponto 
P r
1
0 2 6� � ��, , . Daí, temos o vetor P P0 1 2 2 1
� ����
� � �� �, , . Calculando o produto 
vetorial temos:
� � ����
� � �
� � �
v PP
i j k
i j k� �
� �
� � �� � � � �� � � �� � � �1 0 2 2 1
2 2 1
2 2 2 2 4 4 4 0, ,,8� �
Temos então: 
� � ����v PP� � �� � � � � � � �1 0
2 2 2
4 0 8 16 64 80 4 5
v � � � � � � � �2 2 1 4 4 1 9 32 2 2
Assim, dist P r0
4 5
3
,� � �
Distância entre uma reta e um plano
A distância entre uma reta r e um plano π, denominada dist r,�� � dado por:
dist r min dist P Q P r e Q, , :� �� � � � � � �� � 
Observe que, se r � �� � , caso em que se r�� ou ainda se rP� �� �� , 
então dist r,�� � � 0 , como pode ser visto na representação a seguir:
P
A
Reta paralela ao plano
Reta contida no plano
Reta secante ao plano
B
Figura 28
37
UNIDADE A reta no espaço
Então vemos que dist r r r,� �� � � � � � �0 � não pertence a π. Nesse caso, 
teremos que a distância pode ser representada como segue: 
r // π
d
d = PP’
P’
P
Figura 29
Dada a reta r / /π temos vr
��
 o vetor diretor da reta r e n o vetor normal a π. 
Por um ponto P r∈ trace a reta s na direção de n , ou seja, s �� e encontre o 
ponto ′P , interseção de s e π, ou seja, ′P é o pé da perpendicular em π que passa 
por P . Daí, a distância d dist r PP� � � � �,�
� ���
. 
Exemplo 15:
Vimos no exemplo 13, item (a) que a reta r P t t: , , , , ,� � � � � � �1 6 2 1 1 1  é paralela 
ao plano � : x z� � �3 0 . Calcule então a distância de r a π. 
Resolução:
O vetor normal a π é 
n � �� �1 0 1, , e que P r� � ��1 6 2, , , então vamos escrever 
as equações paramétricas da reta s passando por P na direção de n :
s
x t
y
z t
t: ,
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
1
6
2

Agora, vamos encontrar o ponto ′P interseção de s com π. Para tal substituímos 
as coordenadas de s na equação de π:
 1 2 3 0 1 2 3 0 2 4 2� � �� � � � � � � � � � � � � �t t t t t t
Logo, substituindo t = 2 em s temos � � � �P 3 6 0, , e d PP� � �� � ��
� ���
2 0 2 2, ,
38
39
Distância entre duas retas
A distância entre duas retas r1 e r2 , é definida por:
dist r r min dist P Q P r Q r
1 2 1 1 1 2
, , , ,� � � � � � �� �
Claro que r r ou r r dist r r1 2 1 2 1 2 0� � � � � �� � , , ou seja, se as retas são coincidentes 
ou concorrentes, a distância entre elas é nula. Portanto, o que interessa é quando 
as retas são paralelas ou reversas, pois daí a distância entre elas é diferente de zero. 
No caso de retas paralelas, procedemos segundo a figura a seguir:
P r
P s
Pr
d
r
s 
Ps
d = d(Ps,r)= 
|vr x PrPs|
|vr|
Figura 30
Em outras palavras, fixamos um ponto numas das retas e recaímos no caso 
de distância de ponto a reta. Então vai nos interessar ver a distância entre retas 
reversas. 
Vejam na figura a seguir
P1
n
r1
α1
P2
r2
α2
P1
r1
r2
P2
N2
N1
d(r1,r2)
Figura 31
Fonte: Venturi(2015, p.218)
39
UNIDADE A reta no espaço
A reta r1 passa pelo ponto P x y z1 1 1 1� � �, , e é paralela ao vetor v l m n1 1 1 1
��
� � �, , . 
A reta r2 passa pelo ponto P x y z2 2 2 2� � �, , e é paralela ao vetor v l m n2 2 2 2
���
� � �, , . 
Isto posto, temos:
r1 :
x x
l
y y
m
z z
n
�
�
�
�
�1
1
1
1
1
1
 
 r2 :
x x
l
y y
m
z z
n
�
�
�
�
�2
2
2
2
2
2
A distância entre r1 e r2 é assim definida:
dist r r
PP v v
v v1 2
1 2 1 2
1 2
,
.
� � �
�� �
�
� ���� �� ���
�� ���
Exemplo 16:
Vimos no exemplo 14, item (a) que as retas seguintes são reversas:
r
x y z
x y z
:
� � � �
� � � �
�
�
�
3 1 0
2 2 0
 e s P h h: , , , , ,� � � � �� � �1 0 2 1 3 5 
Ache a distância entre elas.
Resolução:
Temos que o vetor v1 1 3 1 2 1 1 4 1 7
��
� � �� �� �� � � �� �, , , , , , e que v2 1 3 5
���
� �� �, , . Além 
disso, A r� �� ��1 0 0, , e B s� � ��1 0 2, , , AB
� ���
� � �2 0 2, , . Resta calcular:
 v v
i j k
1 2
4 1 7
1 3 5
5 21 7 20 12 1 16 13 11
�� ���
� � �
� � �
�
� � � � � �� � � � �� �, , , ,
v v
1 2
2 2 2
16 13 11 256 169 121 546
�� ���
� � � �� � � �� � � � � �
Então, a distância entre r e s é:
 
dist r r
AB v v
v v1 2
1 2
1 2
2 0 2 16 13
,
. , , . , ,� � �
�� �
�
�
� � � �
� ��� �� ���
�� ���
111
546
32 22
546
10 546
546
5 546
273
� �
�
�
� �
40
41
Exercícios resolvidos:
Exercício 1:
Seja a reta r definida pelo ponto A � �� �1 2 3, , e pelo vetor v � � �3 1 4, , . Escreva 
as equações paramétricas e reduzidas da reta r .
Resolução:
 As equações paramétricas de r são dadas pela equação vetorial da reta, se 
P x y z r� � ��, , , AP tv OP OA tv OP OA tv
� ��� � � ��� � ��� � � ��� � ��� �
� � � � � � � , que de maneira sintética 
pode ser representada por P A tv� �  . Portanto:
r
x t
y t
z t
t: ,
� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
1 3
2
3 4

Para encontrar as equações reduzidas, basta escolher uma das variáveis, digamos, 
da segunda equação, y t t y� � � � � �2 2 , agora substituindo nas outras duas 
equações paramétricas obtemos uma das formas de equação reduzida da reta.
r
x y y
z y y
:
� � �� � � �
� � �� � � �
�
�
�
��
1 3 2 3 7
3 4 2 4 11
Exercício 2:
Seja a reta dada pelas equações r
x t
y t
z t
t: ,
� � �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
1 2
2 5
3 2
 . 
a) Encontre as equações simétricas da reta s paralela à reta r e que passa 
pelo ponto B � �� �3 0 4, , .
b) Escreva as equações paramétricas da reta t perpendicular à reta r no ponto 
B e perpendicular ao eixo Y.
Resolução:
No item (a) temos que um vetor diretor da reta r é v � � �� �2 5 2, , . Como s r/ / ,
v é também um vetor diretor da reta s . Observe que todas as coordenadas de v
41
UNIDADE A reta no espaço
são não nulas, o que é uma condição para poder expressar uma reta em suas 
equações simétricas. E como B s� �� ��3 0 4, , , as equações simétricas de s são:
 
x y z�
�
�
�
�
�3
2 5
4
2
No item (b) temos que t r⊥ , portanto, um vetor u diretor da reta t é tal que 
 u v⊥ . Além disso, a reta t é ortogonal ao eixo Y, isto significa que o vetor 

u j⊥ . 
Então, o vetor 
u é simultaneamente ortogonal ao vetor v e ao vetor 

j , então:
 
  

u v j
i j k
i j k� � � � � � �� � � �� � � � �� � � � �� �2 5 2
0 1 0
0 2 0 0 2 0 2 0 2, , 
Então a reta t tem a direção do vetor u � � �� �2 0 2, , passando por B � �� �3 0 4, , , 
logo suas equações paramétricas são:
t
x h
y
z h
h: ,
� � �
�
� �
�
�
�
�
�
�
3 2
0
4 2

Exercício 3:
Determinar, caso seja possível, a forma simétrica da equação da reta r que 
passa pelos pontos dados:
a) A � � �1 2 3, , e B � � �4 5 6, ,
b) C � � �1 0 1, , e D � � �1 2 3, ,
Resolução:
No caso (a) o vetor diretor da reta é AB
� ���
� � �3 3 3, , , então podemos escrever as 
equações simétricas da reta r , uma vez que um vetor diretor, que podemos assumir 
como sendo 
u � � �1 1 1, , por ser na mesma direção de AB
� ���
. Assim, escolhendo o 
ponto A por referência temos as seguintes equações simétricas da reta 
r x y z: � � � � �1 2 3
No caso (b), um vetor diretor da reta r é o vetor CD
� ���
� � �0 2 2, , . Nesse caso, não 
é possível expressar a reta r em equações simétricas, pois uma das coordenadas 
do vetor diretor é nula. Entretanto podemos expressar as equações paramétricas da 
reta r , tomando, por exemplo, o ponto C � � �1 0 1, , por referência, temos:
r
x
y t
z t
: ,
�
�
� �
�
�
�
�
�
1
2
1 2
 t∈
42
43
Exercício 4:
Encontre valores para k ∈ , caso seja possível, de forma que a reta r seja 
perpendicular ao plano � : x z� � 0 , sabendo que a reta r é dada pela interseção 
de dois planos, a saber, r
mx y z
x my z
:
� � �
� � �
�
�
�
2 1
2
 . Caso afirmativo, encontrar o ponto 
P de interseção de r com o plano π. 
Resolução:
Como a reta r é dada pela interseção de dois planos, temos que r é paralela ao 
vetor 
u dado por:

 

 

u
i j k
m
m
m i m j m k m m m� � �� � � �� � � �� � � � � ��� �1 2
1 1
1 2 2 1 1 2 2 1
2 2
, , ��
Para que r seja perpendicular a π, o vetor u deve ser múltiplo do vetor 
n � �� �1 0 1, , que é normal ao plano π, portanto,  

u n� � 0 , ou seja:
 
 

 

u n
i j k
m m m m i m m j m k� � � � �
�
� �� � � � � �� � � �� � �1 2 2 1
1 0 1
2 1 2 1 2
2 2

0
Logo temos: 
m
m m m
m
� �
� � � �
� �
�
�
�
�
�
2 0
2 0 2
2 0
2
Logo, m = 2 , 
u � �� �3 0 3, , e, portanto, r x y z
x y z
:
2 2 1
2 2
� � �
� � �
�
�
�
.
Vamos encontrar um ponto de r , por exemplo, fazendo x = 0 temos 
y z
y z
y z
y z
z z e y
� �
� �
�
�
�
�
� � � �
� �
�
�
�
� � � � � �
2 1
2 2
2 4 2
2 2
3 0 0 1 .
Logo, o ponto A r� � ��0 1 0, , . Como r tem a direção do vetor u � �� �3 0 3, , , as 
equações para paramétricasde r são r
x t
y
z t
:
� �
�
�
�
�
�
�
�
3
1
3
, t∈ . Se r P� �� �� , então
P t t� �� �3 1 3, , e P também satisfaz a equação de π. Logo, � � � � �3 3 0 0t t t e 
P � � �0 1 0, , é o ponto de interseção da reta r com o plano π. 
43
UNIDADE A reta no espaço
Exercício 5:
Considere a reta r e o plano π dados pelas equações:
r x y z: 3 1
9
1
2
1
6
�
�
�
�
�
�
 e � : 4 3 3x y z� � �
Verifique se a reta r é paralela ao plano π e, caso afirmativo, calcule a distância 
de r ao plano π.
Resolução:
Vemos que o vetor normal ao plano π é 
n � �� �4 3 1, , . Por outro lado, observe 
que podemos rescrever as equações da reta r :
r
x y z
:
�
�
�
�
�
�
1
3
3
1
2
1
6
Assim, vemos que o ponto A r� �
�
�
�
�
��
1
3
1 1, , e o vetor diretor da reta é 
u � �� �3 2 6, , . 
Vamos ver se r é paralela ao plano π. Para tal, vamos calcular o produto interno:
 u n. , , . , , . .� �� � �� � � � �� � � � � � �3 2 6 4 3 1 3 4 2 3 6 1 12 6 6 0 .
Logo 
 u n⊥ e, portanto a reta r é paralela ao plano π. Mas nesse caso temos 
duas situações: a reta r pode pertencer ao plano ou ser paralela fora do plano. 
Vamos testar se o ponto A � �
�
�
�
�
�
1
3
1 1, , pertence ou não ao plano; 
π : 4
1
3
3 1 1 1
2
3
3
�
�
�
�
�
� � � � � �. . . Logo A�� e, portanto a reta r é paralela ao 
plano π, mas não pertence ao plano. 
Vamos agora calcular a distância de r a π. 
dist r dist A
n
, ,
. .
� �� � � � � �
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
� �
�
4
1
3
3 1 1 1 3
11
3
16 9 1
11
3 26

44
45
Exercício 6:
Calcule o ângulo que a reta r x y z: � � � �1
3
3
2 6
 forma com o plano XY.
Resolução:
Lembremos que o ângulo procurado é sempre o menor ângulo entre a reta e o 
plano. O plano XY tem por vetor normal o vetor 

k � � �0 0 1, , . Por outro lado, o 
vetor diretor da reta r é 
v � � �3 2 6, , . Agora vamos calcular o ângulo φ entre estes 
dois vetores, lembrando que sen sen cos� � � �� ��
�
�
�
�
� �
2
.
cos
u n
u n
� � �
� �
� �
� �
 
 
.
.
. . .3 0 2 0 6 1
9 4 36
6
49
6
7
. Logo, � � �
�
�
�
�
� � �arcsen
6
7
59
Exercício 7:
Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto Po � � �1 0 2, , , é 
concorrente com a reta s P t: , , , ,� � � � � �1 0 1 2 1 1 , t∈, e é paralela ao plano de 
equação � : 2 3 4 6 0x y z� � � � .
Resolução:
Observe na figura a seguir a representação dessa situação
P0 P
r
s
�
Figura 32
45
UNIDADE A reta no espaço
Seja P0 o ponto de interseção das retas r e s , uma vez que são concorrentes. 
Portanto, como P r s0� � � � , então existe t∈ tal que P t t t0 1 2 1� � �� �, , . Daí, 
temos que PP t t t
0
2 1
� ���
� �� �, , . E como r é paralela ao plano π, cujo vetor normal é 
n � �� �2 3 4, , , temos que PP n0 0
� ��� �
. = . Portanto:
2 1 2 3 4 4 3 4 4 5 4 0
4
5
t t t t t t t t, , . , ,�� � �� � � � � � � � � � �
Dessa forma, PP0
8
5
4
5
1
5
� ���
� ��
��
�
��
, , é um vetor diretor de r , mas podemos escolher 
um outro vetor múltiplo deste, seja 
� � ���w PP� � �� �5 8 4 10 , , que também dá a direção 
da reta r . Logo, uma equação vetorial da reta r : P h h� � � � �� � �1 0 2 8 4 1, , , , ,  . 
Assim, chegamos ao fim dessa unidade, esperando que tenham aproveitado 
e compreendido os diversos conceitos aqui tratados, bem como percebido a 
importância e aplicabilidade do tema.
46
47
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Intersecção de dois planos formando uma reta
https://goo.gl/kOUKW3
Posições relativas de retas no espaço
https://goo.gl/DOKWYp
Sites
Retas e planos no espaço
http://goo.gl/AAByuz
Ângulo entre duas retas
http://goo.gl/zUssFu
Ângulo entre reta e um plano
http://goo.gl/DCe43i
 Leitura
Leitura e representação do espaço: As relações entre as formas no espaço.
http://goo.gl/ahS2Vo
Geometria espacial de posição
http://goo.gl/HjvbgT
Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Fundamental, 6º Ano Pontos, retas e planos; retas paralelas e 
retas concorrentes – conceitos iniciais.
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UNIDADE A reta no espaço
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