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IBGE 
Recenseador 
 
 
1 Números reais. 1.1 Operações e problemas. .................................................................... 1 
2 Porcentagens. 2.1 Problemas que envolvem cálculo de percentuais. ............................... 7 
3 Função do 1º grau. 3.1 Representações algébrica e gráfica. .......................................... 14 
4 Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. ........... 30 
5 Resolução de equações do 2º grau. ............................................................................... 38 
6 Unidades de medida (de comprimento, volume, capacidade, tempo, massa, temperatura e 
área) e resolução de problemas envolvendo grandezas (comprimento, volume, capacidade, 
tempo, massa, temperatura e área). ....................................................................................... 45 
7 Problemas envolvendo o cálculo de área e perímetro de figuras planas e volume. ......... 54 
8 Leitura de mapas e plantas baixas. 9 Localização e movimentação utilizando mapas e 
plantas baixas. ....................................................................................................................... 77 
10 Leitura e interpretação de tabelas e gráficos. ................................................................ 88 
 
 
 
Olá Concurseiro, tudo bem? 
 
Sabemos que estudar para concurso público não é tarefa fácil, mas acreditamos na sua 
dedicação e por isso elaboramos nossa apostila com todo cuidado e nos exatos termos do 
edital, para que você não estude assuntos desnecessários e nem perca tempo buscando 
conteúdos faltantes. Somando sua dedicação aos nossos cuidados, esperamos que você 
tenha uma ótima experiência de estudo e que consiga a tão almejada aprovação. 
 
Pensando em auxiliar seus estudos e aprimorar nosso material, disponibilizamos o e-mail 
professores@maxieduca.com.br para que possa mandar suas dúvidas, sugestões ou 
questionamentos sobre o conteúdo da apostila. Todos e-mails que chegam até nós, passam 
por uma triagem e são direcionados aos tutores da matéria em questão. Para o maior 
aproveitamento do Sistema de Atendimento ao Concurseiro (SAC) liste os seguintes itens: 
 
01. Apostila (concurso e cargo); 
02. Disciplina (matéria); 
03. Número da página onde se encontra a dúvida; e 
04. Qual a dúvida. 
 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhar em e-mails separados, 
pois facilita e agiliza o processo de envio para o tutor responsável, lembrando que teremos até 
três dias úteis para respondê-lo (a). 
 
Não esqueça de mandar um feedback e nos contar quando for aprovado! 
 
Bons estudos e conte sempre conosco! 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
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O conjunto dos números reais1 R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba 
não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. 
Assim temos: 
 
R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não será irracional, e vice-versa). 
 
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo: 
 
 
O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: 
- Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} 
- Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} 
- Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} 
- Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} 
- Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} 
 
Representação Geométrica dos números reais 
 
 
 
Ordenação dos números reais 
 
A representação dos números reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números reais 
positivos, são maiores que zero e os negativos, menores que zero. Expressamos a relação de ordem da 
seguinte maneira: 
Dados dois números Reais a e b, 
 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 
 
Exemplo: -15 ≤ 5 ↔ 5 - ( - 15) ≥ 0 
 5 + 15 ≥ 0 
 
Intervalos reais 
 
O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são 
determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. 
 
Em termos gerais temos: 
- A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
> ;< ou ] ; [ 
 
1IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
1 Números reais. 1.1 Operações e problemas. 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
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- A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
≥ ; ≤ ou [ ; ] 
 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. 
 
 
 
Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores em 
sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou 
reais em débito, em haver e etc. Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado 
direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. 
 
Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem o 
sinal. 
 
Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. 
 
Operações com números relativos 
 
1) Adição e subtração de números relativos 
a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. 
b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do 
maior numeral. 
Exemplos: 
3 + 5 = 8 
4 - 8 = - 4 
- 6 - 4 = - 10 
- 2 + 7 = 5 
 
2) Multiplicação e divisão de números relativos 
a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. 
b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. 
Exemplos: 
- 3 x 8 = - 24 
- 20 (-4) = + 5 
- 6 x (-7) = + 42 
28 2 = 14 
 
Questões 
 
01. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN) Mário 
começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele 
conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na 
partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da 
quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a 
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3 
 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 7. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere m um número 
real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: 
I- (20 – m) é um número menor que 20. 
II- (20 m) é um número maior que 20. 
III- (20 m) é um número menor que 20. 
É correto afirmar que: 
(A) I, II e III são verdadeiras. 
(B) apenas I e II são verdadeiras. 
(C) I, II e III são falsas. 
(D) apenas II e III são falsas. 
 
03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Na figura abaixo, o ponto 
que melhor representa a diferença 
3
4
−
1
2
 na reta dos números reais é: 
 
(A) P. 
(B) Q. 
(C) R. 
(D) S. 
 
04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá-
las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. 
Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a 
alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um 
máximo de 100 lâmpadas. 
(A) 36. 
(B) 57. 
(C) 78. 
(D) 92. 
 
05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) Para ir de sua casa à escola, 
Zeca percorre uma distância igual a 
3
4
 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto diferente. 
Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 
7
5
 deum quilômetro, 
então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a 
(A) 
2
3
 
 
(B) 
3
4
 
 
(C) 
1
2
 
 
(D) 
4
5
 
 
(E) 
3
5
 
 
06. (TJ/SP - Auxiliar de Saúde Judiciário - Auxiliar em Saúde Bucal – VUNESP) Para numerar as 
páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por exemplo, para 
numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 mL de tinta. O 
total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em mL, será 
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4 
 
(A) 1,111. 
(B) 2,003. 
(C) 2,893. 
(D) 1,003. 
(E) 2,561. 
 
07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
 
08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o 
resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor. 
Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: 
(A) 145. 
(B) 133. 
(C) 127. 
(D) 118. 
 
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Quatro números inteiros serão sorteados. 
Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o 
número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 
15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os 
números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a 
(A) 87. 
(B) 59. 
(C) 28. 
(D) 65. 
(E) 63. 
 
10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP) O valor de uma aposta em certa loteria foi 
repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, 
que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta 
foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional 
ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu 
(A) R$ 74.000,00. 
(B) R$ 93.000,00. 
(C) R$ 98.000,00. 
(D) R$ 102.000,00. 
(E) R$ 106.000,00. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: D. 
Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 
* 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 
2.x = 3791 + 15 
x = 3806 / 2 
x = 1903 
 
* 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 
2.x = 1903 + 15 
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5 
 
x = 1918 / 2 
x = 959 
 
* 2ª partida: 959 = 2.x – 15 
2.x = 959 + 15 
x = 974 / 2 
x = 487 
* 1ª partida: 487 = 2.x – 15 
2.x = 487 + 15 
x = 502 / 2 
x = 251 
Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 
 
02. Alternativa: C. 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 
 
03. Alternativa: A. 
3
4
−
1
2
= 
3 − 2
4
= 
1
4
= 0,25 
 
04. Alternativa: D. 
Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. 
Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva 
nas três equações abaixo: 
De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total 
De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total 
De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total 
Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 
7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 
7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 
 
05. Alternativa: E. 
Ida + volta = 7/5 . 1 
3
4
 . 𝑥 + 𝑥 =
7
5
 
 
5.3𝑥+ 20𝑥=7.4
20
 
 
15𝑥 + 20𝑥 = 28 
35𝑥 = 28 
 
𝑥 =
28
35
 (: 7/7) 
 
𝑥 =
4
5
 (volta) 
 
Ida: 
3
4
 .
4
5
= 
3
5
 
 
06. Alternativa: C. 
1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml 
De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 
99 – 10 + 1 = 90. 
OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 
90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml 
De 100 a 999 
999 – 100 + 1 = 900 números 
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9000,003 = 2,7 ml 
1000 = 0,004ml 
Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 
 
07. Alternativa: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
08. Alternativa: B. 
Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como: 
D = d.Q + R 
Sabemos que o R = 5 
O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8 
E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16 
Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133. 
 
09. Alternativa: B. 
* número 40: é par. 
40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 
* número 35: é ímpar. 
Seu maior divisor é 35. 
35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* número 66: é par. 
66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 
* número 27: é ímpar. 
Seu maior divisor é 27. 
27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* Por fim, vamos somar os resultados: 
37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 
 
10. Alternativa: B. 
Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim: 
* Breno: 
𝟏
𝟐
 .
𝟏
𝟑
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
𝟏
𝟔
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
x = 62000 . 6 
x = R$ 372000,00 
* Carlos: 
 
𝟏
𝟒
 . 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
 
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7 
 
 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem2. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um 
"todo" se está referenciando. 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
01. A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Resolução: 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
, = 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
, = 12,5% 
 
Com isso podemos concluir que Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco 
B. 
 
Uma outra maneira de expressar será apenas dividir o numerador pelo denominador, ou seja: 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
= 0,10 = 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
= 0,125 = 12,5% 
 
02. Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de 
rapazes na classe? 
Resolução: 
 
 
2IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://www.porcentagem.org 
http://www.infoescola.com 
2 Porcentagens. 2.1 Problemas que envolvem cálculo de percentuais. 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
8 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
Lucro e Prejuízo 
 
É a diferençaentre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). 
 
Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
A forma percentual é: 
 
 
Exemplos: 
01. Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
Resolução: 
Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 
 
𝑎)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
. 100% ≅ 33,33% 𝑏)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
. 100% = 25% 
 
02. O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% 
sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 
Resposta D 
 
Aumento e Desconto Percentuais 
 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
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9 
 
Exemplos: 
01. Aumentar um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
02. Aumentar um valor V de 200%, equivale a multiplicá-lo por 3, pois: 
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V 
 
03. Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do 
retângulo é aumentada de: 
(A)35% 
(B)30% 
(C)3,5% 
(D)3,8% 
(E) 38% 
 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Logo, alternativa E. 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
01. Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
 
02. Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
03. O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual 
era o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil 
para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no 
valor do produto. 
 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
 
Aumentos e Descontos Sucessivos 
 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
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Vejamos alguns exemplos: 
01. Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1, como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
 
02. Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, 
observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
 
03. Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, 
um desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
Questões 
 
01. (MPE/GO – Auxiliar Administrativo – MPE/GO/2018) João e Miguel são filhos de Pedro e 
recebem pensão alimentícia do pai no percentual de 20% sobre o seu salário, cada um. Considerando 
que os rendimentos de Pedro são de R$ 2.400,00 mensais, quantos reais sobram para Pedro no final do 
mês? 
(A) R$ 1.510,00 
(B) R$ 1.920,00 
(C) R$ 960,00 
(D) R$ 1.440,00 
(E) R$ 480,00 
 
02. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE/GO/2018) Joana foi trazer compras. Encontrou um vestido 
de 150 reais. Descobriu que se pagasse à vista teria um desconto de 35%. Depois de muito pensar, Joana 
pagou à vista o tal vestido. 
Quanto ela pagou? 
 
(A) 120,00 reais; 
(B) 112,50 reais 
(C) 127,50 reais. 
(D) 97,50 reais. 
(E) 95,00 reais. 
 
03. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2018) O preço de um automóvel, à vista, 
é de R$ 36.000,00 e um certo financiamento permite que esse mesmo automóvel seja pago em 18 
parcelas mensais idênticas de R$ 2.200,00. Sendo assim, optando por financiar a compra do automóvel, 
o valor total a ser pago pelo automóvel, em relação ao preço à vista, aumentará em 
(A) 20%. 
(B) 12%. 
(C) 10%. 
(D) 15%. 
(E) 22%. 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
11 
 
04. (SANEAGO/GO – Agente de Saneamento – UFG/2018) As vendas de Natal em 2017 nos 
shopping centers cresceram 6% em relação a 2016, movimentando R$ 51,2 bilhões [O Estado de S. 
Paulo, 27/12/2017, p. B1]. De acordo com essas informações, o valor movimentado, em bilhões, pelos 
shopping centers com as compras de Natal em 2016 foi, aproximadamente, de 
(A) R$ 45,13 
(B) R$ 48,20 
(C) R$ 48,30 
(D) R$ 50,14 
 
05. (SEAD/AP – Assistente Administrativo – FCC/2018) Em uma empresa, o departamento de 
recursos humanos fez um levantamento a respeito do número de dependentes de cada funcionário e 
organizou os resultados na seguinte tabela: 
 
A porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente é igual a 
(A) 60%. 
(B) 40%. 
(C) 50%. 
(D) 33%. 
(E) 66%. 
 
06. (LIQUIGÁS – Assistente Administrativo – CESGRANRIO/2018) Um comerciante comprou 
algumas geladeiras, ao preço unitário de R$ 1.550,00, e conseguiu vender apenas algumas delas. Em 
cada geladeira vendida, o comerciante obteve um lucro de 16% sobre o preço de compra, e o lucro total 
obtido com todas as geladeiras vendidas foi de R$ 26.040,00. 
Quantas geladeiras o comerciante vendeu? 
(A) 15 
(B) 45 
(C) 75 
(D) 105 
(E) 150 
 
07. (Câm. de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
 
08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 
e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 
35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
09. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, 
descontado um imposto de 16% que incide sobre essemesmo preço, supera o preço de compra em 40%, 
os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de 
venda é superior ao de compra? 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
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(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
10. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda 
embalagem. 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
11. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos 
gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A porcentagem que lhe sobrou do 
valor, que possuía é de: 
(A) 58% 
(B) 68% 
(C) 65% 
(D) 77,5% 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Para resolver esta questão devemos encontrar 20% do salário de Pedro, ou seja: 
2.400,00 x 20% = 2400 x 0,20 = 480,00 
que é o valor que ele paga de pensão, mas como são 2 filhos será 480 + 480 = 960,00, portanto o 
valor que ele recebe será de 2400 – 960 = 1440,00. 
 
02. Resposta: D 
Vamos calcular quanto representa 35% de 150 reais. 
150 x 0,35 = 52,50 (é o valor do desconto) 
Logo o valor do vestido à vista será de: 150,00 – 52,50 = 97,50. 
 
03. Resposta: C 
Primeiramente vamos encontrar o valor o automóvel financiado em 18 parcelas de 2.200: 
18 x 2.200 = 39.600. 
Agora basta fazermos uma regra de três simples onde o valor à vista de 36.000,00 será os 100% e do 
resultado o que aumentar além dos 100% será o valor da porcentagem de acréscimo. 
36000 ---- 100 
39600 ---- x 
36000x = 39600 . 100 
36000x = 3960000 
x = 
3960000
36000
= 110 
Assim o valor financiado passou a ser 110%, logo o aumento foi de 110 – 100 = 10% 
 
04. Resposta: C 
Primeiramente devemos saber que 51,2 bilhões já está com o aumento de 6% então ele representa 
106%, agora basta descobrir o valor ante do aumento, através de uma regra de três simples. 
 
51,2 ---- 106 
 x ---- 100 
106x = 51,2 . 100 
106x = 5120 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
13 
 
x = 
5120
106
 = 48,30 aproximadamente. 
 
05. Resposta: B 
Aqui devemos ficar atentos pois existe uma pegadinha, observe que o número de funcionários que têm 
um ou mais dependentes é de 15, e na outra coluna o número de funcionários que têm dois ou mais 
dependentes é de 5, assim estes 5 já estão inclusos nos 5, portanto o total de funcionários será 10 + 15 
= 25 e também temos que o número de funcionários que terão apenas 1 dependente será 15 – 5 = 10 
funcionários. 
Vamos agora encontrar a porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente: 
10
25
= 0,40 = 40% 
 
06. Resposta: D 
O primeiro passo é saber quanto que o comerciante lucra por geladeira, com ele lucra 16%, basta 
encontrar 16% de 1550. 
0,16 x 1550 = 248 
Assim o valor que ele lucra por geladeira será 248, mas 26040 foi o valor total de lucro, portanto para 
saber quantas geladeiras ele vendeu devemos dividir o lucro total pelo lucro de uma geladeira. 
26040
248
= 105 
Vendeu 105 geladeiras no total. 
 
07. Resposta: B 
Vamos encontrar o valor pago pelo sofá e pelo tapete em cada uma das formas de pagamento: 
 
Cartão de crédito: 
10
100
 (750 + 380) = 0,10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 
8
100
. (750 + 380) = 0,08 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
08. Resposta: E 
Vamos encontrar o preço que ele revende e depois dar o desconto sob esse preço de revenda. 
Preço de revenda: 1500 + 40% = 1500 + 1500 x 0,40 = 1500 + 600 = 2100 
Preço com desconto: 2100 – 35% =2100 – 0,35 x 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
09. Resposta: A 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
10. Resposta: A 
Vamos encontrar o valor da primeira embalagem: 
2,40 . 12 = 28,80 
Agora como tem desconto de 25% na segunda embalagem, vamos encontrar seu valor (100% - 25% 
= 75%): 
28,80. 0,75 = 21,60 
O total que ele gastou foi de 
28,80 + 21,60 = 50,40 
Como ele revendeu cada lata por 3,50 ele terá recebido um total de: 
3,50 x 24 = 84,00 
O lucro então foi de: 
R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 
 
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11. Resposta: B 
De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, 
sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 
85% - 17% = 68%. 
 
 
 
RELAÇÃO 
 
Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas 
 
Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois eixos perpendiculares: 
1 - Horizontal denominado eixo das abscissas; e 
2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. 
 
Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um espaço. Além do mais, o plano 
cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguintes propriedades em relação ao 
par ordenado (x, y) ou (a, b). 
 
 
Par Ordenado 
 
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo 
conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente 
distinguir a ordem destes elementos. 
Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto formado por dois elementos, onde o 
primeiro é a ou x e o segundo é b ou y. 
 
Exemplos: 
1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5. 
2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 → a = 4 e b = 3. 
 
Gráfico Cartesiano do Par Ordenado 
Todo par ordenado de números reais pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. 
 
 
3 Função do 1º grau. 3.1 Representações algébrica e gráfica. 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
15 
 
Temos que: 
- P é o ponto de coordenadas a e b; 
- o número a é chamado de abscissa de P; 
- o número b é chamado ordenada de P; 
- a origem do sistema é o ponto O (0,0). 
 
Vejamos a representação dos pontos abaixo: 
 
 
A (4,3) 
B (1,2) 
C (-2,4) 
D (-3,-4) 
E (3,-3) 
F (-4,0) 
G (0,-2) 
 
 
Produto Cartesiano 
 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis 
pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença 
ao 2º conjunto (B). 
 
𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁} 
 
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A 
x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. 
 
Exemplo 
Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A 
cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. 
 
Listagem dos Elementos 
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares 
ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: 
 
A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} 
 
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): 
B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. 
 
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade 
comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem 
conjuntos iguais. 
 
Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados 
obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) . n(B). 
No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) . n (B) = 3 . 2 = 6 
 
Diagrama de Flechas 
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um 
dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn,e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento 
do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). 
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim 
representado no diagrama de flechas: 
 
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Plano Cartesiano 
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num 
eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os 
elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas 
(horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no 
plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). 
 
 
 
Noção de Relação 
 
Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: 
A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} 
 
Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a 
seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja: 
R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} 
Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. 
 
Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: 
R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B. 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é: 
R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B 
 
Noção de Função 
 
Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A 
e y ϵ B. 
Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação 
associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B. 
Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Analisemos através dos diagramas de Venn. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Analisemos agora através dos gráficos: 
 
 
 
Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado é ou não função, é traçarmos retas 
paralelas ao eixo do y e se verificarmos se no eixo do x existem elementos com mais de uma 
correspondência, aí podemos dizer se é ou não uma função, conforme os exemplos acima. 
 
Elementos da Função 
Como já vimos nos conceitos acima, temos que, dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de 
função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B, 
conhecida também como função de A em B. 
Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função. 
 
Pelo diagrama de Venn: 
 
 
Representado no gráfico: 
 
 
- Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D. 
Logo, D(f) = A. 
- Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD 
ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. 
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- A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). 
(Lê-se: y é igual a f de x). 
- Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A, dá-se o nome de conjunto 
imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂ B. 
 
A notação para representar função é dada por: 
 
 
Exemplo 
Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = 
x+3. 
Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem 
deste conjunto. 
F(-2) = -2 + 3 = 1 
F(-1) = -1 + 3 = 2 
F(0) = 0 + 3 = 3 
F(1) = 1 + 3 = 4 
F(2) = 2 + 3 = 5 
 
 
Domínio de uma Função Real de Variável Real 
Para definirmos uma função precisamos conhecer dois conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa 
cada elemento x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos considerar A e B sendo 
subconjuntos de R e diremos que f é uma função real de variável real. 
O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos os elementos do conjunto real de x, para 
os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. 
 
Exemplos 
1) y = x2 + 3x 
Vamos substituir x por qualquer número real e obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R. 
 
2) 𝑦 =
1
𝑥
 
Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R* 
 
3) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙−𝟐
 
 
Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0  x ≠ 2. 
D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} 
 
Questão 
 
01. Dado o conjunto A= {0, 1, 2, 3, 4}, e seja a função f: A→ R, da função f(x) = 2x + 3. O conjunto 
imagem desta função será? 
(A) Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
(B) Im = {0, 1, 2, 3, 4} 
(C) Im = {0, 5, 7, 9, 11} 
(D) Im = {5, 7, 9,11} 
(E) Im = {3, 4, 5, 6, 7} 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
20 
 
Comentário 
 
01. Resposta: A 
Basta substituirmos o x da função f(x) = 2x + 3 pelos elementos de A. 
Então: 
f(0) = 2.0 + 3 = 0 + 3 = 3 
f(1) = 2.1 + 3 = 2 + 3 = 5 
f(2) = 2.2 + 3 = 4 + 3 = 7 
f(3) = 2.3 + 3 = 6 + 3 = 9 
f(4) = 2.4 + 3 = 8 + 3 = 11 
Assim Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Função do 1º grau ou função afim ou polinomial do 1º grau recebe ou é conhecida por um desses 
nomes, sendo por definição3: Toda função f: R → R, definida por: 
 
Com a ϵ R* e b ϵ R. 
 
O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o 
contradomínio, Im = R. 
Quando b = 0, chamamos de função linear. 
 
Gráfico de uma Função 
 
Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. 
Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. 
 
x y (x,y) 
0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) 
-2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) 
-1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) 
 
 Construção do gráfico no plano cartesiano: 
 
 
Observe que a reta de uma função afim é sempre 
uma reta. 
E como a > 0 ela é função crescente, que 
veremos mais à frente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
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Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: 
 
 
Observe que a < 0, logo é uma função decrescente 
 
Tipos de Função 
 
Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma 
imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. 
 
Observe os gráficos abaixo da função constante 
 
 
 
A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou 
sobre o eixo (igual ao eixo das abscissas). 
 
Função Identidade 
Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos 
que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta 
os quadrantes pares. 
A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: 
 
 
E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Função Injetora 
Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no 
contradomínio. 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja 
interceptar o gráfico da função, uma única vez. 
 
 
Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao eixo 
x, notaremos que o mesmo cortará a reta 
formada pela função em um único ponto(o que 
representa uma imagem distinta), logo 
concluímos que se trata de uma função injetora. 
 
Função Sobrejetora 
Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio. 
 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal 
que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. 
 
 
Observe que todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente em x. 
Logo é sobrejetora. 
Im(f) = B 
 
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Observe que nem todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente em x. 
Logo não é sobrejetora. 
Im(f) ≠ B 
 
Função Bijetora 
uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
 
Exemplo: 
A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. 
 
 
 
Função Ímpar e Função Par 
Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) =
𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Par melhor 
compreensão observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є 
D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
 
 
 
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Função crescente e decrescente 
A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), 
se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função é caracterizada por uma 
reta. 
 
 
Observe que medida que os valores de x 
aumentam, os valores de y ou f(x) também 
aumentam. 
 
 
Observe que medida que os valores de x 
aumentam, os valores de y ou f(x) diminuem. 
 
Através do gráfico da função notamos que: 
- Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo 
(< 90º) e 
- Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). 
 
Zero ou Raiz da Função 
Chama-se zero ou raiz da função y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para 
que y ou f(x) seja igual à zero. 
 
 
 
Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos 
uma equação do 1º grau, ax + b = 0. 
 
Exemplo: 
Determinar o zero da função: 
f(x) = x + 3 
Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = -3 
 
Graficamente temos: 
 
 
 
No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo 
x. 
Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3, 
que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente. 
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Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de 
acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. 
 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 =
−𝒃
𝒂
 
Podemos expressar a fórmula acima graficamente: 
 
 
 
Estudo do sinal da Função 
Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: 
- A função se anule (y = 0); 
- A função seja positiva (y > 0); 
- A função seja negativa (y < 0). 
 
Vejamos abaixo o estudo do sinal: 
 
 
Exemplo: 
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 
1) Qual o valor de x que anula a função? 
y = 0 
2x – 4 = 0 
2x = 4 
x =
2
4
 
x = 2 
A função se anula para x = 2. 
 
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2) Quais valores de x tornam positiva a função? 
y > 0 
2x – 4 > 0 
2x > 4 
x >
2
4
 
x > 2 
A função é positiva para todo x real maior que 2. 
 
3) Quais valores de x tornam negativa a função? 
y < 0 
2x – 4 < 0 
2x < 4 
x <
2
4
 
x < 2 
A função é negativa para todo x real menor que 2. 
 
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: 
 
- Para x = 2 temos y = 0; 
- Para x > 2 temos y > 0; 
- Para x < 2 temos y < 0. 
 
 
 
Questões 
 
01. (MPE/SP - Geógrafo - VUNESP) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre a 
venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado. 
 
 
Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e 
que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, 
então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de: 
(A) 8 900. 
(B) 8 950. 
(C) 9 000. 
(D) 9 050. 
(E) 9 150. 
 
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02. (Pref. Jundiaí/SP - Eletricista - MAKIYAMA) Em determinado estacionamento cobra-se R$ 3,00 
por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada à tarifa 
final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale a seguir 
a equação que descreve, em reais, o valor de T: 
(A) T = 3t 
(B) T = 3t + 2,50 
(C) T = 3t + 2.50t 
(D) T = 3t + 7,50 
(E) T = 7,50t + 3 
 
03. (PM/SP - Sargento CFS - CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então 
(A) x = 5. 
(B) x = 6. 
(C) x = -6. 
(D) x = -5. 
 
04. (BNDES - Técnico Administrativo - CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta o consumo médio 
de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. 
 
 
Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. 
Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática 
de natação? 
(A) 50,0 
(B) 52,5 
(C) 55,0 
(D) 57,5 
(E) 60,0 
 
05. (PETROBRAS - Técnico Ambiental Júnior - CESGRANRIO) 
 
de domínio real, então, m − p é igual a 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 64 
(E) 7 
 
06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A função inversa de uma função f(x) do 1º 
grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é 
(A) 2. 
(B) 9. 
(C) 12. 
(D) 15. 
 
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07. (BRDE/RS - Técnico Administrativo) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto 
é C(x) = 
𝑥
2
 + 10000, e o faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 
2
3
 𝑥. Para 
que a firma não tenha prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: 
(A) R$ 20.000,00 
(B) R$ 33.000,00 
(C) R$ 35.000,00 
(D) R$ 38.000,00 
(E) R$ 40.000,00 
 
08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) Qual dos pares de pontos a seguir 
pertencem a uma função do 1º grau decrescente? 
(A) Q(3, 3) e R(5, 5). 
(B) N(0, –2) e P(2, 0). 
(C) S(–1, 1) e T(1, –1). 
(D) L(–2, –3) e M(2, 3). 
 
09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A reta que representa a função f(x) = ax + 
b intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e passa pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa função é 
(A) –4. 
(B) –2. 
(C) 1. 
(D) 2. 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT - Oficial Bombeiro Militar - UNEMAT) O planeta Terra já foi 
um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas seu núcleo 
ainda está incandescente. 
Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 
metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. 
Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina 
num ponto a 1200 metros da superfície? 
(A) 15º C 
(B) 38º C 
(C) 53º C 
(D) 30º C 
(E) 61º C 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade 
(ΔQ) vendida: 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 𝑅 =
7000 − (−1000)
80 − 0
→ 𝑅 =
8000
80
→ 𝑅 = 100 
 
Como se pretende ter umlucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo 
menos 90.500,00 
Então fazendo a variação do lucro para este valor temos: 
ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500 
Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida, 
vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas: 
 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 100 =
91500
∆𝑄
→ 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 =
91500
100
→ ∆𝑄 = 915 
 
Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que 
se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00 
 
 
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02. Resposta: B 
Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de 
tempo, e acrescentado 2,50 fixo 
T = 3t + 2,50 
 
03. Resposta: D 
35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5 
 
04. Resposta: E 
A proporção de oxigênio/tempo: 
 
10,5
2
=
21,0
4
=
𝑥
10
 
 
4x = 210 
x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 
52,5litros----70kg 
x-------------80kg 
x = 60 litros 
 
05. Resposta: C 
Aplicando segundo as condições mencionadas: 
x = 1 
f(1) = 2.1 - p 
f(1) = m - 1 
x = 6 
f(6) = 6m - 1 
 𝑓(6) =
7.6+4
2
=
42+4
2
= 23 ; igualando as duas equações: 
23 = 6m - 1 
m = 4 
Como queremos m – p , temos: 
2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente. 
2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5 
 
06. Resposta: D 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: 
( T ) 5 = a.2 + b , ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) 
( V ) 0 = a.3 + b , ou seja, 3.a + b = 0 , que fica b = – 3.a ( II ) 
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 
2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5 
Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. 
Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: 
y = a.x + b 
0 = – 5.3 + b 
b = 15 
Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . 
Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: 
x = – 5.y + 15 
5.y = – x +15 
y = – x / 5 + 15/5 
y = – x / 5 + 3 (função inversa) 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15 
 
07. Resposta: E 
C(x) = 
𝑥
2
 + 10000 
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30 
 
F(x) = 
2
3
 𝑥 
F(x) ≥ C(x) 
 
2
3
 𝑥 ≥ 
𝑥
2
 + 10000 
 
2
3
 𝑥 −
𝑥
2
 ≥ 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000 x = 
10000
1
6
  x ≥ 60000, como ele quer o menor 
valor. 
 
Substituindo no faturamento as 60000 unidades temos: 
F(x) = 
2
3
 60000 = 40.000 
 
Portanto o resultado final é de R$ 40.000,00. 
 
08. Resposta: C 
Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma 
posição “mais alta” do que o 2º ponto. 
Vamos analisar as alternativas: 
( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, 
e, assim, a função é crescente. 
( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está 
em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. 
( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais 
baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. 
( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais 
alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 
 
09. Resposta: A 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim: 
( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 
( V ) 3 = a.( – 1) + b 
a = 4 – 3 = 1 
Portanto, a função fica: y = x + 4 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = x + 4 , ou seja, x = – 4 
 
10. Resposta: C 
Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: 
A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes 
Assim: 15 . 2 = 30º C 
Assim: 23º C + 30º C = 53º C 
 
 
 
RAZÃO 
 
Razão4 é o quociente (divisão) entre dois números (quantidades, medidas, grandezas). 
 
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 𝑎: 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 
 
4IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://educacao.globo.com 
4 Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente 
proporcionais. 
 
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Onde: 
 
Você tem que ficar atento ao fato da frase que estiver o contexto, pois depende da ordem em que for 
expressa. 
 
Exemplos 
01. Em um vestibular para o curso de marketing, participaram 3600 candidatos para 150 vagas. A 
razão entre o número de vagas e o número de candidatos, nessa ordem, foi de 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑔𝑎𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
=
150
3600
=
1
24
 
 
Lemos a fração como: Um vinte e quatro avos ( pronuncia-se “ávos”). 
 
02. Em um processo seletivo diferenciado, os candidatos obtiveram os seguintes resultados: 
− Alana resolveu 11 testes e acertou 5 
− Beatriz resolveu 14 testes e acertou 6 
− Cristiane resolveu 15 testes e acertou 7 
− Daniel resolveu 17 testes e acertou 8 
− Edson resolveu 21 testes e acertou 9 
O candidato contratado, de melhor desempenho, (razão de acertos para número de testes), foi: 
 𝐴𝑙𝑎𝑛𝑎:
5
11
= 0,45 
 
 𝐵𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧:
6
14
= 0,42 
 
 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑎𝑛𝑒:
7
15
= 0,46 
 
 𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙:
8
17
= 0,47 
 
 𝐸𝑑𝑠𝑜𝑛:
9
21
= 0,42 
 
Daniel teve o melhor desempenho pois 0,47 foi o maior número. 
 
- Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, essas devem ser expressas na mesma 
unidade. 
 
Razões Especiais 
 
Escala 
Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida, então utilizamos a 
escala, que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade). 
 
𝐸 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
Velocidade Média 
É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. As unidades utilizadas são km/h, 
m/s, entre outras. 
𝑉 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
 
 
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32 
 
Densidade 
É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume. As unidades utilizadas são g/cm³, kg/m³, entre 
outras. 
𝐷 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
 
 
PROPORÇÃO 
 
É uma igualdade entre duas razões. 
 
Dada as razões 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 , à setença de igualdade 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 chama-se proporção5. 
Onde: 
 
Exemplo 
1 - O passageiro ao lado do motorista observa o painel do veículo e vai anotando, minuto a minuto, a 
distância percorrida. Sua anotação pode ser visualizada na tabela a seguir: 
 
Distância percorrida (em km) 2 4 6 8 ... 
Tempo gasto (em min) 1 2 3 4 ... 
 
Nota-se que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é sempre igual a 2: 
 
2
1
= 2 ; 
4
2
= 2 ; 
6
3
= 2 ; 
8
4
= 2 
Então: 
 
2
1
=
4
2
= 
6
3
=
8
4
 
 
Dizemos que os números da sucessão (2,4,6, 8, ...) são diretamente proporcionais aos números da 
sucessão (1,2,3,3, 4, ...). 
 
Propriedades da Proporção 
 
1 - Propriedade Fundamental 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a. d = b. c 
 
Exemplo 
Na proporção 
45
30
=
9
6
 ,(lê-se: “45 está para 30, assim como 9 está para 6.), aplicando a propriedade 
fundamental, temos: 45.6 = 30.9 = 270 
 
2 - A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a 
soma dos dois últimosestá para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 3
2
=
6 + 9
6
→
5
2
=
15
6
= 30 𝑜𝑢 
2 + 3
3
=
6 + 9
9
→
5
3
=
15
9
= 45 
 
5IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://educacao.globo.com 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
33 
 
3 - A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim 
como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑏
𝑎
=
𝑐 − 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo 
2
3
=
6
9
 → 
2 − 3
2
=
6 − 9
6
→
−1
2
=
−3
6
= −6 𝑜𝑢 
2 − 3
3
=
6 − 9
9
→
−1
3
=
−3
9
= −9 
 
4 - A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está 
para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 6
3 + 9
=
2
3
 →
8
12
=
2
3
= 24 𝑜𝑢 
2 + 6
3 + 9
=
6
9
 →
8
12
=
6
9
= 72 
 
5 - A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada 
antecedente está para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo 
6
9
=
2
3
 → 
6 − 2
9 − 3
=
6
9
 →
4
6
=
6
9
= 36 𝑜𝑢 
6 − 2
9 − 3
=
2
3
 →
4
6
=
2
3
= 12 
 
Problemas envolvendo razão e proporção 
01. Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e 
o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, 
foi de 3/5. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, 
o número de usuários atendidos foi: 
A) 84 
B) 100 
C) 217 
D) 280 
E) 350 
 
Resolução: 
Usuários internos: i 
Usuários externos: e 
Sabemos que neste dia foram atendidos 140 externos → e = 140 
𝑖
𝑖+𝑒
=
3
5
=
𝑖
𝑖+140
 , usando o produto dos meios pelos extremos temos 
 
5i = 3(i + 140) → 5i = 3i + 420 → 5i – 3i = 420 → 2i = 420 → i = 
420
2
 → i = 210 
i + e = 210 + 140 = 350 
Resposta “E” 
 
02. Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de 
candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: 
A) 2/3 
B) 3/5 
C) 5/10 
D) 2/7 
E) 6/7 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
34 
 
Resolução: 
 
 
Resposta “B” 
 
03. Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, 
sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos 
chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos 
que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário, nessa 
ordem, foi de: 
A) 2:3 
B) 1:3 
C) 1:6 
D) 3:4 
E) 2:5 
 
Resolução: 
Se 
2
5
 chegaram atrasados 
1 −
2
5
=
3
5
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
2
5
∙
1
4
=
1
10
 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 min 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜
=
1
10
3
5
 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
1
10
∙
5
3
=
1
6
 𝑜𝑢 1: 6 
 
Resposta “C” 
Questões 
 
01. (Pref. de Cerquilho/SP – Professor de Ensino Fundamental I – Metro Capital Soluções/2018) 
Durante um campeonato de tiro ao alvo, José disparou 12 vezes. Sabendo que a razão do número de 
acertos para o total de disparos foi de 3/4 (três quartos), quantos disparos José acertou? 
(A) 7. 
(B) 10. 
(C) 4. 
(D) 7. 
(E) 9. 
 
02. (Colégio Pedro II – Professor – Colégio Pedro II/2018) O trabalho infantil é um dos mais graves 
problemas do país. 
 
De acordo com a Pesquisa Nacional de Amostra por Domicílio (PNAD 2015), mais de 2,7 milhões de 
crianças e adolescentes, de 5 a 17 anos, estão em situação de trabalho no Brasil – no mundo, são 152 
milhões que estão no trabalho precoce. 
 
Disponível em: http://www.chegadetrabalhoinfantil.org.br. Acesso em: 30 jul. 2018 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
35 
 
De acordo com os dados apresentados, a fração que representa o número de meninas em situação 
de trabalho infantil no Brasil é: 
(A) 2/3 
(B) 5/10 
(C) 9/27 
(D) 94/100 
 
03. (FUNCABES – Escriturário – PROMUN/2018) Em um concurso público em que participaram 3000 
candidatos, 1800 foram aprovados. A razão do número de candidatos aprovados para o total de 
candidatos participantes do concurso é: 
(A) 2/3 
(B) 3/5 
(C) 5/10 
(D) 2/7 
 
04. (MPE/SP – Oficial de Promotoria – VUNESP) Alfredo irá doar seus livros para três bibliotecas da 
universidade na qual estudou. Para a biblioteca de matemática, ele doará três quartos dos livros, para a 
biblioteca de física, um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. O número de 
livros doados para a biblioteca de física será 
(A) 16. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E)18. 
 
05. (EBSERH/HUPA – Técnico em Informática – IDECAN) Entre as denominadas razões especiais 
encontram-se assuntos como densidade demográfica, velocidade média, entre outros. Supondo que a 
distância entre Rio de Janeiro e São Paulo seja de 430 km e que um ônibus, fretado para uma excursão, 
tenha feito este percurso em 5 horas e 30 minutos. Qual foi a velocidade média do ônibus durante este 
trajeto, aproximadamente, em km/h? 
(A) 71 km/h 
(B) 76 km/h 
(C) 78 km/h 
(D) 81 km/h 
(E) 86 km/h. 
 
06. (SEPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA) Em uma ação policial, foram apreendidos 1 
traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou que 
o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma mistura da Cannabis sativa com outras 
ervas. Interrogado, o traficante revelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava apenas 2 kg 
da Cannabis sativa; o restante era composto por várias “outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar que, 
para fabricar todo o produto apreendido, o traficante usou 
(A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas. 
(B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas. 
(C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas. 
(D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas. 
(E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas. 
 
07. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de Educação Básica – GR Consultoria e Assessoria) Eu tenho 
duas réguas, uma que ao quebrar ficou com 24 cm de comprimento e a outra tem 30 cm, portanto, a 
régua menor é quantos por cento da régua maior? 
(A) 90% 
(B) 75% 
(C) 80% 
(D) 85% 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
36 
 
08. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Uma cidade A, com 120 km de vias, 
apresentava, pela manhã, 51 km de vias congestionadas. O número de quilômetros de vias 
congestionadas numa cidade B, que tem 280 km de vias e mantém a mesma proporção que na cidade A, 
é 
(A) 119 km. 
(B) 121 km. 
(C) 123 km. 
(D) 125 km. 
(E) 127 km. 
 
09. (FINEP – Assistente – CESGRANRIO) Maria tinha 450 ml de tinta vermelha e 750 ml de tinta 
branca. Para fazer tinta rosa, ela misturou certa quantidade de tinta branca com os 450 ml de tinta 
vermelha na proporção de duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta branca. 
Feita a mistura, quantos ml de tinta branca sobraram? 
(A) 75 
(B) 125 
(C) 175 
(D) 375 
(E) 675 
 
10. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – VUNESP) A medida do comprimento de um salão retangular 
está para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. No piso desse salão, foram colocados 
somente ladrilhos quadrados inteiros, revestindo-o totalmente. Se cada fileirade ladrilhos, no sentido do 
comprimento do piso, recebeu 28 ladrilhos, então o número mínimo de ladrilhos necessários para revestir 
totalmente esse piso foi igual a 
(A) 588. 
(B) 350. 
(C) 454. 
(D) 476. 
(E) 382. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
A razão do número de acertos para o total é de 
3
4
 e o total de disparos foi 12, assim a proporção fica 
da seguinte forma: 
3
4
=
𝑥
12
 
4x = 3.12 
4x = 36 
x = 
36
4
 
x = 9 
 
02. Resposta: C 
Vamos resolver este pela forma mais simples, nos dados apresentados temos que 2 em cada 3 
crianças em situação de trabalho infantil são do sexo masculino, assim sobra apenas 1 em cada 3 para 
o sexo feminino, em fração seria 
1
3
, mas não temos esta resposta, porém temos 
9
27
 que nada mais é que 
1
3
 porém não está simplificado, assim 
1
3
=
9
27
. 
 
03. Resposta: B 
De acordo com a ordem que foi expressa devemos ter 1800 no numerador e 3000 será o denominador, 
ficando assim: 
1800
3000
, simplificando: 
18
30
=
3
5
 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
37 
 
04. Resposta: E 
X = total de livros 
Matemática = ¾ x, restou ¼ de x 
Física = 
1
3
.
1
4
 = 1/12 
Química = 36 livros 
Logo o número de livros é: 
3𝑥
4
 + 
1𝑥
12
 + 36 = x 
Fazendo o m.m.c. dos denominadores (4,12) = 12 
Logo: 
9𝑥 + 1𝑥 + 432 = 12𝑥
12
→ 10𝑥 + 432 = 12𝑥 → 12𝑥 − 10𝑥 = 432 → 2𝑥 = 432 → 𝑥 =
432
2
→ 𝑥 = 216 
 
Como a Biblioteca de Física ficou com 1/12x, logo teremos: 
1
12
. 216 =
216
12
= 18 
 
05. Resposta: C 
5h30min = 5,5h, transformando tudo em hora e suas frações. 
430
5,5
= 78,18 𝑘𝑚/ℎ 
 
06. Resposta: C 
O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg da Cannabis sativa e os demais outras 
ervas. Podemos escrever em forma de razão 
2
5
, logo: 
2
5
. 150 = 60𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑛𝑛𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 150 − 60 = 90𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠 
 
07. Resposta: C 
Como é a razão do menor pelo maior temos: 24/30 = 0,80. 100 = 80% 
 
08. Resposta: A 
A razão da cidade A será: 
51
120
 
 
A da cidade B será: 
𝑐𝑜𝑛𝑔𝑒𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
280
 
 
Como seguem a mesma proporção teremos a seguinte proporção: 
51
120
= 
𝑥
280
 
 
120.x = 51. 280 → x = 14280 / 120 → x = 119 km 
 
09. Resposta: A 
Como temos duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta branca a fração ficará 
2
3
temos 
ainda que ela utilizou 450ml de tinta vermelha, então vamos encontrar o quanto ela utilizou de tinta branca 
e depois descobrir o quanto sobrou do total (750ml) 
2
3
= 
450
𝑥
 
2x = 450. 3 → x = 1350 / 2 → x = 675 ml de tinta branca foram utilizadas. 
Sobraram: 750 ml – 675 ml = 75 ml 
 
10. Resposta: A 
Chamando de C o comprimento e de L a largura, teremos a seguinte proporção 
𝐶
𝐿
= 
4
3
 
Como no comprimento foram utilizados 28 ladrilhos, teremos C = 28 e substituindo na proporção, ficará: 
28
𝐿
= 
4
3
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
38 
 
4L = 28. 3 
L = 
84
4
 
L = 21 ladrilhos 
Como teremos 28 ladrilhos no comprimento e 21 na largura, a quantidade total será dada pela área 
dessa região retangular, ou seja, o produto do comprimento pela largura. 
Assim, o total de ladrilhos foi de 28. 21 = 588. 
 
 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita6, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação. 
 
Equação completa e incompleta 
 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
Exemplos 
x2 - 5x + 6 = 0 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
- 3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = - 3, b = 2, c = - 15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
 
Exemplo 
Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
 
 
6somatematica.com.br 
IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. Matemática: ciência e aplicações. 9ª ed. Saraiva. São Paulo. 2017. 
5 Resolução de equações do 2º grau. 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
39 
 
Exemplo 
Pelo princípio multiplicativo. 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita 
Primeiramente devemos saber duas importantes propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
 
1°) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
2º) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita 
 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
40 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
 
S= {2/5, 2} 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
 
x2 – Sx + P = 0 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
41 
 
Exemplos 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos:S = 2+7 = 9 
P = 2.7 = 14 
Com esses valores montamos a equação: x2 - 9x + 14 = 0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 - 7x + 12 = 0 
Observe que S = 7 e P = 12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3 + 4 = 7 e P = 4.3 = 12, logo o conjunto solução é: S = {3,4} 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma 
equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 0. 
(E) 9. 
 
02. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 
1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 2º grau 
dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
 
04. (CGU – Administrativa – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas 
partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximo de x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto 
das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
 
06. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² 
– mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
42 
 
(C) 10 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – Analista de Gestão – CONSULPLAN) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + 
bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5, então o 
discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao 
formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha 
era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
09. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são as 
raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
 
(C) 1. 
 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
10. (Pref. de Mogeiro/PB - Professor – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² - 3kx + 1 
= 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D) k = 2/3. 
(E) k = -2. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 
 
02. Resposta: D 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
43 
 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
04. Resposta: A 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
05. Resposta: B 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
−34
2
= −17 (Não Convém) 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
44 
 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
06. Resposta: B 
Lembrando que a fórmula pode ser escrita como: x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
 – b / a = 6 + (– 10) 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1
 = 
27±1
2
 → x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
10. Resposta: C 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
45 
 
S = P 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 
 
 
 
Sistema de Medidas Decimais: Área, volume, comprimento, capacidade, massa 
 
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre 
si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, 
listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, 
porque dele derivam as demais. 
 
 
 
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema 
tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. 
Por isso, o sistema é chamado decimal. 
 
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado 
com o nome popular de litro. 
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são 
o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades 
rurais com o nome de hectare (há): 1 hm2 = 1 ha. 
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 
vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 
= 102. 
Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos 
as relações entre algumas essas unidades e as do sistema métrico decimal (valores aproximados): 
1 polegada = 25 milímetros 
1 milha = 1 609 metros 
1 légua = 5 555 metros 
1 pé = 30 centímetros 
 
 
A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento acrescidas de quadrado. 
 
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro 
cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o centímetro cúbico(cm3). 
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor 
seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal. 
 
 
6 Unidades de medida (de comprimento, volume, capacidade, tempo,massa, 
temperatura e área) e resolução de problemas envolvendo grandezas 
(comprimento, volume, capacidade, tempo, massa, temperatura e área). 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
46 
 
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é 
de 7.000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir 
capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3 e 1m³ = 1000l. 
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte. 
 
 
 
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o 
grama(g). 
 
Nomenclatura: 
Kg – Quilograma 
hg – hectograma 
dag – decagrama 
g – grama 
dg – decigrama 
cg – centigrama 
mg – miligrama 
 
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda 
a tonelada (t). 
Medidas Especiais: 
1 Tonelada(t) = 1000 Kg 
1 Arroba = 15 Kg 
1 Quilate = 0,2 g 
 
Relações entre unidades 
 
 
 
Temos que: 
1 kg = 1l = 1 dm3 
1 hm2 = 1 ha = 10.000m2 
1 m3 = 1000 l 
 
Questões 
 
 
01. (SESAP-RN – Administrador – COMPERVE/2018) Uma criança desenvolveu uma infecção cujo 
tratamento deve ser feito com antibióticos. O antibiótico utilizado no tratamento tem recomendação diária 
de 1,5 mg por um quilograma de massa corpórea, devendo ser administrado três vezes ao dia, em doses 
iguais. Se a criança tem massa equivalente a 12 kg, cada dose administrada deve ser de 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
47 
 
(A) 7,5 mg. 
(B) 9,0 mg. 
(C) 4,5 mg. 
(D) 6,0 mg. 
 
02. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) O suco existente em uma jarra 
preenchia 
3
4
 da sua capacidade total. Após o consumo de 495 mL, a quantidade de suco restante na jarra 
passou a preencher 
1
5
 da sua capacidade total. Em seguida, foi adicionada certa quantidade de suco na 
jarra, que ficou completamente cheia. Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de suco 
adicionada foi igual, em mililitros, a 
(A) 580. 
(B) 720. 
(C) 900. 
(D) 660. 
(E) 840. 
 
03. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma casa há um filtro de barro que contém, no 
início da manhã, 4 litros de água. Desse filtro foram retirados 800 mL para o preparo da comida e meio 
litro para consumo próprio. No início da tarde, foram colocados 700 mL de água dentro desse filtro e, até 
o final do dia, mais 1,2 litros foram utilizados para consumo próprio. Em relação à quantidade de água 
que havia no filtro no início da manhã, pode-se concluir que a água que restou dentro dele, no final do 
dia, corresponde a uma porcentagem de 
(A) 60%. 
(B) 55%. 
(C) 50%. 
(D) 45%. 
(E) 40%. 
 
04. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST) Admita que cada pessoa use, semanalmente, 
4 bolsas plásticas para embrulhar suas compras, e que cada bolsa é composta de 3 g de plástico. Em um 
país com 200 milhões de pessoas, quanto plástico será utilizado pela população em um ano, para 
embrulhar suas compras? Dado: admita que o ano é formado por 52 semanas. Indique o valor mais 
próximo do obtido. 
(A) 108 toneladas 
(B) 107 toneladas 
(C) 106 toneladas 
(D) 105 toneladas 
(E) 104 toneladas 
 
05. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma chapa de alumínio com 1,3 m2 de área será 
totalmente recortada em pedaços, cada um deles com 25 cm2 de área. Supondo que não ocorra nenhuma 
perda durante os cortes, o número de pedaços obtidos com 25 cm2 de área cada um, será: 
(A) 52000. 
(B) 5200. 
(C) 520. 
(D) 52. 
(E) 5,2. 
 
06. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Uma peça de um determinado tecido tem 
30 metros, e para se confeccionar uma camisa desse tecido são necessários 15 decímetros. Com duas 
peças desse tecido é possível serem confeccionadas: 
(A) 10 camisas 
(B) 20 camisas 
(C) 40 camisas 
(D) 80 camisas 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
48 
 
07. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Um veículo tem capacidade para 
transportar duas toneladas de carga. Se a carga a ser transportada é de caixas que pesam 4 quilogramas 
cada uma, o veículo tem capacidade de transportar no máximo: 
(A) 50 caixas 
(B) 100 caixas 
(C) 500 caixas 
(D) 1000 caixas 
 
08. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um trecho de uma estrada com 5,6 km de 
comprimento está sendo reparado. A empresa A, responsável pelo serviço, já concluiu 
3
7
 do total a ser 
reparado e, por motivos técnicos, 
2
5
 do trecho que ainda faltam reparar serão feitos por uma empresa B. 
O número total de metros que a empresa A ainda terá que reparar é 
(A) 1920. 
(B) 1980. 
(C) 2070. 
(D) 2150. 
(E) 2230. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Observe que 1,5mg é a dose diária para cada quilograma da criança, como ele é aplicado 3x ao dia, 
teremos 0,5mg por aplicação, a criança possui 12kg, assim a quantidade de remédio por aplicação será 
de: 
0,5 . 12 = 6,0mg 
 
02. Resposta: B. 
Vamos chamar de x a capacidade total da jarra. Assim: 
 
3
4
 . 𝑥 − 495 = 
1
5
 . 𝑥 
 
3
4
 . 𝑥 − 
1
5
 . 𝑥 = 495 
 
5.3.𝑥 − 4.𝑥=20.495 
20
 
 
15x – 4x = 9900 
11x = 9900 
x = 9900 / 11 
x = 900 mL (capacidade total) 
Como havia 1/5 do total (1/5 . 900 = 180 mL), a quantidade adicionada foi de 900 – 180 = 720 mL 
 
03. Resposta: B. 
4 litros = 4000 ml; 1,2 litros = 1200 ml; meio litro = 500 ml 
4000 – 800 – 500 + 700 – 1200 = 2200 ml (final do dia) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
ml % 
4000 ------- 100 
2200 ------- x 
4000.x = 2200 . 100 x = 220000 / 4000 = 55% 
 
04. Resposta: D. 
4 . 3 . 200000000 . 52 = 1,248 . 1011 g = 1,248 . 105 t 
 
05. Resposta: C. 
1,3 m2 = 13000 cm2 
13000 / 25 = 520 pedaços 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
49 
 
06. Resposta: C. 
Como eu quero 2 peças desse tecido e 1 peça possui 30 metros logo: 
30 . 2 = 60 m. Temos que trabalhar com todas na mesma unidade: 1 m é 10dm assim temos 60m . 10 
= 600 dm, como cada camisa gasta um total de 15 dm, temos então: 
600/15 = 40 camisas. 
 
07. Resposta: C. 
Uma tonelada(ton) é 1000 kg, logo 2 ton. 1000kg= 2000 kg 
Cada caixa pesa 4kg  2000 kg/ 4kg = 500 caixas. 
 
08. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos transformar Km em metros: 5,6 Km = 5600 m (.1000) 
Faltam 
7
7
−
3
7
=
4
7
 do total, ou seja, 
4
7
 𝑑𝑒 5600 =
4.5600
7
= 3200𝑚 
A empresa B vai reparar 
2
5
 𝑑𝑒 3200 =
2.3200
5
= 1280𝑚 
Então, a empresa A vai reparar 3200 – 1280 = 1920m 
 
SISTEMA DE MEDIDAS NÃO DECIMAIS (TEMPO) 
 
Antigamente, para saber o melhor momento de caçar e plantar, entre outras atividades, as civilizações 
observavam a natureza, ou seja, utilizavam-se de fenômenos naturais periódicos. 
A unidade básica para a contagem do tempo é o dia, que corresponde ao período de tempo entre dois 
eventos equivalentes sucessivos: por exemplo, o intervalo de tempo entre duas ocorrências do nascer do 
Sol, que corresponde, em média (dia solar médio), a 24 horas. 
O ano solar é o período de tempo decorrido para completar um ciclo de estações (primavera, verão, 
outono e inverno). O ano solar médio tem a duração de aproximadamente 365 dias, 5 horas, 48 minutos 
e 47 segundos (365,2422 dias). Também é conhecido como ano trópico. A cada quatro anos, as horas 
extras acumuladas são reunidas no dia 29 de fevereiro, formando o ano bissexto, ou seja, o ano com 366 
dias. 
Temos uma maneira prática de verificar se um ano é bissexto: 
- Se o número que indica o ano é terminado em 00, esse ano será bissexto se o número for divisível 
por 400. 
- Se o número que indica o ano não é terminado em 00, esse ano será bissexto se o número for 
divisível por 4. 
Exemplo: 
O ano de 2000, por exemplo, foi bissexto porque 2000 termina em 00 e é divisível por 400. 
 
Os calendários antigos baseavam-se em meses lunares (calendários lunares) ou no ano solar 
(calendário solar) para contagem do tempo. Eles ainda podem definir outras unidades detempo, como a 
semana, para o propósito de planejar atividades regulares que não se encaixam facilmente com meses 
ou anos. 
O Ano é dividido em 12 meses, os meses, em semanas, e cada semana, em 7 dias. 
O período de 2 meses corresponde a um bimestre, o de 3 meses a um trimestre e o de 6 meses, a um 
semestre. 
Concluindo: 
- 1 ano tem 365 a 366(bissexto) dias; 
- 1 ano está dividido em 12 meses; 
- 1 mês tem de 30 a 31 dias; 
- 1 dia tem 24 horas 
 
Para medirmos o tempo durante o dia, utilizamos o relógio, que pode ser de ponteiros ou digital. 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
50 
 
Em geral, os relógios marcam as HORAS, os MINUTOS e os SEGUNDOS. 
- 1 dia tem 24 horas. 
- 1 hora tem 60 minutos. 
- 1 minuto tem 60 segundos. 
 
Observe-se que não é correto escrever 3,20 horas como forma de representar 3h20min, pois o sistema 
de medida de tempo não é decimal. O 0,20h representa 12 minutos, pois 0,20.60 min = 12, logo 3,20h = 
3horas 12 minutos. 
 
- Adição e Subtração de Medida de tempo 
Ao adicionarmos ou subtrairmos medidas de tempo, precisamos estar atentos as unidades. Vejamos 
os exemplos: 
 
A) 1 h 50 min + 30 min 
 
Observe que ao somar 50 + 30, obtemos 80 minutos, como sabemos que 1 hora tem 60 minutos, 
temos, então acrescentamos a hora +1, e subtraímos 80 – 60 = 20 minutos, é o que resta nos minutos: 
 
 
 
Logo o valor encontrado é de 2 h 20 min. 
 
B) 2 h 20 min – 1 h 30 min 
 
 
 
Observe que não podemos subtrair 20 min de 30 min, então devemos passar uma hora (+1) dos 2 
para a coluna minutos. 
 
 
Então teremos novos valores para fazermos nossa subtração, 20 + 60 = 80: 
 
 
Logo o valor encontrado é de 50 min. 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
51 
 
Questões 
 
01. (SESAP – RN – Técnico em Enfermagem – COMPERVE/2018) Uma profissional de enfermagem 
deve administrar 250 ml de soro fisiológico em um paciente durante 90 minutos. Para obter a vazão 
correta do soro em gotas por minuto, ela deverá utilizar a fórmula de gotejamento, dividindo o volume do 
soro em mililitros pelo triplo do tempo em horas. De acordo com essa fórmula, a quantidade de gotas por 
minuto dever ser de, aproximadamente, 
(A) 28. 
(B) 42. 
(C) 56. 
(D) 70. 
 
02. (Pref. Camaçari/BA – Téc. Vigilância Em Saúde NM – AOCP) Joana levou 3 horas e 53 minutos 
para resolver uma prova de concurso, já Ana levou 2 horas e 25 minutos para resolver a mesma prova. 
Comparando o tempo das duas candidatas, qual foi a diferença encontrada? 
(A) 67 minutos. 
(B) 75 minutos. 
(C) 88 minutos. 
(D) 91 minutos. 
(E) 94 minutos. 
 
03. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A tabela a seguir mostra o tempo, 
aproximado, que um professor leva para elaborar cada questão de matemática. 
 
 
O gráfico a seguir mostra o número de questões de matemática que ele elaborou. 
 
 
 
O tempo, aproximado, gasto na elaboração dessas questões foi 
(A) 4h e 48min. 
(B) 5h e 12min. 
(C) 5h e 28min. 
(D) 5h e 42min. 
(E) 6h e 08min. 
 
04. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Para obter um bom acabamento, um 
pintor precisa dar duas demãos de tinta em cada parede que pinta. Sr. Luís utiliza uma tinta de secagem 
rápida, que permite que a segunda demão seja aplicada 50 minutos após a primeira. Ao terminar a 
aplicação da primeira demão nas paredes de uma sala, Sr. Luís pensou: “a segunda demão poderá ser 
aplicada a partir das 15h 40min.” 
Se a aplicação da primeira demão demorou 2 horas e 15 minutos, que horas eram quando Sr. Luís 
iniciou o serviço? 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
52 
 
(A) 12h 25 min 
(B) 12h 35 min 
(C) 12h 45 min 
(D) 13h 15 min 
(E) 13h 25 min 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
Para resolver esta questão temos que estar atentos ao enunciado, pois é dividir a quantidade em ml 
pelo tempo em horas, então 90min = 1,5hora. 
Logo, 250 : 4,5 = 55,555... que é aproximadamente 56. 
 
02. Resposta: C. 
 
Como 1h tem 60 minutos. 
Então a diferença entre as duas é de 60+28=88 minutos. 
 
03. Resposta: D. 
T = 8 . 4 + 10 . 6 + 15 . 10 + 20 . 5 = 
 = 32 + 60 + 150 + 100 = 342 min 
Fazendo: 342 / 60 = 5 h, com 42 min (resto) 
 
04. Resposta: B. 
15 h 40 – 2 h 15 – 50 min = 12 h 35min 
 
UNIDADE DE TEMPERATURA 
 
Transformação de temperatura7 
 
Os termômetros são os instrumentos de medida que determinam a temperatura de um corpo por meio 
de uma escala termométrica. Atualmente existem três escalas termométricas em uso: 
 
Escala Celsius: essa escala foi elaborada pelo astrônomo e físico Anders Celsius (1701-1744). 
Os pontos de fusão e ebulição da água nessa escala são, respectivamente, 0 °C e 100 °C. 
 
Escala Fahrenheit: construída em 1708 pelo alemão Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736), a escala 
Fahrenheit tem como referências a temperatura normal do corpo humano e a temperatura de uma mistura 
de gelo e cloreto de amônia. Nessa escala termométrica, os pontos de fusão e ebulição da água são, 
respectivamente, 32°F e 212 °F. 
 
Escala Kelvin: elaborada pelo físico William Thompson (1824-1907), conhecido como Lorde Kelvin, 
essa escala é fundamentada na ideia do zero absoluto, isto é, a temperatura em que a vibração molecular 
cessa. Nessa escala, os pontos de fusão e ebulição da água são, respectivamente, 273 K e 373 K. 
Como cada escala foi construída com um determinado parâmetro, elas registram a mesma temperatura 
por meio de valores distintos. Repare que os valores 100 °C, 212 °F e 373 K representam o mesmo estado 
de vibração molecular, indicando que a água está em seu ponto de ebulição, portanto, esses três valores 
representam a mesma temperatura, mas estão escritos em escalas termométricas diferentes. 
A equação a seguir serve para transformar qualquer valor de temperatura entre as escalas 
termométricas. 
 
 
 
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53 
 
 
 
Variação de temperatura 
Imagine que um determinado corpo tenha sua temperatura elevada de 10 °C para 60 °C. Nesse caso, 
houve um aumento de 50 °C na temperatura desse objeto. Dizemos que a variação de 
temperatura sofrida pelo corpo foi de 50°C, e isso pode ser determinado matematicamente por meio da 
diferença entre o valor final e o valor inicial de temperatura (60 – 10 = 50). 
Como as escalas Celsius e Kelvin possuem 100 intervalos cada uma, elas sempre apresentam a 
mesma variação, ou seja, se os valores 10°C e 60°C estivessem escritos na escala Kelvin, a variação de 
temperatura seria de 50 K. A escala Fahrenheit possui 180 intervalos (212 – 32 = 180), por isso, se os 
referidos valores na escala Celsius estivessem escritos em Fahrenheit, a variação não corresponderia a 
50 °F. 
Utilizando a equação de transformação entre as escalas, temos que o valor 10 °C corresponde a 50 
°F e que o valor 60 °C corresponde a 140 °F. Portanto, a variação correspondente da escala Fahrenheit 
seria de 90 °F (140 – 50 = 90). 
A equação a seguir determina a variação de temperatura sofrida entre as escalas termométricas e não 
deve ser confundida com a equação de transformação entre as escalas. 
 
Questões 
 
01. (ITA) O verão de 1994 foi particularmente quente nos Estados Unidos da América. A diferença 
entre a máxima temperatura do verão e a mínima do inverno anterior foi de 60ºC. Qual o valor dessa 
diferença na escala Fahrenheit? 
(A) 33ºF 
(B) 60ºF 
(C) 92ºF 
(D) 108ºF 
(E) 140ºF 
 
02. (Unesp) Uma panela com água é aquecida de 25°C para 80°C. A variação de temperatura 
sofrida pela panela com água, nas escalas Kelvin e Fahrenheit, foi de: 
(A) 32 K e 105°F. 
(B) 55 K e 99°F. 
(C) 57 K e 105°F. 
(D) 99 K e 105°F. 
(E) 105 K e 32°F. 
 
03. Existe uma temperatura que tem o mesmo valor na escala Celsius e na escala Fahrenheit. Qual é 
essa temperatura? 
(A) 40ºC 
(B) 0ºC 
(C) - 40ºC 
(D) - 10ºC 
(E) 10ºC 
 
 
 
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54 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
C = F 
5 9 
60 = F 
 5 9 
12 = F 
 9 
F = 12.9 
F = 108 ºF 
 
02. Resposta: B. 
Vamos converter primeiramente para kelvin e depois para fahrenheit, 
25°C = 273 + 25 = 298K 
80°C = 273 + 80 = 353K 
Assim a variação em Kelvin foi igual a variação em Celsius, ou seja 353 – 298 = 55K 
Já em Fahrenheit: 
 
°𝑪
𝟓
= 
°𝑭
𝟗
 
 
55
5
= 
°𝐹
9
 
°F = 
55 .9
5
 = 99°F 
 
°𝐶
5
= 
°𝐹
9
 
 
80
5
= 
°𝐹
9
 
°F = 
80 .9 
5
 = 144°F 
Assim a variação foi de: 144°F – 45°F = 99°F 
 
03. Resposta: C. 
 
°𝐶
100
= 
°𝐹−32
180
 
Como queremos encontrar uma temperatura igual para ambas, devemos ter °C = °F, assim: 
°𝐶
100
= 
°𝐶 − 32
180
 
180C = 100C – 3200 
180C – 100C = - 3200 
C = -3200/80 = -40°C 
 
 
 
PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
 
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. 
Exemplo: 
 
 
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm 
 
 
 
 
7 Problemas envolvendo o cálculo de área e perímetro de figuras planas e 
volume. 
 
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55 
 
Perímetros de algumas das figuras planas: 
 
 
 
 
Área: é a medida da superfície de uma figura plana. 
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um 
quadrado que tem 1 m de lado. 
 
 
Fórmulas de área das principais figuras planas: 
 
1) Retângulo 
 - sendo b a base e h a altura: 
 
 
2. Paralelogramo 
- sendo b a base e h a altura: 
 
 
3. Trapézio 
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 
 
 
4. Losango 
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 
 
 
 
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56 
 
5. Quadrado 
- sendo l o lado: 
 
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. 
 
I) sendo dados a base b e a altura h: 
 
 
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: 
 
 
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: 
 
 
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): 
 
 
V) circunferência inscrita: 
 
VI) circunferência circunscrita: 
 
 
Questões 
 
01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é, em cm2, igual a: 
(A) 12 
(B) 13 
(C) 14 
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57 
 
(D) 15 
(E) 16 
 
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC) Corta-se um arame de 30 metros em duas 
partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, 
assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
 
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares 
congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. 
 
 
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-
se que a área total desse terreno é, em m2, igual a: 
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 800. 
(D) 3000. 
(E) 3 200. 
 
04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC) Ultimamente tem havido muito 
interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, após 
uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície retangular 
totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que: 
- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro 
quadrado de célula solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica; 
- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5m de largura por 8,4m de comprimento. 
Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão 
capazes de gerar em conjunto, em watts, é: 
(A) 294000. 
(B) 38200. 
(C) 29400. 
(D) 3820. 
(E) 2940. 
 
05. (CPTM - Médico do trabalho – MAKIYAMA) Um terreno retangular de perímetro 200m está à 
venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro 
quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno? 
(A) R$ 10.000,00. 
(B) R$ 100.000,00. 
(C) R$ 125.000,00. 
(D) R$ 115.200,00. 
(E) R$ 100.500,00. 
 
06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém, 
ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o necessário. O 
perímetro dessa sala, em metros, é de: 
 
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58 
 
(A) 21,2. 
(B) 22,1. 
(C) 23,4. 
(D) 24,3. 
(E) 25,6 
 
07. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A pipa, também conhecida como 
papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para 
montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas 
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. 
As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas 
as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique 
de fora. 
 
Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área 
dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: 
(A) 576. 
(B) 704. 
(C) 832. 
(D) 1 150. 
(E) 1 472. 
 
08. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP) Para efeito decorativo, um arquiteto 
dividiu o piso de rascunho um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos 
congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura: 
 
 
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo for igual a 24 m², então a área total 
desse piso é, em m², igual a 
(A) 324 
(B) 400 
(C) 225 
(D) 256 
(E) 196 
 
Comentários 
 
01.Resposta: C. 
Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal: 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras: 
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59 
 
 d2 = l2 + l2 
 (2√7)
2
= 2l2 
 4.7 = 2l2 
 2l2 = 28 
 l2 =
28
2
 
 A = 14 cm2 
 
02. Resposta: A. 
- um quadrado terá perímetro x 
 o lado será l =
x
4
 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x 
o lado será l1 =
30−x
4
, sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: 
S = S1 + S2 
S=l²+l1² 
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
 
S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16: 
 
 S =
x2+302−2.30.x+x2
16
 
 S =
x2+900−60x+x2
16
 
 S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
, 
 
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice 
que e dado pela fórmula: x =
−b
2a
, então: 
 
 xv =
−(
−60
16
)
2.
2
16
=
60
16
4
16
 
xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15, 
 
logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 
 
03. Resposta: D. 
Observando a figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x: 
Perímetro = x + 285 
8.0,8x + 6x = x + 285 
6,4x + 6x – x = 285 
11,4x = 285 
x = 285:11,4 
x = 25 
Sendo S a área do retângulo: 
S= b.h 
S= 0,8x.x 
S = 0,8x2 
Sendo St a área total da figura: 
St = 6.0,8x2 
St = 4,8.252 
St = 4,8.625 
St = 3000 
 
04. Resposta: E. 
Retângulo com as seguintes dimensões: 
Largura: 3,5 m = 350 cm 
Comprimento: 8,4 m = 840 cm 
A = 840.350 
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60 
 
A = 294.000 cm2 
Potência = 294.000.0,01 = 2940 
 
05. Resposta: D. 
Comprimento: x 
Largura: x – 28 
Perímetro = 200 
x + x + x – 28 + x – 28 = 200 
4x – 56 = 200 
4x = 200 + 56 
x = 256 : 4 
x = 64 
Comprimento: 64 
Largura: 64 – 28 = 36 
Área: A = 64.36 = 2304 m2 
Preço = 2304.50,00= 115.200,00 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber 
o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala. 
- houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é: 
A = 30 – 3,6 
A = 26,4 m2 
- sendo x o comprimento: 
x.4 = 26,4 
x = 26,4 : 4 
x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) 
 
- o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 
2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 
 
07. Resposta: C. 
A área procurada é igual a área de um triângulo mais a área de um retângulo. 
 
A = AT + AR 
 
A = 
32.20
2
+ 16.32 
 
A = 320 + 512 = 832 
 
08. Resposta: D. 
 
O destaque da figura corresponde a base maior do nosso trapézio, e podemos perceber que equivale 
a 2x e a base menor x, portanto: 
𝐴 =
𝑏 + 𝐵
2
∙ ℎ 
24 =
𝑥 + 2𝑥
2
∙ 𝑥 
 
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61 
 
48 = 3𝑥2 
X²=16 
Substituindo: A total =4x 4x=16x²=1616=256 m² 
 
ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES 
 
I- Círculo: 
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de 
Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem 
um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende 
ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é 
semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 =
2𝜇𝑟
2
. 𝑟, então temos: 
 
 
 
II- Coroa circular: 
É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa 
circular é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos 
o 𝜋 como fator comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos: 
 
 
 
III- Setor circular: 
É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como 
elementos principais o raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas: 
 
 
 
IV- Segmento circular: 
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma 
circunferência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de 
um triângulo da área de um setor circular, então temos: 
 
 
 
 
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62 
 
Questões 
 
01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra três círculos, cada 
um com 10 cm de raio, tangentes entre si. 
 
Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área sombreada, em cm2, é: 
(A) 320. 
(B) 330. 
(C) 340. 
(D) 350. 
(E) 360. 
 
02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC) A área de um 
círculo, cuja circunferência tem comprimento 20𝜋 cm, é: 
(A) 100𝜋 cm2. 
(B) 80 𝜋 cm2. 
(C) 160 𝜋 cm2. 
(D) 400 𝜋 cm2. 
 
03. (PETROBRÁS - Inspetor de Segurança - CESGRANRIO) Quatro tanques de armazenamento de 
óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 m 
de largura, como representados na figura abaixo. 
 
Se as bases dos quatro tanques ocupam 
2
5
 da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base 
de cada tanque? 
Dado: use 𝜋=3,1 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 16. 
 
04. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) Na figura a seguir, OA = 10 cm, OB = 
8 cm e AOB = 30°. 
 
Qual, em cm², a área da superfície hachurada. Considere π = 3,14? 
(A) 5,44 cm². 
(B) 6,43 cm². 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
63 
 
(C) 7,40 cm². 
(D) 8,41 cm². 
(E) 9,42 cm². 
 
05. (U. F. de Uberlândia-MG) Uma indústria de embalagens fábrica, em sua linha de produção, discos 
de papelão circulares conforme indicado na figura. Os discos são produzidos a partir de uma folha 
quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de 
papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de (100 - 25π) 
cm2. 
 
Com base nas informações anteriores, é correto afirmar que o valor de L é: 
(A) Primo 
(B) Divisível por 3. 
(C) Ímpar. 
(D) Divisível por 5. 
 
06. Na figura abaixo está representado um quadrado de lado 4 cm e um arco de circunferência com 
centro no vértice do quadrado. Qual é a área da parte sombreada? 
 
(A) 2(4 – π) cm2 
(B) 4 – π cm2 
(C) 4(4 – π) cm2 
(D) 16 cm2 
(E) 16π cm2 
 
07. Calcular a área do segmento circular da figura abaixo, sendo r = 6 cm e o ângulo central do setor 
igual a 60°: 
 
(A) 6 π - 6√3 cm² 
(B) 2. (2 π - 3√3) cm² 
(C) 3. (4 π - 3√3) cm² 
(D) 3. (1 π - 3√3) cm² 
(E) 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 = 
20 cm. Então a área a ser calculada será: 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
64 
 
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
 
𝐴 =
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+
𝑙2√3
4
 
𝐴 =
(3,14 ∙ 102)
2
+
202 ∙ 1,73
4
 
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
400 ∙ 1,73
4
 
 𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 
 
02. Resposta: A. 
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então: 
C = 20π 
2π.r = 20π 
r =
20π
2π
 
r = 10 cm 
A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2 
 
03. Resposta: D. 
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) 
Aret = 24,8.20 
Aret = 496 m2 
 
4.Acirc = 
2
5
.Aret 
 
4.πr2 = 
2
5
.496 
4.3,1.r2 = 
992
5
 
12,4.r2 = 198,4 
r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4 
d = 2r =2.4 = 8 
 
04. Resposta: E. 
OA = 10 cm (R = raio da circunferência maior), OB = 8 cm (r = raio da circunferência menor). A área 
hachurada é parte de uma coroa circular que é dada pela fórmula Acoroa = π(R2 – r2). 
Acoroa = 3,14.(102 – 82) 
Acoroa = 3,14.(100 – 64) 
Acoroa = 3,14.36 = 113,04 cm2 
- como o ângulo dado é 30° 
360° : 30° = 12 partes iguais. 
Ahachurada = 113,04 : 12 = 9,42 cm2 
 
05. Resposta: D. 
A área de papelão não aproveitado é igual a área do quadrado menos a área de 9 círculos. Sendo que 
a área do quadrado é A = L2 e a área do círculo A = π.r2. O lado L do quadrado, pela figura dada, é igual 
a 6 raios do círculo. Então: 
6r = L → r = L/6 
A = Aq – 9.Ac 
100 - 25π = L² - 9 π r² (substituir o r) 
100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9𝜋. (
𝐿
6
)
2
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9. 𝜋.
𝐿2
36
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 −
𝜋𝐿2
4
 
 
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65 
 
Colocando em evidência o 100 no primeiro membro de e L² no segundo membro: 
100. (1 −
𝜋
4
) = 𝐿2. (1 −
𝜋
4
) → 100 = 𝐿2 → 𝐿 = √100 = 10 
 
06. Resposta: C. 
A área da região sombreada é igual a área do quadrado menos ¼ da área do círculo (setor com ângulo 
de 90°). 
𝐴 = 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 −
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
4
 → 𝐴 = 𝑙2 −
𝜋. 𝑟2
4
→ 𝐴 = 42 −
𝜋. 42
4
→ 𝐴 = 16 − 4𝜋 
 
Colocando o 4 em evidência: A = 4(4 – π) cm² 
 
07. Resposta: E. 
Asegmento = Asetor - Atriângulo 
Substituindo as fórmulas: 
𝐴𝑠𝑒𝑔 =
𝑎𝜋𝑟2
360°
−
𝑎. 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑎
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
60°. 𝜋. 62
360°
−
6.6. 𝑠𝑒𝑛60°
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
36𝜋
6
− 6.3.
√3
2
 
 
Aseg = 6 π - 9√3 = 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 
 
Sólidos Geométricos8 são figuras geométricas que possui três dimensões. Um sólido é limitado por 
um ou mais planos. Os mais conhecidos são: prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera, dessas figuras 
podemos encontrar o seu volume, pois são figuras geométricas espaciais. 
 
- Principio de Cavalieri 
Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano, discípulo de Galileu, que criou um método capaz de 
determinar áreas e volumes de sólidos com muita facilidade, denominado princípio de Cavalieri. Este 
princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma altura têm volumes iguais se as secções 
planas de iguais altura possuírem a mesma área.Vejamos: 
Suponhamos a existência de uma coleção de chapas retangulares (paralelepípedos retângulos) de 
mesmas dimensões, e consequentemente, de mesmo volume. Imaginemos ainda a formação de dois 
sólidos com essa coleção de chapas. 
 
 
Tanto em A como em B, a parte do espaço ocupado, ou seja, o volume ocupado, pela coleção de 
chapas é o mesmo, isto é, os sólidos A e B tem o mesmo volume. 
Mas se imaginarmos esses sólidos com base num mesmo plano α e situados num mesmo semiespaço 
dos determinados por α. 
 
 
8
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da matemática elementar – Vol 10 – Geometria Espacial, Posição e Métrica – 5ª edição – Atual 
Editora 
www.brasilescola.com.br 
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66 
 
Qualquer plano β, secante aos sólidos A e B, paralelo a α, determina em A e em B superfícies de áreas 
iguais (superfícies equivalentes). A mesma ideia pode ser estendida para duas pilhas com igual número 
de moedas congruentes. 
 
 
Dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado 
plano, determina superfícies de áreas iguais (superfícies 
equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes). 
 
 
 
A aplicação do princípio de Cavalieri, em geral, implica na colocação dos sólidos com base num mesmo 
plano, paralelo ao qual estão as secções de áreas iguais (que é possível usando a congruência). 
 
Sólidos geométricos 
 
I) PRISMA: é um sólido geométrico que possui duas bases iguais e paralelas. 
 
 
Elementos de um prisma: 
a) Base: pode ser qualquer polígono. 
b) Arestas da base: são os segmentos que formam as bases. 
c) Face Lateral: é sempre um paralelogramo. 
d) Arestas Laterais: são os segmentos que formam as faces laterais. 
e) Vértice: ponto de intersecção (encontro) de arestas. 
f) Altura: distância entre as duas bases. 
 
 Classificação: 
Um prisma pode ser classificado de duas maneiras: 
 
1- Quanto à base: 
- Prisma triangular...........................................................a base é um triângulo. 
- Prisma quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Prisma pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Prisma hexagonal.........................................................a base é um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Prisma Reto: a aresta lateral forma com a base um ângulo reto (90°). 
- Prisma Obliquo: a aresta lateral forma com a base um ângulo diferente de 90°. 
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67 
 
 
 Fórmulas: 
- Área da Base 
Como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a base é um triângulo 
calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e assim 
por diante. 
- Área Lateral: 
Soma das áreas das faces laterais 
- Área Total: 
At=Al+2Ab 
- Volume: 
V = Abh 
 
 Prismas especiais: temos dois prismas estudados a parte e que são chamados de prismas especiais, 
que são: 
 
a) Hexaedro (Paralelepípedo reto-retângulo): é um prisma que tem as seis faces retangulares. 
 
 
Temos três dimensões: a= comprimento, b = largura e c = altura. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 2.(ab + ac + bc) 
 
- Volume: V = a.b.c 
 
- Diagonal: D = √a2 + b2 + c2 
 
b) Hexaedro Regular (Cubo): é um prisma que tem as 6 faces quadradas. 
 
As três dimensões de um cubo: comprimento, largura e altura são iguais. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 6.a2 
 
- Volume: V = a3 
 
- Diagonal: D = a√3 
 
II) PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base e um vértice superior. 
 
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68 
 
 Elementos de uma pirâmide: 
 
A pirâmide tem os mesmos elementos de um prisma: base, arestas da base, face lateral, arestas 
laterais, vértice e altura. Além destes, ela também tem um apótema lateral e um apótema da base. 
Na figura acima podemos ver que entre a altura, o apótema da base e o apótema lateral forma um 
triângulo retângulo, então pelo Teorema de Pitágoras temos: ap2 = h2 + ab2. 
 
 Classificação: 
Uma pirâmide pode ser classificado de duas maneiras: 
1- Quanto à base: 
- Pirâmide triangular...........................................................a base é um triângulo. 
- Pirâmide quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Pirâmide pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Pirâmide hexagonal.........................................................a base é um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Pirâmide Reta: tem o vértice superior na direção do centro da base. 
- Pirâmide Obliqua: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. 
 
 
Fórmulas: 
- Área da Base: 𝐴𝑏 = 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜, como a base pode ser qualquer polígono não existe uma 
fórmula fixa. Se a base é um triângulo calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado 
calculamos a área desse quadrado, e assim por diante. 
- Área Lateral: 𝐴𝑙 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 
 
- Área Total: At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
- TRONCO DE PIRÂMIDE 
O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a 
figura: 
 
O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho. 
É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as 
bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre 
si; e a altura de qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco. 
 
Cálculo das áreas do tronco de pirâmide. 
Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. 
De acordo com a base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície 
lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, 
se a base da pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral. 
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69 
 
A área total do tronco de pirâmide é dada por: 
St = Sl + SB + Sb 
Onde: 
St → é a área total 
Sl → é a área da superfície lateral 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
Cálculo do volume do tronco de pirâmide. 
A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o volume 
de pirâmide maior e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que produziu o tronco. 
Colocando em função de sua altura e das áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do 
tronco é: 
 
Onde, 
V → é o volume do tronco 
h → é a altura do tronco 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
III) CILINDRO: é um sólido geométrico que tem duas bases iguais, paralelas e circulares. 
 
Elementos de um cilindro: 
a) Base: é sempre um círculo. 
b) Raio 
c) Altura: distância entre as duas bases. 
d) Geratriz: são os segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral é formada por infinitas 
geratrizes. 
 
Classificação: como a base de um cilindro é um círculo, ele só pode ser classificado de acordo com 
a inclinação: 
- Cilindro Reto: a geratriz forma com o plano da base um ângulo reto (90°). 
- Cilindro Obliquo: a geratriz forma com a base um ângulo diferente de 90°. 
 
 
Fórmulas: 
- Área da Base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = 2.π.r.h 
 
- Área Total: At = 2.π.r.(h + r) ou At = Al + 2.Ab 
 
- Volume: V = π.r2.h ou V = Ab.h 
 
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70 
 
Secção Meridiana de um cilindro: é um “corte” feito pelo centro do cilindro. O retângulo obtido através 
dessecorte é chamado de secção meridiana e tem como medidas 2r e h. Logo a área da secção meridiana 
é dada pela fórmula: ASM = 2r.h. 
 
 
 
Cilindro Equilátero: um cilindro é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um 
quadrado, para isto temos que: h = 2r. 
 
IV) CONE: é um sólido geométrico que tem uma base circular e vértice superior. 
 
Elementos de um cone: 
a) Base: é sempre um círculo. 
b) Raio 
c) Altura: distância entre o vértice superior e a base. 
d) Geratriz: segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral e formada por infinitas 
geratrizes. 
 
Classificação: como a base de um cone é um círculo, ele só tem classificação quanto à inclinação. 
- Cone Reto: o vértice superior está na direção do centro da base. 
- Cone Obliquo: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. 
 
 
 Fórmulas: 
- Área da base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = π.r.g 
 
- Área total: At = π.r.(g + r) ou At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝜋. 𝑟2. ℎ ou 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
- Entre a geratriz, o raio e a altura temos um triângulo retângulo, então: g2 = h2 + r2. 
 
Secção Meridiana: é um “corte” feito pelo centro do cone. O triângulo obtido através desse corte é 
chamado de secção meridiana e tem como medidas, base é 2r e h. Logo a área da secção meridiana é 
dada pela fórmula: ASM = r.h. 
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71 
 
 
 
Cone Equilátero: um cone é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um triângulo 
equilátero, para isto temos que: g = 2r. 
 
TRONCO DE CONE 
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, 
teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone. 
 
Elementos 
- A base do cone é a base maior do tronco, e a seção transversal é a base menor; 
- A distância entre os planos das bases é a altura do tronco. 
 
Diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas bases circulares em que uma delas é maior 
que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a 
medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone, também está presente na 
composição do tronco de cone. 
Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a medida da altura de sua lateral 
(geratriz), pois são elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um ângulo de 90º. No caso 
da geratriz os ângulos formados são um agudo e um obtuso. 
 
 
Onde: 
h = altura 
g = geratriz 
 
Área da Superfície e Volume 
 
 
 
Exemplo: 
Os raios das bases de um tronco de cone são 6 m e 4 m. A altura referente a esse tronco é de 10 m. 
Determine o volume desse tronco de cone. Lembre-se que π = 3,14. 
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72 
 
 
 
V) ESFERA 
 
 
 Elementos da esfera 
- Eixo: é um eixo imaginário, passando pelo centro da esfera. 
- Polos: ponto de intersecção do eixo com a superfície da esfera. 
- Paralelos: são “cortes” feitos na esfera, determinando círculos. 
- Equador: “corte” feito pelo centro da esfera, determinando, assim, o maior círculo possível. 
 
 Fórmulas 
 
 
 
- na figura acima podemos ver que o raio de um paralelo (r), a distância do centro ao paralelo ao centro 
da esfera (d) e o raio da esfera (R) formam um triângulo retângulo. Então, podemos aplicar o Teorema 
de Pitágoras: R2 = r2 + d2. 
- Área: A = 4.π.R2 
 
- Volume: V = 
4
3
. π. R3 
 
Fuso Esférico: 
 
Fórmula da área do fuso: 
𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 =
𝛼. 𝜋. 𝑅2
90°
 
 
 
 
 
 
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73 
 
Cunha Esférica: 
 
 
Fórmula do volume da cunha: 
𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 =
𝛼. 𝜋. 𝑅3
270°
 
 
Questões 
 
01. (IPSM – Analista de gestão Municipal – VUNESP/2018) Um tanque em formato de prisma reto 
retangular, cujas dimensões são 3,5 m, 1,2 m e 0,8 m, está completamente cheio de água. Durante 3 
horas e 15 minutos, há a vazão de 12 litros por minuto de água para fora do tanque. Lembre-se de que 1 
m3 é equivalente a 1000 litros. Após esse tempo, o número de litros de água que ainda permanecem no 
tanque é igual a 
(A) 980. 
(B) 1020. 
(C) 1460. 
(D) 1580. 
(E) 1610. 
 
02. (UFSM – Auxiliar em Administração – UFSM/2017) O número de furtos a bancos tem crescido 
muito nos últimos anos. Em um desses furtos, criminosos levaram 20 barras de ouro com dimensões 
dadas, em centímetros, pela figura a seguir. 
 
 
 
Se a densidade do ouro é de aproximadamente 19g/cm³, aproximadamente quantos quilogramas de 
ouro foram furtados? 
(A) 0,456 
(B) 9,120 
(C) 24,000 
(D) 45,600 
(E) 91,200 
 
03. (DEMAE – Técnico em Informática – CS-UFG/2017) Em um canteiro de obra, para calcular o 
volume de areia contida na caçamba de um caminhão, mede-se a altura da areia em cinco pontos 
estratégicos (indicados por M), a largura (L) e o comprimento (C) da base da caçamba, conforme ilustra 
a figura a seguir. 
 
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74 
 
O volume de areia na caçamba do caminhão é dado pelo produto da área da base da caçamba pela 
média aritmética das alturas da areia. Considere um caminhão carregado com 13,25 m³ de areia. A largura 
de sua caçamba é 2,4 m e o comprimento, 5,8 m. Assim, a média aritmética das alturas da areia na 
caçamba, em metros, é, aproximadamente, de: 
 
(A) 9,5 
(B) 2,3 
(C) 0,95 
(D) 0,23 
 
04. Dado o cilindro equilátero, sabendo que seu raio é igual a 5 cm, a área lateral desse cilindro, em 
cm2, é: 
(A) 90π 
(B) 100π 
(C) 80π 
(D) 110π 
(E) 120π 
 
05. Um prisma hexagonal regular tem aresta da base igual a 4 cm e altura 12 cm. O volume desse 
prisma é: 
(A) 288√3 cm3 
(B) 144√3 cm3 
(C) 200√3 cm3 
(D) 100√3 cm3 
(E) 300√3 cm3 
 
06. Um cubo tem aresta igual a 3 m, a área total e o volume desse cubo são, respectivamente, iguais 
a: 
(A) 27 m2 e 54 m3 
(B) 9 m2 e 18 m3 
(C) 54 m2 e 27 m3 
(D) 10 m2 e 20 m3 
 
07. Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base igual a 8 cm e altura 15 cm. O volume dessa 
pirâmide, em cm3, é igual a: 
(A) 60 
(B) 60√3 
(C) 80 
(D) 80√3 
(E) 90√3 
 
08. (Pref. SEARA/SC – Adjunto Administrativo – IOPLAN) Um reservatório vertical de água com a 
forma de um cilindro circular reto com diâmetro de 6 metros e profundidade de 10 metros tem a 
capacidade aproximada de, admitindo-se π=3,14: 
(A) 282,60 litros. 
(B) 28.260 litros. 
(C) 282.600,00 litros. 
(D) 28.600,00 litros. 
 
09. Um cone equilátero tem raio igual a 8 cm. A altura desse cone, em cm, é: 
(A) 6√3 
(B) 6√2 
(C) 8√2 
(D) 8√3 
(E) 8 
 
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75 
 
10. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – 
EXÉRCITO BRASILEIRO) O volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas áreas das bases 
são iguais a 36 dm² e 144 dm² vale: 
(A) 330 cm³ 
(B) 720 dm³ 
(C) 330 m³ 
(D) 360 dm³ 
(E) 336 dm³ 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Primeiro devemos encontrar o volume do paralelepípedo, depois a quantidade de água que vaza 
para poder descobrir quanto de agua ainda resta, basta subtrair o volume pela quantidade de água que 
vazou. 
V= a . b . c 
V= 3,5 . 1,2 . 0,8 
V= 3,36 m³ 
1 m³__________ 1000 LITROS 
3,36__________ x 
x= 3.360 L 
 
Aqui precisamos descobrir quanto vazou de água 
3 H 15 MIN = 3*60 +15 = 180 +15= 195 MIN 
12L ----------- 1 MIN 
y ----------- 195 MIN 
y= 195 . 12 
y= 2.340 L 
x-y = 3.360 - 2.340= 1020 LITROS 
 
02. Resposta: B. 
Primeiro devemos encontrar o volume de 1 das barras e depois basta multiplicar por 20, logo: 
V = 8x3x1 = 24cm³ 
24x19 = 456 g (pois ele possui 19g por cada cm³) 
456 x 20 (foram furtadas) = 9120g, devemos lembrar que 1 kg equivale à 1000g. 
9120/1000 = 9,120kg. 
 
03. Resposta: C. 
Como ele quer saber a média aritmética das alturas basta substituirmos na fórmula: 
V = M . L . C 
13,25 = M . 2,4 . 5,8 = 
13,92M = 13,25 
M = 13,25/13,92 
M = 0,95m 
 
04.Resposta: B. 
Em um cilindro equilátero temos que h = 2r e do enunciado r = 5 cm. 
h = 2r → h = 2.5 = 10 cm 
Al = 2.π.r.h 
Al = 2.π.5.10 → Al = 100π 
 
05. Resposta: A. 
O volume de um prisma é dado pela fórmula V = Ab.h, do enunciado temos que a aresta da base é a 
= 4 cm e a altura h = 12 cm. 
A área da base desse prisma é igual a área de um hexágono regular 
𝐴𝑏 =
6.𝑎2√3
4
 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
76 
 
𝐴𝑏 =
6.42√3
4
  𝐴𝑏 =
6.16√3
4
  𝐴𝑏 = 6.4√3  𝐴𝑏 = 24√3 cm
2 
 
V = 24√3.12 
V = 288√3 cm3 
 
06. Resposta: C. 
Do enunciado, o cubo tem aresta a = 3 m. 
At = 6.a2 V = a3 
At = 6.32 V = 33 
At = 6.9 V = 27 m3 
At = 54 m2 
 
07. Resposta: D. 
Do enunciado a base é um triângulo equilátero. E a fórmula da área do triângulo equilátero é 𝐴 =
𝑙2√3
4
. 
A aresta da base é a = 8 cm e h = 15 cm. 
 
Cálculo da área da base: 
𝐴𝑏 =
𝑎2√3
4
 
 
𝐴𝑏 =
82√3
4
=
64√3
4
 
 
𝐴𝑏 = 16√3 
 
Cálculo do volume: 
𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
𝑉 =
1
3
. 16√3. 15 
 
𝑉 = 16√3. 5 
 
𝑉 = 80√3 
 
08. Resposta: C. 
Pelo enunciado sabemos a altura (h) = 10 m e o Diâmetro da base = 6 m, logo o Raio (R) = 3m. 
O volume é Ab.h , onde Ab = π .R² → Ab = 3,14. (3)² → Ab = 28,26 
V = Ab. H → V = 28,26. 10 = 282,6 m³ 
Como o resultado é expresso em litros, sabemos que 1 m³ = 1000 l, Logo 282,26 m³ = x litros 
282,26. 1000 = 282 600 litros 
 
09. Resposta: D. 
Em um cone equilátero temos que g = 2r. Do enunciado o raio é 8 cm, então a geratriz é g = 2.8 = 16 
cm. 
g2 = h2 + r2 
162 = h2 + 82 
256 = h2 + 64 
256 – 64 = h2 
h2 = 192 
h = √192 
h = √26. 3 
h = 23√3 
h = 8√3 cm 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
77 
 
10. Resposta: E. 
𝑉 =
ℎ𝑡
3
(𝐴𝐵 + √𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑏) 
AB=144 dm² 
Ab=36 dm² 
𝑉 =
4
3
(144 + √144 ∙ 36 + 36) =
4
3
(144 + 72 + 36) =
4
3
252 = 336 𝑑𝑚3 
 
 
 
MAPAS 
 
Com o auxílio dos mapas, o aluno utiliza de formas bidimensionais no estudo de situações 
tridimensionais. O sentido de localização é colocado em prática e termos como latitude, longitude e 
altitude são relacionados às coordenadas geográficas de países, estados e cidades. Essa seria uma boa 
oportunidade para a formação de uma parceria com o professor de Geografia, colocando em prática a 
interdisciplinaridade entre as ciências exatas e humanas. 
Nesta lógica, as atividades que envolvem a utilização de mapas auxiliam na compreensão de conceitos 
abstratos e concreto, no desenvolvimento motor e intelectual da criança, mesmo com as dificuldades 
encontradas, por motivos relacionados a idade dos alunos em questão (entre 4 e 6 anos). 
Os conteúdos devem ser apresentados de maneira a despertar a curiosidade e interesse do aluno, 
revelando novas cores, sentidos e sensações. 
 
Podemos utilizar os mapas para diversas atividades, como colorir as regiões do Brasil onde cada 
estado está com o nome de sua capital, assim o aluno já aprende relacionar quantidade, regiões e capitais 
de estado. 
 
 
https://br.pinterest.com/pin/472737292117750514/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 Leitura de mapas e plantas baixas. 9 Localização e movimentação utilizando 
mapas e plantas baixas. 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
78 
 
Podemos também atribuir ao fato da utilização para o posicionamento, através de coordenadas. 
 
 
https://www.professoracarol.org/HOTPOTATOES/DESCRITORES/MAT/D01.htm 
 
 
http://prof-rinaldo.blogspot.com/2010/11/do-plano-cartesiano-aos-graficos.html 
 
INTERPRETAÇÃO E LEITURA DE PROJETOS9 
 
Antes do início propriamente dito da obra, são realizados projetos que tem como objetivo avaliar a 
viabilidade e o grau de dificuldade de execução do empreendimento proposto. 
 
Os projetos são classificados em: 
Conceituais: é elaborado de forma abrangente e consistente, permitindo que o empreendimento tenha 
condições técnicas e econômicas de ser efetivamente implantado. 
Básicos: não é apenas a tradução de um conceito em desenhos e especificações. Trata-se de um 
processo que requer experiência e criatividade, pois se desenvolve através de uma cooperação contínua 
entre especialistas de várias disciplinas. 
Executivos: é elaborado com um conjunto de elementos necessários para a execução da obra, 
permitindo reduzir consideravelmente os riscos e as incertezas relativamente ao custo da obra e suas 
condições de execução. 
 
Se após todas estas analises, for comprovado que os custos globalizados da obra forem maiores que 
os recursos financeiros determinados para o empreendimento, a obra é considerada inviável (haverá 
prejuízos para o construtor). Daí poderemos desistir do empreendimento ou redimensiona-lo. 
 
9 FASPTEC-RM - Noções Básicas de Construção Civil 
Apostila de Leitura e interpretação de projetos SENAI 
Doutores da Construção - Manual de Treinamento - Hidráulica 
http://www.suzuki.arq.br/unidadeweb/aula%2014/aula14.htm 
http://www.cimm.com.br/portal/verbetes/exibir/621-hidraulica 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
79 
 
Se os custos globalizados forem menores que os recursos financeiros disponíveis, a obra é 
considerada viável economicamente, assim, não trará transtornos como paralisações ou retardo nos 
trabalhos por falta de verba. 
Consideraremos recursos financeiros, não só os valores alocados na conta corrente do construtor ou 
da empresa responsável pela obra, mas também os financiamentos e empréstimos bancários com certeza 
de serem adquiridos. 
 
Noções Sobre Projeto Arquitetônico 
 
A representação gráfica é uma parte importante no que diz respeito aos projetos relacionados à 
construção civil. Pois proporciona meios para que o projetista possa materializar suas ideias e desejos. 
Para obter uma correta representação é necessária a utilização adequada de certos instrumentos, tais 
como: prancheta, papel, régua tê, régua paralela, esquadros, compasso, transferidor, gabaritos, réguas 
flexíveis, escalímetro, dentre outros. 
Atualmente, com a evolução tecnológica, o computador configura-se como uma ferramenta completa 
e indispensável para o desempenho da atividade de representação gráfica de projetos, através da 
utilização de programas específicos, como o AutoCAD. 
 
Escala Numérica 
 
Antes de iniciar a atividade de leitura e interpretação de projetos, há a necessidade de conhecer alguns 
preceitos fundamentais que tornam essa prática mais fácil ao observador. Tais como, o prévio 
conhecimento de escalas numéricas, cotas e projeções ortogonais. 
O termo escala pode ser entendido como sendo a relação entre cada medida do desenho e a sua 
dimensão real no objeto. Ou seja, é uma relação de proporcionalidade encontrada entre ambos, podendo 
ser de redução ou ampliação. Na construção civil as escalas sempre serão de redução, pois se constrói 
prédios enormes que estão desenhados numa simples folha de papel. Quanto à escala de ampliação, é 
mais comum nas áreas da mecânica e microeletrônica, onde algumas peças são minúsculas e precisão 
ser desenhadas de maneira ampliada para facilitar a compreensão de seus detalhes. 
Alguns exemplos são o microchip e a ponta de uma caneta esferográfica. 
As escalas podem ser classificadas como numérica ou gráfica. A primeira é representada por números. 
Já a gráfica é a representação da numérica por meio de gráfico. 
 
 
Acima uma escala gráfica, e abaixo uma numérica 
 
As escalas de ampliação recomendadas são 2/1; 5/1; 5/1; 10/1; 20/1; 100/1; etc. No entanto, quando 
se tem objetos cujas grandes dimensões impossibilitam sua representação, emprega-se a escala de 
redução. As mais usadas são 1/5; 1/10; 1/20; 1/25; 1/50; 1/100; 1/200; 1/500; 1/1000 etc. Para a escolha 
entre uma ou outra, deve-se levar em consideração o tamanho do objeto a ser representado; as 
dimensões do papel e a clareza que se dá ao desenho. 
 
𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 = 
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒇𝒆𝒊𝒕𝒂 𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒏𝒉𝒐
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂𝒓𝒆𝒂𝒍
 
 
 
Cotas 
 
São os números que representam às dimensões do que está sendo representado pelo desenho. 
Qualquer que seja a escala do desenho, as cotas significam a verdadeira grandeza das dimensões. 
 
Regras básicas: 
- As cotas devem ser escritas na posição horizontal, de modo que permita a leitura com o desenho na 
posição normal e o observador a sua direita; 
- Os algarismos devem ser colocados acima da linha de cota, quando esta for contínua; 
- Todas as cotas de um desenho devem estar na mesma unidade de medida; 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
80 
 
- Uma cota na deve ser cruzada por uma linha do desenho; 
- As linhas de cota são desenhadas paralelas à direção da medida; 
- Passar as linhas de cota de preferência fora da área do desenho; 
- Evitar a repetição de cotas; 
- O valor das cotas prevalece sobre as medidas calculadas tendo como base o desenho. 
 
 
Projeções Ortogonais 
 
A projeção ortogonal é o meio ou técnica, que possibilita a representação gráfica (ou desenho) dos 
vários lados de uma peça, no caso de desenho mecânico, ou das fachadas externas de uma casa em 
projetos arquitetônicos. 
 
 
 
Tipologia de Traços 
 
A compreensão de um projeto (ou desenho), está relacionada intimamente aos traços que o compõem. 
Cada tipo de linha vai passar uma informação ao leitor que o auxiliará na correta interpretação do 
desenho. Saber reconhecer, portanto, cada tipo de linha é uma atividade indispensável ao profissional da 
construção civil, pois ela trará informações importantes para execução de um projeto. 
Existe um padrão utilizado pelo desenho técnico em relação às espessuras e os tipos de traços. Estes 
devem ser: 
- Linha contínua e traço grosso: Devem ser utilizados nas partes interceptadas pelos planos de corte 
(planta baixa, cortes transversais e longitudinais), nas partes que se encontram mais próxima do 
observador. 
- Linha contínua e traço mais suave: Nas partes mais distantes do primeiro plano. 
Nas linhas paralelas e pouco afastadas entre si. 
- Linha tracejada e traço suave: Nas projeções das coberturas, no contorno das paredes quando oculto 
pela cobertura ou quando o plano representado está acima ou abaixo do plano de corte que deu origem 
a planta baixa. 
- Linha traço e ponto e traço suave: Na projeção da caixa d’água, quando representada na planta baixa 
e nas linhas utilizadas como eixos. 
- Linha de ruptura ou zig-zag e traço suave: Secciona parte de um projeto, limitando sua área de 
representação. Seja para mostrar detalhadamente ou restringir uma área pré-determinada. 
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81 
 
 
Tipo de linhas utilizados (fonte: ARRUDA,2004,p.09) 
 
 
O Projeto Arquitetônico 
 
O projeto arquitetônico pode ser entendido como sendo o elemento de registro gráfico e comunicação 
das características da obra pretendida, contribuindo para a sua real materialização. 
O projeto arquitetônico deve ser constituído por algumas representações gráficas, tais como: planta 
de situação, planta de locação, planta de cobertura, planta baixa, cortes (transversal e longitudinal), 
fachadas, detalhes técnicos e perspectivas. 
 
Planta de situação 
É a representação gráfica do projeto arquitetônico que indica as dimensões do terreno (lote), a quadra, 
lotes vizinhos, orientação magnética (norte geográfico), ruas de acesso e opcionalmente pontos de 
referência. Essa representação vai localizar o terreno dentro de um perímetro urbano ou até mesmo rural, 
facilitando sua identificação junto aos órgãos públicos competentes na regularização e fiscalização da 
obra. 
Os dados fornecidos numa planta de situação devem necessariamente está em acordo com a escritura 
pública do terreno, oficializando junto aos órgãos públicos o título de propriedade daquela área. 
A Planta de Situação abrange uma área relativamente grande, por isso, normalmente é desenhado em 
escalas pequenas, ex.: 1/500, 1/750, 1/1000, 1/2000 etc. 
 
 
 
Planta de locação 
É a representação gráfica do projeto arquitetônico que indica a posição da construção no terreno. 
Podendo ser indicado também muros, portões, vegetação existente, orientação magnética (norte 
geográfico), passeio público e opcionalmente construções vizinhas. 
A Planta de Locação é o ponto de partida para o início de uma obra. Pois representa graficamente a 
sua marcação no terreno. Normalmente é desenhado em escalas médias, ex.: 1/200, 1/250, 1/500. 
Na planta de locação identificamos as dimensões do terreno conforme o registro de imóveis, os 
afastamentos da construção em relação aos limites laterais, frontal e de fundos, a presença de calçadas, 
piscinas etc. 
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Planta baixa 
Desenho que representa graficamente a projeção horizontal de uma edificação ou partes dela. Pode-
se entender como sendo a seção horizontal resultante da intersecção de um plano de nível acima e 
paralelo do piso (normalmente a 1,50 m) em uma edificação, representando consigo portas, janelas, 
peças sanitárias, chuveiro e opcionalmente mobiliário de ambientação interna. As escalas mais usuais 
são: 1/50 e 1/75. 
Da planta baixa, que deve ser desenhada uma parte para cada pavimento, em caso de 
empreendimentos de múltiplos pavimentos, deve constar: 
- Disposição, dimensões cotadas, denominação dos cômodos, dependências ou compartimentos. 
- Localização e dimensão dos vão de janelas e portas; 
- Espessuras das paredes; 
- Indicação dos tipos de pisos; 
- Localização dos aparelhos hidros sanitários nas cozinhas, banheiros, lavanderias, etc. 
- Escala do desenho: normal 1:50, podendo ser eventualmente ser 1:100. 
 
 
 
Cortes 
Desenho que representa graficamente a projeção de uma seção vertical (ou plano) em uma edificação. 
Utilizado para representar detalhes que não aparece em planta baixa; indica seu pé-direito, altura de 
elementos construtivos, vistas de elementos estruturais, altura de portas e janelas, cobertura, bancadas 
etc. 
Seu objetivo é esclarecer o observador do projeto através de planos de interseção longitudinal e 
transversal, dando uma terceira dimensão a leitura e interpretação do projeto. 
Sua indicação vem representada em planta baixa por uma linha do tipo; traço e ponto ou tracejada. As 
escalas mais usuais são: 1/50 e 1/75. 
A escolha da seção de corte numa planta baixa pode ser influenciada por uma série de fatores, 
dependendo do grau de detalhes que o arquiteto pretenda demonstrar. 
Porém, recomenda-se que pelo menos um dos cortes passe pelo banheiro, visualizando o sanitário, 
lavatório e chuveiro. 
 
Os Cortes (longitudinal e transversal) devem conter: 
- Dimensões de janelas, portas, seções de paredes, vergas, lajes e pé direito de todos os pavimentos; 
- Detalhes de revestimentos especiais de todos os pavimentos (azulejos, pedras, mosaicos, etc.); 
- Detalhes da fundação e telhado (sem cotas). 
- Escala do Desenho: Normal 1:50 e eventual 1:100. 
 
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Fachadas 
Desenho que representa graficamente as faces externas do edifício (frontal e lateral). As fachadas 
podem ser interpretadas como a representação daquilo que se almeja construir. Em geral, nas fachadas 
especificam os materiais de revestimentos externos, funcionamento de esquadrias, paginação de cores, 
indicação de detalhes técnicos etc. As escalas mais usuais são: 1/50 e 1/75. 
 
 
 
Plantas do Telhado 
São desenhos em escala mostrando a cobertura do prédio, vista de cima, com o contorno total da 
construção. 
Têm por finalidade caracterizar a formação do telhado e maneira como as águas de chuva serão 
retiradas e conduzidas para o solo. 
A escala usual para plantas de telhado é de 1:100. 
 
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Detalhes técnicos 
Desenho que representa graficamente detalhes construtivos de um ambiente específico ou de algum 
elementoestrutural do edifício que por qualquer motivo que seja não seria possível representá-la com 
precisão nas plantas e cortes. Pode ser detalhe interno ou externo ao prédio. 
 
Detalhe da instalação da pia em um banheiro 
 
Perspectiva 
Desenho que possibilita graficamente a representação tridimensional de um edifício ou de ambientes 
internos a ele. Auxilia o observador na correta interpretação do projeto de arquitetura. Seu uso, apesar 
de facultativo, é de extrema importância na hora de se vender o projeto. 
A principal função da perspectiva é quebrar a expectativa em relação à obra finalizada. Representando 
sua ilustração gráfica antes mesmo de iniciar os trabalhos para sua execução. Não há uma definição a 
respeito da escala utilizada, pois, sua indicação vai depender de inúmeros fatores que possibilitam uma 
visão ampliada do prédio, casa etc. 
Atualmente, nas grandes construtoras, procuram-se a elaboração de maquetes físicas ou eletrônicas, 
em substituição as perspectivas ilustradas em um plano (papel), cujo objetivo é atrair a atenção pública 
ao lançamento de um empreendimento. Esse recurso possibilita dar aos clientes uma maior interação em 
relação ao projeto, tornando possível uma visão panorâmica do empreendimento. Modernamente as 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
85 
 
maquetes são produzidas com tecnologias só vistas em filme de ficção cientifica, as chamadas “maquetes 
holográficas”, construídas a partir de feixes de luzes sobre uma fina placa metálica, dando uma maior 
interatividade com o observador que a manipula conforme sua necessidade. Em termos didáticos 
representa o futuro da atividade de representação e de leitura e interpretação de projetos. 
 
 
Fonte: http://thiagospyked.blogspot.com.br 
 
 
Do lado esquerdo, a casa em programa tridimensional, do lado direito, a casa construída. 
 
 
 
Projeto de reforma10 
Uma boa reforma começa com um bom e funcional projeto de reforma, a leitura desse tipo de projeto 
é simples. É importante, por exemplo, saber diferenciar os itens a demolir, a construir e outras tarefas que 
serão modificadas na construção. No entanto, as legendas que devem conter no projeto ajudam a 
entender a planta. 
 
 
 
10 http://ew7.com.br/projeto-arquitetonico-com-autocad/index.php/tutoriais-e-dicas/136-projeto-de-reforma-residencial.html 
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Basicamente, o projeto determina as áreas a demolir e a construir (paredes, portas, janelas, 
banheiros...). É necessário indicar no projeto a legenda que foi utilizada, pois assim facilitam o 
entendimento por parte dos profissionais que irão executar a reforma. 
 
 
 
Projetos de Urbanismo 
 
Compreender os anseios do cliente é a primeira fase para desenvolvermos um projeto paisagístico 
dentro da boa técnica que satisfaça plenamente. Desde a escolha das espécies, da adubação apropriada, 
do estudo do ambiente, nos dá as ferramentas para projetar um harmônico e moderno jardim e atende 
aos quesitos de excelência.11 
 
 
 
 
Projetos de Pavimentação 
 
O projeto de pavimentação e drenagem de vias urbanas, rodovias, chão de fábrica e áreas de manobra 
de veículos pesados, prevê a análise do solo existente, escolha do sistema de pavimentação adequado, 
dimensionamento do revestimento em função do tráfego e dimensionamento do sistema de drenagem 
em função da topografia do terreno.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 http://hortodaspalmeiras.com.br/site/projetos-de-paisagismo/ 
12 http://www.engenheiroademar.com.br/pagina/19/projeto-de-pavimentacao-e-drenagem.html 
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Abaixo está um exemplo de projeto de pavimentação. 
 
 
 
 
 
 
Questões 
 
01. (EMBASA - Técnico Operacional (Edificações) - IBFC/2017) A planta que contém o projeto como 
um todo incluindo, além do projeto de arquitetura, também as informações necessárias dos projetos 
complementares denomina-se: 
(A) Planta de situação 
(B) Planta de locação 
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(C) Planta de edificação 
(D) Planta de cobertura 
 
02. (EMBASA - Técnico Operacional (Edificações) - IBFC/2017) Analise as afirmações abaixo e 
assinale a alternativa correta. 
I. Corte é o plano secante vertical que divide a edificação em duas partes, seja no sentido longitudinal, 
seja no transversal. 
II. Escala é a relação dimensional entre a representação de um objeto no desenho e suas dimensões 
reais. 
(A) As duas afirmações estão corretas 
(B) Nenhuma das afirmações está correta 
(C) Somente a afirmação I está correta 
(D) Somente a afirmação II está correta 
 
03. (EMBASA - Técnico Operacional (Edificações) - IBFC/2017) O documento preliminar do projeto 
que caracteriza o empreendimento ou o projeto de estudo, que contém o levantamento das informações 
necessárias, incluindo a relação dos setores que o compõem, suas ligações, necessidades de área, 
características gerais e requisitos especiais, posturas municipais, códigos e normas pertinentes 
denomina-se: 
(A) Memorial justificativo 
(B) Carimbo 
(C) Quadro de áreas 
(D) Programa de necessidades 
 
04. (EMBASA - Técnico Operacional (Edificações) - IBFC/2017) O documento que apresenta todas 
as informações necessárias à execução da obra e todos os serviços inerentes denomina-se: 
(A) Anteprojeto 
(B) Projeto prefeitura 
(C) Projeto executivo 
(D) Projeto preliminar 
 
05. (EMBASA - Técnico Operacional (Edificações) - IBFC/2017) Peças gráficas e peças escritas 
compõem os elementos básicos de um projeto. Assinale a alternativa que não contém uma peça gráfica. 
(A) Elevações 
(B) Corte 
(C) Planta 
(D) Discriminação técnica 
 
Gabarito 
 
01. B. \ 02. A. \ 03. D. \ 04. C. \ 05. D. 
 
 
 
O nosso cotidiano é permeado das mais diversas informações, sendo muito delas expressas em 
formas de tabelas e gráficos13, as quais constatamos através do noticiários televisivos, jornais, revistas, 
entre outros. Os gráficos e tabelas fazem parte da linguagem universal da Matemática, e compreensão 
desses elementos é fundamental para a leitura de informações e análise de dados. 
A parte da Matemática que organiza e apresenta dados numéricos e a partir deles fornecer conclusões 
é chamada de Estatística. 
 
Tabelas: as informações nela são apresentadas em linhas e colunas, possibilitando uma melhor 
leitura e interpretação. Exemplo: 
 
13 https://www.infoenem.com.br 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br 
10 Leitura e interpretação de tabelas e gráficos. 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
89 
 
 
Fonte: SEBRAE 
 
Observação: nas tabelas e nos gráficos podemos notar que a um título e uma fonte. O título é utilizado 
para evidenciar a principal informação apresentada, e a fonte identifica de onde os dados foram obtidos. 
 
Tipos de Gráficos 
 
Gráfico de linhas: são utilizados, em geral, para representar a variação de uma grandeza em certo 
período de tempo. 
Marcamos os pontos determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligados por 
segmentos de reta. Nesse tipo de gráfico, apenas os extremos dos segmentos de reta que compõem a 
linha oferecem informações sobre o comportamento da amostra. Exemplo: 
 
 
 
Gráfico de barras: também conhecido como gráficos de colunas, são utilizados, em geral, quando há 
uma grande quantidade de dados. Para facilitar a leitura, em alguns casos, os dados numéricos podem 
ser colocados acima das colunas correspondentes. Eles podem ser de dois tipos: barras verticais e 
horizontais. 
 
Gráfico de barras verticais: as frequências são indicadas em um eixo vertical. Marcamos os pontos 
determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligamos ao eixo das classes por meio de 
barras verticais. Exemplo:Gráfico de barras horizontais: as frequências são indicadas em um eixo horizontal. Marcamos os 
pontos determinados pelos pares ordenados (frequência, classe) e os ligamos ao eixo das classes por 
meio de barras horizontais. Exemplo: 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
90 
 
 
 
Observação: em um gráfico de colunas, cada barra deve ser proporcional à informação por ela 
representada. 
 
Gráfico de setores: são utilizados, em geral, para visualizar a relação entre as partes e o todo. 
Dividimos um círculo em setores, com ângulos de medidas diretamente proporcionais às frequências 
de classes. A medida α, em grau, do ângulo central que corresponde a uma classe de frequência F é 
dada por: 
𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 
Onde: 
Ft = frequência total 
 
Exemplo 
 
 
Para acharmos a frequência relativa, podemos fazer uma regra de três simples: 
400 --- 100% 
160 --- x 
x = 160 .100/ 400 = 40%, e assim sucessivamente. 
 
Aplicando a fórmula teremos: 
 
−𝐹𝑢𝑡𝑒𝑏𝑜𝑙: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 160 → 𝛼 = 144° 
 
−𝑉ô𝑙𝑒𝑖: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 120 → 𝛼 = 108° 
 
−𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 60 → 𝛼 = 54° 
 
−𝑁𝑎𝑡𝑎çã𝑜: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 20 → 𝛼 = 18° 
 
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos levando-se em conta a proporção 
da área a ser representada relacionada aos valores das porcentagens. A área representativa no gráfico 
será demarcada da seguinte maneira: 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
91 
 
 
 
Com as informações, traçamos os ângulos da circunferência e assim montamos o gráfico: 
 
 
 
Pictograma ou gráficos pictóricos: em alguns casos, certos gráficos, encontrados em jornais, 
revistas e outros meios de comunicação, apresentam imagens relacionadas ao contexto. Eles são 
desenhos ilustrativos. Exemplo: 
 
 
 
Histograma: o consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com 
área igual à frequência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada 
densidade de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da 
faixa. Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o 
que pode ocasionar distorções (e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes 
são utilizadas nas faixas. Exemplo: 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: mateus borges 050.523.641-99
 
92 
 
Polígono de Frequência: semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos médios das 
classes. Exemplo: 
 
 
 
Gráfico de Ogiva: apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utiliza uma poligonal 
ascendente utilizando os pontos extremos. 
 
 
 
Cartograma: é uma representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado quando o 
objetivo é de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. 
 
 
 
Interpretação de tabelas e gráficos 
 
Para uma melhor interpretação de tabelas e gráficos devemos ter em mente algumas considerações: 
- Observar primeiramente quais informações/dados estão presentes nos eixos vertical e horizontal, 
para então fazer a leitura adequada do gráfico; 
- Fazer a leitura isolada dos pontos. 
- Leia com atenção o enunciado e esteja atento ao que pede o enunciado. 
 
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93 
 
Exemplos 
 
(Enem) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades 
ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, 
industrialização e comercialização dos produtos. 
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro: 
 
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). 
Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado) 
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do 
agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. 
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de 
A) 1998 e 2001. 
B) 2001 e 2003. 
C) 2003 e 2006. 
D) 2003 e 2007. 
E) 2003 e 2008. 
 
Resolução 
 
Segundo o gráfico apresentado na questão, o período de queda da participação do agronegócio no 
PIB brasileiro se deu no período entre 2003 e 2006. Esta informação é extraída através de leitura direta 
do gráfico: em 2003 a participação era de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005, 
chegando a 23,92% em 2006 – depois deste período, a participação volta a aumentar. 
Resposta: C 
 
(Enem) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros 
quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos 
meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de 
setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar 
de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o 
aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo. 
 
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global 
em 
(A)1995. 
(B)1998. 
(C) 2000. 
(D)2005. 
(E)2007. 
 
 
 
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Resolução 
 
O enunciado nos traz uma informação bastante importante e interessante, sendo chave para a 
resolução da questão. Ele associa a camada de gelo marítimo com a reflexão da luz solar e 
consequentemente ao resfriamento da Terra. Logo, quanto menor for a extensão de gelo marítimo, menor 
será o resfriamento e portanto maior será o aquecimento global. 
O ano que, segundo o gráfico, apresenta a menor extensão de gelo marítimo, é 2007. 
 
Resposta: E 
 
Mais alguns exemplos: 
 
01. Todos os objetos estão cheios de água. 
 
 
 
Qual deles pode conter exatamente 1 litro de água? 
(A) A caneca 
(B) A jarra 
(C) O garrafão 
(D) O tambor 
 
O caminho é identificar grandezas que fazem parte do dia a dia e conhecer unidades de medida, no 
caso, o litro. Preste atenção na palavra exatamente, logo a resposta está na alternativa B. 
 
02. No gráfico abaixo, encontra-se representada, em bilhões de reais, a arrecadação de impostos 
federais no período de 2003 a 2006. Nesse período, a arrecadação anual de impostos federais: 
 
(A) nunca ultrapassou os 400 bilhões de reais. 
(B) sempre foi superior a 300 bilhões de reais. 
(C) manteve-se constante nos quatro anos. 
(D) foi maior em 2006 que nos outros anos. 
(E) chegou a ser inferior a 200 bilhões de reais. 
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Analisando cada alternativa temos que a única resposta correta é a D. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Fortaleza/CE – Pedagogia – Pref. Fortaleza) “Estar alfabetizado, neste final de século, 
supõe saber ler e interpretar dados apresentados de maneira organizada e construir representações, para 
formular e resolver problemas que impliquem o recolhimento de dados e a análise de informações. Essa 
característica da vida contemporânea traz ao currículo de Matemática uma demanda em abordar 
elementos da estatística, da combinatória e da probabilidade, desde os ciclos iniciais” (BRASIL, 1997). 
Observe os gráficos e analise as informações. 
 
 
 
A partir das informações contidas nos gráficos, é correto afirmar que: 
(A) nos dias 03 e 14 choveu a mesma quantidade em Fortaleza e Florianópolis. 
(B) a quantidade de chuva acumulada no mês de março foi maior em Fortaleza. 
(C) Fortaleza teve mais dias em que choveu do que Florianópolis. 
(D) choveu a mesma quantidade em Fortaleza e Florianópolis. 
 
02. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE) 
 
Ministérioda Justiça — Departamento Penitenciário Nacional 
— Sistema Integrado de Informações Penitenciárias – InfoPen, 
Relatório Estatístico Sintético do Sistema Prisional Brasileiro, 
dez./2013 Internet:<www.justica.gov.br> (com adaptações) 
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A tabela mostrada apresenta a quantidade de detentos no sistema penitenciário brasileiro por 
região em 2013. Nesse ano, o déficit relativo de vagas — que se define pela razão entre o déficit de 
vagas no sistema penitenciário e a quantidade de detentos no sistema penitenciário — registrado 
em todo o Brasil foi superior a 38,7%, e, na média nacional, havia 277,5 detentos por 100 mil 
habitantes. 
Com base nessas informações e na tabela apresentada, julgue o item a seguir. 
Em 2013, mais de 55% da população carcerária no Brasil se encontrava na região Sudeste. 
( )certo ( ) errado 
 
03. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP) A distribuição de salários de uma empresa com 
30 funcionários é dada na tabela seguinte. 
 
Salário (em salários mínimos) Funcionários 
1,8 10 
2,5 8 
3,0 5 
5,0 4 
8,0 2 
15,0 1 
 
Pode-se concluir que 
(A) o total da folha de pagamentos é de 35,3 salários. 
(B) 60% dos trabalhadores ganham mais ou igual a 3 salários. 
(C) 10% dos trabalhadores ganham mais de 10 salários. 
(D) 20% dos trabalhadores detêm mais de 40% da renda total. 
(E) 60% dos trabalhadores detêm menos de 30% da renda total. 
 
04. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP) Considere a tabela de distribuição de frequência 
seguinte, em que xi é a variável estudada e fi é a frequência absoluta dos dados. 
 
xi fi 
30-35 4 
35-40 12 
40-45 10 
45-50 8 
50-55 6 
TOTAL 40 
 
Assinale a alternativa em que o histograma é o que melhor representa a distribuição de 
frequência da tabela. 
 
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05. (SEJUS/ES – Agente Penitenciário – VUNESP) Observe os gráficos e analise as afirmações 
I, II e III. 
 
 I. Em 2010, o aumento percentual de matrículas em cursos tecnológicos, comparado com 2001, 
foi maior que 1000%. 
II. Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em cursos tecnológicos que no ano anterior. 
III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas no curso tecnológico presencial e à 
distância foi de 2 para 5. 
É correto o que se afirma em 
(A) I e II, apenas. 
(B) II, apenas. 
(C) I, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
(E) I, II e III. 
 
06. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A partir das informações e do gráfico apresentados, julgue o item que se segue. 
Se os percentuais forem representados por barras verticais, conforme o gráfico a seguir, então 
o resultado será denominado histograma. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
A única alternativa que contém a informação correta com os gráficos é a C. 
 
02. Resposta: CERTO. 
555----100% 
306----x 
X=55,13% 
 
03. Resposta: D. 
(A) 1,8*10+2,5*8+3,0*5+5,0*4+8,0*2+15,0*1=104 salários 
(B) 60% de 30, seriam 18 funcionários, portanto essa alternativa é errada, pois seriam 12. 
(C)10% são 3 funcionários 
(D) 40% de 104 seria 41,6 
20% dos funcionários seriam 6, alternativa correta, pois5*3+8*2+15*1=46, que já é maior. 
(E) 60% dos trabalhadores: 18 
30% da renda: 31,20, errada pois detêm mais. 
 
04. Resposta: A. 
A menor deve ser a da primeira 30-35 
Em seguida, a de 55 
Depois de 45-50 na ordem 40-45 e 35-40 
 
05. Resposta: E. 
I- 69,8------100% 
 781,6----x 
X=1119,77 
 
II- 781,6-680,7=100,9 
 
III- 
10
25
=
2
5
 
 
06. Resposta: ERRADO. 
Como foi visto na teoria, há uma faixa de valores no eixo x e não simplesmente um dado. 
 
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