matriz adjunta pg 10

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Álgebra Linear – AL
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
luiza@sorocaba.unesp.br
Matrizes Inversas
1 Matriz Inversa e Propriedades
2 Cálculo da matriz inversa por operações elementares
3 Matriz Adjunta
4 Regra de Cramer Laplace
Matriz Inversa
Definição: Uma matriz A n × n é chamada invert́ıvel ou não-
singular se existir uma matriz B n × n tal que
AB = BA = In
A matriz B é chamada a inversa de A. Se essa matriz B não existir,
então A é chamda singular ou não-invert́ıvel.
Observação: Se AB = BA = In então A é também uma inversa de
B.
Exemplo (1) Sejam A =
[
2 3
2 2
]
e B =
[
−1 32
1 −1
]
. Verifique que:
AB = BA = I2
Neste caso, B é a inversa de A e A é uma matriz invert́ıvel.
Matriz Inversa: Teorema
Teorema (1) Uma inversa de uma matriz, se existir, é unica.
Demonstração Sejam B e C inversas de A. Então BA = AC = In.
Portanto:
B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C.
Notação Denotamos a inversa de A, se existir, por A−1.
Exemplo (2) Encontre A−1 de A =
[
1 2
3 4
]
.
Sabemos que AA−1 = In, então:[
1 2
3 4
]
·
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
Exemplo (3) Encontre A−1 de A =
[
1 2
2 4
]
, se existir.
Propriedades da Inversa (a)
Teorema (2a) Se A é uma matriz invert́ıvel, então A−1 é invert́ıvel e(
A−1
)−1
= A
Demonstração A−1 é invert́ıvel se podemos encontrar uma matriz B
tal que
A−1B = BA−1 = In.
Como A é invert́ıvel,
A−1A = AA−1 = In.
Como B = A é uma inversa de A−1, e como as inversas são únicas,
concĺımos que (
A−1
)−1
= A.
Assim, a inversa da inversa da matriz invert́ıvel A é A.
Propriedades da Inversa (b)
Teorema (2b) Se A e B são matrizes invert́ıveis, então AB é invert́ıvel
e
(AB)
−1
= B−1A−1.
Demonstração Temos
(AB)
(
B−1A−1
)
= A
(
BB−1
)
A−1 = AInA
−1 = AA−1 = In
e (
B−1A−1
)
(AB) = B−1
(
A−1A
)
B = B−1InB = B
−1B = In
Portanto, AB é invert́ıvel. Como a inversa de uma matriz é única:(
BA−1
)
= B−1A−1.
Assim, a inversa de um produto de duas matrizes invert́ıveis é o pro-
duto de suas inversas na ordem contrária.
Propriedades da Inversa (c)
Teorema (2c) Se A é uma matriz invert́ıvel, então(
AT
)−1
=
(
A−1
)T
.
Demonstração Temos
AA−1 = In e A
−1A = In
Transpondo as matrizes, obtemos(
AA−1
)T
= ITn = In e
(
A−1A
)T
= ITn = In.
Então (
A−1
)T
AT = In e A
T
(
A−1
)T
= In.
Estas equações implicam que(
AT
)−1
=
(
A−1
)T
.
Propriedades das Inversas: Continuação
Exemplo (4) Seja A =
[
1 2
3 4
]
. Determine A−1, (A−1)T , AT e
(AT )−1.
Teorema (3) Suponha que A e B sejam matriz n × n .
(a) Se AB = In, então BA = In.
(b) Se BA = In, então AB = In.
Cálculo da matriz inversa por meio de operações elementares
Idéia Se A é uma matriz n×n dada, procuramos uma matriz B n×n
tal que
AB = BA = In.
Passo 1 Forme a matriz [A|In] n × 2n obtida juntando-se a matriz
identidade In e a matriz A.
Passo 2 Calcule a forma escalonada reduzida da matriz obtida no
Passo 1 utilizando operações elementares nas linhas. Lembre-se
de que o que fizer em uma linha de A também deverá fazer na linha
correspondente de In.
Passo 3 Suponha que o Passo 2 produziu a matriz [C|D] na forma
escalonada reduzida.
1. Se C = In, então D = A
−1;
2. Se C 6= In, então C tem uma linha nula. Neste caso, A é singular
e A−1 não existe.
Cálculo da matriz inversa por meio de operações elementares: Exemplo
Exemplo (5) Encontre as inversas das matrizes abaixo, se existir.
(a) A1 =
 1 1 10 2 3
5 5 1
.
(b) A2 =
 1 2 −31 −2 1
5 −2 3
.
Passo 1
(a) [A1|I3] =
 1 2 −3 1 0 01 −2 1 0 1 0
5 −2 −3 0 0 1
 – Lousa!
(b) [A2|I3] =
 1 1 1 1 0 00 2 3 0 1 0
5 5 1 0 0 1
 – Lousa!
Matriz Adjunta
Definição Seja A uma matriz n × n. Definimos a matriz adjunta
(clássica) de A, denotada por adj(A), como a transposta da matriz
formada pelos cofatores de A, ou seja,
adj(A) =

A11 A12 . . . A1n
A21 A22 . . . A2n
... ... . . . ...
An1 An2 . . . Ann

T
=

A11 A21 . . . An1
A12 A22 . . . An2
... ... . . . ...
A1n A2n . . . Ann

onde Aij = (−1)i+j det (Aij) é o cofator do elemento aij, para i, j =
1 : n.
Exemplo (6) Seja A =
 3 −2 15 6 2
1 0 −3
. Calcule adj(A). – Lousa.
Matriz Adjunta: Teorema
Teorema (4) Se A é uma matriz n × n, então
A(adjA) = (adjA)A = det(A)In.
Demonstração Temos
A(adjA) =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... ... ...
ai1 ai2 . . . ain
... ... ...
an1 an2 . . . ann
 ·

A11 A12 . . . Aj1 . . . An1
A12 A22 . . . Aj2 . . . An2
... ... ... ...
A1n A2n . . . Ajn . . . Ann

O i, j-ésimo elemento na matriz produto A(adjA) é
ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · · + ainAjn = det(A) se i = j
ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · · + ainAjn = 0 se i 6= j
Matriz Adjunta: Demonstração – continuação
Demonstração – cont. Isto significa que
A(adjA) =

det(A) 0 . . . 0
0 det(A) . . . 0
... ... . . . ...
0 0 . . . det(A)
 = det(A)In.
O i, j-ésimo elemento na matriz produto (adjA)A é
a1iA1j + a2iA2j + · · · + aniAnj = det(A) se i = j
a1iA1j + a2iA2j + · · · + aniAnj = 0 se i 6= j
Assim, (adjA)A = det(A)In.
Exemplo (7) Seja A =
 3 −2 15 6 2
1 0 −3
. Verifique A adj(A) =
adj(A) A = det(A) In. – Lousa!
Matriz Adjunta: Corolário
Corolário Se A é uma matriz n × n e det(A) 6= 0, então:
A−1 =
1
det(A)
(adj A) =

A11
det(A)
A12
det(A)
. . .
A1n
det(A)
A12
det(A)
A22
det(A)
. . .
An2
det(A)
... ... . . . ...
A1n
det(A)
A2n
det(A)
. . .
Ann
det(A)

Demonstração Do teorema anterior, temos que A(adjA) =
(adjA)A = det(A)In. Se det(A) 6= 0, então:
A
1
det(A)
(adj A) =
1
det(A)
[A(adj A)] =
1
det(A)
(det(A)In) = In.
Portanto A−1 =
1
det(A)
(adj A).
Matriz Adjunta e Inversa: Exemplo e mais
Teorema!
Exemplo (8) Seja A =
 3 −2 15 6 2
1 0 −3
. Calcule a sua inversa usando
A−1 =
1
det(A)
(adj A). – Lousa !
Teorema Uma matriz A é invert́ıvel se e somente se det(A) 6= 0.
Demonstração Como A é invert́ıvel, AA−1 = In então:
det(AA−1) = det(A)det(A−1) = det(In) = In,
implica que det(A) 6= 0.
Corolário Para uma matriz A n×n, o sistema linear homogêneo Ax =
0 tem apenas uma solução trivial se e somente se det(A) 6= 0.
Regra de Cramer
Sistema linear com n equações e n incógnitas, na forma matricial:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · . . . · · ·
am1 am2 · · · amn

︸ ︷︷ ︸
A

x1
x2
...
xn

︸ ︷︷ ︸
X
=

b1
b2
...
bn

︸ ︷︷ ︸
B
Suponha que det(A) 6= 0 e assim, A seja inverśıvel. Então
AX = B
A−1(AX) = A−1B
(A−1A)X = A−1B
InX = A
−1B
X = A−1B
Regra de Cramer (2)
Matricialmente Lembrando que A−1 =
1
det(A)
(adj A), temos que:
x1
x2
...
xn

︸ ︷︷ ︸
X
=
1
det(A)

A11 A21 . . . An1
A12 A22 . . . An2
... ... . . . ...
A1n A2n . . . Ann

︸ ︷︷ ︸
A−1
·

b1
b2
...
bn

︸ ︷︷ ︸
B
Então:
x1 =
A11b1 + A21b2 + · · · + Annbn
det(A)
.
Note que:
x1 =
1
det(A)
·det

b1 a12 . . . a1n
b2 a22 . . . a2n
... ... . . . ...
bn an2 . . . ann
 = A11b1 + A21b2 + · · · + Annbndet(A) .
Regra de Cramer (3): Regra geral
Analogamente
xi =
1
det(A)
· det
 a11 . . . b1 . . . a1n... ... ...
an1 . . . bn . . . ann
 = A1ib1 + A2ib2 + · · · + Anibn
det(A)
=
det(Ai)
det(A)
Passo 1 Calcule det(A). Se det(A) = 0, a regra de Cramer não é
aplicável. Caso contrário, vá ao Passo 2.
Passo 2 Se det(A) 6= 0, para cada i,
xi =
det(Ai)
det(A)
,
onde Ai é a matriz obtida de A substituindo-se a i-ésima coluna de
A pelo vetor B.
Regra de Cramer (4): Exemplo
Exemplo (9) Resolva os sistemas lineares abaixo usando a Regra de
Cramer.
(a)
 −2x1 + 3x2 − x3 = 1x1 + 2x2 − x3 = 4−2x1 − x2 + x3 = −3
(b)
 2x1 − 3x2 + 7x3 = 1x1 + 3x3 = 52x2 − x3 = 0