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L I B R O D E L A LU M N O
Peter Blythe
Jim Fensom
Jane Forrest
Paula Waldman de Tokman
PROGRAM A D EL D I PLOM A D E L I B O XFORD
ESTUDIOS
MATEMTICOS
NI VEL M EDIO VE
R
S
I
N
E
N
E
S
P
A
O
L
3
Great Clarendon Street, Oxford, OX2 6DP, Reino Unido
Oxford University Press es un departamento de la Universidad
de Oxford que promueve el objetivo de excelencia acadmica,
educativa e investigadora de esta Universidad mediante sus
publicaciones en todo el mundo. Oxford es una marca registrada
de Oxford University Press en el Reino Unido y en algunos otros
pases.
Oxford University Press 2015
Los autores han reivindicado sus derechos morales.
Traducido del ingls por Paula Waldman de Tokman, y revisado
por Irene Owen y Valeria Juanatey-Oogan
Derechos de autor de la traduccin Oxford University Press 2015
Primera publicacin en 2015
Reservados todos los derechos. No se podr reproducir ninguna
parte de esta publicacin, ni almacenarla en un sistema de
recuperacin de datos o transmitirla en cualquier forma o por
cualquier procedimiento sin autorizacin previa por escrito de
Oxford University Press o salvo conforme a lo expresamente
permitido por la ley, por licencia o por las condiciones acordadas
con la organizacin de derechos de reprografa pertinente.
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al margen de lo antedicho debe enviarse a: Rights Department,
Oxford University Press, Great Clarendon Street, Oxford, OX2 6DP,
Reino Unido.
No le est permitido distribuir partes de esta publicacin en
cualquier otra forma, y debe imponer esta misma condicin a
cualquier persona que tenga acceso a la misma.
Esta publicacin figura en el catlogo de la Biblioteca Britnica
con los datos siguientes:
978-0-19-833875-8
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
El papel usado para la fabricacin de este libro es un producto
natural y reciclable de madera de bosques sostenibles. El proceso de
fabricacin se ajusta a las normas ambientales del pas de origen.
Impreso en China
Agradecimientos
ii
Los editores desean agradecer a las siguientes personas e
instituciones su autorizacin para usar sus fotografas:
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Portada: JS. Sira/Photolibrary.
Los editores han procurado por todos los medios identifcar y
contactar a todos los titulares de los derechos de autor antes de
la publicacin de este libro, pero no ha sido posible en todos los
casos. Si se les notifca, los editores rectifcarn cualquier error u
omisin a la mayor brevedad.
Defnicin del libro del
alumno
Los libros del alumno del Programa del
Diploma del IB son recursos diseados como
apoyo para el estudio en los dos aos del
Programa del Diploma. Estos recursos ayudan
a los alumnos a entender lo que se espera del
estudio de una asignatura del Programa del
Diploma del IB y presentan su contenido de
manera que ilustra el propsito y los objetivos
del IB. Reejan la flosoa y el enoque del IB,
y avorecen una comprensin prounda de la
asignatura al establecer conexiones con temas
ms amplios y brindar oportunidades para el
pensamiento crtico.
Conorme a la flosoa del IB, los libros
abordan el currculo teniendo en cuenta el
curso en su totalidad y el uso de una amplia
gama de recursos, la mentalidad internacional,
el perfl de la comunidad de aprendizaje del
IB y los componentes troncales del Programa
del Diploma del IB: Teora del Conocimiento,
la Monograa y Creatividad, Actividad y
Servicio (CAS).
Todos los libros pueden usarse en combinacin
con otros materiales y, de hecho, se espera
que los alumnos del IB extraigan conclusiones
basndose en una variedad de recursos. Todos
los libros proponen lecturas adicionales
y brindan sugerencias para ampliar la
investigacin.
Adems, los libros del alumno proporcionan
asesoramiento y orientacin con respecto a los
requisitos de evaluacin de las asignaturas y la
probidad acadmica.
Declaracin de principios
del IB
El Bachillerato Internacional tiene como
meta ormar jvenes solidarios, inormados y
vidos de conocimiento, capaces de contribuir
a crear un mundo mejor y ms pacfco, en el
marco del entendimiento mutuo y el respeto
intercultural.
En pos de este objetivo, la organizacin
colabora con establecimientos escolares,
gobiernos y organizaciones internacionales
para crear y desarrollar programas de
educacin internacional exigentes y mtodos
de evaluacin rigurosos.
Estos programas alientan a alumnos del
mundo entero a adoptar una actitud activa
de aprendizaje durante toda su vida, a ser
compasivos y a entender que otraspersonas,
con sus dierencias, tambin pueden estar en lo
cierto.
El perfl de la comunidad
de aprendizaje del IB
El objetivo undamental de los programas
del Bachillerato Internacional (IB) es ormar
personas con mentalidad internacional que,
conscientes de la condicin que las une como
seres humanos y de la responsabilidad que
comparten de velar por el planeta, contribuyan
a crear un mundo mejor y ms pacfco. Como
miembros de la comunidad de aprendizaje del
IB, nos esorzamos por ser:
Indagadores: Cultivamos nuestra curiosidad,
a la vez que desarrollamos habilidades para
la indagacin y la investigacin. Sabemos
cmo aprender de manera autnoma y junto
con otros. Aprendemos con entusiasmo y
mantenemos estas ansias de aprender durante
toda la vida.
Informados e instruidos: Desarrollamos
y usamos nuestra comprensin conceptual
mediante la exploracin del conocimiento
en una variedad de disciplinas. Nos
comprometemos con ideas y cuestiones de
importancia local y mundial.
Pensadores: Utilizamos habilidades de
pensamiento crtico y creativo para analizar
y proceder de manera responsable ante
problemas complejos. Actuamos por propia
iniciativa al tomar decisiones razonadas y
ticas.
Buenos comunicadores: Nos expresamos
con confanza y creatividad en diversas
ii i
lenguas, lenguajes y maneras. Colaboramos
efcazmente, escuchando atentamente las
perspectivas de otras personas y grupos.
ntegros: Actuamos con integridad y
honradez, con un proundo sentido de la
equidad, la justicia y el respeto por la dignidad
y los derechos de las personas en todo el
mundo. Asumimos la responsabilidad de
nuestros propios actos y sus consecuencias.
De mentalidad abierta: Desarrollamos
una apreciacin crtica de nuestras propias
culturas e historias personales, as como
de los valores y tradiciones de los dems.
Buscamos y consideramos distintos puntos
de vista y estamos dispuestos a aprender de la
experiencia.
Solidarios: Mostramos empata, sensibilidad
y respeto rente a las necesidades y los
sentimientos de otros. Nos comprometemos a
ayudar a los dems y actuamos con el propsito
de inuir positivamente en las vidas de las
personas y el mundo que nos rodea.
Audaces: Abordamos la incertidumbre con
previsin y determinacin. Trabajamos de
manera autnoma y colaborativa para explorar
nuevas ideas y estrategias innovadoras.
Deendemos nuestras posturas con valenta y
claridad.
Equilibrados: Entendemos la importancia
del equilibrio sico, mental y emocional para
lograr el bienestar propio y el de los dems.
Refexivos: Evaluamos detenidamente el
mundo y nuestras propias ideas y experiencias.
Nos esorzamos por comprender nuestras
ortalezas y debilidades para, de este modo,
contribuir a nuestro aprendizaje y desarrollo
personal.
Probidad acadmica
Es undamental citar debidamente a los
autores de la inormacin que se utiliza en un
trabajo. Despus de todo, los autores de las
ideas (propiedad intelectual) tienen derechos
de propiedad. Para que un trabajo se considere
original, debe basarse en ideas propias y citar
debidamente la autora de las ideas y el trabajo
de otras personas. Por lo tanto, toda actividad
escrita u oral realizada para la evaluacin debe
estar expresada en palabras propias. Cuando se
utilicen uentes externas o se haga reerencia
a ellas, ya sea en orma de cita directa o
parrasis, se debe indicar debidamente su
procedencia.
Cmo citar el trabajo de otros
Para indicar que se han utilizado las ideas de
otras personas se usan notas a pie de pgina y
bibliograas.
Notas a pie de pgina (colocadas en la
parte inerior de una pgina) o notas al fnal
(colocadas al fnal de un documento): deben
utilizarse cuando se cita o pararasea de otro
documento, o cuando se reproduce de manera
resumida la inormacin de otro documento.
No es necesario usar una nota a pie de pgina
para inormacin que orma parte de un rea
de conocimiento. Es decir, no es necesario
citar defniciones en notas a pie de pgina,
ya que se considera que son de conocimiento
general.
Bibliograas: deben incluir una lista ormal de
los recursos que se han utilizado en un trabajo.
Por ormal se entiende que debe presentarse
siguiendo una de las varias convenciones
aceptadas. Esto normalmente implica separar
los recursos utilizados en dierentes categoras
(por ejemplo, libros, revistas, artculos
periodsticos, recursos de Internet, CD y obras
de arte) y proporcionar datos completos de
dnde puede encontrar la misma inormacin
un lector o un observador del trabajo. La
bibliograa es una parte obligatoria de la
Monograa.
Qu constituye una conducta
improcedente?
La conducta improcedente es toda accin
por la que un alumno salga o pueda salir
benefciado injustamente en uno o varios
componentes de la evaluacin. El plagio
y la colusin se consideran conducta
improcedente.
iv
Plagio: se entiende como la presentacin de
las ideas o el trabajo de otra persona como
propios. Estas son algunas ormas de evitar el
plagio:
Debe citarse la autora de las palabras e
ideas de otras personas que se utilicen para
respaldar los argumentos propios.
Los pasajes citados textualmente
deben entrecomillarse y debe citarse
su autora.
Los CD-ROM, mensajes de correo
electrnico, sitios web y otros medios
electrnicos deben ser tratados de la misma
manera que los libros y las revistas.
Debe citarse la uente de todas las
otograas, mapas, ilustraciones,
programas inormticos, datos, grfcos,
materiales audiovisuales y otros
materiales similares que no sean de
creacin propia.
Cuando se utilicen obras de arte, ya sean
de msica, cine, danza, teatro o artes
visuales, o cuando se haga un uso creativo
de una parte de una obra de arte, se debe
citar al artista original.
Colusin: se entiende como el comportamiento
de un alumno que contribuye a la conducta
improcedente de otro. Incluye:
Permitirle a otro alumno que copie un
trabajo o lo presente como si uese propio
Presentar un mismo trabajo para distintos
componentes de evaluacin o requisitos
del Programa del Diploma
Otras formas de conducta improcedente
incluyen cualquier accin que le permita a un
alumno salir benefciado injustamente, o que
tenga consecuencias sobre los resultados de
otro alumno (por ejemplo, introducir material
no autorizado a la sala de examen, conducta
indebida durante un examen y alsifcar
documentacin relacionada con CAS).
v
Contenidos
Captulo 1 Nmero y lgebra 1 2
1 .1 Los conjuntos numricos 3
1 .2 Aproximaciones y error 1 1
1 .3 Notacin cientfca 22
1 .4 Unidades de medicin SI 25
Captulo 2 Estadstica descriptiva 42
2.1 Clasifcacin de datos 44
2.2 Datos discretos simples 47
2.3 Datos discretos o continuos agrupados 48
2.4 Medidas de posicin central 54
2.5 Curvas de recuencias acumuladas 61
2.6 Diagramas de caja y bigotes 67
2.7 Medidas de dispersin 73
Captulo 3 Geometra y trigonometra 1 86
3.1 Pendiente de una recta 88
3.2 Ecuaciones de rectas 95
3.3 Las razones seno, coseno y tangente 103
3.4 El teorema del seno y el del coseno 1 19
Captulo 4 Modelos matemticos 132
4.1 Funciones 1 34
4.2 Modelos lineales 147
4.3 Modelos cuadrticos 1 52
4.4 Modelos exponenciales 166
4.5 Grfcos de unciones de la orma
f (x) = ax m + bx n + . . . , m, n Z 1 75
4.6 Utilizacin de la CPG para la
resolucin de ecuaciones 187
4.7 Grfcos de situaciones de la
vida real 1 89
Captulo 5 Aplicaciones estadsticas 202
5.1 La distribucin normal 204
5.2 Correlacin 216
5.3 La recta de regresin 2285.4 La prueba de chi-cuadrado 233
Captulo 6 Introduccin al clculo
diferencial 254
6.1 Introduccin al clculo de derivadas 256
6.2 La uncin derivada 263
6.3 Clculo de la pendiente de la curva
en un punto dado 267
6.4 La tangente y la normal a una curva 271
6.5 Razn de cambio 275
6.6 Puntos mximos y mnimos locales 279
6.7 Uso de derivadas en la elaboracin de
modelos matemticos: optimizacin 283
Captulo 7 Nmero y lgebra 2 294
7.1 Progresiones aritmticas 296
7.2 Progresiones geomtricas 304
7.3 Conversin de divisas 310
7.4 Inters compuesto 314
Captulo 8 Conjuntos y probabilidad 328
8.1 Teora bsica de conjuntos 331
8.2 Diagramas de Venn 334
8.3 Extensin a tres conjuntos 343
8.4 Resolucin de problemas usando
diagramas de Venn 345
8.5 Conceptos bsicos de la teora de
probabilidades 352
8.6 Probabilidad condicionada 355
8.7 Dos casos especiales: sucesos
incompatibles y sucesos
independientes 360
8.8 Diagramas de espacios muestrales 364
8.9 Diagramas de rbol 367
Captulo 9 Lgica 380
9.1 Introduccin a la lgica 382
9.2 Proposiciones compuestas
y notacin simblica 383
9.3 Tablas de verdad: negacin 385
9.4 Tablas de verdad: conjuncin (y) 388
9.5 Tablas de verdad: resolucin de una
ambigedad, el conector o 390
9.6 Equivalencia lgica, tautologa y
contradicciones 395
9.7 Proposiciones compuestas ormadas
por tres proposiciones simples 397
9.8 Argumentos 401
Captulo 10 Geometra y
trigonometra 2 420
10.1 Geometra de los slidos en el espacio 422
10.2 Distancia entre puntos en un slido 426
10.3 ngulos entre dos rectas, o entre una
recta y un plano 429
10.4 Superfcie de los slidos en el espacio 436
10.5 Volumen de los slidos en el espacio 441
Captulo 11 El proyecto 454
11 .1 El proyecto 454
11 .2 Los criterios de evaluacin interna 455
11 .3 Moderacin del proyecto 463
11 .4 Probidad acadmica 463
11 .5 Tener registro de lo hecho 464
11 .6 Eleccin de un tema 465
vi
Captulo 12 Cmo aprovechar al
mximo la calculadora de pantalla
grfca 468
1 .1 Resolucin de sistemas de ecuaciones
lineales 469
1 .2 Resolucin de ecuaciones
cuadrticas 470
1 .3 Notacin cientfca 471
1 .4 Ciras signifcativas 472
2.1 Ingreso de listas de datos 473
2.2 Ingreso de los datos en una tabla
de recuencias 473
2.3 Dibujo de un histograma de
recuencias a partir de una lista 474
2.4 Dibujo de un histograma de recuencias
a partir de una tabla de recuencias 475
2.5 Dibujo de un diagrama de caja y
bigotes a partir de una lista 476
2.6 Dibujo de un diagrama de caja y
bigotes a partir de una tabla de
recuencias 477
2.7 Clculo de parmetros estadsticos
a partir de una lista 478
2.8 Clculo de parmetros estadsticos
a partir de una tabla de recuencias 479
2.9 Clculo del rango intercuartil 480
2.10 Uso de parmetros estadsticos 481
3.1 Grfco de unciones lineales 482
3.2 Cmo hallar los ceros 482
3.3 Cmo hallar la pendiente de una
recta 483
3.4 Resolucin de sistemas de ecuaciones
en orma grfca 484
4.1 Dibujo del grfco de una cuadrtica 486
4.2 Cmo hallar el mnimo local o el
mximo local 487
4.3 Dibujo del grfco de una exponencial 492
4.4 Cmo hallar la asntota horizontal 493
4.5 Resolucin de una ecuacin que
combina cuadrtica y exponencial 494
4.6 Uso de transormaciones para
modelizar una uncin cuadrtica 496
4.7 Uso de deslizadores para modelizar
una uncin exponencial 498
5.1 Clculo de probabilidades conociendo
los valores de X 500
5.2 Clculo de valores de X conociendo
las probabilidades 501
5.3 Diagramas de dispersin usando una
pgina de datos y estadstica 502
5.4 Diagramas de dispersin usando una
pgina de grfcos 505
5.5 Uso de tablas de contingencia 507
6.1 Pendiente en un punto 508
6.2 Dibujo de la tangente a una curva 509
6.3 Puntos mximos y mnimos 510
7.1 Valor total de una inversin 512
7.2 Clculo de pagos por un prstamo 513
Captulo 13 Conocimientos previos 514
1 .1 Operaciones 515
1 .2 Nmeros primos, divisores y
mltiplos 516
1 .3 Fracciones y decimales 518
1 .4 Porcentajes 520
1 .5 Razn y proporcin 523
1 .6 El mtodo de reduccin a la unidad 524
2.1 Desarrollo de parntesis y
actorizacin 525
2.2 Frmulas 526
2.3 Resolucin de ecuaciones lineales 527
2.4 Sistemas de ecuaciones lineales con
dos incgnitas 529
2.5 Expresiones exponenciales 530
2.6 Resolucin de inecuaciones 531
2.7 Valor absoluto 533
3.1 El teorema de Pitgoras 533
3.2 Puntos, rectas, planos y ngulos 535
3.3 Figuras planas (bidimensionales) 535
3.4 Permetro 537
3.5 rea 538
3.6 Geometra analtica 539
4.1 Grfcos estadsticos 541
Captulo 14 544
Prctica para la prueba 1 544
Prctica para la prueba 2 549
Respuestas 553
ndice temtico 609
vii
Acerca del libro
En este libro se cubre detalladamente el actual programa de estudios
de Estudios Matemticos NM. El libro est escrito por educadores que
estuvieron involucrados en la ltima revisin del currculo. Cada captulo
est dividido en secciones que pueden abordarse en una clase
e incluyen:
Investigaciones
Sugerencias para exploraciones
Consejos del examinador
Teora del Conocimiento
Curiosidades
Exploracin histrica
La intencin es permitir al alumno navegar por el libro en el orden que
elija. Al comienzo de cada captulo, hay una ejercitacin corta sobre lo
que el alumno debera saber antes de empezar ese captulo. Adems, el
libro presenta un captulo sobre conocimientos previos. En todo el libro,
se incluyen preguntas tipo examen, cuyas soluciones completas estn en
el sitio web (www.oxordsecondary.com/ib-matematicas). Las respuestas
fnales de todas las ejercitaciones estn al fnal del libro.
El captulo sobre calculadoras de pantalla grfca (CPG) y las capturas
de pantalla en todo el libro son de la calculadora TI-Nspire. Junto a las
preguntas en las que se requiere usar la CPG, hay un icono de calculadora.
En la clase es importante aplicar estrategias de dierenciacin. Para ayudar
a los proesores con esto, los autores han escrito, en cada ejercitacin,
preguntas que van de ciles a diciles. En el sitio web, se incluye adems
material de ampliacin. Parte de este material les resultar til a los
alumnos cuando escriban sus proyectos. Para obtener el mximo nivel
de logro en el criterio Procedimientos matemticos, los clculos deben
hacerse a mano. En el material de ampliacin, esto se expone claramente.
Adems hay un captulo que aborda los criterios de evaluacin para el
proyecto,
junto con sugerencias para escribir un buen trabajo.
Al fnal de cada captulo, se incluye un resumen de las habilidades ms
importantes que el alumno ha aprendido en ese captulo. A continuacin
del resumen, hay algunas pginas interesantes sobre Teora del
Conocimiento, para hacer que los alumnos se detengan a pensar.
El lenguaje utilizado en todo el libro es simple, conciso y claro, con
contextos internacionales que son interesantes y pertinentes.
Nota: Se ha utilizado el estilo del IB para los trminos matemticos.
Tambin se ha empleado el estilo ormal de redaccin utilizado en los
exmenes del IB, para ayudar a los alumnos a prepararse para dichas
pruebas.
viii
Acerca de los autores
Peter Blythe ha enseado durante 25 aos los 4 cursos de matemticas
del Programa del Diploma del IB. Actualmente es profesor en el
United World College South East Asia y es examinador jefe adjunto de
Estudios Matemticos NM.
Jim Fensom ha enseado cursos de matemticas del IB durante
aproximadamente 35 aos. Ha trabajado como coordinador de
Matemticas en el Nexus International School en Singapur.
Jane Forrest ha enseado matemticas durante ms de 30 aos.
Actualmente es la directoradel Rotterdam International Secondary
School en los Pases Bajos. Fue examinadora jefa adjunta de Estudios
Matemticos NM durante 5 aos y es moderadora principal de los
proyectos.
Paula Waldman de Tokman ha enseado matemticas durante ms
de 20 aos. Fue examinadora jefa adjunta de Estudios Matemticos
durante 6 aos. Actualmente ensea cursos de matemticas del IB en
el St. Andrews Scots School en Buenos Aires (Argentina).
Paul La Rondie y todos los autores del libro de alumno Matemticas
NM han contribuido en las secciones sobre Teora del Conocimiento.
1
Nmero y
lgebra 1
OBJETIVOS DEL CAPTULO:
1.1 Nmeros naturales, N; enteros, Z; nmeros racionales, Q; nmeros reales, R
1.2 Aproximacin: lugares decimales, ciras signifcativas, estimacin,
porcentajes de error
1.3 Expresin de nmeros en notacin cientfca, operaciones con nmeros en
notacin cientfca
1.4 SI y otras unidades bsicas de medicin
Qu necesitamos saber
1 Sustituir en frmulas. Por ejemplo:
G y F se relacionan a travs de la
frmula G
F
F
=
+
1
2
. Hallar el valor de
G cuando F = 98. G = =
+
98 1
98 2
9 7, .
2 Resolver ecuaciones simples en una
variable. Por ejemplo:
a 2x 8 = 10 b x2 = 25
2x = 8 x = 5 o x = 5
x = 9
3 Calcular porcentajes. Por ejemplo:
Calcular el 5% de 240.
5
100
240 12 =
4 Resolver inecuaciones y representar
la solucin en la recta numrica. Por
ejemplo:
2x + 7 0
2x 3
1 0
1 ,5
1 2
x ,5
5 Calcular el valor absoluto de un nmero.
Por ejemplo: | 2,5| = 2,5; | ,3| = ,3;
| 0| = 0; | 5 0| = 5
Comprobemos nuestras habilidades
1 Halle el valor de y cuando x = 0,1 si las
variables x e y estn relacionadas a travs
de la frmula:
a y = 3x2 (x 1) b y
x
x
=
( )1
2
c y = (1 x) (2x + 1)
2 Halle el valor de x:
a 3x 7 = 14 b 2(x 6) = 4
c
1
2
1 0( ) =x d x2 = 16
3 Calcule:
a 8% de 1200 b 0,1% de 234
4 Resuelva las siguientes inecuaciones.
Represente las soluciones en la recta
numrica:
a 10 x 1 b 3x 6 > 12
c 2x 0
5 Calcule:
a | 5| b
1
2
c | 5 7| d
12 8
8
100
1
Antes de comenzar
Nmero y lgebra 12
El castillo se encuentra 100 km al sur del Crculo rtico.
Se tarda en construir aproximadamente seis semanas.
La temperatura no debe ser mayor que 8 C para impedir que se derrita.
El rea del castillo vara anualmente. Hasta ahora ha variado
de 1 3 000 a 20 000 m2.
Cuando se abri el castillo por primera vez, lo visitaron aproximadamente
300 000 personas de todo el mundo.
Los castillos han tenido torres ms altas que 20 m y paredes ms largas
que 1000 m.
Estos hechos y estas ciras acerca del castillo de nieve usan distintos tipos de
nmeros y distintos tipos de unidades. Algunos son valores aproximados.
Este captulo nos ayudar a clasifcar nmeros, redondear nmeros y hacer
aproximaciones, adems de mostrarnos la orma de escribir en notacin cientfca nmeros
muy grandes o muy pequeos, y hacer conversiones entre dierentes unidades de medida.
1.1 Los conjuntos numricos
Estas expresiones usan varios tipos de nmeros:
La temperatura ms baja de Finlandia en invierno est alrededor de 45 C.
El desempleo de Irlanda en el 2010 ue superior al 1 3%.
Aproximadamente
4
5
de la poblacin del mundo tiene un telono celular o mvil.
Usain Bolt gan la carrera de 100 metros en los Juegos Olmpicos de 2008 con un
tiempo rcord mundial de 9,69 segundos.
El rea de un crculo de radio 1 cm es cm2.
Chapter opener image
[ Este es e l casti l lo de
n ieve ms grande del
mundo. Se encuentra
en e l norte de Fin landia .
Fue constru ido por
primera vez en 1996.
Desde entonces ha
sido reconstru ido cada
invierno en el que hubo
sufciente cantidad de
n ieve.
Captulo 1 3
Los nmeros 60; 45;
1
3
; 9,69 y pertenecen a distintos conjuntos
numricos, los cuales se describirn en las prximas pginas.
Al fnal de esta seccin, podremos clasifcar a estos nmeros como
elementos de esos conjuntos.
Los nmeros naturales, N
El conjunto de nmeros naturales N es {0, , 2, 3, 4, . . . }
Usamos estos nmeros:
Para contar: por ejemplo: En los Juegos Olmpicos de 202,
se espera que participen 205 naciones.
Para ordenar: por ejemplo: El bosque tropical del Congo es el
segundo ms grande del mundo.
Podemos representar los nmeros
naturales en la recta numrica
defniendo un origen y una unidad.
Ejemplo 1
a Halle el valor de estas expresiones cuando a = 5 y b = 7:
i a + b ii a b iii a b iv b a
b Indique si sus respuestas al apartado a son nmeros naturales.
Respuestas
a i 5 + 7 = 12 ii 5 7 = 35 iii 5 7 = 2 iv 7 5 = 2
b i Natural ii Natural iii No natural iv Natural
Ejercitacin 1A
a Halle el valor de estas expresiones cuando a = 2 y b = 4:
i 2a + b ii 2(a + b) iii a2 b2 iv (a b)2
b Indique si sus respuestas al apartado a son nmeros naturales.
Escribimos N = {0, 1,
2, 3, 4, 5, . . . }.
Las l laves encierran
los elementos de un
conjunto.
10 2
1 unidad
origen
3 4 5
Hay tantos nmeros
naturales como
nmeros pares.
Hay que recordar que
los nmeros negativos
no estn en N.
Investigacin: nmeros naturales
Indique si las siguientes afrmaciones son verdaderas o alsas.
Si son alsas, d un ejemplo para mostrar por qu.
a Verdadero o also? Siempre que se sumen dos nmeros
naturales, la suma ser un nmero natural.
b Verdadero o also? Siempre que se multipliquen dos
nmeros naturales, el producto ser un nmero natural.
c Verdadero o also? Siempre que se resten dos nmeros
naturales, la diferencia ser un nmero natural.
Si a + b = c, decimos que
c es la suma de a y b.
Si a b = c, decimos que
c es el producto de a y b.
Si a b = c, decimos que
c es la d ierencia de a y b.
Nmero y lgebra 14
El conjunto de los enteros, Z
En el ejemplo vimos que la diferencia entre dos nmeros naturales
no es siempre un nmero natural. De manera que necesitamos un
nuevo conjunto, dado que hay cantidades que no se pueden
representar con nmeros naturales. El nuevo conjunto es , el
conjunto de los enteros.
El conjunto de enteros es {. . . , 4, 3, 2, , 0, , 2, 3, 4, . . .}
Todo nmero natural es tambin un nmero entero, pero no todo
nmero entero es un nmero natural.
Se puede representar en la recta numrica as:
1123 0 2 3
Ejemplo 2
Halle el valor de x en cada ecuacin. Indique si la solucin de la
ecuacin es un entero o no.
a x + 5 = 11 b 3x = 10
Respuestas
a x + 5 = 11
x = 6 x es un entero.
b 3x = 10
x =
-10
3
x no es un entero.
Ejemplo 3
a Halle el valor de las siguientes expresiones cuando j = 4 y
k = 2.
i
5k j
k j
-
+
ii
j k
j k
2
2
2
-
+
b Indique si sus respuestas al apartado a son enteros.
Respuestas
a i 5 2 4
2 4
14
2
7
( )- -
- +
=
-
= -
ii
4 2
4 2 2
2
2
1 5
+
=
( )
( )
,
b i Entero
ii No entero
Escribir las expresiones sustituyendo
las letras por los nmeros
Podemos usar la calculadora de
pantalla grfca (en adelante, CPG)
para calcular esto.
Al usar la CPG para ingresar
expresiones raccionarias, debemos
recordar el uso de parntesis para
indicar claramente el numerador
y el denominador o, en su deecto,
utilizar la plantilla de raccin.
es una extensin
de N.
En esta recta numrica:
Los enteros
positivos se ubican
a la derecha del
cero
Los enteros
negativos se ubican
a la i zqu ierda del
cero
El cero no es n i
positivo n i negativo
Usamos nmeros
negativos pararepresentar muchas
situaciones cotid ianas.
Enumere al menos tres.
Brahmagupta vivi
desde 589 hasta 669
e. c. en India. Se le
atribuye haber escrito
el primer l ibro que
incluy el cero y los
nmeros negativos.
Captulo 1 5
Ejercitacin 1B
1 a Resuelva la ecuacin 4x + 2 = 0.
b Indique si su solucin al apartado a es un nmero entero.
2 a Resuelva la ecuacin x2 = 4.
b Indique si sus soluciones al apartado a son nmeros enteros.
3 a Halle el valor de estas expresiones cuando a = 2 y b = 4.
i a b
a b
+
ii 3 2
9
a
b
b Indique si sus respuestas al apartado a son nmeros enteros.
Investigacin: enteros
Indique si las siguientes afrmaciones son verdaderas o alsas.
Si son alsas, d un ejemplo para mostrar por qu.
a La suma de dos enteros es siempre un entero.
b La diferencia de dos enteros es siempre un entero.
c El cociente de dos enteros es siempre un entero.
d El producto de dos enteros es siempre un entero.
Si
a
b
c= entonces
decimos que c es el
cociente de a y b.
Cociente signifca
razn.
El conjunto de los nmeros racionales, Q
En la investigacin tendramos que haber encontrado que el
cociente de dos enteros no es siempre un entero. Por lo tanto
necesitamos un nuevo conjunto, ya que hay cantidades que no se
pueden representar con enteros. Este conjunto es Q, el conjunto de
los nmeros racionales.
El conjunto de nmeros racionales Q es:
p
q
donde p y q son enteros y q 0
Esta defnicin signifca que un nmero es racional
si se puede escribir como un cociente de dos enteros.
Aqu se muestran ejemplos de nmeros racionales.
7 es un nmero racional, ya que se puede escribir
como 7
1
, donde 7 y 1 son enteros.
3 es un nmero racional, ya que se puede escribir
como
3
1
, donde 3 y 1 son enteros.
0 es un nmero racional, ya que se puede escribir
como
0
4
, donde 0 y 4 son enteros.
1 ,5 es un nmero racional, ya que se puede escribir
como 3
2
, donde 3 y 2 son enteros.
0,6
.
= 0,666. . . es un nmero racional, ya que se puede escribir como
6
9
,
donde 6 y 9 son enteros.
Q es una extensin
del conjunto .
Observe que q 0 ya
que la d ivisin por 0
no est defnida.
La expresin decimal de un
nmero racional puede tener una
cantidad fnita de lugares decimales
(por ejemplo, 1,5) o puede repetirse
indefnidamente (por ejemplo, 0,6
.
). Un
nmero cuyos decimales se repiten
indefnidamente tiene un perodo,
es decir un decimal o un grupo de
decimales que se repiten despus
de la coma decimal . Por ejemplo:
el perodo de 0,66666. . . es 6 y el
perodo de 0,767676. . . es 76.
Nmero y lgebra 16
A partir de estos ejemplos podemos ver que todo entero es
tambin un nmero racional, pero que no todos los nmeros
racionales son enteros. Podemos representar algunos nmeros
racionales en la recta numrica as:
0,50 1 1 ,250,5 1
4
1
8
1
4
Ejemplo 4
a Exprese 1,3
.
como una raccin.
b A partir de lo anterior, calcule 1 3
4
5
,
.
+ . D su respuesta como una
raccin.
Respuestas
a Sea a = 1,3
.
entonces
a = 1,3333 . . .
10a = 13,333 . . .
10a a = 13,333 . . . 1,3333 . . .
= 12
9a = 12
a = =
12
9
4
3
b 1 3
4
5
,
.
+ =
4
3
4
5
32
15
+ =
Multiplicar por 10 para obtener otro
nmero con el mismo perodo
Restar a de 10a
Dividir ambos miembros por 9
Simplifcar a la expresin ms
simple
Usar el denominador comn 15 o su
CPG
Ejercitacin 1C
1 a Halle la expresin decimal de estas racciones:
2
3
5
4
2
9
4
7
11
5
b Para cada raccin de a, indique si su expresin decimal es:
i Finita ii Peridica
2 a Exprese 0,5
.
como una raccin. b Exprese ,8
.
como una raccin.
c A partir de lo anterior, calcule 0,5
.
+ ,8
.
. D su respuesta como una
raccin.
3 a Escriba un nmero racional cuya expresin decimal sea fnita.
b Escriba un nmero racional cuya expresin decimal sea peridica.
c Escriba un nmero racional cuya expresin decimal tenga un
perodo que empieza en la cuarta cira despus de la coma decimal.
Para todo par de nmeros racionales siempre podemos encontrar
un nmero racional que se encuentre entre ellos en la recta numrica.
Por ejemplo, la media aritmtica de dos nmeros est a mitad de
camino entre ambos nmeros.
Averige ms acerca
de la h istoria de los
nmeros racionales
en las pginas 4041.
A partir de lo
anterior es
un trmino de
instruccin que se
usa frecuentemente
en los exmenes. Si
leemos a partir de
lo anterior , entonces
debemos usar los
resultados anteriores
para hal lar el valor
sol icitado.
2
3
2 3
Use su CPG.
Exprese 1,9 como
una fraccin. Qu
observa? Es
verdad que 1,9 = 2?
.
.
Captulo 1 7
Ejemplo 5
a Escriba un nmero racional que se encuentre en la recta numrica
entre
2
3
y 1.
b Escriba un segundo nmero racional que se encuentre en la recta
numrica entre
2
3
y 1.
c Escriba un tercer nmero racional que se encuentre en la recta
numrica entre
2
3
y 1.
Respuestas
a
2
3
1
2
5
6
+
=
b
2
3
5
6
2
3
4
+
=
c
2
3
3
4
2
17
24
+
=
Hallar la media aritmtica de
2
3
y 1. Usar la CPG para simplifcar
la respuesta.
Un nmero es racional si:
Se puede escribir como el cociente de dos enteros
Su expresin decimal es fnita
Su expresin decimal no termina, pero tiene una cira o un
patrn de ciras que se repite indefnidamente
Ejemplo 6
Para cada una de las expresiones a ( )x y+ 2 b
5x
y
:
i Calcule el valor cuando x = 4 e y =
1
2
.
ii Indique si sus respuestas al apartado i son nmeros racionales.
Justifque su respuesta.
Respuestas
a i +
=
=4
1
2
7
2
49
4
2 2
ii Es un nmero racional, ya que se
puede escribir como el cociente
de dos enteros.
b i
+
= =
4 5 1
2
1 1
2 2
ii No es un nmero racional. La
expresin decimal es 1,4142135. . .
No tiene un nmero fnito de
lugares decimales y no tiene una
cira o un grupo de ciras que se
repite indefnidamente.
Para justifcar su respuesta,
explicar cmo sabe que es
racional
Escriba es un trmino
de instruccin que
seala que se
requieren pocos pasos
(o n inguno) para
obtener la respuesta.
Cuntos nmeros
racionales hay
entre dos nmeros
racionales?
Decir que no termina
es lo opuesto a decir
que es fnita .
Nmero y lgebra 18
Investigacin: nmeros racionales
Indique si las siguientes afrmaciones son verdaderas o alsas.
Si son alsas, d un ejemplo para mostrar por qu.
a La diferencia de dos nmeros racionales es siempre un nmero racional.
b El cuadrado de un nmero racional es siempre un nmero racional.
c El cociente de dos nmeros racionales es a veces un nmero racional.
d La raz cuadrada de un nmero racional es siempre un nmero racional.
Ejercitacin 1D
1 Escriba tres nmeros racionales que se encuentren entre
2
9
4
y en la recta numrica.
2 a Calcule el valor de la expresin 2( )y x cuando y = 3 y
x =
1
8
.
b Indique si su respuesta al apartado a es un nmero racional.
3 a Escriba tres nmeros racionales entre
9
5
y
1 1
6
.
b i Escriba tres nmeros racionales entre
28
13
y 2.
ii Cuntos nmeros racionales hay entre
28
13
y 2?
El conjunto de los nmeros reales, R
En la investigacin tendramos que haber encontrado que la raz
cuadrada de un nmero racional no es siempre un nmero racional.
Por lo tanto necesitamos un nuevo conjunto, ya que hay cantidades
que no se pueden representar con nmeros racionales. Por ejemplo,
podramos pensar en un crculo de radio 1 cm.
Cules el rea, A, de este crculo?
A = r 2
A = (1 cm)2
A = cm2
Es el nmero racional? La expresin decimal de obtenida de
la CPG es 3,141592654. Estas son solo las primeras nueve ciras
despus de la coma decimal.
La expresin decimal de tiene un nmero infnito de ciras
despus de la coma decimal y no tiene perodo (no tiene un patrn
que se repite indefnidamente).
Todo nmero decimal que tiene un nmero infnito de ciras
despus de la coma decimal y que no tiene perodo es un
nmero irracional.
1 cm
Podemos encontrar las
primeras 10 000 ciras
de en el sitio web:
http://www. joyopi .
com/pi.html (en ingls).
Captulo 1 9
Los nmeros irracionales incluyen, por ejemplo, , 2 , 3 .
El conjunto de los nmeros racionales junto con el conjunto
de nmeros irracionales completan la recta numrica y forman
el conjunto de los nmeros reales, R.
Nmeros naturales N
210 3 4 5 6
Nmeros enteros
1 23 0 1 2 3
Nmeros racionales Q
1 23 0 1 2 3
5
4
5
2
3
2
Los nmeros reales R completan la recta numrica:
1 23 0 1 2 3
2 r
Ejemplo 7
Calcule cada una de estas medidas e indique si son nmeros racionales
o irracionales:
a La longitud l de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1 cm
b El rea A de un crculo de radio
1
cm
Respuestas
a l 2 = 12 + 12
l 2 = 2
l = 2
2 es un nmero irracional.
b A = r 2
A =
2
1
=
1
A = 1 cm2
1 es un nmero racional.
Usar el teorema de Pitgoras
2 = 1, 4142. . .
No es fnito, no hay un perodo.
Usar la rmula del rea de un crculo
Ejercitacin 1E
1 a Calcule la longitud, h, de la hipotenusa de un tringulo
rectngulo cuyos lados miden 2 cm y 1,5 cm.
b Indique si h es racional o irracional.
2 a Calcule el rea, A, de un crculo de 10 cm de dimetro.
b Indique si A es racional o irracional.
Cuntos nmeros
reales hay? Los
podemos contar?
El 14 de marzo (o en el ormato mes/
da, 3/14), mucha gente de todo el
mundo celebra el Da de Pi, ya que 3,
1 y 4 son los dgitos ms signifcativos
de . Adems, el 14 de marzo es el
cumpleaos de Albert Einstein, por
lo que algunas veces ambos eventos
se celebran en conjunto. El Da de
la aproximacin de Pi es el 22 de
ju l io, que en el ormato da/mes es
22/7, el cual es una aproximacin del
valor de .
1 cm
1 ,5
2
h
Nmero y lgebra 110
Ejemplo 8
a Resuelva la inecuacin y represente la solucin en la recta numrica:
8 + x > 5
b Indique si p = es solucin de la inecuacin dada en el apartado a.
Respuestas
a 8 + x > 5
x > 3
3 2 1 0 1
b = 3,142. . . , por lo que < 3
p no es solucin de la inecuacin.
Ejercitacin 1F
1 a Resuelva estas inecuaciones:
i 0, 5
2
<
x
1 5, ii 3 x 1
b Represente la solucin al apartado a en la recta numrica.
c Indique si los nmeros q = 1,5 y t = 5 son soluciones de las
inecuaciones dadas en el apartado a.
2 a Resuelva estas inecuaciones:
i 2x + 1 > 1 ii 4 x + 1 8 iii 2 x > 1
b Represente la solucin al apartado a en la recta numrica.
c Copie y complete la siguiente tabla. Inserte un si el nmero
p es una solucin de la inecuacin dada.
Inecuacin
p
2x + 1 > 1 4 x + 1 8 2 x > 1
2
3
10
2
. Aproximaciones y error
Es importante comprender la diferencia entre valor exacto y valor
aproximado.
Algunas veces, como en los prximos ejemplos, aproximamos
cantidades porque no conocemos los valores exactos (quizs porque
el instrumento usado para tomar las mediciones solo alcanza cierta
precisin).
El rea aproximada de Ecuador es 283 56 km2.
La altura actual de la Gran Pirmide de Guiza es
aproximadamente 38,8 m.
El peso de una manzana es aproximadamente 250 g.
Todos usamos la
misma notacin en
matemtica? Estamos
usando un crculo
vaco para indicar
que x = 3 no est
inclu ido. Distintos
pases tienen
d istintas notaciones
para representar
lo mismo. Es ms,
d istintos profesores
dentro del mismo
pas usan d iferentes
notaciones.
Captulo 1 11
Algunas veces aproximamos cantidades porque no necesitamos el
valor exacto, como en los prximos ejemplos:
La poblacin de India es de alrededor de 1 800 000 000
habitantes.
Corro alrededor de 3 horas todos los domingos.
La economa de China creci a una tasa promedio del 1 0% por
ao durante el perodo 19902004.
Redondear un nmero es el proceso de aproximar este nmero con
un nivel de precisin dado.
Redondeo de nmeros a la unidad ms cercana, a la
decena ms cercana, a la centena ms cercana, a la
unidad de millar ms cercana, etc.
Redondear un nmero a la decena ms cercana es lo mismo
que redondearlo al mltiplo de 10 ms cercano.
Redondear un nmero a la centena ms cercana es lo mismo
que redondearlo al mltiplo de 100 ms cercano.
Para redondear 3746 a la centena ms cercana:
37253700 3750 3775 3800
37 4 6
Cambiar a ceros todas las
cifras que estn a la derecha
de la cifra redondeada
Dejar la cifra a
redondear igual
Nmero redondeado: 3 7 00
3746 est ms cerca
de 3700 que de 3800.
La cifra que est a la derecha
de la cifra a redondear es
menor que 5.
Para redondear 81 650 a la unidad de millar
ms cercana:
81 25081 000 81 500 81 750 82 000
81 6 50
Cambiar a ceros todas las
cifras que estn a la derecha
de la cifra redondeada
Sumar 1 a la cifra a
redondear
Nmero redondeado: 8 2 000
La cifra que est a la derecha
de la cifra a redondear es
mayor o igual que 5.
81 650 est ms cerca de
82 000 que de 81 000.
Reglas de redondeo
Si la cifra siguiente a la que se est redondeando es menor que
5, entonces mantener la cifra que se est redondeando y
cambiar a ceros todas las que estn a su derecha.
Si la cifra siguiente a la que se est redondeando es 5 o ms,
entonces sumarle 1 a la cifra que se est redondeando y
cambiar a ceros todas las que estn a su derecha.
Nmero y lgebra 112
Ejemplo 9
a Escriba 247 redondeado a la decena ms cercana.
b Escriba 1050 redondeado a la centena ms cercana.
Respuestas
a 250
b 1100
240 y 250 son ambos mltiplos de 10,
pero 250 est ms cerca del 247.
1000 y 1100 son ambos mltiplos de
100, y 1050 est exactamente en el
medio. Dado que la cifra siguiente
a la que se est redondeando es 5,
redondear hacia arriba.
Ejercitacin 1G
1 Escriba estos nmeros redondeados a la unidad ms cercana:
a 358,4 b 24,5 c 108,9 d 10 016,01
2 Escriba estos nmeros redondeados a la decena ms cercana:
a 246,25 b 109 c 1015,03 d 269
3 Escriba estos nmeros redondeados a la centena ms cercana:
a 140 b 150 c 1240 d 3062
4 Escriba estos nmeros redondeados a la unidad de millar ms
cercana:
a 105 607 b 1500 c 9640 d 952
5 Escriba un nmero que redondeado a la centena ms cercana
es 200.
6 Escriba un nmero que redondeado a la unidad de millar ms
cercana es 3000.
7 Escriba un nmero que redondeado a la unidad ms cercana es 6.
Redondeo de nmeros a una cantidad dada de cifras
decimales o lugares decimales
Esto signifca redondear nmeros al dcimo ms cercano,
al centsimo ms cercano, etc.
Redondear un nmero a un lugar decimal es lo mismo que
redondearlo al dcimo ms cercano.
Redondear un nmero a dos lugares decimales es lo mismo
que redondearlo al centsimo ms cercano.
Redondear un nmero a tres lugares decimales es lo mismo
que redondearlo al milsimo ms cercano.
Captulo 1 13
Para escribir 3,02 redondeado a un lugar decimal:
Cifr
rnr
Prir cifr l
rch s nr
qu 5
NmeRo 3 , 0 2 1
NmeRo
RedoNdeado
3 , 0 . . . . . . . . . . . .
3,021 = 3,0(1 lugar decimal)
Cifra a
redondear
se mantiene
igual .
Cifras a la
derecha de la cifra
redondeada se
el iminan.
Cifras a la
derecha de la cifra
redondeada se
el iminan.
Para escribir 0,583 redondeado a dos lugares decimales:
Cifr
rnr
Prir cifr l
rch s nr
qu 5
NmeRo 1 0 , 5 8 3
NmeRo
RedoNdeado
1 0 , 5 8 . . . . . .
10,583 = 10,58
(2 lugares decimales)
Cifra a
redondear se
mantiene igual .
Cifras a la derecha
de la cifra redondeada
se el iminan.
Para escribir 4,37 redondeado a un lugar decimal:
Cifr
rnr
Prir cifr l
rch s yr
qu 5
NmeRo 4 , 3 7 1
NmeRo
RedoNdeado
4 , 4 . . . . . . . . . . . .
4,371 = 4,4
(1lugar decimal)
A la cifra a
redondear se
le suma 1.
Cifras a la
derecha de la cifra
redondeada se
el iminan.
Cifras a la
derecha de la
cifra redondeada
se el iminan.
Reglas de redondeo para decimales
Si la cifra siguiente a la que se est redondeando es menor que 5, entonces mantener
la cifra que se est redondeando y eliminar todas las que estn a su derecha.
Si la cifra siguiente a la que se est redondeando es 5 o ms, entonces sumar a la
cifra que se est redondeando y eliminar todas las que estn a su derecha.
Ejemplo 10
a Escriba 10,045 redondeado a dos lugares decimales.
b Escriba 1,06 redondeado a un lugar decimal.
Rspusts
a 10,045 = 10,05 (2 lugares decimales)
b 1,06 = 1,1 (1 lugar decimal)
La cifra siguiente a 4 es 5, entonces redondear hacia arriba: 10,05.
La cifra siguiente a 0 es 6, entonces redondear hacia arriba: 1, 1.
Nmero y lgebra 114
Ejercitacin 1H
1 Escriba estos nmeros redondeados a 1 lugar decimal:
a 45,67 b 301,065 c 2,401 d 0,09
2 Escriba estos nmeros redondeados a 2 lugares decimales:
a 0,0047 b 201,305 c 9,6201 d 28,0751
3 Escriba estos nmeros redondeados a 3 lugares decimales:
a 10,0485 b 3,9002 c 201,7805 d 0,008 41
4 Use su calculadora de pantalla grfca para calcular
2
1, 8
3 , 08 0, 01 2
.
D su respuesta redondeada a:
a 1 lugar decimal b 2 lugares decimales
c 3 lugares decimales d La centena ms cercana
e La unidad de millar ms cercana
5 Dados p = 3,15 y q = 0,8, halle el valor de
3
( )p q
p q
+
+
.
D su respuesta redondeada a:
a 2 lugares decimales b 3 lugares decimales
c El entero ms cercano d La decena ms cercana
6 Escriba un nmero que redondeado a 2 lugares decimales es 2,37.
7 Escriba un nmero que redondeado a 1 lugar decimal es 4,1.
Redondeo de nmeros a una cantidad dada de
ciras signifcativas
La cantidad de ciras signifcativas (en adelante, cs) en un
resultado es la cantidad de ciras que se conocen con cierto
grado de fabilidad.
Esto en algunos casos depende de lo que se est midiendo. Por
ejemplo, si se est midiendo el largo de un lpiz con una regla cuya
divisin ms pequea es mm, entonces nuestra medicin podr ser
precisa solo hasta el milmetro ms cercano.
Podemos decir: Este lpiz mide 14,6 cm.
Sin embargo, no podemos decir: Este lpiz mide 14,63 cm.
La longitud del lpiz se puede dar con una precisin de tres ciras
signifcativas pero no con una precisin de cuatro ciras signifcativas.
Reglas para ciras signifcativas:
Toda cira d istinta de cero es signifcativa. 2578 kg tiene 4 cs.
Los ceros que se encuentran entre dos
ciras d istintas de cero son signifcativos.
20 004 km tiene
5 cs.
Los ceros a la izquierda de la primera cira
que no es cero no son signifcativos.
0,023 g tiene 2 cs.
Los ceros ubicados despus de otra cira,
pero que estn a la derecha de la coma
decimal , son signifcativos.
0,100 ml tiene 3 cs.
0
c
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
6
5
4
3
2
1
0
in
Es importante
comprender
cundo una cira es
signifcativa.
Captulo 1 15
Las reglas para redondear a una cantidad dada de ciras signifcativas
son similares a las de redondeo a la decena ms cercana, unidad de
millar ms cercana, etc. , o a las de redondeo a un nmero dado de
lugares decimales.
Este ejemplo muestra el mtodo.
Ejemplo 11
a Escriba 24,31 redondeado a 2 ciras signifcativas.
b Escriba 1005 redondeado a 3 ciras signifcativas.
c Escriba 0,2981 redondeado a 2 ciras signifcativas.
Respuestas
a 24,31 = 24 (2 cs)
b 1005 = 1010 (3 cs )
c 0,2981 = 0,30
(2 cs)
24,2524 24,5 24,75 25
24, 3 1
Cambiar a cero las cifras a
la derecha de la cifra
redondeada
Dejar igual la cifra a
redondear
Nmero redondeado:
La cifra a la derecha de la cifra
a redondear es menor que 5.
0042 ,
La cifra a la derecha de la cifra a redondear es igual
a 5. Sumar 1 a la cifra a redondear. Cambiar a cero
todas las cifras que estn a su derecha.
La cifra a la derecha de la cifra a redondear es mayor
que 5. Sumar 1 a la cifra a redondear. Eliminar
todas las cifras que estn a la derecha de la cifra
redondeada.
Reglas de redondeo para ciras signifcativas
Si la cira que est en el lugar (n + ) es menor que 5,
entonces mantener igual la cira del lugar n.
Si la cira que est en el lugar (n + ) es 5 o ms, entonces
sumar a la cira del lugar n.
En ambos casos todas las ciras a la derecha de la cira que
se ubica en el lugar n deben ser eliminadas si estn a la
derecha de la coma decimal, y deben ser reemplazadas por
ceros si estn a la izquierda de la coma decimal.
9 + 1 = 10.
Reemplazar la cifra a
redondear con un 0.
Sumar 1 a la cifra que
est a la izquierda de
la ci fra a redondear.
Nmero y lgebra 116
Ejemplo
Sea t =
12, 4
2,1 + 3
3
.
a Escriba el valor de t. D el valor completo que despliega la pantalla
de la calculadora.
b Escriba la respuesta al apartado a redondeando a:
i Tres ciras signifcativas ii Dos ciras signifcativas
Respuestas
a 497,5466391
b i 498
ii 500
497, 54 = 498 (3 cs )
49 7,54 = 500 (2 cs)
Ejercitacin 1I
1 Escriba el nmero de ciras signifcativas de cada uno de los siguientes nmeros:
a 106 b 200 c 0,02 d 1290 e 1209
2 Escriba estos nmeros redondeando a 1 cira signifcativa:
a 280 b 0,072 c 390,8 d 0,00132
3 Escriba estos nmeros redondeando a 2 ciras signifcativas:
a 355 b 0,0801 c 1,075 d 1560,03
4 Escriba estos nmeros redondeando a 3 ciras signifcativas:
a 2971 b 0,3259 c 10 410 d 0,5006
5 Calcule 4
8, 7 + 2 1, 6
0, 3
. D su respuesta redondeada a:
a 1 cs b 3 cs c 1 lugar decimal d El centsimo ms cercano
6 Escriba el valor de redondeado a:
a La unidad ms cercana b 2 lugares decimales
c 2 cs d 3 lugares decimales
7 Escriba estos nmeros con la precisin especifcada:
a 238 (1 cs) b 4609 (3 cs) c 2,7002 (3 cs)
8 a Calcule
+
3
2
3, 375
1, 5 1, 8
. Escriba el valor completo que despliega la pantalla
de la calculadora.
b D su respuesta al apartado a redondeada a:
i 2 cs ii 3 cs iii 4 cs
Captulo 1 17
Frecuentemente en los exmenes necesitamos hacer clculos que
requieren muchos pasos. En estas situaciones, se debe mantener
en los pasos intermedios al menos una cira signifcativa ms de las
necesarias en la respuesta fnal.
Por ejemplo, si se debe dar la respuesta fnal redondeada a tres ciras
signifcativas, entonces debemos mantener al menos cuatro ciras
signifcativas en los clculos intermedios, o guardar los valores sin
redondear en la CPG.
Ejemplo 3
El diagrama representa una reja de una ventana
hecha de alambre, para mantener a las palomas
uera de la casa. Los tringulos pequeos son
rectngulos y son todos congruentes.
Su hipotenusa mide 15 cm. Los otros dos lados
tienen la misma longitud. Halle la longitud
total del alambre, L. D la respuesta redondeando
a tres ciras signifcativas.
Respuestas
Sea x la longitud del lado de
los tringulos.x2 + x2 = 152
2x2 = 225
x2 = 112,5
x = 112 5,
Primero hallar la longitud del lado ms
corto usando Pitgoras
15 cm
x
x
x = 10,6066 . . . Mantener el valor exacto de x o redondeado
a ms de tres ciras signifcativas, ya que es
solo un valor intermedio
L = 31 x + 12 15
L = 31 10,6066 . . . + 12 5
L = 508,804 . . .
L = 509 cm (3 cs)
En la reja hay 31 lados de tringulos
cuya longitud es x y 12 lados cuya
longitud es 15.
Ejercitacin 1J
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
1 El rea de un crculo es 10,5 cm2.
a Halle la longitud de su radio. D su respuesta redondeada a cuatro ciras signifcativas.
b Halle la longitud de su circunerencia. D su respuesta redondeada
a dos ciras signifcativas.
2 Considere los nmeros p = 2 y q = 10 .
a Halle la media aritmtica de p y q. D su respuesta redondeada a cuatro ciras signifcativas.
b Halle el valor de (p + q)2. D su respuesta redondeada a tres ciras signifcativas.
c Halle el rea de un rectngulo cuyos lados miden p cm y q cm.
D su respuesta redondeada a dos ciras signifcativas.
La regla general en
Estudios Matemticos
es: Salvo que se
indique lo contrario en
la pregunta, todas las
respuestas numricas
debern ser exactas o
aproximadas con tres
ciras signifcativas.
Congruentes
signifca que tienen
exactamente la misma
orma y tamao.
Recuerde escribir
las unidades en sus
respuestas.
Nmero y lgebra 118
Estimacin
Una estimacin de una cantidad es una aproximacin que
recuentemente se utiliza para comprobar si una respuesta es razonable.
Para estimar la respuesta de un clculo, hay que redondear
todos los nmeros que lo componen a una cira signifcativa.
Ejemplo
Un teatro tiene 98 flas y cada fla tiene 23 asientos. Estime la cantidad
de asientos en el teatro.
Respuesta
100 20 = 2000 asientos Redondear 98 a 1 cs 100
Redondear 23 a 1 cs 20
Ejemplo
Estime la velocidad promedio de un automvil que recorre 527 km
en 6 horas.
Respuesta
velocidad promedio
distancia recorrida
tiempo empleado
=
500
5
100
1
= km h
-
527 500 (1 cs)
El 6 se redondea a 5 para
hacer ms fcil la divisin.
Ejercitacin 1K
1 Estime las respuestas de estos clculos:
a 298 10,75 b 3,82 c
147
11 , 02
d 103
2 Un camin traslada 210 contenedores con caos. Hay 18 caos
en cada contenedor. Estime la cantidad de caos que traslada
el camin.
3 Japn tiene una superfcie de aproximadamente 377 835 km2 y,
en marzo de 2009, la poblacin de Japn era de 127 076 183.
Estime la densidad de poblacin de Japn en 2009.
4 Un rbol produce en promedio 9000 hojas de papel. Estime el
nmero de resmas que se pueden hacer de un rbol.
5 Mizuki corre 33 km en 1,8 horas. Estime la velocidad promedio
de Mizuki.
La respuesta exacta
es: 98 23 = 2254
asientos.
La respuesta exacta es:
527
6
= 87, 8 km h (3 cs) 1
pob lac in to ta l
superfic ie
Densidad de pob lac in =
Una resma tiene 500
hojas.
d is ta n c ia re co rri d a
tiem po em p le a d o
Ve loc id a d p rom ed io =
Captulo 1 19
6 La seccin de Badaling y el Mausoleo de Ming, rea pintoresca
de la Gran Muralla, se limitan a recibir 53 000 visitantes al da.
Estime la cantidad de visitantes por ao.
7 Pedro calcula que el rea de este cuadrado
es 1020,01 m2. Utilice estimaciones para
decidir si Pedro tiene razn.
Porcentajes de error
En algunos casos necesitamos saber la diferencia entre el valor
estimado y el valor exacto.
La diferencia entre un valor estimado o valor aproximado y el
valor exacto se denomina error:
Error = v
A
v
E
Donde v
A
es el valor aproximado y v
E
es el valor exacto
Ejemplo 1
Olivia y Ramesh fueron a distintos conciertos. En el concierto al que
fue Olivia haba 1450 personas y ella estim que haba 1300.
En el concierto al que fue Ramesh haba 1950 personas y l estim
que haba 1800.
Calcule los errores que cometieron Olivia y Ramesh en sus
estimaciones.
Respuestas
Olivia: Error = 1450 1300
Error = 150 personas
Ramesh: Error = 1950 1800
Error = 150 personas
v
A
v
E
es negativo, entonces se
utiliza v
E
v
A
.
En el ejemplo 6, tanto Olivia como Ramesh cometieron el mismo
error, 50. Sin embargo, la estimacin de Ramesh fue ms precisa,
ya que 50 de 950 es una proporcin menor que 50 de 450.
Usando porcentajes:
150
1450
100 10 3 % , %= (3 cs) y
150
1950
100 7 69 % , %= (3 cs)
El error de Olivia representa 0,3% del total.
El error de Ramesh representa 7,69% del total.
Estos porcentajes nos ayudan a tener una mejor idea de la precisin
de las estimaciones. Se denominan porcentajes de error.
Porcentaje de error =
v v
v
A E
E
100%
Donde v
A
representa el valor aproximado o valor estimado
y v
E
representa el valor exacto
100,1 m
Por qu surgen los
errores?
Qu tipo de errores
conocemos?
Las palabras error
y equivocacin ,
tienen el mismo
signifcado?
| v
A
v
E
| es el mdulo
o valor positivo de
v
A
v
E
.
En algunas
situaciones no
conocemos el
valor exacto y lo
reemplazamos con el
valor aceptado.
[ La Gran Mura l la de Ch ina
Nmero y lgebra 120
Ejemplo 7
La medida del ngulo M es 125,7. Salomn, midiendo con un
transportador, encuentra que M mide 126. Halle el porcentaje de error
que ha cometido Salomn al medir M.
Respuesta
Porcentaje de error
=
126 125 7
125 7
100
,
,
%
Porcentaje de error
= 0,239% (3 cs)
Porcentaje de error
=
v v
v
A E
E
100%
Con v
A
= 126, v
E
= 125,7
Utilizar la CPG. Redondear a 3 cs.
Ejercitacin 1L
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
1 Considere a = 5,2 y b = 4,7.
a Halle el valor exacto de 3a + b3.
Gema estima que la respuesta al apartado a es 40.
b Halle el porcentaje de error que comete Gema en su
estimacin.
2 Las notas de Ezequiel en Biologa son 8,3; 6,8 y 9,4 sobre 10.
Su nota fnal en Biologa es la media de estas tres notas.
a Calcule la nota fnal de Ezequiel en Biologa.
Ezequiel redondea las tres notas a la unidad ms cercana para
calcular su nota fnal de Biologa.
b Calcule la nota fnal que hall Ezequiel.
c Calcule el porcentaje de error que cometi Ezequiel cuando
hall su nota fnal en Biologa.
3 El ancho y el largo de una cocina rectangular son 5,34 m y
3,48 m respectivamente.
a Calcule, en m2, el rea exacta de la cocina.
b Escriba la longitud y el ancho de la cocina redondeados a un
lugar decimal.
c Calcule el porcentaje de error que se cometera si el rea
uera calculada utilizando la longitud y el ancho, ambos
redondeados a un lugar decimal.
4 El rea de un jardn circular es 89 m2.
a Halle el radio del jardn. D su respuesta redondeando
a tres lugares decimales.
b Halle el permetro del jardn.
Jos estima que el permetro del jardn es 30 m.
c Utilizando su respuesta al apartado b, halle el porcentaje de
error que comete Jos. D su respuesta redondeada a dos
ciras signifcativas.
Captulo 1 21
1.3 Notacin cientfca
La cantidad de usuarios de Internet en el mundo
hasta junio de 200 era 2 109.
La masa de la Tierra es aproximadamente
5,97 1024 kg.
Una estimacin de la masa promedio de una clula
humana es 109 g.
Estos nmeros o bien son muy grandes o bien son muy pequeos.
Estn escritos en notacin cientfca: una orma de escribir nmeros
muy grandes o muy pequeos, evitando escribir muchos ceros.
Un nmero est escrito en notacin cientfca si est en la
orma a 0k, donde a < 0 y k es un entero.
Un googol es el nmero 1 seguido de 100 ceros. En notacin cientfca se
escribe 10100. El nombre googol lo invent un n io de nueve aos. Su to, el
matemtico americano Edward Kasner, le pidi que piense un nombre para
un nmero muy grande.
Elnombre de la compaa Google proviene de un juego de palabras con el
trmino googol y se relaciona con la cantidad de inormacin que maneja la
compaa.
Ejemplo 18
Estos nmeros estn escritos en notacin cientfca (a 10k).
Para cada uno de ellos, indique el valor de a y de k.
a 2 109 b 5,97 1024 c 109
Respuestas
a a = 2; k = 9 b a = 5,97; k = 24
c a = 1; k = 9
Comparar con a 10 k
Ejemplo 19
Indique cules de estos nmeros no estn escritos en la orma a 10k,
donde 1 a < 10 y k es un entero. Justifque sus decisiones.
a 2,06 105 b 13 101 c 6 13 10
1
3,
d 7,05 e 0,12 106
Respuestas
b 13 10 1 no est escrito en notacin
cientfca, ya que 13 es mayor que 10.
c 6 13 10
1
3, no est escrito en notacin
cientfca, ya que
1
3
no es un entero.
e 0,12 106 no est escrito en notacin
cientfca, ya que 0,12 es menor que 1.
Comparar con a 10 k,
donde 1 a < 10 y k
Si no usramos notacin cientfca,
escribiramos la masa de la Tierra como
5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg.
Cuando los nmeros
estn escritos en notacin
cientfca, es ms ci l :
Compararlos
Hacer clculos con el los
Abu Kami l Shuja
(c. 850c. 930),
tambin conocido como
al -Hasib al -Misri , que
signifca la calculadora
de Egipto , ue uno
de los primeros en
introducir en lgebra
smbolos para potencias
como xm xn = x m + n.
Nmero y lgebra 122
Ejemplo 0
Escriba estos nmeros en notacin cientfca, mostrando su
procedimiento:
a 257 000 000 b 0,00043
Respuestas
a 257 000 000
entonces k = 8
257 000 000 = 2,57 108
b 0,00043
entonces k = 4
0,00043 = 4,3 104
La primer cira signifcativa de
257 000 000 es 2. Ubicar la coma
decimal inmediatamente despus del 2.
Mover la coma decimal 8 lugares a la
derecha es equivalente a multiplicar por
108.
La primer cira signifcativa de 0,00043
es 4. Ubicar la coma decimal
inmediatamente despus del 4.
Mover la coma decimal 4 lugares a la
izquierda es equivalente a multiplicar
por 104.
Ejercitacin 1M
1 Cules de estos nmeros estn escritos en notacin cientfca?
2 5 10 12 10 10 3 15 10 0 81 10
3 5 1 0
1
2 2, , ,
2 Escriba estos nmeros en notacin cientfca:
a 135 600 b 0,00245 c 16 000 000 000
d 0,000108 e 0,23 103
3 Escriba estos nmeros en orden creciente:
2 3 10 3 4 10 0 21 10 215 10
6 5 7 4
, , ,
4 Escriba estos nmeros en orden decreciente:
3 621 10 31 62 10 0 3621 10 3 261 10
4 2 4 3
, , , ,
Ejemplo
Sea x =
+
5 121
7 1
2
( )
.
a Calcule el valor de x. Escriba el valor completo que despliega la
pantalla de la calculadora.
b Escriba su respuesta al apartado a redondeada a tres ciras
signifcativas.
c Escriba su respuesta al apartado b en la orma a 10k,
donde 1 a < 10 y k .
Consejos para
escribir un nmero en
notacin cientfca:
1 Escribir a : escribir
todas las ciras
signifcativas del
nmero y ubicar
la coma decimal
inmediatamente
despus de la
primera
2 Hal lar k
Escribir los nmeros
en su expresin
decimal , por ejemplo:
2,3 106
= 2 300 000.
Expresin decimal
no signifca que debe
haber una coma
decimal o lugares
decimales. Es el
nmero normal
escrito en base 10.
{ Contina en l a pg ina sigu iente.
Captulo 1 23
Respuestas
a 0,1666666667
b 0,167
c 1,67 101
Usar la CPG
0,166 666. . .
3 cs, redondear hacia arriba
Clculos con nmeros expresados en notacin cientfca
Podemos usar la CPG para clculos con nmeros escritos en
notacin cientfca.
Ejemplo
Sean x = 2,4 104 e y = 5,10 105.
a Halle el valor de 3x + y.
b Escriba su respuesta al apartado a redondeando a dos ciras
signifcativas.
c Escriba su respuesta al apartado b en la orma a 10k, donde
1 a < 10 y k es un entero.
Respuestas
a 3 2,4 104 + 5,10 105
= 582 000
b 580 000
c 5,8 105
Ejercitacin 1N
1 Dados x = 6,3 106 e y = 2,8 1010, calcule lo siguiente.
D sus respuestas en la orma a 10k, donde 1 a < 10 y k .
a x y b
x
y
c
x
y
2 Sean x = 2,5 106 e y = 3,48 106.
a Halle la media aritmtica de x e y. D su respuesta
en la orma a 10k, donde 1 a < 10 y k .
b D su respuesta al apartado a redondeando a la unidad
de milln ms cercana.
Cuidado
1,67E-1 es la notacin
de la calculadora
y no se acepta
como respuesta. Lo
debemos interpretar
como 1,67 101.
Siempre hay que
usar la CPG en este
tipo de pregunta,
pero mostrando el
procedimiento como
se ve en a .
Nmero y lgebra 124
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
3 Sean t = 22,05 108 y q = 3,15 106.
a Escriba t en la orma a 10k, donde 1 a < 10 y k .
b Calcule t
q
.
c Escriba su respuesta al apartado b en la orma a 10k, donde
1 a < 10 y k .
4 Sea x = 225 108.
a Escriba x en la orma a 10k, donde 1 a < 10 y k .
b Indique si la siguiente afrmacin es verdadera: x2 > 020.
Justifque su respuesta.
c i Calcule
x
x
.
ii D su respuesta al apartado i en la orma a 10k,
donde 1 a < 10 y k .
1. Unidades de medicin SI
Ariel est cocinando un pastel de atn.
Necesita una lata de atn con un peso neto de 180 g.
Otro ingrediente necesario es 240 ml de leche.
Cocina el pastel en un horno que est precalentado a 200 C por 20
minutos.
Ariel recicla materiales. Ha decidido usar el metal de la lata, por
lo que necesita tomar algunas medidas:
La altura de la lata de atn es 4 cm.
El rea total de metal usado para hacer la lata es 219 cm2.
El volumen de la lata de atn es 314 cm3.
Aqu se muestra, en una situacin cotidiana, cmo tratamos con
dierentes tipos de unidades como g, ml, C, minutos, cm, cm2, cm3.
Estas unidades se aceptan internacionalmente y tienen el mismo
signifcado en cualquier parte del mundo.
SI
c
A
mol
SI es la abreviacin internacional para el Sistema Internacional
de Unidades (en rancs, Systme International dUnits).
Hay siete unidades base (ver tabla). Se defne cada unidad en
orma precisa y esta defnicin es independiente de la usada para
las otras seis unidades.
La XI Conferencia
general de pesas y
medidas (CGPM),
real izada en 1960,
adopt para el sistema
de medicin el nombre
Systme International
dUnits. La CGPM se
conforma de
representantes de 54
Estados miembros y 31
Estados y economas
asociados.
Captulo 1 25
En la siguiente tabla, se muestran las siete unidades base y sus
respectivas magnitudes sicas.
magnitud sica Unidad base Sbolo de la unidad base
Longitud metro m
Masa ki logramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente
elctrica
amperio A
Temperatura kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
En el SI hay otras unidades, las unidades derivadas. Estas unidades
se expresan en uncin de las unidades base. Algunas de estas
unidades, junto con sus magnitudes sicas, se enumeran a
continuacin:
El metro cuadrado (m2) para rea
El metro cbico (m3) para volumen
El metro por segundo (m s) para celeridad o velocidad
El kilogramo por metro cbico (kg m3) para densidad o
densidad de masa
En Estudios Matemticos, las unidades base SI que se usan
ms comnmente son m, kg, y s, y sus unidades derivadas son:
m2 (rea), m3 (volumen), km h (velocidad), kg m3 (densidad).
Ejemplo 23
Escriba el smbolo usado para las magnitudes sicas que estn
resaltadas:
a La velocidad de un objeto que recorre 1000 km en 3 horas
b La densidad de un objeto con una masa de 550 g y un volumen de
400 cm3
Respuestas
a km h1
b g cm3
Velocidad es kilmetros porhora.
Densidad es gramos por centmetro cbico.
Prefjos en el SI
Para evitar escribir cantidades muy pequeas o muy grandes, se
utilizan prefjos. Algunos de estos se muestran en la siguiente tabla.
Factor Prefjo Sbolo Factor Prefjo Sbolo
103 ki lo k 103 mi l i m
102 hecto h 102 centi c
101 deca da 101 deci d
Un metro se defne en
el SI como la d istancia
que recorre la luz en el
vaco en
1
299 792 458
segundos.
Las unidades
derivadas son
productos de
potencias de las
unidades base.
El ki logramo es la
nica unidad base del
SI que tiene un prefjo
como parte de su
nombre.
Nmero y lgebra 126
Ejemplo 24
Convierta cada medida a la unidad indicada:
a 1 dm a m b 1 das a s c 1 hg a g
Respuestas
a 1 dm = 101 m
b 1 das = 101 s
c 1 hg = 102 g
Usar la inormacin de prefjos dada
en la tabla anterior
dm se lee decmetro.
das se lee decasegundo.
hg se lee hectogramo.
k
10
10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10
h da unidad
SI
d c m
Ejemplo 25
Convierta cada medida a la unidad indicada. D sus respuestas en
notacin cientfca.
a 2,8 m a hm b 3200 s a ms c 0,5 kg a dg
Respuestas
a 1 m = 102 hm
2,8 m = 2,8 102 hm
b 1 s = 103 ms
3200 s = 3200 103 ms
= 3,2 106 ms
c 1 kg = 104 dg
0,5 kg = 0,5 104 dg
= 5 103 dg
En este ejemplo, utilizar el diagrama
reemplazando unidad SI con m
Dividir dos veces por 10 para
convertir de m a hm, por lo tanto,
1 m = 10 2 hm
En este ejemplo, reemplazar en el
diagrama unidad SI con s
Multiplicar tres veces por 10 para
convertir de s a ms, por lo tanto,
1 s = 10 3 ms
En este ejemplo, reemplazar en el
diagrama unidad SI con g
Multiplicar cuatro veces por 10 para
convertir de kg a dg, por lo tanto,
1 kg = 10 4 dg
Este d iagrama nos
resulta ti l para
real izar conversiones
entre unidades.
Investigacin: unidades del SI
a Cuntos nombres y smbolos de prefjos hay hoy en da?
b En la tabla anterior se muestran seis nombres de prefjos y sus
smbolos. Hal le los otros.
c El i ja al menos dos de el los y describa situaciones en las que
se uti l izan.
Ayuda el uso de
la notacin SI a
pensar la matemtica
como un lenguaje
universal?
Captulo 1 27
Ejercitacin 1O
1 Escriba el smbolo usado para las magnitudes fsicas que estn resaltadas:
a La aceleracin de un objeto que tiene unidades medidas en
kilmetros por hora al cuadrado
b La densidad de un objeto con una masa de 23 kg y un volumen
de 1,5 m3
c La velocidad promedio de un objeto que recorre 500 m en 70 segundos
2 Escriba estas unidades con palabras:
a dag b cs c mm d dm
3 Convierta estas cantidades a la unidad indicada:
a 32 km a m b 0,87 m a dam c 128 cm a m
4 Convierta estas cantidades a la unidad indicada:
a 500 g a kg b 357 kg a dag c 1080 dg a hg
5 Convierta estas cantidades a la unidad indicada:
a 0,080 s a ms b 1200 s a das c 0,8 hs a ds
6 a Convierta 67 800 000 mg a kg. D su respuesta redondeada
al kg ms cercano.
b Convierta 35 802 m a km. D su respuesta redondeada
al km ms cercano.
c Convierta 0,654 g a mg. D su respuesta en la forma
a 10k, donde 1 a < 10 y k .
Unidades SI de rea y volumen
rea
Los diagramas siguientes muestran dos formas de representar m2.
1 m
1 m
1 m
2
10 dm
10 dm
[ Un metro cuadrado
es igua l a l rea de un
cuadrado cuyos lados
m iden 1 m .
[ 1 m 2 = 100 dm2
m2 = m m = 0 dm 0 dm = 00 dm2
Nmero y lgebra 128
Para convertir de m2 a dm2 multiplicamos por 100 o por 02.
Podemos usar el mismo mtodo para convertir de:
km2 a hm2
hm2 a dam2
dam2 a m2
m2 a dm2
dm2 a cm2
cm2 a mm2
Ejemplo 26
Convierta cada cantidad a la unidad indicada.
D su respuesta en forma decimal.
a 1,5 m2 a cm2
b 3240 m2 a km2
Respuestas
a 1 m2 = 104 cm 2
Entonces
1,5 m2 = 1,5 104 cm 2
= 15 000 cm 2
b 1 m2 = 106 km 2
Entonces
3240 m2 = 3240 106 km 2
= 0,003240 km2
Para convertir de m2 a cm2,
multiplicar por 10 2 dos veces; es decir
multiplicar por 10 4:
10
2
2
( ) = 10 4
Para convertir de m2 a km2, dividir
por 10 2 tres veces; es decir dividir por
10 6 o multiplicar por 10 6:
10
2
3
( ) = 10 6
Volumen
Los diagramas siguientes muestran dos formas de representar m3.
1 m
1 m
1 m
1 m
3
10 dm
10 dm
10 dm
[ Un metro cbico es
igua l a l volumen de
un cubo cuyos l ados
m iden 1 m .
[ 1 m3 = 1000 dm3
m3 = m m m = 0 dm 0 dm 0 dm = 000 dm3
km
2
hm
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
dam
2
m
2
dm
2
cm
2
mm
2
Captulo 1 29
Para convertir de m3 a dm3 multiplicamos por 000 o por 03.
Podemos usar el mismo mtodo para convertir de:
km3 a hm3
hm3 a dam3
dam3 a m3
m3 a dm3
dm3 a cm3
cm3 a mm3
Ejemplo 7
Convierta cada cantidad a la unidad indicada.
D su respuesta en notacin cientfca.
a 0,8 m3 a cm3
b 15 900 cm3 a dam3
Respuestas
a 1 m3 = 106 cm3
Entonces
0,8 m3 = 0,8 106 cm3
= 8 105 cm3
b 1 cm3 = 109 dam3
Entonces
15 900 cm3
= 15 900 109 dam3
= 1,59 105 dam3
Para convertir de m 3 a cm3,
multiplicar por 10 3 dos veces; es
decir, multiplicar por 10 6:
(10 3) 2 = 10 6
Para convertir de cm 3 a dam 3,
dividir por 10 3 tres veces; es decir,
multiplicar por 10 9
Ejercitacin 1P
1 Convierta estas medidas a la unidad indicada.
D su respuesta en orma decimal.
a 2,36 m2 a cm2 b 1,5 dm2 a dam2
c 5400 mm2 a cm2 d 0,06 m2 a mm2
e 0,8 km2 a hm2 f 35 000 m2 a km2
2 Convierta estas medidas a la unidad indicada.
D su respuesta en la orma a 10k, donde 1 a < 10
y k .
a 5 m3 a cm3 b 0,1 dam3 a m3
c 3 500 000 mm3 a dm3 d 255 m3 a mm3
e 12 000 m3 a dam3 f 0,7802 hm3 a dam3
3 El lado de un cuadrado mide 13 cm. Halle el rea en:
a cm2 b m2
4 El lado de un cubo mide 0,85 m. Halle el volumen del cubo en:
a m3 b cm3
km
3
hm
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
dam
3
m
3
dm
3
cm
3
mm
3
13 cm
Nmero y lgebra 130
5 Escriba estas medidas en orden, comenzando desde la menor:
0,081 dam2; 8 000 000 mm2; 82 dm2; 7560 cm2; 0,8 m2
6 Escriba estas medidas en orden, comenzando desde la menor:
,2 m3; 200 dm3; 0,0 dam3; 020 000 000 mm3; 0 900 000 cm3
Unidades aceptadas en el SI que no son del SI
Hay algunas unidades que no son unidades del SI, pero son
aceptadas para usar con el SI porque son ampliamente usadas
en la vida cotidiana, por ejemplo, min, h, l.
Cada una de estas unidades tiene una defnicin exacta en uncin
de una unidad del SI. La tabla muestra algunas de estas unidades
junto con sus equivalentes en unidades SI.
Magnitud
fsica
Nombre de la
unidad
Smbolo
Equivalente en unidades
SI
Tiempo minuto min 1 min = 60 s
hora h 1 h = 60 min = 3600 s
da d 1 d = 24 h = 86 400 s
rea hectrea ha 1 ha = 1 hm2 = 104 m2
Volumen l itro L, l 1 l = 1 dm3
Masa tonelada t 1 t = 103 kg
Ejemplo 28
a Convierta 3 d 15 h 6 min a segundos.
b Convierta una velocidad promedio de 12 km h 1 a m s 1.
Respuestas
a 1 d = 86 400 s
3 d = 259 200 s
1 h = 3600 s 15 h = 54 000 s
1 min = 60 s 6 min = 360 s
Entonces
3 d 15 h 6 min = 259 200 s
+ 54 000 s + 360 s
= 313 560 s
b Velocidad promedio = 12 km h1
en 1 h el objeto recorri 12 km.
en 3600 s recorri 12 000 m.
Velocidad promedio =
m
s
12000
3600
= 3,33 m s1 (3 cs)
1 da = 24 horas
= 24 60 min
= 24 60 60 s
1 h = 60 min
= 60 60 s
12 km = 12 000 m
Convierta todo a la
misma unidad.
Convierta todo a la
misma unidad.Los prefjos SI se usan
con l, pero no se usan
con min, h y d.
signifca
entonces o impl ica
que .
d is ta n c ia re co rri d a
ti em po em p le a d o
Ve lo c id a d prom ed io =
Material de ampliacin
disponible en l nea: Hoja
de ejercicios 1: clculos
con medidas
Captulo 1 31
Ejemplo 9
Convierta:
a 120 hl a cl
b 5400 l a m3
Respuestas
a 120 hl = 120 104 cl
= 1 200 000 cl
b 1 l = 1 dm3
5400 l = 5400 dm3
5400 dm3 = 5400 103 m3
= 5,4 m3
Para convertir de hl a cl, multiplicar
por 10 cuatro veces; es decir,
multiplicar por 10 4
Para convertir de dm3 a m3, dividir
por 10 3; es decir, multiplicar por 10 3
Ejercitacin 1Q
1 a Convierta 1 d 2 h 23 min a segundos.
b D su respuesta al apartado a redondeando a la centena ms
cercana.
2 a Convierta 2 d 5 min a segundos.
b D su respuesta al apartado a en la orma a 10k, donde
1 a < 10 y k .
3 Convierta estas medidas a la unidad indicada.
D sus respuestas en orma decimal.
a 5 l a ml b 0,56 ml a hl c 4500 dal a cl
4 Convierta estas medidas a la unidad indicada. D sus respuestas
en la orma a 10k, donde 1 a < 10 y k .
a 500 l a cm3 b 145,8 dl a dm3 c 8 hl a cm3
5 Convierta estas medidas a la unidad indicada.
D su respuesta redondeando a la unidad ms cercana.
a 12,5 dm3 a l b 0,368 m3 a hl c 809 cm3 a cl
6 Una partcula viaja a una velocidad promedio de 40 m min1 y
recorre 3000 m.
a Halle, en minutos, el tiempo que viaja la partcula.
b D su respuesta al apartado a en segundos.
PREGUNTA TIPO EXAMEN
7 Las aristas de un contenedor en orma de cubo miden 1,5 m.
a Halle el volumen del contenedor. D su respuesta en m3.
b D su respuesta al apartado a en dm3.
c Decida si se pueden verter en el contenedor 4000 l de agua.
Justifque su respuesta.
Nmero y lgebra 132
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
8 El vlumen de una taza de t es 220 cm3. Mercedes siempre sirve
4
5
de la capacidad de una taza de t para evitar que se derrame.
a Halle, en l, la cantidad de t que Mercedes sirve en la taza de t.
El vlumen de la tetera de Mercedes es ,5 l.
b Halle el mxim nmer de tazas de t que Mercedes puede servir
de la tetera.
9 La distancia area entre Buens Aires y Ciudad del Cab es 6900 km.
Un avin vuela a una velcidad prmedi de 800 km h1.
a Halle el tiemp que tarda este avin en vlar de Buens Aires a
Ciudad del Cab.
Abu tma este vuel y lueg vuela a Jhannesburg, que se
encuentra a 393 km de Ciudad del Cab. El vuel dura 2 hras.
b Halle la velcidad prmedi de este segund avin.
Abu se va de Buens Aires a las 0.00 de la maana. Cuand llega
a Ciudad del Cab, espera ,5 hras hasta tmar el segund vuel.
c Halle la hra en que arriba a Jhannesburg.
Temperatura
Hay tres escalas de temperatura:
Kelvin (K)
Celsius (C)
Fahrenheit (F)
El kelvin (K) es la nica unidad base del SI de temperatura y es
generalmente usada pr cientfcs. El C es una unidad del SI derivada.
La escala Celsius se usa en la mayra de ls pases, per n en ls
Estads Unids, en dnde se usa la escala Fahrenheit. En la siguiente
tabla se muestran, para cada escala, las temperaturas de cngelacin
y de ebullicin del agua.
escala Punto d
conglacin
dl agua
Punto d
bullicin dl
agua
Fahrenheit (F) 32 212
Celsius (C) 0 100
Kelvin (K) 273,15 373,15
La rmula que se usa para cnvertir de oC a oF es:
t tF C= +
9
5
32
La rmula que se usa para cnvertir de K a C es:
t
C
= t
K
273,5
Fahrenheit 451 es
el nombre de un
l ibro escrito por Ray
Bradbury. El ttu lo
hace reerencia a la
temperatura en que el
papel se infama. Esta
temperatura tambin
se conoce como
punto de fasheo del
papel .
En esta rmula
t
c
representa
temperatura en
C y t
F
representa
temperatura en F.
En esta rmula
t
c
representa
temperatura en
oC y t
K
representa
temperatura en K.
Captulo 1 33
Ejemplo 0
Convierta:
a 25 C a F b 300 K a C c 200 F a C
Respuestas
a
9
5
25 32 77 F
b 300 273,15 = 26,85 C
c 200 32
9
5
= +t
C
t
C
= ( )200 32
5
9
t
C
= 93,3 C (3 cs)
Usar la frmula t = t 32
9
5
F C
+
Usar la frmula t = t 273,15
C K
Despejar t
c
de la ecuacin
Ejercitacin 1R
1 Convierta a C. D su respuesta redondeada al dcimo ms cercano.
a 280 K b 80 F
2 Convierta a F. D su respuesta redondeada al grado ms cercano.
a 21 C b 2 C
3 a Convierta 290 K a C.
b A partir de lo anterior, convierta 290 K a F.
4 a La frmula para convertir de K a C es t
C
= t
K
273,5.
Halle la frmula que se usa para convertir de C a K.
b La frmula para convertir de C a F es t t
F C
= +
9
5
32.
Halle la frmula que se usa para convertir de F a C.
Ejercicio de revisin
Preguntas del estilo de la prueba
PREGUNTA TIPO EXAMEN
1 Considere los nmeros
5
2 4
.
5; ; 3; ; 2, 3 y los conjuntos numricos
N, , Q y R.
Complete la tabla siguiente ubicando una marca ( ) en la casilla
apropiada, si el nmero es un elemento del conjunto.
5
2
3
5
4
2, 3
.
N
Q
R
En el captulo 6,
obtendremos frmulas
como estas para
model izar situaciones
de la vida real .
Nmero y lgebra 134
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
2 Dados los nmeros:
4, 0 ,4 02 2 0,0039 02 44 02
a Indique cul de estos nmeros es irracional
b Escriba 2 redondeando a 5 ciras signifcativas
c Escriba estos nmeros en orden creciente
3 La masa de un contenedor es 2690 kg.
a Escriba esta masa en la orma a 10k, donde 1 a < 10 y
k .
Nelson estima que la masa del contenedor es 2,7 03 kg.
b i Escriba esta masa en orma decimal.
ii Halle el porcentaje de error que ha cometido Nelson con
su estimacin.
4 La luz viaja en el vaco a una velocidad de 299 792 458 m s1.
a Escriba este valor redondeado a 3 ciras signifcativas.
b Utilice su respuesta al apartado a para hallar en km la
distancia que viaja la luz en 1 segundo.
c Utilice su respuesta al apartado b para hallar en km h-1 la
velocidad a la que viaja la luz en el vaco. D su respuesta en
la orma a 10k, donde 1 a < 10 y k .
5 La masa total de 90 libros idnticos es 52 200 g.
a Calcule la masa exacta de un libro en kg.
b Escriba su respuesta al apartado a redondeada a 1 cira
signifcativa.
Matilda estima que la masa de cualquiera de estos libros es
0,4 kg. Use la respuesta al apartado b para hallar el porcentaje de
error que Matilda cometi en su estimacin.
c Halle este porcentaje de error.
6 El volumen, V, de una jarra cbica es 1560 cm3.
a Escriba V en dm3.
Juan trabaja en la caetera del colegio haciendo jugos. Vierte el
jugo en estas jarras. Siempre llena las jarras hasta
3
4
de su altura.
b Halle, en l, la cantidad de jugo que Juan vierte en cada jarra.
Juan hace 25 l de jugo por da.
c i Halle el nmero de jarras que Juan llena por da.
ii Escriba la cantidad de jugo que no se usa.
7 Sea x
y
y
=
+
30
1
2
.
a Halle el valor exacto de x cuando y = 1,25.
b Escriba el valor de x redondeado a 3 ciras signifcativas.
c Escriba su respuesta al apartado b en en la orma a 10k,
donde 1 a < 10 y k .
Captulo 1 35
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
8 El lado de un terreno cuadrado mide x m.
a Escriba, en uncin de x, una expresin para el rea del terreno.
El rea del terreno es 2,56 km2.
b i Halle el valor de x.
ii Halle, en metros, el permetro del terreno.
9 La rmula para convertir de la escala kelvin a la escala Fahrenheit es:
t t
F K
=
9
5
459 67,
Donde t
k
representa la temperatura en K y t
F
representa la temperatura en F
a Halle una temperatura de 300K en F.
b Halle una temperatura de 100 F en K. D su respuesta
redondeada a la unidad ms cercana.
10 Considere la inecuacin 2x + 5 > x + 6.
a Resuelva la inecuacin.
b Represente la solucin al apartado a en una copia
de esta recta numrica.
c Decida cules de estos nmeros son soluciones de la
inecuacin dada en el apartado a:
4
5 3 2 06,
.
101
100
1,2 103
11 El tamao de una hoja A4 es 210 mm 297 mm.
a Halle el rea de una hoja A4. D su respuesta en mm2.
b D su respuesta al apartado a en m2.
Una resma tiene 500 hojas y pesa 75 g m2.
c Halle la masa de una hoja.
d Halle la masa de una resma en kg.
Preguntas del estilo de la prueba 2
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
1 La fgura muestra un terreno rectangular. El terreno mide 1260 m
de ancho y 2500 m de largo.
a Calcule el permetro del terreno. D su respuesta en km.
El propietario del terreno, Enrico, quiere cercarlo. El costo del
cerco es $327,64 por km.
b Calcule el costo de cercar el terreno. D su respuesta
redondeada a 2 lugares decimales.
Enrico estima que el permetro del terreno es 7,6 km. Utiliza su
estimacin para calcular el costo del cerco del terreno.
c Calcule el porcentaje de error que comete Enrico al usar su
estimacin del permetro del terreno para calcular el costo
del cerco.
d Calcule el rea del terreno. D su respuesta en kilmetros cuadrados (km2).
3 2 1 0 1 2 3
1260 m
2500 m
La fgura no est dibujada a escala.
Nmero y lgebra 136
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
2 Una pista de carrera se conorma de un rectngulo de 800 m por
400 m con dos semicrculos en sus extremos, como muestra la fgura.
400 m
800 m
a Halle el permetro de la pista de carrera. D su respuesta
redondeada al metro ms cercano.
Elena corre 4 200 m alrededor de la pista.
b Halle la cantidad de vueltas completas que corre Elena alrededor
de la pista de carrera.
Elena corre a una velocidad promedio de 9 km h .
c Halle cunto tiempo tarda Elena en completar una vuelta. D su
respuesta en horas.
d Halle el tiempo, en minutos, que tarda Elena en correr 14 200 m.
D su respuesta redondeada a 5 ciras signifcativas.
Elena estima que tarda 44 minutos en correr 4 200 m.
e Halle el porcentaje de error que comete Elena en su estimacin.
3 Un negocio de chocolates produce chocolates esricos con un
dimetro de 2,5 cm.
a Calcule el volumen de cada uno de estos chocolates en cm3. D su
respuesta redondeada a dos lugares decimales.
Los chocolates se venden en cajas cilndricas, que tienen un radio de
2,5 mm y una altura de 5 cm.
b Calcule el volumen de cada una de estas cajas cilndricas en cm3.
D su respuesta redondeada a 2 lugares decimales.
c Muestre que el mximo nmero de chocolates que entran en cada
una de estas cajas es 6.
Las cajas se llenan con 6 chocolates.
d Halle el volumen de la caja que no est ocupado por los
chocolates.
e D su respuesta al apartado d en mm3.
f D su respuesta al apartado d en la orma a 10k, donde
1 a < 10 y k .
La fgura no est dibujada a escala.
Captulo 1 37
RESUmEN DEL CAPTULO 1
Conjuntos nuricos
El conjunto de neros naturales N es {0, 1 , 2, 3, 4, 5, . . . } .
El conjunto de neros enteros es { . . . , 4, 3, 2, 1 , 0, 1 , 2, 3, 4, . . . } .
El conjunto de neros racionales Q es
, donde y son enteros y . 0
p
q
p q q
Un nmero es racional si:
Se puede escribir como el cociente de dos enteros
Su expresin decimal es fnita
Su expresin decimal no termina, pero tiene una cira o un patrn de ciras que
se repite indefnidamente
Todo nmero decimal que tiene un nmero infnito de ciras despus de la coma
decimal y que no tiene perodo es un nero irracional.
El conjunto de los nmeros racionales junto con el conjunto de los nmeros
irracionales completan la recta numrica y orman el conjunto de los neros
reales, R.
Aproxiacin y error
Redondear un nmero a la decena s cercana es lo mismo que redondearlo al
ltiplo de 0 s cercano.
Redondear un nmero a la centena s cercana es lo mismo que redondearlo al
ltiplo de 00 s cercano.
Reglas de redondeo
Si la cira siguiente a la que se est redondeando es menor que 5, entonces
mantener la cira que se est redondeando y cambiar a ceros todas las que estn
a su derecha.
Si la cira siguiente a la que se est redondeando es 5 o ms, entonces sumarle
1 a la cira que se est redondeando y cambiar a ceros todas las que estn a su
derecha.
Redondear un nmero a un lugar decial es lo mismo que redondearlo al dcio
s cercano.
Redondear un nmero a dos lugares deciales es lo mismo que redondearlo al
centsio s cercano.
Redondear un nmero a tres lugares deciales es lo mismo que redondearlo al
ilsio s cercano.
Reglas de redondeo para deciales
Si la cira siguiente a la que se est redondeando es menor que 5, entonces
mantener la cira que se est redondeando y eliminar todas las que estn a su
derecha.
Si la cira siguiente a la que se est redondeando es 5 o ms, entonces sumar
1 a la cira que se est redondeando y eliminar todas las que estn a su derecha.
La cantidad de ciras signifcativas en un resultado es la cantidad de ciras que se
conocen con cierto grado de fabilidad.
Contina en l a pg ina sigu iente.
Nmero y lgebra 138
Reglas para ciras signifcativas
Toda cira distinta de cero es signifcativa.
Los ceros que se encuentran entre dos ciras distintas de cero son signifcativos.
Los ceros a la izquierda de la primera cira que no es cero no son signifcativos.
Los ceros ubicados despus de otra cira, pero que estn a la derecha de la coma
decimal, son signifcativos.
Reglas de redondeo para ciras signifcativas
Si la cira que est en el lugar (n+1 ) es menor que 5, entonces mantener igual la
cira del lugar n.
Si la cira que est en el lugar (n+1 ) es 5 o ms, entonces sumar 1 a la cira del
lugar n.
En ambos casos, todas las ciras a la derecha de la cira que se ubica en el lugar n
deben ser eliminadas si estn a la derecha de la coma decimal, y deben ser
reemplazadas por ceros si estn a la izquierda de la coma decimal.
Para estimar la respuesta de un clculo, hay que redondear todos los nmeros que
lo componen a una cira signifcativa.
La dierencia entre un valor estimado o valor aproximado y el valor exacto se
denomina error:
Error = v
A
v
E
Donde v
A
es el valor aproximado y v
E
es el valor exacto
Porcentaje de error =
v v
v
A E
E
100%
Donde v
A
representa el valor aproximado o valor estimado y v
E
representa el valor
exacto
Notacin cientfca
Un nmero est escrito en notacin cientfca si est en la orma a 10k,
donde 1 a < 10 y k es un entero.
Unidades de medida del SI
En Estudios Matemticos, las unidades base SI que se usan ms comnmente son: m,
kg, y s, y sus unidades derivadas son: m2 (rea), m3 (volumen), km h1 (velocidad),
kg m3 (densidad).
Para evitar escribir cantidades muy pequeas o muy grandes, se utilizan prefjos.
Algunos de estos se muestran en la siguiente tabla.
Factor Prefjo Smbolo Factor Prefjo Smbolo
103 ki lo k 103 mi l i m
102 hecto h 102 centi c
101 deca da 101 deci d
Hay algunas unidades que no son unidades del SI, pero son aceptadas para usar con
el SI porque son ampliamente usadas en la vida cotidiana, por ejemplo, min, h, l.
Hay tres escalas de temperatura: kelvin (K), Celsius (C) y Fahrenheit (F).
Captulo 1 39
40 Teora del Conocimiento: una explicacin racional40
Una explicacin racional
Teora del Conocimiento
La escuela pitagrica, al rededor de 2500
aos atrs, crea que todos los nmeros
eranracionales. Esta idea se expresaba
con pal i l los de d istintas longitudes, que se
podan medir de orma exacta con un tercer
pal i l lo, ms corto que los otros dos.
Por ejemplo, estos pal i l los:
Pueden ser medidos con este:
As:
Cul es la razn entre el pal i l lo ms
corto y el ms largo?
Qu raccin del pal i l lo ms largo es el
ms corto?
Qu raccin del pal i l lo ms corto es el
ms largo?
Como la longitud de cada pal i l lo se puede
escribir como una raccin del otro, se d ice
que los dos pal i l los son conmensurables .
Los primeros pitagricos crean que todos
los nmeros podan ser representados por
un conjunto de l neas conmensurables.
Hipaso muestra un nmero irracional
En base a una leyenda, uno de los
pitagricos, H ipaso, demostr por primera
vez que 2 no era racional . Es posible que
H ipaso haya usado la idea de que 2 y 1
no podan medirse uti l izando el mismo
pal i l lo, por ms pequeo que uera.
H ipaso saba algunas cosas:
1 El teorema de Pitgoras: por
lo tanto, la d iagonal de este
cuadrado de lado 1 es 2 .
2 Si un pal i l lo poda medir dos
pal i l los ms largos, entonces poda
medir la d ierencia entre el los.
En el ejemplo de arriba, la d ierencia es
dos veces el pal i l lo de medicin.
Por lo tanto, H ipaso razon que, si haba
un pal i l lo que poda medir tanto el lado
como la d iagonal del cuadrado,
entonces ese pal i l lo tena
que poder medir su
d ierencia, que se muestra
en gris en la fgura 2.
Figura 2Figura 1
1
1
2
De dnde provienen nuestros nmeros
del cero al d iez?
Cundo se descubri el cero?, o ue
inventado?
En el libro Viaje a
travs de los geni
os,
William Dunham da a
entender cmo Hipaso
pudo haber hecho est
o.
Brahmi = +
Hind 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
rabe
Medieval 0 1 2 3
6 8 9
Moderno 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
La escuela pitagrica tena reglas muy
estrictas y ue una escuela tanto de f losoa
como de matemtica. Averige ms acerca de
sus principios y creencias.
T
e
o
r
a
d
e
l C
o
n
o
c
im
ie
n
to
.
41Captulo 1
La prueba de Cantor
Georg Cantor clasic a los conjuntos innitos en
innitos numerables e innitos innumerables.
Innito numerable es la medida de un conjunto en
la que se puede contar cada elemento con los
nmeros naturales: 1 , 2, 3, 4, El proceso podra
continuar para siempre, pero, debido a que a los
elementos del conjunto se les ha dado cierto tipo de
orden, se podra seguir contndolos sin dejar
ninguno auera. Cantor demostr que los nmeros
racionales pueden ser ordenados de esta orma, pero
que es imposible hacer lo mismo con los nmeros
irracionales. Cualquiera sea el orden que se idee,
habr siempre nmeros irracionales uera de la lista.
Las teoras de Cantor (aunque algo incmodas) el
da de hoy son una parte habitual de la
matemtica, pero en su poca causaron ms
controversia que lo que caus Hipaso en su
momento.
Se vea a Cantor como queriendo socavar las
matemticas y sus ideas ueron rechazadas por
casi todos los matemticos contemporneos de
la poca.
Suri de una severa depresin y termin su vida
en un hospital de salud mental.
Cantor vivi en Viena durante la Primera Guerra
Mundial, cuando el Imperio austro-hngaro se
estaba desmoronando. Sus conciudadanos estaban
temerosos del cambio que vean a su alrededor.
Fue quizs un paso demasiado grande para
Cantor el cambiar el concepto de nmero?
Puede la matemtica desarrollarse en una
burbuja?
Pueden los matemticos liberarse de las
infuencias externas?
Conoca sufcientes teoremas
del crculo como para deducir
que todos los segmentos
grises (fgura 3) tenan la
misma longitud, por lo que
podan medirse con el pal i l lo
original . Lo mismo para la parte punteada.
Y as empez nuevamente con el cuadrado
pequeo y la diagonal y construy la misma
fgura dentro de este, y nuevamente dentro
de ese.
Argument que,
dado que el
cuadrado se
estaba haciendo
cada vez ms chico, el pal i l lo de medicin
deba ser an menor, y a l fnal desaparecer,
porque la reduccin poda repetirse en orma
indefnida. Dado que el palillo terminaba
siendo tan pequeo que desapareca,
entonces deba no existir en un principio.
Sus colegas estaban convencidos, pero
defnitivamente no estaban contentos, y
lo tiraron de un barco dejndolo ahogar.
Sin duda la h istoria ha ganado algunos
detal les a lo largo de los aos, pero el
descubrimiento de los nmeros irracionales
tuvo un proundo eecto en los matemticos
griegos, qu ienes por siglos abandonaron el
estudio de los nmeros y se concentraron
en el tema seguro de la geometra.
Fueron los nmeros i rracionales
creados o descubiertos?
Existen los nmeros i rracionales?
Figura 3
Figura 4 Figura 5
Ahora se
sabe que
2 ue
solo la pu
nta del ic
eberg.
A pesar d
e que hay
un
nmero in
fnito de r
acionales,
hay infnit
amente m
s
irracional
es.
Estadstica
descriptiva
OBJETIVOS DEL CAPTULO:
2.12.3 Datos d iscretos y continuos: tablas de frecuencias, valores centrales de
los intervalos y l mites superior e inferior de los intervalos; h istogramas de
frecuencias
2.4 Tablas de frecuencias acumuladas, curvas de frecuencias acumuladas,
mediana y cuarti les; d iagramas de caja y bigotes
2.5 Medidas de posicin central : media, mediana y moda; estimacin de la media
y clase modal
2.6 Medidas de dispersin: rango, rango intercuarti l y desviacin tpica
Qu necesitamos saber
1 Recopilar y representar datos usando:
a Un pictograma
b Un grfco de barras
c Un grfco de sectores
Edad 11
Edad 12
Edad 13
Edad 14
2 Preparar los ejes de un grfco usando las
escalas especifcadas
Edad 11
Edad 12
Edad 13
Edad 14
Referencia: = 1 alumno
13
Edad (aos)
Frecuencia
12 141110 15
10
8
6
4
2
0
Comprobemos nuestras habilidades
1 Martn quiere averiguar inormacin acerca
de la cantidad de hombres, mujeres, nios
y nias que usan una biblioteca. Disee
una hoja de recopilacin de datos para esta
inormacin.
2 Estos datos muestran la cantidad de
caramelos de distintos colores que hay en un
paquete.
Color Azul Verde Rojo Naranja Amari l lo
Frecuencia 5 7 8 4 6
a Dibuje con precisin un pictograma para
representar estos datos.
b Dibuje con precisin un grfco de barras
para representar estos datos.
c Dibuje con precisin un grfco de
sectores para representar estos datos.
3 En papel milimetrado, dibuje con precisin
un par de ejes coordenados tales que, en el
eje x, 1 cm represente 2 unidades y, en el eje
y, 1 cm represente 10 unidades.
2
Antes de comenzar
Estadstica descriptiva42
Cada pas necesita inormacin bsica acerca de su poblacin, para
poder planear y desarrollar los servicios que necesita. Por ejemplo,
para planifcar una red de rutas, es necesario saber el tamao de la
poblacin, para as poder estimar la cantidad de trfco en la zona.
Para recopilar inormacin sobre la poblacin, los gobiernos llevan
a cabo censos. Un censo es una encuesta sobre toda la poblacin
de un pas.
La inormacin recopilada incluye datos sobre edad,
gnero, salud, vivienda, empleo y transporte. Posteriormente,
los datos se analizan y se muestran en tablas, grfcos y
hojas de clculo. Todos los datos deben ser procesados
para proteger la inormacin de los individuos.
La Organizacin de las Naciones Unidas recomienda
llevar a cabo 1 censo al menos cada 10 aos.
En qu otras reas
de la sociedad se
uti l iza la matemtica
de una orma
prctica?
Cules el benefcio
de compartir y anal izar
datos de d istintos
pases?
Cundo ue el l timo censo en su
pas? Es la inormacin del censo de
dominio pbl ico? Cmo ha cambiado
la tecnologa la orma en que se
recopi lan y presentan los datos de los
censos?
Captulo 2 43
Investigacin: distribucin de la poblacin
En el Reino Unido, hay 1 censo cada 10 aos.
Estas pirmides poblacionales estn basadas en inormacin
recopi lada en el censo de 2001. Muestran la d istribucin de grupos
de edad en Tower Hamlets (Londres) y Christchurch (Dorset).
04
12%16% 8% 4% 0% 4% 8% 12% 16%
59
1519
2529
3539
4549
5559
6569
7579
8589
04
1014
2024
3034
4044
5054
6064
7074
8084
90 y ms
Censo 2001: Tower Hamlets
Promedio del Reino Unido
Hombres Mujeres
10% 8% 6% 4% 2% 0% 2% 4% 6% 8% 10%
04
59
1014
1519
2024
2529
3034
3539
4044
4549
5054
5559
6064
6569
7074
7579
8084
90 y ms
8589
Promedio del Reino Unido
Hombres Mujeres
Censo 2001 : Christchurch
Compare las pirmides poblacionales de Tower Hamlets y Christchurch.
Simplemente basndose en estos datos, haga algunas conjeturas
acerca de estas dos zonas.
Real ice una investigacin completa de estas zonas y verifque sus
conjeturas. En qu medida ueron precisas?
Toda la inormacin
del censo de 2001
se puede encontrar
en www.ons.gov.uk
(en ingls), buscando
2001 census data .
En este captulo, organizaremos datos en tablas de recuencias,
grafcaremos datos en una variedad de diagramas y analizaremos
datos usando varias medidas.
2.1 Clasifcacin de datos
Hay dos tipos principales de datos: cualitativos y cuantitativos.
Los datos cualitativos son aquellos que no se dan numricamente,
como por ejemplo, el color preerido. Los datos cuantitativos son
numricos, y se pueden adems clasifcar en discretos o continuos.
Los datos discretos son aquellos que o bien se pueden contar
o bien pueden tomar solamente determinados valores.
Ejemplos de datos que se pueden contar pueden ser: la cantidad de
caramelos en un paquete, la cantidad de personas que preferen t y
no ca, y la cantidad de pares de zapatos que posee una persona.
Cmo se uti l i zan
los datos sobre
educacin para
investigar la relacin
que hay entre el
n ivel de educacin y
ciertos patrones de
ormacin de ami l ias
y erti l idad?
Estadstica descriptiva44
Ejemplos de datos que solo pueden tomar valores determinados
pueden ser: el tamao de zapato, el tamao de sombrero y el tamao
de vestido.
Los datos continuos son aquellos que se pueden medir.
Pueden tomar cualquier valor dentro de un rango.
Ejemplos de datos continuos pueden ser: peso, altura y tiempo.
Los datos continuos se pueden expresar con la cantidad de ciras
signifcativas que sean necesarias. Cuanto mayor sea la precisin
que se necesita, ms cantidad de ciras signifcativas tendrn los
datos.
[ Las ba lanzas nos dan
datos continuos.
Es discreta la
cantidad de granos de
sal en un salero?
El tiempo es una medida continua,
porque puede tomar cualquier valor
numrico en un rango determinado.
Por ejemplo: el tiempo que tarda
un velocista profesional en correr
100 m puede ser registrado como
cualquier fraccin de segundo.
Poblacin y muestra
Al llevar a cabo una investigacin estadstica, el grupo total del
cual estamos recopilando datos se denomina poblacin. No siempre
es posible, o necesario, acceder a los datos de toda una poblacin.
Podemos sacar conclusiones acerca de una poblacin a partir de la
recopilacin de datos de una muestra. Es, en general, ms
econmico y ms rpido, recopilar datos de una muestra.
Una muestra es un grupo pequeo elegido de una poblacin.
Una muestra aleatoria es aquella en la que cada elemento tiene la
misma probabilidad de ser incluido.
Una muestra sesgada es aquella que no es aleatoria.
Es importante que una muestra sea aleatoria y no
sesgada, ya que debe ser representativa de los
elementos que se estn investigando. Para asegurar que
distintos elementos de la poblacin tengan la misma
probabilidad de ser elegidos, se podran poner todos los
nombres en un sombreo y sacarlos. O se podra asignar un
nmero a cada miembro de la poblacin y luego elegir
nmeros aleatoriamente, utilizando la uncin RandInt
(nmeros aleatorios) de la calculadora de pantalla grfca
(en adelante, CPG).
Pueden producir un
sesgo la redaccin y la
forma de presentar los
datos en una pregunta
de una encuesta?
Las muestras no sern objeto
de examen. Sin embargo, al
usarlas en el proyecto de Estudios
Matemticos, deberemos discutir
cmo elegimos la muestra y
convencer al moderador de que es
en verdad una muestra aleatoria.
Son las encuestas de
sal ida o de boca de urna
una buena forma de
predecir los resultados de
una eleccin?
[ La cantidad de zapatos
y e l tamao de zapato
son ejemplos de datos
d iscretos.
Las balanzas se inventaron cuando
los pases empezaron a comerciar
mercadera y se necesit una
medida estndar para asegurar un
comercio justo.
Captulo 2 45
Ejemplo
Kiki quiere averiguar si en su colegio las notas de los alumnos
tienen alguna relacin con el hbito de desayunar. Sin embargo, hay
demasiados alumnos en el colegio como para preguntar a todos.
Necesita elegir una muestra.
Cmo puede asegurarse de que la muestra que elige es aleatoria?
Respuesta
Kiki puede usar su CPG para
generar nmeros aleatorios y
usar los alumnos que tienen
esos nmeros en el registro del
colegio.
Tiene cada alumno la misma
probabilidad de ser incluido en la
muestra de Kiki? Si es as, entonces
la muestra es aleatoria.
Ejemplo 2
Alicia est realizando una encuesta para averiguar cunto dinero
gastan en moda, por mes, las mujeres que viven en Londres. Solo
entrevista a mujeres que estn saliendo de Harrods (una tienda muy
exclusiva). Es aleatoria esta muestra?
Respuesta
No, porque la muestra no
proviene de la poblacin total de
mujeres de Londres y algunas de
las mujeres que entrevista podran
no pertenecer a la poblacin.
Alicia solo pregunta a mujeres
que viven en Londres?
Todas las mujeres que viven en
Londres compran en Harrods?
Ejercitacin 2A
1 Indique si los siguientes datos son discretos o continuos:
a La cantidad de caramelos en un paquete
b Las alturas de los alumnos de octavo grado/ao
c Los talles de vestidos de las nias que conforman una banda de gaitas
d La cantidad de automviles rojos en un estacionamiento
e Los pesos de gatos pequeos
f Las notas que obtuvieron, en una prueba de Ciencias, los alumnos de
sptimo grado/ao
g Los tiempos que tardaron los alumnos en escribir su prueba de
Literatura Mundial
h Los pesos de las manzanas de una bolsa de 5 kg
i La cantidad de lluvia cada, en cm diarios, durante el mes de abril
j La cantidad de caras cuando se lanza una moneda 60 veces
k Los tiempos que tardan los atletas en correr una maratn
l La cantidad de visitantes diarios a la Mezquita Azul
En investigacin de
mercado, se entrevista
a una muestra de
la poblacin para
recopi lar datos acerca
de los cl ientes. Se
han desarrol lado
muchos mtodos de
investigacin desde
que las compaas
empezaron a l levar a
cabo investigaciones
formales de mercado
en la dcada de 1920.
Estadstica descriptiva46
2 Indique si las siguientes muestras son aleatorias o sesgadas:
a Al investigar si la gente desayuna, solo entrevistar a personas
que estn en la caetera.
b Al investigar acerca de hbitos de consumo, entrevistar a una
de cada tres personas que encontramos.
c Al investigar hbitosde consumo en automviles, Jos entrevista
a hombres que estn saliendo de un taller.
d Al comparar el PIB con la mortalidad inantil, Eizo elige los
pases de una lista numerada, generando nmeros aleatorios
en su CPG.
e Al investigar los hbitos de sueo de los nios, Adam
distribuye un cuestionario a los alumnos en su colegio.
. Datos discretos simples
Cuando hay una gran cantidad de datos, es ms cil interpretarlos si
estn organizados en una tabla de frecuencias o expuestos en un grfco.
Ejemplo 3
A continuacin se muestra la cantidad de caramelos que hay en 24 paquetes:
22 23 22 22 23 21 22 22 20 22 24 21
22 21 22 23 22 22 24 20 22 23 22 22
Organice esta inormacin en una tabla de recuencias.
Respuesta
Cantidad
de
caramelos
Conteo Frecuencia
20 | | 2
21 | | | 3
22 | | | | | | | | | | | 13
23 | | | | 4
24 | | 2
TOTAL 24
Dibujar una tabla con tres columnas
Escribir los valores posibles en la columna Cantidad
de caramelos
Utilizar marcas de conteo para registrar cada valor en
la columna Conteo
Para cada fla, contar la cantidad de marcas de
conteo y escribir el total en la columna Frecuencia
Sumar los valores en la columna Frecuencia para
hallar la recuencia total
Ahora puede ver cuntos paquetes tienen
cada cantidad de caramelos.
Ejercitacin 2B
1 Las cantidades de goles que anot el equipo de tbol Ajax en sus ltimos
25 partidos son:
3 0 2 2 3 0 2 2 5 0 2 4 3 2 0 2 3 5
Organice esta inormacin en una tabla de recuencias.
El PIB (Producto
Interno Bruto) es la
cantidad total de
bienes y servicios
producidos en un pas
a lo largo de un ao.
Captulo 2 47
2 Las cantidades de caras obtenidas cuando se arrojaron 50 veces 12 monedas se anotaron
abajo:
8 3 5 7 9 2 0 5 2 7 6 6 8 2 4 0 2 6 6 8 4 5 3
4 6 8 6 7 5 3 2 0 5 6 7 5 8 9 2 0 0 2 3 6 6 5
Organice esta informacin en una tabla de frecuencias.
3 Las edades de las nias en un club de hockey son:
0 2 0 9 5 3 2 6 3 4 2 0 0 9 9 0
0 2 5 6 2 3 0 5 3 2 5 6 2 0 9 0
Organice esta informacin en una tabla de frecuencias.
4 En una caja est escrito que en su interior hay 90 patatas fritas.
Victoria control 30 de esas cajas y anot debajo la cantidad de patatas fritas que tenan:
90 90 9 90 89 89 90 90 92 90 90 88 89 90 90
9 90 89 90 88 89 90 9 90 92 88 89 90 90 90
Organice esta informacin en una tabla de frecuencias.
5 Juan tir un dado 50 veces. Los nmeros que salieron se muestran abajo:
3 2 6 6 5 6 4 4 3 6 2 3 5 6 3 2 4 5 6 3 2
5 3 4 6 2 5 5 4 2 3 6 4 2 3 6 3 2 5 3 3 2 6
Organice esta informacin en una tabla de frecuencias.
Pregunta tIPO examen
6 Las cantidades de juegos en los distintos partidos de un torneo de bdminton se anotan
abajo:
8 8 0 9 7 8 7 2 7 8 0 0 9 9 8 7 9 8
Los datos primarios han sido organizados en la tabla de frecuencias.
Escriba los valores de m y de n.
. Datos discretos o continuos agrupados
Cuando hay una gran cantidad de datos dispersos en un amplio rango
es til agruparlos. Dependiendo de la cantidad de datos, debe
haber entre 5 y 5 grupos, o intervalos de clases, de la misma amplitud.
Las clases deben cubrir el rango de los datos y no se deben superponer,
es decir, que cada dato debe pertenecer a una sola clase.
Juegos Frecuencia
7 4
8 m
9 4
10 n
11 4
12 1
Estadstica descriptiva48
Podemos organizar tanto los datos discretos como los continuos
en tablas de frecuencias de datos agrupados.
Ejemplo 4
En una semana, Lorena hizo 30 llamadas telefnicas. Se registr la
duracin de las llamadas, en minutos.
3,1 12,2 9,6 8,1 2,2 1,2 15,0 4,8 21,2 13,6
17,3 22,3 1,5 4,6 31,2 26,7 7,8 18,2 35,4 1,6
2,9 5,5 12,8 28,3 16,9 1,3 5,6 7,8 2,3 6,9
Organice esta informacin en una tabla de frecuencias de datos
agrupados.
Respuesta
Duracin (d) Frecuencia
0 d < 5 10
5 d < 10 7
10 d < 15 3
15 d < 20 4
20 d < 25 2
25 d < 30 2
30 d < 35 1
35 d < 40 1
Primero decidir acerca del tamao
y la cantidad de clases
El dato menor = 1, 2, por lo tanto las
clases empiezan en 0.
El dato mayor = 35,4, por lo tanto
las clases terminan en 40.
Usando 5 como amplitud de clase,
habr (40 5 =) 8 clases en total.
Ejercitacin 2C
1 Organice cada uno de estos conjuntos de datos en una tabla de
frecuencias de datos agrupados:
a 2 5 12 21 7 9 25 31 17 19 22 23 15 24 5
34 45 32 3 43 7 32 6 8 40 23 32 22 8
b 10 24 31 29 42 19 55 65 46 72 35 48 68 56 92
2 33 77 56 45 82 76 56 34 2 78 89 45 59 32
26 97 67 54 34 8 77 59 34 27 3 9 63 65 22
c 1 3 8 12 4 2 6 3 9 10 11 9 7 5 14 2 3 16
9 5 3 4 4 8 7 3 5 9 5 3 9 0 4 5
Lmite superior y lmite inferior
Para hallar los lmites superior e inferior de una clase, hay que
calcular la media del valor ms alto de una clase y el valor ms
bajo de la clase siguiente.
La tabla de frecuencias
da una idea mucho
ms clara de los datos.
Captulo 2 49
Ejemplo 5
Esta tabla muestra las alturas
de las fores en un jardn.
Escriba:
a El lmite superior de la
primera clase
b El lmite inerior de la tercera
clase
Respuestas
a
10 10
2
+
= 10
b 20 20
2
+
= 20
El valor ms alto de la primera clase es 10.
El valor ms bajo de la segunda clase es 10.
El lmite superior de la primera clase es la
media de estos dos valores.
El valor ms alto de la segunda clase es 20.
El valor ms bajo de la tercera clase es 20.
El lmite inferior de la tercera clase es la
media de estos dos valores.
Ejemplo 6
La tabla muestra la cantidad de pares
de zapatos vendidos de cada talle en un
negocio, un determinado da.
Escriba:
a El lmite superior de la primera clase
y de la ltima clase
b El lmite inerior de la primera clase
y de la cuarta clase
Respuestas
a Lmite superior de la primera
clase = 19 + 20
2
= 9,5
Lmite superior de la ltima
clase =
44 + 45
2
= 44,5
b Lmite inerior de la primera
clase =
14 + 15
2
= 14,5
Lmite inerior de la cuarta
clase =
29 + 30
2
= 29,5
El valor ms alto de la primera clase es 19.
El valor ms bajo de la segunda clase es 20.
El lmite superior de la primera clase es
la media de estos dos nmeros. Lo mismo
para la ltima clase.
El valor ms alto de la clase anterior
sera 14. El valor ms bajo de la primera
clase es 15. El lmite inferior de la
primera clase es la media de estos dos
nmeros. Lo mismo para la cuarta clase.
Altura (x cm) Frecuencia
0 x < 10 5
10 x < 20 12
20 x < 30 21
30 x < 40 15
40 x < 50 6
Estos son tal les
europeos. Cules son
los tal les de zapatos
equivalentes en su pas?
Talle de
zapato
Frecuencia
1519 3
2024 9
2529 12
3034 22
3539 45
4044 31
Cmo podra uti l izar
estos datos el
administrador de la
zapatera?
Estadstica descriptiva50
Ejercitacin 2D
1 Copie estas tablas y compltelas con los lmites inferiores y
lmites superiores que faltan:
a
Clase Lmite inferior Lmite superior
912 12,5
1316
1720 16,5
2124
b
Tiempo (t segundos) Lmite inferior Lmite superior
2,0 t < 2,2
2,2 t < 2,4
2,4 t < 2,6
Histogramas de frecuencias
Un histograma de frecuencias es una manera til de representar los
datos visualmente.
Para dibujar con precisin un histograma de frecuencias,
hallar el lmite inferior y el lmite superior de los intervalos de
clase y dibujar las barras entre estos lmites. No debe haber
espacios entre las barras.
Los lmites de las clases se sitan sobre el eje x y los valores de las
frecuencias sobreel eje y.
Aqu se muestran los histogramas de frecuencias de los ejemplos
5 y 6:
10
0
20
30
Altura (cm)
Fr
e
cu
e
n
ci
a
50
Las barras comienzan
en los l mites inferiores.
10 20 30 40
10
0
20Fr
e
cu
e
n
ci
a
Tal le de zapato
30
40
50
10 20 30 40 50
Las barras comienzan
en los lmites inferiores.
En el curso de Estudios
Matemticos, solo se
tratarn h istogramas
de frecuencias con
intervalos de clase de
la misma ampl itud.
El estadstico ingls
Karl Pearson (1857
1936) fue la primera
persona en uti l izar el
trmino histograma
(en 1895).
Captulo 2 51
Ejercitacin 2E
1 Los costos de 80 cenas, en euros,
se muestran en la tabla.
Dibuje con precisin un histograma
para representar esta inormacin.
2 La tabla muestra la distribucin de
edades de los proesores en la
Academia Genios.
a Escriba los lmites inerior y
superior de cada clase.
b Dibuje con precisin un
histograma para representar
esta inormacin.
3 Las masas de 150 melones se
registran en la tabla.
a Escriba el lmite inerior y
superior de la tercera clase.
b Dibuje con precisin un
histograma para representar la
inormacin.
4 Las longitudes de 100 gusanos
(redondeadas al cm ms cercano)
estn dadas en la tabla.
a Escriba los lmites inerior y superior de cada clase.
b Dibuje con precisin un histograma para representar esta inormacin.
5 Se les pregunt a 50 personas cuntas veces por mes viajan en tren.
Los resultados ueron:
8 7 0 5 23 4 6 9 62 28
4 53 29 34 33 68 75 2 79
22 54 67 55 3 32 4 58 36 2
26 80 65 38 52 7 2 6 36 40
8 24 52 64 76 6 6 8 28 40
a Organice esta inormacin en una tabla de recuencias de datos agrupados.
b Dibuje con precisin un histograma para representar la inormacin grfcamente.
Costo de cena en euros (c) Frecuencia
10 c < 15 2
15 c < 20 8
20 c < 25 11
25 c < 30 25
30 c < 35 14
35 c < 40 11
40 c < 45 6
45 c < 50 3
Edad (x) Frecuencia
20 x < 30 4
30 x < 40 8
40 x < 50 10
50 x < 60 9
60 x < 70 3
Masa (x kg) Frecuencia
0,4 x < 0,6 21
0,6 x < 0,8 36
0,8 x < 1,0 34
1,0 x < 1,2 29
1,2 x < 1,4 18
1,4 x < 1,6 12
Longitud (cm) 4 5 6 7 8 9 10
Frecuencia 18 20 26 15 8 6 7
Estadstica descriptiva52
6 Yuri decidi contar la cantidad de malas hierbas en un metro
cuadrado de pasto. Eligi 80 parcelas de 1 metro cuadrado.
Los resultados para cada metro cuadrado son:
22 24 2 2 8 4 34 62 54 6 28 42 35 22 4 8 9 24 2 8
3 47 7 9 35 24 4 52 38 9 5 23 3 65 32 46 5 3 74 22
9 3 22 55 47 52 4 3 2 9 52 33 7 2 22 7 58 42 3 6
2 5 3 73 45 3 2 8 4 33 42 57 6 48 43 27 4 5 4 26
a Organice esta inormacin en una tabla de recuencias de datos agrupados.
b Dibuje con precisin un histograma para representar la inormacin grfcamente.
7 Sergio anot la cantidad de camionetas que pasaron por su calle,
cada cinco minutos, durante un perodo de ocho horas.
Sus resultados ueron:
Cantidad de camionetas (x) Frecuencia
1 x 5 12
6 x 10 23
11 x 15 31
16 x 20 13
21 x 25 9
26 x 30 5
31 x 35 2
36 x 40 1
a Escriba el lmite inerior y el lmite superior de la cuarta clase.
b Dibuje con precisin un histograma para representar la inormacin.
Pregunta tIPO examen
8 La cantidad de visitantes por hora al Taj Mahal se anotan en
esta tabla:
Hora (h) Cantidad de visitantes
09.00 h < 10.00 324
10.00 h < 11.00 356
11.00 h < 12.00 388
12.00 h < 13.00 435
13.00 h < 14.00 498
14.00 h < 15.00 563
15.00 h < 16.00 436
16.00 h < 17.00 250
17.00 h < 18.00 232
Dibuje con precisin un histograma para representar esta inormacin.
Captulo 2 53
2.4 Medidas de posicin central
Los datos se pueden resumir usando medidas de posicin central
como la moda, la mediana y la media.
La moda de un conjunto de datos es el valor que ocurre con
mayor frecuencia.
La mediana de un conjunto de datos es el valor que se encuentra
en el medio, cuando los datos estn ordenados por tamao.
La media de un conjunto de datos es la suma de todos los
valores dividida por la cantidad de valores.
Cuando hay dos valores en el medio, la mediana es el punto
medio entre estos dos valores del medio. Para hallar el punto
medio, hay que sumar los dos valores del medio y dividir por dos.
Ejemplo 7
Aqu hay un conjunto de datos: 5 4 8 4 4 7 8 9 11 1 5
Halle la moda, la mediana y la media.
Respuesta
5 4 8 4 4 7 8 9 11 1 5
Moda = 4
1 4 4 4 5 5 7 8 8 9 11
Mediana = 5
Media =
1 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 8 + 8 + 9 + 11
11
=
66
11
Media = 6
El valor 4 se repite tres veces.
Primero ordenar los datos por
tamao
Hay 11 datos, entonces la
mediana es el dato que ocupa la
posicin
11+ 1
2
.
La media es:
Suma de todos los valores
Cantidad de valores
Tambin podemos usar la CPG para calcular la mediana y la media.
Ingresar los datos:
Cmo sabemos cul
es la mejor medida de
posicin central para
usar?
Podemos engaar
a la gente citando
la estadstica? Por
ejemplo, los nmeros
1, 1, 100 tienen una
moda igual a 1, una
mediana igual a 1 y
una media igual a 34.
Tenemos que estar a l
tanto de que podra
haber valores no
esperados (datos
aislados que estn
fuera del rango normal
de los valores) que
sesgan la estadstica.
Cules son las
impl icaciones ticas
de usar la estadstica
para engaar a la
gente?
En el captulo 12,
seccin 2.1, se
muestra cmo
ingresar los datos.
La pantal la de la
CPG es demasiado
pequea para mostrar
todos los valores
de la l ista. Hay que
desplazar hacia abajo
para ver los otros
valores.
Estadstica descriptiva54
El valor de la media se da como
x (se lee x-barra):
El valor de la mediana se muestra
como MedianX:
Ejercitacin 2F
1 Calcule la moda, la mediana y la media de cada conjunto de datos:
a 7 3 8 9 1 10 1
b 3 4 8 2 5 6 11 13 3 5 6 5
2 Calcule los valores de a, b, c, d y e de la tabla:
Datos Mediana Moda Media
Altura (m): 1,52; 1,74;
1,83; 1,52; 1,67; 1,91
a b 1,70
Edad (aos): 21, 34, 17,
22, 56, 38
28
No
hay.
c
Peso (kg): 54,7; 48,6;
63,2; 55,1; 77,9; 48,6
d 48,6 e
3 Los pesos de ocho calabazas son:
26,3 kg; 12,6 kg; 33,5 kg; 8,9 kg; 18,7 kg; 22,6 kg; 31,8 kg y 45,3 kg
a Halle la mediana de los pesos.
b Calcule la media de los pesos.
PreguntaS tIPO examen
4 Para estos datos la moda es 5, la mediana es 6 y la media es 6,5.
2 3 s 5 5 7 8 9 0 t 2 2
Sabiendo que s < t, halle los valores de s y de t.
5 Las notas de Juana en Fsica, Biologa e Historia fueron 76, 54 y
65 respectivamente.
a Calcule la media de sus notas en los tres exmenes.
b Halle la nota que Juana debe obtener en Matemticas para
que la media de los cuatro exmenes sea exactamente 68.
El psiclogo alemn
Gustav Fechner
(18011887)
populariz el uso de
la mediana, aunque el
matemtico y
astrnomo francs
Pierre-Simon Laplace
(17491827) la haba
usado anteriormente.
Captulo 2 55
Pregunta tIPO examen
6 Zoe y Sonia compararon las notas de sus pruebas. Zoe obtuvo una media igual a 81 sobre
un total de 5 pruebas y Sonia obtuvo una media igual a 78 sobre un total de 3 pruebas.
Posteriormente, ambas realizaron una prueba ms y fnalizaron con la mismamedia, 80.
a Halle la nota que Zoe obtuvo en su sexta prueba.
b Halle la nota que Sonia obtuvo en su cuarta prueba.
Media, mediana y moda de una tabla de frecuencias
Cuando los datos estn en una tabla de recuencias, la moda es el valor que
tiene la mayor recuencia.
La mediana, en una tabla de recuencias, es el valor del medio, dado que en
la tabla los valores ya estn en orden. Si hay n datos, la mediana es el valor
que est en la posicin n + 1
2
.
El prximo ejemplo muestra cmo calcular la moda, la mediana y la media
a partir de una tabla de recuencias.
Ejemplo 8
Calcule la moda, la mediana
y la media de estos datos.
Respuesta
Moda = 22
Mediana = 22
Cantidad de
caramelos,
x
i
Frecuencia,
f
i
f
i
x
i
20 2 40
21 3 63
22 13 286
23 4 92
24 2 48
TOTAL 24 529
Media =
529
24
= 22,0 (3 cs)
22 tiene la mayor recuencia (que es 13).
La mediana es el dato que ocupa la posicin
24+ 1
2
= 12,5; por lo tanto, se encuentra entre las posiciones
12 y 13. Los datos que estn en las posiciones
12 y 13 son ambos 22, por lo que la mediana es 22.
Para calcular la media: rotular la primera
columna con x
i
, rotular la segunda columna con
i
,
agregar una tercera columna y rotularla con
i
x
i
.
Calcular
i
x
i
para cada fla:
2 20 = 40
3 21 = 63
13 22 = 286
4 23 = 92
2 24 = 48
Calcular el total de la columna
i
y el total de la
columna
i
x
i
:
Media = i i
i
suma de f x
total de f
Cantidad de caramelos Frecuencia
20 2
21 3
22 13
23 4
24 2
TOTAL 24
Algunas veces
las preguntas se
referen al valor
modal , que
tiene el mismo
signifcado que
moda .
Estadstica descriptiva56
La media de una tabla de frecuencias es:
Media =
suma de
total de frecuencias
i i
f x
Donde f
i
es la frecuencia de cada dato x
i
, i = 1 , , k, y
k es la cantidad de datos
Tambin podemos usar la CPG para calcular la media y la mediana
de una tabla de frecuencias.
Ingresar los datos: El valor de la media est
dado por x:
El valor de la mediana est dado por MedianX:
Ejercitacin 2G
1 Se tira 29 veces un dado y se anota la puntuacin.
Los resultados se muestran en la tabla.
a Escriba la puntuacin modal.
b Escriba la mediana de las puntuaciones.
c Calcule la puntuacin media.
Pregunta tIPO examen
2 La tabla muestra la frecuencia de la cantidad de
visitas anuales al doctor de un grupo de nios.
a Cuntos nios hay en el grupo?
b Escriba la moda de la cantidad de visitas.
c Calcule la cantidad media de visitas.
La rmula del IB para
la media es:
x
f x
n
i i
i
k
= =
1 , donde
n f
i
i
k
=
=
1
La notacin
simplemente signifca
suma . Esta
rmula est dada
en el cuaderni l lo de
rmulas.
Puntuacin Frecuencia
1 4
2 7
3 3
4 8
5 5
6 2
Cantidad de visitas 0 1 2 3 4 5
Frecuencia 4 3 8 5 4 1
Captulo 2 57
PreguntaS tIPO examen
3 Una bolsa contiene 6 bolas numeradas del 1 al 6. Se extrae al azar
una bola y se anota el nmero. La bola luego se vuelve a colocar en la
bolsa. Los nmeros de las primeras 30 extracciones son:
Nmero 1 2 3 4 5 6
Frecuencia 4 5 3 n 6 5
a Escriba el valor de n.
b Calcule la media de los nmeros.
c Escriba el nmero modal.
4 La tabla muestra la recuencia de califcaciones obtenidas
por un grupo de alumnos en un Colegio del Mundo del IB.
a Calcule la califcacin media.
b Qu porcentaje de alumnos obtuvieron una califcacin
de 4 o 5?
c Escriba la califcacin modal.
Media, mediana y moda para datos agrupados
Cuando los datos estn agrupados, podemos hallar la clase
modal y una estimacin de la media.
Para datos agrupados, la clase modal es el grupo o intervalo
de clase que tiene la recuencia ms alta.
El ejemplo siguiente muestra cmo calcular una estimacin de la media.
Ejemplo 9
Los tiempos, en segundos, que lleva completar 200 peleas de sumo
se muestran en esta tabla:
Tiempo
(t segundos)
Frecuencia
0 t < 20 37
20 t < 40 62
40 t < 60 46
60 t < 80 25
80 t < 100 11
100 t < 120 9
120 t < 140 6
140 t < 160 4
TOTAL 200
Calcule a la clase modal y b una estimacin de la media.
Como no conocemos los valores exactos de
los datos de cada grupo, usamos el punto
medio de cada intervalo de clase como una
estimacin de los valores de cada grupo.
{ Contina en la pg ina sigu iente.
Califcacin Frecuencia
1 1
2 6
3 19
4 34
5 32
6 18
7 10
Estadstica descriptiva58
Respuesta
Clase modal = 20 t < 40
Tiempo
(t segundos)
Frecuencia,
f
i
Punto
medio,
x
i
f
i
x
i
0 t < 20 37 10 370
20 t < 40 62 30 1860
40 t < 60 46 50 2300
60 t < 80 25 70 1750
80 t < 100 11 90 990
100 t < 120 9 110 990
120 t < 140 6 130 780
140 t < 160 4 150 600
TOTAL 200 9640
Media =
9640
200
= 48,2 (3 cs)
Este intervalo de clase tiene
la recuencia ms alta (62).
Para calcular una estimacin de la media, primero
tenemos que hallar el punto medio de cada intervalo
de clase. Agregar una tercera columna y rotularla
"punto medio, x
i
. Calcular cada punto medio:
Punto medio de 0 t < 20:
0+ 20
2
= 10
Punto medio de 20 t < 40:
20+ 40
2
= 30
Punto medio de 40 t < 60:
40+ 60
2
= 50
Despus agregar una cuarta columna y rotularla
i
x
i
Despus calcular para cada fla
i
x
i
:
9 110 = 990
6 130 = 780
Calcular el total de la columna
i
y el total de la
columna
i
x
i
Media = i i
i
total de f x
total de f
Para calcular una estimacin de la media de una
tabla de frecuencias de datos agrupados, usar
total de
frecuencia total
i i
f x
, donde
i
es la frecuencia y x
i
es el
punto medio correspondiente a cada clase.
Podemos tambin usar la CPG para calcular una estimacin de la
media de una tabla de frecuencias de datos agrupados.
Ingresar los datos:
Para hal lar el punto medio del intervalo
de clase, hal lar la media de los l mites
de la clase.
Punto medio =
I m i te i n fe ri o r + l m i te su pe rio r
2
Por qu se obtiene
una estimacin de la
media y no el valor
exacto?
En el captu lo 12,
seccin 2.2, se
muestra cmo
ingresar los datos.
Captulo 2 59
El valor de la media est dado por x :
En el ejemplo no se pide la mediana, pero la
CPG la calcula y la muestra en la pantalla de
clculos (este valor tambin es una
estimacin, ya que no conocemos los valores
de cada uno de los datos):
Ejercitacin 2H
PreguntaS tIPO examen
1 La tabla muestra los tiempos que tardaron 25 guepardos
en cubrir una distancia de 50 km.
a Escriba la clase modal.
b Calcule una estimacin de la media del tiempo
que tardaron.
2 La tabla muestra las velocidades de vehculos que pasan
por debajo de un puente.
a Escriba la clase modal.
b Calcule una estimacin de la velocidad media
de los vehculos.
3 Los resultados de una prueba de Geograa de 25 alumnos
se muestran en el diagrama.
a Escriba la clase modal.
b Calcule una estimacin de la califcacin media.
Tiempo tardado
(t minutos)
Frecuencia
20 t < 22 2
22 t < 24 5
24 t < 26 8
26 t < 28 4
28 t < 30 3
30 t < 32 2
32 t < 34 1
Velocidad
(v km h1)
Frecuencia
60 v < 70 8
70 v < 80 15
80 v < 90 12
90 v < 100 10
100 v < 110 8
110 v < 120 3
120 v < 130 4
2
0
4
Calicacin
N
m
e
ro
d
e
a
lu
m
n
o
s
10 20
1
3
5
6
7
30 40 50 60 70 90 10080
Estadstica descriptiva60
2.5 Curvas de frecuencias acumuladas
La frecuencia acumulada es la suma de todas las recuencias
hasta el nuevo valor inclusive. Para dibujar con precisin una
curva de frecuencias acumuladas, tenemos que elaborar una
tabla de recuencias acumuladas, con el lmite superior de cada
intervalo de clase en una columna yla correspondiente
recuencia acumulada en otra. Luego situar el lmite superior de
cada clase sobre el eje x y la recuencia acumulada sobre el eje y.
Ejemplo 10
Un supermercado est abierto las 24 horas del da
y tiene un estacionamiento gratuito. Se controla,
durante algunos das, la cantidad de automviles
estacionados por hora. Se muestran los resultados
en la tabla. Organice esta inormacin en una tabla
de recuencias acumuladas.
Dibuje con precisin un grfco de recuencias
acumuladas.
Respuesta
Cantidad de
automviles
estacionados
por hora
Frecuencia Lmite
superior
Frecuencia
acumulada
049 6 49,5 6
5099 23 99,5 29
100149 41 149,5 70
150199 42 199,5 112
200249 30 249,5 142
250299 24 299,5 166
300349 9 349,5 175
350399 5 399,5 180
40
0
80
F
re
c
u
e
n
c
ia
a
c
u
m
u
la
d
a
Cantidad de automvi les
120
160
200
0 100 200 300 400
Agregar una tercera columna y rotularla
Lmite superior
Calcular el lmite superior de cada clase:
Lmite superior =
49+ 50
2
= 49,5
Lmite superior =
99+ 100
2
= 99,5
Lmite superior =
149+ 150
2
= 149,5
Ahora agregar una cuarta columna y rotularla
Frecuencia acumulada
Calcular la recuencia acumulada para cada fla:
6 + 23 = 29
La recuencia
acumulada fnal debe
ser igual al valor de
la recuencia total . La
recuencia acumulada
siempre se representa
sobre el eje vertical.
29 + 41 = 70
166 + 9 = 175
175 + 5 = 180
Para dibujar la curva de recuencias acumuladas,
situar los puntos que tienen el valor del lmite
superior en la primera coordenada y la recuencia
acumulada en la segunda coordenada. Unir los
puntos con una curva suave.
Cantidad de
automviles
estacionados por hora
Frecuencia
049 6
5099 23
100149 41
150199 42
200249 30
250299 24
300349 9
350399 5
Captulo 2 61
Interpretacin de grfcos de recuencias
acumuladas
Podemos usar la curva de frecuencias acumuladas para hallar
estimaciones de percentiles y cuartiles.
Los percentiles dividen en centsimos una gran cantidad de datos
ordenados.
Los cuartiles dividen en cuartos una gran cantidad de datos
ordenados.
Cuando los datos estn ordenados por tamao, el primer cuartil es el
percentil 25, la mediana es el percentil 50 (valor del medio) y el
tercer cuartil es el percentil 75.
Para hallar el primer cuartil, Q
1
,
leer el valor de la curva
correspondiente al valor
n +1
4
sobre el eje de las frecuencias
acumuladas, donde n es el total de frecuencias
Para hallar la mediana, leer el valor de la curva correspondiente
al valor n + 1
2
sobre el eje de las frecuencias acumuladas
Para hallar el tercer cuartil, Q
3
, leer el valor de la curva
correspondiente al valor 3( + 1 )
4
n sobre el eje de las frecuencias
acumuladas
Para hallar los percentiles, p %, leer el valor de la curva
correspondiente al valor
p n( + 1 )
100
sobre el eje de las frecuencias
acumuladas
Para hallar el rango intercuartil, calcular la diferencia entre el
tercer cuartil y el primer cuartil: RIC = Q
3
Q
1
Para cualquier conjunto de datos:
25% o un cuarto de los valores se encuentran entre el valor
mnimo y el primer cuartil
25% de los valores se encuentran entre el primer
cuartil y la mediana
25% de los valores se encuentran entre la mediana y el tercer
cuartil
25% de los valores se encuentran entre el tercer cuartil y el valor
mximo
50% de los datos se encuentran entre el primer y el tercer cuartil
A la curva de
recuencias
acumuladas tambin
se la conoce como
oj iva .
Por ciento signifca
sobre un total de 100.
1
4
= 25%
1
2
= 50%
3
4
= 75%
No hay rmulas
universalmente
acordadas para los
cuarti les. Para un
valor grande de n y
datos agrupados, se
puede usar n en lugar
de n + 1.
El RIC muestra la
d ispersin del 50%
central de los datos.
Estadstica descriptiva62
En este diagrama de recuencias acumuladas (de los
datos del ejemplo 10), n = 1 80.
Primer cuartil 1 20
Este es el valor correspondiente a 180 + 1
4
= 45,25.
Mediana 1 73
Este es el valor correspondiente a 180 + 1
2
= 90,5.
Tercer cuartil 238
Este es el valor correspondiente a 3(180 + 1 )
4
= 1 35,75.
Percentil 40 1 53
Este es el valor correspondiente a
40(180 + 1 )
100
= 72,4.
El rango intercuartil 238 120 = 1 18.
Ejemplo 11
50 concursantes juegan al Oware. Tienen que jugar un total de 49 partidas para consagrar al
campen. Los tiempos promedios de las 49 partidas se dan en la siguiente tabla:
Tiempo
(t minutos)
Frecuencia
3 t < 4 4
4 t < 5 12
5 t < 6 18
6 t < 7 9
7 t < 8 3
8 t < 9 2
9 t < 10 1
a Elabore una tabla de recuencias acumuladas
para estos datos.
b Dibuje con precisin un grfco de recuencias
El Oware se juega en todo el mundo y
adems hay una sociedad de Oware
(OWS).
Por qu 50 concursantes deben jugar
49 partidas para consagrar al campen?
Lo puede probar?
acumuladas para estos datos.
c Utilice su grfco para estimar:
i El primer cuartil ii La mediana
iii El tercer cuartil iv El rango intercuartil
v El percentil 30
Respuestas
a
Tiempo
(t minutos)
Frecuencia Lmite
superior
Frecuencia
acumulada
3 t < 4 4 4 4
4 t < 5 12 5 16
5 t < 6 18 6 34
6 t < 7 9 7 43
7 t < 8 3 8 46
8 t < 9 2 9 48
9 t < 10 1 10 49
Comprobacin:
Frecuencia total: 4 + 12 + 18 + 9 + 3 +
2 + 1 = 49
Frecuencia acumulada fnal = 49
{ Contina en la pgina sigu iente.
0
Cantidad de automvi les
F
re
c
u
e
n
c
ia
a
c
u
m
u
la
d
a
100 200
40
20
60
100
120
140
160
180
200
80
300 400
Captulo 2 63
b
0
Tiempo (minutos)
Fr
e
cu
e
n
ci
a
a
cu
m
u
la
d
a
2 4
20
10
30
50
60
40
6 10 128
c i n = 49
n+1
4
50
4
= = 12,5
Primer cuartil 4,7 minutos
25% de las
partidas duran 4,7
minutos o menos.
ii
n + 1
2
=
49 + 1
2
= 25
Mediana 5,5 minutos
50% de las
partidas duran 5,5
minutos o menos.
iii
3 + 1
4
n( )
=
3 49 + 1
4
( )
= 37,5
Tercer cuartil 6,4 minutos
75% de las
partidas duran 6,4
minutos o menos.
iv Rango intercuartil = 6,4 4,7
= 1,7 minutos
El 50% central de
las partidas dura
entre 4,7 y 6,4
minutos.
v
30 + 1
100
n( )
=
30 49 + 1
100
= 15
( )
Percentil 30 4,9 minutos
30% de los juegos
duran 4,9 minutos
o menos.
Situar los puntos que tienen en la
primera coordenada el lmite superior y
en la segunda coordenada la frecuencia
acumulada. Unir los puntos con una
curva suave.
Leer el valor 12,5 en el eje vertical. Desde
all buscar el punto que le corresponde
en la curva y desde ese punto bajar al eje
horizontal.
Este es el valor en el eje horizontal
correspondiente al 25 en el eje vertical.
Este es el valor en el eje horizontal
correspondiente al 37,5 en el eje vertical.
Este es el valor en el eje horizontal
correspondiente al 15 en el eje vertical.
Ejemplo 12
A partir del grfco de recuencias
acumuladas siguiente, halle:
i La mediana
ii El rango intercuartil
iii El percentil 70
0
50
100
150
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
F
re
c
u
e
n
c
ia
a
c
u
m
u
la
d
a
x
{ Contina en l a pg ina sigu iente.
Estadstica descriptiva64
Respuestas
i n = 120
n + 1
2
=
121
2
= 60,5
Mediana 35
ii Primer cuartil es el valor
120 + 1
4
= 30,25
Primer cuartil = 26
Tercer cuartil es el valor
3 120 + 1
4
( )
= 90,75
Tercer cuartil = 46
Rango intercuartil 46 26 = 20
iii Es el valor =
70 120 + 1
100
( )
= 84,7
Percentil 70 43
En el grfco se lee que n =120. La mediana es el
valor del eje horizontal correspondiente a 60,5 en el eje
vertical.
El primer cuartiles el valor en el eje horizontal
correspondiente a 30,25 en el eje vertical.
El tercer cuartil es el valor del eje horizontal
correspondiente a 90,75 en el eje vertical.
Rango intercuartil = tercer cuartil - primer cuartil
Este es el valor del eje horizontal correspondiente a
84,7 en el eje vertical.
Ejercitacin 2I
PreguntaS tIPO examen
1 Se tira un dado 50 veces. Se anota el
nmero que sale cada vez y los
resultados se resumen en la tabla.
a Escriba el valor de N.
b Halle los valores de a, b y c.
2 La tabla muestra los porcentajes que obtuvieron un grupo de alumnos en una prueba.
Notas (%) 09 1019 2029 3039 4049 5059 6069 7079 8089 90100
Frecuencia 1 5 7 11 19 43 36 15 2 1
Aqu se muestra la tabla de recuencias
acumuladas para estas notas:
a Calcule los valores de s y de t.
b Dibuje con precisin un grfco de
recuencias acumuladas para
estos datos.
c Utilice su grfco para estimar:
i La nota mediana
ii El primer cuartil
iii La nota de aprobacin, si se
sabe que 40% de los alumnos
aprobaron
Nmero Frecuencia
Frecuencia
acumulada
1 6 6
2 a 14
3 10 24
4 b c
5 5 43
6 7 50
N
Notas (%) Frecuencia
acumulada
< 9,5 1
< 19,5 6
< 29,5 s
< 39,5 24
< 49,5 43
< 59,5 86
< 69,5 t
< 79,5 137
< 89,5 139
100 140
Captulo 2 65
Pregunta tIPO examen
3 Un parque saari est abierto para los visitantes
diariamente durante todo el ao. Durante un
ao completo, se registr la cantidad de automviles
que pasan por el parque diariamente. Los datos
se muestran en la tabla.
Cantidad de
automviles (n)
Frecuencia
0 < n 150 25
150 < n 300 36
300 < n 450 68
450 < n 600 102
600 < n 750 64
750 < n 900 41
900 < n 1050 19
1050 < n 1200 10
a Dibuje con precisin un grfco de recuencias
acumuladas para representar esta inormacin.
b Halle la mediana y el rango intercuartil.
c Qu porcentaje de los das hubo ms de
800 automviles en el parque?
4 Soa estudi un artculo del Helsingborgs
Dagblad. Anot la cantidad de palabras
por oracin en una tabla de recuencias.
Cantidad de
palabras
Frecuencia
14 4
58 19
912 38
1316 23
1720 8
2124 4
2528 2
2932 1
3336 1
a Dibuje con precisin un grfco de recuencias
acumuladas para representar esta
inormacin.
b Calcule el primer cuartil, la mediana y
el tercer cuartil de los datos.
PreguntaS tIPO examen
5 Un piscicultor de salmones registra las longitudes de
100 salmones, medidas al cm ms cercano.
Los resultados se muestran en la tabla.
a Elabore una tabla de recuencias acumuladas
para estos datos.
b Dibuje con precisin una curva de recuencias
acumuladas.
c Utilice la curva de recuencias acumuladas para hallar:
i La mediana de las longitudes de los salmones
ii El rango intercuartil de las longitudes de los salmones
6 La tabla muestra los tiempos que demoraron 100 alumnos
en completar un rompecabezas.
Tiempo (t minutos) 1115 1620 2125 2630 3135 3640
Cantidad de alumnos 6 13 27 31 15 8
a Elabore una tabla de recuencias acumuladas.
b Dibuje con precisin un grfco de recuencias acumuladas.
c Utilice su grfco para estimar:
i La mediana de los tiempos
ii El rango intercuartil de los tiempos
iii El tiempo en el que 75% de los alumnos completaron el rompecabezas
Longitud del
salmn (x cm)
Cantidad de
salmones
25 < x 28 3
28 < x 31 4
31 < x 34 11
34 < x 37 23
37 < x 40 28
40 < x 43 15
43 < x 46 12
46 < x 49 4
TOTAL 100
Estadstica descriptiva66
2.6 Diagramas de caja y bigotes
Otra orma til de representar datos es un diagrama de caja y bigotes.
Un diagrama de caja y bigotes luce de la siguiente orma:
Valor
mnimo
Primer
cuarti l
Tercer
cuarti l
Mediana
Valor
mximo
Para dibujar un diagrama de caja y bigotes, se necesitan cinco
medidas: calcular el primer cuartil, la mediana y el tercer
cuartil. Adems, hallar el valor mnimo y el valor mximo de
los datos.
Dibujar con precisin el diagrama de caja y bigotes a escala en papel milimetrado
Nota:
Un valor no esperado es aquel que es mucho ms pequeo o mucho ms grande que los
dems valores.
En general, consideramos que un valor no esperado es:
Menor que el primer cuartil 1 ,5 el rango intercuartil
Mayor que el tercer cuartil + 1 ,5 el rango intercuartil
Ejemplo 13
Un club de yates es el anftrin de una carrera anual. Se anota
en la tabla la cantidad de personas en cada yate.
a Halle la mediana de la cantidad de personas en un yate.
b Halle el primer y el tercer cuartil.
c Dibuje con precisin un diagrama de caja y bigotes para
representar esta inormacin.
Los valores no
esperados no se
evaluarn, pero
podran ser ti les para
los proyectos.
Cantidad de
personas Frecuencia
4 1
5 8
6 16
7 25
8 28
9 16
10 5
TOTAL 99
{ Contina en l a pg ina sigu iente.
Captulo 2 67
Respuestas
a n = 99, entonces la mediana es la cantidad de
personas en el yate nmero
99 + 1
2
=
100
2
= 50.
Cantidad de
personas
Frecuencia Frecuencia
acumulada
4 1 1
5 8 9
6 16 25
7 25 50
8 28 78
9 16 94
10 5 99
La mediana de la cantidad de personas es 7.
b El primer cuartil es la cantidad de personas en el
yate nmero
99 + 1
4
= 25.
El primer cuartil es 6.
El tercer cuartil es la cantidad de personas en el yate
nmero
3 99 + 1
4
( )
= 75.
El tercer cuartil es 8.
c
10
Cantidad de personas
2 3 4 5 6 7 8 9 10
El yate nmero 50 se encuentra en el grupo
correspondiente a 7 personas.
El yate nmero 25 se encuentra en el grupo
correspondiente a 6 personas.
El yate nmero 75 se encuentra en el grupo
correspondiente a 8 personas.
Se necesitan cinco medidas para dibujar con
precisin un diagrama de caja y bigotes:
Valor mnimo de personas = 4
Primer cuartil = 6 (del apartado b)
Mediana = 7 (del apartado a)
Tercer cuartil = 8 (del apartado b)
Valor mximo = 10
Tambin podemos encontrar todos los datos para un diagrama de caja
y bigotes usando la CPG.
Ingresar Cantidad de personas y Frecuencia en listas llamadas Nmero y
Frec en una pgina de Lists and Spreadsheets (listas y hojas de clculo).
Agregar una pgina de Data and Statistics (datos y estadsticas) y presionar
MENU 2: Plot properties (propiedades del diagrama) | 5: Add X Variable with Frequency
(agregar variable X con recuencia) y seleccionar las dos listas. Para leer los valores,
usar el touchpad (pantalla sensible al tacto) para mover la fecha. Estas capturas de
pantalla de una CPG muestran la mediana y el tercer cuartil (Q
3
).
Estadstica descriptiva68
Ejemplo 14
Los pesos, en kilogramos, de 25 koalas son:
4,3; 7,2; 5,6; 4,8; 10,7; 9,7; 5,6; 7,8; 8,2; 11,4; 7,9; 12,6; 13,1;
5,7; 9,9; 11,3; 13,4; 8,8; 7,5; 5,8; 9,2; 10,3; 12,1; 6,5; 8,6
Dibuje con precisin un diagrama de caja y bigotes para representar la
informacin.
Respuesta
Primero organice los datos en orden
creciente:
4,3; 4,8; 5,6; 5,6; 5,7; 5,8; 6,5; 7,2; 7,5;
7,8; 7,9; 8,2; 8,6; 8,8; 9,2; 9,7; 9,9;
10,3; 10,7; 11,3; 11,4; 12,1; 12,6; 13,1;
13,4
n = 25
Valor mnimo = 4,3
Para hallar el primer cuartil:
25 + 1
4
= 6,5;
por lo tanto, el cuartil est entre las
posiciones 6 y 7.
Dato que ocupa la posicin 6 = 5,8
Dato que ocupa la posicin 7 = 6,5
Dato que ocupa la posicin 6,5:
5, 8 + 6, 5
2
= 6,15
Mediana = 8,6
=
25 + 1
2
Es la posicion 1 3 .
Para hallar el tercer cuartil:
3 26
4
= 19,5;
por lo tanto, el cuartil est entre las
posiciones 19 y 20.
Dato que ocupa la posicin 19 = 10,7
Dato que ocupa la posicin 20 = 11,3
Dato que ocupa la posicin 19,5:
10, 7 + 11 , 3
2
= 11
Valor mximo = 13,4
0
Peso (kg)
5 10 15
Se necesitan cinco medidaspara dibujar el diagrama de
caja y bigotes.
Para hal lar el valor
correspondiente
a la posicin 6,5,
calcular la media
de los valores
correspondientes a
las posiciones 6 y 7.
Captulo 2 69
Usando una CPG:
Ingresar los datos en una lista. No necesitamos ingresar los
datos en orden. Estas capturas de pantalla muestran la mediana
y el tercer cuartil (Q
3
).
Ejercitacin 2J
1 Las cantidades de caramelos en 45 bolsas son:
34 33 35 33 32 33 34 34 32 35 33 32 36 31 33 34
33 34 33 32 35 31 33 32 32 34 33 36 33 30 33 32
34 35 32 33 33 32 33 31 34 33 32 33 34
a Elabore una tabla de recuencias para representar esta inormacin.
b Halle la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil.
c Dibuje con precisin un diagrama de caja y bigotes para representar esta
inormacin.
Utilice la CPG para verifcar su respuesta.
2 Se realiza un experimento 60 veces. Las puntuaciones de cada
experimento se registran en la tabla.
a Halle la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil.
b Dibuje con precisin un diagrama de caja y bigotes para
representar esta inormacin.
Utilice la CPG para verifcar su respuesta.
Pregunta tIPO examen
3 El grfco de recuencias acumuladas muestra los pesos,
en kg, de 200 luchadores de sumo.
a Escriba:
i La mediana
ii El primer cuartil
iii El tercer cuartil
El luchador ms liviano pesa 125 kg y el luchador ms
pesado pesa 188 kg.
b Dibuje con precisin un diagrama de caja y bigotes
para representar esta inormacin.
No podemos usar
la CPG para d ibujar
d iagramas de caja y
bigotes a parti r de
tablas de frecuencias
de datos agrupados.
Puntuacin Frecuencia
1 6
2 12
3 13
4 15
5 8
6 6
40
80
Peso (kg)
Fr
e
cu
e
n
ci
a
a
cu
m
u
la
d
a
120100 140
20
0
60
100
120
140
160
180
200
160 180
Estadstica descriptiva70
PreguntaS tIPO examen
4 Las alturas, en cm, de 180 alumnos se muestran en la tabla
de frecuencias acumuladas.
a Dibuje con precisin una curva de frecuencias acumuladas
para representar esta informacin.
b Escriba:
i La mediana
ii El primer cuartil y el tercer cuartil
c El alumno ms bajo mide 146 cm y el ms alto mide 183 cm.
Represente esta informacin en un diagrama de caja y
bigotes.
5 La tabla muestra las alturas, en cm, de 50 canguros.
a Elabore una tabla de frecuencias acumuladas y sela
para dibujar con precisin la curva de frecuencias
acumuladas.
b Escriba la mediana.
c Halle el primer cuartil y el tercer cuartil.
El canguro ms bajo mide 205 cm y el ms alto 258 cm.
d Dibuje con precisin un diagrama de caja y bigotes
para representar esta informacin.
Interpretacin de diagramas de caja y bigotes
Para cualquier conjunto de datos:
Q
1
Q
3
25%50%25%
M
25% o un cuarto de los datos se encuentran entre el valor
mnimo y el primer cuartil
25% se encuentra entre el primer cuartil y la mediana
25% se encuentra entre la mediana y el tercer cuartil
25% se encuentra entre el tercer cuartil y el valor mximo
50% de los datos se encuentran entre el primer y el tercer cuartil
Ejemplo 1
El diagrama de caja y bigotes muestra cunto tardan, en horas, algunas personas en construir un igl.
a Escriba la mediana de los tiempos que tardan estas personas.
b Halle el rango intercuartil.
c Escriba el porcentaje de personas que tardaron menos de 5,2 horas
en construir un igl.
d Un x % de las personas tardaron ms de 6,1 horas en construir
el igl. Escriba el valor de x.
Altura
(x cm)
Frecuencia
acumulada
x 145 0
x 150 26
x 155 81
x 160 119
x 165 142
x 170 154
x 175 167
x 180 174
x 185 180
Altura (x cm) Frecuencia
200 x < 210 4
210 x < 220 6
220 x < 230 11
230 x < 240 22
240 x < 250 5
250 x < 260 2
Tiempo (horas)
2 3 4 5 6 7 8
{ Contina en l a pg ina sigu iente.
Captulo 2 71
Respuestas
a La mediana del tiempo es 5,2 horas.
b El rango intercuartil es = 6,1 3,5
= 2,6 horas.
c 50% de las personas tardaron menos de 5,2
horas en construir un igl.
d 25% de las personas tardaron ms de 6,1 horas
en construir un igl. Por lo tanto, x = 25.
Del diagrama, tercer cuartil = 6, 1;
primer cuartil = 3,5
5,2 horas = mediana (del apartado a)
50% de los datos son iguales o menores que este valor.
Tercer cuartil = 6, 1
75% de los datos son iguales o menores que este valor.
Ejercitacin 2K
1 El diagrama de caja y bigotes representa las puntuaciones de
una prueba de Psicologa que hicieron 40 nios y 40 nias.
a Halle la mediana de las puntuaciones
para los nios y para las nias.
b Escriba el rango intercuartil para las
puntuaciones de los nios y de las nias.
c Escriba el porcentaje de nios que sacaron
ms de 55.
d Escriba el porcentaje de nias que sacaron
ms de 68.
2 El diagrama de caja y bigotes representa la cantidad de faltas
que cometieron los caballos en una competicin de saltos.
Escriba:
a La menor cantidad de faltas
b La mediana
c El rango intercuartil
d La mayor cantidad de faltas
e El porcentaje de caballos que cometieron menos de seis faltas
PREGUNTA TIPO EXAMEN
3 El diagrama de caja y bigotes representa las edades
de los profesores del colegio Myschool High.
a Escriba la edad del profesor o profesora ms joven.
b Escriba la mediana de las edades.
c Si 25% de los profesores son mayores que x,
escriba el valor de x.
d Halle el rango intercuartil de las edades.
100
Puntuaciones
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Nias
Nios
50
Cantidad de faltas
10 15 20 25 30
2520
Edad (aos)
30 35 40 45 50 55 60 65 70
Material de ampliacin
disponible en lnea: Hoja de
ejercicios 2: desviacin
tpica, estandarizacin y
valores no esperados
Estadstica descriptiva72
2.7 Medidas de dispersin
Las medidas de dispersin nos muestran cun esparcido se encuentra
un conjunto de datos. La medida de dispersin ms simple es el rango.
El rango se obtiene calculando la diferencia entre el valor
mximo y el valor mnimo.
Ejemplo 16
La cantidad de cras que tiene un grupo de 10 cerdos es:
10 12 12 13 15 16 9 10 14 11
Halle el rango.
Respuesta
Rango = 16 9 = 7 Identifcar el valor mximo (16) y el
valor mnimo (9)
El rango intercuartil se obtiene calculando la diferencia entre el tercer
cuartil, Q
3
, y el primer cuartil, Q
: RIC = Q
3
Q
.
Ejemplo 17
Halle el rango intercuartil de este conjunto de datos:
4 5 6 6 7 8 10 10 11 14 15
Respuesta
Q
1
es el dato que ocupa la posicin
1 1 + 1
4
= 3, entonces Q
1
= 6.
Q
3
es el dato que ocupa la posicin
3(1 1 + 1 )
4
= 9, entonces Q
3
= 11.
RIC = 11 6 = 5
Hay 11 datos, por lo tanto n = 11.
Usando la CPG:
Ingrese el conjunto de datos en una lista. Luego use One Variable
Statistics (estadsticas de una variable). Desplace hacia abajo
para encontrar los cuartiles.
El valor de Q
se da como Q
X y el de Q
3
como Q
3
X.
Para hal lar el primer
y el tercer cuarti l , se
deben ordenar los
valores por tamao.
Para hal lar el
rango intercuarti l a
partir de un grfco
de recuencias
acumuladas, vanse
las pginas 62 y 63.
Para encontrar el
rango intercuarti l a
partir de un d iagrama
de caja y bigotes,
vase la pgina 71.
Podemos usar la CPG
para d ibujar grfcos
a partir de tablas de
recuencias, excepto
de aquel las que sean
de datos agrupados.
Captulo 2 73
Ejercitacin 2L
1 Para cada conjunto de datos calcule:
i El rango ii El rango intercuartil
a 6 3 8 5 2 9 11 21 15 8
b 5 3 6 8 9 12 10 9 8 13 16 12 9 11 8
c
Precio del plato
principal en euros
Frecuencia
18 6
19 4
20 5
21 8
22 3
23 2
24 525 4
Desviacin tpica
La desviacin tpica es una medida de dispersin que da una idea
de la posicin de los datos con relacin a la media.
Ejemplo 8
Halle la media y la desviacin tpica de este conjunto de datos:
4 5 6 8 12 13 2 5 6 9 10 9 8 3 5
Respuesta
Media = 7
Desviacin tpica = 3,10 (3 cs)
Usando la CPG:
Ingresar los datos
La media est indicada como x.
La desviacin tpica est indicada
como
x.
Cundo resulta
pequea la desviacin
tpica de un conjunto
de datos? Puede ser
que la desviacin tpica
sea igual a cero?
Se espera el uso de
la CPG para el clculo
de las desviaciones
tpicas.
Estadstica descriptiva74
Ejemplo 19
A un grupo de 50 alumnos se les pregunt la cantidad total de puntos
que obtuvieron al conseguir su diploma del IB. Los resultados se
muestran en la tabla:
Puntos en el
diploma del IB
Nios Nias
31 0 3
32 2 4
33 6 3
34 11 5
35 4 3
36 1 2
37 0 1
38 1 2
39 0 2
Utilice su CPG para calcular la media y la desviacin tpica para el
grupo de nios y para el de nias en orma separada, y comente sobre
su respuesta.
Respuesta
Media de los nios = 34
Desviacin tpica de los
nios = 1,23 (3 cs)
Media de las nias = 34,3 (3 cs)
Desviacin tpica de las
nias = 2,41 (3 cs)
Tanto los nios como las nias
tienen una media cercana a 34
puntos. La desviacin tpica
de los nios es pequea, lo que
signifca que la mayora de los
nios tuvo resultados cercanos
a 34 puntos. Sin embargo, la
desviacin tpica de las nias
es mayor, lo que implica que
algunas nias obtuvieron
mucho menos que 34 y otras
mucho ms.
Usando una CPG:
Para comentar sobre los resultados,
comparar la media con su
correspondiente desviacin tpica
Es la desviacin tpica un
descubrimiento matemtico
o una invencin?
Captulo 2 75
Ejercitacin 2M
1 Para cada conjunto de datos, calcule la desviacin tpica:
a 5 3 6 8 9 12 10 9 8 13 16 12 9 11 8
b
Precio del plato
principal en euros
Frecuencia
18 6
19 4
20 5
21 8
22 3
23 2
24 5
25 4
2 Calcule la media y la desviacin tpica de estos datos:
6 3 8 5 2 9 2 5 8
3 Se realiz un experimento 50 veces. Los resultados de los
experimentos se anotaron en la tabla.
a Escriba el rango.
b Halle el rango intercuartil.
c Halle la media y la desviacin tpica.
4 Un club de botes organiza una carrera anual. La cantidad
de personas en cada bote se anota en la tabla.
a Escriba el rango.
b Halle el rango intercuartil.
c Halle la media y la desviacin tpica.
Resultados Frecuencia
1 4
2 12
3 11
4 15
5 6
6 2
Cantidad de
personas
Frecuencia
4 2
5 7
6 25
7 15
8 30
9 16
10 5
En muchos casos es imposible hal lar la media y la desviacin tpica de toda
una poblacin. Esto puede deberse a restricciones de tiempo, a restricciones
fnancieras o a otras razones.
Si nosotros tenemos, por ejemplo, una muestra aleatoria de las al turas de
12 bebs del Reino Unido, entonces la desviacin tpica de las al turas de
esos 12 bebs est dada en la CPG por
x
. Esta es la que usamos en
Estudios Matemticos.
Si quisiramos estimar la desviacin tpica de todas las al turas de los bebs
en el Reino Unido, basndonos en nuestra muestra a leatoria, entonces
usaramos la medida s
x
dada en la CPG.
La notacin del IB
para desviacin tpica
es "s
n
" . Cuando
usamos la CPG,
elegimos
x
.
Estadstica descriptiva76
5 El nmero de llamadas telefnicas a un centro de
llamadas se monitorearon cada hora durante un mes.
Los datos recopilados se muestran en la tabla.
Utilice su CPG para calcular:
a La cantidad media de llamadas por hora
b La desviacin tpica
c El rango
d El rango intercuartil
PreguntaS tIPO examen
6 La media de estos nmeros es 33:
16 41 24 x 62 1 8 25
a Halle el valor de x.
b Calcule la desviacin tpica.
c Halle el rango.
d Halle el rango intercuartil.
7 Se midieron 80 plantas y se anotaron sus alturas en la tabla.
a Escriba el valor de m.
b Halle la altura media.
c Halle la desviacin tpica de las alturas.
d Halle el rango intercuartil de las alturas.
8 Los 60 alumnos del Programa del Diploma del IB de la
Academia Globo Dorado completan un cuestionario acerca
de la cantidad de pares de zapatos que tienen. Los resultados
se muestran en la tabla.
a Halle el rango y el rango intercuartil.
b Halle la media y la desviacin tpica.
Cantidad de
l lamadas
telefnicas
por hora
Frecuencia
60 18
62 45
64 40
66 55
68 31
70 32
72 15
74 13
76 14
78 16
Altura
(cm)
Frecuencia
10 7
11 m
12 21
13 22
14 11
15 7
16 3
Pares de
zapatos
Frecuencia
5 6
6 8
7 15
8 10
9 5
10 12
11 1
12 3
Captulo 2 77
PreguntaS tIPO examen
9 Los tiempos que tardan 50 alumnos en completar un crucigrama
se muestran en la tabla.
Tiempo (m minutos) Frecuencia
15 m < 20 3
20 m < 25 7
25 m < 30 10
30 m < 35 11
35 m < 40 12
40 m < 45 5
45 m < 50 2
Halle una aproximacin de la media y de la desviacin tpica.
10 Las notas, dadas en porcentaje, que sacaron
un grupo de 25 nias y 25 nios del colegio
Bright High en una prueba de TISG
(Tecnologa de la Informacin en una
Sociedad Global) se muestran en la tabla.
a Calcule una estimacin para la media y
para la desviacin tpica de las nias y
de los nios en forma separada.
b Comente sus resultados.
Ejercicio de revisin
Preguntas del estilo de la prueba
PreguntaS tIPO examen
1 La media de los 12 nmeros siguientes es 6:
3 4 a 8 3 5 9 5 8 6 7 5
a Halle el valor de a.
b Halle la mediana de estos nmeros.
2 La media de los 10 nmeros siguientes es 5:
4 3 a 6 8 4 6 6 7 5
a Halle el valor de a.
b Halle la mediana de estos nmeros.
Usar el punto medio
de cada intervalo de
clase para estimar la
media y la desviacin
tpica de datos
agrupados.
Frecuencia
de las nias
Nota en
porcentaje
Frecuencia
de los nios
0 0 x < 10 2
0 10 x < 20 1
0 20 x < 30 1
3 30 x < 40 1
5 40 x < 50 5
7 50 x < 60 9
8 60 x < 70 2
2 70 x < 80 0
0 80 x < 90 2
0 90 x < 100 2
Estadstica descriptiva78
PreguntaS tIPO examen
3 Para el conjunto de datos:
3 4 7 6 2 9 3 6 8 0 6
a Calcule la media
b Halle la moda
c Halle la mediana
4 Las longitudes de 9 serpientes, en metros, son:
6,5 4,6 7,2 5,0 2,4 3,9 2,9 0,3 6,
a i Halle la longitud media de estas serpientes.
ii Halle la desviacin tpica de las longitudes de estas serpientes.
b Halle la mediana de las longitudes de estas serpientes.
5 Se realiz una encuesta acerca de la cantidad de cuartos de bao
en 150 hogares elegidos en orma aleatoria. Los resultados se
muestran en la tabla.
Cantidad de cuartos de bao 1 2 3 4 5 6
Cantidad de hogares 79 31 22 10 5 13
a Indique si los datos son discretos o continuos.
b Escriba la cantidad media de cuartos de bao por hogar.
c Escriba la desviacin tpica de la cantidad de cuartos de
bao por hogar.
6 La tabla muestra la distribucin de edades de los miembros de un
club de ajedrez.
Edad (aos) Cantidad de miembros
20 x < 30 15
30 x < 40 23
40 x < 50 34
50 x < 60 42
60 x < 70 13
a Calcule una estimacin de la media de
las edades.
b Dibuje con precisin un histograma para
representar estos datos.
7 Usando el grfco de recuencias acumuladas,
escriba el valor de
a La mediana
b El primer cuartil
c El tercer cuartil
d El rango intercuartil
0
20
40
60
F
re
c
u
e
n
c
ia
a
c
u
m
u
la
d
a
x
80
120
100
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Captulo2 79
Pregunta tIPO examen
8 Las cantidades de caballos que se contaron en 35 campos
se representan en la tabla.
Dibuje con precisin un diagrama de caja y bigotes
para representar esta informacin.
Preguntas del estilo de la prueba
PreguntaS tIPO examen
1 Un grupo de 19 alumnos llevaron a cabo un experimento
para medir la aceleracin gravitacional en cm s2.
Los resultados se muestran redondeados al entero ms cercano:
96 97 0 99 00 98 99 94 96 00
97 98 0 98 99 96 96 00 97
a Use los resultados para hallar una estimacin de:
i El valor medio de la aceleracin
ii El valor modal de la aceleracin
b i Elabore una tabla de frecuencias para los resultados.
ii Utilice la tabla para hallar la mediana y el rango intercuartil.
2 Un jardinero quiso estimar la cantidad de malas hierbas
en el campo de deportes.
Eligi al azar 00 parcelas, cada una de rea 00 cm2,
y cont la cantidad de malas hierbas en cada una.
La tabla muestra los resultados.
a i Elabore una tabla de frecuencias acumuladas y
sela para dibujar con precisin una curva de
frecuencias acumuladas.
ii Escriba la mediana de la cantidad de malas hierbas.
iii Halle el porcentaje de parcelas que tienen ms de 19 malas hierbas.
b i Estime la cantidad media de malas hierbas por parcela.
ii Estime la desviacin tpica de la cantidad de malas hierbas por parcela.
El rea del campo es 8000 m2.
iii Estime la cantidad total de malas hierbas en el campo.
3 Las notas de una prueba se muestran en la tabla de
frecuencias.
a Complete una tabla de frecuencias acumuladas y sela para
dibujar con precisin la curva de frecuencias acumuladas.
b Halle la mediana de las notas.
c Halle el rango intercuartil.
Un 60% de los alumnos aprobaron la prueba.
d Halle la nota con la que se aprueba.
e Sabiendo que la nota ms baja fue 9 y que la nota
ms alta fue 98, dibuje con precisin un diagrama
de caja y bigotes para representar esta informacin.
Cantidad de
caballos
Frecuencia
8 4
10 9
12 7
15 12
21 3
Cantidad de malas
hierbas
Frecuencia
04 18
59 25
1014 32
1519 14
2024 7
2529 4
Nota, x Frecuencia
0 x < 10 3
10 x < 20 14
20 x < 30 21
30 x < 40 35
40 x < 50 42
50 x < 60 55
60 x < 70 43
70 x < 80 32
80 x < 90 15
90 x < 100 10
Estadstica descriptiva80
PreguntaS tIPO examen
4 La curva de recuencias acumuladas muestra
los ingresos mensuales, en rands sudaricanos
(ZAR), de 150 personas.
a Escriba el valor de la mediana y halle el
rango intercuartil.
b Sabiendo que el salario ms bajo es
ZAR6000 y que el ms alto es ZAR23 500,
dibuje con precisin un diagrama de caja
y bigotes para representar esta inormacin.
c Elabore una tabla de recuencias para los
ingresos mensuales.
d Utilice su CPG para hallar una estimacin de la media y de la
desviacin tpica de los ingresos mensuales.
5 Los pesos de 200 mujeres atletas se anotan en la tabla.
a Escriba la clase modal.
b Calcule una estimacin de la media y de la desviacin tpica.
c Elabore una tabla de recuencias acumuladas y utilcela para
dibujar con precisin un grfco de recuencias acumuladas.
d Escriba los valores de la mediana, el primer cuartil y
el tercer cuartil.
e La atleta ms liviana pesa 47 kg y la ms pesada 76 kg.
Utilice esta inormacin para dibujar con precisin un
diagrama de caja y bigotes.
6 A un grupo de 60 mujeres se les pregunt a qu edad tuvieron
su primer hijo. La inormacin se muestra en el histograma.
a Calcule una aproximacin para la media y para la
desviacin tpica.
b Escriba la clase modal.
c Elabore una tabla de recuencias acumuladas para estos
datos y dibuje con precisin una curva de recuencias
acumuladas.
d Utilice su grfco para hallar la mediana y el rango
intercuartil.
e Sabiendo que dentro del grupo la menor edad ue 16 y la
mayor edad ue 39, dibuje con precisin un diagrama de
caja y bigotes para representar la inormacin.
7 Los tiempos promedio, redondeados al segundo
ms cercano, que estuvieron 100 personas esperando
un ascensor se muestran en la tabla.
a Escriba la clase modal.
b Calcule una estimacin de la media y de la desviacin tpica.
c Elabore una tabla de recuencias acumuladas y utilcela para
dibujar con precisin un grfco de recuencias acumuladas.
d Escriba la mediana y el rango intercuartil.
0
20
40Fr
e
cu
e
n
ci
a
a
cu
m
u
la
d
a
Ingreso mensual (ZAR)
60
80
120
140
160
100
4000 8000 12 000 16 000 20 000 24 000
Peso (kg) Frecuencia
45 w < 50 4
50 w < 55 16
55 w < 60 45
60 w < 65 58
65 w < 70 43
70 w < 75 28
75 w < 80 6
0
4
8
12
F
re
c
u
e
n
c
ia
Edad (aos)
16
24
20
1510 20 25 30 35 40 45
Tiempo
(t segundos)
Frecuencia
0 t < 10 5
10 t < 20 19
20 t < 30 18
30 t < 40 22
40 t < 50 16
50 t < 60 12
60 t < 70 8
Captulo 2 81
PreguntaS tIPO examen
8 El grfco de recuencias acumuladas muestra
la cantidad diaria de visitantes al mausoleo de
la plaza de Tiananmen en el mes de enero.
a Escriba la mediana, el primer cuartil y el
tercer cuartil.
b Sabiendo que la menor cantidad de
visitantes ue 4000 y la mayor ue 5700,
dibuje con precisin un diagrama de caja y
bigotes para representar esta inormacin.
c Elabore una tabla de recuencias para
esta inormacin.
d Escriba la clase modal.
e Calcule una estimacin de la media y de la desviacin tpica.
9 El grfco de recuencias acumuladas muestra
los pesos, en kg, de 200 luchadores
proesionales.
a Elabore una tabla de datos agrupados
para esta inormacin.
b Escriba la clase modal.
c Calcule una estimacin del peso medio.
4
0
8
12
F
re
c
u
e
n
c
ia
a
c
u
m
u
la
d
a
Cantidad de visitantes
16
24
28
32
20
40003500 4500 5000 5500 6000
40
0
80
120
Fr
e
cu
e
n
ci
a
a
cu
m
u
la
d
a
Peso (kg)
160
240
200
120100 140 160 180 200
RESUMEN DEL CAPTULO 2
Clasifcacin de datos
Los datos discretos son aquellos que o bien se pueden contar o bien pueden tomar
solamente determinados valores.
Los datos continuos son aquellos que se pueden medir. Pueden tomar cualquier
valor dentro de un rango.
Datos discretos o continuos agrupados
Para dibujar con precisin un histograma de recuencias, hallar el lmite inerior y
el lmite superior de los intervalos de clase y dibujar las barras entre estos lmites.
No debe haber espacios entre las barras.
Medidas de posicin central
La moda de un conjunto de datos es el valor que ocurre con mayor recuencia.
La mediana de un conjunto de datos es el valor que se encuentra en el medio,
cuando los datos estn ordenados por tamao.
La media de un conjunto de datos es la suma de todos los valores dividida por la
cantidad de valores.
Contina en la pg ina sigu iente.
Estadstica descriptiva82
La mediana, en una tabla de frecuencias, es el valor del medio, dado que en la tabla
los valores ya estn en orden. Si hay n datos, la mediana es el valor que est en la
posicin
n + 1
2
.
La media de una tabla de frecuencias es:
Media =
suma de
total de frecuencias
i i
f x
Donde f
i
es la frecuencia de cada dato x
i
, i = 1 ,, k, y k es la cantidad de datos.
Para datos agrupados, la clase modal es el grupo o intervalo de clase que tiene la
frecuencia ms alta.
Para calcular una estimacin de la media de una tabla de frecuencias de datos
agrupados, usar
total de
frecuencia total
f x
i i , donde f
i
es la frecuencia y x
i
es el punto medio
correspondiente a cada clase.
Curvas de frecuencias acumuladas
La frecuencia acumulada es la suma de todas las frecuencias hasta el nuevo
valor inclusive. Para dibujar con precisin una curva de frecuencias acumuladas,
tenemos que elaboraruna tabla de frecuencias acumuladas, con el lmite superior
de cada intervalo de clase en una columna y la correspondiente frecuencia
acumulada en otra. Luego situar el lmite superior de cada clase sobre el eje
x y la frecuencia acumulada sobre el eje y.
Para hallar el primer cuartil, Q
1
, leer el valor de la curva correspondiente al valor
n +1
4
sobre el eje de las frecuencias acumuladas, donde n es el total de frecuencias.
Para hallar la mediana, leer el valor de la curva correspondiente al valor
n +1
2
sobre
el eje de las frecuencias acumuladas.
Para hallar el tercer cuartil, Q
3
, leer el valor de la curva correspondiente al valor
3( + 1 )
4
n
sobre el eje de las frecuencias acumuladas.
Para hallar los percentiles, p %, leer el valor de la curva correspondiente al valor
p n( + 1 )
100
sobre el eje de las frecuencias acumuladas.
Para hallar el rango intercuartil, calcular la diferencia entre el tercer cuartil y el
primer cuartil: RIC = Q
3
Q
1
.
Diagramas de caja y bigotes
Para dibujar un diagrama de caja y bigotes, se necesitan cinco medidas: calcular el
primer cuartil, la mediana y el tercer cuartil. Adems, hallar el valor mnimo y el
valor mximo de los datos.
Medidas de dispersin
El rango se obtiene calculando la diferencia entre el valor mximo y el valor mnimo.
El rango intercuartil se obtiene calculando la diferencia entre el tercer cuartil,
Q
3
, y el primer cuartil, Q
1
: RIC = Q
3
Q
1
.
La desviacin tpica es una medida de dispersin que da una idea de la posicin de
los datos con relacin a la media.
Captulo 2 83
84 Mathematics as a Language
Hablando
estadsticamente
La estadstica descriptiva describe las caractersticas bsicas de un conjunto
de datos.
La estadstica descriptiva reduce listas de datos en un resumen simple, como
por ejemplo un promedio (un nmero) o una representacin visual, como
por ejemplo un grfco o un diagrama.
Teora del Conocimiento
Moral y estadstica
Estudio de caso 2
Se pusieron a prueba 10 aparatos
y se
anot la cantidad de desperectos
:
0 0 0 0 0 0 15 19 25 31
La compaa anuncia que la cant
idad
promedio de desperectos es 0.
Qu promedio us la compaa?
Est la compaa engaando a la
gente?
Es moralmente aceptable que la
compaa anuncie datos de est
a
manera?
Estudio de caso 1
Una compaa tiene tres emplead
os y un
jee.
Los empleados ganan 2500 euros
por mes
y el jee 25 000 euros por mes.
Un inorme del peridico local d
ice que el
salario promedio mensual en la c
ompaa
es 8125 euros.
Qu promedio us el peridico?
Es este salario una representacin
justa del salario promedio?
Cul sera el promedio ms apropiado
para usar? Por qu?
Teora del Conocimiento: hablando estadsticamente84
T
e
o
ra
d
e
l
C
o
n
o
c
im
ie
n
to
85Captulo 2
Grfcos engaosos
Qu es incorrecto en este grfco? Qu es incorrecto en este histograma en 3D?
Llegar el da en que, para ser un
buen ciudadano, el razonamiento
estadstico ser tan necesario como
saber leer y escribir.
H. G. Wells (18661946)
Qu piensa que quiso decir
H. G. Wells?
Est de acuerdo con l?
Frecuencia
Cun precisas son estas
representaciones visuales?:
Rayos X
Fotos instantneas
Cuadros
Hay tres clases de mentiras: las mentiras,
las malditas mentiras y las estadsticas.
Benjamin Disraeli (18041881)
La frase la populariz Mark Twain
(18351910).
Mienten las estadsticas?
Son precisas todas las estadsticas?
32
16
8
4
2
1
0
1 2 3 4
Precio d e ca sa s (GBP)
Geometra y
trigonometra 1
OBJETIVOS DEL CAPTULO:
5.1 Pendiente, puntos de corte con los ejes, ecuacin de una recta en el plano,
punto de interseccin entre dos rectas, rectas paralelas, rectas perpendiculares
5.2 Uso de las razones seno, coseno y tangente para calcular los lados y ngulos de
un tringulo rectngulo; ngulos de depresin y elevacin
5.3 Uso del teorema del seno y del teorema del coseno, uso del rea de un tringulo,
elaboracin de d iagramas rotulados a partir de enunciados verbales
Qu necesitamos saber
1 Usar el teorema de Pitgoras. Por ejemplo:
hallar la longitud del lado AC si
AB = 2 cm y BC = 5 cm.
AB +AC = BC
2 2 2
2 5
2 2 2
+ AC =
AC =
2
25 4
AC = 21 cm
= 4, 58 cm (3 cs)
2 Hallar el punto medio de un segmento y la
distancia entre dos puntos. Por ejemplo: si
A es (3,4) y B es (1,2):
a El punto medio de AB es
+ +
3 1
2
4 2
2
,
= (1, 3)
b La distancia entre A y B es
+ +
=
=
2 2 2 2
(1 ( 3 )) (2 4 ) = 4 2
20
4, 47 (3 cs )
Comprobemos nuestras habilidades
1 a Halle la altura a del tringulo ABC.
A 30 cm
25 cm25 cm
B
C
a
b Halle la longitud del lado de un
cuadrado si su diagonal mide 10 cm.
2 a A es el punto (3,5) y B es el punto
(3,7).
i Halle el punto medio de AB.
ii Halle la distancia entre A y B.
b El punto medio entre C(2, p) y D(q, 4)
es M(2,5; 1).
Halle los valores de p y de q.
3
Antes de comenzar
A
B
C
5 cm
2 cm
Geometra y trigonometra 186
Cuando se disea un aro, se consideran distancias y ngulos. El
aro debe ser lo sufcientemente alto para poder ver la luz desde
cierta distancia. Adems, si un barco se acerca a la costa, puede
an ver la luz?
Desde un aro, si el cuidador baja su mirada y ve un barco, podra
usar este ngulo y la altura del aro para calcular cun lejos est el
barco. Problemas de este estilo pueden resolverse usando la
trigonometra, la parte de la matemtica que relaciona los ngulos
y los lados de un tringulo. Usando la trigonometra, podemos
calcular longitudes que no se pueden medir directamente, como la
distancia de un barco a la base del aro, la altura de un rbol o de un
edifcio, la anchura de un ro, etc.
Este captulo nos mostrar cmo dibujar diagramas para representar
este tipo de problemas y usar la trigonometra para resolverlos.
[ El faro Les claireurs,
en Tierra del Fuego
(Argentina), se
encuentra cerca de
Ushuaia, la ciudad ms
austral del mundo.
Este faro ha guiado
a navegantes desde
1920.
A este aro a veces se
lo l lama "El aro del
fn del mundo" , como
en la novela de Ju l io
Verne. Sin embargo, el
escritor se inspir en
el aro de San Juan de
Salvamento, que se
encuentra en una isla
cercana.
Chapter opener image
La geometra surgi antes que la trigonometra. En Egipto, despus de
las temporadas de inundaciones, nadie poda reconocer los l mites de sus
tierras, por lo que se invent la " geo-metra" , el arte de medir la tierra.
La geometra y la trigonometra se complementan entre el las y se usan
ampl iamente en un gran nmero de campos, como la astronoma, la sica, la
ingeniera, la mecnica y la navegacin.
Captulo 3 87
3.1 Pendiente de una recta
Una brica de pan tiene dos mquinas, la A y la B. Ambas mquinas
producen 400 kg de pan por da a un ritmo constante.
La mquina A produce 400 kg en 1 0 horas.
La mquina B produce 400 kg en 8 horas.
Para cada mquina, estos grfcos muestran la cantidad de kilogramos
de pan producido, y, en x horas. Por ejemplo, en 2 horas la mquina
A produce 80 kilogramos de pan y la mquina B produce 100 kilogramos de pan.
Mquina A Mquina B
0
1 2 3
y
x
80
160
P
a
n
p
ro
d
u
ci
d
o
(
kg
)
Tiempo (horas)
240
320
400
4 5 6 7 8 109 11
0
1 2 3
y
x
80
160
P
a
n
p
ro
d
u
ci
d
o
(
kg
)
Tiempo (horas)
240
320
400
4 5 6 7 8 109 11
El prximo grfco muestra el nmero de kilogramos de pan
que producen ambas mquinas.
La recta para la mquina B est ms inclinada que la recta parala mquina A. La pendiente de una recta nos dice cun
inclinada est esa recta. La pendiente de la recta B es mayor
que la pendiente de la recta A.
Pendiente de una recta =
desplazamiento vertical
desplazamiento horrizontal
Pendiente de la recta A =
desplazamiento vertical
desplazamiento hoorizontal
= =
400
10
40
Pendiente de la recta B =
desplazamiento vertical
desplazamientoo horizontal
= =
400
8
50
Este grfco muestra el nmero de kilogramos de pan que
alta que produzca la mquina A. Al comienzo del da, la
mquina tiene 400 kg por producir, despus de 1 hora, la
mquina tiene 360 kg por producir, y as sucesivamente.
Este grfco muestra que la mquina
A produce 40 kg de pan por hora.
Este grfco muestra que la mquina
B produce 50 kg de pan por hora.
La pendiente nos dice la razn
a la que est trabajando la
mquina.
Razn de A = 40 kg por hora
Razn de B = 50 kg por hora
0
1 2 3
y
x
100
200
P
a
n
p
ro
d
u
ci
d
o
(
kg
)
Tiempo (horas)
300
400
AB
4 5 6 7 8 109 11
0 1 2 3
y
x
100
200
P
a
n
q
u
e
f
a
lt
a
p
ro
d
u
ci
r
(k
g
)
Tiempo (horas)
300
400
4 5 6 7 8 109 11
c
10
400
8
400
Geometra y trigonometra 188
La recta C tiene una pendiente negativa, es descendiente de
izquierda a derecha.
Pendiente de la recta C
desplazamiento vertical
desplazamiento h
=
oorizontal
=
=
400
10
40
Si A(x
, y
) y B(x
2
, y
2
) son dos puntos de una recta L, la
pendiente de la recta L es m
y y
x x
=
2 1
2 1
.
Ejemplo 1
Halle la pendiente de la recta L que pasa por los puntos:
a A(1, 5) y B (2, 8)
b A(0, 4) y B (3, 2)
c A(2, 6) y B (1, 6)
d A(1, 5) y B (1, 2)
Respuestas
a x
y
x
y
m
y y
x x
1
1
2
2
2 1
2 1
1
5
2
8
=
=
=
=
=
== =
8 5
2 1
3
b x
y
x
y
m
y y
x x
1
1
2
2
2 1
2 1
0
4
3
2
2
2 4
3 0
=
=
=
=
=
= =
c x
y
x
y
m
y y
x x
1
1
2
2
2 1
2 1
2
6
1
6
0
6 6
1 2
=
=
=
=
=
= =
Sustituir en la frmula de la pendiente
Pendiente = 3
Por cada unidad que aumenta x, la
variable y aumenta 3 unidades.
Sustituir en la frmula de la pendiente
Pendiente = 2
Por cada unidad que aumenta x, la
variable y disminuye 2 unidades.
Sustituir en la frmula de la pendiente
Pendiente = 0
Por cada unidad que aumenta x, la
variable y se mantiene constante.
La recta es horizontal.
Cada hora hay 40 kg
menos por producir.
400
10
Observe que, en el numerador y
en el denominador, el orden de los
subndices es el mismo, primero 2 y
luego 1.
0
1
y
x
2
2
4
6
8
10
1 2 3
1 unidad
3 unidadesA
B
0
1
y
x
4
2
2
4
6
8
2 1 2 3 4
1 unidad
2 unidades
A
B
0
1
y
x
4
2
2
4
6
8
2 1 2 3 4
AB
0
x
1
y
x
y
1
y
2
x
2
x
2
x
1
y
2
y
1
A
B
L
{ Contina en la pg ina sigu iente.
Captulo 3 89
d x
y
x
y
m
y y
x x
1
1
2
2
2 1
2 1
1
5
1
2
2 5
1 1
7
0
=
=
=
=
=
= =
Sustituir en la rmula de la pendiente
Recordar que la divisin por cero
no est defnida, por lo tanto, la
pendiente de esta recta no
est defnida. La recta es vertical.
Ejercitacin 3A
1 Site los puntos A(2, 7), B(0, 9), C(0, 9) y D(2, 7) en un sistema
de ejes coordenados. Halle las pendientes de estas rectas:
a AB b AC
c BD d CD
2 Para cada una de estas rectas:
i Escriba las coordenadas de los puntos A y B
ii Halle la pendiente
a
0
1
y
x
4
2
2
4
6
8
2 1 2 3 4
A
B
b
0
1
y
x
4
2
2
4
6
8
2 1 2 3 4
A
B
c
0
1
y
x
2
1
1
2
3
4
2 1 2 3 4
A
B
d
0
1
y
x
3
2
1
1
2
3
2 1 2 3 4
A
B
e
0 1
y
x
3
2
1
1
2
3
2 1 2 3 4
A
B
f
0 2
y
x
2
1
1
2
3
4
4 2 4 6 8
A
B
0 1
y
x
4
2
2
4
6
8
2 1 2 3 4
A
B
La escala uti l izada en
el eje x no siempre es
igual a la uti l izada en
el eje y.
Geometra y trigonometra 190
Ejemplo
a Dibuje con precisin una recta que pase por el punto A(1, 4) y tenga
pendiente 1.
b Dibuje con precisin una recta que pase por el punto A(0, 2) y
tenga pendiente
2
3
.
Respuestas
a
1
1
y
x
1
2
3
4
5
6
7
102 1 2 3 4
A
b
0
2
y
x
3
2
1
1
2
3
12 1 2 3 54
A 3
Situar el punto A(1, 4)
La pendiente es 1, por lo tanto,
m= 1=
1
1
=
desplazamiento en y
desplazamiento en x
,
entonces cada vez que x aumenta 1
unidad, y disminuye 1 unidad.
Situar el punto A(0, 2)
La pendiente es
2
3
, por lo tanto,
m= =
2
3
desplazamiento en y
desplazamiento en x
,
entonces cada vez que x aumenta 3
unidades, y aumenta 2 unidades.
Ejercitacin 3B
1 a Dibuje con precisin una recta con pendiente
1
2
que pase por el punto A(0, 3).
b Dibuje con precisin una recta con pendiente 3 que pase por el punto B(1, 2).
c Dibuje con precisin una recta con pendiente 2 que pase por el punto C(3, 1).
2 En cada una de las siguientes rectas, los puntos A, B y C pertenecen a la misma recta.
i Halle la pendiente de la recta AB.
ii Halle la segunda coordenada del punto C.
a A(2, 5), B(3, 7) y C(4, p) b A(0, 2), B(1, 6) y C(2, t)
c A(0, 0), B(1, 5) y C(2, q) d A(0, 1), B(1, 0) y C(4, s)
e A(5, 1), B(6, 4) y C(4, r)
Preguntas tiPo examen
3 La pendiente de la recta que pasa por los puntos P(1, 5) y Q(a, 10) es 4.
a Escriba una expresin, en funcin de a, para la pendiente de PQ.
b Halle el valor de a.
4 En la recta MN, cada vez que x aumenta 1 unidad, y aumenta 0,5
unidades. El punto M es (2, 6) y el punto N es (3, t).
a Escriba la pendiente de MN.
b Escriba una expresin para la pendiente de MN en funcin de t.
c Halle el valor de t.
Las pendientes de las
cal les con recuencia
se dan como
porcentajes o razones.
Cmo se muestran,
en las seales de su
pas, las pendientes
de las cal les?
Se puede usar un
grfco o la rmula
de la pendiente,
m =
y y
x x
2 1
2 1
.
Captulo 3 91
Rectas paralelas
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Esto signifca que:
Si dos rectas son paralelas, entonces tienen la misma pendiente
Si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces son paralelas
0
2
y
x
3
2
1
1
2
4
3
4 2 4 6 8
L1
L
2
Ejemplo 3
La recta L
1
pasa por los puntos A(0, 3) y B(7, 4).
a Halle la pendiente de L
1
. b Dibuje con precisin y rotule L
1
.
c Dibuje con precisin y rotule una segunda recta, L
2
, que pase por el
origen y sea paralela a L
1
.
Respuestas
a m = =
4 3
7 0
1
( )
b y c
L
1
B
A
L2
0
1
y
x
5
4
3
2
1
1
2
5
4
3
2 35678 4 3 2 1
Sustituir en la frmula de la
pendiente
Para L
1
, situar A y B, y luego
unirlos. Para L
2
, dibujar una recta
que pase por el origen y que sea
paralela a L
1
.
Ejercitacin 3C
1 La recta L
1
pasa por los puntos A(2, 5) y B(0, 4).
a Halle la pendiente de L
1
. b Dibuje con precisin la recta L
1
.
c Dibuje con precisin y rotule una segunda recta L
2
que pasa
por el punto C(0, 2) y es paralela a L
1
.
2 Decida si las siguientes rectas son paralelas al eje y, al eje x o a
ninguno de los dos:
a La recta que pasa por los puntos P(1, 7) y Q(12, 7)
b La recta que pasa por los puntos P(1, 7) y T(1, 3)
c La recta que pasa por los puntos P(1, 7) y M(2, 5)
L
1
es paralela a L
2
se
escribe simbl icamente
L
1
| | L
2
.
Observe que, aunque
la pendiente de una
recta vertical no
est defnida, dos
rectas verticales son
paralelas.
Recuerde que el
origen es el punto
O(0, 0), el punto donde
se cruzan el eje x y el
eje y.
Geometra y trigonometra 1923 Complete las siguientes oraciones de manera que resulten verdaderas:
a Toda recta horizontal es paralela al eje ______.
b Toda recta vertical es paralela al eje _______.
c La pendiente de toda recta horizontal es igual a ________.
4 La recta PQ es paralela al eje x. Las coordenadas de P y Q son,
respectivamente, (5, 3) y (8, a). Escriba el valor de a.
5 La recta MN es paralela al eje y. Las coordenadas de M y de N
son, respectivamente, (m, 24) y (5, 2). Escriba el valor de m.
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si y solo si orman un ngulo
de 90.
Esto signifca que:
Si dos rectas son perpendiculares, entonces orman un
ngulo de 90
Si dos rectas orman un ngulo de 90, entonces son
perpendiculares
El prximo ejemplo nos muestra la relacin numrica entre las
pendientes de dos rectas perpendiculares que no son una horizontal
y la otra vertical.
Ejemplo
El diagrama muestra dos rectas
perpendiculares, L
1
y L
2
.
a Halle las pendientes de L
1
y L
2
.
b Muestre que el producto de sus
pendientes es igual a 1.
Respuestas
a Sea m
1
la pendiente de L
1
y
m
2
la pendiente de L
2
,
m
1
= 2 y
2
1
2
m = .
b 2 1
1
2
= .
Usar el diagrama para hallar m
1
y m
2
0
1
y
x
4
3
2
1
1
1 1
2
2
2
4
3
2 3 44 3 2 1
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus
pendientes es .
El eje x y el eje y son
perpendicu lares.
Cualquier recta
vertical es
perpendicu lar a
cualquier recta
horizontal .
Observe que la
pendiente de L
1
es
positiva y la pendiente
de L
2
es negativa.
En general , si la
pendiente de una
recta es m, la
pendiente de una
recta perpendicu lar
es
1
m
.
L
1
L
2
0
1
y
x
4
3
2
1
1
2
4
3
2 3 44 3 2 1
Los nmeros a y
b son inversos si
1
1 o
b
a b a = = .
Por ejemplo:
2
1
2
4
3
3
4
y y,
Captulo 3 93
Ejercitacin 3D
1 Cul de estos pares de nmeros son inversos negativos?
a 2
1
2
y b
4
3
3
4
y c 3
1
3
y d 1 y 1
2 Cules de estos pares de pendientes corresponden a rectas perpendiculares?
a
2
5
5
2
y b
4
3
3
4
y c 3
1
3
y d 1 y 1
3 Halle la pendiente de rectas que son perpendiculares a una recta con pendiente:
a 3 b 2
3
c
1
4
d 1 e 1
4 Halle la pendiente de una recta perpendicular a otra que pasa por los puntos:
a A(2, 6) y B(1, 1) b A(5, 10) y B(0, 2)
5 Cada diagrama muestra una recta y un punto A.
i Escriba la pendiente de la recta.
ii Escriba la pendiente de cualquier recta que sea perpendicular
a esta recta.
iii Copie el diagrama y dibuje con precisin una recta perpendicular
a la que se muestra y que pase por el punto A.
a
0
1
y
x
4
3
2
1
1
A
2
4
3
2 3 44 3 2 1
b
0
1
y
x
4
3
2
1
1
A
2
4
3
2 3 44 3 2 1
c
Preguntas tiPo examen
6 La recta L
1
pasa por los puntos P(0, 3) y Q(2, a).
a Halle una expresin para la pendiente de L
1
en funcin de a.
L
1
es perpendicular a la recta L
2
. La pendiente de L
2
es 2.
b Escriba la pendiente de L
1
.
c Halle el valor de a.
7 Los puntos A(3, 5) y B(5, 8) pertenecen a la recta L
1
.
a Halle la pendiente de L
1
.
Una segunda recta, L
2
, es perpendicular a L
1
.
b Escriba la pendiente de L
2
.
L
2
pasa por los puntos P(5, 0) y Q(t, 2).
c Halle el valor de t.
0
1
y
x
4
3
2
1
1
A
2
4
3
2 3 44 3 2 1
Geometra y trigonometra 194
3.2 Ecuaciones de rectas
Las coordenadas x e y de cualquier punto de una recta L se
relacionan por medio de una ecuacin llamada ecuacin de la recta.
Esto signifca que:
Si un punto Q pertenece a una recta L, entonces las coordenadas
de Q satisacen la ecuacin de L
Si las coordenadas de cualquier punto Q satisacen la ecuacin
de L, entonces el punto Q pertenece a L
La ecuacin de una recta se puede escribir en la orma
y = mx + c, donde:
m es la pendiente
c es la ordenada al origen (coordenada y del punto donde la
recta corta al eje y)
y = mx + c es la orma explcita de la ecuacin de una recta.
Ejemplo 5
La recta L pasa por el punto A(1, 7) y tiene pendiente 5.
Halle la ecuacin de L.
D su respuesta en la orma y = mx + c.
Respuesta
Sea P(x, y) cualquier punto de L.
La pendiente de L es 5.
x
y
x x
y y
y
x
1
1
2
2
1
7
5
7
1
=
=
=
=
=
y 7 = 5(x 1)
y 7 = 5x 5
y = 5x + 2
Usar la frmula de la pendiente con
A y P, e igualar a 5
Multiplicar ambos lados por (x 1)
Desarrollar los parntesis
Sumar 7 a ambos lados
y = mx + c, donde m = 5 y c = 2
Use A (, ) para verifcar:
7 = 5 1 + 2
Verifcar que:
Las coordenadas del punto A(1, 7)
satisfacen la ecuacin de la recta
Se dice que los
valores de las
variables x e y
satisfacen l a
ecuacin si , cuando
las variables se
reemplazan por sus
respectivos valores,
los dos lados de la
ecuacin son iguales.
La ecuacin
y = mx + c est en el
cuadernil lo de frmulas.
Repasaremos esta
ecuacin en el
captulo 4.
0
(0, c)
y
x
y = mx + c
Interseccin
Adems de "y = mx + c",
algunos expresan la
ecuacin de la recta
como "y = ax + b" o
"y = mx + b" .
Observe que en la
ecuacin y = 5x + 2:
El 5 multipl ica a la
x, y la pendiente de
la recta es m = 5
Si se reemplaza x
por 0 en la ecuacin
de la recta,
y = 5 0 + 2 = 2;
por lo tanto,
el punto (0, 2)
pertenece a L
Captulo 3 95
Ejemplo 6
La recta L tiene pendiente
1
3
y pasa por el punto A(2, 1).
a Halle la ecuacin de L. D su respuesta en la forma y = mx + c.
b Escriba el punto de interseccin de L con el eje y.
c Halle el punto de interseccin de L con el eje x.
d Dibuje con precisin la recta L mostrando en forma clara la
informacin hallada en los apartados b y c.
Respuestas
a y x c=
1
3
+
+1 2
1
3
= c
+1
2
3
= c
c =
5
3
y =
1
3
5
3
x
Sustituir m =
1
3
en la ecuacin
y = mx + c
Sustituir las coordenadas del punto
A(2, 1) en la ecuacin de la recta
Despejar c de la ecuacin
Sustituir c en la ecuacin de la recta
b 0,
5
3
c 0
1
3
5
3
= x
1
3
5
3
x =
x = 5
Por lo tanto, L corta al eje x
en el punto (5, 0).
d
0
1
y
x
Interseccin con
el eje x
Interseccin con
el eje y
4
3
2
1
1
L
2
4
3
2 3 4 5 62 1
La recta corta al eje y en el
punto (0, c).
Cualquier punto sobre el eje x tiene la
forma (k, 0).
Sustituir y = 0 en la ecuacin de L
Ejercitacin 3E
1 Halle la ecuacin de una recta con:
a Pendiente 3 y que pasa por el punto A(1, 4)
b Pendiente
5
3
y que pasa por el punto A(4, 8)
c Pendiente 2 y que pasa por el punto A(3, 0)
D sus respuestas en la forma y = mx + c.
Observe que
podramos hal lar la
ecuacin de L usando
el mismo mtodo que
en el ejemplo 5.
Geometra y trigonometra 196
2 Para cada una de estas rectas escriba:
i La pendiente
ii El punto de interseccin con el eje y
iii El punto de interseccin con el eje x
a y = 2x + 1 b y = 3x + 2 c y = x + 3 d y x=
2
5
1
Preguntas tiPo examen
3 La ecuacin de una recta es y
x
=
3 6
2
( )
.
a Escriba la ecuacin en la forma y = mx + c.
b Escriba la pendiente de la recta.
c Escriba la ordenada al origen.
d Halle el punto de interseccin de la recta con el eje x.
4 La recta AB une los puntos A(2, 4) y B(1, 1).
a Halle la pendiente de AB.
b Halle la ecuacin de AB en la forma y = mx + c.
5 La recta PQ une los puntos P(1, 3) y Q(2, 5).
a Halle la pendiente de PQ.
b Halle la ecuacin de PQ en la forma y = mx + c.
c Halle la pendiente de todas las rectas que son perpendiculares a PQ.
d Halle la ecuacin de la recta perpendiculara PQ que pasa por el punto A(0, 2).
6 La recta L
1
tiene pendiente 3 y es perpendicular a la recta L
2
.
a Escriba la pendiente de L
2
.
La recta L
2
pasa por el punto P(5, ).
b Halle la ecuacin de L
2
. D su respuesta en la forma y = mx + c.
c Halle la coordenada x del punto donde L
2
corta al eje x.
7 Halle las ecuaciones de estas rectas en la forma y = mx + c:
a
0
1
y
x
4
3
2
1
1
2
4
3
2 3 44 3 2 1
b
0
1
y
x
4
3
2
1
1
2
4
3
2 3 44 3 2 1
c
0
1
y
x
4
3
2
1
1
2
4
3
2 3 44 3 2 1
d
0
1
y
x
4
3
2
1
1
2
4
3
2 3 44 3 2 1
e
0
1
y
x
4
3
2
1
1
2
4
3
2 3 44 3 2 1
f
0
1
y
x
4
3
2
1
1
2
4
3
2 3 44 3 2 1
Captulo 3 97
Ejemplo 7
a La recta L une los puntos A(3, 5) y B(1, 2).
Halle la ecuacin de la recta L.
D su respuesta en la forma ax + by + d = 0, donde a, b, d Z.
b El punto Q
5
3
, t
pertenece a la recta L. Halle el valor de t.
Respuestas
a La pendiente de L es:
m = =
2 5
1 3
3
4
( )
Sea P(x, y) cualquier punto de
L. La pendiente de L tambin
es:
x
y
x x
y y
m
y
x
1
1
2
2
3
5 5
3
=
=
=
=
=
( )
y
x
=
5
3
3
4( )
4(y 5) = 3(x + 3)
4y 20 = 3x 9
3x + 4y 11 = 0
b El punto Q
5
3
, t
pertenece
a la recta L; por lo tanto, sus
coordenadas satisfacen la
ecuacin de L.
3x + 4y 11 = 0
3 4 11 0
5
3
+ =t
5 + 4t 11 = 0
4t 6 = 0
4t = 6
t = 1,5
Utilizar la frmula de la pendiente
con las coordenadas de A y de B
Utilizar la frmula de la pendiente
con A y P (o B y P)
Igualar las pendientes
Producto cruzado
a
b
c
d
a d b c= =
Desarrollar los parntesis (o distribuir)
Ordenar la ecuacin para que
tenga la forma:
ax + by + d = 0
a = 3, b = 4, d = 11
Verifcar que ambos puntos, A y B,
satisfacen la ecuacin de la recta
Sustituir las coordenadas de Q en la
ecuacin de L
Hallar t
La ecuacin de una recta se puede escribir en la forma:
ax + by + d = 0
Donde a, b y d Z
A la ecuacin
ax + by + d = 0 se
la l lama ecuacin
general de la recta
y tambin est en
el cuaderni l lo de
rmulas.
Observe que cualquier
mltiplo de esta
ecuacin tambin ser
correcto, siempre que
a, b, d Z.
Por ejemplo:
3x 4y + 11 = 0 o
6x + 8y 22 = 0
Discutir: Cuntos
puntos necesitamos
para determinar una
recta?
Investigar el
signifcado de la
palabra col ineal .
Cundo decimos que
tres o ms puntos
son col ineales?
Geometra y trigonometra 198
Ejercitacin 3F
1 Halle las ecuaciones de estas rectas. D sus respuestas en la forma
ax +by + d = 0, donde a, b, d Z.
a Una recta con pendiente 4 que pasa por el punto A(5, 0)
b Una recta con pendiente
1
2
que pasa por el punto A(2, 3)
c La recta que une los puntos A(3, 2) y B(1, 3)
d La recta que une los puntos A(0, 5) y B(5, 0)
2 Escriba cada una de estas ecuaciones en la forma y = mx + c.
a 3x + y = 0 b x + y + 1 = 0 c 2x + y 1 = 0
d 2x 4y = 0 e 6x + 3y 9 = 0
3 La recta L tiene ecuacin 3x 6y + 6 = 0.
a Escriba la ecuacin de L en la forma y = mx + c.
b Escriba la coordenada x del punto de corte con el eje x.
c Escriba la ordenada al origen.
4 La ecuacin de una recta es y = 2x 6.
a Cules de estos puntos pertenecen a esta recta?
A (3, 0), B (0, 3), C ( , 4), D (4, 2), E (0, 2), F(5, 4)
b El punto (a, 7) pertenece a esta recta. Halle el valor de a.
c El punto (7, t) pertenece a esta recta. Halle el valor de t.
5 La ecuacin de una recta es 6x + 2y 2 = 0.
a Cules de estos puntos pertenecen a esta recta?
A ( , 4), B (0, ), C ( , 0), D (2, 6), E (
1
3
, 0), F ( , 2)
b El punto (a, 3) pertenece a esta recta. Halle el valor de a.
c El punto (10, t) pertenece a esta recta. Halle el valor de t.
6 La tabla tiene cuatro ecuaciones y cuatro pares de condiciones. Relacione la
ecuacin de cada recta con el par de condiciones que satisface esa recta.
Ecuacin Condiciones
A 6x 3y + 15 = 0 E El punto de interseccin con el eje x tiene coordenada x 2,5 y
la ordenada al origen es 5.
B y = 2x 5 F La pendiente es 2 y la recta pasa por el punto (1, 7).
C 10x + 5y + 25 = 0 G La recta pasa por los puntos (0, 5) y (2,5; 0).
D y = 2x + 5 H La ordenada al origen es 5 y la pendiente es 2.
Pregunta tiPo examen
7 La recta L
1
tiene ecuacin 2x y + 6 = 0.
a Escriba la pendiente de L
1
.
b Escriba la ordenada al origen de L
1
.
c El punto A(c; 1,5) pertenece a L
1
. Halle el valor de c.
d El punto B(5, t) pertenece a L
1
. Halle el valor de t.
La recta L
2
es paralela a L
1
.
e Escriba la pendiente de L
2
.
f Halle la ecuacin de L
2
si esta pasa por el punto C(0, 4).
Despejar y
Captulo 3 99
Pregunta tiPo examen
8 La recta L
1
une los puntos A(1, 2) y B(1, 6).
a Halle la ecuacin de L
1
.
C es el punto (10, 16).
b Decida si A, B y C son colineales, dando una respuesta
razonada.
Rectas verticales y horizontales
Las rectas verticales son paralelas al eje y.
Las rectas horizontales son paralelas al eje x.
Investigacin: rectas verticales y horizontales
El d iagrama muestra dos rectas verticales, L
1
y L
2
.
1 a Escriba las coordenadas de al menos cinco puntos que pertenezcan a L
1
.
b Qu observa en las coordenadas de los puntos de a?
Qu tienen en comn sus coordenadas?
c Cul es la condicin para que un punto pertenezca a L
1
?
Escriba esta condicin en la forma x = k, donde k toma un
valor determinado.
2 a Escriba las coordenadas de al menos cinco puntos que
pertenezcan a L
2
.
b Qu observa en las coordenadas de los puntos de a?
Qu tienen en comn sus coordenadas?
c Cul es la condicin para que un punto pertenezca a L
2
?
Escriba esta condicin en la forma x = k, donde k toma un
valor determinado.
3 Cul es la ecuacin de una recta vertical que pasa por
el punto (1, 3)?
El diagrama muestra dos rectas horizontales, L
3
y L
4
.
4 a Escriba las coordenadas de al menos cinco puntos que
pertenezcan a L
3
.
b Qu observa en las coordenadas de los puntos de a?
Qu tienen en comn sus coordenadas?
c Cul es la condicin para que un punto pertenezca a L
3
?
Escriba esta condicin en la forma y = k, donde k toma un
valor determinado.
5 a Escriba las coordenadas de al menos cinco puntos que pertenezcan a L
4
.
b Qu observa en las coordenadas de los puntos de a?
Qu tienen en comn sus coordenadas?
c Cul es la condicin para que un punto pertenezca a L
4
?
Escriba esta condicin en la forma y = k, donde k toma un
valor determinado.
6 Cul es la ecuacin de una recta horizontal que pasa por el punto (1, 3)?
0
1
L1 L2
y
x
4
3
2
1
1
2
4
3
2 3 44 3 2 1
0
1
L
3
L
4
y
x
4
3
2
1
1
2
4
3
2 3 44 3 2 1
Geometra y trigonometra 1100
La ecuacin de toda recta vertical es de la orma x = k,
donde k es una constante.
La ecuacin de toda recta horizontal es de la orma y = k,
donde k es una constante.
Interseccin de rectas en el plano
Si dos rectas son paralelas, entonces tienen la misma pendiente
y no se cortan.
Las rectas paralelas L
y L
2
pueden ser:
Rectas coincidentes (la misma recta)
Ejemplo: 2x + y = 3 y
6x + 3y = 9
L
= L
2
por lo tanto
tienen la misma
pendiente y la misma
ordenada al origen.
Hay una cantidad
infnita de puntos
de interseccin.
Rectas distintas
Ejemplo: 2x + y = 3 y
2x + y =
L
y L
2
tienen la
misma pendientepero dierentes
ordenadas al
origen. No hay
punto de
interseccin.
Si dos rectas, L
y L
2
, no son paralelas, entonces se cortan nicamente en un punto.
0
Punto de interseccin
L
1
L
2
y
x
Para hallar el punto de interseccin (punto de corte), escribir m
x + c
= m
2
x + c
2
y
resolver en x
Ejemplo 8
Halle el punto de interseccin de las rectas y = 2x + 1 y x y + 4 = 0.
Respuesta
Analticamente:
y = 2x + 1 e y = x + 4
2x + 1 = x + 4
3x = 3
x = 1
Entonces, y = 2 1 + 1
= 3
El punto de interseccin es (1, 3).
Escribir ambas ecuaciones en su
forma explcita
Igualar las expresiones halladas
para y
Resolver en x
Sustituir el valor de x en una de las
expresiones para hallar y
0
y
x 0
L
1
L
2
y
x
{ Contina en l a pg ina sigu iente. Captulo 3 101
Usando el mtodo 1 de la CPG:
Usando el mtodo 2 de la CPG:
Ordenar las ecuaciones para
escribirlas en su forma explcita
Resolver el sistema de dos ecuaciones:
+
2 1
4
x y
x y
=
=
Ejercitacin 3G
1 Escriba las ecuaciones de estas rectas:
a
0
1
y
x
4
3
2
1
1
2
4
3
2 3 44 3 2 1
b
0
1
y
x
4
3
2
1
1
2
4
3
2 3 44 3 2 1
2 Halle el punto de interseccin de cada par de rectas:
a y = 3x 6 e y = x + 2
b x + 5y = 0 y
1
5
2 0x y+ =
c y = 3 y x = 7
d y = 1,5x + 4 e y = 1
e x + 2y + 6 = 0 y x + y 3 = 0
f Eje y e y = 4
3 Muestre que las rectas L
con ecuacin 5x + y + 1 = 0
y
L
2
con ecuacin 10x 2y + 4 = 0 son paralelas.
En el ejemplo 18
de la seccin 3.4
del captulo 12,
se muestra cmo
dibujar grfcos en
la calculadora de
pantal la grfca (en
adelante, CPG).
En el ejemplo 1
de la seccin 1.1
del captu lo 12,
se muestra cmo
resolver sistemas de
ecuaciones en la CPG.
Geometra y trigonometra 1102
4 Indique, dando razones, si las rectas de cada par coinciden:
i En un solo punto
ii En una cantidad infnita de puntos
iii En ningn punto
a y = 3(x 5) y x y + =
1
3
6 0
b
y
x
+
=
1
2
1 e y = x + 1
c y = 4x 8 y 4x 2y = 0
d x y + 3 = 0 y 3x 3y + 9 = 0
Pregunta tiPo examen
5 La recta L
tiene pendiente 5 y corta a la recta L
2
en el punto
A( , 0).
a Halle la ecuacin de L
1
.
La recta L
2
es perpendicular a L
1
.
b Halle la ecuacin de L
2
.
. Las razones seno, coseno y tangente
La trigonometra es el estudio de longitudes y ngulos en tringulos.
Esta seccin va a tratar sobre la trigonometra en tringulos rectngulos.
En un tringulo rectngulo, el lado opuesto al ngulo recto es la
hipotenusa, que es el lado ms largo.
AC es la hipotenusa.
AB es el lado adyacente al ngulo A.
BC es el lado opuesto al ngulo A.
Investigacin: tringulos rectngulos
Dibuje con precisin un d iagrama con dos tringulos, como el que se muestra.
1 Mida los ngulos DEA y BCA. Qu observa?
2 Mida las longitudes de AB y AD. Calcule la razn
AD
AB
.
3 Mida las longitudes de AE y AC. Calcule la razn
AE
AC
.
4 Mida las longitudes de DE y BC. Calcule la razn
DE
BC
.
Qu observa en sus respuestas de a ?
D
E
B
C
A
En el diagrama, los tringulos rectngulos ABC y ADE tienen los
mismos ngulos, y los lados correspondientes tienen la misma
razn.
Las razones
AB
AC
,
BC
AC
y
BC
AB
en el tringulo ABC son iguales,
respectivamente, a las razones
AD
AE
,
DE
AE
y
DE
AD
en el tringulo ADE.
El punto A pertenece
a ambas rectas.
Adyacente
Hipotenusa
AB
C
Opuesto
Dos tringulos que
tienen los mismos
ngulos y cuyos lados
correspondientes
conservan la misma razn
se d icen tringulos
semejantes.
Captulo 3 103
Por lo tanto:
= =
AB AD Adyacente a
AC AE Hipotenusa
Observe que tanto AB como AD
son adyacentes a , y tanto AC
como AE son las hipotenusas.
= =
Opuesto a
Hip
B
o
C DE
teAC AE nusa
Observe que tanto BC como DE
son lados opuestos a , y tanto
AC como AE son las hipotenusas.
= =
BC DE Opuesto a
AB AD Adyacente
a
Observe que tanto BC como DE
son opuestos a , y tanto AB
como AD son adyacentes a .
En cualquier tringulo semejante al tringulo ABC, estas razones se
mantendrn iguales.
En un tringulo rectngulo, se defnen tres razones
trigonomtricas como:
sen =
Cateto opuesto
Hipotenusa
cos =
Cateto adyacente
Hipotenusa
tan =
Cateto opuesto
Cateto adyacente
Ejemplo 9
Para cada tringulo, escriba las tres razones trigonomtricas para el
ngulo en uncin de los lados del tringulo.
a
i
C
B A
b
i
B
C
A
Respuestas
a sen = AB
AC
, cos = BC
AC
, tan =
AB
BC
b sen =
BC
AC
, cos = AB
AC
, tan =
BC
AB
Cateto adyacente a a
Hipotenusa
a
Cateto opuesto a a
es la letra griega
alfa .
sen se lee
seno de .
cos se lee
coseno de .
tan se lee
tangente de .
Podemos usar el
acrnimo SOHCAHTOA
para recordar cul es
cada razn.
SOH porque Sen =
O
H
CAH porque Cos = A
H
TOA porque Tan = O
A
Geometra y trigonometra 1104
Ejemplo 10
Para cada uno de estos tringulos rectngulos, halle el valor de:
i sen ii cos iii tan
a
a
BC 4
3
A b
a
ED
6
4,8
F
Respuestas
a AB2 = 32 + 42
AB = 5
Entonces:
i sen =
BC
AB
sen = 4
5
ii cos = AC
AB
cos = 3
5
iii tan =
BC
AC
tan =
4
3
b DE2 + 4,82 = 62
DE = 3,6
i sen =
DE
DF
=
3 6
6
,
sen = 0,6
ii cos =
EF
DF
=
4 8
6
,
cos = 0,8
iii tan =
DE
EF
=
3 6
4 8
,
,
tan = 0,75
Primero hallar la hipotenusa
Usar Pitgoras
sen =
op
hip
cos =
ady
hip
tan =
op
ady
Primero hallar DE
Captulo 3 105
Ejercitacin 3H
1 Copie y complete esta tabla:
Tringulo Hipotenusa Cateto opuesto a Cateto adyacente a
a
Y
X
Z
a
BA
C
a
Q
P
R
2 Escriba las tres razones trigonomtricas del ngulo en funcin de los
lados del tringulo.
a
d
B
A
C
b
d Q
P
R
c
d
ED
F3 En cada uno de estos tringulos rectngulos, las longitudes estn en cm.
a
a
5
4
b
a
6
8
c
a
10
14
Halle el valor exacto de:
i sen ii cos iii tan
Geometra y trigonometra 1106
4 Para cada tringulo, escriba una ecuacin trigonomtrica que relacione
el ngulo y el lado indicado con una x.
a
b
10
x
b
b
5
x c
b
12
x
d
b
7
x
e
b
14
x
f
b
3
x
Clculo de los lados de un tringulo rectngulo
Si en un tringulo rectngulo conocemos el valor de uno de
los ngulos agudos y la longitud de un lado, podemos hallar:
Las longitudes de los otros lados, usando razones trigonomtricas
El tercer ngulo, usando la suma de los ngulos internos
de un tringulo
Ejemplo 11
Halle la longitud de los
lados desconocidos en el
tringulo ABC.
D su respuesta redondeada
a tres ciras signifcativas.
Respuesta
Para hallar BC:
cos 30 =
BC
8
BC = 8cos 30
BC = 6,93 cm (3 cs)
C B
A
hip
ady
op
30
El coseno relaciona el lado desconocido
BC (adyacente al ngulo de 30) con el
lado AB (la hipotenusa) que se conoce.
Usar la CPG para hallar BC
C B
A
8 cm
30
Hay que recordar
confgurar la CPG
en grados. Para
cambiar al modo
grados, presionar
On y elegir 5:
Settings & Status
(confguracin y
estado) | 2: Settings
(confguracin) |
1: General (general ).
Usar la tecla tab
para moverse a Angle
(ngulo) y seleccionar
Degree (grado).
Presionar enter y
l uego seleccionar 4:
Current (actual ) para
volver al documento.
Rotule los lados como
opuesto, adyacente
e h ipotenusa, para
identifcarlos que
conoce.
{ Contina en la pgina sigu iente.
Captulo 3 107
Para hallar AC:
Mtodo 1
sen 30 =
AC
8
AC = 8sen 30
= 4 cm
Mtodo 2
AC2 + BC 2 = AB2
AC2 + (8 cos 30)2 = 82
C = 8 8 302 2( cos )
= 4 cm
C B
A
hip
ady
op
30
El seno relaciona el lado conocido y el
desconocido.
Hallar AC. Usar la CPG:
Usar Pitgoras, pues ya se conocen dos
lados del tringulo.
Hallar AC. Usar la CPG:
Ejercitacin 3I
Halle las longitudes de los lados que se indican con letras. D sus respuestas redondeadas
a dos lugares decimales.
1
3 cm
h
46
2 6 cm
x
20,5
3
10 cm
m
26
4
9 cm
y
40,2 5
100 m
15
t
6
50 m
30
s
Tambin se podra
usar la tangente, pues
se conocen el ngulo
y el cateto adyacente.
Geometra y trigonometra 1108
Ejemplo
En el tringulo DEF, E = 90, F = 50 y DE = 7 m.
a Represente esta inormacin en un diagrama claro y rotulado.
b Halle el valor de D .
c Halle EF.
d Halle DF.
D sus respuestas redondeadas a tres ciras signifcativas.
Respuestas
a op 7 m
hip ady
50
D
F
E
b D + 90 + 50 = 80
D = 40
c tan 50
7
=
EF
EF =
7
50tan
= 5,87 m
d sen 50
7
=
DF
DF =
7
50sen
= 9,4 m
Dibujar un diagrama. Rotular el
tringulo en orden alfabtico, en el
sentido de las agujas del reloj.
La suma de los ngulos internos del
tringulo es 180 .
La tangente relaciona el lado
conocido y el desconocido.
Usar la CPG para hallar EF
El seno relaciona el lado conocido y
el desconocido.
Usar la CPG para hallar DF
Ejercitacin 3J
1 En el tringulo PQR, R = 90, P = 21, PR = 15 cm.
a Represente esta inormacin en un diagrama claro y rotulado.
b Escriba el valor de Q .
c Halle QR.
2 En el tringulo STU, T = 90, U = 55, SU = 35 cm.
a Represente esta inormacin en un diagrama claro y rotulado.
b Escriba el valor de S.
c Halle TU.
3 En el tringulo ZWV, V = 90, W = 15, WV = 30 cm.
a Represente esta inormacin en un diagrama claro y rotulado.
b Escriba el valor de Z .
c Halle VZ.
El astrnomo
Aryabhata, nacido en
India en el 476 de
esta era, crea que
el sol , los planetas y
las estrel las giraban
alrededor de la Tierra
en d iferentes rbitas.
Comenz a inventar
la trigonometra para
calcular las d istancias
de los planetas a la
Tierra.
D
F
E
El ngulo D tambin
se puede describir
como ED F o FDE.
Tenemos que
asegurarnos de
comprender todas
estas notaciones.
Rotule el tringulo en
orden alfabtico, en el
sentido de las agujas
del reloj .
Captulo 3 109
Preguntas tiPo examen
4 En el tringulo LMN, N = 90, L = 33, LN = 58 cm.
a Represente esta informacin en un diagrama claro y rotulado.
b Escriba el valor de M .
c Halle LM.
5 En el rectngulo ABCD, DC = 12 cm y la diagonal BD
forma un ngulo de 30 con DC.
a Halle la longitud de BC.
b Halle el permetro del rectngulo ABCD.
c Halle el rea del rectngulo ABCD.
6 Cuando el sol forma un ngulo de 46 con el horizonte,
la sombra de un rbol mide 7 m.
Halle la altura del rbol.
7 Una escalera de 7 m de longitud se apoya contra una pared
tocando la repisa de una ventana y formando un ngulo
de 50 con el piso.
a Represente esta informacin en un diagrama claro y rotulado.
b Halle a qu altura del piso se encuentra la repisa de la ventana.
c Halle la distancia entre la base de la escalera y la base de la pared.
Clculo de los ngulos de un tringulo rectngulo
Si conocemos las longitudes de dos lados en un tringulo rectngulo,
entonces podemos hallar:
La longitud del otro lado, usando Pitgoras
El valor de los dos ngulos agudos, usando la razn
trigonomtrica apropiada
Ejemplo 13
Halle el valor de los dos ngulos agudos de este tringulo:
10
15
A
C B
Respuesta
ngulo B
=
1 0
1 5
cos B
=
1 1 0
1 5
B cos
El coseno relaciona el cateto
adyacente y la hipotenusa.
cos
1 10
15
signifca el ngulo
cuyo coseno es
10
15
.
12 cm
30
A
CD
B
46
7 m
{ Contina en l a pg ina sigu iente.
cos1
10
15
se lee
coseno inverso de
10
15
o arco coseno de
10
15
.
Geometra y trigonometra 1110
Por lo tanto:
B = 48,2
ngulo A
90 + B + = 180
90 + 48,18 + = 180
= 41,8
Usar la CPG:
Usar la suma de los ngulos
internos de un tringulo
Usando la CPG:
Ejemplo 14
Halle el ngulo en cada tringulo.
D sus respuestas redondeadas al grado ms cercano.
a
8
5
i
b
3
6,5
i
Respuestas
a = 8
5
tan
=
1 8
5
tan
= 58
Usar tangente , pues relaciona el
cateto adyacente con el opuesto.
=
1 8
5
tan signifca el ngulo
cuya tangente es
8
5
.
Usar la CPG:
{ Contina en l a pg ina sigu iente.
Captulo 3 111
b sen
,
=
3
6 5
=
sen
,
1 3
6 5
= 27
Usar seno, pues relaciona el cateto
opuesto y la hipotenusa.
=
1 3
6,5
sen signifca el ngulo
cuyo seno es
3
6 5
.
Usar la CPG:
Ejercitacin 3K
D sus respuestas redondeadas a tres ciras signifcativas.
1 Explique el signifcado de:
a sen1 (0,6) b tan
1
1
2
c cos
1
2
3
2 Calcule:
a sen1 (0,6) b tan
1
1
2
c cos
1
2
3
3 Halle la medida del ngulo agudo si:
a sen = 0,2 b =
2
3
cos c tan = 1
4 Halle las medidas de los dos ngulos agudos en estos tringulos:
a
7 mB A
C
9,5 m
b
6 cmP R
Q
8 cm
c
12,5 km
N
Q
M
10 km
d
200 m
ZX
Y
150 m
e
2,6 cm
J
K
I
7,2 cm
f
3,5 m
F
D E
8 m
5 En el tringulo BCD, D = 90, BD = 54 cm, DC = 42 cm.
a Represente esta inormacin en un diagrama claro y rotulado.
b Halle la medida del ngulo C.
Geometra y trigonometra 1112
6 En el tringulo EFG, G = 90, FG = 56 m, EF = 82 m.
a Represente esta inormacin en un diagrama claro y rotulado.
b Halle la medida del ngulo F.
7 En el tringulo HIJ, J = 90, IJ = 18 m, HI = 25 m.
a Represente esta inormacin en un diagrama claro y rotulado.
b Halle la medida del ngulo H.
8 En el rectngulo ABCD, BC = 5 cm y DC = 10 cm.
5 cm
A
D C
B
10 cm
Halle la medida del ngulo que la diagonal BD orma con
el lado DC.
9 El largo y el ancho de un rectngulo son 20 cm y 13 cm,
respectivamente.
Halle la medida del ngulo que orman una diagonal y el lado
ms corto del rectngulo.
10 Una escalera de 8 m de largo se apoya contra una pared vertical.
La base de la escalera est a 3 m de la pared.
Calcule la medida del ngulo que se orma entre la pared y la escalera.
Preguntas tiPo examen
11 a En un par de ejes cartesianos, site los puntos A(3, 0) y B(0, 4).
Utilice la misma escala en ambos ejes.
b Dibuje con precisin la recta AB.
c Halle la medida del ngulo agudo que la recta AB orma con el eje x.
12 a En un par de ejes cartesianos, site los puntos A(1, 0) y B(1, 4).
Utilice la misma escala en ambos ejes.
b Dibuje con precisin la recta AB.
c Halle la medida del ngulo agudo que la recta AB orma
con el eje x.
Identifcacin de tringulos rectngulos en
otras fguras
Hasta ahora hemos hallado lados y ngulos desconocidos
de tringulos rectngulos. Ahora veremos cmo hallar lados
y ngulos desconocidos en tringulos que no son rectngulos
y en fguras tales como rectngulos, rombos y trapecios.
La tcnica es dividir las fguras en otras ms pequeas que
contengan tringulos rectngulos.
Captulo 3 113
Nombre de la
fgura
Figura Dnde estn los tringulos
rectngulos?
Tringulos
issceles o
equi lteros
Rectngulos o
cuadrados
Crculo
Investigacin: fguras en el planoCmo podemos dividir estas fguras en otras ms pequeas de manera que al
menos una de el las sea un tringulo rectngulo?
Para hacerlo, necesitamos conocer las propiedades de las fguras en el plano.
1 Rombo
Cul es la propiedad de las d iagonales de un rombo?
Real ice un d ibujo con precisin de un rombo en una hoja
cuadriculada. Dibuje sus d iagonales. Cuntos tringulos
rectngulos obtiene? Son congruentes? Por qu?
Comente acerca de sus hal lazgos.
2 Cometa
Cul es la propiedad de las d iagonales de un cometa?
Real ice un d ibujo con precisin de un cometa en una hoja cuadriculada.
Dibuje sus d iagonales. Cuntos tringulos rectngulos obtiene?
Son congruentes? Por qu? Comente acerca de sus hal lazgos.
3 Paralelogramo
Dibuje con precisin un paralelogramo como este en una hoja
cuadriculada. Hay un rectngulo que tiene la misma base
y la misma al tura que este paralelogramo. Dibuje l neas punteadas
por donde cortara el paralelogramo para reubicar las partes y ormar
un rectngulo. Cuntas fguras se obtienen? Cuntas de el las son
tringulos rectngulos? Comente acerca de sus hal lazgos.
4 Tringulo
Dibuje con precisin un tringulo como este.
Cada tringulo tiene tres al turas, una para cada base (o lado).
Dibuje la al tura correspondiente a AC (es el segmento perpendicular
a AC, d ibujado desde B hasta el lado AC). Se obtienen dos tringulos
rectngulos que juntos orman el tringulo ABC. Cules son las
condiciones para que estos dos tringulos sean congruentes?
Comente acerca de sus hal lazgos.
A C
B
Contina en la pgina sigu iente.
Geometra y trigonometra 1114
5 Trapecio
Dibuje con precisin un trapecio como este.
Dibuje un segmento desde D que sea perpendicular a AB y un
segmento desde C que sea perpendicular a AB. Se obtienen dos tringulos
rectngulos. Cul es la condicin para que estos tringulos sean congruentes?
6 Polgono regular
Aqu se muestran un hexgono regular y un pentgono regular:
El centro de cada polgono es O.
Para cada pol gono:
Qu tipo de tringulo es ABO? Por qu? Dibuje un segmento desde O que sea
perpendicular al lado AB para formar dos tringulos rectngulos. Estos dos tringulos son
congruentes. Expl ique por qu.
A B
D C
Un polgono
regular tiene todos
sus lados iguales y
todos sus ngulos
iguales.
B
O
A
B
A
O
El tringulo ABC es issceles. Los lados AB y BC son iguales y miden
10 cm. Cada uno de ellos forma un ngulo de 40 con AC.
a Represente esta informacin en un diagrama claro y rotulado.
b Halle la longitud de AC.
c Halle el permetro del tringulo ABC.
Respuestas
a
10 cm10 cm
CA
B
40 40
b
10 cm10 cm
40
CA
B
P
cos 40 =
AP
10
AP = 10 cos 40
AC = 2 10 cos 40
AC = 15,3 cm
c Permetro = AB + BC + CA
= 15,32 + 2 10
= 35,3 cm (3 cs)
En un tringulo issceles, la altura
correspondiente a la base divide la
base en dos partes iguales,
y quedan determinados dos
tringulos rectngulos.
cos
ady
hip
=
Despejar el valor de AP
Usar que AC = 2 AP
Ejemplo 1
Captulo 3 115
Ejemplo 6
Las diagonales de un rombo miden 10 cm y 5 cm. Halle la medida del
ngulo del rombo que tiene mayor amplitud.
Respuesta
DB
C
A
10 cm
5 cm
2,5 cm
A
B O5 cm
tan OA B =
5
2, 5
OA B =
tan
1 5
2, 5
BA D = 2 OA B
= 2 tan
1 5
2, 5
BA D = 127 (3 cs)
Dibujar un diagrama mostrando las
diagonales
Llamar O al punto donde se cortan
las diagonales
En el tringulo ABO, el ngulo
OAB es mayor que el ngulo OBA
(dado que est opuesto a un lado ms
largo). Por lo tanto, hallar el ngulo
OAB.
tan
op
ady
=
BAD (o BCD) es el ngulo de mayor
amplitud del rombo.
Investigacin: rombo
1 Utilice una regla y un comps para dibujar con precisin un rombo
cuyo lado mida 6 cm.
2 Dibuje con precisin otro rombo cuyo lado mida 6 cm y que no sea
congruente al que dibuj en 1.
3 Cuntos rombos diferentes cuyos lados midan 6 cm se pueden dibujar?
En qu se diferencian?
Ejercitacin 3L
1 El tringulo ABC es issceles. Los dos lados iguales, AC y BC,
miden 7 cm y forman un ngulo de 65 con AB.
a Represente esta informacin en un diagrama claro y rotulado.
b Halle la longitud de AB.
c Halle el permetro del tringulo ABC. D su respuesta
redondeada al centmetro ms cercano.
Las diagonales de un
rombo se cortan en
su punto medio y son
perpendiculares entre s.
ngulo OAB" y
OA B son notaciones
al ternativas
equivalentes a A .
Geometra y trigonometra 1116
2 Las diagonales de un rombo miden 12 cm y 7 cm. Halle la
medida del ngulo de menor amplitud del rombo.
3 La medida del ngulo de mayor amplitud de un rombo es 120 y la
diagonal ms larga mide 7 cm.
a Represente esta informacin en un diagrama claro y rotulado.
b Halle la longitud de la diagonal ms corta.
Preguntas tiPo examen
4 En el diagrama, ABCD es un trapecio donde AD BC,
CD = BA = 6 m, BC = 12 m y DA = 16 m.
a Muestre que DE = 2 m.
b Halle la medida de D .
5 En el diagrama, PQRS es un trapecio, PQ SR,
PQ = 7 cm, RS = 10 cm, QR = 5 cm y S = 90.
a Halle la altura del trapecio, PS.
b Halle el rea del trapecio.
c Halle la medida del ngulo SRQ.
6 La longitud del lado ms corto de un parque rectangular es 400 m.
El parque tiene un camino recto de 600 m de longitud que une
dos esquinas opuestas.
a Represente esta informacin en un diagrama claro y rotulado.
b Halle la medida del ngulo que el camino forma con el lado
ms largo del parque.
7 a En un par de ejes cartesianos, site los puntos A(3, 2),
C(1, 4) y D (1, 2). Utilice la misma escala en ambos ejes.
B es un punto tal que ABCD es un rectngulo.
b i Site el punto B en su diagrama.
ii Escriba las coordenadas del punto B.
c Escriba la longitud de:
i AB ii BC
d A partir de lo anterior, halle la medida del ngulo que la diagonal
del rectngulo forma con uno de los lados ms cortos.
ngulos de elevacin y depresin
El ngulo de elevacin es el que
se forma entre la horizontal del
observador y el lugar observado
cuando este est situado arriba
del observador.
El ngulo de depresin es el
que se forma entre la horizontal
del observador y el lugar
observado cuando este est
situado debajo del observador.
C B
D E A
S R
P Q
5 cm
7 cm
10 cm
es el ngulo de
elevacin.
a
Horizontal
es el ngulo de
depresin.
b
Horizontal
Captulo 3 117
Observe que tanto el ngulo de elevacin como el de depresin se
miden desde la horizontal.
Ejemplo 17
Desde un yate, que est 150 metros mar
adentro, el ngulo de elevacin de la cima de
un acantilado es 17. El ngulo de elevacin
a la parte superior de un faro que se encuentra
sobre el acantilado es 20.
Esta informacin se muestra en el diagrama.
a Halle la altura del acantilado.
b A partir de lo anterior, halle la altura
del faro.
Respuestas
a Sea x la altura del acantilado.
tan 17 =
150
x
x = 45,9 m (3 cs )
b Sea y la distancia desde la parte superior del
faro a la base del acantilado.
tan 20 =
150
y
y = 54,5955 m
Altura del faro = y x
= 8,74 m (3 cs )
x
150 m
17
y
150 m
20
Usar el valor de x sin redondear para hallar y x
Ejemplo 18
Un nio que est parado en una colina, representado con X,
puede ver un bote en un lago, representado por Y, tal y como se
muestra en el diagrama. La distancia vertical desde X hasta Y
es 60 m y la distancia horizontal es 100 m.
Halle:
a La distancia ms corta entre
Y
X
100 m
60 m
el nio y el bote
b El ngulo de depresin del
bote desde el nio
Respuestas
aXY2 = 1002 + 602
XY = 117 m (3 cs )
b
60
1 00
tan =
El ngulo de depresin
= 31,0 (3 cs )
Usar Pitgoras
Usar tan =
op
ady
Y
X 100 m
60 m
b
20
150 m
17
La distancia ms
corta es la longitud
de XY.
Geometra y trigonometra 1118
Ejercitacin 3M
1 Halle el ngulo de elevacin de la parte superior de un rbol de
13 m de altura desde un punto que est a 25 m sobre la horizontal.
2 La torre de una iglesia mide 81 metros de altura y produce una
sombra de 63 metros de longitud. Halle el ngulo de elevacin del sol.
3 El ngulo de depresin desde la cima de un acantilado a un barco
que se encuentra en el mar a 500 metros de la orilla es de 14.
Halle la altura del acantilado.
4 Halle el ngulo de depresin desde la cima de un acantilado
de 145 m de altura a un barco que se encuentra en el mar a
1,2 kilmetros de la orilla.
5 Un hombre, cuyos ojos se encuentran a 1,5 metros de la horizontal,
se encuentra a 20 metros del pie de un rbol.
El ngulo de elevacin a la cima del rbol es 45. Calcule la altura
del rbol.
6 La altura de un rbol es 61,7 metros y el ngulo de elevacin
desde cierto punto de la horizontal a la cima del rbol es 62,4.
Calcule la distancia que hay desde el rbol hasta el punto desde
el cual se midi el ngulo.
Pregunta tiPo examen
7 El ngulo de depresin desde la ciudad A hasta la ciudad B es 12.
a Halle el ngulo de elevacin desde la ciudad B hasta
la ciudad A.
La distancia horizontal entre las ciudades es 2 km.
b Halle la distancia vertical entre las ciudades.
D su respuesta redondeada al metro ms cercano.
. El teorema del seno y el del coseno
El teorema del seno y el del coseno son frmulas
que nos ayudarn a hallar lados y ngulos
desconocidos en un tringulo. Nos permiten usar la
trigonometra en tringulos que no son rectngulos.
La frmula y la notacin son ms simples si
rotulamos los tringulos as.
El teorema del seno
Si tenemos esta informacin acerca de un tringulo:
Dos ngulos y un lado
Dos lados y un ngulo no incluido entre esos
dos lados
Entonces podemos hallar los otros lados y ngulos del tringulo
Dibuje un d iagrama
para cada pregunta.
1 ,5 m
20 m
45
B
A 2 km
12
A
C
a
b
c
B
El lado opuesto a
es a.
El lado opuesto a
B es b.
El lado opuesto a
C es c.
Adems, observe que:
se encuentra
entre los lados
b y c
B se encuentra
entre los lados
a y c
C se encuentra
entre los lados
a y b
Captulo 3 119
Teorema del seno
En un tringulo ABC, con ngulos A, B y C, y lados opuestos
a, b y c, respectivamente:
= =
sen sen B sen C
a b c
o bien
= =
sen A sen B sen C
a b c
Ejemplo 19
En el tringulo ABC, b = 16 cm, c = 10 cm y B = 135.
a Represente esta inormacin en un diagrama rotulado.
b Halle la medida del ngulo C.
c A partir de lo anterior, halle la medida del ngulo A.
Respuestas
a B
A
C
10 cm
16 cm
135
b
16
sen 135
=
10
sen C
16 sen C = 10 sen 135
1 0 sen 1 35
1 6
sen C =
C = 26,2 (3 cs )
c + B + C = 180
+ 135 + 26,227. . . = 180
= 18,8 (3 cs )
Sustituir en el teorema del seno
Producto cruzado
Despejar sen C
Usar la CPG
Usar la CPG
Ejemplo 20
En el tringulo PQR, halle la longitud de RQ. D su respuesta
redondeada a dos ciras signifcativas.
P
R Q
10 km
8220
Respuesta
P = 78
RQ
sen 78
=
10
sen 82
1 0 sen 78
sen 82
RQ =
= 9,9 km (2 cs )
RQ es el lado opuesto al ngulo P;
por lo tanto, primero hay que hallar
el valor del ngulo P.
Sustituir en el teorema del seno
Despejar RQ
Usar la CPG
A
C
B
a
b
c El teorema del seno
est en el cuaderni l lo
de frmulas.
Producto cruzado:
a
b
=
c
d
ad = bc
Ptolomeo
(c. 90168 e. c. ), en
su obra Almagesto,
que consta de 13
volmenes, escribi
valores del seno para
ngulos desde 0
hasta 90. Tambin
incluy teoremas
simi lares al teorema
del seno.
Geometra y trigonometra 1120
Ejercitacin 3N
1 Halle las longitudes de los lados indicados con letras.
a Y
X Zy
7 km
67
28
b
R
P Qr
10 cm
80
20
c B
A
C
c
32
51
7,5 km
2 En el tringulo ABC, AC = 12 cm, = 30 y B = 46.
Halle la longitud de BC .
3 En el tringulo ABC, = 15, B = 63 y AB = 10 cm.
Halle la longitud de BC.
4 En el tringulo PQR, PR = 15 km, P = 25 y Q = 60.
Halle la longitud de QR.
5 En cada tringulo, halle la medida del ngulo indicado.
a C B
A C15 m
10 m
67
b R
Q
P
R
15 cm
13 cm
100
c Y
X
Z
Y
10 km
5 km
112
6 En el tringulo ABC, BC = 98 m, AB = 67 m y = 85.
Halle la medida de C .
7 En el tringulo PQR, PQ = 5 cm, QR = 6,5 cm y P = 70.
Halle la medida de R .
Pregunta tiPo examen
8 En el diagrama, = 90, CX = 10 m, AC B = 30 y X = 10.
a Escriba la medida del ngulo BCX.
b Halle la longitud de BC.
c Halle la longitud de AB.
El teorema del coseno
Si tenemos esta informacin acerca de un tringulo:
Dos lados y el ngulo incluido
Los tres lados
Entonces podemos hallar el otro lado y los otros
ngulos del tringulo
XCA
B
10 m
30
10
Captulo 3 121
Teorema del coseno
En un tringulo ABC, con ngulos A, B y C,
y lados opuestos a, b y c, respectivamente:
a2 = b2 + c2 2bc cos
Esta frmula puede reescribirse como:
+
=
2 2 2
2
cos A
b c a
bc
Ejemplo 21
En el tringulo ABC, AC = 8,6 m, AB = 6,3 m y = 50.
Halle la longitud de BC.
Respuesta
BC2 = 8,62 + 6,32 2 8,6
6,3 cos 50
BC2 = 43,9975
BC = 6,63 m (3 cs )
Dibujar aproximadamente el
tringulo
Usar a2= b2 + c22bccos
Ejemplo 22
X, Y, Z representan tres ciudades. X est a 20 km al norte de Z.
Y est al este de la recta XZ. La distancia de Y hasta X es 16 km y la
distancia de Z hasta Y es 8 km.
a Represente esta informacin en un diagrama claro y rotulado.
b Halle la medida del ngulo X.
Respuestas
a
Z
Y
X
16 km
8 km
20 km
b cos X =
20 + 16 8
2 20 16
2 2 2
X = cos
1
2 2 2
20 + 16 8
2 20 16
= 22,3 (3 cs )
Recordar:
S
EO
N
Usar cosX
y z x
yz
=
2 2 2
+
2
A C
c a
b
B
Estas frmulas estn
en el cuaderni l lo
de frmulas. La
primera versin de
la frmula es ti l
cuando tenemos que
hal lar un lado. La
segunda versin de la
frmula es ti l cuando
necesitamos hal lar un
ngulo.
El teorema del coseno
se puede apl icar a
cualquier tringulo.
Cuando el tringulo es
rectngulo y
= 90, cmo
luce la frmula? La
reconoce? Es el
teorema del coseno
una general izacin del
teorema de Pi tgoras?B A
C
6,3 m
8,6 m
50
Geometra y trigonometra 1122
Ejercitacin 3O
1 Halle la longitud de los lados indicados con letras.
a
Z
Y
X
12 km
y
7 km86,5
b Q
p
R
P
10 cm
6 cm
70
c B
c
C
A
8,7 m
6,5 m
51
2 Halle la medida de los ngulos indicados con letras.
a B
A C
15 m
8 m
10 m
x
b
P
R
Q
17,2 cm
12,6 cm
15,3 cm
y
c
X
Z
Y
112 km
100 km
123 km
a
3 En el tringulo ABC, CB = 120 m, AB = 115 m y B = 110.
Halle la longitud del lado AC.
4 En el tringulo PQR, RQ = 6,9 cm, PR = 8,7 cm y R = 53.
Halle la longitud del lado PQ.
5 En el tringulo XYZ, XZ = 12 m, XY = 8 m, YZ = 10 m.
Halle la medida del ngulo X.
Preguntas tiPo examen
6 X, Y, Z son tres ciudades. X est a 30 km al sur de Y. Z est al este
de la recta que une X e Y.
La distancia desde Y a Z es 25 km y la distancia desde X a Z es 18 km.
a Represente esta informacin en un diagrama claro y rotulado.
b Halle la medida del ngulo Z.
7 Andrea, Juana y Santiago se encuentran en el punto A.Juana camina
12 m al sur de A y alcanza el punto J. Santiago mira a Juana,
rota un ngulo de 110 y camina 8 m desde A hasta el punto S.
a Represente esta informacin en un diagrama claro y rotulado.
b Halle la distancia entre Santiago y Juana.
c Halle cuntos metros al norte de Andrea est Santiago.
8 El diagrama muestra un crculo de radio 3 cm y centro O.
A y B son dos puntos que pertenecen a la circunferencia.
La longitud de AB es 5 cm.
El tringulo AOB se dibuja dentro del crculo.
Calcule la medida del ngulo AOB. A B
O
Captulo 3 123
PREGUNTA TIPO EXAMEN
9 El diagrama muestra una gra, PQR, que transporta una
lmina de metal, W. PQ es vertical y el piso PM es horizontal.
Sabiendo que PQ = 8,2 m, QR = 12,3 m, PQ R =100 y
RW = 7,8 m, calcule:
a PR
b La medida del ngulo PRQ
c La altura, a, a la que est W del piso, PM
rea de un tringulo
Si conocemos un lado de un tringulo (la base b), y su altura
correspondiente, a, podemos calcular el rea del tringulo usando
la frmula:
=
1
2
( )A b a
Si no conocemos la altura,
igual podemos calcular
el rea del tringulo, tal y
como se muestra en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 23
Calcule el rea del tringulo ABC.
A
B
C
42
7 cm
10 cm
Respuesta
A
B
a
C
42
7 cm
10 cm
=
7
sen 42 = 7sen 42
a
a
rea b a
1
2
=
= (10 7sen 42
1
2
)
= 23,4 cm2 (3 cs )
Utilizar la frmula:
A
1
2
( )= b a , siendo AC la base,
b = 10
Dibujar la altura, a, el segmento
perpendicular a AC desde B
Sustituir en la frmula del rea de
un tringulo
Podemos usar el mismo mtodo para cualquier tringulo.
W
a
M
P
Q
R
7,8 m
8,2 m
12,3 m
100
Recuerde que un tringulo tiene tres al turas, una al tura por lado.
Base
a
Base
a
Base
a
Material de ampliacin
disponible en l nea: Hoja de
ejercicios 3: demostraciones
de los teoremas del seno y
del coseno
Geometra y trigonometra 1124
En cualquier tringulo ABC, con ngulos
A, B y C, y lados opuestos a, b y c,
respectivamente, se verifca:
rea del tri ngulo e C=
1
2
ab s n
Ejemplo
Calcule el rea del tringulo ABC.
C
B
A
50
6,3 m
8,6 m
Respuesta
e
rea del tri ngulo ABC =
1
2
8 6 6 3 50, , s n
= 20,8 m2 (3 cs )
Sustituir en la frmula:
rea senC
1
2
= ab
Ejercitacin 3P
1 Calcule el rea de cada tringulo.
a
12 km
7 km
Y
ZX
82
b
81,7 m
60,5 m
B
C
A
50
2 Aqu se muestra un tringulo ABC.
a Halle la medida del ngulo B.
b Calcule el rea del tringulo ABC.
3 Aqu se muestra un tringulo ABC.
a Escriba la medida del ngulo C.
b Halle el rea del tringulo ABC.
4 Calcule el rea del tringulo XYZ.
A
C
c
b
a
B
Esta frmula est
en el cuaderni l lo de
frmulas.
Hern de Alejandra,
en el primer siglo de
nuestra era, desarrol l
un mtodo diferente
para hal lar el rea de
un tringulo, usando
las longitudes de
los lados de d icho
tringulo.
10 cm 10 cm
B
CA
40
3 m
C
B
A
50
50
Primero hal le la
medida de uno de los
ngulos.
20 km
16 km
8 km
X
Y
Z
Captulo 3 125
Preguntas tiPo examen
5 El diagrama muestra un terreno triangular XYZ. XZ mide 50 m,
YZ mide 100 m y la medida del ngulo X es 100.
a Halle el ngulo Z.
b Halle el rea del terreno. D su respuesta redondeada a la decena
de m2 ms cercana.
6 El rea de un tringulo issceles ABC es 4 cm2. La medida
del ngulo B es 30 y AB = BC = x cm.
a Escriba, en uncin de x, una expresin para el rea del tringulo.
b Halle el valor de x.
7 En el diagrama, AB = 5 cm, AD = 6 cm, BD = 90,
BC D = 30, BD C = 70.
a Halle la longitud de DB. b Halle la longitud de DC.
c Halle el rea del tringulo BCD.
d Halle el rea del cuadriltero ABCD.
Ejercicio de revisin
Preguntas del estilo de la prueba
Preguntas tiPo examen
D sus respuestas redondeadas a tres ciras signifcativas.
1 La recta L
1
pasa por los puntos A(1, 3) y B(5, 1).
a Halle la pendiente de la recta AB.
La recta L
2
es paralela a la recta L
1
y pasa por el punto (0, 4).
b Halle la ecuacin de la recta L
2
.
2 La recta L
1
pasa por los puntos A(0, 6) y B(6, 0).
a Halle la pendiente de la recta L
1
.
b Escriba la pendiente de todas las rectas que son perpendiculares a L
1
.
c Halle la ecuacin de una recta L
2
perpendicular a L
1
y que pasa por O(0, 0).
3 Considere la recta L, cuya ecuacin es y = 2x + 3.
a Escriba las coordenadas del punto donde:
i L corta al eje x ii L corta al eje y
b Dibuje con precisin la recta L en un sistema de ejes como el
que se muestra.
c Halle la medida del ngulo agudo que la recta L orma con el eje x.
4 Considere la recta L
1
, cuya ecuacin es y = 2x + 6.
a El punto (a, 4) pertenece a L
1
. Halle el valor de a.
b El punto (12,5; b) pertenece a L
1
. Halle el valor de b.
La recta L
2
tiene ecuacin 3x y + = 0.
c Halle el punto de interseccin entre L
1
y L
2
.
5 La altura de un acantilado vertical es 450 m. El ngulo de elevacin de la cima del
acantilado desde un barco es 31. El barco est a x metros de la base del acantilado.
a Dibuje un diagrama para representar esta inormacin.
b Calcule el valor de x.
50 m
100 m
Y
X
Z
100
70
30
C
D6 cm
5 cm
A
B
0
13 1 2 3
1
y
x
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4 545 2
Geometra y trigonometra 1126
Preguntas tiPo examen
6 En el diagrama, el tringulo ABC es issceles.
AB = AC, CB = 20 cm y el ngulo ACB mide 32.
Halle: a La medida del ngulo CAB
b La longitud de AB
c El rea del tringulo ABC
7 Un jardinero sujeta una soga de 20 metros de largo para
ormar un cantero, como se muestra en la fgura.
a Escriba la longitud de AC.
b Halle la medida del ngulo BAC.
c Halle el rea del cantero.
8 El diagrama muestra un crculo de dimetro 10 cm y centro O.
Los puntos A y B pertenecen a la circunerencia, y la longitud de
AB es 7,5 cm. Se dibuja un tringulo AOB dentro del crculo.
a Halle la medida del ngulo AOB.
b Halle el rea del tringulo AOB.
c Halle el rea sombreada.
Preguntas del estilo de la prueba
Preguntas tiPo examen
1 a En un par de ejes coordenados, site los puntos A(2, 5), B(2, 2) y C(8, 10).
Utilice la misma escala en ambos ejes.
El cuadriltero ABCD es un rectngulo.
b i Site el punto D en el sistema de ejes que us en el apartado a.
ii Escriba las coordenadas de D.
c Halle la pendiente de la recta BC.
d A partir de lo anterior, escriba la pendiente de la recta DC.
e Halle la ecuacin de la recta DC en la orma ax + by + d = 0, donde a, b, d Z.
f Halle la longitud de: i DC ii BC.
g Halle la medida del ngulo DBC.
2 La fgura muestra una escalera AB. La escalera est apoyada en
un suelo horizontal, AC, y est tocando la parte superior de un poste
telenico, CB. El ngulo de elevacin de la parte superior del
poste desde el pie de la escalera es 60. La distancia entre el pie
de la escalera y el pie del poste es 2 m.
a Calcule la longitud de la escalera.
b Calcule la altura del poste.
La escalera se mueve en el mismo plano vertical, de manera que su
pie se mantiene en el piso y el extremo superior toca el poste en
un punto P, que est ,5 m debajo de la parte superior del poste.
c Escriba la longitud de CP.
d Halle la nueva distancia que hay entre el pie de la escalera y el pie del poste.
e Halle la medida del nuevo ngulo de elevacin de la parte superior
del poste desde el pie de la escalera.
32
A
C B20 cm
5 m 6 m
A C
B
A
O
B7,5 cm
AC 2 m
B
60
Captulo 3 127
Pregunta tiPo examen
3 La fgura muestra la trayectoria de una carrera de cross country.
Los corredores comienzan y fnalizan en el punto A.
a Halle la longitud de BD.
b Halle la medida del ngulo BDC, dando su
respuestacon dos lugares decimales.
c Escriba la medida del ngulo ADB.
d Halle la longitud de AB.
e i Halle la longitud total de la trayectoria.
ii Raael corre a una velocidad constante de 3,8 m s1.
Halle el tiempo que tarda Raael en terminar la carrera.
D su respuesta redondeada al minuto ms cercano.
f Halle el rea del cuadriltero ABCD que encierra la trayectoria.
D su respuesta en km2.
A
B
CD
108
1200 m
400 m
300 m
RESUMEn DEL CAPTULO 3
Pediete de ua recta
Si A(x
1
, y
1
) y B(x
2
, y
2
) son dos puntos de una recta L,
la pendiente de la recta L es m
y y
x x
=
2 1
2 1
.
Las rectas paralelas tienen la misma pediete.
Esto signifca que:
Si dos rectas son paralelas, entonces tienen la misma
pendiente
Si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces
son paralelas
Dos rectas son perpendiculares si y solo si orman un
ngulo de 90. Esto signifca que:
Si dos rectas son perpendiculares, entonces orman un ngulo de 90
Si dos rectas orman un ngulo de 90, entonces son perpendiculares
Dos rectas son perpediculares si el producto de sus pendientes es 1 .
Ecuacioes de rectas
La ecuacin de una recta se puede escribir en la orma:
i y = mx + c, donde m es la pediete y c es la ordeada al orige
(coordenada y del punto donde la recta corta al eje y)
ii ax + by + d = 0, donde a, b, d Z
La ecuacin de toda recta vertical es de la orma
x = k, donde k es una constante.
La ecuacin de toda recta horizontal es de la orma
y = k, donde k es una constante.
0
x
1
y
x
y
1
y
2
x
2
x
2
x
1
y
2
y
1
A
B
L
Contina en la pg ina sigu iente.
Geometra y trigonometra 1128
Si dos rectas son paralelas, entonces tienen la misma
pendiente y no se cortan.
Si dos rectas, L
1
y L
2
, no son paralelas, entonces se cortan
nicamente en un punto. Para hallar el punto de interseccin
(punto de corte), escribir m
1
x + c
1
= m
2
x + c
2
y resolver en x.
Las razones seno, coseno y tangente
En un tringulo rectngulo, se defnen tres razones
trigonomtricas como:
sen =
Cateto opuesto
Hipotenusa
cos =
Cateto adyacente
Hipotenusa
tan =
Cateto opuesto
Cateto adyacente
El ngulo de elevacin es el que se orma entre la horizontal del observador
y el lugar observado cuando este est situado arriba del observador.
El ngulo de depresin es el que se orma entre la horizontal del observador
y el lugar observado cuando este est situado debajo del observador.
El teorema del seno y del coseno
En un tringulo ABC, con ngulos A, B y C,
y lados opuestos a, b y c, respectivamente:
= =
sen sen B sen C
a b c
En un tringulo ABC, con ngulos A, B y C,
y lados opuestos a, b y c, respectivamente:
a2 = b2 + c2 2bc cos
Esta rmula puede reescribirse como:
+
=
2 2 2
2
cos A
b c a
bc
En cualquier tringulo ABC, con ngulos A, B y C,
y lados opuestos a, b y c, respectivamente, se verifca:
rea del tri ngulo e C=
1
2
ab s n
0
Punto de interseccin
L
1
L
2
y
x
Cateto adyacente a a
Hipotenusa
a
Cateto opuesto a a
A
C
B
a
b
c
A C
c a
b
B
A
C
c
b
a
B
Captulo 3 129
130130
lgebra y geometra
El lgebra y la geometra son ambas d iscipl inas matemticas
que tienen una larga h istoria.
lgebra: general iza operaciones matemticas y relaciones
uti l izando letras para representar incgnitas o elementos
de un conjunto de nmeros determinado. Posiblemente
se haya originado en la resolucin de ecuaciones, lo cual
se remonta (al menos) a la matemtica de los babi lonios.
Geometra: estudia las propiedades, medidas y relaciones
de puntos, rectas, planos, superfcies, ngulos y sl idos.
Se origina al comienzo de la matemtica.
No hubo un rea comn entre el lgebra y la geometra
hasta que Ren Descartes, f lsoo y matemtico rancs
(1596 1650), mostr que las ecuaciones se podan
representar con l neas en un grfco, dndole as signifcado a
sus soluciones. La geometra cartesiana,
la representacin de ecuaciones para
determinados valores de las variables en
un sistema de ejes ortogonales
(perpendiculares), l leva ese nombre por
Descartes.
Se d ice (aunque sea
probablemente un mito) que a
Descartes se le ocurri la idea de
un sistema de ejes coordenados
cuando estaba acostado en su
cama, mirando una mosca que
caminaba por el techo de su
habitacin.
Teora del Conocimiento: haciendo conexiones130
Haciendo conexiones
A menudo se separa la matemtica en diferentes temas o campos del conocimiento.
Enumere los distintos campos de la matemtica que conoce.
Por qu los seres humanos tienen la necesidad de categorizar y compartimentar el
conocimiento?
Esto ayuda o estorba la bsqueda de ms conocimiento?
Teora del Conocimiento
El lgebra y la geometra
son centrales para la
matemtica y para los
currculos escolares
de Matemticas en
todo el mundo. Algunos
colegios orecen
cursos completamente
separados de Geometra
y lgebra, mientras que
otros al ternan los temas
a lo largo del curso.
y = 2x + 1
T
e
o
r
a d
e
l C
o
n
o
c
im
ie
n
t
o
131Captulo 3
El ltimo teorema de Fermat
El ltimo teorema de Fermat establece que no existen 3
enteros positivos a, b y c que satisagan la ecuacin
an + bn = cn para cualquier valor de n mayor que 2. Pierre
Fermat ue el primero que conjetur este teorema en 1637,
en una nota escrita en una copia del l ibro Arithmetica,
donde afrm que tena una demostracin que era
demasiado larga para que quepa en el margen. Su
demostracin, si existi, nunca se encontr. En 1995
Andrew Wiles, quien haba estado trabajando en secreto en
la conjetura durante siete aos, pudo demostrar el teorema.
La compleja demostracin de Wi les uti l iza lo que se
pensaba que eran dos reas separadas de la matemtica,
ormas modulares y curvas el pticas. No se preocupe,
estos temas no orman parte del programa de Estudios
Matemticos.
Mientras el lgebra y la geometra estaban separadas, su progreso fue lento y sus
aplicaciones limitadas, pero desde que estas dos ciencias fueron vinculadas, se han
prestado su fuerza mutuamente y han caminado juntas hasta la perfeccin.
Joseph Louis Lagrange (17361813), matemtico francs (traduccin libre de la cita)
Andrew Wi les
(1953),
matemtico
britnico
El lgebra y la geometra son ambas tiles por s mismas, pero
histricamente ha sido la interaccin de estas dos reas lo que ha
conducido a muchos de los mayores desarrollos matemticos y
conocimientos en las ciencias naturales, la economa y, por
supuesto, en otras reas de las matemticas.
Muchas de las
demostraciones
ms famosas han
necesitado aportes
de varias reas de
la matemtica.
131
Modelos
matemticos
OBJETIVOS DEL CAPTULO
6.1 Concepto de uncin, dominio, recorrido y grfco; notacin de unciones;
concepto de uncin como modelo matemtico
6.2 Modelos l ineales: unciones l ineales y sus grfcos
6.3 Modelos cuadrticos: unciones cuadrticas y sus grfcos (parbolas);
propiedades de la parbola: simetra, vrtice, intersecciones con el eje x y con el
eje y; ecuacin del eje de simetra
6.4 Modelos exponenciales: unciones exponenciales y sus grfcos; concepto y
ecuacin de una asntota horizontal
6.5 Modelos que uti l izan unciones de la orma f (x) = axm + bxn + . . . , m, n ;
unciones de este tipo y sus grfcos; el eje y como asntota vertical
6.6 Precisin en la representacin grfca y creacin de un d ibujo aproximado;
transerencia de un grfco de la calculadorade pantal la grfca al papel ; leer,
interpretar y hacer predicciones uti l izando los grfcos
6.7 Uso de la calculadora de pantal la grfca para la resolucin de ecuaciones que
incluyan combinaciones de las unciones mencionadas
Qu necesitamos saber
1 Sustituir valores en una rmula. Por ejemplo:
sabiendo que x = 1, hallar el valor de
y = 3x 2 + 2x.
y = 3( )2 + 2( ) y =
2 Usar la calculadora de pantalla grfca (en
adelante, CPG) para resolver ecuaciones
cuadrticas y sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos incgnitas. Por ejemplo:
resolver:
a 3x 2 + 9x 30 = 0 x = 2, x = 5
b
x y
x y
+ =
+ =
4
2 1
x = , y = 3
3 Hallar la pendiente de una recta, m, que pasa
por dos puntos. Por ejemplo: A(3, 5) y B(1, 4)
2 1
2 1
y y
x x
m
= m =
5 4
3 1
m =
1
2
Comprobemos nuestras habilidades
1 a Halle el valor de y = 2,5x 2 + x 1
cuando x = 3.
b Halle el valor de h = 3 2t 1
cuando t = 0.
c Halle el valor de d = 2t 3 5t 1 + 2
cuando t =
1
2
.
2 Usando su CPG, resuelva:
a x 2 + x 3 = 0
b 2t 2 t = 2
c
x y
x y
=
=
2 3
3 5 2
En el captulo 12,
secciones 1.1 y
1.2, se muestra
cmo ingresar los
datos.
3 Halle la pendiente de la recta, m, que
pasa por los puntos:
a A(7, 2) y B(1, 4)
b A(3, 2) y B(1, 8)
4
Antes de comenzar
Modelos matemticos132
La oto que se muestra arriba muestra las posiciones de un clavadista
durante distintos instantes hasta que llega al mar. Inicialmente, el
clavadista se encuentra a 40 m sobre el nivel del mar y tarda 4,5
segundos en llegar al mar. Podemos usar la matemtica para hallar
una relacin numrica entre el tiempo en segundos, t, y la altura del
clavadista, a, en metros, sobre el nivel del mar. La relacin que
vincula el tiempo, t, y la altura, a, es un modelo matemtico.
Puede describirse usando una rmula, un grfco o una tabla de valores.
Para elaborar un modelo matemtico recuentemente comenzamos
asumiendo algunas cosas. Aqu, asumimos que el clavadista est a
40 m sobre el nivel del mar y que tarda 4,5 segundos en llegar al mar.
La rmula que relaciona las variables t y a es:
a = 1 ,97 (t 2 20,25), donde t 0
Podemos usar este modelo para calcular la altura del clavadista, a,
sobre el nivel del mar en distintos instantes, t. Hay que sustituir
el valor de t en la rmula para obtener el valor de a que le
corresponde. La tabla muestra tres pares de valores de t y de a.
Aqu se muestra el grfco de a = 1 ,97(t 2 20,25), t 0.
Podemos usar la rmula o el grfco para responder
preguntas como:
Cul es la altura a la que se encuentra el clavadista
despus de 2 segundos?
Cunto tarda el clavadista en alcanzar una altura
de 20 m sobre el nivel del mar?
t
( segundos)
a
(metros)
0 40,0
1 38,0
4 8,37
0
a
t
10
20
30
40
2 4 6
Los tres pares de
valores de la tabla
se indican en el
grfco con un .
Captulo 4 133
En este captulo trabajaremos con dierentes tipos de modelos
matemticos llamados funciones, para representar una variedad
de situaciones prcticas. Estas unciones nos ayudan a comprender
y predecir el comportamiento de las variables.
4.1 Funciones
Los modelos matemticos que relacionan dos variables se llaman unciones.
Una funcin es una relacin entre dos conjuntos: un primer
conjunto y un segundo conjunto. Cada elemento x del
primer conjunto se relaciona con uno y solo un elemento y
del segundo conjunto.
Ejemplo 1
Antonio y Lola son dos alumnos del colegio secundario
Barrio Verde (BV).
Mirna es una alumna del Japan High School (JHS).
El conjunto de alumnos A = {Antonio, Lola, Mirna} .
El conjunto de colegios B = {BV, JHS} .
Decida si estas relaciones son unciones. Justifque su respuesta.
a La relacin entre el primer conjunto A y el segundo conjunto B es
x es un alumno del colegio y.
b La relacin entre el primer conjunto B y el segundo conjunto A es
x es el colegio en el que y es alumno.
Respuestas
a Esta relacin es una uncin,
porque cada elemento
del primer conjunto, A,
se relaciona con solo un
elemento del segundo
conjunto, B. Esto signifca
que cada alumno estudia en
un solo colegio.
Dibujar un diagrama de fechas
para mostrar cmo los elementos del
conjunto A, Antonio, Lola y Mirna,
se relacionan con los elementos del
conjunto B, BV y JHS.
A
Antonio
Lola
Mirna
B
BV
JHS
b Esta relacin no es una
uncin, porque un elemento
del primer conjunto B, BV,
se relaciona con ms de
un elemento en el segundo
conjunto A, Antonio y Lola.
Dibujar un diagrama de fechas
para mostrar cmo los elementos
del conjunto B se relacionan con los
elementos del conjunto A.
B
Antonio
Lola
Mirna
A
BV
JHS
En el captulo 1,
estudiamos conjuntos
en los que los
elementos eran
nmeros. Sin embargo,
los elementos de
un conjunto pueden
ser cualquier tipo de
objeto.
Los d iagramas de
fechas se uti l izan
para representar
cmo los elementos
del primer conjunto
se relacionan con
los elementos del
segundo conjunto.
Modelos matemticos134
Ejemplo 2
Sean A = {1, 1, 0, 2, 4} , B = {1, 0, 4} y C = {1, 0, 4, 16} .
Decida si las siguientes relaciones son unciones. Justifque su
respuesta.
a La relacin entre el primer conjunto A y el segundo conjunto B:
el cuadrado de x es y o simblicamente y = x 2
b La relacin entre el primer conjunto A y el segundo conjunto C:
el cuadrado de x es y o simblicamente y = x 2
c La relacin entre el primer conjunto C y el segundo conjunto A:
la raz cuadrada de x es y o simblicamente y = x
Respuestas
a No es una uncin, porque un
elemento del primer conjunto
A, el 4, no se relaciona con
ningn elemento del segundo
conjunto B.
Elaborar una tabla de valores
Los elementos del conjunto A son
los valores de x. Usar estos valores
para hallar los valores de y que
le corresponden usando y = x2.
Comprobar que los valores de y son
los del conjunto B.
A
x
B
y = x 2
1 1
1 1
0 0
2 4
4
4 2 = 16; 16 no es un elemento del
conjunto B.
b Es una uncin, porque cada
elemento del primer conjunto
A se relaciona con uno y solo
un elemento del segundo
conjunto C.
c Es una uncin, porque cada
elemento del primer conjunto
C se relaciona con uno y solo
un elemento del segundo
conjunto A.
A
x
C
y = x 2
1 1
1 1
0 0
2 4
4 16
C
x
A
y = x
1 1
0 0
4 2
16 4
Como en el ejemplo 2
los elementos del
conjunto son
nmeros, las
relaciones son
numricas. En
Estudios Matemticos
trabajamos con
relaciones numricas
que se pueden
describir usando
ecuaciones.
Piense en situaciones
cotidianas en las
que podemos defnir
unciones entre
dos conjuntos. Por
ejemplo, la relacin
entre un grupo de
personas y sus
nombres, la relacin
entre un rbol y sus
ramas, la relacin
entre los das y la
temperatura media
de cada uno de esos
das, etc.
Captulo 4 135
Ejercitacin 4A
1 La proesora Urquiza y el proesor Genzer ensean Matemticas.
Miguel y Luca estn en la clase de la proesora Urquiza. Lidia y
Diana estn en la clase del proesor Genzer.
Considere el conjunto de alumnos A = {Miguel, Luca, Lidia, Diana}
y el conjunto de proesores B = {proesora Urquiza, proesor Genzer} .
Decida si las siguientes relaciones son unciones. Justifque sus decisiones.
a La relacin entre el primer conjunto A y el segundo conjunto B:
x est en la clase de Matemticas de y
b La relacin entre el primer conjunto B y el segundo conjunto A:
x es el proesor de Matemticas dey
2 Sean A = {3, 7, 50} , B = {12, 16, 49, 100} y C = {49, 100} .
Decida si las siguientes relaciones son unciones. Justifque sus
decisiones.
a El primer conjunto es A, el segundo conjunto es B y la relacin
es x es divisor de y.
b El primer conjunto es B, el segundo conjunto es A y la relacin
es x es mltiplo de y.
c El primer conjunto es C, el segundo conjunto es A y la relacin
es x es mltiplo de y.
3 Sean A = {1, 2, 3, 4} , B = {2, 4, 6} y C = {1, 2, 4, 6} .
a Decida si las siguientes relaciones son unciones. Justifque sus
decisiones.
i El primer conjunto es A, el segundo conjunto es B y la
relacin es x es la mitad de y.
ii El primer conjunto es A, el segundo conjunto es C y la
relacin es x es la mitad de y.
iii El primer conjunto es C, el segundo conjunto es A y la
relacin es x es el doble de y.
iv El primer conjunto es B, el segundo conjunto es C y la
relacin es x es igual a y.
v El primer conjunto es C, el segundo conjunto es A y la
relacin es x es igual a y.
b Dibuje un diagrama para representar las relaciones del
apartado a que son unciones.
4 Describa las siguientes relaciones entre x e y usando ecuaciones.
a y es el doble de x.
b La mitad de x es y.
c La raz cbica de x es y.
d La mitad del cubo de x es y.
La ecuacin
y = x2 describe
la relacin y es el
cuadrado de x .
Modelos matemticos136
5 Decida si estas relaciones son unciones. Explique sus decisiones
en los casos en que no son unciones.
a El primer conjunto es R, el segundo conjunto es R y la relacin
se defne a travs de la ecuacin y = 3x + 1.
b El primer conjunto es R, el segundo conjunto es R y la relacin
se defne a travs de la ecuacin y = x 2.
c El primer conjunto es R, el segundo conjunto es R y la relacin
se defne a travs de la ecuacin y = x .
d El primer conjunto es A = {x 0, x R} , el segundo conjunto
es R y la relacin se defne a travs de la ecuacin y = x .
Dominio y recorrido de una funcin
Una uncin es una relacin entre dos conjuntos: un primer y un segundo conjunto.
El primer conjunto se denomina dominio de la uncin. Los
elementos del dominio, a menudo considerados valores de
x, representan la variable independiente.
Para cada valor de x (entrada), hay uno
y solo un valor de y (salida). Este
valor se denomina imagen de x.
El conjunto de todas las imgenes
(todas las salidas) se denomina recorrido de la uncin.
Los elementos del recorrido, a menudo considerados
valores de y, representan la variable dependiente.
Ejemplo 3
Considere la uncin y = x 2.
a Halle la imagen de: i x = 1 ii x = 2.
b Escriba el dominio.
c Escriba el recorrido.
Respuestas
a i y = 1
ii y = 4
b El dominio es el conjunto de
nmeros reales, R.
c El recorrido es y 0.
i Sustituir x = 1 en y = x 2
y = (1) 2 y = 1
ii Sustituir x = 2 en y = x 2
y = (2) 2 y = 4
Al calcular el cuadrado de un nmero
real se obtiene otro nmero real. Por
lo tanto, el dominio es el conjunto de
todos los nmeros reales.
El cuadrado de un nmero positivo
o negativo es un nmero positivo y el
cuadrado de cero es cero. Por lo tanto,
el recorrido es el conjunto de todos los
nmeros reales mayores o iguales que
cero.
R es el conjunto de
nmeros reales.
En Estudios
Matemticos el
dominio siempre
ser el conjunto de
nmeros reales, a
menos que se indique
lo contrario.
yx
Ecuacin
Entrada
Dominio
Salida
Recorrido
Escribimos el dominio
y el recorrido como
conjuntos, usando
l laves:
Dominio = {entradas}
Recorrido = {imgenes
o sal idas}
Se asume que el
dominio es R, a
menos que haya
valores que x no
pueda tomar.
Captulo 4 137
Ejemplo 4
Considere la uncin y =
1
x
, x 0.
a Halle la imagen de:
i x = 2 ii x =
1
2
b Escriba el dominio.
c i Decida si y = 0 es un elemento del recorrido. Justifque su
decisin.
ii Decida si y = 5 es un elemento del recorrido. Justifque su
decisin.
Respuestas
a i y =
1
2
ii y =
1
1
2
= 2
b El dominio es el conjunto
de todos los nmeros reales
menos el 0.
c i 0 =
1
x
Esta ecuacin no tiene
solucin. Por lo tanto,
y = 0 no es un elemento
del recorrido.
ii 5 =
1
x
x =
1
5
Por lo tanto, y = 5 es un
elemento del recorrido, ya
que es la imagen de
x =
1
5
.
Sustituir
i x = 2
ii x =
1
2
en y =
1
x
Dado que no est defnida la divisin
por 0, el dominio es el conjunto de
todos los nmeros reales menos el 0
(x 0).
Sustituir i y = 0
ii y = 5 en y =
1
x
Hay algn valor de x (entrada) que
d un valor de y (salida) igual a 0?
Hay algn valor de x (entrada) que
d un valor de y (salida) igual a 5?
El primero en usar el
trmino matemtico
funcin fue Gottfried
Leibniz en 1673.
Modelos matemticos138
Ejercitacin 4B
1 Para cada una de las unciones dadas desde a hasta d:
i Copie y complete la tabla. Marque con una las celdas
que no se pueden completar.
ii Escriba el dominio.
iii Decida si y = 0 pertenece al recorrido de la uncin.
Justifque su decisin.
a y = 2x b y = x 2 + 1
x
1
2
0 1 3,5
y = 2x 12
x 3 0 2
1
4
y = x 2 + 1 5 5
c y =
1
1x +
, x 1 d y = x , x 0
x 2 1 0
1
2
3
y =
1
x + 1
1
6
x 3 0
1
4
9
y = x 1 10
2 Decida si las siguientes afrmaciones son verdaderas o alsas.
Justifque cada una de sus decisiones.
a y = 0 es un elemento del recorrido de la uncin y =
2
x
.
b En la ecuacin y = x 2, la variable y no puede tomar el valor 1.
c En la ecuacin y = x 2 + 3, la variable y no puede tomar el valor 2.
d En la uncin y = x 2 1, hay dos valores de x cuando y = 3.
e En la uncin y =
x
3
1, la imagen de x = 3 es 2.
En la uncin y = 2(x + 1), la imagen de x = 1 es y = 0.
Grfco de una uncin
Un grfco puede representar una uncin.
El grfco de una uncin f es el conjunto de puntos (x, y)
sobre el plano cartesiano, donde y es la imagen de x a travs de
la uncin f.
Dibujo con precisin de grfcos
Elaborar una tabla de valores para hal lar algunos puntos del grfco
En un papel mi l imetrado, d ibujar con precisin los ejes y rotularlos,
usando escalas apropiadas
Situar los puntos
Un ir los puntos con una l nea recta o con una curva suave
Las coordenadas
cartesianas y el plano
cartesiano tienen este
nombre por el rancs
Ren Descartes
(15961650).
Usamos distintas
letras para nombrar
a las unciones: f, g,
h, etc.
Captulo 4 139
Ejemplo 5
a Dibuje con precisin el grfco de la uncin y = x + 1.
b Escriba las coordenadas del punto donde el grfco de la
uncin corta al:
i Eje x ii Eje y
c Decida si el punto A(200, 199) pertenece al grfco de la uncin.
d El punto B(6, y) pertenece al grfco de la uncin. Halle el valor de y.
Respuestas
a
0
13 1 2 3
1
y
x
y = x + 1
2
3
4
1
2
3
42
b i Interseccin con el eje x es
(1, 0).
ii Interseccin con el eje y es
(0, 1).
c 199 = 200 + 1
Por lo tanto, A(200, 199)
pertenece al grfco.
d B(6, y) pertenece al grfco,
entonces:
y = 6 + 1 = 5 y = 5
Elaborar una tabla de valores. Usar
valores positivos y negativos para
x. Usar estos valores para hallar los
valores correspondientes de y.
Cuando x = 3, y = (3) + 1 = 4.
x 3 1 0 1 3
y 4 2 1 0 2
Usar papel milimetrado
Considerar 1 cm = 1 unidad
Rotular los ejes x e y
Situar los puntos
(3, 4), (1, 2), (0, 1), (1, 0)
y (3, 2)
Unir los puntos con una lnea recta
i Para hallar la interseccin con
el eje x, leer en el grfco de el
punto dondecorta al eje x
ii Para hallar la interseccin con
el eje y, leer en el grfco de el
punto donde corta al eje y
A(200, 199)
Sustituir los valores de x y de y en
la ecuacin de la recta para ver si la
verifcan
B(6, y)
Sustituir x = 6 en la ecuacin de la
recta para hallar el valor de y en ese
punto
Dibujar con
precisin signifca
representar un grfco
preciso y en papel
mi l imetrado.
Un punto P pertenece
al grfco de una
uncin si y solo si
las coordenadas del
punto satisacen
la ecuacin de la
uncin.
Modelos matemticos140
En la solucin del prximo ejemplo, se utiliza la notacin
{x | x 3} . Esto se lee: el conjunto de todos los x tales
que x es un nmero real menor o igual que 3.
Ejemplo 6
Aqu se muestra el grfco de una uncin .
Utilice el grfco para hallar:
a El dominio de
b El recorrido de
c Los puntos donde el grfco de corta al:
i Eje x ii Eje y
Respuestas
a Dominio de = { x | x 3}
b Recorrido de = { y | y 4}
c i Intersecciones con el eje x :
(2, 0) y (2, 0)
ii Interseccin con el eje y:
(0, 4)
Para hallar el dominio a partir del
grfco de una uncin, aplastar o
proyectar el grfco sobre el eje x.
0
2
y
x
2
10
8
6
4
2
4
46 4 2
En el grfco de arriba, el dominio se
muestra con la echa que comienza en
(3, 0) y va hacia la izquierda.
Para hallar el recorrido a partir del
grfco de la uncin, aplastar el
grfco sobre el eje y.
En el grfco del apartado a, el
recorrido se muestra con la echa que
comienza en (0, 4) y va hacia arriba.
i En el eje x la coordenada y es cero.
ii En el eje y la coordenada x es cero.
Para indicar que el
extremo pertenece al
grfco de la uncin,
usamos . En el
ejemplo 6, el punto
(3, 5) es un punto del
grfco. Para indicar
que un punto no
pertenece al grfco,
usamos .
0
2
y
x
2
10
8
6
4
2
4
44 2
Es posible que el
grfco de una uncin
corte a l eje y ms de
una vez?
Captulo 4 141
Dibujo aproximado de una funcin lineal
Dibu jar y rotular los ejes
Si tuar los puntos en los que el grfco cruza al eje x y a l eje y
Ejemplo 7
Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin y = 3x 1.
Respuesta
La interseccin con el eje x es:
1
3
0,
La interseccin con el eje y es:
(0, 1)
0
(0, 1 )
y
x
( , 0)
1
3
Cuando y = 0, x =
1
3
Cuando x = 0, y = 1
Dibujar el grfco en la CPG
Ahora dibujar aproximadamente el
grfco:
1 Dibujar y rotular los ejes
2 Copiar el grfco de la CPG
3 Rotular los puntos donde el
grfco corta los ejes
Ejercitacin 4C
PREGUNTA TIPO EXAMEN
1 a Dibuje con precisin el grfco de la uncin y = 2x 4.
b Escriba las coordenadas del punto donde el grfco de esta
uncin corta al:
i Eje x ii Eje y
c Decida si el punto A(250, 490) pertenece al grfco de la
uncin. Justifque su decisin.
d El punto B(3, y) pertenece al grfco de la uncin. Halle el
valor de y.
Dibujar
aproximadamente
signifca dar una idea
general del grfco.
Modelos matemticos142
2 Para cada uno de los grfcos de unciones dados desde
a hasta d, escriba:
i El dominio ii El recorrido
iii Los puntos en los que el grfco corta al eje x (si es posible)
iv El punto en el que el grfco corta al eje y (si es posible)
a
0
2
y
x
2
2
4
644 2
b
0
2
y
x
4
8
4
8
6 4 2
c
0
y
x
1
11
d y
x
8
16
24
32
2101
3 Decida si las afrmaciones sobre las unciones dadas en la
pregunta 2 son verdaderas o alsas.
Funcin a
i El punto (1, 1) pertenece al grfco.
ii La imagen de x = 2 es 0.
iii Cuando x = 6, y = 1.
Funcin b
i Hay 2 valores de x para los cuales y = 8.
ii Hay 2 valores de x para los cuales y = 4.
iii Hay 1 valor de x para el cual y = 9.
Funcin c
i La recta x = 0,5 corta al grfco de esta uncin 2 veces.
ii La recta y = 0,5 corta al grfco de esta uncin 2 veces.
iii La imagen de x = 0,2 es igual a la imagen de x = 0,8.
Funcin d
i La recta y = 1 corta al grfco de esta uncin 1 vez.
ii Cuando x = 16, y =1.
iii A medida que los valores de x aumentan, sus valores
correspondientes de y tambin aumentan.
4 Dibuje aproximadamente cada una de estas unciones:
a y = 2x + 3 b y = x + 2 c y = 3x 4
Captulo 4 143
Notacin de funciones
y = (x) signifca que la imagen de x a travs de la uncin es y.
La variable independiente es x y la variable dependiente es y.
Por ejemplo, si (x) = 2x 5:
(3) representa la imagen de x = 3. Para hallar el valor de
(3) hay que sustituir x = 3: (3) = 2 3 5 = .
( ) representa la imagen de x = . Para hallar el valor de ( )
hay que sustituir x = : () = 2 5 = 7.
Ejemplo 8
Considere la uncin (x) = x 2 + 3x.
a Halle la imagen de x = 2. b Halle (1).
c Muestre que el punto (4, 4) pertenece al grfco de .
Respuestas
a (2) = (2)2 + 3 2 = 10
b (1) = 12 + 3 1 = 2
c (4) = 42 + 3 4 = 4
Por lo tanto, (4, 4) pertenece
al grfco de .
Sustituir x = 2 en
(x) = x 2 + 3x
Sustituir x = 1 en (x)
Si (4, 4) pertenece al grfco de ,
entonces (4) = 4. Sustituir x = 4.
Ejercitacin 4D
1 Considere la uncin (x) = x (x 1)(x + 3).
a Calcule (2). b Halle la imagen de x =
1
2
.
c Muestre que (3) = 0.
d Decida si el punto (1, 4) pertenece al grfco de . Justifque su decisin.
2 Considere la uncin d (t) = 5t t 2.
a Escriba la variable independiente de esta uncin.
b Calcule d (2,5).
c Calcule la imagen de t = 1.
d Muestre que d (1) y d (4) toman el mismo valor.
3 Considere la uncin C (n) = 100 10n.
a Calcule C(2).
b El punto (3, b) pertenece al grfco de la uncin C.
Halle el valor de b.
c El punto (a, 0) pertenece al grfco de la uncin C.
Halle el valor de a.
PREGUNTA TIPO EXAMEN
4 Este es el grfco de la uncin v (t) = 3t + 6.
a Escriba el valor de: i v (1) ii v (3).
b El punto (m, 9) pertenece al grfco. Halle el valor de m.
c Halle el valor de t para el cual v (t) = 0.
d Halle el conjunto de valores de t para los que v (t) < 0.
Usamos dierentes
variables y d ierentes
letras para las
unciones. Por
ejemplo: d = v(t),
m = C(n), etc.
f(3)=1 se lee f en 3
es 1 o f de 3 es 1 .
Uno de los primeros
matemticos en
estudiar el concepto
de uncin ue el
rancs y f lsoo
N icols de Oresme
(13231382), quien
trabaj con cantidades
representadas por
variables dependientes
e independientes.
0
v (t)
t
3
9
6
3
6
9
21 32 41
Modelos matemticos144
PREGUNTA TIPO EXAMEN
5 Considere la uncin f (x) = 0,5(3 x).
a Dibuje con precisin el grfco de f.
b Halle el punto A, donde el grfco de f corta al eje x.
c Halle el punto B, donde el grfco de f corta al eje y.
d Resuelva la ecuacin f (x) = 2.
6 Considere la uncin h (x) = 3 2x.
a Calcule: i h (0) ii h (1). b Halle x si h (x) = 24.
Las funciones como modelos matemticos
Podemos usar las unciones para describir situaciones de la vida real.
Traducir la situacin al
lenguaje matemtico y
smbolos
Hal lar la solucin usando
matemtica
Interpretar la solucin
en el contexto del
problema
Ejemplo 9
Una plancha de cartn rectangular mide 20 cm por 10 cm. En cada
una de las esquinas se cortan cuadrados de x cm de lado. El cartn que
queda se dobla para ormar una caja abierta. Escriba una uncin que
modelice el volumen de la caja.
Respuesta
10 cm
20 cm
x cm
x cm
x cm
x cm
V(x) = (20 2x)(10 2x)x
Primero hay que dibujar un
diagrama para representar la
informacin dada en la pregunta.
Rotular cuidadosamente lasdimensiones de la caja abierta:
Largo (20 2x) cm
Ancho (10 2x) cm
Altura x cm
El volumen de la caja, V,
depender del valor de x.
Volumen del ortoedro =
largo ancho altura.
Ejercitacin 4E
PREGUNTA TIPO EXAMEN
1 Una plancha rectangular de cartn mide 30 cm por 15 cm. En cada
una de las esquinas se cortan cuadrados de x cm de lado. El cartn
que queda se dobla para ormar una caja abierta de l cm de largo y a cm de ancho.
a Escriba expresiones, en uncin de x, para:
i La longitud, l ii El ancho, a
b Halle una expresin para el volumen de la caja, V, en uncin de x.
i Explique con palabras el signifcado de V(3).
ii Halle el valor de V(3). iii Halle el valor de V(3,4).
iv Pertenece x = 8 al dominio de la uncin V(x)? Justifque su decisin.
h(x) = 3 2x es una
funcin exponencial .
Estudiaremos ms
sobre el las en la
seccin 4.4.
Observe el ejemplo 9.
1 Cul es el
dominio de la
funcin V(x)?
Puede la variable
x tomar cualquier
valor? Por qu?
Pruebe con
d iferentes valores
y saque una
conclusin.
2 Cmo puede la
funcin ayudarnos
a hal lar el
volumen mximo
posible?
Captulo 4 145
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
2 El permetro de un rectngulo es 24 cm y su
longitud es x cm.
a Halle el ancho del rectngulo en uncin
de la longitud, x.
Podemos usar funciones matemticas para
representar situaciones de nuestra propia
vida. Por ejemplo, suponga que la cantidad
de pizzas que come su famil ia depende del
nmero de partidos de ftbol que miran. Si
f es la cantidad de partidos de ftbol, p
es la cantidad de pizzas y comen 3 pizzas
durante cada partido de ftbol, entonces la
funcin sera p = 3f. Puede pensar en otra
funcin de la vida real? Quizs podra ser
sobre la cantidad de dinero que gasta o la
cantidad de minutos que habla por
telfono.
b Halle una expresin para el rea del
rectngulo, A, en uncin de x.
c i Explique el signifcado de A(2).
ii Calcule A(2).
d Pertenece x = 12 al dominio de la uncin
A(x)? Justifque su decisin.
3 Los Simpson alquilan una casa para sus
vacaciones y les cuesta USD150 por da
ms USD300 en concepto del depsito de
garanta.
Sea n el nmero de das que se quedan en la casa
y C el costo de alquilar la casa:
a Escriba una rmula para C en uncin de n.
b Cunto cuesta alquilar la casa por 30 das?
Los Simpson tienen USD2300 para gastar en el alquiler
de la casa.
i Usando su respuesta al apartado a, escriba una inecuacin
que represente esta condicin.
ii A partir de lo anterior, decida si tienen dinero sufciente
para alquilar la casa por 2 semanas.
iii Escriba el nmero mximo de das que pueden
alquilar la casa.
4 Una compaa australiana produce y vende libros.
El costo mensual, en dlares australianos, de producir x libros
se puede modelizar con C (x) = 0,4x 2 + 1500.
El ingreso mensual, en dlares australianos, por vender x libros
se puede modelizar con I (x) = 0,6x 2 + 160x.
a Muestre que la ganancia mensual de la compaa se puede
calcular usando la uncin:
G (x) = x 2 + 60x 500
b Cul es la ganancia de la compaa si produce y vende
6 libros? Comente acerca de respuesta.
c i Cul es la ganancia de la compaa si produce y vende
40 libros?
ii Halle el precio de venta de 1 libro cuando se producen y
venden 40 libros. (Suponga que todos los libros tienen el
mismo precio.)
d Usando su CPG, halle el nmero de libros para los que G (x) =0.
Ganancia = ingreso costo
Modelos matemticos146
4.2 Modelos lineales
Modelos lineales de la forma f (x) = mx
La recta que se muestra tiene una pendiente positiva
y la uncin y = f (x) es creciente.
f (0) = 0 y la recta pasa por el origen (0, 0).
La pendiente de la recta est dada por m =
y y
x x
2 1
2 1
.
Usando dos puntos de la recta, (4, 6) y (0, 0), la pendiente es
m =
6 0
4 0
=
3
2
= ,5.
Por lo tanto, f (x) = ,5x.
Este tipo de modelo lineal se utiliza en grfcos de conversin.
Hay una relacin fja entre las dos variables, que son directamente
proporcionales. Sus grfcos son lneas rectas que tienen una
pendiente positiva y que pasan por el origen.
Ejemplo 10
Una milla es equivalente a 1,6 km.
a Dibuje con precisin un grfco de conversin de millas
a kilmetros.
b Halle la pendiente de la recta.
c A partir de lo anterior, escriba el modelo para k(x), donde k(x) es la
distancia en km y x es la distancia en millas.
Respuestas
a
0 10
20
40
60
100
120
80
20 30 605040
y = k (x)
x (mil las)
(50, 80)
y
(
ki
l
m
e
tr
o
s)
b Pendiente, m = 80 0
50 0
= 1,6.
c La ecuacin de la recta es
y = 1,6x.
Por lo tanto, k(x) = 1,6x,
donde k(x) es la distancia
en km y x es la distancia en
millas.
Usar papel milimetrado. Ubicar las
millas en el eje x.
Ubicar los kilmetros en el eje y
Hallar dos puntos para dibujar la
recta:
0 millas = 0 km; por lo tanto, el
punto (0, 0) pertenece a la recta.
50 millas son equivalentes a
1, 6 50 = 80 km; por lo tanto,
(50, 80) pertenece a la recta.
Situar los dos puntos y unirlos con
una lnea recta
Usar los puntos del apartado a para
hallar la pendiente, m = 2 1
2 1
y y
x x
Una funcin lineal que pasa por el
origen tiene la frmula f (x) = mx.
Aqu la funcin es k(x) = mx.
0
1
x
2
4
6
10
8
2 3 654
y = f (x)
y
Los grfcos de
conversin se pueden
usar para convertir
de una d ivisa a otra o
de una unidad a otra,
como por ejemplo, de
ki lmetros a mi l las o
de ki logramos a l ibras.
De la ecuacin
y = 1,6x podemos
despejar x: x =
1, 6
y
o x =
1
1, 6
y = 0,625y.
Luego, podemos usar
estas rmulas para
convertir de km a
mi l las.
Captulo 4 147
Ejercitacin 4F
1 1 kg es equivalente a 2,2 libras.
a Convierta 50 kg a libras.
b Dibuje con precisin un grfco de conversin de libras a
kilogramos. Utilice valores de x desde 0 kg a 100 kg, y valores
de y desde 0 libras a 250 libras.
c Halle la pendiente de la recta. A partir de lo anterior, escriba el
modelo para l (x), donde l (x) es el peso en libras y x es el peso en kg.
d Halle l (75) y l (125).
e Halle el modelo para k (x), donde k (x) es el peso en kg y
x es el peso en libras.
f Calcule k (75) y k (100).
2 El tipo de cambio de libras esterlinas (GBP) al dlar de Singapur
(SGD) es GBP1 = SGD2,05.
a Halle la cantidad de dlares de Singapur equivalente a GBP50.
b Dibuje con precisin un grfco de conversin de GBP a SGD. Utilice valores
de x desde GBP0 hasta GBP100, y valores de y desde SGD0 a SGD250.
c Halle la pendiente de la recta. A partir de lo anterior, escriba el modelo
para s (x), donde s (x) es la cantidad de dinero en dlares de Singapur y
x es la cantidad de dinero en libras esterlinas.
d Halle s (80) y s (140).
e Halle el modelo para l (x), donde l (x) es la cantidad de dinero en libras
esterlinas y x es la cantidad de dinero en dlares de Singapur.
f Calcule l (180).
3 El tipo de cambio de libras esterlinas (GBP) a dlares estadounidenses
(USD) es GBP1 = USD1,55.
a Halle la cantidad de dlares estadounidenses equivalente a GBP60.
b Dibuje con precisin un grfco de conversin de libras esterlinas a dlares estadounidenses.
Utilice el eje x para GBP con 0 x 80, y el eje y para USD con 0 y 140.
c Halle la pendiente de la recta. A partir de lo anterior, escriba el modelo
para d (x), donde d (x) es la cantidad de dinero en dlares estadounidenses
y x es la cantidad de dinero en libras esterlinas.
d Halle d (300) y d (184).
e Halle el modelo para l (x), donde l (x) es la cantidad de dinero en libras
esterlinas y x es la cantidad de dinero en dlares estadounidenses.f Calcule l (250) y l (7750).
Modelos lineales de la forma f (x) = mx + c
Cuando dos variables que describen un modelo lineal no son
directamente proporcionales, el grfco que representa la relacin es
una recta que no pasa por el origen. Se trata de una funcin lineal.
Una funcin lineal tiene la orma general:
f (x) = mx + c
Donde m (la pendiente) y c son constantes
Hemos visto la
ecuacin de la recta
en el captulo 3,
seccin 3.2.
Site el punto hal lado
en el apartado a.
Escriba la frmula
en la forma y = . . . , y
despeje x.
Modelos matemticos148
Ejemplo 11
En un experimento de qumica, se calienta un lquido y se registran las
temperaturas en dierentes momentos.
A continuacin se muestra la tabla de resultados de un alumno.
Tiempo (x minutos) 2 4 6 9
Temperatura (y C) 30 40 50 65
a Dibuje con precisin un grfco para estos datos.
b Halle un modelo para T(x), la temperatura del lquido en uncin
del tiempo, para estos datos.
c Utilice el modelo para predecir:
i La temperatura del lquido despus de 8 minutos
ii El tiempo que tarda el lquido en alcanzar 57 C
Respuestas
a
0 2 x
20
40
60
80
100
4 6 10 128
y = T (x)
y
Te
m
p
e
ra
tu
ra
(
y
C
)
Tiempo (x minutos)
b Pendiente, m =
65 40
9 4
=
25
5
= 5
T x mx c
T x x c
T c
c
( ) = +
( ) = 5 +
(2) = 5 2 + = 30
1 0 + = 30
= 20c
Por lo tanto, el modelo para la
temperatura es T (x) = 5x + 20.
c i A los 8 minutos:
T (8) = 5 8 + 20 = 60
Por lo tanto, la temperatura
del lquido despus de 8
minutos es 60 C.
ii Cuando T (x) = 57 C:
57 = 5x + 20
5x = 37
37
5
= =x 7 ,4
Por lo tanto, el lquido
tarda 7,4 minutos en
alcanzar 57 C.
Usar papel milimetrado
Ubicar el tiempo en el eje x
Ubicar la temperatura en el eje y
Situar los puntos de la tabla, como
por ejemplo (2, 30), y unirlos con
una lnea recta
El modelo tendr la orma
T(x) = mx + c. Debemos hallar las
constantes m y c.
Usar cualquier par de puntos,
por ejemplo (4, 40) y (9, 65), para
hallar la pendiente con la rmula
m =
y y
x
2 1
2 1
x
Para hallar el valor de c, usar
cualquier punto de la tabla, por
ejemplo, (2, 30), que signifca que
T(2) = 30.
i Si el tiempo es 8 minutos
signifca que x = 8. Sustituir
x = 8 en la uncin hallada
en el apartado b.
ii Una temperatura de 57 C
signifca que T(x) = 57. Sustituir
T(x) = 57 y hallar el valor de x.
En el captu lo 12,
seccin 5.4, se
muestra cmo hacer
un grfco en la CPG
y hal lar el modelo
para T(x).
En el ejemplo 11, la
ecuacin del modelo
ue T(x) = 5x + 20.
Comparemos la
ecuacin del modelo
con:
a La temperatura
in icial
b El valor promedio
del aumento de la
temperatura por
minuto
Qu conclusiones
podemos sacar?
Captulo 4 149
Ejercitacin 4G
1 En un experimento de qumica, se calienta un lquido y se registran
las temperaturas en dierentes momentos. A continuacin se muestra
la tabla de resultados.
Tiempo (x minutos) 3 5 7 9
Temperatura (y C) 130 210 290 410
a Dibuje con precisin un grfco para estos datos.
b Cul ue la temperatura inicial del lquido?
c Halle el modelo lineal, T (x), para la temperatura
del lquido en uncin del tiempo.
2 En un experimento de sica, se estira un resorte colocndole cargas
de dierentes pesos, en gramos. Los resultados se muestran en esta tabla.
Peso (x g) 40 50 75 90
Longitud del resorte (y mm) 38 43 55,5 63
a Dibuje con precisin un grfco para estos datos.
b Halle la longitud natural del resorte.
c Cuntos mm se estira el resorte cuando el peso aumenta
de 50 g a 90 g?
d Utilice su respuesta al apartado c para hallar el promedio de
extensin del resorte en mm por cada gramo extra que se carga.
e Halle la ecuacin del modelo lineal, L(x), para la longitud del
resorte en uncin de la carga.
3 Se registra la temperatura del agua en un tanque de agua caliente
durante intervalos de 15 minutos, despus de que se conecta el calentador.
Tiempo (x minutos) 15 30 45 60 75 90
Temperatura (y C) 20 30 40 50 60 70
a Represente el grfco para estos datos en su CPG.
b Halle el modelo lineal, T(x), para la temperatura del agua en
uncin del tiempo.
c Halle la temperatura del agua despus de 85 minutos.
4 Se cuelgan dierentes pesos de un resorte. La longitud del resorte
con cada una de las cargas se registra en la tabla.
Peso (x g) 125 250 375 500
Longitud del resorte (y cm) 30 40 50 60
a Represente el grfco para estos datos en su CPG.
b Halle la longitud natural del resorte.
c Cuntos cm se estira el resorte cuando el peso aumenta
de 125 g a 375 g?
d Halle el peso que estirar el resorte hasta una longitud de 48 cm.
e Halle la ecuacin del modelo lineal, L(x), para la longitud del
resorte en uncin de la carga.
Use una escala que
l legue hasta 420
sobre el eje y.
La longitud natural es
la longitud del resorte
sin colocarle carga.
Obtenga el valor
leyendo el grfco.
Modelos matemticos150
Modelos lineales defnidos por sistemas de ecuaciones
Algunas veces no podemos hallar el modelo a partir de los datos
que nos dan. Podramos necesitar escribir ecuaciones para representar
la situacin y resolver un sistema de ecuaciones.
Ejemplo 12
Un carpintero hace mesas y sillas de madera.
Tarda 10 horas en hacer una mesa y 4 horas en hacer una silla.
La madera cuesta $120 para una mesa y $40 para una silla.
Halle un modelo para:
a El tiempo necesario para hacer las mesas y las sillas
b El costo de producir las mesas y las sillas
Respuestas
a Sea t el tiempo que se
necesita para hacer las
mesas y las sillas.
El modelo para el tiempo
necesario es t = 10x + 4y.
b Sea c el costo de hacer las
mesas y las sillas.
El modelo para el costo es
c = 120x + 40y.
Sea x la cantidad de mesas e y la
cantidad de sillas.
Cantidad total de horas para las mesas:
10 horas por mesa, x mesas 10 x
Cantidad total de horas para las sillas:
4 horas por silla, y sillas 4 y
Costo total ($) para las mesas:
$120 por mesa, x mesas 120 x
Costo total ($) para las sillas:
$40 por silla, y sillas 40 y
El sistema de ecuaciones surge cuando nos dan valores que el modelo debe satisfacer.
Ejemplo 13
El carpintero del ejemplo 12 trabaja 70 horas en una semana y gasta
$760 en madera.
Cuntas mesas y cuntas sillas puede hacer?
Respuesta
Del ejemplo 12:
t = 10x + 4y
c = 120x + 40y
10x + 4y = 70
120x + 40y = 760
Usando la CPG: x = 3 e y = 10.
El carpintero puede hacer 3
mesas y 7 sillas.
El modelo debe funcionar para los valores:
(tiempo) t = 70 y (costo) c = 760.
Escribir un par de ecuaciones
Resolverlas o bien analticamente o bien
usando la CPG
Los valores que se
dan para un modelo
se denominan
restricciones.
En el captu lo 12,
secciones 1.1 y 3.4,
se muestra cmo
usar la CPG para
resolver sistemas de
ecuaciones.
Para recordar cmo
resolver sistemas de
ecuaciones, referirse
al captu lo 13,
seccin 2.4.
Captulo 4 151
Ejercitacin 4H
1 Para hacer un bizcocho de vainilla se necesitan 80 g de harina
y 50 g de manteca. Para hacer un bizcocho de fruta se necesitan
60 g de harina y 90 g de manteca. Halle un modelo para:
a La cantidad de harina que se necesita para hacer ambos bizcochos
b La cantidad de manteca que se necesita para hacer ambos bizcochos
Pedro tiene 820 g de harina y 880 g de manteca.
c Cuntos bizcochos de cada tipo puede hacer?
2 Hacer una mesa demora 8 horas y hacer una silla demora 3 horas.
La madera para una mesa cuesta $100. La madera para una silla
cuesta $30. Una carpintera trabaja 51 horas y gasta $570 en madera.
Cuntasmesas y cuntas sillas puede hacer?
3 Una camioneta lleva hasta 3 personas y 7 valijas.
Un automvil lleva hasta 5 personas y 3 valijas.
Cuntas camionetas y cuntos automviles se necesitan para
llevar 59 personas y 70 valijas?
4 Un avin de pasajeros lleva 80 personas y 10 toneladas de provisiones.
Un avin de transporte lleva 50 personas y 25 toneladas de provisiones.
Cuntos aviones de cada tipo se necesitan para llevar 620 personas y
190 toneladas de provisiones?
5 El departamento de Matemticas de un colegio tiene EUR1440
para comprar libros de texto.
El volumen 1 del libro Matemticas para todos cuesta EUR70.
El volumen 2 del libro Matemticas para todos cuesta EUR40.
El departamento quiere el doble de copias del volumen 1 que
del volumen 2.
Cuntas copias de cada volumen puede comprar?
. Modelos cuadrticos
Las unciones cuadrticas y sus grfcos
Una funcin cuadrtica tiene la forma:
f (x) = ax 2 + bx + c, donde a, b, c R y a 0
El dominio de una funcin cuadrtica puede ser el conjunto completo
de nmeros reales (R) o cualquier subconjunto de este.
Aqu se muestran ejemplos de algunas funciones cuadrticas:
f (x) = x 2 + 3x + 2 f (x) = x 3x 2 f (x) = 3x 2 + 2
(a = , b = 3, c = 2) (a = 3, b = , c = 0) (a = 3, b = 0, c = 2)
Por qu a 0 ?
Qu tipo de funcin
obtendramos si a = 0?
Material de ampliacin
disponible en lnea: Hoja
de ejercicios 4: ecuaciones
Modelos matemticos152
La uncin cuadrtica ms simple es f (x) = x 2.
Aqu hay una tabla de valores para f (x) = x 2.
x 3 2 1 0 1 2 3
f (x) 9 4 1 0 1 4 9
Si situamos estos valores en un sistema de ejes obtenemos este grfco.
1 El grfco se llama parbola.
2 La parbola tiene un eje de simetra (el eje y).
3 La parbola tiene un punto mnimo en (0, 0). El punto mnimo se
denomina vrtice (o extremo) de la parbola.
4 El recorrido de f (x) = x 2 es y 0.
El grfco de una uncin cuadrtica se denomina parbola.
Es una curva con la orma (o con la orma ). Tiene un eje
de simetra y un punto mnimo o un punto mximo, llamado
vrtice de la parbola.
Investigacin: la curva y = ax2
Dibuje estas curvas en su CPG: y = x 2 e y = x2.
Cmo se relacionan estas dos curvas?
Ahora d ibuje: y = 2x 2 y = 3x 2 y = 0,5x 2
y = 2x 2 y = 3x2 y = 0,5x 2
Compare cada uno de estos seis grfcos con y = x 2.
Considere:
a La curva sigue siendo una parbola? La curva tiene la
orma o la orma ?
b Tiene un eje de simetra vertical?
c Cul es su vrtice? El vrtice es un mnimo o un mximo?
Qu eecto produce cambiar el valor de a?
Dibuje algunos grfcos ms y compruebe su conjetura.
(Recuerde uti l izar valores positivos y negativos para a,
y tambin racciones. )
En el captulo 12,
seccin 4.1, se
muestra cmo dibujar
un grfco con la CPG.
Sin d ibujar el grfco,
cmo sabemos que
este va a tener la
orma ?
Investigacin: la curva y = x2 + c
Dibuje estas curvas en su CPG: y = x 2 y = x 2 + 2 y = x 2 4
y = x 2 + 3 y = x 2 2
Compare cada grfco con la parbola y = x 2. (Uti l ice la l ista de consideraciones
dada en la investigacin anterior como gua. )
Qu eecto produce cambiar el valor de c?
2
y
f (x)= x
2
x
2
10
8
6
4
0 44 2
El griego Apolonio de
Perge (c. 262 - c. 190
a . C. ), en su trabajo
sobre secciones
cnicas, ue quien
introdujo el nombre
parbola .
Aplaste el grfco de
f (x) = x 2 sobre el eje y
para confrmar que el
recorrido es y 0.
Captulo 4 153
Dibujo aproximado del grfco de una uncin cuadrtica (1)
Dibujar y rotular los ejes.
Si tuar las intersecciones del grfco con los
ejes (la interseccin con el eje x y l a
interseccin con el eje y). Rotular estos
puntos con sus coordenadas.
Si tuar y rotu lar las coordenadas del punto
mximo o del punto mnimo.
Mostrar uno o dos valores en cada eje para
dar una idea de la escala.
0
y
y = x
2
+ 3
x
3
(0, 3)
3
7
Ejercitacin 4I
Utilice los resultados de las investigaciones anteriores
como ayuda para dibujar aproximadamente estos
grfcos:
1 y = 2x2 + 1
2 y = x2 + 3
3 y = 3x2 2
4 y = 2x2 + 7
Investigacin: las curvas y = (x + p)2
e y = (x + p)2 + q
U ti l ice su CPG para d ibujar estos grfcos:
y = x 2, y = (x + 2) 2, y = (x + 3)2, y = (x 1)2, y = (x 0,5)2
Compare cada grfco con el grfco de y = x2.
Qu eecto produce cambiar el valor de p?
Uti l ice su CPG para d ibujar estos grfcos:
y = (x + 2) 2 3, y = (x 4) 2 + 2, y = (x 1)2 5
Cul es el eje de simetra de y = (x + p)2 + q?
Cules son las coordenadas del vrtice de y = (x + p)2 + q?
Ejercitacin 4J
Para cada grfco, escriba las coordenadas del vrtice y la ecuacin
del eje de simetra.
1 y = (x + 3)2 2
2 y = (x + 5)2 + 4
3 y = (x 4)2 1
4 y = (x 5)2 + 7
5 y = (x + 3)2 + 4
Uti l ice este d ibujo
aproximado de f (x) = x 2
como ayuda.
(2, 4) (2, 4)
0
y
f (x)= x
2
x
12
44
La ecuacin del eje de
simetra debe darse
como x = . . . .
Modelos matemticos154
Investigacin: las curvas y = kx x2
e y = x2 kx
Parte A
U ti l ice su CPG para d ibujar el grfco de y = 4x x2.
Cul es la ecuacin del eje de simetra?
Cules son las coordenadas del vrtice?
Cules son las coordenadas de los puntos en los que la curva
corta al eje x?
Dibuje estas curvas: y = 2x x2, y = 6x x2, y = x x2, y = 5x x2.
Qu eecto produce cambiar el valor de k?
Cul es la ecuacin del eje de simetra de la curva y = kx x 2?
Cules son las coordenadas de los puntos en los que la curva y = kx x2
corta al eje x?
Parte B
Dibuje estas curvas: y = x2 2x, y = x2 4x, y = x2 6x.
Responda las mismas preguntas para estas curvas que las que contest
para las curvas de la parte A.
Investigacin: curvas de la forma
y = (x p )(x q )
U ti l ice su CPG para d ibujar el grfco de y = (x 1)(x 3).
Dnde corta el eje x?
Cul es la ecuacin del eje de simetra?
Cules son las coordenadas del vrtice?
Responda las preguntas anteriores para la curva general y = (x p)(x q).
(Podra necesitar d ibujar ms grfcos de unciones de esta orma. )
Ejercitacin 4K
Para cada funcin, escriba:
a La ecuacin del eje de simetra
b Las coordenadas de los puntos donde la curva corta al eje x
c Las coordenadas del vrtice
1 y = x (x 4) 2 y = x (x + 6)
3 y = 8x x 2 4 y = 3x x 2
5 y = x 2 2x 6 y = x 2 x
7 y = x 2 + 4x 8 y = x 2 + x
9 y = (x + 1) (x 3) 10 y = (x 5) (x + 3)
11 y = (x 2) (x 6) 12 y = (x + 2) (x 4)
No d ibuje los grfcos.
Factorice y luego use
el mismo mtodo
que el usado en las
preguntas 1 y 2.
Captulo 4 155
Investigacin: la forma general de la cuadrtica
y = ax2 + bx + c
Parte A: a =
U ti l ice su CPG para d ibujar el grfco de y = x2 4x + 3.
Dnde corta al eje x?
Cul es la ecuacin del eje de simetra?
Cules son las coordenadas del vrtice?
Responda las preguntas anteriores para la orma general y = ax2 + bx + c.
(Podra necesitar d ibujar ms grfcos de unciones de esta orma. )
Parte B: variando a
Uti l ice su CPG para d ibujar el grfco de y = 2x 2 4x + 3 como un punto de partida.
Considere grfcos de esta orma y responda las preguntas de la parte A.
Ejercitacin 4L
Para cada uncin, escriba:
a La ecuacin del eje de simetra
b Las coordenadas de los puntosdonde la curva corta al eje x
c Las coordenadas del vrtice
1 y = x 2 2x + 3 2 y = x 2 + 4x 5
3 y = x 2 + 6x + 4 4 y = 3x 2 6x + 2
5 y = 2x 2 8x 1 6 y = 2x 2 + 6x 7
7 y = 0,5x 2 x + 2 8 y = 0,5x 2 + 3x 4
La orma general de una uncin cuadrtica es
f (x) = ax 2 + bx + c.
Si a > 0, entonces el grfco tiene la orma ; si a < 0,
entonces la orma del grfco es .
La curva corta al eje y en (0, c).
La ecuacin del eje de simetra es x =
b
a2
, a 0.
La coordenada x del vrtice es x =
b
a2
.
La orma actorizada de una uncin cuadrtica es:
f (x) = a(x k)(x l )
Si a > 0, entonces la orma del grfco es ; si a < 0,
entonces la orma del grfco es .
La curva corta al eje x en (k, 0) y en (l, 0).
La ecuacin del eje de simetra es x =
k l+
2
.
La coordenada x del vrtice es tambin x =
k l+
2
.
Un grfco con la
orma de es
convexo.
Un grfco con la
orma de es
cncavo.
La rmula del eje
de simetra est en
el cuaderni l lo de
rmulas. Debera
haberla hal lado en la
investigacin anterior.
En una parbola, el
eje de simetra pasa
por el vrtice.
Modelos matemticos156
Clculo de las intersecciones con el eje x
La uncin f (x)= ax 2 + bx + c corta al eje x donde
f (x) = 0. Los valores de x de los puntos de interseccin son las
dos soluciones (o races) de la ecuacin ax 2 + bx + c = 0.
(El valor de y en estos puntos de interseccin es cero.)
Ejemplo 14
Considere la uncin f (x) = x 2 + 6x + 8.
a Halle:
i El punto en el que el grfco de f corta al eje y
ii La ecuacin del eje de simetra del grfco de f
iii Las coordenadas del vrtice del grfco de f
iv Las coordenadas del punto (o los puntos) de interseccin del
grfco de f con el eje x
b Utilice la inormacin del apartado a para dibujar
aproximadamente esta parbola.
Respuestas
a i El grfco corta al eje y en
el punto (0, 8).
ii La ecuacin del eje de
simetra es x =
( )
6
2 1
= 3.
iii La coordenada x del
vrtice es x = 3.
La coordenada y del
vrtice es:
f (3) = (3)2 + 6(3) + 8
= 1
Por lo tanto, las
coordenadas del vrtice
son (3, 1).
iv x 2 + 6x + 8 = 0
f (x) = 0 cuando
x = 2 o x = 4
El grfco de f corta
al eje x en (2, 0)
y en (4, 0).
Forma general: f (x) = ax 2 + bx + c
En este caso: f (x) = x 2 + 6x + 8
Por lo tanto: a = 1, b = 6, c = 8
La curva corta al eje y en (0, c).
Usar x =
b
2a
, con a = 1 y b = 6
La primera coordenada del vrtice es
x =
b
2a
, que hallamos en el
apartado ii; por lo tanto, x = 3.
Sustituir x = 3 en la ecuacin de
la funcin para hallar la segunda
coordenada
La curva corta al eje x donde
f (x) = 0, entonces escribir
x2 + 6x + 8 = 0 y
resolver usando la CPG.
Se cree que el
matemtico indio
Sridhara vivi en los
siglos IX y X. Fue uno
de los primeros
matemticos en
proponer una regla
para resolver una
ecuacin cuadrtica.
Investigue por qu hay
controversia sobre la
poca en la que vivi.
{ Contina en l a pg ina sigu iente.
Captulo 4 157
{ Contina en l a pg ina sigu iente.
b
0 x
(3, 1 )
(4, 0) (2 , 0)
f (x) = x
2
+ 6x
+ 8
y
8
a > 0 (a = 1); por lo tanto, la curva
tiene la forma .
El vrtice es (3, 1) (apartado a iii).
La curva corta al eje y en
(0, 8) (apartado a i).
x = 3 es el eje de simetra
(apartado a ii).
Ejercitacin 4M
Para cada uncin f (x) desde hasta 8:
a Halle:
i Las coordenadas del punto de interseccin del grfco
de f con el eje y
ii La ecuacin del eje de simetra del grfco de f
iii Las coordenadas del vrtice del grfco de f
iv Las coordenadas del punto (o los puntos) de interseccin del
grfco de f con el eje x
v El recorrido de f
b Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin.
c Utilice su CPG para dibujar el grfco y comprobar sus resultados.
1 f (x) = x 2 + 2x 3 2 f (x) = x 2 + 8x + 7
3 f (x) = x 2 6x 7 4 f (x) = x 2 3x 4
5 f (x) = x 2 3x 10 6 f (x) = 2x 2 + x 3
7 f (x) = 2x 2 + 5x 3 8 f (x) = 3x 2 x 4
Dibujo aproximado de grfcos de unciones cuadrticas
Ejemplo
a Dibuje aproximadamente una parbola con vrtice en (1, 2) y
recorrido y 2.
b Dibuje aproximadamente una parbola que corta al eje x en x = 2
y x = 3, y corta al eje y en y = 1.
Respuestas
a
0 x
y
(1 , 2 )
1
x
2
4
6
8
0 2 3123 4
y
(1 , 2 )
Dibujar y rotular los ejes
Usar una recta vertical para mostrar
el recorrido (y 2) de la funcin
sobre el eje y (marcado aqu en gris)
Situar y rotular el vrtice (1, 2)
Dibujar una curva suave que pasa por
el punto (1, 2). La curva es simtrica
con respecto a la recta vertical que
pasa por el vrtice, es decir, x = 1.
Para f (x)= x2 + 6x + 8:
El vrtice es
(3, 1)
El recorrido es
y 1
La parbola que
se muestra en el
apartado a, es la
nica que satisface la
informacin dada? Si
no fuera as, cuntas
hay?
Modelos matemticos158
b
0
(2, 0) (3, 0)
(0, 1)
y
x
0
2
y
x
2
2
6
4
44 2
Dibujar y rotular los ejes
Situar las intersecciones con el eje x
en (2, 0) y (3, 0). El eje de simetra
est a mitad de camino entre las dos
intersecciones con el eje x, x =
1
2
.
Dibujar esta recta con una lnea
punteada (como se muestra aqu)
Situar la interseccin con el eje y en
(0, 1)
Dibujar una curva suave que pasa
por los puntos marcados
La curva es simtrica respecto de
x =
1
2
, y el eje de simetra pasa por
el vrtice.
Dibujo aproximado del grfco de una uncin cuadrtica (2)
Si nos dan la uncin, tenemos que usar la CPG para d ibujar el grfco y
copiar la inormacin a un grfco aproximado.
Si no nos dan la uncin, usar la inormacin que nos dan y lo que
sabemos acerca de los grfcos de las unciones cuadrticas, esto es:
Tienen la orma o la orma .
Tienen un eje de simetra que pasa por el vrtice.
Si una uncin
cuadrtica solo toma
valores negativos
entre x = m y x = n ,
qu podemos decir
acerca de x = m y
x = n? Qu pasa en
los puntos donde y
toma esos valores
negativos? Tiene la
parbola la orma o
la orma ?
Qu podemos decir
acerca de una uncin
cuadrtica que solo
toma valores positivos
entre x = m y x = n?
Ejercitacin 4N
Dibuje aproximadamente el grfco de:
1 Una parbola con vrtice (1, 3) e intersecciones con el
eje x en 1 y 3
2 Una parbola con vrtice (1, 2) y recorrido y 2
3 Una parbola con eje de simetra x = 0 y recorrido y 1
4 Una parbola con intersecciones con el eje x cuando
x = 3 y x = 0, y cuyo recorrido es y 1
5 Una parbola que pasa por los puntos (0, 2) y (4, 2), y
con un valor mximo en y = 2
6 Una uncin cuadrtica f que toma valores negativos
entre x = 2 y x = 5, y que verifca f (0) = 4.
Las intersecciones
con el eje x son los
puntos donde el
grfco corta al eje x.
El valor de y en estos
puntos es cero. Los
valores de x en estos
puntos se denominan
los ceros de la
uncin.
La interseccin con
el eje y es el punto
donde el grfco cruza
el eje y. El valor de x
en este punto es cero.
Captulo 4 159
Interseccin de dos funciones
Dos unciones f (x) y g (x) se cortan en los puntos en los que
f (x) = g (x).
Para hallar las coordenadas de los puntos de interseccin:
Usar la CPG
Igualar ambas unciones algebraicamente, reescribir la ecuacin
para igualar a cero y luego resolver usando la CPG
Ejemplo 6
Halle los puntos de interseccin de los grfcos de f (x) = x 2 + x 4y g (x) = 3 4x x 2.
Respuestas
Mtodo 1: grfco
Los puntos de interseccin son
(3,5; 4,75) y (1, 2).
Mtodo 2: algebraico
f (x) = g (x)
x2 + x 4 = 3 4x x 2
2x2 + 5x 7 = 0
x = 1, x =
7
2
f (1) = (1)2 + (1) 4 = 2
2
7 7 7 1 9
2 2 2 4
4f
= +
=
Por lo tanto, los puntos de
interseccin son (1, 2)
y
7 19
,
2 4
.
Igualar f (x) y g (x)
Reescribir para igualar a cero
Resolver usando la CPG
Sustituir los valores de x en
la funcin f (x) para hallar la
coordenada y de cada punto
Escribir como pares de coordenadas
En el captulo 12,
seccin 4.5, se
muestra cmo hal lar,
con la CPG, los puntos
de interseccin entre
dos curvas.
En el captulo 12,
seccin 1.2, se
muestra cmo
resolver, con la
CPG, una ecuacin
cuadrtica.
Modelos matemticos160
Ejercitacin 4O
1 Aqu se dan dos unciones f (x) = x 2 + 3x 5 y g (x) = x 2
en el dominio 5 x 2, x R.
a Usando una CPG, dibuje los grfcos de estas dos unciones y
halle las coordenadas de sus puntos de interseccin.
b Escriba f (x) = g (x) y halle el valor de x. Encuentra las
mismas respuestas que en el apartado a?
La uncin h (x) = 2x 3 tiene el mismo dominio.
c Halle los puntos de interseccin de f (x) y h(x):
i Algebraicamente ii Grfcamente
2 Halle las coordenadas de los puntos de interseccin del grfco
de f (x) = x 2 + 3x 5 en el dominio 5 x 2, x R,
y la recta x + y + 5 = 0.
3 Halle los puntos de interseccin de los grfcos de:
a f (x) = 5 + 3x x 2 y g (x) = 1
b f (x) = 5 + 3x x 2 y h (x) = 2x + 3
4 a Utilice la CPG para dibujar los grfcos de las unciones
f (x) = 2x 2 x 3 y g (x) = x + 1 en el dominio 3 x 3 , x R.
b Indique los recorridos de f y de g en este dominio.
c Halle las coordenadas x de los puntos de interseccin de las dos
unciones.
d En el mismo sistema de ejes, y en el mismo dominio,
dibuje el grfco de la uncin h (x) = 2x + 2.
e Resuelva la ecuacin f (x) = h (x) grfca y algebraicamente.
f Halle las coordenadas de los puntos de interseccin del grfco
de y = f (x) y la recta x + y = 5.
PREGUNTA TIPO EXAMEN
5 El diagrama muestra los grfcos de las unciones
f (x) = x 2 3 y g (x) = 6 x 2 para valores de x entre 4 y 4.
0
8
4 4
y
x
a Halle las coordenadas de los puntos de interseccin.
b Escriba el conjunto de valores de x para los cuales f (x) < g (x).
Hal lar los puntos
grfcamente
signifca d ibujar los
grfcos en la CPG y
usarlos para hal lar
las coordenadas
de los puntos de
interseccin.
Primero despeje
la variable y de la
ecuacin l ineal .
Captulo 4 161
Ecuacin de una uncin cuadrtica a partir de
su grfco
Para hallar la ecuacin de una uncin cuadrtica con ecuacin
(x) = ax2 + bx + c, utilizar que:
El punto de interseccin del grfco con el eje y es (0, c)
La ecuacin del eje de simetra es x =
b
a2
Ejemplo 17
Halle la ecuacin de la uncin cuadrtica que se muestra
en el diagrama.
0
y
f (x)
x
2
10
8
2
4
6
2246
Respuesta
La orma general de una uncin cuadrtica
est dada por (x) = ax 2 + bx + c.
La uncin corta al eje y en el punto (0, 5);
por lo tanto, c = 5
(x) = ax 2 + bx 5
La ecuacin del eje de simetra es x = 2.
Por lo tanto: 2 =
b
2a
b = 4a
b = 4a
En el vrtice, x = 2, y = 9.
Por lo tanto: (2) = a (2)2 + b (2) 5 = 9
4a 2b 5 = 9
4a 2b = 4
= 4
4 2 = 4
b a
a b
4a 2(4a) = 4
4a 8a = 4
4a = 4 a = 1
b = 4a b = 4
Entonces la ecuacin de la uncin
cuadrtica es:
(x) = x 2 + 4x 5
La uncin corta al eje y en el punto (0, c). A partir
del grfco se puede deducir el valor de c.
La ecuacin del eje de simetra est dada por
.
b
2a
x = Sustituir el valor de x.
A partir del grfco se pueden leer las coordenadas
del vrtice: (2, 9).
Sustituir los valores de x y de y en
(x) = ax 2 + bx 5
Resolver el sistema de ecuaciones
Sustituir los valores a = 1, b = 4 y c = 5 en
(x) = ax 2 + bx + c
En el captulo 12,
seccin 4.6, se
muestra cmo
podemos usar la
CPG para hal lar la
ecuacin de una
uncin cuadrtica a
partir de su grfco.
Modelos matemticos162
Ejercitacin 4P
Halle la ecuacin de cada una de estas funciones cuadrticas:
1
0
2
y
x
2
2
4
6
6
4
6 4 2
f (x)
g (x)
2
0 2
y
x
2
10
8
6
4
642
f (x)
g (x)
3
0
2
y
x
2
2
10
8
6
4
642
f (x)
g (x)
4
0
2
y
x
2
2
4
6
4
4 2
f (x)
g (x)
5
0
y
x
2
2
6
4
24 2
f (x)
g (x)
Captulo 4 163
Modelos cuadrticos
Muchas situaciones de la vida real se pueden modelizar usando
funciones cuadrticas.
Ejemplo 8
Un granjero desea cercar un terreno
rectangular, de modo que su rea sea mxima.
Tiene 150 metros de cerco. Uno de los lados
del terreno est bordeado por un canal.
Halle el rea mxima del terreno.
Ancho
Longitud
Canal
Respuestas
Hay tres variables:
La longitud del rectngulo, l
El ancho del rectngulo, a
El rea del rectngulo, A
El rea del rectngulo A = la.
Como la longitud total del cerco
es 150 m:
l + 2a = 150
l = 150 2a
Entonces:
A = la
A = (150 2a)a
A = 150a 2a 2
Mtodo 1: usando una CPG
El ancho, a, es 37,5 m.
l = 150 2a = 150 75 = 75 m
rea mxima:
A = la = 75 37,5
= 2812,5 m2
Comenzar nombrando las variables
del problema
rea = longitud ancho
Escribir una ecuacin para el
permetro del terreno. Despejar la
variable l.
Sustituir la expresin encontrada
para l en la rmula del rea
Grafcar A (x) = 150x 2x 2 en la
CPG y leer la coordenada x del vrtice:
37,5. Este es el valor del ancho, a, que
produce el valor mximo para A.
Mtodo 2: algebraico
( )
a
1 50
2 2
= = 37, 5
A = 150 37,5 2 37,52
= 2812,5 m2
En la uncin cuadrtica
(x) = ax2 + bx + c, la coordenada x
del vrtice est dada por x =
b
2a
.
La coordenada x nos da el ancho, a.
Aqu la uncin es 150a 2a 2, por lo
que a= 2 y b = 150.
Los antiguos
babi lonios y egipcios
estudiaron ecuaciones
cuadrticas como
estas hace mi les de
aos, para hal lar
soluciones a
problemas
relacionados con
reas de rectngulos.
2,81E3 signifca
2,81 103 = 2810.
Podemos usar A = la
o A = 150a 2a2
para hal lar el rea.
Modelos matemticos164
Ejercitacin 4Q
1 a Un granjero tiene 170 metros de cerco para cercar
un rea rectangular.
Ancho
Longitud
Halle la longitud y el ancho que dan el rea
mxima del terreno.
b Un granjero tiene 110 metros de cerco para cercar un terreno rectangular.
Parte de un lado del terreno est formado por una pared de 5 m de longitud.
Ancho
Longitud
Halle las dimensiones del terreno que dan el rea mxima.
2 La ganancia semanal de una compaa, en riales, se modeliza
con la funcin:
G (u) = 0,032u2 + 46u 3000
Donde u es el nmero de unidades vendidas cada semana
Halle:
a La mxima ganancia semanal
b La prdida que hubo una semana de vacaciones,
cuando no se vendi ninguna unidad
c La cantidad de unidades que se vendieron cada
semana en los puntos de equilibrio de la
compaa
PREGUNTA TIPO EXAMEN
3 Un cohete tiene una trayectoria parablica.
Despus de t segundos, la altura vertical del cohete
arriba de la tierra, en metros, est dada por:
A(t) = 37t t 2
a Halle la altura del cohete arriba de la tierra
despus de 10 segundos.
b Halle la altura mxima del cohete arriba de la tierra.
c Halle el tiempo que el cohete est en el aire.
1 I dentifcary nombrar las variables
2 Usar la restriccin para hal lar
el modelo para la longitud (este
modelo ser l ineal )
3 Hal lar un modelo para el rea
(este modelo ser cuadrtico)
En punto de equi l ibrio
no hay ganancia n i
prdida, por lo tanto
G(u) = 0.
Una trayectoria es un
camino descrito por
un cuerpo.
Captulo 4 165
4.4 Modelos exponenciales
Funciones exponenciales y sus grfcos
En una funcin exponencial, la variable independiente es el
exponente.
Aqu se muestran algunos ejemplos de funciones exponenciales:
f (x) = 2x, f (x) = 5(3)x + 2, g (x) = 5x 3, h (x) =
1
3
x
+ 1
Investigacin: grfcos exponenciales
1 La cantidad de fores n ineceas en un
estanque se dupl ica semanalmente.
La primera semana hay 4 de estas fores
en el estanque. Elabore una tabla y
escriba la cantidad de estas fores que
hay en el estanque cada semana hasta
la semana 12.
Site los puntos de la tabla en un grco
para representar la cantidad de fores
en uncin del tiempo.
Dibuje una curva suave uniendo todos
los puntos.
2 Una sustancia radioactiva tiene una vida media de 2 horas.
Esto signica que cada 2 horas su radioactividad se
reduce a la mitad.
Se uti l iza un contador Geiger para tomar una lectura de la
cantidad de sustancia radioactiva en el instante t = 0.
La lectura es 6000 cuentas por segundo.
2 horas despus (t = 2), la lectura es 3000 cuentas
por segundo.
Cul ser la lectura en el contador cuando t = 4, t = 6,
t = 8 y t = 10?
Site los puntos en un grco en donde se represente cuentas
por segundo en uncin del tiempo, y nalos para ormar una
curva suave.
El tiempo es la variable
independiente, entonces
lo representamos en el
eje horizontal .
Podra suceder que
la cantidad de fores
n ineceas del estanque
siga dupl icndose
para siempre? La
radioactividad de la
sustancia l legar a cero
alguna vez?
Este grco es un
ejemplo de una uncin
exponencial creciente.
Este grco es un
ejemplo de un grco
exponencial decreciente.
La orma de una pista de esqu
orma una uncin exponencial?
Investigue acerca de pistas de
esqu en Internet para averiguar
qu uncin es.
Modelos matemticos166
Grfcos de unciones exponenciales de la orma
f (x) = ax, donde a +, a 1
Ejemplo 9
Dibuje con precisin el grfco de la uncin f (x) = 3x para 2 x 2.
Respuestas
Mtodo 1: a mano
0
f (x)
f (x) = 3
x
x
2
10
8
6
4
2
3213 2 1
Mtodo 2: usando una CPG
Elaborar una tabla de valores
x 2 1 0 1 2
f (x)
1
9
1
3
1 3 9
Situar los puntos
Dibujar una curva suave que pase
por todos los puntos
Esta es una funcin exponencial
creciente.
En el captulo 12, seccin 4. 3, se
muestra cmo dibujar funciones
exponenciales en la CPG.
3,1866E11
= 0,000 000 000 031 866
Observe el grfco del ejemplo 19. A medida que los valores de x se
hacen muy pequeos, la curva se acerca cada vez ms al eje x.
El eje x ( y = 0) es una asntota horizontal del grfco. En x = 0,
f (x) = 1 . A medida que los valores de x se hacen muy grandes, f (x)
se hace ms grande muy rpidamente. Decimos que f (x) tiende a
infnito. La uncin es una uncin exponencial creciente.
Aqu se muestran ms grfcos de unciones exponenciales crecientes.
0
f (x)
f (x) = 4
x
x
2
10
8
6
4
2
3213 2 1
0
f (x)
f (x) = 5
x
x
2
10
8
6
4
2
3213 2 1
[ f (x) = 4x [ f (x) = 5x
Todos estos grfcos pasan por el punto (0, 1 ) y tienen a y = 0 (el eje x)
como asntota horizontal.
+ es el conjunto de
nmeros racionales
positivos.
Por qu se impone la
condicin a 1? Qu
tipo de funcin se
obtendra si a = 1?
Una asntota es una
recta a la cual la curva
se acerca pero nunca
toca.
Usando la tabla de
valores en la CPG,
podemos estudiar
qu ocurre cuando los
valores de x se hacen
muy pequeos o muy
grandes.
Captulo 4 167
Grfcos de unciones exponenciales de la orma
f (x) = ax, donde 0 < a < 1
Qu sucede si a es una raccin propia positiva?
Aqu se muestra el grfco de y =
1
2
x
:
0
f (x)
x
2
10
8
6
4
2
3213 2 1
f (x) = ( )
x1
2
Este grfco tambin pasa por el punto (0, 1 ) y tiene a
y = 0 (el eje x) como asntota horizontal. Sin embargo,
este es un ejemplo de uncin exponencial decreciente.
Ejercitacin 4R
Dibuje los grfcos de estas unciones usando la CPG.
Para cada uno, escriba las coordenadas del punto en el que
la curva corta al eje y y la ecuacin de la asntota horizontal.
1 f (x) = 2x 2 f (x) = 6x 3 f (x) = 8x
4 f (x) =
1
3
x
5 f (x) =
1
5
x
Investigacin: grfcos de f (x) = kax, donde a +
y k 0 y a 1
Uti l ice la CPG para d ibujar los grfcos de:
1 f (x) = 2(3)x 2 f (x) = 3
1
2
x
3 f (x) = 3(2)x
Para cada grfco, escriba:
a El valor de k en la ecuacin f (x) = kax
b El punto en el que el grfco corta al eje y
c La ecuacin de la asntota horizontal
Qu observa?
Una fraccin propia es una raccin
en la que el numerador es menor que
el denominador.
En una uncin exponencial
creciente, los valores de y crecen a
medida que los valores de x crecen
de izquierda a derecha.
En una uncin exponencial
decreciente, los valores de y
decrecen a medida que los valores
de x crecen de izquierda a derecha.
Modelos matemticos168
Investigacin: grfcos de f (x) = kax + c, donde
a + y k 0 y a 1
Uti l ice la CPG para d ibujar los grfcos de:
1 f (x) = 2x + 3 2 f (x) = 3
1
2
x
4 3 f (x) = 2(3)x + 5
para 3 x 3
Para cada grfco, escriba:
a El valor de k y de c en la ecuacin f (x) = kax + c
b El punto en el que el grfco corta al eje y
c La ecuacin de la asntota horizontal
Para cada grfco, calcule k + c. Qu observa?
En general, para el grfco de (x) = kax + c, donde a + y
k 0 y a :
La recta y = c es la asntota horizontal
La curva pasa por el punto (0, k + c)
Dibujo aproximado del grfco de una uncin exponencial
Dibu jar y rotular los ejes
Rotular el punto en el que el grfco corta al eje y
Dibu jar las asntotas
Ejemplo 0
Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin (x) = 3(2) x 1.
Respuesta
0
(0, 2)
f (x)
f (x) = 3(2)
x
1
y = 1
x
1
4
5
3
2
1
3213 2 1
Comparar (x) = 3(2) x 1 con
(x) = ka x + c:
k = 3
a = 2
c = 1
y = c es una asntota horizontal
el grfco tiene una asntota horizontal
en y = 1.
La curva pasa por el punto (0, k + c)
el grfco corta al eje y en (0, 3 1) o
(0, 2).
Ejercitacin 4S
Para cada uncin, escriba:
a Las coordenadas del punto en el que la curva corta al eje y
b La ecuacin de la asntota horizontal
A partir de lo anterior, dibuje aproximadamente el grfco de la uncin.
1 (x) = 2x 2 (x) = 6x
Captulo 4 169
3 f (x) =
1
3
x
4 f (x) =
1
5
x
5 f (x) = 3(2)x + 4 6 f (x) = 2(4)x 1
7 f (x) = 1(2)x + 3 8 f (x) = 4(3)x 2
9 f (x) = 0,5(2)x + 3 10 f (x) = 2(0,5)x + 1
11 f (x) = 0,4x + 1 12 f (x) = 2(0,1)x 1
Grfcos de f (x) = ax + c, donde a + y a 1
0
f (x)
f (x) = 2
x
x
2
10
8
6
4
2
3213 2 1
0
f (x)
f (x) = 2
x
x
2
10
8
6
4
2
3213 2 1
[ Grfco de f (x) = 2x [ Grfco de f (x) = 2x
El grfco de f (x) = 2x es simtrico al grfco de f (x) =2x
respecto del eje y.
0
f (x)
f (x) = 3(2)
x
+ 1
x
2
10
8
6
4
2
3213 2 1
0
f (x)
f (x) = 3(2)
x
+ 1
x
2
10
8
6
4
2
3213 2 1
[ Grfco de f (x) = 3(2)x + 1 [ Grfco de f (x) = 3(2)x + 1
Las curvas pasan por el punto (0, 4) y la asntota horizontal es y = .
En general, para el grfco de f (x) = kax + c, donde a + y
k 0 y a :
La recta y = c es la asntota horizontal
La curva pasa por el punto (0, k + c)
El grfco es simtrico al grfco de g (x) = kax + c respecto
del eje y
Ejercitacin 4T
Para cada uncin, escriba:
a Las coordenadas del punto en el que la curva corta al eje y
b La ecuacin de la asntota horizontal
A partir de lo anterior, dibuje aproximadamente el grfco de la uncin.
k = 3 y c = 1. Observe
que 3 + 1 = 4.
Modelos matemticos170
1 f (x) = 4(2)x + 2 2 f (x) = 4x + 1
3 f (x) = 2(2)x + 3 4 f (x) = 3(2)x 2
5 f (x) = 0,5(3)x + 2 6 f (x) = 0,5x + 1
7 f (x) = 2(0,1)x 1 8 f (x) = 0,4x + 2
9 f (x) = 3(0,2)x + 4 10 f (x) = 5(3)x 2
Aplicaciones de las funciones exponenciales
Muchas situaciones de la vida real que involucran crecimiento y
deterioro se pueden modelizar con unciones exponenciales.
Ejemplo
La longitud, l cm, de una planta de calabaza crece de acuerdo a la ecuacin:
l = 4( ,2)t
Donde t es el tiempo en das
a Copie y complete la tabla. D sus respuestas redondeadas
a tres ciras signifcativas.
t 0 2 4 6 8 10 12 14 16
l
b Dibuje con precisin el grfco de la uncin l en uncin de t,
para 0 t 20 y 0 l 100.
c Cul es la longitud de la planta de calabaza cuando t = 0?
d Cul ser la longitud de la planta de calabaza despus de 3 semanas?
Respuestas
a
t 0 2 4 6 8 10 12 14 16
l 4,00 5,76 8,29 11,9 17,2 24,8 35,7 51,4 74,0
Sustituir cada valor de t en la
ecuacin para hallar el valor
correspondiente de l
b
0
l
l = 4(1 ,2)
t
t
20
80
100
60
40
4 166 8 10 12 142
Dibujar con precisin y rotular los ejes
Ubicar t en el eje horizontal
Ubicar l en el eje vertical
Situar los puntos de la tabla y
unirlos con una curva suave
c Cuando t = 0, l = 4,00 cm. Leer en la tabla el valor que toma l
cuando t = 0
d 3 semanas = 21 das
Entonces, 21= 4(1 , 2) = 1 84l cm (3 cs)
En la ecuacin, el tiempo se da en
das, por lo tanto, hay que convertir
las semanas a das.
Sustituir t = 21 en la ecuacin
Captulo 4 171
Ejemplo 22
Huberto invierte EUR3000 en un banco con una tasa de inters del 5%
anual compuesto anualmente.
Sea y la cantidad de dinero que Huberto tiene en el banco despus de x aos.
a Dibuje con precisin un grfco para representar la cantidad de
dinero que Huberto tiene en el banco despus de x aos. Utilice una
escala de 0 a 10 aos en el eje x y de EUR2500 a 5000 en el eje y.
b Cunto dinero tiene despus de 4 aos?
c Cuntos aos pasan hasta que Huberto tiene EUR4000 en el banco?
Respuestas
a La rmula de inters
compuesto es:
y = 3000 1
5
100
+
x
y = 3000(1, 05)x
Donde x = cantidad de aos
Tiempo
(x aos)
Cantidad
de dinero
(y euros)
0 3000
2 3307,50
4 3646,52
6 4020,29
8 4432,37
10 4886,68
C
a
n
ti
d
a
d
d
e
e
u
ro
s
(y
)
y = 3000(1 ,05)x
3000
2500
4500
5000
4000
3500
4 6 8 1020
Tiempo en aos (x)
Este problema se puede representar
mediante una funcin de inters
compuesto.
Elaborar una tabla de valores
Dibujar con precisin y rotular los ejes
Situar los puntos y unirlos con una curva
suave
b Despus de 4 aos, Huberto
tiene 3000(1,05)4 = 3646,52
euros.
Sustituir x = 4 en la frmula
c Despus de 6 aos, Huberto
tiene EUR4000 euros en el
banco.
Necesitamos hallar el valor de x para
y = 4000 euros.
Podemos ver, en la tabla de valores del
apartado a, que despus de 6 aos la
cantidad de dinero es 4020,29.
Comprobar la cantidad de dinero despus
de 5 aos:
y = 3000(1,05) 5 = 3828,84
Esta cantidad es menor que EUR4000.
La frmula del
inters compuesto
es una funcin
exponencial (de
crecimiento).
En el captulo 7,
veremos ms acerca
de inters compuesto.
Modelos matemticos172
Ejercitacin 4U
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
1 Dibuje aproximadamente los grfcos de: f (x) = 2x + 0,5 y g (x) = 2x + 0,5
para 3 x 3.
a Escriba las coordenadas del punto de interseccin de las dos curvas.
b Escriba la ecuacin de la asntota horizontal de ambos grfcos.
2 El valor de un automvil decrece cada ao de acuerdo a la uncin:
V(t) = 26 000x t
Donde V es el valor del automvil en euros, t es la cantidad de
aos despus de que se compr el automvil por primera vez y
x es una constante
a Escriba el valor que tena el automvil cuando se compr por
primera vez.
b Despus de un ao, el valor del automvil es EUR22 100. Halle
el valor de x.
c Calcule la cantidad de aos que pasarn hasta que el valor del
automvil sea menor que EUR6000.
3 La ecuacin M(t) = 150(0,9)t representa la cantidad, en gramos,
de un material radioactivo que se conserva en un laboratorio
durante t aos.
a Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin M (t)
para 0 t 100.
b Escriba la ecuacin de la asntota horizontal del grfco de M(t).
c Halle la masa del material radioactivo despus de 20 aos.
d Calcule la cantidad de aos que se necesitan para que el
material radioactivo tenga una masa de 75 gramos.
4 El rea, A m2, cubierta por maleza se mide a las 6.00
cada da.
El 1 de junio el rea era 50 m2.
Cada da el rea cubierta por la maleza crece de
acuerdo a la rmula:
A(t) = 50( ,06)t
Donde t es la cantidad de das despus del 1 de junio
a Dibuje aproximadamente el grfco de:
A(t) para 4 t 20
b Explique qu representan los valores negativos de t.
c Calcule el rea cubierta por maleza a las 6.00 del 15 de junio.
d Halle el valor de t cuando el rea es 80 m2.
Captulo 4 173
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
5 El grfco muestra la uncin:
f (x) = k (2)x + c.
Halle los valores de c y de k.
6 La temperatura, T, de una taza de ca est dada por la uncin:
T (t) = 8 + 60(2)t
Donde T se mide en oC y t en minutos
a Dibuje aproximadamente el grfco de T (t) para 0 t 10.
b Escriba la temperatura del ca en el momento en que se sirve.
c Halle la temperatura del ca 5 minutos despus de servirse.
d Calcule la cantidad de minutos que tarda el ca en alcanzar una
temperatura de 40 C.
e Escriba la temperatura de la sala donde se sirve el ca.
D una razn para su respuesta.
7 El valor, en dlares estadounidenses, de una mquina de granja se
devala de acuerdo a la rmula:
D (t) = 8 000(0,9)t donde t es el tiempo en aos
a Escriba el costo inicial de la mquina.
b Halle el valor de la mquina despus de 5 aos.
c Calcule la cantidad de aos que tarda la mquina en valer
menos de USD9000.
8 El grfco de la uncin f (x) =
2
x
a
pasa por los puntos
(0, b) y (2; 0,8). Calcule los valores de a y de b.
9 El diagrama muestra el grfco de y = 2x + 3 . La curva pasa por
los puntos A(0, a) y B(1, b).
a Halle el valor de a y el valor de b.
b Escriba la ecuacin de la asntota de la curva.
10 Se representa una uncin por medio de la ecuacin
f (x) = 2(3)x + 1.
La siguiente es una tabla de valores de f (x) para 2 x 2.
a Calcule el valor de a y el valor de b.
b Dibuje con precisin un grfco de f (x) para 2 x 2.
c El dominio de f (x) es el conjunto de nmeros reales.
Cul es el recorrido?
0
f (x)
x
2
10
8
6
4
10
8
6
4
2
246 2
f (x) = k(2)
x
+ c
0
y
x
B(1 , b)
A(0, a)
x 2 1 0 1 2
f (x) 1,222 a 3 7 b
Modelos matemticos174
4.5 Grfcos de unciones de la orma
f (x) = axm + bxn + ..., m, n
En las secciones 4.2 y 4.3, hemosvisto ejemplos de unciones lineales
y cuadrticas. Qu sucede cuando el exponente de x es un entero
mayor que 2 o menor que 0?
Funciones cbicas
Cuando el mayor exponente de x es 3, entonces la uncin se denomina
uncin cbica.
Una uncin cbica tiene la orma (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d,
donde a 0. El dominio es R, a menos que se indique lo
contrario.
Aqu se muestran dos ejemplos de grfcos de unciones cbicas:
0
f (x)
x
20
20
6424 2
0
f (x)
x
10
5
10
5
642
Ejemplo 23
La cantidad de peces, P, en un estanque, en el perodo 1995 a 2010, se
modeliza usando la rmula:
P (x) = 0,030x 3 + 0,86x 2 6,9x + 67
Donde x es la cantidad de aos despus de 1995
a Utilice la CPG para hacer un dibujo aproximado del grfco de la
uncin para 0 x 18.
b Halle la cantidad de peces en el estanque despus de 6 aos.
c Halle la cantidad de peces en el estanque despus de 13 aos.
Respuestas
a
0
y
x
70
18
Dibujar el grfco en la CPG
Transerir los detalles a un dibujo
aproximado en papel
{ Contina en la pgina sigu iente.
Captulo 4 175
b P (6) = 0,030(6)3 + 0,86(6)2
6,9(6) + 67
= 6,48 + 30,96 41,4 + 67
= 50,08
Entonces, despus de 6 aos,
hay 50 peces en el estanque.
Sustituir x = 6 en la ecuacin. O
usar la tabla de la CPG, o la uncin
Trace (trazado).
c P (13)
= 0,030(13)3 + 0,86(13)2
6,9(13) + 67
= 65,91 + 145,34 89,7 + 67
= 56,73
Entonces, despus de 13 aos,
hay 56 peces en el estanque.
Sustituir x = 13 en la ecuacin
O usar la tabla de valores de la CPG
Ejemplo 24
Una pandemia se modeliza utilizando la ecuacin:
y = (x 20)3 + 5000
Donde x es la cantidad de semanas despus del comienzo del brote e y
es la cantidad de casos registrados
a Utilice la CPG para hacer un dibujo aproximado de la funcin para
0 x 30.
b Halle la cantidad de casos despus de 10 semanas.
c Halle la cantidad de casos despus de 20 semanas.
d Es este un buen modelo para representar la cantidad de casos de
una pandemia?
Respuestas
a
0 x
y
30
7000
6
b y = (10 20)3 + 5000 = 4000
Entonces, despus de 10
semanas, hay 4000 casos.
c y = (20 20)3 + 5000 = 5000
Entonces, despus de 20
semanas, hay 5000 casos.
d No, porque la cantidad de
casos comienza a aumentar
de nuevo despus de las 20
semanas y seguir creciendo.
Dibujar el grfco en la CPG
Transerir los detalles a un dibujo
aproximado en papel
Sustituir x = 10 en la ecuacin
Sustituir x = 20 en la ecuacin
Considerar:
Sigue creciendo el grfco? Es
de esperar que la pandemia siga
creciendo para siempre?
Una pandemia es
una epidemia de
una enfermedad
infecciosa que se
extiende a varios
continentes.
Pueden los modelos
matemticos model izar
con precisin las
situaciones de la vida
real?
Modelos matemticos176
Investigacin: funciones curticas
Cuando el mayor exponente de x es 4, entonces la uncin
se denomina uncin curtica .
Una uncin curtica tiene la orma:
f (x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e, donde a 0. El dominio es R, excepto que se
indique otra cosa.
Sustituya varios valores de a, b, c, d y e en la ecuacin:
f (x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e
Uti l ice la CPG para d ibujar las unciones.
Qu puede decir acerca de la orma del grfco de una uncin curtica?
Ejercitacin 4V
1 La altura de la marea, en cierta playa, se puede modelizar con la
uncin:
f (x) = 0,0015x 4 + 0,056x 3 0,60x 2 + 1 ,65x + 4
Donde x es el tiempo, en horas, despus de medianoche
a Utilice la CPG para hacer un grfco aproximado de la
uncin para 0 x 20.
b Halle el horario en que se producen las mareas bajas.
c Halle los horarios en que se producen las mareas altas.
2 A continuacin se muestra el grfco de la uncin f (x) = (x 2)4 + 6:
f (x)
x
10
50
40
30
20
52 43101
a Halle el valor de f (x) cuando x = 2.
b Halle los valores de x cuando y = 6.
c Escriba el recorrido de esta uncin.
Captulo 4 177
Grfcos de unciones en las que el exponente de
x es un entero negativo
Este es el grfco de y = x 1 , x 0, para 10 x 1 0.
0
f (x)
x
5
10
10
5
4 6 8 102810 46 2
El grfco tiene dos ramas que no se superponen
y que no cortan al eje y.
No hay valor de y cuando x = 0. Decimos que x = 0
es una asntota vertical.
Cuando miramos la tabla de valores en la CPG,
recuentemente vemos UNDEF en la columna de
las y, cuando hay una asntota vertical.
Este es el grfco de y = x 2 , x 0, para 10 x 1 0.
0
f (x)
x
2
10
8
6
4
4 6 108210 8 46 2
No hay valor de y cuando x = 0, entonces x = 0 es una asntota vertical.
Sin embargo, en este grfco, cuando x tiende a cero tanto por valores
positivos como negativos, y tiende a un valor muy grande y positivo.
Investigacin: grfcos de y = ax n
1 Uti l ice la CPG para d ibujar los grfcos de:
y = x 3 para 10 x 10
y = x 4 para 10 x 10
Compare ambos grfcos con los grfcos de y = x 1 y de y = x 2.
Qu observa?
2 Dibuje los grfcos de:
y = 2x 3 para 10 x 10
y = 3x 4 para 10 x 10
Compare estos grfcos con los otros.
Qu observa?
Hay una asntota vertical si ocurre
que el valor de y tiende a infnito
cuando el valor de x tiende a cero.
Esto signifca que cuando x se acerca
a cero, tanto desde la derecha
como desde la izquierda, entonces
y toma valores o bien muy grandes
y positivos, o bien muy grandes y
negativos.
Modelos matemticos178
Ejemplo 25
Un rectngulo tiene un rea de 1,5 m2.
Sea y la longitud del rectngulo y x el ancho del rectngulo.
a Muestre que
x
y
1 , 5
.=
b Utilice la CPG para dibujar el grfco de
x
y
1 , 5
= para 0 < x 10.
c Qu sucede cuando x se acerca a cero?
d Qu sucede cuando x se acerca a 10?
e Escriba las ecuaciones de la asntota vertical y la asntota
horizontal.
Respuestas
a x y = 1,5
x
y
1 , 5
=
b
0
y
x
2
8
6
4
2
104 8622
y =
15
x
c Cuando x se acerca a cero, los
valores de y son positivos y se
hacen muy grandes.
d Cuando x se acerca a 10, los
valores de y son positivos y se
hacen muy pequeos.
e La asntota vertical es x = 0 y
la asntota horizontal es y = 0.
rea = longitud ancho
Despejar y de la frmula
A qu rectas se acerca la curva sin
tocarlas?
Ejercitacin 4W
1 La siguiente uncin modeliza la temperatura del agua al enriarse
hasta llegar a la temperatura ambiente:
79
( ) 21 , 0
x
f x x= +
Donde x es el tiempo en minutos y f (x) representa la
temperatura en oC
a Utilice la CPG para hacer un grfco aproximado de
la uncin para 0 < x 15.
b Calcule la temperatura del agua despus de 10 minutos.
c Cunto tarda el agua en bajar su temperatura a 50 C?
d Escriba la ecuacin de la asntota vertical del grfco.
e Escriba la ecuacin de la asntota horizontal del grfco.
f Escriba la temperatura ambiente.
Cuntos rectngulos
d istintos de rea
1,5 m2 se pueden
d ibujar?
Captulo 4 179
2 Se calienta aceite en una cocina. La temperatura se modeliza
con la uncin:
1 00( ) 1 00 , 0
x
f x x=
Donde x es el tiempo en minutos desde que el aceite comenz a
calentarse y f (x) representa la temperatura en C
a Utilice la CPG para dibujar aproximadamente el grfco de la
uncin para 0 < x 50.
b Halle la temperatura del aceite despus de 10 minutos.
c Halle la cantidad de minutos que tarda la temperatura en
alcanzar 30 C.
d Escriba la temperatura mxima que puede alcanzar el aceite.
3 a Utilice la CPG para dibujar aproximadamente el grfco de
f x x
x
( ) , .=
5
2
0
b Escriba los valores de x cuando y = 8.
c Escriba las ecuacionesde las asntotas vertical y horizontal
del grfco.
d Sabiendo que el dominio de f es el conjunto de nmeros reales,
x 0, escriba el recorrido de f.
4 a Utilice su CPG para dibujar aproximadamente el
grfco de = +
6
( ) 3 , 0,
x
f x x para 10 x 10.
b Halle el valor de f (x) cuando x = 8.
c Halle el valor de x cuando y = 5.
d Escriba las ecuaciones de las asntotas vertical y horizontal
del grfco.
e Sabiendo que el dominio de f es el conjunto de los nmeros reales,
x 0, escriba el recorrido de f.
Grfcos de unciones ms complejas
Este es el grfco de f x x x
x
( ) , ,= + 3 0
2
2
para 4 x 4.
0
f (x)
x
10
10
20
30
30
20
2 44 2
El grfco tiene dos ramas separadas.
La recta x = 0 es una asntota vertical.
El dominio es x < 0, 0 < x +.
El matemtico ingls
John Wal l is (16161703)
ue el primero en usar el
smbolo para denotar
infnito .
Modelos matemticos180
Ejemplo 26
La taria de una compaa de taxis depende de la distancia recorrida
en kilmetros.
Las tarias se calculan usando la rmula:
2
50
( ) = 2 +
x
f x x
Donde x es la distancia recorrida en kilmetros (x 0) y (x) es la taria
en euros
a Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin para 0 < x 20.
b Halle el costo de un viaje de 10 kilmetros.
c Halle la distancia recorrida en un viaje por el que se paga la taria
ms barata.
Respuestas
a
0
y
x
f(x) = 2x +
50
x2
b El costo de un viaje de 10
kilmetros es EUR20,50.
c La taria ms barata se
obtiene con un viaje de 3,68
kilmetros.
Dibujar el grfco en la CPG
Transerir los detalles a un dibujo
aproximado en papel
Usar la CPG:
Usar Trace (trazado) o la tabla para
hallar el valor de (x) cuando x = 10
Usar la CPG:
En el captulo 12,
seccin 4.2, ejemplo 20,
se muestra cmo hal lar
el valor mnimo usando
la CPG.
Captulo 4 181
Ejemplo 27
Un ortoedro cerrado de altura y cm tiene una base cuadrada de
longitud x cm.
El volumen del ortoedro es 500 cm3.
a Escriba una expresin para el volumen del
ortoedro.
b A partir de lo anterior, halle una expresin para
el rea, A, del ortoedro en uncin de x.
Simplifque su respuesta tanto como sea posible.
c Utilice la CPG para dibujar el grfco de la uncin rea
para 0 < x 30.
d Utilice la CPG para hallar las dimensiones que hacen que el rea
sea mnima.
Respuestas
a Volumen = x 2y
b 2
2
2
2
500
2000
= 2 + 4
= 2 + 4
= 2 +
x
x
A x xy
x x
x
c
0
y
x
500
2000
1500
1000
10 302520155
f(x) = 2x
2
+
2000
x2
d El rea mnima se obtiene
cuando x = 7,937 e
y
2
5 00
7 , 937
= = 7, 937.
Volumen = largo ancho altura
2 caras cuadradas, cada una tiene rea
x 2 el rea de las 2 caras es 2x 2
4 caras rectangulares, cada una tiene
rea xy el rea de las 4 caras es 4xy
Del apartado a:
2
2
2
500
x
Volumen = x y
500 = x y y =
Sustituir la expresin de y en la
frmula de A
La funcin rea es:
=
2 2000
x
f(x) 2x +
Usando la CPG, el valor mnimo de la
longitud de la base es x = 7,937.
Sustituir el valor de x en la expresin
hallada para y
x cm
x cm
y cm
En el captulo 12,
seccin 4.2, ejemplo 20,
se muestra cmo hal lar
el valor mnimo usando
la CPG.
Modelos matemticos182
Ejercitacin 4X
1 Una seccin de la montaa rusa se puede modelizar con la ecuacin:
220
( ) 2 , 0
x
f x x x= +
Donde x es el tiempo en segundos desde el principio de la vuelta
y f (x) es la velocidad en m s1
a Utilice la CPG para dibujar aproximadamente el grfco de la
uncin para 0 < x 10.
b Halle el valor mnimo del grfco.
c Halle la velocidad cuando x = 6.
d Halle en qu momentos la velocidad es 50 m s1.
2 Una caja abierta tiene las siguientes dimensiones:
Longitud = x cm, ancho = 2x cm y altura = y cm
El volumen de la caja es 300 cm3.
a Escriba una expresin para el volumen de la caja.
b Halle una expresin para el rea de la caja abierta, solo en
uncin de x.
c Utilice la CPG para dibujar aproximadamente la uncin rea
para 0 < x 20.
d Halle las dimensiones que hacen que el rea de la caja sea
mnima.
3 Una pirmide tiene una base cuadrada cuyos lados miden x metros.
La altura perpendicular de la pirmide es a metros. El volumen de
la pirmide es 1500 m3.
a Halle una expresin para el volumen de la pirmide usando la
inormacin dada.
b Muestre que la altura de cada una de las caras triangulares es:
2
2
2
x
a
+
c A partir de lo anterior, halle una ecuacin para el rea total de
la pirmide.
d Escriba la ecuacin del apartado c en uncin de x nicamente.
e Utilice la CPG para dibujar aproximadamente el grfco de esta
ecuacin para 0 < x 30.
f Halle las dimensiones que producen el rea mnima.
4 Una pecera tiene orma de ortoedro. La longitud total de las
2 piezas de metal que se requieren para hacer el armazn es
igual a 320 cm. La longitud de la pecera es el doble que su ancho.
Para mejorar la visual, se debe maximizar el rea de las cuatro
caras verticales.
Halle el rea de visual ptima si la pecera se fja a una
pared y nicamente se debe considerar el rea de tres caras.
Captulo 4 183
Ejemplo 28
Considere la uncin
3 1 2
( ) = , 0
x
x
f x x
.
a Escriba el dominio de (x).
b Copie y complete la tabla de valores de (x). D sus respuestas
redondeadas a dos ciras signifcativas.
x 24 12 4 1 0 1 2 4 8 12 24
f (x)
c Dibuje con precisin el grfco de (x) para 24 x 24. Utilice una
escala de 1 cm para representar 4 unidades en el eje horizontal y
1 cm para representar 2 unidades en el eje vertical.
d Escriba la ecuacin de la asntota vertical al grfco de (x).
Respuestas
a El dominio de es el conjunto
de nmeros reales, x 0.
b
x f (x)
24 3,5
12 4
4 6
1 15
0
1 9
2 3
4 0
8 1,5
12 2
24 2,5
c
0
y
x
8
16
16
8
16 24824 16 8
d x = 0
El nico valor excluido es x = 0
(ya que la divisin por 0 no est
defnida).
Sustituir cada valor de x en (x) para
hallar el valor correspondiente de
(x). x = 0 no tiene imagen.
Dibujar con precisin y rotular
los ejes
Situar los puntos de la tabla del
apartado b
El grfco tiene dos ramas.
Unir los puntos que se encuentran a
la derecha de x = 0 con una curva
suave
Unir los puntos que se encuentran a
la izquierda de x = 0 con otra curva
suave
A qu recta vertical se acerca la
curva sin tocarla?
A medida que x se
hace muy grande
en valor absoluto,
el grfco de f (x) se
acerca cada vez ms
a una recta horizontal .
Cul es la ecuacin
de esta recta?
Valores muy grandes
en valor absoluto
signifca o bien
valores positivos
muy grandes (1000,
10 000, etc. ) o bien
valores negativos muy
grandes (1000,
10 000, etc. ).
En el captulo 13,
seccin 2.7, hay ms
sobre valor absoluto.
Modelos matemticos184
Ejercitacin 4Y
1 Considere la uncin f x x
x
( ) , .= + 1 0
2
a Escriba el dominio de (x).
b Copie y complete la siguiente tabla.
x 10 5 4 2 1 0,5 0,2 0 0,2 0,5 1 2 4 5 10
f (x)
c Dibuje con precisin el grfco de (x) para 10 x 10. Utilice
una escala de cm para representar unidad en cada uno de los ejes.
d i Dibuje con precisin la asntota vertical.
ii Escriba la ecuacin de la asntota vertical.
e i Dibuje con precisin la asntota horizontal.
ii Escriba la ecuacin de la asntota horizontal.
2 Considere la uncin (x) = 8x 1 + 3, x 0.
a Escriba el dominio de (x).
b Copie y complete la siguiente tabla.
x 10 8 5 4 2 1 0 1 2 4 5 8 10
f (x)
c Dibuje con precisin el grfco de (x) para 10 x 10. Utilice
una escala de cm para representar 2 unidades en cada uno de los ejes.d i Dibuje con precisin la asntota vertical.
ii Escriba la ecuacin de la asntota vertical.
e i Dibuje con precisin la asntota horizontal.
ii Escriba la ecuacin de la asntota horizontal.
Dibujo aproximado de grfcos ms complejos
Ejemplo 9
Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin
(x) = 2x (x + 1)2 + 13 para 5 x 5.
Respuesta
Usar la CPG:
Ingresar la uncin y ajustar la
confguracin de la ventana para x
{ Contina en la pgina sigu iente.
Captulo 4 185
0
y
x
(3,79; 3,89)
(0,801; 13,5)
13
4,61
Usar Zoom-Fit (ajuste de zoom) para
ajustar el eje y con el fn de incluir los
puntos en el grfco
Elegir algunos valores enteros para
defnir la ventana
Para x:
Mnimo: 5, mximo: 5
Para y:
Mnimo: 5, mximo: 15
Transerir los detalles a un dibujo
aproximado en papel
El recorrido de la funcin del ejemplo 29 es R.
Podemos usar una tabla en la CPG para tener una idea del recorrido de
la funcin.
Modelos matemticos186
Ejercitacin 4Z
Utilice la CPG como ayuda para dibujar aproximadamente el
grfco de estas unciones. Escriba el recorrido de cada uncin.
1 f (x) = 0,5x + 1 + 3x
2 f (x) = 2x x 2
3 f (x) = x (x 1) (x + 3)
4 f (x) = x 4 3x 2 + 1
5 f (x) = 0,5x x 1, x 0
.6 Utilizacin de la CPG para la resolucin
de ecuaciones
Ejemplo 0
a Utilice la CPG para dibujar aproximadamente los grfcos de
f (x) = 2x y g (x) = x 2 + 3x + 2.
b A partir de lo anterior, resuelva la ecuacin 2x + x 2 3x 2 = 0.
Respuestas
a
0
f (x)
f (x) = 2
x
g (x) = x
2
+ 3x + 2
x
6
41
b Las soluciones son
x = 0,364 o x = 2.
Ingresar Y
1
= 2 x e Y
2
= x 2 + 3x + 2
La ecuacin 2 x + x 2 3x 2 = 0
es la misma que 2 x = x 2 + 3x + 2.
Hay dos puntos de interseccin y hay
que hallar ambos.
A partir de anterior
signifca que hay que
uti l izar los resultados
obtenidos en el
apartado anterior
para responder
este apartado de la
pregunta.
En este caso se ha
uti l izado una ventana
estndar.
Captulo 4 187
Ejercitacin 4AA
1 a En el mismo sistema de ejes, dibuje aproximadamente las curvas
y = x 2 e y
x
= 4
1
para los valores de x desde 8 a 8 y los valores de
y desde 2 a 8.
Muestre escalas en los ejes.
b Halle las coordenadas de los puntos de interseccin de estas curvas.
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
2 Las unciones f y g se defnen por:
= +
4
, , 0( ) 1 x x
x
f x
g (x) = 3x, x R
a Dibuje aproximadamente el grfco de f para 8 x 8.
b Escriba las ecuaciones de la asntota vertical y de la asntota
horizontal de la uncin f.
c Dibuje aproximadamente el grfco de g en el mismo sistema de ejes.
d A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, halle las
soluciones de 1 3 0
4
+ =
x
x .
e Escriba el recorrido de la uncin f.
3 El diagrama muestra los grfcos de las unciones
y = 5x2 e y = 3x para valores de x entre 2 y 2.
a Halle las coordenadas de los puntos de interseccin de las dos
curvas.
b Escriba la ecuacin de la asntota horizontal de la uncin
exponencial.
4 Dos unciones f (x) y g (x) estn dadas por f x
x
( ) ,=
3
x R, x 0 y g (x) = x 3, x R.
a En el mismo diagrama, dibuje aproximadamente los grfcos
de f (x) y de g (x) usando valores de x entre 4 y 4, y valores de y
entre 4 y 4. Rotule cada curva.
b Indique la cantidad de soluciones que tiene la ecuacin
3
3
0
x
x = .
c Halle una solucin de la ecuacin del apartado b.
5 Dibuje aproximadamente los grfcos de y = 3x 4 e y = x 3 3x 2 + 2x.
Halle todos los puntos de interseccin de estos grfcos.
6 Dibuje aproximadamente los grfcos de y = 2x e y = x 3 + x 2 6x.
Halle las coordenadas de todos los puntos de interseccin.
7 Dibuje aproximadamente los grfcos de y = x + 2 e y x
x
=
5
0, .
a Halle las soluciones de la ecuacin
5
2
x
x= + .
b Escriba la ecuacin de la asntota horizontal de y
x
=
5
.
c Escriba la ecuacin de la asntota vertical de y
x
=
5
.
y
x
1
101
Modelos matemticos188
4.7 Grfcos de situaciones de la vida real
Podemos usar grfcos lineales o de otro tipo para representar una
variedad de situaciones de la vida real.
Ejemplo 31
El grfco que se muestra debajo muestra la produccin y el consumo
de petrleo en China desde 1990 a 2010.
x
1000
0
2000
3000
4000
5000
9000
6000
7000
8000
1990 1992 19981996 2000 2002 2004 2006 2008 20101994
y
Aos
Produccin
Consumo
Produccin y consumo de petrleo en China (19902010)
M
ile
s
d
e
b
a
rr
ile
s
p
o
r
d
a
Fuente: US Energy Inormation Administration, International Energy Annual 2006,
Short term energy outlook (July 2009)
a Cules son las dos variables que se representan en este grfco?
b Qu representa la curva ms clara?
c Qu representa la curva ms oscura?
d Explique el signifcado del punto en el que ambas curvas se cruzan.
Cul es el ao en ese punto?
e Explique qu sucede antes y despus de 1992.
Cul es la tendencia del consumo de petrleo en China?
Respuestas
a Las variables son ao y cantidad de miles de barriles por da.
b Esta curva representa el consumo de petrleo por da en China
desde 1990 a 2010.
c Esta curva representa la produccin de petrleo por da en China
desde 1990 a 2010.
d En el punto en que se cruzan las dos curvas, la produccin y el
consumo de petrleo en China eran iguales. Esto ocurri en 1992.
e Antes de 1992, el consumo de petrleo era menor que su
produccin.
Despus de 1992, el consumo de petrleo era mayor que su
produccin.
El consumo de petrleo en China tiende a seguir aumentando.
Puede deducir alguna
otra inormacin de
este grfco?
Captulo 4 189
Ejercitacin 4AB
1 El consumo de agua en el colegio secundario
Sedientos se representa en el grfco.
a Escriba las dos variables que se representan en
este grfco.
b En qu perodo de tiempo est abierto el colegio
secundario Sedientos?
c Durante qu intervalos de tiempo crece el consumo?
d Durante qu perodos decrece el consumo?
e Halle la hora en que el consumo es mximo.
f Halle la hora en que el consumo es mnimo.
2 El grfco representa la temperatura, en grados Celsius, del ca
despus de que Manuela lo calienta.
a Escriba las dos variables que se representan en este grfco.
b Escriba la temperatura inicial del lquido despus de haberlo
calentado.
c Escriba la temperatura del lquido 2 minutos despus de
haberlo calentado.
d Halle el tiempo que tarda la temperatura en llegar a 68 C.
e Decida si el lquido alcanza los 22 oC durante el perodo de 5
minutos que se muestra en el grfco.
f Escriba la temperatura ambiente.
PREGUNTA TIPO EXAMEN
3 Bajo ciertas condiciones, el nmero de bacterias en un cultivo
particular se duplica cada 5 segundos, tal y como se muestra en el
grfco.
a Copie y complete la siguiente tabla:
Tiempo (t segundos) 0 5 10 15 20
Cantidad de bacterias (C) 1
b Escriba cunto tarda el cultivo en llegar a 6 bacterias.
c Calcule el nmero de bacterias en el cultivo despus de
1 minuto si las condiciones se mantienen constantes.
4 En un experimento de sica, se lanza una pelota verticalmente
desde el suelo.
El diagrama representa la altura de la pelota en dierentes
momentos.
a Escriba la altura de la pelota despus de 1 segundo.
b Averige cuntos segundos despus de ser lanzada la pelota
alcanza los 60 metros.
c Escriba el intervalo de tiempo en el que la pelota sube.
d Escriba el intervalo de tiempo en el que la pelota baja.
e Escriba la altura mxima que alcanza la pelota y el tiempo que
tarda en alcanzar dicha altura.
f Explique qu sucede cuando t = 7.
0 t
500
4 12 16 20 248
a
Tiempo (horas)
C
o
n
su
m
o
d
e
a
g
u
a
(
lit
ro
s)
0 1 t
20
40
60
100
80
2 3 54
T
Tiempo (minutos)Te
m
p
e
ra
tu
ra
(
C
)
0 5 t
4
8
12
16
10 15 20
C
Tiempo (segundos)
C
a
n
ti
d
a
d
d
e
b
a
ct
e
ri
a
s
0 t
20
40
60
100
80
2 864
A
Tiempo (segundos)
A
lt
u
ra
(
m
e
tr
o
s)
Modelos matemticos190
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
5 El grfco muestra las alturas de la marea, a metros, t horas
despus de la medianoche en el Puerto Costa Azul.
a Utilice el grfco para hallar:
i La altura de la marea a la 1.30
ii La altura de la marea a las 5.30
iii Los horarios en que la altura de la marea es 3 metros
El mejor horario para pescar en Puerto Costa Azul es cuando
la marea est debajo de los 3 metros.
b Halle este horario, dando su respuesta como una inecuacin en t.
6 La temperatura (C) durante un perodo de 24 horas en una
ciudad se representa en el grfco.
a Determine cuntas veces la temperatura es exactamente
0 oC durante este perodo de 24 horas.
b Escriba el intervalo de tiempo en el que la temperatura
es menor que 0 C.
c Escriba el horario en el que la temperatura alcanza
su valor mximo.
d Escriba la temperatura mxima que se registr durante este
perodo de 24 horas.
e Escriba el intervalo en el que la temperatura crece
de 3 C a 5 C.
f Escriba los horarios en los que la temperatura es 4 C.
g Puede deducir de este grfco si el comportamiento de la
temperatura del da siguiente ser exactamente igual al de
este da? Por qu?
7 El diagrama representa una caja con volumen 16 cm3.
La base de la caja es un cuadrado de x cm de lado. La altura de
la caja es y cm.
a Escriba una expresin para la altura, y, en uncin de x.
b Copie y complete la siguiente tabla para la uncin y = f (x)
del apartado a. D sus respuestas redondeadas a dos ciras
signifcativas.
x 0,5 1 2 4 8 10
y = f (x)
c Dibuje con precisin el grfco de f para 0 < x 10. Utilice una
escala de 1 cm para representar 1 unidad en el eje horizontal y
1 cm para representar 10 unidades en el eje vertical.
d Qu le sucede a la altura de la caja a medida que los valores
de x tienden a infnito?
0 t
1
2
3
5
4
1 2 3 87654
a
Tiempo (cantidad de horas despus
de medianoche)
A
lt
u
ra
(
m
e
tr
o
s)
t
2
o
4
Tiempo (horas)
Te
m
p
e
ra
tu
ra
(
C
)
2
4
6
4 12 16 20 248
T
x cm
x cm
y cm
Para el apartado a
u ti l ice la frmula:
volumen = largo
ancho a l tura.
Captulo 4 191
PREGUNTA TIPO EXAMEN
8 El diagrama representa un contenedor abierto con una capacidad
de 3 litros.
La base del contenedor es un cuadrado de x cm de lado. La altura
del contenedor es y cm.
a Escriba el volumen del contenedor en cm3.
b Halle una expresin para la altura, y, en uncin de x.
c Halle una expresin para el rea del contenedor, A, en
uncin de x.
d Copie y complete la siguiente tabla. D sus respuestas redondeadas
a dos ciras signifcativas.
x (cm) 5 10 15 20 25 30 35
A (x)(cm2)
e Dibuje con precisin el grfco de A para 0 < x 35. Utilice una
escala de 2 cm para representar 5 unidades en el eje horizontal y
1 cm para representar 400 unidades en el eje vertical.
f Utilice su grfco para decidir si existe un valor de x para el cual
el rea del contenedor es mnima. En caso afrmativo, escriba
este valor de x.
Ejercicio de revisin
Preguntas del estilo de la prueba
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
1 El grfco representa la temperatura en oC en una ciudad el
martes pasado.
a Escriba el intervalo de tiempo en el que la temperatura
ue menor que 0 C.
b Escriba el intervalo de tiempo en el que la temperatura
ue mayor que 11 C.
c Escriba la temperatura mxima del martes pasado.
D su respuesta redondeada a la unidad ms cercana.
2 El costo, c, en dlares de Singapur (SGD), de alquilar un
apartamento por n meses es un modelo lineal:
c = na + d
Donde d es el depsito de garanta y a es el monto mensual
del alquiler
Wan Ning alquil el apartamento por 6 meses y pag un total
de SGD35 000.
Tanushree alquil el mismo apartamento durante 2 aos y pag
un total de SGD116 000.
Calcule el valor de:
a a, el alquiler mensual b d, el depsito de garanta
x cm
x cm
y cm
t
0
4
8
12
4
16
4 12 16 20 248
T
Tiempo (horas)
Te
m
p
e
ra
tu
ra
(
C
)
Modelos matemticos192
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
3 Sabiendo que f (x) = x 2 + 5x:
a Factorice x 2 + 5x.
b Dibuje aproximadamente el grco de y = f (x). Muestre en su
grco:
i Las coordenadas de los puntos de interseccin con los ejes
ii La ecuacin del eje de simetra
iii Las coordenadas del vrtice de la parbola
4 Un rife dispara una bengala verticalmente desde el suelo.
La altura de la bengala desde el suelo, en metros, es una uncin
del tiempo t, en segundos, y se dene por:
a(t) = 30t 5t 2, 0 t 6
a Halle la altura de la bengala desde el suelo despus
de 4 segundos.
b Halle la mxima altura de la bengala desde el suelo.
c Utilice la CPG para hallar el intervalo de tiempo, en segundos,
que la bengala est a una altura del suelo de 25 m o ms.
5 El grco de la uncin f x
x
m
( ) =
2
pasa por los puntos
(3; 1,6) y (0, n).
a Calcule el valor de m.
b Calcule el valor de n.
Halle f (2).
6 El diagrama muestra el grco de y = x 2 2x 15.
El grco corta al eje x en el punto A, y tiene vrtice en B.
a Factorice x 2 2x 15.
b Halle las coordenadas del punto:
i A ii B
7 Considere los grcos de las siguientes unciones:
i y = 8x + x 2
ii y = (x 3)(x + 4)
iii y = x2 2x + 5
iv y = 5 4x 3x 2
Cul de estos grcos tiene las siguientes caractersticas?:
a Corta al eje y debajo del eje x.
b Pasa por el origen.
c No corta al eje x.
d Puede representarse con este diagrama.
0 x
(3; 1 ,6)
(0, n)
y
0 x
y
A
B
0 x
y
Captulo 4 193
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
8 La fgura muestra los grfcos de las unciones:
f (x) = (0,5)x 2 y g (x) = x2 + 4
Para valores de x entre 3 y 3. Los dos grfcos se cortan en los
puntos A y B.
a Halle las coordenadas de:
i A ii B
b Escriba el conjunto de valores de x para los cuales f (x) < g (x).
c Escriba la ecuacin de la asntota horizontal del grfco
de f (x).
9 Gabriel est diseando una ventana rectangular con un permetro
de 4,40 m. La longitud de la ventana es x m.
a Halle una expresin para el ancho de la ventana en
uncin de x.
b Halle una expresin para el rea de la ventana, A,
en uncin de x.
Gabriel quiere que pase la mxima cantidad de luz a travs de la
ventana.
c Halle el valor de x que cumple esta condicin.
10 a En el mismo sistema de ejes, dibuje aproximadamente las curvas
y = 3x 2 e y
x
=
1
para valores de x entre 4 y 4, y valores de y
entre 4 y 4.
b Escriba las ecuaciones de las asntotas vertical y
horizontal de y
x
=
1
.
c Resuelva la ecuacin 3 02
1
x
x
= .
0
y
x
2
2
4
6
4
2 44 2
f (x)
g (x)
A
B
Modelos matemticos194
Preguntas del estilo de la prueba
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
1 La cantidad de bacterias (c) en un cultivo despus de t horas est
dada por la rmula c = 1500(1,32)t.
a Copie y complete la siguiente tabla de valores para c y t.
Tiempo (t horas) 0 1 2 3 4
Cantidad de bacterias (c) 1500 2613 3450
b En papel milimetrado, dibuje con precisin el grfco de
c = 1500(1,32)t. Utilice una escala de 2 cm para representar
1 hora en el eje horizontal y 2 cm para representar 1000
bacterias en el eje vertical. Rotule el grfco claramente.
c Halle:
i La cantidad de bacterias despus de 2 horas y 30 minutos.
D su respuesta redondeada a la decena de bacterias ms cercana.
ii El tiempo que se tardar en alcanzar 5000 bacterias.
D su respuesta redondeada a la decena de minutos ms cercana.
2 Las unciones f y g se defnen por:
f x x x
x
( ) , ,=
4
0
g (x) = 2x, x R
a Dibuje aproximadamenteel grfco de f (x) para 8 x 8.
b Escriba las ecuaciones de las asntotas horizontal y vertical
de la uncin f.
c Dibuje aproximadamente el grfco de g en el mismo sistema de ejes.
d Halle las soluciones de
4
2
x
x= .
e Escriba el recorrido de la uncin f.
3 Una uncin se representa con la ecuacin f (x) = 2(1,5)x + 3.
La tabla muestra los valores de f (x) para 3 x 2.
x 3 2 1 0 1 2
f (x) 3,59 3,89 a 5 6 b
a Calcule los valores de a y de b.
b En papel milimetrado, dibuje con precisin el grfco de
f (x) para 3 x 2, usando 1 cm para representar 1 unidad
en ambos ejes.
El dominio de la uncin f (x) es el conjunto de nmeros reales, R.
c Escriba el recorrido de f (x).
d Halle el valor aproximado de x cuando f (x) = 10.
e Escriba la ecuacin de la asntota horizontal de
f (x) = 2( ,5)x + 3.
Captulo 4 195
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
4 El grfco muestra la temperatura, en grados
Celsius, de la taza de chocolate caliente de Lionel,
t minutos despus de servirla. La ecuacin del
grfco es f (t) = 21 + 77(0,8)t, donde f (t) es la
temperatura y t es el tiempo en minutos despus
de servir el chocolate caliente.
a Halle la temperatura inicial del chocolate
caliente.
b Escriba la ecuacin de la asntota horizontal.
c Escriba la temperatura ambiente.
d Halle la temperatura del chocolate caliente
despus de 8 minutos.
5 Considere las unciones:
f (x) = x2 x 6 y g (x) = 2x + 1
a En el mismo diagrama, dibuje con precisin los grfcos de
f (x) y de g (x) para 10 x 10.
b Halle las coordenadas del mnimo local del grfco de f (x).
c Escriba la pendiente de la recta g (x).
d Escriba las coordenadas del punto en el que el grfco de g (x)
corta el eje y.
e Halle las coordenadas del punto de interseccin de los grfcos
de f (x) y de g (x).
f A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, resuelva la
ecuacin x2 + x 7 = 0.
6 a Dibuje aproximadamente el grfco de f x x
x
( ) ,=
2
3
para 4 x 4.
b Escriba la ecuacin de la asntota vertical de f (x).
c En el mismo diagrama, dibuje aproximadamente el grfco de
g (x) = 3(2)x + 9, para 4 x 4.
d Escriba la ecuacin de la asntota horizontal de g (x).
e Halle las coordenadas de los puntos de interseccin de
f (x) y g (x).
0 x
20
40
60
100
80
2 16141210864
y
Tiempo (minutos)
Te
m
p
e
ra
tu
ra
(
C
)
Modelos matemticos196
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
7 La ganancia (G ) en euros proveniente de la venta de limonada
casera se puede modelizar con la rmula:
2
1 0
( ) 1 0 60
x
G x x= +
Donde x es la cantidad de vasos vendidos de limonada
a Copie y complete esta tabla:
x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
G 30 180 150 100
b En papel milimetrado, dibuje con precisin ejes para x y G (x),
ubicando la x en el eje horizontal y G (x) en el eje vertical.
Dibuje con precisin el grfco de G (x) situando los puntos de la tabla.
c Utilice su grfco para hallar:
i La ganancia mxima posible
ii La cantidad de vasos que hay que vender para alcanzar la
mxima ganancia
iii La cantidad de vasos que hay que vender para ganar EUR160
iv La cantidad de dinero que se invirti inicialmente
8 a Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin
f (x) = x 2 7, x R, 4 x 4. Escriba las coordenadas de los
puntos donde el grfco de y = f (x) corta los ejes.
b En el mismo diagrama, dibuje aproximadamente el grfco de
la uncin g (x) = 7 x 2, x R, 4 x 4.
c Resuelva la ecuacin f (x) = g (x) en el dominio dado.
d El grfco de la uncin h (x) = x + c, x R, 4 x 4,
donde c es un entero positivo, corta dos veces a cada una de
las unciones f (x) y g (x) en el dominio dado.
Halle los valores posibles de c.
9 Las unciones f y g se defnen como f x
x
( ) =
2
2
y
g x x x
x
( ) = +
2
2
2 , .
a Calcule las coordenadas de los puntos de interseccin de los
grfcos de f (x) y g (x).
b Halle la ecuacin del eje de simetra del grfco de y = g (x).
c La recta de ecuacin y = k, k R, es tangente al grfco de g.
Halle el valor de k.
d Dibuje aproximadamente el grfco de f (x) y el grfco de g (x),
usando un sistema de ejes cartesianos en el que 1 unidad se
represente con 1 cm. Muestre las coordenadas de los puntos
de interseccin con los ejes.
e Halle los valores de x que verifcan f (x) < g (x).
Captulo 4 197
RESUMEn DEL CAPTULO 4
Fucioes
Una uci es una relacin entre dos conjuntos: un primer conjunto y un segudo
conjunto. Cada elemento x del primer conjunto se relaciona con uo y solo u
elemento y del segundo conjunto.
El primer conjunto se denomina domiio de la uncin. Los elementos del dominio,
a menudo considerados valores de x, representan la variable idepediete.
Para cada valor de x (entrada), hay uno y solo un valor de y (salida). Este valor
se denomina image de x . El conjunto de todas las imgenes (todas las salidas) se
denomina recorrido de la uncin. Los elementos del recorrido, a menudo
considerados valores de y, representan la variable depediete.
El grfco de ua uci f es el conjunto de puntos (x, y) sobre el plano cartesiano,
donde y es la imagen de x a travs de la uncin f.
y = f (x) signifca que la imagen de x a travs de la uncin f es y. La variable
independiente es x y la variable dependiente es y.
Modelos lieales
Una uci lieal tiene la orma f (x) = mx + c, donde m (la pendiente) y c son
constantes.
Cuando f (x) = mx, el grfco pasa por el origen, (0, 0).
Modelos cuadrticos
Una uci cuadrtica tiene la orma f (x) = ax2 +bx +c, donde a, b, c R y a 0.
El grfco de una uncin cuadrtica se denomina parbola. Es una curva con la
orma ( o con la orma ). Tiene un eje de simetra y un punto mimo o un
punto mximo, llamado vrtice de la parbola.
Si a > 0, entonces el grfco tiene la orma ; si a < 0, entonces la orma del
grfco es .
La curva corta al eje y en (0, c).
La ecuacin del eje de simetra es x
b
a
=
2
, a 0.
La coordenada x del vrtice es x
b
a
=
2
.
La orma actorizada de una uncin cuadrtica es f (x) = a(x k)(x l).
Un grfco que tiene la orma es cncavo hacia arriba; un grfco que tiene la
orma es cncavo hacia abajo.
La curva corta al eje x en (k, 0) y en (l, 0).
La ecuacin del eje de simetra es x
k l
=
+
2
.
La coordenada x del vrtice es tambin x
k l
=
+
2
.
Contina en la pg ina sigu iente.
Modelos matemticos198
La uncin f (x) = ax2 +bx +c corta al eje x donde f (x) = 0. Los valores de x de los
puntos de interseccin son las dos soluciones (o races) de la ecuacin ax2 + bx + c = 0.
(El valor de y en estos puntos de interseccin es cero.)
Dos unciones f (x) y g (x) se cortan en los puntos en los que f (x) = g (x).
Modelos exponenciales
En una funcin exponencial, la variable independiente es el exponente.
En general, para el grfco de f (x) = kax + c, donde a + y k 0 y a 1 :
La recta y = c es la asntota horizontal
La curva pasa por el punto (0, k + c)
En general, para el grfco de f (x) = kax +c, donde a + y k 0 y a 1 :
La recta y = c es la asntota horizontal
La curva pasa por el punto (0, k + c)
El grfco es simtrico al grfco de g (x) = kax + c respecto del eje y
Funciones cbicas
Una uncin cbica tiene la orma f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, donde a 0.
El dominio es R, a menos que se indique lo contrario.
Captulo 4 199
El lenguaje de la matemtica
La matemtica se describe como un lenguaje. Tiene vocabulario (smbolos matemticos
con signifcados precisos) y gramtica (un orden en el que combinamosestos smbolos
para darles sentido).
La matemtica muchas veces se considera un lenguaje universal.
Puede un lenguaje ser verdaderamente universal?
Teora del Conocimiento
Preciso y conciso
El lenguaje matemtico es preciso y explcito, sin ambigedades.
Uti l iza su propio conjunto de reglas para manipular sus
proposiciones, por lo que es completamente abstracto.
La matemtica puede describir y representar ideas que no se
pueden expresar fci lmente con las palabras convencionales
escritas o habladas.
Estas dos proposiciones son equivalentes:
La matemtica lo d ice en forma mucho ms simple.
Dibuje y rotule un d iagrama para mostrar que estas dos
proposiciones son equivalentes.
El lenguaje corriente es
completamente
inapropiado para
expresar lo que realmente
afrma la sica, ya que
las palabras de la vida
cotidiana no son lo
sufcientemente
abstractas. Solo la
matemtica y la lgica
matemtica pueden decir
tan poco como los sicos
intentan decir.
Bertrand Russell,
La perspectiva cientfca
(1931 , traduccin libre
de la cita)
La matemtica es la llave abstracta que abre la cerradura del universo sico.
John Polkinghorne, One world: The interaction o Science and Theology (2007, traduccin libre de la cita)
6 9 = 54
k = t 6t + 12t + 2
D = {(x , y) | x + y = 5}
3 x < 7
d
dx
dy
dx
= 6x + 1 82 + 2 = 4
Si se corta al azar una
l nea recta, el cuadrado de la
recta entera es igual a los
cuadrados de los segmentos
y dos veces el rectngulo
comprendido por los
segmentos.
(Eucl ides, Los elementos,
I I .4, c. 300 a. C. )
(a + b) = a + b + 2ab<=>
Teora del Conocimiento: el lenguaje de la matemtica200
Chapter 4
Ecuaciones simples y bellas que
modelizan el mundo
El 1 es un concepto
abstracto de las matemticas
que tambin se ha convertido
en parte de nuestro lenguaje
cotidiano, el espaol. Los
nmeros i o tambin
son conceptos abstractos de
la matemtica, pero no se
han convertido en parte de
nuestro lenguaje cotidiano.
Los matemticos necesitan y
usan estos nmeros. No son
ms abstractos que el nmero
1. Ellos aparecen en contextos
matemticos y nos permiten
pensar matemticamente y
comunicar estas ideas, para
llevar a cabo manipulaciones,
para expresar resultados y
modelizar casos de la vida real
de una forma simple.
Lenguaje abstracto
Qu signifca 1?
Probablemente podamos responder esto con seguridad. 1 es
una parte de nuestro lenguaje, lo usamos todos los das. Su
signifcado nos resulta claro. Podemos imaginarnos ci lmente
1 banana.
Pero el lenguaje matemtico se ha seguido expandiendo para
inclu ir conceptos ms abstractos. Los matemticos l laman a la
raz cuadrada de 1 i .
Qu signifca? Podemos usar i en nuestra vida
cotidiana? Qu sucede con pi ( )? Mucha gente conoce
este nmero. Es la razn
circunferencia del crculo
dimetro del crculo
.
Qu signifca? Podemos imaginarnos bananas?
Existen e i?
Aqu se muestran algunas ecuaciones famosas:
La ecuacin de Einstein: E = mc2
La segunda ley de Newton: F = ma
La ley de Boyle: V =
k
p
La ecuacin de Schrdinger: ^ = E ( )
La ley de Newton de la gravitacin universal: F = G
m
1
m
2
r2
Estas son ecuaciones simples (aunque no ue simple deducirlas).
No es sorprendente que mucho de lo que sucede en el universo
pueda describirse usando ecuaciones como estas?
Estas ecuaciones han ayudado a l levar al hombre a la luna y
traerlo de vuelta, desarrol lar Internet inalmbrica y comprender el
uncionamiento del cuerpo humano.
Piensa que la matemtica y las ciencias descubrirn algn da
la l tima teora de todo? Una teora que expl ique
completamente y relacione todos los enmenos sicos? Una
teora que pueda predecir el resultado de cualquier experimento
que se l leve a cabo?
Qu harn entonces los matemticos y los cientfcos?
Captulo 4 201
Aplicaciones
estadsticas
OBJETIVOS DEL CAPTULO:
4.1 La distribucin normal, variables aleatorias, los parmetros y , representacin
mediante diagramas, clculos de probabi l idades en una distribucin normal, valor
esperado, clculos con la inversa de la distribucin normal
4.2 Variables bidimensionales: el concepto de correlacin; d iagramas de d ispersin,
recta de ajuste ptimo; coefciente de correlacin momento-producto de Pearson, r
4.3 Recta de regresin de y sobre x
4.4 La prueba 2 para la independencia: la h iptesis nu la y la a l ternativa, n iveles de
signifcacin, tablas de contingencia, recuencias esperadas, grados de l ibertad,
valores del parmetro p
5
Qu necesitamos saber
1 Hallar la media y la desviacin tpica
de un conjunto de datos, y comentar
acerca de la relacin entre ellos.
Por ejemplo, para el conjunto:
4, 5, 6, 8, 12, 13, 2, 5, 6, 9, 10, 9, 8, 3, 5:
Media =
( )4 5 6 8 12 13 2 5 6 9 10 9 8 3 5
15
+ + + + + + + + + + + + + +
=
105
15
7
En la calculadora de
pantalla grfca (en
adelante, CPG), la media
est indicada como x.
Usando la CPG, la
desviacin tpica (
x
) = 3,0 (3 cs).
Una desviacin tpica pequea indica que
los datos estn cerca de la media.
2 Dibujar aproximadamente el grfco de
una recta. Por ejemplo,
la recta y = 2x + 1
que pasa por el punto
(0, 1) y tiene pendiente 2.
Comprobemos nuestras habilidades
1 Halle la media y la desviacin tpica de
estos conjuntos de datos. Comente sobre sus
respuestas.
a 2, 4, 3, 6, 3, 2, 5, 3, 2, 5, 4, 4, 3, 5, 2,
3, 4, 5
b
x Frecuencia
12 1
13 2
14 23
15 2
16 1
2 Dibuje aproximadamente los grfcos de:
a y = 3x + 4
b y = 2x 6
En el captulo 2,
secciones 2.4 y 2.7,
encontrar ayuda.
Antes de comenzar
32 4
y = 2x + 1
11 5
x
y
5
4
3
2
1
1
0
Aplicaciones estadsticas202
La gente de esta otograa conorma una muestra de una poblacin y una uente de
datos valiosa. Como muchos datos en los enmenos naturales, las alturas de las
personas y sus pesos se ajustan a una distribucin normal, que estudiaremos en
este captulo. En las estadsticas mdicas, se utilizan estos datos para representar
grfcos de altura y peso, y establecer reglas generales acerca de un peso saludable.
La inormacin tambin se puede usar para registrar los cambios de la poblacin
a lo largo del tiempo. Por ejemplo, los datos pueden analizarse para determinar
si la gente, en general, est tendiendo a ser ms alta o ms pesada. Estos
resultados podran aectar y hasta defnir la poltica de un gobierno en trminos
de salud. Ms an, la manuactura y otras industrias podran usar esta
inormacin para decidir, por ejemplo, si producir o no marcos de puertas ms
altos o asientos de avin ms amplios.
Podramos pensar que algunos datos podran estn relacionados; por ejemplo, la
altura de una persona y su talle de zapato, o quizs la altura de un nio y la
altura que este tendr cuando sea adulto. Este captulo nos muestra cmo
investigar la correlacin y la uerza de las relaciones entre conjuntos de datos.
Investigacin: datos relacionados?
Piensa que la al tura y el tal le de zapato estn
relacionados? Recopi le la al tura y el tal le de zapato
de al menos 60 alumnos en su colegio. Site este
conjunto de puntos en un grfco. Uti l ice el eje x para
al tura y el eje y para tal le de zapato .
No una los puntos.
Los datos respaldan su h iptesis original acerca
de la al tura y el tal le de zapato?
El grfco que d ibu jar en esta
investigacin se denomina diagrama
de dispersin. Encontrar ms
sobre d iagramasde d ispersin y
correlacin entre conjunto de datos en
la seccin 5.2 de este captulo.
Captulo 5 203
5.1 La distribucin normal
Para su proyecto de Estudios Matemticos, Pedro mide las alturas
de todos los rboles del manzanar de su padre. Hay 150 rboles.
Si Pedro dibujara un diagrama para representar la frecuencia
de alturas de los 1 50 rboles, cmo sera ese diagrama?
Luego Pedro mide las alturas de los rboles del manzanar de su to.
Si dibujara un diagrama con las frecuencias de estas alturas,
este diagrama lucir diferente al diagrama anterior?
En ambos manzanares habr probablemente algunos
rboles muy bajos y algunos muy altos, pero estos sern la
excepcin. La mayora de los rboles estarn dentro de un cierto
rango de alturas. Se ajustarn aproximadamente a una curva
acampanada que es simtrica respecto de la media. A esto lo
llamamos distribucin normal.
Muchos sucesos se ajustan a este tipo de distribucin; por ejemplo,
las alturas de los hombres de 21 aos, los resultados de un examen
nacional de matemticas, los pesos de bebs recin nacidos, etc.
Las propiedades de una distribucin normal
La distribucin normal es la distribucin continua ms
importante en estadstica. La curva que representa esta
distribucin tiene estas propiedades:
Es una curva acampanada.
Es simtrica respecto de la media, . (La media, la moda
y la mediana tienen todas el mismo valor.)
El eje x es una asntota de la curva.
El rea total bajo la curva es 1 (o 100%).
50% del rea se encuentra a la izquierda de la media y 50%
a la derecha.
Aproximadamente 68% del rea se encuentra a menos
de 1 desviacin tpica, , de la media.
Aproximadamente 95% del rea se encuentra a menos
de 2 desviaciones tpicas de la media.
Aproximadamente 99% del rea se encuentra a menos
de 3 desviaciones tpicas de la media.
n 3 n 2v n + v n + 2v n + 3vn v n
99%
95%
0
68%
3
Frecuencia
2 410 5
Altura (m)
6 7
0
[ D iagrama de d istribucin
normal de las a l turas de los
r l m i i P r
A la curva normal
frecuentemente se
la l lama curva de
Gauss , en honor al
matemtico a lemn
Carl Friedrich Gauss
(17771855). Gauss
us la curva normal
para anal izar datos
astronmicos en
1809. En un viejo
bi l lete a lemn de
10 marcos, haba un
retrato de Gauss y la
curva normal .
Aplicaciones estadsticas204
Podemos calcular las probabilidades de sucesos que siguen una
distribucin normal.
Volviendo a Pedro y los manzanos, imaginemos que la altura
media de estos rboles es 4 m y la desviacin tpica es 0,5 m.
Sea x la altura del manzano.
32 410 5
x
6
Altura
7
n = 4
3
34%50%
2 410 5
x
6 7
n = 4 n + v
4 + 0,5 = 4,5
Altura
La probabilidad de que un manzano mida menos de 4 m es
P(x < 4) = 50% o 0,5. Adems, P(x < 4,5) = 50% + 34% = 84% o 0,84.
El valor esperado se halla multiplicando la cantidad de
elementos de la muestra por la probabilidad.
Por ejemplo, si eligiramos 00 manzanos aleatoriamente, el valor
esperado de rboles que medirn menos de 4 m = 00 0,5 = 50.
Ejemplo 1
El tiempo que se aguarda un ascensor sigue una distribucin normal, con media
1,5 minutos y desviacin tpica 20 segundos.
a Dibuje aproximadamente una curva normal para ilustrar esta informacin, indicando
claramente la media y los tiempos que se encuentran a menos de una, dos y tres desviaciones
tpicas de la media.
b Halle la probabilidad de que una persona aguarde el ascensor ms de 2 minutos 10 segundos.
c Halle la probabilidad de que una persona aguarde el ascensor menos de 1 minuto 10 segundos.
Se observan 200 personas y se anota el tiempo que aguardan el ascensor.
d Halle el nmero esperado de personas que aguardan el ascensor menos de 50 segundos.
Respuestas
a
Tiempo (segundos)
n 3
n 2v
n + v
n + 2v
n + 3v
n v
n
4020 60 80 100 120 140 160 180 2000
1,5 minutos = 90 segundos
= media = 90 segundos
= desviacin tpica = 20 segundos
Por las propiedades de
la d istribucin normal :
rea a la izquierda de
= 50%. rea entre
y + = 34%
(68% 2).
{ Contina en l a pg ina sigu iente.
Captulo 5 205
b
4020 60 80 100
Tiempo (segundos)
120 140 160 180 2000
n + 2v
n
P(aguardar ms de 2 minutos 10 segundos)
= 2,5%, o 0,025
c
402 0 60 80 1 00
Tiem po ( segu n d os)
1 2 0 1 40 1 60 1 80 2000
n v
P(aguardar menos de 1 minuto 10
segundos) = 16%, o 0,16
2 minutos 10 segundos = 130 segundos
Usando la simetra respecto de :
rea a la derecha de = 50%
rea entre y + 2 = 47,5% (95% 2)
rea a la derecha de + 2 = 50% 47,5% = 2,5%
1 minuto 10 segundos = 70 segundos
Usando la simetra respecto de :
rea a la izquierda de = 50%
rea entre y = 34% (68% 2)
rea a la izquierda de = 50% 34% = 16%
d
402 0 60 80 1 00 1 2 0 1 40 1 60 1 80 2000
n 2v
Tiem po ( segu n d os)
P(aguardar menos de 50 segundos) = 2,5%
o 0,025
Por lo tanto, el nmero esperado de
personas = 200 0,025 = 5.
Primero hallar la probabilidad de aguardar el
ascensor menos de 50 segundos
Usando la simetra respecto de :
rea a la izquierda de = 50%
rea entre y 2 = 47,5% (95% 2)
rea a la izquierda de 2 = 50% 47,5%
= 2,5%
Hay 200 personas en la muestra.
Ejemplo 2
Las alturas de 250 mujeres de 20 aos de edad se distribuyen normalmente, con media 1,68 m y
desviacin tpica 0,06 m.
a Dibuje aproximadamente un diagrama de distribucin normal para ilustrar esta informacin,
indicando claramente la media y las alturas que se encuentran a menos de una, dos y tres
desviaciones tpicas de la media.
b Halle la probabilidad de que la altura de una mujer se encuentre entre 1,56 m y 1,74 m.
c Halle el nmero esperado de mujeres con una altura mayor de 1,8 m.
Respuestas
a
1,61 ,5 1 ,71 ,4 1 ,8
Altura (m)
1 ,9 2
n 3 = 1 ,50
n 2v = 1 ,56
n + v = 1 ,74
n + 2v = 1 ,80
n + 3v = 1 ,86
n v = 1 ,62
n = 1 ,68 Sean:
= media = 1,68 m
= desviacin tpica = 0,06 m
{ Contina en l a pg ina sigu iente.
Aplicaciones estadsticas206
b
1 ,61 ,5 1 ,71 ,4 1 ,8
Altura (m)
1 ,9 2
n 2v n + v
P(altura entre 1,56 m y 1,74 m)
= 81,5% o 0,815
Usando la simetra respecto de :
rea entre y + = 34% (68% 2)
rea entre y 2 = 47,5% (95% 2)
rea entre 1, 56 m y 1,74 m = 34% + 47,5%
= 81,5%
c
1 ,61 ,5 1 ,71 ,4 1 ,8
Altura (m)
1 ,9 2
n + 2v
P(altura mayor de 1,8 m) = 2,5% o 0,025
Por lo tanto, el nmero esperado de mujeres
= 250 0,025 = 6,25 o 6 mujeres.
Primero hallar la probabilidad de que una mujer mida
ms de 1, 8 m
Usando la simetra respecto de :
rea a la derecha de = 50%
rea entre y + 2 = 47,5% (95% 2)
rea a la derecha de + 2 = 50% 47,5% = 2,5%
Hay 250 mujeres en la muestra.
Ejercitacin 5A
PREGUNTA TIPO EXAMEN
1 Las alturas de 200 azucenas se distribuyen normalmente, con media
40 cm y desviacin tpica 3 cm.
a Dibuje aproximadamente un diagrama de distribucin normal para ilustrar esta
informacin, indicando claramente la media, y las alturas que se encuentran
a menos de una, dos y tres desviaciones tpicas de la media.
b Halle la probabilidad de que una azucena tenga una altura menor de 37 cm.
c Halle la probabilidad de que una azucena tenga una altura de entre 37 cm y 46 cm.
d Halle el nmero esperado de azucenas con una altura mayor de 43 cm.
Captulo 5 207
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
2 Se les solicit a 100 personas que estimaran la duracin de 1 minuto. Sus estimaciones
se distribuyeron normalmente, con media 60 segundos y desviacin tpica 4 segundos.
a Dibuje aproximadamente un diagrama de distribucin normalpara ilustrar
esta informacin, indicando claramente la media, y las duraciones que se
encuentran a menos de una, dos y tres desviaciones tpicas de la media.
b Halle el porcentaje de personas que estimaron una duracin de entre 52 y 64 segundos.
c Halle el nmero esperado de personas que estimaron una duracin menor de 60 segundos.
3 Se les pregunt a 60 alumnos cunto tiempo tardaron en llegar al colegio.
Los tiempos se distribuyen normalmente, con media 20 minutos y desviacin tpica 5 minutos.
a Dibuje aproximadamente un diagrama de distribucin normal para
ilustrar esta informacin, indicando claramente la media, y los tiempos
que se encuentran a menos de una, dos y tres desviaciones tpicas de la media.
b Halle el porcentaje de alumnos que tardaron ms de 25 minutos en llegar al colegio.
c Halle el nmero esperado de alumnos que tardaron entre 15 y 25 minutos en llegar
al colegio.
4 Se anuncia que unos envases de leche de coco contienen 250 ml. Ariel controla
75 envases. Encuentra que sus contenidos se distribuyen normalmente,
con un volumen medio de 255 ml y una desviacin tpica de 8 ml.
a Dibuje aproximadamente un diagrama de distribucin normal para
ilustrar esta informacin, indicando claramente la media, y los volmenes
que se encuentran a menos de una, dos y tres desviaciones tpicas de la media.
b Halle la probabilidad de que un envase contenga menos de 239 ml.
c Halle el nmero esperado de envases que contienen ms de 247 ml.
Podemos usar la CPG para calcular valores que no son
mltiplos enteros de la desviacin tpica.
Por ejemplo, en la pregunta de la ejercitacin 5A,
supongamos que queremos hallar la probabilidad de que
un envase contenga ms de 250 ml.
Primero hay que hacer un dibujo aproximado de un
diagrama de distribucin normal.
En una pgina de Calculator (calculadora) +
, pulsar MENU 5:
Probability (probabilidad) | 5: Distributions (distribuciones) |
: Normal Cdf (dpA normal) e ingresar el lmite inferior (250),
el lmite superior (9 0999, un nmero muy grande),
la media (255) y la desviacin tpica (8).
220210200 230 240 250 270 280 290 300260
Volumen (ml)
Para ingresar 9 10999,
hay que escribir
9E999, pero no se
puede usar la tecla E.
Hay que usar, en su
lugar, la tecla EE.
Aplicaciones estadsticas208
Por lo tanto, 73,4% de los envases contienen ms de 250 ml de leche
de coco. Alternativamente, ingresar normCdf (dpA normal), el
lmite inferior, el lmite superior, la media y la desviacin tpica
directamente en la pantalla de la calculadora.
Ejemplo 3
La vida til de una bombilla de luz se distribuye normalmente, con media 2800 horas y desviacin
tpica 450 horas.
a Halle el porcentaje de bombillas que tienen una vida til de menos de 1950 horas.
b Halle el porcentaje de bombillas que tienen una vida til de entre 2300 y 3500 horas.
c Halle la probabilidad de que una bombilla tenga una vida til de ms de 3800 horas.
Se prueban 120 bombillas.
d Halle el nmero esperado de bombillas con una vida til de menos de 2000 horas.
Respuestas
a
2000 40000
2,95% de las bombillas tienen una vida til
de menos de 1950 horas.
b
2000 40000
80,7% de las bombillas tienen una vida til
de entre 2300 y 3500 horas.
= media = 2800 horas
= desviacin tpica = 450 horas
Vida til de menos de 1950 horas:
Lmite inferior = 9 10 999
Lmite superior = 1950
Usando la CPG:
normCdf(9e999, 1950, 2800, 450) = 0,02945
= 2,95%
Vida til de entre 2300 y 3500 horas:
Lmite inferior = 2300
Lmite superior = 3500
Recuerde que no se deben
usar notaciones del tipo
9e999 en los exmenes.
Usando la CPG:
normCdf(2300, 3500, 2800, 450) = 0,8068 = 80,7%
c
2000 40000
Solo 1,31% de las bombillas tienen una
vida til de ms de 3800 horas.
Vida til de ms de 3800 horas:
Lmite inferior = 3800
Lmite superior = 9 10999
Usando la CPG:
normCdf(3800, 9e999, 2800, 450) = 0,0131 = 1,31%
Para un valor muy
pequeo, ingresar:
9 10999.
{ Contina en l a pgina sigu iente.
Captulo 5 209
d
2000 40000
P(vida til de menos de 2000 horas) = 3,77%
Valor esperado = 120 0,0377
= 4,524
Por lo tanto, se espera que haya 4 o 5
bombillas con una vida til de menos de
2000 horas.
Primero hallar P(vida til de menos de 2000 horas):
Lmite inferior = 9 10999
Lmite superior = 2000
Usando la CPG:
normCdf(9e999, 2000, 2800, 450) = 0,0377 =
3,77%
Se prueban 120 bombillas.
Ejercitacin 5B
PREGUNTA TIPO EXAMEN
1 Jordi reparte peridicos a varias amilias de un barrio. El tiempo que tarda en
repartir los peridicos sigue una distribucin normal, con media 80 minutos y
desviacin tpica 7 minutos.
a Dibuje aproximadamente un diagrama de distribucin normal para
ilustrar esta inormacin.
b Halle la probabilidad de que Jordi tarde ms de 90 minutos en repartir los peridicos.
Jordi reparte los peridicos todos los das del ao (365 das).
c Calcule el nmero esperado de das en los que Jordi tardar ms de
90 minutos en repartir los peridicos.
2 Un conjunto de 2000 resultados de CI (coefciente intelectual) se distribuye normalmente,
con media 100 y desviacin tpica 10.
a Calcule la probabilidad que se representa en cada uno de los siguientes diagramas:
i
70 80 100 110 120 130 140 15050 60 90
CI
0
ii
70 80 100 110 120 130 140 15050 60 90
CI
0
iii
70 80 100 110 120 130 140 15050 60 90
CI
0
b Halle el nmero esperado de personas con un CI de ms de 115.
Lambert Qutelet (17961874),
un cientfco belga, ue el primero
en apl icar la d istribucin normal
a caractersticas humanas. Not
que medidas como la al tura,
el peso y el CI se d istribuyen
normalmente.
Aplicaciones estadsticas210
3 Una mquina produce arandelas cuyos dimetros se distribuyen normalmente,
con media 40 mm y desviacin tpica 2 mm.
a Halle la probabilidad de que una arandela tenga un dimetro menor de 37 mm.
b Halle la probabilidad de que una arandela tenga un dimetro mayor de 45 mm.
Cada semana se prueban 300 arandelas.
c Calcule el nmero esperado de arandelas que tienen un dimetro de
entre 35 mm y 43 mm.
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
4 En un colegio determinado, los ingresos mensuales del proesorado se
distribuyen normalmente, con media EUR2500 y desviacin tpica EUR400.
a Dibuje aproximadamente un diagrama de distribucin normal para
ilustrar esta inormacin.
b Halle la probabilidad de que un proesor gane menos de
EUR1800 por mes.
El colegio tiene 80 proesores.
c Calcule el nmero esperado de proesores que ganan ms de EUR3400.
5 Las longitudes de unos calabacines se distribuyen normalmente, con
media 16 cm y desviacin tpica 0,8 cm.
a Halle el porcentaje de calabacines que tienen una longitud de
entre 15 cm y 17 cm.
b Halle la probabilidad que un calabacn mida ms de 18 cm.
Se mide la longitud de 100 calabacines.
c Calcule el nmero esperado de calabacines que miden menos de 14,5 cm.
6 En un mercado, las bolsas de kiwis tienen un peso que se distribuye
normalmente, con media 500 g y desviacin tpica 8 g.
Un hombre elige una bolsa de kiwis al azar.
Halle la probabilidad de que la bolsa pese ms de 50 g.
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
7 Las califcaciones de una prueba de Fsica siguen una distribucin normal,
con media 70% y desviacin tpica 8%.
a Halle el porcentaje de alumnos que obtuvieron califcaciones de entre 55% y 80%.
La prueba de Fsica la realizaron 30 alumnos.
b Calcule el nmero esperado de alumnos que obtuvieron una califcacin
mayor de 85%.
8 Una mquina produce mangueras cuyas longitudes se distribuyen
normalmente, con media 1,78 m y desviacin tpica 2 cm.
Se rechazan aquellas mangueras que miden ms de 1,83 m.
a Halle la probabilidad de que se rechace una manguera.
Se prueban 500Mais conteúdos dessa disciplina
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