AULA 3 Testes de Hipóteses para uma Única Amostra

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Testes de Hipóteses 
para uma Única Amostra 
Testes de Hipóteses (TH) 
• Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre os parâmetros de uma 
ou mais populações. 
 
H0: m = 50 cm/s 
H1: m ≠ 50 cm/s 
ou 
H0: m = 50 cm/s 
H1: m > 50 cm/s 
ou 
H0: m = 50 cm/s 
H1: m < 50 cm/s 
Testes de Hipóteses (TH) 
• Erro Tipo I: a rejeição da hipótese nula H0 quando ela é verdadeira. 
 
P(erro tipo I) = a 
 
• Erro Tipo II: a falha em rejeitar H0 quando ela é falsa. 
 
P(erro tipo II) = b 
 
 
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa 
Falhar em rejeitar H0 nenhum erro erro tipo II 
Rejeitar H0 erro tipo I nenhum erro 
Testes de Hipóteses (TH) 
• A potência de um teste estatístico é a probabilidade de rejeitar H0 quando 
H1 é verdadeira. 
 
Potência = 1 – b 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
 
 
• Estatística de Teste: 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
Exemplo: Taxa de Queima de Propelente 
Os sistemas de escape da tripulação de uma aeronave funcionam devido a 
um propelente sólido. A taxa de queima desse propelente é uma 
característica importante do produto. As especificações requerem que a taxa 
média de queima tem de ser 50 centímetros por segundo. Sabemos que o 
desvio-padrão da taxa de queima é s = 2 centímetros por segundo. O 
experimentalista decide especificar uma probabilidade do erro tipo I, ou nível 
de significância, de α = 0,05. Ele seleciona uma amostra aleatória de n = 25 e 
obtém uma taxa média amostral de queima de x = 51,3 centímetros por 
segundo. Que conclusões poderiam ser tiradas? 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Rejeita H0) 
H0: m = 50 cm/s 
H1: m ≠ 50 cm/s 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
• O valor P é o menor nível de significância que conduz à rejeição de H0 com 
os dados fornecidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
valor P = 2 [1 – (3.25)] = 0.0012 
valor P < (a = 0.05)  Rejeita H0 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
• Cálculo de P(erro tipo II) = b ; d = m – m0 
 
 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
Exemplo: Erro Tipo II para a Taxa de Queima de Propelente 
As especificações requerem que a taxa média de queima tem de ser 50 
centímetros por segundo. Suponha que a taxa verdadeira de queima seja de 
49 centímetros por segundo. Qual é o valor de β para o teste bilateral com 
α = 0,05, s = 2 e n = 25? 
 d = m – m0 = 49 – 50 = – 1 
± za/2 = ± 1.96 
 
 
 
 
β = (– 0.54) – (– 4.46) = 0.295 
Potência = 1 – b = 1 - 0.295 = 0.705 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
• Tamanho de amostra (n) em função de b: 
 
 
 
 
 
 
 Considerando , 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
Exemplo: tamanho de amostra (n) em função de b para a Taxa de Queima 
de Propelente 
Suponha que o analista deseja planejar o teste de modo que, se a taxa média 
verdadeira de queima diferir de 50 centímetros por segundo não mais que 1 
centímetro por segundo, o teste detectará isso (ou seja, rejeita H0: m = 50) 
com probabilidade de 0,9. 
Notamos que s = 2, d = 51 – 50 = 1, a = 0.05 e β = 0.9. 
O tamanho requerido da amostra para detectar esse desvio de H0: m = 50 é: 
 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
Exercício 9-40: 
A temperatura média da água na saída de um tubo de descarga de uma torre 
de resfriamento de uma planta de energia não deve ser superior a 100oF. 
Experiência passada indica que o desvio-padrão da temperatura é 2oF. A 
temperatura da água é medida durante nove dias escolhidos aleatoriamente, 
sendo a temperatura média encontrada igual a 98oF. 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
(a) Há evidência que a temperatura da água seja aceitável, considerando-se 
α = 0,05? 
H0: m = 100 
H1: m < 100 
 
 
 
 
 
 
 
(z0 = – 3) < (– z0,05 = – 1,64)  Rejeita H0, logo a temperatura é aceitável. 
 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
(b) Qual é o valor P para esse teste? 
 
(Valor P = 0,001350) < (a = 0,05)  Rejeita H0. 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
(c) Qual é a probabilidade de aceitação da hipótese nula com α = 0,05, se a 
água tem uma temperatura média verdadeira de 104oF? 
 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
Exercício 9-45: 
Supercavitação é uma tecnologia de propulsão para veículos submarinos, que 
pode aumentar substancialmente sua velocidade. Isso ocorre acima de 
aproximadamente 50 metros por segundo, quando a pressão cai o suficiente 
para permitir que a água se dissocie em vapor de água, formando uma bolha 
de gás atrás do veículo. Quando a bolha de gás envolve completamente o 
veículo, a supercavitação ocorre. Oito testes foram conduzidos em um 
protótipo de um veículo submarino em um tanque com uma velocidade 
média observada de x = 102,2 metros por segundo. Considere que a 
velocidade seja normalmente distribuída, com desvio-padrão conhecido s = 4 
metros por segundo. 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
(a) Teste as hipóteses H0: µ = 100 e H1: µ < 100, usando α = 0,05. 
 
H0: m = 100 
H1: m < 100 
 
 
 
 
 
 
 
(z0 = 1,56) > (– z0,05 = – 1,64)  Falha em rejeitar H0. 
 
 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
(b) Qual é o valor P para o teste do item (a)? 
 
(Valor P = 0,940620) > (a = 0,05)  Falha em rejeitar H0. 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
(c) Calcule a potência do teste se a velocidade média verdadeira for tão baixa 
quanto 95 metros por segundo. 
 
 
 
 
 
Potência = 1 – b = 0,970621 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
(d) Que tamanho de amostra seria requerido para detectar uma velocidade 
média verdadeira se quiséssemos que a potência do teste fosse, no mínimo, 
0,85? 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 conhecida 
(e) Explique como a questão do item (a) poderia ser respondida, construindo 
um limite unilateral de confiança para a velocidade média. 
 
 
 
 
 
(m = 100)  IC  Falha em rejeitar H0. 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 desconhecida 
 
 
• Estatística de Teste: 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 desconhecida 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 desconhecida 
Exercício 9-55: 
Considere a saída computacional a seguir: 
Teste de µ = 12 versus µ  12 
Variável N Média DP EP da Média T P 
x 10 12,564 ? 0,296 ? ? 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 desconhecida 
(a) Quantos graus de liberdade existem para a estatística de teste t? 
 
graus de liberdade para t = n – 1 = 10 – 1 = 9 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 desconhecida 
(b) Preencha os valores que faltam. Você pode calcular limites para o valor de 
P? Que conclusões você pode tirar? 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 desconhecida 
(c) Esse é um teste unilateral ou bilateral? 
 
H0: m = 12 
H1: m ≠ 12 
 
 (bilateral) 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 desconhecida 
(d) Construa um IC bilateral de 95% para a média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(m = 12)  IC  Falha em rejeitar H0. 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 desconhecida 
H0: m = 12 
H1: m ≠ 12 
 
 
 
 
 
 
 
(– t0,025; 9 = – 2,262) < (t0 = 1,905) < (t0,025; 9 = 2,262)  Falha em rejeitar H0. 
 
Valor P > (a = 0,05)  Falha em rejeitar H0. 
 
TH para a média (m) de uma 
Distribuição Normal, s2 desconhecida 
(e) Se a hipótese tivesse sido H0: µ = 12 versus H1: µ > 12, suas conclusões 
mudariam? 
H0: m = 12 
H1: m > 12 
 
 
 
 
 
 
 
(t0 = 1,905) > (t0,05; 9 = 1,905)  Rejeita H0, logo as conclusões mudariam. 
TH para a média (m) de uma 
DistribuiçãoNormal, s2 desconhecida 
(f) Se a hipótese tivesse sido H0: µ = 11,5 versus H1: µ  11,5, suas conclusões 
mudariam? Responda esta questão usando o IC calculado no item (d). 
 
 
 
 
 
 
(m = 11,5)  IC  Rejeita H0. 
TH para a variância (s2) de uma 
Distribuição Normal 
 
 
• Estatística de Teste: 
TH para a variância (s2) de uma 
Distribuição Normal 
Exemplo: Enchimento Automático 
Uma máquina de enchimento é usada para encher garrafas com detergente 
líquido. Uma amostra aleatória de 20 garrafas resulta em uma variância 
amostral de volume de enchimento de s2 = 0,0153 (onça fluida)2. Se a 
variância do volume de enchimento exceder 0,01 (onça fluida)2, existirá uma 
proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo e cujo 
enchimento foi em demasia. Há evidência nos dados da amostra sugerindo 
que o fabricante tenha um problema com garrafas cheias com falta e excesso 
de detergente? Use α = 0,05 e considere que o volume de enchimento tenha 
uma distribuição normal. 
 
H0: s
2 = 0,01 
H1: s
2 > 0,01 
TH para a variância (s2) de uma 
Distribuição Normal 
H0: s
2 = 0,01 
H1: s
2 > 0,01 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Falha em rejeitar H0) 
TH para a proporção de uma 
população 
 
 
• Estatística de Teste: 
TH para a proporção de uma 
população 
Exemplo: Controlador de Motor de Automóveis 
Um fabricante de semicondutores produz controladores usados em 
aplicações no motor de automóveis. O consumidor requer que a fração 
defeituosa em uma etapa crítica de fabricação não exceda 0,05 e que o 
fabricante demonstre sua capacidade de processo nesse nível de qualidade, 
usando α = 0,05. O fabricante de semicondutores retira uma amostra 
aleatória de 200 aparelhos e encontra que quatro deles são defeituosos. O 
fabricante pode demonstrar uma capacidade de processo para o consumidor? 
 
H0: p = 0,05 
H1: p < 0,05 
TH para a proporção de uma 
população 
H0: p = 0,05 
H1: p < 0,05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Rejeita H0)