AP Matemática

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ESCOLA ESTADUAL LICEU CUIABANO MARIA DE ARRUDA MULLER 
 
APOSTILA – MATEMÁTICA – 2° ANO 
 
DETERMINANTES 
 
CUIABÁ, OUTUBRO DE 2020. 
DOCENTES: 
 
ÁLVARO POLIDO CARDOSO 
ANNELISE SEBBEN 
MARIONEY LUCIO NASCIMENTO ABREU 
MARIVALDA DE FÁTIMA FERREIRA GOMES 
 
 DISCENTE: 
 
 
 
1 
 
 
SUMÁRIO 
SUMÁRIO .............................................................................................................................................. 1 
1. DETERMINATES ............................................................................................................................ 2 
1.1 CONCEITO DE DETERMINATES ............................................................................................. 2 
1.2 DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 1 ............................................................................. 2 
1.3 DETERMINANTES DE MATRIZES DE ORDEM 2 ...................................................................... 2 
1.4 DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 3 ............................................................................. 2 
• Regra de Sarrus ...................................................................................................................... 2 
1.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS .................................................................................................... 3 
1.6 DETERMINANTES DE ORDEM 𝒏 ≥ 𝟐 ..................................................................................... 3 
1.6.1 Menor Complementar (Dij) ............................................................................................... 3 
1.6.2 Cofator de uma matriz (Cij) .............................................................................................. 3 
1.6.3 Teorema de Laplace ........................................................................................................ 3 
2. LISTAS ........................................................................................................................................... 4 
2.1 LISTA 1 ................................................................................................................................... 4 
2.2 LISTA 2 ................................................................................................................................... 4 
3. ATIVIDADE AVALIATIVA ................................................................................................................ 6 
4. REFERÊNCIAS ............................................................................................................................... 7 
5. ORIENTAÇÕES PARA A ENTREGA DAS ATIVIDADES ................................................................... 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1. DETERMINATES 
 
 
1.1 CONCEITO DE DETERMINATES 
 
O determinante de uma matriz possui várias 
aplicações atualmente. Utilizamos o determinante para verificar 
se três pontos estão alinhados no plano cartesiano, para calcular 
áreas de triângulos, para resolução de sistemas lineares, entre 
outras aplicações na matemática. O estudo de 
determinantes não se limita à matemática, há algumas 
aplicações na física, como no estudo de campos elétricos. 
Calculamos determinantes somente de matrizes 
quadradas, ou seja, matrizes em que a quantidade de colunas 
e a quantidade de linhas são iguais. Para calcular o 
determinante de uma matriz, precisamos analisar a ordem dela, 
ou seja, se ela é 1x1, 2x2, 3x3 e assim sucessivamente. No 
entanto, há métodos importantes realizar-se o exercício, como 
a regra de Sarrus, utilizada para calcular-se determinantes de 
matrizes 3x3. 
 
1.2 DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 1 
 
Uma matriz é conhecida como de ordem 1 quando possui 
exatamente uma linha e uma coluna. Quando isso ocorre, a 
matriz possui um único elemento, o a11. Nesse caso o 
determinante da matriz coincide com esse seu único termo. 
A = (a11) 
 
det(A) = | a11 | = a11 
 
Exemplo: 
A = [2] 
det(A) = |2| = 2 
Para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 1, é 
necessário então apenas conhecer o seu único elemento. 
 
1.3 DETERMINANTES DE MATRIZES DE 
ORDEM 2 
 
 
 
A matriz quadrada 2x2, conhecida também como 
matriz de ordem 2, possui quatro elementos, nesse caso, para 
calcular o determinante, é necessário conhecermos o que é 
a diagonal principal e a diagonal secundária. 
Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 
2, calculamos a diferença entre o produto dos termos 
da diagonal principal e os termos da diagonal secundária. 
Utilizando o exemplo algébrico que construímos, o det(A) será: 
 
 
Exemplo: 
 
 
1.4 DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 3 
 
Nela é necessário utilizar o que conhecemos 
como regra de Sarrus. 
 
• Regra de Sarrus 
 
A regra de Sarrus é um método para calcular-se determinantes 
de matrizes de ordem 3. É necessário seguir alguns passos, 
sendo o primeiro duplicar as duas primeiras colunas no final 
da matriz, conforme o exemplo a seguir. 
 
Agora vamos multiplicar os termos de cada uma das três 
diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal principal. 
 
Realizaremos um processo parecido com a diagonal secundária 
e as outras duas diagonais que estão no mesmo sentido que ela. 
 
 1.2 CONCEITO DE MATRIZ. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/subtracao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-sarrus.htm
 
3 
 
Note que os termos da diagonal secundária estão sempre 
acompanhados com o sinal negativo, ou seja, sempre 
trocaremos o sinal do resultado da multiplicação dos termos da 
diagonal secundária. 
 
Exemplo: 
 
 
1.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. (Vunesp) Considerando as matrizes A e B, determine 
o valor de det(A·B): 
 
a) -1 
b) 6 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
Resolução 
Alternativa E 
02. Dada a matriz A, qual deve ser o valor de x para que 
det(A) seja igual a 0? 
 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/9 
d) 3 
 
e) 9 
Resolução 
 
Alternativa B 
1.6 DETERMINANTES DE ORDEM 𝒏 ≥ 𝟐 
 
Determinantes de ordem n  2 Para o cálculo de tais 
determinantes, precisamos definir alguns conceitos 
fundamentais. 
 
1.6.1 Menor Complementar (Dij) 
 
É o determinante da matriz obtida após ser eliminada a 
linha e a coluna do elemento aij considerado. 
 
 
 
1.6.2 Cofator de uma matriz (Cij) 
 
 Chama-se cofator de um elemento aij de A ao número real 
Cij = (-1) i+ j . Dij, em que Dij é o menor complementar. 
 
 
 
 
1.6.3 Teorema de Laplace 
 
 O determinante de uma matriz A, de ordem n  2, é a 
soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou 
coluna) pelos seus respectivos cofatores. 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
2. LISTAS 
 
2.1 LISTA 1 
 
1) Calcule o determinante abaixo usando a Regra de Sarrus 
e o Teorema de Laplace: 
212
 112
321
−−
−
−
. 
 
2) Calcule o determinante da matriz 












−−
−−
=
1352
0321
0024
4321
A . 
 
3) Calcule o valor dos determinantes a seguir: 
 a) 
32
51−
 d) 
325
430
221
−−
−−
 
 b) 
351
02
 
 c) 
931
407
213
−
 
 
4) Calcule o determinante da matriz A, sendo A uma matriz 
quadrada de ordem 2, definida por jiaij .2
2 += : 
 
5) Para que valor de K a matriz 





+
−
K
K
21
11
tem 
determinante nulo: 
 
6) Calcule os valores de x que tornam iguais os 
determinantes das matrizes 
 


















−
−
532
321
0
 e 
3
22
2xx
x
x
 
7) Calcule o determinante abaixo, desenvolvendo-o pela 2ª 
linha: 
1110
1101
1011
dcba
 
 
8) Dadas as matrizes: 
,,














=










−=








=
100
010
5432
101
 e 
01
11
10
 
21
12
x
x
x
C
x
x
x
B
x
x
A
calcule o valor de x para que se tenha 
CBA detdetdet =+ . 
 
9) Resolvaas equações: 
 a) 0
12
1
 2 =+xx
x
 
 
 b) 0 
41
1
111
 =
x
xx 
 
Calcule 
( )
:
43
22
11
 e 
03
11
32
 , de a transpostmatriz a :sendo , det










−=










−
=

BA
AABA tt
 
 
2.2 LISTA 2 
 
1) Calcular o valor dos determinantes das seguintes matrizes: 
 
5 
 
a) A= 





83
3,0
2
1
 b) A=   .jia onde ,a ij2x2ij += 
 
2) Calcular o valor de Rx na igualdade 
34
33
+x
x
=0 
3) O conjunto solução de 
1x
11
1x
11
11
x1
= é: 
a) 1x|Rx  b){0;1} c){1} d){-1} e) {0} 
 
4) Determinar a matriz formada pelos cofatores dos elementos 
da matriz A=










−
−
−
2 2 1
0 1 4
1 23 
. 
5) Dada a matriz A= 










−
−
−−−
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
 
 . Calcule A , 
conhecida como matriz dos cofatores, e a matriz adjunta de 
A. 
 
6) Calcule os seguintes determinantes, aplicando o Teorema 
de Laplace: 
a) 
987
654
321
 b) 
0010
1000
2002
3110
 
7) O determinante 
0 300 
 2 10 
0 21
10 0 
−
−
−
x
x
x
 representa o 
polinômio: 
a) 1x 2 + 
b) 1x 2 −− 
c) 1x3
2 − 
d) )1x(3
2 + 
e) )1x)(1x(3 −+ 
 
8) (Fuvest – SP) O determinante da matriz 





ab
ba
, onde 
xxxx ee2b e eea2 −− −=+= é igual a: 
a) 1 b) –1 c) 
xe d) xe− e) 0 
 
9) Utilizando a regra de Sarrus, calcule: 
081
112
15,03,0
3
2
1
20
−
−
−
 
10) Sendo A=










231
210
032
, calcule: 
a) det A 
b) det 
tA 
 
11) Calcular x na igualdade 0
31
31
101
=
−
x
x 
 
12) Calcular x na igualdade 0
964
32
111
22
=
+−
−
xxx
xx 
 
13) Sendo A=












−−
−−
164278
11694
1432
1111
, calcular det A. 
 
14) Utilizando as propriedades dos determinantes, calcule os 
determinantes justificando os valores obtidos: 
a) 










−
−
152
311
243
 
b) 
1302
2804
4903
5102 −
 
c) 
3201
81264
3124
4632
−−
−
−−
 
 
6 
 
d) 
5000
3400
9230
5421
−
−−
−−
 
e) 
=
−
++−+
− 431
220
100
17218
134
892
097
022
043
54827
723428
184255
 
 
15) (MACK-SP) Se 





=





4x
b1
y3
2a
, A= 





yx
ba
 e B = 
tA , então det(A.B) vale: 
a) 8 b) 4 c) 2 d) –2 e) –4 
 
16) (FAAP-SP) Dada a matriz A= 





− 30
21
, calcule o 
determinante da matriz inversa de A. 
 
17) Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes: 
a) A= 





− 23
10
 b) B=










−
207
135
064
 
 
 
3. ATIVIDADE AVALIATIVA 
 
01. O determinante da matriz A = |
2
3
𝑙𝑜𝑔102
−2 √8
|é: 
a) 4. (√2 + 1) 
b) √2 +3 
c) 4. (
√2
3
+ 1) 
d) 2√3 + 4 
e) -5 
02. O determinante da matriz B = |
2 1 −1
0 1 2−1
1 −1 1
| é: 
a) 
1
2
 
b) 
3
2
 
c) 
5
2
 
d) 
7
2
 
e) 
9
2
 
03. O determinante da matriz C = |
𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
𝑠𝑒𝑛
𝜋
6
| é: 
a) 
√3
2
 
b) 
√3
3
 
c) 
√3
4
 
d) 
√3
5
 
e) 
√3
6
 
 
04. O determinante da matriz D = |
𝑎 𝑏
𝑑 𝑒
| é: 
a) ab + cd 
b) ae – bd 
c) bd – ae 
d) ae + bd 
e) ab – de 
 
05. O valor do determinante|
3 5
−4 12
| é: 
a) 56 
b) 16 
c) -16 
d) – 56 
e) 0 
06. Dada a matriz A = |
1 5 6
3 6 9
−4 0 −4
|, então o 
determinante é igual a: 
a) -48 
b) 76 
c) 0 
d) -408 
e) 408 
 
07. (Mack – SP) Sendo A = (𝑎𝑖𝑗 ) uma matriz quadrada de 
ordem 2 e 𝑎𝑖𝑗 = j - 𝑖
2, o determinante da matriz A é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
08. (PUC-MG) Considere as matrizes A = [
2 −1
0 1
−2 2
] e B 
= [
0 1 2
1 2 1
]. O valor de det (A.B) é: 
a) -6. 
b) -4. 
c) 0. 
d) 4. 
09. (FEI-SP) Dada a matriz A = [
2 3
−1 2
], 𝐴𝑡 sua 
transposta, o determinante da matriz A𝐴𝑡 é: 
a) 1. 
b) 7. 
c) 14. 
d) 35. 
e) 49. 
 
7 
 
 
10. (FESP) Dada a equação [
2𝑥 −1 2
3 5𝑥 1
2 5 −1
] = 45, o seu 
conjunto de solução é: 
a) {1,2} 
b) {3,2} 
c) {−1,2} 
d) {1, −2} 
e) {−1, −2} 
 
 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
A 
B 
C 
D 
E 
 
 
4. REFERÊNCIAS 
 
 
BRASIL ESCOLA. Determinantes. Disponível em: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-
1.htm. Acesso em 23 de setembro de 2020. 
 
5. ORIENTAÇÕES PARA A ENTREGA DAS 
ATIVIDADES 
 
• A entrega das listas de exercícios deve ser feita da 
seguinte forma: respostas em folha A4, feitas à mão 
e constando todos os desenvolvimentos das 
questões. Organização é um ponto fundamental para 
a verificação de aprendizagem. 
 
• Listas sem desenvolvimento não serão consideradas 
no processo avaliativo. 
 
• Material entregue fora do prazo não será considerado 
no processo avaliativo e nem será contabilizada 
frequência do período correspondente. 
 
• Especificar a identificação de cada lista. 
 
• Preencher o gabarito na Atividade Avaliativa e anexar 
o desenvolvimento das questões. 
 
• Materiais a serem entregues: LISTA 1 e LISTA 2 e 
ATIVIDADE AVALIATIVA. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm