Lógica Matemática_Atividade_Semana3_Gabarito

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Curso: ​Ciência de Computação 
Atividade: ​Semana 3 
Período: 1​o 
Disciplina: ​Lógica Matemática 
Nome do aluno: Matrícula: 
1. ​(2 Pontos) ​Dadas as seguintes 
proposições: 
a) p: ABCD é um losango; e q: ABCD é um paralelogramo. b) p: O 
polígono ABCDE... (com qualquer número de vértices) é regular; e 
q: O polígono ABCDE... é 
inscritível. 
Para cada item a) e b), responda quais implicações (p ⇒ q) e (q ⇒ p) são válidas. 
Justifique em cada caso. 
Resposta1.- 
a) ​Sabe-se que um losango é uma figura geométrica que possui quatro lados 
paralelos e de igual comprimento. Enquanto um paralelogramo é uma figura 
geométrica que possui quatro lados paralelos, onde apenas os lados opostos tem 
igual comprimento. Com isso, temos que: 
(p ⇒ q) é válida. Uma vez que todo losango é paralelogramo. (q ⇒ p) não é 
válida. Uma vez que nem todo paralelogramo é losango. ​b) ​Um polígono regular é 
uma figura geométrica com lados iguais. Polígonos inscritos ou inscritíveis são 
aqueles que estão no interior de uma circunferência, de modo que todos os seus 
vértices são pontos dela. Com isso, temos que: 
(p ⇒ q) é válida. Uma vez que todo polígono regular é inscritível. (q ⇒ p) não é 
válida. Uma vez que existem polígonos inscritíveis que não são regulares. 
2. ​(1 Ponto) ​Mostre usando tabelas verdade que: (q ⇒ p ∧ q ↔ 
p) 
Resposta2.- ​Precisamos mostrar que a (q → (p ∧ q ↔ p)) é tautológica. Fazendo 
a tabela verdade temos que a tautologia na última coluna. 
p q p ∧ q (p ∧ q ↔ p) (q → (p ∧ q ↔ p)) 
V V V V V 
V F F F V 
F V F V V 
F F F V V 
3. ​(3 Pontos) ​Demostre as seguintes equivalências usando tabelas 
verdade: 
a) q ↔ p ∨ q ⇔ p → q b) p → q ∧ r 
⇔ (p → q) ∧ (p → r) c) (p ↔ q) ↔ r 
⇔ p ↔ (q ↔ r) 
Resposta3.- ​Basta mostrar que as expressões a ambos lados da equivalência 
possuem valores-verdade idênticos. 
a) Fazendo a tabela-verdade temos: 
p q (p ∨ q) q ↔ p ∨ q (p → q) 
V V V V V 
V F V F F 
F V V V V 
F F F V V 
b) Fazendo a tabela-verdade temos: 
p q r (q ∧ r) (p → q) (p → r) p → q ∧ r (p → q) ∧ (p → r) 
V V V V V V V V 
V V F F V F F F 
V F V F F V F F 
V F F F F F F F 
F V V V V V V V 
F V F F V V V V 
F F V F V V V V 
F F F F V V V V 
c) Fazendo a tabela-verdade temos: 
p q r (p ↔ q) (q ↔ r) (p ↔ q) ↔ r p ↔ (q ↔ r) 
V V V V V V V 
V V F V F F F 
V F V F F F F 
V F F F V V V 
F V V F V F F 
F V F F F V V 
F F V V F V V 
F F F V V F F 
4. ​(1 Ponto) ​Demostre que o conectivo ∨ (ou exclusivo) pode ser expressado em 
termos 
dos conectivos ¬, ∧ e ∨ , do seguinte 
modo: 
p ∨ q ⇔ (​p ∨ q​) ​∧ ¬​(​p ∧ 
q​) 
Resposta4.- ​Podemos mostrar a equivalência usando tabelas-verdade. Como as 
colunas correspondentes são idênticas as proposições são equivalentes. 
p q p ∨ q (p ∨ p) ​¬(p ∧ q) (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) 
V V F V F F 
V F V V V V 
F V V V V V 
F F F F V F 
Outra forma de mostrar usando propriedades é: p ∨ q ⇔ ¬(​p ↔ q​) ​(Observando 
a definição de ambos operadores) ​p ∨ q ⇔ ¬((​p ∧ q​) ​∨ ​(​¬p ∧ ¬q​)) ​(Equiv. 
da ↔, ambas verdadeiras ou falsas) ​p ∨ q ⇔ ¬(​p∧ q​) ​∧ ​¬(​¬p ∧¬q​) ​( De 
Morgan) ​p ∨ q ⇔ ¬(​p∧ q​) ​∧ ​(​p ∨ q​) ​( De Morgan e Dupla negação) 
Outra forma de mostrar usando propriedades é: p ∨ q ⇔ (​p ∧ ¬q​) ​∨ ​(​¬p ∧ q​) 
(Observando que ​∨ pode definição ​é verdadeiro quando um termo é 
verdadeiro e o outro falso) ​Como o termo esta no formato disjunção e 
precisamos converter ele no formato conjunção. Precisamos usar a propriedade 
distributiva. Para isso, introduzimos dois termos falsos na disjunção (Identidade): p 
∨ q ⇔ (​p ∧ ¬p​) ​∨ ​(​p ∧ ¬q​) ​∨ ​(​¬p ∧ q​) ​∨ ​(​q ∧ ¬q​) ​(Identidade) ​p ∨ q ⇔ (​p 
∧ ​(​¬p ∨¬q​)) ​∨ ​(​q ∧ ​(​¬p ∨ ¬q​)) ​(Distributiva) ​p ∨ q ⇔ (​p ∨ q​) ​∧ ​(​¬p ∨ ¬q​) 
(Distributiva) ​p ∨ q ⇔ (​p ∨ q​) ​∧ ¬​(​p ∧ q​) ​(De Morgan) 
5. ​(1 Ponto) ​Determine o seguinte: 
a) A contrapositiva de: ¬p → q b) A 
contrapositiva da recíproca de: p → ¬q 
Resposta5.- 
a) ​A contrapositiva de : ¬p → q é por definição: ¬q → ¬¬p ⇔ ¬q → p ​b) 
Primeiro calculamos a recíproca de: p → ¬q é definida como: ¬q → p Depois 
calculamos a contrapositiva de: ¬q → p é definida como: ¬p → q 
6. ​(1 Ponto) ​Demostre ​a seguinte regra de DeMorgan para três componentes 
usando propriedades da álgebra de proposições, inclusive a regra de 
DeMorgan para dois componentes​: 
¬(p ∧ q ∧ r) ​⇔ ​¬p ∨ ¬q ∨ ¬r 
Resposta6.- 
Para realizar a prova da equivalência da regra de De Morgan generalizada para 
três termos que agrupar dois termos e aplicar a regra de De Morgan com dois 
termos. 
¬(p∧ q∧ r) ​⇔ ​¬((p∧ q)∧ r) ​(Regra Associativa)⇔ 
¬​(​p ∧ q​) ​∨ ¬r ​(Regra De Morgan) ⇔ ​¬p ∨ ¬q ∨ ¬r 
(Regra De Morgan) 
7. ​(1 Ponto) ​Considerando que: (¬p ⇔ p ↓ p). Usando a definição do conectivo ↓ de 
Schaffer encontre uma expressão equivalente para (p ∨ q) em termos apenas do 
conectivo ↓. Use as propriedades que forem necessárias. 
Resposta7.- 
Sabe-se que : (¬p ⇔ p ↓ p) 
A definição do conectivo ↓ de Schaffer: (p ↓ q) ⇔ ¬p ​∧ 
¬q 
Uma expressão para o (p ∨ q) pode ser obtida a partir da definição do conectivo ↓ 
de Schaffer: ​(p ↓ q) ⇔ ¬¬(¬p ​∧ ​¬q) (Aplicando dupla negação) 
(p ↓ q) ⇔ ¬(p ​∨ ​q) (Aplicando De Morgan) 
Com isso temos: 
(p ​∨ ​q) ⇔ ¬(p ↓ q) 
Aplicando a equivalência da negação, 
temos: 
(p ​∨ ​q) ⇔ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)