CALCULO II

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
 
 
1a Questão (Ref.:201604586539) Acerto: 1,0 / 1,0 
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é 
dado por: 
 
 〈4,0,10〉 
 
〈4,8,7〉 
 
〈2,3,11〉 
 
〈2,4,12〉 
 
〈6,8,12〉 
Respondido em 15/09/2019 20:20:07 
 
 
 
2a Questão (Ref.:201604568971) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua 
posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
2i + 2j 
 
2i 
 2j 
 
2i + j 
 
i/2 + j/2 
Respondido em 15/09/2019 20:02:00 
 
 
 
3a Questão (Ref.:201603502672) Acerto: 1,0 / 1,0 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) 
= (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o 
intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no 
instante t = 0. 
 
 
2 
 3 
 
9 
 
1 
 
14 
Respondido em 15/09/2019 20:02:14 
 
 
 
4a Questão (Ref.:201603619969) Acerto: 1,0 / 1,0 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 
 (1−cost,sent,1)(1-cost,sent,1) 
 (1−sent,sent,0)(1-sent,sent,0) 
 (1−cost,sent,0)(1-cost,sent,0) 
 (1−cost,0,0)(1-cost,0,0) 
 (1 +cost,sent,0)(1 +cost,sent,0) 
Respondido em 15/09/2019 20:03:37 
 
 
 
5a Questão (Ref.:201604304712) Acerto: 1,0 / 1,0 
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 
 
 4,47 
 
2,28 
 
9,31 
 
2,56 
 
3,47 
Respondido em 15/09/2019 20:05:17 
 
 
 
6a Questão (Ref.:201604577246) Acerto: 1,0 / 1,0 
A circunferência x2+y2=9x2+y2=9 em coordenadas polares é dada por: 
 
 r = 3 
 
r = 6 
 
r = 4 
 
r = 7 
 
r = 5 
Respondido em 15/09/2019 20:06:02 
 
 
 
7a Questão (Ref.:201606453347) Acerto: 1,0 / 1,0 
Um objeto de massa mm que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constante ww tem vetor posição dado 
por r(t)=(acoswt,asenwt)r(t)=(acoswt,asenwt). Indique a única resposta 
correta que determina a velocidade em um tempo tt qualquer. 
Observação: aa > 0. 
 
 (asenwt,acoswt)(asenwt,acoswt) 
 (−a²wsenwt,−a²wcoswt)(−a²wsenwt,−a²wcoswt) 
 (−aw²sent,aw²coswt)(−aw²sent,aw²coswt) 
 (−awsent,awcoswt)(−awsent,awcoswt) 
 (awsenwt,awcoswt)(awsenwt,awcoswt) 
Respondido em 15/09/2019 20:07:49 
 
 
 
8a Questão (Ref.:201606448903) Acerto: 0,0 / 1,0 
Um objeto de massa mm que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constanteww tem vetor posição dado 
por r(t)=(bcoswt,bsenwt)r(t)=(bcoswt,bsenwt). Indique a única resposta 
correta que determina a aceleração a(t)a(t) em um tempo t qualquer. 
Observação: bb> 0. 
 
 a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt)a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt) 
 a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt) 
 a(t)=(bw³coswt,bw²senwt)a(t)=(bw³coswt,bw²senwt) 
 a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt)a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt) 
 a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt) 
Respondido em 15/09/2019 20:20:38 
 
 
 
9a Questão (Ref.:201606476347) Acerto: 0,0 / 1,0 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente ∇f∇f da 
função f(x,y,z)=e−x−y−zf(x,y,z)=e−x−y−z no 
ponto P0(ln2,ln2,ln2)P0(ln2,ln2,ln2) 
 
 ∇f=<−18,−18,−18>∇f=<−18,−18,−18> 
 ∇f=<18,18,18>∇f=<18,18,18> 
 ∇f=<38,58,58>∇f=<38,58,58> 
 ∇f=<18,18,−18>∇f=<18,18,−18> 
 ∇f=<38,18,18>∇f=<38,18,18> 
Respondido em 15/09/2019 20:20:31 
 
 
 
10a Questão (Ref.:201604593508) Acerto: 0,0 / 1,0 
Qual é a derivada parcial da 
funçãof(x,y)=(yex+x sen y)f(x,y)=(yex+x sen y) 
 
 fx=yex+sen y e fy=ex+cos y fx=yex+sen y e fy=ex+cos y 
 fx=yex+sen y e fy=ex+cos x fx=yex+sen y e fy=ex+cos x 
 fx=ex+sen y e fy=ex+cos y fx=ex+sen y e fy=ex+cos y 
 fx=yex+sen y e fy=ey+cos y fx=yex+sen y e fy=ey+cos y 
 
 fx=yex+sen x e fy=ex+cos y 
 
 
 
1a Questão (Ref.:201603503134) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j para −π2<t<π2-π2<t<π2 
 
 
tg t - sen t 
 cos t 
 
sen t 
 
tg t 
 
sen t + cos t 
Respondido em 15/09/2019 21:00:56 
 
 
 
2a Questão (Ref.:201604482644) Acerto: 0,0 / 1,0 
Calcule r'(t)=v(t)r′(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 
- t)j,em,emt = 1. 
 
 r′(t)=v(t)=13i - 2j 
 r′(t)=v(t)=15i - 3j 
 r′(t)=v(t)=12i - j 
 r′(t)=v(t)=14i + j 
 r′(t)=v(t)=32i - j 
Respondido em 15/09/2019 21:08:30 
 
 
 
3a Questão (Ref.:201606421748) Acerto: 1,0 / 1,0 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja 
falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela ao 
vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: 
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano 
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
Respondido em 15/09/2019 20:32:03 
 
 
 
4a Questão (Ref.:201603619962) Acerto: 1,0 / 1,0 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta 
correta. 
 
 (sent,−cost,1)(sent,-cost,1) 
 (−sent, cost,1)(-sent, cost,1) 
 (sent,−cost,0)(sent,-cost,0) 
 (sect,−cost,1)(sect,-cost,1) 
 (sent,−cost,2t)(sent,-cost,2t) 
Respondido em 15/09/2019 20:31:02 
 
 
 
5a Questão (Ref.:201604549326) Acerto: 1,0 / 1,0 
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a 
 
 
-2 
 
1 
 
2 
 0 
 
-1 
Respondido em 15/09/2019 20:29:34 
 
 
 
6a Questão (Ref.:201604592180) Acerto: 1,0 / 1,0 
Transformando a coordenada polar (-4, π6π6) em coordenada cartesiana, obtemos: 
 
 (−2√ 3 ,−√ 2 )(−23,−2) 
 (2√ 3 ,2)(23,2) 
 (−2√ 3 ,−2)(−23,−2) 
 (√ 3 ,0)(3,0) 
 (−4,√ 3 )(−4,3) 
Respondido em 15/09/2019 20:28:18 
 
 
 
7a Questão (Ref.:201606393297) Acerto: 1,0 / 1,0 
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a longo 
de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do 
módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 I,II e III 
 I,III e IV 
 I,II,III e IV 
 I,II e IV 
 II,III e IV 
Respondido em 15/09/2019 20:26:13 
 
 
 
8a Questão (Ref.:201606357586) Acerto: 1,0 / 1,0 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja 
falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela ao 
vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: 
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitáriode uma curva derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano 
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
Respondido em 15/09/2019 20:25:10 
 
 
 
9a Questão (Ref.:201604539587) Acerto: 1,0 / 1,0 
Determine as derivadas de primeira ordem da função: 
 f(x,y,z) = x2y - 3xy2 + 2yz. 
 
 
fx = 2xy - y
2 , fy = x
2 - 6x + 2z, fz = y 
 
fx = xy - 3y , fy = x - 6xy + 2z, fz = 2y 
 
fx = 2xy - 3y , fy = x
2 - 3xy + 2z, fz = 2z 
 fx = 2xy - 3y
2 , fy = x
2 - 6xy + 2z, fz = 2y 
 
fx = 2x - 3y
2 , fy = x
2 - 3xy + 2y, fz = 2y 
Respondido em 15/09/2019 20:23:47 
 
 
 
10a Questão (Ref.:201604591368) Acerto: 0,0 / 1,0 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -4xy - y2 , onde x(t) = -t e y (t) = -t ? 
 
 -4t 
 -8t 
 
8t 
 
-8t+1 
 
4t 
 
 
1a Questão (Ref.:201604568971) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua 
posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 2j 
 
2i + j 
 
2i + 2j 
 
i/2 + j/2 
 
2i 
Respondido em 22/09/2019 19:12:29 
 
 
 
2a Questão (Ref.:201606421747) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
 
 v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
Respondido em 22/09/2019 19:15:11 
 
 
 
3a Questão (Ref.:201604196131) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
 
 
1/a 
 a 
 
sqrt (a) 
 
3a 
 
2a 
Respondido em 22/09/2019 19:18:28 
 
 
 
4a Questão (Ref.:201603619962) Acerto: 1,0 / 1,0 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta 
correta. 
 
 (−sent, cost,1)(-sent, cost,1) 
 (sect,−cost,1)(sect,-cost,1) 
 (sent,−cost,1)(sent,-cost,1) 
 (sent,−cost,2t)(sent,-cost,2t) 
 (sent,−cost,0)(sent,-cost,0) 
Respondido em 22/09/2019 19:17:23 
 
 
 
5a Questão (Ref.:201604592180) Acerto: 1,0 / 1,0 
Transformando a coordenada polar (-4, π6π6) em coordenada cartesiana, obtemos: 
 
 (−2√ 3 ,−2)(−23,−2) 
 (√ 3 ,0)(3,0) 
 (−4,√ 3 )(−4,3) 
 (2√ 3 ,2)(23,2) 
 (−2√ 3 ,−√ 2 )(−23,−2) 
Respondido em 22/09/2019 19:19:47 
 
 
 
6a Questão (Ref.:201604042109) Acerto: 0,0 / 1,0 
 
 
 x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 
 
 20x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 
 x4+exy.30xy e 12x2y + 40y4exy 
 x
40+exy.2xy e 12x20y + y4exy 
Respondido em 22/09/2019 19:46:26 
 
 
 
7a Questão (Ref.:201604622168) Acerto: 1,0 / 1,0 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t) = (t³)i + (t²)j . Calcule a 
aceleração em t =1 segundo. 
 
 
i - 2j 
 
6i + j 
 
6i - 2j 
 
i + j 
 6i + 2j 
Respondido em 22/09/2019 19:34:57 
 
 
 
8a Questão (Ref.:201604490815) Acerto: 1,0 / 1,0 
Determine a única resposta correta para a equação paramética para a reta 
que passa por P(3, -4, -1) paralela ao vetor v = i + j + k. 
 
 x=3+tx=3+t; y=−4+ty=-4+t; z=−1+tz=-1+t 
 x=3+tx=3+t; y=−4+ty=-4+t; z=1−tz=1-t 
 x=−3+tx=-3+t; y=−4+ty=-4+t; z=−1+tz=-1+t 
 x=tx=t; y=−ty=-t; z=−1+tz=-1+t 
 x=3+tx=3+t; y=4+ty=4+t; z=−1+tz=-1+t 
Respondido em 22/09/2019 19:37:52 
 
 
 
9a Questão (Ref.:201604586550) Acerto: 1,0 / 1,0 
O divergente de F(x, y) = 
(4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale: 
 
 
3y - x 
 
2y - x 
 
2y -3x 
 9x -6y 
 
6y + 2x 
Respondido em 22/09/2019 19:38:20 
 
 
 
10a Questão (Ref.:201604591381) Acerto: 1,0 / 1,0 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = 2x2 -4xy + 2y2 , onde x(t) = t e y (t) = t ? 
 
 
4t 
 
8t 
 -8t 
 
2t 
 
6t 
Respondido em 22/09/2019 19:49:50 
 
 1a Questão 
 
 Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares vamos obter: 
 
 
( 4, π/6) 
 
( 6, π/2) 
 ( 2, π/6) 
 ( 2, π/2) 
 
( 6, π/6) 
Respondido em 15/09/2019 19:50:36 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Se r(t)== 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt∫r(t)dt é: 
 
 -cost j + t2 k + C 
 2sent i - cost j + t2 k + C 
 πsenti - cost j + t2 k + C 
 sent i - t2 k + C 
 2senti + cost j - t2 k + C 
Respondido em 15/09/2019 19:50:41 
 
 
Explicação: 
As integrais indefinidas de funções vetoriais são calculadas componente por componente. 
 
 
 
 3a Questão 
 
 Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
 
 v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
Respondido em 15/09/2019 19:50:43 
 
 
Explicação: 
v(t)=drdt=r′(t)v(t)=drdt=r′(t) 
 
 
 
 4a Questão 
 
 O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas 
funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única 
resposta correta para o limite da 
função: limt→0[r(t)=(sen2t)i+eln(2t)j+(cost)k]limt→0[r(t)=(sen2t)i+eln(2t)
j+(cost)k] 
 
 i+ji+j 
 i+j+ki+j+k 
 kk 
 i+ki+k 
 jj 
Respondido em 15/09/2019 19:50:48 
 
 
Explicação: 
Aplica-se a teoria de limites na expressão vetorial de r(t)r(t). Atenção especial 
deve ser dada à expressão eln(2t)=2teln(2t)=2t 
 
 
 
 5a Questão 
 
 Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela 
funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(d) 
 
(b) 
 
(e) 
 (a) 
 (c) 
Respondido em 15/09/2019 19:51:53 
 
 
Explicação: 
Igualar as equações das duas trajetórias e calcular o tempo nas quais elas 
são idêbnticas. 
 
 
 
 6a Questão 
 
 Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª 
ordem fxfx e fyfy da função: f(x,y)=xe3y 
 
 fx=e3yfx=e3y e fy=3xe3yfy=3xe3y 
 fx=eyfx=ey e fy=3xeyfy=3xey 
 fx=0fx=0 e fy=0fy=0 
 fx= −e3yfx= -e3y e fy= −3xe3yfy= -3xe3y 
 fx=π3yfx=π3y e fy=3πe3yfy=3πe3y 
Respondido em 15/09/2019 19:51:59 
 
 
Explicação: 
Aplicação das regras de derivação parcial em função a duas variáveis. 
 
 
 
 7a Questão 
 
 O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é: 
 
 
(1, 1, -1) 
 
(-1, 0, 1) 
 (0, 2, -1) 
 
(2, 1, -1) 
 (0, -1, 1) 
Respondido em 15/09/2019 19:52:05 
 
 
 
 8a Questão 
 
 A integral definida da função vetorial r(t) = (3t² - 1)i + (2t +2)j + (t³)k para t [0,2] é: 
 
 
〈 2/3,6,4 〉 
 
〈4,6,5 〉 
 〈6,8,4 〉 
 〈 4/3,4,5 〉 
 
〈2,2/3,6 〉 
 
 1a Questão 
 
 Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = ⟨1+t,2+5t,−1+6t⟩〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1z=-1 
 x=1 −tx=1 -t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 x= tx= t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t 
Respondido em 15/09/2019 20:49:26 
 
 
Explicação: 
Calculando as equações paramétricas. 
 
 
 
 2a Questão 
 
 EncontrandoPrimitivas. 
Seja ∫(costi+3t2j)dt∫(costi+3t2j)dt, qual a única 
resposta correta? 
 
 (sent)i + t³j 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
(cost)i + 3tj 
 
-(sent)i -3tj 
 
(cost)i - 3tj 
Respondido em 15/09/2019 20:49:29 
 
 
Explicação: 
Trata-se de uma integração imediata de uma função vetorial. 
 
 
 
 3a Questão 
 
 Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja 
falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela ao 
vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: 
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano 
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
Respondido em 15/09/2019 20:44:33 
 
 
 
 4a Questão 
 
 O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas 
funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única 
resposta correta para o limite da 
função: limt→0r(t)limt→0r(t) se r(t)=(1+t³)i+te−tj+senttkr(t)=(1+t³)i+te−tj
+senttk 
 
 i−ki−k 
 i+ki+k 
 i+2j+3ki+2j+3k 
 i+j+ki+j+k 
 2i+j2i+j 
Respondido em 15/09/2019 20:49:36 
 
 
Explicação: 
Aplica-se a teoria de limites, observando-se que no último termo pode-se 
aplicar a Regra de L'Hôpital ou o limite fundamental para 
calcular limt→0sentt=1limt→0sentt=1 
 
 
 
 5a Questão 
 
 Para y=5, calcule o comprimento da curva no intervalo de x pertencente a [2, 8]. 
 
 6 
 2 
 
4 
 
3 
 
5 
Respondido em 15/09/2019 20:49:42 
 
 
Explicação: 
Com y=5y=5 traçamos uma reta horizontal paralela ao eixo xx, portanto, no intervalo dado o 
comprimento L=8−2=6 u.c.L=8-2=6 u.c. 
Dica: u.c.u.c. significa unidades de comprimento. 
 
 
 
 6a Questão 
 
 Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 
2t)j 
 
 v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
Respondido em 15/09/2019 20:49:48 
 
 
Explicação: 
v(t)=drdt=r′(t)v(t)=drdt=r′(t) 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana 
para a equação polar r=42cosΘ−senΘr=42cosΘ-senΘ 
 
 
y = x + 6 
 
y = x 
 
y = x + 1 
 
y = x - 4 
 y = 2x - 4 
Respondido em 15/09/2019 20:49:53 
 
 
 
 8a Questão 
 
 A trajetória de um corpo é definida pelo vetor 
posição →r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)). Determine a aceleração (m/s2) para t 
= ππ (segundos) 
 
 
(0,0,-1) 
 
(2,0,4) 
 
(2,-1,0) 
 (2,0,-4) 
 
NDA 
 
 
 1a Questão 
 
 Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
 
 
f ' (t) = e^3t 
 f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
f ' (t) = 3 j 
 f ' (t) = 3 sen t + cos t 
Respondido em 15/09/2019 19:52:40 
 
 
 
 2a Questão 
 
 O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas 
funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única 
resposta correta para o limite da função: 
limt→0limt→0 `r(t)== ( 1 + t3)i` + ` e^-t j` + ` (cost)k ` 
 
 - i + j - k 
 i + j + k 
 i - j - k 
 j - k 
 i + j - k 
Respondido em 15/09/2019 19:52:45 
 
 
 
 3a Questão 
 
 Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada 
por 
 
 r =3 tg θ . sec θ 
 
r =3 cotg θ. sec θ 
 
r=3 tg θ. cos θ 
 =cotg θ. cossec θ 
 
r=tg θ. cossec θ 
Respondido em 15/09/2019 19:52:49 
 
 
 
 4a Questão 
 
 O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado 
por r(t)=t³i+t²jr(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2st=2s. 
 
 i+ji+j 
 12i−2j12i-2j 
 12i+2j12i+2j 
 i−2ji-2j 
 6i+j6i+j 
Respondido em 15/09/2019 19:52:53 
 
 
Explicação: 
Calcula-se a aceleração derivando-se duas vezes o vetor posição. 
 
 
 
 5a Questão 
 
 Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
 
 
sqrt (a) 
 
1/a 
 
2a 
 3a 
 a 
Respondido em 15/09/2019 19:53:01 
 
 
 
 6a Questão 
 
 Descreva a curva na forma paramétrica definida pela função vetorial r(t) = 〈1+t, 2+5t, -1+6t〉. 
 
 
x=1+t; y=2+5t 
 
x=1+t; y=2+5t; z=-1 
 x=1+t; y=2+5t; z=-1+6t 
 
x=1 -t; y=2+5t; z=-1+6t 
 x= t; y=2+5t; z=-1+6t 
Respondido em 15/09/2019 19:53:04 
 
 
Explicação: 
Reta que passa pelo ponto P = (1, 2, -1) e tem vetor diretor (1, 5, 6) 
 
 
 
 7a Questão 
 
 Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de `r(t) = (tcost)i + (tsent)j + tk`? 
 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 (sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
Respondido em 15/09/2019 19:53:10 
 
 
 
 8a Questão 
 
 Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x). 
 
 y = x - 7x² + 5 
 y = x³ -5x² -3 
 y = 7 + 2x - 0,25x² 
 y = x² -7x - 1 
 y = 7 + 2x + 0,25x² 
 
 1a Questão 
 
 Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função 
de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 
 
 
18 e -30 
 0 e 0 
 
36 e 60 
 36 e -60 
 
9 e 15 
Respondido em 15/09/2019 20:50:43 
 
 
 
 2a Questão 
 
 O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado 
por r(t)=t³i+t²jr(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2st=2s. 
 
 12i−2j12i-2j 
 i−2ji-2j 
 6i+j6i+j 
 i+ji+j 
 12i+2j12i+2j 
Respondido em 15/09/2019 20:50:48 
 
 
Explicação: 
Calcula-se a aceleração derivando-se duas vezes o vetor posição. 
 
 
 
 3a Questão 
 
 O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas 
funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única 
resposta correta para o limite da função: 
limt→0limt→0 r(t)== ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 i + j + k 
 i - j - k 
 j - k 
 - i + j - k 
 i + j - k 
Respondido em 15/09/2019 20:50:53 
 
 
 
 4a Questão 
 
 Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada 
por 
 
 
r=tg θ. cossec θ 
 
r =3 cotg θ. sec θ 
 
r=3 tg θ. cos θ 
 =cotg θ. cossec θ 
 r =3 tg θ . sec θ 
Respondido em 15/09/2019 20:50:56 
 
 
 
 5a Questão 
 
 Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
 
 
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
f ' (t) = e^3t 
 
f ' (t) = 3 sen t + cos t 
 
f ' (t) = 3 j 
 f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
Respondido em 15/09/2019 20:50:59 
 
 
 
 6a Questão 
 
 Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
 
 
sqrt (a) 
 a 
 
3a 
 
2a 
 1/a 
Respondido em 15/09/2019 20:51:03 
 
 
 
 7a Questão 
 
 Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x). 
 
 y = x - 7x² + 5 
 y = x³ -5x² -3 
 y = 7 + 2x + 0,25x² 
 y = x² -7x - 1 
 y = 7 +2x - 0,25x² 
Respondido em 15/09/2019 20:51:05 
 
 
Explicação: 
Eliminamos o parâmetro t e resolvemos y como função de x. Começamos em x e 
fazemos t = 0,25x + 2. Em seguida, substituímos t em y = 3 + t² e obtemos y = 7 + 2x 
+ 0,25x². 
 
 
 
 8a Questão 
 
 Descreva a curva na forma paramétrica definida pela função vetorial r(t) = 〈1+t, 2+5t, -1+6t〉. 
 
 x=1+t; y=2+5t; z=-1 
 x=1+t; y=2+5t; z=-1+6t 
 
x= t; y=2+5t; z=-1+6t 
 
x=1+t; y=2+5t 
 
x=1 -t; y=2+5t; z=-1+6t 
Respondido em 15/09/2019 20:51:09 
 
 1a Questão 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1x216+y225=1 por uma equação 
polar equivalente. 
 
 9((rcos(θ))2+16r2=4009((rcos(θ))2+16r2=400 
 9((rcos(θ))2 −16r2=4009((rcos(θ))2 -16r2=400 
 9((rcos(θ))2+16r2=09((rcos(θ))2+16r2=0 
 16((rcos(θ))2+9r2=40016((rcos(θ))2+9r2=400 
 9((rcos(θ))2+r2=4009((rcos(θ))2+r2=400 
Respondido em 15/09/2019 19:53:48 
 
 
Explicação: 
Use as equações relacionadas que transformam um tipo de coordenada em outra, ou seja, 
de retangular pa polar e vice-versa. 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Encontre ∂∂z/∂∂x se a equação é yz - ln z = x + y. 
 
 z / ( z - 1) 
 z / (yz - 1) 
 
z / (y - 1) 
 
z / y 
 
z / (yz + 1) 
Respondido em 15/09/2019 19:53:53 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Calcule a área, entre α=0α=0 e β=π2β=π2, em coordenadas polares do 
círculo de raio r=1r=1 e marque a única resposta correta. 
 
 1 
 ππ 
 π2π2 
 π3π3 
 π4π4 
Respondido em 15/09/2019 19:53:58 
 
 
Explicação: 
Use a fórmula: A=∫βα12r²drA=∫αβ12r²dr 
 
 
 
 4a Questão 
 
 Encontre a derivada parcial fy se f(x,y) = y.senxy. 
 
 x.cosxy + senxy 
 
xy.cosxy - senxy 
 xy.cosxy + senxy 
 
y.cosxy + senxy 
 
cosxy + senxy 
Respondido em 15/09/2019 19:54:03 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1x216+y225=1 por uma equação 
polar equivalente. 
 
 9((rcos(θ))2+r2=4009((rcos(θ))2+r2=400 
 9((rcos(θ))2+16r2=4009((rcos(θ))2+16r2=400 
 16((rcos(θ))2+9r2=40016((rcos(θ))2+9r2=400 
 9((rcos(θ))2+16r2=09((rcos(θ))2+16r2=0 
 9((rcos(θ))2 −16r2=4009((rcos(θ))2 -16r2=400 
Respondido em 15/09/2019 19:54:06 
 
 
Explicação: 
A solução está baseada nas equações equivalentes entre os dois sistemas de 
coordenadas. 
 
 
 
 6a Questão 
 
 Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: 
 
 
não existe 
 
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t) 
 
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t) 
 
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t) 
 V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) 
Respondido em 15/09/2019 19:54:14 
 
 
 
 7a Questão 
 
 Calcule a integral: 
A=12∫π0r²drA=12∫0πr²dr e indique a única resposta correta. 
 
 2π2π 
 π³6π³6 
 0 
 −π-π 
 π²3π²3 
Respondido em 15/09/2019 19:54:18 
 
 
Explicação: 
Calculando uma área em coordenadas polares 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Calcule a integral definida: ∫10∫01 [t3t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 
 
 
-0,25i - 7j - 1,5k 
 
-0,25i + 7j + 1,5k 
 0,25i + 7j + 1,5k 
 
0,25i - 7j + 1,5k 
 0,25i + 7j - 1,5k 
Respondido em 15/09/2019 19:54:24 
 
 1a Questão 
 
Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + y2. 
 
 
fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4 
 
fxx= 0, fxy = 0, fyx = 4, fyy = 2 
 
fxx = 2, fxy = 4, fyx = 0, fyy = 0 
 fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2 
 
fxx = 0, fxy = 0, fyx = 2, fyy = 4 
Respondido em 15/09/2019 20:51:54 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
x40+exy.2xy e 12x20y + y4exy 
 
 x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 20x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 
 x4+exy.30xy e 12x2y + 40y4exy 
 
 
Respondido em 15/09/2019 20:51:57 
 
 
 
 3a Questão 
 Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita. 
 
 
(x+y cos(xy))/(y-x cos(xy)) 
 
(2+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
(x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 (2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
(2x+y cos(xy))/(y-x cos(xy)) 
Respondido em 15/09/2019 20:52:05 
 
 
 
 4a Questão 
 Encontre a derivada parcial fy se f(x,y) = y.senxy. 
 
 
x.cosxy + senxy 
 xy.cosxy + senxy 
 
xy.cosxy - senxy 
 y.cosxy + senxy 
 
cosxy + senxy 
Respondido em 15/09/2019 20:52:08 
 
 
 
 5a Questão 
 
Calcule a área, entre α=0α=0 e β=π2β=π2, em coordenadas polares do 
círculo de raio r=1r=1 e marque a única resposta correta. 
 
 1 
 π4π4 
 ππ 
 π2π2 
 π3π3 
Respondido em 15/09/2019 20:52:12 
 
 
Explicação: 
Use a fórmula: A=∫βα12r²drA=∫αβ12r²dr 
 
 
 
 6a Questão 
 
Encontre ∂∂z/∂∂x se a equação é yz - ln z = x + y. 
 
 z / (yz + 1) 
 z / (yz - 1) 
 
z / y 
 
z / ( z - 1) 
 
z / (y - 1) 
Respondido em 15/09/2019 20:52:16 
 
 
 
 7a Questão 
 
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: 
 
 
não existe 
 
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t) 
 
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t) 
 V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) 
 
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t) 
Respondido em 15/09/2019 20:52:20 
 
 
 
 8a Questão 
 
Calcule a integral definida: ∫10∫01 [t3t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 
 
 
0,25i + 7j - 1,5k 
 -0,25i - 7j - 1,5k 
 
0,25i - 7j + 1,5k 
 
-0,25i + 7j + 1,5k 
 0,25i + 7j + 1,5k 
Respondido em 15/09/2019 20:52:23 
 
 
 1a Questão 
 
 O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está: 
 
 
no centro do círculo. 
 
na reta y = x. 
 
no interior do círculo com centro na origem e raio menor que 5. 
 
no raio do círculo. 
 Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0). 
Respondido em 15/09/2019 19:54:46 
 
 
 
 2a Questão 
 
 Calcule a aceleração de uma partícula com vetor de posição igual 
a: r(t)=(t²,et,tet)r(t)=(t²,et,tet). Indique a única resposta correta. 
 
 (2t,−et,(1−t)et)(2t,−et,(1−t)et) 
 (1,t,et)(1,t,et) 
 (t,t²,t³)(t,t²,t³) 
 (1,et,tet)(1,et,tet) 
 (2,et,(2+t)et)(2,et,(2+t)et) 
Respondido em 15/09/2019 19:54:50 
 
 
Explicação: 
Use a(t)=d²rdt²a(t)=d²rdt², ou seja a aceleração é igual à segunda 
derivada do vetor posição 
 
 
 
 3a Questão 
 
 Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros quadrados. A prefeitura exige 
que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado. Encontre as 
dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão. 
 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (147,33) e 
(105,62) 
 a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (97,33) e (145,62) 
 a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e 
(195,62) 
 
n.r.a 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (17,33) e (95,62) 
Respondido em 15/09/2019 19:54:53 
 
 
 
 4a Questão 
 
 Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relação a t ao longo do caminho x = cost, y 
= sent. Qual é o valor da derivada em t = ΠΠ/2? 
 
 
1 
 
-2 
 
2 
 -1 
 0 
Respondido em 15/09/2019 19:54:57 
 
 
 
 5a Questão 
 
 Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da 
função: f(x,y,z)=e−x+e−y+e−zf(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no 
ponto P0(−1,−1,−1)P0(-1,-1,-1) 
 
 `nablaf = <-e, - 1, -e> 
 `nablaf = <-1, -1, -1> 
 `nablaf = <-e, -e, e> 
 `nablaf = < e, e, - e > 
 `nablaf = <-e, -e, -e> 
Respondido em 15/09/2019 19:54:59 
 
 
Explicação: 
Cálculo de gradientes a partir das derivadas parciais e funções exponenciais. 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Encontre dwdtdwdt se: w = x.y + z, 
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t 
= 0? 
 
 1 
 
0 
 
-2 
 2 
 
-1 
Respondido em 15/09/2019 19:55:03 
 
 
 
 7a Questão 
 
 Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 (-sen t)i + (cos t)j 
 (-sen t)i + (cos t)j - k 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
Respondido em 15/09/2019 19:55:07 
 
 
 
 8a Questão 
 
 Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmarque: 
 
 
O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local. 
 
O ponto (1,1) e ponto de Máximo. 
 
O ponto (-1,0) e ponto de Sela. 
 O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. 
 O ponto (0,1) e ponto de Máximo. 
Respondido em 15/09/2019 19:55:11 
 
 1a Questão 
 Uma partícula tem vetor posição dado por r(t) = (cost, sent, t). O seu vetor velocidade v(t) é dado por: 
 
 
(sent, -cost, t) 
 
(sect, -cost, 1) 
 (-sent, cost, 1) 
 
(sent, -cost, 0) 
 
(sent, -cost, 1) 
Respondido em 15/09/2019 20:46:07 
 
 
Explicação: 
Basta derivar o vetor posição r(t)r(t), pois, a velocidadev(t)=r´(t)v(t)=r´(t) ou v(t)=drdtv(t)=drdt. 
 
 
 
 2a Questão 
 Determine a única resposta correta para a equação paramética para a reta 
que passa por P(3, -4, -1) paralela ao vetor v = i + j + k. 
 
 x=3+tx=3+t; y=−4+ty=-4+t; z=1−tz=1-t 
 x=tx=t; y=−ty=-t; z=−1+tz=-1+t 
 x=3+tx=3+t; y=4+ty=4+t; z=−1+tz=-1+t 
 x=3+tx=3+t; y=−4+ty=-4+t; z=−1+tz=-1+t 
 x=−3+tx=-3+t; y=−4+ty=-4+t; z=−1+tz=-1+t 
Respondido em 15/09/2019 20:53:03 
 
 
Explicação: 
Na questão usamos um ponto P0(x0,y0,z0)P0(x0,y0,z0) e um 
vetor vv que dá a direção e a equação 
vetorial x=x0+tv1;y=y0+tv2;z=z0+tv3x=x0+tv1;y=y0+tv2;z=z0+tv3. 
 
 
 
 3a Questão 
 Qual é a resposta correta para a derivada da função vetorial r(t) = (t.cost)i + (t.sent)j + 
tk ? 
 
 
(t.cost - sent)i + (sent - t.cost)j + k 
 (sent - t.cost)i + (sent.cost)j - k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
(cost - t.sent)i + (sent + cost)j + k 
 (cost - t.sent)i + (sent + t.cost)j + k 
Respondido em 15/09/2019 20:53:08 
 
 
Explicação: 
Sendo r(t) = (t.cost)i + (t.sent)j + tk , deriva-se as componentes vetoriais 
em i e j como a derivada de um produto: d(uv)/dt= u´v +uv´. 
 
 
 
 4a Questão 
 ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 xy cos xy + sen xy 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 x2 y cos xy + x sen xy 
 
xy2 cos xy + sen xy 
Respondido em 15/09/2019 20:53:10 
 
 
 
 5a Questão 
 Sabendo que r'(t) = v(t), determine v(t) e indique a única resposta correta 
se r(t) = 12ti + (2 - t)j, em t = 1. 
 
 r'(t) = v(t) = 12i - j 
 
r'(t) = v(t) = 14i + j 
 
r'(t) = v(t) = 15i - 3j 
 
r'(t) = v(t) = 13i - 2j 
 r'(t) = v(t) = 32i - j 
Respondido em 15/09/2019 20:53:13 
 
 
Explicação: 
Como v(t) é a primeira derivada de r(t), basta, então, realizar a derivada e 
substituir t=1. 
 
 
 
 6a Questão 
 Determine a integral ∫01∫02∫0(1-z)dydxdz 
 
 1-z 
 1 
 
0 
 
2 
 
2-2z 
Respondido em 15/09/2019 20:53:16 
 
 
 
 7a Questão 
 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t) = (t³)i + (t²)j . Calcule a aceleração 
em t =1 segundo. 
 
 6i + 2j 
 
6i - 2j 
 
i - 2j 
 
i + j 
 6i + j 
Respondido em 15/09/2019 20:53:19 
 
 
Explicação: 
A aceleração a(t)=d²r(t)dt²a(t)=d²r(t)dt². Assim, derivando duas vezes o vetor posição r(t)r(t), calcula-se 
a aceleração solicitada. 
 
 
 
 8a Questão 
 
Determine a equação do plano tangente à esfera x²+y²+z²=50 no 
ponto P(3,4,5)P(3,4,5). 
 
 
 3x+4y+5z=03x+4y+5z=0 
 6x+8y−5z=06x+8y-5z=0 
 
 6x+8y+10z=1006x+8y+10z=100 
 
 3x−4y+5z=183x-4y+5z=18 
 
 3x+4y −5z=03x+4y -5z=0 
 
 1a Questão 
 
 
Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do 
sólido gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os 
intervalos 
R= [0,1]x[0,3]. 
 
 
-1/2(e-1)(e6-1) 
 
(e-1)(e6-1) 
 1/2(e-1)(e6-1) 
 1/2(e6-1) 
 
1/2(e-1) 
Respondido em 15/09/2019 19:56:21 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Dada a 
função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre 2∂f∂x+2∂f
∂y-∂f∂z 
 
 
 (1x+1y+1z) 
 
1xyz 
 cos(y+2z)-sen(x+2z) 
 
cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)-sen(x+2z) 
 2(xz+yz-xy)xyz 
Respondido em 15/09/2019 19:56:28 
 
 
Explicação: 
Use o conceito de derivação pafcial. 
 
 
 
 3a Questão 
 
 A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada pela fórmula: y(t) = 
(10 t)/〖(t+1)〗^2 , t ≥0 Em qual intervalo essa função é crescente? 
 
 
1/2<="" 10<="" td=""> 
 
T > 10 
 0 ≤t < 1 
 
T ≥0 
 T > 1 
Respondido em 15/09/2019 19:56:34 
 
 
Explicação: 
Regra de derivação de um quociente Y(t)=10.(t+1)2-20t.(t+1)(t+1)4=-
10t+10(t+1)3→10t+10>0,is→é0≤t<1 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do 
sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os 
intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
 
 8(u.v.) 
 15(u.v.) 
 
21(u.v.) 
 
17(u.v.) 
 
2(u.v.) 
Respondido em 15/09/2019 19:56:38 
 
 
 
 5a Questão 
 
 A função T(x,y)=60-2x²-3y² representa a temperatura em qualquer ponto de uma chapa. Encontrar a razão 
de variação da temperatura em relação a distância percorrida ao longo da placa na direção dos eixos x e y, 
no ponto (1,2). Considere a temperatura medida em graus e a distância em cm. 
 
 
14º/cm e 2º/cm 
 
4º/cm e 12º/cm 
 
13º/cm e -15º/cm 
 
-4º/cm e 12º/cm 
 -4º/cm e -12º/cm 
Respondido em 15/09/2019 19:56:42 
 
 
Explicação: 
dt(1,2)/dx e dt(1,2)/dy 
 
 
 
 6a Questão 
 
 Determine a derivadas de f(x,y,z) = ln(4) + xy2 -2(sin(2z))2-2(cos(2z))2 em P(2,1,1). 
 
 
fx=5/4 fy=2 fz=-8 
 
fx=1 fy=2 fz=-8 
 
NDA 
 fx=1 fy=4 fz=-8 
 fx=1 fy=4 fz=0 
Respondido em 15/09/2019 19:56:45 
 
 
Explicação: 
f(x,y,z) = ln(4) + xy2 + [-2sen²(2z)-2cos²(2z)] => f(x,y,z) = ln(4) + xy2 + -2 => fx=y
2; fy=2xy; fz=0 para 
P(2,1,1) temos fx=1 fy=4 fz=0 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, 
z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
 7/6 
 
1/2 
 
2/3 
 1/6 
 
5/6 
Respondido em 15/09/2019 19:56:49 
 
 
 
 8a Questão 
 
 O divergente de F(x, y) = 
(4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale: 
 
 9x -6y 
 
6y + 2x 
 
2y - x 
 
2y -3x 
 3y - x 
Respondido em 15/09/2019 19:56:53 
 
 1a Questão 
 
 Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = 2x2 -4xy - 2y2 , onde x(t) = -t e y (t) = -t 
 
 
-4t 
 -8t 
 2t 
 
8t 
 
4t 
Respondido em 15/09/2019 20:47:09 
 
 
Explicação: 
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt 
 
 
 
 2a Questão 
 
 Se z=x2y+3xy4z=x2y+3xy4, onde x = sen(2t) e y = cos(t), o valor de dzdtdzdt, quando t = 0, equivale a: 
 
 
0 
 
2 
 
4 
 8 
 6 
Respondido em 15/09/2019 20:48:13 
 
 
Explicação: 
A questão tem duas soluções, sendo a primeira com o uso da Regra 
da Cadeia. Entretanto a mais rápida se dá substituindo na 
expressão original o x e o y pelas expressões dadas e derivando-se 
a nova expressão. Assim: 
z(t)=sen²
(2t)cos(t)+3sen(2t)cos4(t)z(t)=sen²(2t)cos(t)+3sen(2t)cos4(t) 
Agora, deriva-se a expressão acima e, ao final, substitua t = 0 
 
 
 
 3a Questão 
 
 Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações 
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5 
 
 120 
 
115 
 
105 
 
110 
 125 
Respondido em 15/09/2019 20:48:17 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
12 
 11 
 -12 
 
5 
 
- 11 
Respondido em 15/09/2019 20:48:20 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = t e y (t) = 3t ? 
 
 -46 - 81t2 
 -46t - 81 
 -23t - 81t2 
 -46t - 81t2 
 -46t - 27t2 
Respondido em 15/09/2019 20:48:24 
 
 
Explicação: 
dz/ dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt 
 
 
 
 6a Questão 
 
 Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = t e y (t) = - t ? 
 
 
18t-1 
 -18t+1 
 18t+1 
 
18t+2 
 
18t 
Respondido em 15/09/2019 20:48:26 
 
 
Explicação: 
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt 
 
 
 
 7a Questão 
 
 Utilizando a derivada parcial de segunda ordem, qual é o resultado fxx da 
função : f(x,y)=(x3+y3−3xy)f(x,y)=(x3+y3−3xy) ? 
 
 
15x 
 6x 
 
10x 
 8x 
 
12x 
Respondido em 15/09/2019 20:48:30 
 
 
Explicação: 
Tem que derivar duas vezes a função dada em relação a x, com y constante. 
 
 
 
 8a QuestãoQual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = -t e y (t) = t ? 
 
 
-18t+1 
 18t -3t² 
 
18t 
 18t+1 
 
-18t-1 
 
 1a Questão 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (5x45x4 - y)i + (6x.y.z 
- 3y23y2)j no ponto (0,1,1). 
 
 -2 
 
-4 
 
-1 
 
-5 
 -6 
Respondido em 19/10/2019 21:26:43 
 
 
 
 2a Questão 
 Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo: 
 
I. A função f(t) é contínua para t = 0; 
II. A função g(t) é descontínua para t = 0; 
III. A função h(t) não possui imagem para t = pi/6; 
Encontramos afirmativas corretas somente em: 
 
 I e II 
 III 
 
II 
 
I, II e III 
 
I 
Respondido em 19/10/2019 21:26:51 
 
 
 
 3a Questão 
 O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale: 
 
 
188π188π 
 36π36π 
 
244π244π 
 
144π144π 
 288π288π 
Respondido em 19/10/2019 21:27:03 
 
 
 
 4a Questão 
 Marque a única resposta correta para a derivada parcial da função f(x,y) = x2 + y2 + x2y. 
 
 fx = - 2x(1 + y);; fy = 2y - x2 
 fx = 2x(1 + y);; fy = 2y + x
2
 
 fx = 2x(1 - y);; fy = 2y - x2 
 fx = x(1 + y);; fy = y + x2 
 fx = 2(1 + y);; fy = y2 + x2 
Respondido em 19/10/2019 21:27:10 
 
 
Explicação: 
Aplicação das regras de derivação parcial com duas variáveis. 
 
 
 
 5a Questão 
 ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 y2 cos xy + x sen xy 
 xy cos xy + sen xy 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 
xy2 cos xy + sen xy 
Respondido em 19/10/2019 21:27:17 
 
 
 
 6a Questão 
 Determine dois números cuja a soma seja 20 e o produto seja máximo. 
 
 
16 e 4 
 
11 e 9 
 10 e 10 
 
12 e 8 
 15 e 5 
Respondido em 19/10/2019 21:27:26 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
16/3 u.v 
 
24/5 u.v 
 
18 u.v 
 9/2 u.v 
 10 u.v 
Respondido em 19/10/2019 21:27:34 
 
 
Explicação: O aluno usará a integral dupla. Usará a integral dupla. Uma sugestão de limites de integração: 
0=<="" td=""> 
 
 
 
 8a Questão 
 
Considere w=f(x,y,z)w=f(x,y,z) uma função de três variáveis 
que tem derivadas parciais 
contínuas ∂w∂x∂w∂x , ∂w∂y∂w∂y e ∂w∂z∂w∂z em algum 
intervalo e xx, yy e zz são funções de outra variável tt. 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdtdwdt=∂w∂x⋅d
xdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz-se que dwdtdwdt é a derivada total de ww com relação 
a tt e representa a taxa de variação de ww à medida 
que tt varia. 
Supondo w=x2+y2+z2w=x2+y2+z2 onde x=etsentx=etsent, 
y=etcosty=etcost, z= 2e2tz= 2e2t, 
calcule dwdtdwdt para t=0t=0, encontre dwdtdwdt. 
 
 dwdt=18d
wdt=18 
 dwdt=12d
wdt=12 
 dwdt=16dwdt
=16 
 dwdt=0dw
dt=0 
 dwdt=20 
 
 1a Questão 
 
 A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j - 6k será: 
 
 
-51/7 
 40/7 
 
26/7 
 
-37/7 
 12/7 
Respondido em 19/10/2019 21:28:55 
 
 
 
 2a Questão 
 
 Calcular a área da região limitada pelas curvas : y = 1 - x² e y = -3, que interceptam-se nos pontos de 
abscissas -2 e 2. 
 
 
-12 u.a. 
 
-4/3 u.a. 
 
8/3 u.a. 
 
5/2 u.a. 
 32/3 u.a. 
Respondido em 19/10/2019 21:29:05 
 
 
Explicação: 
A = ∫2−2(1−x2−(−3))dx∫−22(1−x2−(−3))dx 
 
 
 
 3a Questão 
 
 Encontre dy/dx derivando implicitamente: x^(4 ) ( x+y)= y^2 (3x-y ) 
 
 (3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
(y^2-x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-3xy) 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-6xy) 
 
(3y^3-5x^(3 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
Respondido em 19/10/2019 21:29:13 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Encontrar o volume do tetraedro: ∫10∫01 ∫1x∫x1 ∫y−x0∫0y-
xF(x, y, z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
 
1/2 
 5/6 
 
2/3 
 1/6 
 
7/6 
Respondido em 19/10/2019 21:29:24 
 
 
 
 5a Questão 
 
 Considere a função f: R →R definida por y = f(x) = x4 - 5x2 + 4, para cada x ∈ R.A área da região limitada pelo 
gráfico da função y=f(x),o eixo Ox e as retas x=0 e x=2 é igual a: 
 
 
16/15 unidades de área 
 75/15 unidades de área 
 
38/15 unidades de área 
 
22/15 unidades de área 
 60/15 unidades de área 
Respondido em 19/10/2019 21:29:29 
 
 
Explicação: 
∫20((x4−5x2+4)dx=∫10(x4−5x2+4)dx+∫21(−(x4−5x2+4dx=(3
8/15)+(22/15)=60/15∫02((x4−5x2+4)dx=∫01(x4
−5x2+4)dx+∫12(−(x4−5x2+4dx=(38/15)+(
22/15)=60/15 
 
 
 
 6a Questão 
 
 Encontrar a área da região limitada pelas curvas y = 3 - x e y = 3 - x², que interceptam-se nos pontos de 
abscissas 0 e 1. 
 
 6 u. a. 
 
5/2 u.a. 
 
2/5 u.a. 
 1/6 u.a. 
 
8/3 u.a. 
Respondido em 19/10/2019 21:29:35 
 
 
Explicação: 
A = ∫10(3−x2−3+x)dx∫01(3−x2−3+x)dx = 3.1 - 1³/3 - 3.1 + 1²/2 = 1/6 
 
 
 
 7a Questão 
 
 Vamos supor que a função f(x,y) = 1000 - 2x2 + 15y represente o consumo semanal de feijão de um 
restaurante (em Kg), em função do preço x (em R$) do quilo de feijão e do preço y (em R$) do quilo de 
arroz. 
Analisando os resultados das derivadas parciais fx e fy no ponto P=(3,4), podemos concluir acertadamente 
que: 
 
 
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, o consumo de 
feijão irá aumentar. 
 
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, o consumo de 
feijão irá aumentar em, aproximadamente, 15 Kg. 
 
Aumentando o preço do arroz de 4 para 5 reais, mantendo-se fixo o preço do feijão, o consumo de 
feijão irá aumentar em 20 Kg. 
 Aumentando o preço do arroz de 4 para 5 reais, mantendo-se fixo o preço do feijão, o consumo de 
arroz irá aumentar. 
 Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, o consumo de 
feijão irá reduzir em, aproximadamente, 12 Kg. 
Respondido em 19/10/2019 21:29:42 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
Integrando temos: 
 
 
(cost)i−(sent)j+3tk(cost)i-(sent)j+3tk 
 (cost)i−3tj(cost)i-3tj 
 −(sent)i−3tj-(sent)i-3tj 
 
(cost)i+3tj(cost)i+3tj 
 (sent)i + t4j(sent)i + t4j 
 
 1a Questão 
 
 Calcule a integral dupla ∬(x-3y²) dA, onde R = { (x,y)/ 0 ≤x ≤2 ; 1≤y ≤2} 
 
 - 12 
 
14 
 
16 
 4 
 
12 
Respondido em 19/10/2019 21:30:24 
 
 
Explicação: 
∫20∫21(x−3y2)dydx∫02∫12(x−3y2)dydx 
 
 
 
 2a Questão 
 
 Dividir o número 120 em 2 partes tais que o produto de uma pelo quadrado da 
outra seja máximo. 
 
 
50 e 70 
 80 e 40 
 30 e 90 
 
100 e 20 
 
60 e 60 
Respondido em 19/10/2019 21:30:31 
 
 
 
 3a Questão 
 
 Encontre os números críticos de f(x) = x3/5(4-x). 
 
 
0 e 4 
 3/2 e 0 
 
0 
 
3/2 
 1 e 4 
Respondido em 19/10/2019 21:30:36 
 
 
 
 4a Questão 
 
 Considere a função F(x,y,z) = 
( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). 
O divergente da função F(x,y,z) vale: 
 
 
6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 
 
9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 
 
6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 
 6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 
 6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) 
Respondido em 19/10/2019 21:30:44 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Sabe-se que o custo marginal é dado aproximadamente pela taxa 
de variação da função custo total em um ponto apropriado. Dessa 
forma, define-se a função custo marginal como sendo a derivada da 
função custo total correspondente. Em outras palavras, se C é a 
função custo total, então a função custo marginal é definida como 
sendo sua derivada C´. Uma companhia estima que o custo total 
diário para produzir calculadoras é dado 
por C(x)=0,0001x3−0,08x2+40x+5000C(x)=0,0001x3-
0,08x2+40x+5000 , onde x é igual ao número de calculadoras 
produzidas. Determine a função custo marginal. 
 
 C´(x)=0,0003x
2-0,16x+40 
 C´(x)=0,0003x
3-0,16x2+40x 
 
C´(x)=0,0003x-0,16 
 
C´(x)=0,0003x2-0,16x+5040 
 
C´(x)=0,0003x2-0,16x 
Respondido em 19/10/2019 21:30:51 
 
 
 
 6a Questão 
 
 Qual é o resultado da integral tripla 
:∫10∫10∫10xyzdxdydz∫01∫01∫01xyzdxdydz? 
 
 1/8 
 8 
 
1/4 
 
6 
 
1/6 
Respondidoem 19/10/2019 21:30:59 
 
 
Explicação: 
Cada uma das integrais tem seu valor igual a 1/2, o produto das 3 é igual 
a 1/8 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 
58 
 
14 
 
150/29 
 189/10 
 
197/13 
Respondido em 19/10/2019 21:31:17 
 
 
Explicação: 
 
Calculando a interseção das funções que delimitam a região de integração, temos y² = y + 2. Resolvendo a 
igualdade, temos y = -1 e y = 2. Logo a integral fica da forma 
∫2−1∫y+2y2(1+2x)dxdy∫−12∫y2y+2(1+2x)dxdy 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 Calcule a integral dupla: ∬_R▒〖(1+4xy)〗 ) dA , onde R = { (x,y)/ 1 ≤y ≤3; 0≤x ≤ 1 } 
 
 10 
 
y + y^2 
 
1 + 2y 
 18 
 
2 + 16x 
 
 
 1a Questão 
 
 Calcule a integral de linha de função f(x,y)=2xy sobre a curva no R2 dada por x2+4y2=4 ligando os pontos 
(2,0) e (0,1) pelo arco de menor comprimento 
 
 
-1 
 
1 
 14/9 
 
0 
 28/9 
Respondido em 19/10/2019 21:31:51 
 
 
 
 2a Questão 
 
 Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2 
 
 
5/6 
 9/2 
 
3 
 
1/2 
 
1 
Respondido em 19/10/2019 21:34:33 
 
 
 
 3a Questão 
 
 Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1). 
 
 
0 
 -7/2 
 
-1/2 
 
1/2 
 
7/2 
Respondido em 19/10/2019 21:32:21 
 
 
 
 4a Questão 
 
 Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à 
força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado 
em Joules. 
 
 
40PI 
 60PI 
 
80PI 
 
20PI 
 
100PI 
Respondido em 19/10/2019 21:32:37 
 
 
 
 5a Questão 
 
 Qual a força necessária que atua num objeto 3 kg de massa e vetor posição r = t3i + t2j + t3k?Lembre das leis de 
newton F=MA 
 
 
F = 6t i + 6 j + 18t k 
 
F = 9t i + 6 j + 9t k 
 
F = 12t i + 6 j + 12t k 
 F = 18t i + 6 j + 18t k 
 
F = 9t2 i + 6 j + 9t2 k 
Respondido em 19/10/2019 21:32:49 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Apresente a expressão do operador rotacional do campo vetorial: 
 →V=(ex+z.cosy)i+(x.z −ey)j+(x.y+z2)kV→=(ex+z.cosy)i+(
x.z -ey)j+(x.y+z2)k no ponto P(0,0,1)P(0,0,1). 
 
 
i+ki+k 
 
i+j+ki+j+k 
 
 i −j+ki -j+k 
 
j+kj+k 
 
 i −ji -j 
 
Respondido em 19/10/2019 21:33:05 
 
 
Explicação: 
Calcular o determinante 
∣∣ 
∣ 
∣∣ijkd/dxd/dyd/dyfxfyfz∣∣ 
∣ 
∣∣|ijkd/dxd/dyd/dyfxfyfz| 
 
 
 
 7a Questão 
 
 Use coordenadas esféricas para calcular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e 
abaixo pelo cone z= SQRT( x^2 + y^2). 
 
 
16*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
Nenhuma das alternativas anteriores. 
 64*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
32*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
128*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
Respondido em 19/10/2019 21:33:51 
 
 
 
 8a Questão 
 
 Qual é o gradiente ∇f no ponto (1,1,1) para a função f(x,y,z)=x2+y2-2z2+senx ? 
 
 
∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+2j-6k 
 
∇f no ponto (1,1,1) = (4+cos1)i+2j-4k 
 ∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+2j-4k 
 
∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+4j-4k 
 
∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+2j-8k 
 
 
 1a Questão 
 
 Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 
 
 √ 2 2 
 8√ 2 82 
 8π√ 2 8π2 
 π√ 2 π2 
 8π√ 3 8π3 
Respondido em 19/10/2019 21:35:10 
 
 
 
 2a Questão 
 
 As coordenadas do vetor tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5], em t0=2 são: 
 
 
 
v = (3; -5) 
 
v = (-3; 5) 
 
v = (-1; 2) 
 v = (4; 16) 
 
v = (-2; 3) 
Respondido em 19/10/2019 21:35:18 
 
 
 
 3a Questão 
 
 O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = 
t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 t2 i + 2 j 
 
 2t j 
 3t2 i + 2t j 
 - 3t2 i + 2t j 
 0 
Respondido em 19/10/2019 21:35:24 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (x3x3 - y)i + (2x.y -
 y3y3)j no ponto (1,1). 
 
 
3 
 
4 
 2 
 
6 
 
5 
Respondido em 19/10/2019 21:35:50 
 
 
 
 5a Questão 
 
 A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy−2z²f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yzf(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)−xf(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy−xyz²y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 1,3,4 
 
1,2,4 
 
1,2,3 
 
1,3,5 
 
1,2,5 
Respondido em 19/10/2019 21:36:03 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 
53,52 
 25, 33 
 
33,19 
 
34,67 
 
32,59 
Respondido em 19/10/2019 21:36:21 
 
 
 
 7a Questão 
 
 Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada 
pela fronteira . 
 
 
 
 
-3 
 -1 
 
6 
 
3 
 -6