Aula 01 - Separatrizes (Quartis)

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1ºAula
Separatrizes (Quartis)
Iniciaremos nossa aula com alguns questionamentos básicos: sabe 
o que é separatriz? Já ouviram falar em quartis? 
Vamos conferir?
Bons estudos!
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• compreender sobre organização dos dados – quartis;
• conhecer os tipos de quartis;
• saber como fazer o cálculo para determinar valores de quartis.
Metódos Quantitativos II 6
1 - Noções de Quartis
2 - Aplicações de Quartis
Seções de estudo
1 – Noções de Quartis
Saber Mais
Se um conjunto de dados é organizado em ordem de grandeza que 
divide o conjunto em duas partes iguais, damos o nome de MEDIANA. 
Se seguirmos com esse conceito, podemos pensar nos valores que 
podem ser divididos em QUATRO partes iguais, para eles damos o 
nome de QUARTIL, ou seja, primeiro quartil (Q1), segundo quartil (Q2 
ou mediana) e terceiro quartil (Q3).
Conceito
QUARTIS
Crespo (2002) defi ne quartis como os valores de uma série que a 
dividem em quatro partes iguais. Desta maneira, temos 3 quartis (Q1 
,Q2 e Q3) para dividir a série em quatro partes iguais.
Observação: O quartil 2 ( Q2 ) sempre será igual a mediana da série. 
Mas vocês sabem dizer o por que isso acontece? Não?! Então, vamos 
entender...
Segundo Crespo (2002), além das medidas de posição 
que estudamos (médias), há outras que, consideradas 
individualmente, não são medidas de tendência central, mas 
estão ligadas à mediana, relativamente à sua característica 
de separar a série em duas partes que apresentam o mesmo 
número de valores. Estas medidas são os quartis, os decis e 
os percentis.
Toda distribuição pode ser dividida em quatro partes 
iguais. A essas divisórias damos o nome de QUARTIS. 
Portanto, temos Q1 (quartil 1), Q2 (quartil 2), Q3 (quartil 3). 
Percebam, a seguir, a Imagem 1. Vejam que ela tem as 
divisões de quartis (Q1, Q2, Q3), determinando 4 partes 
iguais, 25% para cada uma delas. Se observarmos, o Q2 está 
no centro da distribuição, portanto, podemos considerá-lo 
como mediana, ou seja, terá o mesmo valor (Q2 = mediana).
Imagem 1
25% 25% 25% 25%
Q0 Q1 Q2 Q3 Q4
25% 25% 25% 25%
Q0 Q1 Q2 Q3 Q4
Fonte: criação da autora.
Fonte: criação da autora.
Fonte: criação da autora.
O método mais prático é utilizar o princípio do cálculo 
da mediana para os 3 quartis. Na realidade, serão calculadas 
3 medianas em uma mesma série: a mediana central (Q2), 
conforme apresentado na Imagem 2, é a mediana de Q0 e 
Q4.
Imagem 2
A mediana Q1 é a que se apresenta entre os valores Q0 e 
Q2, conforme Imagem 3.
Imagem 3
25% 25%
Q0 Q1 Q2
E Q3 é a mediana que se encontra entre os valores de Q2 
e Q4, conforme Imagem 4.
Imagem 4
25% 25%
Q2 Q3 Q4
Fonte: criação da autora.
Deste modo, podemos afirmar que, para calcular os quartis 
Q1, Q2 e Q3, sempre aplicaremos o conceito de Mediana. 
Para que possamos fixar melhor esses conceitos, vamos, 
na próxima seção, procurar aplicá-los?!
2 - Aplicações de Quartis
Nesta seção, vamos ver a aplicação da teoria de Quartis, 
ou seja, como podemos encontrar os valores dos Q1, Q2 e Q3.
 →Dados não agrupados
Exemplo 1: Encontre os quartis da série: 
4, 2, 6, 9, 10, 15, 20.
O primeiro passo a ser dado é ordenar a série, ou seja, 
colocá-la em ordem crescente ou decrescente. 
Deste modo, teremos os seguintes valores: 
 2, 4, 6, 9, 10, 15, 20.
Depois de colocado em ordem crescente, vamos identificar 
a quantidade de números que existem na série. Percebam que 
a quantidade é 7, ou seja, existem 7 números nessa sequência. 
Quando a quantidade de termos da sequência é ÍMPAR, 
basta localizarmos o termo que está na posição central. Daí 
localizamos o Q2, que é a mesma coisa que mediana.
O valor 9 divide a série acima em duas partes iguais, ou 
seja, duas sequências (sequência 1 e sequência 2). Logo, a 
Mediana será 9, que será igual ao segundo quartil (Q2).
Sequência 1 = 2, 4, 6 Sequência 2 = 10, 15, 20
→ Temos agora duas sequências:
Como sendo os dois grupos de valores iguais 
proporcionados pela mediana ou o segundo quartil. Para o 
cálculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas das partes 
iguais provenientes da verdadeira Mediana da série (quartil 2).
→ Para a sequência 1, temos:
Sequência 1 = 2, 4, 6
Novamente, temos que verificar a quantidade de termos. 
Temos 3 termos, portanto, quantidade ÍMPAR. Basta 
localizarmos o termo central e encontraremos o primeiro 
quartil (Q1). 
→ Já para a sequência 2, temos:
Sequência 2 = 10, 15, 20
Novamente temos que verificar a quantidade de termos. 
Temos 3 termos, portanto, quantidade ÍMPAR. Basta 
7
Sequência 1 = 1, 2, 3, 4 Sequência 2 = 5, 9, 10, 12
localizarmos o termo central e encontraremos o primeiro 
quartil (Q1). 
Deste modo, temos que o primeiro quartil (Q1) será igual 
a 4, o segundo quartil (Q2) será 9 e o terceiro quartil (Q3) será 
igual a 15.
Vamos ver agora um exemplo com quantidade PAR na sequência...
Exemplo 2: Calculem os quartis da série: 2, 10, 13, 9, 5, 
6, 5, 3, 9, 7, 1, 1
Quartil 2 = Mediana. Caso não se lembrem do cálculo da 
mediana, voltem à aula da disciplina de Métodos Quantitativos I!!! 
Aplicando os mesmos passos do exemplo anterior temos: 
O primeiro passo a ser dado é ordenar a série, ou seja, 
colocá-la em ordem crescente ou decrescente. 
Desse modo, teremos os seguintes valores: 
 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13
Percebemos que a quantidade de valores é PAR, portanto, 
temos que localizar os dois termos centrais da distribuição, 
somar e dividir por 2. Dessa maneira, estaremos encontrando 
o valor da mediana, ou seja, do Q2.
1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13
 Q2=(5+6)/2
 Q2 = 5,5
De maneira análoga, teremos o cálculo do quartil 1 (Q1), 
que será a mediana da série à esquerda (1, 1, 2, 3, 5, 5).
Novamente, verificamos que a quantidade de termos é 
PAR, então resta-nos, localizar os dois termos centrais, somar e 
dividir por 2, como está demonstrado a seguir: 
1, 1, 2, 3, 5, 5
 Q1=(2+3)/2
 Q1 = 2,5
Já para o cálculo do quartil 3 (Q3) será a mediana da série 
à direita (6, 7, 9, 9, 10, 13), mas, adotando os mesmos passos 
anteriores, ou seja, verificando a quantidade de termos que é 
par, localizando os dois valores centrais, somando e dividindo 
por 2.
 6, 7, 9, 9, 10, 13
 Q3=(9+9)/2
 Q3 = 9
Desta maneira, temos que o primeiro quartil (Q1) será 
igual a 2,5, o segundo quartil (Q2) será 5,5 e o terceiro quartil 
(Q3) será igual a 9.
Alguma dúvida? Entenderam como calcular os quartis de sequências 
com quantidade de valores ímpares e pares? Não?! Vamos ver mais um 
exemplo...
Exemplo 3: Encontre os quartis da série: 
 3, 5, 9, 12, 5, 4, 2, 10, 1
O primeiro passo a ser dado é ordenar a série, ou seja, 
colocá-la em ordem crescente ou decrescente. 
→ Deste modo, teremos os seguintes valores: 
 1, 2, 3, 4, 5, 5, 9, 10, 12
Depois de colocado em ordem crescente, vamos identificar 
a quantidade de números que existem na série. Percebam que 
a quantidade é 9, ou seja, existem 9 números nessa sequência. 
Quando a quantidade de termos da sequência é ÍMPAR, 
basta localizarmos o termo que está na posição central. Daí 
localizamos o Q2, que é a mesma coisa que mediana.
O valor 5 divide a série acima em duas partes iguais, ou 
seja, duas sequências (sequência 1 e sequência 2). 
Logo, a Mediana será 5, que será igual ao segundo quartil 
(Q2).
→ Temos agora duas sequências:
Como sendo os dois grupos de valores iguais 
proporcionados pela mediana ou o segundo quartil. Para o 
cálculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas das partes 
iguais provenientes da verdadeira Mediana da série (quartil 2).
→ Para a sequência 1, temos:
Sequência 1 = 1, 2, 3, 4
Novamente, temos que verificar a quantidade de termos. 
Agora temos 4 termos, portanto, quantidade PAR. Desta 
vez, o cálculo é um pouco diferente. Basta localizarmos os 
termos centrais, somar e dividir por dois para encontraremos 
o primeiro quartil (Q1). 
 Q1=(2+3)/2
 Q1 = 2,5
 → Já para a sequência 2, temos:
Sequência2 = 5, 9, 10, 12
Novamente, temos que verificar a quantidade de termos. 
Temos 4 termos, portanto, quantidade PAR. Novamente, 
somamos os dois termos centrais, somamos e dividimos por 
dois para encontraremos o primeiro quartil (Q3):
 Q3=(9+10)/2
 Q3 = 9,5
Dessa maneira, temos que o primeiro quartil (Q1) será 
igual a 2,5, o segundo quartil (Q2) será 5 e o terceiro quartil 
(Q3) será igual a 9,5.
 
→ Dados agrupados sem intervalos de classe:
Agora, vejamos um exemplo de cálculo de quartil quando 
temos os valores repetidos, disponibilizados em tabela.
Exemplo 4: Vejamos a tabela a seguir, onde a mesma 
apresenta valores de idade com suas respectivas repetições. 
Idade fi 
15 2
16 3
17 5
18 4
19 3
20 1
Total 18
Primeiramente, temos que montar a FAC, pois é ela que 
vai nos indicar em qual classe está localizado o quartil desejado.
Considerando os valores da tabela anterior, vamos 
calcular a FAC...
Metódos Quantitativos II 8
Idade fi FAC
15 2 2
16 3 5
17 5 10
18 4 14
19 3 17
20 1 18
Total 18 -
Após o cálculo da FAC, vamos verificar quais são as 
posições dos quartis que queremos calcular...
Por exemplo, se tivermos que calcular o valor do quartil 
1, Q1, temos que encontrar qual a posição que esse quartil 
está, considerando a fórmula a seguir...
Sx = x. ∑ fi
4
Percebam que a fórmula é para localizarmos a posição 
do quartil, por isso adotaremos S para posição do quartil a ser 
calculado e x será adotado para qual quartil se quer encontrar.
** Se tivermos, por exemplo, que encontrar a posição 
do primeiro quartil, teremos x = 1. Desse modo, teremos a 
seguinte disponibilização dos valores na fórmula:
S1 = 1. ∑ fi
4
** Se tivermos, por exemplo, que encontrar a posição 
do segundo quartil, teremos x = 2. Desta maneira, teremos a 
seguinte disponibilização dos valores na fórmula:
S2 = 2. ∑ fi
4
Para Refl etir
Importante observar que a posição do segundo quartil é a mesma 
posição da mediana, pois podemos simplifi car na expressão 2 por 4, 
resultado a fórmula a seguir...
S2 = 2. ∑ fi
4
 ** Se tivermos, por exemplo, que encontrar a posição 
do terceiro quartil, teremos x = 3. Deste modo, teremos a 
seguinte disponibilização dos valores na fórmula:
S3 = 3. ∑ fi
4
Somente depois da posição calculada é que encontramos 
o valor do quartil, disponibilizada na coluna da esquerda...
Vamos praticar?!
Voltamos à tabela anterior, aquela que calculamos a FAC:
Idade fi Fac
15 2 2
16 3 5
17 5 10
18 4 14
19 3 17
20 1 18
Total 18 -
Vamos calcular os valores de Q1, Q2 e Q3...
→ Calculado Q1.
Primeiro, vamos calcular a posição do Q1:
Sx = x. ∑ fi
4
Vejam que temos para x = 1, ∑fi = 18. Desta maneira, 
teremos:
S1 = 1. 18
4
Dividindo 18 por 4 teremos 4, 5.
 S1=1.(4,5)
O que resulta em:
 S1=4,5
Encontrando a posição de Q1 (4,5), vamos localizar na 
FAC onde esse valor se encontra. Se observarmos podemos 
verificar que está localizado na segunda classe, ou seja, na 
segunda linha, pois temos até a segunda classe 5 elementos, 
5 valores distribuídos. Portanto, se a posição do primeiro 
quartil, Q1, está na segunda classe, o VALOR de Q1 é 16, valor 
correspondente à segunda classe.
→ Calculado Q2:
Primeiro, vamos calcular a posição do Q2:
Sx = x. ∑ fi
4
Vejam que temos para x = 1, ∑fi = 18. Desta maneira, 
teremos...
S2 = 2. 18
4
Dividindo 18 por 4 teremos 4,5.
 S2=2.(4,5)
O que resulta em...
 S2=9
Encontrando a posição de Q2 (9), vamos localizar na 
FAC onde esse valor se encontra. Se observarmos podemos 
verificar que está localizado na terceira classe, ou seja, na 
terceira linha, pois temos até a terceira classe 10 elementos, 
10 valores distribuídos. Portanto, se a posição do segundo 
quartil, Q2, está na terceira classe, o VALOR de Q2 é 17, valor 
correspondente à terceira classe.
 
→ Calculado Q3...
Primeiro, vamos calcular a posição do Q3...
Sx = x. ∑ fi 
4
Vejam que temos para x = 1, ∑fi = 18. Desta maneira, 
teremos...
S3 = 3.
4
18
Dividindo 18 por 4 teremos 4,5.
 S3=3.(4,5)
O que resulta em...
9
 S3=13,5
Encontrando a posição de Q3 (13,5), vamos localizar na 
FAC onde esse valor se encontra. Se observarmos podemos 
verificar que está localizado na quarta classe, ou seja, na quarta 
linha, pois temos até a quarta classe 14 elementos, 14 valores 
distribuídos. Portanto, se a posição do terceiro quartil, Q3, está 
na quarta classe, o VALOR de Q3 é 18, valor correspondente 
à quarta classe.
→ Dados agrupados com intervalos de classe:
Agora, vejamos um exemplo de cálculo de quartil quando 
temos os valores repetidos, disponibilizados em tabela.
Exemplo 5: Vejamos a tabela a seguir, que apresenta 
valores de idade com suas respectivas repetições. 
Gasto fi 
40 80 10
80 120 89
120 160 206
160 200 219
200 240 155
240 280 78
280 320 30
320 360 18
360 400 11
816
Primeiramente, temos que montar a FAC, pois é ela que 
vai nos indicar em qual classe está localizado o quartil desejado.
Considerando os valores da tabela anterior, vamos calcular 
a FAC:
Gasto fi FAC
40 80 10 10
80 120 89 99
120 160 206 305
160 200 219 524
200 240 155 679
240 280 78 757
280 320 30 787
320 360 18 805
360 400 11 816
816 -
Após o cálculo da FAC, vamos verificar quais são as 
posições dos quartis que queremos calcular.
Por exemplo, se tivermos que calcular o valor do quartil 1, 
Q1, temos que encontrar qual a posição que esse quartil está, 
considerando a fórmula a seguir:
Sx = x. ∑ fi
4
Percebam que a fórmula é para localizarmos a posição do 
quartil, por isso adotaremos P para posição do quartil a ser 
calculado e x será adotado para qual quartil se quer encontrar.
** Se tivermos, por exemplo, que encontrar a posição 
do primeiro quartil, teremos x = 1. Dessa maneira, teremos a 
seguinte disponibilização dos valores na fórmula:
S1 = 1. ∑ fi
4
** Se tivermos, por exemplo, que encontrar a posição 
do segundo quartil, teremos x = 2. Desse modo, teremos a 
seguinte disponibilização dos valores na fórmula:
S2 = 2. ∑ fi
4
Para Refl etir
Importante observar que a posição do segundo quartil é a mesma 
posição da mediana, pois podemos simplifi car na expressão 2 por 4, 
resultado a fórmula a seguir:
S2 = 2. ∑ fi
4
** Se tivermos, por exemplo, que encontrar a posição 
do terceiro quartil, teremos x = 3. Dessa maneira, teremos a 
seguinte disponibilização dos valores na fórmula:
S3 = 3. ∑ fi
4
Somente depois da posição calculada é que encontramos 
o valor do quartil. Para esse cálculo, no caso de dados 
agrupados com intervalos de classe, ainda é necessário adotar 
mais uma fórmula:
Qx = li + [x .∑ fi4 [fac (ant) .h
fi
→ Onde:
li = limite inferior da classe do quartil
∑fi = total de fi
fac(ant) = frequência acumulada anterior à classe do 
quartil
h = amplitude da classe do quartil
fi = frequência da classe do quartil
Vamos praticar?!
Voltamos à tabela anterior, aquela que calculamos a FAC:
Gasto fi FAC
40 80 10 10
80 120 89 99
120 160 206 305
160 200 219 524
200 240 155 679
240 280 78 757
280 320 30 787
320 360 18 805
360 400 11 816
816 -
Q1
Q2
Q3
Metódos Quantitativos II 10
Vamos calcular os valores de Q1, Q2 e Q3.
 → Calculando Q1.
Primeiro, vamos calcular a posição do Q1:
Sx = x. fi
4
∑
Vejam que temos para x = 1, ∑ fi = 816. Desta maneira, 
teremos...
S1 = 1. 816
4
Dividindo 816 por 4 teremos 204.
 S1=1.(204)
O que resulta em:
 S1=204
Encontrando a posição de Q1 (204), vamos localizar na 
FAC onde esse valor se encontra. Se observarmos podemos 
verificar que está localizado na terceira classe, ou seja, na 
terceira linha, pois temos até a segunda classe 305 elementos, 
305 valores distribuídos. Portanto, se a posição do primeiro 
quartil, Q1, está na terceira classe.
Ao localizarmos a posição do Q1, temos agora que 
colocar na fórmula a seguir:
Qx = li + 
[x.∑ fi4 [fac (ant) .h
fi
→ Onde:
li = 120
∑ fi = 816
fac(ant) = 99
h = 40
fi = 206
Q1 = 120 + [1 .8164 [99 .40
206
Q1 = 120 + [1. [99 .40
206
(204)
Q1 = 120 + [ [99 .40
206
204
Q1 = 120 + .40
206
4200
Q1 = 120 + 
206
105
Q1 = 120 + 20,38
Q1 = 140 ,38
Resumindo
Vejam que, primeiramente, substituímos os 
valores na fórmula. 
Em seguida, divida o valor de 816 por 4, 
resultando em 204.
O próximo passo é multiplicar o valor de x (1) por 204.
Depois disso, temos que resolver o que está 
dentro do colchete, 204 – 99, resultando em 105.
Podemos prosseguir com os cálculos, fazendo a 
multiplicação de 105 por 40, que dá 4200.
Após isso, vamos dividir 4200 por 206, 
resultando 20,38.
Por último, somamos 120 com 20,38, tendo com 
VALOR de Q1 140,38.
 ** Dessa maneira, podemos concluir que, para a tabela 
apresentada, Q1 encontra-se na posição 204 e tem como valor 
140,38.
→ Calculando Q2.
Primeiro, vamos calcular a posição do Q2:
Sx = x. ∑ fi
4
Vejam que temos para x = 1, ∑ fi = 816. Deste modo, 
teremos:
S2 = 2. 816
4
Dividindo 816 por 4 teremos 204.
 S2=2.(204)
O que resulta em...
 S2=408
Encontrando a posição de Q2 (408), vamos localizar na 
FAC onde esse valor se encontra. Se observarmos, podemos 
verificar que está localizado na quarta classe, ou seja, na quarta 
linha, pois temos até a terceira classe 524 elementos, 524 
valores distribuídos. Portanto, se a posição do segundo quartil, 
Q2, está na quarta classe.
Ao localizarmos a posição do Q2, temos agora que 
colocar na fórmula a seguir:
Qx = li + 
[x .∑ fi4 [fac (ant) .h
fi
→ Onde:
li = 160
∑ fi = 816
fac(ant) = 305
h = 40
fi = 219 
Qx = 160 + 
[2.8164 [305 . 40
219
40Qx = 160 + 
[2. [305 .
219
204 
Qx = 160 + 
[ [305 .40
219
408
Qx = 160 + 103 .40
219
Qx = 160 + 4120
219
Qx = 160 + 18,8
Qx = 178,8
Resumindo
Vejam que, primeiramente, substituímos os valores 
na fórmula. 
Em seguida, divida o valor de 816 por 4, resultando 
em 204.
O próximo passo é multiplicar o valor de x (2) por 
204, obtendo 408.
Depois disso, temos que resolver o que está dentro 
do colchete, 408 – 305, resultando em 103.
Podemos prosseguir com os cálculos, fazendo a 
multiplicação de 103 por 40, que dá 4120.
Após isso, vamos dividir 4120 por 219, resultando 18,8.
Por último, somamos 160 com 18,8, tendo com 
VALOR de Q2 178,8.
11
** Deste modo, podemos concluir que, para a tabela 
apresentada, Q2 encontra-se na posição 408 e tem como valor 
178,8.
→ Calculando Q3.
Primeiro, vamos calcular a posição do Q3.
Sx = x. ∑ fi
4
Vejam que temos para x = 1, ∑fi = 816. Desta maneira, 
teremos:
S3 = 3.816
4
Dividindo 816 por 4 teremos 204.
 S3=3.(204)
O que resulta em:
 S3=612
Encontrando a posição de Q3 (612), vamos localizar na 
FAC onde esse valor se encontra. Se observarmos, podemos 
verificar que está localizado na quinta classe, ou seja, na quinta 
linha, pois temos até a quinta classe 679 elementos, 679 valores 
distribuídos. Portanto, se a posição do terceiro quartil, Q3, está 
na quinta classe.
Ao localizarmos a posição do Q3, temos agora que colocar 
na fórmula a seguir:
Qx = li + [x .
∑ fi
4 [fac (ant) .h
fi
→ Onde:
li = 200
∑fi = 816
fac(ant) = 524
h = 40
fi = 155
Q3 = 200 + 
[3 .8164 [524 .40
155
Q3 = 200 + 
3 . (204) [524 .40
155
[
Q3 = 200 + 612 [524 .40
155
[
Q3 = 200 + 88 .40
155
Q3 = 200 + 3520
155
Q3 = 200 + 22,7
Q3 = 222,7
Resumindo
Vejam que, primeiramente, substituímos os valores na 
fórmula. 
Em seguida, divida o valor de 816 por 4, resultando em 204.
O próximo passo é multiplicar o valor de x (3) por 204, 
obtendo 612.
Depois disso, temos que resolver o que está dentro do 
colchete, 612 – 524, resultando em 88.
Podemos prosseguir com os cálculos, fazendo a 
multiplicação de 88 por 40, que dá 3520.
Após isso, vamos dividir 3520 por 155, resultando 22,7.
Por último, somamos 200 com 22,7, tendo com VALOR de 
Q2 222,7.
** Dessa maneira, podemos concluir que, para a tabela 
apresentada, Q3 encontra-se na posição 612 e tem como valor 
222,7.
Chegamos, assim, ao fi nal de nossa primeira aula. Espero vocês na 
próxima aula, quando, então, investigaremos sobre Separatrizes 
(Decil). Até lá!
Retomando a aula
Parece que estamos indo bem! Então, para encerrar a 
Aula 01, vamos recordar os temas que foram abordados:
1 – Noções de Quartis
Nessa seção, estudamos os quartis e suas funcionalidades.
2 – Aplicação de quartis
Nessa seção, estudamos como calcular cada um dos 
quartis (Q1, Q2, Q3) nos três tipos de distribuição (dados não 
agrupados, dados agrupados sem intervalos de classe e dados 
agrupados com intervalos de classe).
CRESPO. A. A. Estatística fácil. 18. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2002.
Amostra Estatística. Disponível em: <www.
amostraestatística.hpg.ig.com.br/historia.htm>
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com.br> 
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