Curso Mathcad 5 0 - NICAE UFPA

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
NÚCLEO DE INSTRUMENTAÇÃO E COMPUTAÇÃO APLICADO À 
ENGENHARIA
CURSO DE MATHCAD PRIME
BELÉM
2019
AUTOR
KIM MIRA DA CRUZ
APOIO
MARCEL ALMEIDA DO AMARAL
AUTOR:
KIM MIRA DA CRUZ - kimmdcruz@gmail.com 
https://www.linkedin.com/in/kim-cruz-06854190/
APOIO:
MARCEL ALMEIDA DO AMARAL - aamarcel2009@hotmail.com
https://www.linkedin.com/in/marcel-almeida-do-amaral
CURSO DE MATHCAD PRIME
Realização:
Material produzido integralmente dentro do
software Mathcad 5.0, para a realização de
curso de extensão, financiado pela
Universidade Federal do Pará.
Orientador: Profº Dr. Plínio Glauber Carvalho dos Prazeres
BELÉM
2019
mailto:kimmdcruz@gmail.com
https://www.linkedin.com/in/kim-cruz-06854190/
mailto:aamarcel2009@hotmail.com
https://www.linkedin.com/in/marcel-almeida-do-amaral
Sumário
1 INTRODUÇÃO........................................................................................................................5
1.1 Principais aplicações...............................................................................................................6
1.2 Principais capacidades............................................................................................................6
1.3 Vantagens................................................................................................................................6
1.4 Exemplos................................................................................................................................7
2 COMANDOS BÁSICOS........................................................................................................10
2.1 Calcular expressões numericamente.....................................................................................10
2.2 Atribuindo e usando variáveis...............................................................................................10
2.3 Diferentes tipos de sinais de igualdade..................................................................................11
2.4 Operadores matemáticos algébricos comuns.........................................................................11
2.5 Funções trigonométricas (básico)..........................................................................................12
2.6 Exercícios de fixação.............................................................................................................12
2.7 Resumo comandos básicos....................................................................................................13
3 TRABALHANDO COM UNIDADES..................................................................................14
3.1 Exercício de fixação..............................................................................................................14
3.2 Exercício de recalque utilizando unidades............................................................................14
3.3 Lidando com equações empíricas ou semi-empíricas...........................................................16
3.4 Exercício de fixação - equações empíricas de recalque................................................................16
3.5 Hibbeler - 9.13 - exercício sem resolução...................................................................................17
3.6 Hibbeler - 9.13 - resolução........................................................................................................18
3.7 Unidades 'customizadas'............................................................................................................19
4 SOLVE BLOCKS E OPERADORES SIMBÓLICOS........................................................20
4.1 Definindo um solve block.....................................................................................................20
4.2 Exercício de fixação..............................................................................................................21
4.3 Solucionando e plotando EDO (Equações Diferenciais Ordinárias)....................................22
4.4 Resolvendo sistemas de equações não-lineares....................................................................23
4.4.1 Maneiras de encontrar a raiz.........................................................................................24
4.5 Otimização de funções com restrições..................................................................................25
4.6 Informações adicionais acerca de Solve Blocks....................................................................25
4.7 Exercício - sistema de equações não-lineares.......................................................................26
4.8 Trabalhando simbolicamente.................................................................................................27
4.9 Transformada de Laplace - resolvendo simbolicamente.......................................................28
4.10 Séries de Taylor - expandindo funções e plotando-as.........................................................29
4.11 Frações parciais e frações continuadas................................................................................30
4.12 Derivadas parciais, integral e funções vetoriais - exercícios...............................................31
5 MATRIZES, TABELAS E COMPONENTE EXCEL........................................................32
5.1 Matrizes - introdução.............................................................................................................32
5.2 Distribuição de tensões normais em viga biapoiada - exercício...........................................36
5.3 Tabelas - exercício curva de rendimento CMB.....................................................................37
5.4 Uso de tabelas para seleção/inserção de dados.....................................................................38
5.5 Componente excel e readexcel para seleção e apresentação de dados.................................39
6 PROGRAMAÇÃO EM MATHCAD....................................................................................41
6.1 Comando "Adicionar linha"..................................................................................................41
6.2 Comandos de atribuição de valor ou de expressão...............................................................41
6.3 Comando if............................................................................................................................42
6.4 Comando for..........................................................................................................................44
6.5 Comando while......................................................................................................................44
6.6 Comando break.....................................................................................................................45
6.7 Comando continue.................................................................................................................45
6.8 Comando return.....................................................................................................................45
6.9 Comando try/on error............................................................................................................46
6.10 Exemplos de aplicações - série de Fourier..........................................................................46
7 ORGANIZANDO SUA PROGRAMAÇÃO, TABELAS E EXCEL..................................49
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................53
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE
Sumário
1 INTRODUÇÃO........................................................................................................................5
1.1 Principais aplicações...............................................................................................................6
1.2 Principais capacidades............................................................................................................61.3 Vantagens................................................................................................................................6
1.4 Exemplos................................................................................................................................7
2 COMANDOS BÁSICOS........................................................................................................10
2.1 Calcular expressões numericamente.....................................................................................10
2.2 Atribuindo e usando variáveis...............................................................................................10
2.3 Diferentes tipos de sinais de igualdade..................................................................................11
2.4 Operadores matemáticos algébricos comuns.........................................................................11
2.5 Funções trigonométricas (básico)..........................................................................................12
2.6 Exercícios de fixação.............................................................................................................12
2.7 Resumo comandos básicos....................................................................................................13
3 TRABALHANDO COM UNIDADES..................................................................................14
3.1 Exercício de fixação..............................................................................................................14
3.2 Exercício de recalque utilizando unidades............................................................................14
3.3 Lidando com equações empíricas ou semi-empíricas...........................................................16
3.4 Exercício de fixação - equações empíricas de recalque................................................................16
3.5 Hibbeler - 9.13 - exercício sem resolução...................................................................................17
3.6 Hibbeler - 9.13 - resolução........................................................................................................18
3.7 Unidades 'customizadas'............................................................................................................19
4 SOLVE BLOCKS E OPERADORES SIMBÓLICOS........................................................20
4.1 Definindo um solve block.....................................................................................................20
4.2 Exercício de fixação..............................................................................................................21
4.3 Solucionando e plotando EDO (Equações Diferenciais Ordinárias)....................................22
4.4 Resolvendo sistemas de equações não-lineares....................................................................23
4.4.1 Maneiras de encontrar a raiz.........................................................................................24
4.5 Otimização de funções com restrições..................................................................................25
4.6 Informações adicionais acerca de Solve Blocks....................................................................25
4.7 Exercício - sistema de equações não-lineares.......................................................................26
4.8 Trabalhando simbolicamente.................................................................................................27
4.9 Transformada de Laplace - resolvendo simbolicamente.......................................................28
4.10 Séries de Taylor - expandindo funções e plotando-as.........................................................29
4.11 Frações parciais e frações continuadas................................................................................30
4.12 Derivadas parciais, integral e funções vetoriais - exercícios...............................................31
5 MATRIZES, TABELAS E COMPONENTE EXCEL........................................................32
5.1 Matrizes - introdução.............................................................................................................32
5.2 Distribuição de tensões normais em viga biapoiada - exercício...........................................36
5.3 Tabelas - exercício curva de rendimento CMB.....................................................................37
5.4 Uso de tabelas para seleção/inserção de dados.....................................................................38
5.5 Componente excel e readexcel para seleção e apresentação de dados.................................39
6 PROGRAMAÇÃO EM MATHCAD....................................................................................41
6.1 Comando "Adicionar linha"..................................................................................................41
6.2 Comandos de atribuição de valor ou de expressão...............................................................41
6.3 Comando if............................................................................................................................42
6.4 Comando for..........................................................................................................................44
6.5 Comando while......................................................................................................................44
6.6 Comando break.....................................................................................................................45
6.7 Comando continue.................................................................................................................45
6.8 Comando return.....................................................................................................................45
6.9 Comando try/on error............................................................................................................46
6.10 Exemplos de aplicações - série de Fourier..........................................................................46
7 ORGANIZANDO SUA PROGRAMAÇÃO, TABELAS E EXCEL..................................49
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................53
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE
1. INTRODUÇÃO
O programa Mathcad® é um software com aplicabilidade em engenharia e matemática 
que permite executar, analisar e compartilhar seus cálculos essenciais no ambiente 
acadêmico e profissional. Esse programa pertence à empresa PTC.
PTC Mathcad® tem toda a facilidade de uso de um bloco de notas com certa
familiaridade para quem é da área de engenharia, combinada com uma notação 
matemática, um sistema de unidades inteligente e uma elevada capacidade de cálculo, 
executando operações matemáticas simples até a programação de alto nível. Este software 
de engenharia permite apresentar seus cálculos com gráficos, textos e imagens em um 
único documento. Ninguém precisa de habilidades especializadas para compreender as 
informações do conteúdo escrito no PTC Mathcad®, além de você poder reutilizá-lo para 
outros projetos permitindo ganho de tempo e produtividade. Use PTC Mathcad® para 
aumentar não só a velocidade e a precisão do seu trabalho, mas a sua confiança em seu 
projeto.
Os métodos de cálculo disponíveis para resolver problemas de engenharia nem sempre 
são as melhores ferramentas para capturar e compartilhar a propriedade intelectual. Os 
cálculos são valiosos para organizações de engenharia não só por causa dos resultados 
finais, mas até em razão das hipóteses, métodos e valores por trás dos resultados [2].
Comparando um programa muito utilizado em cálculos de engenharia, popularmente 
conhecido por suas Planilhas Dinâmicas, com suas ferramentas gráficas e programação 
VBA que agilizam e muito a vida de alguns engenheiros, é possível notar que a 
verificaçãode suas células, no sentido de revisar cálculos que, geralmente, estão sujeitos 
ao fator erro humano, torna-se entediante e exaustivo. Percebe-se aí a necessidade de um 
software capaz de deixar isto bem detalhado e o mais claro e explícito possível.
A lógica dos cálculos de engenharia pode ficar entediante em planilhas, embora seja 
perfeitamente clara no software de cálculo. Usando a notação matemática padrão, texto e 
gráficos integrados, o PTC Mathcad® pode gerar automaticamente documentos legíveis, 
que são facilmente entendidos de cima para baixo da cadeia de gestão e entre as diversas 
equipes [2].
A empresa PTC utiliza-se do conceito básico que denominado "what you see is what you get", 
devido à principal característica do software; Visualização facilitada.
Principais Aplicações:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Resolução de Sistemas de Equações Lineares e Não-Lineares;
Cálculo Diferencial;
Cálculo Matricial;
Tratamento estatístico de dados;
Elaboração de memórias de cálculo;
Rotinas de cálculos para dimensionamento ou ensaios de laboratório;
Resistência dos Materiais;
Análise de elementos estruturais (Viga, Pilar, Laje, etc.);
Sistema de respostas dinâmicas;
Criação de conteúdo próprio para cálculos com melhor apresentação;
Principais Capacidades:
�
�
�
�
�
Solução de Sistemas de Equações com Solve Blocks;
Sistema de Unidades Inteligente;
Soluções de EDO e EDP;
Programação para cálculos condicionais (If/Else, For, While, etc.);
Operações com simbólicos;
Vantagens:
�
�
�
�
�
�
Usando o PTC Mathcad®, todas as fórmulas e termos matemáticos tornam os cálculos muito 
mais fáceis de verificar comparado às planilhas eletrônicas;
Nunca mais se preocupe com as unidades! O Mathcad alerta quando há inconsistência entre 
as unidades, as planilhas do software têm capacidade de gerenciar sistemas mistos de 
unidades, bem como permite a criação de unidades personalizadas;
As formulas e equações são visíveis, possibilitando a fácil verificação. Não estãos 
escondidos em células onde apenas os resultados estão visíveis;
Pode-se alterar uma variável de entrada e ter os resultados imediatamente atualizados;
Pode-se criar Templates com cálculos padrões e reutilizá-los a qualquer momento, tanto por 
você quanto por sua equipe de escritório ou laboratório
Componentes Excel - Possibilidade de usar dados tabelados de arquivo Excel externo, ou 
componente interno excel de armazenamento de dados de entrada, ou exportação de 
resultados.
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 5 of 53
A empresa PTC utiliza-se do conceito básico que denominado "what you see is what you get", 
devido à principal característica do software; Visualização facilitada.
Principais Aplicações:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Resolução de Sistemas de Equações Lineares e Não-Lineares;
Cálculo Diferencial;
Cálculo Matricial;
Tratamento estatístico de dados;
Elaboração de memórias de cálculo;
Rotinas de cálculos para dimensionamento ou ensaios de laboratório;
Resistência dos Materiais;
Análise de elementos estruturais (Viga, Pilar, Laje, etc.);
Sistema de respostas dinâmicas;
Criação de conteúdo próprio para cálculos com melhor apresentação;
Principais Capacidades:
�
�
�
�
�
Solução de Sistemas de Equações com Solve Blocks;
Sistema de Unidades Inteligente;
Soluções de EDO e EDP;
Programação para cálculos condicionais (If/Else, For, While, etc.);
Operações com simbólicos;
Vantagens:
�
�
�
�
�
�
Usando o PTC Mathcad®, todas as fórmulas e termos matemáticos tornam os cálculos muito 
mais fáceis de verificar comparado às planilhas eletrônicas;
Nunca mais se preocupe com as unidades! O Mathcad alerta quando há inconsistência entre 
as unidades, as planilhas do software têm capacidade de gerenciar sistemas mistos de 
unidades, bem como permite a criação de unidades personalizadas;
As formulas e equações são visíveis, possibilitando a fácil verificação. Não estãos 
escondidos em células onde apenas os resultados estão visíveis;
Pode-se alterar uma variável de entrada e ter os resultados imediatamente atualizados;
Pode-se criar Templates com cálculos padrões e reutilizá-los a qualquer momento, tanto por 
você quanto por sua equipe de escritório ou laboratório
Componentes Excel - Possibilidade de usar dados tabelados de arquivo Excel externo, ou 
componente interno excel de armazenamento de dados de entrada, ou exportação de 
resultados.
Exemplos
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 6 of 53
Exemplos
≔A 1 ≔w 3
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-1
-0.8
1
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50 0.5 5
θ
⋅A cos (( ⋅w θ))
⋅-A cos (( ⋅w θ))
⋅A sin (( ⋅w θ))
⋅-A sin (( ⋅w θ))
Uma das possíveis aplicações que podem ser desenvolvidas no software MathCad é a criação de 
memoriais de cálculo estrutural para pontes. O exemplo a seguir mostra alguns dos procedimentos 
utilizados para uma ponte, de concreto armado, biapoiada e com dois balanços. Esse sistema 
estrutural é comumente utilizado no Brasil e em diversas partes do mundo.
Ponte biapoiada com balanços
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 7 of 53
No exemplo, foi desenvolvido um algoritmo de programação que localiza o trem tipo na posição 
mais desforável para a uma determinada seção da estrutura, para tal utiliza-se as cargas móveis, 
distribuídas e concentradas, que podem localizar-se sobre a ponte. As coordenadas dessas cargas 
dependendem do gráfico azul (linha de influência de momento fletor), que indica a intensidade de 
atuação de cargas em cada ponto da estrutura para a seção escolhida.
A partir da determinação das coordenadas das cargas móveis para diversas seções da ponte, foi 
possível montar e envoltória de esforços de momento fletor, implementando-se os cálculos de 
forma rápida e iterativa dentro de um algoritmo formulado no mathCad. Com base nesses 
resultados é possível, atentando-se as condições normativas, efetuar o dimensionamento ou 
verifiação estrutural.
Uma das aplicações bem práticas em projetos hidrossanitários é a criação de memoriais de cálculo 
reutilizaáveis. No exemplo em questão temos o memorial de cálculo para bombas hidráulicas de uso 
residencial, baseado na bibliografia vigente. No qual é necessário a especificação técnica da bomba,
fonecida pelo fabricante, e as características do projeto. Dessa maneira, tem-se os resultados 
atualizados automaticamente após a inserção de dados, possibilitando a posterior verificação por 
qualquer profissional da área.
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 8 of 53
Uma das aplicações bem práticas em projetos hidrossanitários é a criação de memoriais de cálculo 
reutilizaáveis. No exemplo em questão temos o memorial de cálculo para bombas hidráulicas de uso 
residencial, baseado na bibliografia vigente. No qual é necessário a especificação técnica da bomba,
fonecida pelo fabricante, e as características do projeto. Dessa maneira, tem-se os resultados 
atualizados automaticamente após a inserção de dados, possibilitando a posterior verificação por 
qualquer profissional da área.
�
�
�
�
�
�
Ambiente Mathcad
Abas
Formatação textual
Criação de Template
Aba de ajuda
Áreas Matemáticas, Textuais, Colapsiveis, Protegidas
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 9 of 53
�
�
�
�
�
�
Ambiente Mathcad
Abas
Formatação textual
Criação de Template
Aba de ajuda
Áreas Matemáticas, Textuais, Colapsiveis, Protegidas
2. Comandos Básicos
No fim deste capítulo, você será capaz de:
�
�
�
�
�
�
Calcular expressões numericamente
Atribuir variável e usá-las em cálculos subsequentes
Distinguir entre os diferentes tipos de "sinais de igual" do Mathcad, e usá-los apropriadamente
Criar equações matemáticas básicas envolvendo ( )'s , expoentes, raízes, etc.
Manipular algebricae simbolicamente expressões matemáticas
Formatar folha do Mathcad para facilitar a leitura, destacar regiões, alterar precisão das 
respostas, alinhar regiões, entre outros.
2.1. Calcular Expressões Numericamente
�
�
�
�
�
�
A cruz Azul indica o ponto de insersão no worksheet
+ para Adição
- Subtração
/ Divisão
* Multiplicação
= Retorna o valor da expressão
Exercício de fixação:
Digite a expressão: 15-8/104.5=
=-15 ――
8
104.5
14.923
Digite a expressão 15-8<espaço2x>/104.5=
=――
-15 8
104.5
0.067
Obs:
�
�
O ponto de inserção na área Matemática sempre está em Azul piscando
Ponto de inserção navegável com as Setas à Esquerda ou Direita.
Os elementos selecionados são realçados com Cinza
Altere os elementos selecionados pressionando <espaço>
2.2. Atribuindo e usando variáveis
�
�
�
�
Variáveis podem ser criadas para guardar valores
Uma variável pode receber quase qualquer nome, de letras simples a palavras
Atribua uma variável digitando o nome desejado seguido por " : " (dois pontos) seguido pelo 
valor numérico ou simbólico a ser atribuido
Depois que uma variável é atribuída, ela pode ser usada em cálculos subsequentes
Demonstração
≔a 5
≔b 10
=+a b 15
Obs:
�
�
note que o 'resultado' de digitar : é :=
(:) é chamado de operador de atribuição
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 10 of 53
Cuidado: A ordem de atribuição da variável é importante
=+x y ?
≔x 5
≔y 10
=+x y 15
2.3. Diferentes tipos de Sinais de Igualdade
�
�
Até aqui, vimos dois tipos de sinais de igualdade; = e :=
Há, na verdade, quatro tipos de sinais de igualdade no Mathcad
1. Operador de Atribuição (discutido acima) 
tecla é :≔f 3
2. Valor de exibição - Retorna valor atribuido e resultados da expressão (visto acima)
tecla é ==f 3
3. Operador de Atribuição Global
menu Math > Operators > Definition and Evaluation≡ex 2
onde é definido "acima" e "abaixo" da atribuição, sobrepondo-se às atribuições locaish
4. Operador de Equivalência ("Equivale a...")
tecla é <ctrl>= Retorna 1 se Verdadeiro, ou 0 se Falso＝⋅P V nRT
Obs:
�
�
Observe a tecla e simbolo
Variáveis globais são pouco usadas, geralmente usa-se em constantes que não tem no 
software.
Cuidados:
� Mathcad tem diversas variáveis pré-definidas.
=∞ ⋅1 10307 =e 2.718 =π 3.142 =c ⎛⎝ ⋅2.998 108 ⎞⎠ ―
m
s
=g 9.807 ―
m
s2
2.4. Operadores Matemáticos Algébricos Comuns
� São encontrados na aba Math > Operators, cada um com seus respectivos atalhos
=x2 25 =‾‾x 2.236 =||x|| 5 =!x 120
Calcule as seguintes expressões para e ≔x 11 ≔y -3
⋅x y ―
x
y
xy x ||y||
‾‾x ‾‾
-y
x (( +x 3))
-y
Obs:
�
�
O Mathcad lê expressões da Esquerda para Direita, de 
Cima para Baixo
Variáveis devem ser atribuídas antes de serem usadas
(F1)Help>Working with PTC>Working 
with Math Expressions>Entering Math 
Expressions>Built-in Constants
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 11 of 53
2.5. Funções trigonométricas (básico)
=tan ((45)) 1.62 =tan ((45 rad)) 1.62 � Note que a unidade de entrada é em 
, caso não for especificadarad
=tan
⎛
⎜
⎝
―
π
4
⎞
⎟
⎠
1 =tan (( °45 )) 1
=sin
⎛
⎜
⎝
―
π
4
⎞
⎟
⎠
0.707 =sin (( °45 )) 0.707
=cos
⎛
⎜
⎝
―
π
4
⎞
⎟
⎠
0.707 =sin (( °45 )) 0.707
Exercício de fixação:
Utilizando o operador de equivalência (<ctrl>=), quais das seguintes expressões, são identidades 
trigonométricas? (declare algum valor a x)
a) sin²(x)+cos²(x)=1
b)cot(x) = sin(x)/cos(x)
c)sec(x) = 1/cos(x)
d)tan(x) = cos(x)/sin(x)
e)sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x)
Exercício de fixação
Calcule a seguinte previsão de recalque na sapata pelos seguintes métodos:
Dados:
≔q 200 ≔D 1 ≔B 3.1 ≔L 3.3 ≔Nspt 10
� Método Shahin et al (2002):
≔x1 +0.1 ⋅10
-3 ⎛
⎜
⎝
+-++⋅3.8 B ⋅0.7 q ⋅4.1 Nspt ⋅1.8
⎛
⎜
⎝
―
L
B
⎞
⎟
⎠
⋅19
⎛
⎜
⎝
―
D
B
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
≔x2 ⋅10
-3 ⎛
⎜
⎝
+-+--0.7 ⋅41 B ⋅1.6 q ⋅75 Nspt ⋅52
⎛
⎜
⎝
―
L
B
⎞
⎟
⎠
⋅740
⎛
⎜
⎝
―
D
B
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
≔w +0.6 ――――――――――
120.4
+1 e +-0.312 ⋅0.725 tanh ⎛⎝x1⎞⎠ ⋅2.984 tanh ⎛⎝x2⎞⎠
� Método de Anagnostopoulos et al. (1991):
≔s ⋅―――――
⋅⋅0.57 q0.94 B0.9
Nspt
0.87
0.86
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 12 of 53
2. RESUMO - Comandos básicos
Tecla Descrição Região matemática
: Atribuição de valor ≔A 2 ≔B -1
= Retorna valor atribuido e =A 2 =B -1
resultados da expressão
+ Adição =+A B 1
- Subtração =-A B 3
* Multiplicação =⋅A B -2
/ Divisão =―
A
B
-2
| Valor absoluto =||B|| 1
\ Raiz =‾‾A 1.414 =‾‾
3
A 1.26
<Barra de Espaço> Seleciona partes da ;+A B ‾‾‾‾‾+A B
expressão
" (Aspas duplas) Insere texto na região “Perfil W310x21”
matemática 
. (Ponto) Separador Decimal 1.10
<Ctrl><g> Converte a letra ao seu respectivo ←s σ ←S Σ ←t τ
símbolo grego
<Ctrl><t> Insere área de Texto
<Ctrl><shift><m> Insere área matemática dentro de
área textual
^ (til) Insere expoente A
<Ctrl><-> Sobrescrever A1 Aa
<Ctrl><=> "Equivale a...", retorna 1 se true, 
0 se false. Também utilizado em
equações =＝A A 1 =＝A B 0
<Ctrl><shift><a> Cria área colapsível
�
�
�
�
�
A leitura se faz de Esquerda->Direita ; Cima->Baixo
Para "navegar" dentro da seleção matemática, usar somente setas à Esquerda/Direita
Arquivo aceito como memorial de cálculo nas engenharias
Software recomendado pelo prof. Dr. Humberto Lima Soriano, autor de diversos livros de 
análise estrutural, dentre eles o Análise de Estruturas: Formulação Matricial e 
Implementação Computacional.
Também recomendado no livro Prestressed Concrete: Building, Design, and Construction,
(Charles W. Dolan - H. R. Trey Hamilton) com exemplos de cálculos em Mathcad + Excel.
3. Trabalhando com Unidades
Ao longo deste capítulo, será abordado:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Introdução às unidades
Dimensões de unidades, unidades e os sistemas de unidades padrão
Uso da análise dimensional para auxiliar os cálculos de engenharia
Atribuição de unidades a variáveis e números
Executar operações matemáticas usando unidades
Conversão correta de unidades adequadamente à sua finalidade.
1+1 nem sempre será igual a 2. ( )=+1 ft 1 in 0.33 m
Discutir unidades de força e massa
Usar unidades em equações e funções
Criação de unidades personalizadas
Formas de lidar com unidades em fórmulas empíricas
3.1 Exercício de fixação:
Escreva os resultados em unidade adequada
a)1m + 3ft b)1 + 1*10^4 Angstromμm
c)1mi + 2km d)1yd + 1m
e)1nmi + 2km f)250cm + 1*10^9 nm
g)20ft + 35in h)125m/s + 90 kph
i) 1000kN + 100 tonnef
Cuidado com inconsistências!
=+2 m 3 kg ?
Balanceamento automático de unidades no resultado:
Apagando o 'metro': ;Substituindo kg por Coulumb =1 N 1 ⋅m ―
kg
s2
=1 N 1 ⋅――
kg
⋅s A
――
⋅C m
s2
Sistemas de unidade: SI ; USCS ; CGS (Centimeter-Gram-Sec)
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 13 of 53
3. Trabalhando com Unidades
Ao longo deste capítulo, será abordado:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Introdução às unidades
Dimensões de unidades, unidades e os sistemas de unidades padrão
Uso da análise dimensional para auxiliar os cálculos de engenharia
Atribuição de unidades a variáveis e números
Executar operações matemáticas usando unidades
Conversão correta de unidades adequadamente à sua finalidade.
1+1 nem sempre será igual a 2. ( )=+1 ft 1 in 0.33 m
Discutir unidades de força e massa
Usar unidades em equações e funções
Criação de unidades personalizadas
Formas de lidar com unidades em fórmulas empíricas
3.1 Exercício de fixação:
Escreva os resultados em unidade adequada
a)1m + 3ft b)1 + 1*10^4 Angstromμm
c)1mi + 2km d)1yd + 1m
e)1nmi + 2km f)250cm + 1*10^9 nm
g)20ft + 35in h)125m/s + 90 kph
i) 1000kN + 100 tonnef
Cuidado com inconsistências!
=+2 m 3 kg ?
Balanceamento automático de unidades no resultado:
Apagando o 'metro': ;Substituindo kg por Coulumb =1 N 1 ⋅m ―
kg
s2
=1 N 1 ⋅――
kg
⋅s A
――
⋅C m
s2
Sistemas de unidade: SI ; USCS ; CGS (Centimeter-Gram-Sec)
3.2 Exercício utilizando unidades - Recalque
Com as equações fornecidas, determine os recalques imediatos,de consolidação e total, 
para uma sapata quadrada de lado 3m recebendo uma carga de 500 kN. O perfil do solo é 
mostrado na figura abaixo. Obs: N.A. começa no topo do perfil.
Dados:
Areia Argila
Carga ≔P 500 kN
N.A. ≔dw 3 m
Camada 1 ≔d1 4 m
Camada 2 ≔d2 2 m
Camada 3 ≔d3 8 m
Embutimento ≔D 1.5 m
P. Esp. ≔γw 9.8 ――
kN
m3
≔ϕ'p1 37 ° ≔su 40 kPa
≔ϕ'cs 32 ° ≔ϕ'p2 37 °
≔OCR 1.3
≔γ1 16 ――
kN
m3
≔Cc 0.45
≔Cr 0.09
≔Eu 8 MPa
≔γsat1 17 ――
kN
m3
≔E'2 6.5 MPa
≔w %55
≔Gs 2.7
≔v' 0.35 ≔E'1 40 MPa ≔δlim 20 mm
1ª Etapa
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 14 of 53
≔E'1 40 MPa ≔δlim 20 mm
1ª Etapa
Dimensão da sapata: ≔B 3 m ≔L B
Especificando profundidade até a camada de argila: ≔H =-d1 D 2.5 m
≔σH =――――――――――――――
P
⋅(( +B ⋅⋅2 H tan ((26 °)))) (( +L ⋅⋅2 H tan (( °26 ))))
16.904 kPa
Na superficie da argila (profundidade 4m) têm-se: ≔B2 =+B H 5.5 m ≔L2 B2
2ª Etapa
Calcular recalque imediato da camada 1:
≔μ'emb =-1 ⋅⋅0.08 ―
D
B
⎛
⎜
⎝
+1 ⋅―
4
3
―
B
L
⎞
⎟
⎠
0.907 ≔Is =+0.62 ln
⎛
⎜
⎝
―
L
B
⎞
⎟
⎠
1.12 1.12
≔δ1 =⋅⋅⋅P ―――
⎛⎝ -1 v'2 ⎞⎠
⋅E'1 L
Is μ'emb 3.713 mm
Calcular recalque imediato da camada 2: ≔vu 0.5
≔μ'emb =-1 ⋅⋅0.08 ―
H
B2
⎛
⎜
⎝
+1 ⋅―
4
3
―
B2
L2
⎞
⎟
⎠
0.915 ≔Is =+0.62 ln
⎛
⎜
⎝
―
L2
B2
⎞
⎟
⎠
1.12 1.12
≔δ2 =⋅⋅⋅P ―――
⎛⎝ -1 vu
2 ⎞⎠
⋅Eu L2
Is μ'emb 8.736 mm
Passo 3
Calcular recalque de consolidação da argila:
≔e =⋅w Gs 1.485
≔γsat2 =⋅―――
⎛⎝ +Gs e⎞⎠
+1 e
γw 16.504 ――
kN
m3
≔σ'z0 =++⋅dw γ1 ⋅⎛⎝ -d1 dw⎞⎠ ⎛⎝ -γsat1 γw⎞⎠ ⋅―
d2
2
⎛⎝ -γsat2 γw⎞⎠ 61.904 kPa
≔q =⋅1.1 ――
P
B2
61.111 kPa ≔z =-+―
d2
2
d1 D 3.5 m
≔Δσz =⋅
⎛
⎜
⎜
⎜⎝
-1
⎛
⎜
⎜
⎜⎝
―――――
1
⎛
⎜
⎝
+1
⎛
⎜
⎝
――
B
⋅2 z
⎞
⎟
⎠
2 ⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟⎠
1.76⎞
⎟
⎟
⎟⎠
(( -q 0)) 15.693 kPa ≔σ'zc =⋅OCR σ'z0 80.475 kPa
≔δ3 =⋅⋅―――
d2
(( +1 e))
Cr log
⎛
⎜
⎝
――――
⎛⎝ +σ'z0 Δσz⎞⎠
σ'z0
⎞
⎟
⎠
7.108 mm
Recalque Total
≔δ =++δ1 δ2 δ3 19.556 mm
3.3 Lidando com Equações Empíricas ou Semi-Empíricas
Essencialmente, estes tipos de equações são obtidas estatisticamente a partir de bancos de 
dados de n situações analisadas in loco e terem a necessidade das variáveis de entrada estarem 
especificamente em determinadas unidades.
Portanto, é comum haver inconsistências dimensionais, de parcelas da equação com o 
resultado, principalmente no Mathcad, em que respeita-se as unidades inseridas e impede 
inconsistências.
Para contornar tal problema, pode-se inserir antes da equação uma Área Colapsível com os 
dados de entrada retirando-se as unidades do Mathcad, e de acordo com as unidades 'solicitadas' 
pela equação para que resulte no resultado requerido.
No fim da equação, multiplica-se a equação toda pela unidade que o método indica ser correta.
Vemos no exemplo:
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 15 of 53
3.3 Lidando com Equações Empíricas ou Semi-Empíricas
Essencialmente, estes tipos de equações são obtidas estatisticamente a partir de bancos de 
dados de n situações analisadas in loco e terem a necessidade das variáveis de entrada estarem 
especificamente em determinadas unidades.
Portanto, é comum haver inconsistências dimensionais, de parcelas da equação com o 
resultado, principalmente no Mathcad, em que respeita-se as unidades inseridas e impede 
inconsistências.
Para contornar tal problema, pode-se inserir antes da equação uma Área Colapsível com os 
dados de entrada retirando-se as unidades do Mathcad, e de acordo com as unidades 'solicitadas' 
pela equação para que resulte no resultado requerido.
No fim da equação, multiplica-se a equação toda pela unidade que o método indica ser correta.
Vemos no exemplo:
3.4 Exercício de fixação - equações empíricas de recalque
Calcule a seguinte previsão de recalque na sapata pelos seguintes métodos:
Dados:
≔q 200 kPa ≔D 1 m ≔B 3.1 m ≔L 3.3 m
Área Colapsível - Pode-se 'esconder' tais atribuições, para melhor organização do documento
≔q =――
q
kPa
200 ≔D ―
D
m
≔B =―
B
m
3.1 ≔L =―
L
m
3.3
=q 200 =D 1 =B 3.1 =L 3.3 =Nspt 10
� Método Shahin et al (2002):
≔x1 +0.1 ⋅10
-3 ⎛
⎜
⎝
+-++⋅3.8 B ⋅0.7 q ⋅4.1 Nspt ⋅1.8
⎛
⎜
⎝
―
L
B
⎞
⎟
⎠
⋅19
⎛
⎜
⎝
―
D
B
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
≔x2 ⋅10
-3 ⎛
⎜
⎝
+-+--0.7 ⋅41 B ⋅1.6 q ⋅75 Nspt ⋅52
⎛
⎜
⎝
―
L
B
⎞
⎟
⎠
⋅740
⎛
⎜
⎝
―
D
B
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
≔w ⋅
⎛
⎜
⎝
+0.6 ――――――――――
120.4
+1 e +-0.312 ⋅0.725 tanh ⎛⎝x1⎞⎠ ⋅2.984 tanh ⎛⎝x2⎞⎠
⎞
⎟
⎠
mm
� Método de Anagnostopoulos et al. (1991):
≔s ⋅⋅―――――
⋅⋅0.57 q0.94 B0.9
Nspt
0.87
0.86 mm
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 16 of 53
3.5 Hibbeler - 9.13 - Exercício Sem resolução
O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine:
a) As tensões principais e , e confirmar o valor pela equação geral de transformação σ1 σ2
de tensões.
b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto
OBS: Especifique a orientação do elemento em cada um dos casos.
Respostas:
a) As tensões principais e σ1 σ2
Orientação do elemento:
≔tg2θp =――――
τxy
―――
⎛⎝ -σx σy⎞⎠
2
? ≔θp1 ―――――
atan ((tg2θp))
2
≔θp2 -θp1 °90
Confirmando valor de pela equação geral de transformação de tensão σ1 σx'
=＝σx' σ1 ?
b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto:
=τmax ? MPa =σmed ? MPa
Orientação do elemento no plano:
≔tg2θs =-―――
-σx σy
⋅2 τxy
? ≔θs1 ――――
atan ((tg2θs))
2
=θs1 ? °
≔θs2 +90 ° θs1 =θs2 ? °
Confirmando valor de pela equação geral de transformação de tensão τmax τx'y'
=＝τx'y' τmax ?
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 17 of 53
O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine:
a) As tensões principais e , e confirmar o valor pela equação geral de transformação σ1 σ2
de tensões.
b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto
OBS: Especifique a orientação do elemento em cada um dos casos.
Respostas:
a) As tensões principais e σ1 σ2
Orientação do elemento:
≔tg2θp =――――
τxy
―――
⎛⎝ -σx σy⎞⎠
2
? ≔θp1 ―――――
atan ((tg2θp))
2
≔θp2 -θp1 °90
Confirmando valor de pela equação geral de transformação de tensão σ1 σx'
=＝σx' σ1 ?
b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto:
=τmax ? MPa =σmed ? MPa
Orientação do elemento no plano:
≔tg2θs =-―――
-σx σy
⋅2 τxy
? ≔θs1 ――――
atan ((tg2θs))
2
=θs1 ? °
≔θs2 +90 ° θs1 =θs2 ? °
Confirmando valor de pela equação geral de transformação de tensão τmax τx'y'
=＝τx'y' τmax ?
3.6 Hibbeler - 9.13 - Resolução
a) As tensões principais e σ1 σ2
≔σx 45 MPa ≔τxy 30 MPa ≔σy -60 MPa
≔σ1 =+―――
+σx σy
2
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
+
⎛
⎜
⎝
―――
-σx σy
2
⎞
⎟
⎠
2
τxy
2 52.967 MPa
≔σ2 =-―――
+σx σy
2
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
+
⎛
⎜
⎝
―――
-σx σy
2
⎞
⎟
⎠
2
τxy
2 -67.967 MPa
Orientação do elemento:
≔tg2θp =――――
τxy
―――
⎛⎝ -σx σy⎞⎠
2
0.571 ≔θp1 ―――――
atan ((tg2θp))
2
=θp1 14.872 °
≔θp2 -θp1 °90 =θp2 -75.128 °
Confirmando valor de pela equação geral de transformação de tensão σ1 σx'
≔σx' =++―――
+σx σy
2
⋅―――
-σx σy
2
cos ⎛⎝ ⋅2 θp1⎞⎠ ⋅τxy sin ⎛⎝ ⋅2 θp1⎞⎠ 52.967 MPa
=＝σx' σ1 1
b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto:
≔τmax
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
+
⎛
⎜
⎝
―――
-σx σy
2
⎞
⎟
⎠
2
τxy
2 =τmax 60.467 MPa ≔σmed ―――
+σx σy
2
=σmed -7.5 MPa
Orientação do elemento no plano:
≔tg2θs =-―――
-σx σy
⋅2 τxy
-1.75 ≔θs1 ――――
atan ((tg2θs))
2
=θs1 -30.128 °
≔θs2 +90 ° θs1 =θs2 59.872 °
Confirmando valor de pela equação geral de transformação de tensão τmax τx'y'
≔τx'y' =+⋅-―――
-σx σy
2
sin ⎛⎝ ⋅2 θs1⎞⎠ ⋅τxy cos ⎛⎝ ⋅2 θs1⎞⎠ 60.467 MPa
=＝τx'y' τmax 1
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 18 of 53
a) As tensões principais e σ1 σ2
≔σx 45 MPa ≔τxy 30 MPa ≔σy -60 MPa
≔σ1 =+―――
+σx σy
2
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
+
⎛
⎜
⎝
―――
-σx σy
2
⎞
⎟
⎠
2
τxy
2 52.967 MPa
≔σ2 =-―――
+σx σy
2
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
+
⎛
⎜
⎝
―――
-σx σy
2
⎞
⎟
⎠
2
τxy
2 -67.967 MPa
Orientação do elemento:
≔tg2θp =――――
τxy
―――
⎛⎝ -σx σy⎞⎠
2
0.571 ≔θp1 ―――――atan ((tg2θp))
2
=θp1 14.872 °
≔θp2 -θp1 °90 =θp2 -75.128 °
Confirmando valor de pela equação geral de transformação de tensão σ1 σx'
≔σx' =++―――
+σx σy
2
⋅―――
-σx σy
2
cos ⎛⎝ ⋅2 θp1⎞⎠ ⋅τxy sin ⎛⎝ ⋅2 θp1⎞⎠ 52.967 MPa
=＝σx' σ1 1
b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto:
≔τmax
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
+
⎛
⎜
⎝
―――
-σx σy
2
⎞
⎟
⎠
2
τxy
2 =τmax 60.467 MPa ≔σmed ―――
+σx σy
2
=σmed -7.5 MPa
Orientação do elemento no plano:
≔tg2θs =-―――
-σx σy
⋅2 τxy
-1.75 ≔θs1 ――――
atan ((tg2θs))
2
=θs1 -30.128 °
≔θs2 +90 ° θs1 =θs2 59.872 °
Confirmando valor de pela equação geral de transformação de tensão τmax τx'y'
≔τx'y' =+⋅-―――
-σx σy
2
sin ⎛⎝ ⋅2 θs1⎞⎠ ⋅τxy cos ⎛⎝ ⋅2 θs1⎞⎠ 60.467 MPa
=＝τx'y' τmax 1
3.7 Unidades 'customizadas'
Ocasionalmente, pode-se necessitar de unidades não catalogadas no Mathcad.
Sendo assim, pode-se 'substituir' alguma unidade existente por outra, de modo que tenha a 
dimensão correta e possa ser utilizada em cálculos.
Exemplos:
Para cálculo de consumo per capita diário de água para SPHS
≔hab ¤
-Taxa de ocupação de ≔Thab 1 ――
hab
6 m2
-Consumo "per capita" médio igual a ≔q 50 ―――
L
⋅hab day
-Considerar 4 habitantes na zeladoria ≔Aandar 849.3 m
2
- ≔AT =⋅20 Aandar 16986 m
2
- ≔P =+⋅Thab AT 4 hab 2835 hab ≔Dd =⋅P q 141750 ――
L
day
Facilitar leitura de 'inches' em português; Polegadas
≔pol in
Metros de Coluna D'água
≔mca 9806.65 Pa
4. Solve Blocks e operadores simbólicos
Neste capítulo, serão abordados os seguintes pontos:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Resolução de problemas de otimização com solve blocks
Encontrar pontos de interesse(máx, mín, inter) de funções com determinadas restrições
Solução de sistemas de equações
Interseção de funções
Solucionar uma expressão polinomial
Solucionar algebricamente e numericamente expressões polinomiais
Como obter resultados numéricos invés de algébricos
Como utilizar o "Explicit" e outras ferramentas para simbólicos
Sequenciar uma série de "strings" simbolicamente
4.1 Definindo um Solve Block(<ctrl>7)
O Solve Block é uma conteiner que pode acomodar outras regiões, excluindo blocos de 
texto. Pode ser usado para resolver um sistema de equações lineares, não-lineares e 
equações diferenciais, ou para resolver um problema de otimização. Solve Block chega na 
solução utilizando valores iniciais e então passando adiante a solução de maneira iterativa. 
A solução obtida é, normalmente, uma aproximação que deverá convergir para uma 
tolerância TOL e uma tolerância de restrição CTOL da solução real.
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 19 of 53
4. Solve Blocks e operadores simbólicos
Neste capítulo, serão abordados os seguintes pontos:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Resolução de problemas de otimização com solve blocks
Encontrar pontos de interesse(máx, mín, inter) de funções com determinadas restrições
Solução de sistemas de equações
Interseção de funções
Solucionar uma expressão polinomial
Solucionar algebricamente e numericamente expressões polinomiais
Como obter resultados numéricos invés de algébricos
Como utilizar o "Explicit" e outras ferramentas para simbólicos
Sequenciar uma série de "strings" simbolicamente
4.1 Definindo um Solve Block(<ctrl>7)
O Solve Block é uma conteiner que pode acomodar outras regiões, excluindo blocos de 
texto. Pode ser usado para resolver um sistema de equações lineares, não-lineares e 
equações diferenciais, ou para resolver um problema de otimização. Solve Block chega na 
solução utilizando valores iniciais e então passando adiante a solução de maneira iterativa. 
A solução obtida é, normalmente, uma aproximação que deverá convergir para uma 
tolerância TOL e uma tolerância de restrição CTOL da solução real.
Deve-se definir valores iniciais ou as condições de contorno, no início da função Solve 
Block. Se uma solução complexa é esperada, usar valores complexos iniciais. Se for 
resolvido para n variáveis, então o Solve Block deverá ter n equações. Notação de matriz é 
permitida para resolver variáveis em matrizes. 
Definindo um Solve Block: <Ctrl>7
G
ue
ss
 V
al
ue
s
Co
ns
tr
ai
nt
s
So
lv
er
≔x' 1
≔y' 0
＝+2 x' 7 y' 7
＝-3 x' 4 y' 0
≔x'
y'
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
=find (( ,x' y'))
0.966
0.724
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
� Variáveis a serem encontradas. Atribuir 
qualquer valor inicial.
� "Quais os valores de e que solucionam x' y'
este sistema de equações?"
� Deve-se atribuir os valores a alguma variável 
de saída do Solve Block.
Podem ser utilizados operadores Boleanos, tais como:
Está contido Maior que Igual ou menor que
Igual a Igual ou Maior que E Ou
Ou exclusivo Menor que Não (Negação) Diferente de 
Pode ser utilizada Notação Matricial de sistema de equações
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 20 of 53
Pode ser utilizada Notação Matricial de sistema de equações
G
ue
ss
 V
al
ue
s
Co
ns
tr
ai
nt
s
So
lv
er
≔x' 0 ≔y' 0 ≔z' 0
＝⋅
1 2 3
4 5 6
7 8 -1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
x'
y'
z'
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
-6
8
5
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
≔
x'
y'
z'
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
=find (( ,,x' y' z'))
17.033
-14.067
1.7
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
�
�
�
inserir Matriz: <ctrl>M
inserir Linhas à matriz: <Shift>Enter
inserir Colunas à matriz: <Shift>Espaço
Interseção de funções
-250 100 x1
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
2250
-250
0
2500
-15 -12.5 -10 -7.5 -5 -2.5 0 2.5-20 -17.5 5
x1
-250 100 x1
-⋅10 (( +x1 4))
2
150
-⋅10 (( +x1 4))
2
150
G
ue
ss
 V
al
ue
s
Co
ns
tr
ai
nt
s
So
lv
er
≔x -21
≔y 0
＝+y 100 x 250
＝+0.1 y 15 (( +x 4))
2
=find (( ,x y))
-19.247
2174.695
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
� Atribuindo valores iniciais de x mais perto do 
ponto de interseção que queira analisar
4.2 Exercício de fixação:
Modifique o ponto de aproximação do x para 
mais próximo da outra interseção (à Direita do 
gráfico)
4.3 Solucionando EDO (Equações Diferenciais Ordinárias)
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 21 of 53
4.3 Solucionando EDO (Equações Diferenciais Ordinárias)
G
ue
ss
 V
al
ue
s
Co
ns
tr
ai
nt
s
So
lv
er
＝++⋅3 ′′z ((t)) ′z ((t)) 5 z ((t)) sin (( ⋅π t))
＝z ((0)) -1
＝′z ((0)) 1
≔z odesolve (( ,z ((t)) 20))
� derivada <ctrl>~
Plotando a função que soluciona a EDO, automaticamente no range estipulado ≤≤0 z 20
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-1
-0.8
1
0 3 6 9 12 15 18 21 24-6 -3 27
t
z ((t))
� Modifique o range para -5 a 25, no Solve Block acima, e observe a mudança gráfica
z ((-5))
z ((-5))
＝z odesolve (( ,z ((t)) 25))
4.4 Resolvendo sistemas de equações não-lineares
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 22 of 53
4.4 Resolvendo sistemas de equações não-lineares
G
ue
ss
 V
al
ue
s
Co
ns
tr
ai
nt
s
So
lv
er
≔x 1 ≔y 1 ≔z 0
＝+2 x y -5 2 z2
＝+y3 4 z 4
＝+⋅x y z ez
≔vec =find (( ,,x y z))
1.342
0.365
0.988
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
clear (( ,,,x y z f))
Resolvendo equações
≔y1 ((x)) +-47 ⋅0.8 x2 ≔y2 ((x)) +-11 x ⋅0.1 x3
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-80
-60
120
-6 -4 -2 0 2 4 6 8-10 -8 10
x
y1 ((x))
y2 ((x))
Resolvendo com funções: Cria-se um correspondente à diferença das duas, para f ((x))
posteriormente encontrar a raiz real
→y1 ((x)) -⋅0.8 x2 47
→y2 ((x)) +-⋅0.1 x3 x 11
≔f ((x)) →-y2 ((x)) y1 ((x)) ++-⋅-0.8 x2 x ⋅0.1 x3 58
4.4.1 Maneiras de encontrar a raiz:
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 23 of 53
4.4.1 Maneiras de encontrar a raiz:
≔
raizR
i1
i2
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
――→f ((x))
solve -6.6440602185185516534
+7.3220301092592758267 5.8037826470802466531i
-7.3220301092592758267 5.8037826470802466531i
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
=raizR -6.644
Retorna a raiz do vetor ao qual as linhas correspondem ao coeficiente de cada polyroots ((v))
parcela da equação polinomial, em ordem crescente em relação aos graus xi
≔v
58
-1
-0.8
0.1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
≔r =polyroots ((v))
-6.644
+7.322 5.804i
-7.322 5.804i
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
≔ORIGIN0
≔raiz =r
0
-6.644 =y1 ((raiz)) -11.685 =y2 ((raiz)) -11.685
Resolvendo com Solve Block:
G
ue
ss
 V
al
ue
s
Co
ns
tr
ai
nt
s
So
lv
er
≔x -4 ≔y 0
＝y1 ((x)) y2 ((x))
＝y y1 ((x))
=find (( ,x y))
-6.644
-11.685
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
� Observe que não foi necessário inserir as funções no 
'Guess Values', pois elas já foram declaradas antes, 
fora do Solve Block.
� Igualar as funções, pois é o ponto de interesse.
� Pode-se usar tanto quanto , ＝y y1 ((x)) ＝y y2 ((x))
pois na interseção são iguais.
-0.9
-0.6
-0.3
0
0.3
0.6
0.9
1.2
-1.5
-1.2
1.5
-6 -4 -2 0 2 4 6 8-10 -8 10
x
sin ((x))Encontrando a raiz
=root (( ,,,sin ((x)) x 2 6)) 3.141593
≔f ((x)) sin ((x))
=root (( ,,,f ((x)) x 2 6)) 3.141593
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 24 of 53
4.5 Otimização de funções com restrições
Exemplo: Encontrando o comprimento e a largura de um retângulo com a máxima área 
dentro do círculo.
≔d (( ,a b))
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
+
⎛
⎜
⎝
―
a
2
⎞
⎟
⎠
2 ⎛
⎜
⎝
―
b
2
⎞
⎟
⎠
2
G
ue
ss
 V
al
ue
s
Co
ns
tr
ai
nt
s
So
lv
er
≔a 5 cm
≔b 5 cm
≔area (( ,a b)) ⋅a b
≔r 20 cm
＝d (( ,a b)) ――――
‾‾‾‾‾‾+a2 b2
2
<d (( ,a b)) r
≔a
b
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
maximize (( ,,area a b))
=a 28.284 cm
=b 28.284 cm =d (( ,a b)) 20 cm
4.6 Informações adicionais acerca de Solve Blocks
�
�
�
�
�
�
�
�
As funções e só funcionam corretamente dentro de Solve Blocksfind (( )) minerr (( ))
Quando você usa , você deve validar o resultado posteriormente ao Solve Blockminerr (( ))
As funções e usam o algoritmo de resolução Levenberg-Marquardt; find (( )) minerr (( ))
Método de otimização que procura o mínimo local em uma função e converge mais 
rapidamente que um algoritmo genético.
As funções e retornam valores para todos os argumentos da minimize (( )) maximize (( ))
função-objetivo para satisfazer as restrições(constraints), e assume seu menor ou maior f f
valor, respectivamente.
Quando a função tem apenas um argumento, a solução é escalar. Caso contrário, a solução é 
um vetor em que o primeiro elemento é a solução para a variável 1, o segundo para variável 2 
e assim por diante.
Para otimização de funções sem restrições, você pode usar as funções e minimize (( ))
fora de um Solve Block, pois fora do bloco as restrições são ignoradas.maximize (( ))
As funções e usam algoritmo de otimização KNITRO, minimize (( )) maximize (( ))
adequado a solução de problemas de otimização não-linear restritos.
O valor do CTOL e TOL na aba "Calculation" podem afetar a solução de sistemas não-
lineares. Se defini-los muito pequenos, o Solver pode não convergir. Para resolver esse 
problema, teste diferentes valores no CTOL/TOL. Você também pode tentar usar diferentes 
Guess Values ou adicionando uma inequação nas Constraints.
4.7 Exercício - Sistema de equações não-lineares
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 25 of 53
4.7 Exercício - Sistema de equações não-lineares
Dimensionar um bloco de fundação confeccionado com concreto para ≔fck 20 MPa
suportar uma carga de aplicada por um pilar de 20x40cm e apoiado num solo ≔P 1200 kN
com .≔σadm 300 kPa
e são comprimento e largura da Base do Blocoa b
e são do pilara0 b0
≔a0 40 cm ≔b0 20 cm =σadm 300 kPa ≔γconcreto 2500 ――
kg
m3
≔σt min
⎛
⎜
⎝
,――
fck
25
0.8 MPa
⎞
⎟
⎠
≔α ⋅68.9
⎛
⎜
⎝
――
σadm
σt
⎞
⎟
⎠
0.3543
=α 48.674
G
ue
ss
 V
al
ue
s
Co
ns
tr
ai
nt
s
So
lv
er
≔a 2.2 m
≔b 2 m
≔h 1 m
≔Vbloco (( ,,a b h)) ⋅⋅a b h
＝⋅a b ―――――――
+P ⋅⋅⋅⋅γconcreto g a b h
σadm
≤≤1 ―
a
b
2
＝h max
⎛
⎜
⎝
,⋅――
-a a0
2
tan (( °α )) ⋅――
-b b0
2
tan (( °α ))
⎞
⎟
⎠
≔
a
b
h
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
minimize ⎛⎝ ,,,Vbloco a b h⎞⎠
Base do bloco
.
Largura do bloco
.
Altura do bloco
=―
a
b
1.1 ≔A =⋅a b 4.363 m2
≔Vbloco =⋅A h 4.444 m
3 =Vbloco 4.444 m
3
≔Pbloco =⋅⋅γconcreto Vbloco g 108.951 kN =――
Pbloco
P
%9.079 ≔Amin =―――
+P Pbloco
σadm
4.363 m2
� Ao criar a Solve Block, deve-se atentar às suas corretas Restrições (Constraints)e uso do Solver
adequado ao seu objetivo( ; ; ; ), tal como Guess minerr (( )) find (( )) minimize (( )) maximize (( ))
Values somente os quais serão utilizados no Solver. Caso contrário, você poderá aumentar 
desnecessariamente a não-linearidade do sistema e necessitar 'testar' manualmente diferentes 
valores de Guess Values para o algoritmo convergir, por métodos numéricos, às suas necessidades.
Neste caso, estamos buscando a menor proporção possível entre o e , pois assim Pbloco P
diminui-se o consumo de concreto e otimiza-se o dimensionamento ainda atendendo às normas.
4.8 Trabalhando Simbolicamente
Com o PTC Mathcad você pode realizar as seguintes operações de cálculo simbolicamente:
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 26 of 53
� Ao criar a Solve Block, deve-se atentar às suas corretas Restrições (Constraints)e uso do Solver
adequado ao seu objetivo( ; ; ; ), tal como Guess minerr (( )) find (( )) minimize (( )) maximize (( ))
Values somente os quais serão utilizados no Solver. Caso contrário, você poderá aumentar 
desnecessariamente a não-linearidade do sistema e necessitar 'testar' manualmente diferentes 
valores de Guess Values para o algoritmo convergir, por métodos numéricos, às suas necessidades.
Neste caso, estamos buscando a menor proporção possível entre o e , pois assim Pbloco P
diminui-se o consumo de concreto e otimiza-se o dimensionamento ainda atendendo às normas.
4.8 Trabalhando Simbolicamente
Com o PTC Mathcad você pode realizar as seguintes operações de cálculo simbolicamente:
�
�
�
�
�
�
Limites
Derivadas e Integrais
Frações Parciais
Séries de Taylor
Frações Continuadas
Transformadas simbólicas - Fourier, Laplace e transformada Z, assim como suas inversas.
�
�
Função remove atribuições às variáveis somente em expressões clear.sym (( ,,a b s))
simbólicas.
Função remove atribuições tanto em expressões simbólicas quanto numericamente.clear (( ,, ))
Exemplo:
≔t 10 s
clear ((t))
=t ?
≔a 2 ≔b -4 ≔c 8
� Procura para a expressão inserida. x
Caso não tenha igualdade, será 
considerado equivalente a zero ＝0
≔g ((x)) ―――→++⋅a x2 ⋅b x c
,solve x +1 ⋅‾‾3 1i
-1 ⋅‾‾3 1i
⎡
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥⎦
→g ((x))
+1 ⋅‾‾3 1i
-1 ⋅‾‾3 1i
⎡
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥⎦
� Retornou o resultado da última operação realizada para g ((x))
clear.sym (( ,,a b c))
� Resolve a expressão, sem explicitar 
valores de , e . e a b c ＝0≔g ((x)) ―――→++⋅a x2 ⋅b x c
,solve x
simplify -――――――
+b ‾‾‾‾‾‾‾‾‾-b2 ⋅⋅4 c a
⋅2 a
-――――――
-b ‾‾‾‾‾‾‾‾‾-b2 ⋅⋅4 c a
⋅2 a
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
→g ((x))
-――――――
+b ‾‾‾‾‾‾‾‾‾-b2 ⋅⋅4 c a
⋅2 a
-――――――
-b ‾‾‾‾‾‾‾‾‾-b2 ⋅⋅4 c a
⋅2 a
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
� Retornou a expressão de em termos de de , e g ((x)) a b c
devido o uso do clear.sym (( ,,a b c))
Resolução de sistema de equações simbolicamente (exemplo básico)
≔θ °30 ≔a 6 ≔b 0
clear.sym (( ,,a b θ))
≔x y[[ ]] ―――→
＝-x ⋅π y a
＝+2 x ⋅sin ((θ)) y b
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
,,solve x y
―――――
+⋅π b ⋅a sin ((θ))
+⋅2 π sin ((θ))
―――――
-b ⋅2 a
+⋅2 π sin ((θ))
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
=x 0.442 =y -1.769
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 27 of 53
4.9 Transformada de Laplace - Resolvendo simbolicamente
Determine o deslocamento do sistema massa-mola-amortecedor sob uma força externa
≔m 2 ≔k 3 ≔B 1 ≔Fmax 1 ≔λ ‾‾‾‾⋅k m
≔F ((t)) ⋅Fmax cos (( ⋅λ t))
＝++⋅m ′′x ((t)) ⋅B ′x ((t)) ⋅k x ((t)) F ((t))
� Analisar a função no domínio , para a transformada de Laplace, e posteriormente s
retornar ao domínio no tempo t
≔f ((s)) ―――→F ((t))
,laplace t
――
s
+s2 6
� Reescrevendo a EDO no domínio s
≔x ((t)) ――――→＝++⋅m ⎛⎝ ⋅s2 X⎞⎠ ⋅B (( ⋅s X)) ⋅k X f ((s))
,solve X
,expand s
,invlaplace s
-+-―――――――
⋅⋅3 e
-―
t
4 cos
⎛
⎜
⎜⎝
―――
⋅‾‾23 t
4
⎞
⎟
⎟⎠
29
―――――
⋅3 cos ⎛⎝ ⋅‾‾6 t
⎞
⎠
29
―――――――
⋅⋅‾‾2 ‾‾3 sin ⎛⎝ ⋅‾‾6 t
⎞
⎠
87
―――――――――
⋅⋅⋅5 ‾‾23 e
-―
t
4 sin
⎛
⎜
⎜⎝
―――
⋅‾‾23 t
4
⎞
⎟
⎟⎠
667
-0.12
-0.09
-0.06
-0.03
0
0.03
0.06
0.09
-0.18
-0.15
0.12
4 6 80 2 10
t
x((t))
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 28 of 53
4.10 Séries de Taylor - expandindo funções e plotando-as
Ideia: Representar uma função em uma série de potências.
clear (( ,,,x y λ m))
� Por padrão, o Mathcad retorna a série até a 
potência 6, caso não seja especificada.―――→sin ((x))
,series x
+-x ―
x3
6
――
x5
120
≔s1 ((x)) ―――→sin ((x))
,series 1
x
≔s7 ((x)) ―――→sin ((x))
,series 7
-+-x ―
x3
6
――
x5
120
――
x7
5040
≔s11 ((x)) ―――→sin ((x))
,series 11
-+-+-x ―
x3
6
――
x5
120
――
x7
5040
―――
x9
362880
――――
x11
39916800
� Plote o gráfico de , e das séries 1, 7 e 11:sin ((x))
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
-24
-20
24
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-6 -5 6
sin ((x))
s1 ((x))
s7 ((x))
s11 ((x))
x
Expandindo a função em uma série de taylor em volta de sin ((x)) ＝x 1
――――→sin ((x))
,series ＝x 1
++--+sin ((1)) ⋅cos ((1)) (( -x 1)) ――――――
⋅sin ((1)) (( -x 1))
2
2
――――――
⋅cos ((1)) (( -x 1))
3
6
――――――
⋅sin ((1)) (( -x 1))
4
24
――――――
⋅cos ((1)) (( -x 1))
5
120
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 29 of 53
� Expandindo série em mais de uma variável em volta do ponto (x,y)=(0,1)
――――――→e +x y
,,series ＝x 0 ＝y 1
++++++++++++++++++++0.8978090632018254143 ⋅0.5871909367981748857 y ⋅0.11609198527202631092 (( -y 1))
2
⋅0.015301495305643330512 (( -y 1))
3
⋅0.001512609320359188683 (( -y 1))
4
⋅0.00011962161398402187891 (( -y 1))
5
⋅0.5871909367981748857 x ⋅⋅0.23218397054405262184 x (( -y 1)) ⋅⋅0.045904485916929991536 x (( -y 1))
2
⋅⋅0.0060504372814367547321 x (( -y 1))
3
⋅⋅0.00059810806992010939457 x (( -y 1))
4
⋅0.11609198527202631092 x2 ⋅⋅0.045904485916929991536 x2 (( -y 1)) ⋅⋅0.0090756559221551320981 x2 (( -y 1))
2
⋅⋅0.0011962161398402187891 x2 (( -y 1))
3
⋅0.015301495305643330512 x3 ⋅⋅0.0060504372814367547321 x3 (( -y 1)) ⋅⋅0.0011962161398402187891 x3 (( -y 1))
2
⋅0.001512609320359188683 x4 ⋅⋅0.00059810806992010939457 x4 (( -y 1)) ⋅0.00011962161398402187891 x5
...
� Exibe os coeficientes como números de quatro dígitos, em vez de termos de e frações e ((float))
――――――→e +x y
,,series ＝x 0 ＝y 1
,float 4
++++++++++++++++++++0.8978 ⋅0.5872 y ⋅0.1161 (( -y 1.0))
2
⋅0.0153 (( -y 1.0))
3
⋅0.001513 (( -y 1.0))
4
⋅0.0001196 (( -y 1.0))
5
⋅0.5872 x ⋅⋅0.2322 x (( -y 1.0)) ⋅⋅0.0459 x (( -y 1.0))
2
⋅⋅0.00605 x (( -y 1.0))
3
⋅⋅0.0005981 x (( -y 1.0))
4
⋅0.1161 x2 ⋅⋅0.0459 x2 (( -y 1.0)) ⋅⋅0.009076 x2 (( -y 1.0))
2
⋅⋅0.001196 x2 (( -y 1.0))
3
⋅0.0153 x3 ⋅⋅0.00605 x3 (( -y 1.0)) ⋅⋅0.001196 x3 (( -y 1.0))
2
⋅0.001513 x4 ⋅⋅0.0005981 x4 (( -y 1.0)) ⋅0.0001196 x5
...
4.11 Frações parciais e frações continuadas
� Execute uma decomposição parcial da fração de uma função racional de polinômios com 
parfrac
―――→―――――――
+-⋅2 x2 ⋅3 x 1
--+x3 ⋅2 x2 ⋅9 x 18
parfrac
+-―――
1
⋅3 (( -x 3))
――
3
+x 2
―――
14
⋅3 (( +x 3))
� Execute uma decomposição parcial de fração de uma função que é definida por meio do 
operador de produto de intervalo.
―――→⋅x2 ∏
=n 1
4
――
1
+x n
,parfrac x
-+-―――
1
⋅6 (( +x 1))
――
2
+x 2
―――
9
⋅2 (( +x 3))
―――
8
⋅3 (( +x 4))
� Expanda a função em frações continuadas utilizando e sin ((x)) confrac fraction
≔x1 ((x)) ――――――→sin ((x))
,confrac fraction
―――――
x
+1 ―――
x2
+6 ――
x2
-―
10
7
=sin ((2)) 0.909
=x1 ((2)) 0.889
-4.5
-3
-1.5
0
1.5
3
4.5
6
-7.5
-6
7.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-6 -5 6
x1 ((x))
sin ((x))
x
4.12 Derivadas parciais, integral e funções vetoriais - exercícios
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 30 of 53
-4.5
-3
-1.5
0
1.5
3
4.5
6
-7.5
-6
7.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-6 -5 6
x1 ((x))
sin ((x))
x
4.12 Derivadas parciais, integral e funções vetoriais - exercícios
1. Calcule as derivadas parciais e da função――
d
dx
f (( ,x y)) ――
d
dy
f (( ,x y))
≔f (( ,x y)) +-+-⋅x4 y2 ⋅x2 y x 3 y 2
→――
d
dx
f (( ,x y)) +-⋅⋅4 x3 y2 ⋅⋅2 x y 1
→――
d
dy
f (( ,x y)) --⋅⋅2 y x4 x2 3
2. Uma partícula desloca-se no espaço descrevendo uma trajetória que coincide com uma imagem 
da função . Calcule o comprimento da trajetória da partícula entre os pontos ＝γ ((t)) 1 t2 t3⎡⎣ ⎤⎦
e 1 0 0[[ ]] 1 1 1[[ ]]
≔γ ((t))
1
t2
t3
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
→γ ((0))
1
0
0
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
→γ ((1))
1
1
1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
→′γ ((t))
0
⋅2 t
⋅3 t2
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
≔u ((t)) ―――→‖‖ ′γ ((t))‖‖
simplify
⋅||t|| ‾‾‾‾‾‾‾‾+⋅9 ||t||2 4
≔L ((t)) ⌠⌡ d
0
1
u ((t)) t →L ((t)) -―――
⋅13 ‾‾13
27
―
8
27
3. Determine as equações paramétricas da reta que é perpendicular ao plano e ＝++2 x 4 y 3 z 0
é também tangente à curva ＝α ((t)) 2 t -t2 1 -t2 t⎡⎣ ⎤⎦
≔α ((t))
2 t
-t2 1
-t2 t
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
≔v
2
4
3
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
≔f (( ,,x y z))
x
y
z
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
→＝⋅v f (( ,,x y z)) 0 ＝++⋅2 ‾x ⋅4 ‾y ⋅3 ‾z 0
Queremos encontrar tal que // t0 ′α ⎛⎝t0⎞⎠ v
→′α ((t))
2
⋅2 t
-⋅2 t 1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
→＝′α ((t)) ⋅s v ＝
2
⋅2 t
-⋅2 t 1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
⋅2 s
⋅4 s
⋅3 s
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦ ≔t0 ――――→＝′α ((t)) ⋅s v
,assume ＝s 1
solve
2
→α ⎛⎝t0⎞⎠
4
3
2
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
→′α ⎛⎝t0⎞⎠
2
4
3
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
� Equações paramétricas da reta
≔
x
y
z
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
→+α ⎛⎝t0⎞⎠ ⋅λ ′α ⎛⎝t0⎞⎠
+⋅2 λ 4
+⋅4 λ 3
+⋅3 λ 2
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
→x +⋅2 λ 4
→y +⋅4 λ 3
� Equação Vetorial da reta →z +⋅3 λ 2
5. Matrizes, Tabelas e Componente Excel
Neste capítulo, serão abordados os seguintes assuntos:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Criar matrizes e vetores no Mathcad
Editar matrizes
Executar operações matriciais básicas
Solucionar um sistema linear de equações utilizando matrizes
Trabalhar com Sequências (arrays)
Trabalhar com Tabelas
Trabalhar com Excel via arquivo externo ou componente interno
Inserir dados em tabelas Excel de componentes ou exportando arquivo
Exportar dados do excel para uso no Mathcad
5.1 - Matrizes - Intro
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 31 of 53
5. Matrizes, Tabelas e Componente Excel
Neste capítulo, serão abordados os seguintes assuntos:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Criar matrizes e vetores no Mathcad
Editar matrizes
Executar operações matriciais básicas
Solucionar um sistema linear de equações utilizando matrizes
Trabalhar com Sequências (arrays)
Trabalhar com Tabelas
Trabalhar com Excel via arquivo externo ou componente interno
Inserir dados em tabelas Excel de componentes ou exportando arquivo
Exportar dados do excel para uso no Mathcad
5.1 - Matrizes - Intro
�
�
�
Inserir Matriz: <ctrl>M
Inserir Linhas à matriz: <shift>Enter
Inserir Colunas à matriz: <shift>Espaço
As operações básicas com matrizes e vetores seguem as regras básicas matemáticas
Exemplo de fixação:
≔A 1 2 3
4 5 6
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
≔B 4 3
2 1
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
≔C 6 5 4
3 2 1
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
≔V
3
2
1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
=cols ((A)) 3 =rows ((B)) 2 =length ((V)) 3
� Retorna nº de 
Colunas da matriz
� Retorna nº de 
Linhas da matriz
� Retorna nº de 
elementos do vetor
=+A C 7 7 7
7 7 7
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
=+A B ? =+B C ?
Multiplicação de matrizes e vetores
≠⋅A B ⋅B A
só é definida para sendo matriz quadradaA2 A
=⋅A C ? =⋅C A ? =⋅A V 10
28
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 32 of 53
Declare as seguintes matrizes:
≔A
5 2 4
1 7 -3
6 -10 0
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
≔B
11 5 -3
0 -12 4
2 6 1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
≔C
7 14 1
10 3 -2
8 -5 9
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
a) Calcule e para mostrar que a adição de matrizes é comutativa+A B +B A
b) Calcule e para mostrar que adição é associativa+A (( +B C)) +(( +A B)) C
c) Calcule e para mostrar que, quando matrizes são multiplicadas por um ⋅5 (( +A C)) +⋅5 A ⋅5 C
escalar, a multiplicação obedece à distributividade em relação à soma
d) Calcule e para mostrar que a multiplicação de matrizes é distribuitiva⋅A (( +B C)) +⋅A B ⋅A C
a)
+A B +B A
b)
+A (( +B C)) +(( +A B)) C
c)
⋅5 (( +A C)) +⋅5 A ⋅5 C
d)
⋅A (( +B C)) +⋅A B ⋅A C
Use as matrizes , e do exercício anterior para responder às seguintes questões:A B C
a) ?＝⋅A B ⋅B Ab) ?＝⋅A (( ⋅B C)) ⋅(( ⋅A B)) C
c) ? <ctrl><shift>T＝
T
(( ⋅A B)) ⋅TB TA
d) ?＝
T
(( +A B)) +TA TB
a) ＝⋅A B ⋅B A
b) ＝⋅A (( ⋅B C)) ⋅(( ⋅A B)) C
c) ＝
T
(( ⋅A B)) ⋅TB TA
d) ＝
T
(( +A B)) +TA TB
Resolva matricialmente o sistema de equações lineares a seguir:
＝+-+5 x 4 y 2 z 6 w 4
＝+++3 x 6 y 6 z 4.5 w 13.5
＝+-+6 x 12 y 2 z 16 w 20
＝-+-4 x 2 y 2 z 4 w 6
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 33 of 53
Resolva matricialmente o sistema de equações lineares a seguir:
＝+-+5 x 4 y 2 z 6 w 4
＝+++3 x 6 y 6 z 4.5 w 13.5
＝+-+6 x 12 y 2 z 16 w 20
＝-+-4 x 2 y 2 z 4 w 6
Pelo sistema, temos que:
＝⋅A B C
Portanto, os valores do vetor B correspondentes a x,y,z e w são dados pela 
seguinte expressão:
＝B ⋅A-1 C
≔A
5 4 -2 6
3 6 6 4.5
6 12 -2 16
4 -2 2 -4
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
＝B
x
y
z
w
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
≔C
4
13.5
20
6
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
≔ORIGIN 1
≔B →⋅A-1 C
-0.66666666666666666667
31.666666666666666667
-11.333333333333333333
-23.666666666666666667
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=B
-0.667
31.667
-11.333
-23.667
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=＝⋅A B C 1 =⋅A B
4
13.5
20
6
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=C
4
13.5
20
6
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
� Matrix index - retorna um elemento i,j em uma matriz ou só Atalho [M
,i j
M
i
=A
,1 2
4 =A
,2 2
6
=A
5 4 -2 6
3 6 6 4.5
6 12 -2 16
4 -2 2 -4
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
� Modificando matrizes e vetores
≔A
,1 2
9 =A
5 9 -2 6
3 6 6 4.5
6 12 -2 16
4 -2 2 -4
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
� "Juntar" matrizes de mesmo nº de Linhas augment (( ,A C))
=augment (( ,A C))
5 9 -2 6 4
3 6 6 4.5 13.5
6 12 -2 16 20
4 -2 2 -4 6
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=A
5 9 -2 6
3 6 6 4.5
6 12 -2 16
4 -2 2 -4
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=C
4
13.5
20
6
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 34 of 53
=augment (( ,A C))
5 9 -2 6 4
3 6 6 4.5 13.5
6 12 -2 16 20
4 -2 2 -4 6
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=A
5 9 -2 6
3 6 6 4.5
6 12 -2 16
4 -2 2 -4
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=C
4
13.5
20
6
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
� "Juntar" matrizes de mesmo nº de Colunas stack (( ,A C))
=stack ⎛⎝ ,A TC ⎞⎠
5 9 -2 6
3 6 6 4.5
6 12 -2 16
4 -2 2 -4
4 13.5 20 6
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
� Retornar uma matriz "extraída" de outra maior, das linhas a às colunas a i1 i2 j1 j2
submatrix ⎛⎝ ,,,,M i1 i2 j1 j2⎞⎠
=submatrix (( ,,,,A 2 3 2 4))
6 6 4.5
12 -2 16
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
=A
5 9 -2 6
3 6 6 4.5
6 12 -2 16
4 -2 2 -4
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
� Retornar a Coluna da matriz <ctrl><shift>C i M⟨⟨i⟩⟩
=A⟨⟨2⟩⟩
9
6
12
-2
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
� Retornar a Linha da matriz <ctrl><shift>R i M ⟨
3
⟩
=A ⟨
3
⟩
6 12 -2 16[[ ]]
� Retorna a matriz identidade de n x n elementos
=identity ((4))
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
� Trabalhando com Sequências ≔y , ‥-10 -9.5 10 ≔f ((y)) +-y3 5 y2 7
-1.2⋅10³
-1⋅10³
-800
-600
-400
-200
0
200
400
-1.6⋅10³
-1.4⋅10³
600
-6 -4 -2 0 2 4 6 8-10 -8 10
f ((y))
y
=y
-10
-9.5
⋮
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
=f ((y))
- ⋅1.493 103
- ⋅1.302 103
⋮
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 35 of 53
-1.2⋅10³
-1⋅10³
-800
-600
-400
-200
0
200
400
-1.6⋅10³
-1.4⋅10³
600
-6 -4 -2 0 2 4 6 8-10 -8 10
f ((y))
y
5.2 Plotando gráfico de contorno da distribuição das tensões normais em uma viga 
biapoiada sujeita a carga distribuida utilizando-se de formulações da teoria da elasticidade.
≔L 2 ≔c 0.75 ≔q 5 ≔t 1 ≔ORIGIN 0
≔I ⋅――
⋅2 c3
3
t
≔σxx (( ,x y)) +⋅――
-q
⋅2 I
⎛
⎜
⎝
-⋅x2 y ⋅―
2
3
y3
⎞
⎟
⎠
⋅――
q
⋅2 I
⎛
⎜
⎝
-⋅L2 y ⋅⋅―
2
5
c2 y
⎞
⎟
⎠
≔N 20 ≔M 20
≔i , ‥0 1 N ≔j , ‥0 1 M
≔x
i
+-L ⋅⋅2 L ―
i
N
≔y
j
+-c ⋅⋅2 c ―
j
M
=x
-2
-1.8
-1.6
⋮
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=y
-0.75
-0.675
-0.6
⋮
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
≔σxxmat ,i j σxx
⎛
⎝
,x
i
-y
j
⎞
⎠
=σxxmat
1 0.473 0.08
6.067 5.033 4.133
10.6 9.113 7.76
14.6 12.713 10.96
⋱
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
4
6
8
10
12
14
16
18
0
2
20
4 6 8 10 12 14 16 180 2 20
-16.5 -11 -5.5 0 5.5 11 16.5 22-27.5 -22 27.5
σxxmat
5.3 Tabelas - exercício curva de rendimento CMB
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 36 of 53
5.3 Tabelas - exercício curva de rendimento CMB
Dados de entrada:
Tubulação: Comprimento Total:≔D 20 mm ≔Ltotal (( +13.91 2.33)) m
Altura Geométrica: Material PVC:≔Hgeom (( +1.66 11.69)) m ≔f 0.02
Potência do CMB(Conjunto-Motor-Bomba): ≔BHP ⋅―
1
2
kg ―
m
s
Bomba BCR-2000 1/2 cv
QB
⎛
⎜
⎝
――
m3
hr
⎞
⎟
⎠
4.1
3.9
3.7
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.5
2.3
2.1
1.8
1.6
1.3
1
0.6
HmB
((m))
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
8
9.5
11
12.5
14
15.5
17
18.5
5
6.5
20
1.1 1.65 2.2 2.75 3.3 3.850 0.55 4.4
QB
⎛
⎜
⎝
――
m3
hr
⎞
⎟
⎠
HmB ((m))
Curva da Bomba
≔ORIGIN 1
≔i , ‥1 2 length ⎛⎝HmB⎞⎠
≔ft 3600 ――
kg
m3
≔ηBi =―――――――
⋅⋅⋅QBi HmBi 0.37 ft
BHP
0.404
0.461
0.511
⋮
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
―
m
s
0.325
0.37
0.415
0.46
0.505
0.55
0.595
0.64
0.235
0.28
0.685
0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 40 0.4 4.4
ηB
⎛
⎜
⎝
―
m
s
⎞
⎟
⎠QB
⎛
⎜
⎝
――
m3
hr
⎞
⎟
⎠
Curva de rendimento
5.4 Uso de tabelas para seleção/inserção de dados
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 37 of 53
0.325
0.37
0.415
0.46
0.505
0.55
0.595
0.64
0.235
0.28
0.685
0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 40 0.4 4.4
ηB
⎛
⎜
⎝
―
m
s
⎞
⎟
⎠QB
⎛
⎜
⎝
――
m3
hr
⎞
⎟
⎠
5.4 Uso de tabelas para seleção/inserção de dados
� Para criar uma tabela, siga: Matrices/Tables > Insert Table
Em tabelas, cada coluna é um vetor contendo dados.
Dentre outros usos, Tabelas podem ser utilizadas para organizar seus dados de entrada
≔AçoSelecionado 2 � Selecionando a linha referente ao Aço utilizado para cálculos 
posteriores
� Dados extraídos da NBR 8800/2008
Codigo
1
2
3
4
5
Tipo
“ASTM A500 A”
“ASTM A36”
“A572 GR50”
“AR 350 COR”
“AR 350”
fy
((MPa))
230
250
345
350
350
fu
((MPa))
310
400
450
485
450
� Deste modo, pode-se atribuir valores a 
e com a 'matrix index' e esconder fy fu
em uma área <ctrl><shift>A
≔fy =fy
AçoSelecionado
250 MPa ≔Aço =Tipo
AçoSelecionado
“ASTM A36”
≔fu =fu
AçoSelecionado
400 MPa
=fy 250 MPa
=Aço “ASTM A36”
=fu 400 MPa
� Comprimentos de flambagem e propriedades do perfil: Input_01/05
Seção
“I”
Form_Perfil
“Laminado”
E
((GPa))
200
Lx
((cm))
600
Ly
((cm))
600
Lz
((cm))
600
Kx
0.7
Ky
0.7
Kz
1
� Esforços Solicitantes (Momentos/Axiais/Cortantes): Input_02/05
Mmax
(( ⋅kN m))
82.01
MA
(( ⋅kN m))
61.51
MB
(( ⋅kN m))
41
MC
(( ⋅kN m))
20.5
NSd
((kN))
42.97
VSd
((kN))
42
QSd
⎛
⎜
⎝
――
kN
cm
⎞
⎟
⎠
0.015
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 38 of 53
5.5 Componente excel e readexcel para seleção e apresentação de dados
Fórmula de pré-dimensionamento de perfil ( )≔δ ――
Lx
350
≔Ixmin ―――→＝δ ――――
⋅⋅5 QSd Lx
4
⋅⋅384 E Ix
,solve Ix
―――――――
⋅⋅73828.125 kN cm 2
GPa
=Ixmin 738.281 cm
4
� Momento de inércia mínimo, 
selecionar na tabela de perfis 
para posteriores Verificações
In
pu
ts
O
ut
pu
ts
≔Perfil excel
“B2”
≔TabPerf excel
“Planilha2!A1:T89”
� Crie um Componente Excel indo na aba 
Input/Output > ExcelComponent > 
InsertExcelComponent
=Perfil “W 150 x 18,0”
=TabPerf
“Perfis” “Kg/m” “d(mm)”
“W 150 x 13,0” 13 148
“W 150 x 18,0” 18 153
⋱
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
� Para extrair dados do Componente Excel, clique dentro da área Outputs do componente, em 
seguida Aba Input/Output>ExcelComponent>Insert Output Expression, como na figura:
�
�
�
Ao inserir o Output, poderá atribuí-lo a uma variável.
O output seguirá o seguinte padrão: , sendo extraído como uma matriz, de ≔excel
“A1:A1”
intervalos indicados de acordo com as células do padrão Excel, entre aspas, e as células Inicial e 
Final separadas por :
Para extrair dados de planilhas secundárias de Componentes Excel que tenham mais de 1 
planilha, deve-se escrever o nome da planilhaseguido de exclamação, logo antes de 
inserir o intervalo, e ainda dentro das aspas. Como a seguir: ≔excel
“Planilha2!A1:T89”
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 39 of 53
�
�
�
Ao inserir o Output, poderá atribuí-lo a uma variável.
O output seguirá o seguinte padrão: , sendo extraído como uma matriz, de ≔excel
“A1:A1”
intervalos indicados de acordo com as células do padrão Excel, entre aspas, e as células Inicial e 
Final separadas por :
Para extrair dados de planilhas secundárias de Componentes Excel que tenham mais de 1 
planilha, deve-se escrever o nome da planilha seguido de exclamação, logo antes de 
inserir o intervalo, e ainda dentro das aspas. Como a seguir: ≔excel
“Planilha2!A1:T89”
�
�
�
Os dados extraídos estão entre aspas são 'Strings', que são palavras que podem ser utilizadas 
concatenadas em meio a resultados de cálculos. Posteriormente mais exemplos do uso.
Para inserir os dados de uma matriz em um componente excel, segue o mesmo padrão, agora em 
"Insert Input Expression" na área Inputs do Componente. ≔excel
“A1”
Você pode inserir manualmente o "excel"+[ tanto nos Inputs quanto Outputs. 
� Crie um novo componente excel e insira a tabela de perfis extraída do anterior.
In
pu
ts ≔excel
“A1”
TabPerf
� Este é um modo de, por exemplo, 
organizar em uma tabela final o resumo 
dos seus resultados de cálculos, com a 
formatação excel desejada, entrando no 
componente e formatando-o
� Pode-se ler um arquivo excel a partir do , seguindo os passos a seguir:READEXCEL
READEXCEL (( ,“.\Tabela perfis.xlsx” “Planilha2!A1:V89”))
�
�
Para atribuição em matriz, o 
resultado é o mesmo do 
Componente Excel, porém 
lendo de um arquivo externo. 
Se excluir o arquivo, perde-se 
a leitura dos dados.
� É útil quando a planilha excel 
é utilizada mais ativamente, 
ou quando é, por exemplo, 
arquivo excel exportado do 
SAP 2000 a partir de 
resultados de uma análise 
estrutural
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 40 of 53
6. PROGRAMAÇÃO EM MATHCAD
6.1. Comando "Adicionar linha"
6.2. Comandos de atribuição de valor ou de expressão
6.3. Comando if
6.4. Comando for
6.5. Comando while
6.6. Comando break
6.7. Comando continue
6.8. Comando return
6.9. Operador try/on error
≔ORIGIN 0 clear (( ,,,x y u z))
6.1. Comando "Adicionar linha" - Atalho "]"
≔A ‖‖
|
|1 ≔B (( ,x y))
‖
‖
|
|1
6.2. Comando de atribuição de valor ou de expressão
Atribui um valor a 
uma variável e guarda 
na memória.
Retorna o valor de 
uma variável.
Atribui um valor 
a uma variável 
dentro das linhas 
de comando.
≔A +30 ‾‾3 =A 31.732 ←
Exemplo 01: Definição de funções em linhas de comando
≔f (( ,x y)) sin
⎛
⎜
⎝
―
x
y
⎞
⎟
⎠
≔g (( ,x y))
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
||
←z ―
x
y
sin ((z))
≔B ((t))
‖
‖
‖
‖
|
|
||
←x 30t
←y ⋅3 ‾‾
3
x
=f
⎛
⎜
⎝
,―
π
2
1
⎞
⎟
⎠
1 =g (( ,π 2)) 1 =B ((3)) 90
Exemplo 2: Definição de constantes e variáveis dentro e fora de uma região
≔t 5 ≔C ‖‖
|
|←x ⋅2 e
=B ((t)) 868.94 =C 2.97 =x ?
Obs.: Variáveis definidas internamente não estão definidas no exterior de um bloco
6.3. Comando if
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 41 of 53
6.3. Comando if
Operadores Boleanos 
Está contido Igual ou menor que
Igual a E
Ou exclusivo Não (Negação)
Maior que Ou
Igual ou Maior que Diferente de 
Menor que
Exemplo 3: Definição da função pulso retangular
Caso 1: Sem a utilização das linhas de comando
≔p ((x)) if
⎛
⎜
⎝
,,<||x|| ―
1
2
1 0
⎞
⎟
⎠
0.3
0.45
0.6
0.75
0.9
1.05
1.2
1.35
0
0.15
1.5
-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6-2 -1.6 2
x
p ((x))
=p ((0.4)) 1
Caso 2: Com a utilização das linhas de comando
≔q ((x))
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
if
else
<||x|| ―
1
2
‖
‖ ←q ((x)) 1
‖
‖ ←q ((x)) 0
q ((x)) 0.3
0.45
0.6
0.75
0.9
1.05
1.2
1.35
0
0.15
1.5
-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6-2 -1.6 2
x
q ((x))
Exemplo 4: Uso alternativo do if para definir a função
f(x,y)=sin(x/y), para ≠y 0
f(x,y)=0, para y=0 Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 42 of 53
Exemplo 4: Uso alternativo do if para definir a função
f(x,y)=sin(x/y), para ≠y 0
f(x,y)=0, para y=0
≔f (( ,x y)) ‖‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if
else
≠y 0
‖
‖
‖
‖‖
←z ―
x
y
sin ((z))
‖
‖ 0
=f (( ,1 0)) 0 =f (( ,1 3)) 0.327
Exemplo 5: Formas alternativas definição da função pulso semicircular
h(x)= , para |x|<1‾‾‾‾‾-1 x2
h(x)=0, para |x|>0
≔h ((x)) if
⎛
⎝ ,,(( <||x|| 1)) ‾‾‾‾‾-1 x2 0
⎞
⎠
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
-0.5
-0.25
1.5
-1.2-0.8-0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6-2 -1.6 2
x
h ((x))
≔j ((x)) ‖‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
if
else
<||x|| 1
‖
‖‖ ←j ((x))
‾‾‾‾‾-1 x2
‖
‖ ←j ((x)) 0
j ((x))
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
-0.5
-0.25
1.5
-1.2-0.8-0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6-2 -1.6 2
x
j ((x))
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 43 of 53
6.4. Comando for
Usado em funções com necessitam de um determinado número de iterações.
Exemplo 7: Definição dos elementos de um vetor
≔v ‖‖
‖
‖
‖
‖
|
|
|
|
|
|
for ∊ |
|
|
||
i ‥0 4
‖
‖
‖
←u
i
‖
‖
|
|i
2
u
=v
0
1
4
9
16
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
=Tv 0 1 4 9 16[[ ]]
Exemplo 8: Dois métodos de definição dos elementos de uma mesma matriz
≔B ‖‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
for ∊ |
|
|
|
||
i ‥0 5
‖
‖
‖
‖‖
for ∊ |
|
|
|
j ‥0 5
‖
‖‖
←A
,i j
0
for ∊ |
|
|
|
|
|
||
i ‥0 5
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
for ∊ |
|
|
|
||
j ‥0 5
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
if ＝i j
‖
‖‖
←A
,i j
1
A
=B
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
� Observe que o 1o método executa operação já automática B
do Mathcad, que é de atribuir Zeros a elementos não indicados 
em uma matriz criada. Portanto, o 2o método é menor D
≔D ‖‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
|
||
for ∊ |
|
|
|
|
|
||
i ‥0 5
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
for ∊ |
|
|
|
||
j ‥0 5
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
if ＝i j
‖
‖‖
←D
,i j
1
D
=D
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
6.5. Comando while
Usado quando se tem um critério que deve ser atendido para continuar as iterações 
Ex.: Enquanto o valor x for menor que n, faça isso...
Exemplo 9: Implementação do exemplo 7 com o comando while
≔v ‖‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
||
←i -1
while |
|
|
|
||
<i 4
‖
‖
‖
‖
←i +i 1
←u
i
i2
u
=Tv 0 1 4 9 16[[ ]]
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 44 of 53
≔v ‖‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
||
←i -1
while |
|
|
|
||
<i 4
‖
‖
‖
‖
←i +i 1
←u
i
i2
u
6.6. Comando break
Usado para interromper uma iteração.
Exemplo 10: Interropendo uma iteração
≔v =‖‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
←i -1
while |
|
|
|
|
|
|
||
≤i 3
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
←i +i 1
|
|
|
if ＝i 2
‖
‖ break
←u
i
i2
u
0
1
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
6.7. Comando continue
Usado para evitar aplicação de um valor quando uma condição for atendida.
Exemplo 10: Utilização em uma iteração
≔B ‖‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
for ∊ |
|
|
|
||
i ‥0 4
‖
‖
‖
‖‖
for ∊ |
|
|
|
j ‥0 8
‖
‖‖
←A
,i j
10
for ∊ |
|
|
|
|
|
|
||
i ‥0 4
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
for ∊ |
|
|
|
|
|
|
j ‥0 8
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
if ＝j 2
‖
‖ continue
←A
,i j
1
A
=B
1 1 10 1 1 1 1 1 1
1 1 10 1 1 1 1 1 1
1 1 10 1 1 1 1 1 1
1 1 10 1 1 1 1 1 1
1 1 10 1 1 1 1 1 1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
6.8. Comando return
Utilizado em conjunção com um argumento escalar ou vetorial. A operação return x interrompe a 
execução de um bloco de programa e retorna o valor atual de x.
Exemplo 11: Utilização em uma iteração
≔f (( ,x y)) ‖‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if
else
≠y 0
‖
‖
‖
‖‖
←z ―
x
y
←ans sin ((z))
‖
‖ ←ans “Indeterminado”
return ans
=f (( ,3 0)) “Indeterminado”
=f (( ,32)) 0.997
Obs.: A função pode dispensar a necessidade do return sem alterar o resultado.
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 45 of 53
6.9. Operador try/on error
Sintáxe: x on error y
Este comando retorna o primeiro argumento se houver erro ou sigularidade no segundo 
argumento.
Exemplo 13: Utilização em uma função
≔f ((x)) ‖‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
|
|
|
|
|
|
|
|
try
on error
|
|
|
|
|
|
||
‖
‖
‖‖
――
x
-x 2
‖
‖ “Singularidade”
=f ((2)) “Singularidade”
=f ((9)) 1.286
6.10 Exemplos de Aplicações - Série de Fourier ≔ORIGIN 0
Exemplo A.1: Criar uma função que execute uma outra função periódica e em seguida aplicar a 
série de Fourier como uma aproximação.
Função Periódica:
s(x)=1, para ≤≤0 x 1
s(x)=-x, para ≤≤-1 x 0
s(x-2), para >x 1
1. Escrever um programa que gere uma função periódica: clear ((s))
≔s ((x)) ‖‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if
else if
else if
∧(( ≤0 x)) (( ≤x 1))
‖
‖ 1
∧(( ≤-1 x)) (( ≤x 0))
‖
‖ -x
>x 1
‖
‖ s (( -x 2))
2. Plotar a função:
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
1.1
1 2 3 4-1 0 5
x
s ((x))
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 46 of 53
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
1.1
1 2 3 4-1 0 5
x
s ((x))
3. Dados de entrada da Série de Fourier:
≔T 2 ≔L =―
T
2
1
4. Especificar a ordem de aproximação da Série de Fourier:
≔N 5
5. Escrever um programa para computar os coeficientes de Fourier:
Figura A.1 - Coeficientes da Série de Fourier
≔Fc (( ,,s N L))
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
←Z⟨⟨0⟩⟩
⎛
⎜
⎜⎝
⋅――
1
⋅2 L
⌠
⌡ d
-L
L
s ((x)) x
⎞
⎟
⎟⎠
0
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
for ∊ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n ‥1 N
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
←Z
,n 0
⌠
⎮
⎮⌡
d
-L
L
⋅s ((x)) cos
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅n π x
L
⎞
⎟
⎠
x
←Z
,n 1
⌠
⎮
⎮⌡
d
-L
L
⋅s ((x)) sin
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅n π x
L
⎞
⎟
⎠
x
Z
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 47 of 53
6. Computar os coeficientes de Fourier:
=Fc (( ,,s N L))
0.75 0
-0.203 0.318
⋅4.163 10-17 0.159
-0.023 0.106
⋅6.939 10-18 0.08
-0.008 0.064
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
≔res Fc (( ,,s N L))
≔A =res⟨⟨0⟩⟩
0.75
-0.203
⋅4.163 10-17
-0.023
⋮
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
≔B =res⟨⟨1⟩⟩
0
0.318
0.159
0.106
⋮
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
≔S ((x)) +A
0
∑
=n 1
N ⎛
⎜
⎝
+⋅A
n
cos
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅n π x
L
⎞
⎟
⎠
⋅B
n
sin
⎛
⎜
⎝
―――
⋅⋅n π x
L
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
0
0.1
1.3
0 0.55 1.1 1.65 2.2 2.75 3.3 3.85 4.4-1.1 -0.55 4.95
x
s ((x))
S ((x))
7 Exemplos de automatização e organização de cálculos utilizando 
programação, tabelas e componente excel.
Perfis metálicos a serem verificados/dimensionados de acordo com suas rotinas de cálculo.
Obs: Aqui mostramos o código inteiro para fins didáticos. Porém, na sua worksheet, você pode 
organizar já de modo a exibir somente as etapas mais importantes e resultados, podendo, por 
exemplo, esconder o código em áreas e somente exibir posteriormente os resultados de cada 
variável sendo utilizada em seus cálculos, em áreas matemáticas ou até mesmo inseridas em mais 
outro componente excel.
Lembrando que este é somente um exemplo didático, em que você pode encontrar melhores 
modos de otimização.
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 48 of 53
7 Exemplos de automatização e organização de cálculos utilizando 
programação, tabelas e componente excel.
Perfis metálicos a serem verificados/dimensionados de acordo com suas rotinas de cálculo.
Obs: Aqui mostramos o código inteiro para fins didáticos. Porém, na sua worksheet, você pode 
organizar já de modo a exibir somente as etapas mais importantes e resultados, podendo, por 
exemplo, esconder o código em áreas e somente exibir posteriormente os resultados de cada 
variável sendo utilizada em seus cálculos, em áreas matemáticas ou até mesmo inseridas em mais 
outro componente excel.
Lembrando que este é somente um exemplo didático, em que você pode encontrar melhores 
modos de otimização.
Seção
“I”
Form_Perfil
“Laminado”
Lx
((cm))
780
Ly
((cm))
780
Lz
((cm))
780
Kx
1
Ky
1
Kt
1
Mmax
(( ⋅kN m))
70
MA
(( ⋅kN m))
61.51
MB
(( ⋅kN m))
41
MC
(( ⋅kN m))
20.5
NSd
((kN))
250
VSd
((kN))
14.7
Qsd
⎛
⎜
⎝
――
kN
m
⎞
⎟
⎠
1.5
G
((GPa))
77
E
((GPa))
200
νa
0.3
ρa
⎛
⎜
⎝
――
kg
m3
⎞
⎟
⎠
7850
fy
((MPa))
345
fu
((MPa))
450
� Coeficientes de Ponderação
≔γm1 1.1 ≔γa1 1.1 ≔γa2 1.35
� Pré-Dimensionamento: deslocamento Limite ≔δ =――
Lx
350
2.229 cm
≔Ixmin ―――→＝δ ――――
⋅⋅5 Qsd Lx
4
⋅⋅384 E Ix
,solve Ix
―――――――――――――
⋅⋅⋅1.6220039062500002703 107 kN cm 3
⋅m GPa
=Ixmin 1622 cm
4
≔Zxmin ⋅―――
⋅Qsd Lx
2
8
――
γa1
fy
=Zxmin 36.372 cm
3
=Ixmin 1622 cm
4 � Selecionar inicialmente um perfil de mínimo e Ix Zx
calculados
=Zxmin 36.372 cm
3
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 49 of 53
O
ut
pu
ts
≔Perfil excel
“B2”
≔TabPerf excel
“Planilha2!A1:T89”
=Perfil “W 150 x 22,5 (H)” ≔ORIGIN 1
=TabPerf
“Perfis” “Kg/m” “d(mm)”
“W 150 x 13,0” 13 148
“W 150 x 18,0” 18 153
⋱
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
� Propriedades Geométricas do Perfil Selecionado
Identificar a linha correspondente do perfil escolhido
≔n_linha =‖‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
for ∊ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i , ‥1 2 length ⎛⎝TabPerf
⟨⟨1⟩⟩⎞⎠
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
||
if
else
＝⎛⎝TabPerf
⟨⟨1⟩⟩⎞⎠
i
Perfil
‖
‖
‖‖
←x i
break
‖
‖ ←x “Perfil não encontrado”
x
4
Importando dados das tabelas de perfis
≔d =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨3⟩⟩⎞⎠
n_linha
mm 152 mm
≔bf =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨4⟩⟩⎞⎠
n_linha
mm 152 mm
≔tw =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨5⟩⟩⎞⎠
n_linha
mm 5.8 mm
≔tf =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨6⟩⟩⎞⎠
n_linha
mm 6.6 mm
≔h =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨7⟩⟩⎞⎠
n_linha
mm 139 mm
≔d' =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨8⟩⟩⎞⎠
n_linha
mm 119 mm
≔Ag =⎛⎝TabPerf
⟨⟨9⟩⟩⎞⎠
n_linha
cm 2 29 cm 2
Eixo X - X
≔Ix =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨10⟩⟩⎞⎠
n_linha
cm 4 1229 cm 4
≔Wx =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨11⟩⟩⎞⎠
n_linha
cm 3 161.7 cm 3
≔rx =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨12⟩⟩⎞⎠
n_linha
cm 6.51 cm
≔Zx =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨13⟩⟩⎞⎠
n_linha
cm 3 179.6 cm 3
Eixo Y - Y
≔Iy =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨14⟩⟩⎞⎠
n_linha
cm 4 387 cm 4
≔Wy =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨15⟩⟩⎞⎠
n_linha
cm 3 50.9 cm 3
≔ry =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨16⟩⟩⎞⎠
n_linha
cm 3.65 cm
≔Zy =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨17⟩⟩⎞⎠
n_linha
cm 3 77.9 cm 3
≔kgm =⎛⎝TabPerf
⟨⟨2⟩⟩⎞⎠
n_linha
―
kg
m
22.5 ―
kg
m
≔rt =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨18⟩⟩⎞⎠
n_linha
cm 4.1 cm
≔J =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨19⟩⟩⎞⎠
n_linha
cm 4 4.75 cm 4
≔Cw =⋅⎛⎝TabPerf
⟨⟨20⟩⟩⎞⎠
n_linha
cm 6 20.417 cm 6...
� Verificação pré-dimensionamento do Perfil Selecionado: Ver_0
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 50 of 53
� Verificação pré-dimensionamento do Perfil Selecionado: Ver_0
≔Ver_0 ‖‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if
else
<Ix Ixmin
‖
‖
‖
‖
‖‖
←a num2str
⎛
⎜
⎝
round
⎛
⎜
⎝
,⋅100
⎛
⎜
⎝
-1 ――
Ix
Ixmin
⎞
⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
←x
1
concat (( ,,“Perfil não atende o Ix em ” a “%”))
‖
‖‖
←x
1
“Perfil atende o pré-dimensionamento de Ixmin ”
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if
else
<Zx Zxmin
‖
‖
‖
‖
‖‖
←a num2str
⎛
⎜
⎝
round
⎛
⎜
⎝
,⋅100
⎛
⎜
⎝
-1 ――
Zx
Zxmin
⎞
⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
←x
2
concat (( ,,“Perfil não atende o Ix em ” a “%”))
‖
‖‖
←x
2
“Perfil atende o pré-dimensionamento de Zxmin ”
x
=Ver_0 “Perfil não atende o Ix em 24.23%”
“Perfil atende o pré-dimensionamento de Zxmin ”
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
=Ver_0 “Perfil não atende o Ix em 24.23%”
“Perfil atende o pré-dimensionamento de Zxmin ”
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
Dimensionamento
Verificação de acordo com a norma NBR 8800
1. Verificação da Esbeltez: Ver_01/05
≔Lrlim 200 =―
Lx
rx
119.816 =―
Ly
ry
213.699 ≔Ver_01
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖
‖‖
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
if
else if
else
>―
Ly
ry
Lrlim
‖
‖ “Esbeltez Não OK em Y!”
>―
Lx
rx
Lrlim
‖
‖ “EsbeltezNãoOK em X!”
‖
‖ “Esbeltez OK!”
=Lrlim 200 =―
Lx
rx
119.82 =―
Ly
ry
213.7
=Ver_01 “Esbeltez Não OK em Y!”
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 51 of 53
Obs, Componente Excel:
Sempre que 'sair' do Componente Excel, a área exibida no Mathcad será da Planilha que estiver 
aberta na nora que você fechar o Excel. Então feche a aba só na área que você quer deixar visível.
Para criar as Listas de seleção de perfis ou propriedades do material, pode-se utilizar a Validação de 
Dados do Excel, na aba Dados > Validação de dados > Permitir > Lista > Fonte (Nesse caso, 
somente selecione a coluna dos NOMES dos perfis)
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MAXFIELD, P. E. B. Essential PTC Mathcad Prime 3.0 A Guide for New and 
Current Users. USA: Elsevier, 2014.
OCHKOV, V.; ORLOV, K.; VOLOSHCHUK, V. Thermal Engineering Studies 
with Excel, Mathcad and Internet. Switzerland: Springer, 2016.
ANASTASSIOU, G. A.; IATAN, I. F. Intelligent Routines Solving Mathematical 
Analysis with Matlab, Mathcad. Berlin: Springer, 2013.
MAXFIELD, P. E. B. Engineering With Mathcad Using Mathcad to Create and 
Organize Your Engineering Calculations. Great Britain: Elsevier, 2006.
DOLAN, C. W.; HAMILTON, H. R. T. Prestressed Concrete Building, Design, 
and Construction. Switzerland: Springer, 2019.
MATHSOFT ENGINEERING AND EDUCATION, INC. Problem Solving in 
Engineering: Civil Engineering Solved Problems. [S. l.: s. n.], 2001. E-book.
ALVES NETO, N. M. et al. Introdução à Programação com Mathcad. Pará: [s. 
n.], 2014. E-book.
SORIANO, H. L. Análise De Estruturas. Formulação Matricial E 
Implementação Computacional. São Paulo: Ciência Moderna, 2005.
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 52 of 53
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MAXFIELD, P. E. B. Essential PTC Mathcad Prime 3.0 A Guide for New and 
Current Users. USA: Elsevier, 2014.
OCHKOV, V.; ORLOV, K.; VOLOSHCHUK, V. Thermal Engineering Studies 
with Excel, Mathcad and Internet. Switzerland: Springer, 2016.
ANASTASSIOU, G. A.; IATAN, I. F. Intelligent Routines Solving Mathematical 
Analysis with Matlab, Mathcad. Berlin: Springer, 2013.
MAXFIELD, P. E. B. Engineering With Mathcad Using Mathcad to Create and 
Organize Your Engineering Calculations. Great Britain: Elsevier, 2006.
DOLAN, C. W.; HAMILTON, H. R. T. Prestressed Concrete Building, Design, 
and Construction. Switzerland: Springer, 2019.
MATHSOFT ENGINEERING AND EDUCATION, INC. Problem Solving in 
Engineering: Civil Engineering Solved Problems. [S. l.: s. n.], 2001. E-book.
ALVES NETO, N. M. et al. Introdução à Programação com Mathcad. Pará: [s. 
n.], 2014. E-book.
SORIANO, H. L. Análise De Estruturas. Formulação Matricial E 
Implementação Computacional. São Paulo: Ciência Moderna, 2005.
Universidade Federal do Pará - UFPA
Núcleo Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NICAE 53 of 53
	Minicurso_Mathcad CAPA
	Sumário
	Conteudo Completo
	Referências