matemática 8º ano

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ISBN: 978-85-7236-065-4
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e 
Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.
Impresso no Brasil
As palavras destacadas de amarelo ao longo do livro sofreram 
modificações com o novo Acordo Ortográfico.
Matemática
8o ano do Ensino Fundamental 
Judson Santos
Annelise Maymone 
Editor
Lécio Cordeiro
Assessor pedagógico
Demóstenes Soares Pessoa
Revisão de texto
Departamento Editorial
Projeto gráfico
Adriana Ribeiro e Nathália Sacchelli
Editoração eletrônica
Allegro Digital
Capa
Gabriella Correia/Nathália Sacchelli/Sophia karla
Foto: igorstevanovic/shutterstock.com
Coordenação editorial
Distribuidora de Edições Pedagógicas Ltda.
Rua Joana Francisca de Azevedo, 142 – Mustardinha
Recife – Pernambuco – CEP: 50760-310
Fone: (81) 3205-3333 
CNPJ: 09.960.790/0001-21 – IE: 0016094-67
Fizeram-se todos os esforços para localizar os detentores dos 
direitos dos textos contidos neste livro. A Distribuidora de Edições 
Pedagógicas pede desculpas se houve alguma omissão e, em 
edições futuras, terá prazer em incluir quaisquer créditos faltantes.
Para fins didáticos, os textos contidos neste livro receberam, 
sempre que oportuno e sem prejudicar seu sentido original, 
uma nova pontuação.
O conteúdo deste livro está adequado à proposta 
da BNCC, conforme a Resolução nº 2, de 22 de 
dezembro de 2017, do Ministério da Educação.
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III
O conhecimento matemático é necessário para todos os 
alunos da Educação Básica, seja por sua grande aplicação na 
sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades na 
formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsabilida-
des sociais.
A Matemática não se restringe apenas à quantificação de 
fenômenos determinísticos – contagem, medição de objetos, 
grandezas – e das técnicas de cálculo com os números e com 
as grandezas, pois também estuda a incerteza proveniente de 
fenômenos de caráter aleatório. A Matemática cria sistemas 
abstratos, que organizam e inter-relacionam fenômenos do es-
paço, do movimento, das formas e dos números, associados 
ou não a fenômenos do mundo físico. Esses sistemas contêm 
ideias e objetos que são fundamentais para a compreensão de 
fenômenos, a construção de representações significativas e ar-
gumentações consistentes nos mais variados contextos.
Apesar de a Matemática ser, por excelência, uma ciência hi-
potético-dedutiva, porque suas demonstrações se apoiam sobre 
um sistema de axiomas e postulados, é de fundamental impor-
tância também considerar o papel heurístico das experimenta-
ções na aprendizagem da Matemática.
No Ensino Fundamental, essa área, por meio da articula-
ção de seus diversos campos – Aritmética, Álgebra, Geome-
tria, Estatística e Probabilidade, precisa garantir que os alunos 
relacionem observações empíricas do mundo real a represen-
tações (tabelas, figuras e esquemas) e associem essas repre-
sentações a uma atividade matemática (conceitos e proprie-
dades), fazendo induções e conjecturas. Assim, espera-se que 
eles desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades 
de utilização da matemática para resolver problemas, apli-
cando conceitos, procedimentos e resultados para obter so-
luções e interpretá-las segundo os contextos das situações. A 
dedução de algumas propriedades e a verificação de conjec-
turas, a partir de outras, podem ser estimuladas, sobretudo 
ao final do Ensino Fundamental.
1 Segundo a Matriz do Pisa 2012, o “letramento matemático é a capacidade 
individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma varie-
dade de contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar concei-
tos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, expli-
car e predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel 
que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, en-
gajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e to-
mar as decisões necessárias.”. Disponível em: 
<http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/marcos_referen-
ciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf>. Acesso em: 23 mar. 2017.
A área de Matemática
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desen-
volvimento do letramento matemático1, definido como as 
competências e habilidades de raciocinar, representar, comu-
nicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o 
estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de 
problemas em uma variedade de contextos, utilizando concei-
tos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. É tam-
bém o letramento matemático que assegura aos alunos reco-
nhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais 
para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o cará-
ter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favo-
rece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula 
a investigação e pode ser prazeroso (fruição).
O desenvolvimento dessas habilidades está intrinsecamen-
te relacionado a algumas formas de organização da aprendi-
zagem matemática, com base na análise de situações da vida 
cotidiana, de outras áreas do conhecimento e da própria Ma-
temática. Os processos matemáticos de resolução de pro-
blemas, de investigação, de desenvolvimento de projetos e da 
modelagem podem ser citados como formas privilegiadas da 
atividade matemática, motivo pelo qual são, ao mesmo tem-
po, objeto e estratégia para a aprendizagem ao longo de todo 
o Ensino Fundamental. Esses processos de aprendizagem são 
potencialmente ricos para o desenvolvimento de competên-
cias fundamentais para o letramento matemático (raciocínio, 
representação, comunicação e argumentação) e para o desen-
volvimento do pensamento computacional.
Considerando esses pressupostos, e em articulação com 
as competências gerais da BNCC, a área de Matemática e, por 
consequência, o componente curricular de Matemática de-
vem garantir aos alunos o desenvolvimento de competên-
cias específicas.
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IV
Competências específicas de 
Matemática para o Ensino 
Fundamental
1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fru-to das necessidades e preocupações de diferentes cultu-
ras, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, 
que contribui para solucionar problemas científicos e tecnoló-
gicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com 
impactos no mundo do trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, re-
correndo aos conhecimentos matemáticos para compreender 
e atuar no mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedimen-tos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, 
Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras 
áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria 
capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáti-
cos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca 
de soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, 
de modo a investigar, organizar, representar e comunicar infor-
mações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eti-
camente, produzindo argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver 
problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimen-
to, validando estratégias e resultados.
6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, in-cluindo-sesituações imaginadas, não diretamente rela-
cionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas res-
postas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e 
linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito 
na língua materna e outras linguagens para descrever algorit-
mos, como fluxogramas, e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretu-do, questões de urgência social, com base em princípios 
éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a di-
versidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem 
preconceitos de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, traba-lhando coletivamente no planejamento e desenvolvimen-
to de pesquisas para responder a questionamentos e na bus-
ca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos 
consensuais ou não na discussão de uma determinada ques-
tão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprenden-
do com eles.
Matemática
Com base nos recentes documentos curriculares brasilei-
ros, a BNCC leva em conta que os diferentes campos que com-
põem a Matemática reúnem um conjunto de ideias funda-
mentais que produzem articulações entre eles: equivalência, 
ordem, proporcionalidade, interdependência, representação, 
variação e aproximação. Essas ideias fundamentais são im-
portantes para o desenvolvimento do pensamento matemáti-
co dos alunos e devem se converter, na escola, em objetos de 
conhecimento. A proporcionalidade, por exemplo, deve estar 
presente no estudo de: operações com os números naturais; 
representação fracionária dos números racionais; áreas; fun-
ções; probabilidade etc. Além disso, essa noção também se evi-
dencia em muitas ações cotidianas e de outras áreas do conhe-
cimento, como vendas e trocas mercantis, balanços químicos, 
representações gráficas etc.
Nessa direção, a BNCC propõe cinco unidades temáticas, 
correlacionadas, que orientam a formulação de habilidades a 
serem desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamental. Cada 
uma delas pode receber ênfase diferente, a depender do ano 
de escolarização.
A unidade temática Números tem como finalidade desen-
volver o pensamento numérico, que implica o conhecimento 
de maneiras de quantificar atributos de objetos e de julgar e in-
terpretar argumentos baseados em quantidades. No processo 
da construção da noção de número, os alunos precisam desen-
volver, entre outras, as ideias de aproximação, proporcionali-
dade, equivalência e ordem, noções fundamentais da Matemá-
tica. Para essa construção, é importante propor, por meio de 
situações significativas, sucessivas ampliações dos campos nu-
méricos. No estudo desses campos numéricos, devem ser en-
fatizados registros, usos, significados e operações.
No Ensino Fundamental – Anos Iniciais, a expectativa em re-
lação a essa temática é de que os alunos resolvam problemas 
com números naturais e números racionais cuja representação 
decimal é finita, envolvendo diferentes significados das opera-
ções, argumentem e justifiquem os procedimentos utilizados 
para a resolução e avaliem a plausibilidade dos resultados en-
contrados. No tocante aos cálculos, espera-se que os alunos 
desenvolvam diferentes estratégias para a obtenção dos resul-
tados, sobretudo por estimativa e cálculo mental, além de algo-
ritmos e uso de calculadoras.
Nessa fase espera-se também o desenvolvimento de habili-
dades no que se refere à leitura, escrita e ordenação de núme-
ros naturais e números racionais por meio da identificação e 
compreensão de características do sistema de numeração de-
cimal, sobretudo o valor posicional dos algarismos. Na pers-
pectiva de que os alunos aprofundem a noção de número, é 
importante colocá-los diante de tarefas, como as que envolvem 
medições, nas quais os números naturais não são suficientes 
para resolvê-las, indicando a necessidade dos números racio-
nais tanto na representação decimal quanto na fracionária.
Com referência ao Ensino Fundamental – Anos Finais, a ex-
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pectativa é a de que os alunos resolvam problemas com nú-
meros naturais, inteiros e racionais, envolvendo as operações 
fundamentais, com seus diferentes significados, e utilizando es-
tratégias diversas, com compreensão dos processos neles en-
volvidos. Para que aprofundem a noção de número, é importan-
te colocá-los diante de problemas, sobretudo os geométricos, 
nos quais os números racionais não são suficientes para resol-
vê-los, de modo que eles reconheçam a necessidade de outros 
números: os irracionais. Os alunos devem dominar também o 
cálculo de porcentagem, porcentagem de porcentagem, juros, 
descontos e acréscimos, incluindo o uso de tecnologias digitais.
No tocante a esse tema, espera-se que saibam reconhecer, 
comparar e ordenar números reais, com apoio da relação des-
ses números com pontos na reta numérica. Cabe ainda des-
tacar que o desenvolvimento do pensamento numérico não 
se completa, evidentemente, apenas com objetos de estudos 
descritos na unidade Números. Esse pensamento é ampliado 
e aprofundado quando se discutem situações que envolvem 
conteúdos das demais unidades temáticas: Álgebra, Geome-
tria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística.
Outro aspecto a ser considerado nessa unidade temática é o 
estudo de conceitos básicos de economia e finanças, visando à 
educação financeira dos alunos. Assim, podem ser discutidos as-
suntos como taxas de juros, inflação, aplicações financeiras (ren-
tabilidade e liquidez de um investimento) e impostos. Essa uni-
dade temática favorece um estudo interdisciplinar envolvendo 
as dimensões culturais, sociais, políticas e psicológicas, além da 
econômica, sobre as questões do consumo, trabalho e dinheiro. 
É possível, por exemplo, desenvolver um projeto com a História, 
visando ao estudo do dinheiro e sua função na sociedade, da re-
lação entre dinheiro e tempo, dos impostos em sociedades diver-
sas, do consumo em diferentes momentos históricos, incluindo 
estratégias atuais de marketing. Essas questões, além de promo-
ver o desenvolvimento de competências pessoais e sociais dos 
alunos, podem se constituir em excelentes contextos para as apli-
cações dos conceitos da Matemática Financeira e também pro-
porcionar contextos para ampliar e aprofundar esses conceitos.
A unidade temática Álgebra, por sua vez, tem como finali-
dade o desenvolvimento de um tipo especial de pensamento 
— pensamento algébrico — que é essencial para utilizar mo-
delos matemáticos na compreensão, representação e análise 
de relações quantitativas de grandezas e, também, de situa-
ções e estruturas matemáticas, fazendo uso de letras e outros 
símbolos. Para esse desenvolvimento, é necessário que os alu-
nos identifiquem regularidades e padrões de sequências nu-
méricas e não numéricas, estabeleçam leis matemáticas que 
expressem a relação de interdependência entre grandezas em 
diferentes contextos, bem como criar, interpretar e transitar 
entre as diversas representações gráficas e simbólicas, para 
resolver problemas por meio de equações e inequações, com 
compreensão dos procedimentos utilizados. As ideias matemá-
ticas fundamentais vinculadas a essa unidade são: equivalên-
cia, variação, interdependência e proporcionalidade. Em sínte-
se, essa unidade temática deve enfatizar o desenvolvimento de 
uma linguagem, o estabelecimento de generalizações, a análi-
se da interdependência de grandezas e a resolução de proble-
mas por meio de equações ou inequações.
Nessa perspectiva, é imprescindível que algumas dimen-
sões do trabalho com a álgebra estejam presentes nos proces-
sos de ensino e aprendizagem desde o Ensino Fundamental – 
Anos Iniciais, como as ideias de regularidade, generalização de 
padrões e propriedades da igualdade. No entanto, nessa fase, 
não se propõe o uso de letras para expressar regularidades, 
por mais simples que sejam. A relação dessa unidade temáti-
ca com a de Números é bastante evidente no trabalho com se-
quências (recursivase repetitivas), seja na ação de completar 
uma sequência com elementos ausentes, seja na construção 
de sequências segundo uma determinada regra de formação.
A relação de equivalência pode ter seu início com atividades 
simples, envolvendo a igualdade, como reconhecer que se 2 + 3 = 
5 e 5 = 4 + 1, então 2 + 3 = 4 + 1. Atividades como essa contribuem 
para a compreensão de que o sinal de igualdade não é apenas a 
indicação de uma operação a ser feita. A noção intuitiva de função 
pode ser explorada por meio da resolução de problemas envol-
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vendo a variação proporcional direta entre duas grandezas (sem 
utilizar a regra de três), como: “Se com duas medidas de suco con-
centrado eu obtenho três litros de refresco, quantas medidas des-
se suco concentrado eu preciso para ter doze litros de refresco?”. 
No Ensino Fundamental – Anos Finais, os estudos de Álgebra 
retomam, aprofundam e ampliam o que foi trabalhado no En-
sino Fundamental – Anos Iniciais. Nessa fase, os alunos devem 
compreender os diferentes significados das variáveis numéricas 
em uma expressão, estabelecer uma generalização de uma pro-
priedade, investigar a regularidade de uma sequência numérica, 
indicar um valor desconhecido em uma sentença algébrica e es-
tabelecer a variação entre duas grandezas. É necessário, portan-
to, que os alunos estabeleçam conexões entre variável e função 
e entre incógnita e equação. As técnicas de resolução de equa-
ções e inequações, inclusive no plano cartesiano, devem ser de-
senvolvidas como uma maneira de representar e resolver deter-
minados tipos de problema, e não como objetos de estudo em 
si mesmos.
Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem de 
Álgebra, como também aquelas relacionadas a outros campos 
da Matemática (Números, Geometria e Probabilidade e estatís-
tica), podem contribuir para o desenvolvimento do pensamen-
to computacional dos alunos, tendo em vista que eles precisam 
ser capazes de traduzir uma situação dada em outras lingua-
gens, como transformar situações-problema, apresentadas em 
língua materna, em fórmulas, tabelas e gráficos e vice-versa.
Associado ao pensamento computacional, cumpre salien-
tar a importância dos algoritmos e de seus fluxogramas, que 
podem ser objetos de estudo nas aulas de Matemática. Um al-
goritmo é uma sequência finita de procedimentos que permi-
te resolver um determinado problema. Assim, o algoritmo é a 
decomposição de um procedimento complexo em suas partes 
mais simples, relacionando-as e ordenando-as, e pode ser re-
presentado graficamente por um fluxograma. A linguagem al-
gorítmica tem pontos em comum com a linguagem algébrica, 
sobretudo em relação ao conceito de variável. Outra habilida-
de relativa à álgebra que mantém estreita relação com o pen-
samento computacional é a identificação de padrões para se 
estabelecer generalizações, propriedades e algoritmos.
A Geometria envolve o estudo de um amplo conjunto de 
conceitos e procedimentos necessários para resolver proble-
mas do mundo físico e de diferentes áreas do conhecimento. 
Assim, nessa unidade temática, estudar posição e deslocamen-
tos no espaço, formas e relações entre elementos de figuras 
planas e espaciais pode desenvolver o pensamento geométri-
co dos alunos. Esse pensamento é necessário para investigar 
propriedades, fazer conjecturas e produzir argumentos geo-
métricos convincentes. É importante, também, considerar o as-
pecto funcional que deve estar presente no estudo da Geome-
tria: as transformações geométricas, sobretudo as simetrias. 
As ideias matemáticas fundamentais associadas a essa temá-
tica são, principalmente, construção, representação e interde-
pendência.
No Ensino Fundamental – Anos Iniciais, espera-se que os 
alunos identifiquem e estabeleçam pontos de referência para a 
localização e o deslocamento de objetos, construam represen-
tações de espaços conhecidos e estimem distâncias, usando, 
como suporte, mapas (em papel, tablets ou smartphones), cro-
quis e outras representações. Em relação às formas, espera-se 
que os alunos indiquem características das formas geométri-
cas tridimensionais e bidimensionais, associem figuras espa-
ciais a suas planificações e vice-versa. Espera-se, também, que 
nomeiem e comparem polígonos, por meio de propriedades 
relativas aos lados, vértices e ângulos. O estudo das simetrias 
deve ser iniciado por meio da manipulação de representações 
de figuras geométricas planas em quadriculados ou no plano 
cartesiano, e com recurso de softwares de geometria dinâmica.
No Ensino Fundamental – Anos Finais, o ensino de Geo-
metria precisa ser visto como consolidação e ampliação das 
aprendizagens realizadas. Nessa etapa, devem ser enfatizadas 
também as tarefas que analisam e produzem transformações 
e ampliações/reduções de figuras geométricas planas, iden-
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tificando seus elementos variantes e invariantes, de modo a 
desenvolver os conceitos de congruência e semelhança. Es-
ses conceitos devem ter destaque nessa fase do Ensino Fun-
damental, de modo que os alunos sejam capazes de reconhe-
cer as condições necessárias e suficientes para obter triângulos 
congruentes ou semelhantes e que saibam aplicar esse conhe-
cimento para realizar demonstrações simples, contribuindo 
para a formação de um tipo de raciocínio importante para a 
Matemática, o raciocínio hipotético-dedutivo. Outro ponto a 
ser destacado é a aproximação da Álgebra com a Geometria, 
desde o início do estudo do plano cartesiano, por meio da geo-
metria analítica. As atividades envolvendo a ideia de coordena-
das, já iniciadas no Ensino Fundamental – Anos Iniciais, podem 
ser ampliadas para o contexto das representações no plano 
cartesiano, como a representação de sistemas de equações do 
1º grau, articulando, para isso, conhecimentos decorrentes da 
ampliação dos conjuntos numéricos e de suas representações 
na reta numérica.
Assim, a Geometria não pode ficar reduzida à mera aplica-
ção de fórmulas de cálculo de área e de volume nem a apli-
cações numéricas imediatas de teoremas sobre relações de 
proporcionalidade em situações relativas a feixes de retas pa-
ralelas cortadas por retas secantes ou do teorema de Pitá-
goras. A equivalência de áreas, por exemplo, já praticada há 
milhares de anos pelos mesopotâmios e gregos antigos sem 
utilizar fórmulas, permite transformar qualquer região poligo-
nal plana em um quadrado com mesma área (é o que os gre-
gos chamavam “fazer a quadratura de uma figura”). Isso permi-
te, inclusive, resolver geometricamente problemas que podem 
ser traduzidos por uma equação do 2º grau.
As medidas quantificam grandezas do mundo físico e são 
fundamentais para a compreensão da realidade. Assim, a uni-
dade temática Grandezas e medidas, ao propor o estudo das 
medidas e das relações entre elas — ou seja, das relações mé-
tricas —, favorece a integração da Matemática a outras áreas 
de conhecimento, como Ciências (densidade, grandezas e esca-
las do Sistema Solar, energia elétrica etc.) ou Geografia (coor-
denadas geográficas, densidade demográfica, escalas de ma-
pas e guias etc.). Essa unidade temática contribui ainda para a 
consolidação e ampliação da noção de número, a aplicação de 
noções geométricas e a construção do pensamento algébrico.
No Ensino Fundamental – Anos Iniciais, a expectativa é que 
os alunos reconheçam que medir é comparar uma grande-
za com uma unidade e expressar o resultado da comparação 
por meio de um número. Além disso, devem resolver proble-
mas oriundos de situações cotidianas que envolvem grande-
zas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área (de 
triângulos e retângulos) e capacidade e volume (de sólidos for-
mados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, recor-
rendo, quando necessário, a transformações entre unidades 
de medida padronizadas mais usuais.Espera-se, também, que 
resolvam problemas sobre situações de compra e venda e de-
senvolvam, por exemplo, atitudes éticas e responsáveis em re-
lação ao consumo. Sugere-se que esse processo seja inicia-
do utilizando, preferencialmente, unidades não convencionais 
para fazer as comparações e medições, o que dá sentido à ação 
de medir, evitando a ênfase em procedimentos de transforma-
ção de unidades convencionais. No entanto, é preciso consi-
derar o contexto em que a escola se encontra: em escolas de 
regiões agrícolas, por exemplo, as medidas agrárias podem 
merecer maior atenção em sala de aula.
No Ensino Fundamental – Anos Finais, a expectativa é a de 
que os alunos reconheçam comprimento, área, volume e aber-
tura de ângulo como grandezas associadas a figuras geomé-
tricas e que consigam resolver problemas envolvendo essas 
grandezas com o uso de unidades de medida padronizadas 
mais usuais. Além disso, espera-se que estabeleçam e utilizem 
relações entre essas grandezas e entre elas e grandezas não 
geométricas, para estudar grandezas derivadas como densida-
de, velocidade, energia, potência, entre outras. Nessa fase da 
escolaridade, os alunos devem determinar expressões de cál-
culo de áreas de quadriláteros, triângulos e círculos, e as de 
volumes de prismas e de cilindros. Outro ponto a ser desta-
cado refere-se à introdução de medidas de capacidade de ar-
mazenamento de computadores como grandeza associada a 
demandas da sociedade moderna. Nesse caso, é importante 
destacar o fato de que os prefixos utilizados para byte (quilo, 
mega, giga) não estão associados ao sistema de numeração de-
cimal, de base 10, pois um quilobyte, por exemplo, corresponde 
a 1.024 bytes, e não a 1.000 bytes.
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VIII
A incerteza e o tratamento de dados são estudados na uni-
dade temática Probabilidade e estatística. Ela propõe a abor-
dagem de conceitos, fatos e procedimentos presentes em mui-
tas situações-problema da vida cotidiana, das ciências e da 
tecnologia. Assim, todos os cidadãos precisam desenvolver 
habilidades para coletar, organizar, representar, interpretar e 
analisar dados em uma variedade de contextos, de maneira a 
fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões 
adequadas. Isso inclui raciocinar e utilizar conceitos, represen-
tações e índices estatísticos para descrever, explicar e predizer 
fenômenos.
Merece destaque o uso de tecnologias — como calculado-
ras, para avaliar e comparar resultados, e planilhas eletrônicas, 
que ajudam na construção de gráficos e nos cálculos das medi-
das de tendência central. A consulta a páginas de institutos de 
pesquisa — como a do Instituto Brasileiro de Geografia e Esta-
tística (IBGE) — pode oferecer contextos potencialmente ricos 
não apenas para aprender conceitos e procedimentos estatís-
ticos, mas também para utilizá-los com o intuito de compreen-
der a realidade.
No que concerne ao estudo de noções de probabilidade, a 
finalidade, no Ensino Fundamental – Anos Iniciais, é promover 
a compreensão de que nem todos os fenômenos são determi-
nísticos. Para isso, o início da proposta de trabalho com proba-
bilidade está centrado no desenvolvimento da noção de aleato-
riedade, de modo que os alunos compreendam que há eventos 
certos, eventos impossíveis e eventos prováveis. É muito co-
mum que pessoas julguem impossíveis eventos que nunca vi-
ram acontecer. Nessa fase, é importante que os alunos verba-
lizem, em eventos que envolvem o acaso, os resultados que 
poderiam ter acontecido em oposição ao que realmente acon-
teceu, iniciando a construção do espaço amostral. No Ensino 
Fundamental – Anos Finais, o estudo deve ser ampliado e apro-
fundado, por meio de atividades nas quais os alunos façam ex-
perimentos aleatórios e simulações para confrontar os resul-
tados obtidos com a probabilidade teórica — probabilidade 
frequentista. A progressão dos conhecimentos se faz pelo apri-
moramento da capacidade de enumeração dos elementos do 
espaço amostral, que está associada, também, aos problemas 
de contagem.
Com relação à estatística, os primeiros passos envolvem o 
trabalho com a coleta e a organização de dados de uma pes-
quisa de interesse dos alunos. O planejamento de como fazer 
a pesquisa ajuda a compreender o papel da estatística no coti-
diano dos alunos. Assim, a leitura, a interpretação e a constru-
ção de tabelas e gráficos têm papel fundamental, bem como a 
forma de produção de texto escrito para a comunicação de da-
dos, pois é preciso compreender que o texto deve sintetizar ou 
justificar as conclusões. No Ensino Fundamental – Anos Finais, 
a expectativa é que os alunos saibam planejar e construir rela-
tórios de pesquisas estatísticas descritivas, incluindo medidas 
de tendência central e construção de tabelas e diversos tipos 
de gráfico. Esse planejamento inclui a definição de questões 
relevantes e da população a ser pesquisada, a decisão sobre 
a necessidade ou não de usar amostra e, quando for o caso, a 
seleção de seus elementos por meio de uma adequada técni-
ca de amostragem.
Cumpre destacar que os critérios de organização das habi-
lidades na BNCC (com a explicitação dos objetos de conheci-
mento aos quais se relacionam e do agrupamento desses ob-
jetos em unidades temáticas) expressam um arranjo possível 
(dentre outros). Portanto, os agrupamentos propostos não de-
vem ser tomados como modelo obrigatório para o desenho 
dos currículos. Essa divisão em unidades temáticas serve tão 
somente para facilitar a compreensão dos conjuntos de habili-
dades e de como eles se inter-relacionam. Na elaboração dos 
currículos e das propostas pedagógicas, devem ser enfatizadas 
as articulações das habilidades com as de outras áreas do co-
nhecimento, entre as unidades temáticas e no interior de cada 
uma delas.
Na definição das habilidades, a progressão ano a ano se ba-
seia na compreensão e utilização de novas ferramentas e tam-
bém na complexidade das situações-problema propostas, cuja 
resolução exige a execução de mais etapas ou noções de uni-
dades temáticas distintas. Os problemas de contagem, por 
exemplo, devem, inicialmente, estar restritos àqueles cujas 
soluções podem ser obtidas pela descrição de todos os casos 
possíveis, mediante a utilização de esquemas ou diagramas, e, 
posteriormente, àqueles cuja resolução depende da aplicação 
dos princípios multiplicativo e aditivo e do princípio da casa dos 
pombos. Outro exemplo é o da resolução de problemas envol-
vendo as operações fundamentais, utilizando ou não a lingua-
gem algébrica.
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IX
Matemática no Ensino Fundamental – anos finais: unidades 
temáticas, objetos de conhecimento e habilidades
Para o desenvolvimento das habilidades previstas para 
o Ensino Fundamental – Anos Finais, é imprescindível levar 
em conta as experiências e os conhecimentos matemáticos 
já vivenciados pelos alunos, criando situações nas quais pos-
sam fazer observações sistemáticas de aspectos quantitati-
vos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações 
entre eles e desenvolvendo ideias mais complexas. Essas si-
tuações precisam articular múltiplos aspectos dos diferentes 
conteúdos, visando ao desenvolvimento das ideias funda-
mentais da matemática, como equivalência, ordem, propor-
cionalidade, variação e interdependência.
Da mesma forma que na fase anterior, a aprendizagem 
em Matemática no Ensino Fundamental – Anos Finais tam-
bém está intrinsecamente relacionada à apreensão de signi-
ficados dos objetos matemáticos. Esses significados resultam 
das conexões que os alunos estabelecem entre os objetos e 
seu cotidiano, entre eles e os diferentes temas matemáticos 
e, por fim, entre eles e os demais componentes curriculares. 
Nessa fase, precisa ser destacada a importância da comunica-
ção em linguagem matemática com o uso da linguagem sim-
bólica, da representaçãoe da argumentação.
Além dos diferentes recursos didáticos e materiais, como 
malhas quadriculadas, ábacos, jogos, calculadoras, planilhas 
eletrônicas e softwares de geometria dinâmica, é importante 
incluir a história da Matemática como recurso que pode des-
pertar interesse e representar um contexto significativo para 
aprender e ensinar Matemática. Entretanto, esses recursos 
e materiais precisam estar integrados a situações que propi-
ciem a reflexão, contribuindo para a sistematização e a for-
malização dos conceitos matemáticos.
A leitura dos objetos de conhecimento e das habilidades 
essenciais de cada ano nas cinco unidades temáticas permite 
uma visão das possíveis articulações entre as habilidades indi-
cadas para as diferentes temáticas. Entretanto, recomenda-se 
que se faça também uma leitura (vertical) de cada unidade te-
mática, do 6º ao 9º ano, com a finalidade de identificar como foi 
estabelecida a progressão das habilidades. Essa maneira é con-
veniente para comparar as habilidades de um dado tema a ser 
efetivadas em um dado ano escolar com as aprendizagens pro-
postas em anos anteriores também para reconhecer em que 
medida elas se articulam com as indicadas para os anos poste-
riores, tendo em vista que as noções matemáticas são retoma-
das ano a ano, com ampliação e aprofundamento crescentes.
Cumpre também considerar que, para a aprendizagem 
de certo conceito ou procedimento, é fundamental haver um 
contexto significativo para os alunos, não necessariamente 
do cotidiano, mas também de outras áreas do conhecimento 
e da própria história da Matemática. No entanto, é necessá-
rio que eles desenvolvam a capacidade de abstrair o contex-
to, apreendendo relações e significados, para aplicá-los em 
outros contextos. Para favorecer essa abstração, é importan-
te que os alunos reelaborem os problemas propostos após 
os terem resolvido. Por esse motivo, nas diversas habilidades 
relativas à resolução de problemas, consta também a elabo-
ração de problemas. Assim, pretende-se que os alunos for-
mulem novos problemas, baseando-se na reflexão e no ques-
tionamento sobre o que ocorreria se alguma condição fosse 
modificada ou se algum dado fosse acrescentado ou retirado 
do problema proposto.
Além disso, nessa fase final do Ensino Fundamental, é im-
portante iniciar os alunos, gradativamente, na compreensão, 
análise e avaliação da argumentação matemática. Isso envolve 
a leitura de textos matemáticos e o desenvolvimento do senso 
crítico em relação à argumentação neles utilizada.
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X
Matemática 6º ano
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Sistema de numeração decimal: características,
leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na 
forma decimal
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fa-
zendo uso da reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças 
e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), 
utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.
Operações (adição, subtração, multiplicação,
divisão e potenciação) com números naturais
Divisão euclidiana
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números 
naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
Fluxograma para determinar a paridade de um número natural
Múltiplos e divisores de um número natural
Números primos e compostos
(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um proble-
ma simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).
(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos ter-
mos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 
5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000.
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.
Frações: significados (parte/todo, quociente),
equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adi-
ção e subtração de frações
(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, iden-
tificando frações equivalentes.
(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, esta-
belecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta 
numérica.
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um nú-
mero natural, com e sem uso de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na represen-
tação fracionária.
Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais
(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro 
operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para ve-
rificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.
Aproximação de números para múltiplos de potências de 10 (EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.
Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso 
da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
Álgebra
Propriedades da igualdade
(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus 
dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.
Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões 
entre as partes e entre uma das partes e o todo
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolven-
do relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.
Geometria
Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados
(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1º quadrante, em situações como a loca-
lização dos vértices de um polígono.
Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função 
do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao 
paralelismo e perpendicularismo dos lados
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e 
não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.
(EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.
(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusãoe a intersecção de classes entre eles.
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XI
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Sistema de numeração decimal: características,
leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na 
forma decimal
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fa-
zendo uso da reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças 
e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), 
utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.
Operações (adição, subtração, multiplicação,
divisão e potenciação) com números naturais
Divisão euclidiana
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números 
naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
Fluxograma para determinar a paridade de um número natural
Múltiplos e divisores de um número natural
Números primos e compostos
(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um proble-
ma simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).
(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos ter-
mos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 
5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000.
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.
Frações: significados (parte/todo, quociente),
equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adi-
ção e subtração de frações
(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, iden-
tificando frações equivalentes.
(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, esta-
belecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta 
numérica.
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um nú-
mero natural, com e sem uso de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na represen-
tação fracionária.
Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais
(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro 
operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para ve-
rificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.
Aproximação de números para múltiplos de potências de 10 (EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.
Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso 
da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
Álgebra
Propriedades da igualdade
(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus 
dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.
Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões 
entre as partes e entre uma das partes e o todo
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolven-
do relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.
Geometria
Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados
(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1º quadrante, em situações como a loca-
lização dos vértices de um polígono.
Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função 
do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao 
paralelismo e perpendicularismo dos lados
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e 
não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.
(EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.
(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão 
e a intersecção de classes entre eles.
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XII
Matemática 7º ano
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Múltiplos e divisores de um número natural
(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo in-
cluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.
Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples
(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos sim-
ples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.
Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e 
operações
(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta nu-
mérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas 
quadriculadas
(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, 
plano cartesiano ou tecnologias digitais.
Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e 
softwares
(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendicula-
res e construção de quadriláteros, entre outros.
(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de 
deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).
Grandezas e medidas
Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, tem-
peratura, área, capacidade e volume
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângu-
los e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que 
possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.
Ângulos: noção, usos e medida
(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.
(EF06MA26) Resolver problemas que envolvama noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de 
visão.
(EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.
Plantas baixas e vistas aéreas (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.
Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado
(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, 
igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com 
a área.
Probabilidade e estatística
Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de 
resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável
Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de 
ocorrências e probabilidade frequentista)
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e 
percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.
Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) re-
ferentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em di-
ferentes tipos de gráfico.
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, 
trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir tex-
tos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
Coleta de dados, organização e registro
Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das 
informações
(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrô-
nicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.
Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas
(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, 
posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).
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XIII
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Múltiplos e divisores de um número natural
(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo in-
cluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.
Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples
(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos sim-
ples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.
Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e 
operações
(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta nu-
mérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas 
quadriculadas
(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, 
plano cartesiano ou tecnologias digitais.
Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e 
softwares
(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendicula-
res e construção de quadriláteros, entre outros.
(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de 
deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).
Grandezas e medidas
Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, tem-
peratura, área, capacidade e volume
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângu-
los e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que 
possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.
Ângulos: noção, usos e medida
(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.
(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de 
visão.
(EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.
Plantas baixas e vistas aéreas (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.
Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado
(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, 
igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com 
a área.
Probabilidade e estatística
Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de 
resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável
Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de 
ocorrências e probabilidade frequentista)
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e 
percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.
Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) re-
ferentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em di-
ferentes tipos de gráfico.
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, 
trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir tex-
tos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
Coleta de dados, organização e registro
Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das 
informações
(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrô-
nicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.
Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas
(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, 
posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).
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XIV
Números
Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador
(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.
(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizan-
do os mesmos procedimentos.
(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.
(EF07MA08) Comparar e ordenarfrações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.
(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de 
duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.
Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associa-
ção com pontos da reta numérica e operações
(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.
(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades 
operatórias.
(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
Álgebra
Linguagem algébrica: variável e incógnita
(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, 
diferenciando-a da ideia de incógnita.
(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não 
apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.
(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.
Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência 
numérica
(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numé-
rica são ou não equivalentes.
Problemas envolvendo grandezas diretamente
proporcionais e grandezas inversamente
proporcionais
(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa 
entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.
Equações polinomiais do 1º grau
(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1º grau, redutíveis à for-
ma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.
Geometria 
Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coorde-
nadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem
(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coorde-
nadas de seus vértices por um número inteiro.
(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.
Simetrias de translação, rotação e reflexão
(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de de-
senho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquite-
tônicos, entre outros.
A circunferência como lugar geométrico
(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer compo-
sições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal
(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de 
softwares de geometria dinâmica.
Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos
(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida 
dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas 
(telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.
(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, co-
nhecidas as medidas dos três lados.
Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero
(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre 
ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.
(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como 
quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.
Grandezas e medidas Problemas envolvendo medições
(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações 
cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.
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XV
Números
Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador
(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.
(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizan-
do os mesmos procedimentos.
(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.
(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.
(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de 
duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.
Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associa-
ção com pontos da reta numérica e operações
(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.
(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades 
operatórias.
(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
Álgebra
Linguagem algébrica: variável e incógnita
(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, 
diferenciando-a da ideia de incógnita.
(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não 
apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.
(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.
Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência 
numérica
(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numé-
rica são ou não equivalentes.
Problemas envolvendo grandezas diretamente
proporcionais e grandezas inversamente
proporcionais
(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa 
entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.
Equações polinomiais do 1º grau
(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1º grau, redutíveis à for-
ma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.
Geometria 
Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coorde-
nadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem
(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coorde-
nadas de seus vértices por um número inteiro.
(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.
Simetrias de translação, rotação e reflexão
(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de de-
senho ou softwares de geometria dinâmicae vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquite-
tônicos, entre outros.
A circunferência como lugar geométrico
(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer compo-
sições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal
(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de 
softwares de geometria dinâmica.
Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos
(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida 
dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas 
(telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.
(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, co-
nhecidas as medidas dos três lados.
Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero
(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre 
ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.
(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como 
quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.
Grandezas e medidas Problemas envolvendo medições
(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações 
cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.
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XVI
Matemática 8º ano
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Notação científica
(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em 
notação científica.
Potenciação e radiciação
(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como po-
tência de expoente fracionário.
O princípio multiplicativo da contagem (EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.
Porcentagens (EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.
Dízimas periódicas: fração geratriz (EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Álgebra 
Valor numérico de expressões algébricas
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as pro-
priedades das operações.
Associação de uma equação linear de 1º grau a uma reta no plano cartesiano (EF08MA07) Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.
Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano
cartesiano
(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas 
de equações de 1º grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
Equação polinomial de 2º grau do tipo ax2 = b
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polino-
miais de 2º grau do tipo ax2 = b.
Sequências recursivas e não recursivas
(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de 
um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.
(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxogra-
ma que permita indicar os números seguintes.
Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não 
proporcionais
(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcio-
nais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.
(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de 
estratégias variadas.
Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais 
mais usuais
(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades 
usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).
Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser de-
compostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e 
quadriláteros
(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por qua-
drados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.
Medida do comprimento da circunferência
(EF07MA33) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e re-
solver problemas, inclusive os de natureza histórica.
Probabilidade e estatística
Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de fre-
quência de ocorrências
(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas 
por meio de frequência de ocorrências.
Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados
(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma 
pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.
Pesquisa amostral e pesquisa censitária
Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos 
e interpretação das informações
(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou 
de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de pla-
nilhas eletrônicas.
Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de 
dados
(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é 
possível ou conveniente sua utilização.
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XVII
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Notação científica
(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em 
notação científica.
Potenciação e radiciação
(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como po-
tência de expoente fracionário.
O princípio multiplicativo da contagem (EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.
Porcentagens (EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.
Dízimas periódicas: fração geratriz (EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Álgebra 
Valor numérico de expressões algébricas
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo dovalor numérico de expressões algébricas, utilizando as pro-
priedades das operações.
Associação de uma equação linear de 1º grau a uma reta no plano cartesiano (EF08MA07) Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.
Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano
cartesiano
(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas 
de equações de 1º grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
Equação polinomial de 2º grau do tipo ax2 = b
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polino-
miais de 2º grau do tipo ax2 = b.
Sequências recursivas e não recursivas
(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de 
um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.
(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxogra-
ma que permita indicar os números seguintes.
Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não 
proporcionais
(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcio-
nais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.
(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de 
estratégias variadas.
Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais 
mais usuais
(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades 
usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).
Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser de-
compostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e 
quadriláteros
(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por qua-
drados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.
Medida do comprimento da circunferência
(EF07MA33) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e re-
solver problemas, inclusive os de natureza histórica.
Probabilidade e estatística
Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de fre-
quência de ocorrências
(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas 
por meio de frequência de ocorrências.
Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados
(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma 
pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.
Pesquisa amostral e pesquisa censitária
Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos 
e interpretação das informações
(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou 
de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de pla-
nilhas eletrônicas.
Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de 
dados
(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é 
possível ou conveniente sua utilização.
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XVIII
Geometria 
Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros (EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.
Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 
90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de 
qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.
Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas (EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação
(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rota-
ção), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
Grandezas e medidas
Área de figuras planas
Área do círculo e comprimento de sua circunferência
(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cál-
culo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Volume de cilindro reto
Medidas de capacidade
(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver pro-
blemas de cálculo de capacidade de recipientes.
(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.
Probabilidade e estatística
Princípio multiplicativo da contagem
Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral
(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicati-
vo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação 
para determinado conjunto de dados
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
Organização dos dados de uma variável contínua em classes
(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de 
maneira adequada para a tomada de decisões.
Medidas de tendência central e de dispersão
(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a com-
preensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.
Pesquisas censitária ou amostral
Planejamento e execução de pesquisa amostral
(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas 
amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual sim-
ples, sistemática e estratificada).
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que 
contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência 
central, a amplitude e as conclusões.
Matemática 9º ano
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta
Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é 
expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma ame-
dida de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e es-
timar a localização de alguns deles na reta numérica.
Potências com expoentes negativos e fracionários (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Números reais: notação científica e problemas (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos
(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a 
determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
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XIX
Geometria 
Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros (EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.
Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 
90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de 
qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.
Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas (EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação
(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rota-
ção), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
Grandezas e medidas
Área de figuras planas
Área do círculo e comprimento de sua circunferência
(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cál-
culo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Volume de cilindro reto
Medidas de capacidade
(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver pro-
blemas de cálculo de capacidade de recipientes.
(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.
Probabilidade e estatística
Princípio multiplicativo da contagem
Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral
(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicati-
vo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação 
para determinado conjunto de dados
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
Organização dos dados de uma variável contínua em classes
(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de 
maneira adequada para a tomada de decisões.
Medidas de tendência central e de dispersão
(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a com-
preensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.
Pesquisas censitária ou amostral
Planejamento e execução de pesquisa amostral
(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas 
amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual sim-
ples, sistemática e estratificada).
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que 
contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência 
central, a amplitude e as conclusões.
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta
Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é 
expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a me-
dida de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e es-
timar a localização de alguns deles na reta numérica.
Potências com expoentes negativos e fracionários (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Números reais: notação científica e problemas (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos
(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a 
determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
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XX
Álgebra 
Funções: representações numérica, algébrica e gráfica
(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações nu-
mérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
Razão entre grandezas de espécies diferentes
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densi-
dade demográfica.
Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais 
grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de ou-
tras áreas.
Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis 
Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos no-
táveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Geometria 
Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas 
por uma transversal
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na 
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Semelhança de triângulos (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações 
experimentais
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a se-
melhança de triângulos.
(EF09MA14)Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envol-
vendo retas paralelas cortadas por secantes.
Polígonos regulares
(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja 
medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.
Distância entre pontos no plano cartesiano
(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas 
desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de pe-
rímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Vistas ortogonais de figuras espaciais (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Grandezas e medidas
Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas
Unidades de medida utilizadas na informática
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como dis-
tância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, en-
tre outros.
Volume de prismas e cilindros
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso 
de expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Probabilidade e estatística
Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua 
ocorrência, nos dois casos.
Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitu-
ra ou de interpretação
(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamen-
te, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes 
(fontes e datas), entre outros.
Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de du-
pla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e 
gráficos pictóricos
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para 
apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.
Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de 
relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o 
apoio de planilhas eletrônicas.
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XXI
Álgebra 
Funções: representações numérica, algébrica e gráfica
(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações nu-
mérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
Razão entre grandezas de espécies diferentes
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densi-
dade demográfica.
Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais 
grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de ou-
tras áreas.
Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis 
Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos no-
táveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Geometria 
Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas 
por uma transversal
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na 
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Semelhança de triângulos (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações 
experimentais
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a se-
melhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envol-
vendo retas paralelas cortadas por secantes.
Polígonos regulares
(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja 
medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.
Distância entre pontos no plano cartesiano
(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas 
desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de pe-
rímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Vistas ortogonais de figuras espaciais (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Grandezas e medidas
Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas
Unidades de medida utilizadas na informática
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como dis-
tância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, en-
tre outros.
Volume de prismas e cilindros
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso 
de expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Probabilidade e estatística
Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua 
ocorrência, nos dois casos.
Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitu-
ra ou de interpretação
(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamen-
te, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes 
(fontes e datas), entre outros.
Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de du-
pla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e 
gráficos pictóricos
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para 
apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.
Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de 
relatório contendo avaliaçãode medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o 
apoio de planilhas eletrônicas.
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Sumário
Capítulo 1 – Estudo dos números ..........................................................................................10
Para começar.................................................................................................................................10
Conjuntos numéricos ...................................................................................................................11
Propriedades operatórias ............................................................................................................11
Soma de Gauss: uma soma interessante ..................................................................................15
Conjunto dos números inteiros (Z) ............................................................................................19
Conjunto dos números racionais (Q) ..........................................................................................23
Matemática + ...............................................................................................................................40
Capítulo 2 – Conjunto dos números reais ...............................................................................44
Para começar.................................................................................................................................44
Propriedades dos números reais ...............................................................................................46
Potências ........................................................................................................................................49
Propriedades das potências ........................................................................................................52
Radiciação ......................................................................................................................................54
Comparação de números reais ...................................................................................................56
Propriedades das desigualdades ................................................................................................57
Matemática + ...............................................................................................................................59
Capítulo 3 – Cálculo algébrico ...............................................................................................61
Para começar.................................................................................................................................61
A Álgebra ........................................................................................................................................62
Valor numérico de expressões algébricas .................................................................................65
Expressão algébrica racional ......................................................................................................66
Expressão algébrica irracional ....................................................................................................67
Monômios ......................................................................................................................................69
Polinômios .....................................................................................................................................75
Operações com polinômios.........................................................................................................78
Matemática + ...............................................................................................................................86
Capítulo 4 – Produtos notáveis e fatoração ............................................................................89
Para começar.................................................................................................................................89
Técnicas dos produtos notáveis ..................................................................................................90
Produtos notáveis especiais ........................................................................................................95
Fatoração .......................................................................................................................................97
Matemática + ...............................................................................................................................106
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Capítulo 5 – Frações algébricas .............................................................................................108
Para começar.................................................................................................................................108
Fração algébrica ............................................................................................................................110
Operações com frações algébricas ............................................................................................111
Equações e incógnitas ..................................................................................................................114
Fatoração e resolução de equações ...........................................................................................117
Matemática + ...............................................................................................................................123
Capítulo 6 – Sistemas de equações do 1o grau com duas variáveis ............................................126
Para começar.................................................................................................................................126
Sistemas de equações: métodos de resolução .........................................................................126
Sistemas de equações fracionárias ............................................................................................130
Solução gráfica de uma equação do o grau com duas variáveis ..........................................132
Solução gráfica de um sistema de duas equações do o grau com duas variáveis .............134
Matemática + ...............................................................................................................................139
Capítulo 7 – Estatística ........................................................................................................141
Para começar.................................................................................................................................141
População e amostra ...................................................................................................................142
Rol ...................................................................................................................................................142
Porcentagem .................................................................................................................................142
Intervalo e frequência ..................................................................................................................143
Gráficos de segmentos, de colunas, de barras e de setores ..................................................144
Medidas estatísticas .....................................................................................................................150
Probabilidade ................................................................................................................................155
Mediana .........................................................................................................................................160
Moda ..............................................................................................................................................160Medidas de dispersão ..................................................................................................................161
Amplitude ......................................................................................................................................161
Pesquisa estatística ......................................................................................................................161
Matemática + ...............................................................................................................................163
Capítulo 8 – Triângulos ........................................................................................................167
Para começar.................................................................................................................................167
Triângulo ........................................................................................................................................167
Elementos formadores ................................................................................................................168
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Sumário
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Sumário
Capítulo 1 – Estudo dos números ..........................................................................................10
Para começar.................................................................................................................................10
Conjuntos numéricos ...................................................................................................................11
Propriedades operatórias ............................................................................................................11
Soma de Gauss: uma soma interessante ..................................................................................15
Conjunto dos números inteiros (Z) ............................................................................................19
Conjunto dos números racionais (Q) ..........................................................................................23
Matemática + ...............................................................................................................................40
Capítulo 2 – Conjunto dos números reais ...............................................................................44
Para começar.................................................................................................................................44
Propriedades dos números reais ...............................................................................................46
Potências ........................................................................................................................................49
Propriedades das potências ........................................................................................................52
Radiciação ......................................................................................................................................54
Comparação de números reais ...................................................................................................56
Propriedades das desigualdades ................................................................................................57
Matemática + ...............................................................................................................................59
Capítulo 3 – Cálculo algébrico ...............................................................................................61
Para começar.................................................................................................................................61
A Álgebra ........................................................................................................................................62
Valor numérico de expressões algébricas .................................................................................65
Expressão algébrica racional ......................................................................................................66
Expressão algébrica irracional ....................................................................................................67
Monômios ......................................................................................................................................69
Polinômios .....................................................................................................................................75
Operações com polinômios.........................................................................................................78
Matemática + ...............................................................................................................................86
Capítulo 4 – Produtos notáveis e fatoração ............................................................................89
Para começar.................................................................................................................................89
Técnicas dos produtos notáveis ..................................................................................................90
Produtos notáveis especiais ........................................................................................................95
Fatoração .......................................................................................................................................97
Matemática + ...............................................................................................................................106
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Capítulo 5 – Frações algébricas .............................................................................................108
Para começar.................................................................................................................................108
Fração algébrica ............................................................................................................................110
Operações com frações algébricas ............................................................................................111
Equações e incógnitas ..................................................................................................................114
Fatoração e resolução de equações ...........................................................................................117
Matemática + ...............................................................................................................................123
Capítulo 6 – Sistemas de equações do 1o grau com duas variáveis ............................................126
Para começar.................................................................................................................................126
Sistemas de equações: métodos de resolução .........................................................................126
Sistemas de equações fracionárias ............................................................................................130
Solução gráfica de uma equação do o grau com duas variáveis ..........................................132
Solução gráfica de um sistema de duas equações do o grau com duas variáveis .............134
Matemática + ...............................................................................................................................139
Capítulo 7 – Estatística ........................................................................................................141
Para começar.................................................................................................................................141
População e amostra ...................................................................................................................142Rol ...................................................................................................................................................142
Porcentagem .................................................................................................................................142
Intervalo e frequência ..................................................................................................................143
Gráficos de segmentos, de colunas, de barras e de setores ..................................................144
Medidas estatísticas .....................................................................................................................150
Probabilidade ................................................................................................................................155
Mediana .........................................................................................................................................160
Moda ..............................................................................................................................................160
Medidas de dispersão ..................................................................................................................161
Amplitude ......................................................................................................................................161
Pesquisa estatística ......................................................................................................................161
Matemática + ...............................................................................................................................163
Capítulo 8 – Triângulos ........................................................................................................167
Para começar.................................................................................................................................167
Triângulo ........................................................................................................................................167
Elementos formadores ................................................................................................................168
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Desigualdade triangular...............................................................................................................168
Classificação dos triângulos ........................................................................................................169
Pontos notáveis de um triângulo ................................................................................................171
Cevianas .........................................................................................................................................171
Teorema da bissetriz interna.......................................................................................................173
Mediatriz ........................................................................................................................................174
Congruência de triângulos ..........................................................................................................177
Relações de desigualdade entre lados e ângulos .....................................................................180
Triângulo isósceles – propriedades ............................................................................................183
Triângulo retângulo – propriedades ...........................................................................................185
Teorema de Pitágoras ..................................................................................................................186
Matemática + ...............................................................................................................................188
Capítulo 9 – Quadriláteros ...................................................................................................191
Para começar.................................................................................................................................191
Conceito de quadrilátero .............................................................................................................191
Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero ...............................................193
Quadriláteros notáveis .................................................................................................................195
Teorema da base média...............................................................................................................197
Classificação dos trapézios ..........................................................................................................197
Propriedades dos paralelogramos .............................................................................................200
Matemática + ...............................................................................................................................201
Capítulo 10 – Medidas de superfície e de capacidade ..............................................................204
Para começar.................................................................................................................................204
Matematica_2020_8A_01.indd 8 10/07/2019 09:04:40
Tipos de figura geométrica ..........................................................................................................205
Entes geométricos ........................................................................................................................205
reas de figuras planas ................................................................................................................206
Medidas de capacidade ...............................................................................................................211
Matemática + ...............................................................................................................................213
Capítulo 11 – Circunferência e círculo ...................................................................................215
Para começar.................................................................................................................................215
Circunferência ...............................................................................................................................215
Posição de um ponto em relação a uma circunferência .........................................................218
O número π ...................................................................................................................................219
Círculo ............................................................................................................................................220
Posições relativas entre reta e circunferência ..........................................................................221
Posições relativas entre duas circunferências ..........................................................................225
Segmentos tangentes ..................................................................................................................229
Arco de circunferência .................................................................................................................231
Ângulo central ...............................................................................................................................231
Ângulo inscrito ..............................................................................................................................234
Ângulo de segmento ....................................................................................................................236Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência .........................................................238
Polígonos circunscritos ................................................................................................................241
Matemática + ...............................................................................................................................245
Caderno de respostas .........................................................................................................249
Pe
te
r 
H
er
m
es
 F
ur
ia
n/
Sh
ut
te
rs
to
ck
,c
om
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Desigualdade triangular...............................................................................................................168
Classificação dos triângulos ........................................................................................................169
Pontos notáveis de um triângulo ................................................................................................171
Cevianas .........................................................................................................................................171
Teorema da bissetriz interna.......................................................................................................173
Mediatriz ........................................................................................................................................174
Congruência de triângulos ..........................................................................................................177
Relações de desigualdade entre lados e ângulos .....................................................................180
Triângulo isósceles – propriedades ............................................................................................183
Triângulo retângulo – propriedades ...........................................................................................185
Teorema de Pitágoras ..................................................................................................................186
Matemática + ...............................................................................................................................188
Capítulo 9 – Quadriláteros ...................................................................................................191
Para começar.................................................................................................................................191
Conceito de quadrilátero .............................................................................................................191
Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero ...............................................193
Quadriláteros notáveis .................................................................................................................195
Teorema da base média...............................................................................................................197
Classificação dos trapézios ..........................................................................................................197
Propriedades dos paralelogramos .............................................................................................200
Matemática + ...............................................................................................................................201
Capítulo 10 – Medidas de superfície e de capacidade ..............................................................204
Para começar.................................................................................................................................204
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Tipos de figura geométrica ..........................................................................................................205
Entes geométricos ........................................................................................................................205
reas de figuras planas ................................................................................................................206
Medidas de capacidade ...............................................................................................................211
Matemática + ...............................................................................................................................213
Capítulo 11 – Circunferência e círculo ...................................................................................215
Para começar.................................................................................................................................215
Circunferência ...............................................................................................................................215
Posição de um ponto em relação a uma circunferência .........................................................218
O número π ...................................................................................................................................219
Círculo ............................................................................................................................................220
Posições relativas entre reta e circunferência ..........................................................................221
Posições relativas entre duas circunferências ..........................................................................225
Segmentos tangentes ..................................................................................................................229
Arco de circunferência .................................................................................................................231
Ângulo central ...............................................................................................................................231
Ângulo inscrito ..............................................................................................................................234
Ângulo de segmento ....................................................................................................................236
Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência .........................................................238
Polígonos circunscritos ................................................................................................................241
Matemática + ...............................................................................................................................245
Caderno de respostas .........................................................................................................249
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10
11Capítulo 1 — Estudo dos números
Conjuntos numéricos
Alguns subconjuntos de N 
N* , , ...={ }1 2 3 N N* .= −{ }0
Np n={ }0 2 4 2, , , ..., ...
N i n= +{ }1 3 5 2 1, , , ..., ...
P ={ }2 3 5 7 1113, , , , , ... .
Propriedades operatórias
Adição
5 3 5 3 8 8 9 21 9 21 30 30∈ ∈ → +( )= ∈ ∈ ∈ → +( )= ∈N N N N N Ne e e e. .
Se a b∈ ∈N Ne , a b+( )∈N.
Divisão
Propriedade fundamental das divisões
20 2 20 2 10
0 10 0 0 2
= ⋅
( ) ( )= ≤ <( )r
17 5 17 5 3 2
2 3 2 0 5
= ⋅ +
( ) ( )= ≤ <( )r
Algoritmo de divisão
a
(r)
b
q
a
b
q
r
10 Capítulo 1 — Estudo dos números
CAPÍTULO 1 Estudo dos números
Para começar
Os conjuntos numéricos nasceram da necessidade que a humanidade 
sentiu de contar os objetos, de ordená-los e de efetuar operações. Surgiram 
conjuntos como os números naturais, inteiros e racionais, entre outros. Alguns 
foram criados como ampliações daqueles até entãoconhecidos.
Tais conjuntos numéricos são classificados em: conjuntos dos números 
naturais (N), conjunto dos números inteiros (Z), conjunto dos números racio-
nais (Q), conjunto dos números irracionais (I), conjunto dos números reais (R) 
e conjunto dos números complexos (C).
Conjunto dos complexos
Conjunto dos reais
Conjunto dos racionais
Conjunto dos inteiros
Conjunto dos naturais
Conjunto dos irracionais
I
C
R
Q
Z
N
Conjunto dos complexos
Conjunto dos reais
Conjunto dos racionais
Conjunto dos inteiros
Conjunto dos naturais
Conjunto dos irracionais
I
C
R
Q
Z
N
Com o diagrama de Venn, fica fácil perceber a relação entre os conjuntos 
numéricos. Com o auxílio dele, podemos ilustrar a relação de inclusão entre 
esses conjuntos da seguinte maneira:
Pelo diagrama de Venn acima, observamos que:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C e I = R − Q
R = I + Q → I = r − Q
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BNCC
Objetos de conhecimento
 Notação científica.
 Potenciação e radiciação.
 O princípio multiplicativo da contagem.
 Porcentagens.
 Dízimas periódicas: fração geratriz.
 Sequências recursivas e não recursivas.
Habilidades trabalhadas no capítulo
(EF08MA01) Efetuar cálculos com po-
tências de expoentes inteiros e aplicar 
esse conhecimento na representação 
de números em notação científica.
(EF08MA02) Resolver e elaborar proble-
mas usando a relação entre potenciação 
e radiciação, para representar uma raiz 
como potência de expoente fracionário.
(EF08MA03) Resolver e elaborar proble-
mas de contagem cuja resolução envol-
va a aplicação do princípio multiplicativo.
(EF08MA04) Resolver e elaborar pro-
blemas, envolvendo cálculo de porcen-
tagens, incluindo o uso de tecnologias 
digitais.
(EF08MA05) Reconhecer e utilizar 
procedimentos para a obtenção de 
uma fração geratriz para uma dízi-
ma periódica.
(EF08MA10) Identificar a regularidade 
de uma sequência numérica ou figural 
não recursiva e construir um algoritmo 
por meio de um fluxograma que per-
mita indicar os números ou as figuras 
seguintes.
(EF08MA11) Identificar a regularidade 
de uma sequência numérica recursiva 
e construir um algoritmo por meio de 
um fluxograma que permita indicar os 
números seguintes.
 Conjunto dos números naturais.
 Sistema de numeração decimal.
 Sistemas de numeração não decimal.
 Mudança de base de um sistema de 
numeração.
 Os números naturais.
 Operações matemáticas.
 Conjunto dos números inteiros.
 Soma de Gauss: uma soma interessante.
 Conjunto dos números racionais (Q).
CONTEÚDOS CONCEITUAIS
 Identificar quando um número é natu-
ral, inteiro ou racional.
 Localizar os números naturais, inteiros 
e racionais na reta numerada.
 Representar os números racionais nas 
formas decimais.
 Extrair a raiz quadrada exata de um 
número racional.
 Resolver exercícios que envolvam os 
conjuntos.
CONTEÚDOS PROCEDIMENTAISOBJETIVOS DIDÁTICOS
 Entender o que são os conjuntos nu-
méricos e como surgiram. 
 Compreender como estão relaciona-
dos os conjuntos numéricos.
 Compreender a noção de subconjunto 
de um conjunto, assim como identificar 
o conjunto das partes.
 Revisar os conceitos, características e 
operações dos conjuntos dos números 
naturais, inteiros e racionais.
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11
11Capítulo 1 — Estudo dos números
Conjuntos numéricos
Podemos definir o conjunto dos números naturais como o conjunto formado por todos 
os números que resultam de uma contagem.
Sua representação é N, e seus elementos são N = {0, 1, 2, 3, 4...}.
Alguns subconjuntos de N 
Conjunto dos números não nulos – N* , , ...={ }1 2 3 ou N N* .= −{ }0
Conjunto dos números naturais pares – Np n={ }0 2 4 2, , , ..., ... com n ∈ N.
Conjunto dos números naturais ímpares – N i n= +{ }1 3 5 2 1, , , ..., ... com n ∈ N.
Conjunto dos números naturais primos – P ={ }2 3 5 7 1113, , , , , ... .
Propriedades operatórias
Em relação aos números naturais, temos as seguintes propriedades:
Adição
A soma de dois ou mais números naturais quaisquer será sempre um número natural.
5 3 5 3 8 8 9 21 9 21 30 30∈ ∈ → +( )= ∈ ∈ ∈ → +( )= ∈N N N N N Ne e e e. .
 Em geral, temos: Se a b∈ ∈N Ne , então a b+( )∈N.
Divisão
Se a e b são números naturais e b ≠ 0, existem, e são únicos, dois números naturais q e r, r, r
tais que:
Propriedade fundamental das divisões
Em uma divisão, o dividendo é igual ao produto do divisor, pelo quociente, somado ao resto 
quando este é maior ou igual a zero e menor que o divisor.
Exemplos:
20 2 20 2 10
0 10 0 0 2
= ⋅
( ) ( )= ≤ <( )r
17 5 17 5 3 2
2 3 2 0 5
= ⋅ +
( ) ( )= ≤ <( )r
Algoritmo de divisão
a b q r= ⋅a b= ⋅a b +q r+q r
( )r b( )r b≤ <( )≤ <r b≤ <r b( )r b≤ <r b( )0( )
a
(r)
b
q
a = dividendo
b = divisor 
q = quociente
r = resto
a) b)
10 Capítulo 1 — Estudo dos números
CAPÍTULO 1 Estudo dos números
Para começar
Os conjuntos numéricos nasceram da necessidade que a humanidade 
sentiu de contar os objetos, de ordená-los e de efetuar operações. Surgiram 
conjuntos como os números naturais, inteiros e racionais, entre outros. Alguns 
foram criados como ampliações daqueles até então conhecidos.
Tais conjuntos numéricos são classificados em: conjuntos dos números 
naturais (N), conjunto dos números inteiros (Z), conjunto dos números racio-
nais (Q), conjunto dos números irracionais (I), conjunto dos números reais (R) 
e conjunto dos números complexos (C).
Conjunto dos complexos
Conjunto dos reais
Conjunto dos racionais
Conjunto dos inteiros
Conjunto dos naturais
Conjunto dos irracionais
I
C
R
Q
Z
N
Conjunto dos complexos
Conjunto dos reais
Conjunto dos racionais
Conjunto dos inteiros
Conjunto dos naturais
Conjunto dos irracionais
I
C
R
Q
Z
N
Com o diagrama de Venn, fica fácil perceber a relação entre os conjuntos 
numéricos. Com o auxílio dele, podemos ilustrar a relação de inclusão entre 
esses conjuntos da seguinte maneira:
Pelo diagrama de Venn acima, observamos que:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C e I = R − Q
R = I + Q → I = r − Q
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 Estimular os alunos a compreende-
rem a ampliação do conceito de núme-
ros durante o uso da Matemática no 
dia a dia.
 Valorizar o uso da calculadora como 
CONTEÚDOS ATITUDINAIS
CURIOSIDADE
Os números naturais, para os discí-
pulos de Pitágoras, eram divididos em 
duas grandes categorias: masculinos e 
femininos. O número três, por exem-
plo, era masculino, ao passo que o dois 
pertencia ao conjunto dos números fe-
mininos. A unidade era mais um princí-
pio (elemento formador) do que propria-
mente um número.
O número cinco (a famosa pêntada, 
dos gregos) exprimindo a soma, ou me-
lhor, a união do primeiro número mascu-
lino (três) com o primeiro número femini-
no (dois) representava o matrimônio. 
TA AN, Malba. Os números governam o mundo 
(Folclore da Matemática). Rio de Janeiro: Ediouro, 
999. p. 9.
 Identificar as dízimas como números 
racionais.
 Resolver problemas usando a soma de 
Gauss.
mais um recurso de aprendizagem na 
busca e organização de resultados.
 Valorizar o trabalho coletivo e a troca 
de experiências dos alunos.
 Incentivar o interesse em comparar di-
ferentes métodos e processos na resolu-
ção de um problema.
 Incentivar os alunos a formarem sub-
conjuntos distintos.
 Mostrar que, apesar dos números 
diferentes, todos os subconjuntos fa-
zem parte de um mesmo universo que 
é N.
ANOTAÇÕES
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12
13Capítulo 1 — Estudo dos números
1. Bira tem entre 170 e 190 moedas. Dividin-
do-as em grupos de 12 moedas, sobram 8; 
dividindo-as em grupos de 15, sobram 11. 
Quantas moedas Bira tem?
Solução:
Utilizando o algoritmo da divisão, temos que:
n
8
12
x
 ou 
N +
+
4
0
12
1x
Se, dividindo em 15, sobram 11, então es-
tabelecemos (15 − 11 = 4), o que nos dá a 
segunda opção N + 4 = 12 (x + 1), logo N + 4 
é múltiplo de 12.
Nesse caso, N + 4 é um múltiplo de 15 ou N 
+ 4 = 15y + 11. 
Como MMC (12, 15), então N + 4 é múltiplo 
de 60, ou seja:
N + 4 = {60, 120, 180…}Em geral, N + 4 = 60 . K → N = 60 . K − 4 
Como 170 < N < 190, N + 4 = 180. 
Portanto, Bira tem 180 − 4 moedas.
Bira tem 176 moedas.
1. Na teoria dos conjuntos, usamos os símbolos ∈ ou ∉ para indicar uma relação de perti-
nência (relacionar elemento com conjunto) e os símbolos ⊂ ou ⊄para indicar uma relação de 
inclusão (relação conjunto com conjunto). Sendo N o conjunto dos números naturais, associe V 
para verdadeiro e F para falso.
a) ( ) N N*∈ b) ( ) 0 1 2 3, , , ... *{ }⊂N 
c) ( ) 7 5, ∈N d) ( ) 0{ }∈N 
e) ( )0 05, ∈N f) ( ) 3 3 6 9 11∈{ }, , , ...
g) ( ) � , , , ...0 2 4 6{ }∈N h) ( ) 0 10 20 30, , , ...{ }⊂N 
i) ( ) 1 3 5 7, , ...{ }⊂N j) ( ) 3
2
∈N 
2. Todos os números naturais pares (0, 2, 4, 6, 8...) são representados por uma sentença mate-
mática. Mostre qual expressão matemática representa essa sequência de números.
3. Todos os números naturais ímpares (1, 3, 5, 7...) são representados por uma sentença mate-
mática. Mostre qual expressão matemática representa essa sequência de números.
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12 Capítulo 1 — Estudo dos números
Tal como as operações anteriores, esta está relacionada a certas situações do tipo partir, 
repartir, fracionar, fragmentar, separar, dividir, formar grupos, etc.
A divisão também deve ser vista como a operação inversa da multiplicação.
Ou seja, se 8 5 40⋅ = , então 40 : 5 = 8 ou 40 : 8 = 5. 
Vejamos algumas noções preliminares da divisão.
 Denominação dos elementos da divisão. Denominação dos elementos da divisão.
Dividendo D Divisor d
R Quociente Q
( ) ( )
( ) ( )Resto
Assim, temos que D d Q R= ⋅ + .
Divisão exata – Dados dois números a b be com∈ ≠N 0 , define-se como divisão exata 
de a por b (ou seja, se o resto é nulo) um número c ∈ N , tal que: a : b = c. Exemplificando, temos:
48 : 16 = 3.
Divisão não exata – Resulta em um quociente aproximado.
Se efetuarmos 13 : 6, notaremos que não existe nenhum número natural que faça com que 
essa divisão seja exata, pois o resto é diferente de zero.
Logo:
13 6
1 2 2 6 1 13→ ⋅ + = ∴
= ⋅ +
D d
R Q
D d Q R
1) Não existe a divisão de um número diferente de zero por zero.
Exemplos:
5
0
3
0
= ∃= ∃ = ∃= ∃
2) Se a ≠ 0, então 0
a
=, pois 0 00 0⋅ =0 00 0a0 00 0⋅ =0 0a0 0⋅ =0 0.
3) 
a a
1
= , pois a aa a⋅ =a a1 .a a1 .a aa a⋅ =a a1 .a a⋅ =a a
) Verificamos, então, que 
0
0
 é uma indeterminação matemática, pois qualquer número multi-
plicado por zero resulta em zero, como mostrado nos exemplos acima.
Estimule os alunos a formarem conjun-
tos, identificando as sequências formadas 
por números naturais; pode-se trabalhar 
com o antecessor e o sucessor de um nú-
mero. Veja alguns exemplos: conjunto dos 
números pares, dos números ímpares, dos 
múltiplos de , dos naturais sem o zero.
Importante: lembre aos alunos que o 
zero é o único elemento no conjunto dos 
números naturais que não tem anteces-
sor. O maior resto de uma divisão é dado 
pela diferença d – 1, em que d é o divisor. 
Exemplos: na divisão por 4, o maior resto é 
 na divisão por , o maior resto é .
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Muitas das festas pagãs duravam três 
dias porque esse número era de bom au-
gúrio para os romanos. Ainda hoje con-
servamos entre nossas tradições o Car-
naval, que dura três dias.
MONTEIRO, José Nivaldo. O mistério dos números. 
Edição, .
CURIOSIDADE
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
Construir uma reta numérica no pátio 
da escola e pedir para que cada aluno re-
presente um determinado número real. 
Sendo eles mesmos os números, pode-
rão realizar atividades operacionais. 
Ex.: “Aluno, ande três casas e meia para 
a esquerda. Que número você é agora ”
ANOTAÇÕES
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13
13Capítulo 1 — Estudo dos números
1. Bira tem entre 170 e 190 moedas. Dividin-
do-as em grupos de 12 moedas, sobram 8; 
dividindo-as em grupos de 15, sobram 11. 
Quantas moedas Bira tem?
Solução:
Utilizando o algoritmo da divisão, temos que:
n
8
12
x
 ou 
N +
+
4
0
12
1x
Se, dividindo em 15, sobram 11, então es-
tabelecemos (15 − 11 = 4), o que nos dá a 
segunda opção N + 4 = 12 (x + 1), logo N + 4 
é múltiplo de 12.
Nesse caso, N + 4 é um múltiplo de 15 ou N 
+ 4 = 15y + 11. 
Como MMC (12, 15), então N + 4 é múltiplo 
de 60, ou seja:
N + 4 = {60, 120, 180…} 
Em geral, N + 4 = 60 . K → N = 60 . K − 4 
Como 170 < N < 190, N + 4 = 180. 
Portanto, Bira tem 180 − 4 moedas.
Bira tem 176 moedas.
1. Na teoria dos conjuntos, usamos os símbolos ∈ ou ∉ para indicar uma relação de perti-
nência (relacionar elemento com conjunto) e os símbolos ⊂ ou ⊄para indicar uma relação de 
inclusão (relação conjunto com conjunto). Sendo N o conjunto dos números naturais, associe V 
para verdadeiro e F para falso.
a) ( ) N N*∈ b) ( ) 0 1 2 3, , , ... *{ }⊂N 
c) ( ) 7 5, ∈N d) ( ) 0{ }∈N 
e) ( )0 05, ∈N f) ( ) 3 3 6 9 11∈{ }, , , ...
g) ( ) � , , , ...0 2 4 6{ }∈N h) ( ) 0 10 20 30, , , ...{ }⊂N 
i) ( ) 1 3 5 7, , ...{ }⊂N j) ( ) 3
2
∈N 
2. Todos os números naturais pares (0, 2, 4, 6, 8...) são representados por uma sentença mate-
mática. Mostre qual expressão matemática representa essa sequência de números.
3. Todos os números naturais ímpares (1, 3, 5, 7...) são representados por uma sentença mate-
mática. Mostre qual expressão matemática representa essa sequência de números.
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12 Capítulo 1 — Estudo dos números
8 5 40⋅ =
Dividendo D Divisor d
R Quociente Q
( ) ( )
( ) ( )Resto
D d Q R= ⋅ + .
a b be com∈ ≠N 0
c ∈ N
13 6
1 2 2 6 1 13→ ⋅ + = ∴
= ⋅ +
D d
R Q
D d Q R
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Embora alguns livros didáticos não 
citem, seria interessante refletir com os 
alunos se o número 1 é um número pri-
mo, uma vez que seu único divisor é ele 
mesmo. As opiniões são várias alguns 
autores acham que ele é primo, outros 
discordam por ele ser o elemento neutro 
da multiplicação. Fique à vontade para 
essa discussão.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
1. Se possível, utilizar a máquina de cal-
cular e perguntar ao aluno qual o resto 
de cada divisão.
a) por .
b) por .
c) por .
d) . 6 por .
Respostas:
a) .
b) .
c) .
d) .
ANOTAÇÕES
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14
15Capítulo 1 — Estudo dos números
11. A média do 1º bimestre dos alunos do colégio Aprender foi calculada da seguinte forma 
2
3
P T+ , em que P é a nota da prova e T a nota do trabalho. João tirou 7,0 na prova e 8,5 no tra-
balho; assim, sua média no 1º bimestre foi:
a) 5,0 b) 7,5 c) 7,8 d) 8,0
12. É interessante considerar a representação decimal de um número racional que se obtém 
dividindo a por b. Então, identifique cada número (Q) abaixo como exemplos referentes às de-
cimais exatas ou finitas:
a) 
1
2 b) 
5
9
 c) 2
6
 d) −5
4
 e) 75
20
Soma de Gauss: uma soma interessante
Existem situações-problema nas quais as soluções tornam-se mais simples quando já temos 
conhecimento prévio de alguns resultados.
Vejamos, agora, a demonstração de um fato que, com certeza, será de grande utilidade 
para nós.
Conta-se que um professor de Matemática pediu aos alunos de sua turma que somas-
sem todos os números naturais de 1 a 100, como forma de castigo por serem indisciplinados. 
Grande foi a surpresa desse professor quando, em pouquíssimo tempo, uma das crianças (Carl 
Friedrich Gauss) levantou-se e entregou-lhe uma folha de papel com o resultado correto e uma 
ideia simples, porém genial.
Vejamos a ideia de Gauss:
Associando as parcelas, duas a duas, começando de fora para dentro, temos:
+
+
+
S
parcelas
= +( )+ +( )+ +( )+ +( )+( )+ +( )1 100 2 99 3 98 4 97 50 51
50
...
� ������������������������������� ������������������������������
1 2 3 504... 51 ...97 98 99 100
Logo, S = 50 . 101 → S = 5.050
Podemos ver, também, a ideia de Gauss assim:
Soma de 1 a 100 → S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
Como a ordem não altera a soma, somamos, membro a membro, essas duas igualdades e 
associamosconvenientemente os termos.
Observe:
S S
S
+ = +( )+ +( )+ +( )+ + +( )+ +( )
→ ⋅ = + +
1 100 2 99 3 98 99 2 100 1
2 101 101 1
...
001 101 100 101
2100
+ + → =
⋅
∴ =...
vezes
S S� ������������ ������������ 55 050.
Matematica_2020_8A_01.indd 15 10/07/2019 09:04:52
14 Capítulo 1 — Estudo dos números
Figura 1 Figura 3Figura 2 Figura 4
5. Em um determinado site da Olimpíada de Matemática, havia o seguinte desafio: “Determine o 
menor número natural n que, ao ser dividido por 10, deixa resto 9; ao ser dividido por 9, deixa 
resto 8; ao ser dividido por 8, deixa resto 7; ... e, ao ser dividido por 2, deixa resto 1”. Descubra 
você também o valor de n.
6. Karina, a mãe de Aninha, determinou que ela fosse à feira e comprasse 3 abacaxis, 57 bananas-
-prata, 33 bananas-maçãs, 8 peras, 10 maçãs e 30 laranjas. Quantas frutas Aninha comprou?
7. A cada quatro anos, os gregos da Antiguidade, em nome dos deuses em que acreditavam, 
anunciavam o início de mais uma Olimpíada. Dessa forma, os jogos aconteceram até o ano 9 
da Era Cristã. Na Era Moderna, as Olimpíadas foram reiniciadas em 96 e, de lá até os tempos 
atuais, são realizadas de quatro em quatro anos (lembrando que em 1916, 1940 e 1944 não 
se realizaram por conta das guerras mundiais). E assim cumprem seus objetivos de exaltar o 
espírito de competição e unir os povos do mundo todo.
Se não houver mudanças nas regras de definição das datas de realização dos Jogos Olímpicos, 
é correto afirmar que em teremos esses jogos
8. Forme o número 25 usando apenas os números 3, 3, 7, 7 uma vez cada. Você pode usar as 
operações +, −, x, ÷ e também os parênteses, se achar necessário.
9. Márcio, dono de um caminhão de carga, sabe que seu caminhão pode carregar 50 sacos de 
cimento ou 400 telhas. Se forem colocados 32 sacos de cimento no caminhão, quantas telhas 
ele ainda pode carregar?
10. Considerando-se que uma certa pessoa necessita, para viver, de 50 calorias a cada período 
de 60 minutos, calcule quantas calorias essa mesma pessoa necessitará para se manter durante 
um período de 7 dias.
Preencha a tabela abaixo:
a) Quantos triângulos há na figura 
b) Explique como obter o número de palitos a partir do número de triângulos da figura na sequência.
c) Quantos palitos há na figura 
d) Qual a quantidade de triângulos da figura formada por . palitos
e) Complete a tabela:
mero de figura Número de triângulos Número de palitos
1
2
3
4
5
6
10
100
4. Abaixo, estão representadas figuras formadas por triângulos cujos lados são palitos.
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Enfatizar a multiplicação enquanto 
adição de fatores iguais, ou seja, a mul-
tiplicação é uma consequência de uma 
adição. Isso irá fixar e preparar nosso 
aluno para a divisão como uma opera-
ção inversa da multiplicação, uma vez 
que podemos perguntar quantas vezes 
um número está em outro.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Os números inteiros têm como sím-
bolo do seu conjunto o Z, sendo forma-
do pelos números negativos, os núme-
ros positivos e o zero.
No nosso cotidiano, encontramos 
com frequência os números inteiros me-
dindo a nossa temperatura, no saldo 
bancário (que pode estar negativo), no 
nível de água na represa, etc.
Com o desenho da reta numérica, po-
de-se trabalhar a compreensão e a orde-
nação, qual é o maior e o menor dos nú-
meros inteiros.
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
1–3 2–2 3–1 0
Observe dois números inteiros na 
reta numérica. O maior é sempre o que 
se encontra à direita do outro. Dados 
dois números positivos, será menor o 
que estiver mais próximo do zero; e, da-
dos dois negativos, será menor o que es-
tiver mais distante de zero.
Em nosso cotidiano, deparamo-nos 
com muitas medidas e contagens que 
são representadas por números posi-
tivos e negativos. Ao consultar o saldo 
bancário no extrato, observamos um 
saldo negativo que representa um di-
nheiro que não temos e que estamos 
devendo ao banco; quando o nível de 
água na represa está 3 metros abaixo 
do nível regular, é como se o marcador 
contasse uma quantidade de água que 
não está lá.
O conjunto dos números inteiros (Z) 
é, portanto, o conjunto dos números na-
turais acrescido dos números menores 
que zero. um conjunto infinito.
ANOTAÇÕES
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15
15Capítulo 1 — Estudo dos números
11. A média do 1º bimestre dos alunos do colégio Aprender foi calculada da seguinte forma 
2
3
P T+ , em que P é a nota da prova e T a nota do trabalho. João tirou 7,0 na prova e 8,5 no tra-
balho; assim, sua média no 1º bimestre foi:
a) 5,0 b) 7,5 c) 7,8 d) 8,0
12. É interessante considerar a representação decimal de um número racional que se obtém 
dividindo a por b. Então, identifique cada número (Q) abaixo como exemplos referentes às de-
cimais exatas ou finitas:
a) 
1
2 b) 
5
9
 c) 2
6
 d) −5
4
 e) 75
20
Soma de Gauss: uma soma interessante
Existem situações-problema nas quais as soluções tornam-se mais simples quando já temos 
conhecimento prévio de alguns resultados.
Vejamos, agora, a demonstração de um fato que, com certeza, será de grande utilidade 
para nós.
Conta-se que um professor de Matemática pediu aos alunos de sua turma que somas-
sem todos os números naturais de 1 a 100, como forma de castigo por serem indisciplinados. 
Grande foi a surpresa desse professor quando, em pouquíssimo tempo, uma das crianças (Carl 
Friedrich Gauss) levantou-se e entregou-lhe uma folha de papel com o resultado correto e uma 
ideia simples, porém genial.
Vejamos a ideia de Gauss:
Associando as parcelas, duas a duas, começando de fora para dentro, temos:
+
+
+
S
parcelas
= +( )+ +( )+ +( )+ +( )+( )+ +( )1 100 2 99 3 98 4 97 50 51
50
...
� ������������������������������� ������������������������������
1 2 3 504... 51 ...97 98 99 100
Logo, S = 50 . 101 → S = 5.050
Podemos ver, também, a ideia de Gauss assim:
Soma de 1 a 100 → S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
Como a ordem não altera a soma, somamos, membro a membro, essas duas igualdades e 
associamos convenientemente os termos.
Observe:
S S
S
+ = +( )+ +( )+ +( )+ + +( )+ +( )
→ ⋅ = + +
1 100 2 99 3 98 99 2 100 1
2 101 101 1
...
001 101 100 101
2100
+ + → =
⋅
∴ =...
vezes
S S� ������������ ������������ 55 050.
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14 Capítulo 1 — Estudo dos números
Figura 1 Figura 3Figura 2 Figura 4
5. Em um determinado site da Olimpíada de Matemática, havia o seguinte desafio: “Determine o 
menor número natural n que, ao ser dividido por 10, deixa resto 9; ao ser dividido por 9, deixa 
resto 8; ao ser dividido por 8, deixa resto 7; ... e, ao ser dividido por 2, deixa resto 1”. Descubra 
você também o valor de n.
6. Karina, a mãe de Aninha, determinou que ela fosse à feira e comprasse 3 abacaxis, 57 bananas-
-prata, 33 bananas-maçãs, 8 peras, 10 maçãs e 30 laranjas. Quantas frutas Aninha comprou?
7. A cada quatro anos, os gregos da Antiguidade, em nome dos deuses em que acreditavam, 
anunciavam o início de mais uma Olimpíada. Dessa forma, os jogos aconteceram até o ano 9 
da Era Cristã. Na Era Moderna, as Olimpíadas foram reiniciadas em 96 e, de lá até os tempos 
atuais, são realizadas de quatro em quatro anos (lembrando que em 1916, 1940 e 1944 não 
se realizaram por conta das guerras mundiais). E assim cumprem seus objetivos de exaltar o 
espírito de competição e unir os povos do mundo todo.
Se não houver mudanças nas regras de definição das datas de realização dos Jogos Olímpicos, 
é correto afirmar que em teremos esses jogos
8. Forme o número 25 usando apenas os números 3, 3, 7, 7 uma vez cada. Você pode usar as 
operações +, −, x, ÷ e também os parênteses, se achar necessário.
9. Márcio, dono de um caminhão de carga, sabe que seu caminhão pode carregar 50 sacos de 
cimento ou 400 telhas. Se forem colocados 32 sacos de cimento no caminhão, quantas telhas 
ele ainda pode carregar?
10. Considerando-se que uma certa pessoa necessita, para viver, de 50 calorias a cada período 
de 60 minutos, calcule quantascalorias essa mesma pessoa necessitará para se manter durante 
um período de 7 dias.
Preencha a tabela abaixo:
a) Quantos triângulos há na figura 
b) Explique como obter o número de palitos a partir do número de triângulos da figura na sequência.
c) Quantos palitos há na figura 
d) Qual a quantidade de triângulos da figura formada por . palitos
e) Complete a tabela:
mero de figura Número de triângulos Número de palitos
1
2
3
4
5
6
10
100
4. Abaixo, estão representadas figuras formadas por triângulos cujos lados são palitos.
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16
17Capítulo 1 — Estudo dos números
Veja:
São n + 1 pessoas. Cada uma dessas n + 1 pessoas deu n apertos de mão, pois uma pessoa aperta 
a mão de todas as outras pessoas, menos a própria mão. Isso nos daria: (n + 1) . n apertos de mão.
Acontece que, assim, cada aperto de mão ficou contado duas vezes. Logo, o número correto 
de apertos de mão é:
n n+( )⋅1
2
 
Com isso, concluímos que:
Número de apertos de mão = 1 2 3 1
1
2
+ + + + −( )+ =
⋅ +( )
... n n
n n
 
Não esqueça, então:
1 2 3 20
20 21
2
1 2 3 100
100 101
2
1 2 3 3+ + + + =
⋅( )
→ + + + + =
⋅( )
→ + + + +... ... ... 448
348 349
2
=
⋅( )
Em geral: 1 2 3
1
2
+ + + + =
⋅ +( )
... n
n n
1. Calcule as seguintes somas.
a) M = 31 + 32 + 33 + … + 500
 
Solução:
Usando a soma de Gauss, temos:
M
M
M
= + + +
= +( )+ +( )+ +( )+
+ +( )
= ⋅
31 32 500
30 1 30 2 30 3
30 470
470 30
...
...
++
⋅
= + ⋅
= +
=
470 471
2
10 100 235 471
14 100 110 685
124 785
M
M
M
.
. .
.
Logo, a soma é: 124.785.
b) S = 20 + 25 + 30 + 35 + … + 200
Solução:
Observando que cada termo tem unidades 
a mais que seu antecedente, modifiquemos 
as somas utilizando o divisor 5:
S
S
S
= + + + + + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
= ⋅ + + +
20 25 30 35 200
5 4 5 5 5 6 5 7 5 40
5 4 5 6
...
...
77 40
4 5 6 40
+ +( )
= + + + +
...
...
M
M
� ����������� �����������
Fazendo ,teemos:
M
M
M
= +( )+ +( )+ +( )+ + +( )
= ⋅ + + + + +( )
3 1 3 2 3 3 3 37
3 37 1 2 3 37
...
...
== +
⋅
= + ⋅
= + ∴ =
= ⋅( )→ = ⋅
111 37 38
2
111 37 19
111 703 814
5 5 814
M M
S M S
Então,
(( ) ∴ =S 4 070.
Logo, a soma é: 4.070.
2. Calcule o valor numérico das seguintes somas.
a) 10 + 20 + 30 + ... + 300
Solução:
Observando que cada termo tem unidades 
a mais que seu antecedente, modifiquemos 
as somas utilizando o divisor 10.
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16 Capítulo 1 — Estudo dos números
Vamos conhecer esse resultado não só para os números naturais de 1 a 100, mas de 1 até 
qualquer número natural n. Veja:
S n n n
S n n n
= + + + + −( )− −( )+
= + −( )+ −( )+ + + +





1 2 3 2 1
1 2 3 2 1
...
...
O segundo é a ordem inversa do primeiro. 
Somando, membro a membro, essas duas igualdades, teremos o termo constante (n + 1).
Logo, S S
n n n n n
n vezes+ =
+( )+ +( )+ +( )+ + +( )+ +( )1 1 1 1 1...
 
Exemplos:
Calcule a soma dos naturais de 1 a 39.
Solução: 1 2 3 39 39 40
2
780+ + + = = ⋅ =... 
Calcule a soma dos naturais de 1 a 521.
Solução: 1 2 3 521 521 522
2
135 981+ + + + = ⋅ = ⋅... 
Vejamos outra maneira de demonstrar a soma S = 1 + 2 + 3 + ... + 100.
Imagine uma sala com 101 pessoas ( , , , ... , )P P P P1 2 3 101 e que cada uma dessas pessoas cum-
primentou todas as outras uma única vez com um aperto de mão.
Usando o mesmo raciocínio de Gauss e considerando (n + 1) pessoas na sala, podemos 
contar o número de apertos de mão dados de duas maneiras diferentes:
Por um lado, número de apertos de mão = 1 + 2 + 3 + ... (n − 1) + n.
Veja:
É importante notar que, nesse caso, a partir de n, a ordem passa a ser decrescente.
Ex.: Se n = 8, então, temos 8, 7, 6, 5, 4, ..., 2, 1.
Lembrar ainda que n refere-se ao número de apertos de mão.
Por outro lado, número de apertos de mão = = + ⋅( ) .n n1
2
 
Pn – Pn+1Pn−1
Pn
Pn+1
P1
P2
P3
P4
Pn+1
�
P3
P4
P5
P6
Pn+1
�
P2
P3
P4
P5
Pn+1
�
Quantidade de apertos de mão
n n − 1 21n − 2
Matematica_2020_8A_01.indd 16 10/07/2019 09:04:53
Quando aluno, Gauss resolveu um 
problema proposto pelo professor, 
que se surpreendeu ao perceber que, 
de forma simples, seu aluno consegui-
ra encontrar a propriedade da simetria 
das progressões aritméticas, derivan-
do a fórmula da soma para uma pro-
gressão aritmética arbitrária — fórmu-
la que Gauss provavelmente descobriu 
por si próprio.
CURIOSIDADE
1. Paulo recebeu uma caixa de chocolate 
contendo 70 tabletes e deseja vendê-la 
de modo que, ao vender o último table-
te, ele obtenha a soma de todos os cho-
colates da caixa. Quanto Paulo ganhará 
com essa caixa de chocolate
Resposta: A pergunta pode ser sim-
plificada em: qual a soma dos números 
naturais de a 
1 2 3 70 70 71
2
35 71 2 485+ + + + = ⋅ = ⋅ =... . .
A civilização do Vale do Indo
Quase todas as grandes civilizações 
do passado desenvolveram-se às mar-
gens de rios. Isso aconteceu também 
com os hindus.
O Rio Indo está localizado onde hoje 
é o Paquistão, próximo à ndia atual. Em 
seu vale, há mais de . anos, foram 
construídas várias cidades, com siste-
mas de fornecimento de água e cana-
lizações de esgoto. Possuíam piscinas 
para banhos públicos e casas construí-
das com tijolos de barro. Seus habitan-
tes praticavam um comércio intenso, in-
clusive com outros povos, e possuíam 
uma linguagem escrita e um sistema 
numérico.
Entretanto, esse não era ainda o siste-
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
ma de numeração que usamos hoje. Muitos séculos se passaram até que os hindus de-
senvolvessem o sistema de numeração decimal. Ao que parece, por volta do século V, 
eles já o utilizavam.
Os hindus tiveram contato com muitas outras civilizações, influenciaram-nas e 
foram influenciados por elas. O princípio posicional, presente na numeração hindu, 
também aparece no sistema numérico babilônico, e sabemos que houve contato 
entre esses povos. A base dez, uma das características do sistema hindu, também 
era usada pelos egípcios e chineses. Isso pode ser explicado pelo fato de termos 
dez dedos nas mãos, mas, talvez, também seja devido ao intercâmbio que houve 
entre esses povos.
O zero, que é outra característica importante da numeração dos hindus, talvez 
também não seja uma criação deles. á indícios de que, na fase final da civilização ba-
bilônica, já era usado um símbolo para o nada.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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17
17Capítulo 1 — Estudo dos números
Veja:
São n + 1 pessoas. Cada uma dessas n + 1 pessoas deu n apertos de mão, pois uma pessoa aperta 
a mão de todas as outras pessoas, menos a própria mão. Isso nos daria: (n + 1) . n apertos de mão.
Acontece que, assim, cada aperto de mão ficou contado duas vezes. Logo, o número correto 
de apertos de mão é:
n n+( )⋅1
2
 
Com isso, concluímos que:
Número de apertos de mão = 1 2 3 1
1
2
+ + + + −( )+ =
⋅ +( )
... n n
n n
 
Não esqueça, então:
1 2 3 20
20 21
2
1 2 3 100
100 101
2
1 2 3 3+ + + + =
⋅( )
→ + + + + =
⋅( )
→ + + + +... ... ... 448
348 349
2
=
⋅( )
Em geral: 1 2 3
1
2
+ + + + =
⋅ +( )
... n
n n
1. Calcule as seguintes somas.
a) M = 31 + 32 + 33 + … + 500
 
Solução:
Usando a soma de Gauss, temos:
M
M
M
= + + +
= +( )+ +( )+ +( )+
+ +( )
= ⋅
31 32 500
30 1 30 2 30 3
30 470
470 30
...
...
++
⋅
= + ⋅
= +
=
470 471
2
10 100 235 471
14 100 110 685
124 785
M
M
M
.
. .
.
Logo, a soma é: 124.785.
b) S = 20 + 25 + 30 + 35 + … + 200
Solução:
Observando que cada termo tem unidades 
a mais que seu antecedente, modifiquemos 
as somas utilizando o divisor 5:
S
S
S
= + + + + + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
= ⋅ + + +
20 25 30 35 200
5 4 5 5 5 6 5 7 5 40
5 4 5 6
...
...
77 40
4 5 6 40
+ +( )
= + + + +
...
...
M
M
� ����������� �����������
Fazendo ,teemos:
M
M
M
= +( )+ +( )+ +( )+ + +( )
= ⋅ + + + + +( )
3 1 3 2 3 3 3 37
3 37 1 2 3 37
...
...
== +
⋅
= + ⋅
= + ∴ =
= ⋅( )→ = ⋅
111 37 38
2
111 37 19
111 703 814
5 5 814
M M
S M SEntão,
(( ) ∴ =S 4 070.
Logo, a soma é: 4.070.
2. Calcule o valor numérico das seguintes somas.
a) 10 + 20 + 30 + ... + 300
Solução:
Observando que cada termo tem unidades 
a mais que seu antecedente, modifiquemos 
as somas utilizando o divisor 10.
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16 Capítulo 1 — Estudo dos números
Vamos conhecer esse resultado não só para os números naturais de 1 a 100, mas de 1 até 
qualquer número natural n. Veja:
S n n n
S n n n
= + + + + −( )− −( )+
= + −( )+ −( )+ + + +





1 2 3 2 1
1 2 3 2 1
...
...
O segundo é a ordem inversa do primeiro. 
Somando, membro a membro, essas duas igualdades, teremos o termo constante (n + 1).
Logo, S S
n n n n n
n vezes+ =
+( )+ +( )+ +( )+ + +( )+ +( )1 1 1 1 1...
 
Exemplos:
Calcule a soma dos naturais de 1 a 39.
Solução: 1 2 3 39 39 40
2
780+ + + = = ⋅ =... 
Calcule a soma dos naturais de 1 a 521.
Solução: 1 2 3 521 521 522
2
135 981+ + + + = ⋅ = ⋅... 
Vejamos outra maneira de demonstrar a soma S = 1 + 2 + 3 + ... + 100.
Imagine uma sala com 101 pessoas ( , , , ... , )P P P P1 2 3 101 e que cada uma dessas pessoas cum-
primentou todas as outras uma única vez com um aperto de mão.
Usando o mesmo raciocínio de Gauss e considerando (n + 1) pessoas na sala, podemos 
contar o número de apertos de mão dados de duas maneiras diferentes:
Por um lado, número de apertos de mão = 1 + 2 + 3 + ... (n − 1) + n.
Veja:
É importante notar que, nesse caso, a partir de n, a ordem passa a ser decrescente.
Ex.: Se n = 8, então, temos 8, 7, 6, 5, 4, ..., 2, 1.
Lembrar ainda que n refere-se ao número de apertos de mão.
Por outro lado, número de apertos de mão = = + ⋅( ) .n n1
2
 
Pn – Pn+1Pn−1
Pn
Pn+1
P1
P2
P3
P4
Pn+1
�
P3
P4
P5
P6
Pn+1
�
P2
P3
P4
P5
Pn+1
�
Quantidade de apertos de mão
n n − 1 21n − 2
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18
19Capítulo 1 — Estudo dos números
Soma dos ímpares
Pelo que vimos até aqui, podemos descobrir que um número quadrado pode ser obtido 
somando-se ímpares consecutivos.
Exemplo:
Q
Q
Q
Q
Q
Q nn
1
2
3
4
5
2
1 1
4 1 3
9 1 3 5
16 1 3 5 7
25 1 3 5 7 9
= →
= → +
= → + +
= → + + +
= → + + + +
= →11 3 5 2 1+ + + + −... n
De modo geral:
Somando os n primeiros números ímpares, obte-
mos Qn, o enésimo número quadrado.
1. Determine a soma:
a) dos 15 primeiros números ímpares. 
Solução:
Sabemos que 1 + 3 + 5 ... + 2n − 1 é igual a 
n², ou seja, Qn = n
2. 
Então:
Q15 = 15
2 → Q15 = 225
b) dos 28 primeiros números ímpares. 
Solução:
Qn = n
2 → 
Q28 = 28
2 → 
Q28 = 784
Conjunto dos números inteiros (Z)
A criação do conjunto de números inteiros (Z) foi uma necessidade para realizar a adição 
e a subtração dos elementos do conjunto de números naturais, que está fundamentalmente 
relacionado com ganho (números positivos), perda ou falta (números negativos). Isto é, o con-
junto dos números inteiros é nada mais que uma ampliação do conjunto de números naturais. 
Outro fato que contribuiu para a criação desse novo conjunto numérico foi o desenvolvi-
mento de outras ciências.
Vamos enumerar os elementos do conjunto inteiro Z e seus subconjuntos:
Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3…} (inteiros) 
Z* = {…, −3, −2, −1, 1, 2, 3…} (inteiros não nulos)
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5…} (inteiros não negativos)
Z+ = { }* , , , , ...1 2 3 4 5 (inteiros estritamente positivos)
Z− = {…, −3, −2, −1, 0} (inteiros não positivos)
Z− = − − −{ }* ..., , ,3 2 1 (inteiros estritamente negativos)
Vamos escolher alguns números inteiros e representá-los na reta: 
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18 Capítulo 1 — Estudo dos números
S
S
S
= + + + +
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
= ⋅ + + +
10 20 30 300
10 1 10 2 10 3 10 30
10 1 2 3
...
...
...++( )30
 
Fazendo M = 1 + 2 + 3 + … + 30, temos: 
M M= ⋅ → =30 31
2
465 
Então:
S M S S= ⋅ → = ⋅ → =10 10 465 4 650.
Resposta: 4.650
b) E = 22 + 27 + 32 + 37 + ... + 202
Solução:
E
E
= +( )+ +( )+ +( )+ +( )+
+ +( )
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
20 2 25 2 30 2 35 2
200 2
5 4 5 5 5 6 5 7
...
++ + ⋅( )+
+ + +( )
...
...
5 40
2 2 2
37 vezes
� ������� �������
 
Note que temos 40 − 4 + 1 = 37 pares de 
parênteses e, em cada par de parênteses, 
temos um 2.
E
M
= ⋅ + + + +( )+ ⋅5 4 5 6 40 37 2...� ���������� ���������� 
Se M = 814, como vimos no Exercício 1, na 
letra b, então:
E E= ⋅ + → =5 814 74 4 144. 
Resposta: 4.144
13. Calcule a soma dos 70 primeiros números naturais não nulos.
14. Considere a sequência (40, 44, 48 ..., 280), todos múltiplos de 4, a partir de 40. Nessas con-
siderações, qual é a soma S = 40 + 44 + 48 + ... + 280?
Números quadrados perfeitos. 
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 
 
1 
(1 . 1) 4 
(2 . 2) 9
(3 . 3) 16 
(4 . 4) 25 
 (5 . 5)
Vamos fazer uma tabela dessas composições:
Então, o sexto número quadrado, Q6, é igual a 
25 + 11 36.
Q1 = 1
Q2 = 4 = 1 + 3
Q3 = 9 = 4 + 5
Q4 = 16 = 9 + 7
Q5 = 25 = 16 + 9
Calendário no templo de Karnak, em Luxor, Egito. Nele, é possível 
identificar os símbolos referentes à unidade (I) e à dezena (∩) .
So
m
po
l/
Sh
ut
te
rs
to
ck
.c
om
Matematica_2020_8A_01.indd 18 10/07/2019 09:04:57
Logo quando os homens começa-
ram a domesticar os animais, come-
çaram também a sentir a necessidade 
de expressar, em palavras ou com si-
nais, quantas ovelhas ou quantos cava-
los possuíam. Foi assim, para controlar 
os rebanhos e contá-los, que os homens 
inventaram os números naturais cujos 
símbolos evoluíram ao longo da história.
Mas os números naturais não satisfa-
zem todas as necessidades que os proble-
mas cotidianos colocam para a Matemáti-
ca. Numa consulta bancária, por exemplo, 
não basta a informação de que temos 200 
reais na conta, sem saber se o saldo é posi-
tivo ou negativo. De situações como essa, 
percebeu-se a necessidade da criação dos 
números negativos, que, juntamente com 
os positivos, formam os números inteiros.
Professor, faça os exercícios para que os alunos possam tirar as dúvidas e ficar 
mais seguros em relação ao conteúdo.
Divida a turma em grupos de ou alunos. Entregue situações a cada grupo. 
Eles deverão discutir, analisar, responder e justificar cada pergunta feita. Após o tem-
po estabelecido, realize uma plenária para discutir cada questão. importante, antes 
dessa atividade, apresentar as regras, o contrato pedagógico da atividade. 
Nessas questões, deve-se estimular os alunos a testarem números, a fim de faci-
litar a visualização das respostas.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
Cálculo mental, cálculo 
rápido!
1. A nossa soma vale e a nossa dife-
rença . Quem somos
Resposta: e .
2. Somos três números consecutivos e a 
nossa soma é . Quem somos
Resposta: , 6 e .
3. A soma dos meus dois algarismos é 9 
e o produto deles é . Quem somos
Resposta: ou .
DESAFIO
ANOTAÇÕES
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 18 10/07/2019 15:40:07
19
19Capítulo 1 — Estudo dos números
Soma dos ímpares
Pelo que vimos até aqui, podemos descobrir que um número quadrado pode ser obtido 
somando-se ímpares consecutivos.
Exemplo:
Q
Q
Q
Q
Q
Q nn
1
2
3
4
5
2
1 1
4 1 3
9 1 3 5
16 1 3 5 7
25 1 3 5 7 9
= →
= → +
= → + +
= → + + +
= → + + + +
= →11 3 5 2 1+ + + + −... n
De modo geral:
Somando os n primeiros números ímpares, obte-
mos Qn, o enésimo número quadrado.
1. Determine a soma:
a) dos 15 primeiros números ímpares. 
Solução:
Sabemos que 1 + 3 + 5 ... + 2n − 1 é igual a 
n², ou seja, Qn = n
2. 
Então:
Q15 = 15
2 → Q15 = 225
b) dos 28 primeiros números ímpares. 
Solução:
Qn = n
2 → 
Q28 = 28
2 → 
Q28 = 784
Conjunto dos números inteiros (Z)
A criação do conjunto de números inteiros (Z) foi uma necessidade para realizar a adição 
e a subtração dos elementos do conjunto de números naturais, que está fundamentalmente 
relacionado com ganho (números positivos), perda ou falta (números negativos). Isto é, o con-
junto dos números inteiros é nada mais que uma ampliação do conjunto de números naturais.Outro fato que contribuiu para a criação desse novo conjunto numérico foi o desenvolvi-
mento de outras ciências.
Vamos enumerar os elementos do conjunto inteiro Z e seus subconjuntos:
Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3…} (inteiros) 
Z* = {…, −3, −2, −1, 1, 2, 3…} (inteiros não nulos)
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5…} (inteiros não negativos)
Z+ = { }* , , , , ...1 2 3 4 5 (inteiros estritamente positivos)
Z− = {…, −3, −2, −1, 0} (inteiros não positivos)
Z− = − − −{ }* ..., , ,3 2 1 (inteiros estritamente negativos)
Vamos escolher alguns números inteiros e representá-los na reta: 
Matematica_2020_8A_01.indd 19 10/07/2019 09:04:57
18 Capítulo 1 — Estudo dos números
S
S
S
= + + + +
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
= ⋅ + + +
10 20 30 300
10 1 10 2 10 3 10 30
10 1 2 3
...
...
...++( )30
 
Fazendo M = 1 + 2 + 3 + … + 30, temos: 
M M= ⋅ → =30 31
2
465 
Então:
S M S S= ⋅ → = ⋅ → =10 10 465 4 650.
Resposta: 4.650
b) E = 22 + 27 + 32 + 37 + ... + 202
Solução:
E
E
= +( )+ +( )+ +( )+ +( )+
+ +( )
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
20 2 25 2 30 2 35 2
200 2
5 4 5 5 5 6 5 7
...
++ + ⋅( )+
+ + +( )
...
...
5 40
2 2 2
37 vezes
� ������� �������
 
Note que temos 40 − 4 + 1 = 37 pares de 
parênteses e, em cada par de parênteses, 
temos um 2.
E
M
= ⋅ + + + +( )+ ⋅5 4 5 6 40 37 2...� ���������� ���������� 
Se M = 814, como vimos no Exercício 1, na 
letra b, então:
E E= ⋅ + → =5 814 74 4 144. 
Resposta: 4.144
13. Calcule a soma dos 70 primeiros números naturais não nulos.
14. Considere a sequência (40, 44, 48 ..., 280), todos múltiplos de 4, a partir de 40. Nessas con-
siderações, qual é a soma S = 40 + 44 + 48 + ... + 280?
Números quadrados perfeitos. 
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 
 
1 
(1 . 1) 4 
(2 . 2) 9
(3 . 3) 16 
(4 . 4) 25 
 (5 . 5)
Vamos fazer uma tabela dessas composições:
Então, o sexto número quadrado, Q6, é igual a 
25 + 11 36.
Q1 = 1
Q2 = 4 = 1 + 3
Q3 = 9 = 4 + 5
Q4 = 16 = 9 + 7
Q5 = 25 = 16 + 9
Calendário no templo de Karnak, em Luxor, Egito. Nele, é possível 
identificar os símbolos referentes à unidade (I) e à dezena (∩) .
So
m
po
l/
Sh
ut
te
rs
to
ck
.c
om
Matematica_2020_8A_01.indd 18 10/07/2019 09:04:57
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 19 10/07/2019 15:40:07
20
21Capítulo 1 — Estudo dos números
Multiplicação dos números inteiros (Z) 
2 3 2 3∈ ∈ → ⋅( )∈Z Z Ze
5 4 5 4∈ ∈ → ⋅( )∈Z Z Ze
Regra de sinais na multiplicação e divisão de inteiros
Sinais iguais Sinais diferentes
Divisão dos números inteiros (Z) 
6 4∈ ∈Z Ze 6 4 6
4
:( )= ∉ Z
8 2 8 2 8
2
∈ ∈ ( )= ∈Z Z Ze , :
1. Solução:
Prova:
Sendo A e B dois números naturais ímpares 
quaisquer, temos:
A
K
2
1
, isto é, A = 2k + 1, em que k ∈ Z.
B
q
2
1
, isto é, B = 2q + 1, em que é q ∈ Z.
Assim:
A + B = (2k + 1) + (2q + 1)
A + B = 2 . (k + q + 1)
Fazendo k + q + 1 = m, então m ∈ Z. Ficamos 
com: A + B = 2 . m, que é par, pois A + B é 
múltiplo de 2.
20 Capítulo 1 — Estudo dos números
–3 –2 –1 0 +1 +2 +3
Notemos que:
 À direita do zero, posicionam-se os números inteiros positivos. À direita do zero, posicionam-se os números inteiros positivos.
 À esquerda do zero, posicionam-se os números inteiros negativos. À esquerda do zero, posicionam-se os números inteiros negativos.
Sendo o conjunto Z uma ampliação do conjunto N, então todo número natural é também 
um número inteiro, e, consequentementeconsequentemente, N é um subconjunto de Z.
Z é a inicial da palavra Zahl, que significa Zahl, que significa Zahl
número em alemão.
Z também é a primeira letra do sobrenome 
do matemático Erneste Zermelo (1871–1955), 
que se dedicou ao estudo dos números inteiros.
Com relação às operações básicas e ao conjunto dos números (Z), temos as seguintes 
propriedades a considerar:
–5
–8
–1
–10
–2 –3
–15
–30
0
3
1
2
3015
N
Z
Veja: N ⊂ Z.
 Adição dos números inteiros (Z)
A soma de dois ou mais números inteiros quaisquer sempre será um número inteiro.
Exemplo:
8 5 8 5∈ ∈ → +( )∈Z Z Z
− ∈ − ∈ → − + −( )( )∈4 3 4 3Z Z Ze
Subtração dos números inteiros (Z)
A diferença de dois ou mais números inteiros quaisquer sempre será um número inteiro.
Exemplo:
− ∈ − ∈ → − − −( )( )∈7 10 7 10Z Z Ze
8 5 8 5∈ ∈ → −( )∈Z Z Ze
Na adição e subtração de números inteiros com sinais iguais, conserva-se o sinal. Para nú-
meros de sinais diferentes, subtrai-se o menor termo do maior e mantém-se o sinal do número 
de maior valor absoluto.
Sinais diferentes
+ + +++
+ ++ diminuir e manter o sinal do maior valor absoluto.
Multiplicações 
surpreendentes
1. Calcule e desafie os alunos a encon-
trarem outras multiplicações, como as 
seguintes:
1 × 8 + 1 = 9.
12 × 8 + 2 = 9 .
123 × 8 + 3 = 9 .
1 × 9 + 2 = .
12 × 9 + 3 = .
123 × 9 + 4 = . .
9 × 9 + 7 = .
98 × 9 + 6 = .
987 × 9 + 5 = . .
1 × 1 = .
11 × 11 = .
DESAFIO
2. Descubra o valor de cada letra.
Dica: cada letra assume um único valor, 
de (zero) a 9, conforme o modelo.
NOVE
TRÊS
DOZE
+
2.185
4.950
7.135
+
E O T D N V
5 1 4 7
R S Z
Resposta:
As primeiras moedas cunhadas 
no Brasil entraram em circulação nos 
anos 6 , 6 6 e 6 . Os holande-
ses, que controlavam Pernambuco, fi-
zeram as moedas para o pagamento 
de seus soldados.
ANOTAÇÕES
CURIOSIDADE
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 20 10/07/2019 15:40:08
21
21Capítulo 1 — Estudo dos números
Multiplicação dos números inteiros (Z) 
O produto de dois ou mais números inteiros quaisquer sempre será um número inteiro. 
Exemplo:
2 3 2 3∈ ∈ → ⋅( )∈Z Z Ze
5 4 5 4∈ ∈ → ⋅( )∈Z Z Ze
Regra de sinais na multiplicação e divisão de inteiros
Sinais iguais
Resultado positivo
+ + +.
+.
Sinais diferentes
Resultado negativo
+.
+ .
Divisão dos números inteiros (Z) 
A divisão não é fechada em Z, pois nem sempre é possível nesse conjunto.
Exemplo:
6 4∈ ∈Z Ze , porém 6 4 6
4
:( )= ∉ Z
8 2 8 2 8
2
∈ ∈ ( )= ∈Z Z Ze , :
1. Prove que a soma de dois números intei-
ros ímpares é par. Observe este exemplo 
numérico:
15 = 2 . 7 + 1 e 23 = 2 . 11 + 1 são números 
ímpares, pois deixam restos iguais a 1 ao 
serem divididos por 2 e são tais que:
15 + 23 = (2 . 7 + 1) + ( 2 . 11 + 1)
15 + 23 = 2 . 7 + 2 . 11 + 2, em que, colocando 
o 2 em destaque, obtemos:
15 + 23 = 2(7 + 11 + 1)
Como 7 + 11 + 1 = 19 ∈ Z, temos que 15 +
23 = 2 . 19 é par, pois é múltiplo de 2.
Solução:
Prova:
Sendo A e B dois números naturais ímpares 
quaisquer, temos:
A
K
2
1
, isto é, A = 2k + 1, em que k ∈ Z.
B
q
2
1
, isto é, B = 2q + 1, em que é q ∈ Z.
Assim:
A + B = (2k + 1) + (2q + 1)
A + B = 2 . (k + q + 1)
Fazendo k + q + 1 = m, então m ∈ Z. Ficamos 
com: A + B = 2 . m, que é par, pois A + B é 
múltiplo de 2.
20 Capítulo 1 — Estudo dos números
 Adição dos números inteiros (Z)
8 5 8 5∈ ∈ → +( )∈Z Z Z
− ∈ − ∈ → − + −( )( )∈4 3 4 3Z Z Ze
Subtração dos números inteiros (Z)
− ∈ − ∈ → − − −( )( )∈7 10 7 10Z Z Ze
8 5 8 5∈ ∈ → −( )∈Z Z Ze
Sinais diferentes
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 21 10/07/2019 15:40:09
22
23Capítulo 1 — Estudo dos números
22. Marina perguntou à sua irmã qual a soma dos 20 primeiros números ímpares naturais. 
Marina respondeu:
a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500
23. Ana escreveu os 25 primeiros números ímpares e efetuou a soma dos números a partir do 
décimo primeiro termo da sequência. Qual foi a soma obtida?
24. Márcia perguntou à sua irmã qual a soma dos algarismos que representa a soma dos 21 
primeiros números ímpares. Qual foi a resposta que Márcia obteve?
25. Considere o conjunto dos números ímpares. correto afirmar que, se excluirmos os dois 
primeiros, a soma dos 6 primeiros números ímpares é Justifique sua resposta.
26. Identifique como racional ou irracional cada um dos números a seguir:
a) 6,25 b) 36 c) , ... d) 30 e) , 
f) 5,02 g) 5
7
 h) 6, 6 66 666 ... i) j) ,
Subtração
A diferença entre dois números naturais a e b (a − b) é igual a um número natural se, e 
somente se,a b≥ . 
15 9 15 9∈ ∈ → −( )∈N N Ne , pois 15 > 9
8 20 8 20∈ ∈ → −( )∉N N Ne , pois 8 < 20 
Portanto, a diferença entre dois números naturais nem sempre será um número natural.
A subtração em N só resultanoutro número natural se o minuendo for maior que o subtraendo.
Multiplicação
O produto de dois ou mais números naturais quaisquer será sempre um número natural.
4 9 4 9
15 6 15 6
∈ ∈ → ⋅( )∈
∈ ∈ → ⋅( )∈
N N N
N N N
e
e 
Em geral, temos:
Se a b a b∈ ∈ → ⋅( ) ∈N N Ne 
Conjunto dos números racionais (Q)
No Egito Antigo, durante as inundações do Rio Nilo, as terras que ficavam submersas rece-
biam muitos nutrientes, tornando-se muito boas para a agricultura. Quando as águas baixavam, 
era necessário remarcar os limites entre os lotes de cada proprietário. Esse trabalho de medição 
e cálculo era feito pelos estiradores de corda.
Matematica_2020_8A_01.indd 23 10/07/2019 09:05:03
22 Capítulo 1 — Estudo dos números
15. Complete as sentenças a seguir com os símbolos apropriados (pertinência, não pertinência, 
continência, não continência, contido e não contido) para torná-las todas verdadeiras.
a) 12 Z+ b) −11 Z− c) z* z d) Z+ N e) Z N
16. (Mackenzie) Na igualdade 2x + y² = 8, com x e y inteiros e positivos, se x assumir o menor 
valor possível, então y estará no intervalo:
a) [1, 2[ b) [2, 3[ c) [3, 4[ d) [4, 5[ e) [5, 6[
17. (Fuvest) Se x e y são dois números inteiros estritamente positivos e consecutivos, qual dos 
números abaixo é necessariamente um inteiro ímpar?
a) 2x + 3y b) 3x + 2y c) xy + 1 d) 2xy + 2 e) x + y + 1
18. ( nicamp) Em uma agência bancária, caixas atendem os clientes em fila única. Suponha 
que o atendimento de cada cliente demore exatamente 3 minutos e que o caixa 1 atenda o 
primeiro da fila ao mesmo tempo que o caixa atenda o segundo o caixa , o terceiro e assim 
sucessivamente. 
a) E em que caixa será atendido o 6 º cliente da fila
b) Quantos minutos depois da abertura dos caixas será iniciado o atendimento desse mesmo 
68º cliente?
19. (UEL) Considere dois números inteiros, a e b, consecutivos e positivos. Qual das expressões 
abaixo corresponde, necessariamente, a um número par?
a) a + b b) 1 + ab c) 2 + a + b d) 2a + b e) 1 + a + b
?
–10 –8+15
**
–5 –4+2–3
20. A figura a seguir tem um “segredo”. Descubra esse segredo e dê o número inteiro que deve 
estar no quadrinho que está no topo.
21. Que número inteiro se deve colocar no lugar de para que sejam verdadeiras as igualdades?
a) . (+2) = −6 b) (−5) . : = −5 c) ( + 3) . (+2) = −10
Matematica_2020_8A_01.indd 22 10/07/2019 09:05:01
O algoritmo de Kaprekar, 
matemático indiano
 Considere um número inteiro, . 9 , 
por exemplo, e calcule como se segue:
CURIOSIDADE
k
k
k
5 294 9 542 2 459 7 083
7 083 8 730 0 378 8 352
8 35
. . . .
( . ) . . .
( .
( )= − =
= − =
22 8 532 2 358 6 174
6 174
) . . .
( . ) ?
= − =
=k
Resposta: .6 (o maior número) – 
. 6 (o menor número) = 6. .
Peça para efetuarem esses cálcu-
los com outros números e para formu-
larem hipóteses sobre os diferentes ca-
sos possíveis.
 Você sabia que pode utilizar os dedos 
para realizar multiplicações entre nú-
meros de 6 a Para isso, é necessário 
identificar os dedos da seguinte forma:
10 10
889 977
6 6
Por exemplo, para calcular 8 × 9, en-
costa-se o dedo equivalente ao 8 no 
dedo equivalente ao 9 na outra mão, 
como mostra a figura.
8 9
O resultado será um número de dois 
dígitos, em que o dígito das dezenas 
será igual à soma dos dedos que estive-
rem abaixo (incluindo os dedos que es-
tão em contato), e o dígito das unidades 
será a multiplicação dos dedos que es-
tiverem acima. A figura ao lado ilustra a 
multiplicação.
8
2 × 1 = 2 unidades
3 + 4 = 7 dezenas
9
ANOTAÇÕES
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 22 10/07/2019 15:40:10
23
23Capítulo 1 — Estudo dos números
22. Marina perguntou à sua irmã qual a soma dos 20 primeiros números ímpares naturais. 
Marina respondeu:
a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500
23. Ana escreveu os 25 primeiros números ímpares e efetuou a soma dos números a partir do 
décimo primeiro termo da sequência. Qual foi a soma obtida?
24. Márcia perguntou à sua irmã qual a soma dos algarismos que representa a soma dos 21 
primeiros números ímpares. Qual foi a resposta que Márcia obteve?
25. Considere o conjunto dos números ímpares. correto afirmar que, se excluirmos os dois 
primeiros, a soma dos 6 primeiros números ímpares é Justifique sua resposta.
26. Identifique como racional ou irracional cada um dos números a seguir:
a) 6,25 b) 36 c) , ... d) 30 e) , 
f) 5,02 g) 5
7
 h) 6, 6 66 666 ... i) j) ,
Subtração
A diferença entre dois números naturais a e b (a − b) é igual a um número natural se, e 
somente se,a b≥ . 
15 9 15 9∈ ∈ → −( )∈N N Ne , pois 15 > 9
8 20 8 20∈ ∈ → −( )∉N N Ne , pois 8 < 20 
Portanto, a diferença entre dois números naturais nem sempre será um número natural.
A subtração em N só resulta noutro número natural se o minuendo for maior que o subtraendo.
Multiplicação
O produto de dois ou mais números naturais quaisquer será sempre um número natural.
4 9 4 9
15 6 15 6
∈ ∈ → ⋅( )∈
∈ ∈ → ⋅( )∈
N N N
N N N
e
e 
Em geral, temos:
Se a b a b∈ ∈ → ⋅( ) ∈N N Ne 
Conjunto dos números racionais (Q)
No Egito Antigo, durante as inundações do Rio Nilo, as terras que ficavam submersas rece-
biam muitos nutrientes, tornando-se muito boas para a agricultura. Quando as águas baixavam, 
era necessário remarcar os limites entre os lotes de cada proprietário. Esse trabalho de medição 
e cálculo era feito pelos estiradores de corda.
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22 Capítulo 1 — Estudo dos números
15. Complete as sentenças a seguir com os símbolos apropriados (pertinência, não pertinência, 
continência, não continência, contido e não contido) para torná-las todas verdadeiras.
a) 12 Z+ b) −11 Z− c) z* z d) Z+ N e) Z N
16. (Mackenzie) Na igualdade 2x + y² = 8, com x e y inteiros e positivos, se x assumir o menor 
valor possível, então y estará no intervalo:
a) [1, 2[ b) [2, 3[ c) [3, 4[ d) [4, 5[ e) [5, 6[
17. (Fuvest) Se x e y são dois números inteiros estritamente positivos e consecutivos, qual dos 
números abaixo é necessariamente um inteiro ímpar?
a) 2x + 3y b) 3x + 2y c) xy + 1 d) 2xy + 2 e) x + y + 1
18. ( nicamp) Em uma agência bancária, caixas atendem os clientes em fila única. Suponha 
que o atendimento de cada cliente demore exatamente 3 minutos e que o caixa 1 atenda o 
primeiro da fila ao mesmo tempo que o caixa atenda o segundo o caixa , o terceiro e assim 
sucessivamente. 
a) E em que caixa será atendido o 6 º cliente da fila
b) Quantos minutos depois da abertura dos caixas será iniciado o atendimento desse mesmo 
68º cliente?
19. (UEL) Considere dois números inteiros, a e b, consecutivos e positivos. Qual das expressões 
abaixo corresponde, necessariamente, a um número par?
a) a + b b) 1 + ab c) 2 + a + b d) 2a + b e) 1 + a + b
?
–10 –8+15
**
–5 –4+2–3
20. A figura a seguir tem um “segredo”. Descubra esse segredo e dê o número inteiro que deve 
estar no quadrinho que está no topo.
21. Que número inteiro se deve colocar no lugar de para que sejam verdadeiras as igualdades?
a) . (+2) = −6 b) (−5) . : = −5 c) ( + 3) . (+2) = −10
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24
25Capítulo 1 — Estudo dos números
Os números decimais correspondentes foram obtidos dividindo-se o numerador pelo 
denominador e são exatos. No entanto, nem toda fração gera um decimal exato. Ao dividir o 
numerador pelo denominador de uma fração ordinária, podem acontecer dois casos.
3
4
75
100
0 75
30 4
20 0 75
0
= = ,
,
1o caso: a divisão é exata
Neste caso, a fração equivale a uma fração decimal e, portanto, dá origem a um decimal 
exato ou uma dí ima finita.
Exemplos:
a) b) 1
8
125
1 000
0 125
10 8
20 0 125
40
0
= =
( )
.
,
,
2
3
0 666 0 6
20 3
20 0 666
2
= , ... ,
, ...
ou 25
18
13888 138
25 18
70 13888
= , ... ,
, ...
ou
2o caso: a divisão não é exata
Nesse caso, a fração dá origem a uma dízima periódica.
Exemplos:
a) b)(período 6) (período 38)
56
11
5090909 5 09= =, ... ,e) (período 09)
7
3
2 333 2 3= =, ... , − =− =−
25
6
4 1666 4 16, ... ,c) d)(período 3) (período 16)
Em uma dízima periódica, chamamos de:
 Período (P): o algarismo ou grupo de algarismos que se repete indefinidamente na parte 
decimal.
 Parte não periódica ou anteperíodo (A): o algarismo ou grupo de algarismos que apa-
rece logo após a vírgula e que não se repete. Uma dízima periódica pode ou não apresentar 
parte não periódica.
 Parte inteira (I): o algarismo ou grupo de algarismos que antecede a vírgula.
Propriedades dos números racionais
No conjunto dos números racionais, valem as seguintes propriedades:
Soma dos números racionais
A soma de dois números racionais quaisquer é um número racional.
Matematica_2020_8A_01.indd 25 10/07/2019 09:05:07
24 Capítulo 1 — Estudo dos números
efini o
Número racional é todo número que pode ser escrito na forma de uma fração p
q
, com 
p q∈ ∈Z Ze * , ou seja:
Q ZQ ZQ Z= =Q Z∈ ∈

Q ZQ ZQ Z= =Q ZQ Z= =Q Z
Q ZQ ZQ ZQ ZQ ZQ Z









xQ ZxQ ZQ Z= =Q ZxQ Z= =Q Z
p
Q Z
p
Q Z
q
p qQ Zp qQ Z∈ ∈p q∈ ∈Q Z∈ ∈Q Zp qQ Z∈ ∈Q Z e *Ze *Z∈ ∈e *∈ ∈p qe *p q∈ ∈p q∈ ∈e *∈ ∈p q∈ ∈
São, portanto, números racionais:
a) Qualquer número inteiro
Exemplos:
0 0
1
2 2
1
5 5
1
= = − =
−
Em geral, os inteiros podem assumir a forma a
b
, em que a b∈ ∈Z Z, * e a é múltiplo de b.
b) Qualquer decimal exato (numerais que apresentam um número finito de algarismos 
decimais diferentes de zero).
Exemplos:
2 1 21
10
0 0001 1
10 000
3 454545 3 454 545
106
, ,
.
, . .= − = − =
c) Qualquer fração de numerador inteiro e denominador inteiro não nulo, obviamente.
Exemplos:
−
1
4
3
15
2 122
990
.
d) Qualquer decimal periódico (numerais formados por infinitos algarismos decimais que 
se repetem periodicamente).
Exemplos:
0 3333 3
9
0 3, ... ,= ou (período 3)
− =− −0 313131 31
99
0 31, ... ,ou (período 31)
4 1666 25
6
4 16, ... ,= = (período 6)
Por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um núme-
ro inteiro de vezes na corda estirada. Por esse motivo, era necessária a utilização das frações.
Fração decimal e dízima periódica
Toda fração de numerador inteiro e denominador igual a uma potência de 10 é uma fração 
decimal. Observe as seguintes frações decimais com seus respectivos correspondentes decimais:
17
10
17 31
1 000
0 031 21
10
0 00000021
8
= = =,
.
, ,
A divisão de dois números inteiros 
resulta nos números racionais. Por meio 
de uma fração, podemos representar 
um número racional, sendo escrito na 
forma p
q
 em que p e q são números in-
teiros e q deve ser diferente de zero, po-
dendo também ser representado na for-
ma decimal. Todo racional é o quociente 
da divisão de dois inteiros.
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
Q =
=
≠










x x
p
q
p e
q
q
,
inteiros
sendo
0

Qual o próximo número da sequên-
cia , 9, 6, , ...
Resposta: .
77, 7 × 7 = 49; 4 × 9 = 6 × 6 = 18; 1 
× 8 = .
DESAFIO
Professor, você pode conduzir a aula 
escrevendo duas frações (números ra-
cionais). Veja os exemplos:
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
7
5
8
12
e
Solicite aos alunos que calculem e 
classifiquem as respectivas dízimas, po-
dendo utilizar a máquina de calcular. No 
primeiro caso, a resposta é 1,4, tratando-
-se de uma dízima finita logo, de um nú-
mero racional. No segundo caso, a res-
posta é ,666..., sem dúvida, uma dízima 
infinita periódica e, portanto, um núme-
ro racional.
Durante o desenvolvimento da ati-
vidade, procure orientar os alunos para 
que, no fim, sejam capazes de reconhe-
cer os números racionais como dízimas.
ANOTAÇÕES
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 24 10/07/2019 15:40:12
25
25Capítulo 1 — Estudo dos números
Os números decimais correspondentes foram obtidos dividindo-se o numerador pelo 
denominador e são exatos. No entanto, nem toda fração gera um decimal exato. Ao dividir o 
numerador pelo denominador de uma fração ordinária, podem acontecer dois casos.
3
4
75
100
0 75
30 4
20 0 75
0
= = ,
,
1o caso: a divisão é exata
Neste caso, a fração equivale a uma fração decimal e, portanto, dá origem a um decimal 
exato ou uma dí ima finita.
Exemplos:
a) b) 1
8
125
1 000
0 125
10 8
20 0 125
40
0
= =
( )
.
,
,
2
3
0 666 0 6
20 3
20 0 666
2
= , ... ,
, ...
ou 25
18
13888 138
25 18
70 13888
= , ... ,
, ...
ou
2o caso: a divisão não é exata
Nesse caso, a fração dá origem a uma dízima periódica.
Exemplos:
a) b)(período 6) (período 38)
56
11
5 090909 5 09= =, ... ,e) (período 09)
7
3
2 333 2 3= =, ... , − =− =−
25
6
4 1666 4 16, ... ,c) d)(período 3) (período 16)
Em uma dízima periódica, chamamos de:
 Período (P): o algarismo ou grupo de algarismos que se repete indefinidamente na parte 
decimal.
 Parte não periódica ou anteperíodo (A): o algarismo ou grupo de algarismos que apa-
rece logo após a vírgula e que não se repete. Uma dízima periódica pode ou não apresentar 
parte não periódica.
 Parte inteira (I): o algarismo ou grupo de algarismos que antecede a vírgula.
Propriedades dos números racionais
No conjunto dos números racionais, valem as seguintes propriedades:
Soma dos números racionais
A soma de dois números racionais quaisquer é um número racional.
Matematica_2020_8A_01.indd 25 10/07/2019 09:05:07
24 Capítulo 1 — Estudo dos números
efini o
p
qp q∈ ∈Z Ze *
0 0
1
2 2
1
5 5
1
= = − =
−
a
b
a b∈ ∈Z Z, *
2 1 21
10
0 0001 1
10 000
3 454545 3 454 545
106
, ,
.
, . .= − = − =
−
1
4
3
15
2 122
990
.
0 3333 3
9
0 3, ... ,= ou
− =− −0 313131 31
99
0 31, ... ,ou
4 1666 25
6
4 16, ... ,= =
Fração decimal e dízima periódica
17
10
17 31
1 000
0 031 21
10
0 00000021
8
= = =,
.
, ,
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 25 10/07/2019 15:40:12
26
27Capítulo 1 — Estudo dos números
a) b)
c) d)
33. 3
2
Multiplicação dos números racionais
Divisão dos números racionais
Dízima periódica e fração geratriz
11
6 11
6
11
6
26 Capítulo 1 — Estudo dos números
Exemplo:
racional racional racional
=+
2
3
5+ =5+ =5 17
3
Subtração dos números racionais
A diferença entre dois números racionais quaisquer é um número racional. 
Exemplo:
racional racional racional
=−3 0,8 2,2
27. Determine o quociente até três casas decimais.
a) 2
7
 b) 7
9
 
c) 5
13
 d) 17
9
28. Multiplique o resultado obtido na questão anterior por:
a) 7 b) 9 c) 13 d) 9
29. Na loja de Seu Manoel, via-se o cartaz: A cada 2
3
, ganhe 1
3
. correto afirmar que essa pro-
moção é do tipo leve 3, pague 2?
30. Numa gincana escolar, um dos desafios era chamado mortemática, que consistia em uma 
corrida durante a qual eram apresentadas operações matemáticas que os alunos deveriam 
resolver. A expressão 1 2
3
2 1
3
2 5+





+ − +





+
 fez parte do desafio, e a solução encontrada foi 
um número racional. Ao final da prova, entre os alunos, surgiu o seguinte questionamento: qual 
número decimal corresponde ao número racional apresentado como resposta à expressão?
31. Para encher um álbum de figurinhas, arina contribuiu com 1
6
das figurinhas, enquanto Cristi-
na contribuiu com 3
4
das figurinhas. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram
32. Dois terços da população de um município correspondem a 36.000 habitantes. Pode-se 
afirmar que o número de habitantes nesse município é:
Os números da vida
O número persegue o homem em to-
dos os instantes da vida. O número pa-
rece surgir e envolve-nos como o ar que 
respiramos ou a luz que nos ilumina. Não 
é possível a criatura humana libertar-se 
dos grilhões da Aritmética. O famoso pen-
samento platônico — “Deus geometrizou 
a Terra e o Céu” — foi parodiado pelo ma-
temático alemão Carlos Gustavo Jacobi 
(1804–1851) em termos bem expressivos: 
“Deus aritmetizou a Terra e o Céu”.
Qualquer acontecimento, por mais 
simples que seja, está forçosamente vin-
culado a uma infinidade de números, 
muitos dos quais devemosreter, trans-
formar, diminuir, ampliar, aferir, coorde-
nar, dispor, combinar. Os nomes dos reis 
e dos papas estão acorrentados a núme-
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
ros; há números que recordam aconteci-
mentos gloriosos outros trazem, à nossa 
memória, fatos que desejaríamos esque-
cer. O número noventa e três, por exem-
plo, para a França, é trágico; quem fala 
em noventa e três vê logo, ao lado desse 
número, a sombra sinistra da guilhotina. 
O número 77, para o nosso nordestino, 
evoca, no mesmo instante, o drama da 
grande seca a simples citação de . 
faz surgir, na imaginação do bom portu-
guês, a grande catástrofe que abalou o 
mundo: o terremoto de Lisboa.
Quer o homem queira, quer não, a 
Aritmética é uma ciência que envolve a 
vida. Essa verdade foi reconhecida pelo 
matemático alemão Carlos Frederico 
Gauss (1777–1855) quando escreveu: 
“A Matemática é a rainha das ciências 
a Aritmética é a rainha da Matemática.” 
(Cfr. Etchegoyen, ob. cit. p. .).
TA AN, Malba. Os números governam o mundo 
(Folclore da Matemática). Rio de Janeiro: Ediouro, 
999. p. .
ANOTAÇÕES
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 26 10/07/2019 15:40:13
27
27Capítulo 1 — Estudo dos números
a) 3 e 4 b) 2 e 3
c) 1 e 2 d) 0 e 1 0 2 41 3 5
33. Localizando o número 3
2
 na reta numérica, representada pela figura, ele vai estar no inter-
valo entre os números: 
Multiplicação dos números racionais
O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional.
Exemplo:
racional racional racional
=×
3
2
1
5
⋅ =⋅ =
3
10
racional racional racional
=÷
4
3
2 2
3
Divisão dos números racionais
O quociente de dois números racionais, sendo o divisor diferente de zero, é um número 
racional.
Exemplo:
Dízima periódica e fração geratriz
O decimal equivalente a 11
6
 não é inteiro, tem casas decimais, mas não é apenas uma casa, 
nem duas, nem três, nem n, qualquer que seja n natural; 11
6
 tem infinitas casas decimais, pois 
é uma dízima periódica.
O decimal equivalente a 11
6
 é 1,8333...
Portanto, dízima periódica é todo decimal inexato que apresenta, na sua parte decimal, 
um número que se repete infinitamente, que chamamos período.
Uma dízima periódica pode ser:
Simples – Quando aparece, após a vírgula, pelo menos um algarismo repetido (período).
Exs.:
0,222...
1,717171...
23,547547547...
Composta – Quando aparece, após a vírgula, pelo menos um algarismo que não se re-
pete, ou seja, não faz parte do período.
Exs.:
0,3222...
1,0717171...
23,13547547547...
26 Capítulo 1 — Estudo dos números
Subtração dos números racionais
27.
a) 2
7
b) 7
9
c) 5
13
d) 17
9
28.
a) b) c) d)
29. 2
3
1
3
30.
1 2
3
2 1
3
2 5+





+ − +





+
31. 1
63
4
32.
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 27 10/07/2019 15:40:13
28
29Capítulo 1 — Estudo dos números
Note que: 
10 1 9
10 1 99
10 1 999
10 1 999 9
1
2
3
− =
− =
− =
− =
………………
…� ���� ����
n
n vezes
Então: 
10
10 1
m
n
→
−( )→





N° de algarismos zero
N°de algarismos nove
 
Assim, podemos usar a seguinte regra prática para a obtenção da fração geratriz de uma 
dízima periódica:
I APPP IAP IA
m
, = −
… ………99 9 00 0
n algarismos algarismos
� ��� ��� � ����� ������
 
Em que m é a quantidade de A; e n, a quantidade de P.
Logo, respondendo ao nosso questionamento, qualquer decimal periódico pode ser escrito 
na forma de fração com numerador e denominador inteiros, e, portanto, todo decimal perió-
dico é, realmente, racional.
Vamos aplicar, na prática, o que acabamos de entender?
Encontre a fração racional da seguinte dízima: 2,1434343... ou 2 143, .
Fazendo x = 2,1434343..., temos:
Período (P) = 43 (2 algarismos)
Parte não periódica (A) = 1 (1 algarismo)
Parte inteira (I) = 2
Devemos encontrar dois números com a mesma parte decimal. Para isso, deslocamos 
a parte decimal de x que não se repete (A = 1) para junto da parte inteira, obtendo, assim, 
um dos dois números. Para a obtenção do outro número com a mesma parte decimal, basta 
deslocarmos a parte não decimal juntamente com um período completo (AP = 143) para junto 
da parte inteira.
10 21434343
1 000 2143 434343
x
x
=
=




, ...
. , ...
 
Note que o x não tem a mesma parte decimal de 10x nem de 1.000x; 10x e 1.000x têm a 
mesma parte decimal e foram obtidos a partir de x = 2,1434343...
Subtraindo, membro a membro, essas duas igualdades, ficamos com:
990 2 143 21 2 143 21
990
2 122
990
x x x= − → =
−
∴ =. . . 
Então: 2 143 2 122
990
, .= ∈ Q 
Matematica_2020_8A_01.indd 29 10/07/2019 09:05:14
28 Capítulo 1 — Estudo dos números
Todo decimal periódico possui fração geratriz?
Para responder a esse questionamento, considere a seguinte dízima:
0,3333... ou 0,3
Fazendo x = 0 3333, ..., temos: 
10 3 33333
0 33333
x
x
=
=




, ...
, ...
Note que:
10x = 3,33333... foi obtido a partir de x = 0,3333..., multiplicando por 10.
Os números x = 3,33333... e x = , ... têm a mesma parte decimal (as infinitas casas 
decimais apresentam os respectivos valores relativos iguais).
Subtraindo, agora, x de 10x de 10x x, ficamos com:
10 3 3333
0 33333
9 3 0 3 0
9
3
9
x
x
x x x
=
=




= − → =
−
∴ =
, ...
, ...
Temos : 0 333 3
9
, ...= ∈ Q
Note que, para obter a fração correspondente (fração 
geratriz) ao decimal periódico, o segredo é obter dois 
números com a mesma parte decimal e subtrair um do 
outro, a fim de livrar-se das infinitas casas decimais.
Isto é: I AP IAP IAP IAP I,I A,I A = P I−P I
990
.
I Parte inteira.
A Parte decimal não periódicanão periódica.
P Parte decimal periódica.
P tem P tem P 2 algarismos → 2 algarismos nove no denominador.
A tem 1 algarismo → 1 zero no denominador.
x 2,1434343... 
2143 21
990
−
I
Observe a dízima periódica abaixo:
Vamos entender o quadro acima?
Em geral, para a dízima periódica x = I,APPPP..., têm-se (supondo APPPP..., têm-se (supondo APPPP A com m algarismos e P
com n algarismos):
10 10
10
m n
m
IAP PPPP
IA PPPP
⋅ =
⋅ =




x
x
, ...
, ...
Subtraindo, membro a membro, essas duas igualdades, eliminamos a parte indefinidamente 
periódica e ficamos com:
10 10 10
10 10 1
10 10 1
m n m
m n
m n
IAP IA
IAP IA
IAP IA
⋅ − = −
−( )= −
=
−
⋅ −( )
x x
x
x
Números e algarismos
 muito comum, na linguagem usual, 
a confusão entre número e algarismo.
Em seu Dicionário de Sinônimos, 
9 6, pág. 9, adverte o Prof. Pedro A. 
Pinto: ... “Número e algarismo não são 
sinônimos”.
E, depois de explicar o conceito arit-
mético de número, acrescenta: “Algaris-
mos são sinais que facilitam a escrita 
dos números”.
Na linguagem literária, é comum o 
emprego errôneo do vocábulo algarismo 
com o sentido de número.
Euclides da Cunha, na sua obra prima 
Os Sertões, surpreende o leitor com o se-
guinte trecho: “Breve, porém, a situação 
mudaria. Canudos teria em torno, em al-
garismos rigorosamente exatos, trinta 
batalhões”.
Nesse relanço, empregou Euclides 
da Cunha, com rara elegância, o vocábu-
lo algarismos, sob forma literária, com o 
sentido de número.
Citemos mais um exemplo oferecido 
por notável escritor português, Camilo 
Castelo Branco. Em seu romance Demônio 
de Ouro, podemos destacar duas ou três 
linhas que encerram um erro palmar: 
“Tomem bem conta da quantia do 
dinheiro para não se esquecerem. Sete 
mil e quinhentos cruzados. Repetiram, 
todas ao mesmo tempo, os algarismos”.
Não há como justificar esse deslize, 
no campo da Matemática, do grande ro-
mancista de Amor de Perdição. As mulhe-
res repetiram o número (sete mil e qui-
nhentos), e não os quatro algarismos (7, 
, , ) que formam esse número.
 bem possível que Camilo, despreo-
cupado da significação exata dos vo-
cábulos do ponto de vista matemático, 
admitisse número e algarismo como ex-
pressões sinônimas.
O apreciado escritor Gondim da 
Fonseca, em vibrante artigo publicado 
em Diretrizes, sobre Pires do Rio, não se 
preocupa com a significação exata do vo-
cábulo algarismo. E emite descerimonio-
samente os seguintes conceitos:
“Retrucou-meele que não usa ter-
mos fortes. Mas usa algarismos fortes 
— respondo-lhe eu. E os algarismos 
são dez vezes mais contundentes que 
as palavras. sa, ainda, além dos alga-
rismos, argumentos claros, límpidos, 
irrespondíveis. ”
m matemático ortodoxo só aceita-
ria algarismos contundentes se esses al-
garismos fossem feitos, por exemplo, de 
bronze ou de ferro fundido. E a panca-
da violenta com um “ ” ou com um “ ” 
na cabeça da vítima poderia feri-la grave-
mente. Resta ainda imaginar, dentro do 
sentido algébrico, o que se poderia com-
preender por algarismos fortes. Seriam 
algarismos feitos do aço de Volta Redon-
da O vocábulo algarismo é mais expres-
sivo, mais sonoro do que a palavra núme-
ro. E é, por isso, preferido.
TA AN, Malba. Os números governam o mundo 
(Folclore da Matemática). Rio de Janeiro: Ediouro, 
999. p. 6.
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 28 10/07/2019 15:40:14
29
29Capítulo 1 — Estudo dos números
Note que: 
10 1 9
10 1 99
10 1 999
10 1 999 9
1
2
3
− =
− =
− =
− =
………………
…� ���� ����
n
n vezes
Então: 
10
10 1
m
n
→
−( )→





N° de algarismos zero
N°de algarismos nove
 
Assim, podemos usar a seguinte regra prática para a obtenção da fração geratriz de uma 
dízima periódica:
I APPP IAP IA
m
, = −
… ………99 9 00 0
n algarismos algarismos
� ��� ��� � ����� ������
 
Em que m é a quantidade de A; e n, a quantidade de P.
Logo, respondendo ao nosso questionamento, qualquer decimal periódico pode ser escrito 
na forma de fração com numerador e denominador inteiros, e, portanto, todo decimal perió-
dico é, realmente, racional.
Vamos aplicar, na prática, o que acabamos de entender?
Encontre a fração racional da seguinte dízima: 2,1434343... ou 2 143, .
Fazendo x = 2,1434343..., temos:
Período (P) = 43 (2 algarismos)
Parte não periódica (A) = 1 (1 algarismo)
Parte inteira (I) = 2
Devemos encontrar dois números com a mesma parte decimal. Para isso, deslocamos 
a parte decimal de x que não se repete (A = 1) para junto da parte inteira, obtendo, assim, 
um dos dois números. Para a obtenção do outro número com a mesma parte decimal, basta 
deslocarmos a parte não decimal juntamente com um período completo (AP = 143) para junto 
da parte inteira.
10 21434343
1 000 2143 434343
x
x
=
=




, ...
. , ...
 
Note que o x não tem a mesma parte decimal de 10x nem de 1.000x; 10x e 1.000x têm a 
mesma parte decimal e foram obtidos a partir de x = 2,1434343...
Subtraindo, membro a membro, essas duas igualdades, ficamos com:
990 2 143 21 2 143 21
990
2 122
990
x x x= − → =
−
∴ =. . . 
Então: 2 143 2 122
990
, .= ∈ Q 
Matematica_2020_8A_01.indd 29 10/07/2019 09:05:14
28 Capítulo 1 — Estudo dos números
x = 0 3333, ...,
10 3 33333
0 33333
x
x
=
=




, ...
, ...
10 3 3333
0 33333
9 3 0 3 0
9
3
9
x
x
x x x
=
=




= − → =
−
∴ =
, ...
, ...
0 333 3
9
, ...= ∈ Q
I
A
P
P
A
2 143
I
10 10
10
m n
m
IAP PPPP
IA PPPP
⋅ =
⋅ =




x
x
, ...
, ...
10 10 10
10 10 1
10 10 1
m n m
m n
m n
IAP IA
IAP IA
IAP IA
⋅ − = −
−( )= −
=
−
⋅ −( )
x x
x
x
É possível numerar 
quantidades?
Os rebanhos de ovelhas, vacas e ca-
bras existem em quantidades discretas, 
isto é, quantidades que já vêm organiza-
das em unidades naturais. No entanto, 
quando começou a lotear a terra, no An-
tigo Egito, o homem deparou-se e pas-
sou a trabalhar com quantidades con-
tínuas, ou seja, aquelas que não vêm 
separadas em unidades naturais. Para 
controlá-las, o número natural não era 
suficiente. Ele inventou, assim, a medi-
ção e, com ela, a fração. Logo, surgia um 
novo conjunto numérico, o dos números 
racionais.
Os números racionais podem ser es-
critos na forma fracionária e na forma 
decimal. São representados pelo símbo-
lo Q, que vem da palavra quociente, e seu 
nome racional vem da palavra razão.
Disponível em: http://lenaguimaraens.blogspot.com/
/ /introducao-aos-numeros-racionais-ii.html. 
Acesso em: / / 9. Adaptado.
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
ANOTAÇÕES
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 29 10/07/2019 15:40:14
30
31Capítulo 1 — Estudo dos números
Solução:
Subtraindo, membro a membro, essas duas 
igualdades, obtém-se: 
x x=
−
−
→ =
−IP I IP I
m
m vezes
10 1 99 9...� ��� ���
, em que o denomi-
nador 99 9...
m vezes
� ��� ��� não é múltiplo de 2 (não é par) 
nem de 5 (não termina em zero ou 5).
2. Encontre a fração geratriz das seguintes 
dízimas periódicas, utilizando a regra prática.
a) 0,2444... = 
Solução:
0 2444 24 2
90
22
90
11
45
, ...= − = = 
b) 7,53959595... = 
Solução:
7 53959595
75 395 753
9 900
74 642
9 900
37 321
4 950
, ...
.
.
.
.
.
.
=
−
=
→
 
34. Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas.
a) 0,777... b) 3,888... c) 9,151515... d) 6,1777...
35. Pelo método da equação, encontre a fração geratriz de cada dízima (simplifique a equação 
encontrada).
a) 2,333... b) 4,7222... c) 0,527527527... d) 1,8999...
36. A geratriz da dízima 1,833… é a
b
, então a + b vale:
a) 17 b) 15 c) 16 d) 10 e) 9
37. Considere as seguintes afirmativas:
I. A fração geratriz da dízima 2,83333... é 17
6
. 
II. 8 1
3
 é um número decimal inexato não periódico.
III. A expressão 1 2
9
+





 é uma dízima periódica, e a soma do algarismo que representa a parte 
inteira com o algarismo que representa a parte periódica é 3.
Analisando as proposições, podemos afirmar que é(são) verdadeira(s):
a) I e II b) I e III c) II e III d) II e) III
Matematica_2020_8A_01.indd 31 10/07/2019 09:05:19
30 Capítulo 1 — Estudo dos números
Exemplos:
a) 0 23666 236 23
900
213
900
71
300
, ...= − = ou
 
b) 2 61461461461 2 614 2
999
2 612
999
, ... . .= − = (Não tem A, portanto fica sem zero no denominador.)
c) 0 454545 045 0
99
45
99
5
11
, ...= − = ou
 
Note que 100x = 31,31313131... foi obtido a partir de x = 0,313131, multiplicando-se por 
100, uma vez que, para passar um período completo para a parte inteira, deve-se deslocar a 
vírgula dois algarismos para a direita.
A barra indica que o número 31 se repete 
infinitamente.
d) 0 313131, ... ou 0 31, =
Fazendo x = 0,313131..., temos:
Período (P) = 31
Parte decimal não periódica (A) = não existe
Parte inteira (I) = 0
Período destacado:
100 3131313131
0 31313131
x
x
=
=




, ...
, ...
 
Como 100x e x têm a mesma parte decimal, subtraindo, membro a membro, essas duas 
igualdades, ficamos com:
99 31 0 31 0
99
31
99
x x x= − → =
−
∴ = Então, 0 31 31
99
, = ∈ Q
e) 0 888 8
9
, ...= f) 0 6888 68 6
90
62
90
31
45
, ...= − = =
g) 132414141 13 241 132
9 900
13 109
9 900
, ... .
.
.
.
=
−
= h) − = − =−0 001333 13 1
9 000
12
9 000
, ...
. .
1. Mostre que a fração geratriz irredutível equivalente a uma dízima periódica simples não 
apresenta, em seu denominador, fator 2 ou 5.
Matematica_2020_8A_01.indd 30 10/07/2019 09:05:17
n 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
n2 0,01 0,04 0,09 , 6 0,25
 Mostre que a extração da raiz quadra-
da de um número racional nem sempre 
será um número racional. Para a raiz qua-
drada de um número racional obter co-
mo resultado outro número racional, é 
preciso que o primeiro seja um número 
quadrado perfeito.
Observe os exemplos:
1
9
 é um número racional porque 
1
9
 é 
um número quadrado perfeito, já que 
1
9
1
3
3
=





 .
 
0 05, não é um número racional por-
que 0,05 não é um número quadrado 
perfeito.
 Reveja os conceitos de potência e de-
composição em fatores primos, antes de 
começar a trabalhar raiz quadrada.
 Solicite aos alunos que escrevam po-
tências numéricas com decimais maio-
res que zero e menores que 1 e observe 
os seus valores.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
n 0,1 0,15 0,21 0,25
n2 0,0001 0,0225 0,0441 , 6
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
140 104
140 104
36
36 6
2
2
2
2
− =
− =
=
= =
a
a
a
a .
1. Descubra o valor desconhecido em:
Resposta:
O valor desconhecido é o número 6.
O número 6 é um número quadrado 
perfeito porquepode ser escrito como 
potência de expoente .
2. Determine a raiz quadrada da diferença entre o quadrado de dez e o cubo de 
quatro.
Resposta:
10 4 100 64 36 62 3− = − = = .
ANOTAÇÕES
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 30 10/07/2019 15:40:17
31
31Capítulo 1 — Estudo dos números
Solução:
Subtraindo, membro a membro, essas duas 
igualdades, obtém-se: 
x x=
−
−
→ =
−IP I IP I
m
m vezes
10 1 99 9...� ��� ���
, em que o denomi-
nador 99 9...
m vezes
� ��� ��� não é múltiplo de 2 (não é par) 
nem de 5 (não termina em zero ou 5).
2. Encontre a fração geratriz das seguintes 
dízimas periódicas, utilizando a regra prática.
a) 0,2444... = 
Solução:
0 2444 24 2
90
22
90
11
45
, ...= − = = 
b) 7,53959595... = 
Solução:
7 53959595
75 395 753
9 900
74 642
9 900
37 321
4 950
, ...
.
.
.
.
.
.
=
−
=
→
 
34. Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas.
a) 0,777... b) 3,888... c) 9,151515... d) 6,1777...
35. Pelo método da equação, encontre a fração geratriz de cada dízima (simplifique a equação 
encontrada).
a) 2,333... b) 4,7222... c) 0,527527527... d) 1,8999...
36. A geratriz da dízima 1,833… é a
b
, então a + b vale:
a) 17 b) 15 c) 16 d) 10 e) 9
37. Considere as seguintes afirmativas:
I. A fração geratriz da dízima 2,83333... é 17
6
. 
II. 8 1
3
 é um número decimal inexato não periódico.
III. A expressão 1 2
9
+





 é uma dízima periódica, e a soma do algarismo que representa a parte 
inteira com o algarismo que representa a parte periódica é 3.
Analisando as proposições, podemos afirmar que é(são) verdadeira(s):
a) I e II b) I e III c) II e III d) II e) III
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30 Capítulo 1 — Estudo dos números
Exemplos:
a) 0 23666 236 23
900
213
900
71
300
, ...= − = ou
 
b) 2 61461461461 2 614 2
999
2 612
999
, ... . .= − = (Não tem A, portanto fica sem zero no denominador.)
c) 0 454545 045 0
99
45
99
5
11
, ...= − = ou
 
Note que 100x = 31,31313131... foi obtido a partir de x = 0,313131, multiplicando-se por 
100, uma vez que, para passar um período completo para a parte inteira, deve-se deslocar a 
vírgula dois algarismos para a direita.
A barra indica que o número 31 se repete 
infinitamente.
d) 0 313131, ... ou 0 31, =
Fazendo x = 0,313131..., temos:
Período (P) = 31
Parte decimal não periódica (A) = não existe
Parte inteira (I) = 0
Período destacado:
100 3131313131
0 31313131
x
x
=
=




, ...
, ...
 
Como 100x e x têm a mesma parte decimal, subtraindo, membro a membro, essas duas 
igualdades, ficamos com:
99 31 0 31 0
99
31
99
x x x= − → =
−
∴ = Então, 0 31 31
99
, = ∈ Q
e) 0 888 8
9
, ...= f) 0 6888 68 6
90
62
90
31
45
, ...= − = =
g) 132414141 13 241 132
9 900
13 109
9 900
, ... .
.
.
.
=
−
= h) − = − =−0 001333 13 1
9 000
12
9 000
, ...
. .
1. Mostre que a fração geratriz irredutível equivalente a uma dízima periódica simples não 
apresenta, em seu denominador, fator 2 ou 5.
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32
33Capítulo 1 — Estudo dos números
102 100
14432 Capítulo 1 — Estudo dos números
38. Dada a dízima periódica, diga qual é a fração:
a) , ... b) 0,12525... c) , ... d) , ...
x
1.024 m2x x
x
x
x
Raiz quadrada exata de um número racional
Vamos considerar a seguinte situação:
Um terreno quadrado tem 1.024 m² de área. Quanto mede cada lado do terreno?
Indicando a medida do lado pela letra x, temos: x² = 1.024.
Pela equação, o nosso problema consiste em determinar um número racional x que, elevado 
ao quadrado, dê como resultado 1.024.
Esse número x representa a raiz quadrada do número 1.024.
Números quadrados perfeitos
Os números quadrados perfeitos podem ser escritos na forma de potência de base na-
tural e expoente dois. São, pois, da forma x², em que x N∈ . Sendo assim, a raiz quadrada do 
quadrado perfeito x² é igual a x.
x x2 = em que x∈N 
36 é um número quadrado perfeito, pois 36 = 6².
100 é um número quadrado perfeito, pois 100 = 10².
A seguir, vamos mostrar tabelas de quadrados perfeitos que serão muito importantes no 
cálculo da raiz quadrada.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
n2 1 4 9 16 25 36 49 64
n 9 10 20 30 40 50 60
n2 81 100 400 900 1.600 2.500 3.600
n 70 80 90 100
n2 4.900 6.400 8.100 10.000
Matematica_2020_8A_01.indd 32 10/07/2019 09:05:20
Os matemáticos, em seus estudos 
iniciais, escreviam a palavra raiz ou lado 
para designar a raiz quadrada. Com o 
passar do tempo, durante a Idade Mé-
dia, utilizava-se a letra R, mas essa letra 
também era empregada para designar 
outras coisas, como razão ou resposta 
(ainda hoje se costuma fazer). O símbo-
lo que hoje usamos só surgiu em 1525, 
com Rudolf Coss. Contudo, era apenas 
um dos vários símbolos utilizados para 
designar a raiz quadrada. Foi no sécu-
lo XVIII que o símbolo atual começou a 
ser aplicado mais fortemente. Foi tam-
bém naquele século que se começou a 
utilizar números naturais para desig-
nar raízes de grau superior a dois (raiz 
cúbica, quarta, etc.) e que se viu, ainda, 
surgirem os expoentes negativos e fra-
cionários (estes também servem para 
designar as raízes).
2
1
1
 Como surgiu a expressão ao quadrado 
para expressar um número elevado à 
potência, como o número 
CURIOSIDADE
Os nove pontos formam um quadra-
do de lado com pontos. Por isso, dize-
mos que 9 é o quadrado de .
Na figura, estão marcados pon-
tos que formam um cubo de lado com 
 pontos. Por isso, dizemos que é o 
cubo de .
ANOTAÇÕES Como surgiu a expressão ao cubo para 
expressar um número elevado à po-
tência Por exemplo, .
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 32 10/07/2019 15:40:20
33
33Capítulo 1 — Estudo dos números
Como reconhecer se um número é um quadrado perfeito?
a) Para verificar se um número é um quadrado perfeito, vamos usar figuras geométricas.
(unidade)
(dezena) (centena)
1 10 10
10
Vejamos, geometricamente, se o número 144 é um quadrado perfeito.
Vamos desenvolver o seguinte pensamento:
(centena) 1
10
1
10
1
10
1
1010102 100
Juntas, essas figuras vão formar um outro quadrado.
12
1 1
1 1
12
1212 1
212
144
Como não sobrou figura alguma, podemos dizer que é um número quadrado perfeito.
Como você pôde observar, o quadrado da figura tem unidades de área, e a medida do 
seu lado é de 12 unidades de comprimento.
Um número é dito quadrado perfeito quando possui raiz exata.
32 Capítulo 1 — Estudo dos números
38. Dada a dízima periódica, diga qual é a fração:
a) , ... b) 0,12525... c) , ... d) , ...
x
1.024 m2x x
x
x
x
Raiz quadrada exata de um número racional
Vamos considerar a seguinte situação:
Um terreno quadrado tem 1.024 m² de área. Quanto mede cada lado do terreno?
Indicando a medida do lado pela letra x, temos: x² = 1.024.
Pela equação, o nosso problema consiste em determinar um número racional x que, elevado 
ao quadrado, dê como resultado 1.024.
Esse número x representa a raiz quadrada do número 1.024.
Números quadrados perfeitos
Os números quadrados perfeitos podem ser escritos na forma de potência de base na-
tural e expoente dois. São, pois, da forma x², em que x N∈ . Sendo assim, a raiz quadrada do 
quadrado perfeito x² é igual a x.
x x2 = em que x∈N 
36 é um número quadrado perfeito, pois 36 = 6².
100 é um número quadrado perfeito, pois 100 = 10².
A seguir, vamos mostrar tabelas de quadrados perfeitos que serão muito importantes no 
cálculo da raiz quadrada.
n 1 2 3 4 5 6 7 8
n2 1 4 9 16 25 36 49 64
n 9 10 20 30 40 50 60
n2 81 100 400 900 1.600 2.500 3.600
n 70 80 90 100
n2 4.900 6.400 8.100 10.000
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34
35Capítulo 1 — Estudo dos números
42.
a) b)
43. 3 2 53 4⋅ ⋅
44. 3 2 52 2⋅ ⋅ x 900
45.
a) b) c) d)
46.
a) b) c)
Extraindo a raiz quadrada de um número decimal
196 196
100
, =
196 196
100
14
10
14 14 14 14 196
2
,, . , , , ,= = = ( ) = ⋅ =Pois,
34 Capítulo 1 — Estudo dos números
Para verificar se um número é um quadrado perfeito, vamos usar a fatoração completa 
do número:
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
24 . 32
Os expoentes de todos os 
fatores são pares, então o 
número 144 é um quadrado 
perfeito.
Encontrando a raiz quadrada exata de um número racional
Se um número representa um produto de dois fatores iguais não negativos, então cada 
fator é a raiz quadrada desse número.
Para encontrar a raiz quadrada exata de um número racional, devemos:
Verificar se o número dado representa um produto de dois fatores iguais não negativos.
Ex.:
 8 . 8 = 64
12 . 12 = 144
Decompor em fatores primos os números dados (quando estes forem muito grandes) e, 
em seguida, dividir por dois os expoentes encontrados. Depois, calcular o produto.
Ex.: 
Supondo que a decomposição numérica seja dada por 2 3 54 2 4⋅ ⋅ , temos então:
2 3 5 2 3 5 4 3 25 3004 2 2 2 4 2 2 2: : :⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 
Portanto, 300 é raiz quadrada de 2 3 54 2 4⋅ ⋅ . 
39. Aplique o que você aprendeu, extraindo a raiz quadrada dos seguintes números.
a) 16 b) 38 . 52 . 24 c) 26 . 34 . 72 d) 112 . 134 e) 81
40. Extraia a raiz quadrada dos seguintes numerais.
a) 324 b) 676 c) 729 d) 4 096. 
41. Verifique se os números abaixo são quadrados perfeitos.
a) 800 b) 900 c) 525 d) 625
Matematica_2020_8A_01.indd 34 10/07/2019 09:05:21
27 729 729 789
28 784 784 789
29 841 841 789
2
2
2
= → <
= → <
= → >
.
.
.
A raiz quadrada de dois, denotada 
2 , é o único número real positivo cujo 
quadrado é dois. Em outras palavras, é o 
único número real positivo que, quando 
multiplicado por ele mesmo, resulta em 
2: 2 2 2⋅ = .
Assim, a raiz quadrada de é um nú-
mero irracional, ou seja, não é possível 
encontrar dois números naturais, a e b, 
tais que 
a
b
= 2 .
Acredita-se que a 2 tenha sido o pri-
meiro número irracional reconhecido 
como tal. Essa importante descoberta é 
atribuída a Hipaso de Metaponto, da es-
cola de Pitágoras, e contrariava as ideias 
predominantes entre os pitagóricos de 
que todos os números eram naturais.
 Mostre ao aluno que a raiz aproxima-
da também pode ser calculada utilizan-
do intervalos. Exemplo:
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
 Com casas decimais, podemos pe-
dir por falta a 1, 2, 3, n casas decimais. 
Exemplo: (28,1) ² = 9,6 portanto, a 
uma casa decimal, a raiz de 789 é 28,0 
por falta e , por excesso.
Há uma grande variedade de vídeos 
que podem ser usados. O seriado Numbers 
é um deles. Os alunos podem elaborar 
um comentário ou uma redação sobre o 
vídeo e verificar uma aplicação da mate-
mática nos casos policiais.
ANOTAÇÕES
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 34 10/07/2019 15:40:22
35
35Capítulo 1 — Estudo dos números
42. Decompondo em fatores primos, determine a raiz quadrada de:
a) 1.600 b) 576
43. Qual o valor que deve ser adicionado ao número 3 2 53 4⋅ ⋅ para que ele se torne um número 
quadrado perfeito?
44. Sabe-se que 3 2 52 2⋅ ⋅ x representa 900 . Nessas condições, qual é o valor de x?x?x
45. Lembremos que, para extrair uma raiz quadrada pelo método da decomposição em fatores 
primos, devemos ter em todos os expoentes da decomposição um número par, e a raiz será o 
produto dos números decompostos após dividirmos por dois esses expoentes. Assim, qual é a 
raiz quadrada dos números abaixo?
a) 74 . 22 b) 54 . 36 c) 172 . 112 d) 234 . 28
46. Sejam os números:
103 1 31 3+1 3+1 3 9 −
7
2
π
180
4
−
10
5
80
a) Quais são inteiros? b) Quais são racionais? c) Quais são irracionais?
Extraindo a raiz quadrada de um número decimal
Qual é a raiz exata de 1,96?
Para extrair a raiz quadrada de um número decimal, podemos escrevê-lo em forma de 
fração e, em seguida, extrair sua raiz.
Sabemos que 196 196
100
, = Pela tabela de números quadrados perfeitos, vamos encontrar 
a raiz quadrada exata do número 196 entre 100 e 400.
100 = 10² e 400 = 20²
O número 96 termina em 6, e os números da sequênciasequência 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 que, mul-
tiplicados por eles mesmos, terminam em 6 são 4 e 6.
Pois:
4² = 16 e 6² = 36
Portanto, existem dois números entre 10 e 20 que também terminam em 4 e 6: o 14 e o 16.
Daí, temos:
14² = 196 e 16² = 256
Então, pela definição, temos:
196 196
100
14
10
14 14 14 14 196
2
, , . , , , ,= = = ( ) = ⋅ =Pois,
34 Capítulo 1 — Estudo dos números
Para verificar se um número é um quadrado perfeito, vamos usar a fatoração completa 
do número:
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
24 . 32
Os expoentes de todos os 
fatores são pares, então o 
número 144 é um quadrado 
perfeito.
Encontrando a raiz quadrada exata de um número racional
Se um número representa um produto de dois fatores iguais não negativos, então cada 
fator é a raiz quadrada desse número.
Para encontrar a raiz quadrada exata de um número racional, devemos:
Verificar se o número dado representa um produto de dois fatores iguais não negativos.
Ex.:
 8 . 8 = 64
12 . 12 = 144
Decompor em fatores primos os números dados (quando estes forem muito grandes) e, 
em seguida, dividir por dois os expoentes encontrados. Depois, calcular o produto.
Ex.: 
Supondo que a decomposição numérica seja dada por 2 3 54 2 4⋅ ⋅ , temos então:
2 3 5 2 3 5 4 3 25 3004 2 2 2 4 2 2 2: : :⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 
Portanto, 300 é raiz quadrada de 2 3 54 2 4⋅ ⋅ . 
39. Aplique o que você aprendeu, extraindo a raiz quadrada dos seguintes números.
a) 16 b) 38 . 52 . 24 c) 26 . 34 . 72 d) 112 . 134 e) 81
40. Extraia a raiz quadrada dos seguintes numerais.
a) 324 b) 676 c) 729 d) 4 096. 
41. Verifique se os números abaixo são quadrados perfeitos.
a) 800 b) 900 c) 525 d) 625
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ME_Matemática_2020_8A_01.indd 35 10/07/2019 15:40:23
36
37Capítulo 1 — Estudo dos números
50. Faça a fatoração completa de cada valor a seguir e diga se o número é ou não é quadrado 
perfeito:
a) 252 b) 343 c) 441 
d) 625 e) 729 f) 784 
g) 1.200 h) 2.000 i) 3.025 
j) 10.000
47. Com o uso da calculadora, encontre a raiz quadrada exata de cada número decimal abaixo.
a) 3,4969 
b) 96,04 
c) 0,7921 
d) 1,0404
48. Suponha que um número com quatro casas decimais cuja decomposição em fatores primos, 
após ser transformado em fração decimal, tenha como numerador o número 54 . 34. Assim, qual 
a raiz quadrada desse número na forma decimal?
49. Associe a primeira coluna com a segunda coluna.
a 0 2209, 0,06
b 2,45 3,458
c 1,03 10609,
d 11957764, 6 0025,
e 0 0036, 0,47
Raiz quadrada aproximada de um número racional
Consideremos a seguinte situação em que é preciso saber qual é raiz quadrada do número 
9. Consultando a tabela de números quadrados perfeitos, verificamos que o número 9 não 
faz parte dela, portanto não é quadrado perfeito. Assim, podemos afirmar que a raiz quadrada 
de 789 não é exata.
No dia a dia, utilizamos a calculadora para obter um valor aproximado de uma raiz quadrada, 
bastando, para isso, após digitar o número, pressionar a tecla de raiz quadrada ( ).
Mostraremos, agora, uma regra prática para o cálculo da raiz quadrada exata ou aproximada 
por falta de qualquer número natural.
Para conhecer tal regra, acompanhe, passo a passo, o cálculo da raiz quadrada do número 789.
Dispomos os cálculos como indicado a seguir, separando o número dado em grupos de 
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36 Capítulo 1 — Estudo dos números
Uso da calculadora
 Algumas raízes são expressas através de números decimais inexatos, para encontrá-las 
podemos utilizar um utensílio matemático que auxilia em determinadas situações: a calculadora.
Exemplo:
Para encontrar a raiz quadrada de 2,76, basta digitar o número e apertar a tecla e o sinal 
de igualdade. Assim, encontra-se o resultado: 1,661...
Do mesmo modo, temos: 
2 25 225
100
225
100
15
10
15
4 096 4 096
10 000
2
10
2
10
12
4
6
2
, ,
, .
.
= = = =
= == =
664
100
0 64= ,
1. Determine a raiz quadrada exata do número 
1.024. 
Solução:
Pela tabela de números quadrados perfeitos, 
verificamos que o número . está entre 
900 e 1.600, pois:
900 = 30² e 1.600 = 40²
Logo, o número que procuramos está entre 
30 e 40.
Observamos que o número . termina 
em 4, e os números da sequência 0, 1, 2, 3, 
4, 5, 6, 7, 8 e 9 que, multiplicados por eles 
mesmos, terminam em 4 são 2 e 8, pois:
2 . 2 = 4 e 8 . 8 = 64
Portanto, existem dois números entre 30 e 
40 que terminam em 2 e 8: o 32 e o 38.
Daí, temos:
32² = 1.024
38² = 1.444
Então, pela definição, temos:
1 024 32. ,= pois, 322 = 32 . 32 = 1.024
2. Pâmela desafiou Marcos a extrair a raiz 
quadrada de 1,9044. Marcos falou que a 
raiz era , . Marcos acertou Justifique a 
resposta.
Solução:
19044 19 044
10 000
19 044
10 000
2 3 23
10
2 3 23
10
1
2 2 2
4
2
, .
.
.
.
,
= =
=
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
= 338
 
19.044
9.522
4.761
1.587
529
23
1
2
2
3
3
23
23
22 . 32 . 232
Marcos errou.
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ME_Matemática_2020_8A_01.indd 36 10/07/2019 15:40:23
37
37Capítulo 1 — Estudo dos números
50. Faça a fatoração completa de cada valor a seguir e diga se o número é ou não é quadrado 
perfeito:
a) 252 b) 343 c) 441 
d) 625 e) 729 f) 784 
g) 1.200 h) 2.000 i) 3.025 
j) 10.000
47. Com o uso da calculadora, encontre a raiz quadrada exata de cada número decimal abaixo.
a) 3,4969 
b) 96,04 
c) 0,7921 
d) 1,0404
48. Suponha que um número com quatro casas decimais cuja decomposição em fatores primos, 
após ser transformado em fração decimal, tenha como numerador o número 54 . 34. Assim, qual 
a raiz quadrada desse número na forma decimal?
49. Associe a primeira coluna com a segunda coluna.
a 0 2209, 0,06
b 2,45 3,458
c 1,03 10609,
d 11957764, 6 0025,
e 0 0036, 0,47
Raiz quadrada aproximada de um número racional
Consideremos a seguinte situação em que é preciso saber qual é raiz quadrada do número 
9. Consultando a tabela de números quadrados perfeitos, verificamos que o número 9 não 
faz parte dela, portanto não é quadrado perfeito. Assim, podemos afirmar que a raiz quadrada 
de 789 não é exata.
No dia a dia, utilizamos a calculadora para obter um valor aproximado de uma raiz quadrada, 
bastando, para isso, após digitar o número, pressionar a tecla de raiz quadrada ( ).
Mostraremos, agora, uma regra prática para o cálculo da raiz quadrada exata ou aproximada 
por falta de qualquer número natural.
Para conhecer tal regra, acompanhe, passo a passo, o cálculo da raiz quadrada do número 789.
Dispomos os cálculos como indicado a seguir, separando o número dado em grupos de 
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36 Capítulo 1 — Estudo dos números
Uso da calculadora
 Algumas raízes são expressas através de números decimais inexatos, para encontrá-las 
podemos utilizar um utensílio matemático que auxilia em determinadas situações: a calculadora.
Exemplo:
Para encontrar a raiz quadrada de 2,76, basta digitar o número e apertar a tecla e o sinal 
de igualdade. Assim, encontra-se o resultado: 1,661...
Do mesmo modo, temos: 
2 25 225
100
225
100
15
10
15
4 096 4 096
10 000
2
10
2
10
12
4
6
2
, ,
, .
.
= = = =
= = = =
664
100
0 64= ,
1. Determine a raiz quadrada exata do número 
1.024. 
Solução:
Pela tabela de números quadrados perfeitos, 
verificamos que o número . está entre 
900 e 1.600, pois:
900 = 30² e 1.600 = 40²
Logo, o número que procuramos está entre 
30 e 40.
Observamos que o número . termina 
em 4, e os números da sequência 0, 1, 2, 3, 
4, 5, 6, 7, 8 e 9 que, multiplicados por eles 
mesmos, terminam em 4 são 2 e 8, pois:
2 . 2 = 4 e 8 . 8 = 64
Portanto, existem dois números entre 30 e 
40 que terminam em 2 e 8: o 32 e o 38.
Daí, temos:
32² = 1.024
38² = 1.444
Então, pela definição, temos:
1 024 32. ,= pois, 322 = 32 . 32 = 1.024
2. Pâmela desafiou Marcos a extrair a raiz 
quadrada de 1,9044. Marcos falou que a 
raiz era , . Marcos acertou Justifique a 
resposta.
Solução:
19044 19 044
10 000
19 044
10 000
2 3 23
10
2 3 23
10
1
2 2 2
4
2
, .
.
.
.
,
= =
=
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
= 338
 
19.044
9.522
4.761
1.587
529
23
1
2
2
3
3
23
23
22 . 32 . 232
Marcos errou.
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38
39Capítulo 1 — Estudo dos números
51. Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas. se o dispositivo prático.
a) − 2,0313131... b) 5,121212...
52. (IFRJ) O “Método das Iterações” fornece um algoritmo que calcula o valor aproximado de 
raízes quadradas, indicado abaixo:
A A B
B
=
+
2
 
Em que: A é o número de que desejamos obter o valor aproximado da raiz quadrada, e B é o 
quadrado perfeito mais próximo de A. Por exemplo, se A = 17, teremos B = 16, e daí:
17 17 16
2 16
33
8
4 125= + = = , 
Aplicando o método acima, qual é o valor aproximado de 33 ?
a) 5,73 b) 5,74 c) 5,77 d) 5,79
53. Considerando-se que x x= = = ⋅ ⋅44 55 42 2, y z ye , qual o valor da expressão z y− +( )x 
aproximando por falta e por excesso?
54. (UPE) Um número natural N pode ser escrito na forma a a+ , sendo a um número natural. 
Esse número N pode ser:
a) 45 b) 74 c) 94 d) 110 e) 220
55. Considere a curiosidade sobre os quadrados dos números terminados em 5.
15 225
1 2 2
5 25
225 25 625
2 3 6
5 25
2
2
2
2= →
× =
=




⇒ ( ) = →
× =
=




⇒; 6625
35 1 225
3 4 12
5 25
1 225
2
2( ) = →
× =
=




⇒. .
 
Usando esse raciocínio, calcule:
a) 45² b) 55² c) 85² d) 105² e) 95²
56. Mariana falou para Izabel que a raiz quadrada dos números terminados em 25 tem, no seu 
resultado, o número no final, por exemplo 5 625 75. = . Note que 56 = 7 . 8. Dessa forma, 
calcule:
a) 4 225. b) 24 025. c) 13 225. d) 950 625. 
Matematica_2020_8A_01.indd 39 10/07/2019 09:05:30
38 Capítulo 1 — Estudo dos números
Cada grupo assim obtido corresponde a 
um algarismo a ser encontrado da raiz. No 
caso, encontraremos dois algarismos para a 
parte inteira da raiz quadrada de 789 (dois 
grupos: 7 e 89).
Extraímos a raiz quadrada exata ou aproxi-
mada do número que ficou no primeiro grupo 
à esquerda. Escrevemos essa raiz no local a 
ela destinado e calculamos o resto abaixo do 
grupo mencionado:
7 89 2
4
3
7 2
.
−
≅
Em seguida, abaixamos o grupo seguinte, 
colocando-o ao lado direito do primeiro resto, 
e separamos, com um ponto, o algarismo final 
(da direita). Na linha abaixo da raiz, dobramos 
o valor do número que se encontra até então 
na raiz:
7 89 2
4 2 2 4
38 9
.
.
− ⋅ =
Fora do algoritmo, fazemos a divisão do 
número formado à esquerda do ponto pelo 
dobro do número que se encontra na raiz.
O quociente assim obtido é candidato a 
ser o segundo algarismo. Se for maior que 9, 
não convém, pois queremos apenas um al-
garismo. Nesse caso, o algarismo candidato 
passa a ser o 9.
38 4
36
2 9
−
→ Candidato
Colocamos, ao lado direito do dobro do 
número na raiz, o algarismo candidato e multi-
plicamos o número assim formado pelo próprio 
algarismo candidato. Se o resultado for maior 
que o número colocado no lugar do resto, o 
candidato não serve. Nesse caso, devemos 
trocá-lo pelo algarismo imediatamente menor 
e repetir a operação.
Obtendo resultado menor ou igual ao indi-
cado no lugar do resto, o algarismo candidato 
vai para a raiz. Depois, calcula-se o novo resto, 
subtraindo do número que lá está o resultado 
da última multiplicação.
2 8
−4
5
38.9
−384
2 . 2 = 4
49 . 9 = 441 > 389 (não serve)
48 . 8 = 384 (serve)
789
Então:
A raiz quadrada de 789 é aproximadamen-
te 28, e o resto é igual a 5.
Veja: 
28² + 5 = 784 + 5 = 789
Em símbolos:
789 28 5= ( )resto 
Note também que se pode escrever: 
789 = 29² − 52
E isso nos mostra que:
28 789 29< < 
Logo:
789 28= → Raiz quadrada por falta. 
789 29= → Raiz quadrada por excesso.
No exemplo anterior, o erro da raiz qua-
drada por falta ou por excessoé menor que 
uma unidade.
7 89.
cálculosresto
Radicando
raiz
dois algarismos, da direita para a esquerda. 
O primeiro grupo à esquerda pode ficar com 
apenas um algarismo.
Matematica_2020_8A_01.indd 38 10/07/2019 09:05:27
Para os números que não são qua-
drados perfeitos, o cálculo da raiz qua-
drada é realizado utilizando resultados 
aproximados. Por exemplo, vamos veri-
ficar a raiz quadrada aproximada do nú-
mero .
De acordo com a reta numérica, a 
17 está localizada entre a raiz qua-
drada dos seguintes números quadra-
dos perfeitos: 6 e . Dessa forma, te-
mos que: 16 4 25 5= =e . Portanto, a 
17 possui como resultado um número 
decimal entre e .
Aproximação por falta, utilizando duas 
casas decimais, 4,12 × 4,12 = 6,9 .
Aproximação por excesso, utilizan-
do duas casas decimais, 4,13 × 4,13 = 
, 69.
Temos que a 17 possui como resul-
tado aproximado as seguintes opções: 
, ou , .
Vejamos outro exemplo. A 187 está 
localizada entre os seguintes números 
quadrados perfeitos: 69 e 96. Obser-
ve que: 169 13 196 14= =e . A 187 
pertence ao intervalo entre os números: 
 e .
Realizando a aproximação do resul-
tado com duas casas decimais, encon-
traremos: aproximação por falta ,6 
,6 = 6, 6 9 e aproximação por ex-
cesso ,6 ,6 = , .
Temos que a 17 possui como resul-
tado aproximado as seguintes opções: 
,6 ou ,6 .
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
1. Complete com os números que estão 
faltando nas sequências.
a) em N , , , , .
b) em Z 12, 144, –11, 121, 10, 100, __, __, 
, .
c) 1
4
4
9
9
16
16
25
, , , , , , , . 
Resposta:
a) 6 , 9.
b) −9, , , 6 .
c) 25
36
36
49
49
64
64
81
, , , . 
ANOTAÇÕES
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 38 10/07/2019 15:40:27
39
39Capítulo 1 — Estudo dos números
51. Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas. se o dispositivo prático.
a) − 2,0313131... b) 5,121212...
52. (IFRJ) O “Método das Iterações” fornece um algoritmo que calcula o valor aproximado de 
raízes quadradas, indicado abaixo:
A A B
B
=
+
2
 
Em que: A é o número de que desejamos obter o valor aproximado da raiz quadrada, e B é o 
quadrado perfeito mais próximo de A. Por exemplo, se A = 17, teremos B = 16, e daí:
17 17 16
2 16
33
8
4 125= + = = , 
Aplicando o método acima, qual é o valor aproximado de 33 ?
a) 5,73 b) 5,74 c) 5,77 d) 5,79
53. Considerando-se que x x= = = ⋅ ⋅44 55 42 2, y z ye , qual o valor da expressão z y− +( )x 
aproximando por falta e por excesso?
54. (UPE) Um número natural N pode ser escrito na forma a a+ , sendo a um número natural. 
Esse número N pode ser:
a) 45 b) 74 c) 94 d) 110 e) 220
55. Considere a curiosidade sobre os quadrados dos números terminados em 5.
15 225
1 2 2
5 25
225 25 625
2 3 6
5 25
2
2
2
2= →
× =
=




⇒ ( ) = →
× =
=




⇒; 6625
35 1 225
3 4 12
5 25
1 225
2
2( ) = →
× =
=




⇒. .
 
Usando esse raciocínio, calcule:
a) 45² b) 55² c) 85² d) 105² e) 95²
56. Mariana falou para Izabel que a raiz quadrada dos números terminados em 25 tem, no seu 
resultado, o número no final, por exemplo 5 625 75. = . Note que 56 = 7 . 8. Dessa forma, 
calcule:
a) 4 225. b) 24 025. c) 13 225. d) 950 625. 
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38 Capítulo 1 — Estudo dos números
Cada grupo assim obtido corresponde a 
um algarismo a ser encontrado da raiz. No 
caso, encontraremos dois algarismos para a 
parte inteira da raiz quadrada de 789 (dois 
grupos: 7 e 89).
Extraímos a raiz quadrada exata ou aproxi-
mada do número que ficou no primeiro grupo 
à esquerda. Escrevemos essa raiz no local a 
ela destinado e calculamos o resto abaixo do 
grupo mencionado:
7 89 2
4
3
7 2
.
−
≅
Em seguida, abaixamos o grupo seguinte, 
colocando-o ao lado direito do primeiro resto, 
e separamos, com um ponto, o algarismo final 
(da direita). Na linha abaixo da raiz, dobramos 
o valor do número que se encontra até então 
na raiz:
7 89 2
4 2 2 4
38 9
.
.
− ⋅ =
Fora do algoritmo, fazemos a divisão do 
número formado à esquerda do ponto pelo 
dobro do número que se encontra na raiz.
O quociente assim obtido é candidato a 
ser o segundo algarismo. Se for maior que 9, 
não convém, pois queremos apenas um al-
garismo. Nesse caso, o algarismo candidato 
passa a ser o 9.
38 4
36
2 9
−
→ Candidato
Colocamos, ao lado direito do dobro do 
número na raiz, o algarismo candidato e multi-
plicamos o número assim formado pelo próprio 
algarismo candidato. Se o resultado for maior 
que o número colocado no lugar do resto, o 
candidato não serve. Nesse caso, devemos 
trocá-lo pelo algarismo imediatamente menor 
e repetir a operação.
Obtendo resultado menor ou igual ao indi-
cado no lugar do resto, o algarismo candidato 
vai para a raiz. Depois, calcula-se o novo resto, 
subtraindo do número que lá está o resultado 
da última multiplicação.
2 8
−4
5
38.9
−384
2 . 2 = 4
49 . 9 = 441 > 389 (não serve)
48 . 8 = 384 (serve)
789
Então:
A raiz quadrada de 789 é aproximadamen-
te 28, e o resto é igual a 5.
Veja: 
28² + 5 = 784 + 5 = 789
Em símbolos:
789 28 5= ( )resto 
Note também que se pode escrever: 
789 = 29² − 52
E isso nos mostra que:
28 789 29< < 
Logo:
789 28= → Raiz quadrada por falta. 
789 29= → Raiz quadrada por excesso.
No exemplo anterior, o erro da raiz qua-
drada por falta ou por excesso é menor que 
uma unidade.
7 89.
cálculosresto
Radicando
raiz
dois algarismos, da direita para a esquerda. 
O primeiro grupo à esquerda pode ficar com 
apenas um algarismo.
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40
41Capítulo 1 — Estudo dos números
abc − bac será sempre um múltiplo de:
a) 4 b) 8
c) 9 d) 12
e) 20
5. (UFF) Um número n é formado por dois alga-
rismos cuja soma é 12. Invertendo-se a ordem 
desses algarismos, obtém-se um número do 
qual se subtrai n, e o resultado encontrado é 
54. Determine o número n.
6. (UFPE) A seguir, podemos observar uma 
operação correta de adição em que as parce-
las e a soma estão expressas no sistema de 
numeração decimal e x, y e z são dígitos entre 
0 e 9. Quanto vale x + y + z?
8 3
8 7
5 7
2 2 9 6
x
y
z 
a) 17 b) 18 c) 19 
d) 20 e) 21
7. (PUC) Resolver um criptograma aritmético 
significa usar a estratégia “tentativa e erro” 
para determinar quais números satisfazem as 
condições de um dado problema. Considere o 
criptograma seguinte, em que cada letra repre-
senta apenas um único algarismo não nulo.
(AR)² = BAR
Para os valores de A, R e B encontrados, é cor-
reto afirmar que o “número” BARRA está com-
preendido entre:
a) 45.000 e 50.000
b) 50.000 e 55.000
c) 55.000 e 60.000
d) 60.000 e 65.000
e) 65.000 e 70.000
8. (UFMG) Sabe-se que, para se escreverem os 
números naturais de 1 a 11, são necessários 
13 dígitos e, para se escreverem os números 
naturais de 1 até o número natural n, são ne-
cessários 1.341 dígitos:
Assim sendo, é correto afirmar que n é igual a:
a) 448 b) 483 c) 484
d) 447 e) 449
9. O quadrado de um número natural é igual 
ao seu dobro somado com . O dobro desse 
número menos 8 é igual a:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
10. (Escola Técnica Federal – RJ) Dividindo-se 
o número 59.093 sucessivamente por 2, 3, 5, 
9 e 10, os restos das divisões serão, respecti-
vamente:
a) 0, 2, 3, 6, 3 b) 1, 1, 2, 2, 8
c) 1, 2, 0, 7, 3 d) 1, 2, 3, 8, 3
e) 1, 1, 1, 1, 1
11. (Santa Casa) A soma de três números na-
turais consecutivos é um número:
a) Par b) Quadrado perfeito
c) Ímpar d) Múltiplo de 3
e) Primo
12. (UFG) Uma confecção atacadista tem, no 
seu estoque, 864 bermudas e 756 calças e de-
seja vender toda essa mercadoria dividindo-a 
em pacotes, cada um com n1 bermudas e n2 
calças, sem sobrar nenhuma peça no estoque. 
Deseja-se montar o maior número de pacotes 
nessas condições. Nesse caso, o número de pe-
ças n n n1 2+( ) em cada pacote deve ser igual a:
a) 9 b) 12 c) 15
d) 18 e) 20
13. (Uece) Em cada círculo, os números estão 
colocados de acordo com um raciocíniológico 
matemático:
Matematica_2020_8A_01.indd 41 10/07/2019 09:05:35
40 Capítulo 1 — Estudo dos números
57. Imagine você sendo o professor que vai corrigir as respostas dadas por Rogério. Cada res-
posta certa vale 20 pontos. Para cada resposta errada, são descontados 5 pontos. Que nota 
Rogério obteve?
Expressão Resposta
1 41 4 9
25
16 81)1 4)1 4 + −+ −+ −+ − × −167
5
2
0 04
0 0009
)
,0 0,0 0
,
20
3
3 03 0 09 3 0 2 0
2
) ,) ,3 0) ,3 03 0) ,3 0 , ,2 0, ,2 0− ×3 0− ×3 0 2 0×2 02 0, ,2 0×2 0, ,2 0( )2 0( )2 0 8( )8, ,( ), ,2 0, ,2 0( )2 0, ,2 0 0,84
4 64 64 14 16 3 4)4 6)4 6 − −4 1− −4 14 1− −4 16 3− −6 3× −2
5 3
4
9
16
2
)






−
3
8
6 26 25 45 4 36)6 2)6 2 + −+ −5 4+ −5 45 4+ −5 4
 1
1. Na teoria dos conjuntos, usamos os símbolos 
∈ ∉ou para indicar uma relação de pertinên-
cia (relacionar elemento com conjunto) e os 
símbolos ⊂ ⊄ou para indicar uma inclusão 
(relacionar conjunto com conjunto). Sendo N
o conjunto dos números naturais, assinale V
para verdadeiro e F para falso.
a) 1
2
∈N b) 30 ∈N
c) 36 ∈ N d) 1{ }⊄N
e) 0 12 3, , , ,...{ }⊂N f) N N*⊂
g) 0∉ N * h) N N*⊃
i)302 2 5 8 11∈{ }, , , ,...
2. (Fatec) Um número natural A, de dois al-
garismos, é tal que, se invertermos a ordem 
desses algarismos, obteremos um número 18 
unidades maior. Se a soma dos algarismos de 
A é 10, então o algarismo das dezenas de A é:
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 7
3. (Fuvest) A seguir, está representada uma 
multiplicação na qual os algarismos a, b e c são c são c
desconhecidos. Tendo 1abc . abc . abc 3 = abc4, qual é 
o valor da soma a + b + c?c?c
a) 5 b) 8 c) 11 
d) 14 e) 17
4. (Cesgranrio) Considere os números inteiros 
abc e bac, em que a, b e c são algarismos dis-
tintos e diferentes de zero e a > b. A diferença 
ME_Matemática_2020_8A_01.indd 40 10/07/2019 15:40:28
41
41Capítulo 1 — Estudo dos números
abc − bac será sempre um múltiplo de:
a) 4 b) 8
c) 9 d) 12
e) 20
5. (UFF) Um número n é formado por dois alga-
rismos cuja soma é 12. Invertendo-se a ordem 
desses algarismos, obtém-se um número do 
qual se subtrai n, e o resultado encontrado é 
54. Determine o número n.
6. (UFPE) A seguir, podemos observar uma 
operação correta de adição em que as parce-
las e a soma estão expressas no sistema de 
numeração decimal e x, y e z são dígitos entre 
0 e 9. Quanto vale x + y + z?
8 3
8 7
5 7
2 2 9 6
x
y
z 
a) 17 b) 18 c) 19 
d) 20 e) 21
7. (PUC) Resolver um criptograma aritmético 
significa usar a estratégia “tentativa e erro” 
para determinar quais números satisfazem as 
condições de um dado problema. Considere o 
criptograma seguinte, em que cada letra repre-
senta apenas um único algarismo não nulo.
(AR)² = BAR
Para os valores de A, R e B encontrados, é cor-
reto afirmar que o “número” BARRA está com-
preendido entre:
a) 45.000 e 50.000
b) 50.000 e 55.000
c) 55.000 e 60.000
d) 60.000 e 65.000
e) 65.000 e 70.000
8. (UFMG) Sabe-se que, para se escreverem os 
números naturais de 1 a 11, são necessários 
13 dígitos e, para se escreverem os números 
naturais de 1 até o número natural n, são ne-
cessários 1.341 dígitos:
Assim sendo, é correto afirmar que n é igual a:
a) 448 b) 483 c) 484
d) 447 e) 449
9. O quadrado de um número natural é igual 
ao seu dobro somado com . O dobro desse 
número menos 8 é igual a:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
10. (Escola Técnica Federal – RJ) Dividindo-se 
o número 59.093 sucessivamente por 2, 3, 5, 
9 e 10, os restos das divisões serão, respecti-
vamente:
a) 0, 2, 3, 6, 3 b) 1, 1, 2, 2, 8
c) 1, 2, 0, 7, 3 d) 1, 2, 3, 8, 3
e) 1, 1, 1, 1, 1
11. (Santa Casa) A soma de três números na-
turais consecutivos é um número:
a) Par b) Quadrado perfeito
c) Ímpar d) Múltiplo de 3
e) Primo
12. (UFG) Uma confecção atacadista tem, no 
seu estoque, 864 bermudas e 756 calças e de-
seja vender toda essa mercadoria dividindo-a 
em pacotes, cada um com n1 bermudas e n2 
calças, sem sobrar nenhuma peça no estoque. 
Deseja-se montar o maior número de pacotes 
nessas condições. Nesse caso, o número de pe-
ças n n n1 2+( ) em cada pacote deve ser igual a:
a) 9 b) 12 c) 15
d) 18 e) 20
13. (Uece) Em cada círculo, os números estão 
colocados de acordo com um raciocínio lógico 
matemático:
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40 Capítulo 1 — Estudo dos números
57.
Expressão Resposta
1. 
∈ ∉ou
⊂ ⊄ou
a) 1
2
∈N b) 30 ∈N
c) 36 ∈ N d) 1{ }⊄N
e) 0 12 3, , , ,...{ }⊂N f) N N*⊂
g) 0∉ N * h) N N*⊃
i)302 2 5 8 11∈{ }, , , ,...
2. 
a) b) c)
d) e)
3. 
a) b) c)
d) e)
4. 
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42
43Capítulo 1 — Estudo dos números
23. A dízima periódica simples , pode 
ser escrita como:
a) 24
99
 
b) 24
999
 
c) 249
299
 
d) 24
1 000.
 
e) 240
1 000.
 
20. Qual é a diferença entre o conjunto dos 
números naturais e o conjunto dos números 
inteiros Exemplifique.
21. Responda:
22. Calcule: 
a) 0 777 1
2
, ...+ = 
b) 1222 1
6
, ...+ =
c) 0 777 1
2
, ...− = 
d) 0 222 1
3
2
3
, ... :+





 =
Quem sou eu?
Não sou um 
número natural, 
não sou inteiro, 
não sou racional, 
mas sou real.
Neste capítulo, aprendemos:
 As características básicas dos números inclusos em um conjunto numérico.
 A efetuar de maneira mais simples as operações fundamentais.
 Que existe uma regra que devemos respeitar para operar com números inteiros.
 A transformação de um número decimal em racional, e vice-versa.
 Como obter a fração geratriz de uma dízima periódica.
 A identificar números quadrados perfeitos, bem como o método de extração da raiz 
quadrada de um número, inclusive com aproximação decimal.
 A resolver problemas que envolvam todo o conteúdo aprendido.
24. Se elevarmos um número natural ao qua-
drado e tirarmos a raiz quadrada do resultado 
da potência, o que acontecerá? 
a) O resultado será maior do que 6. 
b) O resultado será o próprio número que foi 
elevado ao quadrado. 
c) O resultado será maior do que o número 
que foi elevado ao quadrado. 
d) O resultado terá duas casas decimais. 
e) Vai ser obtido o dobro de um número que 
foi elevado ao quadrado.
Matematica_2020_8A_01.indd 43 10/07/2019 09:05:38
42 Capítulo 1 — Estudo dos números
44 48
40
266 7 12 2014
10 235
Complete o último círculo e encontre a soma 
dos seus números.
a) 250 b) 255 
c) 260 d) 265
15. (Uece) A letra que ocupa a posição 2.002 na 
sequência literal PQRSRQPQRSRQPQ... é:
a) S b) R 
c) Q d) P
14. (Unifor) Qualquer número que pode ser 
representado como nas figuras seguintes é 
chamado número triangular.
Seguindo esse padrão, é correto afirmar que 
o vigésimo número triangular é:
a) 176 b) 180 c) 196
d) 210 e) 240
1 3 6 10 15
16. ( ece) O valor da soma + 2 − 3 − 4 + 5 
+ 6 − 7 − 8 + 9 + 10 − 11 − 12 + 13 + 14 −...+ 
301 + 302 é igual a:
a) 300 b) 301 
c) 302 d) 303
17. (PUC) No esquema abaixo, o número 14 é 
o resultado que se pretende obter para a ex-
pressão final encontrada ao se efetuar, passo 
a passo, a sequência de operações indicadas 
a partir de um dado número x.
(Multiplicar por 6, subtrair por 5, multiplicar 
por 2, dividir por 7.)
x 14
O número x que satisfaz as condições do pro-
blema é:
a) Divisível por 6
b) Múltiplo de 4
c) Um quadrado perfeito
d) Racional não inteiro
e) Primo
18. (Mackenzie) Seja n um número qualquer 
inteiro e positivo. Se n é par, divida-o por 2; 
se n é ímpar, multiplique-o por 3 e adicione 1 
ao resultado. Esse procedimento deve ser 
repetido até que se obtenha como resultado 
final o número 1. Assim, por exemplo, se 
n = 12, tem-se:
12 6 3 10 5 16 8 4 2 1→ → → → → → → → → 
Ou seja, foram necessárias 9 passagens até 
obter-se o resultado 1.
Nessas condições, se n = 11, o número de pas-
sagens necessárias para obter-se o resultado 
final será:
a) 7 b) 8 c) 11 
d) 14 e) 17
19. (Uece) Se a
b
 é o sexto termo da sequência 
de frações irredutíveis (logicamente estruturada) 
1
3
7
3
7
15
31
15
31
63
127
63
, , ,, , ..., então a + b é igual a:
a) 190 b) 182 
c) 178 d) 202
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43
43Capítulo 1 — Estudo dos números
23. A dízima periódica simples , pode 
ser escrita como:
a) 24
99
 
b) 24
999
 
c) 249
299
 
d) 24
1 000.
 
e) 240
1 000.
 
20. Qual é a diferença entre o conjunto dos 
números naturais e o conjunto dos números 
inteiros Exemplifique.
21. Responda:
22. Calcule: 
a) 0 777 1
2
, ...+ = 
b) 1222 1
6
, ...+ =
c) 0 777 1
2
, ...− = 
d) 0 222 1
3
2
3
, ... :+





 =
Quem sou eu?
Não sou um 
número natural, 
não sou inteiro, 
não sou racional, 
mas sou real.
Neste capítulo, aprendemos:
 As características básicas dos números inclusos em um conjunto numérico.
 A efetuar de maneira mais simples as operações fundamentais.
 Que existe uma regra que devemos respeitar para operar com números inteiros.
 A transformação de um número decimal em racional, e vice-versa.
 Como obter a fração geratriz de uma dízima periódica.
 A identificar números quadrados perfeitos, bem como o método de extração da raiz 
quadrada de um número, inclusive com aproximação decimal.
 A resolver problemas que envolvam todo o conteúdo aprendido.
24. Se elevarmos um número natural ao qua-
drado e tirarmos a raiz quadrada do resultado 
da potência, o que acontecerá? 
a) O resultado será maior do que 6. 
b) O resultado será o próprio número que foi 
elevado ao quadrado. 
c) O resultado será maior do que o número 
que foi elevado ao quadrado. 
d) O resultado terá duas casas decimais. 
e) Vai ser obtido o dobro de um número que 
foi elevado ao quadrado.
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42 Capítulo 1 — Estudo dos números
44 48
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266 7 12 2014
10 235
Complete o último círculo e encontre a soma 
dos seus números.
a) 250 b) 255 
c) 260 d) 265
15. (Uece) A letra que ocupa a posição 2.002 na 
sequência literal PQRSRQPQRSRQPQ... é:
a) S b) R 
c) Q d) P
14. (Unifor) Qualquer número que pode ser 
representado como nas figuras seguintes é 
chamado número triangular.
Seguindo esse padrão, é correto afirmar que 
o vigésimo número triangular é:
a) 176 b) 180 c) 196
d) 210 e) 240
1 3 6 10 15
16. ( ece) O valor da soma + 2 − 3 − 4 + 5 
+ 6 − 7 − 8 + 9 + 10 − 11 − 12 + 13 + 14 −...+ 
301 + 302 é igual a:
a) 300 b) 301 
c) 302 d) 303
17. (PUC) No esquema abaixo, o número 14 é 
o resultado que se pretende obter para a ex-
pressão final encontrada ao se efetuar, passo 
a passo, a sequência de operações indicadas 
a partir de um dado número x.
(Multiplicar por 6, subtrair por 5, multiplicar 
por 2, dividir por 7.)
x 14
O número x que satisfaz as condições do pro-
blema é:
a) Divisível por 6
b) Múltiplo de 4
c) Um quadrado perfeito
d) Racional não inteiro
e) Primo
18. (Mackenzie) Seja n um número qualquer 
inteiro e positivo. Se n é par, divida-o por 2; 
se n é ímpar, multiplique-o por 3 e adicione 1 
ao resultado. Esse procedimento deve ser 
repetido até que se obtenha como resultado 
final o número 1. Assim, por exemplo, se 
n = 12, tem-se:
12 6 3 10 5 16 8 4 2 1→ → → → → → → → → 
Ou seja, foram necessárias 9 passagens até 
obter-se o resultado 1.
Nessas condições, se n = 11, o número de pas-
sagens necessárias para obter-se o resultado 
final será:
a) 7 b) 8 c) 11 
d) 14 e) 17
19. (Uece) Se a
b
 é o sexto termo da sequência 
de frações irredutíveis (logicamente estruturada) 
1
3
7
3
7
15
31
15
31
63
127
63
, , , , , ..., então a + b é igual a:
a) 190 b) 182 
c) 178 d) 202
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44
45Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
Conjunto dos números reais (R) é aquele formado por todos os outros conjuntos reuni-
dos, ou seja, a reunião dos números racionais com os números irracionais forma o conjunto 
dos números reais. No conjunto dos números reais, encontramos os números com os quais 
contamos, codificamos, ordenamos e medimos em nosso cotidiano.
Usando diagramas, podemos representar esse fato assim:
Q
R
N
Z
I
Podemos, também, visualizar o conjunto dos números reais e seus principais subconjuntos 
através do quadro sinóptico:
a) Q ∪ I = R
b) Q ∪ I = ∅ (isto é, Q e I são conjuntos disjuntos.)
c) (R − Q) = (I)
d) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
naturais (N Z+)
negativos (Z* )
Números reais (R)
irracionais (R – Q) 
racionais (Q) inteiros (Z) 
É importante destacar os seguintes subconjuntos de R:
R R*= ∈ ≠{ }x x 0 – Conjunto dos números reais não nulos. 
R R+ = ∈ >{ }* x x 0 – Conjunto dos números reais não nulos positivos. 
R R− = ∈ <{ }* x x 0 – Conjunto dos números reais não nulos negativos. 
Perceba que o * indica ausência do zero.
R R+ = ∈ ≥{ }x x 0 – Conjunto dos números reais não negativos.
R R− = ∈ ≤{ }x x 0 – Conjunto dos números reais não positivos. 
Podemos relacionar os elementos de vários conjuntos?
Nos conjuntos, estudamos as possíveis relações que podem se estabelecer entre os elemen-
tos que os formam. Mas como se estabelece uma relação entre os elementos de um conjunto 
e os elementos de outro? A resposta a essa pergunta é dada pelo estudo das relações entre 
eles. Mas, como elas têm uma definição muito ampla, se quisermos uma informação mais 
precisa sobre as relações que se estabelecem, teremos de estudá-las uma a uma, da menor 
para a mais ampla. O conjunto dos reais é muito denso, e você perceberá que ele também não 
pode ser enumerado.
Matematica_2020_8A_02.indd 45 18/09/2019 17:02:28
44 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
CAPÍTULO 2 Conjunto dos 
números reais
Para começar
Os números irracionais
Pitágoras e seus seguidores acreditavam que a essência de tudo podia ser 
explicada através de razões entre números inteiros e por suas propriedades. Ao 
aplicarem a relação conhecida hoje como Teorema de Pitágoras num triângulo 
retângulo isósceles de catetos com medida unitária, esperavam encontrar um 
número racional para a medida da hipotenusa.
1
1
a a2 2 21 1 2= + =
Perceberam seu engano quando fizeram a operação e viram que 2 não 
é racional.
Esse fato gerou uma grande polêmica entre os matemáticos da época.
Assim, esse e outros problemas puderam ser resolvidos com o auxílio de 
um novo tipo de número: o número irracional.
Exemplos:
A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles de catetos 
com medida unitária é o número irracional 2 14142135= , .
5 2 2360679
7 2 6457513
3 1415926
≅
≅
≅
, ...
, ...
, ...π
Observe que todo número irracional representado na forma decimal tem 
infinitos algarismos e não apresenta periodicidade. Vejamos alguns exemplos:
π ≅ 3 141592635,
O valor de e, que é a base do logaritmo de Euler, ou o número de Euler, é:
e ≅ 2 7182, ... 
2 14142135≅ , ... 
3 17320508≅ , ... 
Matematica_2020_8A_02.indd 44 18/09/2019 17:02:27
BNCC
Objetos de conhecimento
 Notação científica. 
 Potenciação e radiciação. 
 O princípio multiplicativo da contagem. 
 Dízimas periódicas: fração geratriz.
Habilidades trabalhadas no capítulo
(EF08MA01) Efetuar cálculos com po-
tências de expoentes inteiros e aplicar 
esse conhecimento na representação 
de números em notação científica.
(EF08MA02) Resolver e elaborar proble-
mas usando a relação entre potenciação 
e radiciação, para representar uma raiz 
como potência de expoente fracionário.
(EF08MA03) Resolver e elaborar proble-
mas de contagem cuja resolução envol-
va a aplicação do princípio multiplicativo.
(EF08MA05) Reconhecer e utilizar pro-
cedimentos para a obtenção de uma fra-
ção geratriz para uma dízima periódica.
 Propriedades dos números reais.
 Os números irracionais.
 Propriedades dos números irracionais.
 Representação na reta numérica.
 Potências.
 Propriedades das potências.
 Radiciação.
 Raiz quadrada exata.
 Intervalos reais.
 Propriedades das desigualdades.
CONTEÚDOS CONCEITUAIS
 Reconhecer um número irracional e 
representá-lo na reta numérica.
 Reconhecero conjunto dos números 
reais como sendo o conjunto dos núme-
ros racionais e irracionais.
 Representar na reta numérica a ordem 
de R.
 Identificar e representar os subconjun-
tos de R.
 Calcular a raiz quadrada exata.
CONTEÚDOS PROCEDIMENTAIS
 Estimular os alunos a pesquisarem o 
uso da Matemática no dia a dia.
CONTEÚDOS ATITUDINAIS
OBJETIVOS DIDÁTICOS
 Compreender a formação do conjunto 
dos números reais.
 Saber que a reunião do conjunto dos 
números racionais Q com o conjunto dos 
números irracionais I é um novo conjun-
to numérico denominado conjunto dos 
números reais R.
 Reconhecer e representar subconjun-
tos de R utilizando a linguagem de con-
juntos.
 Reconhecer que as operações adição, 
subtração, multiplicação e divisão, estu-
dadas em Q, são possíveis em R.
 Realizar operações com números reais.
 Elevar qualquer número real a um ex-
poente inteiro.
 Efetuar os cálculos das propriedades 
da potência com números reais.
 Identificar a notação científica.
 Identificar a, sendo a um número 
real positivo.
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45
45Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
Conjunto dos números reais (R) é aquele formado por todos os outros conjuntos reuni-
dos, ou seja, a reunião dos números racionais com os números irracionais forma o conjunto 
dos números reais. No conjunto dos números reais, encontramos os números com os quais 
contamos, codificamos, ordenamos e medimos em nosso cotidiano.
Usando diagramas, podemos representar esse fato assim:
Q
R
N
Z
I
Podemos, também, visualizar o conjunto dos números reais e seus principais subconjuntos 
através do quadro sinóptico:
a) Q ∪ I = R
b) Q ∪ I = ∅ (isto é, Q e I são conjuntos disjuntos.)
c) (R − Q) = (I)
d) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
naturais (N Z+)
negativos (Z* )
Números reais (R)
irracionais (R – Q) 
racionais (Q) inteiros (Z) 
É importante destacar os seguintes subconjuntos de R:
R R*= ∈ ≠{ }x x 0 – Conjunto dos números reais não nulos. 
R R+ = ∈ >{ }* x x 0 – Conjunto dos números reais não nulos positivos. 
R R− = ∈ <{ }* x x 0 – Conjunto dos números reais não nulos negativos. 
Perceba que o * indica ausência do zero.
R R+ = ∈ ≥{ }x x 0 – Conjunto dos números reais não negativos.
R R− = ∈ ≤{ }x x 0 – Conjunto dos números reais não positivos. 
Podemos relacionar os elementos de vários conjuntos?
Nos conjuntos, estudamos as possíveis relações que podem se estabelecer entre os elemen-
tos que os formam. Mas como se estabelece uma relação entre os elementos de um conjunto 
e os elementos de outro? A resposta a essa pergunta é dada pelo estudo das relações entre 
eles. Mas, como elas têm uma definição muito ampla, se quisermos uma informação mais 
precisa sobre as relações que se estabelecem, teremos de estudá-las uma a uma, da menor 
para a mais ampla. O conjunto dos reais é muito denso, e você perceberá que ele também não 
pode ser enumerado.
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44 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
CAPÍTULO 2 Conjunto dos 
números reais
Para começar
Os números irracionais
Pitágoras e seus seguidores acreditavam que a essência de tudo podia ser 
explicada através de razões entre números inteiros e por suas propriedades. Ao 
aplicarem a relação conhecida hoje como Teorema de Pitágoras num triângulo 
retângulo isósceles de catetos com medida unitária, esperavam encontrar um 
número racional para a medida da hipotenusa.
1
1
a a2 2 21 1 2= + =
Perceberam seu engano quando fizeram a operação e viram que 2 não 
é racional.
Esse fato gerou uma grande polêmica entre os matemáticos da época.
Assim, esse e outros problemas puderam ser resolvidos com o auxílio de 
um novo tipo de número: o número irracional.
Exemplos:
A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles de catetos 
com medida unitária é o número irracional 2 14142135= , .
5 2 2360679
7 2 6457513
3 1415926
≅
≅
≅
, ...
, ...
, ...π
Observe que todo número irracional representado na forma decimal tem 
infinitos algarismos e não apresenta periodicidade. Vejamos alguns exemplos:
π ≅ 3 141592635,
O valor de e, que é a base do logaritmo de Euler, ou o número de Euler, é:
e ≅ 2 7182, ... 
2 14142135≅ , ... 
3 17320508≅ , ... 
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 Valorizar o uso da calculadora como 
mais um recurso de aprendizagem na 
busca e organização de resultados.
 Valorizar o trabalho coletivo e a troca 
de experiências dos alunos.
 Incentivar o interesse em comparar di-
ferentes métodos e processos na resolu-
ção de um problema.
 Propor duplas para resolver exercícios 
sobre o conteúdo estudado.
ANOTAÇÕES
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46
47Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
5a propriedade
Propriedade operatória dos números irracionais
b= 5 a
b
p = 6 p
g
Representação na reta numérica
2 3 2 3, , ,− −
2 3 2 3, , ,− − 2 3 2 3, , ,− −
2 3 2 3, , ,− −
2 3 2 3, , ,− −
3
3
3
2
5
2
1
3
3
2
5
2
1
3
3
2
5
2
1
3
46 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
Propriedades dos números reais
Com relação ao conjunto dos números reais e seus subconjuntos, valem as seguintes pro-
priedades:
1a propriedade
Se o número an , com n a∈ N N* ,e não é inteiro, então o número é real.
2 é um número irracional.
4 2= é um número racional.
32 25 = é um número racional, notemos que 2 2 2 2∈ → ∈ ∈ → ∈Q R I Re .
273 ∉ −( )R Q , pois 27 33 = ∈ Q. 
09 ∉ −( )R Q ,pois 0 03 = ∈ Q. 
2a propriedade
A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.
1 + π = 4,14159265
1 + 3,14159265 = 4,14159265
↓ ↓ ↓
Racional (π) Irracional Irracional
3a propriedade
A diferença entre um número racional e um número irracional, em qualquer ordem, é um 
número irracional.
4 − π = 0,85840735
4 − 3,14159265 = 0,85840735
↓ ↓ ↓
Racional (π) Irracional Irracional
4a propriedade
O produto de um número racional não nulo por um número irracional é um número irracional.
4 3 4 3⋅ = ⋅
4 . 3 = 12
↓ ↓ ↓
Racional Irracional Irracional
Matematica_2020_8A_02.indd 46 18/09/2019 17:02:31
Origem dos números 
irracionais
A criação dos números irracionais está 
intimamente ligada a fatos de natureza 
geométrica e de natureza aritmética. Os 
de natureza geométrica podem ser ilustra-
dos com o problema da medida da diago-
nal do quadrado quando a comparamos 
com o seu lado. Esse problema geométri-
co instaura outro de natureza aritmética, 
que consiste na impossibilidade de encon-
trar números conhecidos — racionais — 
para raízes quadradas de outros números, 
por exemplo, raiz quadrada de .
Esses problemas já eram conhecidos 
da Escola Pitagórica (século V a.C.), que 
considerava os irracionais heréticos. A 
ciência grega conseguiu um aprofunda-
mento de toda a teoria dos números ra-
cionais por via geométrica — Elementos 
de Euclides —, mas não avançou, por ra-
zões essencialmente filosóficas, no cam-
po do conceito de número. Para os gre-
gos, toda figura geométrica era formada 
por um número finito de pontos, sendo 
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
estes concebidos como minúsculos cor-
púsculos — as mônadas —, todos iguais 
entre si daí resultava que, ao medir um 
comprimento de n mônadas com outro 
de m, essa medida seria sempre repre-
sentada por uma razão entre dois intei-
ros n
m
 (número racional) tal comprimen-
to incluía-se, então, na categoria dos 
comensuráveis. Ao encontrar os irracio-
nais, aos quais não conseguem dar for-
ma de fração, os matemáticos gregos são 
levados a conceber grandezas incomen-
suráveis. A reta na qual se marcavam to-
dos os racionais era, para eles, perfeita-
mente contínua admitir os irracionais era 
imaginá-la cheia de “buracos”. no sécu-
lo VII, com a criação da Geometria Ana-
lítica (Fermat e Descartes), que se esta-
belece a simbiose do geométrico com o 
algébrico, favorecendo o tratamento arit-
mético do comensurável e do incomen-
surável. Ne ton ( 6 – ) define pela 
primeira vez número, tanto racional como 
irracional.
Disponível em: https:// .somatematica.com.br/irracionais.php. Acesso em: / / 9. Adaptado.
ANOTAÇÕES
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47
47Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
5a propriedade
O quociente de um número racional não nulo por um número irracional é um número 
irracional.
12 : π ≅ 3,81971863
12 : 3,14159265 ≅ 3,81971863
↓ ↓ ↓
Racional (π) Irracional Irracional
Propriedade operatória dos números irracionais
São válidas todas as propriedades dos números reais.
Exemplos:
Se a = 3 e b= 5 , então a
b
é um número irracional.
Se p = 6 e g = 3, então p
g
 é um número irracional. 
Representação na reta numérica
Representar números irracionais na reta não é tão complicado quanto pode parecer. Veja, 
por exemplo, a representação dos números 2 3 2 3, , ,− − .
2 3 2 3, , ,− − 2 3 2 3, , ,− −
2 3 2 3, , ,− −
2 3 2 3, , ,− −
–3 –2 –1 –0,5 0 1 323
3
3
2
5
2
1
3
3
2
5
2
1
3
3
2
5
2
1
3
1
1
Existem várias frases que ajudam a memorizar o valor aproximado do número π. Veja 
esta frase mnemônica que permite lembrar esse valor até a 5a casa decimal. casa decimal.
Você sabe o valor do número π de cor?
SIM, É ÚTIL E FÁCIL MEMORIZAR
3 1 4 1 5 9
�M,�M, �� � � �� ��� �� �� �� �� �� ��� �� �� ��� �� ���� �� �� �� ���� �� �� � � �� ������� �� �� �� �� �� ������� �� �� ������� �� ������� �� �� �� ������� �� �� �� ��� �� ������� ��� ������� � !
Aproveite e procure no dicionário o significado da palavra mnemônico.
46 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
Propriedades dos números reais
Com relação ao conjunto dos números reais e seus subconjuntos, valem as seguintes pro-
priedades:
1a propriedade
Se o número an , com n a∈ N N* ,e não é inteiro, então o número é real.
2 é um número irracional.
4 2= é um número racional.
32 25 = é um número racional, notemos que 2 2 2 2∈ → ∈ ∈ → ∈Q R I Re .
273 ∉ −( )R Q , pois 27 33 = ∈ Q. 
09 ∉ −( )R Q ,pois 0 03 = ∈ Q. 
2a propriedade
A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.
1 + π = 4,14159265
1 + 3,14159265 = 4,14159265
↓ ↓ ↓
Racional (π) Irracional Irracional
3a propriedade
A diferença entre um número racional e um número irracional, em qualquer ordem, é um 
número irracional.
4 − π = 0,85840735
4 − 3,14159265 = 0,85840735
↓ ↓ ↓
Racional (π) Irracional Irracional
4a propriedade
O produto de um número racional não nulo por um número irracional é um número irracional.
4 3 4 3⋅ = ⋅
4 . 3 = 12
↓ ↓ ↓
Racional Irracional Irracional
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48
49Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
8. Localizando o número 1
2
 na reta numérica, representada pela figura, ele vai estar no inter-
valo entre os números: 
a) 3 e 4 b) 2 e 3 c) 1 e 2 d) 0 e 1
9. A representação fracionária do número 0,25 é:
a) 1
2
 b) 1
3
 c) 1
4
 d) 1
5
 
6. A respeito dos números reais, analise as seguintes afirmativas.
I. O conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números inteiros, racionais, 
irracionais e naturais.
II. Os elementos do conjunto dos números naturais pertencem ao conjunto dos números reais.
III. O número −4 não é um número real.
IV. Se 3 ∈ Z , então 3 3∈ ∈Q Re
Estão incorretas as afirmativas:
a) I e II. b) II a III. c) Apenas a I. 
d) III e IV. e) Apenas a III.
7. Observe a reta numérica abaixo. Essa reta está dividida em segmentos de mesma medida.
Q
4 4
Nessa reta, qual é o número que está representado pelo ponto Q?
Potências
É uma multiplicação de fatores iguais.
Exemplos: 
3 . 3 . 3 = 3³
5 . 5 = 5²
Numa potência, temos:
I – Base – fator a ser multiplicado.
II – Expoente – fator que determina quantas vezes a base deve ser multiplicada por ela 
mesma.
a a a a an
n vezes
= ⋅ ⋅ ⋅...� ����� ����� n = expoentea = base
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48 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
1. Sabemos que um número é racional quando podemos escrevê-lo na forma de fração. Nos 
itens abaixo, faça a correta classificação em racionais e irracionais.
a) 5 b) 3 78, c) 7 35
10
, d) π = 3,141592... e) 2,4333...
2. (Unifor) Dadas as informações, marque o item correto.
I. Se a e b são dois números naturais, então a < b . (a − b) ∈ R.
II. A condição para que um número real racional de forma a
b
, com a b∈ ∈Z Ze *, seja um 
número Z é que a seja múltiplo de b.
III. Se m é um número inteiro, então o menor número real racional menor que m é m − 1.
a) I e III são verdadeiras.
b) I é verdadeira.
c) II é verdadeira.
d) III é verdadeira.
e) I e II são verdadeiras.
3. Com relação ao conjunto dos números reais (R) e seus subconjuntos, analise as situações 
seguintes e assinale V para as verdadeiras e F para as falsas. 
a) Todo número irracional é real.
b) A soma entre dois números irracionais é um número irracional.
c) A soma entre dois números irracionais negativos é irracional.
d) O produto entre dois números irracionais é um número irracional.
e) O produto de um número real por um número irracional é um número irracional.
4. Determine o valor de cada expressão.
a) 3 5⋅ b) 1,23 ⋅ 2,781 
c) π ⋅ π (com aproximação de 3 casas decimais) d) 2,333... ⋅ 1,777...
5. Considere a reta numérica abaixo.
8 6 4 27 5 3 1 1 42 5 73 6 8
0
Podemos afirmar que a dízima periódica , ... está entre os números e e, ainda, que 
− 8 localiza-se entre −3 e −2. Nessas condições, indique onde podemos localizar os seguintes 
números:
a) 17 b) 4
7
 c) −23
5
 d) 4,3737… e) 8
100
Matematica_2020_8A_02.indd 48 18/09/2019 17:02:34
5
0
0 66666
0 2
12324567
3
5
3
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
− ∈
R
R
R
R
R
R
R
R
, ...
,
, ...
π
Os números irracionais não são nú-
meros como fração nem como decimal 
exato ou periódico. Todo número repre-
sentado de forma decimal, infinita e não 
periódica é um número irracional.
Exemplos:
, ...
, 69 ...
Todos os números que conhecemos 
fazem parte do conjunto universo, que é 
o conjunto dos números reais (R), que são 
os racionais (Q) e os irracionais (R − Q). 
Exemplos:
Vários estudos foram realizados du-
rante séculos para chegar a um valor 
aproximado do π. A cada dia, acabamos 
descobrindo um maior número possível 
de casas decimais. O estudioso matemá-
tico Bhaskara usava π igual a 10 para 
cálculos rotineiros. O matemático fran-
cês François Vi te descobriu o valor do π 
até a nona casa decimal. oje já utiliza-
mos programas de computadores para 
calcular o valor de π. Já foram encontra-
dos . . dígitos do π, em 9 6, 
em Tóquio.
CURIOSIDADE
Mostre que raiz quadrada de um nú-
mero negativo não representa um nú-
mero real porque, ao elevar esse nú-
mero ao quadrado, nenhum número 
real dará como resultado um número 
negativo. Exemplo:
SUGESTÃO
− = −( ) =
⋅ =−( )
4 2
2
2
2
a
a aLogo, .
Produto sempre positivo:≠ − −( )de 2 2 . 
Interessante mostrar ao aluno que para 
operar com dízimas é necessário achar sua 
fração geratriz. No momento da resolução 
da letra d da questão , é interessante mos-
trar a diferença de resultados.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
ANOTAÇÕES
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49
49Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
8. Localizando o número 1
2
 na reta numérica, representada pela figura, ele vai estar no inter-
valo entre os números: 
a) 3 e 4 b) 2 e 3 c) 1 e 2 d) 0 e 1
9. A representação fracionária do número 0,25 é:
a) 1
2
 b) 1
3
 c) 1
4
 d) 1
5
 
6. A respeito dos números reais, analise as seguintes afirmativas.
I. O conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números inteiros, racionais, 
irracionais e naturais.
II. Os elementos do conjunto dos números naturais pertencem ao conjunto dos números reais.
III. O número −4 não é um número real.
IV. Se 3 ∈ Z , então 3 3∈ ∈Q Re
Estão incorretas as afirmativas:
a) I e II. b) II a III. c) Apenas a I. 
d) III e IV. e) Apenas a III.
7. Observe a reta numérica abaixo. Essa reta está dividida em segmentos de mesma medida.Q
4 4
Nessa reta, qual é o número que está representado pelo ponto Q?
Potências
É uma multiplicação de fatores iguais.
Exemplos: 
3 . 3 . 3 = 3³
5 . 5 = 5²
Numa potência, temos:
I – Base – fator a ser multiplicado.
II – Expoente – fator que determina quantas vezes a base deve ser multiplicada por ela 
mesma.
a a a a an
n vezes
= ⋅ ⋅ ⋅...� ����� ����� n = expoentea = base
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48 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
1. Sabemos que um número é racional quando podemos escrevê-lo na forma de fração. Nos 
itens abaixo, faça a correta classificação em racionais e irracionais.
a) 5 b) 3 78, c) 7 35
10
, d) π = 3,141592... e) 2,4333...
2. (Unifor) Dadas as informações, marque o item correto.
I. Se a e b são dois números naturais, então a < b . (a − b) ∈ R.
II. A condição para que um número real racional de forma a
b
, com a b∈ ∈Z Ze *, seja um 
número Z é que a seja múltiplo de b.
III. Se m é um número inteiro, então o menor número real racional menor que m é m − 1.
a) I e III são verdadeiras.
b) I é verdadeira.
c) II é verdadeira.
d) III é verdadeira.
e) I e II são verdadeiras.
3. Com relação ao conjunto dos números reais (R) e seus subconjuntos, analise as situações 
seguintes e assinale V para as verdadeiras e F para as falsas. 
a) Todo número irracional é real.
b) A soma entre dois números irracionais é um número irracional.
c) A soma entre dois números irracionais negativos é irracional.
d) O produto entre dois números irracionais é um número irracional.
e) O produto de um número real por um número irracional é um número irracional.
4. Determine o valor de cada expressão.
a) 3 5⋅ b) 1,23 ⋅ 2,781 
c) π ⋅ π (com aproximação de 3 casas decimais) d) 2,333... ⋅ 1,777...
5. Considere a reta numérica abaixo.
8 6 4 27 5 3 1 1 42 5 73 6 8
0
Podemos afirmar que a dízima periódica , ... está entre os números e e, ainda, que 
− 8 localiza-se entre −3 e −2. Nessas condições, indique onde podemos localizar os seguintes 
números:
a) 17 b) 4
7
 c) −23
5
 d) 4,3737… e) 8
100
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50
51Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
10. 2 10 4× −
11.
Número Expoente Potência
−
1
2
12. M =





 +





 −






− −
1
3
2
3
3
11
1 1 1
50 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
Convenções
1. Expoente zero: todo número diferente de zero elevado a expoente zero é sempre igual a 1.
Exemplos:
a) −( ) =175 10, b) 0 35 1
0
,( ) =
c) 0
7
1
0




 = d) 2 1
0
( ) =
2. Expoente 1: toda base elevada a expoente 1 é igual à própria base.
Exemplos:
a) −





 =−
1
3
1
3
1
 b) −( ) −0 375 0 375
1
, , 
c) (−12)¹ = −12 d) (−0,15)¹ = −0,15
3. Expoente inteiro maior que 1: serve a regra:
a a a a an
n vezes
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅... .� ������ ������ 
Exemplos:
a) 3 3 3 3 3 814 = ⋅ ⋅ ⋅ = 
b) (−0,2)³ = (−0,2) . (−0,2) . (−0,2) = −0,008
c) (−7)² = (−7) . (−7) = 49
d) 
1
2
1
2
1
2
1
4
2




 =





 ⋅





= 
4. Potência com expoente inteiro negativo: devemos tornar o expoente positivo invertendo 
os termos da base.
a
a a
n
n n
− =





= →
1 1 expoente positivo. 
Exemplos:
a) 3 1
3
1
9
2
2
− = = b) 2
3
1
2
3
1
2
3
1 3
2
3
2
1




 = 





= = ⋅ =
−
. Potência de ou notação científica:
A potência de 10 é utilizada em nosso dia a dia como solução prática em resoluções de 
problemas matemáticos que envolvem situações de grandezas muito grandes ou muito peque-
nas que possuem muitos zeros. É um tipo de “abreviação rápida” da quantidade desses zeros.
Matematica_2020_8A_02.indd 50 18/09/2019 17:02:37
Professor, seria interessante revisar 
as propriedades das potências com ex-
poentes inteiros. Mostrar ao aluno que a 
potência com expoente negativo é o in-
verso multiplicativo.
SUGESTÃO
Antigamente, já se encontravam regis-
tros gravados em placas, calendários as-
tronômicos e tabelas de como se realiza-
vam os cálculos de quadrado e cubo. Isso 
foi feito por volta do ano a.C. pelos 
babilônios, que registraram em tabelas 
os cálculos dos números naturais até 6 .
Os babilônicos registraram esses nú-
meros usando o sistema sexagesimal. 
Veja os exemplos:
, , que representa 6 + = .
, = . 6 + = 9 .
, = . 6 + = .
Os cubos foram representados na ta-
bela até .
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
ANOTAÇÕES
ME_Matemática_2020_8A_02.indd 50 19/09/2019 10:12:52
51
51Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
Como exemplo, podemos citar:
Número de células que formam o corpo humano: cerca de 300 milhões, ou seja: 
300.000.000 = 3 × 108
Tamanho de um átomo: aproximadamente 0,1 nanômetro, ou seja:
0,0000000001 = 1 × 10−10
Quando a contagem dos zeros é da direita para a esquerda, indica que a grandeza analisada 
é grande e a quantidade expressa como expoente é positiva. O mesmo acontece da esquerda 
para a direita, indicando que a grandeza é pequena, concluindo com o expoente negativo.
Na prática, temos:
a) 0,00001 = 1 × 10−5 b) 0,0001= 1 × 10−4
c) 0,001 = 1 × 10−3 d) 0,01 = 1 × 10−2
e) 0,1 = 1 × 10−1 f) 1 = 1 × 100
g) 10 = 1 × 10 h) 100 = 1 × 102
i) 1.000 = 1 × 103 j) 10.000 = 1 × 104
Ou seja: número inteiro × 10n.
10. As bactérias têm um comprimento médio de 2 10 4× − mm. Imagine 1.000 bactérias formando 4 mm. Imagine 1.000 bactérias formando 4
uma fila. Essa fila tem mais ou menos de mm Justifique sua resposta.
11. Considere a tabela.
Número Expoente Potência
3
8
2 9
64
−
3
8
−2
64
9
2 −2
1
4
−2 −2
1
4
De acordo com essa tabela, qual o valor de − 1
2elevado a −2?
12. Letícia foi desafiada a calcular o valor da expressão M =





 +





 −






− −
1
3
2
3
3
11
1 1 1
 e, em seguida, 
localizar M na reta numérica abaixo.M na reta numérica abaixo.M
50 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
Convenções
1. Expoente zero: todo número diferente de zero elevado a expoente zero é sempre igual a 1.
Exemplos:
a) −( ) =175 10, b) 0 35 1
0
,( ) =
c) 0
7
1
0




 = d) 2 1
0
( ) =
2. Expoente 1: toda base elevada a expoente 1 é igual à própria base.
Exemplos:
a) −





 =−
1
3
1
3
1
 b) −( ) −0 375 0 375
1
, , 
c) (−12)¹ = −12 d) (−0,15)¹ = −0,15
3. Expoente inteiro maior que 1: serve a regra:
a a a a an
n vezes
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅... .� ������ ������ 
Exemplos:
a) 3 3 3 3 3 814 = ⋅ ⋅ ⋅ = 
b) (−0,2)³ = (−0,2) . (−0,2) . (−0,2) = −0,008
c) (−7)² = (−7) . (−7) = 49
d) 
1
2
1
2
1
2
1
4
2




 =





 ⋅





= 
4. Potência com expoente inteiro negativo: devemos tornar o expoente positivo invertendo 
os termos da base.
a
a a
n
n n
− =





= →
1 1 expoente positivo. 
Exemplos:
a) 3 1
3
1
9
2
2
− = = b) 2
3
1
2
3
1
2
3
1 3
2
3
2
1




 = 





= = ⋅ =
−
. Potência de ou notação científica:
A potência de 10 é utilizada em nosso dia a dia como solução prática em resoluções de 
problemas matemáticos que envolvem situações de grandezas muito grandes ou muito peque-
nas que possuem muitos zeros. É um tipo de “abreviação rápida” da quantidade desses zeros.
Matematica_2020_8A_02.indd 50 18/09/2019 17:02:37
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52
53Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
2
3
4
5
2
3
4
5
3 3 3
⋅





 =





 ⋅





 2 5 2 5
2 2 5⋅( ) = ( )⋅− − −
2
3
2
3
3 3
3





 =
x x
y y






=
7 7
7
14.
a 5 5 52 3 4⋅ ⋅
b 3
2 2
3
( )











− −
c 72
87 0( )





−
d 8 815 3
2
: −( )
e
3
3
3
14
8
2
7( )
( )












⋅
15. y =( ) −( )3 3 2 24 2 2 4 2 2: :
52 Capítulo 2 — Conjunto dos números reaisOnde podemos localizar M nessa reta?M nessa reta?M
13. Calcule o valor numérico de cada uma das expressões abaixo.
a) 2x² − 4x + 9 quando x = 3
b) 0,01 × 1
0,01
-2( )
( )y
 quando y = 3
c) [10 − 3 . m² + (−10)²] quando m = 10
d) − +2 3 173332, ,x x quando x = 
L
4 4
Propriedades das potências
Produto de potências de mesma base: repete-se a base e somam-se os expoentes.
a a am na am na a m n⋅ =a a⋅ =a a +m n+m n
Exemplos: 
0 3 0 3 0 3 0 3
3 5 3 5 8
2 3 4 2 3 4 9
, , , ,( ) ⋅( ) = ( ) = ( )
⋅ ⋅ = =
+
+ +x x x x x
Divisão de potências de mesma base: repete-se a base e subtraem-se os expoentes.
a a ou a
a
am na am na a
m
n
m n:a a:a am n:m na am na a:a am na a = m n−m n
Exemplos: 
0 555 0 555 0 555 0 555
8 6 8 6 2
, ... : , ... , ... , ...( ) ( ) = ( ) = ( )−
3
3
3 3
5
2
5 2 3= =−
Potência de potência: repete-se a base e multiplicam-se os expoentes.
a a
n m n( )a a( )a am( )ma ama a( )a ama aa a=a am n⋅m n
Exemplos: 
−
















= −





 = −





⋅
1
5
1
5
1
5
4 5 4 5

( )













= =−
− −( )⋅ −( )⋅ ⋅
20
1 2
3 4
1 2 3 4 242 2 2 A operação 25 × 92 = 2.592
...
Babilônia e Egito
A Matemática babilônica se funda-
mentava na utilização de um sistema de 
numeração evoluído, que, como o atual, 
definia o valor relativo dos algarismos 
de acordo com sua posição. O sistema 
empregava equivalências sexagesimais 
(base 6 ) — que permanecem na relação 
entre horas, minutos e segundos da me-
dida de tempo — em lugar do sistema de-
cimal adotado na notação indo-arábica 
que se impôs em quase todo o mundo.
Os babilônios criaram as primeiras 
tábuas de informação e de cálculo des-
tinadas a armazenar dados extraídos 
da observação astronômica e a prever, 
com o auxílio de artifícios simples, a dis-
posição dos astros no firmamento. Pro-
pagaram métodos e operações aritmé-
ticas (adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação, radiciação, etc.) às 
sociedades vizinhas a partir do segun-
do milênio da Era Cristã e deixaram tes-
temunhos de sua sabedoria nas civiliza-
ções grega e alexandrina.
As principais fontes de informação 
concreta a propósito da Matemática 
egípcia são dois papiros, o de Rhind, ou 
o de Ahmés, e o de Golenishtchev, ambos 
datados aproximadamente do século VI a.C. 
O Papiro de Rhind parece indicar que os 
egípcios, à semelhança dos babilônios, 
dedicaram-se à solução de problemas 
práticos com o auxílio da Matemática, 
sem chegarem, contudo, à generalização 
das soluções. Isso explica o fato de terem 
permanecido no terreno da Aritmética 
em vez de terem incursionado pela 
lgebra. ...
Disponível em: http://estudantedefilosofia.com.br/
conceitos/matematica.php. Acesso em: / / 9. 
Adaptado.
ANOTAÇÕES
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
ME_Matemática_2020_8A_02.indd 52 19/09/2019 10:12:53
53
53Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
Propriedade distributiva da potência em relação à multiplicação: a potência de um produto 
é o produto da potência de cada fator de mesmo expoente.
a b
m m ma bm ma b( )a b( )a ba b⋅a b( )a b⋅a b = ⋅a b= ⋅a b
Exemplos:
(3 . 5)² = 3² . 5² 2
3
4
5
2
3
4
5
3 3 3
⋅





 =





 ⋅





 2 5 2 5
2 2 5⋅( ) = ( )⋅− − −
Propriedade distributiva da potência em relação à divisão: uma divisão elevada a um de-
terminado expoente implica que cada termo dessa divisão fique elevado a esse expoente.
a b
m m ma bm ma b: :a b: :a ba bm ma b: :a bm ma b( )a b( )a b: :( ): :a b: :a b( )a b: :a b: :=: :
Exemplos:
(9 : 5)³ = (9)³ : (5)³ 2
3
2
3
3 3
3





 = 
x x
y y






=
7 7
7
14. Relacione a primeira coluna de acordo com a segunda.
a 5 5 52 3 4⋅ ⋅ 319
b 3
2 2
3
( )











− −
 2108
c 72
87 0( )





−
 59
d 8 815 3
2
: −( ) 312
e
3
3
3
14
8
2
7( )
( )












⋅ 1
15. A expressão y =( ) −( )3 3 2 24 2 2 4 2 2: : representa que valor numérico?
52 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
13.
a) 
b) 0,01 × 1
0,01
-2( )
( )y
c) 
d) − +2 3 173332, ,x x
Propriedades das potências
0 3 0 3 0 3 0 3
3 5 3 5 8
2 3 4 2 3 4 9
, , , ,( ) ⋅( ) = ( ) = ( )
⋅ ⋅ = =
+
+ +x x x x x
0 555 0 555 0 555 0 555
8 6 8 6 2
, ... : , ... , ... , ...( ) ( ) = ( ) = ( )−
3
3
3 3
5
2
5 2 3= =−
−
















= −





 = −





⋅
1
5
1
5
1
5
4 5 4 5

( )













= =−
− −( )⋅ −( )⋅ ⋅
20
1 2
3 4
1 2 3 4 242 2 2
ME_Matemática_2020_8A_02.indd 53 19/09/2019 10:12:54
54
55Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
10 24 2
2 5
10
2 2
, =
⋅
2 11 1 936 2 114 2 4 2⋅ = ⋅.
Exemplos:
a) 1 936. b) 10 24
1 024
100
, .=
Dividimos os expoentes por 2 para retirarmos da raiz:
a) 1 936 2 11 2 11 4 11 444 2 2. = ⋅ = ⋅ = ⋅ = b) 10 24 2
2 5
2
2 5
32
10
3 2
10
2 2
5
, ,=
⋅
=
⋅
= = 
1.936
968
484
242
121
11
1
2
2
2
2
11
11
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
100
50
25
5
1
100 = 22 . 52
1.024 = 210
2
2
5
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
17. Os números decimais abaixo possuem raízes quadradas. Determine-as.
a) 1,21 b) 5,76 c) 32,49 d) 72,25
18. Observe os cálculos e responda.
9 16 25 5 9 16 3 4 7 4 25 2 5 10 4 25 100 10+ = = → + = + = → ⋅ = ⋅ = → ⋅ = =
 
a) a b+ deve ser igual a a b+ ?
b) a b⋅ deve ser igual a a b⋅ ?
19. Considere os itens:
I- 625
576
25
26
= II-− =−121 11 III- − =−121 11 
IV- − =−8 23 V- 0 04 1
5
, = 
Matematica_2020_8A_02.indd 55 18/09/2019 17:02:48
54 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
16. Aplique as propriedades da potência e resolva as expressões.
a) 0 3 0 3 0 3 0 3
1 2 3 1
, , , ,( ) ⋅( ) ⋅( ) ⋅( )− − 
b) 2
3
9
4
3
2




 ⋅





+ 
c) 3 3 32 3 2+( ): 
Radiciação
Radiciação é a operação inversa da potenciação (a ∈ R e n ∈ N*).
a ab bn n= → =
Sendo:
a – Radicando
b – Raiz
n – Índice do radical
A raiz de um número qualquer é um outro número que, multiplicado tantas vezes quanto 
determinar o seu índice, tem como resultado o radicando.
Exemplos:
a) 0 49 0 7, ,= , pois 0 7 0 49
2
, ,( ) = 
b) − =−1
27
1
3
3 , pois −





 =−
1
3
1
27
3
 
Raiz quadrada exata
Um número que possui raiz quadrada exata é chamado de número quadrado perfeito.
Exemplos:
a b b a= → =2 
a) 5 5 25 25 5⋅ = → = ou, ainda, 25 5 5 252= → = 
b) 4 4 16 16 4⋅ = → = 
c) 0 6 0 6 0 36 0 36 0 6, , , , ,⋅ = → = 
d) 1
2
1
2
1
4
1
4
1
2
⋅ = → = 
Para raiz quadrada, não precisa-
mos indicar o número 2.
Para determinarmos a raiz quadrada de números maiores ou de difícil determinação, usa-
remos um método muito conhecido: decomposição em fatores primos.
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55
55Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
10 24 2
2 5
10
2 2
, =
⋅
2 11 1 936 2 114 2 4 2⋅ = ⋅.
Exemplos:
a) 1 936. b) 10 24
1 024
100
, .=
Dividimos os expoentes por 2 para retirarmos da raiz:
a) 1 936 2 11 2 11 4 11 444 2 2. = ⋅ = ⋅ = ⋅ = b) 10 24 2
2 5
2
2 5
32
10
3 2
10
2 2
5
, ,=
⋅
=
⋅
= = 
1.936
968
484
242
121
11
1
2
2
2
2
11
11
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
100
50
25
5
1
100 = 22 . 52
1.024 = 210
2
2
5
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
17. Os números decimais abaixo possuem raízes quadradas. Determine-as.
a) 1,21 b) 5,76 c) 32,49 d) 72,25
18. Observe os cálculos e responda.
9 16 25 5 9 16 3 4 7 4 25 2 5 10 4 25 100 10+ = = → + = + = → ⋅ = ⋅ = → ⋅ = =
 
a) a b+ deve ser igual a a b+ ?
b) a b⋅ deve ser igual a a b⋅ ?
19. Considere os itens:
I- 625
576
25
26
= II-− =−121 11 III- − =−121 11 
IV- − =−8 23 V- 0 04 1
5
, = 
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54 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
16. Aplique as propriedades da potência e resolva as expressões.
a) 0 3 0 3 0 3 0 3
1 2 3 1
, , , ,() ⋅( ) ⋅( ) ⋅( )− − 
b) 2
3
9
4
3
2




 ⋅





+ 
c) 3 3 32 3 2+( ): 
Radiciação
Radiciação é a operação inversa da potenciação (a ∈ R e n ∈ N*).
a ab bn n= → =
Sendo:
a – Radicando
b – Raiz
n – Índice do radical
A raiz de um número qualquer é um outro número que, multiplicado tantas vezes quanto 
determinar o seu índice, tem como resultado o radicando.
Exemplos:
a) 0 49 0 7, ,= , pois 0 7 0 49
2
, ,( ) = 
b) − =−1
27
1
3
3 , pois −





 =−
1
3
1
27
3
 
Raiz quadrada exata
Um número que possui raiz quadrada exata é chamado de número quadrado perfeito.
Exemplos:
a b b a= → =2 
a) 5 5 25 25 5⋅ = → = ou, ainda, 25 5 5 252= → = 
b) 4 4 16 16 4⋅ = → = 
c) 0 6 0 6 0 36 0 36 0 6, , , , ,⋅ = → = 
d) 1
2
1
2
1
4
1
4
1
2
⋅ = → = 
Para raiz quadrada, não precisa-
mos indicar o número 2.
Para determinarmos a raiz quadrada de números maiores ou de difícil determinação, usa-
remos um método muito conhecido: decomposição em fatores primos.
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56
57Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
V – Os números decimais podem ser comparados utilizando as regras básicas.
Exemplo:
2,13 < 2,14; 0,234 > 0,224
VI – As frações são comparadas na forma como aprendemos em séries anteriores.
Exemplos:
2
3
3
4
8
12
9
12
1
2
2
5
< → < >; , pois 5
10
4
10
> 
Propriedades das desigualdades
Dados dois números reais, a e b, temos os seguintes princípios básicos:
a) a < b → a − b < 0
b) a > b → a − b > 0
c) a = b → a − b = 0
Com base nesses princípios, demonstram-se as seguintes propriedades:
1a propriedade (princípio aditivo)
Somando um mesmo número real aos dois membros de uma desigualdade, ela não se altera.
Exemplos:
a) 10 > 7 → 10 + 3 > 7 + 3 → 13 > 10
b) 10 > 7 → 10 + (− 3) > 7 + (− 3) → 7 > 4
c) x + − 3 → x + 8 + − 3 + 3 → x + 
d) x + 1 < 9 → x + 1 − 1 < 9 − 1 → x < 8
2a propriedade (princípio multiplicativo)
 Multiplicando os dois membros de uma desigualdade por um mesmo número positivo, 
ela não se altera.
Exemplos:
a) 2< 3 → 2 . 4 < 3 . 4 → 8 <12
b) > → ( ) . 4 > ( ) . 4 → > 
c) x x x
4
2
4
4 2 4 8≤ → ⋅ ≤ ⋅ → ≤ 
d) 4 1 4 1
4
1 1
4
1
4
x x x> → ⋅ > ⋅ → > 
3a propriedade
Multiplicando os dois membros de uma desigualdade por um mesmo número negativo, ela 
se inverte (o número menor dá produto maior, e o número maior dá produto menor).
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56 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
Estão incorretas as proposições:
a) I, II e III b) II, III e V c) I e III
d) II, IV e V e) II e V
20. Ana sabe que, para verificar se um determinado número é quadrado perfeito, devemos 
efetuar a decomposição desse número em fatores primos e depois verificar se os expoentes 
obtidos são pares. Caso sejam, então o número é quadrado perfeito. Nessas condições, verifique 
se os números abaixo são quadrados perfeitos.
a) 2.500 b) 6.561 c) 1.296
d) 4.096 e) 15.376
21. Observe os exemplos:
 2³ ⋅ 3² ⋅ 5² não é quadrado perfeito, mas, se multiplicarmos por dois a decomposição, obtemos: 
2 3 54 2 2⋅ ⋅ ;que é quadrado perfeito.
 2 5 72 3 5⋅ ⋅ não é quadrado perfeito, mas, se multiplicarmos por 35 (7 . 5), vamos obter 2 5 72 4 6⋅ ⋅ ; 
que é quadrado perfeito.
De acordo com os exemplos dados, decomponha os números e indique por quais devem ser 
multiplicados em cada decomposição a fim de obter um quadrado perfeito.
a) 72 b) 56 c) 48 d) 392 e) 2.600
maior que>
maior ou igual que≥
menor que<
menor ou igual que≤
diferente≠
Comparação de números reais
Comparar significa estabelecer uma grandeza.
Em matemática, comparamos utilizando os símbolos:
Lembremos que:
I – Um número positivo é sempre maior que zero.
II – Zero é maior que qualquer número negativo.
III – Nos números negativos, quanto menor o valor modular, maior esse número será.
Exemplo:
−58 é menor que −4; −5 < −1
IV – Os números irracionais têm o valor comparado por aproximação.
11 3 316624 3 141592= > =, ... , ...π 
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Símbolos Nomes
R Números reais
Z Números inteiros
N Números naturais
Q Números racionais
C
Números 
complexos
{ } Conjunto
[ ] Intervalo fechado
] [ Intervalo aberto
[ [
Intervalo aberto 
à direita
] ]
Intervalo aberto 
à esquerda
∞ Infinito
= Igual
≠ Diferente
≤ ≥ > < Menor que
≤ ≥ > < Maior que
≤ ≥ > < Menor ou igual
≤ ≥ > < Maior ou igual
1. Determine na reta o intervalo dado 
pelo conjunto dos números reais maio-
res que −
1
2
 e menores ou iguais a , 
usando a reta real, a notação de conjun-
tos e colchetes.
Solução:
Observe a representação na reta real do 
intervalo:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
−
1
2
4
Representando a notação de conjunto:
x x∈ − < ≤








R / 1
2
4 
Representando pelos colchetes:



 −




1
2
4, 
TEXTO DE APOIO DIDÁTICO
ANOTAÇÕES
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57
57Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
V – Os números decimais podem ser comparados utilizando as regras básicas.
Exemplo:
2,13 < 2,14; 0,234 > 0,224
VI – As frações são comparadas na forma como aprendemos em séries anteriores.
Exemplos:
2
3
3
4
8
12
9
12
1
2
2
5
< → < >; , pois 5
10
4
10
> 
Propriedades das desigualdades
Dados dois números reais, a e b, temos os seguintes princípios básicos:
a) a < b → a − b < 0
b) a > b → a − b > 0
c) a = b → a − b = 0
Com base nesses princípios, demonstram-se as seguintes propriedades:
1a propriedade (princípio aditivo)
Somando um mesmo número real aos dois membros de uma desigualdade, ela não se altera.
Exemplos:
a) 10 > 7 → 10 + 3 > 7 + 3 → 13 > 10
b) 10 > 7 → 10 + (− 3) > 7 + (− 3) → 7 > 4
c) x + − 3 → x + 8 + − 3 + 3 → x + 
d) x + 1 < 9 → x + 1 − 1 < 9 − 1 → x < 8
2a propriedade (princípio multiplicativo)
 Multiplicando os dois membros de uma desigualdade por um mesmo número positivo, 
ela não se altera.
Exemplos:
a) 2< 3 → 2 . 4 < 3 . 4 → 8 <12
b) > → ( ) . 4 > ( ) . 4 → > 
c) x x x
4
2
4
4 2 4 8≤ → ⋅ ≤ ⋅ → ≤ 
d) 4 1 4 1
4
1 1
4
1
4
x x x> → ⋅ > ⋅ → > 
3a propriedade
Multiplicando os dois membros de uma desigualdade por um mesmo número negativo, ela 
se inverte (o número menor dá produto maior, e o número maior dá produto menor).
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56 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
Estão incorretas as proposições:
a) I, II e III b) II, III e V c) I e III
d) II, IV e V e) II e V
20. Ana sabe que, para verificar se um determinado número é quadrado perfeito, devemos 
efetuar a decomposição desse número em fatores primos e depois verificar se os expoentes 
obtidos são pares. Caso sejam, então o número é quadrado perfeito. Nessas condições, verifique 
se os números abaixo são quadrados perfeitos.
a) 2.500 b) 6.561 c) 1.296
d) 4.096 e) 15.376
21. Observe os exemplos:
 2³ ⋅ 3² ⋅ 5² não é quadrado perfeito, mas, se multiplicarmos por dois a decomposição, obtemos: 
2 3 54 2 2⋅ ⋅ ;que é quadrado perfeito.
 2 5 72 3 5⋅ ⋅ não é quadrado perfeito, mas, se multiplicarmos por 35 (7 . 5), vamos obter 2 5 72 4 6⋅ ⋅ ; 
que é quadrado perfeito.
De acordo com os exemplos dados, decomponha os números e indique por quais devem ser 
multiplicados em cada decomposição a fim de obter um quadrado perfeito.
a) 72 b) 56 c) 48 d) 392 e) 2.600
maior que>
maior ou igual que≥
menor que<
menor ou igual que≤
diferente≠
Comparação de números reais
Comparar significa estabelecer uma grandeza.
Em matemática, comparamos utilizando os símbolos:
Lembremos que:
I – Um número positivo é sempre maior que zero.
II – Zero é maior que qualquer número negativo.
III – Nos números negativos, quanto menor o valor modular, maior esse número será.
Exemplo:
−58 é menor que −4; −5 < −1
IV – Os números irracionais têm o valor comparado por aproximação.
11 3 316624 3 141592= > =, ... , ...π 
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58
59Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
1. Sabendo que A = 164, B = 8 − 3 e C = 43, 
determine o valor da expressão 2A B
C
⋅ .
2. Sendo x = 70 . 7¹ + 74 : 7² e y = 4¹ + (4³ . 4) : 
4², calcule o valor de 7x + 4y.
3. Transforme os itens dados em uma só po-
tência.
a) 2 2
4 8
( ) ⋅( ) =
−
b) 2 2
7 9
( ) ( ) =
− −
: 
4. Considere as figuras:
2
4
1
2
=
5
8
Represente, em forma de fração, cada figura.
a)
b)
c)
d)
5. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) em cada 
uma das seguintes sentenças.
a) 15∈ N b) − ∈4 R 
c) 325 ∈ Z d) 3∉Q 
e) 2∈N * 
6. Transforme as frações abaixo em números 
decimais.
a) 1
9
= b) 4
9
= c) 9
10
= 
d) 7
9
= e) 1
99
= f) 5
999
= 
7. Sabendo que razão é o quociente entre dois ter-
mos, escreva cada item na forma de uma razão.
a) 0,8 = b) −3,7 = c) 0,021 = 
d) 0,36 = e) 47,2 = f) 0,444… =
A razão de A para B é 
A
B
⋅
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58 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
Exemplos:
a) 2 5 2 1 5 1 2 5< → ⋅ −( )< ⋅ −( )→− >− 
b) − + > ⋅ −( )= − <−3 2 2 1 3 2 2x x (o sinal < inverteu a desigualdade)
c) − ≤ →− ⋅ −





≤ ⋅ −





→ ≥−2 5 2
1
2
5 1
2
5
2
x x x 
d) − > →− ⋅ −( )> ⋅ −( )→ <−x x x
3
8
3
3 8 3 24 
22. Classifique os números abaixo em racionais e irracionais.
a) 0,3636... b) 1,47921378651... c) 1,72444...
d) 2 e) −9,5 f) −3,14161517...
g) 7 h) 9 
23. Escreva, em ordem crescente, os números reais.
a) − − −2
3
3
2
1
4
; ; 
b) 2,7; 0,28; 0,44...; 1; 3,05
24. O número três inteiros e cinco milésimos representa-se por:
a) 3,5 b) 3,05 c) 3,005 d) 3,0005
25. A potência (0,2)³ é igual a:
a) 0,008 b) 0,08 c) 0,8 d) 0,6
26. O valor da expressão (0,8)² ÷ 4 é:
a) 0,16 b) 0,016 c) 0,0016 d) 1,6
 
27. Utilizando os símbolos >, <, e , compare os números:
a) 2 b) − −5
10
4
5
________ c) 3,241 3,240
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59
59Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
1. Sabendo que A = 164, B = 8 − 3 e C = 43, 
determine o valor da expressão 2A B
C
⋅ .
2. Sendo x = 70 . 7¹ + 74 : 7² e y = 4¹ + (4³ . 4) : 
4², calcule o valor de 7x + 4y.
3. Transforme os itens dados em uma só po-
tência.
a) 2 2
4 8
( ) ⋅( ) =
−
b) 2 2
7 9
( ) ( ) =
− −
: 
4. Considere as figuras:
2
4
1
2
=
5
8
Represente, em forma de fração, cada figura.
a)
b)
c)
d)
5. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) em cada 
uma das seguintes sentenças.
a) 15∈ N b) − ∈4 R 
c) 325 ∈ Z d) 3∉Q 
e) 2∈N * 
6. Transforme as frações abaixo em números 
decimais.
a) 1
9
= b) 4
9
= c) 9
10
= 
d) 7
9
= e) 1
99
= f) 5
999
= 
7. Sabendo que razão é o quociente entre dois ter-
mos, escreva cada item na forma de uma razão.
a) 0,8 = b) −3,7 = c) 0,021 = 
d) 0,36 = e) 47,2 = f) 0,444… =
A razão de A para B é 
A
B
⋅
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58 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
Exemplos:
a) 2 5 2 1 5 1 2 5< → ⋅ −( )< ⋅ −( )→− >− 
b) − + > ⋅ −( )= − <−3 2 2 1 3 2 2x x (o sinal < inverteu a desigualdade)
c) − ≤ →− ⋅ −





≤ ⋅ −





→ ≥−2 5 2
1
2
5 1
2
5
2
x x x 
d) − > →− ⋅ −( )> ⋅ −( )→ <−x x x
3
8
3
3 8 3 24 
22. Classifique os números abaixo em racionais e irracionais.
a) 0,3636... b) 1,47921378651... c) 1,72444...
d) 2 e) −9,5 f) −3,14161517...
g) 7 h) 9 
23. Escreva, em ordem crescente, os números reais.
a) − − −2
3
3
2
1
4
; ; 
b) 2,7; 0,28; 0,44...; 1; 3,05
24. O número três inteiros e cinco milésimos representa-se por:
a) 3,5 b) 3,05 c) 3,005 d) 3,0005
25. A potência (0,2)³ é igual a:
a) 0,008 b) 0,08 c) 0,8 d) 0,6
26. O valor da expressão (0,8)² ÷ 4 é:
a) 0,16 b) 0,016 c) 0,0016 d) 1,6
 
27. Utilizando os símbolos >, <, e , compare os números:
a) 2 b) − −5
10
4
5
________ c) 3,241 3,240
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60
60 Capítulo 2 — Conjunto dos números reais
8. Considerando:
2 1414 3 1732 5 2 236= = =, , , , ,e determi-ne o valor numérico das expressões.
a) 2 2 3 3 6 5+ + = 
b) 10 5 6 2 8 3+ + = 
c) 2 2 3 5+ + = 
d) − − −( )=4 2 3 5 
9. O cilindro que você vê abaixo tem capacidade 
igual a 45.000 �. Considerando π = 3,14 e sa-
bendo que a área da base do cilindro é 2,25 m², 
calcule, aproximadamente, a altura do cilindro.
Dado: Vc = Ab . h
Vc → volume do cilindro
Ab → área da base
h → altura
10. Classifique em racional ou irracional.
a) 7 b) 0,81111... c) 3
5
 
d) 13,45 e) 3 
11. Marque as opções corretas.
a) 15 é irracional. b) 0,18 ∈ Q 
c) 2 ∈ Q d) 13 ∈ R 
e) 0 21, ∈ I 
12. Simplifique aplicando as propriedades das 
potências.
a)5 5 52 3 4⋅ ⋅ . b) 72
1( )− 
c) −
















−
2
3
1 2
 d) −( )



4
2 3
 
e) 18 18
7 5( ) ( ): 
13. Verifique quais dos itens abaixo represen-
tam quadrados perfeitos.
a) 1.400 b) 900 c) 3.800 
d) 324 e) 6.400
14. Determine a geratriz das seguintes dízimas 
periódicas. Lembre-se: o traço indica que o 
número está se repetindo.
a) 0 23, b) 15, c) 0 342, 
d) 0 12, e) 0 6, 
Neste capítulo, aprendemos:
 A reconhecer os números irracionais enquanto decimais inexatos e não periódicos.
 Que os conjuntos já estudados formam um novo conjunto, chamado de conjunto dos 
números reais.
 A estabelecer uma relação de pertinência e inclusão com os elementos desse conjunto.
 A efetuar as operações fundamentais com elementos do conjunto dos números reais.
 A fazer operações utilizando as propriedades da potência, bem como suas convenções.
 A resolver problemas envolvendo o conjunto dos números reais.
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61
61Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Cálculo 
algébrico
Para começar
Na Matemática, estudamos números e formas. Os números são estudados 
pela Aritmética; e as formas, pela Geometria.
Além dos números e das formas, trabalhamos também com letras que 
representam números.
Daí, podemos distinguir duas linguagens:
1. A linguagem corrente: aquela que usualmente utilizamos (português).
2. A linguagem matemática: aquela escrita na forma de símbolos e números.
Ex.: Paguei quarenta e oito reais por quatro cadernos e dez reais por dois lápis.
Como representar, na linguagem matemática, essa situação?
Caderno: x
Lápis: y
4x + 2y = 58
Exemplo:
Representar o perímetro da figura.
P = x + x + 2x + 2x
P = 6x
2x
x Perímetro é a soma 
dos lados da figura.
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números 
e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles 
(322–384 a.C.) usaram letras para representar números.
No século XIII, época em que observamos alguns cálculos algébricos, o 
matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci) escreveu o livro Liber Abaci 
(Livro do Ábaco), sobre a arte de calcular.
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico 
passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486–1567) e pelos mate-
máticos italianos Germano (1501–1576) e Bombelli (autor de Álgebra, publicado 
em 1572). Porém, foi com o matemático francês François Viète (1540–1603) que 
se introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando se 
desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.
CAPÍTULO 3
Matematica_2020_8A_03.indd 61 19/09/2019 10:00:57
BNCC
Objetos de conhecimento
 Valor numérico de expressões algé-
bricas.
 Associação de uma equação linear de 
º grau a uma reta no plano cartesiano.
 Sistema de equações polinomiais de 
º grau: resolução algébrica e represen-
tação no plano cartesiano.
 Equação polinomial de º grau do 
tipo ax = b.
 rea de figuras planas. 
 Variaçãode grandezas: diretamente 
proporcionais, inversamente proporcio-
nais ou não proporcionais.
 rea do círculo e comprimento de sua 
circunferência.
Habilidades trabalhadas no capítulo
(EF08MA06) Resolver e elaborar pro-
blemas que envolvam cálculo do va-
lor numérico de expressões algébri-
cas, utilizando as propriedades das 
operações.
(EF08MA07) Associar uma equação li-
near de º grau com duas incógnitas a 
uma reta no plano cartesiano.
(EF08MA08) Resolver e elaborar proble-
mas relacionados ao seu contexto próxi-
mo, que possam ser representados por 
sistemas de equações de º grau com duas 
incógnitas e interpretá-los, utilizando, in-
clusive, o plano cartesiano como recurso.
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e 
sem uso de tecnologias, problemas que 
possam ser representados por equações 
polinomiais de º grau do tipo ax = b.
(EF08MA12) Identificar a natureza da 
variação de duas grandezas, diretamen-
te, inversamente proporcionais ou não 
proporcionais, expressando a relação 
existente por meio de sentença algébri-
ca e representá-la no plano cartesiano.
(EF08MA13) Resolver e elaborar pro-
blemas que envolvam grandezas dire-
tamente ou inversamente proporcio-
nais, por meio de estratégias variadas.
(EF08MA19) Resolver e elaborar pro-
blemas que envolvam medidas de 
área de figuras geométricas, utili-
zando expressões de cálculo de área 
(quadriláteros, triângulos e círculos), 
em situações como determinar medi-
da de terrenos.
 Comparar escritas algébricas e reco-
nhecer equivalências entre elas.
 Compreender os mecanismos da fa-
toração e como utilizar os produtos 
notáveis.
 Descrever, por meio de linguagem al-
gébrica, uma expressão geral para re-
presentar uma sequência decrescente e 
depois encontrar a ordem de um termo 
dessa sequência.
 Compreender o conceito de monô-
mios, assim como suas propriedades.
 Realizar operações com monômios.
 Compreender o conceito de polinô-
mios, assim como suas propriedades.
 Realizar operações com polinômios.
 Reconhecer expressões algébricas co-
mo generalizações sobre propriedades 
numéricas e de operações aritméticas 
que possibilitam o estudo de alguns ele-
mentos da estrutura algébrica.
OBJETIVOS DIDÁTICOS
ME_Matemática_2020_8A_03.indd 61 19/09/2019 10:12:06
62
63Capítulo 3 — Cálculo algébrico
2. Escreva a sentença matemática definida por:
a) A metade de um número k.
b) A soma de dois números é igual a dez.
c) A metade de um número acrescido de duas unidades é igual ao seu triplo.
Uma pessoa comprou x litros de laranjada, 
y litros de guaraná e z litros de limonada.
a) Escreva a expressão que representa o 
gasto dessa compra.
Solução:
1,50x + 1,40y +1,50z
b) Calcule qual é o seu gasto com 3 litros de 
laranjada, 4 litros de guaraná e 2 litros de 
limonada.
Solução:
1,50 . 3 + 1,40 . 4 + 1,50 . 2 =
4,50 + 5,60 + 3,0 = 13,10
1. Se você comprar nesta loja:
1 artigo: R$ 1,99 . (1)
2 artigos: R$ 1,99 . (2)
3 artigos: R$ 1,99 . (3)
E se você comprar x artigos?
Solução:
1,99 . x
2. Uma corrida de táxi custa R$ 3,50 a bandei-
rada mais R$ 0,25 por quilômetro rodado.
Qual é o custo de uma corrida de 20 km?
Solução:
c = 0,25x + 3,50, sendo x a quantidade de 
quilômetros rodados.
Então,
c = 0,25 . 20 + 3, 50 → c = 5,00 + 3,50
c = 8,50
3. Observe a placa indicativa de preços.
Guaraná 1� − R$ 1,40
Laranjada 1� − R$ 1,50
Limonada 1� − R$ 1,50
3. Usando as letras a e b, represente simbolicamente as expressões.
a) O quadrado da soma.
b) A soma dos quadrados.
c) A soma dos cubos.
d) O cubo da soma.
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62 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
A Álgebra
A parte da Matemática que lida com incógnitas e variáveis chama-se Álgebra. Usando a 
Álgebra, podemos resolver problemas e expressar fatos da Aritmética, da Geometria e das 
ciências em geral.
Um múltiplo de 5 é o resultado da multiplicação de um número natural por 5.
Na Álgebra, se n é um número natural, então 5n é um múltiplo de 5. O volume (V ) de um 
bloco retangular é o produto do comprimento pela largura e pela altura.
c
h
�
V = c . l . h
Usando Álgebra, dizemos:
Mais uma aplicação da Álgebra é a fórmula do Índice de Massa Corporal (IMC), usada na 
medicina. O IMC indica se a pessoa está acima ou abaixo dos parâmetros ideais de peso para 
sua estatura.
IMC p
a
=
2
p é o peso da pessoa (em kg)
a é a altura da pessoa (em m)
Se I < 18 ou I >25, a pessoa deve procurar orientação médica.
Na Álgebra, aparecem expressões com letras como estas:
Linguagem matemática Linguagem corrente
3(x + 2) O triplo da soma de um número com duas unidades.
x2x2x + 1 O quadrado de um número acrescido de uma unidade.
Essas expressões são chamadas de expressões algébricas. Para simplificar fórmulas ou 
resolver equações, fazemos cálculos algébricos, ou seja, cálculos com expressões algébricas. 
Você já aprendeu alguns desses cálculos e logo mais aprenderá outros.
1. Passe para a linguagem corrente as expressões matemáticas abaixo.
a) 2x +1 = 3 b) 6x = 0 c) x x
2
8 2 3+ = − d) 3 7
2 2
x x+
=
 Motivar e estimular a curiosidade matemática nos alunos.
 Respeitar o desenvolvimento do conhecimento do outro.
 Valorizar o trabalho coletivo e a troca de experiências dos alunos.
 Incentivar o interesse em poder alterar a estratégia prevista na resolução de uma 
situação-problema quando o resultado não for satisfatório.
 Reconhecer diferentes métodos e processos na resolução de um problema.
 Formar grupos ou duplas para resolver exercícios sobre o conteúdo estudado.
CONTEÚDOS ATITUDINAIS
 Identificar uma expressão algébrica.
 Identificar termos ou monômios.
 Diferenciar a parte numérica (coefi-
ciente) e a parte literal (variável) de um 
monômio.
 Identificar os polinômios.
 Determinar a adição de polinômios.
 Determinar a subtração de polinômios.
 Efetuar a multiplicação algébrica dos 
monômios por polinômios.
 Efetuar a divisão de polinômio por mo-
nômio.
 Efetuar a divisão de polinômio por po-
linômio.
 Efetuar a multiplicação algébrica dos 
polinômios por polinômios.
CONTEÚDOS PROCEDIMENTAIS
 A lgebra.
 Valor numérico de expressões algébricas.
 Expressão algébrica racional.
 Expressão algébrica irracional.
 Termo literal algébrico.
 Monômios.
 Classificação dos monômios.
 Grau de monômio.
 Adição algébrica de monômios.
 Subtração algébrica de monômios.
 Multiplicação algébrica dos monômios.
 Divisão algébrica dos monômios.
 Potenciação algébrica dos monômios.
 Polinômios.
 Classificação dos polinômios.
 Polinômios homogêneos.
 Valor numérico de um polinômio.
 Adição de polinômios.
 Subtração de polinômios.
 Polinômios ordenados.
 Polinômio ordenado completo e orde-
nado incompleto.
 Multiplicação algébrica dos monômios 
por polinômios.
 Divisão de polinômio por monômio.
 Divisão de polinômio por polinômio.
 Multiplicação algébrica dos polinômios 
por polinômios.
CONTEÚDOS CONCEITUAIS
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63
63Capítulo 3 — Cálculo algébrico
2. Escreva a sentença matemática definida por:
a) A metade de um número k.
b) A soma de dois números é igual a dez.
c) A metade de um número acrescido de duas unidades é igual ao seu triplo.
Uma pessoa comprou x litros de laranjada, 
y litros de guaraná e z litros de limonada.
a) Escreva a expressão que representa o 
gasto dessa compra.
Solução:
1,50x + 1,40y +1,50z
b) Calcule qual é o seu gasto com 3 litros de 
laranjada, 4 litros de guaraná e 2 litros de 
limonada.
Solução:
1,50 . 3 + 1,40 . 4 + 1,50 . 2 =
4,50 + 5,60 + 3,0 = 13,10
1. Se você comprar nesta loja:
1 artigo: R$ 1,99 . (1)
2 artigos: R$ 1,99 . (2)
3 artigos: R$ 1,99 . (3)
E se você comprar x artigos?
Solução:
1,99 . x
2. Uma corrida de táxi custa R$ 3,50 a bandei-
rada mais R$ 0,25 por quilômetro rodado.
Qual é o custo de uma corrida de 20 km?
Solução:
c = 0,25x + 3,50, sendo x a quantidade de 
quilômetros rodados.
Então,
c = 0,25 . 20 + 3, 50 → c = 5,00 + 3,50
c = 8,50
3. Observe a placa indicativa de preços.
Guaraná 1� − R$ 1,40
Laranjada 1� − R$ 1,50
Limonada1� − R$ 1,50
3. Usando as letras a e b, represente simbolicamente as expressões.
a) O quadrado da soma.
b) A soma dos quadrados.
c) A soma dos cubos.
d) O cubo da soma.
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62 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
A Álgebra
p
a
Linguagem matemática Linguagem corrente
1. 
a) b) c) x x
2
8 2 3+ = − d) 3 7
2 2
x x+
=
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64
65Capítulo 3 — Cálculo algébrico
9. Numa relação de compra e venda, podemos afirmar que o lucro (L) é a diferença entre o preço 
de venda (V ) e o preço de custo (C) do produto vendido. Se o preço de venda desse produto é 
o triplo do preço de custo acrescido de dez unidades, como podemos expressar o lucro dessa 
transação?
10. Sabe-se que um vírus A duplica-se a cada minuto. Assim, numa determinada cultura (exame 
para diagnosticar infecção), veremos 2 vírus no primeiro minuto, 4 no segundo, 8 no terceiro e 
assim por diante. Estabeleça uma fórmula para determinar n minutos dessa cultura. Após dez 
minutos, quantos vírus poderão ser encontrados?
a) Na fórmula, substitua F por 50° e descubra qual é a temperatura correspondente em graus 
Celsius.
b) A temperatura de −40 °C corresponde a quantos graus Fahrenheit?
Valor numérico de expressões algébricas
 Dada uma expressão algébrica e supondo que, em relação a ela, seja dado um conjunto 
de valores numéricos para a parte literal ou variável, denominaremos valor numérico (VN) o 
valor obtido substituindo-se, na parte literal, os valores numéricos correspondentes às letras.
Assim, temos:
3 2 3
1
2
1
3
2 3 2x x
x
y z t t z
y
z
t
+ − +
=+
=−
=−
=+





, para Quando o número é inteiro negativo, ao 
escrevermos na potência, colocamos este 
entre parênteses.
Logo:
VN
VN
= ⋅ +( ) ⋅ −( ) + ⋅ −( ) ⋅ +( )− ⋅ +( )⋅ +( )+ −( )
= ⋅ +( )⋅ −
3 1 2 2 1 3 3 1 3 1
3 1 8
2 3 2
(( )+ ⋅ +( )⋅ +( )− ⋅ +( )⋅ +( )+ −( )
=− + − −
=+ −
=−
2 1 3 3 1 3 1
24 6 9 1
6 34
28
VN
VN
VN
 
Com os números fracionários, aplicamos as regras da potência e resolvemos a expressão 
numérica. Então, VN = −28 para o conjunto de valores numéricos acima.
Suponhamos que se queira determinar o valor numérico da expressão algébrica acima para 
um outro conjunto de valores numéricos. Seja:
x =−
=+
=−
=−





1
1
2
2
3
1
2
y
z
t
VN = ⋅ −( ) ⋅ +





 + ⋅ −





 ⋅ −





3 1 1
2
2 2
3
1
2
2
3 2
− ⋅ −( )⋅ −





+ −






= ⋅ +( )⋅ +

3 1 1
2
2
3
3 1 1
8
VN




+ ⋅ +





⋅ −





− −
= −
2 4
9
1
2
3
2
2
3
3
8
VN 44
9
3
2
2
3
2 32 1 8 48
2
1 1
2
− −
=
− − −
→ =−VN VN7 0
7
6
7
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64 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
4. Dona Maria faz e vende coxinhas. O custo de cada coxinha é y, e o preço da venda é x, sendo y < x.
a) Qual é o lucro obtido por Dona Maria a cada coxinha vendida?
b) Qual será o lucro obtido se Dona Maria vender 10 coxinhas?
c) Num determinado dia, Dona Maria vendeu 10 coxinhas e teve um lucro de R$ 7,00. Para fazer 
as 10 coxinhas, gastou R$ 8,00. Qual é o preço da coxinha?
5. Faça o que se pede.
a) Observe os três primeiros números quadrados e determine Q Q Q Q Q4 5 6 7 8, , , , . 
Q1= 1
Q2 = 4
Q3 = 9
Depois, copie e complete: 
Q4= Q7=
Q5= Q8=
Q6= Q9=
b) Que fórmula poderíamos obter para escrever Qn?
c) Observe os primeiros números cúbicos e escreva a fórmula correspondente.
C1= 1 C2 = 8 C3 = 27
6. Escreva a expressão algébrica correspondente:
a) Ao triplo de um número. b) Ao triplo de um número mais um.
c) A um número par. d) A um número ímpar.
e) À metade de um número. f) Ao quádruplo de um número.
g) Ao consecutivo de um número natural. h) Ao consecutivo do consecutivo de um número natural.
7. Em um retângulo, o lado maior é igual ao triplo do lado menor mais 5 m.
a) Se o lado menor mede x, quanto mede o outro lado?
b) Obtenha a fórmula que dá o perímetro P desse retângulo. Essa fórmula deve ser simplificada.
c) Sabendo que P = 17, calcule o valor de x resolvendo uma equação.
8. Nos Estados Unidos, a unidade de temperatura é o grau Fahrenheit. Para saber qual a tem-
peratura em graus Celsius (unidade que nós usamos), pode-se usar a fórmula:
C
F
=
⋅ − °( )5 32
9
 
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65
65Capítulo 3 — Cálculo algébrico
9. Numa relação de compra e venda, podemos afirmar que o lucro (L) é a diferença entre o preço 
de venda (V ) e o preço de custo (C) do produto vendido. Se o preço de venda desse produto é 
o triplo do preço de custo acrescido de dez unidades, como podemos expressar o lucro dessa 
transação?
10. Sabe-se que um vírus A duplica-se a cada minuto. Assim, numa determinada cultura (exame 
para diagnosticar infecção), veremos 2 vírus no primeiro minuto, 4 no segundo, 8 no terceiro e 
assim por diante. Estabeleça uma fórmula para determinar n minutos dessa cultura. Após dez 
minutos, quantos vírus poderão ser encontrados?
a) Na fórmula, substitua F por 50° e descubra qual é a temperatura correspondente em graus 
Celsius.
b) A temperatura de −40 °C corresponde a quantos graus Fahrenheit?
Valor numérico de expressões algébricas
 Dada uma expressão algébrica e supondo que, em relação a ela, seja dado um conjunto 
de valores numéricos para a parte literal ou variável, denominaremos valor numérico (VN) o 
valor obtido substituindo-se, na parte literal, os valores numéricos correspondentes às letras.
Assim, temos:
3 2 3
1
2
1
3
2 3 2x x
x
y z t t z
y
z
t
+ − +
=+
=−
=−
=+





, para Quando o número é inteiro negativo, ao 
escrevermos na potência, colocamos este 
entre parênteses.
Logo:
VN
VN
= ⋅ +( ) ⋅ −( ) + ⋅ −( ) ⋅ +( )− ⋅ +( )⋅ +( )+ −( )
= ⋅ +( )⋅ −
3 1 2 2 1 3 3 1 3 1
3 1 8
2 3 2
(( )+ ⋅ +( )⋅ +( )− ⋅ +( )⋅ +( )+ −( )
=− + − −
=+ −
=−
2 1 3 3 1 3 1
24 6 9 1
6 34
28
VN
VN
VN
 
Com os números fracionários, aplicamos as regras da potência e resolvemos a expressão 
numérica. Então, VN = −28 para o conjunto de valores numéricos acima.
Suponhamos que se queira determinar o valor numérico da expressão algébrica acima para 
um outro conjunto de valores numéricos. Seja:
x =−
=+
=−
=−





1
1
2
2
3
1
2
y
z
t
VN = ⋅ −( ) ⋅ +





 + ⋅ −





 ⋅ −





3 1 1
2
2 2
3
1
2
2
3 2
− ⋅ −( )⋅ −





+ −






= ⋅ +( )⋅ +

3 1 1
2
2
3
3 1 1
8
VN




+ ⋅ +





⋅ −





− −
= −
2 4
9
1
2
3
2
2
3
3
8
VN 44
9
3
2
2
3
2 32 1 8 48
2
1 1
2
− −
=
− − −
→ =−VN VN7 0
7
6
7
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64 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
4. Dona Maria faz e vende coxinhas. O custo de cada coxinha é y, e o preço da venda é x, sendo y < x.
a) Qual é o lucro obtido por Dona Maria a cada coxinha vendida?
b) Qual será o lucro obtido se Dona Maria vender 10 coxinhas?
c) Num determinado dia, Dona Maria vendeu 10 coxinhas e teve um lucro de R$ 7,00. Para fazer 
as 10 coxinhas, gastou R$ 8,00. Qual é o preço da coxinha?
5. Faça o que se pede.
a) Observe os três primeiros números quadrados e determine Q Q Q Q Q4 5 6 7 8, , , , . 
Q1= 1
Q2 = 4
Q3 = 9
Depois, copie e complete: 
Q4= Q7=
Q5= Q8=
Q6= Q9=
b) Que fórmula poderíamos obter para escrever Qn?
c) Observe os primeiros números cúbicos e escreva a fórmula correspondente.
C1= 1 C2 = 8 C3 = 27
6. Escreva a expressão algébrica correspondente:
a) Ao triplo de um número. b) Ao triplo de um número mais um.
c) A um número par. d) A um número ímpar.
e) À metade de um número. f) Ao quádruplo de um número.
g) Ao consecutivo de um número natural. h) Ao consecutivo do consecutivo de um número natural.
7. Em um retângulo, o lado maior é igual ao triplo do lado menormais 5 m.
a) Se o lado menor mede x, quanto mede o outro lado?
b) Obtenha a fórmula que dá o perímetro P desse retângulo. Essa fórmula deve ser simplificada.
c) Sabendo que P = 17, calcule o valor de x resolvendo uma equação.
8. Nos Estados Unidos, a unidade de temperatura é o grau Fahrenheit. Para saber qual a tem-
peratura em graus Celsius (unidade que nós usamos), pode-se usar a fórmula:
C
F
=
⋅ − °( )5 32
9
 
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66
67Capítulo 3 — Cálculo algébrico
2x − →y
2
3
x −
→
y
3 2ab x →
2 3
3
2ab b
y
−
→
ab
c2
→
a
b
→
x
2 2a−
≠
5
3 5
2
4 2x +
−
−y
x ≠−
5
3
y ≠ 1
2
Expressão algébrica irracional
Termo literal, ou algébrico
66 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
11. Encontre o valor numérico de cada expressão abaixo.
a) x
3
2
5
3+ −y z para x = 6, y = 15 e z = 1
3
. 
b)a b c d2 53 2 5− + + para a = −1, b = 9, c = 0 e d = 4. 
12. Considere que, em uma palavra, todas as letras estivessem multiplicando umas às outras, 
por exemplo Fé = F . e. Se na palavra AMOR A M= 1
4
, = 4
5
, O = −5 e R = −2, qual é o valor 
numérico dessa palavra?
13. Seu Pedro tem mania de escrever todos os valores da sua conta bancária na forma de ex-
pressão algébrica. No final do mês, Seu Pedro anotou o seguinte saldo x2 + 4x + 260. Sabe-se 
que nesse dia o valor de x era equivalente a R$ 100,00. Qual era o saldo da conta bancária de 
Seu Pedro nesse final de mês
14. Para obter qualquer termo de sequência de números ímpares (1, 3, 5, 7, 9...) na qual n re-
presenta a posição do número na sequência, devemos usar a seguinte regra: 
a) 2(n + 1) b) 2n + 1 c) 2n −1 d) 2(n − 1)
15. Em uma sala retangular deve-se colocar um tapete de medidas 2 m × 3 m, de modo que se 
mantenha a mesma distância em relação às paredes, como indicado no desenho abaixo.
a) Como expressamos a largura dessa sala?
b) E o comprimento da mesma sala?
Expressão algébrica racional
Diz-se que uma expressão algébrica é racional quando, em sua parte variável, aparecem 
somente operações racionais — isto é, aparecem apenas adição, subtração, multiplicação, 
divisão e potenciação.
As expressões algébricas racionais podem ser:
 Inteiras: quando a parte algébrica aparece só no numerador.
 Fracionárias: quando há letras no denominador.
x
x
x
x
2
3
Matematica_2020_8A_03.indd 66 19/09/2019 10:01:01
Aponte que o resultado de uma ex-
pressão algébrica, que se obtém quando 
se substituem as letras dessa expressão 
por números dados e, depois, realizam-
-se as operações indicadas, chama-se 
valor numérico (VN).
ORIENTAÇÃO DIDÁTICA
Construir uma expressão 
algébrica e calcular seu 
valor numérico
Professor, inicie a aula propondo uma 
atividade aos alunos, que envolve a cons-
trução de uma expressão algébrica por 
meio do cálculo da área de uma figura 
geométrica representada por uma ban-
deira. Eles devem indicar o lado de cada 
seção das cores da bandeira por uma letra 
diferente para, em um segundo momento, 
apresentar uma expressão que represen-
te a área total dessa bandeira. 
Várias bandeiras poderão ser utiliza-
das para a prática da construção de ex-
pressões algébricas. Diferentes bandei-
ras fornecem diferentes expressões para 
suas áreas e, de acordo com as letras 
que os alunos utilizam e com a forma re-
presentada para as somas das áreas, po-
de-se verificar outras expressões. 
Como fonte de pesquisa para locali-
zar as bandeiras que o professor consi-
derar conveniente para a prática sugeri-
da, poderá ser utilizado o seguinte link: 
http:// .bibvirt.futuro.usp.br/index.
php/imagens/cliparts/bandeiras do
mundo.
Após o término da atividade anterior, 
que tem por finalidade a prática de cons-
truções algébricas, o professor poderá 
desafiar os alunos a descobrirem a regra 
que será utilizada para transformar o nú-
mero indicado por eles dentro do conjun-
to dos números naturais. Para facilitar a 
análise e a reflexão dos alunos, construa 
uma tabela na lousa com o número es-
colhido já transformado. Essa transfor-
mação pode ser, por exemplo, multipli-
car o número indicado por e somar . 
SUGESTÃO
Número indicado 
pelos alunos
Número após a 
transformação
2 6
3 8
10 22
Para melhor visualização, observe a tabe-
la abaixo.
Na tabela, conforme o exemplo, o nú-
mero multiplicado por resulta em 
que somado a gera o número 6. O mes-
mo procedimento foi realizado com os 
números e .
Após a descoberta da regra, pergun-
te aos alunos como poderia ser feito 
para que ela fosse utilizada para qual-
quer número. Escreva na lousa as hi-
póteses, exemplos e argumentos dos 
alunos. Depois, solicite que escrevam 
simbolicamente. Proponha a letra x 
para representar o número indicado pe-
los alunos e y para representar o núme-
ro transformado.
ME_Matemática_2020_8A_03.indd 66 19/09/2019 10:12:09
67
67Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Assim, temos sua classificação dependendo da parte variável.
2x − →y Expressão algébrica racional inteira.
2
3
x −
→
y Expressão algébrica racional inteira. 
3 2ab x → Expressão algébrica racional inteira.
2 3
3
2ab b
y
−
→ Expressão algébrica racional fracionária. 
ab
c2
→ Expressão algébrica racional fracionária.
a
b
→ Expressão algébrica racional fracionária.
Na expressão algébrica fracionária, devemos estabelecer o que chamamos de condição de 
existência (CE) a fim de validar a expressão, ou seja, a fim de que ela represente um número real.
Essa condição é estabelecida a partir do denominador, pois não existe a divisão por zero, 
portanto o denominador tem que, necessariamente, ser diferente de zero.
Exemplo:
Na expressão x
2 2a−
, devemos ter a≠ 1, pois, se for igual a 1, o denominador será igual a 
zero.
Na expressão 5
3 5
2
4 2x +
−
−y
, devemos ter x ≠−5
3
 e y ≠ 1
2
 , pois se x e x e x y assumirem esses 
valores, a expressão não irá existir.
Expressão algébrica irracional
Diz-se que uma expressão algébrica é irracional quando, na sua parte variável, aparecer 
extração de raízes ou expoente fracionário. Ou seja, quando no radicando aparece variável 
ou a variável tem expoente fracionário.
Assim, teremos:
2 ⋅ a Expressão algébrica irracional.
Expressão algébrica irracional.3
2
3a
Termo literal, ou algébrico
Denomina-se termo literal, ou algébrico, todo produto de constantes e variáveis. Assim, 
temos:
66 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
11. Encontre o valor numérico de cada expressão abaixo.
a) x
3
2
5
3+ −y z para x = 6, y = 15 e z = 1
3
. 
b)a b c d2 53 2 5− + + para a = −1, b = 9, c = 0 e d = 4. 
12. Considere que, em uma palavra, todas as letras estivessem multiplicando umas às outras, 
por exemplo Fé = F . e. Se na palavra AMOR A M= 1
4
, = 4
5
, O = −5 e R = −2, qual é o valor 
numérico dessa palavra?
13. Seu Pedro tem mania de escrever todos os valores da sua conta bancária na forma de ex-
pressão algébrica. No final do mês, Seu Pedro anotou o seguinte saldo x2 + 4x + 260. Sabe-se 
que nesse dia o valor de x era equivalente a R$ 100,00. Qual era o saldo da conta bancária de 
Seu Pedro nesse final de mês
14. Para obter qualquer termo de sequência de números ímpares (1, 3, 5, 7, 9...) na qual n re-
presenta a posição do número na sequência, devemos usar a seguinte regra: 
a) 2(n + 1) b) 2n + 1 c) 2n −1 d) 2(n − 1)
15. Em uma sala retangular deve-se colocar um tapete de medidas 2 m × 3 m, de modo que se 
mantenha a mesma distância em relação às paredes, como indicado no desenho abaixo.
a) Como expressamos a largura dessa sala?
b) E o comprimento da mesma sala?
Expressão algébrica racional
Diz-se que uma expressão algébrica é racional quando, em sua parte variável, aparecem 
somente operações racionais — isto é, aparecem apenas adição, subtração, multiplicação, 
divisão e potenciação.
As expressões algébricas racionais podem ser:
 Inteiras: quando a parte algébrica aparece só no numerador.
 Fracionárias: quando há letras no denominador.
x
x
x
x
2
3
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ME_Matemática_2020_8A_03.indd 67 19/09/2019 10:12:09
68
69Capítulo 3 — Cálculo algébrico
24.
A p p a p b p c= −( ) −( ) −( ) p a b c= + +
2
a) b)
25.
a) 8 4x
x
− b) a b
a b
2 2
28 5
−
−( ) +( )
c) a b
a b
2 2
8 5
−
−( ) +( )
d) x x
2 7 8
20 4
+ +
− y
26.
a) b) c) t n= 1
75
d) t
n
=
75
Monômios
efini o
5 3
4
2 32
2 3
x y z t b; ; ; .
Grau de monômio
68 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
8 2a b2a b2 c É termo algébrico, em que 8 é a parte constante e a²bc é a parte variável, possuindo bc é a parte variável, possuindo bcum único termo.
É uma expressão algébrica contendo dois termos algébricos.2 3 2ab2 3ab2 3b c2b c2+2 3+2 3
16. Classifique cada uma das seguintes expressões algébricas em irracional (I), racional inteira 
(RI) ou racional fracionária (RF).
a) x x+ +3 2 b) x− −+1 2y c)
3
1
a b+






−
 
d) 3 2
3
2a b a− e) x
x
1
2
2
3
3
+
17. Calcule o valor numérico da expressão algébrica x x4 23 5− + para 3 5 para 3 5 x = 3 . Note que x x4 2
2
=( ) .
18. Calcule o valor numérico da expressão algébrica 1
3 4
1
4 5
1
5 6a a a a a a−( ) −( )
+
−( ) −( )
+
−( ) −( )para a = 8.
19. Calcule o valor numérico das expressões algébricas (x + 2)³ e x³ + 2³ para x = 3. Essas ex-
pressões são idênticas?
20. Calcule o valor numérico da expressão algébrica x =
− − −b b ac2 4
2
 para a= 1, b=−9 e c= 20.
21. Encontre a condição de existência de cada expressão algébrica fracionária.
a) 10
2 5x +
 b) a
y
b
a b3 4 8
2
−
−
+
+x
22. Escreva usando apenas símbolos matemáticos e, depois, classifique a expressão algébrica 
escrita.
a) O dobro do número x somado com o seu recíproco (inverso).x somado com o seu recíproco (inverso).x
b) A média geométrica dos números reais positivos x, y e y e y z.
c) A raiz cúbica da soma dos cubos dos números reais x e x e x y.y.y
d) A soma dos inversos dos números reais não nulos b−1 e c−1.
23. Calcule o valor numérico de cada expressão algébrica seguinte usando x = 2 , caso a ex-
pressão seja racional inteira; x = 1
2
 , caso seja racional fracionária; ou x = 2, caso seja irracional.
a) 2 8
5
2
x
x
+
+ b) x x2 1 5 3+ − + c) x x− + +






2
2
5
2
 Essa parte do conteúdo é uma excelen-
te oportunidade para rever muitos con-
ceitos de matemática básica. Sugerimos 
que incentive seus alunos a criarem ex-
pressões entre si e que façam um torneio 
de resolução dessas questões criadas, vi-
sando a sadia competição do conheci-
mento entres eles. interessante incenti-
vá-los, também, a apresentarem suas re-
soluções detalhadas, a fim de identificar 
possíveis erros e até uma nova maneira 
de resolução fora a encontrada por eles.
 de grande importância ressaltar a 
condição de existência, pois vamos pre-
cisar muito desse conhecimento na reso-
lução de equações. Ela pode ser traba-
lhada por meio da expressão algébrica 
irracional e seus pormenores.
 Professor, ao trabalhar o valor numé-
rico, faça os alunos perceberem que, ao 
interpretar cada situação e atribuir valo-
res às variáveis, obterão um valor dife-
rente para a expressão algébrica.
 Deixe claro para os estudantes que, 
numa equação do º grau, teremos, no 
máximo, uma solução. Já para uma ex-
pressão algébrica, a parte literal poderá 
assumir muitos valores, sendo atribuído 
a ela o nome de variável.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
1. Na Matemática, em algumas situações, é 
necessário utilizar letras. Vamos substituir 
todos os valores em P y y1
3 22 3=− + −x x 
e P y y2
2 2= + −x x nas variáveis, efetuar 
as operações e encontrar o valor numéri-
co de P P1 2+ quando x = – e y = – .
a) Encontre os valores numéricos de P1.
Resposta:
P 1 2 3 2 3 3 2 40=− −( ) + −( ) − ⋅ −( )⋅ −( )=³ ² .
b) Encontre os valores numéricos de P .
Resposta:
P2
2 23 2 3 3 2 40= − + − − ⋅ −( )⋅ −( )=( ) ( ) .
c) Agora, substitua os valores:
Resposta:
P P1 2 40 7 47+ = + = . 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
ANOTAÇÕES
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69
69Capítulo 3 — Cálculo algébrico
24. Herão, matemático grego, descobriu uma fórmula que nos permite calcular a área de um 
triângulo qualquer, se conhecermos os seus lados:
A p p a p b p c= −( ) −( ) −( ) em que p a b c= + +
2
 e a, b e c são os lados dos triângulos.c são os lados dos triângulos.c
Nessas condições, calcule a área de cada triângulo.
a) b)
6 8
10
3 7
5
25. Determine os valores reais das variáveis para os quais as expressões algébricas seguintes 
não representem um número real:
a) 8 4x
x
− b) a b
a b
2 2
28 5
−
−( ) +( )
 c) a b
a b
2 2
8 5
−
−( ) +( )
d) x x
2 7 8
20 4
+ +
− y
26. m livro de 6 páginas foi entregue a profissionais que digitam, cada um, páginas por 
hora. Considerando n o número de profissionais e t o tempo em horas, a relação entre n e t é:
a) t = 75n b) t = n + 75 c) t n= 1
75
 d) t
n
=
75
Monômios
efini o
Define-se como monômio toda expressão algébrica racional inteira em que não aparecem 
as operações de adição e subtração entre constantes e variáveis, ou seja, constituída por um 
único termo algébrico.
Assim, temos: 5 3
4
2 32
2 3
x y z t b; ; ; .
Grau de monômio
Define-se como grau de monômio racional inteiro a soma de todos os expoentes que 
aparecem na parte variável.
Assim, temos: 
Monômio racional inteiro de sexto grau (2 + 3 + 1 = 6).
Monômio racional inteiro de quarto grau (1 + 3 = 4).
Monômio racional inteiro de primeiro grau.
3 2 3x y t2 3y t2 3
3 3ab
2
3
a
68 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
16.
a) x x+ +3 2 b) x− −+1 2y c)
3
1
a b+






−
d) 3 2
3
2a b a− e) x
x
1
2
2
3
3
+
17. x x4 23 5− + x = 3 x x4 2
2
=( ) .
18. 1
3 4
1
4 5
1
5 6a a a a a a−( ) −( )
+
−( ) −( )
+
−( ) −( )
19.
20. x =
− − −b b ac2 4
2
21.
a) 10
2 5x +
b) a
y
b
a b3 4 8
2
−
−
+
+x
22.
a) 
b) 
c) 
d) 
23. x = 2
x =
1
2
a) 2 8
5
2
x
x
+
+ b) x x2 1 5 3+ − + c) x x− + +






2
2
5
2
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70
71Capítulo 3 — Cálculo algébrico
5 7 2a a ax x x− =− 5 7 2−( ) =−a ax x
− +9 132 2 2 2a b a b − +( ) =9 13 42 2 2 2a b a b
Subtração algébrica de monômios
−( )− −( )→
− + = − +( ) =−
7 3
7 3 7 3 4
2 2
2 2 2 2
x x
x x x x
y
y y y y
Multiplicação algébrica dos monômios
7 3 7 3 7 3 211 1 2x x x x x x x( )⋅( )= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
70 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Monômio racional inteiro de segundo grau com relação a x.
São monômios semelhantes (variável x).x).x
São monômios semelhantes (variável a²b³).
Monômio racional inteiro de terceiro grau com relação a y.y.y
Monômio racional inteiro de primeiro grau com relação a z.
Pode-se ainda mencionar o grau de um monômio racional inteiro com relação a uma de-
terminada variável.
Assim, temos:
4 2x y
3 3 2x y z3 2y z3 2
a yza yza ya yxa y
Quando o monômio não tem variável, o seu grau é zero.
Os monômios dizem-se semelhantes quando a parte variável de um é idêntica à parte 
variável do outro.
Assim, temos:
3 2
3
2x xx x x, ,
3
, ,
3
x x, ,x x
a b a b a b2 3a b2 3a b 2 3a b2 3a b 2 3a b2 3a b2 2
3
, ,a b, ,a b2, ,2
Adição algébrica de monômios
Considere a seguinte situação: qual é o monômio que representa a área do retângulo ABCD
da figura abaixo
F
x
5 3
E
D
A
C
B
1 2
Retângulo 1
Base = 5
Altura = x
Retângulo 2
Base = 3
Altura = x
A b h
A b h
1
2
5
3
= ⋅ = ⋅
= ⋅ =
x
x
Portanto:
Área do retângulo ABCD é dada por:
(5 + 3) → base
x → altura
A = (5 + 3)x = 8x
Mostre ao aluno que, apesar da defi-
nição de monômio ser “expressão algé-
brica”, pode-se escrever um número real 
qualquer em forma algébrica de variável 
com expoente (zero).
Exemplo: = a x y etc.
 Ao ser trabalhado o reconhecimento 
dos monômios semelhantes, os educan-
dos agora estão embasados em conheci-
mentos para realizarem as adições algé-
bricas de monômios.
 Estimule os alunos a identificarem os 
monômios e a reconhecerem os monô-
mios semelhantes. 
Exemplo:
Observando os monômios que se encon-
tram no quadro abaixo, proponha que 
os alunosencontrem os pares de monô-
mios semelhantes:
 
Solução: Em cada coluna abaixo, en-
contram-se os pares de monômios 
semelhantes.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
ANOTAÇÕES
SUGESTÃO
17c² −
4
4
a a b²
6
3xz
−
2
5
xz
−2ba² 2a −5c²
a b²
6
3xz −5c² −4
4
a
−2ba² −2
5
xz
17c² 2a
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71
71Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Numa expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são semelhantes, podemos 
tornar mais simples a expressão somando algebricamente os coeficientes numéricos e man-
tendo a parte literal.
Veja outros exemplos:
5 7 2a a ax x x− =− , porque 5 7 2−( ) =−a ax x
− +9 132 2 2 2a b a b , porque − +( ) =9 13 42 2 2 2a b a b
Num monômio, a parte numérica é chamada de coeficiente. Já a parte alfabética é chamada 
de variável.
Assim, temos:
3x²x²x y²y² é coeficiente x e x e x y são variáveisy são variáveisy
Subtração algébrica de monômios
Partindo da noção de que subtração é a operação inversa da adição, então devemos con-
servar os sinais dos termos do minuendo e trocar os sinais do subtraendo, recaindo, portanto, 
na adição.
Assim, temos:
−( )− −( )→
− + = − +( ) =−
7 3
7 3 7 3 4
2 2
2 2 2 2
x x
x x x x
y
y y y y
Agora, considere a seguinte situação:
Qual é o monômio que representa a área da figura abaixo
7x
3x
Multiplicação algébrica dos monômios
Inicialmente, vamos recordar a seguinte propriedade das potências:
a a a am na am na a m na am na a⋅ =a a⋅ =a a +a a+a am n+m na am na a+a am na a, .a a, .a aa acoa aa a, .a acoa a, .a am 0a am 0a a≠m 0≠, .m 0, .a a, .a am 0a a, .a a≠, .≠m 0≠, .≠
A figura é um retângulo cuja área pode ser obtida mul-
tiplicando-se o comprimento pela largura.
Assim, temos:
7 3 7 3 7 3 211 1 2x x x x x x x( )⋅( )= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
O monômio que representa a área é: 21 . x², portanto:
Para multiplicar dois ou mais monômios, multiplicamos os coeficientes numéricos entre 
si e, depois, multiplicamos as partes literais entre si.
70 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Adição algébrica de monômios
A b h
A b h
1
2
5
3
= ⋅ = ⋅
= ⋅ =
x
x
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72
73Capítulo 3 — Cálculo algébrico
x
x
x 2
3
x
2
3
x
2 3
x
27. Considerando que o volume de um cubo de aresta a é a³, observe os cubos abaixo.
a) Escreva as expressões que indicam o volume 
de cada cubo.
b) Sabendo que a diferença entre os volumes 
é 19 e que a aresta x é um número inteiro e 
positivo, calcule x.
28. Com relação aos monômios, analise os itens seguintes e marque com x os que contêm uma 
sentença verdadeira.
a) Chama-se monômio toda expressão algébrica racional inteira de um só termo.
b) Todo número real é um monômio sem parte literal.
c) Os monômios x x4 3 4 1y ye− não têm coeficientes.
d) 5 3 2x− y é um monômio.
e) 2 23x y y− + é a soma algébrica de três monômios 2 23x y y, .− e 
f) 3 5a b é um monômio.
g) 3
1
2 2x y é um monômio.
29. No lugar dos ? , você deve escrever uma expressão algébrica de modo que a sentença seja 
verdadeira.
a) 7 142 3 2x xy y( )⋅ =? b) ?3
2
3x y
by= c) −( )⋅ =−ab c ab c2 5? 
d) 5 25
2 3
2a yx x
?
= e) 8 2
4
2x x
?
=− 
30. Efetue as operações indicadas, escrevendo a resposta na forma mais simples possível.
a) 
4
12
6
2
2 3
1 1
3
5
x
x
xy
y
y
y
( )
( )
⋅
−( )
−( )− −
−
 b) 
x x
x
y y
y
− − −
− −
( ) ( )
( )
1 2 2 2
2 2 1
 
Matematica_2020_8A_03.indd 73 19/09/2019 10:01:19
72 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Veja outros exemplos:
a) 5 2 5 2 104 3 4 4 1 3 4 5 7a a a a a⋅( )⋅( )= ( )⋅( )⋅ ⋅( )⋅ ⋅( )= ⋅x x x x x
b) −( )⋅( )⋅( )= −( )⋅( )⋅( )⋅ ⋅( )⋅ ⋅( )⋅ ⋅( )=2 7 10 2 7 10 1 1 1 1 1 1ab ac bc a a b b c c −− ⋅ ⋅ ⋅140 2 2 2a b c
c) 2 3 2 3 62 2 1 2 2 1 1 3 3 1ab a bc a a b b c a b c( )⋅( )= ⋅( )⋅ ⋅( )⋅ ⋅( )⋅ = ⋅ ⋅
d) −





⋅





=






5
7
14
25
5
7
2
1
m am

⋅






⋅ ⋅( )⋅ =−1 4
2 5
2
5
5
2
2 1 1 3
¨
m m a m a Lembrar as operações com 
potências de mesma base.
Divisão algébrica dos monômios
Primeiro, vamos recordar a seguinte propriedade das potências:
a a a am na am na a m n: ,a a: ,a a a a: ,a am n: ,m na am na a: ,a am na a m n: ,m na am na a: ,a am na a .a a= ≠a a: ,= ≠: ,a a: ,a a= ≠a a: ,a aa am na a: ,a am na a= ≠a am na a: ,a am na am n−m na acoa aa a= ≠a acoa a= ≠a am 0a am 0a a= ≠m 0= ≠a a= ≠a am 0a a= ≠a a
A divisão de monômios consiste na divisão ou simplificação dos coeficientes numéricos e 
na aplicação da propriedade da divisão de potência com a mesma base.
Exemplos:
9
3
9
3
3
2 3
2
2 1 3 2x
x
x x
y
y
y y→ =− − (Repete-se a base, e subtraem-se os expoentes.) 
15
18
15
18
5
6
8
7 2 8
3 4
7 3 2 1 8 4 4 4a b c
a bc
a b c a b→ =− − − (Não se pode dividir, então se simplifica por .)
Potenciação algébrica dos monômios
Inicialmente, vamos recordar as seguintes propriedades das potências:
a a a b
n m n n n na bn na b( )a a( )a am( )ma ama a( )a ama a= ⋅a a= ⋅a a ( )a b( )a b= ⋅( )= ⋅a b= ⋅a b( )a b= ⋅a b = ⋅a b= ⋅a bmn⋅m n e= ⋅e= ⋅
Vejamos alguns exemplos:
Qual é o quadrado do monômio − ⋅10 3a ?
−( ) = −( ) ⋅( ) = ⋅ = ⋅⋅10 10 100 1003 2 2 3 2 3 2 6a a a 
Qual é a 5ª potência do monômio 2 2x ?
2 2 32 322
5 5 2 5 2 5 10x x x x( ) = ⋅( ) = ⋅ = ⋅⋅
Ou ainda: 
−( ) = −( ) =−⋅ ⋅3 3 275 3 3 3 5 3 3 3 15 9x x xy y y
 Na aplicação da multiplicação de mo-
nômios, primeiro devemos encontrar o 
produto de potências de mesma base.
 ma boa dica é recordar as proprieda-
des da potenciação.
a a a
a
a
a
a b a b
n m m n
n
m
m n
n n n
n m n m
⋅ =
=
⋅( ) = ⋅
( )







=
+
−
⋅x x
Nos exemplos, é sempre bom, à me-
dida que for resolvendo, enfatizar as 
propriedades da potência já estudadas.
 importante que os alunos simplifi-
quem a expressão para realizar a divisão 
de monômios. 
Exemplo:
49
7
49
7
7 7
6 4
4
6 4
4
6 4 4 3 3 3
x
x
x
x
x x
y z
y z
y z
y
y z y
³
³ ³
³
³z³
²
= ⋅ =
=− − −
 Na potência de números inteiros, de-
vemos lembrar que, se a base é negati-
va e o expoente é par, o resultado é posi-
tivo se a base é negativa e o expoente é 
ímpar, o resultado é negativo.
ANOTAÇÕES
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
ME_Matemática_2020_8A_03.indd 72 19/09/2019 10:12:17
73
73Capítulo 3 — Cálculo algébrico
x
x
x 2
3
x
2
3
x
2 3
x
27. Considerando que o volume de um cubo de aresta a é a³, observe os cubos abaixo.
a) Escreva as expressões que indicam o volume 
de cada cubo.
b) Sabendo que a diferença entre os volumes 
é 19 e que a aresta x é um número inteiro e 
positivo, calcule x.
28. Com relação aos monômios, analise os itens seguintes e marque com x os que contêm uma 
sentença verdadeira.
a) Chama-se monômio toda expressão algébrica racional inteira de um só termo.
b) Todo número real é um monômio sem parte literal.
c) Os monômios x x4 3 4 1y ye− não têm coeficientes.
d) 5 3 2x− y é um monômio.
e) 2 23x y y− + é a soma algébrica de três monômios 2 23x y y, .− e 
f) 3 5a b é um monômio.
g) 3
1
2 2x y é um monômio.
29. No lugar dos ? , você deve escrever uma expressão algébrica de modo que a sentença seja 
verdadeira.
a) 7 142 3 2x xy y( )⋅ =? b) ?3
2
3x y
by= c) −( )⋅ =−ab c ab c2 5? 
d) 5 25
2 3
2a yx x
?
= e) 8 2
4
2x x
?
=− 
30. Efetue as operações indicadas, escrevendo a resposta na forma mais simples possível.
a) 
4
12
6
2
2 3
1 1
3
5
x
x
xy
y
y
y
( )
( )
⋅
−( )
−( )− −
−
 b) 
x x
x
y y
y
− − −
− −
( ) ( )
( )
1 2 2 2
2 2 1
 
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72 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
5 2 5 2 104 3 4 4 1 3 4 5 7a a a a a⋅( )⋅( )= ( )⋅( )⋅ ⋅( )⋅ ⋅( )= ⋅x x x x x
−( )⋅( )⋅( )= −( )⋅( )⋅( )⋅ ⋅( )⋅ ⋅( )⋅ ⋅( )=2 7 10 2 7 10 1 1 1 1 1 1ab ac bc a a b b c c −
−
⋅ ⋅ ⋅140 2 2 2a b c
2 3 2 3 62 2 1 2 2 1 1 3 3 1ab a bc a a b b c a b c( )⋅( )= ⋅( )⋅ ⋅( )⋅ ⋅( )⋅ = ⋅ ⋅
−





⋅





=






5
7
14
25
5
7
2
1
m am


⋅






⋅ ⋅
( )⋅ =−1 4
2 5
2
5
5
2
2 1 13
¨
m m a m a
Divisão algébrica dos monômios
9
3
9
3
3
2 3
2
2 1 3 2x
x
x x
y
y
y y→ =− −
15
18
15
18
5
6
8
7 2 8
3 4
7 3 2 1 8 4 4 4a b c
a bc
a b c a b→ =− − −
Potenciação algébrica dos monômios
− ⋅10 3a
−( ) = −( ) ⋅( ) = ⋅ = ⋅⋅10 10 100 1003 2 2 3 2 3 2 6a a a
2 2x
2 2 32 322
5 5 2 5 2 5 10x x x x( ) = ⋅( ) = ⋅ = ⋅⋅
−( ) = −( ) =−⋅ ⋅3 3 275 3 3 3 5 3 3 3 15 9x x xy y y
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74
75Capítulo 3 — Cálculo algébrico
37.
a) 
b) 
Polinômios
5 2
5 2 1 3
12
2
2 1
1
x
x
y b
y
b
+
→ + =( )( )
→ ( )





monômio de primeiro grau
3 2 21
3 5
2 6
21 0
2
2
3
3 1
2 3 2 3
2
2
3
3x
x
y a b c
y
a b c
− −
→ + =( )
→ + + =( )
→( )





3 2 3 52 3x y → + =( )→
2 2 3 1 62 3a b c→ + + =( )→
21 0→( )→
3 2 212 3 2 3x y a b c− −
74 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
31. A partir de uma planificação, fabrica-se uma caixa sem tampa com a forma de um bloco 
retangular.
10
10
x
x
Calcule a área do papelão usado para fazer a caixa.
32. Escreva a expressão algébrica correspondente a:
a) Quinze por cento de uma quantia x.
b) O preço de x sorvetes, cada um custando R$ 1,20.
33. Determine o grau dos monômios seguintes.
a) 4xy³a² b) 5 (note: 5 = 5 x0)
c) 0 (note: 0 0 0 02 3= = = =x x x ... ) d) x 4 10y 
34. Determine o grau de cada monômio e os respectivos graus em relação às variáveis x e y.
a) 18 2x xy
y
grau do monômio:
grau da variável :
grau da variável ::





 b) −1
3
4 5x xy
grau do monômio:
grau da variável :
grau da variável :y





c) 18 2 4x xyz
grau do monômio:
grau da variável :
grau da variável :y





 d) −

3
grau do monômio:
grau da variável :
grau da variável :
x
y



 
35. O valor de x que satisfaz a equação x
5
5 5− = é: 
a) 0 b) 5 c) 10 d) 50
36. Efetue as seguintes adições algébricas de monômios semelhantes e dê o grau do monômio 
resultante.
a) − + − =7 2 23 2 3 2 3 2x x xy y y b) − + − =3
8
5
4
5 3 5 3 5 3x x xy a y a y a 
c) 8 3 10ab ab abx x x− + = d) − − + =a b y a b y a yb5 2
5 2 5 2
4
3
5
 
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75
75Capítulo 3 — Cálculo algébrico
37. Um estacionamento cobra R$ 6,00 por uma hora de permanência, R$ 3,00 pela 2ª hora e 
R$ 2,00 a cada hora seguinte (fração de hora é cobrada como hora inteira).
a) Quanto paga quem estaciona 2h40min?
b) Se estacionarmos o carro por x horas, com x horas, com x x > 3, qual será a quantia Q a pagar?
Polinômios
Define-se como polinômio toda expressão algébrica racional inteira, ou seja, polinômio é 
uma expressão que possui dois ou mais monômios de partes literais distintas.
Assim, temos: 
5x2y2y2 + 2; 3x + 2yt 2yt 2 −3t; 7x; 7x; 7 2 − 4t − y + z.
Polinômio com dois termos algébricos → binômio
Polinômio com três termos algébricos → trinômio
Polinômio com quatro termos algébricos
5 225 225 2x5 2x5 2+5 2+5 2
3 2 3x3 2x3 2+ −3 2+ −3 2yt+ −yt+ − t
7 427 427 4x7 4x7 4− −7 4− −7 4 +t y− −t y− − z
O grau de um polinômio é dado pelo grau do monômio que tiver o maior grau. Assim, temos:
a) 5 2
5 2 1 3
12
2
2 1
1
x
x
y b
y
b
+
→ + =( )( )
→ ( )





monômio de primeiro grau
Logo:
5x2x2x y2y2 + 2b é um polinômio do terceiro grau.
3 2 21
3 5
2 6
21 0
2
2
3
3 1
2 3 2 3
2
2
3
3x
x
y a b c
y
a b c
− −
→ + =( )
→ + + =( )
→( )





b)
3 2 3 52 3x y → + =( )→ monômio do quinto grau
2 2 3 1 62 3a b c→ + + =( )→ monômio de sexto grau 
21 0→( )→ monômio de zero grau 
Logo:
3 2 212 3 2 3x y a b c− − é um polinômio de sexto grau. 
74 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
31. A partir de uma planificação, fabrica-se uma caixa sem tampa com a forma de um bloco 
retangular.
10
10
x
x
Calcule a área do papelão usado para fazer a caixa.
32. Escreva a expressão algébrica correspondente a:
a) Quinze por cento de uma quantia x.
b) O preço de x sorvetes, cada um custando R$ 1,20.
33. Determine o grau dos monômios seguintes.
a) 4xy³a² b) 5 (note: 5 = 5 x0)
c) 0 (note: 0 0 0 02 3= = = =x x x ... ) d) x 4 10y 
34. Determine o grau de cada monômio e os respectivos graus em relação às variáveis x e y.
a) 18 2x xy
y
grau do monômio:
grau da variável :
grau da variável ::





 b) −1
3
4 5x xy
grau do monômio:
grau da variável :
grau da variável :y





c) 18 2 4x xyz
grau do monômio:
grau da variável :
grau da variável :y





 d) −

3
grau do monômio:
grau da variável :
grau da variável :
x
y



 
35. O valor de x que satisfaz a equação x
5
5 5− = é: 
a) 0 b) 5 c) 10 d) 50
36. Efetue as seguintes adições algébricas de monômios semelhantes e dê o grau do monômio 
resultante.
a) − + − =7 2 23 2 3 2 3 2x x xy y y b) − + − =3
8
5
4
5 3 5 3 5 3x x xy a y a y a 
c) 8 3 10ab ab abx x x− + = d) − − + =a b y a b y a yb5 2
5 2 5 2
4
3
5
 
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76
77Capítulo 3 — Cálculo algébrico
43. Escreva cada um dos polinômios seguintes na forma reduzida ordenando-os segundo as 
potências decrescentes da variável x.
a) 8x³a xa x²a x³a − 4 + xa =
b) (x³ + x²y + 2xy y³) + (3x²y + 2xy² + x³) =
44. Para que o polinômio m−( ) + −6 4 25 3x x seja do 3º grau, determine o valor de m.
45. Ordene os termos do polinômio reduzido equivalente a 2 0 7 2 2 9 27 6 7 7 2 3+ − + − + + −x x x x x x x 
e diga qual é o seu grau.
40 – 2x
40
 –
 2
x
x x
x x
x x
x x
40
40Figura 1 Figura 2
39. Mariana tem uma folha de cartolina de forma quadrada, com 40 cm de lado. Cortando em 
cada canto um quadrado de lado x cm e dobrando as laterais, Mariana obtém uma caixa. Qual 
o polinômio P(x) que representa, em centímetros cúbicos, o volume dessa caixa? Calcule P(10).
(Volume = área da base × altura)
40. Um polinômio P(x) do 1º grau tem uma única variável e é tal que P(0) = 3 e P(1) = 6. Calcule 
P(x) e P(10).
41. Veja a sequência dos números L.
=L 3
1
=L 5
2
=L 7
3
=L 9
4
a) Mostre os próximos dois números da sequência.
b) Qual a fórmula que nos permite calcular Ln?
42. Classifique os seguintes polinômios considerando o número de termos não semelhantes.
a) 5x³ − 2x + 1 b) 8 3 4 5 4x x x x5 + − + 
c) a² + 2ab + b² d) 3 1
2
54 4 4x x xy y y− + 
e) −1
5
5 6 8x y z 
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76 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Polinômio nulo é o polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero.
Ex.: Px x x= + +0 0 0
2
Valor numérico de um polinômio
É o valor que obtemos quando substituímos a variável por um valor determinado.
Ex.: Se P
x
x x( ) = +
2 2 e x = 2 , então:
P
P
P
2
2
2
2
2 2 2
4 4
8
( )
( )
( )
= + ⋅
= +
=
 
Note que todos os x foram substituídos por 2.
Dado, então, um polinômio de grau n na variável x x x x, * ... ,a a a an n
n+ + + +−
−
1
1
1 0 podemos 
representá-lo assim:
P a a a an
n
n
nx x x x( )= + + + +− −1 1 1 0... 
Em que an ≠ 0 e a a a an n− −1 2 1 0, ,... , são os coeficientes reais dos respectivos termos.
Podemos calcular o valor numérico desse polinômio para x = k, substituindo todos os x por k:
P k a k a k a k an
n
n
n( )= ⋅ + ⋅ + + +− −1 1 1 0... . 
Note que:
P(1) =a a a an n+ + + +−1 1 0... nos dá a soma dos coeficientes.
P(0) = a0 nos dá o termo independente da variável (o termo sem variável).
Exemplo:
Se P(x) = 3x³ − 5x² + x − 4, temos:
a) P P4 3 4 5 4 4 4 192 80 4 4 4 112
3 2( )= ⋅( ) − ⋅( ) +( )− = − + − → ( )= 
b) P P1 3 5 1 4 1 5( )= − + − → ( )=− 
c) P P0 3 0 5 0 0 4 0 4( )= ( )− ( )+ − → ( )=−
Polinômio ordenado
Dizemos que um polinômio está ordenado em relação a uma letra quando, nos seus ter-
mos, os expoentes dessa letra formam uma sequência de números crescentes ou decrescentes.
Ex.:
2 13 2x x x+ + + é um polinômio decrescente.
38. Considerando o polinômioP(x) = 2x² − x + 1, calcule.
a) P1( ) b) P−( )1 c) P0( ) d) P 1
2






 
Matematica_2020_8A_03.indd 76 19/09/2019 10:01:28
Equação Polinômio
t t3 0t t3 0t t+ =3 0+ =t t+ =t t3 0t t+ =t t23 023 0t t3 0t t2t t3 0t t t t+ =t t+ =t t3 2t t2t t
Solução Fatorando
t t= =t t= =t t0 ot t0 ot tt t= =t t0 ot t= =t tt tut tt t= =t tut t= =t t
1
3
t t t t( )t t( )t t( )+( )3 3t t3 3t t t t3 3t t( )3 3( )t t( )t t3 3t t( )t t+ =3 3+ =t t+ =t t3 3t t+ =t t ( )1( )23 323 3t t3 3t t2t t3 3t t
 importante perceber a diferença en-
tre expressões polinomiais e as senten-
ças que resultam em equações.
 Ressalte o sinal de igualdade, como no 
exemplo:
SUGESTÃO
 Enfatize a classificação dos polinô-
mios, comparando com o termo em lín-
gua portuguesa (monossílabo, dissíla-
bo, etc.).
Veja as seguintes dicas e descubra do 
que se fala.
Dica: Possui apenas uma variável, é do 
º grau e não é completo. 
Resposta : Avaliando as dicas, chegamos 
à conclusão de que se trata do polinômio 
do tipo a b a cx x x² ² ,+ +ou sendo a ≠ 0 
nos dois casos.
ANOTAÇÕES
DESAFIO
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77
77Capítulo 3 — Cálculo algébrico
43. Escreva cada um dos polinômios seguintes na forma reduzida ordenando-os segundo as 
potências decrescentes da variável x.
a) 8x³a xa x²a x³a − 4 + xa =
b) (x³ + x²y + 2xy y³) + (3x²y + 2xy² + x³) =
44. Para que o polinômio m−( ) + −6 4 25 3x x seja do 3º grau, determine o valor de m.
45. Ordene os termos do polinômio reduzido equivalente a 2 0 7 2 2 9 27 6 7 7 2 3+ − + − + + −x x x x x x x 
e diga qual é o seu grau.
40 – 2x
40
 –
 2
x
x x
x x
x x
x x
40
40Figura 1 Figura 2
39. Mariana tem uma folha de cartolina de forma quadrada, com 40 cm de lado. Cortando em 
cada canto um quadrado de lado x cm e dobrando as laterais, Mariana obtém uma caixa. Qual 
o polinômio P(x) que representa, em centímetros cúbicos, o volume dessa caixa? Calcule P(10).
(Volume = área da base × altura)
40. Um polinômio P(x) do 1º grau tem uma única variável e é tal que P(0) = 3 e P(1) = 6. Calcule 
P(x) e P(10).
41. Veja a sequência dos números L.
=L 3
1
=L 5
2
=L 7
3
=L 9
4
a) Mostre os próximos dois números da sequência.
b) Qual a fórmula que nos permite calcular Ln?
42. Classifique os seguintes polinômios considerando o número de termos não semelhantes.
a) 5x³ − 2x + 1 b) 8 3 4 5 4x x x x5 + − + 
c) a² + 2ab + b² d) 3 1
2
54 4 4x x xy y y− + 
e) −1
5
5 6 8x y z 
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76 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Polinômio nulo é o polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero.
Ex.: Px x x= + +0 0 0
2
Valor numérico de um polinômio
É o valor que obtemos quando substituímos a variável por um valor determinado.
Ex.: Se P
x
x x( ) = +
2 2 e x = 2 , então:
P
P
P
2
2
2
2
2 2 2
4 4
8
( )
( )
( )
= + ⋅
= +
=
 
Note que todos os x foram substituídos por 2.
Dado, então, um polinômio de grau n na variável x x x x, * ... ,a a a an n
n+ + + +−
−
1
1
1 0 podemos 
representá-lo assim:
P a a a an
n
n
nx x x x( )= + + + +− −1 1 1 0... 
Em que an ≠ 0 e a a a an n− −1 2 1 0, ,... , são os coeficientes reais dos respectivos termos.
Podemos calcular o valor numérico desse polinômio para x = k, substituindo todos os x por k:
P k a k a k a k an
n
n
n( )= ⋅ + ⋅ + + +− −1 1 1 0... . 
Note que:
P(1) =a a a an n+ + + +−1 1 0... nos dá a soma dos coeficientes.
P(0) = a0 nos dá o termo independente da variável (o termo sem variável).
Exemplo:
Se P(x) = 3x³ − 5x² + x − 4, temos:
a) P P4 3 4 5 4 4 4 192 80 4 4 4 112
3 2( )= ⋅( ) − ⋅( ) +( )− = − + − → ( )= 
b) P P1 3 5 1 4 1 5( )= − + − → ( )=− 
c) P P0 3 0 5 0 0 4 0 4( )= ( )− ( )+ − → ( )=−
Polinômio ordenado
Dizemos que um polinômio está ordenado em relação a uma letra quando, nos seus ter-
mos, os expoentes dessa letra formam uma sequência de números crescentes ou decrescentes.
Ex.:
2 13 2x x x+ + + é um polinômio decrescente.
38. Considerando o polinômio P(x) = 2x² − x + 1, calcule.
a) P1( ) b) P−( )1 c) P0( ) d) P 1
2






 
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78
79Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Quanto dá A + B?
A y
B y y
A B y
→+ − +
→− + − → + +
+ = + +
2 7 3
2 7 3 0 0 0
0 0 0
x
x x
x
 
A + B é polinômio nulo. Dizemos, então, que B é oposto de A e indicamos B = −A.
Subtração de polinômios
A subtração de dois polinômios é feita adicionando-se o primeiro polinômio ao oposto do 
segundo, ou seja, adicionando-se o primeiro ao polinômio obtido a partir da troca dos sinais 
negativos de todos os termos.
Exemplos:
a) 8 4 8 6 5 10
8 4 8 6 5 10
2 9 18
2 2
2 2
2
x x x x
x x x x
x x
− +( )− + −( )=
− + − − +
− +
 
b) Dados os polinômios: 
A
B
C
= − +
= + −
= − −
2 10 5
5 2
2 3 1
2
3
3 2
x x
x x
x x
 
Determine, usando o dispositivo prático, A + 2B − C.
Solução:
A
B
C
→ − +
→ + −
→−
− + +
+
2 10 5
2 2 10 4
2 3 1
5 1
2
3
3 2
2
x x
x x
x x
x
 Todos os sinais de C foram trocados.
Então, A + 2B − C = 5x² + 2.
48. Dados os polinômios:
A
B
C
D
= + − +
= − −
=− −
= +
4 6 7 12
6 18
13 15
2 12
3 2
2
2
3
x x x
x x
x
x
Determine:
a) A + B =
b) A − (B + D) = 
c) A + C − 2D =
Matematica_2020_8A_03.indd 79 19/09/2019 10:01:34
78 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
46. Dado o polinômio P x x x( )= − +2 3 13 , calcule P(2), ou seja, calcule o valor numérico de P 
quando x = 2.
47. Dado o polinômio P kx x x( )= − + −3 23 1, calcule P(6) sabendo que k = 1.
Os prédios na praia
Numa pequena cidade litorânea, uma construtora planeja construir dois edifícios: o Boa 
Praia e o Ondas do Mar. O Boa Praia terá os apartamentos em 9 andares, além do apartamento 
do zelador, no piso térreo.
O Ondas do Mar terá 3 andares a menos e 4 apartamentos a mais por andar, além do 
apartamento do zelador, também no térreo.
Se o Boa Praia tiver n apartamentos por andar, quantos apartamentos serão construídos, 
incluindo os dos zeladores, contando os dois prédios?
No Boa Praia, serão 9n apartamentos nos andares, portanto 9n + 1 apartamentos. No Ondas 
do Mar, serão 6 andares com 4 apartamentos a mais por andar. Logo, 6n + 6 : 4 apartamentos 
nos andares. Com o do zelador, serão 6n + 25 apartamentos.
Para saber o número total de apartamentos, precisamos somar 9n + 1 com 6n + 25.
Dados os polinômios A = 9n + 1 e B = 6n + 25, indicamos a soma A + B como segue:
A B n n
A B
A B n n
A B n
n n
+ = + + +
+ = + + +
+ = + + +
+ = +
9 1 6 25
9 6 1 25
15 26
9 61 25
( ) ( )
A B n n
A B
A B n n
A B n
n n
+ = + + +
+ = + + +
+ = + + +
+ = +
9 1 6 25
9 6 1 25
15 26
9 61 25
( ) ( )
termos semelhantes
Operações com polinômios
Adição de polinômios
A adição de dois ou mais polinômios é feita escrevendo-se um polinômio após o outro e 
conservando-se o sinal de cada termo. Em seguida, faz-se a redução dos termos semelhantes, 
caso existam.
A soma de dois ou mais polinômios também pode ser obtida através de um dispositivo 
prático que consiste em escrever os polinômios um abaixo do outro, colocando-se os termos 
semelhantes numa mesma coluna para, em seguida, efetuar sua adição algébrica.
Veja como ficaria o exemplo anterior resolvido através desse processo:
Dispositivo prático
A n
B n
A B n
→ +
→ +
+ → +
9 1
6 25
15 26
 
Oposto do polinômio A é o polinômio que, adicionado a A, dá como soma o polinômio nulo. 
Indica-se por −A.
Exemplo:
A = − +2 7 3x y e B =− + −2 7 3x y
Matematica_2020_8A_03.indd 78 19/09/2019 10:01:33
1. Como descobrir o grau de um polinô-
mio reduzido que não é nulo O grau é 
dado pelo seu termo de maior grau.
Exemplo:
O polinômio a y a6 y5 + ay é do 
6º grau em relação à variável a e do º 
grau em relação à variável y.
O polinômio a7 y + 6a y8 é do º grau 
em relação à variável a e do º grau em 
relação à variável y.
2. Quando o ar-condicionado está liga-
do, a temperatura B do meu quarto, em 
graus Celsius,varia com o tempo t, em 
horas, de acordo com o polinômio:
B t t t t( )= + − ≥5 3 0 5 0, ² com
a) Qual é o grau do polinômio 
Resposta:
Segundo grau.
b) Qual é a temperatura do seu quarto 
quando t = h E quando t = h
Resposta:
Vamos calcular o valor numérico do 
polinômio quando t = h.
B
B
B
5 5 3 5 0 5 5
5 5 15 12 5
5 7 5
( )= + ⋅ − ( )
( )= + −
( )=
, ²
,
, .
Para t = h, a temperatura no quarto che-
ga a , graus Celsius. Quando t = h, a 
temperatura é de graus Celsius:
B
B
B
8 5 24 0 5 8
8 5 24 32
8 3
( )= + − ( )
( )= + −
( )=−
, ²
.
c) Coloque o polinômio segundo as po-
tências decrescentes de t.
Resposta:
B t t t( )=− + +0 5 3 5, ² .
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
ANOTAÇÕES
ME_Matemática_2020_8A_03.indd 78 19/09/2019 10:12:23
79
79Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Quanto dá A + B?
A y
B y y
A B y
→+ − +
→− + − → + +
+ = + +
2 7 3
2 7 3 0 0 0
0 0 0
x
x x
x
 
A + B é polinômio nulo. Dizemos, então, que B é oposto de A e indicamos B = −A.
Subtração de polinômios
A subtração de dois polinômios é feita adicionando-se o primeiro polinômio ao oposto do 
segundo, ou seja, adicionando-se o primeiro ao polinômio obtido a partir da troca dos sinais 
negativos de todos os termos.
Exemplos:
a) 8 4 8 6 5 10
8 4 8 6 5 10
2 9 18
2 2
2 2
2
x x x x
x x x x
x x
− +( )− + −( )=
− + − − +
− +
 
b) Dados os polinômios: 
A
B
C
= − +
= + −
= − −
2 10 5
5 2
2 3 1
2
3
3 2
x x
x x
x x
 
Determine, usando o dispositivo prático, A + 2B − C.
Solução:
A
B
C
→ − +
→ + −
→−
− + +
+
2 10 5
2 2 10 4
2 3 1
5 1
2
3
3 2
2
x x
x x
x x
x
 Todos os sinais de C foram trocados.
Então, A + 2B − C = 5x² + 2.
48. Dados os polinômios:
A
B
C
D
= + − +
= − −
=− −
= +
4 6 7 12
6 18
13 15
2 12
3 2
2
2
3
x x x
x x
x
x
Determine:
a) A + B =
b) A − (B + D) = 
c) A + C − 2D =
Matematica_2020_8A_03.indd 79 19/09/2019 10:01:34
78 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
46. Dado o polinômio P x x x( )= − +2 3 13 , calcule P(2), ou seja, calcule o valor numérico de P 
quando x = 2.
47. Dado o polinômio P kx x x( )= − + −3 23 1, calcule P(6) sabendo que k = 1.
Os prédios na praia
Numa pequena cidade litorânea, uma construtora planeja construir dois edifícios: o Boa 
Praia e o Ondas do Mar. O Boa Praia terá os apartamentos em 9 andares, além do apartamento 
do zelador, no piso térreo.
O Ondas do Mar terá 3 andares a menos e 4 apartamentos a mais por andar, além do 
apartamento do zelador, também no térreo.
Se o Boa Praia tiver n apartamentos por andar, quantos apartamentos serão construídos, 
incluindo os dos zeladores, contando os dois prédios?
No Boa Praia, serão 9n apartamentos nos andares, portanto 9n + 1 apartamentos. No Ondas 
do Mar, serão 6 andares com 4 apartamentos a mais por andar. Logo, 6n + 6 : 4 apartamentos 
nos andares. Com o do zelador, serão 6n + 25 apartamentos.
Para saber o número total de apartamentos, precisamos somar 9n + 1 com 6n + 25.
Dados os polinômios A = 9n + 1 e B = 6n + 25, indicamos a soma A + B como segue:
A B n n
A B
A B n n
A B n
n n
+ = + + +
+ = + + +
+ = + + +
+ = +
9 1 6 25
9 6 1 25
15 26
9 61 25
( ) ( )
A B n n
A B
A B n n
A B n
n n
+ = + + +
+ = + + +
+ = + + +
+ = +
9 1 6 25
9 6 1 25
15 26
9 61 25
( ) ( )
termos semelhantes
Operações com polinômios
Adição de polinômios
A adição de dois ou mais polinômios é feita escrevendo-se um polinômio após o outro e 
conservando-se o sinal de cada termo. Em seguida, faz-se a redução dos termos semelhantes, 
caso existam.
A soma de dois ou mais polinômios também pode ser obtida através de um dispositivo 
prático que consiste em escrever os polinômios um abaixo do outro, colocando-se os termos 
semelhantes numa mesma coluna para, em seguida, efetuar sua adição algébrica.
Veja como ficaria o exemplo anterior resolvido através desse processo:
Dispositivo prático
A n
B n
A B n
→ +
→ +
+ → +
9 1
6 25
15 26
 
Oposto do polinômio A é o polinômio que, adicionado a A, dá como soma o polinômio nulo. 
Indica-se por −A.
Exemplo:
A = − +2 7 3x y e B =− + −2 7 3x y
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80
81Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Multiplicação de polinômios
A multiplicação de polinômios consiste basicamente na multiplicação numérica e na apli-
cação da multiplicação de potências com a mesma base, se houver.
Ex.:
3 22 6 42 3 2x x x x x+( )( )= +
Na multiplicação de polinômios, podemos considerar os seguintes casos:
Multiplicação algébrica de monômio por 
polinômio
A multiplicação, nesse caso, consiste em 
determinarmos os produtos do monômio por 
cada termo do polinômio.
Assim, temos:
a) 2 3 2 3
6 4 6
2 2 2
3 3 2 4 2
ab a bc ab
a b c a b ab
⋅ + −( )=
+ −
 
Pois:
 
2 3 6
2 2 4
2 3 6
2 2 3 3
2 2 2 4
2
ab a bc a b c
ab ab a b
ab a
( )⋅ +( )=+
( )⋅( )=+
( )⋅ −( )=− bb2
 
b) 2 3 8
3
6 9 24
2 2
2
4 2 3 3 3 2
a a a
a
a a a
x x x
x
x x x
+ +
×
+ +
 
Multiplicação de polinômio por polinômio
Nesse caso, aplicamos o mesmo princípio 
anterior, mas não podemos esquecer a proprie-
dade distributiva da multiplicação.
Ex.:
5 2 3 2
10 4 6 5 2 3
10 9 2 6
2 2
2 2
x x
x x x x
x x x
+ +( ) +( )
= + + + + +
= + + +
y z y
y z y y yz
y y z++3yz
 
Dispositivo prático
5 2 3
2
5 4 6
5 2 3
5 9 6 2 3
2
2
2 2
x
x
x x x
x
x x x
+ +
+
+ +
+ +
+ + + +
y z
y
y z
y y yz
y z y yz
 
58. Calcule.
a) 6 5x( ) b) 3 4 2a a( )( ) c) −( )( )2 22x x d) x x3 5y y( )( ) 
57. Elimine os parênteses e reduza os termos semelhantes em cada operação nos polinômios abaixo.
a) (4a b + 3c) + (5a + 9b c) 
b) ( x + 9y + 4z) ( x 6y + 11z)
c) 2 7 5 1 8 6 9 94 3 2 4 3 2y y y y y y y y− + − +( )− + − − −( )
d) 2 1 3 1 4 7 12 3 2x x x x x x−( )− + −( )+ − + −( ) 
Matematica_2020_8A_03.indd 81 19/09/2019 10:01:37
80 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
56. Qual é o valor de M + N − O? Sabe-se que:
M = 4x³ + 6x² − 6x x x N = 2x² − 6x − 18 O = 3x + 2
49. Elimine os parênteses, os colchetes e as chaves e reduza os termos semelhantes.
x² − {[3x − (x² + 2x − 1) + 2x²] + 3x − 1}
50. Sabendo que P(x) x) x = x³ − 2x² + 1, ƒ(x) x) x = x³ − 3x² + 3 e g(x) x) x = P(x) x) x − ƒ(x), determine o polinômio x), determine o polinômio x
g(x) e, a seguir, encontre x) e, a seguir, encontre x g(2).
51. Observe o retângulo.
(x + 5)
(x
+
 2
)
Escreva na forma de polinômio reduzido 
e diga o que significam, para essa figura, 
as expressões:
a) 2 . (x + 5) + 2 . (x + 2)
b) (x + 5) . (x + 2)
52. Observe o quadro:
37 10 3 7= ⋅10= ⋅10 +3 7+3 7
Por isso, um número inteiro, no qual a é o algarismo das dezenas e b o 
das unidades, pode ser representado assim: 10a + b.
Agora represente, de modo similar, um número inteiro de três algarismos, 
no qual x é o algarismo das centenas, x é o algarismo das centenas, x y o das dezenas e y o das dezenas e y z o das unidades.
53. Sendo A = 3x e B = x³ − x + 1, calcule o oposto dos polinômios.
a) A + B b) A − B c) (−A−A− ) − B
54. Se o polinômio A(x) x) x = ax³ + bx² + cxcxc + d é idêntico a d é idêntico a d B − C, calcule os valores numéricos de C, calcule os valores numéricos de C
a, b, c e c e c d sabendo qued sabendo qued B = 2x³ + 3x² − 1 e C = x³ + 2x + 4.
55. Uma moldura quadrangular tem largura x.
x
50
30
x a) Deduza uma fórmula para a área A da moldura 
em função de x.
b) Se x = 10 cm, qual é a área da moldura?
ME_Matemática_2020_8A_03.indd 80 19/09/2019 10:12:24
81
81Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Multiplicação de polinômios
A multiplicação de polinômios consiste basicamente na multiplicação numérica e na apli-
cação da multiplicação de potências com a mesma base, se houver.
Ex.:
3 22 6 42 3 2x x x x x+( )( )= +
Na multiplicação de polinômios, podemos considerar os seguintes casos:
Multiplicação algébrica de monômio por 
polinômio
A multiplicação, nesse caso, consiste em 
determinarmos os produtos do monômio por 
cada termo do polinômio.
Assim, temos:
a) 2 32 3
6 4 6
2 2 2
3 3 2 4 2
ab a bc ab
a b c a b ab
⋅ + −( )=
+ −
 
Pois:
 
2 3 6
2 2 4
2 3 6
2 2 3 3
2 2 2 4
2
ab a bc a b c
ab ab a b
ab a
( )⋅ +( )=+
( )⋅( )=+
( )⋅ −( )=− bb2
 
b) 2 3 8
3
6 9 24
2 2
2
4 2 3 3 3 2
a a a
a
a a a
x x x
x
x x x
+ +
×
+ +
 
Multiplicação de polinômio por polinômio
Nesse caso, aplicamos o mesmo princípio 
anterior, mas não podemos esquecer a proprie-
dade distributiva da multiplicação.
Ex.:
5 2 3 2
10 4 6 5 2 3
10 9 2 6
2 2
2 2
x x
x x x x
x x x
+ +( ) +( )
= + + + + +
= + + +
y z y
y z y y yz
y y z++3yz
 
Dispositivo prático
5 2 3
2
5 4 6
5 2 3
5 9 6 2 3
2
2
2 2
x
x
x x x
x
x x x
+ +
+
+ +
+ +
+ + + +
y z
y
y z
y y yz
y z y yz
 
58. Calcule.
a) 6 5x( ) b) 3 4 2a a( )( ) c) −( )( )2 22x x d) x x3 5y y( )( ) 
57. Elimine os parênteses e reduza os termos semelhantes em cada operação nos polinômios abaixo.
a) (4a b + 3c) + (5a + 9b c) 
b) ( x + 9y + 4z) ( x 6y + 11z)
c) 2 7 5 1 8 6 9 94 3 2 4 3 2y y y y y y y y− + − +( )− + − − −( )
d) 2 1 3 1 4 7 12 3 2x x x x x x−( )− + −( )+ − + −( ) 
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80 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
56.
49.
50.
51.
a) 
b) 
52.
53.
a) b) c)
54.
55.
a) 
b) 
ME_Matemática_2020_8A_03.indd 81 19/09/2019 10:12:24
82
83Capítulo 3 — Cálculo algébrico
7 2 3 15 5 1 3
7 2 3 15 5 1
3
5 4 3 2 2
5 4 3 2
2
x x x x x x x
x x x x x
x x
+ − + − +( ) −( )
+ − + − + =
−
:
77 2 3 15 5 1 3
7 21 7 23 66 213
0 23
5 4 3 2 2
5 4 3 2
4
x x x x x x x
x x x x x
x
+ − + − + −
− + + + +
+
−− +
+
− +
+
− +
+ +
23 69
0 66
66 198
213
213 639
0 634 1
4 3
3
3 2
2
2
x x
x
x x
x
x x
x( )
Exemplo:
Desenvolvimento:
a) (+7x5) : (+x2) = (+7x3) → Primeiro termo do polinômio quociente. O produto, com sinal tro-
cado, de +7x3 pelo polinômio divisor é –7x5 + 21x4.
b) Primeiro resto parcial → 23x4.
(23x4) : (+x2) = (+23x2) → Segundo termo do polinômio quociente. O produto, com sinal 
trocado, de +23x2 pelo polinômio divisor é –23x4 + 69x3.
c) Segundo resto parcial → 66x3.
 (+66x3) : (+x2) = 66x → Terceiro termo do polinômio quociente. O produto, com sinal tro-
cado, de +66x pelo polinômio divisor é –66x3 + 198x2.
d) Terceiro resto parcial → 213x2.
e) (+213x2) : (+x2) = (+213) → Quarto termo do polinômio quociente. O produto, com sinal 
trocado, de +213 pelo polinômio divisor é –213x2 + 639x.
f) Resto → 634x + 1.
Verificamos, aqui, que o grau do polinômio resto parcial (grau ) é inferior ao grau do po-
linômio divisor (grau 2), sendo, então, o resto da divisão.
Identificando-se com:
DIVIDENDO DIVISOR(d)
RESTO(R) QUOCIENTE(Q)
D
d
Q
x x x x x x
x x x
x x x x
( )=+ + − + − +
( )=+ −
( )=+ + + +
7 2 3 15 5 1
3
7 23 66 2
5 4 3 2
2
3 2 113
634 1R x x( )=+ +
7 2 3 15 5 1 3
7 2 3 15 5 1
3
5 4 3 2 2
5 4 3 2
2
x x x x x x x
x x x x x
x x
+ − + − +( ) −( )
+ − + − + =
−
:
77 2 3 15 5 1 3
7 21 7 23 66 213
0 23
5 4 3 2 2
5 4 3 2
4
x x x x x x x
x x x x x
x
+ − + − + −
− + + + +
+
−− +
+
− +
+
− +
+ +
23 69
0 66
66 198
213
213 639
0 634 1
4 3
3
3 2
2
2
x x
x
x x
x
x x
x( )
Matematica_2020_8A_03.indd 83 19/09/2019 10:01:38
82 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Divisão de polinômios
Divisão de polinômio por monômio
A divisão, nesse caso, consiste em determinarmos os quocientes de cada termo do polinô-
mio dividendo pelo monômio divisor.
Assim, temos:
25 5 20 5 5 44 2 3 3 2 4 2 3 2 2a b a b a b ab a a b ab− +( ) −( )=− + −:
Pois:
+ −( )=
− −( )=+ =+
+ −(
25 5 5
5 5 1
20 5
4 2 2 3
3 3 2 2 2
2 4 2
a b ab a
a b ab a b a b
a b ab
:
:
: ))=−




 4
2ab
 
Divisão de polinômio por polinômio
Ao dividir um polinômio por outro, devemos operar da seguinte maneira:
 Ordenamos as potências, tanto as do polinômio dividendo como as do polinômio divisor, 
segundo a mesma variável.
 Dividimos o termo de maior grau do polinômio dividendo pelo termo de maior grau do 
polinômio divisor, obtendo o primeiro termo do polinômio quociente.
 Multiplicamos o primeiro termo do polinômio quociente pelos termos do polinômio 
divisor, um a um.
 Subtraímos o produto assim obtido do polinômio dividendo fazendo a redução dos ter-
mos semelhantes e obtendo, dessa maneira, o primeiro resto parcial.
Esse primeiro resto parcial, consideraremos como polinômio dividendo; repetiremos o 
passo anterior e assim por diante, até obtermos resto nulo ou um resto cujo termo de maior 
grau na variável seja menor do que o grau no polinômio divisor.
a) Qual é a área total do papel usado na construção 
da caixa?
b) Qual é o volume da caixa, sendo V = a . b . c?
3x+2
3x+2
2x+1
2x+1
2x+1
2x+1
x x
x
x
x
xx x
59. Recortando o polígono ao lado e dobrando nas linhas tracejadas, formamos uma caixa 
fechada (bloco retangular).
Matematica_2020_8A_03.indd 82 19/09/2019 10:01:38
1. A distância da casa de Joana até a casa 
de Pedro tem algumas medidas de seus 
trechos dadas, em metros, pelo polinô-
mio indicado na figura abaixo.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
y
y
+ − + +( )+ +
− + − − +( )= −
− + + + +
−
4 2 2 2
1 3 2 2 3
4 2 2 2
1 3
x x x x
x x x
x x x x
x
² ²
² ²
² ²
²² ²
² .
− + = −
= − −
x x
x x
2 2 3
7 2 6y
(saída)
2x² + 
2x – 1 –3x² – x + 2
–4x
² +
 x +
 2y
P
S
T (chegada)
R
Q
2 3
2 17 3
2 289 3
578 3 575
x²
²
.
− =
( ) − =
( )− =
− =
Se o comprimento total do trecho da 
casa de Joana até a de Pedro é dado por 
x = − , qual o polinômio que represen-
ta a medida do trecho y
Resposta:
2. Qual a distância da casa de Joana até a 
casa de Pedro se x = metros
Resposta:
O comprimento desse trecho é 
metros.
 A ordenação de um polinômio com re-
lação a uma letra em cada termo aconte-
ce quando os expoentes dessa letra são 
organizados em uma sequência decres-
cente ou crescente.
 Peça aos alunos que pesquisem o sig-
nificado de perpendicular.
 Lembre-se de que, ao multiplicar o mo-
nômio por cada termo do polinômio, es-
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
tamos realizando a multiplicação de um 
monômio por um polinômio. Exemplo:
Ao multiplicar o monômio x y pelo 
polinômio xy x + y, que polinômio 
será encontrado como resultado
3 5 2 3
3 5 3 2 3 3
15 6
x x x
x x x x x
x
²
² ² ²
³ ²
y y y
y y y y y
y
− +( )=
( )( )−( )( )+( )( )=
− xx x³ ² ².y y+9
Faça os alunos elaborarem várias si-
tuações de multiplicação antes de entrar 
em divisão de polinômios.
ANOTAÇÕES
ME_Matemática_2020_8A_03.indd 82 19/09/2019 10:12:26
83
83Capítulo 3 — Cálculo algébrico
7 2 3 15 5 1 3
7 2 3 15 5 1
3
5 4 3 2 2
5 4 3 2
2
x x x x x x x
x x x x x
x x
+ − + − +( ) −( )
+ − + − + =
−
:
77 2 3 15 5 1 3
7 21 7 23 66 213
0 23
5 4 3 2 2
5 4 3 2
4
x x x x x x x
x x x x x
x
+ − + − + −
− + + + +
+
−− +
+
− +
+
− +
+ +
23 69
0 66
66 198
213
213 639
0 634 1
4 3
3
3 2
2
2
x x
x
x x
x
x x
x( )
Exemplo:
Desenvolvimento:
a) (+7x5) : (+x2) = (+7x3) → Primeiro termo do polinômio quociente. O produto, com sinal tro-
cado, de +7x3 pelo polinômio divisor é –7x5 + 21x4.
b) Primeiro resto parcial → 23x4.
(23x4) : (+x2) = (+23x2) → Segundo termo do polinômio quociente. O produto, com sinal 
trocado, de +23x2 pelo polinômio divisor é –23x4 + 69x3.
c) Segundo resto parcial → 66x3.
 (+66x3) : (+x2) = 66x → Terceiro termo do polinômio quociente. O produto, com sinal tro-
cado, de +66x pelo polinômio divisor é –66x3 + 198x2.
d) Terceiro resto parcial → 213x2.
e) (+213x2) : (+x2) = (+213) → Quarto termo do polinômio quociente. O produto, com sinal 
trocado, de +213 pelo polinômio divisor é –213x2 + 639x.
f) Resto → 634x + 1.
Verificamos, aqui, que o grau do polinômio resto parcial (grau ) é inferior ao grau do po-
linômio divisor (grau 2), sendo, então, o resto da divisão.
Identificando-se com:
DIVIDENDO DIVISOR(d)
RESTO(R) QUOCIENTE(Q)
D
d
Q
x x x x x x
x x x
x x x x
( )=+ + − + − +
( )=+ −
( )=+ + + +
7 2 3 15 5 1
3
7 23 66 2
5 4 3 2
2
3 2 113
634 1R x x()=+ +
7 2 3 15 5 1 3
7 2 3 15 5 1
3
5 4 3 2 2
5 4 3 2
2
x x x x x x x
x x x x x
x x
+ − + − +( ) −( )
+ − + − + =
−
:
77 2 3 15 5 1 3
7 21 7 23 66 213
0 23
5 4 3 2 2
5 4 3 2
4
x x x x x x x
x x x x x
x
+ − + − + −
− + + + +
+
−− +
+
− +
+
− +
+ +
23 69
0 66
66 198
213
213 639
0 634 1
4 3
3
3 2
2
2
x x
x
x x
x
x x
x( )
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82 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Divisão de polinômios
Divisão de polinômio por monômio
A divisão, nesse caso, consiste em determinarmos os quocientes de cada termo do polinô-
mio dividendo pelo monômio divisor.
Assim, temos:
25 5 20 5 5 44 2 3 3 2 4 2 3 2 2a b a b a b ab a a b ab− +( ) −( )=− + −:
Pois:
+ −( )=
− −( )=+ =+
+ −(
25 5 5
5 5 1
20 5
4 2 2 3
3 3 2 2 2
2 4 2
a b ab a
a b ab a b a b
a b ab
:
:
: ))=−




 4
2ab
 
Divisão de polinômio por polinômio
Ao dividir um polinômio por outro, devemos operar da seguinte maneira:
 Ordenamos as potências, tanto as do polinômio dividendo como as do polinômio divisor, 
segundo a mesma variável.
 Dividimos o termo de maior grau do polinômio dividendo pelo termo de maior grau do 
polinômio divisor, obtendo o primeiro termo do polinômio quociente.
 Multiplicamos o primeiro termo do polinômio quociente pelos termos do polinômio 
divisor, um a um.
 Subtraímos o produto assim obtido do polinômio dividendo fazendo a redução dos ter-
mos semelhantes e obtendo, dessa maneira, o primeiro resto parcial.
Esse primeiro resto parcial, consideraremos como polinômio dividendo; repetiremos o 
passo anterior e assim por diante, até obtermos resto nulo ou um resto cujo termo de maior 
grau na variável seja menor do que o grau no polinômio divisor.
a) Qual é a área total do papel usado na construção 
da caixa?
b) Qual é o volume da caixa, sendo V = a . b . c?
3x+2
3x+2
2x+1
2x+1
2x+1
2x+1
x x
x
x
x
xx x
59. Recortando o polígono ao lado e dobrando nas linhas tracejadas, formamos uma caixa 
fechada (bloco retangular).
Matematica_2020_8A_03.indd 82 19/09/2019 10:01:38
ME_Matemática_2020_8A_03.indd 83 19/09/2019 10:12:26
84
85Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Agora, efetuamos a divisão do produto pelo polinômio C:
Notemos que não é obrigatório colocar o termo nulo.
Logo, o polinômio que obtemos é:
2x2 + 3x + 14 com resto igual a 0.
60. Usando o método prático, calcule quociente e resto de:
a) 8 3 1 34 2x x x− +( ) −( ): b) 6 24 34 5 2 43 2x x x x− + −( ) −( ): 
c) 8 12 5 4 33 2 2x x x x− −( ) −( ): 
61. Qual o polinômio que divide 12 30 35 25 185 3 2x x x x− − + + e dá quociente exato 3 52x − ?
62. Observe a figura abaixo para responder às perguntas.
F E
A2x + 1
2x + 1
2x + 1
2x + 1 D
G C
H B
x x
x x
63. Um polinômio p(x) foi dividido por x x2 3 2− + e obteve quociente Q(x) = x − 1 e resto 
R(x) = − 9. Determine p(x).
64. (IFPR) O quociente da divisão de p(x) = x x² + 16x por q(x) = x − 3 é:
a) x b) x x3 2 1− + c) x x2 5 6− + 
d) x x2 4 4− + e) x x2 4 4+ − 
65. Qual o maior grau possível de um quociente para uma divisão entre polinômio de grau 6 e 
outro de grau 3?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
a) Qual o perímetro do retângulo BDFH?
b) Qual a área do losango ACEG?
c) Calcule a área total pintada de azul.
d) Qual é o polinômio que, dividido por x² + 2, 
dá quociente x + 2 e resto x − 2?
2 5 2 4
2 8 2 3 14
3 2
3 12
14
14
0
3 2
3 2 2
2
2
x x x x
x x x x+
x x
x x
x
x
− + −
− + +
+
− +
−
Matematica_2020_8A_03.indd 85 19/09/2019 10:01:41
84 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Pode-se verificar se tal divisão está correta fazendo-se: D = d . Q + R.
O algoritmo da divisão 
D = d . Q + R, além de nos 
fornecer a prova real da divi-
são, é a ferramenta de reso-
lução de problemas quando 
necessário.
D dividendo
d divisor
Q quociente
R resto
1. Dividindo um polinômio A pelo polinômio B 
= 3x2 + 4x − 1, César deu como resposta o 
quociente Q = 2x2 + 3x + 1 e resto x2 − 2x + 
3. Será que ele acertou a divisão?
Solução:
Não, pois o grau do resto é sempre menor 
do que o grau do divisor.
2. Numa divisão de polinômios, o divisor é x2 
+ 3x + 6, o resto é 2x + 11, e o quociente é 
x3 + 2x − 1. Qual é o dividendo?
Solução:
D = d . Q + R
D = (x2 + 3x + 6)(x3 +2x − 1) + 2x + 11
D = x5 + 2x3 − x2 + 3x4 + 6x2 − 3x + 6x3 + 
12x − 6 + 2x + 11
D = x5 + 3x4 + 8x3 + 5x2 + 11x + 5
3. Determine o resto da divisão de:
P(x) = x3 + 2x2 + x − 1 por D (x) = x
Solução:
Utilizando o dispositivo prático, temos:
x x x x
x x x
x x
x
x x
x
x
3 2
3 2
3 2
2
2 1
2 1
0 2
2
0
0 1
+ + −
− + +
+
−
+
−
−
quociente
resto
 
4. (Udesc – Adaptado) A divisão do polinômio 
x3 − 5x2 + 8 pelo polinômio p(x) resulta no 
quociente x2 − 2x − 6 com resto −10. Escreva 
o polinômio p(x).
Solução:
Usando o algoritmo da divisão, vamos obter:
x3 − 5x + 0x + 8 = p(x) . (x2 − 2x −6) −10
Como p(x) é divisor e o grau do resto é zero, 
podemos concluir que o grau do divisor é 1, 
de onde se conclui que p(x) é do tipo ax + b.
Daí, pode-se afirmar que:
x x x
x x x
x x x
x x x
3 2
2
3 2
2
5 0 8
2 6 10
5 0 8
2 6
− + + =
( )⋅ + −( )+ →
− + + =
+( )⋅ − −( )
P
a b −−
− + + =
− − + − − −
= → =
− +
10
5 0 8
2 6 2 6 10
1
2
3 2
3 2 2
3 3
2
x x x
x x x x x
x x
x
a a a b b b
a a
a bb
b b
x 2 5
2 1 5 3
=− →
− ⋅ + =− → =−
 
Portanto, p(x) = x − 3. 
5. Se A(x) = x2 − 2x, B = 2x − 1 e C = x − 4 , 
qual o polinômio que obtemos efetuando 
A . B ÷ C?
Solução:
Inicialmente, devemos multiplicar A por B.
(x2 − 2x) . (2x − 1) = 2x3 − x2 − 4x2 + 2x → 
2x3 − 5x2 + 2x
Matematica_2020_8A_03.indd 84 19/09/2019 10:01:39
1. Calcular as divisões:
 
Respostas:
a) a + resto a .
b) a + resto .
Observe que o exercício b é a fatora-
ção do exercício a. Logo, os quocientes 
são iguais.
 Lembre aos alunos o algoritmo da di-
visão e que toda divisão está relaciona-
da com a subtração. Então, antes de tra-
balhar divisão com polinômios, é interes-
sante revisar a divisão de números natu-
rais. Exemplo:
348 2
200
148
100 70 4
140
80
8
174
0
−
+ +
−
−
 Apesar de o dispositivo ser muito prá-
tico (como o nome já diz), é importante 
mostrar ao educando o algoritmo da divi-
são, uma vez que ele pode ser muito utili-
zado na resolução de problemas.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
a)
b)
a a a
a a
a a
a
4 3 2
3 2
1
1
+ +
−
+ +
−
²
ANOTAÇÕES
ME_Matemática_2020_8A_03.indd 84 19/09/2019 10:12:28
85
85Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Agora, efetuamos a divisão do produto pelo polinômio C:
Notemos que não é obrigatório colocar o termo nulo.
Logo, o polinômio que obtemos é:
2x2 + 3x + 14 com resto igual a 0.
60. Usando o método prático, calcule quociente e resto de:
a) 8 3 1 34 2x x x− +( ) −( ): b) 6 24 34 5 2 43 2x x x x− + −( ) −( ): 
c) 8 12 5 4 33 2 2x x x x− −( ) −( ): 
61. Qual o polinômio que divide 12 30 35 25 185 3 2x x x x− − + + e dá quociente exato 3 52x − ?
62. Observe a figura abaixo para responder às perguntas.
F E
A2x + 1
2x + 1
2x + 1
2x + 1 D
G C
H B
x x
x x
63. Um polinômio p(x) foi dividido por x x2 3 2− + e obteve quociente Q(x) = x − 1 e resto 
R(x) = − 9. Determine p(x).
64. (IFPR) O quociente da divisão de p(x) = x x² + 16x por q(x) = x − 3 é:
a) x b) x x3 2 1− + c) x x2 5 6− + 
d) x x2 4 4− + e) x x2 4 4+ − 
65. Qual o maior grau possível de um quociente para uma divisão entre polinômio de grau 6 e 
outro de grau 3?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
a) Qual o perímetro do retângulo BDFH?
b) Qual a área do losango ACEG?
c) Calcule a área total pintada de azul.
d) Qual é o polinômio que, dividido por x² + 2, 
dá quociente x + 2 e resto x − 2?
2 5 2 4
2 8 2 3 14
3 2
3 12
14
14
0
3 2
3 2 2
2
2
x x x x
x x x x+
x x
x x
x
x
− + −
− + +
+
− +
−
Matematica_2020_8A_03.indd 85 19/09/2019 10:01:41
84 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
Pode-se verificar se tal divisão está correta fazendo-se: D = d . Q + R.
O algoritmo da divisão 
D = d . Q + R, alémde nos 
fornecer a prova real da divi-
são, é a ferramenta de reso-
lução de problemas quando 
necessário.
D dividendo
d divisor
Q quociente
R resto
1. Dividindo um polinômio A pelo polinômio B 
= 3x2 + 4x − 1, César deu como resposta o 
quociente Q = 2x2 + 3x + 1 e resto x2 − 2x + 
3. Será que ele acertou a divisão?
Solução:
Não, pois o grau do resto é sempre menor 
do que o grau do divisor.
2. Numa divisão de polinômios, o divisor é x2 
+ 3x + 6, o resto é 2x + 11, e o quociente é 
x3 + 2x − 1. Qual é o dividendo?
Solução:
D = d . Q + R
D = (x2 + 3x + 6)(x3 +2x − 1) + 2x + 11
D = x5 + 2x3 − x2 + 3x4 + 6x2 − 3x + 6x3 + 
12x − 6 + 2x + 11
D = x5 + 3x4 + 8x3 + 5x2 + 11x + 5
3. Determine o resto da divisão de:
P(x) = x3 + 2x2 + x − 1 por D (x) = x
Solução:
Utilizando o dispositivo prático, temos:
x x x x
x x x
x x
x
x x
x
x
3 2
3 2
3 2
2
2 1
2 1
0 2
2
0
0 1
+ + −
− + +
+
−
+
−
−
quociente
resto
 
4. (Udesc – Adaptado) A divisão do polinômio 
x3 − 5x2 + 8 pelo polinômio p(x) resulta no 
quociente x2 − 2x − 6 com resto −10. Escreva 
o polinômio p(x).
Solução:
Usando o algoritmo da divisão, vamos obter:
x3 − 5x + 0x + 8 = p(x) . (x2 − 2x −6) −10
Como p(x) é divisor e o grau do resto é zero, 
podemos concluir que o grau do divisor é 1, 
de onde se conclui que p(x) é do tipo ax + b.
Daí, pode-se afirmar que:
x x x
x x x
x x x
x x x
3 2
2
3 2
2
5 0 8
2 6 10
5 0 8
2 6
− + + =
( )⋅ + −( )+ →
− + + =
+( )⋅ − −( )
P
a b −−
− + + =
− − + − − −
= → =
− +
10
5 0 8
2 6 2 6 10
1
2
3 2
3 2 2
3 3
2
x x x
x x x x x
x x
x
a a a b b b
a a
a bb
b b
x 2 5
2 1 5 3
=− →
− ⋅ + =− → =−
 
Portanto, p(x) = x − 3. 
5. Se A(x) = x2 − 2x, B = 2x − 1 e C = x − 4 , 
qual o polinômio que obtemos efetuando 
A . B ÷ C?
Solução:
Inicialmente, devemos multiplicar A por B.
(x2 − 2x) . (2x − 1) = 2x3 − x2 − 4x2 + 2x → 
2x3 − 5x2 + 2x
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86
87Capítulo 3 — Cálculo algébrico
figura 
x
x
x
x + 1
x
2x
figura 
sões estão representadas, respectivamente, 
nas figuras seguintes em centímetros. Calcule 
x sabendo que V1 = 3V2 e V = a . b . c.
12. Numa divisão de polinômios, o divisor é 
x³ − x +2, o resto é 2x² − x +1 e o quociente 
é 3x +8. Qual o valor numérico do dividendo 
para x = 1?
13. Resolvi aproveitar a promoção do anúncio: 
comprei x picolés e y sorvetes de casquinha e 
gastei G.
PROMOÇÃO
Só hoje
picolé 
R$ 1,50
sorvete 
R$ 1,70
a) Escreva uma fórmula para G em função de 
x e y.
b) Se G = 4,70, você pode descobrir os valores 
de x e y por tentativas. Quais são?
14. Considerando as medidas indicadas no 
paralelepípedo retângulo seguinte em metros, 
determine o polinômio P(x), reduzido, que nos 
dá, em metros cúbicos, o volume desse para-
lelepípedo. Em seguida, calcule.
x + 4
2x
x
a) P(1) b) P(3)
15. Determine o polinômio P(x) que representa 
a área do quadrado AQRS na figura seguinte. 
Depois, calcule P(2).
16. Considere um recipiente cilíndrico de 20 cm 
de altura com um pouco de refrigerante, como 
se vê na figura.
20
y
x
 correto afirmar que 
x − y = Justifique sua 
resposta.
17. Determine o valor de m para que 
x x2 4−( ) +( )m : seja uma divisão exata.
18. Calcule os produtos.
a) (− 2x³) . (4x² − x − 1)
b) (x² − 2) . (3x³ − x + 1)
19. Em uma divisão de polinômios, o grau do 
divisor é 2 e o do quociente é 4. Qual é o grau 
do dividendo?
20. Considerando A = a3 − 2a2 + 3 e B = a3 − 
2a2 − a + 5, temos que A − B é igual a: 
a) a − 2
b) −a + 8 
c) −4a2 − a + 8
d) 2a3 − 4a2 − a + 8
A
Q
S
P(x) R
x + 3
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86 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
1. Analise as expressões algébricas seguin-
tes e marque com M as que representam um 
monômio.
a) 3 b) x 4 3ya 
c) a³xy² d) a³x + y²
e) 0 f) 3 3 2x y 
g) a b− −
−
⋅( )1 2 1 h) 2 4 2x xy y⋅ 
i) 1 3
x
⋅ y j) 
x
2 3
+
y 
2. O coeficiente de um monômio nas variáveis 
x, y e z é a raiz cúbica de 
8
125
,
 
 o seu grau é o 
triplo de 5, o grau da variável x é o dobro do 
grau da variável y e igual ao grau da variável z. 
Que monômio é esse?
3. Encontre o monômio M, sabendo que 
A M y⋅ = 2 4 5x e que A = 5xy².
4. Sejam M e P dois monômios não nulos e de 
graus respectivamente iguais a 15 e 8 em rela-
ção à variável x, determine o grau, em relação 
à variável x, de:
a) M + P b) M − P
c) M . P d) M : P
5. Efetue as seguintes adições algébricas.
a) − + + =ab ab ab
3 4
3
2
 
b) 0 7 0 7 5
9
3 3 3, ,x x x+ − = 
c) − + + =12
3
0 4 2 73 4 3 4 3 4x x xa a a, , 
6. Aplicando a propriedade distributiva, sim-
plifique.
a) −





⋅ − + −





=
− −2
3
6 9
2
2 3 2 3 2 3a b a a b a b 
b) − − +





⋅( )=x x xy y y
3 2 20 4 1
2
0 2, , 
c) 5 4 2 4 2 33 3 2 2x x x x x− −( )− −( )= 
7. Classifique os seguintes polinômios de acordo 
com o número de termos que eles apresentam.
a) 3xy +3x² +2y b) 16 4 2a y zx 
c) 8 122 5x + ya d) −5abc
e) x² − y² f) x² −12x +9
8. Determine o grau de cada polinômio e os 
respectivos graus em relação às variáveis x e y.
a) − + − +5 3 32 5x x x 
b) x³ +3x²y +3xy² + y³
c) 6 5 3x y 
9. Ordene os seguintes polinômios em potên-
cias decrescentes de x.
a)− + − +5 3 32 5x x x 
b) x x x+ −3 65 4 
c)5 3 6 36 9 5x x x x− + + + 
10. Dados os polinômios g(x) = x³ + 2x + 1, ƒ(x) 
= x² − x³ e P(x) = g(x) + ƒ(x), determine:
a) P(x) = 
b) P(2) =
11. Dois tanques têm a forma de um paralele-
pípedo retângulo e de um cubo, e suas dimen-
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87
87Capítulo 3 — Cálculo algébrico
figura 
x
x
x
x + 1
x
2x
figura 
sões estão representadas, respectivamente, 
nas figuras seguintes em centímetros. Calcule 
x sabendo que V1 = 3V2 e V = a . b . c.
12. Numa divisão de polinômios, o divisor é 
x³ − x +2, o resto é 2x² − x +1 e o quociente 
é 3x +8. Qual o valor numérico do dividendo 
para x = 1?
13. Resolvi aproveitar a promoção do anúncio: 
comprei x picolés e y sorvetes de casquinha e 
gastei G.
PROMOÇÃO
Só hoje
picolé 
R$ 1,50
sorvete 
R$ 1,70
a) Escreva uma fórmula para G em função de 
x e y.
b) Se G = 4,70, você pode descobrir os valores 
de x e y por tentativas. Quais são?
14. Considerando as medidas indicadas no 
paralelepípedo retângulo seguinte em metros, 
determine o polinômio P(x), reduzido, que nos 
dá, em metros cúbicos, o volume desse para-
lelepípedo. Em seguida, calcule.
x + 4
2x
x
a) P(1) b) P(3)
15. Determine o polinômio P(x) que representa 
a área do quadrado AQRS na figura seguinte. 
Depois, calcule P(2).
16. Considere um recipiente cilíndrico de 20 cm 
de altura com um pouco de refrigerante, como 
se vê na figura.
20
y
x
 correto afirmar que 
x − y = Justifique sua 
resposta.
17. Determine o valor de m para que 
x x2 4−( ) +( )m : seja uma divisão exata.
18. Calcule os produtos.
a) (− 2x³) . (4x² − x − 1)
b) (x² − 2) . (3x³ − x + 1)
19. Em uma divisão de polinômios, o grau do 
divisor é 2 e o do quociente é 4. Qual é o grau 
do dividendo?
20. Considerando A = a3 − 2a2 + 3 e B = a3 − 
2a2 − a + 5, temos que A − B é igual a: 
a) a − 2
b) −a + 8 
c) −4a2 − a + 8
d) 2a3 − 4a2 − a + 8
A
Q
S
P(x) R
x + 3
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86 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
1. Analise as expressões algébricas seguin-
tes e marque com M as que representam um 
monômio.
a) 3 b) x 4 3ya 
c) a³xy² d) a³x + y²
e) 0 f) 3 3 2x y 
g) a b− −
−
⋅( )1 2 1 h) 2 4 2x xy y⋅ 
i) 1 3
x
⋅ y j) 
x
2 3
+
y 
2. O coeficiente de um monômio nas variáveis 
x, y e z é a raiz cúbica de 
8
125
,
 
 o seu grau é o 
triplo de 5, o grau da variável x é o dobro do 
grau da variável y e igual ao grau da variável z. 
Que monômio é esse?
3. Encontre o monômio M, sabendo que 
A M y⋅ = 2 4 5x e que A = 5xy².
4. Sejam M e P dois monômios nãonulos e de 
graus respectivamente iguais a 15 e 8 em rela-
ção à variável x, determine o grau, em relação 
à variável x, de:
a) M + P b) M − P
c) M . P d) M : P
5. Efetue as seguintes adições algébricas.
a) − + + =ab ab ab
3 4
3
2
 
b) 0 7 0 7 5
9
3 3 3, ,x x x+ − = 
c) − + + =12
3
0 4 2 73 4 3 4 3 4x x xa a a, , 
6. Aplicando a propriedade distributiva, sim-
plifique.
a) −





⋅ − + −





=
− −2
3
6 9
2
2 3 2 3 2 3a b a a b a b 
b) − − +





⋅( )=x x xy y y
3 2 20 4 1
2
0 2, , 
c) 5 4 2 4 2 33 3 2 2x x x x x− −( )− −( )= 
7. Classifique os seguintes polinômios de acordo 
com o número de termos que eles apresentam.
a) 3xy +3x² +2y b) 16 4 2a y zx 
c) 8 122 5x + ya d) −5abc
e) x² − y² f) x² −12x +9
8. Determine o grau de cada polinômio e os 
respectivos graus em relação às variáveis x e y.
a) − + − +5 3 32 5x x x 
b) x³ +3x²y +3xy² + y³
c) 6 5 3x y 
9. Ordene os seguintes polinômios em potên-
cias decrescentes de x.
a)− + − +5 3 32 5x x x 
b) x x x+ −3 65 4 
c)5 3 6 36 9 5x x x x− + + + 
10. Dados os polinômios g(x) = x³ + 2x + 1, ƒ(x) 
= x² − x³ e P(x) = g(x) + ƒ(x), determine:
a) P(x) = 
b) P(2) =
11. Dois tanques têm a forma de um paralele-
pípedo retângulo e de um cubo, e suas dimen-
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88
88 Capítulo 3 — Cálculo algébrico
23. (MACK- SP) Calcule os valores de m, n e k para os quais o polinômio p(x) = (2m − 1)x³ − (5n 
− 2)x² + (3 − 2k) é nulo.
24. Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² − mx + 6 é igual a 6. Calcule o valor de m.
21. A equação x + 3y = pode ter representação gráfica pelo par ordenado:
a) (1, −1) 
b) (3,0) 
c) (−3, 1) 
d) (3, 1) 
e) ( 1, −3)
22. A tabela abaixo dá o preço de bolinhos de bacalhau, em gramas, vendidos na fábrica. A 
expressão que representa a quantia (P) a ser paga em reais, em função do peso (x) de bolinhos 
comprados em quilogramas, é:
Peso (em gramas) Preço (em reais)
100 3,60
200 7,20
250 9,00
300 10,80
400 14,40
500 18,00
a) P = 0,36x 
b) P = 3,6x 
c) P = 0,036x 
d) P = 18x
Neste capítulo, aprendemos:
 A diferenciar linguagem corrente e linguagem matemática.
 A reconhecer frações algébricas, inteiras, fracionárias e racionais.
 A calcular a condição de existência de uma fração algébrica.
 A determinar o valor numérico de expressões algébricas.
 A classificação dos polinômios, bem como seu grau.
 A colocar a linguagem matemática em diversos problemas, a fim de compreendê-los 
e resolvê-los.
 As operações fundamentais utilizando polinômios e suas propriedades.
Matematica_2020_8A_03.indd 88 19/09/2019 10:01:47
BA 2x
2x
3
3 CD
Determine o valor de x, sabendo que 
a área do quadrado ABCD é .
DESAFIO
ANOTAÇÕES
Resposta:
x = .
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89
89Capítulo 4 — Produtos notáveis e fatoração
Produtos 
notáveis e 
fatoração
Para começar
Pedro tem um apartamento e quer vendê-lo. Para isso, colocou um anúncio 
no jornal que diz assim: “Vendo apartamento com 25 m², quarto, sala, cozinha e 
banheiro, na Rua Professor José da Silva, no 100. Tratar com Pedro, fone: 3222−0000”.
O apartamento é pequeno, mas bem dividido, veja:
Quarto Banheiro 2,0 m
3,0 m
1,5 m3,5 m
Sala Cozinha
Q
S
B
C
Total = Q + B + S + C = 25 m²
Q = 2 × 3,5 = 7 m² B = 2 × 1,5 = 3 m²
S = 3 × 3,5 = 10,5 m² C = 3 × 1,5 = 4,5 m²
Logo, podemos afirmar que a soma das áreas de cada cômodo é igual à 
área total do apartamento. Verifique as medidas de cada um dos aposentos de 
sua casa e tente calcular a área total.
Como o próprio nome sugere, produtos notáveis são produtos em que 
não é necessário efetuar o produto, podendo ser aplicada uma regra.
São muito utilizados quando a aplicação do dispositivo prático torna-se 
muito trabalhosa.
Com isso, o nosso objetivo ao ensinar os produtos notáveis é exatamente 
mostrar técnicas criadas pelos matemáticos para facilitar o desenvolvimento 
de um produto de expressões sem utilizar a multiplicação.
Bhaskara Acharya ( – ): matemático e astrônomo indiano, escreveu o 
primeiro estudo que empregava o sistema numérico decimal. Empregou letras 
para designar quantidades desconhecidas e antecipou-se no uso da moderna 
convenção de sinais matemáticos. Nascido numa tradicional família de astrólogos 
indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação 
científica, dedicando-se mais à parte matemática do que à astrológica. Bhaskara 
deu grandes contribuições em várias áreas da ciência.
CAPÍTULO 4
Matematica_2020_8A_04.indd 89 18/09/2019 17:00:28
BNCC
Objetos de conhecimento
 Valor numérico de expressões algé-
bricas.
 Associação de uma equação linear de 
º grau a uma reta no plano cartesiano.
 Sistema de equações polinomiais de 
º grau: resolução algébrica e repre-
sentação no plano cartesiano.
Habilidades trabalhadas no capítulo
(EF08MA06) Resolver e elaborar pro-
blemas que envolvam cálculo do valor 
numérico de expressões algébricas, uti-
lizando as propriedades das operações.
(EF08MA07) Associar uma equação li-
near de º grau com duas incógnitas a 
uma reta no plano cartesiano.
(EF08MA08) Resolver e elaborar pro-
blemas relacionados ao seu contex-
to próximo, que possam ser represen-
tados por sistemas de equações de º 
grau com duas incógnitas e interpretá-
-los, utilizando, inclusive, o plano car-
tesiano como recurso.
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com 
e sem uso de tecnologias, problemas 
que possam ser representados por 
equações polinomiais de º grau do 
tipo ax = b.
(EF08MA19) Resolver e elaborar pro-
blemas que envolvam medidas de área 
de figuras geométricas, utilizando ex-
pressões de cálculo de área (quadriláte-
ros, triângulos e círculos), em situações 
como determinar medida de terrenos.
 Técnicas dos produtos notáveis.
 O quadrado da soma de dois termos.
 O quadrado da diferença de dois termos.
 O produto da soma pela diferença de 
dois números.
 O cubo da soma de dois termos.
 O cubo da diferença de dois termos.
 Fatoração.
CONTEÚDOS CONCEITUAIS
 Transformar expressões algébricas em 
um produto de fatores: fator comum, fa-
tor agrupamento, diferença de quadra-
dos, trinômio quadrado perfeito.
 Resolver situações-problema por meio 
da fatoração e simplificação.
CONTEÚDOS PROCEDIMENTAIS
 Valorizar o trabalho coletivo e a troca 
de experiências dos alunos.
CONTEÚDOS ATITUDINAIS
OBJETIVOS DIDÁTICOS
 Identificar e aplicar o conceito de pro-
dutos notáveis nos quadrados da soma 
e da diferença e no produto da soma pe-
la diferença.
 Identificar e aplicar a fatoração em ex-
pressões algébricas: fator comum, agru-
pamento, diferença entre dois quadra-
dos e trinômio quadrado perfeito.
 Aplicar procedimentos de fatoração, 
simplificação e divisão na resolução de 
uma equação.
ME_Matemática_2020_8A_04.indd 89 19/09/2019 10:11:34
90
91Capítulo 4 — Produtos notáveis e fatoração
O quadrado da diferença de dois termos
a b a b−( )⋅ −( ), a b−( )2
a b
a b
a ab
ab b
a ab b
−
−
−
− +
− +
2
2
2 22
a b a b a ab ab b a ab b−( )⋅ −( )= − − + → − +2 2 2 22
2 ⋅ ⋅a b
41 39⋅
40 40 1 39 40 1
40 1 40 1 40 1 1 600 1 1 5992 2
= + = −
+( )⋅ −( )= − → − =
;
. .
90 Capítulo 4 — Produtos notáveis e fatoração
a b a b a ab ab b a ab b+( )⋅ +( )= + + + → + +2 2 2 22
Técnicas dos produtos notáveis
Imaginemos efetuar o produto a b a b+( )⋅ +( ), que equivale a potência a b+( )2.
Podemos efetuar da seguinte maneira:
I – Pelo dispositivo prático
a b
a b
a ab
ab b
a ab b
+
+
+
+ +
+ +
2
2
2 22
II – Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação
Vamos demonstrar a fórmula acima através da área das figuras planas a seguir.
Note que por esses dois métodos o resultado é o mesmo.
Daí podemos estabelecer uma regra que, nesse caso, devido à potência, chamaremos de 
quadrado da soma, e ela consiste em determinar:
Quadrado do primeiro termo: a², mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo: