VIBRAESVIRTUAL_20200417190542

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VIBRAÇÕES MECÂNICAS 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS 2 / 18
Escopo 
Molas e massas equivalentes
Exercícios
Sistemas em série e paralelo
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Objetivo 
• Avaliar massas e molas em mecanismos
• Avaliar a configuração de molas em mecanismos
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Vibrações mecânicas 
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Ângulo de fase 
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Ângulo de fase igual a zero 
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Ângulo de fase diferente de zero 
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Ângulo de fase diferente de zero 
Fazendo Eq1/Eq2 temos:
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Ângulo de fase diferente de zero 
Elevando ambos lados ao quadrado e aplicando 
produto notável 
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Ângulo de fase diferente de zero 
Simplificando algebricamente, temos a amplitude 
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Ângulo de fase diferente de zero 
Simplificando algebricamente, temos a amplitude 
Comparando com e sem ângulo de fase
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Exercício 
Um vagão com massa de 15.000 kg se desloca sem atrito e bate
em uma mola com uma determinada velocidade. A mola é
deformada em 200 mm e tem rigidez de 130.000 N/m.
a) Com qual velocidade o vagão bateu na mola?
b) Qual foi o tempo que o vagão levou para deformar a mola em
200 mm?
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Exercício 
x(t) = Asen(Wt) + Bcos(Wt) no impacto não tem
deslocamento, assim:
x(t=0) = 0
X’ = WAcos(Wt) – WBsen(Wt) para t = 0, temos
V =WA
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Exercício 
W = (K/m)1/2 W = 2,94 rad/s
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Exercício 
W = (K/m)1/2 W = 2,9439 rad/s
V = WA = 0,589 m/s
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Exercício 
W = (K/m)1/2 W = 2,94 rad/s
V = WA = 0,589 m/s
T = 1/f = 2pi/W = 2,136 s e fazendo que o vagão
parou em ¼ de ciclo temos que t = 2,136/4 = 0,534 s
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Massa equivalente 
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Massa equivalente 
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Massa equivalente 
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Molas equivalentes 
Variação do cabo de sustentação do elevador 
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Molas equivalentes 
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Molas equivalentes 
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Molas em série e paralelo 
A meta é definir qual a rigidez equivalente da combinação de molas em
paralelo ou em série, modelando o sistema como se fosse uma única mola
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Molas em série e paralelo 
Molas em paralelo
𝐾𝑒𝑞=෍
𝑖=1
𝑛
𝐾𝑖
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Molas em série e paralelo 
Definindo o deslocamento do bloco como Xi na i-ésima mola e considerando que cada mola não
tem massa, a força desenvolvida na extremidade de cada mola tem a mesma magnitude, mas
direções opostas.
Assim:
𝐹 = 𝐾𝑒𝑞𝑥 = 𝐾1𝑥1 = 𝐾2𝑥2 = ……… = 𝐾𝑛𝑥𝑛
Sendo assim, o deslocamento total será descrito por:
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 + ……+ 𝑥𝑛 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 =
𝐹
𝐾1
+
𝐹
𝐾2
+ ……+
𝐹
𝐾𝑛
A partir da equação 𝐹 = 𝐾𝑒𝑞𝑥 temos:
𝐾𝑒𝑞 =
1
σ𝑖=1
𝑛 1
𝑘𝑖
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Exercícios 
Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado
Deve se substituir as combinações de molas em paralelo por rigidez equivalente
𝐾𝑒𝑞=෍
𝑖=1
𝑛
𝐾𝑖
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Exercícios 
Agora calcula se a rigidez equivalente em série lado direito e lado esquerdo e
calcula se a rigidez equivalente final.
𝐾𝑒𝑞 =
1
σ𝑖=1
𝑛 1
𝑘𝑖
𝐾𝑒𝑞=෍
𝑖=1
𝑛
𝐾𝑖
𝐾
2
+
2𝐾
3
=
7𝐾
6
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Molas equivalentes 
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Molas equivalentes 
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Molas equivalentes 
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Exercícios 
Uma máquina possui uma rigidez dos suportes k = 5,5 x 104 N/m e tem
frequência natural de vibração vertical Wn = 550 rad/s. Se a máquina em sua
fundação é modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração
vertical, determinar:
(a) a massa da máquina
(b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e
uma velocidade inicial de 130 mm/s na direção vertical.
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Exercícios 
Atenção!!! Refazer pois
esta invertido equação
arco tangente
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Exercícios 
Uma máquina de massa m = 500 kg é montada em uma viga de aço bi-apoiada,
de comprimento L = 2 m, que possui uma seção transversal retangular
(espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 109 N/m2. Para reduzir a flecha
no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k. Determinar o valor de k
necessário para reduzir a flecha da viga para um terço do seu valor original (sem
a mola). Assumir que a massa da viga é desprezível.
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Exercícios 
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Exercícios 
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Exercícios 
Um sistema massa mola tem um período natural de 0,21s. Qual será o novo
período se a constante elástica for:
a) Aumentada em 50%
b) reduzida em 50%
𝑇 =
2𝜋
𝜔𝑛
, 𝜔𝑛 =
𝐾
𝑚
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Exercícios 
Um oscilador harmônico possui massa m = 18 kg e período de vibração
natural, medido em um osciloscópio, igual a 43 ms (milissegundo). Determinar
a constante de mola.
𝑇 =
2𝜋
𝜔𝑛
, 𝜔𝑛 =
𝐾
𝑚
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Exercícios 
Uma mola helicoidal quando fixada em uma extremidade e carregada na outra,
requer uma força de 100 N para produzir um alongamento de 10 mm. Agora as
extremidades da mola são fixadas e uma massa de 10 kg é ligada no seu
ponto médio. Determine o tempo que transcorre um ciclo se o sistema é
colocado para vibrar.
𝑇 =
2𝜋
𝜔𝑛
, 𝜔𝑛 =
𝐾
𝑚
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Exercícios 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS 41 / 18
VIBRAÇÕES MECÂNICAS 42 / 18
Exercícios 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS 43 / 18
Exercícios 
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Princípio de conservação da energia 
Diz se que um sistema é conservativo se nenhuma energia foi perdida devido
ao atrito ou membros não elásticos que dissipam energia. Se nenhum trabalho
foi realizado sobre um sistema conservativo por forças externas (com exceção
da força gravitacional ou outras forças potenciais), então a energia total do
sistema permanece constante, assim:
T + U = constante
𝑑
𝑑𝑡
𝑇 + 𝑈 = 0
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Princípio de conservação da energia 
As energias cinéticas e potenciais são dadas por:
𝑇 =
1
2
𝑚 ሶ𝑥2 (2° 𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛)
A energia cinética é armazenada na massa em virtude da sua velocidade
𝑈 =
1
2
𝑥2 ( 𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐻𝑜𝑜𝑘𝑒)
A energia potencial é armazenada na mola em virtude da sua deformação
elástica
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Princípio de conservação da energia 
Substituindo obtém a equação desejada:
𝑚 ሷ𝑥 + 𝑘𝑥 = 0
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Princípio de conservação da energia: exemplo 
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Princípio de conservação da energia: exemplo 
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Princípio de conservação da energia: exemplo 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS 51 / 18
Princípio de conservação da energia: exemplo 
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Princípio de conservação da energia 
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Princípio de conservação da energia 
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Princípio de conservação da energia 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS 55 / 18
Princípio de conservação da energia 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS 56 / 18
Princípio de conservação da energia 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS 57 / 18
Princípio de conservação da energia