paula soares - Prova D1 Tipo B

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Instituto de Engenharia e Tecnologia – IET 
 
Curso: Engenharia Civil - Tipo B Disciplina: Cálculo e equações diferenciais 
Professor(a): Maria Fernanda Donnard Avaliação: D1: D2: D3: SBS. 
Aluno(a): 
 
 
 
 
Turma: Data: ____/____/20 Valor: 
 20 
Nota: 
Instruções: 
- Desligue os celulares e Preencha o cabeçalho da prova; 
- Esta avaliação é composta por 6 questões; o valor de cada questão está 
indicado a direita do cabeçalho; 
- A prova deve ser feita à caneta; questões respondidas a lápis não terão 
direito a revisão; 
- nas questões de múltipla escolha é obrigatória a apresentação de cálculos 
que conduzam ao resultado encontrado. 
- a consulta a colegas ou a utilização de quaisquer materiais não autorizados 
pelo professor, será considerada fraude, caso em que o professor recolherá 
a(s) avaliação(ões), aplicando nota zero aos alunos envolvidos; 
- ao final do tempo previsto, o professor recolherá a avaliação. 
BOA SORTE! 
 Questão 01 – (Valor: 3,0 pontos) 
 
A temperatura em graus Celsius, em um ponto (x, y, z) do espaço é determinada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑥) =
100
√𝑥2+𝑦2+𝑧²
 , sendo x, y, e z dados em metros. Se um pequeno inseto, a partir do ponto P(2, 1, -2), voa na 
direção do vetor 𝑣 = 4𝑖 + 2𝑗 + √5𝑘, determine o valor aproximado da taxa de variação da temperatura 
por ele percebida nesse trajeto. 
 
 
Questão 02 – (Valor: 3,0 pontos) 
 
 
 
Função: R(x,y) = −
𝟏
𝟐
𝒙𝟐 −
𝟏
𝟑
𝒚𝟐 −
𝟏
𝟑
𝒙𝒚 + 𝟐𝟓𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝟎𝒚 − 𝟐𝟎𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 03 - (Valor: 3,0 pontos) 
 
 
 
 
 
Questões abertas 
 
Questão 04 - (Valor: 3,0 pontos) 
 
Calcule a integral dupla ∫ ∫ √1 − 𝑥² 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑥
0
1
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 05 - (Valor: 3,0 pontos) 
 
 A equação de Laplace tridimensional 0
²
²
²
²
²
²
=


+


+


z
f
y
f
x
f
 é 
satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário 
),,( zyxfT = no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos 
potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional , 
0
²
²
²
²
=


+


y
f
x
f
 
obtida eliminando-se o termo 
²
²
z
f


 da equação anterior, 
descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado 
estacionário no plano, que pode ser tratado como uma fatia fina 
do sólido (b) perpendicular ao eixo z. 
Mostre que a função zezyxf yx 6cos),,( 43 += satisfaz uma 
equação de Laplace. 
 
Questão 06 - (Valor: 5,0 pontos) 
 
Um joalheiro precisa fabricar um pingente maciço de ouro, no 
formato de um tetraedro, ou seja, uma pirâmide de base triangular, 
para um cliente muito exigente. Para isso, ele constrói um 
protótipo, conforme a figura abaixo (todas as unidades estão em 
cm). Sabendo-se que o pingente real deve ter um volume 36 vezes 
maior do que o do protótipo, determine o volume do pingente real.