MembrosForçaZero MetodoSeções

Prévia do material em texto

24.04.2020 – CONTINUAÇÃO DA AULA DE ANÁLISE ESTRUTURAL ANÁLISE ESTRUTURAL ANÁLISE ESTRUTURAL ANÁLISE ESTRUTURAL ---- TRELIÇASTRELIÇASTRELIÇASTRELIÇAS
• Membros de força zero
• Método das seções
A análise de treliças usando o método dos nós normalmente é simplificada se pudermos 
primeiramente identificar os membros que não suportam carregamento algum.
Esses membros de força zero são usados para aumentar a estabilidade da treliça durante 
a construção e para fornecer um apoio adicional se o carregamento for alterado.
Em geral, os membros de força zero de uma treliça podem ser determinados por 
observação de cada um dos nós.
Por exemplo, considere a treliça mostrada na Figura 1a. 
Se for desenhado um diagrama de corpo livre do pino no 
nó A (Figura 1b), vemos que os membros AB e AF são 
membros de força zero. (Não poderíamos ter chegado a 
essa conclusão se tivéssemos considerado os diagramas 
de corpo livre dos nós F ou B simplesmente porque há 
cinco incógnitas em cada um desses nós.)
De modo semelhante, considere o diagrama de corpo 
livre do nó D (Figura 1c). Aqui, novamente vemos que DC 
e DE são membros de força zero.
A partir dessas observações, podemos concluir que, se 
apenas dois membros não *colineares formam um nó da 
treliça e nenhuma carga externa ou reação de apoio é 
aplicada ao nó, os dois membros só podem ser membros 
de força zero.
* Pontos Colineares são os pontos que pertencem a uma mesma reta.
Figura 1 - Hibbeler
A carga sobre a treliça na Figura 1a é, portanto, 
sustentada por apenas cinco membros, como mostra a 
Figura 1d.
Agora considere a treliça mostrada na Figura 2a. O 
diagrama de corpo livre do pino no nó D é mostrado 
na Figura 2b. Orientando o eixo y ao longo dos 
membros DC e DE e o eixo x ao longo do membro 
DA, podemos ver que DA é um membro de força 
zero. Note que esse também é o caso para o membro 
CA (Figura 2c).
Em geral, então, se três membros formam um nó da 
treliça onde dois dos membros são colineares, o 
terceiro membro é um membro de força zero, desde 
que nenhuma força externa ou reação de apoio tenha 
uma componente que atue ao longo desse membro.
A treliça mostrada na Figura 2d, portanto, é 
adequada para suportar o peso P. Figura 2 - Hibbeler
IMPORTANTE: Os membros de força zero não suportam carga alguma; porém, eles são necessários para a 
estabilidade, e estão disponíveis quando cargas adicionais são aplicadas aos nós da treliça. Esses membros 
normalmente podem ser identificados por observação. Eles ocorrem em nós em que apenas dois membros 
estão conectados e nenhuma carga externa atua ao longo de qualquer membro. Além disso, nos nós com dois 
membros colineares, um terceiro membro será um membro de força zero se nenhuma componente de força 
externa atuar ao longo desse membro.
Exemplo 1: Usando o método dos nós, determine todos os membros de força zero da treliça de telhado Fink
mostrada na Figura 3a. Considere que todos os nós são conectados por pinos.
SOLUÇÃO
Procure geometrias de nós que tenham três membros para os quais dois sejam colineares. Temos:
Nó G (Figura 3b)
∑Fy = 0; FGC = 0 Resposta
Figura 3 - Hibbeler
Perceba que não poderíamos concluir que GC é um membro de força zero considerando o nó C, em que existem 
cinco incógnitas. O fato de que GC é um membro de força zero significa que a carga de 5 kN em C precisa ser 
suportada pelos membros CB, CH, CF e CD.
Nó D (Figura 3c)
∑Fx = 0; FDF = 0 Resposta
Nó F (Figura 3d)
∑Fy = 0; FFC cos θ = 0 FFC = 0 Resposta
NOTA: se o nó B for analisado (Figura 3e),
∑Fx = 0; 2 kN - FBH = 0 FBH = 2 kN (C)
Além disso, FHC precisa satisfazer ∑Fy = 0 (Figura 3f) e, portanto, HC não é um membro de força zero.
Exercícios propostos: 
Todas as soluções dos problemas precisam incluir um diagrama de corpo livre.
1. Determine a força em cada membro da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. 
Nó D,
FDC = 400 N (C)
FDA = 300 N (C)
Nó B,
FBA = 250 N (T)
FBC = 200 N (T)
Nó C,
FCA = 283 N (C)
2. Determine a força em cada membro da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão. Considere P1 = 20 
kN, P2 = 10 kN.
FCB = 0, FCD = 20,0 kN (C),
FDB = 33,3 kN (T), FDA = 36,7 kN (C)
Método das seções
Quando precisamos encontrar a força em apenas alguns membros de
uma treliça, podemos analisá-la usando o método das seções. Esse 
método baseia-se no princípio de que, se uma treliça está em 
equilíbrio, então qualquer segmento dela também está em equilíbrio. 
Por exemplo, considere os dois membros de treliça mostrados no lado 
esquerdo da Figura 4. Se as forças dentro dos membros devem ser 
determinadas, então uma seção imaginária, indicada pela linha 
horizontal, pode ser usada para cortar cada membro em duas partes 
e, assim, “expor” cada força interna como “externa” ao diagrama de 
corpo livre mostrado à direita. Claramente, pode-se ver que o
equilíbrio requer que o membro sob tração (T) esteja sujeito a um 
“puxão”, enquanto o membro sob compressão (C) está sujeito a um 
“empurrão”.
Figura 4 - Hibbeler
O método das seções também pode ser usado para “cortar” ou seccionar os membros de uma treliça inteira. Se a 
seção passar pela treliça e o diagrama de corpo livre de qualquer das duas partes for desenhado, podemos, então, 
aplicar as equações de equilíbrio a essa parte para determinar as forças de membro na “seção do corte”. Como 
apenas três equações de equilíbrio independentes (∑Fx = 0, ∑Fy = 0, ∑MO = 0) podem ser aplicadas ao diagrama de 
corpo livre de qualquer segmento, então devemos escolher uma seção que, em geral, passe por não mais do que três 
membros em que as forças são incógnitas. Por exemplo, considere a treliça na Figura 5a. Se as forças nos membros 
BC, GC e GF devem ser determinadas, então a seção “aa” seria apropriada. Os diagramas de corpo livre dos dois 
segmentos são mostrados nas figuras 5b e 5c. Observe que a linha de ação de cada força nos membros é 
especificada pela geometria da treliça, já que a força em um membro atua ao longo de seu eixo. Além disso, as forças 
nos membros agindo em uma parte da treliça são iguais, mas opostas àquelas que agem na outra parte — terceira lei 
de Newton. Os membros BC e GC são considerados sob tração, já que eles estão sujeitos a um “puxão”, enquanto 
GF está sob compressão, pois está sujeito a um “empurrão”.
Figura 5 - Hibbeler
A terceira lei de Newton afirma que a toda ação corresponde a uma reação de igual intensidade, mas que atua no sentido oposto.
As três forças de membro incógnitas FBC, FGC e FGF podem ser obtidas aplicando as três equações de 
equilíbrio ao diagrama de corpo livre na Figura 5b. Se, no entanto, o diagrama de corpo livre na Figura 5c 
for considerado, as três reações de apoio Dx, Dy e Ex precisarão ser conhecidas, porque apenas três 
equações de equilíbrio estão disponíveis. (Isso, naturalmente, é feito da maneira usual considerando um 
diagrama de corpo livre da treliça inteira.)
Ao aplicar as equações de equilíbrio, devemos considerar cuidadosamente maneiras de escrever as 
equações, a fim de produzir uma solução direta para cada uma das incógnitas, em vez de precisar 
resolver equações simultâneas. Por exemplo, o uso do segmento de treliça na Figura 5b e a soma dos 
momentos em relação a C produziriam uma solução direta para FGF, já que FBC e FGC criam um momento 
zero em torno de C. Do mesmo modo, FBC pode ser obtida diretamente a partir da soma dos momentos 
em torno de G. Finalmente, FGC pode ser encontrada diretamente a partir de uma soma de
forças na direção vertical, já que FGF e FBC não possuem componentes verticais. Essa capacidade de 
determinar diretamente a força em um membro de treliça específico é uma das muitas vantagens de usar 
o método das seções.*
*Note que, se o método dos nós fosse usado para determinar, por exemplo, a força no membro GC, seria necessário analisar os nós 
A, B e G em sequência.
Como no método dos nós, há duas maneiras de determinaro sentido correto de uma força de membro 
desconhecida:
• O sentido correto de uma força de membro incógnita pode, em muitos casos, ser determinado “por 
observação”. Por exemplo, FBC é uma força de tração, como representado na Figura 5b, pois o equilíbrio 
de momento em relação a G exige que FBC crie um momento oposto ao momento da força de 1000 N. 
Além disso, FGC também é de tração, já que sua componente vertical precisa equilibrar a força de 1000 N 
que age para baixo. Em casos mais complicados, o sentido de uma força de membro incógnita pode ser 
assumido. Se a solução produzir um escalar negativo, isso indica que o sentido da força é oposto ao 
mostrado no diagrama de corpo livre.
• Sempre considere que as forças de membro incógnitas na seção de corte são de tração, ou seja, 
“puxam” o membro. Dessa maneira, a solução numérica das equações de equilíbrio produzirá escalares 
positivos para os membros sob tração e escalares negativos para os membros sob compressão.
As forças em membros selecionados desta
treliça Pratt podem ser prontamente determinadas
usando o método das seções.
Treliças simples geralmente são usadas na
construção de grandes guindastes, a fim de
reduzir o peso da lança e da torre.
IMPORTANTE: Se uma treliça está em equilíbrio, então cada um de seus segmentos está em equilíbrio. As forças internas nos 
membros tornam-se externas quando o diagrama de corpo livre de um segmento da treliça é desenhado. A força puxando um 
membro causa tensão nele, e uma força empurrando um membro causa compressão.
Procedimento para análise: As forças nos membros de uma treliça podem ser determinadas pelo método das seções, usando o 
procedimento indicado a seguir.
Diagrama de corpo livre
• Decida sobre como “cortar” ou seccionar a treliça através dos membros onde as forças devem ser determinadas. 
• Antes de isolar a seção apropriada, primeiro pode ser necessário determinar as reações dos apoios da treliça. Se isso for feito, 
então as três equações de equilíbrio estarão disponíveis para resolver as forças de membro na seção.
• Desenhe o diagrama de corpo livre do segmento da treliça seccionada que possui o menor número de forças agindo.
Equações de equilíbrio
• Os momentos devem ser somados em torno de um ponto situado na interseção das linhas de ação de duas forças incógnitas, 
de modo que a terceira força incógnita possa ser determinada diretamente pela equação de momentos.
• Se duas das forças incógnitas são paralelas, as forças podem ser somadas perpendicularmente à direção dessas incógnitas para 
determinar diretamente a terceira força incógnita.
Exemplo 1: Determine a força nos membros GE, GC e BC da treliça mostrada na Figura 6a. Indique se os membros 
estão sob tração ou compressão.
SOLUÇÃO
A seção aa na Figura 6a foi escolhida porque ela atravessa os três membros cujas forças devem ser determinadas. 
Para usar o método das seções, no entanto, primeiramente é necessário determinar as reações externas em A ou D. 
Por quê? Um diagrama de corpo livre de toda a treliça é mostrado na Figura 6b. Aplicando as equações de equilíbrio, 
temos:
∑Fx = 0; 400 N - Ax = 0 Ax = 400 N
∑MA = 0; -1200 N(8 m) - 400 N(3 m) + Dy(12 m) = 0
Dy = 900 N
∑Fy = 0; Ay - 1200 N + 900 N = 0 Ay = 300 N
Figura 6 - Hibbeler
Diagrama de corpo livre
Para a análise, usaremos o diagrama de corpo livre da parte esquerda da treliça selecionada, já que ele envolve o 
menor número de forças (Figura 6c).
Equações de equilíbrio
A soma dos momentos em relação ao ponto G elimina FGE e FGC e fornece uma solução direta para FBC.
∑MG = 0; -300 N(4 m) - 400 N(3 m) + FBC (3 m) = 0
FBC = 800 N (T) Resposta
∑MC = 0; -300 N(8 m) + FGE(3 m) = 0
FGE = 800 N (C) Resposta
Ay = 300 N
Ax = 400 N
Como FBC e FGE não possuem componentes verticais, somar as forças na direção y diretamente produz FGC, ou seja,
∑Fy = 0; 300 N – (3/5 FGC )= 0
FGC = 500 N (T) Resposta
NOTA: aqui é possível dizer, por observação, a direção correta para cada força de membro incógnita. Por exemplo, ∑MC = 0 exige 
que FGE seja de compressão, porque ela precisa equilibrar o momento da força de 300 N em relação a C.
Exemplo 2: Determine a força no membro CF da treliça mostrada na 
Figura 7a. Indique se o membro está sob tração ou compressão. Considere 
que cada membro é conectado por pinos.
SOLUÇÃO
Diagrama de corpo livre
A seção “aa” na Figura 7a será usada porque ela irá “expor” a força 
interna no membro CF como “externa” no diagrama de corpo livre da parte 
direita ou esquerda da treliça. Entretanto, primeiramente é necessário 
determinar as reações de apoio no lado esquerdo ou direito.
Verifique os resultados mostrados no diagrama de corpo livre da Figura 7b. 
O diagrama de corpo livre da parte direita da treliça, que é mais fácil de 
analisar, é mostrado na Figura 7c. Existem três incógnitas, FFG, FCF e FCD. Figura 7 - Hibbeler
Equações de equilíbrio
Aplicaremos a equação de momento em relação ao ponto O a fim de 
eliminar as duas incógnitas, FFG e FCD.
A posição do ponto O, medida a partir de E, pode ser determinada pela 
proporcionalidade de triângulos, ou seja, 4/(4 + x) = 6/(8 + x), x = 4 m. Ou, 
dito de outra forma, a inclinação do membro GF possui altura de 2 m para 
uma distância horizontal de 4 m. Como FD possui 4 m (Figura 7c), então, 
conclui-se que a distância de D para O é de 8 m.
Um modo fácil de determinar o momento de FCF em relação ao ponto O é usar o princípio da transmissibilidade e deslizar FCF para 
o ponto C e, depois, decompor FCF em suas duas componentes retangulares. Temos:
∑MO = 0;
-FCF sen 45 (12 m) + (3 kN)(8 m) - (4,75 kN)(4 m) = 0 FCF = 0,589 kN (C) Resposta
Princípio da Transmissibilidade
As condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo não se 
modificam ao se transmitir a ação de uma força ao longo de sua linha de 
ação. OBSERVAÇÃO: na figura abaixo Fe F’ são forças equivalentes.
O princípio da transmissibilidade nem sempre pode ser 
aplicado na determinação de forças internas e deformações.
X=4m
Exercício proposto:
Todas as soluções dos problemas precisam incluir um diagrama de corpo livre.
1. Determine a força nos membros FE, EB e BC da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão.
FBC = 18,0 kN (T), FFE = 15,0 kN (C),
FEB = 5,00 kN (C)