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AULA Nº 1
CONFIABILIDADE
Introdução e
Conceitos de Probabilidade
“Confiabilidade é a probabilidade de um 
dispositivo desempenhar seu propósito 
adequadamente durante o tempo desejado, sob 
as condições operativas encontradas” 
DEFINIÇÃO
Probabilidade
Desempenho adequado
Temp
oCondições de operação
Nesta definição existem 4 conceitos importantes:
Em nossa sociedade moderna, os engenheiros 
são responsáveis pelo planejamento, projeto e 
construção de produtos que vão de simples 
aparelhos a sistemas extremamente complexos.
A falha destes, pode causar efeitos que vão da 
inconveniência e irritação a impactos bastante 
severos para a sociedade e meio ambiente. 
Portanto, é fundamental saber o quão confiável e 
seguro são os produtos que utilizamos. 
INTRODUÇÃO
Na avaliação da confiabilidade são obtidos
diversos índices de confiabilidade.
A definição de um nível adequado de 
confiabilidade é uma tarefa difícil, pois depende 
do sistema e das consequências associadas aos 
diversos modos de falha. Em muitos casos não é 
importante definir um nível absoluto de 
confiabilidade, e sim, o quanto a confiabilidade de 
um sistema é melhorada por dólar investido.
INTRODUÇÃO
Em qual situação é mais seguro se encontrar ?
INTRODUÇÃO
Custo incremental da Confiabilidade
CUSTO INCREMENTAL
Custo do investimento
C
on
fia
bi
lid
ad
e
1,0
ΔC
ΔR
ΔC
ΔR
ΔC ΔR
Confiabilidade
C
us
to
Custo do
 investimento
Custo da
interrupção
Custo do
 ciclo de vida
CUSTO DO CICLO DE VIDA
Custo incremental da Confiabilidade
Regra Nº 1 – Eventos Independentes
•Dois eventos são independentes se a ocorrência 
de um não afeta a probabilidade de ocorrência do 
outro.
LEIS DAS PROBABILIDADES
Regra Nº 2 – Eventos mutuamente exclusivos
•Dois eventos são mutuamente exclusivos ou 
disjuntos se eles não podem ocorrer no mesmo 
instante.
Regra Nº 3 – Eventos complementares
• Quando um deles ocorrer o outro não pode 
ocorrer. Um evento é o complemento do outro e, 
portanto, a soma dos dois é igual a unidade.
LEIS DAS PROBABILIDADES
Regra Nº 4 – Eventos condicionais
• Eventos condicionais são aqueles eventos que 
ocorrem condicionados à ocorrência de outro 
evento ou eventos. 
Regra Nº 5 – Simultaneidade de Eventos
Matematicamente isto é conhecido como a Interseção de dois eventos, 
expresso como (A ∩ B), (A e B) ou (A x B).
a) Eventos independentes
Se dois eventos são independentes, por definição a probabilidade da 
ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
b) Eventos dependentes
P(A ∩ B) = P(A | B) x P(B)
 = P(B | A) x P(A)
LEIS DAS PROBABILIDADES
Regra Nº 6 – Ocorrência de pelo menos um de 
dois Eventos
• Matematicamente isto é conhecido como a 
União de dois eventos, expresso como (A ∪ B), 
(A ou B) ou (A+B).
LEIS DAS PROBABILIDADES
Regra Nº 6 – Ocorrência de pelo menos um de dois
 Eventos - União
A B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
a) Eventos independentes e mutuamente 
exclusivos
LEIS DAS PROBABILIDADES
Regra Nº 6 – Ocorrência de pelo menos um de dois
 Eventos - União
b) Eventos independentes e não mutuamente 
exclusivos
A
B
S
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
 = P(A) + P(B) – P(A) x P(B)
LEIS DAS PROBABILIDADES
c) Eventos dependentes e não mutuamente exclusivos
Neste caso temos a forma geral:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A | B) x P (B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(B | A) x P (A)
A
B
S
Regra Nº 6 – Ocorrência de pelo menos um de dois
 Eventos - União
LEIS DAS PROBABILIDADES
Considere a probabilidade de se retirar uma carta vermelha num baralho, 
ou uma carta com figura, ou ambas.
Cartas no baralho = 52 
Cartas vermelhas (A) = 26 => P(A) = 26/52
Cartas com figuras (B) = 12 => P(B) = 12/52
Eventos dependentes e não mutuamente exclusivos, logo:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A | B) x P(B)
P(A / B) = 6/12 (probabilidade de ser uma carta vermelha dado que a carta é uma figura)
P(A ∪ B) = 26/52 + 12/52 – (6/12 x 12/52) = 8/13
 ou
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(B | A) x P(A)
P(B / A) = 6/26 (probabilidade de ser uma figura dado que é uma carta vermelha)
P(A ∪ B) = 26/52 + 12/52 – (6/26 x 26/52) = 8/13
LEIS DAS PROBABILIDADES
• A ocorrência de um evento pode estar condicionada 
à ocorrência de um número i de eventos Bi que são 
mutuamente exclusivos.
P(A ∩ B1) = P(A | B1) x P(B1)
P(A ∩ B2) = P(A | B2) x P(B2)
...
Σ P(A ∩ Bi) = P(A)= Σ P(A | Bi) x P(Bi)
LEIS DAS PROBABILIDADES
Regra Nº 7 – Aplicação da Probabilidade 
condicionada
P(A) = Σ P(A ∩ Bi), como os eventos são dependentes:
P(A) = Σ P(A | Bi) x P(Bi)
A
B1
SB2 B3
B4
B6
Bi B5
que é a equação para cálculo das probabilidades 
condicionadas.
LEIS DAS PROBABILIDADES
Regra Nº 7 – Aplicação da Probabilidade 
condicionada
Teorema de Bayes:
LEIS DAS PROBABILIDADES
O mercado de um certo equipamento é dividido entre 
dois fabricantes F1 e F2, que possuem 70% e 30%, 
respectivamente. O padrão mínimo de qualidade (pqm) é 
alcançado por 90% dos equipamentos F1 e 80% de F2. 
i. Para cada 100 equipamentos comprados no mercado 
quantos terão o pqm? 
ii. Se o equipamento possui o pqm qual a probabilidade 
dele ser fabricado por F2? 
Aplicação do Teorema de Bayes:
B1= equipamento fabricado por F1
B2= equipamento fabricado por F2 
i. P(A) = Σ P(A | Bi) x P(Bi) = P(A | B1) x P(B1) + P(A | B2) x P(B2) 
= 0,9 x 0,7 + 0,8 x 0,3 = 0,87
De cada 100 equipamentos comprados, em média, 87 terão o pqm. 
P(B1) = 0,7
P(B2) = 0,3
P(A | B1) = 0,9
P(A | B2) = 0,8
ii. P(B2 | A) = P(A | B2) x P(B2) / P(A) = 0,8 x 0,3/0,87 = 0,276
P(B1 | A) = 1 – P(B2 | A) = 1 – 0,276 = 0,724
A = o equipamento possui o pqm
Aplicação do Teorema de Bayes:
DEFINIÇÃO
A teoria das probabilidades, embora necessária, não é 
suficiente para predizer a confiabilidade de um sistema. 
Também é necessário um completo entendimento do 
sistema, da forma como é operado, como falha e do 
ambiente ao qual está sujeito. 
“Confiabilidade é a probabilidade de um dispositivo 
desempenhar seu propósito adequadamente durante o 
tempo desejado, sob as condições operativas 
encontradas”.