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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 3º ano
Polinômios: Operações multiplicação e divisão 
Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão 
(UFSM/2010) Leia o trecho da música "Goiabada Cascão", de Wilson Moreira/Nei Lopes, interpretada por Dudu Nobre. Ouvindo esse samba, um pequeno proprietário rural decide aproveitar a farta produção de goiabas de seu pomar e produzir goiabada cascão que será vendida em barras (paralelepípedos retangulares) de 800 cm³ cada. Para tanto, construirá uma forma a partir de uma folha metálica retangular medindo 28 cm por 18 cm, cortando um pequeno quadrado de cada canto. Essa folha, devidamente dobrada, conforme ilustra a figura a seguir, servirá de molde para as barras de goiabada. Sendo x cm a medida dos lados do quadrado cortado da folha inicial, a incógnita (variável) x, para que o volume da barra obtida desse molde tenha os 800 cm3 desejados, deve satisfazer a que equação polinomial?
POLINÔMIOS
Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão 
Vamos calcular o volume da caixa.
x
28 – 2x
18 – 2x
V = AB . h
V = (28 – 2x).(18 – 2x).x
V = (504 – 56x – 36x + 4x2).x
V = (504 – 92x + 4x2).x
V = 800
4x3 – 92x2 + 504x = 800 
4x3 – 92x2 + 504x – 800 = 0 
(: 4)
x3 – 23x2 + 126x – 200 = 0 
18 cm
28 cm
x
x
x
x
x
x
x
x
V = 504x – 92x2 + 4x3
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A multiplicação é obtida multiplicando-se cada termo aixi de A(x) por cada termo bjxj de B(x), ou seja, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. 
Por fim, reduzem-se os termos semelhantes (de mesmo grau).
MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS
Sendo:
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4
A(x) . B(x) =
(x3 + 2x2 – 3) . (x2 + x + 1) 
x5 + x4 + x3 + 2x4 + 2x3 + 2x2 – 3x2 – 3x – 3 
x5 + 3x4 + 3x3 – x2 – 3x – 3
Sendo A(x) = x3 + 2x2  3 e B(x) = x2 + x + 1, determine A(x) . B(x). 
EXEMPLO
Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes.
am.an = am+n
http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/chamas/lampadas/lamp011.gif
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DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Dividir um polinômio P(x) pelo polinômio D(x) é obter dois polinômios Q(x) e R(x), obedecendo às seguintes condições:
 P(x) ≡ D(x).Q(x) + R(x);
P(x) é o dividendo, D(x) o divisor, Q(x) o quociente e R(x) o resto da divisão; 
É importante observar que o grau do quociente é a diferença entre os graus do dividendo e do divisor;
Em geral, se na divisão de P(x) por D(x) o resto é o polinômio nulo, dizemos que P(x) é divisível por D(x). 
Grau de R(x) < grau de D(x) ou R(x) ≡ 0;
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Esse método, também conhecido como método dos coeficientes a determinar, é aplicado da seguinte forma:
Determina-se os graus do quociente: Q(x), e do resto: r(x);
Constroem-se os polinômios Q(x) e r(x), deixando incógnitos os seus coeficientes (usam-se letras);
Determinam-se os coeficientes impondo a igualdade Q(x).D(x) + r(x) = P(x).
ALGORITMO DA DIVISÃO (MÉTODO DE DESCARTES)
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Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x) = 3x3 - 2x2 + 4x -1.
EXEMPLO
Aplicando a relação fundamental da divisão:
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Logo: 
Q(x) = ax + b  Q(x) = x
r(x) = cx2 + dx + e  r(x) = -4x2 + 8x + 2
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Para efetuar a divisão usando o método da chave, convém seguir os seguintes passos: 
Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus expoentes e completá-los quando necessário, com termos de coeficiente zero;
Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o resultado será um termo do quociente;
Multiplicar esse termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do dividendo;
Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o resto da divisão e a divisão termina aqui;
Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo dividendo.
MÉTODO DA CHAVE
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EXEMPLO 1
Efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3.
+ 11
–10x
+ 12
– 8x
4x2
– 1
– 2x
– 4x2
– 3x
+ 2x2
 – x3
– 1
+ x
– 6x2
 x3
 2x2
 x2 – 2x + 3
+ x
– 4
– 6x2
+ 4x3
–2x4
 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1
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EXEMPLO 2
Dividir A(x) = x2 – 5x + 6 por B(x) = x – 2.
0
– 6 
 + 3x
+ 6
 – 3x
x
 x – 2
– 3
+ 2x
–x2
 x2 – 5x + 6
Nesse caso, o resto é polinômio nulo, R(x) ≡ 0. Dizemos, por isso, que A(x) é divisível por B(x).
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EXEMPLO 3
Sabe-se que p(x) = x3 – x2 + ax + b é divisível por b(x) = x2 + x – 2. Calcular a e b.
(a+4)x
+ 2x 
 2x2
+ (a+2)x
– 2x2
x
 x2 + x – 2
– 2
– x2
–x3
 x3 – x2 + ax + b
+ 2x
+ b
 – 4 
+ b – 4
 a + 4 = 0
 b – 4 = 0
⇒ a = – 4
⇒ b = 4
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Trataremos daqui por diante de divisões em que o dividendo é um polinômio P(x), em que gr(P)  1, e o divisor é um polinômio do 1º grau (de grau 1), a princípio de coeficiente dominante (do termo de grau 1) igual a 1.
Para começar vamos determinar o seguinte, se o divisor é de grau 1, então resto será de grau zero, e portanto, independente de x (o resto será um número real).
Vamos estudar:
DIVISÃO POR BINÔMIOS DO 1º GRAU
Teorema do Resto
Teorema de D’Alembert
Algoritmo de Briot-Ruffini
Divisão pelo binômio (ax + b)
Divisão pelo produto (x – a).(x – b)
Divisões Sucessivas
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Na divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo (x – a), observamos que o resto, se não for nulo, será sempre um número real. Então:
TEOREMA DO RESTO
Observe que Q(x) é o quociente dessa divisão.
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Verificamos assim que o resto da divisão de P(x) por (x - a) é r = P(a).
Logo:
Calculando o valor numérico de P(x) para x = a, temos:
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Calcular o resto da divisão de P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 6 por x + 2.
EXEMPLO 1
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EXEMPLO 2
O resto da divisão de p(x) = x4 – 4x3 – kx – 75 por (x – 5) é 10. Calcular o valor de k.
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 5.
R = p(5) = 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10
⇒ 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10
⇒ 53 – 4.52 – k – 15 = 2
(: 5)
⇒ 125 – 100 – k – 15 = 2
⇒ 10 – k = 2
⇒ k = 8
⇒ – k = 2 – 10 
⇒ R = p(5) = 10
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Para que um polinômio P(x) seja divisível por um polinômio do tipo (x – a), é preciso que o resto seja igual a zero, ou seja, P(a) = 0.
TEOREMA DE D’ALEMBERT
P(x) é divisível por (x – a)  P(a) = 0 
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Se P(x) é divisível por (x + 3), então devemos ter:
Determine k para que o polinômio P(x) = kx3 + 2x2 + 4x – 2 seja divisível por (x + 3).
EXEMPLO 1
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EXEMPLO 2
Determinar o valor de m, sabendo-se que o polinômio p(x) = 9x2 + mx – m + 3 é divisível por 3x – 1.
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 1/3. Segundo o teorema de D’Alembert, devemos ter p(1/3) = 0.
9.(1/3)2 + m.(1/3) – m + 3 = 0
⇒ 9.(1/9) + m/3 – m + 3 = 0
⇒ 1 + m/3 – m + 3 = 0
⇒ m/3 – m = – 4
(x 3)
⇒ m – 3m = –12
⇒ – 2m = –12⇒ m = 6
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DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI
O Dispositivo de Briot-Ruffini nos permite encontrar o quociente e o r resto de uma divisão de um polinômio P(x) de grau n (n≥1) por um binômio x – a, sendo (n – 1) o grau do quociente. 
a2
Resto
a0 
-b/a
a4
a3
a1
a0
+
+
+
+
x
x
x
x
p(x) = a0x4 + a1x3 + a2x2 +a3x + a4 (Dividendo)
s(x) = ax+ b (Divisor)
Dados
Coeficientes do Dividendo
Raiz do Divisor
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EXEMPLO 1
Efetuar a divisão de p(x) = 3x4 – 4x3 – 5x2 + 4x + 9 por x – 2, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.
Os cálculos a serem efetuados tem como ponto de partida, a raiz do divisor, no caso, a raiz é 2.
– 1
– 5 
13 = Resto
2
2
3
2
9
4
– 4 
3
+
+
+
+
x
x
x
x
q(x) = 3x3 + 2x2 – x + 2 e R(x) = 13
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EXEMPLO 2
Na divisão de p(x) = x4 + 2x3 – x2 + k por x + 1, o resto é 4. Calcular k e o quociente da divisão.
Dividindo p(x) por x + 1, pelo dispositivo de Briot-Ruffini.
–2
– 1 
k – 2
2
1 
1
–1
k
0
2 
1
+
+
+
+
x
x
x
x
q(x) = x3 + x2 – 2x + 2
e R = k – 2 = 4 
⇒ k = 6
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EXEMPLO 3
Na equação x3 – 3x2 + x – 3 = 0, uma de suas raízes é 3. Obter as outras duas raízes.
Suponhamos p(x) = x3 – 3x2 + x – 3. Se 3 é raiz de p(x), p(3) = 0 e p(x) é divisível por x – 3.
1
1 
0
0 
1
3
– 3
– 3 
1
q(x) = x2 + 1
⇒ x2 + 1 = 0
⇒ x2 = – 1 
⇒ x = i ou x = – i 
Logo, as raízes da equação são 3, i e –i.
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Se um polinômio P(x) é divisível separadamente por (x − a) e (x−b), com a ≠ b, então P(x) é divisível por (x − a)(x − b).
Consequência:
Dividindo-se P(x) por (x − a), e depois dividindo-se os quocientes que forem sendo obtidos por (x − a), ao fim de r divisões sucessivas, se todos os restos forem nulos, P(x) será divisível por (x − a)'.
DIVISÃO PELO PRODUTO (X – A).(X – B)
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EXEMPLO 1
Provar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que p(x) = x3 – 7x + 6 é divisível por (x + 2).(x – 3).
Primeiro vamos dividir p(x) por x + 2. Depois, o quociente obtido q(x) por x – 3.
–3
– 7 
0
–2 
1
–2
6
0 
1
Nos dois casos, obtivemos resto R = 0. Concluímos que p(x) é divisível por (x + 2).(x – 3).
0
1 
1
3
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Calcule a e b para que P(x) = x3 + 2x2 + ax - b seja divisível por (x -1) e por (x - 2).
Nesse caso devemos ter P(1) = 0 e P(2) = 0. 
EXEMPLO 2
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Agora, vamos resolver o sistema obtido.
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Se um polinômio P(x) dividido por (x - 1) deixa resto 2 e dividido por (x - 2) deixa resto 1, qual é o resto da divisão de P(x) pelo produto (x - 1).(x - 2)?
Observe que:
1) A partir da leitura do enunciado podemos concluir que P(1) = 2 e P(2) = 1. 
2) O resto da divisão de P(x) por (x - 1).(x - 2) é um polinômio do tipo R(x) = ax + b, pois se o divisor tem grau 2, o resto, no máximo, terá grau 1. 
EXEMPLO 3
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Então:
A partir da informação de que P(1) = 2 e P(2) = 1, obtemos:
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Resolvendo o sistema:
Encontramos:
Assim:
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Como P(x) é divisível por (x – 1) e o quociente nesta divisão é divisível por (x – 2), concluímos que P(x) é divisível por (x – 1) · (x – 2).
No caso particular, se b = a, as divisões sucessivas permitem verificar se P(x) é divisível por (x – a)2, (x – a)3, etc.
DIVISÕES SUCESSIVAS
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Calcular a e b para que P(x) = x4 + x2 + ax + b seja divisível por (x – 1)2.
EXEMPLO 1
Os restos das duas divisões devem ser nulos. Então,
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Para que o polinômio P(x) = x3 - 8x + mx - n seja divisível por (x + 1)(x - 2), o produto m.n deve ser igual a:
Se P(x) é divisível por (x + 1)(x - 2), então, P(x) é divisível por (x + 1), e também é divisível por (x - 2), e isto significa dizer que,
EXEMPLO 1
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Resolvendo o sistema:
Obtemos,
Agora, podemos responder a proposição inicial do problema,
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Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b. Obter o valor numérico da expressão a + b.
Se P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6, então,
EXEMPLO 2
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Sabemos ainda que o resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b, então, 
 daí, 
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EXTRAS
GEOGEBRA 
Utilizar o software geogebra para trabalhar as operações de multiplicação e divisão de polinômios.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão 
REFERÊNCIAS
Sites:
http://www.objetivo.br/ConteudoOnline/mp/Conteudo.aspx?codigo=812&token=5%2F2Yd2%2Bzzv%2F29umTApxi0Q%3D%3D
http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Apoios/apoio03c_prof-Regina.html
http://www.colegioweb.com.br/polinomios/divisao-de-polinomios.html
Livros:
I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3: ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. 
Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.
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