Aula 9ºA e B

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Estudo dirigido 9ºAno A -B – Total de aulas 12 aulas 
 
Razão e Proporção (AULA1) 
Razão e proporção são utilizadas para realizar comparações ou estabelecer 
igualdade entre grandezas diferentes. Dessa forma, a razão realiza a comparação enquanto 
a proporção faz a igualdade. 
Razão 
Usamos razão para fazer comparação entre duas grandezas. Assim, quando 
dividimos uma grandeza pela outra estamos comparando a primeira com a segunda. 
Definição: 
Sabendo que existe duas grandezas a e b, a razão entre a e b, com b diferente de 
zero, é o quociente entre a e b: a:b ou 
 
Exemplo: 
Seja a = 18 e b = 12, qual a razão entre a e b? 
 
mas 
 
que são todas razões equivalentes. 
Primeiro, dividimos por 2, o menor número possível (com exceção do 0 e 1), o 
numerador e o denominador. Depois dividimos por 3 o resultado da divisão anterior, que 
era o mínimo possível que podíamos dividir tanto o numerador quanto o denominador. 
Assim, podemos dizer que a:b = 3:2 ou 
 
Proporção 
Proporção é a igualdade entre duas razões (equivalências entre razões). Ou seja, 
se dissermos que as razões 
 
São iguais, é o mesmo que dizer que elas formam uma proporção. 
Propriedade fundamental da proporção: 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
Então, ao escrevermos 
 
dizemos que a e d são os extremos da proporção e b e c são os meios da proporção. 
Levando em conta o conjunto dos números reais, podemos concluir algumas 
equivalências entre as proporções. Portanto, para 
 
com a, b, c, d ∈ R*, temos que: 
 
Exemplo: 
As razões 
 
e 
 
são equivalentes, logo determinam uma proporção. Então: 12 x 3 = 18 x 2. 
Exemplo: 
Determine o valor de x na proporção: 
 
Para resolver esse exemplo e encontrar o valor de x na proporção, vamos utilizar regra de 
três simples. Assim, pela relação fundamental, temos: 
 
Portanto, x = 42. 
Exercícios. 
1-(UFOP-MG–2008) Duas torneiras são utilizadas para encher um tanque vazio. Sabendo 
que sozinhas elas levam 10 horas e 15 horas, respectivamente, para enchê-lo. Quanto 
tempo as duas torneiras juntas levam para encher o tanque? 
A) 6 horas; 
B) 12 horas e 30 minutos; 
C) 25 horas; 
D) 8 horas e 15 minutos. 
2- (Unicamp-SP) A quantia de R$ 1.280,00 deverá ser dividida entre 3 pessoas. Quanto 
receberá cada uma, se: 
A) a divisão for feita em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7? 
B) a divisão for feita em partes inversamente proporcionais a 5, 2 e 10? 
3-Sabendo que um terreno possui 50 m de largura, e sua representação em um desenho é 
de 20 cm. Encontre a escala deste desenho.? 
4- Numa sala de aula temos 45 alunos, sendo que 10 são homens. Qual a razão entre o 
número de alunas e o total de alunos da sala de aula? 
5-Um motorista realiza uma viagem entre duas cidades com uma distância de 120 km em 
2 horas. Qual a velocidade média que este motorista viajou? 
6-João fez o ENEM e acertou 120 questões. Sabe-se que o ENEM possui 180 questões. 
Qual a razão entre o número de erros e acertos de João na prova? 
7-Uma cidade de 2200 m² possui uma população de 20100 habitantes. Encontre a 
densidade populacional dessa cidade. 
 
 
https://matematicabasica.net/regra-de-tres-simples/
https://matematicabasica.net/regra-de-tres-simples/
8- Encontre o valor das incógnitas das proporções a seguir, de tal forma que elas sejam 
verdadeiras. 
a) x/3 = 24/6 
b) 4/y = 20/3 
c) 11/2 = 2/z 
9- A proporção 2/5 = 30/6 é verdadeira? 
10-A proporção 15/5 = 9/3 é verdadeira? 
11-Considere um relógio com um defeito de forma que ocorre um atraso de 3 minutos 
por dia, quantos dias este relógio levaria para atrasar 1 hora? 
a) 90 
b) 20 
c) 40 
d) 22 
e) 10 
12- Felipe foi a um restaurante que vende comida por quilo. O quilo da comida no 
restaurante custa R$ 20,00, quanto Felipe pagará em 700 g de comida neste restaurante? 
13-Se no mapa do Brasil 1 cm representa 100 km, quantos quilômetros representam 20 
cm neste mapa? 
a) 1000 km 
b) 3200 km 
c) 2000 km 
d) 1000 km 
e) 50000 km 
14-Um motorista de ônibus fez um percurso de 30 km em 30 minutos com velocidade 
constante. Qual a velocidade em quilômetros por hora? 
15-Se a razão entre as idades de dois irmãos é 4/5, e a soma das respectivas idades é 45. 
Qual é a idade de cada irmão? 
16-Oito impressoras imprimem 16 banners em 8 minutos. Para imprimir 192 banners 
iguais aos 16 primeiros, as mesmas 8 impressoras precisariam de: 
a) 52 min 
b) 70 min 
c) 90 min 
d) 96 min 
e) 50 min 
17-Paulo comprou a prazo 10 mesas com cadeiras. O custo da compra foi de R$ 1500,00. 
A fim de quitar esse débito, ele pretende aluga-las, sábados e domingos, por R$ 5,00 ao 
dia, cada mesa. Em quantos finais de semanas Paulo quitará este débito? 
 
 
18- A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual a 
distância real entre essas duas cidades? 
19- A idade de Pedro é 30 anos e a idade de Josefa é 45 anos. Qual é a razão entre as 
idades de Pedro e Josefa? 
20- Uma caixa de chocolate possui 250g de peso líquido e 300g de peso bruto. Qual é a 
razão do peso líquido para o peso bruto? 
 
GRANDEZAS DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS AULA 2 
 
Grandeza é o que pode ser medido. A grandeza não é o objeto que pode ser 
medido, mas à medida que é possível ser observada nele, 
como: distância, peso, velocidade etc. As grandezas também podem ser verificadas 
em razões, como é o caso da velocidade, que é uma grandeza resultante da divisão entre 
distância e tempo, os quais, por sua vez, são outras duas grandezas. 
O que é proporcionalidade entre grandezas? 
A razão entre duas grandezas é algo comum, que pode ser feito para avaliá-las e 
para obter outras grandezas e propriedades como resultado. Quando existe uma igualdade 
entre duas razões distintas, obtidas pela divisão entre duas grandezas em momentos 
distintos, ela é chamada de proporção, e as grandezas, nesse caso, são ditas proporcionais. 
Essa é a forma usada para os cálculos que envolvem regra de três, por exemplo. 
Digamos que um automóvel se locomova a 50 km/h e, em determinado período 
de tempo, percorra 100 km. Se esse automóvel estivesse a 100 km/h, dentro desse mesmo 
intervalo de tempo, o espaço percorrido por ele seria de 200 km. 
A razão entre velocidade e espaço percorrido desse automóvel pode ser avaliada em dois 
momentos distintos e possui resultados iguais: 0,5. 
50/100 = 100/200 = 0,5 
Isso significa que as grandezas são proporcionais, isto é, a variação de uma das 
grandezas faz com que a outra também sofra variação na mesma taxa que a primeira. 
Dessa forma, ao dobrarmos a velocidade do automóvel, dobramos também o espaço 
percorrido por ele em um mesmo intervalo de tempo. 
Grandezas diretamente proporcionais 
Pelo fato de duas grandezas serem proporcionais, quando os valores de uma são 
alterados, os valores da outra também são alterados, por consequência, na 
mesma proporção que a primeira. Dizemos que as grandezas A e B são diretamente 
proporcionais quando, aumentando a medida da grandeza A, a medida da grandeza B 
aumenta, em consequência disso, na mesma proporção. 
Se duas grandezas forem diretamente proporcionais, diminuir a medida da 
grandeza A fará com que a medida da grandeza B também diminua na mesma proporção, 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-grandeza.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/razao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-velocidade-media.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-proporcao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-tres-simples.htm
por isso, a palavra diretamente é usada para representar esse tipo de proporcionalidade 
entre grandezas. 
Na situação apresentada anteriormente, o automóvel dobrou a velocidade, e isso 
fez o espaço percorrido dobrar. A consequência do aumento da velocidade foi um 
aumento no espaço percorrido, na mesma proporção da velocidade. Por esse motivo, as 
grandezas velocidadee espaço percorrido são diretamente proporcionais na situação 
avaliada. 
Grandezas inversamente proporcionais 
Duas grandezas que são inversamente proporcionais ainda variam uma em 
consequência da outra e na mesma proporção, entretanto, o aumento da medida relativa 
à primeira faz com que a medida relativa à segunda diminua. Se diminuirmos a medida 
relativa à primeira grandeza, isso fará com que a medida relativa à segunda aumente. É 
por isso que essa proporcionalidade é chamada de inversa. 
Exemplo: em uma fábrica de sapatos que possui 25 funcionários, é produzida uma 
determinada quantidade de sapatos em 10 horas. Se o número de funcionários for 50, essa 
mesma quantidade de sapatos será produzida em 5 horas. 
É evidente que o dobro de funcionários fará o trabalho na metade do tempo. Isso 
acontece porque as grandezas horas trabalhadas e quantidade de funcionários são 
inversamente proporcionais 
Regra de três 
A regra de três é a ferramenta usada para descobrir uma das medidas de 
uma proporção. Ela também é válida para quando essa proporção é obtida por meio de 
grandezas. 
Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, monte a proporção entre as 
medidas observadas e utilize a propriedade fundamental das proporções para encontrar a 
medida procurada. 
Exemplo: Um automóvel a 50 km/h percorre 100 km. Se esse automóvel estivesse a 75 
km/h, teria percorrido quantos quilômetros no mesmo período de tempo? 
 50/100 = 75/x 
50x = 75·100 
50x = 7500 
x = 7500/50 
x = 150 km. 
Além disso, quando as grandezas forem inversamente proporcionais, será 
necessário inverter uma das frações da proporção formada por elas antes de aplicar a 
propriedade fundamental das proporções. 
Exemplo: Um automóvel está a uma velocidade de 50 km/h e gasta duas horas para chegar 
a seu destino. Esse mesmo automóvel gastaria quantas horas se estivesse a 75 km/h? 
Montando a proporção, teremos: 
50/75 = 2/x 
Aumentando a velocidade, o tempo gasto no percurso deve diminuir, portanto, 
as grandezas são inversamente proporcionais. Invertendo uma das frações, teremos: 
50/75 = x/2 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos: 
75x = 50·2 
75x = 100 
x = 100 
 75 
x = 1,33 
Isso significa que o tempo gasto será de uma hora e 20 minutos. (1,33 h está na 
base decimal, por isso precisa ser convertido para horas, o que também pode ser feito por 
regra de três). 
Treine. 
1-João possui três filhos: Ana, Thiago e Jorge. Ao falecer, João deixou R$ 1.500.000,00 
de herança para seus filhos. O dinheiro deverá ser dividido de forma diretamente 
proporcional à idade de cada filho. Determine quanto cada um receberá, sabendo que Ana 
está com 17, Thiago com 20 e Jorge com 23 anos 
2-Um supermercado solicita mercadorias à fábrica de acordo com a quantidade de 
produtos do estoque que foi vendida. O entregador da fábrica transporta apenas 350 
pacotes por vez, e as entregas são feitas de forma diretamente proporcional à quantidade 
de produtos que acabou no estoque. Sabendo que em um dia esgotaram-se 20 pacotes de 
um produto A, 35 pacotes de um produto B e 15 pacotes de um produto C, quantos 
produtos de cada o entregador deverá levar ao supermercado? 
3-(Unicamp) Uma torneira enche um tanque em 12 minutos, enquanto uma segunda 
torneira gasta 18 minutos para encher o mesmo tanque. Com o tanque inicialmente vazio, 
abre-se a primeira torneira durante x minutos: ao fim desse tempo, fecha-se essa torneira 
e abre-se a segunda, a qual termina de encher o tanque em x+3 minutos. Calcule o tempo 
gasto para encher o tanque. 
4-Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de um bingo. 
Observe a tabela e responda: 
 
a) Qual a razão entre o número de acertadores do prêmio de R$200.000,00 para o prêmio 
de R$150.000,00? 
b) Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 
acertadores? 
c) O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais? 
5-Diga se é diretamente ou inversamente proporcional: 
a) Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que cada pessoa poderá 
consumir. 
b) A área de um retângulo e o seu comprimento, sendo a largura constante. 
c) Número de erros em uma prova e a nota obtida. 
d) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa. 
e) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago. 
6-Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. 
Determine os números x e y. 
7-Sabendo que a, b, c e 120 são diretamente proporcionais aos números 180, 120, 200 e 
480, determine os números a, b e c. 
08- A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está para a idade do filho, 
assim como 7 está para 2. A idade do pai é: 
A) 35 anos 
B) 33 anos 
C) 40 anos 
D) 37 anos 
E) 38 anos 
9-Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de 
efetivos e contratados é de 5 por 2, quantos são os efetivos? 
A) 600 
B) 1.000 
C) 1.500 
D) 1.600 
E) 1.800 
10- A soma das idades de um pai, de um filho e de um neto é de 105 anos. Sabendo-se 
que a idade do pai está para 8, assim como a do filho está para 5 e a do neto está para 2, 
a idade, em anos, de cada um é, respectivamente: 
A) 66, 29, 10 
B) 62, 31, 12 
C) 56, 37, 12 
D) 56, 35, 14 
E) 58, 38, 9 
11-(UERE) Segundo uma reportagem, a razão entre o número total de alunos 
matriculados em um curso e o número de alunos não concluintes desse curso, nessa 
ordem, é de 9 para 7. A reportagem ainda indica que são 140 os alunos concluintes desse 
curso. Com base na reportagem, pode-se afirmar, corretamente, que o número total de 
alunos matriculados nesse curso é 
(A) 180. 
(B) 260. 
(C) 490. 
(D) 520. 
(E) 630. 
12-(VNSP) – Em uma padaria, a razão entre o número de pessoas que tomam café puro 
e o número de pessoas que tomam café com leite, de manhã, é 2/3. Se durante uma 
semana, 180 pessoas tomarem café de manhã nessa padaria, e supondo que essa razão 
permaneça a mesma, pode-se concluir que o número de pessoas que tomarão café puro 
será: 
(A) 72. 
(B) 86. 
(C) 94. 
(D) 105. 
(E) 112. 
13- Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim como 825 
está para 627. Qual o valor de a + b? 
A) 81 
B) 142 
C) 122 
D) 130 
E) 132 
14-(SPTR) – Em uma concessionária de veículos, a razão entre o número de carros 
vermelhos e o número de carros prateados vendidos durante uma semana foi de 3/11. 
Sabendo-se que nessa semana o número de carros vendidos (somente vermelhos e 
prateados) foi 168, pode-se concluir que, nessa venda, o número de carros prateados 
superou o número de carros vermelhos em 
(A) 96. 
(B) 112. 
(C) 123. 
(D) 132. 
(E) 138. 
15-(SEED) – Paulo acertou 75 questões da prova objetiva do último simulado. Sabendo-
se que a razão entre o número de questões que Paulo acertou e o número de questões que 
ele respondeu de forma incorreta é de 15 para 2, e que 5 questões não foram respondidas 
por falta de tempo, pode-se afirmar que o número total de questões desse teste era 
(A) 110. 
(B) 105. 
(C) 100. 
(D) 95. 
(E) 90. 
16-(CORM) – Em uma sala de aula, a razão entre meninos e meninas é de 3 para 7, nesta 
ordem. Em agosto, entraram mais 3 meninos nessa sala, mas uma menina mudou de 
colégio e isso fez com que a razão entre meninos e meninas agora fosse de 3 para 5. O 
número total de alunos dessa sala, em agosto, após essas mudanças, passou a ser de 
(A) 28. 
(B) 30. 
(C) 32. 
(D) 34. 
(E) 38. 
 
Escalas, Razão e Proporção Aula 3 
Razão e Proporção – Conteúdo muito comum no Enem e em todos os vestibulares, 
não só nas questões de matemática e física, mas também nas de geografia, química e 
biologia, a Razão pode ser aplicada para resolver diversos tipos de problemas. 
Razão – A razão entre dois números é simplesmente o quociente entreeles. Por 
exemplo, queremos saber a razão entre o número de meninos e meninas em uma sala de 
aula. Se há 12 meninos e 18 meninas, então a razão entre eles é 12/18. Simplificando esta 
fração por 6, encontramos 2/3, ou seja, para cada 2 meninos há três meninas. 
 
Escalas – Quando se constrói uma escala, deve-se considerar o tamanho real do 
que você quer representar e também o tamanho da figura que o representará. Estes 
tamanhos devem estar na mesma unidade de medida. Por exemplo, uma casa que possui 
um comprimento de 20 metros deve ser representada em um desenho de no máximo 20 
cm. Vemos que as unidades de medida não são as mesmas, portanto, vamos ter que 
transformar o metro em cm, pois é nesta unidade que representaremos o desenho, 20 
metros = 2000 centímetros. 
Entenda Razão e Proporção 
A escala é simplesmente a razão entre o tamanho do desenho e o tamanho real, assim, 
para o nosso exemplo: 
 
simplificando por 20 o numerador e o denominador e também a unidade de medida, 
encontramos a escala: 
 
Ela significa que cada centímetro no desenho representa 100 centímetros no real. 
Proporções – Esta habilidade é muito cobrada no ENEM e nos vestibulares. 
Dominá-la é garantir pontos para o seu sucesso. Vamos voltar ao exemplo da quantidade 
de meninos e meninas em uma sala de aula citado anteriormente. Vimos que a razão entre 
o número de meninos e meninas era de 2/3. 
 
 
Vamos supor que o número de meninos e meninas cresça obedecendo esta mesma 
razão. Dizemos então que a nova quantidade estará na mesma proporção. Sendo assim, 
se o número de meninas agora é 9 qual será o número de meninos? 
Se a razão é a mesma, podemos montar a seguinte relação: 
 
 
Este tipo de problema também é conhecido como regra-de-três e resolvemos 
igualando os produtos do numerador e uma fração pelo denominador da outra. 
 
 
 
Ou seja, agora temos 6 meninos. Poderíamos pensar também do seguinte modo: 
se o número de meninas triplicou, então ou número de meninos também deve triplicar. 
Treine 
1-Assinale, a seguir, a alternativa que melhor apresenta o conceito de escala cartográfica: 
a) é a relação não proporcional entre o mapa e as suas variações gráficas. 
b) é a medida da área dos mapas e cartogramas em geral. 
c) indica a proporção entre uma área da superfície e a sua representação em um mapa. 
d) aponta a relação de equivalência entre as áreas de um mapa e suas projeções 
cartográficas. 
e) representa o conjunto de orientações cardeais de um mapa, cartograma ou planta. 
2-Em um mapa de uma pequena cidade, destaca-se a presença de uma rodovia, cuja 
extensão é de 15 quilômetros. No mapa em questão, sua medida está em 10 centímetros, 
o que nos permite concluir que a sua escala cartográfica é de: 
a) 1:15'000 
b) 1:150'000 
c) 1:1'500 
d) 1:15 
e) 1:100'000 
3-Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de 
São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um 
estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas 
cidades, A e B, era 8 cm. 
Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de 
a) 1 : 250. 
b) 1 : 2 500. 
c) 1 : 25 000. 
d) 1 : 250 000. 
e) 1 : 25 000 000. 
4-Um mapa de escala 1:300.000 apresenta uma distância de 15 cm entre os pontos A e B. 
Dessa forma, a correta distância entre esses dois pontos, na realidade, é: 
a) 30 km 
b) 45 km 
c) 75 km 
d) 90 km 
e) 150 km 
5-Considere dois mapas do Brasil, sendo que o mapa “A” tem escala de 1/10.000.000 e o 
mapa “B”, escala de 1/50.000.000. Assinale a alternativa correta. 
a) Ambos os mapas apresentam a mesma riqueza de detalhes. 
b) O mapa “A” apresenta menor riqueza de detalhes que o mapa “B”. 
c) O mapa “A apresenta maior riqueza de detalhes que o mapa “B”. 
d) O mapa “B” é proporcionalmente cinco vezes maior que o mapa “A”. 
e) Os dois mapas possuem o mesmo tamanho.