Matemática

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA 
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 1
MATEMÁTICA  
PLANO  DA  APOSTILA  
AULA	
   TÓPICOS	
  ABORDADOS	
  
1	
   CONJUNTOS	
  NÚMÉRICOS	
  /	
  SISTEMAS	
  DE	
  MEDIDAS	
  
2	
   EQUAÇÕES	
  E	
  SISTEMAS	
  DE	
  EQUAÇÕES	
  DO	
  1º	
  GREU	
  /	
  RAZÃO	
  E	
  PROPORÇÃO	
  /	
  REGRA	
  DE	
  
TRÊS	
  SIMPLES	
  E	
  COMPOSTA	
  
3	
   PORCENTAGEM	
  /	
  JUROS	
  SIMPLES	
  E	
  COMPOSTOS	
  
4	
   ANÁLISE	
  COMBINATÓRIA	
  
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 1
MATEMÁTICA
PLANO  DA APOSTILA
AULA TÓPICOS ABORDADOS
1 CONJUNTOS NÚMÉRICOS / SISTEMAS	
  DE	
  MEDIDAS
2 EQUAÇÕES	
  E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GREU	
  / RAZÃO E PROPORÇÃO /	
  REGRA DE
TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
3 PORCENTAGEM /	
  JUROS	
  SIMPLES	
  E	
  COMPOSTOS
4 ANÁLISE COMBINATÓRIA
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 2
MATEMÁTICA  
Professor  Luiz  Luz  
AULA  1  
CONJUNTOS  NUMÉRICOS:  
Conjunto   é   o   agrupamento   de   elementos   que   possuem  
características  semelhantes.    
Os  Conjuntos  numéricos  são  divididos  em:    
• Conjunto  dos  Naturais  (N),
• Conjunto  dos  Inteiros  (Z),
• Conjunto  dos  Racionais  (Q),
• Conjunto  dos  Irracionais  (I),
• Conjunto  dos  Reais  (R).
CONJUNTO  DOS  NÚMEROS  NATURAIS:  
IN  =  {0,  1,  2,  3,  4,...}  e    
IN*  =  {1,  2,  3,  4,  ...}  →  Conjunto  dos  números  naturais  
não  nulos.    
Obs.:  Dados  dois  números  naturais,  a  e  b,  temos  que:  a  =  
b  ou  a  ≠  b,  se  a  ≠  b,  temos  que  a  <  b  ou  a  >  b.    
Operações  em  IN:    
Dados:  a,  b,  c  e  n  ∈  IN,  temos:  
• a  +  b  =  c    →  Adição
• a  -­  b  =  c  →  Subtração  com  a  >  b
• a  .  b  =  c  →  Multiplicação
• a  :  b  =  c  →  Divisão  com  a  múltiplo  de  b.
• aaaaan .(...)...= →  Potenciação
Obs.:     0;10 ≠∀= aa
•   2,; ≥∈=⇔= nNnabba nn  → Radiciação
Propriedades  Operatórias:  
• (a  +  b)  +  c  =  a  +  (b  +  c)  →  associativa  da  adição.
• (a  .  b)  .  c  =  a.  (b  .  c)  →  associativa  da  multiplicação.
• a  +  b  =  b  +  a  →  comutativa  da  adição.
• a  .  b  =  b  .  a  →  comutativa  da  multiplicação.
• a  +  0  =  a  →  elemento  neutro  da  adição.
• a  .  1  =  a  →  elemento  neutro  da  multiplicação.
• a   .   (b   +   c)   =   a.   b   +   a.   c   →   distribuição   da
multiplicação  em  relação  à  adição.  
Obs.1:  Seqüências  para  resolver  expressões.  
1.º)  eliminar  parênteses:  (  )
2.º)  eliminar  colchetes:  [  ]
3.º)  eliminar  chaves:  {  }
Obs.2:  Prioridade  nas  Operações.  
1.º)  Potenciação  e  Radiciação
2.º)  Multiplicações  e  Divisão
3.º)  Adição  e  Subtração
Exemplos:  
1) 8  +  4  x  8  –  3  x  5  –  15
8  +  4  x  8  –  3  x  5  –  15  =  8  +  32  –  15  –  15  =
=  40  –  30  =
=  10
2)  
2 5 3{[(24 2 3) : (3 2 3 )] 2 8}: ( 2 2 3 16 25 : 5 13)+ ⋅ ⋅ + + ⋅ − + ⋅ + − +
2 6 3
6
6
6
{[(24 2 3) : (3 2 3 )] 2 8}: ( 2 2 3 16 25: 5 13)
{[(24 6) : (6 9)] 16}: ( 8 6 4 5 13)
{[30 :15] 16}:10
{2 16}:10
{64 16}:10
80 :10
8
+ ⋅ ⋅ + + ⋅ − + ⋅ + − + =
= + + + − + + − + =
= + =
= + =
= + =
= =
=
CONJUNTO  DOS  NÚMEROS  INTEIROS:  
Definimos  o  conjunto  dos  números  inteiros  como  a  reunião  
do  conjunto  dos  números  naturais,  o  conjunto  dos  opostos  
dos  números  naturais  e  o  zero.  Este  conjunto  é  denotado  
pela   letra  Z  (Zahlen  =  número  em  alemão).  Este  conjunto  
pode  ser  escrito  por:  
{ },...3,2,1,0,1,2,3..., −−−=Z
Subconjuntos  de  Z:  
{ },...3,2,1,1,2,3...,* −−−=Z ,   conjunto   dos   números
inteiros  sem  o  zero.  
{ },...3,2,1* =+Z ,   conjunto   dos   números   inteiros  
positivos.  
{ }1,2,3...,* −−−=−Z ,   conjunto   dos   números   inteiros  
negativos.  
{ },...3,2,1,0=+Z ,  conjunto  dos  números   inteiros  não-­
negativos.  
{ }0,1,2,3..., −−−=−Z ,   conjunto   dos   números   inteiros  
não-­positivos.  
Reta  Numerada:  
Uma   forma  de   representar  geometricamente  o  conjunto  Z  
é   construir   uma   reta   numerada,   considerar   o   número   0  
como   a   origem   e   o   número   1   em   algum   lugar,   tomar   a  
unidade  de  medida  como  a  distância  entre  0  e  1  e  por  os  
números  inteiros  da  seguinte  maneira:  
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 3
Ao  observar  a  reta  numerada  notamos  que  a  ordem  que  os  
números   inteiros  obedecem  é  crescente  da  esquerda  para  
a  direita,   razão  pela  qual   indicamos  com  uma  seta  para  a  
direita.  Esta  consideração  é  adotada  por  convenção,  o  que  
nos  permite  pensar  que  se  fosse  adotada  outra  forma,  não  
haveria  qualquer  problema.    
Baseando-­se  ainda  na  reta  numerada  podemos  afirmar  que  
todos   os   números   inteiros   possuem   um   e   somente   um  
antecessor  e  também  um  e  somente  um  sucessor.    
Ordem  e  simetria  no  conjunto  Z:  
O   sucessor   de   um   número   inteiro   é   o   número   que   está  
imediatamente  à  sua  direita  na  reta  (em  Z)  e  o  antecessor  
de  um  número  inteiro  é  o  número  que  está  imediatamente  
à  sua  esquerda  na  reta  (em  Z).    
Exemplos:  
3  é  sucessor  de  2  e  2  é  antecessor  de  3.  
-­5  é  antecessor  de  -­4  e  -­4  é  sucessor  de  -­5.  
0  é  antecessor  de  1  e  1  é  sucessor  de  0.    
-­1  é  sucessor  de  -­2  e  -­2  é  antecessor  de  -­1.  
Todo   número   inteiro   exceto   o   zero,   possui   um   elemento  
denominado   simétrico   ou   oposto   -­z   e   ele   é   caracterizado  
pelo   fato  geométrico  que   tanto  z  como   -­z  estão  à  mesma  
distância  da  origem  do  conjunto  Z  que  é  0.    
Exemplos:  
O  oposto  de  ganhar  é  perder,  logo  o  oposto  de  +3  é  -­3  O  
oposto  de  perder  é  ganhar,  logo  o  oposto  de  -­5  é  +5    
Módulo  de  um  número  Inteiro:  
O   módulo   ou   valor   absoluto   de   um   número   Inteiro   é  
definido   como   sendo   o   maior   valor   (máximo)   entre   um  
número  e  seu  elemento  oposto  e  pode  ser  denotado  pelo  
uso  de  duas  barras  verticais  |  |.  Assim:    
|x|  =  max{-­x,x}  
Exemplos:  
|0|  =  0  
|8|  =  8  
|-­6|  =  6  
Observação:  
Do   ponto   de   vista   geométrico,   o   módulo   de   um   número  
inteiro  corresponde  à  distância  deste  número  até  a  origem  
(zero)  na  reta  numérica.    
Soma  (adição)  de  números  inteiros:  
Para   melhor   entendimento   desta   operação,   associaremos  
aos   números   inteiros   positivos   a   idéia   de   ganhar   e   aos  
números  inteiros  negativos  a  idéia  de  perder.    
• ganhar  3  +  ganhar  4  =  ganhar  7
(+3)  +  (+4)  =  (+7)  
• perder  3  +  perder  4  =  perder  7
(-­3)  +  (-­4)  =  (-­7)  
• ganhar  8  +  perder  5  =  ganhar  3
(+8)  +  (-­5)  =  (+3)  
• perder  8  +  ganhar  5  =  perder  3
(-­8)  +  (+5)  =  (-­3)  
Atenção:  
O  sinal  (+)  antes  do  número  positivo  pode  ser  dispensado,  
mas  o  sinal  (-­)  antes  do  número  negativo  nunca  pode  ser  
dispensado.    
Exemplos:  
-­3  +  3  =  0  
-­  6  +  3  =  -­3  
5  -­  1  =  4  
Propriedades  da  adição  de  números  inteiros:  
Fecho:  
O   conjunto  Z  é   fechado  para  a  adição,   isto  é,   a   soma  de  
dois  números  inteiros  ainda  é  um  número  inteiro.    
Associativa:  
Para  todos  a,b,c  em  Z:  
a  +  (  b  +  c  )  =  (  a  +  b  )  +  c  
2  +  (  3  +  7  )  =  (  2  +  3  )  +  7  
Comutativa:  
Para  todos  a,b  em  Z:  
a  +  b  =  b  +  a  
3  +  7  =  7  +  3  
Elemento  neutro:  
Existe  0  em  Z,  que  adicionado  a  cada  z  em  Z,  proporciona  
o próprio  z,  isto  é:
z  +  0  =  z  
7  +  0  =  7  
Elemento  oposto:  
Para  todo  z  em  Z,  existe  (-­z)  em  Z,  tal  que:  
z  +  (-­z)  =  0  
9  +  (-­9)  =  0  
Multiplicação  (produto)  de  números  inteiros:  
A  multiplicação   funciona   como  uma   forma   simplificada   de  
uma  adição  quando  os  números  são  repetidos.Poderiamos  analisar   tal   situação  como  o   fato  de  estarmos  
ganhando   repetidamente   alguma   quantidade,   como   por  
exemplo,   ganhar   1   objeto   por   30   vezes   consectivas,  
significa   ganhar   30   objetos   e   esta   repetição   pode   ser  
indicada  por  um  simbolo    x,  isto  é:  
1  +  1  +  1  +  ...  +  1  +  1  =  30  x  1  =  30  
Se  trocarmos  o  número  1  pelo  número  2,  teremos:  
2  +  2  +  2  +  ...  +  2  +  2  =  30  x  2  =  60  
Se  trocarmos  o  número  2  pelo  número  -­2,  teremos:  
(-­2)  +  (-­2)  +  ...  +  (-­2)  =  30  x  (-­2)  =  -­60  
Observamos  então  que  a  multiplicação  é  um  caso  particular  
da  adição  onde  os  valores  são  repetidos.    
Na  multiplicação   o   produto   dos   números   a   e   b,   pode   ser  
indicado   por   a   x   b,   a.b   ou   ainda   ab   sem   nenhum   sinal  
entre  as  letras.  
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 3
Ao observar a  reta  numerada  notamos  que a  ordem que os  
números inteiros obedecem é  crescente  da  esquerda  para  
a  direita, razão  pela  qual indicamos com uma  seta  para  a  
direita. Esta  consideração  é  adotada  por convenção, o  que  
nos permite  pensar que  se  fosse  adotada  outra  forma, não  
haveria  qualquer problema.
Baseando-­se  ainda  na  reta  numerada  podemos afirmar que  
todos os números inteiros possuem um e somente   um
antecessor e também um e somente um sucessor.
Ordem e simetria no  conjunto  Z:
O sucessor de   um número   inteiro   é   o   número   que   está  
imediatamente à  sua  direita  na  reta (em Z) e o antecessor
de  um número  inteiro  é  o  número  que  está  imediatamente  
à sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
3  é  sucessor de  2  e  2  é  antecessor de  3.
-­5  é  antecessor de  -­4  e  -­4  é  sucessor de  -­5.
0  é  antecessor de  1  e  1  é  sucessor de  0.
-­1  é  sucessor de  -­2  e  -­2  é  antecessor de  -­1.
Todo   número   inteiro   exceto   o   zero, possui um elemento  
denominado   simétrico   ou   oposto   -­z e   ele   é   caracterizado  
pelo   fato  geométrico  que   tanto  z como   -­z estão  à  mesma  
distância da origem do conjunto Z que é 0.
Exemplos:
O oposto  de  ganhar é  perder, logo  o  oposto  de  +3  é  -­3  O
oposto  de  perder é ganhar, logo o oposto de  -­5  é  +5  
Módulo  de  um número  Inteiro:
O módulo   ou   valor absoluto   de   um número   Inteiro   é  
definido   como   sendo   o   maior valor (máximo) entre   um
número  e  seu  elemento  oposto  e  pode  ser denotado  pelo  
uso de duas barras verticais | |. Assim:  
|x|  = max{-­x,x}
Exemplos:
|0| = 0
|8| = 8
|-­6| = 6
Observação:
Do   ponto   de   vista   geométrico, o   módulo   de   um número  
inteiro  corresponde  à distância deste  número  até  a origem
(zero)  na reta numérica.
Soma (adição) de números inteiros:
Para   melhor entendimento   desta   operação, associaremos
aos números inteiros positivos a   idéia   de ganhar e aos
números inteiros negativos a  idéia  de  perder.
• ganhar  3 + ganhar  4 = ganhar  7
(+3)  + (+4)  = (+7)
• perder  3 + perder  4 = perder  7
(-­3)  +  (-­4)  =  (-­7)
• ganhar  8 + perder  5 = ganhar  3
(+8)  +  (-­5)  =  (+3)
• perder  8 + ganhar  5 = perder  3
(-­8)  +  (+5)  =  (-­3)
Atenção:
O sinal (+) antes do  número  positivo  pode  ser dispensado,
mas o  sinal (-­) antes do  número  negativo  nunca  pode ser
dispensado.
Exemplos:
-­3 + 3 = 0
-­ 6 + 3 = -­3
5  -­ 1 = 4
Propriedades da adição de números inteiros:
Fecho:
O conjunto  Z  é   fechado  para  a  adição, isto  é, a   soma  de  
dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa:
Para  todos  a,b,c  em Z:
a + (  b + c )  = (  a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
Comutativa:
Para  todos  a,b  em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento  neutro:
Existe  0  em Z, que  adicionado  a cada z em Z, proporciona
o próprio z, isto é:  
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento  oposto:
Para  todo z  em Z, existe (-­z) em Z, tal que:
z + (-­z) = 0
9 + (-­9) = 0
Multiplicação (produto) de números inteiros:
A multiplicação funciona   como uma   forma   simplificada   de
uma  adição  quando  os números são  repetidos.
Poderiamos  analisar tal situação como o fato de estarmos  
ganhando   repetidamente   alguma   quantidade, como   por
exemplo, ganhar 1 objeto   por 30 vezes consectivas,
significa   ganhar 30   objetos e   esta   repetição   pode   ser
indicada por um simbolo   x,  isto  é:
1  +  1  +  1  +  ...  +  1  +  1  =  30  x  1  =  30
Se trocarmos  o número 1 pelo número 2, teremos:
2  +  2  +  2  +  ...  +  2  +  2  =  30  x  2  =  60
Se trocarmos  o número 2 pelo número -­2, teremos:
(-­2)  +  (-­2)  +  ...  +  (-­2)  =  30  x  (-­2)  = -­60
Observamos então  que  a  multiplicação  é  um caso  particular
da  adição  onde  os valores são  repetidos.  
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser
indicado   por a   x b,   a.b ou   ainda   ab sem nenhum sinal
entre  as letras.
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 4
Para  realizar  a  multiplicação  de  números  inteiros,  devemos  
obedecer  à  seguinte  regra  de  sinais:    
(+1)×(+1)=(+1)  
(+1)×(-­1)=(-­1)  
(-­1)×(+1)=(-­1)  
(-­1)×(-­1)=(+1)  
Com  o  uso  das  regras  acima,  podemos  concluir  que:  
Sinais  dos  números   Resultado  do  produto  
iguais   positivo  
diferentes   negativo  
Propriedades  da  multiplicação  de  números  inteiros:  
Fecho:  
O   conjunto   Z   é   fechado   para   a   multiplicação,   isto   é,   a  
multiplicação  de  dois  números  inteiros  ainda  é  um  número  
inteiro.    
Associativa:    
Para  todos  a,b,c  em  Z:  
a  x  (  b  x  c  )  =  (  a  x  b  )  x  c  
2  x  (  3  x  7  )  =  (  2  x  3  )  x  7  
Comutativa:  
Para  todos  a,b  em  Z:  
a  x  b  =  b  x  a  
3  x  7  =  7  x  3  
Elemento  neutro:  
Existe   1   em   Z,   que   multiplicado   por   todo   z   em   Z,  
proporciona  o  próprio  z,  isto  é:    
z  x  1  =  z  
5  x  1  =  5  
Elemento  inverso:  
Para   todo   inteiro   z   diferente   de   zero,   existe   um   inverso  
=1/z  em  Z,  tal  que:  
z  x    =  z  x  (1/z)  =  1  
9  x    =  9  x  (1/9)  =  1  
Propriedade  mista  (distributiva)  Distributiva:  
Para  todos  a,b,c  em  Z:  
a  x  (  b  +  c  )  =  (  a  x  b  )  +  (  a  x  c  )  
3  x  (  4  +  5  )  =  (  3  x  4  )  +  (  3  x  5  )  
Potenciação  de  números  inteiros:  
A   potência     do   número   inteiro   a,   é   definida   como   um  
produto  de  n   fatores   iguais.  O  número  a  é  denominado  a  
base  e  o  número  n  é  o  expoente.    
  =  a  ×  a  ×  a  ×  a  ×  ...  ×  a  
(a  é  multiplicado  por  a  n  vezes)  
Exemplos:  
  =  2  x  2  x  2  x  2  x  2  =  32  
  =  (-­2)  x  (-­2)  x  (-­2)  =  -­8  
  =  (-­5)  x  (-­5)  =  25  
  =  (+5)  x  (+5)  =  25  
Com  os  exemplos  acima,  podemos  observar  que  a  potência  
de  todo  número  inteiro  elevado  a  um  expoente  par  é  um  
número  positivo  e  a  potência  de  todo  número  inteiro  
elevado  a  um  expoente  ímpar  é  um  número  que  
conserva  o  seu  sinal.  
Propriedade  da  potenciação:  
Sejam  a  e  b  ϵ  Z,  e  n  e  m  ϵ  IN,  temos  que:  
1) nmnm aaa +=.
2) nmnm aaa −=:
3) ( ) nnn baba .. =
4) ( ) nmnm aa .=
5)   0,10 ≠∀= aa
6)  
7)  
Radiciação  de  números  inteiros:  
Sejam  a  e  b  ∈  Z  e  n    ∈  N,  temos:  
abba nn =⇔=
Obs.:  
Se  a  <  0  e  n  é  par  não  existe  raiz.  
MÚLTIPLOS   E   DIVISORES:   MÍNIMO   MÚLTIPLO  
COMUM  E  MÁXIMO  DIVISOR  COMUM  
Divisores  
Dizemos   que   um   número   natural   n   divide   um   número  
natural   m,   quando   m   :   n   não   deixa   resto,   ou   seja,   a  
divisão   é   exata.   Representamos   simbolicamente:   n|m.  
Nestas   condições,   n   é   um   divisor   de   m   e   m   é   um  
múltiplo  de  n.  
Exemplos:  
2  divide  16  ou  seja,  2|16    porque  16:2  =  8  e  resto=  zero.  
Portanto,  2  é  divisor  de  16  e  16  é  múltiplo  de  2.  
(p  ≠   1)  é  primo   quando  ele   só  possui   dois   divisores:   ele  
próprio   e   a   unidade.   Caso   contrário,   o   número   é  
composto.    
Sendo   ℘   o   conjunto   dos   números   primos,   poderemos  
escrever:  
℘ =  {2,  3,  5,  7,  11,  13,  17,  19,  23,  29,  31,  37,...,359,...}
OBS:  O  conjunto  dos  números  primos  é  infinito.  
Reconhecimento  de  um  número  primo:  
PROCESSO  PRÁTICO  
Divide-­se   o   número   dado   pela   sucessão   dos   números  
primos,  a  saber:  2,  3,  5,  7,  11,  13,  17,  19,  23,   ...  Caso  o  
quociente   resultado   dessa   divisão   seja  menor   ou   igual   ao  
divisor  antes  de  se  obter  o  resto  nulo,  diz-­se  que  o  número  
é  primo.  
Exemplo:  
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 5
Verificar  se  o  número  113  é  primo  ou  não.  
Aplicando-­se  a  regra  prática,  tem-­se:  
ATENÇÃO:  Como  o  quociente   (10)   tornou-­se  menor  que  
o divisor  (11)  antes  de  obtido  o  resto  (3)  nulo,  conclui-­se
que:
113  É  PRIMO!  
Obs.:  
Dois  ou  mais  números  inteiros  são  denominados  primos  
entre  si  quando  apresentam  m.d.c.  igual  a  1  e  como  
consequência  o  m.m.c.  é  igual  ao  produto  entre  eles.  
Exemplo:  
4  e  9  são  números  primos  entre  si  porque  m.d.c.(4,9)  =  1  ,  
logo  m.m.c.(4,9)  =  36            
Números  compostos:  
É  número  composto  todo  número  que  admite  mais  do  que  
dois  divisores.  
Critérios  de  divisibilidade  
DIVISIBILIDADE  POR  2:  
Um  número  é  divisível  por  2  quando  é  par.  Números  pares  
são  os  que  terminam  em  0,  ou  2,  ou  4,  ou  6  ,  ou  8.    
Ex.  :  42  ,  100  ,  1.445.086  ,  8  ,  354  ,  570  
DIVISIBILIDADE  POR  3:    
Um   número   é   divisível   por   3   quando   a   soma   dos   seus  
algarismos  é  divisível  por  3.    
Ex.:  
• 123  (S=  1  +  2  +  3  =  6)
• 36  (S=9)
• 1.478.391  (  S=33)
• 570  (S=12)
DIVISIBILIDADE  POR  4:  
Um   número   é   divisível   por   4   quando   os   dois   últimos  
algarismos  são  00  ou  formam  um  número  divisível  por  4.    
Ex  :  956  ,  844  ,  1.336  ,  120  ,  8.357.916  ,  752  ,    200  
DIVISIBILIDADE  POR  5:  
Um  número  é  divisível  por  5  quando  termina  em  0  ou  5.  
Ex  :  475  ,  800  ,  1.267.335  ,  10  ,  65    
DIVISIBILIDADE  POR  6:  
Um  número  é  divisível  por  6  quando  é  divisível  por  2  e  3  ao  
mesmo  tempo.    
Ex  :  36  ,  24  ,  126  ,  1476  
DIVISIBILIDADE  POR  7:  
Tomar   o   último   algarismo   e   calcular   seu   dobro.   Subtrair  
esse   resultado   do   número   formado   pelos   algarismos  
restantes.   Se   o   resultado   for   divisível   por   7   então,   o  
número  original  também  será  divisível  por  7.  
Ex.  1:  238:  
  8  x  2  =  16    
  23  –  16  =  7:  como  7  é  divisível  por  7  ,  
  238  também  é  divisível.    
  693  :    
  3  x  2  =  6  
  69  –  6  =  63:  como  63  é  divisível  por  7  ,  
  693  também  é  divisível.    
                63  :    
    3  x  2  =  6  
  6  –  6  =  0:  como  0  é  divisível  por  7,  
  693  também  é  divisível  
Ex.  2:    235:  
  5  x  2  =  10    
  23  –  10  =  13:  como  13  não  é  divisível  
  por  7,  235  também  não  é  divisível.    
DIVISIBILIDADE  POR  8:  
Um   número   é   divisível   por   8   quando   os   três   últimos  
algarismos  são  000  ou  formam  um  número  divisível  por  8.    
Ex.  :  876.000  ,  152  ,    245.328.168  
DIVISIBILIDADE  POR  9:  
Um   número   é   divisível   por   9   quando   a   soma   dos   seus  
algarismos  é  divisível  por  9.    
Ex.  :  36  ,  162  ,  5463  ,  5.461.047  
DIVISIBILIDADE  POR  10:  
Um  número  é  divisível  por  10  quando  termina  em  0.  
Ex  :  100  ,  120  ,  1.252.780  ,  1.389.731.630  
Cálculo  do  Máximo  Divisor  Comum  (m.d.c.):  
Um  modo  de  calcular  o  m.d.c.  de  dois  ou  mais  números  é  
utilizar   a   decomposição   desses   números   em   fatores  
primos.ou  seja:  
113 7 
 43 16 
 1 
113 5 
 13 22 
 3 
113 3 
 23 37 
 2 
113 11 
 03 10 
 3 
113 2 
 13 56 
 1 
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 5
Verificar se o número 113 é primo ou  não.
Aplicando-­se  a  regra  prática, tem-­se:
ATENÇÃO: Como  o  quociente (10)   tornou-­se menor que  
o divisor  (11) antes de obtido  o  resto  (3) nulo, conclui-­se
que:
113 É PRIMO!
Obs.:  
Dois ou  mais números inteiros são  denominados primos
entre si quando apresentam m.d.c. igual a 1 e como
consequência o m.m.c. é igual ao produto entre eles.
Exemplo:
4 e 9 são números primos entre si porque m.d.c.(4,9) = 1 ,
logo  m.m.c.(4,9)  = 36
Números compostos:
É  número  composto  todo  número  que  admite mais do que
dois divisores.
Critérios de divisibilidade
DIVISIBILIDADE POR 2:
Um número  é  divisível por 2  quando  é  par. Números pares
são os que terminam em 0, ou 2, ou 4, ou 6 , ou 8.
Ex.  : 42  , 100  , 1.445.086  , 8  , 354  , 570  
DIVISIBILIDADE POR 3:
Um número   é   divisível por 3   quando   a soma dos seus
algarismos é divisível por 3.
Ex.:
• 123 (S= 1 + 2 + 3 = 6)
• 36  (S=9)
• 1.478.391  ( S=33)
• 570  (S=12)
DIVISIBILIDADE POR 4:
Um número   é   divisível por 4   quando   os dois últimos
algarismos são  00  ou  formam um número  divisível por 4.
Ex :  956 ,  844 ,  1.336 ,  120 , 8.357.916 ,  752 , 200
DIVISIBILIDADE POR 5:
Um número  é  divisível por 5  quando  termina em 0  ou  5.
Ex : 475  , 800  , 1.267.335  , 10  , 65  
DIVISIBILIDADE POR 6:
Um número  é  divisível por 6  quando  é  divisível por 2  e  3  ao  
mesmo  tempo.
Ex : 36  , 24  , 126  , 1476
DIVISIBILIDADE POR 7:
Tomar o   último   algarismo   e calcular seu   dobro. Subtrair
esse resultado do número   formado pelos algarismos
restantes. Se   o   resultado   for divisível por 7   então, o  
número  original também será  divisível por 7.
Ex.  1: 238:
8 x 2 = 16
23  – 16 = 7:  como 7 é divisível por 7 ,
238  também é  divisível.
693 :
3 x 2 = 6
69  – 6  = 63: como  63  é  divisível por 7  ,
693  também é  divisível.
63 :
3 x 2 = 6
6  – 6 = 0:  como 0 é divisível por 7,
693  também é  divisível
Ex.  2: 235:
5 x 2 = 10
23  – 10  = 13: como  13  não  é  divisível
por 7, 235  também não  é  divisível.  
DIVISIBILIDADE POR 8:  
Um número   é   divisível por 8   quando   os três últimos
algarismos são  000  ou  formam um número  divisível por 8.
Ex. : 876.000  , 152  , 245.328.168  
DIVISIBILIDADE POR 9:
Um número   é   divisível por 9   quando   a soma dos seus
algarismos é divisível por 9.
Ex. : 36  , 162  , 5463  , 5.461.047  
DIVISIBILIDADE POR 10:
Um número  é  divisível por 10  quando  termina em 0.
Ex : 100  , 120  , 1.252.780  , 1.389.731.630
Cálculo do Máximo Divisor Comum (m.d.c.):
Um modo  de  calcular o  m.d.c. de dois  ou  mais  números  é
utilizar a   decomposição   desses números em fatores
primos.ou  seja:
113 7
43 16
1
113 5
13 22
3
113 3
23 37
2
113 11
03 10
3
113 2
13 56
1
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 6
1) decompomos   os   números   em   fatores   primos;;
2) o   m.d.c.   é   o   produto   dos   fatores   primos   comuns   de  
menor  expoente.
Acompanhe   o   cálculo   do   m.d.c.   entre   36   e   90:  
22 3.236 =              
5.3.290 2=  
O  m.d.c.  é  o  produto  dos  fatores  primos  comuns  de  menor  
expoente,  assim  m.d.c.(36,90)  =   183.2 2 = .
Portanto,  m.d.c.(36,90)  =  18.  
Calculo  do  Mínimo  múltiplo  comum  (m.m.c.):  
Dois   ou   mais   números   sempre   têm   múltiplos   comuns   a  
eles.  
Vamos  achar  os  múltiplos  comuns  de  4  e  6:  
Múltiplos  de  6:  6,  12,  18,  24,  30,  36,  42,  48,  54,  60,  66,  
72,...  
Múltiplos  de  4:    4,  8,  12,  16,  20,  24,  28,  32,  36,  40,    44,  
48,52,  56,  60,...  
Múltiplos  comuns  de  4  e  6:      12,  24,  36,  48,  60,  ...  
Dentre  estes  múltiplos  12  é  o  menor  deles.  
Chamamos  o  12  de  mínimo  múltiplo  comum  de  4  e  6.  
Portanto,  m.m.c  (  4,  6  )  =  12  
Processo   prático   para   determinação   do   m.m.c.  
(decomposição  simultânea)    
Logo  o  m.m.c.(15,  24,60  )  =    2.  2.  2.  3.  5  =  120  
CONJUNTO  DOS  NÚMEROS  RACIONAIS:  
Como   podemos   observar,   números   racionais   podem   ser  
obtidos   através   da   razão   (em   Latim:   ratio   =   razão   =  
divisão   =   quociente)   entre   dois   números   inteiros,   razão  
pela   qual,   o   conjunto   de   todos   os   números   racionais   é  
denotado   por   Q.   Assim,   é   comum   encontrarmos   na  
literatura  a  notação:  
Q  =  {m/n  ;;  m  e  n  em  Z,  n  diferente  de  zero}  
Classificação  das  frações:  
01) Frações  próprias:    Quando  o  numerador  é  menor  do
que  o  denominador.
Ex.:  
5
9
02) Frações   impróprias:  Quando  o   numerador   é  maior
do  que  o  denominador.
Ex.:  
9
5
03) Frações   aparentes:     Quando   o   numerador   for
múltiplo  do  denominador.
Ex.:  
25
5
04) Frações  Mistas:
Ex.:  
1 1 2 1 31 1
2 2 2 2
+
= + = =
Método  prático  para  transformar  frações  mistas  em  
frações  impróprias:    
b A c bA
c c
⋅ +
=
Ex.:      
3 2 5 3 132
5 5 5
⋅ +
= =
Método  prático  para  transformar  frações  impróprias  
em  frações  mistas:      
Ex.:  
13
5
          ;;  
  Logo:  
13 32
5 5
=
Comparação  de  Frações:  
1) Frações   com   o   mesmo   denominador:   será   maior
quem  possuir  o  maior  numerador,
Ex.:  
5 3 1
8 8 8
> >  
2) Frações   com   o   mesmo   numerador:   será   maior
quem  possuir  menor  denominador,
Ex.:  
8 8 8 8 8 8 8 8
1 2 3 4 5 6 7 8
> > > > > > >
3) Frações   com   numerador   e   denominador
diferentes,
Ex.:  
5  13  
2      3  
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 7
2 3 5 4 2 5 3 10 5; ; (5;4;2) 20 ; ;
5 4 2 20 20 20
:
50 15 8
20 20 20
mmc
Logo
⋅ ⋅ ⋅
= ⇒
> >
Operações  com  frações:  
Adição  e  Subtração:  
O   objetivo   é   obter   o   mesmo   denominador   para   poder  
operar.    
Ex.:  
5
7
5
438
5
4
5
3
5
8
=
−+
=−+
Quando   os   denominadores   são   diferentes   reduzimos   as  
frações  ao  menor  denominador  comum.  
Ex.:  
12
19
12
3616
12
3
12
6
12
16
43
13
26
16
34
44
12)4,2,3(..
4
1
2
1
3
4
=
−+
=−+=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=−+ cmm
Multiplicação  e  Divisão:  
Multiplicação,   efetua-­se   o   produto   do   numerador   com   o  
numerador  e  do  denominador  com  o  denominador:      
db
ca
d
c
b
a
⋅
⋅
=⋅
Ex.:  
5
4
75
60
253
125
25
12
3
5
==
⋅
⋅
=⋅
Divisão,  na  divisão   inverte-­se  o  denominador  e  multiplica-­
se  pelo  numerador,  
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
⋅==÷
Ex.:   5
20
100
4
25
5
4
25
4
5
4
25
4
5
4
==⋅==÷  
Potenciação  e  radiciação:  
Ex.:  a)  
27
8
3
2
3
2
3
33
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
b)  
7
5
49
25
49
25
==
c)  
5
4
10
8
100
6464,0 ===
RELAÇÕES   IMPORTANTES   DE   EXPONENCIAÇÃO   E  
RADICIAÇÃO  
1) 10 =a     0≠∀a
2)  
n
n
a
a ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=−
1
3)   n
m
n m aa =
Exemplos:  
a)   1
3
7 0
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
b) Quanto  é   ( ) 42,0 − ?
Solução:  
( ) 6255
2
10
10
22,0 4
44
4 ==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
−
−  
c) Quanto  é     5,14 ?
Solução:
8644444 22 32
3
10
15
5,1 ===== .
Frações  e  Números  Decimais  
Dentre   todas   as   frações,   existe   um   tipo   especial   cujo  
denominador   é   uma   potência   de   10.   Este   tipo   é  
denominado  fração  decimal.  
Exemplos  de  frações  decimais,são:  
1/10,  3/100,  23/100,  2/1000  
Toda  fração  decimal  pode  ser  representada  por  um  número  
decimal,   isto   é,   um   número   que   tem   uma   parte   inteira   e  
uma  parte  decimal,  separados  por  uma  vírgula.  
A  fração  127/100  pode  ser  escrita  na  forma  mais  simples,  
como:  
127    
  
100  
=  1,27  
Onde  1  representa  a  parte   inteira  e  27  representa  a  parte  
decimal.   Esta   notação   subentende   que   a   fração   127/100  
pode  ser  decomposta  na  seguinte  forma:  
127    
  
100  
=  
100+27    
  
100  
=  
100    
100  
+  
27  
100  
=  1+0,27  =  1,27  
A   fração   8/10   pode   ser   escrita   na   forma   0,8,   onde   0   é   a  
parte   inteira  e  8  é  a  parte  decimal.  Aqui  observamos  que  
este   número   decimal   é   menor   do   que   1   porque   o  
numerador  é  menor  do  que  o  denominador  da  fração.  
Propriedades  dos  números  decimais  
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 7
2 3 5 4 2 5 3 10 5; ; (5;4;2) 20 ; ;
5 4 2 20 20 20
:
50 15 8
20 20 20
mmc
Logo
⋅ ⋅ ⋅
= ⇒
> >
Operações com frações:
Adição  e Subtração:
O objetivo   é   obter o   mesmo   denominador para   poder
operar.
Ex.:
5
7
5
438
5
4
5
3
5
8
=
−+
=−+
Quando   os denominadores são   diferentes reduzimos as
frações ao  menor denominador comum.
Ex.:
12
19
12
3616
12
3
12
6
12
16
43
13
26
16
34
44
12)4,2,3(..
4
1
2
1
3
4
=
−+
=−+=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=−+ cmm
Multiplicação  e  Divisão:
Multiplicação, efetua-­se   o   produto   do   numerador com o  
numerador e  do  denominador com o  denominador:
db
ca
d
c
b
a
⋅
⋅
=⋅
Ex.:
5
4
75
60
253
125
25
12
3
5
==
⋅
⋅
=⋅
Divisão, na divisão inverte-­se  o  denominador e  multiplica-­
se  pelo  numerador,
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
⋅==÷
Ex.: 5
20
100
4
25
5
4
25
4
5
4
25
4
5
4
==⋅==÷
Potenciação e radiciação:
Ex.: a)  
27
8
3
2
3
2
3
33
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
b)  
7
5
49
25
49
25
==
c)  
5
4
10
8
100
6464,0 ===
RELAÇÕES   IMPORTANTES   DE   EXPONENCIAÇÃO E  
RADICIAÇÃO
1) 10 =a 0≠∀a
2)
n
n
a
a ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=−
1
3) n
m
n m aa =
Exemplos:
a)   1
3
7 0
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
b) Quanto  é   ( ) 42,0 − ?
Solução:
( ) 6255
2
10
10
22,0 4
44
4 ==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
−
−
c)  Quanto é 5,14 ?  
Solução:
8644444 22 32
3
10
15
5,1 ===== .
Frações e  Números Decimais
Dentre   todas as frações, existe   um tipo   especial cujo  
denominador é   uma   potência   de   10. Este   tipo   é  
denominado  fração  decimal.
Exemplos  de frações  decimais,são:
1/10, 3/100, 23/100, 2/1000
Toda  fração  decimal pode ser representada  por um número  
decimal, isto   é, um número   que   tem uma   parte   inteira   e  
uma  parte  decimal, separados por uma  vírgula.
A fração 127/100 pode ser escrita  na  forma  mais  simples,
como:
127  
100
= 1,27
Onde  1  representa  a  parte   inteira  e  27  representa  a  parte  
decimal. Esta   notação   subentende   que   a   fração   127/100  
pode  ser decomposta  na  seguinte  forma:
127  
100
=
100+27  
100
=
100  
100
+
27  
100
= 1+0,27  = 1,27
A fração 8/10 pode ser escrita   na   forma   0,8, onde   0   é   a  
parte   inteira  e  8  é  a  parte  decimal. Aqui observamos que  
este número   decimal é menor do que 1   porque o
numerador é  menor do  que  o  denominador da  fração.
Propriedades dos números decimais
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 8
Zeros  após  o  último  algarismo  significativo:  
Um  número  decimal  não  se  altera  quando  se  acrescenta  ou  
se   retira   um   ou  mais   zeros   à   direita   do   último   algarismo  
não  nulo  de  sua  parte  decimal.    
Por  exemplo:  
(a) 0,5  =  0,50  =  0,500  =  0,5000
(b) 1,0002  =  1,00020  =  1,000200
(c) 3,1415926535  =  3,1415926535000000
Multiplicação  por  uma  potência  de  10:  
Para  multiplicar   um  número  decimal   por   10,   por   100,   por  
1000,  basta  deslocar  a  vírgula  para  a  direita  uma,  duas,  ou  
três  casas  decimais.    
Por  exemplo:  
(a) 7,4  x  10      =  74
(b) 7,4  x  100    =  740
(c) 7,4  x  1000  =  7400
Divisão  por  uma  potência  de  10:  
Para   dividir   um   número   decimal   por   10,   100,   1000,etc,  
basta  deslocar  a  vírgula  para  a  esquerda  uma,  duas,  três,...  
casas  decimais.    
Por  exemplo:  
(a) 247,5  ÷  10      =  24,75
(b) 247,5  ÷  100    =    2,475
(c) 247,5  ÷  1000  =    0,2475
Dízima  periódica  
Uma   dízima   periódica   é   um   número   real   da   forma:  
pmpppm ,..., =  
Onde  m  e  p  são  números   inteiros,  sendo  que  o  número  p  
se  repete  indefinidamente,  razão  pela  qual  usamos  os  três  
pontos:   ...   ,   após   o   mesmo.   A   parte   que   se   repete   é  
denominada  período.  Em  alguns   livros  é  comum  o  uso  de  
uma   barra   sobre   o   período   ou   uma   barra   debaixo   do  
período  ou  o  período  dentro  de  parênteses.  
Exemplos:  
1) 7,1...777,1 =
2) 25,15...252525,15 =
3) 89,0...98888,0 =
Uma   dízima   periódica   é   uma   soma   infinita   de   números  
decimais.  Alguns  exemplos:  
1) 0,2222...=  0,2  +  0,02  +  0,002  +  0,0002  +...
2) 0,9333...=  0,9  +  0,03  +  0,003  +  0,0003  +  ...
3) 3,4788...=  3,47  +  0,008  +  0,0008  +  ...
A  geratriz  de  uma  dízima  periódica  
Dada   uma   dízima   periódica,   qual   será   a   fração   que   dá  
origem   a   esta   dízima?   Esta   fração   é   de   fato   um   número  
racional   denominado   a   geratriz   da   dízima   periódica.   Para  
obter   a   geratriz   de   uma   dízima   periódica   devemos  
trabalhar   com   o   número   dado   pensado   como   uma   soma  
infinita  de  números  decimais.  Para  mostrar  como  funciona  
o método,  utilizaremos  o  exemplo:
Seja   S   a   dízima   periódica   ...333,0 ,   isto   é,  
−
= 3,0S
Observe   que   o   período   tem   apenas   1   algarismo.   Iremos  
escrever   este   número   como   uma   soma   de   infinitos  
números  decimais  da  forma:  
...0003,0003,003,03,0 ++++=S
Multiplicando   esta   soma   "infinita"   por   101=10   (o   período  
tem  1  algarismo),  obteremos:  
...0003,0003,003,03,0310 +++++=⋅ S Observe
que  são  iguais  as  duas  últimas  expressões:  
3
1
9
3
39310310
=→∴=
=→=−→+=
SS
SSSSS
CONJUNTO  DOS  NÚMEROS  IRRACIONAIS:  
É   o   conjunto   dos   números   que   não   podem   ser  
representados  na   forma  de  uma   fração   com  numerador  e  
denominador   inteiros     (decimais   não   exatos   e   não  
periódicos).    
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≠∈∈≠= 0,,, qZqZp
q
pxI
Exemplos:  
...732050,13...41423,12
...71828,2...141592,3
==
== eπ
CONJUNTO  DOS  NÚMEROS  REAIS:  
Como   a   nossa   realidade   está   associada   aos   números  
racionais   e   irracionais,   foi   criado   o   conjunto   dos   números  
reais.  É  representado  pela  letra  R  e  podemos  afirmar  que  
R  =  {x  |  x  é  um  número  racional  ou  irracional}.  
Ou  
R  =  Q  ∪  I  
EXERCÍCIOS  PARA  SALA  
1) Três   trabalhadores   foram  admitidos  em  uma  repartição
pública,   em   cargos   diferentes,   no   ano   de   1992,   e   terão
direito  à   licença-­prêmio,  respectivamente,  a  cada  24,  32  e
36  meses  trabalhados.  Assinale,  abaixo,  o  ano  em  que  os  3
trabalhadores   poderão   gozar   da   licença-­prêmio,
simultaneamente.
a) 2084
b) 2024
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 9
c) 2016
d) 1994
e) 2014
2) (FEPESE   2010   -­   IMETRO)   Em   uma   corrida   por
Revezamento,   cada   atleta   de   uma   equipe   e   obrigado   a
correr  exatamente  tres  trechos  diferentes.  Assinale  a  unica
alternativa   que   representa   um   numero   possivel   para   a
quantidade  de  trechos  para  corrida
a  )  47
b  )  52
c  )  61
d  )  72
e  )  83
3) (FEPESE)  Um   auxiliar   de   enfermagem  pretende   usar   a
menor  quantidade  possível  de  gavetas  para  acomodar  120
frascos  de  um  tipo  de  medicamento,  150  frascos  de  outro
tipo   e   225   frascos   de   um   terceiro   tipo.   Se   ele   colocar   a
mesma   quantidade   de   frascos   em   todas   as   gavetas,   e
medicamentos   de   um   único   tipo   em   cada   uma   delas,
quantas  gavetas  deverá  usar?
A) 33
B) 48
C) 75
D) 99
E) 165
4) (FEPESE)  Uma  construtora  esta  executando  uma  obra  e
preve  a  sua   realização  em  quatro  etapas.  A   tabela  abaixo
relaciona  a  fracao  do  serviço  total  que  foi  executado,  após
a  conclusão  de  cada  uma  das  três  primeiras  etapas:
ETAPAS    Fração  do  servico  total  executado  
Etapa  1                        2/5  
Etapa  2    1/3  
Etapa  3    1/5  
Assinale   a   alternativa   que   indica   a   fração   do   serviço   total  
de   execução   da   obra   que   deve   ser   realizada   na   etapa   4  
para  que  a  obra  seja  concluída.  
a) 14/15
b) 4/13
c) 9/13
d) 1/15
e) 2/75
5) Resolva  as  expressões:
a) ...444,05−
b) 0,3  .  0,333...
c)  
...666,03
12
+
+
d)  
0,0666...
2,121212...
6) (FEPESE)  Assinale  a  sentença  correta:
a)   5916 =+
b) 01010 83 <+ −−
c)   2
4
5
8
2
2
4
<+
d)  
3
2
3
1
5
4
−>
7) (FEPESE)   O   numero   18900   apresenta   n   divisores
naturais,  onde  n  e  igual  a:
a) 12
b) 36
c) 72
d) 18
e) 24
SISTEMAS  DE  MEDIDAS  
Sistema  Métrico  Decimal  
Conjunto  de  unidades  derivadas  do  metro(m)  
Ex:  km,  cm,  mm.  
Transformando  unidades  de  comprimento  
1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
km hm dam m dm cm mm
m m m m m m m
Cada   unidade   de   comprimento   é   10   vezes   maior   que   a  
unidade  imediatamente  inferior.  
Exemplos:  
a) 8,351  m  =  83,51  dm,  pois    8,351  x  10  =  83,51
b) 11,2  cm  =  112    mm,  pois  11,2    x  10  =  112
c) 457  mm  =  45,7  cm,  pois  457  :  10  =  45,7
Unidades  de  área  
Determinar   a   área   de   uma   superfície   plana   significa   dizer  
quantas  vezes  ela  contém  o  metro  quadrado.  
Para  a  medida  de   superfície,  a  unidade   legal  adotada  é  o  
metro  quadrado  (   2m ).  
2 2 2 2 2 2 2
6 4 2 2 2 4 610 10 10 1 10 10 10
km hm dam m dm cm mm
m m m m m m m− − −
Cada   unidade   de   área   é   100   vezes  maior   que   a   unidade  
imediatamente  inferior.  
Exemplos:  
a) 2,31   2km  =  231   2hm ,  pois  2,31  x  100  =  231
b)  34   2hm  =  0,34   2km ,  pois  34  :  100  =  0,34
c) 6,53   2km  =  65300   2dam ,  pois  6,53  x  10000  =  65300
Obs.:
Medida   de   terras   faz-­se   segundo   a   unidade   are   (a)   que  
corresponde  ao  quadrado  de  10  metros  de  lado,  isto  é,  100  
metros  quadrados.  
Unidades  de  Volume  
A   unidade   para   medidas   de   volume   é   o   metro   cúbico  
( 3m ).
mmmmmmm
mmcmdmmdamhmkm
9633369
3333333
1010101101010 −−−
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 9
c)  2016
d)  1994
e) 2014
2) (FEPESE   2010 -­ IMETRO) Em uma   corrida   por
Revezamento, cada   atleta   de   uma   equipe   e   obrigado   a  
correr exatamente tres  trechos  diferentes. Assinale a  unica  
alternativa   que representa   um numero   possivel para   a  
quantidade de trechos para corrida
a )  47
b )  52
c )  61
d )  72
e )  83
3) (FEPESE) Um auxiliar de   enfermagem pretende   usar a  
menor quantidade  possível de  gavetas para  acomodar 120  
frascos de  um tipo  de  medicamento, 150  frascos de  outro  
tipo   e 225   frascos de   um terceiro   tipo. Se   ele   colocar a  
mesma   quantidade   de   frascos em todas as gavetas, e  
medicamentos de   um único   tipo   em cada   uma   delas,
quantas gavetas deverá  usar?
A) 33
B) 48
C)  75
D) 99
E) 165
4) (FEPESE) Uma  construtora  esta  executando  uma  obra e  
preve  a  sua   realização  em quatro  etapas. A tabela  abaixo  
relaciona  a  fracao  do  serviço  total que  foi executado, após
a  conclusão  de cada  uma  das três primeiras etapas:
ETAPAS   Fração  do  servico  total executado
Etapa 1 2/5
Etapa 2 1/3
Etapa 3 1/5
Assinale a   alternativa   que indica   a   fração do serviço total
de   execução   da   obra   que   deve   ser realizada   na   etapa   4  
para  que  a  obra  seja  concluída.
a) 14/15
b) 4/13
c) 9/13
d) 1/15
e) 2/75
5)  Resolva  as expressões:a)   ...444,05−
b)  0,3 . 0,333...
c)  
...666,03
12
+
+
d)  
0,0666...
2,121212...
6) (FEPESE) Assinale a  sentença  correta:
a)   5916 =+
b)   01010 83 <+ −−
c)   2
4
5
8
2
2
4
<+
d)  
3
2
3
1
5
4
−>
7) (FEPESE) O numero   18900   apresenta   n   divisores
naturais, onde n e igual a:
a) 12  
b)  36
c)  72
d)  18
e)  24
SISTEMAS  DE MEDIDAS
Sistema  Métrico Decimal
Conjunto de unidades  derivadas  do metro(m)
Ex:  km, cm, mm.
Transformando unidades de  comprimento
1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
km hm dam m dm cm mm
m m m m m m m
Cada   unidade de comprimento é 10 vezes   maior que a  
unidade  imediatamente  inferior.
Exemplos:
a) 8,351  m = 83,51  dm, pois 8,351  x  10  = 83,51
b)  11,2 cm = 112 mm, pois 11,2   x 10  = 112
c) 457  mm = 45,7  cm, pois 457  : 10  = 45,7
Unidades de  área
Determinar a área de uma superfície plana significa dizer
quantas vezes ela  contém o  metro  quadrado.
Para  a  medida  de superfície, a  unidade legal adotada  é o
metro  quadrado  (   2m ).
2 2 2 2 2 2 2
6 4 2 2 2 4 610 10 10 1 10 10 10
km hm dam m dm cm mm
m m m m m m m− − −
Cada   unidade de área   é 100 vezes  maior que a   unidade
imediatamente inferior.
Exemplos:
a) 2,31   2km = 231 2hm , pois 2,31  x 100  = 231
b)  34 2hm = 0,34 2km , pois 34  : 100  = 0,34
c) 6,53   2km = 65300 2dam , pois 6,53  x 10000  = 65300
Obs.:
Medida   de terras faz-­se segundo a unidade are (a)   que
corresponde  ao  quadrado  de  10  metros de  lado, isto  é, 100  
metros quadrados.
Unidades de  Volume
A unidade para   medidas   de volume é o metro cúbico
( 3m ).
mmmmmmm
mmcmdmmdamhmkm
9633369
3333333
1010101101010 −−−
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 10
Cada   unidade   de   volume   é   1000   vezes   maior   que   a  
unidade  imediatamente  inferior.  
Exemplos:  
a) 5,31   3mm   =   0,00531   3cm ,   pois   5,31   :   1000   =
0,00531
b) 35,6   3dam  =  35600   3m 35,6  x  1000  =  35600
c) 0,43781   3km  =  437,81   3hm ,  pois  0,43781  x  1000  =
437,81
Unidades  de  Capacidade  
A  unidade   fundamental   para  medir   a   capacidade   é   o   litro  
(ℓ).  
!!!!!!!
!!!!!!!
001,001,01,01101001000
mcddahk
Muito  importante:  1dm3  =  1ℓ  
Exemplos:  
Transformar  21350  dℓ  em  dam 3
21350  dℓ  =  2135  ℓ  =  2135  dm 3  =  0,002135  dam 3
Unidades  de  massa  
A  unidade  fundamental  para  medir  a  massa  dos  corpos  é  o  
quilograma  (kg).  
ggggggg
mgcgdggdaghgkg
001,001,01,01101001000
Exemplos:  
a) 4,592  kg  =  45,92  hg  =  459,2  dag  =  4952  g.
b) 6024  g  =  602,4  dag  =  60,24  hg  =  6,024  kg.
Obs.:  
1) Para  grandes  quantidades  de  massa  costuma-­se  usar  a
tonelada  (t)  que  corresponde  a  1000  kg.
2) Na  medição   de   pedras   preciosas   usa-­se   o   quilate,   que
corresponde  a  uma  massa  de  2  decigramas
Medidas  de  Tempo  
A  unidade   legal  para  medida  de   tempo  é  o  segundo.  Os  
seus  múltiplos  são  apresentados  abaixo:  
1  minuto  =  60  segundos  
1  hora  =  60  minutos  =  3600  segundos  
1  dia  =  24  horas  =  1.440  minutos  =  86.400  segundos  
1   mês   =   30   dias   =   720   horas   =   43.200   minutos   =  
2.592.000  
1   ano  =   12  meses  =   360   dias  =   8.640   horas  =   518.400  
minutos  =  31.104.000  segundos  
1   século   =   100   anos   =   1200   meses   =   36.000   dias   =  
864.000   horas   =   5.184.000   minutos   =   3.110.400.000  
segundos  
EXERCÍCIOS  PARA  SALA  
1) (FEPESE)   13,73   dam   foram   convertidos   para   várias
unidades   diferentes.   Das   conversões   abaixo,   assinale   a
única  que  está  ERRADA
a) 13730  cm
b) 137,3  m
c)1,373  hm
d) 0,01373  km
2) (   FEPESE   2013   –   EPAGRI)   Para   uma   festa   de
aniversário,   Maria   comprou   6   garrafas   de   3,3   litros   de
refrigerante.   Sendo   que   o   refrigerante   será   servido   em
copos   com   capacidade   de   200   mililitros,   quantos   copos
Maria   poderá   encher   completamente   com   o   refrigerante
comprado?
a) 89
b) 96
c) 98
d) 99
e) 100
3) (FEPESE)  Um  avião  decola  em  Florianópolis,  com  destino
a  Salvador,  às  8h,  num    vôo  que  tem  a  duração  total  de  4
horas.   Supondo   que   o   avião   precise   reabastecer   após  
5
3
do   tempo   total   de   duração   do   vôo,   assinale   a   alternativa  
que   indica   o   horário   em   que   o   avião   deverá   pousar   para  
reabastecimento.  
a) 10  h  40  min.
b) 11  h.
c) 10  h  24  min.
d) 10  h  44  min.
e) 09  h  44  min.
EXERCÍCIOS   DE   APROFUNDAMENTO:   Conjuntos  
numéricos  e  sistemas  de  medidas.  
1) A  fração  geratriz  da  dízima  periódica  24,444...  é:
a)
9
22 b)
22
9 c)
9
220        d)
9
110        e)
90
220
2) A  dízima  periódica  0,4999...  é  igual  a:
a)
9
4 b)
2
1          c)
90
49          d)
99
49 e)
90
4
3) O  valor  da  expressão:
( )
11
3 46
2
47 3
64 81
128 125
⋅
⋅
,  é:  
a)  
25
6
b)  
15
6
c)  
25
3
d)  
50
3
e)  
50
1
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 11
4) Considere  a  expressão:  
15
1
5
3
3
1
5
1
...999,0
−
+
+ .  
Efetuando   as   operações   indicadas   e   simplificando,  
obtemos:  
a) 1 b)
10
9 c) 2 d)  
9
15 e)
15
9
5) Efetuando-­se
30
23
30
1
5
2
3
1
++
  tem-­se:  
a)  
900
529
  b)  
23
21
c)  
30
23
d) 1   e)
23
7
6) O  valor  da  expressão   3
2
4 825,0)5,0(4
−
++⋅  é:  
a) 8
1                  b)     4
1 c) 2
1 d) 1 e) 2
7) Calculando  a  expressão
2 2 4 23 2 1 1
4 5 6 3
⎛ ⎞+ ⋅ ÷⎜ ⎟
⎝ ⎠
Encontraremos:  
a)
12
2
b)
13
2
c)
14
2
d)
15
2
e)
16
2
8) O  valor  de   38 14 6 4+ + + é:
a) 2 3            b)    3 2  c)   6            d)  2 5            e)  5 2
9) A  expressão    3 75 -­  2   48  -­   27  +  3 12    é  igual  
a) 10 3 b) 15      c)    4   3 d)  6   3      e)    12 3
10) O valor   da   expressão  
21 4 0,33... 30,6 1
3 5 2 1,98
×
× + + +
−
é:  
a) 51 b) 52 c) 53 d) 54          e)  55
11) (FEPESE   –   EPAGRI)   Um   bolo   foi   dividido   entre   três
crianças.   A   primeira   criança   recebeu   1/4   do   bolo   e   a
segunda   criança   recebeu   1/   5   do   bolo.   Assinale   a
alternativa   que   indica   a   fração   do   bolo   que   ficou   com   a
terceira  criança.
a) 1/8
b) 2/9
c) 8/20
d) 9/20
e) 11/20
12) (FEPESE)   Um   operário   levou   três   dias   para   fazer   um
serviço   de   manutenção.   No   primeiro   dia,   concluiu  
4
1
   do
trabalho   total   e   no   segundo   dia,   concluiu  
5
3
   do   trabalho
total.  Assinale  a  alternativa  que  indica  a  fração  do  trabalho  
total  que  foi  realizado  no  terceiro  dia.  
a)  
3
30
  b)  
17
20
  c)  
4
9
  d)
8
20
  e)  
3
20
13) (FEPESE   –   EPAGRI)   Em   um   teste   de   uma   revista,
atribui-­se  +10  pontos  para  cada  acerto  e  –15  pontos  para
cada   erro.   Calcule   o   total   de   pontos   obtidos   por   um
indivíduo  que  acertou  13  questões  e  errou  7  questões.
a) 25  pontos
b) 60  pontos
c) 105  pontos
d) 130  pontos
e) 235  pontos
14) Marcelo   precisava   realizar   uma   tarefa   em   3   dias,
trabalhando   6   horas   por   dia.   Entretanto,   no   primeiro   dia
ele   trabalhou  
6
5
   do   tempo   previsto   e,   no   segundo   dia,
12
11
.  Quantas  horas  a  mais  Marcelo  terá  que  trabalhar  no
terceiro   dia   para   que   a   tarefa   seja   concluída   dentro   do  
prazo?  
a) 1  hora  e  18  minutos.
b) 1  hora  e  30  minutos.
c) 3  horas  e  12  minutos.
d) 4  horas  e  18  minutos.
e) 7  horas  e  30  minutos.
15) O  relógio  de  um  analista  adianta  30  segundos  por    dia
e  o  de  outro  atrasa  10  segundos  por  dia.  Às  9  horas  do  dia
3   de   fevereiro   deste   ano   eles   acertaram   seus   relógios   e
combinaram  não  consertá-­los  nem  mexer  nos  ponteiros  até
o próximo   encontro.   Alguns   dias   depois   eles   se
encontraram   e   verificaram   que   os   horários   marcados  
diferiam  de  3  minutos  e  meio.  O  segundo  encontro  ocorre  
em   fevereiro,às  
A) 15  horas  do  dia  8.
B) 9  horas  do  dia  10.
C) 9  horas  do  dia  13.
D) 21  horas  do  dia  13.
E) 18  horas  do  dia  15.
16) Certo   dia,   um   auxiliar   judiciário   gastou   11.880
segundos   para   arquivar   uma   determinada   quantidade   de
processos.   Se   ele   iniciou   essa   tarefa   ás   12   horas   e   45
minutos   e   trabalhou   ininterruptamente   até   completa-­la,
então  ele  concluiu  ás:
a) 15  h  e  13  min
b) 15  h  e  24  min
c) 16  h  e  3  min
d) 16  h  e  26  min
e) 16  h  e  42  min
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 11
4) Considere  a  expressão:
15
1
5
3
3
1
5
1
...999,0
−
+
+ .
Efetuando   as operações indicadas e   simplificando,
obtemos:
a)  1 b)  
10
9 c)  2 d)  
9
15 e)
15
9
5) Efetuando-­se
30
23
30
1
5
2
3
1
++
tem-­se:
a)  
900
529
b)  
23
21
c)  
30
23
d)  1 e)
23
7
6) O valor da  expressão   3
2
4 825,0)5,0(4
−
++⋅ é:
a)   8
1 b)   4
1 c)   2
1 d)  1 e)  2
7) Calculando  a  expressão
2 2 4 23 2 1 1
4 5 6 3
⎛ ⎞+ ⋅ ÷⎜ ⎟
⎝ ⎠
Encontraremos:
a)  
12
2
b)  
13
2
c)  
14
2
d)  
15
2
e)  
16
2
8) O valor de   38 14 6 4+ + + é:
a)   2 3 b)   3 2 c)   6 d)  2 5 e)  5 2
9) A  expressão   3 75 -­ 2   48 -­ 27 + 3 12 é  igual
a)  10 3 b)   15 c)   4 3 d)   6 3 e)   12 3
10) O valor da   expressão  
21 4 0,33... 30,6 1
3 5 2 1,98
×
× + + +
−
é:
a)  51 b)  52 c)  53 d)  54 e)  55
11) (FEPESE   – EPAGRI) Um bolo   foi dividido   entre   três
crianças. A   primeira criança recebeu   1/4   do   bolo   e   a
segunda   criança   recebeu   1/ 5   do   bolo. Assinale   a  
alternativa   que indica   a   fração   do   bolo   que ficou   com a  
terceira  criança.
a)  1/8
b)  2/9
c)  8/20
d) 9/20  
e) 11/20
12) (FEPESE) Um operário   levou   três dias para   fazer um
serviço   de   manutenção. No   primeiro   dia, concluiu  
4
1
do  
trabalho   total e no   segundo   dia, concluiu  
5
3
do   trabalho  
total. Assinale a  alternativa  que indica  a  fração do trabalho
total que foi realizado  no  terceiro  dia.
a)  
3
30
b)  
17
20
c)  
4
9
d)
8
20
e)
3
20
13) (FEPESE   – EPAGRI) Em um teste de uma   revista,
atribui-­se  +10  pontos para  cada  acerto  e  –15  pontos para  
cada erro. Calcule   o   total de   pontos obtidos por um
indivíduo  que  acertou  13  questões e errou  7  questões.
a) 25  pontos
b) 60  pontos
c) 105  pontos
d) 130  pontos  
e) 235  pontos
14) Marcelo   precisava   realizar uma   tarefa   em 3   dias,
trabalhando   6   horas por dia. Entretanto, no   primeiro   dia  
ele   trabalhou  
6
5
do   tempo   previsto   e, no   segundo   dia,
12
11
. Quantas  horas  a  mais  Marcelo terá  que trabalhar no  
terceiro   dia   para   que a   tarefa   seja   concluída   dentro   do  
prazo?
a) 1  hora  e 18  minutos.
b)  1 hora e 30 minutos.
c) 3  horas e  12  minutos.
d)  4 horas e 18 minutos.
e) 7 horas e  30 minutos.
15) O relógio  de  um analista  adianta  30  segundos por dia
e o de  outro atrasa 10 segundos por dia. Às 9 horas do  dia
3   de   fevereiro   deste   ano   eles acertaram seus relógios e  
combinaram não  consertá-­los nem mexer nos ponteiros até  
o   próximo   encontro. Alguns dias depois eles se
encontraram e   verificaram que   os horários marcados
diferiam de  3  minutos e  meio. O segundo encontro ocorre
em fevereiro, às  
A)   15 horas do dia 8.
B) 9  horas do  dia  10.
C)   9 horas do dia 13.
D) 21 horas do dia 13.
E)   18  horas do  dia  15.
16) Certo   dia, um auxiliar judiciário   gastou   11.880  
segundos para arquivar uma determinada quantidade de
processos. Se   ele   iniciou   essa   tarefa   ás 12   horas e   45  
minutos e   trabalhou   ininterruptamente   até   completa-­la,  
então ele concluiu ás:
a)  15 h e 13 min  
b) 15 h e 24  min
c) 16 h e 3 min
d) 16  h e 26  min
e)  16 h e 42 min
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 12
17) (FEPESE  –  EPAGRI)  O  proprietário  de  um   restaurante
precisa   comprar   frango   e   peixe.   Seu   fornecedor   vende   o
frango  a  R$  1,50  por  quilograma  e  o  peixe  a  R$  3,00  por
quilograma.  Supondo  que  o  dono  do  restaurante  dispõe  de
R$   360,00   e   quer   comprar   somente   30   quilogramas   de
peixe,   assinale   a   alternativa   que   representa   quantos
quilogramas  de  frango  ele  poderá  comprar.
a) 180  kg
b) 200  kg
c) 220  kg
d) 240  kg
e) 270  kg
18) (FEPESE  2014  –  Pref.  de  Içara)  Uma  pessoa  recebe  R$
15,00  por  hora  trabalhada  e  tem  uma  dívida  de  R$  750,00
para  pagar.  Quantas  horas,   no  mínimo,   esta   pessoa  deve
trabalhar  para  conseguir  dinheiro  suficiente  para  quitar  sua
dívida?
a) 40
b) 45
c) 50
d) 55
e) 60
19) (FEPESE   –   EPAGRI)   No   antigo   Egito,   usava-­se   como
unidade  de  comprimento  o  côvado,  que  podia  ser  expresso
pela   medida   das   mãos   e   dos   dedos   e   media,
aproximadamente,   525   mm.   Uma   das   pirâmides   de   Gizé,
conhecida   como   a   Grande   Pirâmide,   media,
aproximadamente,   147   metros   de   altura.   Assinale   a
alternativa   que   indica   a   altura   aproximada   da   Grande
Pirâmide,  em  côvados.
a) 0,28  côvados
b) 28  côvados
c) 280  côvados
d) 288  côvados
e) 2800  côvados
20) (FEPESE  -­  CASAN)  A  tabela  abaixo  e  utilizada  por  uma
Companhia   de   Saneamento   X   para   calcular   o   valor   da
conta  em  função  do  consumo  de  água  (em  m3).  Observe  o
calculo  do  valor  da  conta  de  água  de  uma  residência,  cujo
consumo   foi   de   22   m3.   Como   se   pode   observar   pelo
exemplo,   o   consumo   e   distribuido   segundo   as   faixas   da
tabela  abaixo.
Companhia  de  Saneamento  X  (Tarifas  de  agua/m3)  
* tm  =  tarifa  minima
Supondo   que   dobre   o   consumo   de   agua   da   mesma  
residencia,  qual  seria  o  valor  da  conta?  
a) R$  136,40
b) R$  154,00
c) R$  184,40
d) R$  208,40
e) R$  242,00
21) (FEPESE   2014   –   Pref.   de   Brusque)   O  máximo   divisor
comum  entre  225  e  36  é:
a) 3.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 9.
22) (  FEPESE)  Em  uma  prova  de  triatlon,  um  atleta  nadou
por  32  minutos,  pedalou  por  1  hora  e  21  minutos  e  correu
por  2  horas  e  19  minutos.  Então,  é  CORRETO  afirmar  que
o atleta  completou  a  prova  em:
A) 3  horas  e  12  minutos.
B) 4  horas  e  12  minutos.
C) 372  minutos.
D) 13120  segundos.
E) 4  horas  e  21  minutos
23) (FEPESE)   Em   uma   empresa   de   seguranca,   ha   duas
turmas:  uma  com  42  vigias  e  a  outra  com  30.  Para  fazer  a
seguranca   de   um   evento,   todos   esses   vigias   serao
organizados   em   grupos   com   o   mesmo   numero   de
elementos,  sem  misturar    vigias  de  turmas  diferentes.  Qual
e   o   numero   maximo   de   vigias   que   pode   haver   em   cada
grupo?
a) 3
b) 5
c) 6
d) 7
e) 12
24) (FEPESE)  Uma  empresa  possui  dois  vigias  que  fazem  a
seguranca  de  seu  patrimonio.  O  primeiro  passa  pela  central
de   segurança   da   empresa   de   25   em   25   minutos   e   o
segundo,  de  30  em  30  minutos.  Se  ambos  passaram  juntos
as  8  horas  e  20  minutos,  qual  e  o  primeiro  horário  em  que
eles  voltarao  a  passar  pela  central?
a) 13  h  20  min
b) 10  h  50  min
c) 9  h  15  min
d) 8  h  50  min
e) 8  h  45  min
GABARITO  
01   C   13   A  
02   B   14   B  
03   D   15   B  
04   C   16   C  
05   D   17   A  
06   D   18   C  
07   C   19   C  
08   A   20   C  
09   A   21   E  
10   B   22   B  
11   E   23   C  
12   E   24   B  
AULA  2  
FUNDAMENTOS   DE   MATEMÁTICA:   EQUAÇÕES   E  
SISTEMAS  DE  EQUAÇÕES  DO  1º  GRAU  
EQUAÇÃO  DO  1º  GRAU  
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 13
É   toda   sentença   do   tipo   0=+ bax   onde
, 0a b R e a∈ ≠  
Exemplos:  
a) 2x  +  3  =  0
b) –  x  –  2  =  0
Solução  de  uma  equação  do  1º  grau  
São  os  valores  de  “x”  para  os  quais   0ax b+ = .  
EXERCÍCIOS  RESOLVIDOS:  
Encontre  a  solução  dasequações:  
1) x  +  8  =  12  ⟹  x  =  12  -­  8  ⟹  x  =  4.
2) 5x  =  36  +  2x  ⟹  5x  -­  2x  =  36  ⟹  3x  =  36  ⟹	
  x	
  =	
  12.
2 2 43) 1 4
2 4 2 4 2
2 2 1.
x x x x
x x x x
x x x x x
x x
+ +
+ = ⇒ + = ⇒
⇒ + + = ⇒ = − ⇒
⇒ = ⇒ =
As   equações   do   1º   grau   podem   ser   aplicadas   em  
algumas   situações   do   nosso   cotidiano,   através   da  
resoluções  de  problemas.  Observe:  
4) Uma   casa   com   260m2   de   área   construída   possui   3
quartos  de  mesmo  tamanho.  Qual  é  a  área  de  cada  quarto,
se  as  outras  dependências  da  casa  ocupam  140m2  ?
Solução:
Utilizando   a   letra   x   para   designar   a   área   de   cada   quarto,
temos:
3x  +  140  =  260
3x  =  260  -­140
3x  =  120
x  =  40
Resposta:  Cada  quarto  tem  40  m2.  
5) Luiz   pensou   em   um   número   natural,   adicionou-­lhe   35,
subtraiu   18   e   obteve   40   no   resultado.   Qual   o   número
pensado  por  Luiz?
Solução:  
x  +  35  -­  18  =  40  
x  =  40  -­  35  +  18  
x  =  23    
Resposta:  Luiz  pensou  no  número  23.  
EXERCÍCIOS  PARA  SALA  
1) (FEPESE   –   EPAGRI)   O   controle   de   qualidade   de   uma
indústria   identifi   ca   diariamente   o   número   de   unidades
defeituosas  produzidas.  Após  5  dias  de  acompanhamento,
foram   identifi   cadas   16   unidades   defeituosas,   distribuídas
conforme  o  quadro  abaixo:
Diante   do   quadro   apresentado,   assinale   a   alternativa   que  
representa   o   número   de   unidades   defeituosas,   identifi  
cadas  no  2º  dia.    
a) 32/9
b) 4
c) 7
d) 36/5
e) 8
2) (COPERVE  -­  UFSC  2013)  A  soma  de  3  números  inteiros
e   consecutivos   com   o   dobro   do   menor   deles   totaliza   43.
Esses  números,  em  ordem  crescente,  são:
A) 10,  9  e  8.
B) 6,  8  e  10.
C) 8,  9  e  10.
D) 10,  8  e  6.
E) 7,  8  e  9.
SISTEMAS  DE  EQUAÇÕES  DO  1°  GRAU  
Um   sistema   de   equações   do   1°   grau   é   um   conjunto   de  
equações,   todas   de   1°   grau,   cuja   solução   satisfaz   todas  
essas  equações  simultaneamente.  
EXERCÍCIO  RESOLVIDO:  
A  soma  de  dois  números  é  10  e  a  diferença  entre  eles  é  4.  
Determine  esses  números?  
Solução:  
Ao   problema   proposto,   podemos   associar   o   seguinte  
sistema  de  equações,  onde  x  representa  o  primeiro  número  
e  y  o  segundo  número.  
X  +  Y  =  10  
X  –  Y  =  4  
Vamos   resolver   este   sistema   de   equações   por   três  
métodos:  Adição,  substituição  e  comparação.  
1  -­  Adição:  Somamos   termo  a   termo  as  equações.   (Uma  
das  variáveis  deve  ter  coeficientes  opostos)    
X  +  Y  =  10  
                          +            X  –  Y  =    4  
2.X            =  14          ⇒    X  =  7  .
Logo,  Y  =  3.  Portanto  S  =  {(7,  3)}  
2   -­   Substituição:   Isolamos   uma   das   variáveis   em   uma  
das  equações  e  substituímos  na  outra.  
              X  +  Y  =  10        ⇒      Y  =  10  -­  X  
              X  –  Y  =    4          ⇒      X  –  (  10  –  X)  =  4  
  X  –  10  +  X  =  4  
  2X    =  14  
  X  =  7    Logo  Y  =  3.  Portanto  S  =  {(7,3)}  
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 13
É   toda sentença do   tipo   0=+ bax onde  
, 0a b R e a∈ ≠
Exemplos:
a)  2x + 3 = 0
b)  – x  – 2 = 0
Solução  de uma equação  do  1º grau
São os  valores  de “x” para  os quais 0ax b+ = .  
EXERCÍCIOS  RESOLVIDOS:
Encontre  a solução  das equações:
1) x + 8 = 12 ⟹ x = 12 -­ 8  ⟹ x = 4.
2) 5x = 36 + 2x ⟹ 5x  -­ 2x = 36  ⟹ 3x = 36  ⟹	
  x	
  =	
  12.
2 2 43) 1 4
2 4 2 4 2
2 2 1.
x x x x
x x x x
x x x x x
x x
+ +
+ = ⇒ + = ⇒
⇒ + + = ⇒ = − ⇒
⇒ = ⇒ =
As equações do 1º grau podem ser aplicadas em
algumas situações do nosso cotidiano, através da  
resoluções de  problemas. Observe:
4) Uma casa com 260m2 de área   construída   possui 3  
quartos de  mesmo  tamanho. Qual é  a  área  de  cada  quarto,
se  as outras dependências da  casa  ocupam 140m2  ?  
Solução:
Utilizando   a   letra   x   para   designar a área   de cada quarto,
temos:
3x + 140 = 260
3x = 260 -­140
3x = 120
x  =  40
Resposta: Cada  quarto tem 40 m2.
5) Luiz   pensou   em um número   natural, adicionou-­lhe   35,
subtraiu   18   e   obteve   40   no   resultado. Qual o   número  
pensado por  Luiz?  
Solução:
x  +  35 -­ 18 = 40
x  =  40 -­ 35 + 18
x  =  23
Resposta: Luiz pensou  no  número  23.
EXERCÍCIOS PARA SALA
1)   (FEPESE   – EPAGRI) O controle   de   qualidade   de   uma  
indústria identifi ca diariamente   o   número   de   unidades
defeituosas produzidas. Após 5  dias de  acompanhamento,
foram identifi cadas 16   unidades defeituosas, distribuídas
conforme  o  quadro  abaixo:
Diante do quadro apresentado, assinale a alternativa que
representa   o   número   de   unidades defeituosas, identifi
cadas no  2º dia.
a) 32/9  
b)  4
c)  7
d) 36/5  
e)  8
2) (COPERVE  -­ UFSC  2013) A soma  de 3 números  inteiros  
e consecutivos   com o   dobro   do   menor deles totaliza   43.
Esses números, em ordem crescente, são:
A)  10, 9 e 8.
B)  6, 8 e 10.
C)  8, 9 e 10.
D)  10, 8 e 6.
E)  7, 8 e 9.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU  
Um sistema de   equações do   1° grau   é   um conjunto   de  
equações, todas de 1° grau, cuja   solução   satisfaz todas
essas equações simultaneamente.
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
A soma  de dois números é 10  e  a diferença entre  eles é  4.
Determine  esses números?
Solução:
Ao problema   proposto, podemos   associar o seguinte
sistema  de  equações, onde  x representa  o  primeiro  número  
e y o segundo número.
X  +  Y  =  10
X  – Y = 4
Vamos   resolver este sistema   de equações   por três  
métodos: Adição, substituição  e  comparação.
1 -­ Adição: Somamos   termo a  termo as  equações. (Uma  
das variáveis deve  ter coeficientes opostos)
X  +  Y  =  10
+            X – Y = 4
2.X = 14 ⇒ X = 7 .
Logo, Y = 3. Portanto S = {(7, 3)}
2 -­ Substituição: Isolamos uma   das variáveis em uma  
das equações e  substituímos na  outra.
X  +  Y  =  10 ⇒ Y = 10 -­ X
X  – Y = 4 ⇒ X – (  10 – X) = 4
X – 10 + X = 4
2X = 14
X = 7 Logo Y = 3. Portanto S = {(7,3)}
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 14
3  -­  Comparação:   Isolamos  a  mesma  variável  em  ambas  
as   equações   e   então   comparamos,   isto   é,   efetuamos   a  
igualdade  entre  elas.  
            X  +  Y  =  10        ⇒  X  =  10  -­  Y  
            X  –  Y  =      4        ⇒  X  =    4  +  Y    
Logo      4  +  Y  =  10  –  Y  
Y  +  Y  =  10  –  4  
2Y    =  6  
Y  =  3    Logo  X  =  7  .    S  =  {(7,3)}  
EXERCÍCIOS  PARA  SALA  
1) Se  Roberto   tivesse  6  anos  mais,  ele   teria  4/5  da   idade
do  seu  irmão.  Juntos  eles  têm  30  anos.  A  idade  de  Roberto
é:
a) 24
b) 20
c) 16
d) 12
e) 10
2) (FEPESE)  Num  pátio  existem  automóveis  e  bicicletas.  O
número  total  de  rodas  é  130  e  o  número  de  bicicletas  é  o
triplo  do  número  de  automóveis.  Então,  o  número  total  de
veículos  que  se  encontram  no  pátio  é:
a) 50
b) 42
c) 52
d) 54
e) 62
3) Geraldo   devia   R$   55,00   a   seu   irmão   e   pagou   a   dívida
com  notas  de  R$  5,00  e  de  R$  10,00.  Se,  ao  todo,  o  irmão
de  Geraldo  recebeu  7  notas,  quantas  eram  as  notas  de  R$
10,00?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
EXERCÍCIOS   DE   APROFUNDAMENTO:   Equações   e  
sistemas  de  equações  do  1º  grau.  
1) (FEPESE   2014   –   Pref.   de   Brusque)   Um   carro   com   três
passageiros  é  parado  em  uma  blitz  e  são  verificadas  duas
infrações,  cada  uma  resultando  em  uma  multa  no  valor  de
R$192,00.
Se   os   três   passageiros   decidem   ratear   o   valor   total   das
multas  igualmente  entre  eles,  o  valor  que  cada  passageiro
deve  pagar  é:
a) R$  124,00.
b) R$  128,00.
c) R$  130,00.
d) R$  132,00.
e) R$  136,00.
2) (FEPESE  2014  –  MPE/SC)    Em  um  zoológico  um  habitat
contém  coelhos  e  coelhas.  Sabe-­seque,  se  um  coelho   for
retirado  do  habitat,  o  número  de  coelhos  remanescentes  é
o triplo   do   número   de   coelhas.   Ainda,   sabe-­se   que   o
habitat  conta  com  29  coelhas  a  menos  que  coelhos.  Logo,  
a  quantidade  total  de  coelhos  neste  habitat  é:  
a) 56.
b) 57.
c) 58.
d) 60.
e) 62.
3) Um  furgão,  com  capacidade  para  o  transporte  de  1  500
kg,   fez   três   viagens   para   transportar   um   lote   de   caixas,
cada  qual  com  um  mesmo  volume:  na  primeira  viagem,  ele
levou  
3
2 do  total  de  caixas;;  na  segunda,  
5
1  da  quantidade  
transportada   na   primeira;;   na   terceira   as   72   caixas  
restantes.   Considerando   que   ele   poderia   ter   transportado  
todas  as  caixas  do  lote  em  uma  única  viagem  e,  se  assim  o  
fizesse,   ainda   haveria   espaço   para   o   transporte   de   mais  
265   caixas   do   mesmo   tipo,   a   massa   de   cada   caixa,   em  
quilogramas,  era  
a) 1,8
b) 2,1
c) 2,4
d) 3,2
e) 3,6
4) Você   possui   dinheiro   suficiente   para   comprar   uma
televisão  de  R$  900,00,  e  ainda  lhe  sobram  
2
5
  da  quantia
inicial.  O  valor  que  lhe  sobra  é:  
a) R$  450,00
b) R$  550,00
c) R$  800,00
d) R$  650,00
e) R$  600,00
5) Maria  comprou  5  lápis  e  8  cadernos  por  R$  75,55.  Júlia
foi   à  mesma   loja   e   comprou   3   lápis   e   4   cadernos,   iguais
aos   comprados   por   Maria,   por   R$   38,45.   O   valor   de   um
lápis  é  de:
a) R$  1,70
b) RS  2,35
c) R$  1,35
d) R$  2,85
e) R$  0,85
6) Um   livreiro   vende,   num   dia,   3   exemplares   de   Língua
Portuguesa  e  7  de  Matemática,  recebendo  R$3.240,00.  No
dia  seguinte,  vende  2  exemplares  de  Língua  Portuguesa  e
5   de   Matemática   e   então   recebe   R$2.260,00.   Qual   é   o
preço  de  cada  exemplar  de  Matemática?
A) R$  300,00
B) R$  380,00
C) R$  400,00
D) R$  280,00
E) R$  420,00
7) Marcos  e  sua  esposa  aproveitaram  uma  promoção  para
comprar   alguns   utensílios   para   a   nova   casa.   Adquiriram
uma  geladeira,  um   televisor   e  um   forno  elétrico  gastando
no   total   de   R$   4   269,00.   A   geladeira   custou   o   dobro   do
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 15
preço   da   TV   e   a   TV   custou   o   triplo   do   preço   do   forno  
elétrico  mais  R$  93,00.  A  TV  custou:  
a) R$  890,00
b) R$  990,00
c) R$  1480,00
d) R$  1  290,00
e) R$  1099,00
8) As  idades  dos  cinco  membros  de  uma  mesma  família  −
pai,  mãe  e  três  filhos  −  somam  72  anos.  Sabe-­se  que:  as
idades  de  Aldo  e  Bia   somam  36  anos;;  as  de  Bia  e  Cássia
somam  33  anos;;  as  de  Cássia  e  Diva  somam  29  anos;;  as
de   Diva   e   Esaú   somam   11   anos.   Nessas   condições,   é
correto  afirmar  que:
(A) As  idades  dos  três  filhos  somam  18  anos.
(B) As  idades  dos  pais  somam  54  anos.
(C) Esaú  é  o  filho  mais  jovem.
(D) O  mais  velho  dos  três  filhos  tem  7  anos.
(E) Diva  é  a  filha  mais  jovem.
9) Diminuindo-­se  seis  anos  da  idade  de  minha  filha  obtém-­
se  3/5  de  sua  idade.  A  idade  de  minha  filha,  em  anos  é:
a) 10 b) 15 c) 12 d) 18 e) 24
10) Considerando   dois   níveis   salariais   apontados   em   uma
pesquisa   de   mercado   para   um   mesmo   cargo,   o   mínimo
(piso)   e   máximo   (teto).   Sabe-­se   que   o   dobro   do   menor
somado   a   1/5   do   maior   é   igual   a   R$   3.700,00.
Se   a   diferença   entre   o   nível   máximo   e   o   nível   mínimo   é
igual  a  R$  3.100,00,  então  o  teto  salarial  para  esse  cargo  é
de:
A) R$  4.800,00.
B) R$  4.500,00.
C) R$  3.800,00.
D) R$  3.600,00.
E) R$  3.400,00.
11) Um  prêmio   foi  dividido  entre   três  pessoas:  a  primeira
recebeu  
1
4
  do  valor  do  prêmio,  a  segunda  recebeu
1
3
  e  a
terceira   ganhou  R$   1000,00.   Então   o   valor   desse   prêmio,  
em  reais,  era  de:  
a)2400 b) 2100          c)  1400 d) 1800      e)  2200
12) (FEPESE   -­   EPAGRI)   Uma   escola   tem   250   alunos
cursando  o  ensino-­médio.  O  número  de  alunos  que  cursa  o
1º  ano  é  o  dobro  do  número  de  alunos  que  cursa  o  2º  ano.
Sabendo-­se  que  a  escola  tem  10  alunos  a  menos  no  3º  ano
do  que  no  1º  ano,  assinale  a  alternativa  que  representa  o
número  de  alunos  que  está  cursando  o  3º  ano.
a) 52  alunos
b) 86  alunos
c) 94  alunos
d) 104  alunos
e) 114  alunos
GABARITO  
01   B  
02   B  
03   C  
04   E  
05   C  
06   A  
07   D  
08   E  
09   B  
10   B  
11   A  
12   C  
RAZÃO  E  PROPORÇÃO  
Razão:  Chama-­se   razão  de  dois  números   racionais  a  e  b  
(com   b   ≠   0)   ao   quociente   do   primeiro   pelo   segundo.  
Indica-­se:  
b
a
  ou      a  :  b    e,  lê-­se  "  razão  de  a  para  b  "  ou,  
"  a  está  para  b  "  ou,    "  a  para  b  ".  
Proporção:  Igualdade  entre  duas  ou  mais  razões  
Propriedade  Fundamental   cbda
d
c
b
a
×=×⇔=  
Outras  Propriedades  Importantes  
1)  
d
dc
b
baou
c
dc
a
ba
d
c
b
a +
=
++
=
+
⇒= ;;  
d
dc
b
baou
c
dc
a
ba
d
c
b
a −
=
−−
=
−
⇒=
2)  
d
c
b
a
db
ca
d
c
b
a
==
+
+
⇒= ;;  
d
c
b
a
db
ca
d
c
b
a
==
−
−
⇒=
Escala  
Definimos  escala  de  um  desenho  como  sendo  a  razão  entre  
o comprimento   no   desenho   e   o   comprimento   real
correspondente,  sempre  medidos  na  mesma  unidade.
Usamos   uma   escala   quando   queremos   representar   um  
esboço   gráfico   de   objetos,   da   planta   de   uma   casa   ou   de  
uma  cidade,  mapas,  maquetes,  etc.  Assim,  por  exemplo,  se  
num  mapa  a  escala  indicada  é  1:1000,  isso  quer  dizer  que  
cada   medida   no   desenho   do   mapa   é   1000   vezes   menor  
que  a  realidade,  sendo  assim:  Cada  1  cm  medido  no  mapa  
representa  no  real  1000  cm  =  10  m.    
Divisão  Proporcional  
Dividir   um   número   em   partes   proporcionais   a   outros  
números  dados,  é  dividir  o  número  em  2,  3  ou  mais  partes,  
de   tal   forma   que   guardem   proporção   com   os   números  
dados.  
Definição:   Chamamos   de   constante   de   proporcionalidade  
(K),   a   razão   entre   o  número   a   ser   dividido   e   a   soma  das  
partes.    
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 15
preço   da   TV e   a   TV custou   o   triplo   do   preço   do   forno  
elétrico mais R$ 93,00. A  TV custou:
a)  R$  890,00
b)  R$  990,00
c)  R$ 1480,00
d)  R$  1  290,00
e) R$  1099,00
8) As  idades  dos  cinco membros  de uma  mesma  família  −
pai, mãe  e  três filhos − somam 72  anos. Sabe-­se  que: as
idades de  Aldo  e  Bia somam 36  anos;; as de  Bia e  Cássia
somam 33  anos;; as de  Cássia  e  Diva  somam 29  anos;; as
de Diva e Esaú somam 11 anos. Nessas condições, é
correto  afirmar  que:
(A) As idades dos três filhos somam 18  anos.
(B) As idades dos pais somam 54  anos.
(C)  Esaú é o filho mais jovem.
(D)  O mais velho dos três filhos tem 7 anos.
(E)  Diva é a filha mais jovem.
9) Diminuindo-­se  seis anos da  idade  de  minha  filha  obtém-­
se  3/5  de  sua  idade. A  idade  de  minha  filha, em anos é:
a)  10 b)  15 c)  12 d)  18 e)  24
10) Considerando dois   níveis   salariais   apontados   em uma  
pesquisa   de   mercado   para   um mesmo   cargo, o   mínimo  
(piso) e máximo   (teto). Sabe-­se   que   o   dobro   do   menor
somado   a   1/5   do   maior é   igual a   R$   3.700,00.
Se a   diferença   entre o nível máximo e o nível mínimo é
igual a R$  3.100,00, então  o  teto  salarial para  esse cargo  é
de:
A) R$  4.800,00.
B) R$  4.500,00.
C) R$  3.800,00.
D) R$ 3.600,00.
E) R$  3.400,00.
11) Um prêmio   foi dividido  entre   três pessoas: a primeira
recebeu  
1
4
do  valor do  prêmio, a  segunda  recebeu  
1
3
e  a
terceira   ganhou  R$   1000,00. Então   o   valor desse   prêmio,
em reais, era de:
a)2400   b)  2100 c)  1400 d) 1800   e) 220012) (FEPESE   -­ EPAGRI) Uma   escola   tem 250   alunos
cursando  o  ensino-­médio. O número  de  alunos que  cursa  o  
1º ano  é  o  dobro  do  número  de  alunos que  cursa  o  2º  ano.
Sabendo-­se  que  a  escola  tem 10  alunos  a  menos  no  3º  ano  
do  que  no  1º  ano, assinale  a  alternativa  que  representa  o  
número  de  alunos que  está  cursando  o  3º  ano.
a) 52  alunos
b) 86  alunos
c) 94  alunos
d) 104  alunos
e) 114  alunos
GABARITO
01 B
02 B
03 C
04 E
05 C
06 A
07 D
08 E
09 B
10 B
11 A
12 C
RAZÃO E  PROPORÇÃO
Razão: Chama-­se   razão  de  dois números racionais a e  b
(com b   ≠ 0) ao   quociente do   primeiro   pelo   segundo.
Indica-­se:
b
a
ou   a  : b   e,  lê-­se " razão  de  a  para  b  " ou,
" a está para b " ou, " a para b ".
Proporção: Igualdade  entre  duas ou  mais razões
Propriedade Fundamental cbda
d
c
b
a
×=×⇔=
Outras Propriedades Importantes
1)
d
dc
b
baou
c
dc
a
ba
d
c
b
a +
=
++
=
+
⇒= ;;
d
dc
b
baou
c
dc
a
ba
d
c
b
a −
=
−−
=
−
⇒=
2)
d
c
b
a
db
ca
d
c
b
a
==
+
+
⇒= ;;
d
c
b
a
db
ca
d
c
b
a
==
−
−
⇒=
Escala
Definimos escala  de  um desenho  como  sendo  a  razão  entre  
o   comprimento   no   desenho   e   o   comprimento   real
correspondente, sempre  medidos na mesma unidade.
Usamos uma escala quando   queremos representar   um
esboço gráfico de objetos, da planta de uma casa ou   de  
uma  cidade, mapas, maquetes, etc. Assim, por exemplo, se
num mapa  a  escala  indicada  é  1:1000, isso  quer dizer que  
cada medida no   desenho   do   mapa é   1000   vezes menor
que  a  realidade, sendo  assim: Cada  1  cm medido  no  mapa  
representa  no  real 1000  cm = 10  m.
Divisão Proporcional
Dividir um número em partes proporcionais a outros
números dados, é  dividir o  número  em 2, 3  ou  mais partes,
de   tal forma   que   guardem proporção   com os números
dados.
Definição: Chamamos de   constante   de   proporcionalidade  
(K), a   razão   entre o  número   a   ser dividido   e a   soma  das
partes.
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 16
Fórmula   geral   para   divisão   diretamente   proporcional:  
Divida   o   número N em  partes   proporcionais   aos   números
naaaa ,...,, 321 .  
naaaa
NK
++++
=
...321
,   que   é   a   constante   de  
proporcionalidade.  
Portanto  cada  parte  fica:  
Correspondente  ao   1a  é: Ka .1
Correspondente  ao   2a  é: Ka .2
Correspondente  ao   3a  é:   Ka .3
  .    .    .  
  .    .    .  
  .    .    .  
Correspondente  ao   na  é:   Kan .
EXERCÍCIOS  RESOLVIDOS  
1) Dividir   o   número   360   em   partes   proporcionais   aos
números  2,  4  e  6.
Solução:
30
642
360
=
++
=K  
Logo    1ª  parte  é  →  2.K,  isto  é,        2.30    =      60  
2ª  parte  é→  4.K,  isto  é,        4.  30  =  120  
3ª  parte  é→  6.K,  isto  é,        6.  30  =  180  
Observe  que  a  soma  60  +  120  +  180  =  360.  
Observação:   Quando   a   divisão   for   inversamente  
proporcional,  basta  inverter  os  números  aos  quais  se  quer  
dividir,  antes  de  calcular  a  constante  de  proporcionalidade.  
2) Dividir   o   número   44   em   partes   inversamente
proporcionais  a  4  e  7.
Solução:
112
11
232.1
11
28.44
28
11
44
28
47
44
7
1
4
1
44
====
+
=
+
=K
Logo    1ª  Parte  é  →  
4
1
K,  isto  é,   28112.
4
1
=  
2ª  Parte  é    →  
7
1
.K,  isto  é,   16112.
7
1
=
Observe  que  a  soma  28  +  16  =  44.  
EXERCÍCIOS  PARA  SALA  
1) (FEPESE   2014   –   Pref.   de   Brusque)   Em   uma   cidade,   a
razão  entre  o  número  de  agentes  de   transito  e  o  número
de  carros  é  7/8000.  Se  a  cidade  conta  com  63  agentes  de
trânsito,  então  o  número  de  carros  na  cidade  é:
a) 63.000.
b) 66.000.
c) 72.000.
d) 78.000.
e) 80.000.
2) (FEPESE  2013  –  EPAGRI)  A  relação  entre  as  grandezas  y
e  x  é  dada  pelo  gráfico  abaixo:
Portanto,  quando  x  =  1  temos  que  y  é  igual  a:  
a) –  5/2
b) 0
c) 1/2
d) 3/2
e) 5/2
3) O   diretor   de   uma   empresa   resolve   dividir   R$   3.800,00
entre   seus   três   empregados   em   partes   inversamente
proporcionais   as   suas   faltas.   Beto   faltou   4   dias,   Diogo   5
dias  e  Thais  2  dias.  Quanto  Diogo  recebeu?
a) R$  1.000,00
b) R$  800,00
c) R$  2.000,00
d) R$  600,00
e) R$  900,00
4) (FEPESE  2014  –  Pref.  de  Içara)  Uma  pessoa  divide  um
certo   número   de   balas   entre   duas   crianças,   digamos
Renato   e   José,   de   maneira   proporcional   a   suas   idades.
Sabe-­se   que   José   tem   um   quinto   da   idade   de   Renato   e
ganhou   16   balas.   Portanto,   o   número   total   de   balas
distribuídas  entre  Renato  e  Artur  é  igual  a:
a) 100.
b) 96.
c) 92.
d) 88.
e) 84.
REGRA  DE  TRÊS  
Estuda-­se   em  proporção   a   relação   entre   grandezas.   Em  
alguns   casos   vemos   que   as   grandezas   são   diretamente  
proporcionais,   ou   seja,   o   aumento   de   uma   implica   o  
aumento   da   outra,   em   outros,   inversamente  
proporcionais,   isto   é,   o   aumento   de   uma   implica   a  
redução  da  outra.  Seja  em  quaisquer  dos  casos  anteriores,  
podemos  resolver  grande  parte  dos  problemas  relacionados  
às   grandezas   proporcionais   utilizando   regra   de   três  
simples  ou  composta.  
Regra  de  Três  Simples  
Processo   prático   para   resolver   problemas   que   envolvem  
duas  grandezas  direta  ou  inversamente  proporcionais.  
EXERCÍCIOS  RESOLVIDOS  
1) Se   10m   de   tecido   custam  R$   600,00,   qual   o   preço   de
25m  do  mesmo  tecido?
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 17
Solução:  
Raciocínio:   Aumentando   a   quantidade   de   metros,   o  
valor  também  aumenta.  
As   flechas   de   mesmo   sentido   indicam   grandezas  
diretamente  proporcionais.  
1500
10
150002560010600
25
10
==⇒⋅=⋅⇒= xx
x
  
R:  1500  reais  
2) Uma  obra  é  construída  por  12  operários  em  90  dias,  em
quantos  dias  essa  obra  será  construída  por  36  operários?
Solução:
Raciocínio:   Aumentando   a   quantidade   de   operários,   o  
número  de  dias  diminui.  
As   flechas   de   sentidos   contrários   indicam   grandezas  
inversamente  proporcionais.  
30
36
1080901236
9036
12
==⇒⋅=⋅⇒= xxx  
R:  30  dias  
Regra  de  Três  Composta  
Processo   prático   para   resolver   problemas   que   envolvem  
mais   de   duas   grandezas   direta   ou   inversamente  
proporcionais.  
EXERCÍCIO  RESOLVIDO:  
Uma   fábrica,   em   3   dias   de   trabalho,   produz   360   m   de  
tecidos,   fazendo   funcionar   8   máquinas.   Em   quantos   dias  
poderá   produzir   1080   m   de   tecidos,   fazendo   funcionar   6  
máquinas?  
Solução:    
1  -­  Colocar  as  flechas:  
Comparamos   a   grandeza   que   tem   incógnita   com  
cada  uma  das  outras.  
Como  você  percebe:  
A  e  B  são  grandezas  diretamente  proporcionais.  
A  e  C  são  grandezas  inversamente  proporcionais.  
2   –   Inverter   os   valores   correspondentes   da   última  
grandeza:  
x
3
1080
360
8
6
3   –   Igualar   a   razão   que   contém   o   termo   X   com   o  
produto  das  outras  razões:  
12
4
13
8640
21603
8
6
1080
3603
=⇒=⇒=⇒⋅= x
xxx
  
R:  12  dias  
EXERCÍCIOS  PARA  SALA  
1) Regra  de  três  simples
(FEPESE   2014   –   Pref.   de   Brusque)   Se   em   uma   escola   7  
profissionais  cuidam  de  105  crianças,  quantos  profissionais  
são  necessários  para  cuidar  de  255  crianças?    
a) 15
b) 17
c) 19
d) 21
e) 23
2) Regra  de  três  composta
(FEPESE	
  2014	
  –	
  Pref.	
  de	
  Içara)	
  Se  em  uma  fábrica  de  
relógios,   18   funcionários   produzem   20   relógios   a  
cada   6   horas,   então   quantas   horas   24   funcionários  
irão  levar  para  produzir  30  relógios?    
a) 6  horas  e  45  minutos
b) 6  horas
c) 5  horas  e  42  minutos
d) 5  horas  e  30  minutos
e) 5  horas  e  24  minutos
EXERCÍCIOS   DE   APROFUNDAMENTO:   Razão,  
proporção,  regrade  três  simples  e  composta.  
1) (FEPESE   2013   –   EPAGRI)   Em   uma   fazenda,   a   razão
entre  o  número  de  plantas  do  grão  A  e  o  do  grão  B  é  de
Dias
3 
X 
Tecido
360 
108
0 
A B
 
8 
6 
Máquinas
C
 
Operários 
12 
36 
Dias 
90 
X 
Metros
10 
25 
Reais
600 
X 
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 17
Solução:  
Raciocínio: Aumentando   a   quantidade de metros, o  
valor também aumenta.
As   flechas   de mesmo   sentido indicam grandezas
diretamente proporcionais.
1500
10
150002560010600
25
10
==⇒⋅=⋅⇒= xx
x
R: 1500  reais
2) Uma obra é  construída por 12  operários em 90  dias, em
quantos dias essa  obra  será  construída  por 36  operários?
Solução:  
Raciocínio: Aumentando   a   quantidade de operários, o  
número  de  dias diminui.
As   flechas   de sentidos contrários indicam grandezas
inversamente  proporcionais.
30
36
1080901236
9036
12
==⇒⋅=⋅⇒= xxx
R:  30  dias
Regra de Três Composta
Processo prático para   resolver problemas   que envolvem
mais de   duas grandezas direta   ou   inversamente  
proporcionais.
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
Uma fábrica, em 3   dias de   trabalho, produz 360   m de  
tecidos, fazendo   funcionar 8   máquinas. Em quantos dias
poderá   produzir 1080   m de   tecidos, fazendo   funcionar 6  
máquinas?
Solução:  
1 -­ Colocar as flechas:
Comparamos a   grandeza que tem incógnita com
cada uma das outras.
Como você percebe:
A  e  B  são  grandezas diretamente proporcionais.
A  e  C  são  grandezas inversamente proporcionais.
2 – Inverter os valores correspondentes da   última  
grandeza:
x
3
1080
360
8
6
3 – Igualar a razão   que contém o   termo   X   com o  
produto  das outras razões:
12
4
13
8640
21603
8
6
1080
3603
=⇒=⇒=⇒⋅= x
xxx
R:  12  dias
EXERCÍCIOS PARA SALA
1)  Regra  de  três  simples
(FEPESE   2014 – Pref. de Brusque) Se em uma   escola   7
profissionais cuidam de  105  crianças, quantos profissionais
são  necessários para  cuidar de  255  crianças?
a)  15
b)  17
c)  19
d)  21
e)  23
2)  Regra  de  três  composta
(FEPESE 2014	
  – Pref. de Içara) Se  em uma  fábrica  de  
relógios, 18   funcionários produzem 20   relógios a  
cada   6   horas, então   quantas horas 24   funcionários
irão  levar para  produzir 30  relógios?  
a) 6  horas e  45  minutos
b)  6 horas
c) 5  horas e  42  minutos
d) 5  horas e  30  minutos
e) 5  horas e  24  minutos
EXERCÍCIOS   DE   APROFUNDAMENTO: Razão,
proporção, regra de três simples e composta.
1) (FEPESE   2013 – EPAGRI) Em uma   fazenda, a   razão
entre o número de plantas do  grão  A e o do grão B é de
Dias
3
X
Tecido
360
108
0
A B
8
6
Máquinas
C
Operários
12
36
Dias
90
X
Metros
10
25
Reais
600
X
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 18
5:7.   Logo,   se  na   fazenda  existem  13.260  plantas  do  grão  
A,  o  número  de  plantas  do  grão  B  é:    
a) 18.564
b) 18.645
c) 18.456
d) 18.546
e) 18.654
2) (FEPESE   –   EPAGRI)   A   beleza   de   uma   pessoa   é   algo
subjetivo.  No  entanto,  existe  uma  fórmula  matemática  que
pode   avaliar   o   padrão   áureo   de   beleza.   Uma   pessoa   é
bonita,   segundo   o   padrão   áureo   de   beleza,   se   a   razão
entre  sua  altura  e  a  medida  que  vai  da  linha  umbilical  até  o
chão  for  igual  à  razão  entre  a  medida  do  queixo  até  a  testa
e   a  medida   dos   olhos   até   a   testa.   Se   uma   pessoa   possui
1,80  m  de  altura,  90  cm  da  linha  umbilical  até  o  chão  e  a
medida   do   queixo   até   a   testa   é   de   20   cm,   assinale   a
alternativa  que  indica  qual  deve  ser  a  medida  dos  olhos  até
a   testa   para   que   esta   pessoa   seja   considerada   bonita,
segundo  o  padrão  áureo  de  beleza.
a) 30  cm
b) 10  cm
c) 0,8  m
d) 0,4  m
e) 0,1  m
3) João   vai   dividir   R$   24.000,00   com   seus   primos,   em   3
partes   diretamente   proporcionais   a   1,   2   e   3,
respectivamente.     Sabendo-­se   que   o  mais   velho   é   o   que
receberá   o  maior   valor,   a   parte   deste   corresponderá,   em
reais,  a
a) 3.000,00
b) 4.000,00
c) 8.000,00
d) 10.000,00
e) 12.000,00
4) Um  prêmio  em  dinheiro  é  repartido  entre  3  pessoas  em
partes  inversamente  proporcionais  às  suas  idades,  ou  seja,
24,   36   e   48   anos.   Se   a   pessoa   mais   nova   recebeu   R$
9.000,00  a  mais  que  a  mais  velha,  então  a  pessoa  que  tem
36  anos  recebeu
a) R$  9.000,00.
b) R$  12.000,00.
c) R$  15.000,00.
d) R$  18.000,00.
e) R$  21.000,00.
5) Jairo  tem  apenas  três  filhos  –  Alícia,  Benício  e  Felício  –
cujas   idades   são   9,   10   e   15   anos,   respectivamente.   Em
maio   de   2009,   ele   dispunha   de  R$   735,00   para   depositar
nas  Cadernetas  de  Poupança  dos  filhos  e,  para  tal,  dividiu
essa   quantia   em   partes   que   eram,   ao   mesmo   tempo,
inversamente  proporcionais   às   respectivas   idades  de   cada
um   e   diretamente   proporcionais   às   respectivas   notas   de
Matemática  que  haviam  obtido  na  avaliação  escolar  do  mês
anterior.   Se,   na   avaliação   escolar   do   mês   de   abril,   Alícia
tirou   4,5,   Benício   tirou   8,0   e   Felício   tirou   5,0,   então
écorreto  afirmar  que  a  quantia  depositada  na  Caderneta  de
Poupança  de:
a) Alícia  foi  R$  225,00.
b) Benício  foi  R$  380,00.
c) Felício  foi  R$  120,00.
d) Benício  foi  R$  400,00.
e) Alícia  foi  R$  250,00.
6) (FEPESE   2014   –   Pref.   de   Içara)   Uma   construtora
emprega   91   pedreiros   e   26   engenheiros.     Logo   podemos
afirmar  corretamente  que:
a) Para   cada   2   engenheiros,   7   pedreiros   são   empregados
pela  construtora.
b) Para   cada  3   engenheiros,   7   pedreiros   são   empregados
pela  construtora.
c) Para   cada   4   engenheiros,   9   pedreiros   são   empregados
pela  construtora.
d) Para   cada  7   engenheiros,   5   pedreiros   são   empregados
pela  construtora.
e) A   construtora   emprega   o   triplo   de   pedreiros   do   que
engenheiros.
7) (FEPESE   –   EPAGRI)   Um   caminhão   partiu   do   oeste   do
estado   em   direção   a   uma   empresa   situada   no   litoral.   Ele
percorreu  650  km  em  10  horas.  Supondo  que  ele  fi  zesse  o
mesmo   trajeto   em   uma   velocidade   constante   de   50   km/h,
quanto   tempo   ele   levaria   para   chegar   ao   seu   destino,
supondo  que  não  parasse?
a) 7  horas  e  42  minutos
b) 11  horas
c) 12  horas
d) 13  horas
e) 15  horas
8) (FEPESE   2014   –   Pref.   de   Içara)   Se   10   porcos   comem
200   kg   de   ração   por   mês,   quantos   quilos   de   ração   são
necessários  para  alimentar  16  porcos  por  um  mês?
a) 300  kg
b) 310  kg
c) 315  kg
d) 320  kg
e) 330  kg.
9) (FEPESE  2013  –  EPAGRI)  Se  em  uma  repartição  pública
6   funcionários   atendem   34   pessoas   por   dia,   quantos
funcionários  são  necessários  para  atender  102  pessoas  por
dia?
a) 16
b) 18
c) 19
d) 21
e) 22
10) (FEPESE   –   EPAGRI)   Em   uma   pequena   indústria,   10
máquinas   funcionam   6   horas   por   dia   e,   em   30   dias,   a
produção   total   é   de   90000   peças.   Para   ampliar   a   sua
produção,   o   dono   da   indústria   decidiu   comprar  mais   uma
máquina,  cuja  produção  é  idêntica  à  das  que  ele  já  possui.
Assinale  a  alternativa  que   indica  o  número   total   de  peças
produzidas   em  um  dia   pelas   11  máquinas,   funcionando   6
horas  por  dia.
a) 3000  peças
b) 3300  peças
c) 9000  peças
d) 9300  peças
e) 9900  peças
11) (FEPESE  2013  –  CELESC)  Em  uma  fábrica  sabe-­se  que
o tempo   de   produção   de   uma   unidade   do   item   A   é
inversamente   proporcional   ao   número   de   funcionários
empregados   pela   fábrica.   Sabe-­se   ainda   que   quando   a
fábrica  emprega  36  funcionários,  o  tempo  de  produção  de
uma   unidade   do   item   A   é   de   50   horas.   Distopodemos
concluir  que  quando  a   fábrica  emprega  40   funcionários,  o
tempo  de  produção  de  uma  unidade  do  item  A  é  de:
a) 41  horas.
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 19
b) 42  horas.
c) 44  horas.
d) 45  horas.
e) 46  horas.
12) (FEPESE  2013  –  CELESC)  Em  uma  escola  a  razão  entre
alunos  e  professores  é  de  345:15.  Sabendo-­se  que  a  escola
tem   1078   alunos   a   mais   do   que   professores,   então   o
número  de  professores  na  escola  é:
a) 48.
b) 49.
c) 50.
d) 51.
e) 52.
13) (FEPESE   2013   –   CELESC)   Se   45   trabalhadores
constroem   36   km   de   estradas   por   mês,   então   52
trabalhadores  constroem  quantos  km  de  estradas  por  mês?
a) 40,8  km
b) 40,9  km
c) 41,4  km
d) 41,6  km
e) 42,2  km
14) (FEPESE   2014   –   Pref.   de   Brusque)   Se   8   homens
constroem   5   mesas   a   cada   9   dias,   quantos   homens   são
necessários  para  construir  20  mesas  em  18  dias?
a) 8
b) 12
c) 16
d) 20
e) 24
GABARITO  
01   A   08   D  
02   E   09   B  
03   E   10   B  
04   B   11   D  
05   A   12   B  
06   A   13   D  
07   D   14   C  
AULA  3  
PORCENTAGEM  
Ao   abrir   um   jornal,   ligar   uma   televisão,   olhar   vitrines,   é  
comum  depararmos  com  expressões  do  tipo:  
§ A  inflação  do  mês  foi  de  4%  (lê-­se  quatro  por  cento)
§ Desconto  de  10%  (dez  por  cento)  nas  compras  à  vista.
§ O  índice  de  reajuste  salarial  de  março  é  de  0,6%  (seis
décimos  por  cento)
A  porcentagem  é  um  modo  de  comparar  números  usando  
a   proporção  direta,   onde  uma  das   razões   da   proporção   é  
uma   fração   cujo   denominador   é   100.   Toda   razão   a/b   na  
qual  b=100  chama-­se  porcentagem.  
Por   exemplo,   se   há   30%   de   meninas   em   uma   sala   de  
alunos,   pode-­se   comparar   o   número   de   meninas   com   o  
número   total   de   alunos   da   sala,   usando   para   isto   uma  
fração   de   denominador   100,   para   significar   que   se   a   sala  
tivesse  100  alunos  então  30  desses  alunos  seriam  meninas.  
Trinta  por  cento  é  o  mesmo  que  
  30  
100
  =  30%  
EXERCÍCIOS  RESOLVIDOS  
1) Calcular  40%  de  R$300,00  é  o  mesmo  que  determinar
um   valor   X   que   represente   em   R$300,00   a   mesma
proporção   que   R$40,00   em   R$100,00.   Isto   pode   ser
resumido  na  proporção:
40  
100  
=  
  X  
300  
Como   o   produto   dos   meios   é   igual   ao   produto   dos  
extremos,   podemos   realizar   a   multiplicação   cruzada   para  
obter:  100X=12000,  assim  X=120  
Logo,  40%  de  R$300,00  é  igual  a  R$120,00.  
2) Na   venda   de   um   carro   novo,   o   vendedor   ganhou  uma
comissão  de  3%.  Sendo  o  valor  carro  R$  17000,00,  qual  foi
a  comissão  do  vendedor?
3%  =  
100
3
3%  de  17000  =   17000
100
3 ⋅ =  510  
Logo,  a  comissão  foi  de  R$    510,00.  
EXERCÍCIOS  PARA  SALA  
1) (FEPESE  2010  -­  INMETRO)  Um  mes  antes  do  natal  uma
loja  varejista  aumenta  o  preco  de  seus  produtos  em  30  %  .
Apos   o   natal,   em   uma   liquidacao,   a   loja   oferece   40%   de
desconto  em  seus  produtos.  O  desconto   final,   em   relacao
ao  preco  antes  do  aumento,  e  de:
a) 40%
b) 32%
c) 30%
d) 25%.
e) 22%.
2) (FEPESE   2013   –   CELESC)   Em   uma   cidade,   no  mês   de
janeiro   foram   feitas   678   ligações   de   eletricidade.   Deste
total,   114   foram   religações;;   o   restante   foram   ligações
novas.   Portanto,   a   porcentagem   de   ligações   novas   feitas
em  janeiro,  em  relação  ao  total  de  ligações  efetuadas,  é:
a) Menor  do  que  80%.
b) Maior  do  que  80%  e  menor  do  que  81%.
c) Maior  do  que  81%  e  menor  do  que  82%.
d) Maior  do  que  82%  e  menor  do  que  83%.
e) Maior  do  que  83%.
NOÇÕES  DE  MATEMÁTICA  FINANCEIRA  
JUROS  SIMPLES  
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 19
b)  42 horas.
c) 44  horas.
d)  45 horas.
e) 46 horas.
12) (FEPESE  2013 – CELESC) Em uma  escola  a  razão entre
alunos e professores é de 345:15. Sabendo-­se  que  a  escola  
tem 1078   alunos a   mais do   que   professores, então   o  
número  de  professores na  escola  é:
a) 48.
b)  49.
c) 50.
d)  51.
e) 52.
13) (FEPESE   2013 – CELESC) Se 45 trabalhadores  
constroem 36   km de   estradas por mês, então   52  
trabalhadores constroem quantos km de estradas por  mês?
a) 40,8  km
b)  40,9 km
c)  41,4 km
d)  41,6 km
e)  42,2 km
14) (FEPESE   2014 – Pref. de Brusque) Se 8 homens  
constroem 5   mesas a cada 9   dias, quantos homens são  
necessários para  construir 20  mesas em 18  dias?
a)  8
b)  12
c)  16
d)  20
e)  24
GABARITO
01 A 08 D
02 E 09 B
03 E 10 B
04 B 11 D
05 A 12 B
06 A 13 D
07 D 14 C
AULA  3
PORCENTAGEM
Ao abrir um jornal, ligar uma   televisão, olhar vitrines, é
comum depararmos com expressões do  tipo:
§ A inflação do mês foi de 4% (lê-­se  quatro  por cento)
§ Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.
§ O índice  de  reajuste  salarial de  março  é  de  0,6% (seis
décimos por cento)
A porcentagem é um modo de comparar números  usando
a  proporção  direta, onde uma  das razões da  proporção   é
uma   fração   cujo   denominador é   100. Toda razão   a/b   na
qual b=100  chama-­se  porcentagem.
Por exemplo, se   há 30% de   meninas em uma sala de  
alunos, pode-­se   comparar o   número   de   meninas com o  
número   total de   alunos da   sala, usando   para   isto   uma  
fração   de   denominador 100, para significar que se a   sala  
tivesse 100  alunos então  30  desses alunos seriam meninas.
Trinta  por cento  é o  mesmo  que
30  
100
= 30%
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Calcular 40% de R$300,00 é o mesmo que determinar
um valor X   que   represente   em R$300,00   a   mesma  
proporção   que R$40,00   em R$100,00. Isto   pode ser
resumido  na  proporção:
40  
100
=
X
300
Como o produto dos   meios   é igual ao produto dos  
extremos, podemos realizar a multiplicação   cruzada para
obter: 100X=12000, assim X=120
Logo, 40% de  R$300,00  é  igual a  R$120,00.
2)  Na venda de um carro novo, o vendedor ganhou uma
comissão  de  3%. Sendo  o  valor carro  R$  17000,00, qual foi
a  comissão  do  vendedor?
3% =
100
3
3% de  17000  = 17000
100
3 ⋅ = 510
Logo, a  comissão  foi de  R$   510,00.
EXERCÍCIOS PARA SALA
1) (FEPESE  2010 -­ INMETRO) Um mes antes do  natal uma  
loja varejista aumenta o  preco  de  seus produtos em 30  % .
Apos   o natal, em uma   liquidacao, a   loja   oferece 40% de
desconto  em seus produtos. O desconto   final, em relacao  
ao  preco  antes do  aumento, e de:
a) 40%
b)  32%
c) 30%
d)  25%.
e) 22%.
2) (FEPESE   2013 – CELESC) Em uma   cidade, no mês   de
janeiro foram feitas 678 ligações de   eletricidade. Deste  
total, 114   foram religações;; o   restante foram ligações
novas. Portanto, a   porcentagem de   ligações novas feitas
em janeiro, em relação  ao  total de  ligações efetuadas, é:
a) Menor do  que 80%.
b) Maior do  que  80% e  menor do  que  81%.
c) Maior do  que  81% e  menor do  que  82%.
d) Maior do  que  82% e  menor do  que  83%.
e) Maior do que  83%.
NOÇÕES  DE  MATEMÁTICA  FINANCEIRA
JUROS  SIMPLES
MATEMÁTICA www.energiaconcursos.com.br 20
É   a   remuneração   do   capital.   O   juro   é   uma   espécie   de  
prêmio   ganho   pela   pessoa   que   se   abstém   de   gastar   seu  
dinheiro  no  presente  para  gastar  no  futuro.      
Fórmula:  
J  =  C  .  i  .  t                          
onde:          C  =  capital  
   i  =  taxa  (unitária)  
  t  =  período  (homogêneo  com  o  período  da  taxa)  
  J  =  juros  
EXERCÍCIOS  RESOLVIDOS:  
1) Calcule   os   juros   simples   obtidos   nas   seguintes
condições:
a) Um  capital  de  R$  2000,00  é  aplicado  por  três  meses,  à
taxa  de  4%  a.m.
Solução:
3
4 40,04 2000 3 $ 240,00
100 100
2000
t meses
i ou J C i t R
C
=⎧
⎪⎪
= ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅ =⎨
⎪
=⎪⎩
2) Um  capital  de  R$  400,00  é  aplicado  por  um  ano,  à  taxa
de  5%  a.m.
Solução:
1 12
5 0,05
100
400
400 0,05 12 $ 240,00
t ano meses
i ou J C i t
C
J R
⎧ = =
⎪
⎪
= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒⎨
⎪
=⎪
⎩
⇒ = ⋅ ⋅ =
Montante:  
O  montante  é  o  capital  aplicado  acrescido  dos  juros  ganhos  
no  período.  
Fórmula:            
  M  =  C    +      J  
  M  =  C    +    C.i.t  
  M  =  C  (  1+  i.t)  
EXERCÍCIOS  RESOLVIDOS:  
1) Um  capital  de  R$  1000,00  foi  aplicado  a  taxa  de  48%  ao
ano  pelo  prazo  de  5  meses.  Determine  o  montante  gerado
por  esta  aplicação.
Solução:
( )
55
12
0,48 . . (1 . )
400
5M 1000. 1 0,48. 1000. 1 0,04.5
12
1000.(1 0,20) 1000.(1,2) $ 1200,00
t meses ano
i M C J C C i t C i t
C
M R
⎧ = =⎪
⎪
= ⇒ = + = + = + ⇒⎨
⎪ =
⎪
⎩
⎛ ⎞⇒ = + = + ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇒ = + = =
EXERCÍCIOS  PARA  SALA  
1) Um  capital  de  R$  14.500,00,  foi  aplicado  por  5  meses  à
taxa   de   juros   simples   de   18%   ao   ano.   Os   juros   ganhos
foram  de
a) R$  1.087,50
b) R$  1.200,00
c) R$        987,50
d) R$  1.097,50
e) R$  1.067,50
2) (FEPESE   2014   –   Aud.   Fiscal   –   PMF/SC)   Uma   pessoa
aplicou  um  capital  em  um   investimento  que   rende  3%  de
juros   compostos   mensais.   Se   após   2   meses   o   montante
total   (capital  +   juros)  gerado  é  de  R$  22.384,99,  então  o
capital  inicial  investido  foi  de:
a) R$  21.000,00.
b) R$  21.010,00.
c) R$  21.090,00.
d) R$  21.100,00.
e) R$  21.110,00.
3) (FEPESE  2014    –  ISS/FLORIANÓPOLIS  )  A  taxa  de  juros
simples  mensais  de  4,25%  é  equivalente  à  taxa  de:
a) 12,5%  trimestral.
b) 16%  quadrimestral.
c) 25,5%  semestral.
d) 36,0%  anual.
e) 52,0%  anual.
4) (FEPESE  2014  –  Aud.  Fiscal  –  PMF/SC)  A  quantia  de  R$
750,00   é   aplicada   em   um   investimento   que   rende   juros
simples  mensais.  Se  ao  final  de  5  meses  o  montante  total
investido  (capital  inicial  +  juros)  é  igual  a  R$800,00,  então
a  taxa  de  juros  simples  mensais  que  a  aplicação  rende  é:
a) Menor  do  que  1%.
b) Maior  do  que  1%  e  menor  do  que  1,25%.
c) Maior  do  que  1,25%  e  menor  do  que  1,5%.
d) Maior  do  que  1,5%  e  menor  do  que  1,75%.
e) Maior  do  que  1,75%.
JUROS  COMPOSTOS  
O   regime   de   juros   compostos   é   o  mais   comum  no   dia-­a-­
dia,   no   sistema   financeiro   e   no   cálculo   econômico.   Nesse  
regime  os   juros  gerados   a   cada  período   são   incorporados  
ao  principal  para  o   cálculo  dos   juros  do  período   seguinte.  
Ou   seja,   o   rendimento   gerado   pela   aplicação   será  
incorporado   a   ela,   passando   a   participar   da   geração   do  
rendimento   no   período   seguinte;;   dizemos,   então,   que   os  
juros  são  capitalizados.  
Resumindo,   no   regime   de   juros   compostos   é   calculado  
juros  sobre  juros.  
Exemplo:  
Em  uma  aplicação  de  R$  1.000,00  por  4  meses  à   taxa  de  
10%   a.m.,   vamos   calcular   o   montante   mês-­a-­mês,   pelo  
critério  de  juros  simples  e  composto.  
Cálculo  do  Montante  Composto