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Universidade Paulista - UNIP
Apostila Matemática
Teoria
São Paulo
2016
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CONJUNTOS
Na utilização usual da linguagem, a maioria das palavras pode ter mais de um significado; ao
escrever, um mesmo símbolo pode ser interpretado, às vezes, de diferentes maneiras.
A matemática, no entanto, tem finalidades diferentes das da língua e ela exige a utilização de uma
linguagem mais específica.
A teoria dos conjuntos fornece os elementos para essa linguagem matemática, que se tem
revelado também conveniente para o tratamento matemático de fenômenos relativos às mais variadas
ciências, da Economia à Psicologia, por exemplo.
Frequentemente a noção de conjunto é utilizada. Apesar de ser uma definição bem primitiva,
conjunto nada mais é do que uma reunião de elementos, mas a partir dessa ideia, podemos relacionar
outras situações. No estudo de conjuntos, trabalha-se com alguns conceitos primitivos, que devem ser
entendidos e aceitos sem definição.
ALGUNS CONCEITOS PRIMITIVOS
Conjunto: representa uma coleção de elementos.
Exemplos: a) O conjunto de todos os brasileiros.
b) O conjunto de todos os números naturais.
c) O conjunto de todos os números reais tal que x² - 4 = 0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C,..., Z.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
Exemplos: a) José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
b) 8 é um elemento do conjunto dos números naturais.
c) -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x² - 4 = 0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c,..., z.
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
Exemplos: a) José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
b) 8 pertence ao conjunto dos números naturais.
c) -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x² - 4 = 0.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê:
"pertence".
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais,
escrevemos: 1 ∈ N.
Para afirmar que -5 não é um número natural ou que -5 não pertence ao conjunto dos números naturais,
escrevemos: -5 ∉ N.
Atenção: Os símbolos ∈ e ∉ são utilizados para relacionar elemento com conjunto.
Conjunto Vazio: é o conjunto que não possui elementos. Representa-se o conj. vazio por { } ou por Ø.
Conjunto Universo: é o conjunto ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos que fazem parte
de nosso estudo.
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REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves através
de duas formas básicas e/ou de uma forma geométrica:
Extensão: Os elementos do conjunto estão nomeados um a um, entre duas chaves e separados por
vírgula.
Exemplos: a) A = {a, e, i, o, u}
b) N = {1, 2, 3, 4,...}
c) M = {João, Maria, José}.
d) S = {-2, 2}
Compreensão: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades características dos elementos do
conjunto.
Exemplos: a) A = {x | x é uma vogal}
b) N = {x | x é um número natural} ou {x | x ∈ N}
c) M = {x | x é uma pessoa da família de Maria}
d) S = {x ∈ R | x² - 4 = 0}
Diagrama de Venn: Os conjuntos são mostrados graficamente.
A N M S
IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Se dois conjuntos são iguais
indicamos A = B.
1 2 3
4 5
6 7
a e
i
João
Maria
José
-2
2
4
SUBCONJUNTOS
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A é subconjunto de B. Se cada elemento do conjunto A é,
também, um elemento do conjunto B. Indicamos esta relação por:
A ⊂ B (lê-se: A está contido em B)
B ⊃ A (lê-se: B contém A)
Exemplo: A = {1, 2, 7, 8} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B
12
11
Nesse caso, A ⊂ B ou B ⊃ A. E também, podemos observar que, 8 ∈ A, 8 ∈ B, 5 ∈ B 7 ∈ A, 11 ∉
A e 12 ∉ B, por exemplo.
Atenção: Os símbolos ⊂ e ⊃ ou ⊄ (não está contido) são utilizados para relacionar conjunto com
conjunto.
3 5
A
1 2
7
5
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
União de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B, o conjunto representado por A
B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:
A B = {x | x A ou x B}.
A B
Exemplo: A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, então, A B = {0, 1, 2, 3, 4, 6}.
Intersecção de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B o conjunto representado por
A B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:
A B = {x | x A e x B}.
A B
Exemplo: A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, então, A B = {0, 2, 4}.
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Diferença de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto representado
por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja:
A - B = {x / x A e x B}.
Exemplo: A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, então, A - B = {6} e B – A = {1, 3}.
Aplicação:
Numa pesquisa feita sobre os produtos “Gold” e “Silver” com 1.500 consumidores, obteve-se o seguinte
resultado: 300 pessoas consomem ambos os produtos; 450 pessoas consomem o produto Gold; e 550
pessoas consomem o produto Silver. Responda:
a) Quantas pessoas consomem somente o produto Gold?
b) Quantas pessoas consomem somente o produto Silver?
c) Quantas pessoas consomem o produto Gold ou o Silver?
d) Quantas pessoas não consomem nem Gold nem Silver?
Para resolução do exercício vamos relacionar alguns passos:
1o passo: Leitura / interpretação da questão.
2o passo: De acordo com a interpretação do texto, deve-se identificar quantos e quais são os conjuntos.
Nesta questão há dois conjuntos, o primeiro trata dos produtos “Gold” e o segundo trata dos produtos
“Silver”.
GOLD
SILVER
7
3o passo: Inserir as informações dadas na questão:
� n = número de consumidores = 1500 � conjunto inteiro das pessoas consultadas.
� Conjunto Gold = 450 pessoas consomem o produto Gold;
� Conjunto Silver = 550 pessoas consomem produto Silver;
� Intersecção de Conjuntos = 300 pessoas consomem ambos os produtos, ou seja, pessoas que
consomem o produto Gold e o produto Silver.
n= 1500 consumidores
Gold
450
Silver
550
4o passo: Com a inserção das informações no diagrama, verifica-se que não se sabe o número de
consumidores que utilizam somente o produto Gold e somente o produto Silver. Para resolução deste
problema, utiliza-se uma conta simples: sabe-se que 450 pessoas consomem o produto Gold. No entanto,
nota-se que o conjunto que representa os consumidores Gold já tem os 300 que foram colocados na
intersecção. Elestambém consomem o produto Gold. Para que em todo o conjunto Gold não haja mais
do que 450 elementos, coloca-se somente o que falta:
A = 450 – 300 = 150
A mesma coisa deve ser feita com o conjunto Silver:
B = 550 – 300 = 250.
Então, tem-se:
Gold Silver
a
Y b
300
150 250 300
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Respondendo às questões:
a) Quantas pessoas consomem somente o produto Gold? Resposta: 150 pessoas
b) Quantas pessoas consomem somente o produto Silver? Resposta: 250 pessoas
c) Quantas pessoas consomem o produto Gold ou o Silver? Resposta: 700 pessoas
d) Quantas pessoas não consomem nem Gold nem Silver?
Se foram entrevistadas 1500 pessoas e somente 700 estão no diagrama, então a diferença, 800
pessoas, não consome os produtos Gold nem Silver. Resposta: 800 pessoas.
Problemas envolvendo dois conjuntos
1. Numa pesquisa feita sobre os produtos “Green” e “Red” com 4.500 consumidores, obteve-se o
seguinte resultado: 485 pessoas consomem ambos os produtos; 1.500 pessoas consomem o produto
Green; e 2.000 pessoas consomem o produto Red. Responda:
a) Quantas pessoas consomem somente o produto Green? R.: [1.015]
b) Quantas pessoas consomem somente o produto Red? R.: [1.515]
c) Quantas pessoas consomem o produto Green ou o Red? R.: [3.015]
d) Quantas pessoas não consomem nem Green nem Red? R.: [1.485]
2. Numa pesquisa feita sobre os produtos A e B com 600 consumidores, obteve-se o seguinte resultado:
120 pessoas consomem ambos os produtos.
250 pessoas consomem o produto A.
135 pessoas consomem o produto B.
Responda:
a) Quantas pessoas consomem somente o produto A? R: [130]
b) Quantas pessoas consomem o produto A ou o B? R: [265]
c) Quantas pessoas não consomem nem A nem B? R: [335]
3. Há uma antiga rivalidade entre os fabricantes de dois refrigerantes Coca-Cola e Pepsi-Cola. Para se
saber qual o preferido de certa região, foi feita uma pesquisa entre 245 jovens dessa localidade, que
revelou: 135 bebem Coca-Cola;
75 bebem os dois refrigerantes;
40 não bebem nenhum dos dois refrigerantes.
Sabendo que todos os 245 jovens opinaram, conclua qual o refrigerante preferido e quantos jovens
bebem este refrigerante? R: [Pepsi, 145]
4. Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de 40 alunos. Dez alunos acertaram as duas
questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos
erraram as duas questões? R: [5]
5. Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam produtos A ou B. O produto B é
usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas
usam o produto A? R: [1.520]
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6. Numa sala de aula com 50 alunos, todos falam pelo menos uma língua estrangeira; sabe-se que 35
falam inglês e 27 espanhol. Responda:
a) Quantos alunos falam inglês e espanhol? R: [12]
b) Quantos alunos falam somente inglês? R: [23]
c) Quantos alunos falam somente espanhol? R: [15]
7. Um professor de português passou uma pesquisa numa sala de aula com 30 alunos perguntando
quem havia lido as obras Dom Casmurro ou Memórias Póstumas de Brás Cubas, ambas de Machado
de Assis. O resultado da pesquisa foi precisamente:
19 alunos leram D. Casmurro.
20 alunos leram Memórias Póstumas de Brás Cubas.
3 alunos não leram nenhum dos dois itens.
Com base neste resultado, quantos alunos leram as duas obras? R: [12]
8. Em uma empresa, 60% dos funcionários leem a revista A, 80% leem a revista B, e todo funcionário é
leitor de pelo menos uma dessas revistas. Qual é o percentual de funcionários que leem as duas
revistas? R: [40%]
9. Após um jantar foram servidas as sobremesas Bolo e Sorvete. Sabe-se que das 40 pessoas
presentes, 20 comeram Bolo, 22 comeram Sorvete e 6 pessoas não comeram nenhuma das duas
opções de sobremesa. Responder:
a) Quantas pessoas comeram apenas Bolo? R.: [12]
b) Quantas pessoas comeram somente Sorvete? R.: [14]
c) Quantas pessoas comeram as duas opções? R.: [8]
10. Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao INSS mostrou que muitos deles mantinham convênio
com duas empresas particulares de assistência médica, “A” e “B”, conforme quadro abaixo:
Convênio A Convênio B Somente INSS
430 160 60
Pergunta-se:
a) Quantos eram filiados às duas empresas, A e B? R.: [50]
b) Quantos eram filiados apenas à empresa A? R.: [380]
c) Quantos eram filiados somente à empresa B? R.: [110]
11. Numa certa cidade são consumidos dois produtos, S e P, sendo S um tipo de sabonete e P um tipo
de perfume. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram levantados os
seguintes dados:
Produto S P S e P Nenhum dos dois
No de
consumidores
210 180 50 40
Quantas pessoas foram consultadas? R: [380]
10
Problemas envolvendo três conjuntos
12. Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores com três produtos P1, P2 e P3,
mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos, 30 consumiam os produtos P1 e P2,
50 consumiam os produtos P2 e P3, 60 consumiam os produtos P1 e P3, 120 consumiam o produto
P1 e 75 consumiam o produto P2. Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo
menos um dos produtos, pergunta-se:
a) Quantas consumiam somente o produto P3? R: [35]
b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos? R: [100]
c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2 e não P3? R: [10]
Obs: ∪ = união => ou ∩ = intersecção => e
13. Numa comunidade constituída por 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: esporte (E),
novela (N) e humorismo (H). Na tabela abaixo está indicado o número de pessoas que assistem a
esses programas:
Programas E N H E e N N e H E e H E, N e H
No pessoas 400 1220 1080 220 800 180 100
Com base nesses dados, calcule o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer
dos três programas. R.: [200]
14. Numa pesquisa de mercado foram entrevistadas 61 pessoas sobre suas preferências em relação a
três jornais A, B e C. O resultado da pesquisa foi:
• 44 pessoas leem o jornal A.
• 37 pessoas leem o jornal B.
• 32 pessoas leem os jornais A e C.
• 28 pessoas leem os jornais A e B.
• 26 pessoas leem os jornais B e C.
• 20 pessoas leem os jornais A, B e C.
• 7 pessoas não leem jornais.
Pergunta-se, com base neste resultado, quantas pessoas leem o jornal C? R: [39]
15. Nas favelas, devido às péssimas condições sanitárias, as doenças proliferam com muita rapidez. Em
exames feitos em 41crianças foi constatada a presença de três tipos de bactérias A, B e C.
• 23 crianças apresentaram bactéria A;
• 25 crianças apresentaram bactéria B;
• 22 crianças apresentaram bactéria C;
• 11 crianças apresentaram bactéria A e B;
• 12 crianças apresentaram bactéria B e C;
• 9 crianças apresentaram bactéria A e C.
Sabendo que cada uma das 41 crianças apresentou pelo menos uma das bactérias, quantas crianças
apresentaram as três bactérias? R: [3]
11
16. Um professor de história fez três perguntas aos 32 alunos da sala e pediu para que os alunos
levantassem o braço se a resposta fosse sim.
a) Quem já estudou a história do Egito?
b) Quem já estudou o mundo grego?
c) Quem já estudou o mundo romano?
O professor observou que 17 alunos responderam sim à 1a pergunta, 19 alunos responderam sim à
2a pergunta, 21 alunos responderam sim à 3a pergunta, 11 alunos responderam sim às 1a e 2a
perguntas, 13 alunos responderam sim às 2a e 3a perguntas, 12 alunos responderam sim às 1a e 3a
perguntas e 10 alunos responderam sim às três perguntas. Pergunta-se: Quantos alunos da sala não
estudaram nem Egito, nem o mundo grego, nem o mundo romano? R: [1]
17. Numa prova sobre o corpo humano havia três questões: a 1a sobre o sistema circulatório, a 2a sobre
o sistema respiratório e a 3a sobre o sistema nervoso. Sabe-se que dos 29 alunos que fizeram a prova,
precisamente:
• 15 alunos acertaram a 1a questão.
• 7 alunos acertaram somente a 2a questão.
• 1 aluno acertou somente a 3a questão.
• 11 alunos acertaram a 2a e 3a questões.
• 5 alunos acertaram as 3 questões.
Pergunta-se: Quantos alunos erraram as três questões? R: [0]
18. Uma empresa pública realizou um concurso escrito constituído de três problemas A, B e C para um
total de 870 candidatos inscritos. Após correção constatou-se que 600 candidatos acertaram o
problema A, 400 acertaram o B, 300 acertaram o C. Além disso, 200 candidatos acertaram os
problemas A e B, 150 acertaram A e C e 100 acertaram B e C. Sabe-se, também, que somente 20
candidatos acertaram os três problemas e que nenhum candidato errou todos os problemas. Quantos
candidatos acertaram somente o problema C? R: [70]
19. Num departamento de seleção de pessoal de uma indústria automobilística aplicou-se um teste em
44 candidatos. Uma das perguntas foi: “Você já trabalhou no a) setor de montagem; b) setor de pintura;
c) setor de eletricidade? ”
Concluiu-se que todos candidatos têm experiência em pelo menos um dos setores e que exatamente:
• 28 pessoas trabalharam em montagem.
• 4 pessoas trabalharam só em montagem.
• 1 pessoa trabalhou só em eletricidade.
• 21 pessoas já trabalharam em montagem e pintura.
• 16 pessoas trabalharam em pintura e eletricidade.
• 13 pessoas trabalharam em montagem e eletricidade.
• 10 pessoas têm experiência nas três áreas.
Responda:
a) Quantas pessoas têm experiência em pintura? R: [36]
b) Quantas pessoas têm experiência em eletricidade? R: [20]
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20. Uma pesquisa sobre determinado governo procurou levantar a opinião de vários cidadãos do país
sobre três pontos: A, B e C. Os três pontos pesquisados foram:
A – a política do governo está correta.
B – o governo tem maioria absoluta no congresso.
C – o governo tem apoio da maior parte da população.
A pesquisa apresentou os seguintes resultados:
Pontos pesquisados A B C A e B B e C A e C A, B e C Nenhum dos três
Número de cidadãos 60 80 40 20 10 10 5 225
A metodologia da pesquisa foi a seguinte: perguntava-se a um cidadão se ele concordava
simultaneamente com os três pontos, em seguida, se ele concordava com os pontos combinados dois
a dois e, finalmente, se ele concordava com cada um dos três pontos individualmente. Qual é o
número total de cidadãos pesquisados? R: [370]
21. Numa comunidade são consumidos os tipos de leite “D”, Desnatado, “I”, Integral e “S”,
Semidesnatado. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos
os resultados:
Determinar quantas pessoas:
a) Foram consultadas? R.: [530]
b) Consomem apenas dois tipos de leite? R.: [60]
c) Não consomem o leite tipo Integral? R.: [380]
d) Não consomem o leite tipo Semidesnatado? R.: [330]
22. Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de determinado produto,
apresentou os seguintes resultados: A, 48%; B, 45%; C, 50%; A e B, 18%; B e C, 25%; A e C, 15%;
nenhuma das três, 5% e 10% consomem as três marcas. Qual a porcentagem dos que consomem
somente uma das três marcas? R: [57%]
23. Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18
jogam vôlei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual
ao número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se:
a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei? R: [36]
b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? R: [59]
c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez? R: [20]
Tipo de Leite No de Consumidores
D 100
I 150
S 200
D e I 20
I e S 40
D e S 30
D, I e S 10
Nenhum dos três tipos 160
13
CONJUNTOS NUMÉRICOS IMPORTANTES
1. NÚMEROS NATURAIS
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
2. NÚMEROS INTEIROS
Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
3. NÚMEROS RACIONAIS
Q =
≠∈∈ 0b,Zb,Za
b
a
, conjunto de todos os números da forma
b
a
, onde a e b são números
inteiros relativos, com 0≠b .
Exemplos:
1
5
5 = ;
4
1
25,0 = ;
100
13
%13 = ;
9
4
...444,0 = ;
2
9
2
9
2
9
−
=
−
=− ;
5
12
4,2 =
O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros. Na reta
numérica, temos, por exemplo:
4. NÚMEROS IRRACIONAIS
I = Conjunto de números cuja representação decimal é infinita não periódica, que não podem ser
escritos sob a forma
b
a
.
Exemplos: 2 = 1,414213562..., 3 = 1,732050808..., π = 3,141592654, e = 2,718281828...
14
5. NÚMEROS REAIS
Conjunto dos números reais, constituído pela união do conjunto dos números racionais Q e
números irracionais I: R = Q U I
Intervalos ou subconjuntos de R:
Os intervalos são particulares e importantes subconjuntos de R. Sejam os números a e b , tais que
.ba <
• intervalo aberto: ] [ { }bxaRxb,a <<∈=
• intervalo fechado: [ ] { }bxaRxb,a ≤≤∈=
• intervalo semi-aberto à esquerda: ] ] { }bxaRxb,a ≤<∈=
• intervalo semi-aberto à direita: [ [ { }bxaRxb,a <≤∈=
• intervalo aberto de a até infinito: ] [ { }axRx,a >∈=∞
• intervalo fechado de a até infinito: [ [ { }axRx,a ≥∈=∞
• intervalo aberto de ∞− até b: ] [ { }bxRxb, <∈=∞−
• intervalo fechado de ∞− até b: ] ] { }bxRxb, ≤∈=∞−
15
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões
algébricas ou numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos
expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
Num colégio, aocomprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado,
usando expressões do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível
e T é o valor do troco, então temos uma expressão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no
cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também
denominadas expressões literais. Por exemplo:
A = 2a+7b
B = (3c+4)-5
C = 23c+4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser
substituído por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
1. Potenciação ou Radiciação
2. Multiplicação ou Divisão
3. Adição ou Subtração
Observações quanto à prioridade:
1. Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro
dos parênteses, colchetes ou chaves.
2. A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique
clara a intenção da expressão.
3. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
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Exemplos:
1. Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
2. P = 2.5+10 = 10+10 = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da
expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28
Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
3. Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:
4. X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22
Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.
5. Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então:
6. Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando
substituímos a variável por um valor numérico.
Exemplos:
1-Um triângulo equilátero possui os três lados com mesma medida. Calcular o perímetro de um triângulo
equilátero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se que o perímetro de um triangulo equilátero pode ser
representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta expressão,
obtemos P=3×5cm=15cm.
2-Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a expressão algébrica para a área
do quadrado de lado L que é A=L×L=L². Assim, se L=7cm, então A=7×7=49cm².
Observação: Mudando o valor do lado para L=8cm, o valor da área mudará para A=8×8=64cm².
3-Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:
PAzul = x + y + x + y = 2x + 2y
PVermelho = a + a + a + a = 2a
PVerde = k + t + x + t + k + m + k + x + k + m = 4k + 2t + 2x + 2m
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4-Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos
seguintes fatos:
a. O dobro desse número. � 2y
b. O sucessor desse número. � y + 1
c. O antecessor desse número (se existir). � y - 1
d. Um terço do número somado com seu sucessor. �
�
� + � + 1 =
������
� =
���
�
5-Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor numérico:
a. do dobro de y � 2 x 9 = 18
b. do sucessor de y � 9 + 1 = 10
c. do antecessor de y � 9 – 1 = 8
d. da terça parte de y somado com o sucessor de y
�
� + 9 + 1 =
�(�×
)��
� =
�����
� =
�
� = 13
Monômios e polinômios
São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer
somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na
tabela:
Identificação das expressões algébricas
Com muita frequência, as expressões algébricas aparecem na forma:
3x²y
onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes
como:
p(x,y) = 3x²y
para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.
Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos
conceitos mais importantes da Matemática.
Valor numérico de uma expressão algébrica identificada
É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.
Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que:
p(7,2) = 3 × 7² × 2 = 294
18
Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:
p(-1,5) = 3 × (-1)² × 5 = 3 × 5 = 15
mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7
e y=2, teremos:
p(7,2) = 3 × (-7)² × 2 = 294
A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)
(+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1
(+1) x (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1
(-1) x (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1
(-1) x (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1
Regras de potenciação
Para todos os números reais x e y diferentes de zero, e, m e n números inteiros, tem-se que:
Propriedades Alguns exemplos
xº=1 (x não nulo) 5º = 1
xm xn = xm+n 5².54 = 56
xm ym = (xy)m 5² 3² = 15²
xm ÷ xn = xm-n 520 ÷ 54 = 516
xm ÷ ym = (��)� 5² ÷ 3² = (��)�
(xm)n = xmn (53)² = 125² = 15625 = 56
xm÷n = (xm)1/n 53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
x-m =
�
�� 5
-3 =
�
�� = 1/125
���� = �
(��)
�
�
5��� = �
(��)
�
�
19
Produtos notáveis
Quadrado da soma de dois termos
Sabemos que x²=x.x, y²=y.y, mas não é verdade que
x² + y² = (x+y)²
a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:
(x+y)² = x² + 2xy + y²
Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses
números.
Exemplos:
(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64
(3k+y)² = (3k)²+2.3k.y+y² = 9k²+6ky+y²
(1+
�
�)² = 1 +
��
� +
��
��
Quadrado da diferença de dois termos
Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x
somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:
(x-y)² = x² - 2xy + y²
Exemplos:
(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16
(9-k)² = 9²-2.9.k+k² = 81-18k+k²
(2/y -x)² = (2/y)²-2.(2/y).x+x²
Produto da soma pela diferença de dois termos
Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.
Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o
quadrado de y.
(x+y)(x-y) = x² - y²
Exemplos:
(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4
(g-8)(g+8) = g²-8g+8g-64 = g²-64
(k-20)(k+20) = k²-400
(9-z)(9+z) = 81-z²
20
Questão 1
Sabendo que x = 4, determine o perímetro do polígono:
a) 81
b) 79
c) 78
d) 86
Resposta Questão 1
O perímetro é dado pela soma das medidas referentes aos lados de um polígono. Faremos isso utilizando
o agrupamento de termos semelhantes. Observe:
5x + 3 + 3x + 2 + x + 2 + 5x + 2 + 3x + 1 + 3 + x + 1 =
= 5x + 3x + x + 5x + 3x + x + 3 + 2 + 2 + 2 + 1 + 3 + 1 =
Veja que os termos semelhantes que possuem a variável x estão agrupados do lado esquerdo da
expressão e os termos que não possuem variável estão do lado direito. Agora efetue as operações dos
termos semelhantes:
= 18x + 14
O perímetro do polígono é representado pela expressão:18x + 14. Para sabermos o valor numérico desse
perímetro, devemos substituir o valor de x (x = 4).
18x + 14 =
= 18 . 4 + 14 =
= 72 + 14 =
= 86
O perímetro do polígono é 86. A alternativa correta é a letra “d”.
21
Questão 2
Se A = – 2x + 4y + 5, B = 2x + 2y - 3 e C = 4x – y + 4, então A – B + C é igual a:
a) x + y + 12
b) x + 2y + 12
c) y + 12
d) 4x + 4y + 12
Resposta Questão 2
Para solucionar essa questão, devemos substituir os valores fornecidos para A, B e C na expressão:
A – B – C.
A – B + C =
= – 2x + 4y + 5 – (2x + 2y – 3) + (4x – y + 4) =
Multiplique -1 pelo conjunto (2x + 2y – 3)
= – 2x + 4y + 5 – 2x – 2y + 3 + 4x – y + 4 =
= – 2x – 2x + 4x + 4y – 2y – y + 5 + 3 + 4 =
= 0x + y + 12 =
= y + 12
A expressão: A – B + C = y + 12. A alternativa correta para essa questão é a letra c.
Questão 3
Resolva a expressão [3.(x2y).(x2y)] : (x2y2) e assinale a alternativa que apresenta a solução correta:
a) 3x
b) 3x3
c) x2
d) 3x2
Resposta Questão 3
Para solucionar essa questão, devemos inicialmente resolver os produtos e, depois, fazer a divisão:
[ 3.(x2y).(x2y) ] : (x2y2) =
= [ 3.(x2y).(x2y) ] =
(x2y2)
= [ (3x2y) . (x2y) ] =
(x2y2)
= [3. x2 . x2 . y . y] =
(x2y2)
= 3 . x2 + 2 . y1 + 1 =
(x2y2)
= 3x4y2 =
(x2y2)
= 3x4 -2 . y2 - 2 =
= 3x2 . y0 =
Pela propriedade de potenciação, todo número com expoente zero é 1.
= 3x2 . y0 =
= 3x2 . 1 =
= 3x2
A alternativa correta para essa questão é a letra d.
22
Questão 4
Para um campeonato de futebol, o professor de Educação Física formou 15 times, colocando uma
quantidade x de alunos para cada time. Após ter feito a divisão dos times, o professor escolheu 6 alunos
para serem ajudantes durante o campeonato. Encontre a expressão algébrica que representa a
quantidade de alunos que jogarão no campeonato. Depois, considerando o valor de x como sendo 11,
calcule a quantidade total de alunos e a quantidade de alunos que participarão como jogadores no
campeonato.
Resposta Questão 4
Dados da questão
Quantidade de Times: 15
Quantidade de alunos em cada time: x
Quantidade total de alunos: 15 . x
Alunos que serão ajudantes e não jogarão no campeonato: 6
Solução
Para saber a quantidade de alunos que jogarão no campeonato, devemos escrever os dados coletados
em uma expressão algébrica:
15 . x – 6
Considerando o valor de x como sendo 11, vamos calcular a quantidade total de alunos:
15 . x = 15 . 11 = 165 → total de alunos.
Calcularemos agora a quantidade de alunos que participarão do campeonato como jogadores.
15x – 6 =
= 15 . 11 – 6 =
= 165 – 6 =
= 159
Questão 5
Determine o valor da expressão algébrica 2� + 4� − 5, com x = 3.
R: 169
Questão 6
Dada a expressão algébrica ��� − ���, determine o valor quando x = 4
R: − �
Questão 7
Sabendo os valores de x = 3, y = 4 e z = 5, determine o valor numérico da expressão algébrica:
20���"�
35���"�
R:
�
23
Questão 8
Na expressão algébrica a seguir considera os seguintes valores: x = –2 e y = 4.
�� + 2�� + ��
�� + �� − 3� − 3�
R: − ��
Questão 9
Calcule o valor numérico da expressão:
√$ + %
√$ + √%
Com a = 64 e b = 36
R: ��
24
VARIÁVEIS, CONSTANTES E PARÂMETROS
Em tecnologia e na Matemática, há dois tipos de quantidades: as constantes e as variáveis. Uma
constante é uma quantidade cujo valor não muda em um problema particular. Uma constante absoluta tem
o mesmo valor em todos os problemas, já uma constante paramétrica ou parâmetro tem o mesmo valor
em cada problema, mas podem assumir valores diferentes em problemas diferentes.
Uma variável é uma quantidade que assume diversos valores em um problema particular, e pode
sercontínua ou discreta. A contínua pode assumir qualquer valor em um intervalo de números reais, já
a discreta é a que assume valores em um domínio enumerável.
Assim, em cada problema, podem existir:
1. Constantes absolutas que tem sempre o mesmo valor; tais quantidades são números ou símbolos
denotando números como pi e a constante de Euler(e);
2. Constantes paramétricas tem o mesmo valor em cada problema dado, mas podem ter valores
diferentes em problemas diferentes, tal como a velocidade média, temperatura média;
3. Variáveis assumem todos os valores significativos para o problema. Tais quantidades podem variar
discretamente ou continuamente, e podem estar restritas, por exemplo, a valores não negativos.
25
REPRESENTAÇÃO E LEITURA GRÁFICAS
É muito comum encontrarmos, nas mais diversas publicações, gráficos que procuram retratar uma
determinada situação. Nesses gráficos, dos mais diversos tipos, é utilizado um sistema de coordenadas
para sua representação, permitindo melhor visualização das informações neles representadas.
A representação de informações pela maioria dos gráficos só é possível devido ao plano
cartesiano criado por René Descartes no tratado chamado "Discurso do Método" publicado em 1637.
PLANO CARTESIANO
O plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares, uma horizontal, que recebe o nome
de eixo das abscissas (eixo x) e uma reta vertical, que recebe o nome de eixo das ordenadas (eixo y). O
ponto onde essas retas se cruzam é chamado origem. Ambas as retas (abscissas e ordenadas) são
numeradas utilizando-se uma unidade de medida e a origem é representada pelo número 0 tanto para x
quanto para y.
Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em 4 regiões chamadas quadrantes.
1º Q x > 0
y > 0
2º Q x < 0
y > 0
3º Q x < 0
y < 0
4º Q x > 0
y < 0
-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
y
x
1° Q 2° Q
3° Q 4° Q
sentido
positivo
sentido
positivo
sentido
negativo
sentido
negativo
26
COORDENADAS CARTESIANAS
Para indicar um ponto no plano cartesiano, utilizamos as coordenadas cartesianas, que são
apresentadas na forma de um par ordenado de números. Considere o ponto P que possui coordenadas
(3, -4):
No caso do ponto P, suas coordenadas são indicadas pelo seguinte par ordenado (3, -4). Assim, a
localização do ponto P é representada por P(3, -4). O primeiro número representa sempre a coordenada
em relação ao eixo x (abscissa). O outro número representa a coordenada em relação ao eixo y
(ordenada).
EXERCÍCIOS SOBRE REPRESENTAÇÃO E LEITURA GRÁFICAS
1. Escreva as coordenadas cartesianas dos pontos representados no plano cartesiano abaixo:
27
2. Construa o plano cartesiano, represente os pontos abaixo indicados e escreva em que quadrante ele
se encontra:
A (1, 1) D (3,-2) G (-4,-4)
B (5,-4) E (-3,0) H (2,4)
C (5,-2) F (0,-3) I (5,0)
3. Na tabela abaixo são apresentadas as importâncias gastas (em bilhões de dólares) em certo país, de
2004 a 2013, com a aquisição de revistas, jornais e similares. Represente graficamente (gráfico de linhas)
os dados, indicando quaisquer tendências que se apresentem (segmentos crescentes, decrescentes ou
constantes).
Ano 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Quantia
(bilhões de dólares)
11,0 11,4 12,0 12,713,2 13,9 15,4 17,0 18,5 19,2
4. Na tabela abaixo é apresentada a receita (em milhões de dólares) obtida pela GIT Company em todo
o mundo de 2005 a 2013. Represente graficamente (gráfico de linhas) esses dados.
Ano 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Receita
(milhões de dólares)
3580 4110 4540 4720 5160 5350 5490 5300 5030
5. No gráfico abaixo é apresentado o volume de vendas de determinada empresa em 2013. Determine:
a) a quantidade vendida nos meses de março, julho e novembro;
b) o mês correspondente à venda de exatamente 5.500 unidades;
c) a variação percentual do volume de vendas entre os meses de março e junho e, também, entre outubro
e dezembro.
∆% = ()* − )+)+ , × 100
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
V
en
da
s
m
en
sa
is
(
un
id
ad
es
)
Mês
28
6. Observando o gráfico abaixo, no qual é apresentada a Média Industrial Dow Jones (em pontos) da
Bolsa de Valores de Nova York para ações comuns, responda:
a) Estime a Média Industrial Dow Jones para Ago/10, Nov/10, Dez/11 e Mar/12;
b) Em que data(s) a Média Industrial Dow Jones foi, respectivamente, 2.900; 3.020 e 3.340?
c) Calcule a variação percentual da Média Industrial Dow Jones entre os períodos de Nov/10 e Mar/11 e,
também, entre Out/11 e Dez/11.
7. No gráfico abaixo são apresentadas as vendas anuais (em milhões de dólares) da Wal-Mart Stores e
da K Mart Corporation, para os anos de 2005 a 2013.
a) Estime o nível de vendas da Wal-Mart e da K Mart em 2005, 2007, 2009, 2011 e 2013.
b) Em que ano o nível de vendas das duas corporações foi igual? Estime o nível de vendas das duas
corporações nesse ano.
c) Observa-se que ambas as corporações cresceram ao longo dos anos mostrados no gráfico. Qual das
duas cresceu mais entre 2010 e 2013? Calcule a variação percentual das vendas para as duas empresas
nesse período.
29
FUNÇÕES
A IDÉIA DE FUNÇÃO
A palavra função evoca uma ideia de dependência: a variação de uma grandeza depende da
variação da outra grandeza.
Sabe-se que a área de um quadrado (A) é igual ao quadrado da medida de seu lado (L), ou seja,
2
LA = . Quando se diz que a área de um quadrado é função do seu lado )L(fA = , o que se pretende
dizer que é que a área do quadrado depende de seu lado.
Genericamente, tem-se que: )x(fy = , ou seja, y é função de x.
Outros exemplos
a) a tarifa postal T é função do “peso” p da carta: )p(fT =
b) o desconto D do Imposto de Renda é função do salário recebido s: )s(fD =
c) o salário S de um vendedor é função do volume V de vendas: )V(fS =
d) a quantidade demandada Q de uma mercadoria é função de seu preço p: )p(fQ =
Mais exemplos
O salário mensal de um vendedor é composto de duas partes: uma é fixa, no valor de R$ 800,00, e a
outra é variável, sendo igual a 5% do total que ele vende no mês. Chamando o total de vendas de V e o
salário de S, tem-se que o salário é função do total de suas vendas, ou seja, S = f(V).
a) Determinando a lei que associa o salário ao volume de vendas:
V.05,0800S +=
b) Podemos construir uma tabela para essa função:
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
A função pode ser definida como um tipo especial de relação:
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma função
de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do
conjunto B. Neste contexto, a variável x é chamada de variável independente e a variável y é chamada
de dependente.
DOMÍNIO
É o conjunto dos valores possíveis para x, que indicaremos por D. O domínio da função pode ser
explicitado na apresentação da função. Em caso contrário, é convencionado que o domínio da função é
o conjunto dos números reais x, para os quais tem sentido calcular y=f(x).
Volume de vendas (V) (R$) Salário (S) (R$)
0,00 800,00
1.000,00 850,00
3.000,00 950,00
6.000,00 1.100,00
30
IMAGEM
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos
o nome de imagem de x pela função f. Portanto, o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im,
é um subconjunto do contradomínio da mesma.
Exemplos
a) Dada a função 10x2y += , com D = {1, 2, 3} obtém-se o conjunto Im = {12, 14, 16}.
b) Dada a função
3x
10
y
−
= , o domínio é o conjunto dos números reais, com exceção de 3x = , para o
qual o divisor é igual a zero. Então: D = }3{−ℜ ou D = }3xx{ ≠ℜ∈ .
c) Dada a função
x
1x
y
+
= , o domínio é o conjunto dos números reais, com exceção de 0≠x , para o
qual o divisor é igual a zero. Então: D = { }0−ℜ ou D = { }0xx ≠ℜ∈ .
d) Dada a função 5xy += , o domínio é o conjunto dos números reais. Então: D = ℜ ou D =
{ }ℜ∈x .
e) Se temos a função x7R = , onde R é receita e x é a quantidade vendida de um produto, o domínio é
D = { }0xx ≥ℜ∈ , pois a quantidade x deve ser sempre maior ou igual a zero.
FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função cuja lei é do tipo y = k, onde ℜ∈k , é chamada de função constante, pois para
qualquer valor real atribuído à variável x, sua imagem será sempre a mesma, ou seja, Im = {k}.
Exemplo
2y −= D = { }ℜ∈x e Im = {-2}
Tabela: Gráfico:
x y
-3 -2
-1 -2
0 -2
3/2 -2
5 -2
31
FUNÇÃO DO 1o GRAU
De uma maneira geral podemos representar a função de 1o grau na forma y = ax + b, com a e b
sendo números reais e a ≠ 0 (caso a = 0 tem-se y = b, que representa uma função constante). Em geral,
o domínio de uma função de 1o grau é ℜ , mas quando a função está vinculada a uma situação real, é
preciso verificar o que representa a variável independente x para determinar o seu domínio.
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1o GRAU (função linear afim ou função linear)
O gráfico de uma função do 1o grau y = ax + b é uma reta. Apesar de podermos obter infinitos
pontos (x, y) a partir da equação de uma função linear, bastam dois pontos para construir a reta.
Exemplos
1. 4x2y −=
Tabela: Gráfico:
x y
-3 -10
-2 -8
-1 -6
0 -4
1 -2
2 0
3 2
4 4
2. 2x3y +−=
Tabela: Gráfico:
x y
-3 11
-2 8
-1 5
0 2
2/3 0
1 -1
2 -4
3 7
3. x5y =
Tabela: Gráfico:
x y
-2 -10
-1 -5
0 0
1 5
2 10
32
SIGNIFICADO DOS COEFICIENTES a e b
Na equação y = ax + b, os números representados por a e b são chamados coeficientes.
a = coeficiente angular → mede a variação proporcional de y em relação à variação ocorrida em x, ou
seja,
12
12
xx
yy
x
y
a
−
−
=
∆
∆
=
O coeficiente angular a mede a inclinação da reta: quanto maior a, maior a inclinação da reta.
Tem-se ainda que: a > 0: a função é crescente
a < 0: a função é decrescente
b = coeficiente linear → mostra o ponto em que a reta corta o eixo dos y.
Exemplos
1. 4x2y −= → a = 2 e b = -4 → função crescente; a reta corta o eixo y no ponto (0, -4).
2. 2x3y +−= → a = -3 e b = 2 → função decrescente; a reta corta o eixo y no ponto (0, 2).
3. 5
3
x
y += → a = 1/3 e b = 5 → função crescente; a reta corta o eixo y no ponto (0, 5).
4. x
2
5
y −= → a = -1 e b = 5/2 → função decrescente; a reta corta o eixo y no ponto (0, 5/2).
5. x8y = → a = 8 e b = 0 → função crescente; a reta passa na origem (0, 0).
Sabemos que dada a equação da reta encontramos os pontos pelos quais ela passa,
simplesmente, substituindo valores de x na função y =ax + b e encontrando o respectivo valor de y (como
pode ser observado nas tabelas dos exemplos 1, 2 e 3, acima).
Entretanto, podemos ter o problema oposto: conhecer pontos pelos quais uma reta passa e
precisar escrever a equação da reta.
Nesse caso, basta calcular os coeficientes a e b.
Exemplos
1. Para escrever a equação da reta que contém os pontos P1 = (-1, 2) e P2 = (2, 8), devemos calcular os
coeficientes a e b:
2a
3
6
)1(2
28
xx
yy
x
y
a
12
12 =⇒=
−−
−
=
−
−
=
∆
∆
=
Substituindo qualquer um dos dois pontos dados na equação da reta, encontramos b. Ou seja,
substituindo P1 = (-1, 2) 4bb22b22b)1.(22baxy =⇒=+⇒+−=⇒+−=⇒+=⇒ .
(Ou também: substituindo P2 = (2, 8) 4bb48b48b228baxy =⇒=−⇒+=⇒+•=⇒+=⇒ ).
Então, a equação da reta que contém os pontos P1 = (-1, 2) e P2 = (2, 8) é: y = 2x + 4.
33
2. Escrever a equação da reta que contém os pontos P1 = (3, 8) e P2 = (5, 4).
2a
2
4
35
84
xx
yy
x
y
a
12
12 −=⇒
−
=
−
−
=
−
−
=
∆
∆
=
Substituindo qualquer um dos dois pontos dados na equação da reta, encontramos b. Ou seja,
substituindo, por exemplo, P2 = (5, 4):
14bb104b104b5.24baxy =⇒=+⇒+−=⇒+−=⇒+= .
Então, a equação da reta que contém os pontos P1 = (3, 8) e P2 = (5, 4) é: y = -2x + 14.
ALGUMAS APLICAÇÕES DE FUNÇÕES DO 1o GRAU
Função Demanda
A demanda (qD) de uma determinada utilidade (bem ou serviço) é a procura de mercado desta utilidade
a um preço p, isto é, a soma das quantidade que todos os compradores do mercado estão dispostos e
aptos a adquirir a utilidade ao preço p, em determinado período de tempo.
A função que associa a demanda qD a todo preço p é denominada Função Demanda. A representação
gráfica desta função constitui a Curva de Demanda.
Função Oferta
A oferta de mercado (qO) de uma determinada utilidade (bem ou serviço) é a soma das quantidades que
todos os produtores estão dispostos e aptos a vender ao preço p, durante certo período de tempo.
A função que associa a oferta qO a todo preço p é denominada Função Oferta. A representação gráfica
desta função constitui a Curva de Oferta.
Ponto de Equilíbrio de Mercado: é o ponto (quantidade e preço) em que a demanda e a oferta de uma
determinada utilidade são iguais. qD = qO.
Função Custo
A função Custo descreve o custo de produção de determinado bem e varia em função da quantidade
produzida desse bem.
No custo de produção existe uma parcela fixa (CF = custo fixo) e outra variável (CV = custo variável). O
custo fixo corresponde aos gastos fixos de produção, tais como, instalação ou manutenção do prédio. O
custo variável corresponde aos gastos com a produção propriamente dita, isto é, envolve compra de
matéria prima, pagamento de mão de obra, etc.
O Custo Fixo pode ser considerado uma função constante, cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo
horizontal (eixo x).
O Custo Variável é função da quantidade produzida: CV = C.Q, onde C = custo unitário de produção.
A função Custo Total é a soma das funções Custo Fixo e Custo Variável, ou seja:
CT = CF + CV ou CT = CF + C.Q
Onde:
CT = Custo Total
C = Custo unitário = custos diretos (matéria-prima e mão de obra)
Q = quantidade produzida
CF = Custo Fixo
Função Receita
A função Receita descreve o total bruto recebido pela venda de uma quantidade variável de um produto.
Se o preço unitário P for fixo, qualquer que seja a quantidade vendida Q, a receita pode ser determinada
por:
RT = P.Q
34
Função Lucro
O Lucro é obtido pela diferença entre Receita e Custo. A função Lucro é expressa pela diferença entre as
funções Receita e Custo, ou seja:
L = RT – CT
“Break-even Point” ou Ponto de Nivelamento ou Ponto de Equilíbrio: representa um ponto em que a
receita total se iguala ao custo total, ou seja, o lucro é igual a zero. Indica a quantidade mínima de produtos
que devem ser produzidos e vendidos para que não haja prejuízo.
RT = CT
Depreciação
Depreciação é a diminuição do valor de um bem, ao longo de sua vida útil, resultante do desgaste físico,
do uso ou da obsolescência. A depreciação pode ser utilizada com finalidade fiscal, uma vez que é
considerada como custo de produção (custo contábil), não desembolsável, permitindo que seja deduzida
dos lucros tributáveis.
A depreciação linear considera a taxa de depreciação constante em todo o período, ou seja:
custo da aquisição – valor residual
Taxa anual de depreciação =
vida útil (em anos)
Obs.: É fácil notar que a taxa anual de depreciação linear, definida acima, é exatamente igual ao
coeficiente a da equação da reta.
Exemplos
1. Quando o preço de uma calculadora eletrônica é de R$ 120,00, são vendidas mensalmente 200
unidades. Entretanto, aumentando-se R$ 20,00 no preço, verifica-se uma queda de 50 unidades no total
de vendas. Determinar a função demanda, admitindo-se que seja uma função linear.
Solução:
Como a função demanda é linear (y = ax + b), pode-se escrever: qD = a.p + b
Os dados das vendas mostram que: P1 = (120, 200) e P2 = (140, 150). Assim:
5,2a
20
50
120140
200150
xx
yy
x
y
a
12
12 −=⇒
−
=
−
−
=
−
−
=
∆
∆
=
Substituindo qualquer um dos dois pontos dados na equação qD = a.p + b, encontramos b. Ou seja,
substituindo P1 = (120, 200):
500bb300200b300200b1205,2200b a.p qD =⇒=+⇒+−=⇒+•−=⇒+= .
Então, a equação de demanda é dada por: qD = -2,5.p + 500.
2. Uma cozinheira deseja vender doces a domicílio. Gastou $ 300,00 na compra de utensílios gerais de
cozinha, calculou o preço de custo de cada doce em $ 2,00 e deseja vender o produto ao preço unitário
de $ 3,50.
a) Determinar as funções Custo, Receita e Lucro Totais;
b) determinar o número de doces que a cozinheira precisa vender para alcançar o nivelamento entre a
receita e o custo totais (“break-even point”);
c) determinar o número de doces que a cozinheira precisa vender para obter um lucro de $ 450,00;
d) calcule o lucro ou prejuízo da cozinheira ao vender 100 doces;
e) No mesmo par de eixos construa o gráfico das funções Receita Total e Custo Total, assinalando o
“break-even point”.
Solução:
a) Função Custo: CT = CF + C.Q → CT = 300 + 2.Q onde Q = quantidade produzida.
Função Receita: RT = P.Q → RT = 3,50.Q onde Q = quantidade vendida.
Função Lucro: L = RT - CT → L = 3,50.Q – (300 + 2.Q) → L = 3,50.Q – 300 – 2.Q →
L = 1,50.Q – 300
35
b) Break-even point (BEP): RT = CT → 3,50.Q = 300 + 2.Q → Q = 200
5,1
300
= doces, ou seja, vendendo-
se 200 doces a receita é igual ao custo, isto é, o lucro é zero.
c) L = 1,50.Q – 300 → 450 = 1,50.Q – 300 → 450 + 300 = 1,50.Q → 1,50.Q = 750 → 500
50,1
750
Q ==
doces, ou seja, para que a cozinheira obtenha um lucro de $ 450,00 precisa vender 500 doces.
d) L = 1,50.Q – 300 → L = 1,50. 100 – 300 → L = 150 – 300 = - $150, ou seja, se a cozinheira vender
somente 100 doces terá um prejuízo de $ 150,00.
e)
3. Se um equipamento foi comprado por $ 20.000,00 e se espera que o seu valor final (residual) após 10
anos seja de $ 1.500,00, qual o valor líquido do equipamento após 5 anos?
Solução:
Considerando depreciação linear, ou seja, y = a.x + b, onde pode-se escrever V = a.t + b, sendo V o valor
do equipamento e t o tempo (em anos), temos que: P1 = (0, 20.000) e P2 = (10, 1.500). Assim:
1850a
10
18500
010
200001500
xx
yy
x
y
a
12
12 −=⇒
−
=
−
−
=
−
−
=
∆
∆
= (taxa anual de depreciação)
Substituindo qualquer um dos dois pontos dados na equação V = a.t + b, encontramos b. Ou seja,
substituindo P1 = (0, 20.000):
20000bb0185020000b a.t V =⇒+•−=⇒+= .
Então, a equação do valor V do bema ser depreciado no tempo t é dada por: V = -1.850.t + 20.000.
Assim, o valor líquido do equipamento após 5 anos, será:
V = -1850.5 + 20000 → V = -9250 + 20000 → V = $ 10.750,00.
36
EXERCÍCIOS PARA APLICAÇÃO DE FUNÇÕES DO 1o GRAU
1. Represente a função que descreve cada fato abaixo:
a) Uma locadora A aluga carro popular nas seguintes condições: uma taxa fixa de $ 50,00 e mais $
0,30 por quilômetro rodado;
b) A receita R resultante da venda de uma quantidade x a preço unitário de $ 20,00;
c) O custo C, em função de uma quantidade x, que um comerciante compra a preço unitário de $
15,00, tendo um custo fixo de $ 50,00;
d) O salário mensal S, em função da quantidade t de horas trabalhadas, de um trabalhador que ganha $
500,00 fixos, mais $ 3,00 por hora extra;
e) O salário S de um vendedor, em função do valor total x que vendeu em um mês, sabendo que tem
salário fixo de $ 1.000,00 e comissões de 3,5% sobre o total de vendas.
2. Representar graficamente as funções dadas por:
a) y = 29 c) y = 3 - 2x e) y = - 7
b) y = 4x + 5 d) y = - 5x + 2 f) y = - 3 + x
3. A receita total das vendas de rádios é dada por RT = 200.q (onde q é a quantidade de rádios) e o custo
total é dado por CT = 160.q + 2.000. Determinar:
a) o ponto de nivelamento (“break-even point”) de mercado;
b) esboçar o gráfico da função lucro total e fazer a análise econômica.
4. Uma editora vende certo livro por $ 60 a unidade. Seu custo fixo é $ 10.000 e o custo por unidade é de
$ 40. Escreva as funções receita, custo e lucro total e determine o ponto de nivelamento. Quantas
unidades a editora deverá vender para obter um lucro de $ 8.000?
5. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por $ 80. O custo total consiste em um custo
fixo de $ 4.500 somado ao custo da produção de $ 50 por unidade.
a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para existir o nivelamento?
b) Qual será o lucro ou prejuízo do fabricante, se forem vendidas 200 unidades?
c) Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de $ 900?
d) Esboçar o gráfico da função lucro total e fazer a análise econômica.
6. Uma impressora é vendida por $ 200,00 a unidade. O custo fixo é de $ 16.000,00 e o custo de produção
de cada impressora é de $ 120,00.
a) Expresse a função custo total de fabricação em função do número de impressoras fabricadas.
b) Expresse a função receita total;
c) A partir de quantas unidades vendidas se terá lucro?
d) Se forem vendidas 150 impressoras, o fabricante terá lucro ou prejuízo? De quanto?
e) Quantas impressoras deverão ser vendidas para se ter um lucro de $ 2.000,00?
7. Uma microempresa vende camisetas polo a $ 35 cada. O custo de produção de cada camiseta é $ 15
e seus custos fixos totalizam $ 8.000. Nesse caso:
a) Escreva as funções receita, custo e lucro totais;
b) Determine o ponto de nivelamento (BEP) entre a receita total e o custo total;
c) Esboce o gráfico da função lucro total e faça a análise econômica da situação;
d) Qual será o lucro da microempresa se forem vendidas 880 camisetas?
e) Para a microempresa ter um lucro de $ 18.000, quantas camisetas polo deverá vender?
8. Durante o verão, um grupo de estudantes constrói e vende pranchas de surf em uma garagem adaptada
em uma cidade de praia. O valor do aluguel da garagem (custo fixo) é $ 2.400,00 para o verão inteiro e o
material necessário para construir cada prancha custa $ 125,00. As pranchas são vendidas por $ 275,00
cada uma. Nesse caso:
a) Determine as funções receita, custo e lucro totais em relação ao número de pranchas
fabricadas/vendidas.
37
b) Determine o número de pranchas que os estudantes precisam vender para não ter lucro nem prejuízo
(BEP).
c) Quantas pranchas os estudantes precisam vender para ter um lucro de $ 3.600,00?
d) Qual será o lucro ou prejuízo dos estudantes se forem vendidas 20 pranchas?
9. Calcular a equação da reta que contém os pontos P1 e P2:
a) P1 = (1, 1) e P2 = (0, 5) c) P1 = (0, -2) e P2 = (5, 3) e) P1 = (1, 3) e P2 = (0, 0)
b) P1 = (4, -3) e P2 = (-4, -5) d) P1 = (-5, 16) e P2 = (-1, 8) f) P1 = (4, -3) e P2 = (8, -9)
10. A curva de demanda ou procura associa, por uma lei matemática, a relação entre as grandezas preço
e quantidade. Na prática, a relação entre essas grandezas é dada por uma equação linear, cujo gráfico
tem declividade negativa, isto é, à medida que o preço aumenta, a quantidade demandada diminui e, se
o preço diminui, a quantidade demandada aumenta. Considere que a quantidade demandada q de um
determinado eletrodoméstico em uma loja é dada pela equação q = – 0,2.p +100, onde p representa
o preço em reais. Represente graficamente a função q = f(p). (Observe que quando o preço do
eletrodoméstico é mais acessível, maior é o consumo).
11. Por sua vez, a curva de oferta, também associa, por uma lei matemática, a relação entre as grandezas
preço e quantidade. Essa relação é dada, na prática econômica, por uma equação linear, cujo gráfico tem
declividade positiva, isto é, a medida que o preço aumenta, a quantidade ofertada também aumenta.
Considere que a quantidade ofertada q de um determinado eletrodoméstico em uma loja é dada pela
equação q = 0,2.p – 20, onde p representa o preço em reais. Represente graficamente a função q = f(p).
12. Outro conceito econômico importante é o de ponto de equilíbrio de mercado. Como na função
demanda, uma elevação no preço corresponde a uma redução na quantidade demandada e na função
oferta, uma elevação no preço corresponde a uma elevação na quantidade ofertada, até que nível variará
o preço se, de um lado, o consumidor deseja preços sempre menores e, de outro, o produtor interessa-
se por preços sempre maiores? Nesse caso, haverá um preço que satisfará, levando em conta a
quantidade, aos consumidores e produtores: é o chamado preço de equilíbrio. Em um mercado de
concorrência perfeita, o ponto de equilíbrio é a intersecção das curvas de demanda e oferta de mercado,
sendo este o único ponto em que a um mesmo preço, as quantidades demandadas e ofertadas são iguais
(quantidade de equilíbrio). Considere as funções demanda e oferta dadas, respectivamente, nos
exercícios 8 e 9. Qual é o ponto de equilíbrio de mercado (preço e quantidade de equilíbrio)? Faça os
respectivos gráficos no mesmo sistema de coordenadas, assinalando o ponto de equilíbrio.
13. Quando o preço de cada bicicleta é $ 160,00; então 20 bicicletas são vendidas, mas se o preço é $
150,00, então 25 bicicletas são vendidas. Encontre a equação de demanda.
14. Em relação à oferta, quando o preço de cada bicicleta é $ 200,00, então 20 bicicletas estão disponíveis
no mercado; mas quando o preço for $ 220,00, então 30 bicicletas estão disponíveis no mercado. Qual a
equação de oferta?
15. Ache o ponto de equilíbrio de mercado para as equações de demanda e oferta determinadas nos
exercícios 13 e 14 e faça os respectivos gráficos no mesmo sistema de coordenadas, assinalando o ponto
de equilíbrio.
16. Quando o preço unitário for $ 30,00, então, 58 máquinas fotográficas são vendidas semanalmente;
quando o preço for $ 75,00, então, 40 máquinas são negociadas por semana. Encontre a equação de
demanda. Em relação à oferta, quando o preço for $ 40,00, então 30 máquinas fotográficas estão
disponíveis no mercado; quando o preço for $ 75,00, então 100 máquinas fotográficas estão disponíveis.
Qual a equação de oferta? Ache o ponto de equilíbrio para as equações de oferta e demanda
determinadas acima e faça os respectivos gráficos no mesmo sistema de coordenadas.
17. Quando o preço de uma calculadora é $ 150,00, então 50 unidades estão à venda. Quando o preço
passa a $ 200,00, estão disponíveis no mercado 100 calculadoras. Qual é a lei da oferta para esse
produto, sabendo-se que sua representaçãográfica é uma reta? Calcular a oferta para o preço de $
190,00.
38
18. Quando o preço de venda de um livro é de $ 120,00, são vendidos 200 exemplares. Entretanto,
aumentando-se o preço para $ 132,00, o número de exemplares vendidos passa a 160. Sabendo-se que
a representação gráfica dessa situação é uma reta, ou seja, que a função é linear:
a) Determinar a função demanda.
b) Esboçar o gráfico dessa função.
c) Calcular a demanda para o preço de $ 90,00.
d) Calcular o preço do livro se a demanda é de 75 exemplares.
19. O valor de um equipamento hoje é $ 2.000 e daqui a 9 anos será $ 200. Admitindo-se depreciação
linear:
a) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos ?
b) De quanto será sua depreciação nesses 3 anos?
c) Daqui a quanto tempo o valor do equipamento será nulo?
20. Daqui a 2 anos o valor de uma máquina industrial será $ 5.000 e daqui a 4 anos será $ 4.000.
Admitindo-se depreciação linear:
a) Qual seu valor hoje?
b) Qual seu valor daqui a 5 anos?
21. Um produtor compra uma máquina por $ 21.000,00 que se deprecia linearmente, de tal forma, que
seu valor de troca após 10 anos é de $ 5.000,00.
a) Calcule o valor da máquina após 7 anos.
b) Daqui a quanto tempo o valor da máquina será $ 1.800,00?
22. O valor de um equipamento hoje é $ 20.000,00 e daqui a 8 anos será $ 2.000,00. Admitindo-se
depreciação linear, qual será o valor do equipamento daqui a 5 anos?
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PARA APLICAÇÃO DE FUNÇÕES DO 1o GRAU
1. a) A = 50,00 + 0,30.x b) R = 20,00.x c) C = 50,00 + 15,00.x
d) S = 500,00 + 3,00.t e) S = 1000,00 + 0,035.x
3. a) O “break-even point” ou ponto de nivelamento é atingido com a venda de 50 rádios.
b) Análise econômica: A receita total é igualada ao custo total quando são produzidos e vendidos 50
rádios. O lucro será negativo (prejuízo) para quantidades inferiores a 50 rádios e será positivo para
quantidades superiores a 50 rádios.
4. Função Receita Total: RT = 60.q ; Função Custo Total : CT = 10.000 + 40.q
Função Lucro Total : LT = 20q – 10.000
Ponto de nivelamento (BEP): q = 500 livros com RT = CT = $ 30.000
A editora deverá vender 900 livros para obter um lucro de $ 8.000.
5. a) O fabricante precisa vender 150 unidades para existir o nivelamento.
b) O fabricante obterá um lucro de $ 1.500 ao vender 200 unidades.
c) O fabricante necessita vender 180 unidades para ter um lucro de $ 900.
6. a) CT = 16.000 + 120.q b) RT = 200.q
c) Ter-se-á lucro para quantidades maiores que 200 impressoras.
d) Na venda de 150 impressoras, o fabricante terá prejuízo de $ 4.000,00.
e) Deverão ser vendidas 225 impressoras para a obtenção de um lucro de $ 2.000,00.
7. b) Ponto de nivelamento (BEP): q = 400 camisetas com RT = CT = $ 14.000.
d) Na venda de 880 camisetas, o lucro será $ 9.600.
e) A microempresa deverá vender 1.300 camisetas polo para obter um lucro de $ 18.000.
39
8. b) Ponto de nivelamento (BEP): q = 16 pranchas com RT = CT = $ 4.400.
c) Os estudantes devem vender 40 pranchas para obter um lucro de $ 3.600.
d) Na venda de 20 pranchas, o lucro será $ 600.
9. a) y = - 4x + 5 c) y = x – 2 e) y = 3x
b) y = 0,25x - 4 d) y = -2x + 6 f) y = -1,5x + 3
12. Ponto de equilíbrio entre oferta e demanda: p = $300, q = 40 unidades.
13. Equação de demanda: q = - 0,5.p + 100
14. Equação de oferta: q = 0,5.p – 80
15. Ponto de equilíbrio entre oferta e demanda: p = $180, q = 10 bicicletas.
16. Equação de demanda: q = - 0,4.p + 70; Equação de oferta: q = 2.p – 50
Ponto de equilíbrio entre oferta e demanda: p = $50, q = 50 máquinas fotográficas.
17. Lei da oferta para o produto: q = p – 100
Para o preço de $190,00, a oferta será de 90 calculadoras.
18. a) Função demanda: q = - 600p
12
40
+ ou q = -3,33.p + 600
c) A demanda para o preço de $90,00 é de 300 exemplares.
d) O preço do livro é de $157,50 para uma demanda de 75 exemplares.
19. a) O valor do equipamento daqui a 3 anos será $1.400,00.
b) O valor total de sua depreciação em 3 anos será $600,00.
c) O valor do equipamento será nulo daqui a 10 anos.
20. a) O valor da máquina hoje é $ 6.000,00.
b) O seu valor daqui a 5 anos será $ 3.500,00.
21. a) O valor da máquina daqui a 7 anos será $ 9.800,00.
b) O valor da máquina será $ 1.800,00 daqui a 12 anos.
22. O valor do equipamento será $ 8.750,00 daqui a 5 anos.
40
FUNÇÕES DO 2o GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA
Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada
por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada
parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida,
ligamos os pontos assim obtidos.
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
x y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
41
Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números
reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0,
as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o
Radicando , chamado discriminante, a saber:
• quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
• quando é negativo, não há raiz real.
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0,
a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:
42
Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas
seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o
eixo dos y.
Sinal
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os
quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
1º - > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o
eixo Ox em dois pontos e o sinal dafunção é o indicado nos gráficos abaixo:
quando a > 0
y > 0 (x < x1 ou x > x2) y > 0 x1 < x < x2
y < 0 x1 < x < x2 y < 0 (x < x1 ou x > x2)
quando a < 0
43
2º - = 0
quando a > 0
3º - < 0
quando a > 0
quando a < 0
quando a < 0
44
EXERCÍCIOS PARA APLICAÇÃO DE FUNÇÕES DO 2o GRAU
1 - Encontre o valor de f(x) = x² + 3x – 10 para que f(x) = 0
2 - Calcule o valor de 5x² + 15x = 0 para que f(x) = 0
3 - (UfSCar–SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol,
teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0) , onde t é o tempo medido em segundo
e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, apos o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
b) a altura atingida pela bola.
4 - Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4x² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da
parábola não possui ponto em comum com o eixo x.
5 - Determine os valores de m, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.
6 - (Vunesp-SP) O gráfico da função quadrática definida por y = x² – mx + (m – 1), em que m Є R, tem
um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Determine y associado ao valor de x = 2.
7 - (UCSal-BA) Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o
eixo das abscissas.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS P/ APLICAÇÃO DE FUNÇÕES DO 2o GRAU
Resposta Questão 1
Os coeficientes dessa função são: a = 1, b = 3 e c = – 10. Para resolver essa equação, vamos utilizar a
fórmula de Bhaskara:
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4.1.(– 10)
Δ = 9 + 40
Δ = 49
x = – b ± √Δ
2.a
x = – 3 ± √49
2.1
x = – 3 ± 7
2
x1 = – 3 + 7
2
x1 = 4
2
x1 = 2
x2 = – 3 – 7
2
x2 = – 10
2
x2 = – 5
Os dois valores de x para que f(x) = 0 são x1 = 2 e x2 = – 5.
Resposta Questão 2
45
Vamos resolver essa função do 2° grau isolando a variável x:
5x² + 15x = 0
5x.(x + 3) = 0
x1 = 0
x2 + 3 = 0
x2 = – 3
Portanto, os valores de x para os quais f(x) = 0 são 0 e – 3.
Resposta Questão 3
a) Houve dois momentos em que a bola tocou o chão: o primeiro foi antes de ela ser chutada e o
segundo foi quando ela terminou sua trajetória e retornou para o chão. Em ambos os momentos a
altura h(t) era igual a zero, sendo assim:
h(t) = – 2t² + 8t
0 = – 2t² + 8t
2t² – 8t = 0
2t.(t – 4) = 0
t' = 0
t'' – 4 = 0
t'' = 4
Portanto, o segundo momento em que a bola tocou no chão foi no instante de quatro segundos.
b) A altura máxima atingida pela bola é dada pelo vértice da parábola. As coordenadas do seu vértice
podem ser encontradas através de:
xv = – b
2a
yv = – Δ
4a
No caso apresentado, é interessante encontrar apenas yv:
yv = – Δ
4a
yv = – (b² – 4.a.c)
4a
yv = – (8² – 4.2.0)
4.(– 2)
yv = – (64 – 0)
– 8
yv = 8
Portanto, a altura máxima atingida pela bola foi de 8 metros.
Resposta Questão 4
46
∆ < 0
b² – 4ac < 0
(–4)² – 4 * 4 * (–k) < 0
16 + 16k < 0
16k < – 16
k < –1
valor de k para que a função não tenha raízes reais deve ser menor que – 1.
Resposta Questão 5
Para essa situação temos que ∆ ≥ 0.
∆ ≥ 0
b² – 4ac ≥ 0
(–2)² – 4 * (m – 2) * 6 ≥ 0
4 – 4 * (6m – 12) ≥ 0
4 – 24m + 48 ≥ 0
– 24m ≥ – 48 – 4
– 24m ≥ – 52
24m ≤ 52
m ≤ 52/24
m ≤ 13/6
valor de m que satisfaça a condição exigida é m ≤ 13/6.
Resposta Questão 6
Um ponto em comum significa dizer uma única raiz, então ∆ = 0.
y = x² – mx + (m – 1)
Substituir m = 2, no intuito de obter a lei da função
y = x² – 2x + (2 – 1)
y = x² – 2x +1
Substituindo x = 2, para determinarmos o valor de y
y = 2² – 2 * 2 + 1
y = 4 – 4 + 1
y = 1
Temos que a equação possui a lei de formação y = x² – 2x +1.
E quando x = 2, o valor de y se torna igual a 1.
Resposta Questão 7
47
No instante em que a parábola cruza o eixo das abscissas o valo de y ou f(x) é igual a zero. Portanto:
f(x) = 0
2x² – 3x + 1 = 0
Os pontos de interseção são:
x = 1 e y = 0
x = 1/2 e y = 0
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE FUNÇÕES DO 2o GRAU
01. (UNIFORM) O gráfico da função f, de R em R, definida por f(x) = x2 + 3x – 10, intercepta o eixo das
abscissas nos pontos A e B. A distância AB é igual a:
a) 3
b) 5
c) 7
d) 8
e) 9
R: c
02. (CEFET – BA) O gráfico da função y = ax2 + bx + c tem uma só intersecção com o eixo Ox e corta o
eixo Oy em (0, 1). Então, os valores de a e b obedecem à relação:
a) b2 = 4a
b) -b2 = 4a
c) b = 2a
d) a2 = -4a
e) a2 = 4b
R: a
03. (ULBRA) Assinale a equação que representa uma parábola voltada para baixo, tangente ao eixo das
abscissas:
a) y = x2
b) y = x2 – 4x + 4
c) y = -x2 + 4x – 4
d) y = -x2 + 5x – 6
e) y = x – 3
R: c
04. (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor:
48
a) mínimo, igual a -16, para x = 6;
b) mínimo, igual a 16, para x = -12;
c) máximo, igual a 56, para x = 6;
d) máximo, igual a 72, para x = 12;
e) máximo, igual a 240, para x = 20.
R: c
05. (PUC – MG) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por L(x) = 100 (10 – x) (x –
4). O lucro máximo, por dia, é obtido com a venda de:
a) 7 peças
b) 10 peças
c) 14 peças
d) 50 peças
e) 100 peças
R: a
06. (UE – FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a função real f(x) = -2x2 + 4x + 12, o valor máximo
desta função é:
a) 1
b) 3
c) 4
d) 12
e) 14
R: e
SISTEMA DE EQUAÇÕES
49
Quando tratamos as equações do 1° grau com duas variáveis vimos que a equação x + y = 20 admite
infinitas soluções, pois se não houver restrições, podemos atribuir qualquer valor a x, e para tornar a
equação verdadeira, basta que calculemos y como sendo 20 - x.
A equação x - y = 6 pelos mesmos motivos, em não havendo restrições, também admite infinitas soluções.
Como as equações x + y = 20 e x - y = 6 admitem infinitas soluções podemos nos perguntar:
Será que dentre estas soluções existem aquelas que são comuns às duas equações, isto é, que resolva
ao mesmo tempo tanto a primeira, quanto à segunda equação?
Este é justamente o tema que vamos tratar agora.
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO
Há vários métodos para calcularmos a solução deste tipo de sistema. Agora veremos os dois mais
utilizados, primeiro o método da adição e em seguida o método da substituição.
Método da Adição
Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das equações, a fim
de obtermos uma equação com apenas uma incógnita.
Quando a simples soma não nos permite alcançar este objetivo, recorremos ao princípio multiplicativo
da igualdade para multiplicarmos todos os termos de uma das equações por um determinado valor, de
sorte que a equação equivalente resultante, nos permita obter uma equação com uma única incógnita.
A seguir temos outras explicações que retratam estas situações.
Quando o sistema admite uma única solução?
Tomemos como ponto de partida o sistema composto pelas duas equações abaixo:
Perceba que iremos eliminar o termo com a variável y, se somarmos cada um dos termos da primeira
equação com o respectivo termo da segunda equação:
Agora de forma simplificada podemos obter o valor da incógnita x simplesmente passando o
coeficiente 2 que multiplica esta variável,para o outro lado com a operação inversa, dividindo assim todo
o segundo membro por 2:
Agora que sabemos que x = 13, para encontrarmos o valor de y, basta que troquemos x por 13 na primeira
equação e depois isolemos y no primeiro membro:
Escolhemos a primeira e não a segunda equação, pois se escolhêssemos a segunda, teríamos que
realizar um passo a mais que seria multiplicar ambos os membros por -1, já que teríamos -y no primeiro
membro e não y como é preciso, no entanto podemos escolher a equação que quisermos. Normalmente
iremos escolher a equação que nos facilite a realização dos cálculos.
Observe também que neste caso primeiro obtivemos o valor da variável x e em função dele conseguimos
obter o valor de y, porque isto nos era conveniente. Se for mais fácil primeiro encontrarmos o valor da
segunda incógnita, é assim que devemos proceder.
Quando um sistema admite uma única solução dizemos que ele é um sistema possível e determinado.
Quando o sistema admite uma infinidade de soluções?
50
Vejamos o sistema abaixo:
Note que somando todos os termos da primeira equação ao da segunda, não conseguiremos eliminar
quaisquer variáveis, então vamos multiplicar os termos da primeira por -2 e então realizarmos a soma:
Veja que eliminamos não uma das variáveis, mas as duas. O fato de termos obtido 0 = 0 indica que o
sistema admite uma infinidade de soluções.
Quando um sistema admite uma infinidade de soluções dizemos que ele é um sistema possível e
indeterminado.
Quando o sistema não admite solução?
Vejamos este outro sistema:
Note que se somarmos os termos da primeira equação com os da segunda, também não conseguiremos
eliminar nenhuma das variáveis, mas agora veja o que acontece se multiplicarmos por 2 todos os termos
da primeira equação e realizarmos a soma das equações:
Obtivemos 0 = -3 que é inválido, este é o indicativo de que o sistema não admite soluções.
Quando um sistema não admite soluções dizemos que ele é um sistema impossível.
Método da Substituição
Este método consiste em elegermos uma das equações e desta isolarmos uma das variáveis. Feito isto
substituímos na outra equação, a variável isolada pela expressão obtida no segundo membro da equação
obtida quando isolamos a variável.
Este procedimento também resultará em uma equação com uma única variável.
O procedimento é menos confuso do que parece. A seguir veremos em detalhes algumas situações que
exemplificam tais conceitos, assim como fizemos no caso do método da adição.
Quando o sistema admite uma única solução?
Para nos permitir a comparação entre os dois métodos, vamos utilizar o mesmo sistema utilizado no
método anterior:
Vamos escolher a primeira equação e isolar a variável x:
Agora na segunda equação vamos substituir x por 20 - y:
Agora que sabemos que y = 7, podemos calcular o valor de x:
Quando o sistema admite uma infinidade de soluções?
Solucionemos o sistema abaixo:
51
Este sistema já foi resolvido pelo método da adição, agora vamos resolvê-lo pelo método da substituição.
Por ser mais fácil e gerar em um resultado mais simples, vamos isolar a incógnita y da primeira equação:
Agora na outra equação vamos substituir y por 10 - 2x:
Como obtivemos 0 = 0, o sistema admite uma infinidade de soluções.
Quando o sistema não admite solução?
Novamente vamos solucionar o mesmo sistema utilizado no método anterior:
Observe que é mais viável isolarmos a variável x da primeira equação, pois o seu coeficiente 2 é divisor
de ambos coeficientes do primeiro membro da segunda equação, o que irá ajudar nos cálculos:
Agora substituímos x na segunda equação pelo valor encontrado:
Conforme explicado anteriormente, o resultado 0 = -3 indica que este sistema não admite soluções.
EXERCÍCIOS - SISTEMA DE EQUAÇÕES – LISTA 1
52
1 - João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo perguntou-lhe
quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente João respondeu com o seguinte enigma: “A
soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre
o número de cachorros e de gatos é apenas 1”. Será que você consegue desvendar esse enigma e
descobrir quantos cachorros e quantos gatos João possui?
2 - Em sua rua, André observou que havia 20 veículos estacionados, dentre motos e carros. Ao abaixar-
se, ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual é a quantidade de motos e de carros estacionados na rua de
André?
3 - (Fuvest) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue,
embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos
de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no
aroma limão, foi:
a) 110
b) 120
c) 130
d) 140
e) 150
4 - (Vunesp) Em um campeonato de futsal, se um time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1
ponto e se perde não marca nenhum ponto. Admita que, nesse campeonato, o time A tenha participado
de 16 jogos e perdido apenas dois jogos. Se o time A, nesses jogos, obteve 24 pontos, então a
diferença entre o número de jogos que o time A venceu e o número de jogos que empatou, nessa
ordem, é
a) 8.
b) 4.
c) 0.
d) 4.
e) 8.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS - SISTEMA DE EQUAÇÕES – LISTA 1
Resposta Questão 1
53
De início, vamos interpretar algebricamente o enigma de João. Para isso, identificaremos o número de
gatos como g e o número de cachorros como c. Se “a soma do dobro do número de cachorros e do triplo
do número de gatos é igual a 17”, chegamos a:
2 · c + 3 · g = 17
E se “a diferença entre o número de cachorros e de gatos é apenas 1”, podemos concluir que:
c – g = 1
Com as equações encontradas, podemos montar o seguinte sistema:
Para resolver esse sistema pelo método da adição, multiplicaremos todos os termos da segunda
equação por 3 e somaremos as equações:
5 · c + 0 · g = 20
5 · c = 20
c = 20
5
c = 4
Substituindo c = 4 em c – g = 1, teremos:
c – g = 1
4 – g = 1
– g = 1 – 4
(– 1) · (– g) = (– 3) · (– 1)
g = 3
Podemos concluir que João possui três gatos e quatro cachorros.
Resposta Questão 2
Se identificarmos a quantidade de motos com a incógnita m e a quantidade de carros com a incógnita c,
podemos afirmar que a equação m + c = 20 é válida.
Sabendo que cada moto possui 2 rodas e cada carro, 4, podemos montar ainda outra equação: 2 · m +
4 · c = 54. Organizando-as em um sistema de equações, teremos:
Para resolver esse sistema através do método da substituição, isolaremos m na primeira equação,
substituindo-o na segunda:
m + c = 20
m = 20 – c
2 · m + 4 · c = 54
2 · (20 – c) + 4 · c = 54
40 – 2 · c + 4 · c = 54
– 2 · c + 4 · c = 54 – 40
2 · c = 14
c = 14
2
c = 7
Substituindo c = 7 em m = 20 – c, teremos:
m = 20 – c
m = 20 – 7
m = 13
Portanto, há treze motos e sete carros estacionados na rua de André.
Resposta Questão 3
De acordo com o enunciado, as caixas contêm detergentes no aroma limão e no aroma coco.
Representaremos suas quantidades com as variáveis L e C, respectivamente. Nós sabemos que,
somando as quantidades dos dois aromas em uma caixa, teremos um total de 24 detergentes, isto é, L +
54
C = 24. Sabemos ainda que cada caixa contém dois detergentes de limão a mais do que de coco, logo, L
= C + 2. Reorganizando essa equação, teremos: L – C = 2.
Com as equações identificadas, podemos montar um sistema que resolveremos pelo método da adição:
2 ·L + 0 · C = 26
2 · L = 26
L = 26
2
L = 13
Cada caixa continha 13 frascos de detergente aroma limão. Mas como foram estregues 10 caixas com
essa mesma quantidade (13 · 10 = 130), o supermercado adquiriu 130 frascos de detergente aroma
limão.
A resposta correta é a letra c.
Resposta Questão 4
De acordo com o enunciado, o time A participou de 16 jogos e perdeu em dois destes. Podemos afirmar,
portanto, que, em 14 dos jogos, o time A pode ter vencido ou empatado. Representando pela letra v os
jogos em que o time venceu e por e aqueles em que empatou, algebricamente temos v + e = 14 (o número
de vitórias somado ao número de empates é igual a 14). Para determinar a pontuação de um time,
multiplicamos as vitórias por 3 e os empates por 1 e somamos os resultados. No caso do time A, temos:
3 · v + 1 · e = 24
3 · v + e = 24
Podemos montar o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema pelo método da substituição. Para isso, isolaremos a incógnita ena
primeira equação, ficando com: e = 14 – v. Substituindo esse valor de e na segunda equação, teremos:
3 · v + e = 24
3 · v + 14 – v = 24
3 · v – v = 24 – 14
2 · v = 10
v = 10
2
v = 5
Substituindo o valor encontrado de v em e = 14 – v, teremos:
e = 14 – v
e = 14 – 5
e = 9
O time A teve nove empates e cinco vitórias, mas o exercício pediu a diferença entre o número de jogos
em que A venceu e o número de jogos em que empatou. Essa diferença é 5 – 9 = – 4.
A alternativa correta é a letra d.
55
EXERCÍCIOS - SISTEMA DE EQUAÇÕES – LISTA 2
1) Resolva os sistemas formados pelas equações:
a) x + y = 1
4x + 7y = 10 S = {( -1 , 2 )}
b) 3x + y = 13
x - 2y = 2 S = {( 4 , 1 )}
c) 2x + y = 4
3x - y = 1 S = {( 1 , 2 )}
d) 2x + y = 5
x - y = 1 S = {( 2 , 1 )}
e) x + y = 4
3x + 2y = 9 S = {( 1 , 3 )}
2) Resolva os problemas:
a) Tenho que comprar lápis e canetas.
Se comprar 7 lápis e 3 canetas, gastarei R$ 16,50.
Se comprar 5 lápis e 4 canetas, gastarei R$ 15,50.
Qual o preço de cada lápis e cada caneta?
Resposta: Preço do lápis é R$ 1,50 e preço da caneta é R$ 2,00
b) Certo dia, numa mesma casa de câmbio, Paulo trocou 40 dólares e 20 euros por R$ 225,00 e Pedro
trocou 50 dólares e 40 euros por R$ 336,00. Nesse dia, 1 euro estava cotado em quanto? E um dólar?
Resposta: 1€ = R$ 3,65 e 1U$ =R$ 3,80.
c) Em uma garagem há automóveis e motocicletas. Contando, existem 17 veículos e 58 rodas. Qual o
número de cada tipo de veículo?
Resposta: 12 automóveis e 5 motocicletas.
d) Meu irmão é cinco anos mais velho do que eu. O triplo da minha idade somado ao dobro da idade dele,
dá 100 anos. Quais são nossas idade?
Resposta: 18 e 23 anos respectivamente.
e) Para assistir a um show em um clube, compareceram 4000 pessoas. Nesse show, o número de sócios
presentes foi 1100 a menos que o dobro do número de não-sócios presentes. Qual o número de sócios
compareceu ao show?
Resposta: Número de sócios é 2300.
56
f) Uma pessoa participa de um jogo em que uma moeda honesta é lançada 100 vezes. Cada vez que
ocorre cara, ela ganha R$ 10,00 e cada vez que ocorre coroa, perde R$ 5,00. Se após os 100 lançamentos
a pessoa teve um ganho líquido de R$ 25,00, quantas vezes deve ter ocorrido cara na moeda?
Resposta: 35 vezes.
g) Numa lanchonete, 2 copos de refrigerante e 3 coxinhas custam R$ 5,70. O preço de 3 copos de
refrigerantes e 5 coxinhas é R$ 9,30. Quais os preços de cada coxinha e cada copo de refrigerante?
Resposta: Coxinha custa R$ 1,50 e refrigerante custa R$ 0,60.
EXERCÍCIOS - SISTEMA DE EQUAÇÕES – LISTA 3
1. Um das soluções da equação 3x – 4y = 7 é o par ordenado:
a) (3, 1) b) (2, 5) c) (5, 2) d) (4, 1)
2. Dada a equação 5x – 2y = 1, quando x = - 3, então:
a) y = - 8 b) y = 8 c) y = - 7 d) y =7
3. O par (x, y) é a solução do sistema , o valor de x² - y² é:
a) 120 b) 110 c) 100 d) 12
4. No sistema , o valor de x é:
a. igual a zero.
b. igual ao valor de y.
c. menor que o valor de y.
d. o dobro do valor de y.
5. No sistema , podemos afirmar que:
a) x = y b) x = 0 e y = 4 c) x > y d) x = 4 e y = 0
6. O valor de x no sistema pertence ao conjunto:
a. dos números primos.
b. dos números ímpares.
c. dos números pares.
d. dos múltiplos de 3.
57
7. Num quintal existem perus e coelhos, num total de 62 cabeças e 148 pés. Quantos são os perus e
quantos são os coelhos?
R: ( ______ )
8. Uma sorveteria vende picolé simples a R$ 4,00 cada um e picolé coberto com chocolate a R$ 5,50
cada um. Num dia em que vendeu 200 picolés recebeu R$ 893,00. Quantos picolés cobertos de
chocolate foram vendidos?
R: ( ______ )
9. Um motorista de táxi, em uma determinada localidade, cobra uma quantia mínima de cada
passageiro, independentemente da distância a ser percorrida, mais uma certa quantia, também fixa, por
quilômetro rodado. Um passageiro foi transportado 30 Km e pagou Cr$ 1.6000,00. Um outro passageiro
foi transportado por 25 Km e pagou Cr$ 1.350,00. Calcule o valor de cruzeiros reais cobrado por
quilômetro rodado.
R: ( ______ )
10. Numa divisão o quociente é 8 e o resto é 24. Sabe-se que a soma do dividendo, do divisor, do
quociente e do resto é 344. Então, a diferença dividendo menos divisor é:
a) 127 b) – 127 c) 100 d) 248 e) - 248
RESPOSTAS EXERCÍCIOS - SISTEMA DE EQUAÇÕES – LISTA 3
1. C 4. D 7. 50 perus e 12 coelhos
10. D 2. A 5. A 8. 62 picolés cobertos com chocolate
3. A 6. C 9. Cr$ 50,00Mais conteúdos dessa disciplina
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