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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
CAPÍTULO 4 – NÚMEROS COMPLEXOS E 
POLINÔMIOS: QUAIS RELAÇÕES EXISTEM?
Thuysa Schlichting de Souza
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Introdução
A criação do conjunto dos números complexos é resultado de diversos trabalhos, principalmente de matemáticos
que objetivavam determinar as soluções de equações polinomiais cúbicas a partir de radicais. Podemos
perceber, então, que os números complexos e os polinômios estão estritamente relacionados. Assim, neste
capítulo, vamos explorar essa relação para que você possa aprender mais sobre os polinômios e as equações
polinomiais definidas no conjunto dos números complexos.
Inicialmente, vamos ampliar nosso estudo a respeito do conjunto complexo, uma vez que os novos conceitos
apresentados serão essenciais para explorarmos a ideia de polinômios de forma mais abrangente. Uma vez que
você já conhece o conjunto dos números complexos, suas representações algébrica e geométrica e como realizar
operações básicas com esses números; veremos, a partir de agora, uma nova maneira de representá-los,
utilizando propriedades trigonométricas advindas da sua forma geométrica.
Em seguida, vamos compreender as raízes de um polinômio na variável , ampliando os valores dos coeficientes
do polinômio e os valores de para o conjunto dos números complexos. Como consequência dessa ampliação,
surge o Teorema Fundamental da Álgebra, um dos mais importantes dessa subárea e, em um contexto mais
amplo, da própria Matemática.
Ao final do capítulo, poderemos responder alguns questionamentos, a exemplo de “Como os números complexos
e os polinômios estão relacionados?”, “A ampliação dos valores dos coeficientes de polinômios e dos valores de 
gera quais consequências na resolução de equações polinomiais?” e “Quais são as aplicações mais usuais dos
polinômios em situações aplicadas?”.
Vamos em frente!
4.1 Forma trigonométrica de um número complexo
Ao longo da nossa vida escolar, estudamos o conjunto dos números reais e seus subconjuntos, bem como a forma
de associar cada número na reta real. Agora, estamos conhecendo um novo conjunto numérico: o conjunto dos
números complexos, que apresenta diferentes formas de representações, como a aritmética e a geométrica.
Você deve recordar que cada número complexo (representação algébrica) está associado a um par
ordenado de números reais . Como cada par está relacionado a um único ponto do plano, é possível
associar a cada número complexo um ponto da forma , que é chamado de .afixo de 
Dessa forma, também utilizamos um sistema cartesiano ortogonal para representar o conjunto dos números
complexos e obter a representação geométrica.
Vejamos a representação geométrica do número complexo com a figura a seguir.
VOCÊ SABIA?
Os números complexos apresentam inúmeras aplicações nas áreas de engenharia elétrica,
mecânica e controle. Um exemplo é o cálculo referente à um campo eletromagnético, pois ele
dispõe de uma componente elétrica e outra magnética, por isso, necessita de um par de
números reais para descrevê-lo. Já vimos que um número complexo pode ser representado por
um par ordenado de números reais, logo, o par que descreve o campo eletromagnético pode
ser entendido como um número complexo (GÓES, 2015).
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Vejamos a representação geométrica do número complexo com a figura a seguir.
Figura 1 - Representação geométrica do número complexo .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Além disso, já vimos que o ângulo ( ) é chamado de , e que aargumento do número complexo
distância da origem do plano ao ponto é denominada de , representada por ,módulo do número complexo
ou, ainda, por .
Dessa maneira, vamos determinar os valores do argumento e do módulo para o número complexo .
• Módulo de : , portanto, ou .
• Argumento de : utilizando as relações trigonométricas do triângulo retângulo e , 
obtemos: .
Cabe destacar que o cálculo do ângulo pode ser realizado através de uma calculadora científica. Para
encontrarmos o ângulo correspondente ao valor da razão trigonométrica, digitamos o valor do seno ou do
cosseno e apertamos as teclas: SHIFT e . No caso do exemplo, calculamos e .
Agora que relembramos conceito e cálculo do módulo e argumento de um número complexo, podemos estudar
uma nova forma de representá-lo, a qual é denominada de , ou polar, do númerorepresentação trigonométrica
complexo.
Vamos, então, considerar a forma algébrica de um número complexo não nulo. Já vimos que o
•
•
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Vamos, então, considerar a forma algébrica de um número complexo não nulo. Já vimos que o
argumento desse número satisfaz as seguintes relações trigonométricas: e . Essas relações
podem ser reescritas de forma equivalente com os coeficientes isolados em um dos termos, do seguinte modo: 
 e .
Observe que podemos substituir os valores dos coeficientes na forma algébrica , obtendo a igualdade 
. Portanto, é a forma trigonométrica ou polar
do complexo .
Agora, vejamos como representar o número complexo também na forma algébrica. Como seu módulo é 
 e seu argumento é ou , temos que ou, em radianos, .
Note que, para indicar na forma trigonométrica, é necessário o cálculo do módulo e do argumento do número
complexo.
Vamos verificar outros exemplos:
• e O módulo de é , portanto, ou .
Para o cálculo do argumento de , temos que: e . O ângulo cujo seno e o
cosseno é pertence ao 3º quadrante e é simétrico no 1º quadrante a . Assim, temos que 
 ou .
A forma trigonométrica de é ou .
Figura 2 - Representação geométrica do número complexos .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
• e 
•
•
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• e 
O módulo de é , portanto, ou .
Para o cálculo do argumento de , temos que e . Logo, ou .
A forma trigonométrica de é ou .
Figura 3 - Representação geométrica do número complexos .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
• e 
O módulo de é , portanto, ou .
Para o cálculo do argumento de , temos que e . Logo, ou .
A forma trigonométrica de é .
•
•
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Figura 4 - Representação geométrica do número complexos .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
• e O módulo de é , portanto, 
ou .
Para o cálculo do argumento de , temos que e . Logo, ou .
A forma trigonométrica de é ou .
•
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Figura 5 - Representação geométrica do número complexo .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Aqui, você pode estar se perguntando: se já conhecemos as representações algébrica e geométrica dos números
complexos, por que precisamos tratar de uma terceira representação distinta?
Com essa nova forma de representação, podemos realizar a multiplicação, a divisão, a potenciação e a radiciação
de números complexos usando propriedades da trigonometria e, dessa maneira, simplificar cálculos que seriam
muito extensos se utilizássemos apenas a forma algébrica dos números complexos. Vamos observar como se dá a
multiplicação de números complexos na forma trigonométrica.
Tomemos dois números complexos e . Realizando o produto entre
eles, temos que . Agora, utilizando a propriedade
distributiva da multiplicação entre os elementos entre parênteses, obtemos
.
Como , outra forma equivalente de escrever a igualdade é 
Utilizando propriedades das transformações trigonométricas, temos que
. Isso significa que, para efetuar o produto entre dois números complexos na forma trigonométrica, basta
multiplicarmos os módulos e somar os argumentos de ambos.
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Observe outros exemplos:
• e 
Podemos obter as seguintes informações dos números complexos e : ; ; e . Portanto, 
.
• e 
Podemos obter as seguintes informações dos números complexos e : ; ; e . Portanto, 
.
• e 
Podemos obter as seguintes informações dos números complexos e : ; ; e .
Portanto, .
Cabe destacar que esse raciocínio pode ser estendido ao produto de fatores ( ), isto é, 
. Assim, podemos
concluir que o módulo do produto de complexos é igual ao produto dos módulos dos fatores, e seu argumento é
congruente à soma dos argumentos dos fatores (IEZZI, 2013).
Para exemplificar, vamos considerar o produto de três números complexos: , 
 e . Podemos obter as seguintesinformações desses números: 
; ; ; ; e . Portanto, substituindo esses valores na fórmula da multiplicação
d e n ú m e r o s c o m p l e x o s , o b t e m o s 
.
Além da multiplicação, também podemos encontrar uma expressão para a divisão de dois números complexos
na forma trigonométrica de modo simplificado. Assim, consideremos dois números complexos 
 e , sendo .
A divisão será:
Como , obtemos
.
Agrupando os termos semelhantes do numerador e colocando em evidência, obtemos
.
Agora, devemos considerar as seguintes relações trigonométricas:
•
•
VOCÊ QUER LER?
Na multiplicação de números complexos na forma trigonométrica, foi necessário utilizar as
r e l a ç õ e s t r i g o n o m é t r i c a s e 
. Caso você tenha interesse em compreender como essas
relações foram obtidas e aprender outras propriedades trigonométricas importantes,
sugerimos a leitura do texto “Funções Trigonométricas e Leis da Trigonometria”, de Wu-yi
Hsiang, disponível no : < >.link http://www.rpm.org.br/cdrpm/23/4.htm
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http://www.rpm.org.br/cdrpm/23/4.htm
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P o r t a n t o , t e m o s c o m o e x p r e s s ã o r e s u l t a n t e 
.
Note que o número complexo obtido com a divisão dos números e apresenta seu módulo igual ao quociente
entre os módulos de e , sendo que seu argumento é dado pela diferença entre os argumentos de e .
Vejamos dois exemplos numéricos:
• e 
Podemos obter as seguintes informações dos números complexos e : ; ; e . Assim, 
.
• e 
Podemos obter as seguintes informações dos números complexos e : ; ; e . Assim, 
.
Podemos perceber que a forma algébrica dos números complexos é bastante útil para a realização das operações
de adição e subtração. No caso da multiplicação e da divisão de números complexos, as formas algébricas e
trigonométricas podem ser convenientes, dependendo apenas das informações disponibilizadas para a escolha
de qual será utilizada. Porém, quando necessitamos calcular determinada potência de um número complexo, a
utilização da representação trigonométrica simplifica consideravelmente nossos cálculos.
Na sequência, vamos estudar a potenciação e a radiciação de números complexos mais detalhadamente.
4.2 Fórmula de De Moivre e potenciação
Você se lembra como é a operação de potenciação no conjunto dos números reais?
Dado um número real e um número inteiro positivo, denomina-se potência de base e expoente o número
da forma , com fatores na multiplicação.
Para efetuarmos a potenciação no conjunto dos números complexos, devemos proceder de forma similar. Se
considerarmos um número complexo, não nulo, , na forma trigonométrica, então, 
. Utilizando a propriedade da multiplicação de complexos,
basta multiplicar os módulos e somar os argumentos, em que obtemos .
Vejamos o mesmo processo com e :
Observe que cada resultado da potenciação apresenta o módulo elevado ao expoente de , e o argumento ( )
multiplicado pelo mesmo expoente. De acordo com Góes (2015), a mesma forma pode ser aplicada ao cálculo das
demais potências, sendo que podemos generalizar os resultados a partir da fórmula conhecida como primeira
. Portanto, se é um número complexo, não nulo; e é um númerofórmula de De Moivre
inteiro, podemos usar a relação .
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•
•
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Vejamos alguns exemplos numéricos:
• Em , sendo .
• Pela fórmula de De Moivre, temos que .
• Em , sendo .
Pela fórmula de De Moivre, temos que .
Em , sendo .
Primeiramente, vamos transformar o número complexo da forma algébrica para a forma trigonométrica. Logo,
precisamos achar o módulo e seu argumento.
Para o cálculo do módulo de , temos que .
Para o cálculo do argumento, temos que e Logo, ou .
A forma trigonométrica de é .
Portanto, pela fórmula de De Moivre, temos que .
A potenciação nos ajuda, ainda, a operar com a radiciação de números complexos. Não é fácil deduzirmos uma
fórmula para o caso da radiciação, como aconteceu com a potenciação. Por isso, vamos analisar alguns exemplos,
utilizando o conceito de radiciação.
Segundo Iezzi (2013), dado um número complexo , denomina-se , um número complexo ,raiz enésima de 
tal que . Em termos matemáticos, .
Assim, por exemplo, temos que:
• os números e são valores de , pois e ;
VOCÊ O CONHECE?
O matemático francês Abraham De Moivre (1667-1754) é famoso por relacionar os números
complexos com a trigonometria por meio da fórmula de De Moivre, que foi sugerida por ele em
1722. De Moivre nasceu na França, porém, por motivos religiosos, teve que emigrar para a
Inglaterra em 1685, aos 21 anos. Lá, tornou-se professor particular e nunca conseguiu ser
professor universitário, como era de seu desejo, pois estrangeiros não tinham muitas
oportunidades. A despeito disso, teve seu valor reconhecido sendo, em 1697, aos 30 anos,
eleito membro da Royal Society (VIALI, 2014).
•
•
•
VOCÊ QUER VER?
O vídeo trata da história do personagem Hans, um jovem estudante que O sonho não acabou 
está aflito para entender melhor o conjunto dos números complexos. Assim, ele sonha com
Morfeu, o Deus dos sonhos, que explica sobre a história dos números complexos, chegando à
fórmula de De Moivre. Veja o vídeo completo no : <link https://www.youtube.com/watch?
>.time_continue=577&v=JlOiio5UZ0w
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https://www.youtube.com/watch?time_continue=577&v=JlOiio5UZ0w
https://www.youtube.com/watch?time_continue=577&v=JlOiio5UZ0w
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• os números e são valores de , pois e ;
• os números e são valores de , pois e 
;
• os números , e são valores de , pois ; e ;
• os números , e são valores de , pois ; e ;
• os números , , , são valores de , pois ; ; e .
Você reparou que, no último exemplo das raízes quartas, encontramos quatro raízes distintas para cada número
complexo? E que, nos exemplos das raízes cúbicas, encontramos três raízes distintas para cada número
complexo? Além disso, podemos verificar que, nos exemplos das raízes quadráticas, existem duas raízes distintas
para cada número complexo, não é mesmo?
De acordo com Góes (2015), todo número complexo ), não nulo, tem exatamente raízes
distintas entre si, que são dadas por , com e natural, 
. Essa fórmula é denominada de .segunda fórmula de De Moivre
Observe, agora, um exemplo de como determinar a raiz quadrada do número complexo , utilizando a
fórmula anterior.
Vamos, primeiro, escrever na forma trigonométrica. Para isso, devemos determinar o módulo e seu
argumento, da seguinte forma: ; e . Logo, . Assim, a forma
trigonométrica de é .
Agora, aplicando os valores na segunda fórmula de De Moivre, obtemos .
Como buscamos a raiz quadrada, vamos atribuir os valores 0 e 1 para :
• se , . Portanto, obtemos 
;
• se , . Portanto, obtemos 
.
Sendo assim, as raízes quadradas de são e .
Geometricamente, podemos representar as raízes e , no plano complexo, pelos afixos e ,
respectivamente.
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Figura 6 - Interpretação geométrica da raiz quadrática de .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Observe que o módulo de e tem o mesmo valor, pois . Isso significa que os afixos e são
pontos opostos de uma circunferência com centro na origem e raio . Assim, o argumento de é obtido com a
soma de ao argumento de , ou seja, .
Vamos analisar, agora, um exemplo de como determinar a raiz cúbica do número complexo , utilizando a
segunda fórmula de De Moivre.
Primeiro, vamos escrever na forma trigonométrica. Assim, devemos determinar o módulo e seu argumento,
da seguinte forma: , e . Logo, . Assim, a forma trigonométrica
de é .
Agora, aplicando os valores na segunda fórmula de De Moivre, obtemos 
. Como buscamos as raízes cúbicas, vamos atribuir os valores 0, 1 e 2 para :
• se , . Portanto, obtemos ;•
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• se , . Portanto, obtemos ;
• se , . Portanto, obtemos .
Sendo assim, as raízes cúbicas de são , e .
Geometricamente, podemos representar as raízes , e , no plano complexo, pelos afixos , 
e , respectivamente.
Figura 7 - Interpretação geométrica da raiz cúbica de .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Observe que o módulo de , e tem o mesmo valor,pois . Isso
significa que os afixos , e são pontos de uma circunferência com centro na origem e raio . Como , e 
dividem a circunferência em três partes congruentes, os argumentos de , e estão em progressão
geométrica: , isto é, .
Podemos generalizar essas ideias sobre a interpretação geométrica das raízes de números complexos. De acordo
com Iezzi (2013), se , os afixos das raízes são pontos diametralmente opostos. Caso , os afixos são
pontos que formam os vértices de um polígono regular inscrito na circunferência, com centro na origem do
plano e raio .
Até aqui, realizamos o estudo dos números complexos, suas representações principais e operações básicas. Esses
•
•
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Até aqui, realizamos o estudo dos números complexos, suas representações principais e operações básicas. Esses
conhecimentos serão necessários para estudarmos, na sequência, os polinômios no conjunto dos números
complexos, a determinação de suas raízes e algumas aplicações.
4.3 Raízes dos polinômios
Você se lembra da definição de polinômio no conjunto dos números reais?
Vimos que um polinômio de uma variável é a expressão algébrica escrita na forma 
, sendo um número inteiro não negativo e os coeficientes números reais. Assim, dizemos que o
grau do polinômio é e que seu termo principal é .n an
A partir de agora, estudaremos os polinômios de forma mais aprofundada e expandindo os resultados já obtidos
também para o conjunto dos números complexos. Dessa forma, vamos considerar um polinômio como sendo a
expressão , tal que é um número inteiro não negativo e são
números complexos.
Nesse caso, uma equação polinomial ou algébrica é uma equação na forma , isto é, 
, sendo os coeficientes de números complexos e a variável assumindo um
valor qualquer também no conjunto dos números complexos.
Vejamos alguns exemplos:
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•
•
Denominamos de conjunto solução de uma equação polinomial o conjunto de todas as raízes dessa equação.
Assim, é importante destacar que um número complexo é chamado de raiz da equação polinomial 
quando substituímos por na equação e obtemos .
Você já conhece os principais métodos de resolução para equações polinomiais cujos polinômios têm grau 1 e 2,
além de outros métodos que permitem a resolução de tipos especiais de equações polinomiais de graus maiores.
Assim, vamos analisar alguns exemplos admitindo que podem ocorrer raízes complexas.
• Para o polinômio , cujo grau é 1, podemos determinar sua raiz da seguinte forma: 
. Logo, o conjunto solução da equação é .
• Para o polinômio , cujo grau é 2, podemos determinar suas raízes utilizando a fórmula 
quadrática. Se , então . Portanto, as 
duas raízes da equação polinomial são e . O conjunto solução da equação 
polinomial é .
• Para o polinômio , cujo grau é 3, podemos determinar suas raízes utilizando a técnica 
da fatoração e, em seguida, a fórmula quadrática, do seguinte modo: . 
Logo, ou . Resolvendo a equação quadrática, temos que 
. Portanto, as duas raízes da equação 
quadrática são e .
• O conjunto solução da equação polinomial é .
• Para o polinômio , cujo grau é 4, podemos determinar suas raízes utilizando a técnica da 
fatoração, do seguinte modo: . Logo, ou 
. Portanto, as duas raízes da equação quadrática são e .
• O conjunto solução da equação polinomial é .
Cabe destacar que, em uma equação polinomial de grau , vamos encontrar exatamente raízes. Porém, entre as 
•
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Cabe destacar que, em uma equação polinomial de grau , vamos encontrar exatamente raízes. Porém, entre as 
raízes, é possível existirem raízes iguais entre si. Assim, se raízes são iguais a um número , dizemos que 
é raiz de multiplicidade da equação. Observe que, no último exemplo, é raiz dupla (multiplicidade 2) da
equação polinomial , uma vez que e .
Vamos resolver duas questões envolvendo o conceito de raiz de um polinômio definido no conjunto dos números
complexos:
• qual é o valor de para que o número seja raiz da equação ? Como é raiz da 
equação, temos que 
.
• o número complexo é raiz da equação polinomial ?
Para verificarmos se é raiz da equação , vamos substituir por e observar o resultado: 
. Como , então não é uma raiz da equação.
Vale destacar que podemos utilizar o GeoGebra® para determinar as raízes de um polinômio. Segundo Góes
(2015), devemos ficar atentos aos seguintes resultados obtidos com os gráficos: se a curva não interceptar o eixo 
 em uma quantidade de vezes igual ao grau do polinômio, significa que o polinômio possui alguma raiz com
multiplicidade igual ou maior do que dois, ou alguma raiz imaginária, como podemos observar na figura a seguir.
Figura 8 - Representação gráfica de polinômios.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
O polinômio apresenta uma única raiz, que é real e igual a 3, como podemos ver no gráfico. Já os
polinômios e apresentam uma única raiz real nula, sendo que as demais são
raízes complexas e, dessa forma, não aparecem no gráfico. Isso acontece porque o GeoGebra® apresenta seus
resultados no plano cartesiano, cujos eixos ordenados são compostos apenas por números reais.
Agora que já estudamos sobre as raízes de polinômios definidos no conjunto dos números complexos, bem como
sua multiplicidade, podemos aprofundar nosso estudo sobre equações polinomiais, tratando de um importante
teorema: Teorema Fundamental da Álgebra.
•
•
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4.4 Teorema Fundamental da Álgebra e aplicações dos 
polinômios
A partir de agora, vamos estudar o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) e algumas consequências
importantes decorrentes dele. Será possível perceber que, embora não tenhamos formalizado sobre o assunto
anteriormente, já fazemos uso do teorema de forma bastante intuitiva, uma vez que seu resultado é perceptível
quando resolvemos equações polinomiais de grau 1 e 2.
Você consegue imaginar do que se trata o teorema?
Segundo Iezzi (2013), o Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio de grau admite
ao menos uma raiz complexa. Isso significa que, quando resolvemos uma equação polinomial, vamos encontrar,
obrigatoriamente, pelo menos uma solução complexa (lembrando que os números reais fazem parte do conjunto
dos números complexos).
Infelizmente, o TFA não apresenta um método geral para determinarmos as raízes de polinômios, apenas
indicando a existência da raiz. Assim, vamos continuar utilizando os métodos e processos de determinação de
raízes que você já conhece, como a fórmula quadrática, a fatoração por fator comum ou utilizando os produtos
notáveis, a resolução de equações biquadráticas e o método da substituição.
Uma consequência direta do TFA é outro teorema, conhecido como . SeTeorema da Decomposição
considerarmos um polinômio de grau e , pode ser decomposto
em fatores do primeiro grau. Em termos matemáticos, , em que , , ..., 
 são raízes de .
Vale ressaltar que, ao menos da ordem dos fatores, a decomposição do polinômio em termos de suas raízes é
única. Além disso, é sempre divisível por um de seus fatores e, também, por qualquer produto desses fatores.
Vejamos alguns exemplos a seguir.
• O polinômio pode ser escrito de forma fatorada em 2 fatores do primeiro grau, uma 
vez que seu grau é . Para determinarmos esses fatores, vamos encontrar suas raízes, resolvendo a 
equação . Aplicando a fórmula quadrática , temos que 
 e . Logo, as duas raízes são e 
Como . é o coeficiente do termo de maior grau do polinômio ( ), a forma fatorada será 
.
• O polinômio apresenta grau , portanto, podemos escrevê-lo como um produto de 
VOCÊ SABIA?
Em 1629, Albert Girard introduziu o problema de saber qual o número de raízes de uma
equação qualquer. No livro “Nova Invenção em Álgebra”, ele afirma que todas as equações
possuem tantas soluções quanto o grau da quantidade de maior grau, o que consiste em uma
primeira versão do TFA. Girard acrescenta que as soluções podem ser “mais que nada”
(positivos), “menos que nada” (negativos) ou do tipo . Alguns anos mais tarde, Descartes
também admitiu que uma equação possui tantas raízesquantas são as dimensões da
quantidade desconhecida. No entanto, considera-se que a consolidação e a validação do
teorema se deram na tese de doutorado do matemático Carl Friedrich Gauss (ROQUE, 2012).
•
•
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• O polinômio apresenta grau , portanto, podemos escrevê-lo como um produto de 
três fatores do primeiro grau. Para determinarmos esses fatores, vamos encontrar suas raízes resolvendo 
a equação . Nesse caso, vamos utilizar a fatoração por fator comum, do seguinte modo:
. Sendo assim, temos que ou . Se , então 
Portanto, as três raízes são . , e . Como 
é o coeficiente do termo de maior grau do polinômio ( ), a forma fatorada será 
, ou, ainda, .
• O polinômio apresenta grau , por isso, é possível fatorá-lo como um 
produto de cinco fatores do primeiro grau. Para determinarmos esses fatores, vamos encontrar suas 
raízes resolvendo a equação . Nesse caso, podemos usar a fatoração por 
agrupamento, do seguinte modo: 
. Sendo 
Se Se assim, temos que ou . , então . , então 
Novamente, vamos utilizar a propriedade do produto nulo, obtendo . 
Se Se ou . , então . , então 
Portanto, as cinco raízes são Como . , , , e . 
é o coeficiente do termo de maior grau do polinômio ( ), a forma fatorada será 
, ou, ainda, .
• O polinômio apresenta grau , dessa forma, podemos fatorá-lo como um produto de 
dois fatores do primeiro grau. Para determinarmos esses fatores, vamos encontrar suas raízes resolvendo 
a equação . Observe que podemos usar a fatoração pelo quadrado da soma, da seguinte 
forma: 
Portanto, as raízes da equação são .
Podemos observar que uma consequência direta do Teorema da Decomposição é que toda equação polinomial
de grau admite exatamente raízes complexas. Em todos os exemplos, foi possível verificar que o número
de raízes é exatamente igual ao grau do polinômio. No último exemplo, o polinômio foi fatorado
em . Assim, podemos dizer que é raiz dupla ou raiz de multiplicidade 2 da equação.
Temos, também, que se um número complexo é uma raiz de multiplicidade — sendo um número natural
maior ou igual a 1 — da equação , então , com .
Vejamos alguns exemplos a seguir.
• O polinômio de sexto grau tem exatamente seis raízes iguais da forma 
, ou seja, é uma raiz de multiplicidade 6;
• O polinômio de terceiro grau tem exatamente três raízes reais 
 e , ou seja, uma de suas raízes apresenta multiplicidade 2;
• O polinômio de quarto grau tem quatro raízes de 
multiplicidade 1, que são , , e .
Você pode observar que ampliamos nosso estudo dos polinômios para o conjunto dos números complexos.
Dessa forma, é possível obter resultados importantes que nos permitem manipular os polinômios e as equações
polinomiais de modo mais consistente.
Agora, vamos analisar algumas aplicações dos polinômios.
4.4.1 Problema 1: custo de produção e venda
Inicialmente, vamos recordar que um polinômio do primeiro grau na variável pode ser entendido como uma
função , que a cada se associa um número da forma , ou seja, .
•
•
•
•
•
•
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Tendo em vistas as considerações realizadas, imagine o seguinte problema, baseado em Morettin, Hazzan e
Bussab (2012): em uma empresa, o custo fixo mensal é igual a R$ 5.000,00; o custo de produção de cada unidade
do produto é de R$ 10,00; e o preço de venda de cada unidade desse produto é de R$ 15,00. Precisamos, aqui,
calcular o custo total mensal e o lucro com a produção e venda de 3.000 unidades do produto.
Primeiramente, precisamos definir o que são custos fixos e custos variáveis.
Para se fabricar um produto, existe um , que é constituído pela soma dos custos que não dependem dacusto fixo
quantidade produzida, como aluguel, seguros e outros. Existe, também, um , que é formado porcusto variável
custos ligados diretamente à produção e que dependem da quantidade de produto produzida. Quando essa
produção varia dentro de certos limites (geralmente não muito grandes), o custo variável é obtido pela
multiplicação de uma constante pela quantidade produzida (MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB, 2012).
Levando em consideração esses conceitos, vamos sistematizar as informações disponibilizadas no enunciado:
• custo fixo ( ): R$ 5.000;
• custo variável por unidade ( ): R$ 10,00;
• preço de venda por unidade ( ): R$ 15,00;
• quantidade produzida no mês ( ): 3.000.
Observe que o custo total depende da quantidade de produtos produzidos no mês. Sendo assim, existe uma
relação entre eles, que chamaremos de .custo total
A variável será a quantidade produzida, enquanto que será o custo total.
Note que o custo total é calculado pela soma dos custos fixo e variável. Em termos matemáticos, 
. Como o problema pede o valor do custo total mensal, sabendo-se a
quantidade fabricada no mês, basta substituirmos por 3000. Dessa forma, temos a igualdade 
. Isto é, R$ 35.000,00.
É importante perceber que o lucro total ( ) de uma empresa é calculado pela diferença entre a receita e o custo
total de produção. No caso da empresa em questão, a receita ( ) é a quantia recebida pela venda da quantidade 
do produto, ou seja, . Portanto, o lucro total será dado pela função lucro: 
.
Agora, basta calcularmos da seguinte forma: . Isso significa que
o lucro total da empresa com a produção e venda de 3.000 unidades de produto será de R$10.000,00.
Vale ressaltar que estamos admitindo que o produto indicado no enunciado seja divisível (como quilogramas ou
litros), logo, os valores de são números reais positivos.
Vamos analisar, agora, um problema que envolve o uso de polinômios de segundo grau.
VOCÊ QUER LER?
Você se lembra do conceito de função? A função descreve uma relação entre os elementos de
dois conjuntos, de modo que cada elemento do primeiro conjunto é associado a um único
elemento do segundo. O primeiro conjunto é denominado de , enquantodomínio da função
que o segundo conjunto é chamado de . Caso você tenha interesse em rever ocontradomínio
assunto, seus principais conceitos e propriedades, sugerimos a leitura do artigo “O que é
função?”, de Amanda Gonçalves Ribeiro, disponível no : <link https://brasilescola.uol.com.br/o-
>.que-e/matematica/o-que-e-funcao.htm
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https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-funcao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-funcao.htm
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4.4.2 Problema 2: aplicação de polinômio de segundo grau
Vamos recordar que um polinômio de segundo grau na variável pode ser entendido como uma função ,
que a cada se associa um número da forma , ou seja, .
O problema que discutiremos a seguir apresenta uma situação econômica para ser resolvida. Vimos no problema
anterior que, quando o preço de um produto é constate, a função receita é dada por um polinômio do primeiro
grau na variável . Porém, é possível obter a função receita na forma de um polinômio do segundo grau na
variável nos casos em que o preço do produto pode ser modificado.
Segundo Tan (2014, p. 82, grifos do autor), “[...] em uma economia de livre mercado, a de consumo pordemanda
determinado bem depende do preço unitário”. Dessa forma, uma função demanda pode ser definida por ,
sendo que mede o preço por unidade e o número de unidades demandadas do bem em questão. Esse valor é
muito importante, pois a receita total de uma empresa é calculada de acordo com a quantia recebida pela
venda da quantidade total do produto.
Considerando esses conceitos, suponha, então, que uma empresa produz e vende uma quantidade de um
produto, e que a sua função demanda seja . Qual é a quantidade do produto que proporciona a
máxima receita de R$ 4.900,00?
Sabemos que a receita total é dada por . Substituindo pelos valores fornecidos no enunciado, temos
que . Observe que a função receita é um polinômio do segundo
grau na variável , cujos coeficientes são , e . Para encontrarmos a demanda quando a
receita for de R$ 4.900,00, basta substituirmos por 4.900 no polinômio, da seguinte forma: 
.
Podemos resolver a equação polinomial de segundo grau utilizando a fórmula quadrática. Assim, obtemos o
valor . Isso significa que a máxima receitade R$ 4.900,00 será obtida quando a demanda for de 400
unidades do produto.
Note, ainda, que as raízes da função são os valores para , ou seja, e .
Portanto, a função só é definida no intervalo , uma vez que os valores de negativos não teriam
significado ( é a quantidade produzida), e que valores de maiores do que 700 geram uma receita negativa, e
isso também não tem significado.
Agora, vamos tratar de um último caso aplicado aos polinômios.
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Com esse caso, finalizamos nosso capítulo, no qual você teve a oportunidade de compreender melhor acerca do
conjunto dos números complexos, sua representação trigonométrica e das operações beneficiadas por essa
representação. Dessa forma, foi possível verificar importantes propriedades do conjunto, as quais viabilizam o
estudo de polinômios de forma mais abrangente, incluindo os números complexos como sendo os coeficientes
das variáveis, bem como as próprias variáveis.
Assim, você adquiriu o ferramental matemático básico que permite estudar as equações polinomiais de modo
mais amplo, aplicando-as em diversos problemas.
Síntese
Neste capítulo, você aprofundou os conceitos de números complexos e aprendeu uma nova forma de representá-
lo: a trigonométrica. Assim, foi possível calcular potências e raízes de números complexos de forma mais
simplificada. Além disso, ampliamos nossos estudos sobre os polinômios e as equações polinomiais, os quais
também passaram a ser definidos no conjunto dos números complexos.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• Dessa forma, neste capítulo você teve a oportunidade de:
• aprender a transformar um número complexo para a forma trigonométrica;
• utilizar a forma trigonométrica para realizar as operações de multiplicação, divisão, potenciação e 
CASO
Marcela comprou um presente de aniversário para sua amiga. Para embrulhar o presente, ela
decidiu construir uma caixa de volume 56 cm³ com um pedaço retangular de papelão de 10
centímetros por 15 centímetros. Ela planeja cortar pedaços quadrados com centímetros de
lado tirados dos cantos do papelão, e, depois, os lados do papelão são dobrados para cima.
Como Marcela pode determinar o valor de ?
Inicialmente, Marcela precisa determinar as dimensões da caixa de presente, em que é a
medida do lado dos quadrados retirados dos cantos. Como serão retirados de cada lado do
retângulo 2 medidas equivalentes a em cada canto, podemos inferir que as medidas dos lados
serão e .
O volume da caixa retangular (paralelepípedo) é dado por 
, isto é, .
Como a condição da caixa é que seu volume seja igual 56 cm³, podemos escrever a equação 
. Logo, o valor de será determinado pela solução da equação polinomial 
.
Utilizando o GeoGebra®, Marcela encontrou as seguintes raízes da equação: 
, e .
Ela pode optar por qualquer um dos valores para construir a caixa, sendo que sua decisão
dependerá das dimensões do presente que ela colocará dentro.
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• utilizar a forma trigonométrica para realizar as operações de multiplicação, divisão, potenciação e 
radiciação dos números complexos;
• relembrar o conceito de polinômios e equações polinomiais;
• determinar as raízes reais e complexas de equações polinomiais;
• aprender a utilizar o GeoGebra® para a análise das raízes de equações polinomiais;
• aprender o Teorema Fundamental da Álgebra;
• analisar problemas e procurar soluções utilizando os polinômios.
Bibliografia
GÓES, A. R. T. . Curitiba: InterSaberes, 2015.Números complexos e equações algébricas
HSIANG, W. Funções Trigonométricas e Leis da Trigonometria. , n. 23, 2018.Revista Professor de Matemática
Disponível em: < >. Acesso em: 26 jul. 2018.http://www.rpm.org.br/cdrpm/23/4.htm
IEZZI, G. : complexos, polinômios, equações. 8 ed. São Paulo: EditoraFundamentos da matemática elementar
Atual, 2013. Vol. 6.
M3 MATEMÁTICA Multimídia. . 20 mar. 2012. Disponível em: <O sonho não acabou https://www.youtube.com
>. Acesso em: 02/08/2018./watch?time_continue=577&v=JlOiio5UZ0w
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. : funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2012.Cálculo
RIBEIRO, A. G. O que é função?. , 2018. Disponível em <Brasil Escola https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e
>. Acesso em: 26/07/2018./matematica/o-que-e-funcao.htm
ROQUE, T. : uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.História da Matemática 
TAN, S. T. . São Paulo: Cengage Learning, 2014.Matemática Aplicada a Administração e Economia
VIALI, L. Algumas considerações sobre a denominada curva normal. , Santa Maria, v. 34, n. 1, p. 99-116,VIDYA
jan./jun. 2014. Disponível em: < >. Acessohttps://periodicos.unifra.br/index.php/VIDYA/article/view/20/208
em: 26/07/2018.
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https://www.youtube.com/watch?time_continue=577&v=JlOiio5UZ0w
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https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-funcao.htm
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https://periodicos.unifra.br/index.php/VIDYA/article/view/20/208
	Introdução
	4.1 Forma trigonométrica de um número complexo
	4.2 Fórmula de De Moivre e potenciação
	4.3 Raízes dos polinômios
	4.4 Teorema Fundamental da Álgebra e aplicações dos polinômios
	4.4.1 Problema 1: custo de produção e venda
	4.4.2 Problema 2: aplicação de polinômio de segundo grau
	Síntese
	Bibliografia