Resolução de Equações Trigonométricas

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22/11/2018 EPS: Alunos
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Resolvendo a equação cos x= - 12, obtemos:
Determine a solução da equação cos x = + V2/2 no intervalo 0 ≤ x <2π.
Determine a solução da equação sen x = - V2/2 no intervalo 0 ≤ x <2π.
1.
S={xERx=4π3+2kπoux=5π3+2kπ,kEZ}
S={xERx=2π3+2kπoux=4π3+2kπ,kEZ}
S={xERx=4π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ}
S={xERx=5π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ}
S={xERx=4π3+2kπoux=π3+2kπ,kEZ}
 
 
 
Explicação:
cos 60º = + 1/2 no 1º quadrante , mas como cos x = -1/2 negativo , temos x no 2º ou 3º quadrantes ...
x = 180º - 60º = pi - pi/3 = 2pi/3 ou 180 º + 60º = pi + pi/3 = 4pi/3
Então a solução para x são os arcos côngruos de 120º = 2pi/3 ou de 240º = 4pi/3 .
 
Gabarito Coment.
 
 
2.
 S = {π/4, 3π/4 }
S = {π/4, 7π/4 }
S = {3π/4, 7π/4 } 
 S = {π/4, 5π/4 } 
S = {3π/4, 5π/4 } 
 
 
 
Explicação:
cos 45º = cos pi/4 = + V2/2 no primeiro quadrante e também cos 315º (=360º- 45º) = cos 7pi/4 = + V2/2 no 4º
quadrante.
Então x = pi/4 ou 7pi/4 .
 
 
 
3.
 S = {5π/4, 7π/4 }
S = {3π/4, 5π/4 } 
S = {3π/4, 7π/4 } 
 S = {π/4, 5π/4 } 
 S = {π/4, 3π/4 }
 
 
 
Explicação:
sen 225º = sen (180º + 45º) = sen 5pi/4 = - V2/2 no 3º quadrante , 
e também sen 315º = sen (360º - 45º) = sen 7pi/4 = - V2/2 no 4º quadrante.
Então x = 5pi/4 ou 7pi/4 .
 
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Resolva a equação trigonométrica tg x + 1 = 0 e determine o conjunto verdade.
Analise e determine a solução da equação cos x = cos (5pi /por 6)
Analise e determine a solução para a equação elementar sen x = ½
 
 
4.
V = (x ϵ R| x = π + 2kπ, k ϵ Z}
V = (x ϵ R| x = 3π/4 + kπ, k ϵ Z}
V = (x ϵ R| x =3π/2 + 2kπ, k ϵ Z}
V = (x ϵ R| x = π/2 + 2kπ, k ϵ Z}
V = (x ϵ R| x = π/5 + 2kπ, k ϵ Z}
 
 
 
Explicação:
tg x + 1 = 0 ... tgx = -1 ... como tg (-45º) = -1 , então x = 360º - 45º = 315º = 7pi/4 , com tg negativo, no quarto
quadrante.
Com tg negativo , x pode estar no 2º quadrante : x = 315º - 180º = 135º = 3pi/4 .
Os arcos desse conjunto são : 3pi/4 + 2kpi e 7pi/4 + 2kpi ou como 7pi/4 = 3pi/4 + pi = , podemos resumir ambos : k pi +
3pi/4 
 
Gabarito Coment.
 
 
5.
S = { x pertece R tal que x = - pi + 2 k pi, k pertence Z}
S = { x pertece R tal que x = - (7pi) + 2 k pi, k pertence Z}
S = { x pertece R tal que x = (3pi /4) + 2 k pi, k pertence Z}
S = { x pertece R tal que x = + - (5pi/6) + 2 k pi, k pertence Z}
S = { x pertece R tal que x = (pi / 5) + 2 k pi, k pertence Z}
 
 
 
Explicação:
cos x = cos (5pi /6) então x = pi - pi/6 = 5pi/6 ( = 180º - 30º) no 2º quadrante, cosseno negativo .
Portanto x pode estar também no 3º quadrante , com esse mesmo cosseno , sendo x= pi + pi/6 = 7pi/6 ( = 180º + 30º) ..
Este arco pode ser expresso também pelo seu valor negativo x = - 5pi/6. 
Os arcos da solução são todos os arcos côngruos aos acima como na opção do gabarito. 
 
 
 
6.
S = {x| x pertence R; x =(2k + 1) pi - (pi/6) ou x = 2kpi + (pi/6), k pertence Z}
S = {x| x pertence R; x =pi - (pi/6) ou x = kpi + (pi/6), k pertence Z}
S = {x| x pertence R; x = k pi - (pi/5) ou x = 2kpi + (pi/4), k pertence Z}
S = {x| x pertence R; x =(2k + 5) pi - (pi/6) ou x = kpi + (pi/6), k pertence Z}
S = {x| x pertence R; x =k pi - pi ou x = 5kpi + pi, k pertence Z}
 
 
 
Explicação:
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Determine a solução da equação cos x = -1/2 no intervalo 0 ≤ x <2π.
Resolvendo a equação cosx=- 32, obtemos:
sen x = 1/2 , então como sen30º = 1/2 , x = 30º = pi/6 no 1º quadrante , com seno positivo .
Se o seno é positivo x pode estar também no 2º quadrante , com esse mesmo seno , sendo x= pi -pi/6 = 5pi/6 ( = 180º - 30º
= 150º) ..
Os arcos da solução são todos os arcos côngruos aos acima como na opção do gabarito. 
 
 
 
7.
S = {π/3, 5π/3 } 
S = {2π/3, 5π/3 }
S = {2π/3, 4π/3 } 
S = {4π/3, 5π/3 } 
S = {π/3, 2π/3 } 
 
 
 
Explicação:
cos (180º - 60º = 120º) = - cos 60º = - 1/ 2 , daí cos 120º = cos 2pi/3 = -1/ 2 no 2º quadrante.
Também cos (180º + 60º = 240º) = - cos 60º = - 1/ 2 no terceiro quadrante. Como 240º = 4pi/3 , então também
cos 4pi/3 = -1/ 2 .
Então x = 2pi/3 ou 4pi/3. 
 
 
 
8.
S={ x ∈R tal que x=5π6+2kπ ou x=11π6+2kπ,k ∈Z}
S={ x ∈R tal que x=5π6+2kπ ou x=7π6+2kπ,k ∈Z}
S={ x∈ R tal que x=2π3+2kπ ou x=4π3+2kπ,k∈ Z}
S={ x ∈Rtal que x=4π6+2kπ ou x=11π6+2kπ,k ∈Z}
S={ x ∈R tal que x=4π3+2kπ ou x=π3+2kπ,k ∈Z}
 
 
 
Explicação:
No 1º quadrante cos 30º = V3/ 2 . Então -V3/2 é o cosseno negativo correspondente no 2º e 3º quadrantes ..
Portanto x pode ser 180º - 30º = 150º = 5 pi/6 ou 180º +30º = 210º = 7pi/6 e seus arcos côngruos, como nas opções. .