Matematica (37)

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Seno e cosseno 
de um arco trigonométrico
Com base na ideia de seno e cosseno de um ângulo agudo de um triân-
gulo retângulo, vamos estender o conceito de seno e cosseno para um 
arco trigonométrico. 
Para entender a transição do triângulo retângulo para a circunferência 
trigonométrica, considere um arco trigonométrico + AM de medida a, com 
0w , a , 90w.
Como o raio da circunferência trigonométrica mede 1 e a medida do 
ângulo central MOA	é	igual	à	medida	do	arco	 + AM , em grau, temos no triân-
gulo retângulo OMP:
M (α)
α A
O P
1
Dado	um	arco	trigonométrico	 + AM de medida a, chamam-se cosseno e 
seno de a a abscissa e a ordenada do ponto M, respectivamente.
M (�)
A
sen �
cos �
cos a 5 abscissa de M
sen a 5 ordenada de M
Assim, na circunferência trigonométrica, podemos nos referir ao eixo 
das abscissas como eixo dos cossenos e ao eixo das ordenadas como 
eixo dos senos.
Portanto, cos a e sen a são, respectivamente, a abscissa e a ordenada 
do ponto M.
Ampliamos esse conceito para qualquer arco trigonométrico pela de-
finição a seguir.
cos a 5 
OP
 ___ 
1
 5 OP
sen a 5 
PM
 ____ 
1
 5 PM
 Objetivos
 Determinar o seno e 
o cosseno de um arco 
trigonométrico de 
qualquer quadrante.
 Relacionar o seno 
e o cosseno de um 
arco com o seno e o 
cosseno de seus arcos 
correspondentes.
 Aplicar a relação 
fundamental da 
Trigonometria.
 Termos e conceitos
• seno
• cosseno
Seção 13.3
459
S
e
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o
 1
3
.3
	•	
S
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	c
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98
.
CAP 13.indb 459 06.08.10 09:24:17
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Exemplo
Vamos determinar o cosseno e o seno de 0w, 90w, 180w, 270w 
e 360w. Para isso, marcamos na circunferência trigonométrica 
os pontos A, B, Ae e Be associados a essas medidas, conforme 
a figura ao lado.
Como a abscissa e a ordenada de cada ponto da circunferên-
cia trigonométrica representam, respectivamente, o cosseno e 
o seno do arco com extremidade no ponto, temos:
21conforme mostra a figura:
A
M (150°) P (180° � 150° � 30°)
sen
cos
 Os pontos M e P têm ordenadas iguais e 
abscissas opostas. Logo:
 sen 150w 5 sen 30w 5 1 __ 
2
 
 cos 150w 5 2cos 30w 5 2 
dll 3 ___ 
2
 
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R
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CAP 13.indb 462 06.08.10 09:24:19
Raciocinando	de	maneira	análoga	para	qualquer	arco	trigonométrico	de	medida	a do 1o qua-
drante, temos as seguintes relações:
sen (180w 2 a) 5 sen a
cos (180w 2 a) 5 2cos a
sen (180w 1 a) 5 2sen a
cos (180w 1 a) 5 2cos a
sen (360w 2 a) 5 2sen a
cos (360w 2 a) 5 cos a
sen (s 2 a) 5 sen a
cos (s 2 a) 5 2cos a
sen (s 1 a) 5 2sen a
cos (s 1 a) 5 2cos a
sen (2s 2 a) 5 2sen a
cos (2s 2 a) 5 cos a
360° � �
�180° � �
180° � �
sen
cos
2π � �
�π � �
π � �
sen
cos
Se a é uma medida em radiano:Se a é uma medida em grau:
Nota:
Essas relações continuam válidas mesmo que a não seja uma medida do 1o quadrante. Veri-
fique você mesmo.
12 Consultando a tabela trigonométrica dos arcos notáveis, determinar sen 330w e cos 330w.
Resolução
 A extremidade M do arco de 330w pertence ao 4o quadrante. Traçando por M a perpendicular ao eixo 
dos cossenos, obtemos o ponto P, simétrico de M no 1o quadrante:
sen
cos
M (330°)
P (360° � 330° � 30°)
A
 Os pontos M e P têm ordenadas opostas e 
abscissas iguais. Logo:
 sen 330w 5 2sen 30w 5 2 1 __ 
2
 
 cos 330w 5 cos 30w 5 
dll 3 ___ 
2
 
11 Consultando a tabela trigonométrica dos arcos notáveis, determinar sen 240w e cos 240w.
Resolução
 A extremidade M do arco de 240w pertence ao 3o quadrante. Traçando por M a reta que passa pelo 
centro da circunferência, obtemos o ponto P, simétrico de M no 1o quadrante:
M (240°)
P (240° � 180° � 60°)
A
sen
cos
 Os pontos M e P têm ordenadas opostas e 
abscissas opostas. Logo:
 sen 240w 5 2sen 60w 5 2 
dll 3 ___ 
2
 
 cos 240w 5 2cos 60w 5 2 1 __ 
2
 
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	c
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CAP 13.indb 463 06.08.10 09:24:20
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Exemplos
a) cos (260w) 5 cos 60w 5 
1
 __ 
2
 
b) sen (2135w) 5 2sen 135w 5 2 
 dll 2 
 ___ 
2
 
Arcos de medidas opostas
Arcos de medidas opostas, a e 2a, têm extremidades simétricas em relação ao eixo das 
abscissas, como mostra cada uma das figuras abaixo.
α
�α
sen
cos
α
�α
sen
cos
Dessa	simetria,	concluímos	que:
cos (2a) 5 cos a
sen (2a) 5 2sen a
13 Sendo a uma medida em grau, com cos a % 0, sim-
plificar a expressão:
 E 5 
cos (360w 2 a) 2 cos (180w 2 a)
 ______________________________ 
cos (180w 1 a)
 
14 De um observatório astronômico A da Terra, um 
astrônomo estuda duas estrelas, B e C, constatando 
 que o ângulo obtuso BAC mede a, com cos a 5 2 5 ___ 
13
 , 
 que AB 5 11 anos-luz e AC 5 13 anos-luz. Com es-
ses dados, o cientista calculou a distância entre as 
estrelas B e C. Qual é essa distância em ano-luz?
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Sabemos que cos (360w 2 a) 5 cos a, 
 cos (180w 2 a) 5 2cos a e cos (180w 1 a) 5 2cos a.
 Logo:
 E 5 
cos (360w 2 a) 2 cos (180w 2 a)
 ______________________________ 
cos (180w 1 a)
 5
 5 
cos a 2 (2cos a)
 ________________ 
2cos a
 5 2 cos a _______ 
2cos a
 5 22
Resolução
 Indicando por x a distância procurada e por D a 
projeção ortogonal do ponto C sobre a reta AB, es-
quematizamos:
 Assim, temos:
cos (180w 2 a) 5 AD ____ 
13
 
cos (180w 2 a) 5 2cos a 5 5 ___ 
13
 
 Logo: AD ____ 
13
 5 5 ___ 
13
 ] AD 5 5
 Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos 
ACD e BCD, obtemos:
 132 5 52 1 (CD)2 ] CD 5 12 
 e
 x2 5 122 1 162 ] x 5 20
 Portanto, a distância entre as estrelas B e C é igual 
a 20 anos-luz.
180° � �
13x
C
11 A D
�
B
464
C
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A
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CAP 13.indb 464 06.08.10 09:24:21
27 Consultando a tabela trigonométrica dos arcos 
notáveis, calcule:
a) sen 120w d) cos 210w
b) cos 120w e) sen 300w
c) sen 210w f ) cos 300w
34 Uma rampa reta e plana, de 8 m de comprimento, 
une dois pisos de uma garagem e forma um ângulo 
obtuso de medida a com o piso plano e horizontal 
 inferior tal que cos a 5 2 5 __ 
8
 . Calcule a altura do piso 
 superior em relação ao inferior.
32 Na circunferência trigonométrica abaixo, as coorde-
 nadas do ponto M são 12 ___ 
13
 e 5 ___ 
13
 , e a medida do arco 
 + AN na 1a volta positiva é s 2 a.
33 Calcule a medida do cateto AB do triângulo retân-
gulo ABC, abaixo, sabendo que BC 5 12 cm e que
 cos a 5 2 4 __ 
7
 .
31 Simplifique a expressão:
 E 5 
cos (180w 1 x) 1 sen (180w 1 x) 1 sen (180w 2 x)
 _____________________________________________ 
cos (360w 2 x)
 , 
 com cos x % 0.
28 Em cada um dos itens a seguir, determine as coor-
denadas dos pontos assinalados.
29 Consultando o exercício anterior, calcule:
a) sen 2s ___ 
3
 f ) sen 3s ___ 
4
 
b) cos 2s ___ 
3
 g) cos 3s ___ 
4
 
c) sen 7s ___ 
6
 h) sen 5s ___ 
4
 
d) cos 7s ___ 
6
 i ) cos 5s ___ 
4
 
e) sen 5s ___ 
3
 j ) sen 7s ___ 
4
 
g) sen @ 2 
s
 __ 
6
 # k) cos @ 2 
7s
 ___ 
4
 # 
h) cos @ 2 4s ___ 
3
 # l ) sen 25s ____ 
6
 
i ) sen @ 2 
11s
 ____ 
6
 # m) sen 33s ____ 
4
 
j ) cos @ 2 
5s
 ___ 
3
 # 
30 Calcule o valor de:
a) sen (230w) d) cos (2300w)
b) cos (230w) e) sen (21.485w)
c) sen (2300w) f ) cos (21.230w)
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 14 a 20, 97 e 98.
QP
N ,M[ ]
√3
 2
1
2
Q
MN
,P[ ]
 √2
 2
 √2
 2
� �
M
P
N
,Q[ ]
 √3
 2
1
2 �
a)
b)
c)
A
N (π �α) ,M[ ]
12
13
5
13
 Calcule:
a) sen a d) sen (2a)
b) cos a e) cos (2s 2 a)
c) cos (s 1 a)
BA
C
�
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S
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CAP 13.indb 465 06.08.10 09:24:22
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
 Relação fundamental da Trigonometria
Para qualquer arco trigonométrico de medida a, temos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1
demonstração
Seria possível demonstrar essa relação por um único caso. Porém, para entendê-la melhor, vamos 
separá-la em três casos.
1o caso
Seja a a medida de um arco trigonométrico do 1o quadrante.
M (α)
A
O P
Pelo teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo OMP, temos:
(MP)2 1 (OP)2 5 (OM)2
Como a ordenada MP e a abscissa OP são, respectivamente, o seno e o cosseno de a e OM 5 1, con-
cluímos:
B
B�
AA�
•	No	ponto	A, em que sen a 5 0 e cos a 5 1, constatamos a validade da relação fundamental, pois 
02 1 12 5 1.
•	No	ponto	B, em que sen a 5 1 e cos a 5 0, constatamos a validade da relação fundamental, pois 
12 1 02 5 1.
•	No	ponto	Ae, em que sen a 5 0 e cos a 5 21, constatamos a validade da relação fundamental, pois 
02 1 (21)2 5 1.
•	No	ponto	Be, em que sen a 5 21 e cos a 5 0, constatamos a validade da relação fundamental, pois 
(21)2 1 02 5 1.
2o caso 
Seja a a medida de um arco trigonométrico com extremidade sobre um dos eixos coordenados.
(sen a)2 1 (cos a)2 5 (1)2
} sen2 a 1 cos2 a 5 1
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98.
CAP 13.indb 466 06.08.10 09:24:23
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OMP de cada figura, temos:
(MP)2 1 (OP)2 5 (OM)2
Em cada um dos triângulos OMP, podemos afirmar que: MP 5 Osen aO, OP 5 Ocos aO e OM 5 1 (raio). 
Logo:
Osen aO2 1 Ocos aO2 5 1
Lembrando a propriedade OxO2 5 x2, do módulo de um número real x, concluímos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1
3o caso
Seja a a medida de um arco trigonométrico do 2o, do 3o ou do 4o quadrante.
M (α)
A
OP
M (α)
AOP
M (α)
AO P
sen2 a 5 1 2 cos2 a e cos2 a 5 1 2 sen2 a
Note que, com base nessa relação, podemos expressar o seno em função do cosseno e vice-
-versa:
15 Dado que sen a 5 1 __ 
3
 , com s __ 
2
 , a , s, calcular o valor
 de cos a.
16 Determinar os valores de sen x e de cos x sabendo 
 que sen x 5 3 cos x e que s , x , 3s ___ 
2
 .
17 Determinar m, com m 9 V, tal que sen d 5 m __ 
6
 e 
 cos d 5 
dlll 4m _____ 
3
 .
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 sen2 a 1 cos2 a 5 1 ] @ 1 __ 
3
 # 2 1 cos2 a 5 1
 } cos2 a 5 1 2 1 __ 
9
 5 8 __ 
9
 ] cos a 5 ± 2 dll 2 ____ 
3
 
 Como a é uma medida do 2o quadrante, concluímos
 que cos a 5 2 2 dll 2 ____ 
3
 .
Resolução
Resolução
 sen2 d 1 cos2 d 5 1 ] @ m __ 
6
 # 2 1 @ dlll 4m _____ 
3
 # 2 5 1
 } m
2
 ___ 
36
 1 4m ____ 
9
 5 1 ] m2 1 16m 2 36 5 0
 S 5 (16)2 2 4 3 1 3 (236) 5 400
 } m 5 
216 ± dllll 400 
 ___________ 
2 3 1
 5 216 ± 20 _________ 
2
 ]
 ] m 5 2 ou m 5 218
 Observe que a igualdade cos d 5 
dlll 4m _____ 
3
 é absurda 
 para m 5 218, pois no conjunto V não existe raiz 
quadrada de número negativo; logo, 218 não pode 
ser admitido como valor de m. Concluímos, então, 
que m 5 2.
sen x 5 3 cos x (I)
sen2 x 1 cos2 x 5 1 (II)
 Substituindo (I) em (II), temos:
 (3 cos x)2 1 cos2 x 5 1 ] 10 cos2 x 5 1
 } cos2 x 5 1 ___ 
10
 ] cos x 5 ± 1 ____ 
 dlll 10 
 5 ± 
dlll 10 ____ 
10
 
 Como x é uma medida do 3o quadrante, temos:
 cos x 5 2 
dlll 10 ____ 
10
 
 Substituindo cos x por 2 
dlll 10 ____ 
10
 em (I), obtemos:
 sen x 5 2 3 dlll 10 _____ 
10
 
467
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	c
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g
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n
o
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tr
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o
CAP 13.indb 467 06.08.10 09:24:23
35 Dado que sen a 5 3 __ 
5
 , com s __ 
2
 , a , s, calcule o valor de cos a.
36 Sendo sen a 5 2 5 ___ 
13
 e 3s ___ 
2
 , a , 2s, calcule o valor de cos a.
37 Determine sen d e cos d sabendo que sen d 5 2 cos d e s , d , 3s ___ 
2
 .
39 No triângulo retângulo ABC abaixo, a hipotenusa BC mede 51 cm, sen a 5 15 ___ 
17
 e a distância do ponto 
 D ao vértice C é 30,6 cm. 
 Calcule a distância do ponto D à hipotenusa BC.
38 Obtenha m, com m 9 V, tal que: sen x 5 m __ 
4
 e cos x 5 
dllllll m 1 1 ________ 
2
 
40 Dado que 3 cos2 x 2 4 cos x 1 1 5 0 e 0 , x , s __ 
2
 , determine o valor de sen x.
 (Sugestão: Substitua cos x por y.)
43 Cada pneu traseiro de um trator tem raio de 0,9 m e cada pneu dianteiro tem raio de 0,4 m. 
 Calcule a distância entre os centros T e D de dois pneus de um mesmo lado do trator, sabendo que 
 a reta TD forma um ângulo obtuso de medida a com o solo plano tal que cos a 5 2 2 dll 6 ____ 
5
 .
41 Determine o valor de cos x sabendo que 4 cos2 x 1 9 sen x 2 6 5 0.
 (Sugestão: Substitua cos2 x por 1 2 sen2 x.)
42 (Vunesp) A expressão 1 2 2 sen2 x 1 sen4 x 1 sen2 x 3 cos2 x é equivalente a:
a) cos2 x b) 2 cos2 x c) cos3 x d) cos4 x 1 1 e) cos4 x
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 21 a 27.
B
A D C
α
D
T
18 Resolver, na variável x, a equação:
 x2 2 2x 1 sen2 a 5 0
Resolução
 Na variável x, a equação é do 2o grau. Então:
 S 5 (22)2 2 4 3 1 3 sen2 a
 } S 5 4 2 4 sen2 a 5 4(1 2 sen2 a)
 Pela relação fundamental, sen2 a 1 cos2 a 5 1; te-
mos cos2 a 5 1 2 sen2 a e, portanto, S 5 4 cos2 a. 
Assim:
 x 5 
2(22) ± dlllllll 4 cos2 a 
 _________________ 
2 3 1
 5 2 ± 2 cos a ___________ 
2
 ]
 ] x 5 1 1 cos a ou x 5 1 2 cos a
 Concluímos, então, que o conjunto solução da 
equação é:
 S 5 {1 1 cos a, 1 2 cos a}
0,40,9
468
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CAP 13.indb 468 06.08.10 09:24:25