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1 
0
0 0 0
1
( ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) 0
( ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , ) ( , )
Equações de Maxwell
a t t
b t
c t t
t
d t t t
t

   

   


   
 
 
    
E x x
B x
E x B x
B x J x E x


  
 
RESOLUÇÃO 
 
Problema 1: o objetivo é mostrar que os potenciais retardados dados pelas equações (i) 
satisfazem a condição de Lorentz. 
 
 
3
0
30
1 1
x
4 R
1
x
4 R
ret
ret
t d t
t d t

 

 



x x
A x J x
( , ) ' ( ', ')
( , ) ' ( ', ')




. (i) 
Com, 
R
 

 
R x x'
x x'
, (ii) 
em que, R é a distância entre o ponto fonte 
x'
 e o ponto 
x
 do campo. Vamos usar como 
exemplo a Fig.1. 
 
Fig.1: Potenciais retardados. Fonte: Google imagens. 
 
Qual a descrição do campo eletromagnético produzido por fontes não 
estacionárias, ou seja, cargas e correntes que variam no espaço e no tempo, 
( ', ')t x
 e 
( ', ')tJ x
? 
Primeiramente, representaremos os campos em termos de potenciais. Da 
2 
eletrostática, 
0 E
 permite escrever 
E
 como o gradiente de um potencial escalar: 
 E
. Na eletrodinâmica, isso não é possível, por que o rotacional de 
E
 não é nulo. 
No entanto, 
B
 permanece com o divergente nulo, de forma que ainda podemos 
expressar o campo magnético como o rotacional de um potencial vetorial, 
( , ) ( , )t tB x A x
, (1.1) 
tal que satisfaça (b). Substituindo-se a definição dada pela equação (1.1) na Lei de 
Faraday, equação (c), obteremos: 
( , ) ( , )
( , ) ( , ) 0
t t
t
t t
t

  

 
    
E x B x
E x A x
 
( , ) ( , ) 0t t
t
 
     
E x A x
. (1.2) 
Da equação (1.2), verifica-se que: 
( , ) ( , ) ( , )t t t
t

  

x E x A x
 (1.3) 
ou equivalentemente, 
( , ) ( , ) ( , )t t t
t

  

E x x A x
, (1.4) 
Portanto, as equações (1.3) e (1.4) permitem que os campos sejam determinados 
se os potencias escalar e vetor são conhecidos. A eq.(1.4) se reduz à velha forma se 
A
 
for constante. 
Outras relações podem ser obtidas se substituirmos essas definições nas 
equações de Maxwell restantes. Para a equação (a), teremos: 
0
0
1
( , ) ( , )
1
( , ) ( , ) ( , )
t t
t t t
t
 
 
      
E x x
x A x x




 
 2
0
1
( , ) ( , ) ( , )t t t
t

     

x A x x
, (1.5) 
Agora, fazendo o mesmo para a equação (d), segue que: 
0 0 0
0 0 0
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
t t t
t
t t t t
t t

  

  
       
B x J x E x
A x J x r A x
  
   
 
Aplicaremos a identidade vetorial 
    2    A A A
, na equação acima. 
3 
Então: 
 
 
 
2
0 0 0
2
2
0 0 0 0 0 2
2
2
0 0 0 0 02
2
2
0 0 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
t t t t t
t t
t t t t t
t t
t t t t t
t t
t t
t
  
         
 
       
 
 
       
 

 

A x A x J x x A x
A x A x J x x A x
A x A x A x x J x
A x A x
  
    
    
    0 0 0( , ) ( , ) ( , )t t t
t

      

A x x J x  
 
2
2
0 0 0 0 02
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )t t t t t
t t
  
          
A x A x A x x J x    . (1.6) 
 
As equações (1.5) e (1.6) contêm todas as informações das equações de Maxwell. 
Conseguimos reduzir de seis problemas (E e B com três componentes cada) para quatro 
(
( , )t x
 uma componente e 
( , )tA x
 com três componentes). Além disso, as expressões 
(1.1) e (1.4) não definem univocamente os potenciais. Dessa forma é permitido uma certa 
liberdade de escolha. Essa escolha deve preservar os campos elétrico e magnético, tendo 
em vista que classicamente somente os campos magnéticos têm significado físico direto. 
Suponhamos dois conjuntos de potenciais (
( , )t x
, 
( , )tA x
) e (
'( , )t x
, 
'( , )tA x
), 
que correspondem aos mesmos campos. Definindo-se: 
'
'
 

  
A A α

 
• Potencial vetor: para
'A
 e 
A
, os campos magnéticos,
'( , ) ( , )t tB x B x
, e usando-se 
a definição
( , ) ( , )t tB x A x
, 
 
'
0
0
 
   
   
A A
A α A
A α A
 
0  α
. 
Podemos, então, escrever 
α
 como o gradiente de algum escalar: 
α
. 
• Potencial escalar: para 
'
e 

, os campos elétricos, 
'( , ) ( , )t tE x E x
, com a 
definição 
( , ) ( , ) ( , )t t t
t

  

E x x A x
, 
'
' '
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
t t
t t t t
t t

 
    
 
E x E x
x A x x A x
 
4 
   
0
t t
t t t
 
      
 
  
     
  
A α A
A α A


 
0
t

   

α
. 
 Ou ainda, 
0
t
 
   
 
α
. 
O termo 
t
 
 
 
α
 é independente da posição, mas não se pode afirmar o 
mesmo para o tempo. 
( ) ( )t t
t t
 
     
 
α α   
. 
Absorvendo-se 
( )t
 a um novo 

 com acréscimo de 
 ' '
0
t
t dt 
 ao antigo não 
afetará 

, apenas acrescenta 
( )t
 a 
t



. Tem-se: 
'
'
t
 


     
A A
. 
Esse conjunto deixa os campos eletromagnéticos invariantes sob transformação de 
calibre, denomina-se a invariância de calibre. Dessa forma, podemos escolher uma 
função arbitrária 
( , )t x
 de modo a ter, para as condições de um certo problema, a 
transformação de calibre que seja mais adequada para sua resolução. Os dois principais 
calibres são o de Coulomb e o de Lorentz. Para solucionar o problema 1 desta lista de 
exercícios, vamos usar o calibre de Lorentz. Nesse calibre, escolhe-se a divergência do 
potencial vetor de modo a desacoplar as eqs. (1.5) e (1.6). 
 2
0
2
2
0 0 0 0 02
1
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
t t t
t
t t t t t
t t
 
       

               
x A x x
A x A x A x x J x

    
. (1.6i) 
• Condição de Lorentz 
2 2
1 1
0
c t c t
 
        
 
A A
. 
Substituindo na equação, 
5 
 2
0
1
( , ) ( , ) ( , )t t t
t

     

x A x x
 
2
2
0
1 1
t c t
  
        

 
2
2
0 0 2
0
1
t

    

  

. (1.7) 
No enunciado do problema 1, supõe que 
 3
0
1 1
x
4 R ret
t d t  x x( , ) ' ( ', ')
satisfaz a condição de Lorentz. 
Quando as fontes variam no tempo surge um problema devido à velocidade finita 
com a qual a informação se propaga sobre esta variação, ou seja, com a velocidade da 
luz c. O tempo retardado 
t'
 é definido como: 
t t
c

 
x x'
'
. 
 Com isso, vamos considerar, primeiramente, o gradiente de 
t x( , )
. 
 3
0
1 1
x
4 R ret
t d t
 
 
 
x x( , ) ' ( ', ')
 
  3
0
1
x
4
ret
t
t d
 
   
 

x
x
x x
( ', ')
( , ) '
'


. (1.7i) 
Pela identidade 
     ab a b a b    
, de modo que: 
 
1 1t
t t
   
       
     
x
x x
x x x x x x
( ', ')
( ', ') ( ', ')
' ' '
  . (1.7ii) 
 
• Determinação dos gradientes dessa expressão. 
a) 
3
1 
  
 
x x
x x x x
'
' '
, 
b) 
t x( ', ')
 
t t
x y z
   
       
x i j k xˆ ˆ ˆ( ', ') ( ', ')  
Aplicando a regra da cadeia, 
6 
t t t
t t t t
t x t y t z
     
   
     
x i x j x k x
' ' 'ˆ ˆ ˆ( ', ') ( ', ') ( ', ') ( ', ')
' ' '
   . (1.8) 
 
E ainda, notemos que 
x
 e 
x' são independentes de t, então: 
t
t t t t
   
 
   ' ' '
, com isso: 
t t t
t t
t x y z
    
        
x x i j k
' ' 'ˆ ˆ ˆ( ', ') ( ', ')  
t t t
t t
t x y z
    
        
x x i j k
' ' 'ˆ ˆ ˆ( ', ') ( ', ')  
 t t t
t
 
   
 
x x( ', ') ( ', ') ' 
. (1.9) 
Comparando as expressões (1.8) e (1.9) 
 
t t t
t t t t
t x t y t z
t t t
t
      
          

        
x i x j x k x
x x
' ' 'ˆ ˆ ˆ( ', ') ( ', ') ( ', ') ( ', ')
' ' '
( ', ') ( ', ') '
   
 
, 
vemos que: 
 
ret
ret
t t
t t
  
   
x x( ', ') ( ', ')
'
 
. (1.10) 
Essa relação é válida em geral, de modo que, para qualquer função 
f tx( ', ')
, 
temos: 
 
ret
ret
f t f t
t t
  
   
x x( ', ') ( ', ')
'
. 
Como 
t t
c

 
x x'
'
, tomando seu gradiente, temos: 
t t
c
 
   
 
x x'
'
 
1
t
c
    x x' '
. (1.11) 
Precisamos determinar o módulo 
x x'
. Segue que: 
7 
2 2 2
( ) (y ) (z )
( ) (y ) (z )
x x y z
x x y z
      

      
x x i j k
x x
' ' ' '
' ' ' '
. 
 
Portanto, 
2 2 2( ) (y ) (z )x x y z
x y z
   
             
x x i j kˆ ˆ ˆ' ' ' '
 

  

x x
x x
x x
'
'
'
. 
Retornando-se à eq.(1.11), temos: 
1
t
c

  

x x
x x
'
'
'
. (1.12) 
Com isso, a eq.(1.9) fica: 
 t t t
t
 
   
 
x x( ', ') ( ', ') ' 
 
1
t t
c t
  
    
  
x x
x x
x x
'
( ', ') ( ', ')
'
 
. (1.13) 
A eq.(1.7ii), será rescrita como: 
 
3
1 1
1 1
t
t t
t
t t
c t
   
       
     
       
                     
x
x x
x x x x x x
x x x x x
x x
x x x x x x x x
( ', ')
( ', ') ( ', ')
' ' '
( ', ') ' '
( ', ') ( ', ')
' ' ' '
  
  
 
2 3
1t
t t
c t
    
    
   
x x x x x
x x
x x x x x x
( ', ') ' '
( ', ') ( ', ')
' ' '
  . 
2 3
1t
t t
c t
     
             
x x x x x
x x
x x x x x x
( ', ') ' '
( ', ') ( ', ')
' ' '
   (1.14) 
 
Portanto, para a eq.(1.7i), obteremos: 
  3
0
1
x
4
ret
t
t d
 
   
 

x
x
x x
( ', ')
( , ) '
'


 
8 
3
2 3
0
1 1
x
4
t t t d
c t
     
           

x x x x
x x x
x x x x
' '
( , ) ( ', ') ( ', ') '
' '
 
. (1.15) 
No entanto, ainda precisamos determinar o Laplaciano da eq.(1.7), para isso 
tomaremos a divergência da eq.(1.15), ou seja, 
3
2 3
0
1 1
x
4
t t t d
c t
      
                

x x x x
x x x
x x x x
' '
( , ) ( ', ') ( ', ') '
' '
 
 
2 3
2 3
0
1 1
x
4
t t t d
c t
      
                

x x x x
x x x
x x x x
' '
( , ) ( ', ') ( ', ') '
' '
 
 
2 3
2 3
0
1 1
x
4
t t t d
c t
        
                       

x x x x
x x x
x x x x
' '
( , ) ( ', ') ( ', ') '
' '
 
 
2 3
2 3
0
1 1
x
4
t t t d
c t
          
                               

x x x x
x x x
x x x x
' '
( , ) ( ', ') ( ', ') '
' '
 
 
Recorrendo-se novamente à identidade vetorial 
           ab a b a b
, 
temos: 
2 3
2 2
0
1 1 1
x
4
t t t d
c t c t
        
                      

x x x x
x x x
x x x x
' '
( , ) ( ', ') ( ', ') '
' '
 
3 3
t t
     
                  

x x x x
x x
x x x x
' '
( ', ') ( ', ')
' '
 . (1.16) 
 
O cálculo de cada termo da eq.(1.16) foi realizado fora deste material, resultando 
em: 
 
2
2
22 2
0
3
2
1 1 1 1 1
4
1 1
4 x
t t t
c t c t
t t d
c t
      
             
  
     
     
x x xx x x x
x x x x
x x
( , ) ( ', ') ( ', ')
' '
( ', ') ( ', ') ' '
'
 

  
 
 
 
 
9 
Simplificando um pouco mais, 
 
2
2 3
2 2
0
1 1 1
4 x
4
t t t d
c t
    
       
     
x x x x xx x
( , ) ( ', ') ( ', ') ' '
'
  
 
 
2
2 3 3
2 2
0 0
1 1 1 1
x x
4
t t d t d
c t
  
      
   
 x x x x xx x
( , ) ( ', ') ' ( ', ') ' '
'
   
 
 22 3
2 2
0 0
1 1
x
4
t t
t d
c t
 
    
  

x x
x
x x
( ', ') ( ', ')
( , ) '
'
 
 
. (1.17) 
A função delta faz com que quando 
x x' , de modo que 
0 x x'
 e 
t t'
. Do 
enunciado sabemos que, 
  3
0
1
x
4
ret
t
t d 

x
x
x x
( ', ')
( , ) '
'


. 
Portanto, 
2
2
2 2
0
1 1
t t t
c t

     

x x x( , ) ( , ) ( , )
, (1.18) 
que é a mesma equação (1.7), e com isso verificamos que o potencial escalar é uma 
solução do calibre de Lorentz. 
 
 
Agora, precisamos mostrar que o potencial vetor também satisfaz a condição de 
Lorentz. Do enunciado, 
 30
1
x
4 R ret
t d t A x J x

( , ) ' ( ', ')
, 
deve ser solução da equação (1.19). 
 Lembremos o conjunto de equações (1.6i), 
 2
0
2
2
0 0 0 0 02
1
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
t t t
t
t t t t t
t t
 
       

               
x A x x
A x A x A x x J x

    
, 
e da condição de Lorentz, 
0 0
0 0
0
t
t

    


   

A
A
 
 
 
10 
 
2
2
0 0 02
( , ) ( , ) ( , ) ( , )) ( , )t t t t t
t

      

A x A x A x A x J x   
2
2
0 0 02
( , ) ( , ) ( , )t t t
t

   

A x A x J x  . (1.19) 
Como nosso interesse é no tempo retardado, vamos considerar uma pequena 
região V1 em torno de x que define o ponto de observação de observação, videFig.1. 
Com isso, podemos definir o potencial vetor como a soma de suas contribuições nas 
regiões 
3
1xd '
 e 
3
2xd '
, defina, 
1 2( , ) ( , ) ( , )t t t A x A x A x
 
 Sem os efeitos retardados, o potencial gerado em V1 é a equação de Poisson, 
 2 1 0( , ) ,t t  A x J x
. (1.20) 
O objetivo, agora, é encontrar o operador Laplaciano para 
2 ( , )tA x
. Vamos 
considerar que o problema possui simetria esférica. Usando-se a parte Radial do 
Laplaciano, 
2
2
2
1
( )R
R R

 

 
temos: 
 
2
2 30
2 2
2
2 30
2 2
1 1
( , ) x ' ( ', ')
4 R
1 1
( , ) ', x '
4 R
ret
t R d t
R R
R
t R t d
R R c
  
     
   
    
   


A x J x
A x J x




 
2
2 30
2 2
1
( , ) ', x '
4
R
t t d
R R c
   
    
   
A x J x


. (1.21) 
Separadamente, calcula-se, 
2
2
',
R
t
R c
  
 
  
J x
. 
2 2
2 2 2
1
', ',
R R
t t
R c c R c
    
     
    
J x J x
. (1.22) 
Com a identidade, 
2 2
2 2 2
1
', ',
R R
t t
R c c t c
    
     
    
J x J x
, 
tem-se: 
2
2 30
2 2 2
1 1
( , ) ', x '
4
R
t t d
R c t c
    
     
    
A x J x


 
2
2 30
2 2 2
( , )
1 1
( , ) ', x '
4
t
R
t t d
c t R c
    
         

A x
A x J x


 
2
2
2 2 2
1
( , ) ( , )t t
c t

 

A x A x
. (1.23) 
11 
Somando as equações (1.20) e (1.23), temos: 
 
2
2 2
1 2 0 2 2
1
( , ) ( , ) , ( , )t t t t
c t

    

A x A x J x A x 
   
2
2
1 2 0 2 2
1
( , ) ( , ) , ( , )t t t t
c t

   

A x A x J x A x 
 
2
2
02 2
1
( , ) ( , ) ,t t t
c t

   

A x A x J x
, 
que é idêntica à equação (1.19). Portanto, encerramos as demonstrações do problema 1.