Prévia do material em texto

Cálculo II 
 
 
 
 
SÉRIES ALTERNADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Tipos de séries .......................................................................................................................... 2 
1.1. Série harmônica e hiper-harmônica (ou p-série) ........................................................ 2 
1.2. Série geométrica........................................................................................................... 3 
1.3. Série telescópica (ou de Mengoli) ................................................................................ 3 
2. Séries alternadas .................................................................................................................. 3 
2.1. Definição ....................................................................................................................... 3 
2.2. Uma forma de demonstração ...................................................................................... 4 
2.3. Outras formas de série alternada ................................................................................ 6 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Quando pensamos em uma série, visualizamos um modelo genérico de fatores 
iguais com índices diferentes, sem necessariamente nos preocuparmos com o sinal 
destes fatores. 
O comportamento de uma série pode alterar sua convergência por exemplo. 
1
1
( 1)k
k k
+

=
−

 é uma série alternada em que o limite só existe por causa da alternância 
de sinal: seu módulo não possui limite. 
Nesta aula, o ponto fundamental analisado nas séries será justamente o sinal 
de cada termo, tirando o foco do comportamento trivial e tornando seu estudo mais 
interessante. 
Vamos lá? 
Objetivos 
• Definir o que é uma série alternada e seus diferentes tipos; 
• Indicar o comportamento dos termos das séries analisadas e o uso do sinal em 
cada termo, compreendendo sua aplicabilidade. 
 
1. Tipos de séries 
1.1. Série harmônica e hiper-harmônica (ou p-série) 
Dizemos que uma série é harmônica geral se ela possui a forma 
1
1
n an b

= +

 , 
com 𝑎 e 𝑏 positivos e diferentes de zero. Essencialmente, a série com esta forma é 
divergente. 
As séries hiper-harmônicas possuem a forma 
1 pn
a
n

=
 , com 
, e p>0c p
 . 
Ela converge para 
1p 
 e diverge para 
1p 
 . 
Note que a série harmônica é o caso de série hiper-harmônica quando 1. Este 
caso é fundamental nos estudos de teoria musical, por isso o termo “harmônica”. 
 
 
 
 
 
3 
 
1.2. Série geométrica 
Uma série é dita geométrica se possui a forma 
1
1
.
n
nn
a q
−
=
 , com o primeiro 
termo da sequência real positivo e diferente de zero, e a razão 𝑞, também real.0 
A série geométrica converge quando 
1q 
 e diverge quando 
1q 
 . 
Ela recebe este nome, obviamente, pela existência de um fator semelhante ao 
da razão de uma progressão geométrica. 
 
1.3. Série telescópica (ou de Mengoli) 
A série telescópica é toda série 
11
( )n nn a a

+=
−
 cujos termos da soma possuem 
a forma 
1 1 2 2 3 11
( ) ( ) ( ) ... ( ) ...n n n nn a a a a a a a a

+ +=
− = + + − + + − +
Isso significa que, para 
uma soma finita de k termos, temos que 
11
k
n nn
a a −= −
 é: 
1 2 2 3 1 1( ) ( ) ... ( ) ( )k n n n nS a a a a a a a a− += − + − + + − + −
 
Logo 
1 1k nS a a −= −
 
Ou seja, os termos parciais da série se cancelam, restando apenas o primeiro e 
o último termo na soma. 
Uma série telescópica converge se a sequência dos termos converge. 
Este tipo de série recebe esse nome por analogia a antigos telescópios que, 
quando abertos, viam-se todas as partes, mas fechados só se viam a primeira e última 
parte. 
2. Séries alternadas 
2.1. Definição 
Dizemos que uma série é alternada se os termos da soma são alternadamente 
positivos e negativos. Ela possui a forma 
1
( 1)
n
nn
a

=
−
 ou 
1
1
( 1)
n
nn
a
+
=
−
 , com 
0na 
 . 
Veja que este tipo de série possui duas formas, uma com expoente par, outra 
com expoente ímpar. Isso será importante quando formos analisar a convergência 
desse tipo de série. 
 
 
 
4 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. Uma forma de demonstração 
Uma série alternada, como o diz nos indica, possui uma alternância nos sinais 
de seus termos. Vamos mostrar isso através de uma série muito conhecida na 
matemática: 
1
1
( 1) 1 1 1 1
1 ...
2 3 4 5
n
n n
+

=
−
= − + − + −
Em particular, esta série recebe o nome de 
série harmônica alternada e sua soma resulta em ln 2. Veja a distribuição dos termos 
da soma: 
 
1 
Distribuição de termos de uma soma alternada. 
 
A série harmônica alternada é um exemplo clássico de uma série 
condicionalmente convergente. 1
1
( 1)n
n n
+

=
−

 é convergente, enquanto 1
1
( 1)n
n n
+

=
−

 
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Te
rm
o
Valor de n
Termos da soma versus n
A série 1
1
( 1)n
n n
+

=
−

 é chamada de série harmônica 
alternada. Esta série converge pelo teste das séries 
alternadas, que veremos na próxima apostila. A série 
harmônica alternada, embora condicionalmente 
convergente, não é absolutamente convergente: se os 
termos da série são sistematicamente rearranjados, em 
geral a soma torna-se diferente e, dependendo do 
rearranjo, possivelmente infinita. 
 
A fórmula da série harmônica alternada é um caso especial 
da série Mercator , a série de Taylor para o logaritmo 
natural. 
 
 
5 
 
é a série harmônica comum, que diverge. Embora na apresentação padrão a soma da 
série harmônica alternada resulte em ln 2, seus termos podem ser organizados para 
convergir para qualquer número, ou mesmo para divergir. 
 
DESENVOLVIMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se iniciarmos com a série escrita na ordem usual, temos 
1 1 1 1
1 ...
2 3 4 5
− − + − −
 
Reorganizando os termos, temos 
1 1 1
2 6 10
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ...
2 4 3 6 8 5 10 12
− − + − − + − − +
 
Podemos generalizar esta soma em blocos 
1 1 1
2 1 2(2 1) 4k k k
− −
− −
 , com 𝑘 inteiro positivo. Assim, 
podemos escrever a série como 
1 1 1 1 1 1 1
... ...
2 4 6 8 10 2(2 1) 2(2 )k k
− + − + + − +
−
 
 
Colocando em evidência o termo 
1
2
 
1
2
, temos 
1 1 1 1 1
1 ...
2 2 3 4 5
 
− − + − − 
 
 ue é o mesmo que 
1
(ln 2)
2
 , ou seja, 
a metade da soma usual. 
Portanto, vimosque este tipo de série será 
condicionalmente convergente. 
 
 
6 
 
CURIOSIDADE 
 
 
 
2.3. Outras formas de série alternada 
Mas nem toda série alternada pode ser identificada pela forma geral 
1
1
( 1)n
n n
+

=
−

. Algumas séries possuem essa característica implícita, que apenas é 
perceptível quando verificamos seus termos. 
Por exemplo, a série 
1
cos
n
n
n

=
. Vamos verificar 5 primeiros termos desta 
série: 
𝑛 1 2 3 4 5 
𝑎𝑛
na
 
cos 1 = −
 
cos2 1 = −
 
cos3 1 = −
 
cos4 1 = −
 
cos5 1 = −
 
 
Veja como os pontos ficam em um gráfico: 
 
2 
Distribuição de termos de uma soma alternada. 
 
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Te
rm
o
 d
a 
so
m
a
Valor de n
Termos da soma versus n
A fórmula da série harmônica alternada é um caso 
especial da série Mercator, a série de Taylor para o 
logaritmo natural. 
 
 
7 
 
O mesmo acontece com algumas séries de coeficientes que possuem seno, por 
exemplo. Logo, muita atenção à serie dada. 
 
DICA 
 
 
 
 
Exercícios 
1. (Simmons, 2010 Adaptado) Avalie o tipo de cada série: 
a. 
1
( 1)
2 1
n
n n

=
−
+

 
b. ln1
2
( 1)
n
n
n
n
+
=
−
 
c. 
1
3
2nn

=
 
d. 
2
( 1)n
n
sen
n

=
 
−  
 

 
Gabarito 
1. 
a. Se tomarmos os 5 primeiros termos da soma, temos 
n 1 2 3 4 5 
termo 
( )
1
1
1
2.1 1
−
= −
+
 ( )21 1
2.2 1 5
−
=
+
 ( )31 1
2.3 1 7
−
= −
+
 ( )41 1
2.4 1 9
−
=
+
 ( )51 1
2.5 1 11
−
= −
+
 
Logo, observamos que a série decresce, tendendo a zero e seus termos possuem 
sinais alternados. Portanto trata-se de uma série alternada. 
b. Tomando os 5 primeiros termos da soma, temos: 
Fique atento às séries que você analisar. Por exemplo, a 
série
21
cos
n
n
n

=
 possui termos positivos e negativos, mas 
não é alternada. O primeiro termo é positivo, os próximos 
três são negativos e os três seguintes são positivos, ou seja, 
a troca de sinal dos termos é irregular. 
 
 
8 
 
 
n 1 2 3 4 5 
termo 
1 1 ln( 1) 0
1
+− =
 
2
2 1 ln ln 2( 1)
2 2
+− = −
 
3
3 1 ln ln3( 1)
3 3
+− = −
 
4
4 1 ln ln 4( 1)
4 4
+− = −
 
5
5 1 ln ln5( 1)
5 5
+− = −
 
Trata-se de uma série alternada. 
c. Se tomarmos os 5 primeiros termos da soma, temos 
n 1 2 3 4 5 
termo 
1
3 3
2 2
=
 
2
3 3
2 4
=
 
3
3 3
2 8
=
 
4
3 3
2 16
=
 
5
3 3
2 32
=
 
Trata-se de uma série geométrica, com razão 𝑞 =
1
2
. 
d. lim
𝑛→∞
sen (
𝜋
𝑛
) = 0, pois para 𝑛 > 2 temos que 0 <
𝜋
𝑛
<
𝜋
2
. Logo, a série é 
decrescente, e convergente para zero. Os 5 primeiros termos da soma são: 
n 2 3 4 5 6 
termo 
2( 1) 1
2
sen
 
− = 
 
 
3 3( 1)
2 2
sen
 
− = − 
 
 
4 2( 1)
4 2
sen
 
− = 
 
 
5 3( 1)
5
sen
 
− − 
 
 
6 1( 1)
6 2
sen
 
− = − 
 
 
Trata-se de uma série alternada. 
Resumo 
Nesta aula vimos qual é o comportamento geral de algumas séries muito 
conhecidas e utilizadas em diversos estudos matemáticos. Aprendemos a identificar 
séries harmônicas, p-séries, séries geométricas, séries telescópicas e séries 
alternadas. 
O foco desta aula foi séries alternadas dada sua importância no estudo de 
séries de funções, como veremos no futuro. As séries alternadas são aquelas cujos 
termos de sua soma tem sinais alternados entre positivo e negativo. O estudo dos 
termos destas séries nos permite fazer um paralelo com funções como seno e 
cosseno, por exemplo, dado seu comportamento alternado. 
O estudo da convergência de cada série também pode partir da análise de seus 
termos. A visualização da distribuição dos primeiros termos de uma série em um 
gráfico simples pode nos ajudar a identificar como a série se comporta no limite para 
o infinito. Mas lembre-se: este tipo de análise nos dá uma pista sobre esse 
comportamento. Algumas séries que a princípio poderiam convergir, podem ter seus 
termos manipulados e apresentar convergência para qualquer número ou mesmo 
convergir. 
 
9 
 
Referências bibliográficas 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Volume 4. São Paulo: LTC, 2002. 
 
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. Volume 2. São Paulo: Pearson, 2010. 
 
Encyclopedia of Mathematics. Disponível em: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Harmonic_series. 
Acessado em 23/04/2019 às 18h29min.