O Critério de D'alembert

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Cálculo II 
 
 
 
O CRITÉRIO DE D'ALEMBERT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Critério de D’Alembert .......................................................................................................... 2 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 5 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 5 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na última apostila, foi abordado sobre o teste de convergência de Cauchy, que 
é um método usado para testar a convergência de séries infinitas. Ele é dependente 
da presença de uma quantidade limitada de termos dentro série. O termo é usado 
para vários testes, que podem ser usados para determinar se uma série de números 
reais converge ou diverge. No entanto, o último termo é mais utilizado para uma 
caracterização de sequências convergentes no espaço euclidiano. 
Em matemática, o teste de razão é um teste (ou "critério") para a convergência 
de uma série do tipo 
1
n
n
a

=
 
 
 

, em que seus termos sejam positivos. 
Para este tipo de teste cada termo é um número real ou complexo e 
( )na
 é 
diferente de zero quando 
( )n
 é grande. O teste foi publicado pela primeira vez por 
Jean le Rond D'Alembert, é conhecido como teste de razão de d'Alembert ou como o 
teste da relação de Cauchy. 
Nesta apostila será estudado sobre a aplicação do critério de D’Alembert como 
forma a analisar a natureza das séries. 
Objetivos 
• Entender sobre o teste da razão e suas aplicações; 
• Compreender o critério de D’Alembert como forma de análise da natureza 
das séries; 
 
1. Critério de D’Alembert 
 Na matemática, o teste da razão é utilizado para saber se há uma convergência 
ou não de uma determinada série. 
Seja 
( )
1
n
n
a

=

 uma série de termos positivos, tem-se que: 
1
lim n
n
n
a
L
a→
+
=
 
Se: 
1L
, a série é considerada absolutamente convergente; 
1L
, ou 
L=
 ou 
1L +=
, a série será divergente; 
 
3 
 
1L −=
, diz-se que o teste é inconclusivo. 
 
É possível fazer o teste de razão aplicável a certos casos onde o limite 
( )L
 não 
existe, se limite superior e limite inferior são usados. Os critérios de teste também 
podem ser refinados para que o teste seja às vezes conclusivo mesmo quando 
( )1L =
. 
Mais especificamente: 
1
limsup n
n n
a
R
a→
+
=
 
1
liminf n
n
n
a
r
a→
+
=
 
Então, pelo teste da razão: 
1R
, a série será absolutamente convergente; 
Se 
1r 
, a série será divergente. 
1
1n
n
a
a
+

, para todos os (n), independente do valor de (r), a série irá divergir. 
Qualquer outro resultado diferente do descrito acima, o teste será 
inconclusivo. 
 
EXEMPLO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo Critério de D’alembert analise se a série 
1
n
n
n
e

=
 
 
 

: 
Ao aplicar o teste da razão, tem-se que: 
1
1 11lim lim 1
n
n
n n
n
n
n
a e
na e
e
→ →
+
+ += =  
Então, como o limite é menor que 1, a série converge. 
 
 
 
4 
 
EXEMPLO 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo Critério de D’alembert analise se a série 
1
n
n
e
n

=
 
 
 

: 
Ao aplicar o teste da razão, tem-se que: 
1
1
1 1lim lim 1
n
n
n
n
nn n
n
e
n
e
a n e
ea
n

=
→ →
 
 
 
+
+ += = 

 
Então, como o limite é maior que 1, a série é divergente. 
 
Analise a série 
1
1
n n

=
 
 
 

 por meio do Critério de D’alembert: 
Ao aplicar o teste da razão, tem-se que: 
1
1
1
1 1lim lim lim 1
1 1
n
n
n n n
n
n
a nn
a n
n

=
→ → →
 
 
 
+ += = =
+

 
Então, como o limite é igual a 1, não é possível concluir 
sobre sua natureza. 
 
 
5 
 
Exercícios 
1. (Autora, 2019) Classifique a série abaixo como convergente ou divergente, pelo 
critério de D’Alembert. 
1
1
,n n
n
n
a a
n

=
+
= 
 
2. (Autora, 2019) Seja a série 
1
3
!
n
n n

=
 
 
 

determine se ela é convergente o 
divergente. 
Gabarito 
1. Resolução de 1 
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
1
2
1 !1 2 !
lim lim lim
1 1 ! 1
!
1 1 1 1
lim lim 0
11 1
1, ( )
n
n n n
n
n n
n
n
n
na n n
L
na n n
n
n
nn n
L a converge
→ → →
→ →

=
+
++ +
= = =
+ + +
+ +
= = + =
++ +
 
 
 
2. Ao aplicar o teste da razão, tem-se que: 
( )
( )
1
1
1
3
!
3
1 !1 3 ! 3
lim lim lim lim 0
3 3 1 ! 1
!
n
n
n
n
n
n nn n n n
n
n
na n
a n n
n

=
+
+
→ → → →
 
 
 
++
= = = =
+ +

 
Então, como o limite é igual a 0, pode-se concluir que esta série converge. 
Resumo 
O Critério de d'Alembert é usado para determinar a convergência ou 
divergência de uma série de termos não negativos e, portanto, fazer uma classificação 
do mesmo. 
 
6 
 
É possível realizar o teste da razão aplicável a certos casos onde o limite 
( )L
 
não existe, isto caso seja utilizado um limite superior e inferior. Os critérios deste teste 
também podem ser refinados para que possa ser conclusivo, mesmo quando 
( )1L =
, 
como ocorreu para o critério de Cauchy anteriormente. 
 O critério de D’Alembert analisa a relação de termos de uma determinada 
série, principalmente para os casos em que apareçam as séries do tipo de potência e 
fatoriais. 
A aplicação deste critério pode ser realizado a partir de uma série de termos 
positivos do tipo 
( )
1
n
n
a

=

 e seu limite 1
lim n
n
n
a
L
a→
+
=
, neste caso, a série irá convergir 
para 
1L
 e divergir para
1L
 ou 
L=
 ou 
1L +=
, a série será divergente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Referências bibliográficas 
T RUDIN, Walter. Princípios de Análise Matemática. Ed. Ao Livro Técnico S.A., 1971. 
STEWART, J. Cálculo, volume II. 4ª. Ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.