Notas de Aula - ITA - Eletromagnetismo

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Notas de Aula - FIS32
Lara Kuhl Teles
21 de julho de 2008
2
Suma´rio
0 To´picos matema´ticos 9
0.1 Teoremas e propriedades de Ca´lculo Vatorial . . . . . . . . . . 9
0.2 Propriedades de Divergente, Rotacional e Gradiente . . . . . . 10
1 Introduc¸a˜o 11
1.1 Forc¸as ele´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Propriedades da carga ele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Lei de Coulomb 15
2.1 A Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Princ´ıpio de Superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Campo Ele´trico 19
3.1 O Campo Ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Distribuic¸o˜es Cont´ınuas de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Tipos de Distribuic¸o˜es: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Linhas de Forc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.1 Aplicando A Lei De Gauss: . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Aplicac¸o˜es da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 Divergeˆncia de um vetor e Equac¸a˜o de Poisson . . . . . . . . . 38
3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da Lei de Gauss . . . . 44
3
4 SUMA´RIO
4 Potencial Eletrosta´tico 51
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.1 Recordac¸a˜o da Mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Definic¸a˜o do Potencial eletrosta´tico . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1 Ca´lculo do pontencial eletrosta´tico gerado por uma
carga pontual q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Ca´lculo do Campo a partir do potencial . . . . . . . . . . . . 54
4.3.1 Equipontenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Potencial de uma distribuic¸a˜o de cargas . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.1 Anel isolante uniformemente carregado . . . . . . . . . 56
4.4.2 Disco uniformemente carregado: a uma distaˆncia z do
centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4.3 Disco uniformemente carregado: Ca´lculo no Bordo . . . 58
4.4.4 Casca esfe´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Dipolo ele´trico e expansa˜o multipolar dos campos ele´tricos . . 60
4.6 Circulac¸a˜o do campo ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Equac¸o˜es da Eletrosta´tica e Energia 69
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Equac¸o˜es de Laplace e Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 Resumo das equac¸o˜es da eletrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4 Condic¸o˜es de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.1 Relac¸a˜o entre campos logo acima e abaixo de uma su-
perf´ıcie carregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.2 Relac¸a˜o entre os potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.3 Alguns outros comenta´rios . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5 Exemplos de aplicac¸a˜o das Equac¸o˜es de Poisson e Laplace . . 74
5.5.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6 Energia Potencial Eletrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6.1 Energia Potencial Eletrosta´tica de uma distribuic¸a˜o de
cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
SUMA´RIO 5
5.6.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.6.3 Relac¸a˜o entre Energia e Campo Ele´trico . . . . . . . . 80
5.6.4 Princ´ıpio da Superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Condutores 85
6.1 Breve Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Propriedades dos Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 Carga Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.1 O campo numa cavidade de um condutor . . . . . . . . 87
6.4 Me´todo das Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.1 Carga e o Plano Condutor Aterrado . . . . . . . . . . . 92
6.4.2 Densidade De Carga Induzida Na Superf´ıcie Do Plano 93
6.5 Poder das Pontas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6 Carga Na Superf´ıcie e Forc¸a Em Um Condutor . . . . . . . . . 96
7 Capacitores 97
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Energia de um capacitor carregado . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3 Ca´lculos de Capacitaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3.1 Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3.2 Capacitor Cil´ındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.3 Capacitor Esfe´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4 Associac¸a˜o de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4.1 Capacitores em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4.2 Capacitores em Se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8 Diele´tricos 109
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 Campo no interior de um diele´trico . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2.1 mole´culas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2.2 mole´culas apolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 SUMA´RIO
8.3 Polarizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3.1 Definic¸a˜o do vetor Polarizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3.2 Susceptibilidade Ele´trica e constante diele´trica . . . . 113
8.4 Lei de Gauss e vetor deslocamento ele´trico . . . . . . . . . . . 114
8.5 Energia eletrosta´tica em diele´tricos . . . . . . . . . . . . . . 116
8.6 Condic¸o˜es de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9 Corrente ele´trica e Resisteˆncia 121
9.1 Transporte de Carga e Densidade de Corrente . . . . . . . . . 121
9.1.1 Conceito De Densidade De Corrente . . . . . . . . . . 121
9.2 Equac¸a˜o da Continuidade da Carga ele´trica . . . . . . . . . . 124
9.2.1 Caso De Corrente Estaciona´ria . . . . . . . . . . . . . 126
9.3 Condutividade Ele´trica e a Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . 127
9.3.1 Um Modelo Para a Conduc¸a˜o Ele´trica . . . . . . . . . 127
9.4 Associac¸a˜o de Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.4.1 Associac¸a˜o em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.4.2 Associac¸a˜o em Se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.5 Forc¸a Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.5.1 Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.5.2 Poteˆncia Ma´xima Transmitida . . . . . . . . . . . . . . 138
9.6 Leis de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.7 Circuito R-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7.1 Carregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7.2 Descarregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . 144
10 Magnetosta´tica 149
10.1 Campo Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2 Forc¸a magne´tica em fios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.3 Torque em espiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.4 O Movimento Cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.5 A Auseˆncia de monopolos magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . 159
SUMA´RIO 7
10.6 O Efeito Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.7 A Lei de Biot Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.7.2 Formas Alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.7.3 Aspectos Interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.7.4 Aplicac¸o˜es da Lei de Biot-Savart . . . . . . . .. . . . 166
10.8 A Lei Circuital de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampe`re . . . . . . . . . . 174
10.8.3 Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . 175
10.9 Potencial Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.10Condic¸o˜es de Contorno na Magnetosta´tica . . . . . . . . . . . 189
10.10.1 Componente perpendicular a` superf´ıcie . . . . . . . . . 190
10.10.2 Componente paralela a` superf´ıcie e paralela a` direc¸a˜o
da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.10.3 Componente paralela a` superf´ıcie e perpendicular a`
direc¸a˜o da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.11Expansa˜o em multipo´los . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
11 Lei da Induc¸a˜o 195
11.1 O Fluxo Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.2 A Lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.3 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.4 Efeitos Mecaˆnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.4.1 As correntes de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.4.2 Atrito Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.4.3 Canha˜o Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.5 Indutaˆncia Mu´tua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.6 Auto-Indutaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
11.7 Associac¸a˜o de Indutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.7.1 Dois indutores em se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8 SUMA´RIO
11.7.2 Dois indutores em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.8 Circuito R-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.9 Circuito L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.10Analogia com sistema mecaˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.11Circuito R-L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11.11.1 Subcr´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.11.2 Cr´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.11.3 Supercr´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
11.12Energia em Campos Magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12 Equac¸o˜es de Maxwell 231
12.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12.2 Modificac¸a˜o na lei de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
12.3 Equac¸o˜es de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.3.1 Forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.3.2 Forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
12.4 Equac¸o˜es de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13 Materiais Magne´ticos 241
13.1 Propriedades Magne´ticas da Mate´ria . . . . . . . . . . . . . . 241
13.2 Momentos magne´ticos e Momento angular . . . . . . . . . . . 243
13.3 Materiais Diamagne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.4 Materiais Paramagne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
13.5 Magnetizac¸a˜o e o campo ~H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
13.6 Materiais Magne´ticos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
13.7 Materiais Ferromagne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
13.8 Energia em meios magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Cap´ıtulo 0
To´picos matema´ticos
0.1 Teoremas e propriedades de Ca´lculo Va-
torial
Teorema 1 (Teorema de Stokes). Seja S uma superf´ıcie de bordo γ = ∂S e
seja ~F um campo de classe C1. Enta˜o:∮
γ=∂S
~F d~l =
∫∫
S
~∇× ~F d~S (1)
Demonstrac¸a˜o. Encontrada em qualquer refereˆncia de Ca´lculo Vetorial
Teorema 2 (Teorema da Divergeˆncia ou de Gauss). Seja R uma regia˜o do
espac¸o de bordo γ = ∂R e seja ~F um campo de classe C1. Enta˜o:∫∫∫
R
→
∇
→
F dv =
∫∫
∂R
~F d~S (2)
Demonstrac¸a˜o. Encontrada em qualquer refereˆncia de Ca´lculo Vetorial
Tais Teoremas sa˜o de extrema importaˆncia pois facilitam em determina-
das situac¸o˜es o ca´lculo de um dos membros das equac¸o˜es por meio do ou-
9
10 CAPI´TULO 0. TO´PICOS MATEMA´TICOS
tro, que pode ser obtido por um me´todo de integrac¸a˜o mais ra´pido e menos
prop´ıcio a erros.
0.2 Propriedades de Divergente, Rotacional
e Gradiente
1) o divergente de um rotacional vale sempre zero, quaisquer que sejam os
vetores associados.
2) o rotacional de um gradiente vale sempre zero, qualquer que seja o
campo escalar associado.
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
1.1 Forc¸as ele´tricas
Consideremos uma forc¸a ana´loga a` gravitac¸a˜o que varie com o inverso do
quadrado da distaˆncia, mas que seja bilho˜es de bilho˜es de bilho˜es de vezes
mais intensa. E com outra diferenc¸a: que haja duas classes de ”mate´ria”que
poder´ıamos chamar de positiva e negativa. Se sa˜o da mesma classe se repelem
e se sa˜o de classes distintas se atraem, diferentemente de gravitac¸a˜o que e´ so´
atrativa.
Um conjunto de elementos positivos se repelem com uma forc¸a enorme,
o mesmo ocorrendo com um conjunto de elementos negativos. Os elementos
opostos sa˜o mantidos juntos por uma forc¸a enorme de atrac¸a˜o. Estas terr´ıveis
forc¸as se equilibrara˜o perfeitamente e formara˜o uma mescla de elementos
positivos e negativos intimamente mesclados entre si de tal modo que duas
porc¸o˜es separadas na˜o sentira˜o nem atrac¸a˜o nem repulsa˜o entre elas.
Uma forc¸a como esta existe e e´ chamada de forc¸a ele´trica. E toda a
mate´ria e´ uma mescla de pro´tons positivos e ele´trons negativos que esta˜o
se atraindo e repelindo com uma grande forc¸a. Mas, ha´ um equil´ıbrio ta˜o
perfeito que com relac¸a˜o ao conjunto na˜o se sente nenhuma forc¸a resultante.
Atualmente, sabemos que as forc¸as ele´tricas determinam em grande parte,
11
12 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
as propriedades f´ısicas e qu´ımicas da mate´ria em toda a faixa que vai desde
o a´tomo ate´ a ce´lula viva. Temos de agradecer por este conhecimento dos
cientistas do se´culo XIX: Ampe`re, Faraday, Maxwell e muitos outros que
descobriram a natureza do eletromagnetismo; bem como f´ısicos e qu´ımicos
do se´culo XX que revelaram a estrutura atoˆmica da mate´ria.
O eletromagnetismo cla´ssico estuda as cargas e correntes ele´tricas e suas
ac¸o˜es mu´tuas, como se todas as grandezas envolvidas pudessem ser medi-
das independentemente, com precisa˜o limitada. Nem a revoluc¸a˜o da f´ısica
quaˆntica, nem o desenvolvimento da relatividade especial deslustraram as
equac¸o˜es do campo eletromagne´tico que Maxwell estabeleceu ha´ mais de cem
anos atra´s. Evidentemente, a teoria estava solidamente baseada na experi-
mentac¸a˜o, e por causa disso era muito segura dentro dos limites do seu campo
de aplicac¸a˜o original. No entanto, mesmo um eˆxito ta˜o grande na˜o garante
a validade num outro domı´nio, por exemplo, no interior de uma mole´cula.
Dois fatos ajudam a explicar importaˆncia cont´ınua da teoria cla´ssica do
eletromagnetismo na f´ısica moderna. Primeiro, a relatividade restrita na˜o
exigiu nenhuma revisa˜o do eletromagnetismo cla´ssico. Cronologicamente, a
relatividade especial nasceu do eletromagnetismo cla´ssico e das experieˆncias
inspiradas por ele. As equac¸o˜es de Maxwell, deduzidas muito antes dos tra-
balhos de Lorentz e Einstein revelaram-se inteiramente compat´ıvel com a
relatividade. Em segundo lugar, as modificac¸o˜es quaˆnticas das forc¸as eletro-
magne´ticas revelaram-se sem importaˆncia ate´ distaˆncias da ordem de 10−10
cm, cem vezes menores que o a´tomo. Podemos descrever a repulsa˜o e atrac¸a˜o
de part´ıculas no a´tomo utilizandoas mesmas leis que se aplicam a´s falhas
de um eletrosco´pio, embora necessitemos da mecaˆnica quaˆntica para prever
o comportamento sob ac¸a˜o dessas forc¸as.
Segundos relatos histo´ricos, ja´ ao tempo da Gre´cia Antiga se tinha conhe-
cimento de que o aˆmbar (uma espe´cie de resina denominada de ele´tron na
l´ıngua grega), uma vez friccionado com la˜, adquiria a propriedade de atrair
pequenos fragmentos de papel, fiapos de tecidos, etc. Nenhum progresso
1.2. PROPRIEDADES DA CARGA ELE´TRICA 13
substancial ocorreu todavia nesse assunto ate´ o se´culo XVIII, quando se des-
cobriu que o vidro friccionado com um pano de seda tambe´m apresentava
propriedades semelhantes a do aˆmbar. Estas observac¸o˜es levaram a admitir
duas espe´cies de eletricidade: a v´ıtrea e a resinosa.
Ainda dessas observac¸o˜es decorram as leis elementares da eletrosta´tica, a
saber: a) Eletricidades de mesmo nome se repelem b) Eletricidades de nomes
diferentes se atraem.
Benjamin Franklin foi o primeiro a falar em eletricidade positiva (a v´ıtrea)
e eletricidade negativa (a resinosa).
Hoje sabemos que esses efeitos sa˜o devidos a` existeˆncia do que chamamos
de carga ele´trica. Embora a carga ele´trica na˜o seja definida sabemos que ela
e´ uma caracter´ıstica das part´ıculas fundamentais que constituem os a´tomos.
1.2 Propriedades da carga ele´trica
Uma propriedade fundamental da carga ele´trica e´ a sua existeˆncia nas duas
espe´cies que ha´ muito tempo foram chamadas de positivas e negativas. Observou-
se o fato de que todas as part´ıculas eletrizadas podem ser divididas em duas
classes, de tal forma que todos os componentes de uma classe se repelem
entre si, a o passo que atraem is componentes de outra classe.
Se A e B repelem-se e A atrai um terceiro corpo eletrizado C, enta˜o B
atraiu C.
Na˜o podemos dizer com certeza, porque prevalece esta lei universal. Mas
hoje os f´ısicos tendem a considerar as cargas positivas e negativas, fundamen-
talmente como manifestac¸o˜es opostas de uma qualidade assim como direito
e esquerdo, manifestac¸o˜es opostas de lado.
O que no´s chamamos de carga negativa poderia ter sido chamada de
positiva e vice-versa. A escolha foi um acidente histo´rico.
A segunda propriedade e´ um dos princ´ıpios fundamentais da F´ısica: O
Princ´ıpio da conservac¸a˜o da carga ele´trica. Esse princ´ıpio e´ equivalente ao
14 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
POSTULADO DA TEORIA.
A carga total, num sistema isolado, nunca varia. (sistema isolado =
nenhuma mate´ria atravessa os limites do sistema).
Observac¸a˜o 1.1. Podemos ter a criac¸a˜o de pares de cargas positivas e negati-
vas, mas uma carga positiva e negativa, mas uma carga positiva ou negativa
na˜o pode simplesmente desaparecer ou aparecer por si so´.
A terceira propriedade esta´ relacionada com a quantidade da carga.
A experieˆncia da gota de o´leo de Millikan, e diversas outras, demonstram
que a carga ele´trica aparece a natureza em mu´ltiplos de um u´nico valor
unita´rio. Essa intensidade e´ representada por e 1 , a carga eletroˆnica.
Experieˆncias mostram que a carga do pro´ton e do ele´tron sa˜o iguais com
uma precisa˜o de 1 para 10−20. De acordo com as odeias atuais, o ele´tron e
o pro´ton e o pro´ton sa˜o ta˜o diferentes entre si como o podem ser quaisquer
outras part´ıculas elementares. Ningue´m entende ainda porque suas cargas
devam ser iguais ate´ um grau ta˜o fanta´stico de precisa˜o.
Evidentemente a quantizac¸a˜o da carga e´ uma lei profunda e universal da
natureza. Todas as part´ıculas elementares eletrizadas, ate´ o ponto em que
podemos determinar, teˆm cargas de magnitudes rigorosamente iguais.
Observac¸a˜o 1.2. Nada na eletrodinaˆmica requer que as cargas sejam quanti-
zadas este e´ um fato.
Observac¸a˜o 1.3. Pro´tons e neˆutrons sa˜o compostos de treˆs quarks, cada qual
com cargas fracionadas ±2
3
e e ±1
3
e . No entanto, quarks livres parecem
na˜o existir na natureza, de qualquer forma isto na˜o alteraria o fato da carga
ser quantizada, so´ reduziria o mo´dulo da unidade ba´sica.
Observac¸a˜o 1.4. Por outro lado, a na˜o-conservac¸a˜o da carga (Propriedade
2) seria totalmente incompat´ıvel com a estrutura da teoria eletromagne´tica
atual.
1e= 1, 6.10−19C
Cap´ıtulo 2
Lei de Coulomb
2.1 A Lei de Coulomb
Voceˆ provavelmente ja´ sabe que a interac¸a˜o de cargas ele´tricas em repouso e´
regida pela lei de Coulomb, que nos diz que entre duas cargas em repouso
ha´ uma forc¸a diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia que as separa. A forc¸a se da´ na direc¸a˜o
da reta que une as duas cargas.
→
F1=
1
4pi�o
q1q2
r21,2
rˆ1,2 = −
→
F2 (2.1)
→
F1 = forc¸a que age sobre a part´ıcula 1
rˆ1,2= versor na direc¸a˜o de q1 e q2
r1,2 = distaˆncia entre q1 e q2
No sistema CGS ou MES: k0 vale aproximadamente um (1)[→
F
]
= dina
1C = 2, 998.109 MES
Quando temos mais de duas cargas devemos complementar a lei de Cou-
lomb com outro jeito da natureza: o princ´ıpio da superposic¸a˜o.
15
16 CAPI´TULO 2. LEI DE COULOMB
Figura 2.1: Forc¸a ele´trica entre duas cargas
2.2 Princ´ıpio de Superposic¸a˜o
Considere o sistema constitu´ıdo de n cargas puntiformes q0, q1, q2....qn . Po-
demos calcular a forc¸a ele´trica resultante sobre qualquer uma das cargas
aplicando o Princ´ıpio da Superposic¸a˜o. Suponha que desejamos calcular o
vetor forc¸a ele´trica resultante sobre a carga q0 . Para isso, determinaremos a
forc¸a que cada uma das cargas exerce sobre q0 e em seguida somamos todas
as contribuic¸o˜es.
A forc¸a resultante sobre q0 sera´:
→
F0=
→
F0,1 +
→
F0,2 +....+
→
F0,n (2.2)
Sendo
→
F0,n a forc¸a devido a qn
O Princ´ıpio da Superposic¸a˜o estabelece que a interac¸a˜o entre quaisquer
duas cargas na˜o e´ afetada pela presenc¸a das outras.
Assim,
→
F0= K0q0
n∑
i=1
qi
r20,i
rˆ0,i (2.3)
Reescrevendo:
2.2. PRINCI´PIO DE SUPERPOSIC¸A˜O 17
→
F0= K0q0
n∑
i=1
qi
| →r i − →r 0 |3
(
→
r i − →r 0) (2.4)
18 CAPI´TULO 2. LEI DE COULOMB
Cap´ıtulo 3
Campo Ele´trico
3.1 O Campo Ele´trico
Suponhamos uma distribuic¸a˜o de cargas q1, q2,..., qn fixas no espac¸o, e ve-
jamos na˜o as forc¸as que elas exercem ente si, mas apenas os efeitos que
produzem sobre alguma outra carga q0 que seja trazida a`s suas proximida-
des.
Sabemos que a forc¸a sobre q0 e´:
~Fo = Ko
n∑
i=1
qoqi
r2o,i
rˆo,i
Assim, se dividirmos
→
F 0 por q0 teremos:
~Fo
qo
= Ko
n∑
i=1
qi
r2o,i
rˆo,i (3.1)
uma grandeza vetorial que depende apenas da estrutura do sistema ori-
ginal de cargas q1, q2,..., qn e da posic¸a˜o do ponto (x,y,z). Chamamos essa
func¸a˜o vetorial de x,y e z de campo ele´trico criado por q1, q2,..., qn e usa-
mos o s´ımbolo
→
E . As cargas sa˜o chamadas fontes do campo. Desta forma
19
20 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
definimos o campo ele´trico de uma distribuic¸a˜o de cargas no ponto (x,y,z):
~E(x, y, z) = Ko
n∑
i=1
qi
r2o,i
rˆo,i (3.2)
~Fo = qo ~E (3.3)
Note que utilizamos como condic¸a˜o que as cargas fontes do campo es-
tavam fixas, ou seja, que colocar a carga q0 no espac¸o na˜o perturbara´ as
posic¸o˜es ou movimento de todas as outras cargas responsa´veis pelos campos.
Muitas pessoas, a`s vezes, definem o campo impondo a` q0 a condic¸a˜o de
ser uma carga infinitesimal e tomando
→
E como: lim
qo→0
~F
qo
Cuidado! Na realidade este rigor matema´tico e´ falso. Lembre-se que no
mundo real na˜o ha´ carga menor que e!
Se considerarmos a Equac¸a˜o 3.2 como definic¸a˜o de
→
E , sem refereˆncia
a uma carga de prova, na˜o surge problema algum e as fontes na˜o precisam
ser fixas. Casa a introduc¸a˜o de uma nova carga cause deslocamentodas
cargas fontes, enta˜o ela realmente produzira´ modificac¸o˜es no campo ele´trico
e se quisermos prever a forc¸a sobre a nova carga, devemos utilizar o campo
ele´trico para calcula´-la.
Conceito de campo: um campo e´ qualquer quantidade f´ısica que pos-
sue valores diferentes em pontos diferentes no espac¸o. Temperatura, por
exemplo, e´ um campo. Nesse caso um campo escalar, o qual no´s escrevemos
como T(x,y,z). A temperatura poderia tambe´m variar com o tempo, e no´s
poder´ıamos dizer que a temperatura e´ um campo dependente do tempo e
escrever T(x,y,z,t). Outro exemplo e´ o campo de velocidade de um l´ıquido
fluindo. No´s escrevemos
→
v =(x,y,z,t) para a velocidade do l´ıquido para cada
ponto no espac¸o no tempo t. esse e´ um campo vetorial. Existem va´rias ide´ias
criadas com a finalidade de ajudar a visualizar o comportamento dos campos.
A mais correta e´ tambe´m a mais abstrata: no´s simplesmente considerarmos
os campos como func¸o˜es matema´ticas da posic¸a˜o e tempo.
3.2. DISTRIBUIC¸O˜ES CONTI´NUAS DE CARGA 21
O campo e´ uma grandeza vetorial e na unidade no SI e´
N
C
(Newton/Coulumb).
Se tivermos somente uma carga:
~E =
Koq
r2
rˆ
Observac¸a˜o 3.1. Campo ele´trico e´ radial e cai com a distaˆncia ao quadrado
O Princ´ıpio da superposic¸a˜o tambe´m e´ aplicado para os campos ele´tricos,
ou seja, o campo ele´trico resultante em um ponto P qualquer sera´ a soma
dos campos ele´tricos que cada uma das cargas do sistema gera nesse ponto.
~E = ~E1 + ~E2 + ...+ ~En
3.2 Distribuic¸o˜es Cont´ınuas de Carga
Figura 3.1: Distribuic¸o˜es cont´ınuas de carga
Usando o Princ´ıpio da Superposic¸a˜o: ~E =
∫
d ~E =Ko
∫
dq
r2
rˆ
3.2.1 Tipos de Distribuic¸o˜es:
a) linear: carga distribu´ıda ao longo de um comprimento (ex: fio, barra,
anel).
Densidade linear de carga = λ =
dq
dl
dq = λdl
22 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
~E = Ko
∫
λdl
r2
rˆ
b) superficial: carga distribu´ıda ao longo de uma superf´ıcie(ex: disco,placa).
Densidade superficial de carga = σ =
dq
ds
dq = λds
~E = Ko
∫
σds
r2
rˆ
c) volume´trica: carga distribu´ıda no interior de um volume(ex: esfera,
cubo, cilindro).
Densidade volume´trica de carga = ρ =
dq
dv
dq = ρdv
~E = Ko
∫
ρdv
r2
rˆ
Exerc´ıcio 3.1. Determinar o campo ele´trico no ponto P.
Figura 3.2: Determinac¸a˜o do campo no ponto P
Resoluc¸a˜o. Se tomarmos limite quando b>>L temos:
∣∣∣ ~EP ∣∣∣ = KoλLb2 = KoQb2 NC
= carga pontual
3.2. DISTRIBUIC¸O˜ES CONTI´NUAS DE CARGA 23
Colocando uma carga q no ponto P, a forc¸a e´ dada por:
~F = q ~EP = qKo
λL
b(b− L) iˆN
Quando lim b >> L temos:
~F = Ko
qQ
b2
iˆ = forc¸a de Coulomb entre duas cargas pontuais q e Q
Observac¸a˜o 3.2. So´ funciona para mate´rias isolantes. Com os metais ter´ıamos
uma redistribuic¸a˜o de carga no condutor quando a presenc¸a da carga q.
Exerc´ıcio 3.2. Determinar o campo ele´trico no ponto P.
Figura 3.3: Determinac¸a˜o do campo no ponto P
24 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Exerc´ıcio 3.3. Calcular o campo ele´trico a uma distaˆncia z de um anel de
raio R
Figura 3.4: Anel de raio R
Resoluc¸a˜o.
‖~r‖ = z2 +R2 dl = Rdθ
dEz = dE cosα =
λRdθ
z2 +R2
z√
z2 +R2
Por simetria so´ teremos componente na direc¸a˜o z.
~E = k0
2pi∫
0
z√
z2 +R2
λRdθ
z2 +R2
kˆ ⇒ ~E = k0 zRλ2pi
(z2 +R2)
3
2
kˆ
~E =
2pik0λRz
(z2 +R2)
3
2
kˆ
(
N
C
)
=
Qzλ
(z2 +R2)
3
2
kˆ
Analisando os limites R →∞ e z >> R:
3.2. DISTRIBUIC¸O˜ES CONTI´NUAS DE CARGA 25
z >> R : E =
2piλRk0z
z3
=
k0Q
z2
= carga puntual
R→∞:E→ 0, com 1
R3
se Q for fixa
com
1
R3
se λ constante
Exerc´ıcio 3.4. Calcular o campo ele´trico a uma distaˆncia z de um disco
com densidade de carga σ.
Figura 3.5: Anel de raio R
Resoluc¸a˜o. Pela simetria so´ temos componente na direc¸a˜o z.
26 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
ds = rdθdr
dEz = dE cosα = dE
z√
r2 + z2
Ez = k0
2pi∫
0
R∫
0
zσrdθdr√
r2 + z2 (r2 + z2)
= k0zσ2pi
R∫
0
rdr
(r2 + z2)
3
2
r2 + z2 = u du = 2rdr
Ez = k0zσ2pi
R2+z2∫
z2
du
(u)
3
2
= k0zσpi
u
−1
2
−1
2
∣∣∣∣∣
R2+z2
z2
Ez = −k0zσ2pi
(
1√
R2 + z2
− 1|z|
)
= 2pik0σ
(
z
|z| −
z√
R2 + z2
)
Analisando os limites:
z << R : Ez =
σ
2ε0
z
|z|
~E =

σ
2ε0
, z > 0
− σ
2ε0
, z < 0
z >> R :
1− z√
z2 +R2
= 1 +
(
1 +
R2
z2
)− 1
2
= 1−
(
1− 1
2
R2
z2
+ ...
)
≈ 1
2
R2
z2
⇒ Ez = σ
2ε0
R2
2z2
=
σpiR2
4piε0z2
=
Q
4piε0z2
3.2. DISTRIBUIC¸O˜ES CONTI´NUAS DE CARGA 27
Ez =

σ
2ε0
(
1− z√
z2 +R2
)
, z > 0
σ
2ε0
(
−1− z√
z2 +R2
)
, z < 0
Fazendo os gra´ficos:
z << R
Figura 3.6: Gra´fico para z << R
z >> R
Figura 3.7: Gra´fico para z >> R
28 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
3.3 Linhas de Forc¸as
Os esquemas mais utilizados para a representac¸a˜o e visualizac¸a˜o de um campo
ele´trico sa˜o:
a) Uso de vetores associamos um vetor a cada ponto do espac¸o
Figura 3.8: Linhas de forc¸a-vetores
Quando q > 0 o campo e´ divergente.
Simples campo radial proporcional ao inverso do quadrado da distaˆncia.
b) Desenhar as linhas de campo:
Linhas de forc¸a de um campo, ou simplesmente linhas de campo sa˜o retas
ou curvas imagina´rias desenhadas numa regia˜o do espac¸o, de tal modo que, a
tangente em cada ponto fornece a direc¸a˜o e o sentido do vetor campo ele´trico
resultante naquele ponto.
As linhas de campo fornecem a direc¸a˜o e o sentido, mas na˜o o mo´dulo. No
entanto, e´ poss´ıvel ter uma ide´ia qualitativa do mo´dulo analisando as linhas.
A magnitude do campo e´ indicada pela densidade de linhas de campo.
Exemplo 3.1. carga puntual +q
Atenc¸a˜o: o desenho esta´ definido em duas dimenso˜es, mas na realidade
representa as treˆs dimenso˜es.
3.3. LINHAS DE FORC¸AS 29
Figura 3.9: Linhas de forc¸a de um campo
Figura 3.10: Carga pontual + q
Se considera´ssemos duas dimenso˜es, a densidade de linhas que passam
atrave´s de uma circunfereˆncia seria igual a
n
2pir
, o que faria com que
E ∝ 1
r
Caso 3D a densidade seria igual a
n
4pir2
e
E ∝ 1
r2
30 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
, o que e´ correto.
Existem algumas regras para desenhar as linhas:
1) As linhas de campo nunca se cruzam. Caso contra´rio, ter´ıamos dois
sentidos diferentes para o campo no mesmo ponto. Isto na˜o faz sentido pois
o campo que elas significam e´ sempre o resultante.
2) As linhas de campo comec¸am na carga positiva e terminam na carga
negativa, ou no infinito.
3) O nu´mero de linhas e´ proporcional ao mo´dulo das cargas.
Q1
Q2
=
n1
n2
Figura 3.11: Linhas de Campo
Exemplo 3.2.
3.4 Fluxo
Consideremos uma regia˜o no espac¸o, onde existe um campo ele´trico como na
figura abaixo:
Uma superf´ıcie de a´rea A perpendicular a direc¸a˜o de E.
O fluxo atrave´s desta superf´ıcie e´: f = EA
3.4. FLUXO 31
Figura 3.12: Fluxo na a´rea A
Se esta superf´ıcie estiver na mesma direc¸a˜o de
~E
(
~a⊥ ~E
)
Figura 3.13: Fluxo na a´rea A
Se esta superf´ıcie estiver inclinada em relac¸a˜o as linhas de campo em um
aˆngulo θ
Considere agora, uma superf´ıcie fechada qualquer. Divida a superf´ıcie em
pedacinhos, de tal forma que cada um possa ser considerado plano e o vetor
32 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Figura 3.14: Fluxo na a´rea A
campo na˜o varie apreciavelmente sobre um trecho.
Na˜o deixe que a superf´ıcie seja muito rugosa nem que essa passe por uma
singularidade. (ex: carga puntiforme)
Figura 3.15: Superf´ıcie
A a´rea de cada trecho tem certo valor e cada uma define univocamente
uma direc¸a˜o e sentido, a normala` superf´ıcie orientada para fora. Para cada
trecho, temos um vetor
→
a j que define sua a´rea e orientac¸a˜o.
3.5. LEI DE GAUSS 33
O fluxo atrave´s desse pedac¸o de superf´ıcie e´ dado por: Φ =
→
Ej .
→
a j
E o fluxo atrave´s de toda a superf´ıcie: Φ =
∑
j
→
Ej .
→
a j
Tornando os trechos menores, temos: Φ =
∫ →
E .d
→
a em toda a superf´ıcie
3.5 Lei de Gauss
Tomemos o caso mais simples poss´ıvel: o campo de uma u´nica carga punti-
forme. Qual e´ o fluxo Φ atrave´s de uma esfera de raio r centrada em q?
Figura 3.16: Fluxo devido a uma carga puntiforme
34 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
~E = k0
q
r2
rˆ
d~a = r2senθdθdϕrˆ
Φ =
∮
s
~E · d~a =
∫∫
©
s
k0
q
r2
r2senθdθdϕrˆ
= k0q
pi∫
0
2pi∫
0
senθdθdϕ =
= 4pik0q =
4piq
4piε0
=
q
ε0
Ou simplesmente:
E × area total = k0 q
r2
4pir2 =
q
ε0
Portanto o fluxo na˜o depende do tamanho da superf´ıcie gaussiana.
Agora imagine uma segunda superf´ıcie, ou bala˜o, mas na˜o esfe´rica envol-
vendo a superf´ıcie anterior. O fluxo atrave´s desta superf´ıcie e´ o mesmo do
que atrave´s da esfera.
Figura 3.17: Fluxo devido a uma carga puntiforme
3.5. LEI DE GAUSS 35
Para ver isto podemos considerar a definic¸a˜o de linhas de campo:
O nu´mero de linhas que atravessam as duas superf´ıcies e´ o mesmo.
Ou enta˜o podemos considerar um cone com ve´rtice em q.
Figura 3.18: Comparac¸a˜o de fluxos
O fluxo de um campo ele´trico atrave´s de qualquer superf´ıcie que envolve
uma carga puntiforme e´
q
εo
Corola´rio 3.1. Fluxo atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ nulo quando a carga
e´ externa a` superf´ıcie.
O fluxo atrave´s de uma superf´ıcie fechada deve ser independente do seu
tamanho e forma se a carga interna na˜o variar.
Superposic¸a˜o:
Considere um certo nu´mero de fontes q1, q2, ..., qn e os campos de cada
uma
~E1, ~E2, ..., ~En
O fluxo Φ , atrave´s de uma superf´ıcie fechada S, do campo total pode ser
escrito:
36 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Φ =
∮
S
~E · d~s =
∮
S
( ~E1 + ~E2 + ...+ ~En)·d~s∮
S
~Ei · d~s = qi
ε0
⇒ Φ = q1 + q2 + ...+ qn
ε0
=
qint
ε0
LEI DE GAUSS:
O fluxo do campo ele´trico
→
E atrave´s de qualquer superf´ıcie fechada e´ igual
a` carga interna dividida por �0 .∮
S
~Ei · d~s = qint
ε0
Pergunta: A lei de Gauss seria va´lida se∣∣∣ ~E∣∣∣ ∝ 1
r3
?
Na˜o, pois:
Φ = ~E · ~A = EAtotal = k0 q
r3
4pir2 =
q
ε0r
Por meio da lei de Gauss e´ poss´ıvel calcular a carga existente numa regia˜o
dado um campo. Esta lei simplifica problemas complicados, pore´m limitados
a sistemas que possuem alta simetria.
3.5.1 Aplicando A Lei De Gauss:
1) Identifique as regio˜es para as quais E deve ser calculado.
2) Escolha superf´ıcies gaussianas observando a simetria do problema,
preferencialmente com E perpendicular e constante ou
→
E paralelo.
3) Calcule
Φ =
∮
S
~Ei · d~s
3.6. APLICAC¸O˜ES DA LEI DE GAUSS 37
4) Calcule qint
5) Aplique a Lei de Gauss para obter
→
E
Figura 3.19: Simetrias mais comuns
3.6 Aplicac¸o˜es da Lei de Gauss
E´ essencial que a distribuic¸a˜o tenha elemento de simetria (plana, axial,
esfe´rica) de tal forma que se possa exprimir o fluxo tatalo atrave´s de uma
superf´ıcie gaussiana fechada judiciosamente escolhida para aproveitar a sime-
tria, em termos de magnitude do campo, a mesma em qualquer ponto desta
superf´ıcie.
Plano Uniformemente Carregado
Fio Cil´ındrico de densidade linear λ
Casca Esfe´rica
O campo ele´trico externo a` camada e´ o mesmo que se toda a carga da
esfera estivesse concentrada no seu centro.
CAMPO ELE´TRICO NA SUPERFI´CIE DE UM CONDUTOR
A carga pode deslocar-se livremente no interior de um meio condutor.
No equil´ıbrio na˜o pode haver cargas no interior do condutor, pois as cargas
se deslocariam sob a ac¸a˜o do campo, rompendo o equil´ıbrio esta´tico. So´ e´
poss´ıvel ter componente do campo normal a` superf´ıcie.
38 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Figura 3.20: Plano Uniformemente Carregado
Figura 3.21: Fio Cil´ındrico de densidade linear λ
3.7 Divergeˆncia de um vetor e Equac¸a˜o de
Poisson
A lei de Gauss e´ um indicador global de presenc¸a de cargas:
Φ =
∮
S
~E · d~s = qint
ε0
3.7. DIVERGEˆNCIA DE UM VETOR E EQUAC¸A˜O DE POISSON 39
Figura 3.22: Casca esfe´rica
Queremos agora achar um indicador local que analise a presenc¸a de fontes
num ponto P.
Considere um ponto P:
Vamos colocar uma gaussiana ∆Σ de volume infinitesimal ∆V, a carga
dentro deste volume e´ ρ∆V, enta˜o:
Φ∆Σ =
∮
∆Σ
~E.d~s =
qint
ε0
=
∫
V
ρ∆V
ε0
⇒ 1
∆V
∮
~E.d~s =
1
∆V
∫
V
ρ∆V
ε0
lim
∆V→0
1
∆V
∮
∆Σ
~E.d~s =
ρ(P )
ε0
(3.4)
Este limite caracteriza que a densidade de fontes do campo em P inde-
pende de ∆Σ e e´ uma caracter´ıstica local do campo.
Para um vetor qualquer, definimos a divergeˆncia como sendo:
div~v(P ) = ~∇.~v = lim
∆V→0
1
∆V
∮
~v.d~s
onde ∆V e´ um volume arbitra´rio que envolve o ponto P e d
→
s (elemento
orientado de superf´ıcie).
De acordo com a Equac¸a˜o 3.4
40 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Figura 3.23: Esquema para aplicac¸a˜o da Lei de Gauss
3.7. DIVERGEˆNCIA DE UM VETOR E EQUAC¸A˜O DE POISSON 41
Figura 3.24: Continuac¸a˜o
Figura 3.25: Gaussiana e volume infinitesimal
~∇. ~E = ρ
εo
Equac¸a˜o de Poisson ou a forma local da Lei de Gauss
O divergente de
→
E num ponto P e´ o fluxo para fora de
→
E por unidade de
volume nas vizinhanc¸as do ponto P.
Mas sempre que for calcular o divergente no´s temos que calcular pela
definic¸a˜o?
42 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Figura 3.26: Paralelep´ıpedo infinitesimal
~∇.~v = lim
∆V→0
1
∆V
∮
~v.d~s
Na˜o. Vamos ver a forma do
~∇.~v
em coordenadas cartesianas:
Segundo a definic¸a˜o ∆V e´ qualquer. Vamos considerar um paralelep´ıpedo
de lados ∆x, ∆y e ∆z centrado no ponto P (x,y,z).
Vamos calcular o fluxo de
→
v na face 2:
vx(2).∆y.∆z
3.7. DIVERGEˆNCIA DE UM VETOR E EQUAC¸A˜O DE POISSON 43
Fluxo
→
v na face 1:
−vx(1).∆y.∆z
Observe que vx(2) 6= vx(1)
vx(2) = vx(x+
1
2
∆x, y, z) = vx(x+ y + z) +
1
2
∂vx
∂x
∆x
vx(1) = vx(x− 1
2
∆x, y, z) = vx(x+ y + z)− 1
2
∂vx
∂x
∆x
Fluxo sobre 1 e 2:
∑
fluxos =
∂vx
∂x
∆x∆y∆z
Da mesma forma se considerarmos as outras faces:
Φtotal =
(
∂vx
∂x
+ ∂vy
∂y
+ ∂vz
∂z
)
∆x∆y∆z
Φtotal =
(
∂vx
∂x
+ ∂vy
∂y
+ ∂vz
∂z
)
∆V
Φtotal = ∂
∮
~v • d~s =
(
∂vx
∂x
+ ∂vy
∂y
+ ∂vz
∂z
)
∆V
Superf´ıcie infinitesimal = ∆Σ
~∇~v = ∂vx
∂x
+
∂vy
∂y
+
∂vz
∂z
Por outro lado se somarmos para todos os elementos:
~∇~v∆V =
∫
V
~∇~vdV
Ao somarmos os fluxos sobre todos os elementos notamos que contri-
buic¸o˜es a`s superf´ıcies internas sa˜o iguais a zero.
44 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
∑
i
∮
∆
P
i
~vd~s =
∮
S
~vd~s
∫
V
~∇~vdV =
∮
S
~vd~s
Vimos que a definic¸a˜o de divergente e´:
div~v(P ) = ~∇.~v = lim
∆Vi→0
1
Vi
∮
Si
~v.d~si
sendo
→
v um campo vetorial qualquer, Vi e´ o volume que inclui o ponto
em questa˜o e Si a superf´ıcie que envolve este volume Vi.
Significado de
→
∇ . →v :
a) Fluxo por unidade de volume que sai de Vi no caso limite de Vi infi-
nite´simo;
b) Densidade de fluxo desse valor atrave´s da regia˜o;
c) Grandeza escalar que pode variar de ponto para ponto.
3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da
Lei de Gauss
Φ =
∮
S
~Fd~s =
n∑
i=1
∮
Si
~Fd~si =
n∑
i=1
∆Vi
∮
Si
~Fd~si
∆Vi
Fazendo lim
N→∞
e Vi −→ 0∮
S
~Fd~s =
∫
V
~∇~FdV
Teorema de Gauss ou Teorema de Divergeˆncia
Ja´ t´ınhamos visto a equac¸a˜o de Poisson:3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS45
~∇. ~E = ρ
εo
Vamos usar o teorema da divergeˆncia para chegar neste resultado:
∮
s
~Ed~s =
∫
V
ρdV
ε0
Pelo teorema da divergeˆncia:∮
s
~Ed~s =
∫
V
~∇ ~EdV = 1
ε0
∫
V
ρdV
Como o volume e´ qualquer, temos:
~∇. ~E = ρ
εo
sendo a relac¸a˜o local entre densidade de carga e campo ele´trico
O DIVERGENTE EM COORDENADAS CARTESIANAS:
Figura 3.27: Divergente
46 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
~F = Fxiˆ+ Fy jˆ + Fzkˆ
~∇~F = lim
Vi→0
1
Vi
∮
si
~Fd~si
Queremos saber o
→
∇ .
→
F no ponto P
Sabemos que:
∂Fy
∂y
=
Fy(x, y + ∆y, z)− Fy(x, y, z)
∆y
Fy(x, y + ∆y/2, z) = Fy(x, y, z) +
∂Fy
∂y
∆y
2
Fluxo por 2:
~F ~A = Fy(x, y + ∆y/2, z)∆x∆z =
(
Fy(x, y, z) +
∂Fy
∂y
∆y
2
)
∆x∆z
Fluxo por 1:
~F ~A = −Fy(x, y −∆y/2, z)∆x∆z = −
(
Fy(x, y, z)− ∂Fy
∂y
∆y
2
)
∆x∆z
Somando fluxo 1 + fluxo 2:
∂Fy
∂y
∆x∆y∆
Somando fluxo 3 + fluxo 4:
∂Fx
∂x
∆x∆y∆z
Somando fluxo 5 + fluxo 6:
3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS47
∂Fz
∂z
∆x∆y∆z
Figura 3.28: Superf´ıcies consideradas
Fluxo total que sai do volume Vi(
∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
)
∆x∆y∆z
~∇~F = lim
∆Vi→0
1
∆Vi
(
∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
)
∆Vi =
∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
~F = Fxiˆ+ Fy jˆ + Fzkˆ
Operador nabla: ~∇ = ∂
∂x
iˆ+
∂
∂y
jˆ +
∂
∂z
kˆ
Em coordenadas esfe´ricas: (r,θ,ϕ):
~∇~F = 1
r2
∂
∂r
(r2Fr) +
1
rsenθ
∂
∂θ
(senθFθ) +
1
rsenθ
∂Fϕ
∂ϕ
Em coordenadas cil´ındricas: (r,ϕ,z):
~∇~F = 1
r
∂
∂r
(rFr) +
1
ρ
∂Fϕ
∂ϕ
+
∂Fz
∂z
48 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Exemplo 3.3. Seja um cilindro com densidade volume´trica de cargas posi-
tivas uniforme.
Figura 3.29: Cilindro com densidade volume´trica de cargas uniforme
Resoluc¸a˜o.
E2pirL =
ρpir2L
ε0
↔ E2pirL = ρpia
2L
ε0
−→
E =
ρr
2ε0
rˆ (r < a)↔ E2pirL = ρpia
2L
ε0
~∇ ~E (r < a) = 1
r
∂
∂r
(rEr) =
1
r
∂
∂r
(
r
ρr
2ε0
)
~∇ ~E = ρ
ε0
~∇ ~E (r > a) = 1
r
∂
∂r
(rEr) =
1
r
∂
∂r
(
r
ρa2
2ε0r
)
~∇ ~E = 0
3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS49
O divergente do campo so´ e´ diferente de zero onde ha´ carga!
CARGA PONTIFORME
~E =
1
4piε0
q
r2
rˆ
~∇ ~E = q
4piε0
1
r2
∂
∂r
(r2Er) = 0 , r 6= 0
Na˜o faz sentido calcular o campo em cima dela mesma (a carga), ja´ que
ela gera o campo.
50 CAPI´TULO 3. CAMPO ELE´TRICO
Cap´ıtulo 4
Potencial Eletrosta´tico
4.1 Introduc¸a˜o
A utilizac¸a˜o do campo ele´trico, como visto no cap´ıtulo anterior, para re-
soluc¸a˜o de problemas pode ser bastante complexa, principalmente devido ao
fato de o campo ele´trico ser um campo vetorial. Dessa forma, o potencial
ele´trico entra como uma excelente forma de simplificar os ca´lculos a serem
realizados e possibilitar a resoluc¸a˜o de problemas ainda mais omplexos de
eletrosta´tica.
Inicialmente, pore´m, relembremos alguns conceitos ba´sicos:
4.1.1 Recordac¸a˜o da Mecaˆnica
Sendo P1 e P2 pontos e c um caminho que liga P1 a P2. O trabalho realizado
por uma forc¸a ao longo deste caminho de P1 a P2 e´:
W
(c)
P1→P2 =
P2∫
P1(c)
~F ·d~l
Dessa forma, pelo teorema do trabalho-energia cine´tica temos:
51
52 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
∆T = W
(c)
P1→P2
T2 − T1 = W (c)P1→P2
Ou seja, o trabalho e´ igual a` variac¸a˜o da energia cine´tica entre os pontos.
Assim temos que, se a forc¸a ~F for conservativa, pela conservac¸a˜o da energia
mecaˆnica temos:
∆V + ∆T = cte = ∆Emec = 0
WP1→P2 = −∆U
∆U = −
P2∫
P1
~F ·d~l
Que so´ depende dos pontos inicial e final.
4.2 Definic¸a˜o do Potencial eletrosta´tico
Logo, assim como associamos a` forc¸a Peso um campo escalar U da energia
potencial gravitacional, podemos associar a` forc¸a eletrosta´tica um campo
escalar V, pois esse se trata tambe´m de um campo conservativo, da seguinte
forma:
W =
B∫
A
~Fele · d~l
∆U = −
B∫
A
q ~E · d~l (4.1)
4.2. DEFINIC¸A˜O DO POTENCIAL ELETROSTA´TICO 53
O que nos leva a`
∆V =
∆U
q
= −−
B∫
A
~E · d~l (4.2)
Ou seja
Potencial =
EnergiaPotencialEletrostatica
carga
Pore´m a escolha do n´ıvel o qual o poteˆncial e´ nulo e´ arbitra´rio, sendo
normalmente escolhido o infinito, assim, e´ conveniente escolher V (∞) = 0.
Exemplo:
4.2.1 Ca´lculo do pontencial eletrosta´tico gerado por
uma carga pontual q
Sabe-se que:
~E =
1
4piε0
q
r2
rˆ
Logo:
V (r2)− V (r1) = −
P2∫
P1
~E·d~l = −
P2∫
P1
1
4piε0
q
r2
dr =
q
4piε0
(
1
r2
− 1
r1
)
Enta˜o, estabelecendo r1 →∞ e V (∞) = 0 temos que:
V (r) =
q
4piε0
1
r
54 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
4.3 Ca´lculo do Campo a partir do potencial
Como vimos, definimos o potencial eletrosta´tico atrave´s do campo ele´trico,
mas, dado o potencial e´ poss´ıvel obter o campo ele´trico?
A resposta e´ sim, da seguinte forma:
Sabe-se pelo teorema do gradiente que:
∆V = −
P2∫
P1
~∇V ·d~l
Mas:
∆V = −
P2∫
P1
~E·d~l
Logo, como a igualdade e´ verdadeira para quaisquer pontos P1 e P2,
temos:
~E = −~∇V (4.3)
que nos da´ o vetor campo ele´trico a partir do campo escalar V. Vale notar
que isso so´ e´ poss´ıvel devido ao fato de o campo ele´trico ser conservativo.
4.3.1 Equipontenciais
Nesse momento, faz-se necessa´rio introduzir o conceito de equipontenciais.
Basicamente, as equipotenciais sa˜o regio˜es com o mesmo potencial eletrosta´tico.
Ale´m disso, deve-se notar que a equac¸a˜o dV = ~E · d~l implica que, se ~E⊥d~l:
dV = 0⇒ V = cte
Logo, as equipotenciais sa˜o perpendiculares ao campo.
4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIC¸A˜O DE CARGAS 55
4.4 Potencial de uma distribuic¸a˜o de cargas
O ca´lculo do potencial e´, muitas vezes, menos trabalhoso que o ca´lculo do
campo ele´trico. Dessa forma, veremos a seguir diversas formas de calcular
o potencial ele´trosta´tico e alguns exemplos de aplicac¸a˜o. Sempre lembrando
que ~E = −~∇V
Sabe-se, como o princ´ıpio da superposic¸a˜o e´ va´lido para o campo ele´trico,
o mesmo acontece para o campo eletrosta´tico, assim temos que:
Figura 4.1: Esquema
V (P ) =
n∑
i=1
qi
4piε0ri
Logo:
V (P ) =
1
4piε0
∫
dq
r
(4.4)
Que, Para uma distribuic¸a˜o:
Volume´trica: dq = ρdv
Superficial: dq = σdS
Linear: dq = λdl
Agora, vejamos alguns exemplos de aplicac¸a˜o:
56 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
4.4.1 Anel isolante uniformemente carregado
Figura 4.2: Anel isolante carregado com densidade linear λ
Assim:
V (P ) =
1
4piε0
2pi∫
0
λρdθ
(ρ2 + z2)1/2
V (P ) =
Q
4piε0 (ρ2 + z2)
1/2
Assim, como ~E = −~∇V , enta˜o:
~E =
Qz
4piε0 (ρ2 + z2)
3/2
zˆ
4.4.2 Disco uniformemente carregado: a uma distaˆncia
z do centro
Como dq = σds = σr′dr′dθ e r = (z2 + r′2)1/2 enta˜o:
V =
1
4piε0
2pi∫
0
R∫
0
σr′dr′dθ
(z2 + r′2)1/2
=
piσ
4piε0
R∫
0
2r′dr′
(z2 + r′2)1/2
4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIC¸A˜O DE CARGAS 57
Figura 4.3: disco isolante carregado com densidade superficial σ
V =
σ
4ε0
[
2(z2 + r′2)1/2
]R
0
=
σ
2ε0
[√
z2 +R2 − |z|
]
Vale notar que, se lim |z| >> R enta˜o:
√
z2 +R2 = |z|
(
1 +
(
R
z
)2)1/2
= |z|
(
1 +
1
2
R2
z2
+ ...
)
Logo:
V ≈ σ
2ε0
R2
z |z| =
1
4piε0
Q
|z|
Ou seja, caso observemos o disco de muito longe, ele ira´ se comportar
cada vez mais com uma carga pontual. Ale´m disso podemos obter ~E:
~E = − ∂
∂z
V =
σ
2ε0
[
z
|z| −
z√
R2 + z2
]
Desse exemplo no´spodemos tirar algumas concluso˜es:
58 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
⇒ Normalmente e´ mais dif´ıcil achar o potencial em outros pontos fora do
eixo de simetria, pois a integral na˜o e´ ta˜o simples apesar de bem conhecida
e tabelada (integrais el´ıpticas).
⇒ O campo, assim como o poteˆncial, pode ser dif´ıcil de calcular caso na˜o
haja simetria. Ale´m disso, ambos o potencial e o campo ele´trico se aproxi-
mam daqueles gerados por cargas pontuais com o aumento da distaˆncia.
Calculemos agora o exemplo do potencial no bordo do disco:
4.4.3 Disco uniformemente carregado: Ca´lculo no Bordo
Figura 4.4: disco isolante carregado com densidade superficial σ
Assim:
dq = σr(2θ)dr
V =
1
4piε0
∫
dq
r
V =
1
4piε0
∫
σ(2θ)dr
4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIC¸A˜O DE CARGAS 59
Pore´m, pela geometria do triaˆngulo:
r = 2R cos θ
dr = −2Rsenθdθ
Logo:
V =
1
4piε0
0∫
pi/2
σ2θ(−2Rsenθ)dθ = Rσ
piε0
pi/2∫
0
θsenθdθ =
Rσ
piε0
[senθ − θ cos θ]pi/20
Vborda =
Rσ
piε0
4.4.4 Casca esfe´rica
Temos:
r2 = z2 +R2 − 2zR cos θ
dq = σds = σR2senθdθdφ
Assim:
V (z) =
1
4piε0
2pi∫
0
pi∫
0
σR2senθdθdφ
(z2 +R2 − 2zR cos θ)1/2
V (z) =
2piσR22
4piε02zR
[
(z2 +R2 − 2zR cos θ)1/2]pi
0
V (z) =
σR
ε02z
[√
z2 +R2 + 2zR−
√
z2 +R2 − 2zR
]
=
σR
ε02z
[√
(z +R)2 −
√
(z −R)2
]
sez > R⇒ z −R > 0⇒
√
(z −R)2 = z −R⇒ V (z) = σR
2
ε0z
sez < R⇒ z−R < 0⇒
√
(z −R)2 = −(z−R)⇒ V (z) = σR
2ε0z
[z +R− (R− z)] = σR
ε0
60 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
Figura 4.5: disco isolante carregado com densidade superficial σ
O potencial dentro da esfera e´ constante. Assim temos:
V (z) =
{
σR2
εoz
= Q
4piεoz
,r > R
σR
εo
= Q
4piεoR
,r < R
e E(z) =
{
Q
4piεoz2
,r > R
0,r < R
Podemos enta˜o, construir os gra´ficos de E e V em func¸a˜o de r obtendo
assim:
4.5 Dipolo ele´trico e expansa˜o multipolar dos
campos ele´tricos
Por definic¸a˜o, um dipolo ele´trico esta´ relacionado com o potencial ele´trico
gerado por um sistema de duas cargas.
Exemplo: Encontre o potencial ele´trico em um ponto arbitra´rio no eixo
x.
4.5. DIPOLO ELE´TRICO E EXPANSA˜O MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELE´TRICOS61
Figura 4.6: gra´fico de E e V por r
Figura 4.7: Esquema
Assim:
V (x) =
1
4piε0
q
|x− a| +
1
4piε0
(−q)
|x− a| =
q
4piε0
[
1
|x− a| −
1
|x− a|
]
Que, sendo V0 =
q
4piε0a
enta˜o:
V (x)
V0
=
1∣∣x
a
− 1∣∣ − 1∣∣x
a
− 1∣∣
Assim pode-se construir o gra´fico:
62 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
Figura 4.8: Gra´fico de V/V0 em func¸a˜o de x
Que diverge no local onde as cargas se encontram.
Agora, iremos analisar o caso anterior, mas com a posic¸a˜o de refereˆncia
sendo em qualquer ponto do plano. Assim temos:
Figura 4.9: Esquema
V =
q
4piε0
[
1
r+
− 1
r−
]
Mas r2± = r
2 + a2∓ 2ra cos θ. Considerando uma posic¸a˜o na qual r >> a
4.5. DIPOLO ELE´TRICO E EXPANSA˜O MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELE´TRICOS63
temos:
1
r±
=
(
r2 + a2 ∓ 2ra cos θ)−1/2 = 1
r
1 + (a
r
)2
∓ 2a
r
cos θ︸ ︷︷ ︸
x

−1/2
mas se x << 1 enta˜o (1 + x)−
1/2 ' 1− 1
2
x, e como a
r
<< 1 enta˜o:
1
r±
=
1
r
(
1− 1
2
(a
r
)2
± a
r
cos θ
)
Logo:
V ≈ q
4piε0r
[
1− 1
2
(a
r
)2
+
a
r
cos θ − 1 + 1
2
(a
r
)2
+
a
r
cos θ
]
≈ q2a cos θ
4piε0r2
=
p cos θ
4piε0r2
=
⇀
p·rˆ
4piε0r2
Na qual
⇀
p = 2aqkˆ e´ o momento dipolo ele´trico.
Vale notar tambe´m que V cai com r2 e na˜o com r, o que e´ razoa´vel, que
V decresc¸a mais ra´pido que o potencial de uma u´nica carga, pois conforme
estamos mais e mais longe do dipolo, este parece mais e mais com uma
pequena unidade de carga zero.
Calculando o campo, sabendo que o gradiente em coordenadas esfe´ricas
e´ dado por:
~∇ = ∂
∂r
rˆ +
1
r
∂
∂θ
θˆ +
1
r sin θ
∂
∂ϕ
ϕˆ
Enta˜o:
Er = −∂V
∂r
= +
p cos θ
2piε0r3
, Eθ = −1
r
∂V
∂θ
= +
1
r
p sin θ
4piε0r2
= +
p sin θ
4piε0r3
64 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
~E =
p cos θ
2piε0r3
rˆ +
p sin θ
4piε0r3
θˆ
A seguir faremos uma ana´lise mais aprofundada do assunto, aplicando o
mesmo racioc´ınio anterior, poderemos deduzir que:
Em monopolo V cai com 1/r
Em um dipolo V cai com 1/r2
Em um quadripolo V cai com 1/r3
E assim sucessivamente...
Consideremos agora uma distribuic¸a˜o de cargas na vizinhanc¸a na ori-
gem do sistema de coordenadas, finita, e pode ser totalmente encenada por
uma esfera de raio a que e´ pequeno comparado a` distaˆncia ate´ o ponto de
observac¸a˜o. Assim temos que:
Figura 4.10: Esquema
Na qual ρ = ρ(r′). Logo:
V (r) =
1
4piε0
∫
V
ρ(r′)
|~r − ~r′|dv
′
Mas,se r >> r′
4.5. DIPOLO ELE´TRICO E EXPANSA˜O MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELE´TRICOS65
|~r − ~r′|−1 = (r2 − 2~r.~r′ + r′2)−1/2 = 1
r
(
1− 2~r.~r
′
r2
+
(
r′
r
)2)−1/2
|~r − ~r′|−1 ≈ 1
r
(
1− 1
2
(
−2~r.~r
′
r2
+
r′2
r2
))
≈ 1
r︸︷︷︸
Potencialdemonopolo
+
~r.~r′
r3︸︷︷︸
Potencialdedipolo,sendo~p=~r′q→ ~p.rˆ
r2
+...
Logo, O potencial devido a` uma distribuic¸a˜o de carga arbitra´ria pode
sempre ser expresso em termos de uma expansa˜o de multipo´los. Assim, pela
Lei dos Cossenos: |~r′ − ~r|︸ ︷︷ ︸
r
2 = r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′
Note que foram definidos duas distaˆncias, uma r e outra r na˜o se confunda!
r2 = r2
(
1 +
(
r′
r
)2
− 2r
′
r
cos θ′
)
r = r
(
1 +
(
r′
r
)2
− 2r
′
r
cos θ′
)1/2
r = r (1+ ∈)1/2 , ∈=
(
r′
r
)2
− 2r
′
r
cos θ′
Logo:
1
r
=
1
r
(1+ ∈)−1/2 = 1
r
[
1− 1
2
∈ +3
8
∈2 − 5
16
∈3 +...
]
66 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
=
1
r
[
1− 1
2
(
r′
r
)2
+
r′
r
cos θ′ +
3
8
(
r′
r
)4
+
3
2
(
r′
r
)2
cos2 θ′ − 3
2
(
r′
r
)3
cos θ′ + ...
]
=
1
r
[
1 +
r′
r
cos θ′ +
(
r′
r
)2
(3 cos2 θ′ − 1)
2
+ ...
]
Que, utilizando enta˜o os polinoˆmios de Legendre:
Pl(x) =
1
2ll!
(
d
dx
)l (
x2 − 1)l
Podemos escrever:
1
r
=
1
r
∞∑
n=0
Pn (cos θ
′)
(
r′
r
)n
Logo:
V (r) =
1
4piε0
∫
ρ(r′)dv′
r
∞∑
n=0
Pn (cos θ
′)
(
r′
r
)n
V (r) =
1
4piε0
∞∑
n=0
1
rn+1
∫
(r′)n Pn (cos θ′) ρ(r′)dv′
Note que temos agora a expansa˜o multipolar do potencial em termos de
1/r, na qual: n = 0, contribuic¸a˜o de monopo´lo
n = 1, dipolo
n = 2, quadrupolo
Com o menor termo na˜o nulo da expansa˜o nos da´ aproximadamente o
potencial a grandes distaˆncias, e os termos sucessivos aumentam a precisa˜o
do resultado.
Nota-se tambe´m que o termo de dipolo e´ dado por:
Vdip =
1
4piεo
1
r2
rˆ ·
∫
~r′ρ (r′) dr′︸ ︷︷ ︸
~p=momentode
dipolodadistribuicao
4.6. CIRCULAC¸A˜O DO CAMPO ELE´TRICO 67
pois r′ cos θ = ~r′ · rˆ
4.6 Circulac¸a˜o do campo ele´trico
Como visto no cap´ıtulo zero sabemos que:∮
Γi
~c.d~l =
(
~∇x~c
)
.nˆ∆S
Onde ~c e´ um campo vetorial qualquer.
Dessa forma, como sabemos que∮
Γ
~E.d~l = 0,∀Γ
Enta˜o: ∫
S
(
~∇x ~E
)
.d~s = 0,∀S
~∇x ~E = 0
Essa equac¸a˜o resume basicamente toda a eletrosta´tica, visto que, ela mos-
tra que o campo ele´trico e´ conservativo (na eletrosta´tica) e permite que o
campo ele´trico seja o gradiente de uma func¸a˜o potencial, visto que ~∇x~∇V = 0
(o rotacional de um gradiente e´ sempre nulo).
68 CAPI´TULO 4. POTENCIAL ELETROSTA´TICO
Cap´ıtulo 5
Equac¸o˜es da Eletrosta´tica e
Energia
5.1 Introduc¸a˜o
Neste momento, ja´ foram vistaspraticamente todas as equac¸o˜es e fo´rmulas
referentes a` eletrosta´tica. Dessa forma, nesse cap´ıtulo estudaremos algumas
das relac¸o˜es entre o poteˆncial eletrosta´tico, o campo ele´trico e as densidades
de carga dos corpos. Ale´m disso, sera˜o abordadas as equac¸o˜es de Laplace
e Poisson, que oferecem mais uma forma de efetuar ca´lculos, as condic¸o˜es
de contorno da eletrosta´tica e as equac¸o˜es que fornecem a energia potencial
eletrosta´tica de um configurac¸a˜o de cargas
5.2 Equac¸o˜es de Laplace e Poisson
Como ja´ vimos:
~∇× ~E = 0 (5.1)
~∇· ~E = ρ
ε0
(5.2)
69
70 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
Ale´m disso, vimos que:
~∇× ~E = 0 Permite→ ~E = −~∇V (5.3)
Assim, substituindo 5.3 em 5.2, obtemos:
~∇·~∇V = − ρ
ε0
~∇2V = − ρ
ε0
(5.4)
A equac¸a˜o acima e´ chamada equac¸a˜o de Poisson e relaciona o potencial
eletrosta´tico com a densidade de carga pontual. Com ela e´ poss´ıvel calcular,
em cada ponto, o potencial eletrosta´tico, desde que se conhec¸am as condic¸o˜es
de contorno do problema, de forma a resolver as equac¸o˜es diferenciais que
sera˜o obtidas.
A equac¸a˜o de Laplace vem diretamente da equac¸a˜o de Poisson, quando
ρ = 0. Assim:
~∇2V = 0 (5.5)
5.3 Resumo das equac¸o˜es da eletrosta´tica
A partir de duas observac¸o˜es experimentais, notadamente o princ´ıpio da
superposic¸a˜o e a Lei de Coulomb, foi poss´ıvel depreender todas as outras
fo´rmulas da eletrosta´tica. Abaixo, segue um resumo de todas as equac¸o˜es
vistas ate´ aqui:
5.4 Condic¸o˜es de Contorno
Definidas as equac¸o˜es de Laplace e Poisson, devemos agora verificar de que
forma as grandezas involvidas se comportam. Vale ressaltar que algumas
5.4. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO 71
Figura 5.1: Equac¸o˜es da eletrosta´tica
dessas formas ja´ foram comentadas.
5.4.1 Relac¸a˜o entre campos logo acima e abaixo de
uma superf´ıcie carregada
No´s notamos estudando alguns exemplos que o campo ele´trico apresenta em
alguns casos uma descontinuidade. Isto ocorre quando temos uma superf´ıcie
carregada. Imagine uma superf´ıcie arbitra´ria
Considere a gaussiana desenhada com a´rea A extremamente pequena e
espessura �. Assim, pela lei de Gauss temos:∮
S
~E·d~S = qint
ε0
=
σA
ε0
Os lados na˜o contribuem para o fluxo, somente o topo e o fundo. De
forma que quando ε→ 0:
Em particular, quando na˜o ha´ uma superf´ıcie carregada E⊥ e´ cont´ınua,
72 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
Figura 5.2: Esquema de uma superf´ıcie carregada com uma gaussiana
Figura 5.3: A componente normal de ~E e´ descont´ınua
exemplo: esfera so´lida uniformemente carregada.
Consideremos agora a circulac¸a˜o de E na mesma superf´ıcie:∮
~E·d~l = 0
quando ε→ 0. Assim:
~E
‖
acima·d~l1 + ~E‖abaixo·d~l2 = 0
5.4. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO 73
d~l1 = −d~l2 → ~E‖acima = ~E‖abaixo
Logo a componente paralela do campo e´ cont´ınua, enta˜o:
~Eacima− ~Eabaixo =
σ
ε0
nˆ (5.6)
onde nˆ e´ o vetor unita´rio perpendicular a` superf´ıcie de cima para baixo.
5.4.2 Relac¸a˜o entre os potenciais
Ao contra´rio do que acontece com o campo, o potencial e´ cont´ınuo, pois:
∆V = −
b∫
a
~E·d~l
Vb − Va = −
b∫
a
~E·d~l
E quando ε→ 0 enta˜o
b∫
a
~E·d~l→ 0, Logo
Vb = Va → Vabaixo = Vacima (5.7)
5.4.3 Alguns outros comenta´rios
Ale´m das condic¸o˜es ja´ mencionadas, vale lembrar tambe´m de alguns pontos:
* Ja´ vimos que, na maioria dos casos V (∞) = 0 * Quando ha´ distribuic¸a˜o
de cargas na˜o pontual V 6=∞
74 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
5.5 Exemplos de aplicac¸a˜o das Equac¸o˜es de
Poisson e Laplace
Com as condic¸o˜es de contorno em ma˜os, somos capazes de aplicar as equac¸o˜es
de Poisson e Laplace para alguns exemplos.
5.5.1 Exemplo 1
Considere duas placas infinitas paralelas, condutoras, uma colocada em x = 0
e outra em x = L. Seja o potencial em x > 0 igual a V0 e em x = L igual
a zero. Determinar o potencial e o campo entre as placas considerando duas
situac¸o˜es: Densidade de carga entre as placas igual a` zero; Densidade de
carga entre as placas e´ contante igual a` ρ.
Figura 5.4: Esquema
No primeiro caso temos ρ = 0 assim, pela equac¸a˜o de Laplace:
∇2V = d
2V
dx2
= 0
Logo:
V = ax+ b
Assim, pelas condic¸o˜es do problema, como para x = 0, V = V0, enta˜o:
5.5. EXEMPLOS DE APLICAC¸A˜O DAS EQUAC¸O˜ES DE POISSON E LAPLACE75
b = V
Ale´m disso, como para x = L, V = 0, enta˜o
a = −V0
L
Logo:
V (x) = −V0
L
+ V
Podemos calcular tambe´m o campo, assim:
~E = − d
dx
(
−V0
L
x+ V0
)
iˆ =
V0
L
iˆ
No segundo caso temos ρ = ρ0, assim, pela equac¸a˜o de Poisson:
∇2V = −ρ0
ε0
→ d
2V
dx2
= −ρ0
ε0
Logo:
V = −ρ0x
2
2ε0
+ ax+ b
Aplicando as condic¸o˜es de contorno:
{
V (0) = V0 → b = V0
V (L) = 0→ a = −V0
L
+ ρ0L
2ε0
Logo:
V (x) = −ρ0x
2
2ε0
+
(
−V0
L
+
ρ0L
2ε0
)
x+ V0
Tambe´m podemos calcular o potencial, assim:
76 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
~E = − d
dx
(
−ρ0x
2
2ε0
+
(
−V0
L
+
ρ0L
2ε0
)
x+ V0
)
iˆ =
(
ρ0
2ε0
x+
V0
L
− ρ0L
2ε0
)
iˆ
5.6 Energia Potencial Eletrosta´tica
No´s vimos que U = qV para uma carga q num ponto de um campo pre´-
estabelecido de potencial V. Mas e para uma distribuic¸a˜o qualquer de cargas?
5.6.1 Energia Potencial Eletrosta´tica de uma distri-
buic¸a˜o de cargas
Vamos imaginar um conjunto de cargas no infinito e vamos trazer as car-
gas uma a uma do infinito (considera-se V (∞) = 0 para as suas posic¸o˜es,
formando uma configurac¸a˜o escolhida, assim:
Para trazer a primeira carga q1, W = 0
Para trazer a segunda carga, como:
V = −
r∫
∞
~E·d~l = 1
4piε0
q
r
temos; W = 1
4piε0
q1q2
r12
Para a terceira temos:W = q3
4piε0
(
q1
r13
+ q2
r23
)
Assim sucessivamente...
Logo, obtemos a energia potencial da configurac¸a˜o qualquer de cargas
pontuais:
U =
1
4piε0
∑
i<j
qiqj
rij
=
1
4piε0
1
2
∑
i
∑
j 6=i
qiqj
rij
(5.8)
Na qual o 1/2 surge para compensar o fato de que, no somato´rio duplo,
temos os termos qiqj e qjqi que sa˜o contados duas vezes.
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 77
Percebe-se pela fo´rmula 5.8 pore´m, que:
∑
j 6=i
1
4piε0
qj
rij
Representa o poteˆncial de todas as outras cargas na posic¸a˜o da carga i.
Assim:
U =
1
2
∑
i
qiVi
representa a energia potencial eletrosta´tica na posic¸a˜o i. Logo, caso te-
nhamos uma distribuic¸a˜o cont´ınua, podemos extender o somato´rio para:
U =
1
2
∫
ρV dv (5.9)
5.6.2 Exemplo
Uma esfera de raio R possui uma densidade de carga ρ(r) = kr (onde k e´
uma constante). Ache a energia da configurac¸a˜o.
Para calcular a energia, devemos inicialmente obter o potencial. Esse
pode ser obtido de duas formas, ou seja, utilizando V (r) = −
r∫
∞
~E·d~l ou pelas
equac¸o˜es de Poisson e Laplace.
Resolvendo por V (r) = −
r∫
∞
~E·d~l temos:
∫
S
~E·d~S = qint
ε0
E4pir2 =
1
ε0
R∫
0
kr4pir2dr
Efora =
k
ε0
R4
4r2
rˆ
78 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
Ale´m disso;
E =
k
ε0
r4
4r2
→ Edentro = kr
2
4ε0
rˆ
Precisamos de V para valores de r < R, assim:
V (r) = −
r∫
∞
~E·d~l = −
R∫
∞
~Efora·d~l −
r∫
R
~Eentre·d~l
V (r) = −
R∫
∞
kR4
4ε0r2
dr −
r∫
R
kr2
4ε0
dr =
k
12ε0
(4R3 − r3)
Com o potencial em ma˜os, podemos aplicar a equac¸a˜o 5.9, assim:
U =
1
2
∫
ρV dv
U =
1
2
R∫
0
2pi∫
0
pi∫
0
krV (r)r2 sin θdθdϕdr (5.10)
Logo:
U =
1
2
R∫
0
4pi
k2r3
12ε0
(4R3 − r3)dr = pik
2
7ε0
R7
Caso quisessemos calcular pelas equac¸o˜esde Laplace e Poisson, temos:
Para r < R:
∇2V = − ρ
ε0
Para r > R:
∇2V = 0
Para o primeiro caso r < R temos:
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 79
V = V (r)→ ∂V
∂θ
=
∂V
∂ϕ
= 0
Mas o termo em r do operador ∇2 em coordenadas esfe´ricas, com a con-
siderac¸a˜o acima, e´ dado por:
∇2V = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂V
∂r
)
Logo:
∇2V = 1
r2
d
dr
(
r2
dV
dr
)
= − ρ
ε0
Assim, temos que:
1
r2
d
dr
(
r2
dV
dr
)
= −kr
ε0
→ d
dr
(
r2
dV
dr
)
= −kr
3
ε0
r2
dV
dr
= −kr
4
4ε0
+ A→ dV
dr
= −kr
2
4ε0
+
A
r2
Logo:
Vdentro(r) = − kr
3
12ε0
− A
r
+B
Para r > R, temos que:
∇2V = 0
1
r2
d
dr
(
r2
dV
dr
)
= 0→ r2dV
dr
= C
Vfora(r) = −C
r
+D
Aplicando as condic¸o˜es de contorno:{
Vfora(∞) = 0
Vfora(R) = Vdentro(R)
80 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
Ale´m disso, como se trata de uma distribuic¸a˜o volume´tica:{
Efora(R) = Edentro(R)⇒ V ′fora(R) = V ′dentro(R)
V (0) 6=∞
Assim:
Vfora(∞) = 0→ D = 0
Vdentro(0) 6=∞→ A = 0
Vdentro(R) = Vfora(R)→ − kr24ε0
∣∣∣
r=R
= C
r2
∣∣
r=R
→ C = −kr4
4ε0
Logo:
B =
kR4
4ε0R
+
kR3
12ε0
=
kR3
3ε0
Dessa forma:
Vdentro(r) = − kr
3
12ε0
+
kR3
3ε0
=
k
12ε0
(4R3 − r3)
Vfora(r) =
kR4
4ε0r
Para o ca´lculo de U procede-se da mesma forma que no caso 5.10, encontrando-
se o mesmo resultado
5.6.3 Relac¸a˜o entre Energia e Campo Ele´trico
Uma pergunta interessante de se fazer e´ onde esta´ localizada a energia ele-
trosta´tica?
Tambe´m poder´ıamos perguntar: e o que importa? Qual o significado
de uma pergunta como essa? Se temos um par de cargas interagindo, a
combinac¸a˜o tem certa energia. E´ necessa´rio dizermos que a energia esta´
localizada em uma das cargas ou na outra, ou em ambas, ou no meio? Pode
ser que estas perguntas na˜o fac¸am sentido, porque realmente so´ sabemos que a
energia se conserva. A ide´ia de que a energia esta´ localizada em alguma parte
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 81
na˜o e´ necessa´ria tambe´m pode aparecer. Mas sera´ mesmo que a pergunta
na˜o tem nenhuma utilidade?
Vamos supor que tenha sentido dizer, em geral, que a energia esta´ locali-
zada em certo lugar, como ocorre com a energia te´rmica. Enta˜o poder´ıamos
estender o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia com a ide´ia de que se a ener-
gia contida dentro de um volume dado varia, poder´ıamos explicar a variac¸a˜o
mediante o fluxo de energia que entra ou sai deste volume. Poder´ıamos cha-
mar de princ´ıpio de conservac¸a˜o local de energia. Esse princ´ıpio diria que a
energia dentro de qualquer volume varia unicamente da quantidade que flui
para fora ou para dentro deste volume. Ter´ıamos, portanto, uma lei muito
mais detalhada que o simples enunciado da conservac¸a˜o de energia total.
Tambe´m ha´ uma causa f¨´ısicap¨ara que possamos decidir onde esta´ locali-
zada a energia. De acordo com a teoria da gravitac¸a˜o, toda massa e´ uma fonte
de atrac¸a˜o gravitacional. Tambe´m sabemos que se E=mc2, enta˜o massa e
energia sa˜o equivalentes. Toda energia e´ uma fonte de forc¸a gravitacional. Se
na˜o pude´ssemos localizar todas as massas na˜o poder´ıamos dizer onde esta˜o
localizadas as fontes de campo gravitacional, a teoria da gravitac¸a˜o estaria
incompleta. Se nos restringimos a` eletrosta´tica, na˜o ha´ maneira de decidir
onde esta´ a energia se na carga ou no campo.
Pore´m, com o atual conhecimento, na˜o somos ainda capazes de responder
a esses questionamentos, as equac¸o˜es de Maxwell para a eletrodinaˆmica sa˜o
necessa´rias para nos dar mais informac¸o˜es. Por enquanto ficaremos somente
com esta resposta:
A energia esta´ localizada no espac¸o onde esta´ o campo ele´trico. O que
e´ razoa´vel, pois quando as cargas aceleram elas irradiam campos ele´tricos.
Quando a luz ou as ondas de ra´dio viajam de um ponto a outro, transpor-
tam sua energia com elas. Mas na˜o ha´ carga nas ondas. Desta forma, e´
interessante localizar a energia no campo eletromagne´tico e na˜o nas cargas.
Dessa forma, torna-se conveniente encontrar a energia eletrosta´tica em
func¸a˜o do campo ele´trico, assim, como:
82 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
∇2V = − ρ
ε0
enta˜o:
U =
1
2
∫
ρV dv = −ε0
2
∫
V∇2V dv
Mas, matematicamente temos:
V∇2V = V
(
∂2V
∂x2
+ ∂
2V
∂y2
+ ∂
2V
∂z2
)
=
= ∂
∂x
(
V ∂V
∂x
)− (∂V
∂x
)2
+ ∂
∂y
(
V ∂V
∂y
)
−
(
∂V
∂y
)2
+ ∂
∂z
(
V ∂V
∂z
)− (∂V
∂z
)2
=
= ~∇·(V ~∇V )− (~∇V )·(~∇V )
Logo;
U =
ε0
2
∫
(~∇V )·(~∇V )dv − ε0
2
∫
~∇·(V ~∇V )dv
Mas, pelo teorema da divergeˆncia, temos:∫
v
~∇·(V ~∇V )dv =
∮
s
(V ~∇V )·d~s
Agora, devemos fazer uma ra´pida ana´lise. Para uma distribuic¸a˜o finita
de cargas, sabemos que: V ∝ 1/r na melhor das hipo´teses (Se a carga total
for zero, V ∝ 1/r2 ou mais...). Ale´m disso, ∇V ∝ 1/r2 e ds ∝ r2 portanto a
integral:
−ε0
2
∫
~∇·(V ~∇V )dv
e´ proporcional a` 1/r, assim, caso integremos no espac¸o, teremos que essa
integral se anula e:
U =
ε0
2
∫
R3
(~∇V )·(~∇V )dv
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 83
Logo, como ∇V = ~E, enta˜o:
U =
ε0
2
∫
R3
~E· ~Edv (5.11)
Nos da´ a energia potencial eletrosta´tica da configurac¸a˜o em func¸a˜o do
Campo ele´trico. Vale notar tambe´m que devemos integrar em todo o espac¸o,
e na˜o so´ na regia˜o que conte´m
5.6.4 Princ´ıpio da Superposic¸a˜o
Vimos que campo e potencial obedecem o chamado princ´ıpio da superposic¸a˜o,
pore´m, devido ao fato da energia ser quadra´tica nos campos, ela na˜o obe-
dece o princ´ıpio da superposic¸a˜o, temos, pois, que:
Wtotal =
ε0
2
∫
E2dv =
ε0
2
∫
( ~E1 + ~E2)
2dv (5.12)
Vejamos um exemplo:
Considere duas cascas esfe´ricas conceˆntricas de raio a e b. Suponha que a
interna possui uma carga q e a externa -q ambas uniformemente distribu´ıdas
na superf´ıcie. Calcule a energia desta configurac¸a˜o. Assim:
U =
ε0
2
∫
R3
E2dv
Mas
E =

0, r < a
q
4piε0
1
r2
,a < r < b
0, r > b
Logo:
84 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
U =
ε0
2
b∫
a
q2
16pi2ε20
1
r4
r24pidr → U = q
2
8piε0
(
1
a
− 1
b
)
Percebe-se contudo que, se calcularmos: U1 =
ε0
2
∫
R3
E21dv e U2 =
ε0
2
∫
R3
E22dv
U 6= U1 + U2
Como era de se esperar, o princ´ıpio da superposic¸a˜o na˜o foi va´lido.
Cap´ıtulo 6
Condutores
6.1 Breve Introduc¸a˜o
Em um mau condutor, como vidro ou borracha, cada ele´tron esta´ preso a um
particular a´tomo. Num condutor meta´lico, de forma diferente, um ou mais
ele´trons por a´tomo na˜o possuem restric¸o˜es quanto a movimentac¸a˜o atrave´s
do material. Eles esta˜o livres para estar na parte do condutor que desejarem.
( Em condutores l´ıquidos, como a a´gua com cloreto de so´dio, a´gua com sal
de cozinha, sa˜o os ı´ons que fazem esse movimento.
Um condutor perfeito poderia ser um material que possu´ısse a proprie-
dade de ser uma fonte ilimitada de cargas livres. Na vida real, na˜o existem
condutores perfeitos, mas muitas substaˆncias esta˜o muito pro´ximas de ser.
A partir dessa pequena definic¸a˜o, pode-se descobrir algumas propriedades
eletrosta´ticas de condutores ideais. Elas sera˜o listadas logo abaixo.
6.2 Propriedades dos Condutores
Essas propriedades esta˜o relacionadas com condutores em equil´ıbrio ele-
trosta´tico, ou seja, quando na˜o ha´ movimento ordenado de cargas ele´tricas
no seu interior e na sua superf´ıcie. Seus ele´trons livres encontram-se em
85
86 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
movimento aleato´rio.
Propriedade 1 (Propriedade Ba´sica).Um condutor e´ um so´lido que possui
muitos ele´trons livres. Os ele´trons podem se deslocar no interior da mate´ria,
mas na˜o deixar a superf´ıcie.
Propriedade 2. O Campo ele´trico dentro do condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico e´ nulo. ( E = 0 dentro do condutor )
Se tivesse campo dentro do condutor os ele´trons iriam se mover e na˜o es-
tariam na situac¸a˜o eletrosta´tica. Quando colocamos um condutor na presenc¸a
de um campo externo as cargas dentro do condutor tendera˜o a se distribuir
de forma que o campo no interior do condutor cancele o campo externo.
Figura 6.1
Propriedade 3. A densidade volume´trica de carga dentro do con-
dutor e´ zero.( ρ = 0 dentro do condutor )
~∇ · ~E = ρ
ε0
, se ~E = 0→ ρ = 0, no interior do condutor na˜o ha´ cargas.
Propriedade 4. As cargas ficam localizadas na superf´ıcie do con-
dutor.
Propriedade 5. O condutor e´ uma equipotencial.
Se ~E = 0 dentro do condutor, enta˜o ~E = −~∇V
Propriedade 6. ~E e´ perpendicular a` superf´ıcie.
Se tivesse uma componente paralela a carga se moveria. Como, E = 0,∮
~E · d~l = 0→ Va = Vb.
6.3. CARGA INDUZIDA 87
Figura 6.2
Propriedade 7. Vimos que a descontinuidade de E era ?/?0. Como
Edentro = 0, enta˜o o campo imediatamente fora e´ proporcional
a` densidade de carga local.
~E =
σ
ε0
nˆ
Em termos de potencial: σ = ε0
(−∂V
∂n
)
Observac¸a˜o 6.1. Esta equac¸a˜o permite calcular a densidade de carga super-
ficial de um condutor.
6.3 Carga Induzida
Um condutor e´ um so´lido que possui muitos ele´trons livres. Os ele´trons
podem se deslocar livremente. Quando se aproxima uma carga ele´trica de
um condutor carregado eletricamente, devido as fenoˆmenos de atrac¸a˜o e re-
pulsa˜o eletrosta´ticas, observa-se uma nova distribuic¸a˜o das cargas ele´tricas
no condutor. A figura abaixo exemplifica o processo:
6.3.1 O campo numa cavidade de um condutor
Consideremos um condutor com uma cavidade vazia de forma arbitra´ria.
Consideremos uma superf´ıcie gaussiana S. Em todo ponto de S temos que E
= 0 (campo dentro do condutor = 0). Enta˜o o fluxo atrave´s de S = 0, logo
a carga total dentro de S e´ zero.
88 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
Figura 6.3
Figura 6.4
Mas se a carga total e´ igual a zero, poder´ıamos dizer que ha´ igual quan-
tidade de cargas positivas e negativas, havendo, assim, a presenc¸a de um
campo ele´trico. Se tive´ssemos esta situac¸a˜o,
∮
Γ
~E · d~l 6= 0, o que na˜o pode
ser. Portanto, na˜o pode haver campo dentro da cavidade, nem cargas na
superf´ıcie interna.
Nenhuma distribuic¸a˜o esta´tica de cargas externas pode produzir campo
no interior do condutor.
Agora vamos considerar uma cavidade com uma carga q dentro dela.
Teremos cargas induzidas na superf´ıcie interna, afim de cancelar o campo
dentro do condutor ( Edentro = 0 ), Trac¸ando uma gaussiana S que
conte´m a cavidade, percebe-se que o fluxo nessa gaussiana e´ zero, pore´m,
6.3. CARGA INDUZIDA 89
Figura 6.5
Figura 6.6
trac¸ando-se outra gaussiana, contida na cavidade, percebe-se que o campo
na cavidade na˜o e´ zero.
Fato Importante:
Campo dentro do condutor e´ zero!
A cavidade e seu conteu´do esta˜o eletricamente isolados do mundo ex-
terno ao condutor. Nenhum campo externo penetra no condutor. Ele sera´
cancelado pela carga induzida na superf´ıcie externa ( da mesma forma que a
cavidade vazia ). A cavidade esta´ isolada do mundo externo ao condutor.
Exemplo 6.1. Uma esfera condutora neutra centrada na origem possui uma
cavidade de formato desconhecido. Dentro da cavidade ha´ uma carga q. Qual
e´ o campo fora?
Havera´ dependeˆncia com a forma da cavidade?
Resoluc¸a˜o. A carga +q induzida, por sua vez, na superf´ıcie externa ira´ se
90 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
Figura 6.7
distribuir uniformemente na superf´ıcie da esfera. (a influeˆncia assime´trica da
carga +q interna foi cancelada pela carga -q induzida na superf´ıcie interna).
O campo externo sera´ igual ao produzido pela superf´ıcie esfe´rica carregada
com carga +q.
~E =
q
4piε0r2
rˆ
O condutor, dessa forma, cria uma barreira, na˜o deixando passar ne-
nhuma informac¸a˜o sobre como e´ a cavidade, revelando somente a carga total
que a mesma possui.
6.4 Me´todo das Imagens
Suponha uma carga q a uma distaˆncia d de um plano condutor aterrado.
Pergunta: Qual e´ o potencial na regia˜o acima do plano?
Na˜o e´ so´ q
4piε0r
, pois havera´ carga induzida no plano condutor e na˜o
sabemos quanta carga e´ induzida e como ela esta´ distribu´ıda.
Outra situac¸~ao: : Carga e uma esfera condutora.
6.4. ME´TODO DAS IMAGENS 91
Figura 6.8
Figura 6.9
Antes de atacarmos este problema vamos recordar um problema muito
mais simples que ja´ estudamos: duas cargas +q e -q ; e A e B superf´ıcies
equipotenciais.
Figura 6.10
Considere a superf´ıcie equipotencial A. Suponha que pegamos uma folha
fina de metal da forma desta superf´ıcie. Se a colocarmos exatamente no
lugar da superf´ıcie equipotencial e ajustamos o seu potencial a um valor
92 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
apropriado de forma que nada mudasse, no´s na˜o dar´ıamos conta de que a
superf´ıcie meta´lica estaria ali.
Ter´ıamos a soluc¸a˜o do novo problema:
Figura 6.11
O campo no exterior ao condutor e´ exatamente o mesmo campo de duas
cargas pontuais!
Dentro ~E = 0 e ~E e´ perpendicular a` superf´ıcie.
Enta˜o, para calcularmos os campos das situac¸o˜es discutidas, basta calcu-
lar o campo devido a` uma carga q e uma carga -q imagina´ria localizada em
um ponto apropriado.
Caso mais simples:
6.4.1 Carga e o Plano Condutor Aterrado
Figura 6.12
V (x, y, z) =
1
4piεo
 q(
x2 + (y − d)2 + z2) 12 − q(x2 + (y + d)2 + z2) 12

6.4. ME´TODO DAS IMAGENS 93
Figura 6.13
, para y ≥ 0.
Condic¸a˜o de contorno
V (x, 0, z) = 0
V → 0parar˜→∞
6.4.2 Densidade De Carga Induzida Na Superf´ıcie Do
Plano
σ = −εo∂V
∂n
= −εo ∂V
∂y
∣∣∣∣
y=0
σ (x, y, z) = − εoq
4piεo
∂
∂y
 1(
x2 + (y − d)2 + z2) 12 − 1(x2 + (y + d)2 + z2) 12
∣∣∣∣∣∣
y=0
σ (x, y, z) = − q
4pi
 2 (y − d) (−12)(
x2 + (y − d)2 + z2) 32 −
2 (y + d)
(−1
2
)
(
x2 + (y + d)2 + z2
) 3
2
∣∣∣∣∣∣
y=0
σ (x, y, z) = − q
2pi
d
(x2 + d2 + z2)
3
2
94 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
⇒ σ e´ negativa como esperado.
A carga total induzida
Qinduzida =
∫
σds = −ε0k2qd
∫
ds
(x2 + y2 + z2)
3
2
x2 + z2 = d2
ds = rdθdr
Qinduzida = −ε0k2qd
∞∫
0
2pi∫
0
rdθdr
(r2 + d2)
3
2
Qinduzida = −ε0kqd2pi
∞∫
d2
du
(u)
3
2
=
−ε0kqd
4piε0
2pi
(
2
d
)
= −q
r2 + d2 = u
du = 2rdr
A carga q e´ atra´ıda pelo plano, pois ha´ carga negativa induzida.
Forc¸a de atrac¸a˜o ~F = − q2
4piεo(2d)
2 jˆ
No´s assumimos tudo igual ao sistema de duas cargas, mas cuidado, nem
tudo e´ igual.
A energia:
U =
1
2
∫
E2dv
Uduascargas = − 1
4piεo
q2
2d
6.5. PODER DAS PONTAS 95
Ucargaeplanocondutor = − 18piεo
q2
2d
que e´ a metade. Por que?
Somente a regia˜o de y¿0 possui E 6= 0
A integral U = 1
2
∞∫
0
E2dv = 1
2
1
2
∞∫
−∞
E2dv
Tudo isso foi poss´ıvel, pois:
Dado uma configurac¸a˜o de condic¸o˜es de contorno, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de
Laplace e´ u´nica, de modo que, se algue´m obtiver uma soluc¸a˜o V (x, y, z) por
qualquer meio e se este V satisfizer todas as condic¸o˜es de contorno, ter-se-a´
encontrado enta˜o uma soluc¸a˜o completa do problema.
6.5 Poder das Pontas
Figura 6.14
Figura 6.15
VAα
Q′A
RA
VBα
Q′B
RB
96 CAPI´TULO 6. CONDUTORES
VA = VB ⇒
Q′A
RA
=
Q′B
RB
Q′A
RA
=
4piR2Aσ
′
A
RA
=
4piR2Bσ
′
B
RB
⇒
RAσ
′
A = RBσ
′
B
⇒
σ′A
σ′B
=
RB
RA
⇒
σ′A =
RB
RA
σ′B
6.6 Carga Na Superf´ıciee Forc¸a Em Um Con-
dutor
Ja´ vimos que ~E = σ
εo
nˆ (Campo externo ) e vimos que σ = −εo ∂V∂n .
Na presenc¸a de um campo ele´trico, uma superf´ıcie carregada ira´ sentir
uma forc¸a.
⇒ Forc¸a por unidade de a´rea ~f = σ ~E.
Mas temos um problema: o campo e´ descont´ınuo na superf´ıcie. Qual devo
usar: ~Eacima, ~Eabaixo
Resposta: Voceˆ deve usar a me´dia dos dois:
~f = σ ~Emedia =
1
2
σ
(
~Eacima + ~Eabaixo
)
Cap´ıtulo 7
Capacitores
7.1 Introduc¸a˜o
Capacitor e´ um dispositivo que armazena energia potencial.
Capacitores variam em forma e tamanho, mas a configurac¸a˜o ba´sica con-
siste de dois condutores de cargas opostas.
O exemplo mais simples de um capacitor consiste de dois condutores
planos de a´rea A paralelos entre si e separados por uma distaˆncia d.
Figura 7.1
A experieˆncia mostra que a quantidade de carga Q num capacitor e´ line-
armente proporcional a` diferenc¸a de potencial entre as placas.
Q ∝ |∆V |
Q = C |∆V |
97
98 CAPI´TULO 7. CAPACITORES
em que
C - constante de proporcionalidade chamada capacitaˆncia
[C] = F (Farad)
Fisicamente, capacitaˆncia e´ a medida da capacidade de armazenar carga
ele´trica para uma diferenc¸a de potencial ∆V .
Observac¸a˜o 7.1. Lembremos que se chama de carga de um capacitor a carga
de uma de suas placas em valor absoluto, pois a carga total e´ zero.
Observac¸a˜o 7.2. 1F e´ uma unidade muito grande como veremos adiante nos
exemplos.
Figura 7.2
Observac¸a˜o 7.3. Se considerarmos o encerramento completo de um condutor
pelo outro, teremos a capacitaˆncia independente de qualquer fator externo.
Se tive´ssemos, ao inve´s disso, diante de duas placas assime´tricas na˜o encerra-
das uma na outra, como mostra a figura acima, poder´ıamos estar intrigados
com a seguinte questa˜o;
qual e´ a carga que faz o papel de Q, em func¸a˜o da qual se deve
definir a capacitaˆncia?
A resposta e´: a carga que deveria ser transferida do condutor 1 ao
condutor 2 para igualar seus potenciais.
7.2. ENERGIA DE UM CAPACITOR CARREGADO 99
7.2 Energia de um capacitor carregado
Considere um capacitor de placas paralelas, inicialmente descarregado. Pau-
latinamente, este capacitor esta´ sendo carregado, por meio da transfereˆncia
de cargas de uma placa para a outra.
Seja, q a quantidade de carga transferida ate´ um instante qualquer t.
Neste instante a capacitaˆncia e´ dada por: C = q
∆V
, sendo ∆V a diferenc¸a
de potencial entre as placas.
Num instante posterior o trabalho necessa´rio para a transfereˆncia de uma
carga dq e´:
dW = ∆V dq =
q
C
dq
O trabalho total realizado na transfereˆncia de uma carga Q sera´:
W =
Q∫
0
q
C
dq =
1
2
Q2
C
W =
1
2
CV 2
em que
W - trabalho realizado para carregar o capacitor de uma carga Q.
E´ igual a energia que o capacitor possui quando tem uma carga Q.
V - Diferenc¸a de potencial final entra as placas.
7.3 Ca´lculos de Capacitaˆncias
7.3.1 Capacitor de placas paralelas
C =
Q
|∆V |
100 CAPI´TULO 7. CAPACITORES
Figura 7.3
Q = σA
∆V = Ed =
σd
εo
C =
Q
|∆V | =
σAεo
σd
C =
Aεo
d
So´ depende de fatores geome´tricos!!
⇒ Capacitaˆncia aumenta com a a´rea A⇒ quanto maior for a a´rea, maior
armazenamento de carga
⇒ Capacitaˆncia inversamente proporcional a` distaˆncia d.
C = 1F, d = 1mm,A =?
A ≈ 100Km2
Energia:
U =
ε0
2
∫
E2dv =
ε0E
2
2
V =
ε0
2
σ2
ε20
Ad
Como : C =
ε0A
d
e V 2 =
σ2d2
ε20
U =
1
2
CV 2
7.3. CA´LCULOS DE CAPACITAˆNCIAS 101
7.3.2 Capacitor Cil´ındrico
Figura 7.4
L >> b− a
C =?
∆V = −
b∫
a
~E · d~l
~E =?
Figura 7.5
∮
~E.d~s =
Qint
ε0
E2pirL =
Q
εo
⇒ ~E = Q
2piεoL
1
r
rˆ
∆V = − Q
2piεoL
ln (r)|ba = −
Q
2piεoL
ln
(
b
a
)
102 CAPI´TULO 7. CAPACITORES
|∆V | = Q
2piεoL
ln
(
b
a
)
C =
Q
|∆V | =
2piεoL
ln
(
b
a
)
Sendo b = d+ a⇒ ln ( b
a
)
= ln
(
d
a
+ 1
) ≈ d
a
C =
2piεoLa
d
=
εoA
d
7.3.3 Capacitor Esfe´rico
Figura 7.6
∆V = −
b∫
a
~E · d~l
∮
~E.d~s =
Qint
ε0
E4pir2 =
Q
εo
⇒ ~E = 1
4piεo
Q
r2
rˆ
∆V = − Q
4piεo
1
r
∣∣∣∣b
a
=
Q
4piεo
(a− b)
ab
⇒ |∆V | = Q
4piεo
(b− a)
ab
7.4. ASSOCIAC¸A˜O DE CAPACITORES 103
C =
4piεoab
(b− a)
limites
b− a = d << a
7.4 Associac¸a˜o de Capacitores
7.4.1 Capacitores em Paralelo
Figura 7.7
Mesmo potencial:
Q1 = C1V
Q2 = C2V
Q3 = C3V
Q1 +Q2 +Q3 = (C1 + C2 + C3)V
Q = CeqV
104 CAPI´TULO 7. CAPACITORES
Ceq = C1 + C2 + C3
Para n capacitores em paralelo:
Ceq =
n∑
i=1
Ci
7.4.2 Capacitores em Se´rie
Figura 7.8
V = V1 + V2
Q = CeqV = Ceq (V1 + V2) = Ceq
(
Q1
C1
+
Q2
C2
)
Mas:
Q1 +Q2 = Q⇒ Q
Ceq
=
Q
C1
+
Q
C2
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
Para n capacitores em se´rie :
7.4. ASSOCIAC¸A˜O DE CAPACITORES 105
1
Ceq
=
n∑
i=1
1
Ci
Exerc´ıcio 7.1. Um capacitor tem placas quadradas de lado a, que formam
um aˆngulo θ entre si. Mostrar que para θ pequeno, a capacitaˆncia e´ dada
por
εoa
2
d
(
1− aθ
2d
)
Figura 7.9
Suponha que o capacitor em questa˜o e´ o capacitor equivalente de uma
associac¸a˜o de capacitores em paralelo.
Figura 7.10
≡
106 CAPI´TULO 7. CAPACITORES
Figura 7.11
Figura 7.12
Ci =
εoA
di
=
εoadx
di
sendo
di = d+ xtgθ
Ceq =
∑
i
Ci = εoa
a∫
0
dx
d+ xtgθ
=
εoa
tgθ
ln (d+ xtgθ)|a0
Ceq =
εoa
tgθ
ln
(
d+ atgθ
d
)
7.4. ASSOCIAC¸A˜O DE CAPACITORES 107
θpequeno⇒ tgθ ≈ θ
C =
εoa
θ
ln
(
1 +
aθ
d
)
Mas aθ
d
e´ pequeno e ln (1 + x) = x− x2
2
+ x
3
3
+ ...−1 ≤ x ≤ 1
C =
εoa
θ
(
aθ
d
− a
2θ2
2d2
)
=
εoa
2
d
(
1− aθ
2d
)
Se θ = 0 voltamos ao resultado inicial para capacitores de placas paralelas:
C =
εoa
2
d
108 CAPI´TULO 7. CAPACITORES
Cap´ıtulo 8
Diele´tricos
8.1 Introduc¸a˜o
Ate´ agora, so´ discutimos campos ele´tricos no va´cuo ou na presenc¸a de con-
dutores, dentro dos quais ~E = 0. Pore´m, o que acontece se trabalharmos
com isolantes?
Cavendish, em 1773, e Faraday, independentemente, em 1837 1 desco-
briram que a capacitaˆncia de um capacitor aumenta caso seja colocado um
isolante entre as placas, a capacitaˆncia aumenta por um fator que depende
ta˜o somente do tipo de material colocado. Mas por qual motivo isso ocorre?
Nesse cap´ıtulo estudaremos mais profundamente as propriedades desses
materiais diele´tricos, e a sua aplicac¸a˜o na construc¸a˜o de capacitores, ale´m de
estudar alguns dos fenomenos relacionados, como a polarizac¸a˜o.
8.2 Campo no interior de um diele´trico
Nessa sec¸a˜o veremos mais a fundo o motivo que leva a esse aumento da
capacitancia, dessa forma, devemos considerar dois tipos de materiais, os
compostos por mole´culas polares e os apolares:
1Nussenzveig, Herch Moyse´s, Curso de F´ısica ba´sica - Volume 3, 1a Edic¸a˜o, pa´g 86
109
110 CAPI´TULO 8. DIELE´TRICOS
8.2.1 mole´culas polares
As mole´culas polares sa˜o aquelas que apresentam um momento de dipolo
permanente ~p. Esse dipolo, quando colocado na presenc¸a de um campo
ele´trico tende a se alinhar com este devido a um torque resultante, que pode
ser observado na figura abaixo:
Figura 8.1: Dipolo molecular imerso em um campo
O alinhamento das mole´culas do material na direc¸a˜o do campo ele´trico
externo e´ chamado de polarizac¸a˜o ele´trica.
8.2.2 mole´culas apolares
Essas mole´culas na˜o apresentam momento dipolo permanente, pore´m, tambe´m
esta˜o sujeitas a` uma polarizac¸a˜o, devido ao surgimento de um dipolo indu-
zido:8.3. POLARIZAC¸A˜O 111
Figura 8.2: Ao ser imersa em um campo, surge um dipolo induzido na
mole´cula
8.3 Polarizac¸a˜o
Com o que vimos na Sec¸a˜o 8.2 existem dois tipos de dipolo, um induzido (no
caso das mole´culas apolares), ou um permanente (caso das mole´culas polares,
como a a´gua). Esses dipolos podem ser enta˜o polarizados pela presenc¸a de
um campo ele´trico, como percebe-se na figura abaixo:
Figura 8.3: Material polarizado
Assumimos aqui que todos os dipolos esta˜o alinhados com o eixo do ci-
lindro, o que nem sempre e´ verdade. Dessa forma, precisamos descobrir a
influeˆncia desses dipolos no campo ele´trico resultante.
8.3.1 Definic¸a˜o do vetor Polarizac¸a˜o
Definimos o vetor polarizac¸a˜o como sendo:
112 CAPI´TULO 8. DIELE´TRICOS
−→
P =
1
V
N∑
i=1
~pi (8.1)
Na qual ~pi sa˜o os dipolos, induzidos ou permanentes, presentes nos ma-
teriais. Perceba que ~P possui sentido que aponta das cargas negativas para
as positivas.
No caso do cilindro apresentado, considerando N dipolos orientados ~p
podemos dizer que:
−→
P =
1
V
N∑
i=1
~pi
Dessa forma, no total, ter´ıamos que as cargas de cada dipolo iriam se anu-
lar dentro do cilindro, restando somente as cargas externas. Assim ter´ıamos:
Figura 8.4: Esquema
Mas como podemos calcular Qp, ou seja, a carga polarizada?
Considerando um grande momento dipolo igual a` soma de todos os vetors
dipolo menores Np. Assim, pela definic¸a˜o de vetor dipolo: Qph = Np. Mas
Qp = σpA. Dessa forma, podemos dizer que, no caso das placas paralelas:
σp = ~P (8.2)
Caso as placas na˜o sejam paralelas, sendo A′ a nova a´rea e A a a´rea do
8.3. POLARIZAC¸A˜O 113
caso paralelo, considerando o vetor nˆ perpendicular a` superf´ıcie e o aˆngulo θ
que este faz com o vetor hatk, temos:
A′cosθ = A⇒ σp = Qpcosθ
A
= ~Pcosθ = ~P · nˆ (8.3)
Ale´m disso, pela lei de Gauss, como ~E = −~P/ε0 podemos dizer que:
Qp = −
∮
~P · d~s (8.4)
Que, pelo teorema da divergeˆncia:
∇ · ~P = −ρp (8.5)
Dessa forma, precebe-se a importaˆncia do vetor polarizac¸a`o, visto que
ele permite o ca´lculo da densidade superficial de carga polarizada, sem a
necessidade do conhecimento dos dipolos moleculares. Ale´m disso, podemos
dizer que:
~Ep = −
~P
εo
(8.6)
Dessa forma, o campo total ~E e´ dado por:
~E = ~Eexterno −
~P
εo
→ ~E < ~Eexterno (8.7)
O que mostra que a polarizac¸a˜o diminui o campo ele´trico final, causando
assim, o efeito observado por Cavendish (vide Sec¸a˜o 8.1).
8.3.2 Susceptibilidade Ele´trica e constante diele´trica
Agora, sabemos que o vetor polarizac¸a˜o pode nos ajudar a descobrir alguns
dos efeitos macrosco´picos causados pelo uso de diele´tricos. Como ja´ dito,
foi observado que a capacitaˆncia variava por um valor que dependia basica-
mente da natureza do material estudado. Assim, pode-se montar a seguinte
114 CAPI´TULO 8. DIELE´TRICOS
equac¸a˜o:
~P = χ~E (8.8)
Ale´m disso, foi observado que χ e´ normalmente linear, sendo denominado
susceptibilidade ele´trica. Com isso, pela equac¸a˜o 8.7, chamando Eexterno de
E0 temos:
~Eo = ~E +
~P
εo
= ~E
(
1 +
χ
εo
)
︸ ︷︷ ︸
K
(8.9)
Dessa forma, temos a relac¸a˜o entre a susceptibilidade ele´trica e a cons-
tante diele´trica, definida a partir da raza˜o entre as diferentes capacitaˆncias
observadas com e sem diele´tricos nos capacitores, ou seja:
k =
�
�0
→ � = �0 + χ (8.10)
Onde � e´ chamada a permissividade ele´trica do meio.
Observac¸a˜o: Ha´ va´rios livros que definem:
~P = εoχe ~E
Logo, temos que: χ = χeεo
e, nesse caso:
ε = εo (1 + χe)︸ ︷︷ ︸
K
(8.11)
8.4 Lei de Gauss e vetor deslocamento ele´trico
Como o campo na˜o se mante´m o mesmo na presenc¸a de um diele´trico, como
e´ poss´ıvel equaciona´-la?
Primeiramente relembremos a lei de Gauss:
8.4. LEI DE GAUSS E VETOR DESLOCAMENTO ELE´TRICO 115
∮
~E·d~s = Qint
εo
(8.12)
Mas a carga ele´trica e´ composta pela carga livre inicial mais a carga
polarizada, assim: ∮
~E·d~s = Q+Qp
εo
(8.13)
Aplicando no caso espec´ıfico de um capacitor temos:
EA =
(
Q+Qp
εo
)
⇒ E =
(
σ + σp
εo
)
Mas, ja´ vimos que:
E =
Eo
K
=
σ
εoK
=
σ
ε
Logo, como :σ+σp
εo
= σ
ε
, enta˜o:∮
ε ~E · d~s = Qlivre (8.14)
Difinindo o vetor deslocamento ele´trico como sendo ~D = ε ~E obtemos:∮
~D · d~s = Qlivre (8.15)
Ale´m disso, sabemos que:
~D = ε ~E = εoK ~E = εo (1 + χe) ~E = εo ~E + ~P
Logo:
~D = εo ~E + ~P (8.16)
Ale´m disso, pelo teorema da divergeˆncia, podemos obter que:
~∇ · ~D = ρlivre (8.17)
116 CAPI´TULO 8. DIELE´TRICOS
Outra forma de chegarmos a` mesma resposta seria, partindo da equac¸a˜o
8.13, e sabendo da equac¸a˜o 8.4 obtemos que:∮ (
εo ~E + ~P
)
· d~s = Qlivre (8.18)
Assim, definindo ~D = ~Eε+ ~P obteremos a equac¸a˜o 8.15
Vale notar tambe´m que o vetor deslocamento ele´trico e´ igual ao vetor
ε0 ~E0, ou seja, o campo externo vezes a permissividade do va´cuo. Logo, ~D
depende ta˜o somente das cargas externas e na˜o da natureza do material, for-
necendo assim, uma excelente ferramenta de ca´lculo para os casos envolvendo
diele´tricos. Ale´m disso, a relac¸a˜o existente entre ~D e ~E, nos da´ condic¸o˜es,
conhecida a permissividade ele´trica do meio ε, de descobrir tanto o pro´prio
campo ~E quanto o vetor polarizac¸a˜o, podendo assim, obter as cargas polari-
zadas e as finais. Um outro fator interessante e´ que as equac¸o˜es que utilizam o
vetor deslocamento podem ser utilizadas mesmo que na˜o haja meio diele´trico,
mas elas caira˜o nas equac¸o˜es ja´ vistas em cap´ıtulos anteriores.
8.5 Energia eletrosta´tica em diele´tricos
Analisaremos agora qual o comportamento da energia ele´trosta´tica armaze-
nada no campo caso exista um diele´trico no meio. Assim, sabemos que:
U =
1
2
∫
v
ρeV dv
Mas ρe =
−→∇ .−→D
Assim, temos que:
U =
1
2
∫
(
−→∇ .−→D)V dv (8.19)
Mas
−→∇ .(−→DV ) = (−→∇ .−→D)V +−→D.−→∇V Logo:
8.6. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO 117
U =
1
2
∫
(
−→∇ .−→D)V dv = 1
2
∫ −→∇ .(−→DV )dv − 1
2
∫ −→
D.
−→∇V dv
Pore´m
−→
E = −−→∇V . Assim, como fizemos no caso da energia eletrosta´tica
sem diele´tricos, podemos fazer v →∞. Assim:
U =
1
2
∫
R3
−→
D.
−→
Edv (8.20)
8.6 Condic¸o˜es de Contorno
Da mesma forma que definimos algumas condic¸o˜es de contorno para pro-
blemas de eletrosta´tica, devemos agora rever essas condic¸o˜es para o caso da
presenc¸a de um diele´trico. Assim, recordando:
Figura 8.5: Esquema
Vimos que:
E⊥acima − E⊥abaixo =
σ
ε0
Era obtido a partir da Lei de Gauss. Assim, com a Lei reescrita, podemos
obter:
118 CAPI´TULO 8. DIELE´TRICOS
Figura 8.6: Esquema 2
D⊥acimaA−D⊥abaixoA = σlA
Logo:
D⊥acima −D⊥abaixo = σl (8.21)
Pore´m, pela circulac¸a˜o, obtemos:
E
//
acima = E
//
abaixo
Mas, como:
−→
E =
−→
D
ε0
−
−→
P
ε0
Enta˜o, obtem-se:
D⊥acimaA−D⊥abaixoA = P //acima − P //abaixo (8.22)
Dessa forma, temos agora todas as ferramentas necessa´rias para realizar
o estudo de muitos dos problemas de eletrosta´tica, inclusive os que envol-
vem diele´tricos, principalmente, aqueles que envolvem o ca´lculo de capa-
8.6. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO 119
citaˆncias de diversos capacitores, totalmente ou parcialmente preenchidos
com diele´tricos.
120 CAPI´TULO 8. DIELE´TRICOS
Cap´ıtulo 9
Corrente ele´trica e Resisteˆncia
9.1 Transporte de Carga e Densidade de Cor-
rente
As correntes ele´tricas sa˜o causadas pelo movimento de portadores de carga.
A corrente ele´trica num fio e´ a medida da quantidade de carga que passa por
um ponto do fio por unidade de tempo.
I =
dq
dt
[I] = A (Ampere)
9.1.1 Conceito De Densidade De Corrente
Consideremosuma a´rea a .
Perguntamos: Quantas part´ıculas carregadas passam por unidade de
tempo?
Consideremos inicialmente que cada part´ıcula possui carga q e velocidade
~u e temos n part´ıculas por m3.
121
122 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.1
Para o intervalo de tempo ∆t temos que a resposta sera´:
todas as part´ıculas dentro de um volume de prisma.
V olume = base× altura
V olume=~a · ~u∆t = au∆t cos θ
Densidade de part´ıculas = n, enta˜o o nu´mero de part´ıculas,∆N , que
passa pela a´rea a no intervalo ∆t e´:
∆N = n~a · ~u∆t
Considerando que cada part´ıcula possui carga q :
∆Q = nq~a · ~u∆t
corrente =
∆Q
∆t
= nq~a · ~u = I (a)
Caso geral:
9.1. TRANSPORTE DE CARGA E DENSIDADE DE CORRENTE 123
Consideremos que ha´ part´ıculas diferentes com cargas diferentes, veloci-
dades diferentes em nu´mero diferente. Enta˜o a corrente sera´ dada por:
I (a) = n1q1~a · ~u1 + n2q2~a · ~u2 + ...+ nNqN~a · ~uN
I (a) =
N∑
i=1
niqi~a · ~ui =
I (a) = ~a ·
N∑
i=1
niqi~ui
Chamamos
N∑
i=1
niqi~ui de densidade de corrente ~J .
N∑
i=1
niqi~ui = Densidade de corrente
~J =
N∑
i=1
niqi~ui
[
~J
]
=
A
m2
I (a) = ~a · ~J
Examinemos agora a contribuic¸a˜o da densidade de corrente para o caso
de ele´trons que podem ter diferentes velocidades.
qi = −e
~J = −e
N∑
i=1
ni~ui
A velocidade me´dia dos ele´trons e´ dada por:
124 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
〈~ue〉 = 1
Ne
∑
i
ni~ui
Ne = Numero de eletrons por unidade de volume
~Je = −eNe 〈~ue〉
A corrente de ele´trons que passara´ atrave´s da a´rea a dependera´ somente
da velocidade me´dia dos portadores (lembrando que esta de trata de
uma me´dia vetorial).
A corrente I que atravessa qualquer superf´ıcie S e´ exatamente igual a`
integral de superf´ıcie:
I =
∫
S
~J · d~s
I e´ o ”fluxo”associado ao vetor ~J
9.2 Equac¸a˜o da Continuidade da Carga ele´trica
Figura 9.2
Consideremos uma superf´ıcie fechada qualquer S, que delimita um volume
V.
Dentro do volume V temos uma quantidade de carga total igual a:
9.2. EQUAC¸A˜O DA CONTINUIDADE DA CARGA ELE´TRICA 125
∫
V
ρdv
Como
∮
S
~J · d~s e´ igual a` vaza˜o instantaˆnea de carga para fora do volume.
∮
S
~J · d~s = − d
dt
∫
V
ρdv
Usando o Teorema de Gauss temos:
∮
V
~∇ · ~Jdv = − d
dt
∫
V
ρdv
Mas como ρ = ρ (x, y, z, t) e a superf´ıcie que limita o volume permanece
no mesmo lugar:
d
dt
∫
ρdv =
∫
∂ρ
∂t
dv
Enta˜o:
∫
V
~∇ · ~Jdv =
∫
V
(
−∂ρ
∂t
)
dv
Como a equac¸a˜o e´ va´lida para qualquer V :
~∇ · ~J = −∂ρ
∂t
Equac¸~ao da Continuidade da carga
Portanto, O Princ´ıpio da Conservac¸a˜o da Carga e´ traduzidos pelas
equac¸o˜es:
∮
S
~J · d~s = − d
dt
∫
V
ρdv (9.1)
126 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
e
~∇ · ~J = −∂ρ
∂t
(9.2)
9.2.1 Caso De Corrente Estaciona´ria
Corrente na˜o varia com o tempo!!!
Figura 9.3
Suponha que temos um fio por onde passa uma corrente estaciona´ria (na˜o
varia com o tempo). Se considerarmos o volume V, a quantidade de carga
∆Q que entra num intervalo de tempo ∆t deve ser igual a` que sai no mesmo
intervalo.
∆Q
∆t
dentro do volume = 0 ⇒ ∂ρ
∂t
= 0
~∇ · ~J = 0
Esta equac¸a˜o nada mais e´ do que a 1a Lei de Kirchoff , tambe´m co-
nhecida como Lei dos No´s, da teoria de circuitos ele´tricos.
Figura 9.4
9.3. CONDUTIVIDADE ELE´TRICA E A LEI DE OHM 127
Figura 9.5
9.3 Condutividade Ele´trica e a Lei de Ohm
Consideremos que a corrente ele´trica e´ produzida pela presenc¸a de um campo
ele´trico.
~E produz uma forc¸a no portador de carga → se movimenta ⇒ corrente
ele´trica
Se ha´ corrente ele´trica ou na˜o, depende da natureza f´ısica do sistema em
que o campo atua, ou seja, o meio.
Uma das mais antigas descobertas experimentais sobre a corrente ele´trica
na mate´ria foi feita por G. S. Ohm, em um trabalho publicado em 1827
intitulado: ”Die Galvanische Ketle Mattematisch Bearbeitet”, e e´ expressa
atrave´s da Lei de Ohm:
V = RI
Observac¸a˜o 9.1. ( OBSERVAC¸A˜O IMPORTANTE )
Esta equac¸a˜o prove´m da observac¸a˜o experimental do comportamento de
muitas substaˆncias familiares, no´s na˜o a deduzimos das leis fundamentais do
eletromagnetismo.
9.3.1 Um Modelo Para a Conduc¸a˜o Ele´trica
⇒ Modelo De Drude = Modelo Cla´ssico
Linha do tempo:
128 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
1827 - Ohm 1897 - J.J. Thompson → descoberta do ele´tron.
Impacto imediato nas teorias da estrutura da mate´ria e sugeriu um me-
canismo para a conduc¸a˜o em metais.
1900 - Drude construiu sua teoria para a condutividade ele´trica utilizando
a teoria cine´tica dos gases para um metal, considerando um ga´s de ele´trons
livres.
(Annalen der Phynik 1, 566 (1900) e Annalen der Phynik 3, 369 (1900))
Suposic¸o˜es:
Figura 9.6
Cada a´tomo contribui com z ele´trons para a conduc¸a˜o → carga = -ez
Na auseˆncia de campo ele´trico os ele´trons se movem em todas as direc¸o˜es,
ao acaso, com velocidades que sa˜o determinadas pela temperatura.
O ele´tron devera´ se mover em linha reta ate´ que sofra uma colisa˜o.
As coliso˜es no modelo de Drude, como na teoria cine´tica, sa˜o eventos
instantaˆneos que alteram abruptamente a velocidade do ele´tron.
Na˜o ha´ relac¸a˜o (tanto em mo´dulo quanto em direc¸a˜o e sentido) entre a
velocidade ~u do ele´tron em t = 0 e sua velocidade depois da passagem de um
certo intervalo de tempo.
Isto corresponde a dizer que apo´s um tempo t o vetor velocidade do
9.3. CONDUTIVIDADE ELE´TRICA E A LEI DE OHM 129
ele´tron podera´ ser encontrado apontando em qualquer direc¸a˜o independente
da direc¸a˜o que tinha em t = 0.
A probabilidade de um ele´tron sofrer uma colisa˜o em um intervalo de
tempo dt e´ dt
τ
, onde τ = tempo me´dio entre as coliso˜es.
Agora vamos aplicar um campo ele´trico uniforme ~E ao sistema.
Com a presenc¸a de um campo ele´trico, o ele´tron ficara´ sujeito a uma forc¸a
ele´trica.
Figura 9.7
Seja:
~u = velocidade imediatamente apo´s a colisa˜o.
Apo´s um determinado t, o ele´tron sofre um incremento de momento igual
a:
~pt = −e ~Et
Momento original logo apo´s a colisa˜o era:
~po = me~u
me = massa do ele´tron
Enta˜o, momento total apo´s um determinado tempo t deve ser:
130 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
~p = me~u− e ~Et
Com isso, o momento total do sistema sera´:
∑
~p =
∑
i
me~ui +
∑
i
(
−e ~E
)
ti
O momento me´dio de todos os ele´trons:
〈~p〉 = 1
Ne
∑
~p
〈~p〉 = 1
Ne
∑
i
(
me~ui − e ~Eti
)
〈~p〉 = me
(
1
Ne
∑
i
~ui
)
− e ~E
(
1
Ne
∑
i
ti
)
Mas:
1
Ne
∑
i
~ui = velocidade me´dia dos ele´trons imediatamente apo´s a colisa˜o
→ deve ser igual a zero, pois ~ui tem as direc¸o˜es distribu´ıdas totalmente ao
acaso e, portanto, tem contribuic¸a˜o nula para a me´dia.
1
Ne
∑
i
ti = tempo me´dio entre as coliso˜es = τ
〈~p〉 = −e ~Eτ
〈~u〉 = − eτ
me
~E = velocidade me´dia = velocidade de drift ou de ”arrasto”.
Ja´ vimos que a densidade de corrente pode ser escrita como:
~J = −Nee 〈~u〉
~J =
Nee
2τ
me
~E
Seja:
9.3. CONDUTIVIDADE ELE´TRICA E A LEI DE OHM 131
σ =
e2Neτ
me
Enta˜o: Lei de Ohm
~J = σ ~E
onde σ = condutividade ele´trica.
Vejamos que escrever ~J = σ ~E e´ equivalente a escrever V = RI.
Consideremos um fio de secc¸a˜o transversal A:
Figura 9.8
V = El
e
I = JA
J = σE = σ
V
l
I
A
= σ
V
l
⇒ V = l
σA︸︷︷︸
R
I
Enta˜o:
132 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
V = Ri
Definimos resistividade como sendo o inverso da condutividade:
ρ =
1
σ
Temos:
R =
ρl
A
⇒De fato a resisteˆncia deve ser diretamente proporcional a l e inversa-
mente proporcional a A.
R =
comprimento× resistividade
areadasecaotransversal
Na realidade a resistividade de um material varia com a temperatura T.
ρ = ρo [1 + α (T − To)]
α = coeficiente de temperatura da resistividade
α > 0 para metais
α < 0 para semicondutores
Figura 9.9
9.4. ASSOCIAC¸A˜O DE RESISTORES 133
9.4 Associac¸a˜o de Resistores
9.4.1 Associac¸a˜o em Paralelo
Figura 9.10
V = ReqIeq
Req =
V
I1 + I2 + I3
1
Req
=
I1
V
+
I2
V
+
I3
V
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
1
Req
=
N∑
i=1
1
Ri
9.4.2 Associac¸a˜o em Se´rie
V = V1 + V2 = R1I +R2I
V = (R1 +R2) I
Req = (R1 +R2)
134 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.11
Req =
N∑
i=1
Ri
Exerc´ıcio 9.1. Um material condutor possui condutividade dada por:
σ(x) = σa +
(σb − σa)
l
x
onde σa e σb sa˜o constantes.
O condutor possui comprimento l e a´rea de secc¸a˜o transversal constante.
Determine a resisteˆncia entre as faces A e B do condutor.
Figura 9.12
R =
ρl
A
⇒ R(x) = l
σ(x)A
9.4. ASSOCIAC¸A˜O DE RESISTORES 135
Figura 9.13
Req =
n
Σ
i=1
Ri ⇒ R =
l∫
0
dx
σ(x)A
=
1
A
l∫
0
dx
σa +
(
σb−σa
l
)
x
⇒
R =
l
A(σb − σa) ln
(
σb
σa
)
Exerc´ıcio 9.2. Um material condutor e´ moldado na forma de um tronco de
cone. O raio da base menor e´ a e o raio da base maior e´ b. O comprimento
e´ l e a resistividade e´ uniforme. Determine a resisteˆncia entre as bases.
Figura 9.14
R =
∫
dR⇒dR = ρdx
pir2(x)
⇒ r (x) = a+ b−a
l
x
R =
ρ
pi
l∫
0
dx(
a+
(
b−a
l
)
x
)2 ⇒ R = ρpi
(
l
b− a
)(
−1
b
+
1
a
)
⇒
R =
ρl
piab
se a = b ⇒ R = ρl
pia2
136 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Exerc´ıcio 9.3. Um material e´ moldado na forma de uma cunha, como ilus-
tra a figura abaixo. O material possui uma resistividade ρR. Determine a
resisteˆncia entre as faces A e B
Figura 9.15
R =
∫
dR dR =
ρdx(
a+ (b−a)
l
x
)
w
R =
ρ
w
l∫
0
dx
a+
(
b−a
l
)
x
⇒ R = ρ
w
l
(b− a) ln
(
b
a
)
se b→ a, (b− a)→ 0⇒ ln ( b
a
)
= ln
(
b−a
a
+ 1
) ≈ b−a
a
⇒ R = ρl
w (b− a)
(b− a)
a
=
ρl
aw
9.5 Forc¸a Eletromotriz
E´ necessa´rio se gastar energia ele´trica para manter uma corrente constante
em um circuito fechado. A fonte de energia e´ chamada de fonte de forc¸a
eletromotriz (fem - s´ımbolo ε ).
Exemplos: baterias, ce´lulas solares, etc
Matematicamente: ε ≡ dw
dq
Ou seja, o trabalho para mover uma unidade de carga na direc¸a˜o do
potencial mais alto.
9.5. FORC¸A ELETROMOTRIZ 137
[ε] = V (volt)
Considere o circuito:
Figura 9.16
Assumindo que a bateria na˜o possui resisteˆncia interna, enta˜o a diferenc¸a
de potencial VA − VB = V = ε
Corrente: I = ε
R
No entanto, uma bateria real sempre possui um resisteˆncia interna r.
Neste caso, a diferenc¸a de potencial nos terminais da bateria e´:
Vc − Va = ∆V = ε− rI
Figura 9.17
No circuito todo:
ε− rI −RI = 0⇒ I = ε
r +R
138 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.18
. Voltagem cai ao passar por cada resistor.
. Nos fios e´ constante.
9.5.1 Poteˆncia
A poteˆncia e´ dada por:
dW
dt
= V
dq
dt
Taxa de Transfereˆncia de Energia
Como P = V I e´ sempre va´lido:
Usando a Lei de Ohm:
→ P = I2R
A poteˆncia gasta pela bateria:
P = Iε = I (IR + Ir) = I2R + I2r
Poteˆncia da fonte e´ igual a Poteˆncia dissipada em R + Poteˆncia
dissipada em r.
9.5.2 Poteˆncia Ma´xima Transmitida
P = RI2
9.6. LEIS DE KIRCHOFF 139
Figura 9.19
I =
ε
R + r
P =
Rε2
(R + r)2
dP
dR
= 0→ dP
dR
=
ε2
(R + r)2
− 2Rε
2
(R + r)3
= 0
⇒ R + r = 2R
R = r
9.6 Leis de Kirchoff
As leis de Kirchoff:
1- Dos no´s: ΣIentram = ΣIsaem
2- Das malhas: Σ
circuito
fechado
∆V = 0
Nos circuitos temos:
Va > Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = −RI
140 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.20
Figura 9.21
Va < Vb ⇒ ∆V = Vb − Va = +ε
Exerc´ıcio 9.4. Qual o valor de I1, I2 e I3?
Figura 9.22
Consideremos que o sentido das correntes sa˜o como mostrados na figura.
Pela lei das malhas:
Comec¸ando em A:
V1 −R1I1 −R3I1 +R3I2 = 0
Comec¸ando em B:
−R3I2 +R3I1 −R2I2 + V2 = 0
9.7. CIRCUITO R-C 141
Temos duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas, I1 e I2
I3 = I1 − I2
Se I1 der negativo, enta˜o o sentido da corrente e´ oposto ao que supomos
inicialmente, o mesmo para I2.
9.7 Circuito R-C
9.7.1 Carregando um capacitor
Considere o circuito abaixo:
Figura 9.23
Bateria com uma fem ε constante e resisteˆncia interna nula.
Inicialmente o capacitor esta´ completamente descarregado q( t=0 ) = 0
e a chave passa para a posic¸a˜o (1).
A corrente comec¸a a circular: I (0) = ε
R
A medida que o tempo passa ( t ¿ 0 ), o capacitor vai carregando ate´
atingir a carga ma´xima ( t = tf ) Q = Cε
Analisemos o que ocorre entre os dois instantes ( 0 ¡ t ¡ tf ).
Pela Lei da Malhas: ε− I (t)R− q(t)
C
= 0
Podemos resolver a equac¸a˜o em termos da corrente ou da carga.
Escolhendo a carga:
142 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.24
ε−RI (t)− q (t)
C
= 0
I (t) =
dq (t)
dt
⇒ ε−Rdq
dt
− q
C
= 0
⇒ dq
dt
=
1
R
(
ε− q
C
)
⇒ dq
εC − q =
dt
RC
Integrando ambos os lados, temos:
q∫
0
dq
q − εC = −
1
RC
t∫
0
dt⇒ ln
(
q − εC
−εC
)
= − t
RC
q − εC = −εC e−( tRC ) ⇒ q (t) = εC
(
1− e−( tRC )
)
q (t) = Q
(
1− e− tRC
)
Onde Q e´ a carga ma´xima armazenada no capacitor.
I (t) =
dq
dt
q (t) = Q
(
1− e −tRC
)
I (t) =
Q
RC
e
−t
RC =
εC
RC
e
−t
RC
9.7. CIRCUITO R-C 143
Figura 9.25
I (t) =
ε
R
e
−t
RC
Figura 9.26
τ = RC e´ uma medida do tempo de decaimento da func¸a˜o exponencial.
Depois de t = τ a corrente cai de um fator de 1
e
= 0, 368.
Tensa˜o no Capacitor
Vc (t) =
q (t)
C
=
Q
C
(
1− e− tRC
)
= ε
(
1− e− tRC
)
t→∞⇒

q (t→∞) = Cε = Q
Vc (t→∞) = ε
I (t→∞) = 0
144 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.27
Depois de um tempo t = τ a diferenc¸a de potencial entre os capacitores
aumenta de um valor igual a (1− e−1) = 0, 632 do seu valor final.
Vc (τ) = 0, 632ε
9.7.2 Descarregando um capacitor
Considerando que a chave permaneceu por um longo tempo na posic¸a˜o (1),
vamos mudar a chave para a posic¸a˜o (2).
Figura 9.28
Podemos prever que a corrente tera´ o mesmo comportamento que o pro-
cesso anterior, com a diferenc¸a que mudara´ de sentido.
Idescarga (t) = −Icarga (t) = − ε
R
e−
t
RC
Montando a equac¸a˜o:
9.7. CIRCUITO R-C 145
q (t)
C
−RI (t) = 0
I (t) = −dq
dt
q (t)
C
−Rdq (t)
dt
= 0
dq (t)
dt
= −q (t)
RC
⇒ dq
q
= − dt
RC
⇒
q∫
Q
dq
q
= −
t∫
0
dt
RC
ln
(
q
Q
)
= − t
RC
⇒
q (t) = Qe−
t
RC
Vc (t) =
q (t)
C
=
Q
C
e−
t
RC = εe−
t
RC
I (t) = −dq
dt
=
ε
R
e−
t
RC
Figura 9.29
146 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
Figura 9.30
Figura 9.31
Figura 9.32
t < 0⇒ Req = R1 +R2
9.7. CIRCUITO R-C 147
τ = ReqC = (R1 +R2)C
q (t) = εC
(
1− e−( tτ )
)
Figura 9.33
Figura 9.34
τ ′ = R2C
q′ (t) = εCe−
t
τ ′
Corrente entre A e B como func¸a˜o do tempo depois que o circuito e´
fechado.
148 CAPI´TULO 9. CORRENTE ELE´TRICA E RESISTEˆNCIA
ε = R1I1 ⇒ I1 = ε
R1
q (t)
C
−R2I2 (t) = 0
q (t)
C
+R2
dq2 (t)
dt
= 0
Figura 9.35
dq2(t)
q2
= − dt
R2C
⇒ q2 (t) = εCe−t
R2C
I2 (t) = − ε
R2
e
− t
R2C
I = I1 + I2 =
ε
R1
+
ε
R2
e
− t
R2C
Cap´ıtulo 10
Magnetosta´tica
10.1 Campo Magne´tico
Por meio de experimentos, notou-se que os portadores de carga sofriam in-
flueˆncias de outra forc¸a, fora aquela resultante da ac¸a˜o do campo ele´trico.
Tal forc¸a dependia na˜o so´ da posic¸a˜o da part´ıcula mas tambe´m da velocidade
de seu movimento, e ela recebeu o nome de forc¸a magne´tica.
Portanto, Em todo ponto do espac¸o temos duas quantidades vetoriais que
determinam a forc¸a resultante que atua sobre uma carga:
• A primeira delas e´ a forc¸a ele´trica, a qual fornece uma componente
da forc¸a independente do movimento da carga. E´ poss´ıvel descreveˆ-la,
como ja´ foi visto, em termos do campo ele´trico.
• A segunda quantidade e´ uma componente adicional a` forc¸a denominada
forc¸a magne´tica, que sera´ apresentada a seguir.
Foi visto que o campo ele´trico pode ser definido como a forc¸a ele´trica por
unidade de carga:
~E =
~Fe
q
(10.1)
149
150 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Isso poˆde ser feito devido a` existeˆncia de monopo´los ele´tricos. Pore´m o
ser humano na˜o observou, ate´ hoje, monopolos magne´ticos: Todos os corpos
magnetizados possuem um po´lo Norte e um po´lo Sul. Por causa disso, o
campo magne´tico deve ser definido de outra maneira.
Observando o movimento de cargas ele´tricas em campos magne´ticos,
notou-se que:
• A forc¸a magne´tica e´ proporcional a` carga da part´ıcula:
Fm ∝ q
• A forc¸a magne´tica e´ sempre perpendicular ao sentido de deslocamento
da part´ıcula:
~Fm · ~v = 0
• Se o deslocamento da part´ıcula e´ paralelo a` uma direc¸a˜o fixa, a forc¸a
magne´tica e´ nula. Caso contra´rio, a forc¸a magne´tica e´ proporcional
a` componente da velocidade que e´ perpendicular a` essa direc¸a˜o. Em
s´ıntese: sendo θ o aˆngulo entre o vetor velocidade (~v) e essa direc¸a˜o
fixa:
Fm ∝ v sin θ (10.2)
Todo esse comportamento pode ser descrito por meio da definic¸a˜o do vetor
campo magne´tico ~B1, cuja direc¸a˜o especifica simultaneamente a direc¸a˜o fixa
mencionada e a constante de proporcionalidade com a velocidade e a carga.
~Fm = q
(
~v × ~B
)
(10.3)
Utilizando as equac¸o˜es 10.1 e 10.3, demonstra-se que a forc¸a resultante
1Unidade do campo magne´tico:
[
~B
]
= T (tesla). 1T = 104G (gauss)=
wb
m2
(weber)
10.2. FORC¸A MAGNE´TICA EM FIOS 151
aplicada sobre uma carga ele´trica e´ dada por:
~F = ~Fe + ~Fm (10.4)
~F = q
(
~E + ~v × ~B
)
(10.5)
A equac¸a˜o 10.5 representa a Forc¸a de Lorentz, um dos axiomas da teoria
eletromagne´tica. Sua importaˆncia adve´m do fato dela ser a ponte entre a
dinaˆmica e o eletromagnetismo.
Observac¸a˜o: A forc¸a magne´tica NA˜O realiza trabalho, pois ela e´ sempre
perpendicular ao deslocamento da part´ıcula.
dW = ~Fm · d~l = q
(
~v × ~B
)
· ~v dt = 0
Segue que a forc¸a magne´tica na˜o pode alterar apenas a direc¸a˜o da veloci-
dade da carga (~v). Fica enta˜o a pergunta: Como um ı´ma˜ pode mover outro?
Veremos isso mais adiante.
10.2 Forc¸a magne´tica em fios
Vamos considerar um condutor pelo qual passa uma corrente ele´trica I,
imerso em um campo magne´tico ~B. Pode-se dizer que a quantidade de carga
que passa pela secc¸a˜o transversal do fio em um tempo dt e´:
dq = I dt (10.6)
De acordo com a equac¸a˜o 10.3, a forc¸a magne´tica aplicada nesse elemento
de carga e´:
d ~Fm = dq
(
~v × ~B
)
(10.7)
Substitu´ındo 10.6 em 10.7, temos:
152 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
d ~Fm = I dt
(
~v × ~B
)
d ~Fm = I
(
~v dt× ~B
)
d ~Fm = I
(
d~l × ~B
)
(10.8)
Onde ~dl possui a mesma direc¸a˜o e sentido da corrente. Enta˜o integrando
a equac¸a˜o 10.8 ao longo do comprimento do fio, encontramos a forc¸a aplicada
nesse corpo:
~Fm =
∫
Γ
I
(
d~l × ~B
)
(10.9)
Figura 10.1: Fio imerso em campo magne´tico
Como exemplo, fac¸amos uma ana´lise para o caso no qual a corrente e o
campo sa˜o constantes.
Como I e ~B na˜o variam, a integral apresentada em 10.9 fica da seguinte
maneira:
~Fm = I
∫
Γ
(
d~l
)
× ~B
 (10.10)
Se somarmos todos os vetores elementares de comprimento ( d~l) de um
fio, obtemos como resultado o vetor ~l, que liga as duas extremidades desse
10.3. TORQUE EM ESPIRAS 153
objeto. Portanto, a equac¸a˜o 10.10 torna-se:
~Fm = I
(
~l × ~B
)
(10.11)
Nota-se que, para fios fechados (espiras), o vetor ~l e´ nulo, portanto a forc¸a
magne´tica resultante e´ zero.
Figura 10.2: Forc¸a resultante na espira fechada e´ nula
Observac¸a˜o: A forc¸a magne´tica resultante e´ nula, mas o torque na˜o o e´!
10.3 Torque em espiras
Considere uma espira retangular imersa em um campo magne´tico ~B de tal
forma que seus fios estejam paralelos aos vetores do campo, como mostrado
na figura 10.3. Vamos calcular a forc¸a em cada lado da espira:
Figura 10.3: Espira retangular
154 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Lado 1:
~F1 = I
(
~l1 × ~B
)
= 0
Lado 2:
~F2 = I
(
~l2 × ~B
)
= IBa
(
−iˆ× jˆ
)
~F2 = −IBakˆ
Lado 3:
~F3 = I
(
~l3 × ~B
)
= 0
Lado 4:
~F4 = I
(
~l4 × ~B
)
= IBa
(
iˆ× jˆ
)
~F4 = IBakˆ
Agora e´ poss´ıvel calcular o torque das forc¸as ~F2 e ~F4 em relac¸a˜o ao eixo que
passa pelo centro da espira e e´ perpendicular aos fios 1 e 3, como mostrado
na Figura 10.4.
Figura 10.4: Ca´lculo do torque
Lado 2:
~τ2 = ~r2 × ~F2 =
(
− b
2
jˆ
)
×
(
−IBakˆ
)
~τ2 =
IBab
2
iˆ
Lado 4:
~τ4 = ~r4 × ~F4 =
(
b
2
jˆ
)
×
(
IBakˆ
)
10.3. TORQUE EM ESPIRAS 155
~τ4 = −IBab
2
iˆ
Enta˜o, o torque total e´:
~τ = ~τ2 + ~τ4 = IBabˆi
Nota-se que o produto ab e´ a a´rea da pro´pria espira. Pode-se estender
o resultado acima para uma espira qualquer de a´rea A percorrida por uma
corrente I. Sendo ~A um vetor normal a` superf´ıcie da espira com mo´dulo igual
a` A, o torque nesse objeto e´ dado por:
~τ = I ~A× ~B (10.12)
Para uma espira com N voltas, temos:
~τ = NI ~A× ~B (10.13)
Observando-se a importaˆncia do primeiro fator do membro direito da
equac¸a˜o 10.13 , define-se o momento de dipolo magne´tico ~µ como sendo:
~µ = NI ~A (10.14)
Logo a equac¸a˜o 10.13 pode ser escrita como2:
~τ = ~µ× ~B (10.15)
Exerc´ıcio 10.1. Em um dado instante, percebeu-se que uma bobina de N
voltas imersa em um campo magne´tico ~B apresentou uma acelerac¸a˜o angular
de rotac¸a˜o igual a` α. Sendo I seu momento de ine´rcia, calcule a a´rea da
bobina. Considere θ como sendo o aˆngulo entre o plano da bobina e o vetor
~B
Podemos calcular o torque de duas maneiras:
2analogia com a equac¸a˜o do momento de dipolo para a eletrosta´tica
156 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Figura 10.5: Espira imersa no campo magne´tico
τ = Iα
~τ = ~µ× ~B
Logo:
Iα =
∥∥∥~µ× ~B∥∥∥ (10.16)
Calculando o momento de dipolo magne´tico:
µ = i ~A = NiA~n (10.17)
Substitu´ındo 10.17 em 10.16 :
Iα = NiAB
∥∥∥~n×~j∥∥∥
Iα = NiAB cos θ
Enta˜o a a´rea e´:
A =
Iα
NiB cos θ
10.4. O MOVIMENTO CYCLOTRON 157
10.4 O Movimento Cyclotron
Um dos mecanismos utilizados em aceleradores de part´ıculas emprega campos
magne´ticos para que elas descrevam movimentos circulares. Tais aceleradores
sa˜o conhecidos como Cyclotrons.
Uma part´ıcula lanc¸ada em um campo magne´tico ~B com uma velocidade ~v
perpendicular a` ~B, como mostrado na Figura 10.6, realizara´ esse tipo de mo-
vimento, no qual a forc¸a magne´tica desempenha o papel de forc¸a centr´ıpeta.
Pode-se dizer enta˜o que:
Figura 10.6: Movimento de uma part´ıcula no Cyclotron
Fm = qvB =
mv2
R
(10.18)
Os aceleradores de part´ıculas permitem a obtenc¸a˜o de certas caracter´ısticas
importantes desses corpos, tais como o momento linear. Sendop = mv o mo-
mento linear de uma part´ıcula, pode-se manipular a equac¸a˜o 10.18 e chegar
ao seguinte resultado:
p = qBR (10.19)
Desse modo, basta lanc¸ar a part´ıcula no campo e medir o raio de seu
158 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
movimento para medir o seu momento linear.
Sabe-se que a frequ¨eˆncia angular do movimento circular e´ ω = v/R.
Manipulando a equac¸a˜o 10.18, tambe´m e´ poss´ıvel determinar a frequ¨eˆncia
cyclotron:
ω =
qB
m
(10.20)
Outro aspecto interessante relativo a` esse movimento e que, caso a part´ıcula
apresente uma componente da velocidade paralela ao campo magne´tico, ela
descrevera´ uma trajeto´ria helicoidal.
Figura 10.7: Movimento helicoidal
Exerc´ıcio 10.2. Um feixe de part´ıculas transitando por uma regia˜o com
campo magne´tico ~B e campo ele´trico ~E na˜o sofre acelerac¸o˜es. Depois,
retirou-se o campo magne´tico, enta˜o as part´ıculas passaram a executar um
movimento circular uniforme de raio R. Deˆ a relac¸a˜o carga/massa dessas
part´ıculas
No primeiro caso, as forc¸as ele´tricas e magne´ticas devem equilibrar-se
para que na˜o haja acelerac¸o˜es. Ou seja, a Forc¸a de Lorentz deve ser nula:
~F = q
(
~E + ~v × ~B
)
= 0
~E + ~v × ~B = 0
E = vB
v =
E
B
(10.21)
Para o segundo caso, temos um movimento cyclotron. De acordo com
10.5. A AUSEˆNCIA DE MONOPOLOS MAGNE´TICOS 159
a equac¸a˜o que fornece o momento linear das part´ıculas nesse movimento,
temos:
mv = qBR
q
m
=
v
BR
(10.22)
Encontramos a relac¸a˜o carga/massa por meio da substituic¸a˜o de 10.21
em 10.22:
q
m
=
E
B2R
Esse foi o processo pelo qual J. J. Thomson descobriu o ele´tron estudando
o comportamento de raios cato´dicos, em 1897.
10.5 A Auseˆncia de monopolos magne´ticos
Como foi dito anteriormente, nunca observaram-se monopolos magne´ticos, e
tal fenoˆmeno foi tomado como outro axioma da teoria eletromagne´tica. Isso
pode ser descrito matematicamente do seguinte modo, sendo S uma superf´ıcie
fechada e V o volume delimitado por essa superf´ıcie:∮
S
~B · d~S = 0
Aplicando o Teorema de Gauss, encontramos que:∮
S
~B · d~S =
∫
V
~∇ · ~B dV = 0
~∇ · ~B = 0 (10.23)
A equac¸a˜o 10.23 pertence a`s equac¸o˜es de Maxwell. Os principais signifi-
cados contidos nessa equac¸a˜o sa˜o:
160 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
• Auseˆncia de monopo´los magne´ticos
• As linhas do campo magne´tico sempre sa˜o fechadas
Na eletrosta´tica, vimos que ~∇ · ~E = ρ
�0
. Conclui-se que na˜o ha´ ana´logo
magne´tico para a carga ele´trica. Na˜o ha´ cargas magne´ticas por onde o campo
magne´tico possa emergir (nunca divergem de nenhum ponto!), pois ele so´
surge na presenc¸a de correntes ele´tricas. Observa-se tambe´m que as linhas
de campo magne´tico sa˜o sempre fechadas. Ale´m disso, pelo fato de o fluxo
atrave´s de uma superf´ıcie fechada ser igual a zero, todas as linhas que entram
nessa superf´ıcie devem sair. As linhas nunca comec¸am ou terminam em algum
lugar.
10.6 O Efeito Hall
Em 1979, E.H. Hall tentou determinar se a resisteˆncia de um fio aumentava
quando este estava na presenc¸a de um campo magne´tico, uma vez que os
portadores de carga deveriam se acumular num lado do fio. Vamos analisar
tal fenoˆmeno por meio da experieˆncia ilustrada na Figura 10.8.
Figura 10.8: Efeito Hall
Considere um condutor no qual o sentido da corrente e´ perpendicular ao
campo magne´tico. Os portadores de carga negativa acumular-se-a˜o em uma
das extremidades do condutor, logo a extremidade oposta apresentara´ uma
carga positiva, o que resultara´ no surgimento de um campo ele´trico ~EH no
interior do condutor. Os ele´trons sera˜o deslocados ate´ que as forc¸as ele´tricas
e magne´ticas entrem em equil´ıbrio, ou seja:
10.6. O EFEITO HALL 161
~Fe = ~Fm
Aplicando as equac¸o˜es 10.1 e 10.3, temos:
−e ~EH = −e
(
~v × ~B
)
~EH = ~v × ~B (10.24)
Considerando o campo constante no interior do condutor, podemos medir
a diferenc¸a de potencial entre as duas extremidades, denominada ddp Hall,
como sendo:
�H = EHd (10.25)
Nota-se que essa voltagem existe no sentido transversal a` corrente.
E´ poss´ıvel utilizar o Efeito Hall para investigar a natureza dos portadores
de carga no condutor, como mostrado nas Figuras 10.9 e 10.10, uma vez que
podemos prever como as cargas devem se comportar sob ac¸a˜o de campos
magne´ticos.
Figura 10.9: Efeito Hall para portadores de carga negativa
162 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Figura 10.10: Efeito Hall para portadores de carga positiva
10.7 A Lei de Biot Savart
10.7.1 Introduc¸a˜o
Na eletrosta´tica, a Lei de Coulomb permite analisar como se da´ a relac¸a˜o
entre o campo ele´trico e as cargas ele´tricas. Sera´ que existe uma lei corres-
pondente para a magnetosta´tica? A resposta e´ sim, e ela e´ conhecida como
a Lei de Biot-Savart, que sera´ discutida a seguir.
Como foi visto anteriormente, definimos o campo magne´tico por meio da
forc¸a magne´tica. Agora queremos defini-lo por meio de sua fonte, que e´ a
corrente ele´trica.
Figura 10.11: Movimento da carga em relac¸a˜o a` um ponto P
Observe a Figura 10.11. Experimentalmente, pode-se constatar que:
B ∝ qv
r2
~B⊥~v
~B⊥~r
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 163
Com base nisso, pode-se dizer que o elemento do campo magne´tico produ-
zido por um elemento de de carga em movimento obedece a` seguinte relac¸a˜o:
d ~B ∝ dq~v × rˆ
r2
(10.26)
d ~B ∝ dq d
~l
dt
× rˆ
r2
d ~B ∝ dq
dt
d~l × rˆ
r2
d ~B ∝ I d
~l × rˆ
r2
d ~B =
µ0
4pi
I
d~l × rˆ
r2
~B =
µ0
4pi
∫
I
d~l × rˆ
r2
(10.27)
A equac¸a˜o 10.27 e´ denominada lei de Biot-Savart.
A escolha da constante de proporcionalidade foi feita de modo a facilitar
os ca´lculos subsequ¨entes. No sistema MKS:
µ0
4pi
= 10−7
N
A2
Onde µ0 e´ a permeabilidade magne´tica do va´cuo.
10.7.2 Formas Alternativas
A Lei de Biot-Savart tambe´m pode ser escrita em termos da distribuic¸a˜o de
corrente. Sabendo que I = j dS, a equac¸a˜o 10.27 fica da seguinte maneira:
~B =
µ0
4pi
∫
jdS
d~l × rˆ
r2
(10.28)
Vamos aplicar a equac¸a˜o 10.28 para a situac¸a˜o ilustrada na Figura ???x.
Neste caso, o sistema Oxyz e´ um referencial fixo, enquanto o sistema Ox′y′z′
164 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
esta˜o situados no elemento de carga em estudo. Observe que ~R = ~r − ~r′.
Como ~j e d~l possuem a mesma direc¸a˜o, podemos dizer que j d~l = ~j dl. Ale´m
disso, sabendo que dl dS = dV , pode-se dizer que a Lei de Biot-Savart fica
da seguinte maneira:
~B (~r) =
µ0
4pi
∫ ~j (~r′)× Rˆ
R2
dv′
Vamos aplicar o divergente em relac¸a˜o ao sistema Oxyz:
~∇ · ~B (~r) = µ0
4pi
∫
~∇ ·
~j
(
~r′
)
× Rˆ
R2
 dv′ (10.29)
Aplicando a regra do divergente do produto vetorial3 ao divergente pre-
sente no membro direito da equac¸a˜o 10.29 :
~∇ ·
~j
(
~r′
)
× Rˆ
R2
 = −~j (~r′) · ~∇×( Rˆ
R2
)
+
Rˆ
R2
· ~∇×~j
(
~r′
)
Nota-se que
Rˆ
R2
= ~∇
(
− 1
R
)
. Logo ~∇×
(
Rˆ
R2
)
= 0 pois o rotacional do
gradiente e´ sempre nulo. Ale´m disso ~∇ × ~j
(
~r′
)
= 0 pois o rotacional esta´
aplicado em Oxyz enquanto ~j refere-se ao sistema Ox′y′z′. Obtemos enta˜o
que:
~∇ · ~B = 0
Isso corrobora a validade da Lei de Biot-Savart.
3~∇ ·
(
~A× ~B
)
= − ~A ·
(
~∇× ~B
)
+ ~B ·
(
~∇× ~A
)
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 165
10.7.3 Aspectos Interessantes
Um resultando interessante pode ser obtido ao combinar a Lei de Biot-Savart
com a equac¸a˜o 10.3 na seguinte situac¸a˜o: imagine uma carga q1 movendo-se
com velocidade ~v1 tendo ao seu redor uma outra carga q movendo-se com
velocidade ~v. Qual a forc¸a magne´tica que q imprimira´ em q1?
A ana´lise inicia-se por meio da integrac¸a˜oda equac¸a˜o 10.26, empregando,
antes, a constante de proporcionalidade. Encontramos enta˜o que:
~B =
µ0
4pi
q
~v × rˆ
r2
(10.30)
Substitu´ındo a equac¸a˜o 10.30 na equac¸a˜o 10.3 aplicada para a carga q1:
~Fm = q1~v1 × ~B = q1~v1 ×
(
µ0
4pi
q
~v × rˆ
r2
)
Multiplicando e dividindo o membro direito por µ0:
~Fm = µ0�0~v1 ×
(
~v × qq1rˆ
4pi�0r2
)
Mas, pela Lei de Coulomb:
~Fe =
qq1rˆ
4pi�0r2
Ale´m disso, sabendo que c2 = µ−10 �
−1
0 , temos:
~Fm =
~v1
c
×
(
~v
c
× ~Fe
)
Se considerarmos v << c, encontramos que:
~Fm ≤ vv1
c2
~Fe (10.31)
A equac¸a˜o 10.31 diz que para velocidades pequenas comparadas com a
velocidade da luz, a interac¸a˜o magne´tica sera´ muito menor que a interac¸a˜o
166 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
ele´trica. Como Fm << Fe, pode parecer, a` primeira vista, que a forc¸a
magne´tica poderia ser desprezada em comparac¸a˜o com a forc¸a ele´trica, pore´m
existem sistemas de part´ıculas onde isso na˜o e´ assim. De fato, numa corrente
de conduc¸a˜o, onde esta˜o presentes cargas positivas e negativas em iguais den-
sidades, o campo ele´trico macrosco´pico e´ nulo, pore´m o campo magne´tico das
cargas em movimento na˜o o e´.
Outro aspecto importante que pode ser derivado por meio da Lei de Biot-
Savart e´ uma relac¸a˜o entre o campo ele´trico e o campo magne´tico gerado
por uma mesma part´ıcula. Multiplicando o numerador e o denominador da
equac¸a˜o 10.30 por �0:
~B =
µ0�0
4pi�0
q
~v × rˆ
r2
~B =
~v × ~E
c2
10.7.4 Aplicac¸o˜es da Lei de Biot-Savart
Agora vejamos alguns exemplos nos quais se aplica a Lei de Biot-Savart:
Exerc´ıcio 10.3. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo ele´trico
nas vizinhanc¸as de um fio reto.
Figura 10.12: Campo gerado por um fio reto
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 167
Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:
~B =
µ0
4pi
∫
I
d~l × rˆ
r2
=
µ0
4pi
∫
I
d~l × ~r
r3
Para o fio reto, vale:
d~l = dxiˆ
~r = −xiˆ+ djˆ
Enta˜o, fazendo as devidas substituic¸o˜es:
~B =
µ0
4pi
l/2∫
−l/2
I
dxiˆ× r
(
−xiˆ+ djˆ
)
(x2 + d2)
3/2
~B =
µ0
4pi
l/2∫
−l/2
I
ddx
(x2 + d2)
3/2
kˆ
~B =
µ0Id
4pi
1
d2
x
(x2 + d2)
1/2
∣∣∣∣∣∣
l
2
−l
2
Logo o campo e´:
~B =
µ0I
4pid
l(
l2
4
+ d2
)1/2 kˆ
Note que se considerarmos o fio como sendo infinito (l >> d), o campo
sera´:
168 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
~B =
µ0I
2pid
kˆ
Exerc´ıcio 10.4. Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo ele´trico
no eixo de uma espira circular.
Figura 10.13: Campo gerado por uma espira circular
Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo:
~B =
µ0
4pi
∫
I
d~l × rˆ
r2
=
µ0
4pi
∫
I
d~l × ~r
r3
Para a espira, vale:
d~l = a dθθˆ
~r = −aˆi+ zjˆ
Pela simetria do problema, so´ teremos campo paralelo ao eixo da espira.
Logo precisamos calcular apenas uma componente do campo gerado por cada
elemento de corrente:
d ~B = d ~B1 cosα
10.7. A LEI DE BIOT SAVART 169
Onde:
cosα =
a√
a2 + z2
Enta˜o, aplicando a Lei de Biot-Savart (para calcular apenas o elemento
de campo):
d ~B =
µ0
4pi
I
d~l × ~r
r3
cosα
Fazendo as devidas substituic¸o˜es:
d ~B =
µ0
4pi
Ia
(z2 + a2)
3/2
adθkˆ
Integrando de 0 a 2pi para cobrir toda a espira, encontramos o campo
desejado:
~B =
µ0Ia
2
2 (a2 + z2)
3/2
kˆ
Exerc´ıcio 10.5. Para criar regio˜es com campos magne´ticos constantes em
laborato´rio, empregam-se as bobinas de Helmholtz, esquematizadas na Fi-
gura 10.14.Calcule o valor do campo ao longo do eixo das bobinas e o ponto
no qual o campo e´ magne´tico e´ maximo :
O campo gerado por uma espira circular e´:
~B (z) =
µ0Ia
2
2 (a2 + z2)
3/2
kˆ
Enta˜o, usando o princ´ıpio da superposic¸a˜o para as duas espiras, o campo
ao longo do eixo e´:
~B (z) =
µ0Ia
2
2
 1
(a2 + z2)
3/2
+
1(
a2 + (2b− z)2)3/2
 kˆ
170 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Figura 10.14: Bobinas de Helmholtz
Para calcular o ponto no qual o campo magne´tico apresenta valor ma´ximo,
basta encontrarmos o valor de z tal que a derivada da func¸a˜o acima se anula:
d ~B (z)
dz
=
µ0Ia
2
2
−3
2
2z
(a2 + z2)
5/2
− 3
2
2 (2b− z) (−1)(
a2 + (2b− z)2)5/2
 kˆ
Vemos que:
d ~B (z)
dz
= 0⇒ z = b
Agora veremos a condic¸a˜o para que o campo nesse ponto seja aproxima-
damente constante. Derivando mais uma vez a func¸a˜o do campo magne´tico:
d2 ~B (z)
dz2
∣∣∣∣∣
z=b
= 0⇒ a2 − 4b2 = 0⇒ 2b = a
A condic¸a˜o e´ que a separac¸a˜o das bobinas seja igual ao raio.
Fazendo a expansa˜o em se´ries de Taylor, e´ poss´ıvel calcular o qua˜o pro´ximo
esse campo esta´ de um campo constante:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 171
Sabendo que B′′(a/2) = B′′′(a/2) = 0, a expansa˜o fica:
~B (z) ≈ B
(a
2
)
+
1
24
(
z − a
2
)4 ∂4B
∂z4
∣∣∣∣
z=
a
2
+ ...
~B (z) = B
(a
2
)[
1− 144
125
(
z − a/2
a
)4]
A partir desse resultado, e´ poss´ıvel inferir que, para |z − a/2| < a/10 ⇒
B (z) 6= B (a/2), o campo varia em menos de uma parte e meia em dez mil.
10.8 A Lei Circuital de Ampe`re
10.8.1 Introduc¸a˜o
As experieˆncias de Oersted, ale´m de comprovarem que correntes ele´tricas
geram campos magne´ticos ao seu redor, motivou a comunidade cient´ıfica a
compreeender a relac¸a˜o entre fenoˆmenos ele´tricos e magne´ticos. Apo´s tais
experimentos, uma semana foi tempo suficiente para que Ampere deduzisse
a apresentasse sua lei. Enquanto que a Lei de Biot-Savart corresponde a` Lei
de Coulomb, a Lei de Ampe`re faz a vez da Lei de Gauss na magnetosta´tica.
Considere um fio infinito por onde passa uma corrente I, como mostrado
na Figura 10.15. Utilizando a Lei de Biot-Savart, demonstrou-se que o campo
gerado nesse caso e´ dado por:
Figura 10.15: Fio infinito
172 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
~B =
µ0I
2pir
θˆ
Calcularemos a circulac¸a˜o do campo magne´tico por meio de va´rios cami-
nhos ao redor do fio.
Considerando, inicialmente, o caminho como sendo um c´ırculo:
Figura 10.16: Caminho ao redor do fio para ca´lculo da circulac¸a˜o
∮
Γ
~B · d~l = µ0I
2pir
2pir = µ0I
Vamos calcular a circulac¸a˜o pora outro caminho:
Figura 10.17: Caminho ao redor do fio para ca´lculo da circulac¸a˜o
∮
Γ
~B · d~l =
∮
Γ1
~B · d~l +
∮
Γ2
~B · d~l +
∮
Γ3
~B · d~l +
∮
Γ4
~B · d~l
Como os vetores ~B e d~l sa˜o paralelos para os fios 2 e 4, as integrais para
Γ2 e Γ4 sa˜o nulas. Logo temos o seguinte resultado:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 173
∮
Γ
~B · d~l = µ0I
2pir1
pir1 + 0 +
µ0I
2pir2
pir2 = µ0I
Mais um caminho para calcular:
Figura 10.18: Caminho ao redor do fio para ca´lculo da circulac¸a˜o
∮
Γ
~B · d~l =
∮
Γ1
~B · d~l +
∮
Γ2
~B · d~l +
∮
Γ3
~B · d~l +
∮
Γ4
~B · d~l
A mesma observac¸a˜o feita para os fios 2 e 4 anteriormente valem para
esse caso. Enta˜o temos:∮
Γ
~B · d~l = µ0I
2pir1
θr1 + 0 +
µ0I
2pir2
(2pi − θ) r2 = µ0I
Obsevou a semelhanc¸a dos resultados? Enta˜o vamos generaliza´-los para
um caminho qualquer.
Figura 10.19: Caminho ao redor do fio para ca´lculo da circulac¸a˜o
174 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Em coordenadas cil´ındricas:
d~l = drrˆ + r dθθˆ + dzkˆ
Sabendo que ~B = Bθˆ, encontramos que:
~B · d~l = Br dθ = µ0I
2pir
r dθ =
µ0I
2pi
dθ
Fazendo a integral ao redor do fio:
∮
Γ
~B · d~l =
∮
Γ
µ0I
2pi
dθ =
2pi∫
0
µ0I
2pi
dθ =
µ0I
2pi
2pi
Disso resulta a Lei de Ampe`re:∮
Γ
~B · d~l = µ0Iint (10.32)
Observac¸a˜o: Na Lei de Coulomb, utiliza´vamos SUPERFI´CIES que en-
volviam as cargas para fazer o ca´lculo do campo ele´trico,mas na Lei de
Ampe`re, precisamos criar CURVAS que envolvam os condutores a fim de
calcular o campo magne´tico.
Assim como a Lei de Coulomb, a Lei de Ampe`re sempre e´ va´lida. No
entanto sua maior utilidade se da´ em casos nos quais e´ poss´ıvel notar simetria
no campo magne´tico, como sera´ mostrado no exerc´ıcios mais adiante.
10.8.2 A forma diferencial da Lei de Ampe`re
Aplicando o Teorema de Stokes no membro esquerdo da equac¸a˜o 10.32:∮
Γ
~B · d~l =
∫
S
∫ (
~∇× ~B
)
· d~S (10.33)
Analisando o membro direito da equac¸a˜o 10.32:
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 175
µ0I = µ0
∫
S
∫
~j · d~S (10.34)
Pela pro´pria Lei de Ampe`re, podemos igualar 10.33 e 10.34, encontrando
que: ∫
S
∫ (
~∇× ~B
)
· d~S = µ0
∫
S
∫
~j · d~S
Finalmente, temos a forma diferencial da Lei de Ampe`re:
~∇× ~B = µ0~j (10.35)
Se aplicarmos o divergente na equac¸a˜o 10.35
~∇ ·
(
~∇× ~B
)
= µ0~∇ ·~j
~∇ ·~j = 0
Percebe-se algo importante diante desse resultado: a Lei de Ampe`re e´
va´lida apenas para correntes estaciona´rias4
10.8.3 Aplicac¸o˜es da Lei de Ampe`re
Seguem alguns exemplos nos quais e´ fundamental a aplicac¸a˜o da Lei de
Ampe`re para a resoluc¸a˜o dos problemas:
Exerc´ıcio 10.6. Calcule o campo magne´tico, em todo o espac¸o, gerado por
um ciclindro infinito percorrido por uma corrente I.
Devido a` simetria cil´ındrica do problema, podemos escolher amperianas
circulares para calcular o campo no interior e ao redor do fio, pois o campo
magne´tico sera´ constante ao longo de toda a curva, facilitando a integrac¸a˜o.
4corrente estaciona´ria:
dρ
dt
= 0
176 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Figura 10.20: Cilindro condutor
• Para r > R (Figura 10.21):
Figura 10.21: Amperiana fora do cilindro
∮
Γ1
~B · d~l = µ0I → B2pir = µ0I
~B =
µ0I
2pir
θˆ
• Para r < R (Figura 10.22):
∮
Γ2
~B · d~l = µ0Iint → B2pir = µ0I pir
2
piR2
~B =
µ0Ir
2piR2
θˆ
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 177
Figura 10.22: Amperiana dentro do cilindro
Sintetizando os resultados na forma de um gra´fico:
Figura 10.23: Campo magne´tico gerado por um cilindro infinito
Exerc´ıcio 10.7. Calcule o campo magne´tico, em todo o espac¸o, gerado por
um cabo coaxial percorrido por correntes de mesma intensidade mas de sen-
tidos opostos em cada face.
Vamos dividir o espac¸o em 4 regio˜es e aplicar a Lei de Ampe`re para cada
uma delas:
• Para r < a:
Para determinar a corrente interna a` amperiana, vamos considerar que
178 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Figura 10.24: Cabo coaxial
a densidade de corrente ao longo do cabo e´ constante e igual a` j, logo
sendo pir2 a a´rea delimintada pela amperiana:
j =
Iint
pir2
=
I
pia2
Iint =
r2
a2
Aplicando a Lei de Ampe`re:
B2pir = µ0I
r2
a2
→ ~B = µ0Ir
2pia2
θˆ
• Para a < r < b:
A corrente interna a` amperiana sera´ sempre a corrente total que passa
pelo cabo interno, logo pela Lei de Ampe`re:
B2pir = µ0I → ~B = µ0I
2pir
θˆ
• Para b < r < c:
A corrente interna a` amperiana sera´ a corrente total que passa pelo
cabo interno menos a corrente que passa pela porc¸a˜o do cabo externo
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 179
delimitada pela curva. Considerando tambe´m a densidade de corrente
constante no cabo externo:
Iint = I − r
2 − b2
c2 − b2
Aplicando a Lei de Ampe`re:
B2pir = µ0I − µ0Ipi (r
2 − b2)
pi (c2 − b2) θˆ →
~B =
µ0I
2pir
(
1− r
2 − b2
c2 − b2
)
θˆ
~B = µ0I
(
c2 − r2
c2 − b2
)
θˆ
• Para r > c:
A corrente interna a` amperiana sera´ a soma das correntes que passam
pelo cabo interno e pelo cabo externo. Como as duas correntes possuem
a mesma intensidade mas possuem sentidos opostos, a soma sempre sera´
nula. Enta˜o, pela Lei de Ampe`re:
~B = 0
Exerc´ıcio 10.8. Considere dois soleno´ides infinitos conceˆntricos de raios a
e b. Calcule o campo magne´tico em todo o espac¸o. As correntes de cada
soleno´ide possuem mesma intensidade mas teˆm sentidos contra´rios.
Primeiro vamos analisar o campo gerado por um soleno´ide para depois
empregar o princ´ıpio da superposic¸a˜o
Observa-se que a corrente no interior da amperiana (Figura: 10.26) de-
pende do nu´mero de espiras englobadas:
Iint = NI
Aplicando enta˜o a Lei de Ampe`re:
180 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Figura 10.25: Soleno´ides
Figura 10.26: Amperiana no interior do soleno´ide
∫
Γ
~B · d~l =
∫
Γ1
~B · d~l
︸ ︷︷ ︸
=0pois ~B=0
+
∫
Γ2
~B · d~l
︸ ︷︷ ︸
=0pois ~B⊥d~l
+
∫
Γ3
~B · d~l +
∫
Γ4
~B · d~l
︸ ︷︷ ︸
=0pois ~B⊥ d~l
Logo:
∫
Γ
~B · d~l = µ0I → Bdentrol = µ0NI → Bdentro = µ0N
l
I = µ0nI
onde n =
N
l
indica a densidade de espiras do soleno´ide
Agora, fac¸amos uma amperiana para calcular o campo fora do soleno´ide
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 181
(Figura: 10.27) :
Figura 10.27: Amperiana externa ao soleno´ide
Note que, neste caso, a corrente interna a` curva e´ zero. Portanto o campo
magne´tico fora do soleno´ide infinite e´ nulo:
Bfora = 0
Agora, vamos usar o princ´ıpio da superposic¸a˜o para calcular o campo
para os dois soleno´ides.
• Para r < a :
Neste caso, temos a influeˆncia dos campos dos dois soleno´ides. Sendo
~B1 o campo gerado pelo soleno´ide interno e ~B2 o campo gerado pelo
soleno´ide externo:
~B = ~B1 − ~B2 = µ0In1 − µ0In2
~B = µoI (n1 − n2)
• Para a < r < b :
Aqui, temos influeˆncia apenas do soleno´ide externo
182 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
~B = −µ0In2 (10.36)
• Para r > b :
Como estamos fora de ambos os soleno´ides, o campo neste caso e´ nulo
~B = 0
Exerc´ıcio 10.9. Considere um cilindro de raio a com uma cavidade cil´ındrica
de raio b. A distaˆncia entre os centros dos cilindros e´ d. Sendo j a densidade
de corrente no condutor, qual e´ o campo magne´tico no interior da cavidade?
Figura 10.28: Condutor com cavidade
Considere como sendo ~x a posic¸a˜o do ponto em questa˜o em relac¸a˜o ao
eixo do condutor e ~y como sendo a posic¸a˜o do ponto em relac¸a˜o ao eixo da
cavidade:
Para resolver esse exerc´ıcio, sera´ necessa´ria a utilizac¸a˜o do princ´ıpio da
superposic¸a˜o. Observe que a configurac¸a˜o final do sistema pode ser obtida se
somarmos dois cilindros com sentidos de correntes opostos, como apresentado
na Figura 10.30 :
Portanto, devemos calcular o campo gerado pelo cilindro maior em um
ponto que dista x do seu eixo e somar com o campo gerado pelo cilindro
10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPE`RE 183
Figura 10.29: Posicionamento do ponto
Figura 10.30: Princ´ıpio da superposic¸a˜o
menor em um ponto que dista y de seu centro.
• Cilindro maior
Figura 10.31: Lei de Ampe`re para cilindro maior
184 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
∮
Γ
−→
B · d−→l = µ0Iint
B12pix = µ0jpix
2
~B1 =
µ0jx
2
−→
θ
~Bx =
µ0
2
(−→
j ×−→x
)
• Cilindro menor
Figura 10.32: Lei de Ampe`re para cilindro menor
∮
Γ
−→
B · d−→l = µ0Iint
B22piy = µ0jpiy
2
~B2 =
µ0jy
2
−→ϕ
~B2 =
µ0
2
(−→
j ×−→y
)
Como os sentidos das correntes sa˜o opostos, o campo resutante sera´:
−→
B =
−→
B 1 −−→B 2−→
B =
µ0
2
(−→
j ×−→x
)
− µ0
2
(−→
j ×−→y
)
−→
B =
µ0
2
(−→
j × (−→x −−→y )
)
Mas a seguinte relac¸a˜o sempre e´ va´lida: ~x − ~y = ~d . Portanto o campo
no interior da cavidade e´ constante e igual a`:
−→
B =
µ0
2
(−→
j ×−→d
)
10.9. POTENCIAL VETOR 185
Exerc´ıcio 10.10. Calcule o campo no centro da sec¸a˜o circular de um toro´ide
de N espiras.
Figura 10.33: Toro´ide
Vamos passar uma amperiana no interior do toro´ide
Figura 10.34: Amperiana no toro´ide
Temos que a corrente interna a` amperiana sera´ Iint = NI. Logo∫
~B · d~l = µ0Iint → B2pir = µ0NI → ~B = µ0NI
2pir
θˆ
10.9 PotencialVetor
As 4 equac¸o˜es que sintetizam a teoria eletromagne´tica vistas ate´ agora sa˜o:
ELETROSTA´TICA
~∇ · ~E = ρ0
�0
(10.37)
~∇× ~E = 0 (10.38)
186 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
MAGNETOSTA´TICA
~∇ · ~B = 0 (10.39)
~∇× ~B = µ0~j (10.40)
Para a eletrosta´tica, devido a` equac¸a˜o 10.38, percebe-se que o campo
ele´trico e´ um campo conservativo. Logo foi poss´ıvel definir o potencial ele´trico
da seguinte forma:
~∇× ~E = 0⇒ ~E =
(
−~∇V
)
Aplicando esse resultado a` equac¸a˜o 10.38:
~∇ · ~E = ~∇ ·
(
−~∇V
)
= −∇2V
Segue que:
∇2V = −ρ0
�0
Sera´ que e´ poss´ıvel definir um potencial ana´logo para o campo magne´tico?
Sabe-se que ~∇ · ~B = 0. A partir disso, pode-se inferir que ~B e´ um campo
rotacional. Em outras palavras, e´ poss´ıvel encontrar um campo vetorial tal
que seu rotacional resulta no campo magne´tico. Esse campo e´ denominado
potencial vetorial
(
~A
)
, que e´ definido do seguinte modo:
~∇ · ~B = 0⇒ ~B =
(
~∇× ~A
)
(10.41)
Aplicando esse resultado a` equac¸a˜o 10.40:
~∇× ~B = ~∇×
(
~∇× ~A
)
= ~∇
(
~∇ · ~A
)
−∇2 ~A
Como pode-se determinar mais de um campo que satisfac¸a a equac¸a˜o
10.41, e´ permitido escolher adequadamente um campo ~A tal que ~∇ · ~A = 05.
5Denomina-se isso como escolha de calibre, ou escolha de gauge
10.9. POTENCIAL VETOR 187
Segue enta˜o que:
~∇× ~B = −∇2 ~A
∇2 ~A = −µ0~j (10.42)
Observac¸a˜o: ∇2 ~A na˜o e´ o operador Laplaciano, pois esta´ sendo aplicado
a um campo vetorial. Na verdade, temos que:
∇2 ~A = ~∇
(
~∇ · ~A
)
− ~∇×
(
~∇× ~A
)
Particularmente, para coordenadas cartesianas:
∇2Ax = −µ0jx
∇2Ay = −µ0jy
∇2Az = −µ0jz
Outras formas de expressar o potencial vetor em func¸a˜o das densidades
de corrente6 sa˜o:
• Densidade volume´trica
~A (~r) =
µ0
4pi
∫ ~j (~r′) dv′∣∣∣~r − ~r′∣∣∣ (10.43)
• Densidade superficial
~A (~r) =
µ0
4pi
∫ ~k (~r′) ds′∣∣∣~r − ~r′∣∣∣ (10.44)
6~r:posic¸a˜o do ponto em relac¸a˜o ao referencial fixo. ~r′: posic¸a˜o do ponto em relac¸a˜o a
um elemento de carga. (ver Figura 10.11)
188 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
• Densidade linear
~A (~r) =
µ0
4pi
∫ ~I (~r′) dl′∣∣∣~r − ~r′∣∣∣ (10.45)
Fac¸amos alguns exemplos:
Exerc´ıcio 10.11. Calcule o potencial vetor para um fio finito percorrido por
uma corrente I.
Figura 10.35: Fio finito
Vamos aplicar a equac¸a˜o que fornece o potencial vetor em func¸a˜o da
densidade linear de carga (equac¸a˜o 10.45 ):
~A =
µ0
4pi
∫ ~Idzkˆ
r
, comr =
√
z2 + s2
~A =
µ0I
4pi
∫ dz√
z2 + s2
kˆ → ~A = µ0I
4pi
ln
(
z +
√
z2 + s2
)∣∣z2
z1
kˆ → ~A = µ0I
4pi
ln
(
z2 +
√
z22 + s
2
z1 +
√
z21 + s
2
)
kˆ
Observe que se aplicarmos o rotacional ao resultado, obtemos o vetor ~B:
10.10. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO NA MAGNETOSTA´TICA 189
~∇× ~A =
(
∂As
∂z
− ∂Az
∂s
)
θˆ.Assim,
~B = ~∇× ~A = −∂Az
∂s
θˆ = − ∂
∂s
[
µ0I
4pi
ln
(
z2 +
√
z22 + s
2
z1 +
√
z21 + s
2
)]
θˆ
~B
Exerc´ıcio 10.12. (Griffths, pa´g , ex: 5.23) Qual densidade de corrente pro-
duziria um vetor potencial ~A = k ˆphi, em coordenadas cil´ındricas (k e´ cons-
tante)?
Para resolver esse exerc´ıcio, primeiro aplicaramos o rotacional em ~A para
determinar o campo magne´tico. Depois aplicaremos o rotacional em ~B para
determinar a densidade de corrente, de acordo com as equac¸o˜es da magne-
tosta´tica.
Observac¸a˜o: aplicar o rotacional em coordendadas cil´ındricas
Aφ = k ⇒ ~B = ~∇× ~A = 1
ρ
∂
∂ρ
(ρAρ) kˆ =
Aφkˆ
ρ
=
k
ρ
kˆ ~B = Bzkˆ
~∇× ~B = µ0 ~J ⇒ ~j = 1
µ0
(
~∇× ~B
)
=
1
µ0
(
−∂Bz
∂ρ
)
φˆ = +
k
µ0ρ2
φˆ
10.10 Condic¸o˜es de Contorno na Magnetosta´tica
Vimos que existe uma descontinuidade no campo ele´trico em de superf´ıcies
carregadas, no sentido perpendicular a` essa superf´ıcie. Da mesma forma, o
campo magne´tico tambe´m e´ descont´ınuo numa superf´ıcie de corrente. Para
facilitar a ana´lise desse fenoˆmemo, vamos divid´ı-lo em 3 etapas, uma para
cada componente do campo magne´tico7:
7B⊥ = B⊥superficie, B//// = B
//corrente
//corrente , B
//
⊥ = B
//superficie
⊥corrente
190 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
10.10.1 Componente perpendicular a` superf´ıcie
Considere uma superf´ıcie percorrida por uma corrente I, cuja densidade su-
perficial e´ ~k. Vamos envolver uma porc¸a˜o dessa superf´ıcie por um retaˆngulo
cujas faces possuem a´rea A, como mostrado na Figura 10.36.
Figura 10.36: Superf´ıcie fechada para ca´lculo do fluxo de B⊥
Como na˜o ha´ monopo´los magne´ticos:∮
S
~B · d~S = 0
Considerando apenas a componente do campo perpendicular a` superf´ıcie,
teremos fluxo apenas na face superior e inferior do retaˆngulo, portanto:∮
S
~B · d~S = B⊥acimaA−B⊥abaixoA = 0
B⊥acima = B
⊥
abaixo
Logo essa componente e´ cont´ınua.
10.10.2 Componente paralela a` superf´ıcie e paralela a`
direc¸a˜o da corrente
Para a mesma superf´ıcie descrita anteriormente, vamos trac¸ar uma amperi-
ana da forma como esta´ apresentada na Figura 10.37 .
10.10. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO NA MAGNETOSTA´TICA 191
Figura 10.37: Amperiana para ca´lculo de B
//
//
Nota-se que a corrente que passa pelo interior da amperiana e´ nula. Enta˜o,
aplicando a Lei de Ampe`re (10.32):∮
Γ
~B · d~l = B////acimal −B////abaixol = 0
B
//
//acima = B
//
//abaixo
Logo essa componente tambe´m e´ cont´ınua.
10.10.3 Componente paralela a` superf´ıcie e perpendi-
cular a` direc¸a˜o da corrente
Agora, ainda na mesma superf´ıcie, trac¸aremos uma outra amperiana, desta
vez em outra direc¸a˜o, como mostrado na Figura 10.38 .
Figura 10.38: Amperiana para ca´lculo de B⊥//
A corrente que passa pelo interor da amperiana e´ Iint = kl. Aplicando a
192 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Lei de Ampe`re (10.32) encontramos que:∮
Γ
~B · d~l = B//⊥acimal −B//⊥abaixol = µ0Iint
B
//
⊥acimal −B//⊥abaixol = µ0kl
B
//
⊥acima −B//⊥abaixo = µ0k
~B
//
⊥acima − ~B//⊥abaixo = µ0
(
~k × ~n
)
Conclui-se que o campo magne´tico, na direc¸a˜o paralela a` superf´ıcie e
perpendicular ao sentido da corrente, e´ descont´ınuo.
10.11 Expansa˜o em multipo´los
Assim como foi feito para o campo ele´trico, buscaremos uma forma de expres-
sar o potencial vetorial em uma se´rie de poteˆncias de
1
r
, onde r e´ a distaˆncia
do multipolo ate´ o ponto em questa˜o. A ide´ia e´ que esta equac¸a˜o seja u´til
para analisar o comportamento do campo magne´tic a` grandes distaˆncias.
Considere a espira apresentada na Figura 10.39 .
Figura 10.39: Posic¸a˜o do ponto P em relac¸a˜o a` espira
Vimos na Sec¸a˜o 10.9 que o potencial vetor, para densidades lineares, e´
dado por:
10.11. EXPANSA˜O EM MULTIPO´LOS 193
~A (~r) =
µ0
4pi
∮
Γ
~I
(
~r′
)
dl′∣∣∣~r − ~r′∣∣∣ (10.46)
Podemos reescrever o denominador do integrando da seguinte maneira:
1∣∣∣−→r −−→r′ ∣∣∣ = 1√r2 + r′2 − 2rr′ cos θ′ = 1r
∞∑
n=0
(
r′
r
)n
pn cos θ
′ (10.47)
Onde pn e´ o Polinoˆmio de Legendre
8. Considerando a corrente cons-
tante e substitu´ındo 10.47 em 10.46 , encontramos a expressa˜o de multipo´los
magne´ticos:
~A (~r) =
µ0I
4pi
∞∑
n=0
1
rn+1
∮
Γ
(r′)n pn cos (θ
′) d~l′
E´ interessante notar que o termo correspondente ao monopo´lo (n=0) e´
1
r
∮
Γ
d~l′ = 0, o que esta´ de acordo com os observac¸o˜es. Enta˜o, o termo mais
importante da sequeˆncia corresponde ao dipolo magne´tico (n=1):
~Adipolo =
µ0I
4pir2
∮
Γ
(
rˆ · ~r′
)
d~l′ =
µ0
4pir2
~µ× rˆ
Onde µ e´ o momento de dipolo magne´tico definido na equac¸a˜o 10.14.
8Pn(x) =
1
2nn!
(
d
dx
)n (
x2 − 1)n
194 CAPI´TULO 10. MAGNETOSTA´TICA
Cap´ıtulo 11
Lei da Induc¸a˜o
Com as experieˆncias de Oersted,viu-se que correntes ele´tricas geram campos
magne´ticos. Ficou enta˜o a seguinte du´vida: Pode o campo magne´tico gerar
corrente? Michael Faraday (1791-1867), um dos maiores f´ısicos experimen-
tais, interessou-se em descobrir e estudar essa relac¸a˜o.
Em 1831, Faraday montou dois soleno´ides, com 70 metros de fio de co-
bre em cada. Os dois foram concatenados, mas um foi ligado a` um gerador,
enquanto o outro foi conectado a um galvanoˆmetro, como mostrado na Fi-
gura 11.1 .
Figura 11.1: Soleno´ides concatenados
195
196 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Notou-se quando uma corrente cont´ınua passava pelo soleno´ide 1, o gal-
vanoˆmetro na˜o acusava passagem de corrente. No entanto, sempre que a
chave era ligada ou desligada, surgia uma corrente no circuito 2. Isso le-
vou Faraday a supor que a forc¸a eletromotriz no circuito 2 resultava de uma
variac¸a˜o do campo magne´tico no interior dos soleno´ides. Continuando seus
experimentos, ele construiu o circuito apresentado na Figura 11.2 .
Figura 11.2: Experimento de Faraday
Quando um ı´ma˜ era aproximado ou afastado do soleno´ide, observava-se
uma deflexa˜o do galvanoˆmetro. Se o ı´ma˜ permanecesse imo´vel em relac¸a˜o ao
circuito, a deflexa˜o era nula. Ainda nesse experimento, Faraday notou que a
a´rea dos soleno´ides tambe´m influenciava na forc¸a eletromotriz induzida.
Suas descobertas podem ser sintetizadas em termos matema´ticos da se-
guinte maneira:
�ind ∝ dB
dt
�ind ∝ A
Para melhor compreender esse fenoˆmeno, precisamos definir o que e´ fluxo
magne´tico.
11.1 O Fluxo Magne´tico
Vimos que a forc¸a eletromotriz depende tanto da variac¸a˜o do campo magne´tico
quanto da a´rea dos soleno´ides. A grandeza que relaciona o vetor ~B e a a´rea
11.2. A LEI DE LENZ 197
S permeada por esse campo e´ denominada de fluxo magne´tico , e e´ definida
como:
φB = ~B · ~S = BS cos θ (11.1)
Ate´ agora, tendo em vista as constatac¸o˜es de Faraday, podemos dizer que:
|�ind| = dφB
dt
(11.2)
Substitu´ındo 11.1 em 11.2 :
|�ind| = dB
dt
A cos θ +B
dA
dt
−BA sen θ dθ
dt
(11.3)
Percebe-se enta˜o que e´ poss´ıvel induzir corrente em uma espira imersa em
um campo magne´tico por meio dos seguintes me´todos:
• variando a intensidade do campo.
• variando a a´rea como tempo
• variando o aˆngulo entre os vetores ~A e ~B com o tempo
Ainda podemos analisar o fenoˆmeno da induc¸a˜o levando em conta a cor-
rente induzida. Sabe-se que �ind = RIind, logo:
Iind =
1
R
∣∣∣∣ dφBdt
∣∣∣∣
11.2 A Lei de Lenz
Vimos que a variac¸a˜o do fluxo magne´tico gera corrente ele´trica em conduto-
res. Mas o que determina o sentido da corrente induzida? Isso e´ explicado
pela Lei de Lenz:
A corrente induzida produz um campo magne´tico que tende
se opoˆr a` variac¸a˜o do fluxo magne´tico que a gerou
198 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Considere o exemplo da Figura 11.3. Se o ı´ma˜ aproxima-se da espira, o
fluxo magne´tico no interior desta aumentara´, enta˜o deve surgir uma corrente
no sentido anti-hora´rio para reduzir o fluxo. Caso o ı´ma afaste-se da espira, o
fluxo no interior desta diminuira´, logo, pela Lei de Lenz, surge uma corrente
no sentido hora´rio.
Figura 11.3: Deflexa˜o do galvanoˆmetro
Se aplicarmos a Lei de Lenz na 11.2 , teremos a Lei de Faraday:
�ind = − dφB
dt
(11.4)
O sinal negativo representa a resisteˆncia que o circuito apresenta a` va-
riac¸a˜o do fluxo magne´tico
E´ interessante notar que se fizermos a integral de linha do campo ele´trico
na espira, teremos: ∮
Γ
~E · d~l = �ind (11.5)
Ora, vimos na eletrosta´tica que essa integral de linha deveria ser nula
sempre! Qual sera´ a inconsisteˆncia?
Na verdade, na˜o ha´ inconsisteˆncia. Ocorre que o campo ele´trico estudado
na eletrosta´tica tem natureza diferente do campo ele´trico induzido.
O campo ele´trico oriundo de cargas ele´tricas sempre e´ conservativo, por
isso a integral de linha em um circuito fachado e´ nula. Mas, devido a` equac¸a˜o
11.5, nota-se que o campo ele´trico induzido pela variac¸a˜o de fluxo magne´tico
11.2. A LEI DE LENZ 199
na˜o e´ conservativo. Por isso, e´ importante distinguir os dois tipos campos
ele´tricos.
Seguem alguns exemplos da aplicac¸a˜o da Lei de Lenz:
Exerc´ıcio 11.1. Suponha uma barra condutora, deslizando sem atrito sobre
um trilho condutor, em meio a um campo magne´tico perpendicular ao plano
dos trilhos, conforme mostrado na Figura 11.4 . Calcule: a forc¸a eletromotriz
induzida, a corrente induzida a forc¸a magne´tica e a velocidade da barra em
func¸a˜o do tempo.
Figura 11.4: Trilho magne´tico
• Forc¸a eletromotriz
Temos que o fluxo magne´tico na barra e´ dado por:
φB = BA = Blx
portanto a forc¸a eletromotriz e´:
|�ind| = dφB
dt
= Bl
dx
dt
= Blv
• Corrente induzida:
Iind =
�ind
R
=
Blv
R
• Forc¸a magne´tica:
Temos que a forc¸a em fios e´ dada por:
200 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
~F = I~l × ~B = IindBl = B
2l2v
R
− iˆ (11.6)
• Velocidade do fio:
Aplicando a segunda lei de Newton ao reultado da equac¸a˜o 11.6 :
m
dv
dt
=
B2l2v
R
Resolvendo essa equac¸a˜o diferencial separa´vel:
∫ v(t)
v0
dv
v
= − ∫ t
0
B2l2
Rm
dt→ ln
(
v(t)
v0
)
= −B
2l2
Rm
t
v(t) = v0e
−B
2l2t/Rm
Vemos enta˜o que a forc¸a tende a` frear a` barra.
Exerc´ıcio 11.2. Considere um campo magne´tico uniforme que aponta pra
dentro da folha e esta´ confinado numa regia˜o circular de raio R. Suponha que
a magnitude de ~B aumenta com o tempo. Calcule o campo ele´trico induzido
em todo o espac¸o:
Figura 11.5: Campo magne´tico
Vimos que o campo ele´trico induzido pode ser calculado por:∮
Γ
~Eind · d~l = �ind = − dφB
dt
11.2. A LEI DE LENZ 201
Enta˜o precisaremos descrever curvas fechadas para calcular o campo ele´trico
induzido. Pela simetria do problema, fazermos circunfereˆncias de raio r.
• Para r < R :
Figura 11.6: Curva para ca´lculo do campo induzido
Como a circunfereˆncia aborda apenas uma porc¸a˜o do campo, a variac¸a˜o
fluxo no seu interior sera´:
φB = Bpir
2 → dφB
dt
=
dB
dt
pir2
Logo:
∮
Γ
~Eind · d~l = dB
dt
pir2
Eind2pir =
dB
dt
pir2 → Eind = dB
dt
r
2
• Para r > R :
Como a circunfereˆncia aborda todo o campo, a variac¸a˜o fluxo no seu
interior sera´:
φB = BpiR
2 → dφB
dt
=
dB
dt
piR2
Logo:
202 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Figura 11.7: Curva para ca´lculo do campo induzido
∮
Γ
~Eind · d~l = dB
dt
piR2
Eind2pir =
dB
dt
piR2 → Eind = dB
dt
R2
2r
Sintetizando os resultados na forma de um gra´fico;
Figura 11.8: Campo induzido vs distaˆncia
11.3 Geradores
As experieˆncias de Faraday lanc¸aram os princ´ıpios de funcionamento de mo-
tores ele´tricos e geradores de eletricidade.
Considere uma espira imersa em um campo magne´tico ~B rotacionando
com uma velocidade angular constante ω =
θ
t
. Substiu´ındo θ na equac¸a˜o
11.3 , temos que:
11.4. EFEITOS MECAˆNICOS 203
|�ind| = ωBA senωt
Em termos de corrente induzida:
Iind =
ωBA
R
senωt
Calculando a poteˆncia gerada para N espiras:
P = I|εind| = (NBAω sin(ωt))
2
R
Observa-se que a bobina gerara´ corrente alternada. Para evitar isso,
empregam-se comutadores no circuito.
Isso que foi visto e´ o princ´ıpio de funcionamento de va´rios tipos de usinas
de gerac¸a˜o de energia, como as hidrele´tricas, termoele´tricas, eo´licas e nucle-
ares. Todas elas envolvem a transfereˆncia de energia mecaˆnica de um fluido
(a´gua, vento) para a bobina, fazendo-a girar.
11.4 Efeitos Mecaˆnicos
A induc¸a˜o magne´tica, quando aliada a outros fenoˆmenos f´ısicos, pode resultar
em efeitos interessantes. Vejamos alguns exemplos
11.4.1 As correntes de FoucaultConsidere uma chapa meta´lica e um pente meta´lico, inicialmente em movi-
mento uniforme, entrando em cum campo magne´tico, conforme esquemati-
zado na Figura 11.9 .
Experimentalmente, observa-se que o chapa meta´lica sobre uma reduc¸a˜o
de velocidade mais acentuada que o pente. Por queˆ?
Isso ocorre pois, durante a imersa˜o no campo magne´tico, a variac¸a˜o do
fluxo magne´tico no interior da chapa e´ maior do que no pente. Logo a corrente
204 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Figura 11.9: Objetos aproximando-se de um campo magne´tico
induzida, a corrente de Foucault nesse caso, na chapa e´ superior. Mas a ac¸a˜o
do campo magne´tico sobre a corrente induzida gera uma forc¸a que tende a
frear o objeto, portanto a chapa sofre uma maior reduc¸a˜o de velocidade.
Figura 11.10: Correntes de Foucault
Pode-se dizer tambe´m que as correntes de Foucault resultam em uma
maior dissipac¸a˜o por efeito Joule, aquecendo o material que imerge em um
campo magne´tico.
11.4.2 Atrito Magne´tico
Se uma espira condutora e´ solta em queda livre sobre um ima˜ permanente, a
corrente induzida criara´ um dipolo magne´tico que tende a ser repelido pelo
ima˜, produzindo uma forc¸a de freamento da espira ana´loga a uma forc¸a de
atrito viscoso (ver Figura 11.11) .
11.5. INDUTAˆNCIA MU´TUA 205
Figura 11.11: Comportamento da espira em queda
11.4.3 Canha˜o Magne´tico
Considere um soleno´ide enrolado em um eixo isolante e, acoplado nesse
mesmo eixo, uma espira. Quando uma corrente passar pela espira, o fluxo
do campo magne´tico no interior da espira sera´ alterado. A corrente induzida
fara´ com que a espira seja lanc¸ada no sentido oposto ao do soleno´ide.
Figura 11.12: Canha`o Magne´tico
11.5 Indutaˆncia Mu´tua
Induntaˆncia mu´tua refere-se ao surgimento de uma corrente induzida em um
circuito em func¸a˜o da passagem de corrente ele´trica em um outro circuito.
Considere duas espiras em repouso. Se aplicarmos uma corrente I1 na
espira 1, ocorrera´ uma variac¸a˜o do fluxo de campo magne´tico
dφ21
dt
na espira
2, surgindo enta˜o uma forc¸a eletromotriz induzida �2 dada por:
206 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Figura 11.13: Exemplo de indutaˆncia mu´tua
�2 = − dφ21
dt
Mas a variac¸a˜o do fluxo do campo magne´tico depende de uma variac¸a˜o
de corrente na espira 1:
dφ21
dt
∝ dI1
dt
Enta˜o podemos substituir essa proporcionalidade por uma igualdade por
meio da definic¸a˜o da constante de induc¸a˜o mu´tua M21
1:
dφ21
dt
= M21
dI1
dt
(11.7)
M21 =
dφ21
dI1
(11.8)
Experimentalmente, observa-se que a constante de induc¸a˜o mu´tua de-
pende apenas da geometria das espiras e tambe´m da distaˆncia entre elas.
Neumann deduziu uma fo´rmula que permite determinar essa constante.
Temos que o fluxo do campo magne´tico pode ser calculado por:
1[M21] = H(henry) =
Tm2
A
11.5. INDUTAˆNCIA MU´TUA 207
φ21 =
∫
S2
∫
~B · d~S2 =
∫
S2
∫ (
~∇× ~A1
)
· d~S2
Aplicando o Teorema de Stokes:
φ21 =
∫
S2
∫ (
~∇× ~A1
)
· d~S2 =
∮
Γ2
~A1 · d~l2
Pela equac¸a˜o 10.45 :
φ21 =
µ0
4pi
I1
∮ ∮
d~l1 · d~l2
r
φ21
dt
=
µ0
4pi
∮ ∮
d~l1 · d~l2
r
dI1
dt
(11.9)
Comparando as equac¸o˜es 11.9 e 11.7 encontramos a Fo´rmula de Neumann:
M21 =
µ0
4pi
∮ ∮
d~l1 · d~l2
r
(11.10)
Como podemos comutar os fatores da fo´rmula, conclui-se que:
M12 = M21 = M
Isso indica que, independentemente das formas e posic¸o˜es das espiras, o
fluxo atrave´s de 2 quando uma corrente I passa em 1 e´ ideˆntico ao fluxo
atrave´s de 1 quando a passamos a corrente I ao redor de 2.
No entanto, ainda e´ mais interessante calcular M por meio da equac¸a˜o
11.8 do que pela Fo´rmula de Neumann, como veremos nos exemplos a seguir.
Exerc´ıcio 11.3. Calcule a indutaˆncia mu´tua entre duas espirar coplanares
e conceˆntricas de raios R1 e R2, com R1 >> R2.
Para calcular a indutaˆncia mu´tua, precisamos calcular uma relac¸a˜o entre
a variac¸a˜o de corrente em uma espira e a variac¸a˜o do fluxo magne´tico na
208 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Figura 11.14: Espiras coplanares e conceˆntricas
outra espira.
Sabemos que a campo magne´tico no centro de uma espira circular e´ B =
µ0I
2R1
. Como R1 >> R2, pode-se considerar que o campo no interior da espira
2 e´ constante, logo o fluxo no seu interior sera´:
φ21 = BA =
µ0I
2R1
piR22
Enta˜o temos que:
dφ21
dI
=
µ0
2R1
piR22
Logo a indutaˆncia mu´tua e´:
M =
µ0
2R1
piR22
Exerc´ıcio 11.4. Calcule a indutaˆncia mu´tua entre dois soleno´ides conceˆntricos
de desnsidades de espiras n1 e n2.
Para calcular a indutaˆncia mu´tua, precisamos calcular uma relac¸a˜o entre
a variac¸a˜o de corrente em um soleno´ide e a variac¸a˜o do fluxo magne´tico no
outro.
Sabemos que a campo magne´tico no interior do soleno´ide 1 e´ B = µ0In1.
Como o campo no interior do soleno´ide 2 e´ constante, o fluxo no seu interior
sera´:
11.5. INDUTAˆNCIA MU´TUA 209
Figura 11.15: Soleno´ides conceˆntricos
φ21 = BAn2l = µ0In1n2lpiR
2
2
Enta˜o temos que:
dφ21
dI
= µ0n1n2lpiR
2
2
Logo a indutaˆncia mu´tua e´:
M = µ0n1n2lpiR
2
2
Exerc´ıcio 11.5. Calcule a indutaˆncia mu´tua entre dois toro´ides concatena-
dos com N1 e N2 enrolamentos.
Figura 11.16: Toro´ides concatenados
Para calcular a indutaˆncia mu´tua, precisamos calcular uma relac¸a˜o entre
a variac¸a˜o de corrente em um toro´ide e a variac¸a˜o do fluxo magne´tico no
outro.
210 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Sabemos que a campo magne´tico no interior do toro´ide 1 e´ B =
µ0N1I
2pir
.
Considerando que o campo no interior do toro´ide apresenta simetria cil´ındrica,
o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:
Figura 11.17: Elemento de a´rea na sec¸a˜o do toro´ide
φ21 = N2
∫
~B1 · d~s2 = N2
b∫
a
µ0N1I1
2pir
hdr
φ21 =
µ0N1N2I1
2pi
h ln(
b
a
)I
Enta˜o temos que:
dφ21
dI
=
µ0N1N2
2pi
h ln(
b
a
)
Logo a indutaˆncia mu´tua e´:
M =
µ0N1N2
2pi
h ln(
b
a
)
11.6 Auto-Indutaˆncia
Considere novamente uma espira de N voltas pela qual passa uma corrente
I. Se ocorre alguma alterac¸a˜o na corrente, o fluxo atrave´s da espira varia
11.6. AUTO-INDUTAˆNCIA 211
com o tempo, enta˜o, de acordo com a lei de Faraday, uma forc¸a eletromotriz
induzida surgira´ para gerar um campo no sentido oposto a` variac¸a˜o do fluxo
de ~B inicial. Enta˜o podemos dizer que o pro´prio campo opo˜e-se a qualquer
mudanc¸a da corrente, e assim temos o fenoˆmeno da auto-indutaˆncia.
Figura 11.18: Efeitos da auto-indutaˆncia
Definimos matematicamente a auto-indutaˆncia L2 da seguinte maneira:
dφB
dt
=
dφB
dI
dI
dt
= L
dI
dt
L =
dφB
dI
(11.11)
Do mesmo modo que a indutaˆncia mu´tua, a auto indutaˆncia depende
apenas de fatores geome´tricos da espira em questa˜o.
Exerc´ıcio 11.6. Calcule a auto-indutaˆncia de um soleno´ide.
Figura 11.19: Soleno´ide
Para calcular a auto-indutaˆncia, precisamos calcular como uma variac¸a˜o
2[L] = H(henry)
212 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
de corrente no soleno´ide varia o fluxo magne´tico no interior do pro´prio so-
leno´ide.
Sabemos que a campo magne´tico no interior desse objeto e´ B = µ0In.
Como o campo no interior do soleno´ide e´ constante, o fluxo no seu interior
sera´:
φB = BAnl = µ0In
2lpiR2
Enta˜o temos que:
dφB
dI
= µ0n
2lpiR2
Logo a auto-indutaˆncia e´:
L = µ0n
2lpiR2
Exerc´ıcio 11.7. Calcule a auto-indutaˆncia de um toro´ide de sec¸a˜o retangu-
lar.
Figura 11.20: Toro´ide
Para calcular a auto-indutaˆncia, precisamos calcular como uma variac¸a˜o
de corrente no toro´ide varia o fluxo magne´tico no interior do pro´prio toro´ide.
Sabemos que a campo magne´ticono interior desse objeto e´ B =
µ0NI
2pir
.
Considerando que o campo no interior do toro´ide apresenta simetria cil´ındrica,
o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:
11.7. ASSOCIAC¸A˜O DE INDUTORES 213
Figura 11.21: Elemento de a´rea na sec¸a˜o do toro´ide
φB = N
∫
~B · d~s =
b∫
a
µ0N
2I
2pir
hdr =
µ0N
2I
2pi
h ln(
b
a
)
Enta˜o temos que:
dφ21
dI
=
µ0N
2
2pi
h ln(
b
a
)
Logo a auto-indutaˆncia e´:
L =
µ0N
2
2pi
h ln(
b
a
)
11.7 Associac¸a˜o de Indutores
Indutores sa˜o componentes eletroˆnicos que apresentam elevada indutaˆncia.
Devido a` Lei de Lenz, tais elementos evitam variac¸o˜es bruscas de corrente,
sendo essa uma das principais func¸o˜es desempenhadas pelos indutores em
circuitos eletroˆnicos. Sabe-se que a diferenc¸a de potencial nos terminais de
um indutor tem a mesma magnitude da forc¸a eletromotriz induzida nele, ou
214 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
seja:
V = L
dI
dt
(11.12)
Quando um circuito apresenta mais de um indutor associado, e´ poss´ıvel
substitu´ı-los por um indutor equivalente, a fim de simplificar os futuros
ca´lculos relativos ao circuito. Mas para calcular a indutaˆncia equivalente, de-
vemos levar em conta tanto os efeitos de auto-induc¸a˜o quanto de indutaˆncia
mu´tua entre os componentes da associac¸a˜o.
Faremos, como exemplo, a associac¸a˜o de dois indutores em se´rie e dois
indutores em paralelo.
11.7.1 Dois indutores em se´rie
Figura 11.22: Exemplo de indutaˆncia mu´tua
Em uma associac¸a˜o em se´rie, a corrente e´ a mesma em todos os indutores.
L
dI
dt
= L1
dI
dt
+M
dI
dt
+ L2
dI
dt
+M
dI
dt
= (L1 + L2 + 2M)
dI
dt
11.7. ASSOCIAC¸A˜O DE INDUTORES 215
Observe que o primeiro e o terceiro termo referem-se a`s auto-indutaˆncias
de 1 e 2, respectivamente, ja´ o segundo e o quarto termo referem-se a`s in-
dutaˆncias mu´tuas. Segue enta˜o que:
L = L1 + L2 + 2M (11.13)
11.7.2 Dois indutores em paralelo
Figura 11.23: Exemplo de indutaˆncia mu´tua
Em uma associac¸a˜o em paralelo, a diferenc¸a de potencial e´ a mesma para
todos os indutores. Calculando a ddp para cada ramo:
V1 = L1
dI1
dt
+M
dI2
dt
(11.14)
V2 = L2
dI2
dt
+M
dI1
dt
(11.15)
Multiplicando as duas equac¸o˜es pela constante de indutaˆncia mu´tua:
V1M = L1M
dI1
dt
+M2
dI2
dt
(11.16)
V2M = L2M
dI2
dt
+M2
dI1
dt
(11.17)
Multiplicando agora a equac¸a˜o 11.14 por L2 e a 11.15 por L1:
216 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
V1L2 = L1L2
dI1
dt
+ML2
dI2
dt
(11.18)
V2L1 = L2L1
dI2
dt
+ML1
dI1
dt
(11.19)
Mas, da associac¸a˜o em paralelo, temos que:
V = V1 = V2
I = I1 + I2
Logo, subtra´ındo 11.16 de 11.19 e 11.17 de 11.18, encontramos que:
V (L1 −M) = L1L2 dI2
dt
−M2 dI2
dt
(11.20)
V (L2 −M) = L1L2 dI1
dt
−M2 dI1
dt
(11.21)
Somando as equac¸o˜es 11.20 e 11.21:
V (L1 + L2 − 2M) =
(
L1L2 −M2
) dI
dt
L =
L1L2 −M2
L1 + L2 − 2M (11.22)
Nota-se que, se desconsiderarmos os efeitos da indutaˆncia mu´tua, a asso-
ciac¸a˜o de indutores e´ ideˆntica a` associac¸a˜o de resistores.
11.8 Circuito R-L
Considere o circuito da Figura 11.24, com as condic¸o˜es iniciais:
11.8. CIRCUITO R-L 217
Figura 11.24: Circuito R-L
t = 0 , I(t) = 0
t =∞ , I(t) = V
R
A equac¸a˜o do circuito e´:
V −RI − LdI
dt
= 0 (11.23)
V
R
− I = L
R
dI
dt
t∫
0
−R
L
dt =
I(t)∫
0
dI
I − V
R
ln
(
I − V
R
)I(t)
0
= −R
L
t
I(t)− V
R
= −V
R
−R
L
t
218 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
I(t) =
V
R
(
1− e−RL t
)
(11.24)
Quanto maior for a indutaˆncia L do indutor no circuito, maior sera´ o
tempo para a corrente se aproximar da ma´xima Imax = V/R.
Figura 11.25: Gra´fico de corrente de um circuito R-L
11.9 Circuito L-C
Considere o circuito da Figura 11.26, com o capacitor inicialmente carregado
com uma carga Q0, ou seja, as condic¸o˜es iniciais:
t = 0 , Q(t = 0) = Q0
t = 0 , I(t = 0) = 0
A equac¸a˜o do circuito e´:
Q
C
− L dI
dt
= 0 (11.25)
Como o capacitor esta´ descarregando, I = −dQ/dt, e portanto:
11.9. CIRCUITO L-C 219
Figura 11.26: Circuito L-C
d2Q
dt2
+
1
LC
Q = 0 (11.26)
Que e´ a equac¸a˜o de um oscilador harmoˆnico, cuja soluc¸a˜o e´:
Q(t) = Q0 cos(ωt) (11.27)
Onde:
ω2 =
1
LC
I(t) = −dQ
dt
= ωQ0 sen(ωt)
I0 = Q0ω
Ana´lise de energia:
220 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Figura 11.27: Gra´fico de corrente e carga no capacitor em um circuito L-C
UE = Ucapacitor =
1
2
CV 2 =
Q2
2C
UE =
Q2
2C
cos2(ωt)
UB = Uindutor =
1
2
LI2 =
L
2
I20 sin
2(ωt) =
LQ20ω
2
2
sen2(ωt) =
Q20
2C
sen2(ωt)
U = UE + UC =
Q2
2C
Figura 11.28: Energia em um circuito L-C
11.10. ANALOGIA COM SISTEMA MECAˆNICO 221
11.10 Analogia com sistema mecaˆnico
Analogia com sistema mecaˆnico massa-mola:
d2x
dt2
+
K
M
x = 0
d2Q
dt2
+
1
LC
Q = 0
U =
1
2
mv2 +
K
2
x2 U =
1
2
LI2 +
1
2C
Q2
Figura 11.29: Analogia do circuito LC com sistema mecaˆnico.
m L
1/k C
x Q
v = x˙ I = Q˙
mv2/2 LI2/2
kx2
2
Q2
2C
222 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
m
d2x
dt2
= −kx+mg LdI
dt
+
Q
C
= V
x(t) = h+ A cos(ω0t) q(t) = q1 + (q0 − q1) cos(ω0t)
x(0) = h+ A q(0) = q0
x˙(0) = 0 q˙(0) = 0
Molas em se´rie Capacitores em paralelo
x = x1 + x2 = F
(
1
K1
+ 1
K2
)
q = ε(C1 + C2)
Molas em paralelo Capacitores em se´rie
11.11 Circuito R-L-C
Considere o circuito da Figura 11.30, com o capacitor inicialmente com carga
Q0. A equac¸a˜o do circuito e´:
Q
C
−RI − LdI
dt
= 0
11.11. CIRCUITO R-L-C 223
Figura 11.30: Circuito R-L-C
Fazendo I = −dQ
dt
:
d2Q
dt2
+
R
L
dQ
dt
+
Q
LC
= 0 (11.28)
Com a condic¸a˜o inicial: Q(0) = Q0
O ana´logo mecaˆnico a` este circuito e´ o oscilador amortecido:
d2x
dt2
+ 2β
dx
dt
+ ω20x = 0 (11.29)
Cuja soluc¸a˜o e´ dada por:
x(t) = e−βt
[
A1 exp(
√
β2 − ω20t) + A2 exp(−
√
β2 − ω20t)
]
(11.30)
A ana´lise deve ser dividida em treˆs casos:
• ω20 > β: subcr´ıtico
• ω20 = β: cr´ıtico
• ω20 < β: supercr´ıtico
224 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Figura 11.31: Comportamentos do oscilador amortecido.
11.11.1 Subcr´ıtico
ω21 = ω
2
0 − β2, ω21 > 0
Q(t) = e−βt [A1 exp(iω1t) + A2 exp(−iω1t)]
A soluc¸a˜o pode ser reescrita como:
Q(t) = Ae−βt cos(ω1t− δ)
Que corresponde a uma oscilac¸a˜o de frequ¨eˆncia angular ω1, com uma
amplitude decrescente com o tempo de um fator e−βt.
11.11.2 Cr´ıtico
Q(t) = (A+Bt)e−βt
11.11.3 Supercr´ıtico
Q(t) = e−βt [A1 exp(ω2t) + A2 exp(−ω2t)]
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNE´TICOS 225
Figura 11.32: Oscilador amortecido subcr´ıtico.
11.12 Energia em Campos Magne´ticos
Vimos anteriormente que a energia ele´trica podia ser escrita em termos do
campo ele´trico, o que nos fornecia a interpretac¸a˜o da energia armazenada no
campo. Agora vejamos como seria a energia magne´tica em termos do campo.
Sabemos que:
φB = LI
Por outro lado:
φB =
∫
S
~B · d~s =
∫
S
(~∇× ~A) · d~s
Aplicando o Teorema de Stokes:
226 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
∫
S
(~∇× ~A) · d~s =
∮
Γ
~A · d~l
φB =
∮
Γ
~A · d~l = LI
A energia magne´tica e´ dada por:
U =
1
2
LI2 =
I
2
∮
Γ
~A · d~l
Sabendo que Id~l = ~Jdv:
U =
I
2
∫
V
( ~A · ~J)dv
Mas ~∇× ~B = µ0 ~J , enta˜o:
U =
1
2µ0
∫
V
~A · (~∇× ~B)dv
Utilizando a identidade:
~∇ · ( ~A× ~B) = ~B · (~∇× ~A)− ~A · (~∇× ~B)
~A · (~∇× ~B) = ~B · (~∇× ~A)− ~∇ · ( ~A× ~B) = ~B · ~B − ~∇ · ( ~A× ~B)
Temos:U =
1
2µ0
∫
V
~B · ~B −
∫
V
~∇ · ( ~A× ~B)dv

11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNE´TICOS 227
Aplicando o teorema da divergeˆncia:
U =
1
2µ0
∫
V
~B · ~B − 1
2µ0
∫
S
( ~A× ~B)d~s
Fazendo V → todo espac¸o, o segundo termo tende a zero, portanto:
UB =
1
2µ0
∫
R3
B2dv (11.31)
A densidade de energia do campo magne´tico e´ dado por:
uB =
B2
2µ0
(11.32)
Note a similaridade das energias dos campos ele´trico e magne´tico:
UE =
1
2
∫
V
ρV dv =
ε
2
∫
3
E2dv
UB =
1
2
∫
V
(
~A · ~J
)
dv =
1
2µ0
∫
3
B2dv
Exemplo 11.1. Cabo coaxial.
Calcular a energia armazenada em uma sec¸a˜o de comprimento l.
Resoluc¸a˜o. Pela lei de Ampe`re, o campo magne´tico no cabo e´ dado por:
228 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
∮
~B · d~l = µ0I
B2pir = µ0I
B =
µ0I
2pir
B =

µ0I
2pir
θˆ , a < r < b
0 , r < a ou r > b
A densidade de energia e´ dada por:
u =
B2
2µ0
=
µ20I
2
2µ04pi2r2
=
µ0I
2
8pi2r2
A energia armazenada em um trecho sera´:
U =
∫∫∫
µ0I
2
8µ0pi2r2
rdθdrdz,

0 ≤ θ ≤ 2pi
a ≤ r ≤ b
0 ≤ z ≤ l
U =
µ0I
2
8pi2
2pil
b∫
a
1
r
dr =
µ0I
2
4pi
l ln
(
b
a
)
Pelo me´todo anterior, ter´ıamos que, primeiro, calcular a auto-indutaˆncia:
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNE´TICOS 229
φ =
∫
~B · d~s =
∫∫
µ0I
2pir
drdz,
{
a ≤ r ≤ b
o ≤ z ≤ l
φ =
µ0I
2pi
l ln
(
b
a
)
L =
dφ
dI
=
µ0l
2pi
ln
(
b
a
)
A energia armazenada sera´ enta˜o:
U =
LI2
2
U =
µ0I
2
4pi
l ln
(
b
a
)
230 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Cap´ıtulo 12
Equac¸o˜es de Maxwell
12.1 Introduc¸a˜o
Ate´ Faraday, o campo ele´trico e o campo magne´tico eram tratados indepen-
dentemente. Com a Lei da induc¸a˜o de Faraday, vimos que a variac¸a˜o do
campo magne´tico com o tempo gera campo ele´trico.
∮
Γ
~E · d~l = − d
dt
∫
S
~B · d~s
O campo ele´trico e magne´tico na˜o sa˜o mais tratados independentemente,
sendo assim chamado de campo eletromagne´tico. Em aproximadamente 1860
J.C. Maxwell constatou uma inconsisteˆncia entre as equac¸o˜es ate´ enta˜o e na
equac¸a˜o da continuidade.
As equac¸o˜es que conhecemos ate´ agora, na forma diferencial, sa˜o:
231
232 CAPI´TULO 12. EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL
~∇× ~E = −∂
~B
∂t
~∇× ~B = µ0 ~J
~∇ · ~E = ρ
ε0
~∇ · ~B = 0
E a equac¸a˜o da continuidade (Equac¸a˜o 9.2):
~∇ · ~J + ∂ρ
∂t
= 0
Se aplicarmos o divergente na lei de Ampe`re, temos:
~∇ · (~∇× ~B) = µ0~∇ · ~J
~∇ · ~J = 0
Ou seja, a lei de Ampe`re, na forma atual, na˜o e´ sempre va´lida, mas
somente para corrente estaciona´ria.
E´ poss´ıvel tambe´m verificar a inconsisteˆncia a partir da forma integral da
lei de Ampe`re.
12.2. MODIFICAC¸A˜O NA LEI DE AMPE`RE 233
Considere o carregamento do capacitor na figura.Vamos aplicar a Lei de
Ampe`re, mas vamos considerar duas superf´ıcies abertas e distintas, ambas
delimitadas pela mesma curva γ:
(a)
∮
~B · d~l = µ0~I (b)
∮
~B · d~l = 0
Figura 12.1: Duas superf´ıcies poss´ıveis para aplicar a lei de Ampe`re.
As duas integrais deveriam ter o mesmo valor, pois tem o mesmo bordo!
Assim, ha´ uma inconsisteˆncia na lei de Ampe`re, que requer uma modificac¸a˜o
feita por Maxwell.
12.2 Modificac¸a˜o na lei de Ampe`re
Podemos encontrar essa modificac¸a˜o de duas formas.
Primeira Forma
Retomando o exemplo anterior, vimos que:∮
S1
~J · d~s1 −
∮
S2
~J · d~s2 6= 0
Enta˜o, considerando o sentido de d~S1 e d~S2 e que S1 e S2 juntas formam
uma superf´ıcie fechada, utilizando a equac¸a˜o da continuidade:
234 CAPI´TULO 12. EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL
(a)
∮
~B · d~l = µ0~I (b)
∮
~B · d~l = 0
Figura 12.2: Duas superf´ıcies poss´ıveis para aplicar a lei de Ampe`re.
∮
S
~J · d~s = − d
dt
∫
ρdv 6= 0
A corrente de transporte, ou de conduc¸a˜o, na˜o se anula, pois a carga esta´
se acumulando no capacitor, ou seja ∂ρ
∂t
6= 0.
A lei de Ampe`re original implica em∇· ~J = 0, mas nesse caso,∇· ~J = −∂ρ
∂t
.
Enta˜o algo dever ser adicionado a` lei de Ampe`re para torna´-la consistente
com a conservac¸a˜o da carga neste caso.
Podemos calcular ρ da lei de Gauss:
12.2. MODIFICAC¸A˜O NA LEI DE AMPE`RE 235
~∇ · ~E = ρ
ε0
⇒ ρ = ε0~∇ · ~E
~∇ · ~J = −ε0 ∂
∂t
~∇ · ~E = ~∇ ·
(
−ε0∂
~E
∂t
)
~∇ ·
(
~J + ε0
∂ ~E
∂t
)
= 0
Maxwell enta˜o substituiu ~J da Lei de Ampe`re por ~J ′ = ~J + ε0 ∂
~E
∂t
. Enta˜o,
chegamos na lei de Ampe`re-Maxwell:
~∇× ~B = µ0 ~J + µ0ε0∂
~E
∂t
(12.1)
Ou, na forma integral:
∮
~B · d~l = µ0I + µ0ε0 ∂
∂t
∫
~E · d~s (12.2)
Enta˜o:
∮
~B · d~l = µ0I + µ0ε0dφE
dt
O termo adicional µ0ε0
dφE
dt
, Maxwell chamou de corrente de desloca-
mento, apesar dela na˜o significar corrente no sentido que conhecemos.
Significado: A variac¸a˜o de campo ele´trico, mesmo na auseˆncia de cor-
rente, gera campo magne´tico
Segunda Forma
Novamente considerando S1 e S2, no caso de um capacitor de placas paralelas.
236 CAPI´TULO 12. EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL
C =
Q
V
= ε0
A
d
⇒ ε0A = Q dV ⇒ ε0E = QA
dQ
dt
= ε0A
dE
dt
~JD =
1
A
dQ
dt
= ε0
dE
dt
Enquanto o capacitor esta´ carregando o campo ele´trico varia no tempo.
O fluxo de ~E por S2 varia no tempo:
12.3. EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL 237
~∇× ~B = µ0( ~J+?)⇒ ~∇× ~B = µ0( ~J + ~JD)
~∇× ~B = µ0 ~J + µ0ε0∂
~E
∂t
Desta forma, Maxwell construiu uma teoria unificada e consistente. Ao
conjunto formado pela Lei de Ampe`re modificada e as outras 3 ja´ conhecidas,
da´-se o nome de Equac¸o˜es de Maxwell.
12.3 Equac¸o˜es de Maxwell
As equac¸o˜es de Maxwell no va´cuo sa˜o:
12.3.1 Forma diferencial
~∇ · ~E = ρ
ε0
~∇ · ~B = 0
~∇× ~E = −∂
~B
∂t
~∇× ~B = µ0 ~J + µ0ε0∂
~E
∂t
238 CAPI´TULO 12. EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL
12.3.2 Forma integral
∮
~E · d~s = Qint
ε0∮
~B · d~s = 0∮
~E · d~l = − d
dt
∫
S
~B · d~s
∮
~B · d~l = µ0I + µ0ε0 ∂
∂t
∫
~E · d~s
Estas equac¸o˜es formam a base de todos os fenoˆmenos eletromagne´ticos
e em conjunto com a equac¸a˜o da forc¸a de Lorentz e a 2a lei de Newton
descrevem de forma completa a dinaˆmica cla´ssica da interac¸a˜o de part´ıculas
carregadas e seus campos eletromagne´ticos.
12.4 Equac¸o˜es de Onda
As equac¸o˜es de Maxwell, para ρ = 0 e ~J = ~0 sa˜o:
~∇ · ~E = 0 (I)
~∇ · ~B = 0 (II)
~∇× ~E = −∂
~B
∂t
(III)
~∇× ~B = µ0ε0∂
~E
∂t
(IV)
Aplicando o rotacional em III, temos:
12.4. EQUAC¸O˜ES DE ONDA 239
~∇× ~∇× ~E = − ∂
∂t
~∇× ~B
~∇× ~∇× ~E = ~∇ · (~∇ · ~E)− ~∇2 ~E ⇒ −~∇2 ~E = − ∂
∂t
(
µ0ε0
∂ ~E
∂t
)
~∇2 ~E − ∂
∂t
(
µ0ε0
∂ ~E
∂t
)
= 0
Que e´ a equac¸a˜o de onda para o campo ele´trico:
v =
1√
µ0ε0
= c
~∇2 ~E − 1
c2
∂2 ~E
∂t2
= 0
~∇2 ~E − 1
c2
∂2 ~E
∂t2
= 0 (12.3)
O campo eletromagne´tico no va´cuo se propaga a` velocidade da luz, o
que foi uma das principais evideˆncias para se concluir que a luz e´ uma onda
eletromagne´tica.
Para ~B, basta aplicar o rotacional em IV:
~∇× ~∇× ~B = ~∇ · ~∇ · ~B − ~∇2 ~B
−~∇2 ~B = µ0ε0 ∂
∂t
~∇× ~E
~∇2 ~B − µ0ε0∂
2 ~B
∂t2
= 0
240 CAPI´TULO 12. EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL
~∇2 ~B − 1
c2
∂2 ~B
∂t2
= 0 (12.4)
O campo magne´tico se propaga no va´cuo com velocidade c.
Isso mostra que a luz e´ uma onda eletromagne´tica, caracterizando assim
a natureza ondulato´ria da luz. Maxwell fez a unificac¸a˜o de dois campos da
f´ısica ate´ enta˜o distintos, o Eletromagnetismo e na O´ptica. Sem Maxwell na˜o
entender´ıamos radiac¸a˜o eletromagne´tica. A relatividade restrita originou-se
dos Equac¸o˜es de Maxwell.
Cap´ıtulo 13
Materiais Magne´ticos
13.1Propriedades Magne´ticas da Mate´ria
Apresentaremos neste to´pico uma discussa˜o qualitativa tentando na˜o usar a
mecaˆnica quaˆntica. No entanto, devemos ter em mente que:
Na˜o e´ poss´ıvel compreender os efeitos magne´ticos da mate´ria
do ponto de vista da f´ısica cla´ssica! As propriedades magne´ticas dos
materiais sa˜o fenoˆmenos completamente quaˆnticos.
Apesar disso, faremos uso de descric¸o˜es cla´ssicas, embora erradas, para
termos uma visa˜o, ainda que muito limitada, do que esta´ acontecendo.
Inicialmente, vamos pressupor ja´ conhecidos alguns conceitos:
1. A´tomo: nu´cleo no centro e ele´trons orbitando ao seu redor;
2. Ele´tron e´ negativamente carregado
3. O ele´tron possui um momento angular intr´ınseco que e´ denominado
spin.
Vejamos enta˜o inicialmente:
241
242 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
Figura 13.1: Produc¸a˜o de campo magne´tico pelo ele´tron.
Efeitos devido a`s o´rbitas dos ele´trons
- Ele´trons nos a´tomos produzem campos magne´ticos.
Os ele´trons giram ao redor do nu´cleo em o´rbitas, o que e´ o mesmo se
tive´ssemos espiras de corrente. Por outro lado, correntes produzem campo
magne´tico.
Normalmente, no entanto, este e´ um efeito pequeno, pois no total ha´ um
cancelamento, visto que as o´rbitas esta˜o aleatoriamente orientadas.
- O que acontece enta˜o se colocarmos o material na presenc¸a de um campo
externo ~B? Pelo que ja´ estudamos sabemos que, pela lei de Lenz, teremos
correntes induzidas, de sentido tal a se opor ao aumento do campo. Desta
forma, os momentos magne´ticos induzidos nos a´tomos sa˜o opostos ao campo
magne´tico.
Desta forma o efeito resultante e´: o campo magne´tico total resultante e´
menor.
13.2. MOMENTOS MAGNE´TICOS E MOMENTO ANGULAR 243
13.2 Momentos magne´ticos e Momento an-
gular
Consideremos uma carga q se movendo numa o´rbita circular.
Figura 13.2: Carga em o´rbita circular.
O momento angular cla´ssico orbital e´:
~L = ~r × ~p
|~L| = mvr
Por outro lado, sabemos que a corrente e´:
I =
carga
tempo
=
q
2pir
v
=
qv
2pir
Sabemos tambe´m que o momento magne´tico e´:
µ = IA = Ipir2 =
qv
2pir
pir2 =
qvr
2
Das equac¸o˜es acima, temos:
~µ =
q
2
~L
m
(13.1)
No caso do ele´tron, temos:
244 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
Figura 13.3: Momento magne´tico da o´rbita do ele´tron.
~µ = − e
~L
2me
(13.2)
Isto e´ o que se espera classicamente e como milagre tambe´m vale quanti-
camente.
Ale´m do momento angular orbital, ele´trons possuem um momento angular
intr´ınseco (spin), que associado a este ha´ um momento magne´tico:
~µs = − e
me
~S (13.3)
Algumas propriedades:
• Lei de Lenz na˜o se aplica, pois este campo esta´ associado ao ele´tron
por si mesmo.
• O pro´prio ~S na˜o pode ser medido. Entretanto, sua componente ao
longo de qualquer eixo pode ser medida.
• Uma componente medida de ~S e´ quantizada.
Quantizac¸a˜o de Sz:
13.2. MOMENTOS MAGNE´TICOS E MOMENTO ANGULAR 245
Sz = ms~
ms = ±1
2
~ =
h
2pi
Sendo h a constante de Plank, cujo valor e´ de 6, 63× 10−34J.s.
Portanto, o momento magne´tico de spin sera´ dado por:
µs,z = −ems~
me
= ± e~
2me
= ±µB
µB =
e~
2me
=
eh
4pime
= 9, 27× 10−24 J
T
A constante µB e´ chamada magne´ton de Bohr. Momentos magne´ticos de
spins de ele´trons e de outras part´ıculas sa˜o enta˜o expressos em termos de µB.
Da mesma forma que o spin, o momento angular orbital ~L na˜o pode ser
medido, apenas a sua componente ao longo de qualquer eixo.
L = ml~
ml = 0,±1,±2, · · ·
Onde ml e´ o nu´mero quaˆntico magne´tico orbital.
µ = − eL
2me
= −eml~
2me
= −mlµB
Vimos durante o nosso curso que se coloca´ssemos uma espira passando
corrente num campo magne´tico, esta sentia uma forc¸a, e observamos a tendeˆncia
do alinhamento do momento magne´tico ~µ com ~B.
246 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
Figura 13.4: Torque causado por um campo magne´tico em uma espira.
~τ = ~µ× ~B
Desta forma, se colocarmos um material composto por a´tomos que pos-
suem um momento magne´tico permanente, inicialmente orientado em direc¸o˜es
distribu´ıdas ao acaso, na presenc¸a de um campo magne´tico, esses momentos
magne´ticos se orientara˜o na direc¸a˜o do campo, resultando em uma mag-
netizac¸a˜o diferente de zero. Enta˜o como resultado teremos que o campo
magne´tico resultante sera´ maior que o original.
A grandeza magnetizac¸a˜o e´ definida como o dipolo magne´tico por uni-
dade de volume:
~M = lim
∆v→0
1
∆v
∑
i
~µi =
d~µ
dv
(13.4)
O que implica em:
~µtotal =
∫
v
~Mdv
Ana´lise dimensional:
13.3. MATERIAIS DIAMAGNE´TICOS 247
[
~M
]
=
momento magne´ tico
volume
=
corrente x a´ rea
comprimento
=
A
m
=
[
~B
]
µ0
(13.5)
Perceba que esta grandeza e´ ana´loga a` polarizac¸a˜o de materiais diele´tricos.
Resumo ate´ enta˜o
• Lei de Lenz nas o´rbitas dos ele´trons se opo˜e ao aumento do campo no
material. Isto pode ser pensado como se o ele´tron fosse acelerado ou
retardado em sua o´rbita.
• Torque magne´tico agindo em ele´trons individualmente aumentando o
campo magne´tico no material.
Ou seja, temos dois comportamentos opostos. Qual deles e´ mais impor-
tante? Isto dependera´ das propriedades do material (estrutura qu´ımica, se
ha´ ele´trons livres, etc). Podemos, no entanto notar que e´ muito mais custoso
mudar as o´rbitas dos ele´trons que seus spins.
A este respeito, podemos separar os materiais em treˆs categoriais:
1. Materiais diamagne´ticos;
2. Materiais paramagne´ticos;
3. Materiais ferromagne´ticos.
13.3 Materiais Diamagne´ticos
Sa˜o materiais que apresentam uma magnetizac¸a˜o oposta ao campo magne´tico.
• O campo magne´tico no interior do material e´ menos intenso que o
externo.
248 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
Figura 13.5: Substaˆncias diamagne´ticas sa˜o repelidas do campo magne´tico,
deslocando-se para a regia˜o de campo magne´tico menos intenso.
• Lei de Lenz ganha do efeito do spin.
O diamagnetismo e´ muito fraco e dif´ıcil de se ver.
A Lei de Lenz sempre esta´ presente em todos os materiais. O efeito do
spin, se estiver presente, sera´ sempre mais forte. Logo, os materiais dia-
magne´ticos sa˜o aqueles onde na˜o ha´ o efeito do spin.
Exemplos de materiais diamagne´ticos:
• Orbitais que possuem os ele´trons emparelhados ⇒ na˜o ha´ momento
magne´tico resultante.
13.4 Materiais Paramagne´ticos
Sa˜o materiais nos quais a magnetizac¸a˜o aumenta na presenc¸a de um campo
externo.
• O campo magne´tico no interior do material e´ mais intenso que o ex-
terno.
• Efeito de spin ganha da Lei de Lenz.
Os a´tomos possuem um momento magne´tico resultante e permanente
~µ. Na auseˆncia de campo externo estes momentos esta˜o orientados de forma
13.5. MAGNETIZAC¸A˜O E O CAMPO ~H 249
Figura 13.6: Substaˆncias paramagne´ticas sa˜o atra´ıdas para regia˜o de campo
magne´tico mais intenso.
aleato´ria, e o momento de dipolo magne´tico resultante do material e´ nulo. En-
tretanto, se uma amostra do material for colocada em um campo magne´tico
externo, os momentos tendem a se alinhar com o campo, o que da´ um mo-
mento magne´tico total ~µtotal na˜o nulo na direc¸a˜o do campo externo ~Bext.
13.5 Magnetizac¸a˜o e o campo ~H
Relembrando a definic¸a˜o de magnetizac¸a˜o (Equac¸a˜o 13.4):
~M =
d~µ
dv
=
momento de dipolo magne´ tico
unidade de volume
Definimos um novo campo magne´tico ~H , tal que:
~B = µ0
(
~H + ~M
)
(13.6)
~H ≡
~B
µ0
− ~M (13.7)
• ~B: campo magne´tico total = induc¸a˜o magne´tica
• ~H: campo magne´tico devido a`s correntes externas
250 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
• ~M : magnetizac¸a˜o, componente de ~B devido a`s propriedades do mate-rial.
Voceˆ pode estar se perguntando, mas esta formula de ~H caiu do ce´u?
Podemos chegar nela da seguinte forma:
Como um dos exerc´ıcios da lista, voceˆ deve ter obtido que o potencial
vetor de um u´nico dipolo e´ dado por:
~A (~r) =
µ0
4pi
~µ× Rˆ
Rˆ
Se pensarmos num material, enta˜o cada elemento de volume possui um
momento de dipolo magne´tico ~M dv, logo:
~A (~r) =
µ0
4pi
∫ ~M (~r′)× Rˆ
R2
dv′
Utilizando a identidade:
~∇′
(
1
R
)
=
Rˆ
R2
Temos:
~A (~r) =
µo
4pi
∫ [
~M (~r′)× ~∇′
(
1
R
)]
dv′
Utilizando a identidade:
~∇×
(
f ~M
)
= f
(
~∇× ~M
)
− ~M ×
(
~∇f
)
⇒ ~M ×
(
~∇f
)
= f
(
~∇× ~M
)
− ~∇×
(
f ~M
)
Ficamos com:
13.5. MAGNETIZAC¸A˜O E O CAMPO ~H 251
~A (~r) =
µ0
4pi

∫
1
R
(
~∇′ × ~M (~r′)
)
dv′ −
∫
~∇′ ×
(
~M (~r′)
R
)
dv′

~A (~r) =
µ0
4pi
∫ ~∇′ × ~M (~r′)
R
dv′ +
µ0
4pi
∮ ~M (~r′)× nˆ′
R
ds′
Relembrando, t´ınhamos escrito:
~A (~r) =
µ0
4pi
∫ ~J (~r′)
R
ds′
Desta forma, podemos identificar dois termos:
~A (~r) =
µ0
4pi
∫ ~JM (~r′)
R
dv′ +
µ0
4pi
∮
~κM (~r
′)
R
dv′
• ~JM (~r′) = ~∇′ × ~M (~r′): Densidade de corrente de magnetizac¸a˜o;
• ~κM (~r′) = ~M (~r′) × nˆ′: Densidade superficial de corrente de magne-
tizac¸a˜o.
Similar a:
ρp = −~∇ · ~P
σp = ~p · nˆ
Havendo corrente de magnetizac¸a˜o e, simultaneamente, correntes livres
(que na˜o podemos controlar), o campo de induc¸a˜o magne´tica tem a sua
origem em ambas:
252 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
~∇× ~B = µ0
(
~Jlivre + ~JM
)
︸ ︷︷ ︸
densidade de corrente total
~∇× ~B = µ0
(
~Jlivre + ~∇× ~M
)
~∇× ~B − ~∇× µ0 ~M = µ0 ~Jlivre
~∇×
(
~B − µ0 ~M
)
︸ ︷︷ ︸
µ0 ~H
= µ0 ~Jlivre
~∇× µ0 ~H = µ0 ~Jlivre
~∇× ~H = ~Jlivre (13.8)
Enta˜o agora a nomenclatura ficou:
• ~B: campo de induc¸a˜o magne´tica;
• ~H: campo magne´tico proveniente da contribuic¸a˜o devida a`s correntes
livres;
• ~M : magnetizac¸a˜o devido a`s corrente de magnetizac¸a˜o.
Podemos determinar um campo a partir de seu gradiente e de seu rotaci-
onal. Ja´ obtemos o rotacional, e podemos determinar seu gradiente a partir
de sua definic¸a˜o (Equac¸a˜o 13.7):
~H =
~B
µ0
− ~M
÷ ~H = ÷
~B
µ0
−÷ ~M
÷ ~H = −÷ ~M
13.6. MATERIAIS MAGNE´TICOS LINEARES 253
Observac¸a˜o 13.1. Deve-se tomar cuidado com a analogia entre os campos ~H
e ~B. Apesar da similaridade entre as expresso˜es de seus rotacionais, deve-
mos lembrar que um campo na˜o e´ determinado somente pelo seu rotacional.
Em especial, mesmo que na˜o haja nenhuma corrente livre, na presenc¸a de
materiais magne´ticos, o campo ~H pode ser na˜o nulo.
13.6 Materiais Magne´ticos Homogeˆneos, Li-
neares e Isotro´picos
Neste caso, a magnetizac¸a˜o ~M do material varia linearmente com o campo
magne´tico ~H:
~M = χM ~H
Onde χM e´ a susceptibilidade magne´tica do meio, que e´ uma grandeza
adimensional.
Assim:
~B = µo
(
~H + ~M
)
= µo
(
~H + χM ~H
)
= µo (1 + χM) ~H
= µoµr ~H
~B = µ ~H
Cuidado com a notac¸a˜o: Aqui, µ e´ a permeabilidade magne´tica do meio
(na˜o confundir com o momento magne´tico).
O sinal de χM depende do tipo de material:
~B = µo (1 + χM) ~H
254 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
• Em materiais diamagne´ticos, B < H, e portanto:
χM < 0
• Em materiais paramagne´ticos, B > H, e portanto:
χM > 0
13.7 Materiais Ferromagne´ticos
A na˜o linearidade entre ~M e ~H o distingue do paramagnetismo. Em materiais
ferromagne´ticos, ~M e ~H na˜o possuem uma relac¸a˜o simples. A magnetizac¸a˜o
permanece mesmo apo´s o campo magne´tico ser desligado.
Raza˜o: Mecaˆnica Quaˆntica ⇒ termo de troca ⇒ interac¸a˜o dos spins de
a´tomos.
A interac¸a˜o de troca produz um forte alinhamento de dipolo atoˆmico ad-
jacente em um material ferromagne´tico. Os momentos magne´ticos de muitos
a´tomos tendem a se alinhar em pequenas regio˜es iguais a domı´nios ( 0.1mm),
no entanto estes domı´nios, se nenhum campo magne´tico externo for aplicado,
esta˜o alinhados aleatoriamente orientados, resultando numa magnetizac¸a˜o do
material nula. Por isso que o ferro na˜o atrai nenhum metal a princ´ıpio.
Fe: so´lido policristalino
Se magnetizarmos uma amostra de Fe colocando-a em um campo magne´tico
externo de intimidade gradualmente crescente, havera´ um crescimento em ta-
manho dos domı´nios que esta˜o orientados ao longo do campo externos.
A curva que descreve a relac¸a˜o entre H e B para um material ferro-
magne´tico e´ chamada de histerese ou ciclo de histerese.
De a ate´ b mostra o comportamento da amostra se magnetizando. Apo´s
H1 diminui-se H ate´ H = 0 (ponto c): valor de B diminui conforme b → c
muito mais lentamente do que inicialmente tinha aumentado. Em c, ha´ uma
13.7. MATERIAIS FERROMAGNE´TICOS 255
(a) Antes: ~M = 0 (b) Apo´s: ~M 6= 0
Figura 13.7: Orientac¸a˜o dos domı´nios de um material ferromagne´tico na
presenc¸a de campo magne´tico.
Figura 13.8: Alinhamento dos domı´nios do material na presenc¸a de campo
magne´tico externo.
magnetizac¸a˜o remanescente B 6= 0. Para se conseguir B = 0 aplica-se um
campo ~H com sentido inverso. Se aumentar ~H em mo´dulo atinge-se o ponto
d. Se zerar ~H novamente, B diminui em mo´dulo de acordo com d → e, e
mesmo em e, B 6= 0.
Temperatura de Curie
A temperatura de Curie TC e´ a temperatura acima da qual o material ferro-
magne´tico perde a sua magnetizac¸a˜o.
• T > TC : fase desordenada paramagne´tica
256 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
Figura 13.9: Ciclo de histerese de materiais ferromagne´ticos.
• T < TC : fase ordenada ferromagne´tico
A transic¸a˜o de fase e´ abrupta.
Para T > TC , o movimento aleato´rio dos momentos magne´ticos se torna
ta˜o forte que eles na˜o conseguem mais se alinhar para formar os domı´nios.
Para o Fe, TC = 770
oC. A Tabela 13.1 mostra a temperatura de Curie para
outros materiais ferromagne´ticos.
Material Temperatura de Curie (K)
Co 1388
Fe 1043
MnBi 630
Ni 627
MnSb 587
CrO2 386
MnAs 318
Gd 292
Tabela 13.1: Temperatura de Curie de materiais ferromagne´ticos
13.8. ENERGIA EM MEIOS MAGNE´TICOS 257
13.8 Energia armazenada no campo magne´tico
na presenc¸a de meios magne´ticos
Vimos que:
Um =
1
2
∫
V
~Jlivre · ~Adv
Mas ~Jl = ~∇× ~H, enta˜o:
Um =
1
2
∫
V
(
~∇× ~H
)
· ~Adv
Aplicando a identidade:
~∇ ·
(
~A× ~H
)
=
(
~∇× ~A
)
· ~H −
(
~∇× ~H
)
· ~A
Chegamos em:
Um =
1
2
∫
V
(
~∇× ~A
)
· ~Hdv − 1
2
∫
V
~∇ ·
(
~A× ~H
)
dv
Um =
1
2
∫
V
~B · ~Hdv − 1
2
∫
V
~∇ ·
(
~A× ~H
)
dv
Fazendo V → todo espac¸o, o segundo termo tende a zero, portanto:
UB =
1
2
∫
R3
~B · ~Hdv (13.9)
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	Componente paralela à superfície e paralela à direção da corrente
	Componente paralela à superfície e perpendicular à direção da corrente
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