TRANSFORMADA Z

Prévia do material em texto

PROCESSAMENTO DIGITAL DE 
SINAIS 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Viviana Raquel Zurro. 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Caro aluno, este é um guia de estudos. Material de estudo, exemplos e 
exercícios resolvidos estão disponíveis no livro texto e no material de leitura 
obrigatória disponibilizados na aula. 
Podemos dizer que a transformada z é para sistemas discretos o que a 
transformada de Laplace representa para sistemas contínuos. Em sistemas 
contínuos, é comum trabalhar com a variável complexa s. Em sistemas discretos, 
a transformada z converte sinais em tempo discreto, compostos por uma 
sequência de números reais ou complexos, em uma representação complexa no 
domínio da frequência. 
A transformada z é considerada uma generalização da transformada de 
Fourier. Esta última apresenta limitações em relação à convergência, enquanto 
a primeira abrange uma gama mais ampla de sinais. Outra desvantagem da 
transformada de Fourier é que a notação é mais complexa que a da transformada 
z. Ela tem grande importância em processamento digital de sinais, em processos 
de amostragem e em análises de sistemas de controle discreto. Tanto a resposta 
em frequência quanto a estabilidade e a causalidade do sistema podem ser 
determinadas fazendo 𝑧 = ⅇ𝑗𝜔 e determinando polos e zeros do sistema. Trata-
se também de uma ferramenta que, usada em conjunto com a transformada 
discreta de Fourier, pode determinar espectro de sinais discretos. 
TEMA 1 – DEFINIÇÃO E REGIÃO DE CONVERGÊNCIA 
Na Aula 1, equação (24), a transformada de Fourier foi definida como: 
 𝑋(ⅇ𝑗⍵) = ∑ 𝑥(𝑛)ⅇ−𝑗⍵𝑛
∞
𝑛=−∞
 (1) 
Considerando a sequência infinita 𝑥(𝑛) como: 
 𝑥(𝑛)|𝑛=0,±1,±2,… (2) 
Podemos definir a transformada z como uma série de potências 
representada pela equação (3): 
 𝑋(𝑧) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑧−𝑛
∞
𝑛=−∞
 (3) 
𝑋(𝑧) é o operador da transformada e pode ser definido como:e 
 
 
3 
 𝑍{𝑥(𝑛)} = ∑ 𝑥(𝑛)𝑧−𝑛
∞
𝑛=−∞
= 𝑋(𝑧) (4) 
Analisando as equações (1) e (3), é possível ver que há semelhança entre 
as duas; portanto, podemos afirmar que substituindo a exponencial ⅇ𝑗⍵ pela 
varável complexa z, as transformadas de Fourier e z são semelhantes. 
A variável complexa z pode ser definida da seguinte forma: 
𝑧 = 𝑟ⅇ𝑗⍵ 
Onde 𝑟 é o módulo da variável e ⍵ é o ângulo de fase. Substituindo na 
equação (3): 
𝑋(𝑟ⅇ𝑗⍵) = ∑ 𝑥(𝑛)(𝑟ⅇ𝑗⍵)
−𝑛
∞
𝑛=−∞
 
Logo: 
 𝑋(𝑟ⅇ𝑗⍵) = ∑ (𝑥(𝑛)𝑟−𝑛)ⅇ−𝑗⍵n
∞
𝑛=−∞
 (5) 
Para 𝑟 = 1, 𝑧 = ⅇ𝑗⍵. Assim, a equação (5) se transforma na equação (1). 
Como z é uma variável complexa, para interpretar a transformada é conveniente 
usar um plano complexo. A Figura 1 mostra o plano z com a circunferência 
unitária. 
Figura 1 – Plano complexo z e círculo de raio unitário 
 
 
O ângulo de fase do vetor z (⍵) é o ângulo entre o eixo real do plano e a 
posição do vetor. Podemos observar que, partindo de ⍵=0 (z=1) até ⍵=π (z=-1), 
 
 
4 
teremos a transformada de Fourier de x(n) para 0 ≤ ⍵ ≤ - π. Se continuarmos o 
giro no sentido anti-horário, chegaremos novamente ao ponto inicial z=1 para 
⍵=2π. Podemos dizer então que a transformada de Fourier é periódica porque, 
se repetirmos o processo, a partir de 2π os cálculos se repetem. O período da 
transformada é de 2π porque o vetor faz voltas inteiras no círculo, chegando 
sempre ao ponto de partida (Oppenheim; Schafer, 2012). 
1.1 Região de convergência 
Assim como a transformada de Fourier não é convergente para todas as 
sequências (a soma infinita pode não ser finita), a transformada z também não 
converge para todas as sequências ou valores de z. Por definição, a região de 
convergência (RDC) é aquela região na qual a série de potências da 
transformada z converge, ou seja, onde 𝑋(𝑧) é finita. 
 |𝑋(𝑧)| = | ∑ 𝑥(𝑛)𝑧−𝑛
∞
𝑛=−∞
| < ∞ (6) 
Como a RDC é muito importante, ela deve ser indicada junto com a 
transformada z. Vejamos alguns exemplos. Para as sequências finitas a seguir, 
determine a transformada z e a RDC. O valor em vermelho indica o valor em 
n=o. 
𝑥(𝑛) = {…𝑥(−3), 𝑥(−2), 𝑥(−1), 𝑥(0), 𝑥(1), 𝑥(3), 𝑥(3)… } 
1 𝑥(𝑛) = {−2,1,0,3,4,2}: sequência infinita. 
𝑋(𝑧) = −2𝑧3 + 𝑧2 + 3 + 4𝑧−1 + 2𝑧−2 
Em 𝑧 = ∞, 𝑋(𝑧) = ∞, os termos 𝑥(−3) e 𝑥(−2) seriam multiplicados por 
∞, portanto 𝑋(𝑧) = ∞. 
Em 𝑧 = 0, 𝑋(𝑧) = ∞, os termos 𝑥(1) e 𝑥(2) seriam divididos por 0, portanto 
𝑋(𝑧) = ∞. 
RDC: todo o plano z, exceto em 𝑧 = 0 e 𝑧 = ∞. 
2 𝑥(𝑛) = {−3,−1,3,7,1,4}: sequência lateral esquerda. 
𝑋(𝑧) = −3𝑧5 − 𝑧4 + 3𝑧3 + 7𝑧2 + 𝑧 + 4 
RDC: todo o plano z, exceto em 𝑧 = ∞. 
3 𝑥(𝑛) = 2𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 0: sequência lateral direita. 
 
 
5 
𝑥(𝑛) = 𝑥(0,1,2,3,4,5) = {0,2,4,8,16,32} 
𝑋(𝑧) = 2𝑧−1 + 4𝑧−2 + 8𝑧−3 + 16𝑧−4 + 32𝑧−5 
RDC: todo o plano z, exceto em 𝑧 = 0. 
Considerando os exemplos, é possível verificar que a região de 
convergência da transformada z cobre praticamente todo o plano z, com exceção 
de 𝑧 = 0 e 𝑧 = ∞. Além disso, o expoente de z determina a localização temporal 
das amostras. Portanto, 𝑧−𝑘 pode ser interpretado como um operador de 
deslocamento com um atraso de 𝑘𝑇𝑎 segundos (sendo 𝑇𝑎 o período de 
amostragem). 
A região de convergência para uma sequência infinita é dada pela 
equação (7): 
 |𝑋(𝑧)| ≤ ∑ |𝑥(𝑛)𝑟−𝑛|
−1
𝑛=−∞
+∑|𝑥(𝑛)𝑟−𝑛|
∞
𝑛=0
 (7) 
Fazendo mudança de variável: 
 |𝑋(𝑧)| ≤ ∑|𝑥(−𝑛)𝑟𝑛|
∞
𝑛=0
+∑|𝑥(𝑛)𝑟−𝑛|
∞
𝑛=0
 (8) 
As equações (7) e (8) são iguais. Na equação (8), o primeiro termo 
representa uma sequência lateral esquerda. A RDC desta sequência é a parte 
interna de um círculo com raio 𝑅𝐻 < ∞. O segundo termo representa uma 
sequência lateral direita cuja RDC é a parte externa de um círculo de raio 𝑅𝐿 >
0. Então, a RDC de uma sequência infinita será um anel correspondente à 
interseção das RDC de sequências laterais esquerdas e direitas. 
A Figura (2) mostra diferentes regiões de convergência. 
Figura 2 – Região de convergência de sequências: (a) lateral esquerda 
 
(a) (b) (c) 
𝑅𝐻 < ∞, (b) lateral direita 𝑅𝐿 > 0, (c) infinita 𝑅𝐿 < |𝑧| < 𝑅𝐻. 
 
 
6 
Vejamos as propriedades da RDC. Primeiramente, é um anel centrado 
na origem: 
0 ≤ 𝑅𝐿 < |𝑧| < 𝑅𝐻 
Se a região de convergência contém o raio unitário, a transformada de 
Fourier da sequência converge absolutamente porque 𝑧 = ⅇ𝑗⍵ pertence ao 
círculo unitário. Além disso (Albuquerque, 2000): 
 não existem polos na RDC; 
 para sequências de duração finita, a região de convergência se estende 
por todo o plano z, com exceção de 𝑧 = 0 e 𝑧 = ∞; 
 para sequências laterais esquerdas, se estende desde zero até o polo 
mais próximo (mais interno); 
 para sequências laterais direitas, se estende a partir do polo mais externo 
para fora, incluindo provavelmente 𝑧 = ∞; 
 no caso das sequências bilaterais infinitas, a RDC tem forma de anel e 
não contém polos; 
 a transformada de Fourier da sequência converge se, e somente se, a 
transformada z da mesma contiver o círculo unitário. 
A Tabela 1 mostra algumas transformadas z básicas. 
 
 
 
7 
Tabela 1 – pares comuns de transformadas z 
 
Fonte: Oppenheim; Schafer, 2012. 
A Figura 3 mostra diferentes RDC de quatro transformadas z 
correspondentes a sequências diferentes com os mesmos polos e zeros. 
Figura 3 – (a) Sequência lateral direita. (b) Sequência lateral esquerda. (c) e (d) 
Sequências bilaterais 
 
 
8 
 
Fonte: Oppenheim; Schafer, 2012. 
TEMA 2 – TRANSFORMADA Z INVERSA 
No processamento de sinais em tempo discreto, a transformada z pode 
ser usadapara trabalhar e processar certas sequências no plano z com alguma 
finalidade. No entanto, vezes é necessário levar novamente essas sequências 
do plano z para o domínio do tempo, uma vez processadas. Para isso, utiliza-se 
a transformada inversa. 
Os polos e zeros são parâmetros muito importantes na análise e na 
inversão das transformadas z. Os zeros são determinados pelos valores que 
zeram a função (zeros no numerador) e os polos são determinados pelos valores 
que levam a amplitude da função a infinito (zeros no denominador). Portanto, 
podemos concluir que a região de convergência de uma transformada não pode 
conter polos. 
 
 
9 
2.1 Integral de contorno 
A transformada inversa é definida pela seguinte integral de contorno, 
sendo C a região de contorno em sentido anti-horário que inclui a origem: 
 𝑥(𝑛) =
1
2𝜋𝑗
∮ 𝑋(𝑧)𝑧𝑛−1𝑑𝑧
𝐶
 (9) 
Segundo a integral de Cauchy: 
 
1
2𝜋𝑗
∮ 𝑧−𝑘𝑑𝑧
𝐶
= {
1, 𝑘 = 1
0, 𝑘 ≠ 1
 (10) 
A equação (9) pode ser deduzida trabalhando com as equações (3) e (10). 
Se a RDC incluir o círculo unitário, a região de contorno estará limitada por |𝑧| =
1; se nesse caso substituirmos z por ⅇ𝑗⍵, teremos a transformada de Fourier, 
cujo contorno está entre ±𝜋. Mas a equação (9) é difícil de trabalhar, motivo pelo 
qual não é muito usada. 
2.2 Método de inspeção 
Este é um método simples que permite calcular a transformada inversa, 
reconhecendo pares conhecidos da transformada z, como os mostrados na 
Tabela 1. Por exemplo, dada a transformada z, determine o sinal causal à qual 
essa transformada pertence: 
 𝑋(𝑧) =
−1
1 − 0,5𝑧−1
+
2
1 − 𝑧−1
 (11) 
Sendo o sinal causal por definição, a RDC é lateral direita, portanto |𝑧| >
𝑅𝐻 = 1. Observando a Tabela 1, substituindo o primeiro termo pelo par da linha 
5 e o segundo termo pelo par da linha 2, temos que a sequência x(n) vai ser dada 
por: 
 𝑥(𝑛) = −
1
2
𝑢(𝑛) + 2𝑢(𝑛) (12) 
2.3 Expansão por frações parciais 
No caso da transformada ser dada pela razão de dois polinômios, este 
método é adequado: 
 𝑋(𝑧) =
𝑁(𝑧)
𝐷(𝑧)
=
∑ 𝑏𝑘𝑧
−𝑘𝑀
𝑘=0
∑ 𝑎𝑘𝑧−𝑘
𝑁
𝑘=0
 (13) 
 
 
10 
O polinômio deve ser decomposto em polinômios de ordem menor (no 
geral de primeira ordem). A seguir, identifica-se na Tabela 1 a sequência 
temporal correspondente. A transformada z é a soma das sequências. 
Primeiramente, é necessário identificar os polos e zeros da função 
expressando X(z) em função do produtório. 
 𝑋(𝑧) =
𝑏0
𝑎0
∏ (1 − 𝑐𝑘𝑧
−1)𝑀𝑘=1
∏ (1 − 𝑑𝑘𝑧−1)
𝑁
𝑘=1
 (14) 
Onde 𝑐𝑘 são os zeros não nulos e 𝑑𝑘 são os polos não nulos de X(z). 
Vejamos o primeiro caso. M<N e todos os polos de primeira ordem. 
 𝑋(𝑧) = ∑
𝐴𝑘
1 − 𝑑𝑘𝑧−1
𝑁
𝑘=1
 (15) 
Os parâmetros Ak serão calculados de acordo com a equação a seguir: 
 𝐴𝑘 = (1 − 𝑑𝑘𝑧
−1)𝑋(𝑧)|𝑧=𝑑𝑘 (16) 
Vejamos o segundo caso. M≥N e todos os polos de primeira ordem. 
 𝑋(𝑧) = ∑ 𝐵𝑘
𝑀−𝑁
𝑘=0
𝑧−𝑘 +∑
𝐴𝑘
1 − 𝑑𝑘𝑧−1
𝑁
𝑘=1
 (17) 
Os parâmetros Ak são calculados de acordo com a equação (16) e os Bk 
pela divisão longa entre numerador e denominador. 
Vejamos agora o terceiro caso. M≥N e um polo dj de ordem múltipla L>1. 
 𝑋(𝑧) = ∑ 𝐵𝑘
𝑀−𝑁
𝑘=0
𝑧−𝑘 +∑
𝐴𝑘
1 − 𝑑𝑘𝑧−1
𝑁
𝑘=1
𝑘≠𝑗
+∑
𝐶𝑙
(1 − 𝑑𝑗𝑧−1)
𝑙
𝐿
𝑙=1
 (18) 
L é a ordem do polo e os parâmetros Ak e Bk são calculados, como 
explicado anteriormente. Os parâmetros Cl serão calculados com a seguinte 
fórmula: 
 𝐶𝑙 =
1
(𝐿 − 𝑙)! (−𝑑𝑗)
𝐿−1 [
𝑑𝐿−1
𝑑𝑧𝐿−1
(1 − 𝑑𝑗𝑧
−1)
𝐿
𝑋(𝑧)]
𝑧=𝑑𝑗
 (19) 
2.4 Expansão por série de potências 
Neste caso, a transformada seria dada pela série de Laurent, em que os 
valores da sequência são os coeficientes de z-n. 
 𝑋(𝑧) = ∑ 𝑥(𝑛)𝑧−𝑛
∞
𝑛=−∞
= ⋯+ 𝑥(−1)𝑧1 + 𝑥(0) + 𝑥(1)𝑧−1 +⋯ (20) 
Calcula-se posteriormente x(n) por inspeção. 
 
 
11 
2.5 Divisão longa 
Este método é aplicado quando a transformada z é o quociente entre dois 
polinômios. Nesse caso, o valor encontrado para z-n é o valor x(n) da sequência. 
É necessário ter cuidados especiais ao aplicar o método de inversão, porque o 
jeito como a divisão é feita depende da RDC. 
TEMA 3 – PROPRIEDADES E TEOREMAS 
As propriedades da transformada z são similares às da transformada de 
Fourier. É conveniente conhecer essas propriedades, porque elas podem ser 
usadas em conjunto com as técnicas explicadas anteriormente, para resolver as 
transformadas inversas de expressões complicadas (Oppenheim; Schafer, 
1975). 
𝑥(𝑛)
𝑍
↔𝑋(𝑧), 𝑅𝐷𝐶 = 𝑅𝑥 
3.1 Linearidade 
Duas séries diferentes com suas transformadas correspondentes: 
 
𝑎𝑥1(𝑛) + 𝑏𝑥2(𝑛)
𝑍
↔𝑎𝑋1(𝑧) + 𝑏𝑋2(𝑧) 
𝑅𝐷𝐶: 𝑅𝑋1 ∩ 𝑅𝑋2 
(21) 
A região de convergência é a interseção das regiões de convergência de 
𝑋1 e 𝑋2. 
3.2 Deslocamento no tempo 
Neste caso, n0 é um número inteiro. Se for positivo, a sequência será 
deslocada para a direita, e se for negativo será para a esquerda. A RDC pode 
ser modificada porque poderá haver alteração no número de polos em z=0 ou 
z=∞. 
 
𝑥(𝑛 − 𝑛0)
𝑍
↔𝑧−𝑛0𝑋(𝑧) 
𝑅𝐷𝐶: 𝑅𝑋 ⅇ𝑥𝑐ⅇ𝑡𝑜 ⅇ𝑚 𝑧 = 0 ⅇ/𝑜𝑢 𝑧 = ∞ 
(22) 
3.3 Multiplicação por uma sequência exponencial 
A RDC é igual à região de convergência da sequência x(n) multiplicada 
pelo módulo de a. 
 
 
12 
 
𝑎𝑛𝑥(𝑛)
𝑍
↔𝑋(𝑎−1𝑧) 
𝑅𝐷𝐶: |𝑎|𝑅𝑋 
(23) 
3.4 Diferenciação de X(z) 
 
𝑛𝑥(𝑛)
𝑍
↔− 𝑧
𝑑𝑋(𝑧)
𝑑𝑧
 
𝑅𝐷𝐶: 𝑅𝑋 ⅇ𝑥𝑐ⅇ𝑡𝑜 ⅇ𝑚 𝑧 = 0 ⅇ/𝑜𝑢 𝑧 = ∞ 
(24) 
3.5 Conjugação de uma sequência complexa 
 
𝑥∗(𝑛)
𝑍
↔𝑋∗(𝑧∗) 
𝑅𝐷𝐶: 𝑅𝑋 
(25) 
3.6 Reflexão no tempo 
 
𝑥(−𝑛)
𝑍
↔𝑋(𝑧−1) 
𝑅𝐷𝐶: 1 𝑅𝑋⁄ 
(26) 
3.7 Convolução de sequências 
 
𝑥(𝑛) ∗ 𝑦(𝑛)
𝑍
↔𝑋(𝑧)𝑌(𝑧) 
𝑅𝐷𝐶: 𝑅𝑋 ∩ 𝑅𝑌 
(27) 
3.8 Teorema do valor inicial 
Se x(n)=0 para n<0: 
 𝑥(0) = lim
𝑧→∞
𝑋(𝑧) (28) 
Neste caso, x(n) é uma sequência causal. 
3.9 Teorema do valor final 
 lim
𝑛→∞
𝑥(𝑛) = lim
𝑧→1
(1 − 𝑧−1)𝑋(𝑧) (29) 
3.10 Teorema da convolução complexa 
Na equação (27), verificamos que a transformada da convolução de duas 
sequências é igual ao produto das transformadas das sequências individuais. 
 
 
13 
Sabemos que, para sinais em tempo contínuo e transformada de Fourier, existe 
uma dualidade entre domínio do tempo e domínio da frequência. Em tempo 
contínuo, a convolução das funções leva ao produto das transformadas, e a 
convolução das transformadas leva ao produto das funções no tempo. No caso 
das sequências, essa dualidade não é tão exata, devido ao fato de que as 
sequências são discretas, enquanto suas transformadas são contínuas. Mas é 
possível obter uma relação em que a transformada z de um produto de 
sequências seja similar à convolução. 
Sendo 𝑦(𝑛) = 𝑥1(𝑛)𝑥2(𝑛) 
 
𝑌(𝑧) =
1
2𝜋𝑗
∮ 𝑋1
𝐶1
(𝑣)𝑋2 (
𝑧
𝑣
) 𝑣−1𝑑𝑣 
𝑜𝑢 𝑌(𝑧) =
1
2𝜋𝑗
∮ 𝑋1 (
𝑧
𝑣
)𝑋2
𝐶2
(𝑣)𝑣−1𝑑𝑣 
𝑅𝐷𝐶: (𝑅𝑋1𝑅𝑋2)𝐿 < |𝑧| < (𝑅𝑋1𝑅𝑋2)𝐻 
(30) 
Se C1 conter o círculo unitário, a transformada de Fourier existe: 
 𝑌(ⅇ𝑗⍵) =
1
2𝜋
∫ 𝑋1(ⅇ
𝑗⍵)𝑋2(ⅇ
𝑗(⍵−𝜃))
𝜋
−𝜋
𝑑𝜃 (31) 
Este teorema é a base do método de janelamento para o projeto de filtros 
digitais não recursivos (Aula 5). 
3.11 Teorema de Parseval 
 ∑ 𝑥1(𝑛)𝑥2
∗(𝑛)
∞
𝑛=−∞
=
1
2𝜋𝑗
∮ 𝑋1(𝑣)𝑋2
∗ (
1
𝑣∗
) 𝑣−1𝑑𝑣
𝐶
 (32) 
Se a RDC conter o círculo unitário, a transformada de Fourier existe: 
 ∑ 𝑥1(𝑛)𝑥2
∗(𝑛)
∞
𝑛=−∞
=
1
2𝜋
∫ 𝑋1(ⅇ
𝑗⍵)𝑋2
∗(ⅇ𝑗⍵)𝑑⍵
𝜋
−𝜋(33) 
Caso particular, se 𝑥(𝑛) = 𝑥1(𝑛) = 𝑥2(𝑛): 
 ∑ |𝑥(𝑛)|2
∞
𝑛=−∞
=
1
2𝜋
∫ |𝑋(ⅇ𝑗⍵)|
2
𝑑⍵
𝜋
−𝜋
 (34) 
É possível calcular a equação (34) tanto no domínio da frequência quanto 
no domínio do tempo, e representando a energia de x(n). 
Na Tabela 2, podemos observar algumas propriedades da transformada 
z (Oppenheim; Schafer, 2012). 
 
 
 
14 
Tabela 2 – Propriedades da transformada z 
 
TEMA 4 – SISTEMAS LINEARES 
Devido a suas propriedades e características, a transformada z é uma 
ferramenta matemática muito importante para trabalhar com sistemas LIT. A 
aplicação mais comum da transformada z é para verificar resposta em 
frequência, além da causalidade e da estabilidade de um sistema. 
De acordo com o que apresentamos na Aula 1, a saída de um sistema LIT 
y(n) é igual à convolução entre a sequência de entrada x(n) e a resposta à função 
amostra unitária h(n). 
 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) (35) 
Considerando a propriedade de convolução da equação (27), temos que: 
 𝑌(𝑧) = 𝑋(𝑧)𝐻(𝑧) (36) 
X(z) e H(z) são as transformadas de x(n) e h(n), respectivamente. H(z) é 
chamada de função de transferência ou função do sistema; é a relação entre 
saída e entrada do sistema LIT, cuja resposta ao impulso é h(n). Para analisar o 
sistema no domínio da frequência, basta estabelecer 𝑧 = ⅇ𝑗𝜔. 
Vejamos um exemplo. Considerando duas sequências de comprimento 
infinito ℎ(𝑛) = 𝑎𝑛𝑢(𝑛) e 𝑥(𝑛) = 𝐴𝑢(𝑛), calcular a saída do sistema usando a 
transformada z. Vamos passar para a resolução. A saída do sistema é dada pela 
 
 
15 
convolução de x(n) com h(n): 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛). O primeiro a ser feito é calcular 
a transformada das duas sequências. 
𝐻(𝑧) = ∑𝑎𝑛𝑧−𝑛
∞
𝑛=0
=
1
1 − 𝑎𝑧−1
 |𝑧| > |𝑎| 
𝑋(𝑧) = ∑𝐴𝑧−𝑛
∞
𝑛=0
=
𝐴
1 − 𝑧−1
 |𝑧| > 1 
Sendo |𝑎| < 1, transformada da convolução é: 
𝑌(𝑧) =
𝐴
(1 − 𝑎𝑧−1)(1 − 𝑧−)1
=
𝐴𝑧2
(𝑧 − 𝑎) ⋅ (𝑧 − 1)
 |𝑧| > 1 
Fazendo expansão por frações parciais: 
𝑌(𝑧) =
𝐴
1 − 𝑎
(
1
1 − 𝑧−1
−
𝑎
1 − 𝑎𝑧−1
) |𝑧| > 1 
Como y(n) é a transformada inversa de Y(z): 
𝑦(𝑛) =
𝐴
1 − 𝑎
(1 − 𝑎𝑛+1)𝑢(𝑛) 
Na Figura 4, podemos observar que a transformada da convolução 
dessas duas sequências de comprimento infinito tem um zero duplo na origem e 
polos em a e em 1. A RDC da convolução é dada pela superposição das RDCs 
individuais. 
Figura 4 – Polos, zeros e RDC da transformada Y(z) da convolução de 
sequências de comprimento infinito 
 
4.1 Função de transferência a partir de uma equação de diferenças 
Na Aula 1, já vimos que a equação de diferenças é definida por: 
 
 
16 
 𝑦(𝑛) = −∑(
𝑎𝑘
𝑎0
) 𝑦(𝑛 − 𝑘)
𝑁
𝑘=1
+∑(
𝑏𝑘
𝑎0
) 𝑥(𝑛 − 𝑘)
𝑀
𝑘=0
 (37) 
A transformada z é muito útil para trabalhar com equações de diferença. 
Essas equações, quando a entrada é nula para 𝑛 ≤ 0, comportam-se como 
sistemas causais. Para conhecer a função do sistema, aplicaremos à equação 
(37) as propriedades de linearidade e deslocamento no tempo. Na maioria dos 
casos, se estabelece que 𝑎0 = 1. 
 𝑌(𝑧) = −∑(
𝑎𝑘
𝑎0
) 𝑧−𝑘𝑌(𝑧)
𝑁
𝑘=1
+∑(
𝑏𝑘
𝑎0
) 𝑧−𝑘𝑋(𝑧)
𝑀
𝑘=0
 (38) 
Deixando Y(z) em função de X(z): 
 𝑌(𝑧) = (
∑ 𝑏𝑘𝑧
−𝑘𝑀
𝑘=0
∑ 𝑎𝑘𝑧−𝑘
𝑁
𝑘=0
)𝑋(𝑧) (39) 
Desta última equação, podemos deduzir que a função de transferência 
será: 
 𝐻(𝑧) =
𝑌(𝑧)
𝑋(𝑧)
=
∑ 𝑏𝑘𝑧
−𝑘𝑀
𝑘=0
∑ 𝑎𝑘𝑧−𝑘
𝑁
𝑘=0
 (40) 
Como o sistema é causal, a RDC deverá ser |𝑧| > 𝑟𝑅. Como a RDC não 
pode conter polos, 𝑟𝑅 é o polo de H(z) mais distante da origem. Os zeros do 
numerador determinam o zero de H(z), e os zeros do denominador determinam 
os polos de H(z). A equação (40) pode ser escrita em função do seus polos e 
zeros da seguinte maneira: 
 𝐻(𝑧) =
𝑏0
𝑎0
(1 − 𝑐1𝑧
−1)(1 − 𝑐2𝑧
−1)…
(1 − 𝑑1𝑧−1)(1 − 𝑑2𝑧−1)…
=
𝑏0
𝑎0
∏ (1 − 𝑐𝑘𝑧
−1)
𝑀
𝑘=1
∏ (1 − 𝑑𝑘𝑧−1)
𝑁
𝑘=1
 (41) 
Cada fator (1 − 𝑐𝑘𝑧
−1) corresponde a um zero em 𝑧 = 𝑐𝑘, e cada fator 
(1 − 𝑑𝑘𝑧
−1) corresponde a um polo em 𝑧 = 𝑑𝑘 e um zero na origem. 
Vejamos um exemplo. Um determinado sistema causal é determinado 
pela seguinte equação de diferenças: 
𝑦(𝑛) =
1
2
𝑦(𝑛 − 1) + 𝑥(𝑛) 
Qual é a função do sistema H(z)? Calcule os polos e zeros do sistema e 
faça o gráfico do módulo e da fase de H(z). Vejamos a resolução: 
𝑌(𝑧) = 0,5z−1𝑌(𝑧) + 𝑋(𝑧) 
(1 − 0,5𝑧−1)𝑌(𝑧) = 𝑋(𝑧) 
 
 
17 
𝐻(𝑧) =
𝑌(𝑧)
𝑋(𝑧)
=
1
1 − 0,5𝑧−1
: |𝑧| > 0,5 
H(z) tem um polo em 𝑧 = 0,5 e um zero na origem. Como o polo está 
localizado dentro do círculo unitário, H(z) converge para 𝑧 = ⅇ𝑗𝜔 . Vejamos a 
resposta em frequência: 
𝐻(ⅇ𝑗𝜔) =
1
1 − 0,5ⅇ−𝑗𝜔
 
Cálculo do módulo de 𝐻(ⅇ𝑗𝜔): 
|𝐻(ⅇ𝑗𝜔)| = √𝐻(ⅇ𝑗𝜔)𝐻∗(ⅇ𝑗𝜔) = √
1
1 − 0,5ⅇ−𝑗𝜔
⋅
1
1 − 0,5ⅇ𝑗𝜔
 
Resolvendo o denominador: 
𝐷 = (1 − 0,5ⅇ−𝑗𝜔) ⋅ (1 − 0,5ⅇ𝑗𝜔) = 
1 − 0,5ⅇ𝑗𝜔 − 0,5ⅇ−𝑗𝜔 + 0, 52ⅇ−𝑗𝜔ⅇ𝑗𝜔 = 
1,25 − 0,5(ⅇ𝑗𝜔 + ⅇ−𝑗𝜔) 
Considerando a fórmula de Euler: 
𝑐𝑜𝑠(𝜔) =
ⅇ𝑗𝜔 + ⅇ−𝑗𝜔
2
⟹ ⅇ𝑗𝜔 + ⅇ−𝑗𝜔 = 2𝑐𝑜𝑠(𝜔) 
A equação do denominador fica: 
𝐷 = 1,25 − 𝑐𝑜𝑠(𝜔) 
Portanto: 
|𝐻(ⅇ𝑗𝜔)| = √
1
1,25 − 𝑐𝑜𝑠(𝜔)
 
Cálculo da fase: 
𝐻(ⅇ𝑗𝜔) = 𝐻(ⅇ𝑗𝜔)
𝐻∗(ⅇ𝑗𝜔)
𝐻∗(ⅇ𝑗𝜔)
=
1
1 − 0,5ⅇ−𝑗𝜔
.
1 − 0,5ⅇ𝑗𝜔
1 − 0,5ⅇ𝑗𝜔
= 
𝐻(ⅇ𝑗𝜔) =
1 − 0,5 𝑐𝑜𝑠(𝜔) − 𝑗0,5𝑠ⅇ𝑛(𝜔)
1,25 − 𝑐𝑜𝑠(𝜔)
 
Então a fase pode ser definida como: 
∡𝐻(ⅇ𝑗𝜔) = 𝑡𝑎𝑛−1 {
𝐼𝑚[𝐻(ⅇ𝑗𝜔)]
𝑅ⅇ[𝐻(ⅇ𝑗𝜔)]
} = 𝑡𝑎𝑛−1 (
−0,5𝑠ⅇ𝑛(𝜔)
1 − 0,5 𝑐𝑜𝑠(𝜔)
) 
A Figura 5 mostra a amplitude e a fase da função do sistema. 
Figura 5 – (a) Resposta em frequência do módulo da função. (b) Resposta em 
frequência da fase da função – ângulo em radianos 
 
 
 
18 
 
(a) 
 
(b) 
4.2 Estabilidade e causalidade 
Para que H(z) represente a resposta em frequência do sistema, ela deve 
incluir o círculo unitário. Portanto, 𝑧 = ⅇ𝑗𝜔. A condição necessária e suficiente 
para um sistema LIT ser estável é que h(n) seja absolutamente somável, então: 
 ∑ |ℎ(𝑛)|
∞
𝑛=−∞
< ∞ (42) 
Para que a RDC inclua o círculo unitário: 
|𝐻(𝑧)| = ∑ |ℎ(𝑛)𝑧−𝑛|
∞
𝑛=−∞
= ∑ |ℎ(𝑛)||𝑧−𝑛|
∞
𝑛=−∞
 
Então, quando |𝑧| = 1 (círculo de raio unitário): 
 |𝐻(𝑧)| = ∑ |ℎ(𝑛)|
∞
𝑛=−∞
 (43) 
Um sistema LIT é estável quando a região de convergência inclui o círculo 
unitário (teorema da estabilidade no domínio da transformada z) (Oppenheim; 
Schafer, 1975). 
O sistema é causal se satisfaz a seguinte condição: 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
|H(e^jω )|
ω
-π π
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
∠H(e^jω )
ω
-π π 
 
 
19 
 ℎ(𝑛) = 0: 𝑛 < 0 (44) 
Como podemos ver, h(n) é uma sequência lateral direita, sendo a RDC 
para fora de um círculo cujo raio é determinado pelo polo de H(z) que está mais 
longe da origem. Portanto, a estabilidade e causalidade de um sistema SLDI 
(LIT) é verificada através da obtenção dos polos de sua função de transferência 
e checando se todos eles têm módulo menor do que 1 (Albuquerque, 2000). 
Vejamos os sistemas: 
 Sistema estável: A RDC inclui o círculo unitário, não contém polos e tem 
forma de anel; 
 Sistema causal: A RDC é externa ao polo de módulo maior e não o inclui; 
 Sistema causal e estável: todos os polos se encontram dentro do círculo 
de raio unitário. 
4.3 Resposta em frequência a partir dos polos e zeros 
Como visto na equação (41), a função do sistema pode ser expressa em 
função dos seus polos e zeros. Ela podeser reescrita da seguinte maneira: 
 𝐻(𝑧) =
(𝑧 − 𝑐1)(𝑧 − 𝑐2)⋯ (𝑧 − 𝑐𝑀)
(𝑧 − 𝑑1)(𝑧 − 𝑑2)⋯ (𝑧 − 𝑑𝑁)
 (45) 
Os parâmetros c indicam os zeros e os d os polos. O módulo é calculado 
pela equação (46): 
 |𝐻(𝑧)| =
|𝑧 − 𝑐1||𝑧 − 𝑐2|⋯ |𝑧 − 𝑐𝑀|
|𝑧 − 𝑑1||𝑧 − 𝑑2|⋯ |𝑧 − 𝑑𝑁|
 (46) 
Para a resposta em amplitude, usa-se 𝑧 = ⅇ𝑗𝜔 com ω variando entre ±π o 
qual corresponde a calcular H(z) no círculo unitário. A resposta em amplitude do 
sistema dependerá da posição de cada polo e zero no plano z. Se o polo estiver 
perto de z=0, ele praticamente não terá muita influência na resposta. Mas se ele 
estiver perto do círculo unitário, a resposta será bem pronunciada (aguda). No 
caso dos zeros, se estiver perto de z=0, também não terão muita influência, mas 
se estiverem perto do círculo unitário, a característica apresentará um vale nas 
frequências próximas do zero. 
TEMA 5 – TRANSFORMADA Z UNILATERAL 
A equação (3) define a transformada z bilateral, ou seja, para os dois lados 
de n=0. A diferença com a transformada unilateral da equação (47) é que, para 
 
 
20 
a transformada unilateral, independentemente dos valores de x(n) para n<0, o 
limite inferior da soma é sempre fixado em zero. 
 𝑋(𝑧) = ∑𝑥(𝑛)𝑧−𝑛
∞
𝑛=0
 (47) 
No caso de x(n) ser igual a zero para todos os valores de n<0, as 
transformadas unilateral e bilateral são iguais. Elas serão diferentes no caso de 
x(n) ser diferente de zero para n<0. 
Veja o exemplo da Figura 6. 
Figura 6 – Transformada unilateral de uma função impulso. A equação 3.74 é a 
equação (47) 
 
Fonte: Oppenheim; Schafer, 2012. 
Se considerarmos uma transformada bilateral de uma sequência lateral 
direita, veremos que as propriedades da transformada unilateral são as mesmas 
devido a que a transformada unilateral desconsidera todas as componentes 
laterais esquerdas. Para todas as transformadas unilaterais, a RDC será |𝑧| >
𝑟𝑅, e para as transformadas unilaterais racionais, será definida pelo polo que está 
mais afastado de z=0. 
As equações de diferença da forma da equação (37) são usadas 
geralmente considerando condições de repouso inicial. Mas, em outros casos, 
as propriedades de deslocamento no tempo e de linearidade são ferramentas 
fundamentais para a transformada z unilateral. Enquanto a propriedade de 
linearidade é igual para as transformadas bi e unilateral, a propriedade de 
deslocamento no tempo não é devido a que o limite inferior da transformada 
unilateral é fixado em zero. 
 
 
 
21 
5.1 Propriedade de deslocamento no tempo para a transformada z 
unilateral 
Para determinar essa propriedade, vamos considerar a sequência 𝑥(𝑛) 
com transformada unilateral 𝑋(𝑛), e 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛 − 1). Portanto: 
 𝑌(𝑧) = ∑𝑋(𝑛 − 1)𝑧−𝑛
∞
𝑛=0
 (48) 
Substituindo o índice 𝑛 por 𝑛 = 𝑚 − 1: 
 𝑌(𝑧) = ∑ 𝑥(𝑚)𝑧−(𝑚+1)
∞
𝑚=−1
= 𝑥(−1) + 𝑧−1 ∑ 𝑥(𝑚)𝑧−𝑚
∞
𝑚=0
 (49) 
Trabalhando com a equação (49): 
 𝑌(𝑧) = 𝑥(−1) + 𝑧−1 ⋅ 𝑋(𝑧) (50) 
Para 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛 − 𝑘) com 𝑘 = 0, a transformada ficará de acordo com a 
equação (51). 
 𝑌(𝑧) = ∑ 𝑥(𝑚 − 𝑘 − 1)𝑧−𝑚+1
𝑘
𝑚=1
+ 𝑧−𝑘𝑋(𝑧) (51) 
No exemplo a seguir, mostraremos o uso da transformada z unilateral para 
calcular a saída de uma equação de diferença cujas condições iniciais são 
diferentes de zero. 
Vejamos um exemplo. A equação de diferenças representa um sistema 
linear com coeficientes constantes. Considerando 𝑥(𝑛) = 0 para 𝑛 < 0 e a 
condição inicial em 𝑛 = −1 equivale a 𝑦(−1). 
 𝑦(𝑛) − 𝑎𝑦(𝑛 − 1) = 𝑥(𝑛) (52) 
 𝑌(𝑧) − 𝑎𝑦(−1) − 𝑎𝑧−1𝑌(𝑧) = 𝑋(𝑧) (53) 
Isolando 𝑌(𝑧): 
 𝑌(𝑧) =
𝑎𝑦(−1)
1 − 𝑎𝑧−1
+
1
1 − 𝑎𝑧−1
𝑋(𝑧) (54) 
Se 𝑦(−1) = 0, sendo 𝑌(𝑧) = 𝐻(𝑧)𝑋(𝑧): 
 𝐻(𝑧) =
1
1 − 𝑎𝑧−1
 |𝑧| > |𝑎| (55) 
Esta função do sistema corresponde à equação de diferenças (52), 
quando iterada com as condições de repouso inicial. Se 𝑥(𝑛) = 0 ∀ 𝑛: 
𝑦(𝑛) = 𝑦(−1)𝑎𝑛+1 𝑛 ≥ −1 
Portanto, se 𝑦(−1) ≠ 0, o sistema não terá um comportamento linear, 
devido ao fato de que a propriedade de mudança de escala para sistemas 
 
 
22 
lineares diz que, quando a entrada for nula para todo n, a saída deverá ser nula 
para todo n. 
Por exemplo, considerando 𝑥(𝑛) = 𝐴𝑢(𝑛): 
𝑋(𝑧) =
𝐴
1 − 𝑧−1
 |𝑧| > 1 
A equação para 𝑦(𝑛) com 𝑛 ≥ −1 fica: 
 𝑌(𝑧) =
𝑎𝑦(−1)
1 − 𝑎𝑧−1
+
𝐴
(1 − 𝑎𝑧−1)(1 − 𝑧−1)
 (56) 
Resolvendo a equação (56), chegamos à solução completa: 
 𝑦(𝑛) = {
𝑦(−1) 𝑛 = −1
𝑦(−1)𝑎𝑛+1⏟ 
𝑅𝐸𝑁
+
𝐴
1 − 𝑎
(1 − 𝑎𝑛+1)
⏟ 
𝑅𝐶𝐼𝑁
 
𝑛 ≥ 0 (57) 
Como podemos ver na equação (57), a resposta do sistema é composta 
de duas partes: REN (resposta à entrada nula) e RCIN (resposta a condições 
iniciais nulas). A REN corresponde a A=0 e RCIN é a componente diretamente 
proporcional à entrada (linearidade), e permanece quando 𝑦(−1) = 0. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, estudamos o capítulo 3 do livro. Estudamos a transformada z 
de uma sequência, mostrando que ela é uma generalização da transformada de 
Fourier. Verificamos que a transformada z pode convergir onde a transformada 
de Fourier não converge. O estudo concentrou-se na própria transformada z e 
na transformada z inversa. Tivemos a oportunidade de trabalhar tanto no domínio 
do tempo discreto quanto na frequência. Vimos propriedades fundamentais da 
transformada z, assim como sua região de convergência; estudamos também as 
técnicas de transformação inversa. Trabalhamos a relação entre domínio do 
tempo e domínio da frequência para sequências, estudando a função do sistema, 
também chamada de função de transferência. Uma parte importante desta aula 
foi o estudo de algumas propriedades que facilitam a análise de sequências 
(sinais) em tempo discreto. 
 Capítulo 3: Introdução – página 61 
 
 
 
23 
REFERÊNCIAS 
ALBUQUERQUE, M. P. D. Processamento de Sinais. Centro Brasileiro de 
Pesquisas Físicas, 2000. Disponivel em: 
<www.cbpf.br/cat/pdsi/pps/AulaDeMotivacao.pps>. Acesso em: 16 mar. 2018. 
OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER, R. W. Digital Signal Processing. New Jersey: 
Prentice-Hall, 1975. 
_____. Processamento em Tempo Discreto de Sinais. 3. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2012.