AD2 PreCalculoEng_2019_1_gabarito

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Pre´-Ca´lculo para Engenharia AD2 - GABARITO 1
Questa˜o 1 [2,5 pontos] Considere o conjunto A = {−1,−2, 0, 1, 2}, e as func¸o˜es a seguir:
f : A→ R, descrita por f(x) = x− 1
x− 4 e g : A→ A descrita abaixo, respondendo os itens a seguir
g(x) =

−1 se x > 0;
0 se x = 0;
1 se x < 0.
(a)(1,5) Determine a imagem de f (ou seja, o conjunto de todos os valores f(x) para cada x no
dom´ınio A) e descreva a func¸a˜o composta f ◦ g. Para quais valores de x temos f(g(x)) > 0,
f(g(x)) < 0, e f(g(x)) = 0?
(b)(1,0) Mostre que na˜o e´ poss´ıvel construir a func¸a˜o composta g◦f , e exiba uma func¸a˜o f diferente
da func¸a˜o dada no enunciado tal que seja poss´ıvel realizar a composic¸a˜o g ◦ f .
Soluc¸a˜o:
a) Vamos substituir todos os elementos de A em f para determinar sua imagem: f(−1) = 2/5,
f(−2) = 1/2, f(0) = 1/4, f(1) = 0, f(2) = −1/2. Logo, o conjunto imagem e´ um subconjunto
de R dado por {−1/2, 0, 1/4, 1/2, 2/5}. Temos que a imagem de g, que e´ {−1, 0, 1}, esta´
contida no dom´ınio de f , e assim podemos tomar f ◦ g:
• f(g(1)) = f(g(2)) = f(−1) = 2/5 > 0;
• f(g(0)) = f(0) = 1/4 > 0;
• f(g(−1)) = f(g(−2)) = f(1) = 0.
Na˜o temos valores de x tais que f(g(x)) < 0.
b) Na˜o e´ poss´ıvel realizar a composta g ◦ f pois na imagem de f temos nu´meros que na˜o pertencem
a A, dom´ınio de g, como por exemplo 2/5, 1/4, etc. Podemos inventar qualquer f que possua
imagem dentro de A para conseguir nosso objetivo. Por exemplo, f(x) = x ja´ satisfaz o requisito.
Questa˜o 2 [2,5 pontos] Determine o dom´ınio da func¸a˜o
f(x) =
√
2 cosx− 1√
x4 − x2 −√6 .
Soluc¸a˜o:
• Precisamos de x4 − x2 = x2(x2 − 1) ≥ 0; as ra´ızes desse polinoˆmio sa˜o 0 e 1. Para que o
produto seja positivo, precisamos que x2 tenham o mesmo sinal. Como x2 e´ sempre maior ou
igual a zero, devemos ter tambe´m x2 − 1 ≥ 0, ou seja x ≤ −1 ou x ≥ 1. Assim, devemos
tomar x em (−∞,−1] ∪ [1,∞) para obter este resuldado;
• ale´m disso, o denominador deve ser diferente de 0; portanto,
√
x4 − x2 −√6 6= 0;
ou seja,
√
x4 − x2 6= √6; vamos investigar quando temos
√
x4 − x2 = √6. Elevando ambos
os membros ao quadrado, ficamos com x4 − x2 = 6. Vamos fazer y = x2,e assim a equac¸a˜o
fica
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Pre´-Ca´lculo para Engenharia AD2 - GABARITO 2
y2 − y − 6 = 0;
Usando a Fo´rmula de Ba´shkara, obtemos as ra´ızes y1 = −2 e y2 = 3; descartamos a primeira
pois y = x2 ≥ 0. Logo, temos y = 3 e assim x = √3 e´ o u´nico valor que anula o denominador.
• Analisando o que temos ate´ aqui, precisamos tomar a intersec¸a˜o destes conjuntos: assim,
x ∈ (−∞,−1] ∪ [1,∞), x 6= √3; vamos chamar este conjunto de A.
• Finalmente, no numerador, devemos ter a expressa˜o dentro da raiz maior ou igual a zero.
Logo, 2 cosx− 1 ≥ 0, o que nos da´ cosx ≥ 1/2. Observando o c´ırculo trigonome´trico, temos
x ≤ pi/3+2kpi, para todo k ∈ Z, e x ≥ −pi/3+2kpi, ou seja, −pi/3+2kpi ≥ x ≤ pi/3+3kpi.
Vamos chamar este conjunto de B.
Concluindo, temos que o dom´ınio da func¸a˜o e´ a intersec¸a˜o dos dois conjuntos encontrados acima,
A ∩B.
Questa˜o 3 [2,5 ponto] Considere as func¸o˜es f(x) = −x2 +4 e g(x) =
{ −x+ 2, se x ≤ 0
−x2 + 2, se x > 0
Encontre a expressa˜o de (g ◦ f)(x).
Soluc¸a˜o:
Para facilitar a compreensa˜o, escrevemos a func¸a˜o composta da seguinte maneira:
g(f(x)) =
{ −f(x) + 2, se f(x) ≤ 0
−(f(x))2 + 2, se f(x) > 0
Precisamos analisar o sinal de f(x) antes de fazer as substituic¸o˜es. Mas f(x) = −(x− 2)(x+ 2).
Fazendo um breve estudo de sinais ou esboc¸ando o gra´fico de f , que e´ uma para´bola com concavidade
para baixo cruzando o eixo x em −2 e 2, temos que f(x) ≤ 0 se x ≤ −2 ou x ≥ 2, e f(x) > 0 se
−2 < x < 2.
Portanto, temos:
• se x ≤ −2 ou x ≥ 2, temos g(f(x)) = −(−x2 + 4) + 2 = x2 − 2;
• se −2 < x < 2, temos g(f(x)) = −(−x2 +4)2 +2 = −x4 +8x2− 16+ 2 = −x4 +8x2− 14.
Logo, g(f(x)) =
{
x2 − 2, se x ≤ −2 ou x ≥ 2
−x4 + 8x2 − 14, se − 2 < x < 2
Questa˜o 4 [2,5 ponto] Considere o gra´fico da func¸a˜o f : [−4, 3]→ R abaixo e fac¸a o que se pede.
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(a)[0,8] Construa o gra´fico da func¸a˜o g(x) = f(x + 2) indicando a transformac¸a˜o que foi feita no
gra´fico da f para se obter o gra´fico da func¸a˜o g.
Soluc¸a˜o:
O gra´fico da func¸a˜o g e´ obtido fazendo uma translac¸a˜o de duas unidades na horizontal para a`
esquerda.
(b)[0,7] Sabendo que o gra´fico de f e´ uma reta em [1, 3], determine uma expressa˜o para g(x) =
2f(x− 1)− 2 em [2, 4].
Soluc¸a˜o: Como o gra´fico da f e´ uma reta em [1, 3] e passa pelos pontos (1, 2) e (3, 5), temos que
a equac¸a˜o da reta que passa por esses pontos e´ dada por y−2 = 32(x−1), ou seja, y = 3x2 + 12 , onde
3
2 e´ a inclinac¸a˜o desta reta. Logo, g(x) = 2f(x−1)−2 = 2
(
3(x−1)
2 +
1
2
)
−2 = 3x−2−2 = 3x−4.
(c)[0,5] Determine o dom´ınio da func¸a˜o j(x) = 2f(x+ 4) + 5
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Pre´-Ca´lculo para Engenharia AD2 - GABARITO 4
Soluc¸a˜o:
Como x+ 4 ∈ [−4, 3], temos que −4 ≤ x+ 4 ≤ 3.
Assim, −8 ≤ x ≤ −1.
Logo, Dom(j) = [−8,−1].
(d)[0,5] Determine a imagem da func¸a˜o m(x) = 2f(x+ 1) + 3
Soluc¸a˜o:
Como Imf =
[
−14 , 5
]
temos que −2 · 14 ≤ 2f(x+1) ≤ 10, logo −12 +3 ≤ 2f(x+1)+ 3 ≤ 10+ 3.
Portanto, Im(m) =
[
5
2 , 13
]
.
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