LISTA DE EXERCICIOS DE LI E LD

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Questões de Álgebra. 
L.D e L.I 
1-Dados os 𝒗𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗=(1,4) , 𝒗𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗=(3,16) e 𝒗𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗=(1,6) verificar se são LI ou LD. 
 
Resolução: Note que esses vetores tem apenas duas coordenadas (x,y), ou seja, esses 
vetores estão contidos no R2. Sempre que tivermos mais que n vetores no Rn, sempre 
esses vetores serão Linearmente dependente ( LD ). 
 
Como temos 3 vetores do R2 então os vetores sem LD 
 
2-Dados os 𝒗𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗=(1,4) e 𝒗𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗=(4,16) verificar se são LI ou LD. 
 
Resolução: Temos 2 vetores no R2. Sempre que tivermos 2 vetores, seja no R2,R3...Rn 
só precisamos ver se os vetores são paralelos, se forem serão LD, se não serão LI. 
Para verificar se dois vetores são paralelos só é preciso fazer a razão de cada 
coordenada, exemplo: 
Os vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ =(x1,y1) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ =(x2,y2) só serão paralelos se x1x2=y1y2. 
 
Então: 164=41=4. então os vetores são LD. 
 
 
3-Dados os 𝒗𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗=(1,2,1) , 𝒗𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗=(0,3,4) e 𝒗𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗=(1,5,5) verificar se são LI ou LD. 
 
Resolução: Montado a matriz dos vetores temos que 
𝑚 =
𝑣1
𝑣2
𝑣3
 = 
1 2 1
0 3 4
1 5 5
 𝐷𝑒𝑡(𝑚) = 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑠𝑎𝑜 𝐿. 𝐷. 
 
 
4-Dados os 𝒗𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗=(1,2,1) e 𝒗𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗=(2,4,4) verificar se são LI ou LD. 
 
Resolução: Assim como no problema 2 só bastar verificar se 21=42=41 mas 2≠4, 
portanto são LI. 
 
5-Dados os 𝒗𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1,4,1), 𝒗𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0,3,1) e 𝒗𝟑⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2.4,0) verificar se são L.I ou LD. 
Resolução: Temos 3 vetores 𝑅3, sempre que tivemos isso vamos montar uma matriz 
com os vetores: 
Se o determinante da Matriz = 0 então os vetores são LD 
Se o determinante da Matriz for diferente de 0 então os vetores são LI 
 
𝑚 =
𝑣1
𝑣2
𝑣3
 = 
1 4 1
0 3 1
2 4 0
 𝐷𝑒𝑡(𝑚) = −2, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑠𝑎𝑜 𝐿. 𝐼. 
 
6-Mostre que (1,-1), (1,2) e (2,1) são linearmente dependentes. 
Resolução: 
 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (1,-1), 𝑣2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗= (1,2) e 𝑣3⃗⃗⃗⃗ = (2,1) 
Os vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, 𝑣3⃗⃗⃗⃗ são linearmente dependentes se, e somente se, existe um 
conjunto de 
números complexos 𝑎𝐼 , … , 𝑎𝑛 com 𝑎𝑖 ≠ 0 para pelo um valor de i, tal que 𝑎1𝑣1 +
𝑎2𝑣2 + 𝑎3𝑣3 = 0 ou seja 
𝑎1(1,−1) + 𝑎2(1,2) + 𝑎3(2,1) = 0 
Podemos verificar que se 𝑎1 = 𝑎2 = 1 𝑒 𝑎3 = −1, então: 
1. (1,−1) + 2. (1,2) − 1. (2,1) = 0 
Logo, os vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ , 𝑣2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, 𝑣3⃗⃗⃗⃗ são linearmente dependentes. 
7-Dados 𝑽 = 𝑹𝟐.𝟐 e v1=
𝟏 𝟏
−𝟏 𝟏
 𝒗𝟐 =
𝟐 𝟏
𝟏 𝟑
 𝒆 𝒗𝟑 =
𝟎 𝟏
𝟐 𝟏
 
a)v1 e v2 são linearmente independentes? 
Resolução: Sim, são linearmente independentes, pois: 
a1v1+a2v2+a3v3=0 => a1*
1 1
−1 1
+ 𝑎2 ∗
2 1
1 3
+ 𝑎3
0 1
2 1
=
0 0
0 0
 
a1+2 a2=0 
a1+a2+a3=0 
-a1+a2+2 a3=0 
a1+3 a2+a3=0 
O posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da aumentada, então o sistema é 
consistente e determinado => os vetores são linearmente independentes. 
 
8-Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em R². 
a) v1= (2,1) e v2=(3,2) 
b) v1= (-2,1) , v2= (1,3) e v3= (2,4) 
Resolução: 
a)São linearmente independentes. 
a1v1+a2v2=0 
a1(2,1)+a2(3,2)=0 
2 a1+3 a2=0 
a1+2 a2=0 
Se o determinante da matriz dos coeficientes for igual à zero, a matriz é singular e se for 
diferente de zero, é invertível. 
Então podemos também resolver o problema de independência linear achando o 
determinante 
da matriz. 
Neste caso, o determinante é igual a um => os vetores são linearmente independentes. 
b)São linearmente dependentes, pois: 
a1(-2,1)+a2(1,3)+a3(2,4)= 
-2 a1+a2+2 a3=0 
a1+3 a2+4 a3=0 
O sistema vai ter variável livre => os vetores são linearmente dependentes. 
 
9-Dados V=R² e v1=(1,-1) , v2=(1,2) e v3=(3,6). 
a) v1 e v2 são linearmente independentes? 
b) v1,v2 e v3 são linearmente independentes? 
 
Resolução: 
a) São linearmente independentes, pois: 
a1v1+a2v2=0 => a1(1,-1) + a2(1,2)=(0,0) 
a1+a2=0 
-a1+2 a2=0 
Reduzindo a matriz na forma escada, veremos que o posto da matriz dos coeficientes é 
igual ao posto da aumentada, portanto a1=0 e a2=0 => os vetores são linearmente 
independentes. 
b) Não são linearmente independentes, pois: 
a1v1+a2v2+a3v3=0 => a1(1,-1) + a2(1,2) + a3(3,6)=(0,0) 
a1+a2+3 a3=0 
-a1+2 a2+ 6 a3=0 
O sistema é consistente e indeterminado, pois o posto da aumentada é diferente do posto 
da matriz dos coeficientes => os vetores não são linearmente independentes. 
 
10- Em cada um dos seguintes casos, analise se vectores indicados são linearmente 
Independentes: 
a) Em R4, v1 = (1, 1, 0, 0) , v2 = (1, 0, 1, 0) , v3 = (0, 0, 1, 1) , v4 = (0, 1, 0, 1) . 
b) Em R3, v1 = (1, 1, 2) , v2 = (1, 2, 1) , v3 = (3, 1, 1) . 
R: a) L.D. b) L. I. 
 
11-Calcule o único valor de a que faz com que os vectores de R4 
v1 = (1, 0, 0, 2) , v2 = (1, 0, 1, 0) , v3 = (2, 0, 1, a) 
Sejam linearmente dependentes. 
R: a = 2. 
 
12 - Demostre que qualquer conjunto finito de vetores que contém o vetor nulo 
deve ser linearmente independente. 
R: Seja {v1, . . . , vk} um conjunto de vetores em V tais que vk = 0V. Então {v1, . . . , 
vk} satisfazem a relação não trivial: 
λ1v1 + · · · + λnvn = 0V 
onde λ1 = λn−1 = 0 e λn = 1, portanto são linearmente dependentes.