MMCCCXXXII linguagem 2

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2. Igualamos a derivada a zero: 
\[ 
9x^2 - 24x + 9 = 0 
\] 
 
3. Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3: 
\[ 
3x^2 - 8x + 3 = 0 
\] 
 
4. Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática: 
\[ 
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 
\cdot 3} 
\] 
\[ 
= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = 
\frac{4 \pm \sqrt{7}}{3} 
\] 
 
As raízes são \( x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3} \) e \( x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3} \). 
 
5. Para determinar qual destes pontos é um máximo local, precisamos verificar a segunda 
derivada de \( f(x) \): 
\[ 
f''(x) = \frac{d}{dx}(9x^2 - 24x + 9) = 18x - 24 
\] 
 
6. Avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 - Para \( x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3} \), substituímos: 
 \[ 
 f''\left(\frac{4 - \sqrt{7}}{3}\right) = 18 \cdot \frac{4 - \sqrt{7}}{3} - 24 
 \] 
 
 - Para \( x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3} \), substituímos: 
 \[ 
 f''\left(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}\right) = 18 \cdot \frac{4 + \sqrt{7}}{3} - 24 
 \] 
 
Ao fazer essas substituições e observações, encontramos que \( x = 2 \) é o ponto de 
máximo local para a função original \( f(x) \), que é a alternativa b). 
 
**Questão:** Em um espaço vetorial \( V \) sobre o corpo dos números reais, considere os 
vetores \( \mathbf{u} = (2, -1, 3) \), \( \mathbf{v} = (4, 0, -2) \) e \( \mathbf{w} = (1, 1, 1) 
\). Qual é a condição necessária e suficiente para que os vetores \( \mathbf{u} \), \( 
\mathbf{v} \) e \( \mathbf{w} \) sejam linearmente independentes? 
 
Alternativas: 
a) Os vetores são linearmente independentes se o determinante da matriz cujas colunas são 
\( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) e \( \mathbf{w} \) é igual a zero. 
b) Os vetores são linearmente independentes se o determinante da matriz cujas colunas são 
\( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) e \( \mathbf{w} \) é diferente de zero. 
c) Os vetores são linearmente independentes se eles formam um conjunto gerador de \( 
\mathbb{R}^3 \). 
d) Os vetores são linearmente dependentes se forem ocuparem o mesmo plano em \( 
\mathbb{R}^3 \). 
 
**Resposta:** b) Os vetores são linearmente independentes se o determinante da matriz 
cujas colunas são \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) e \( \mathbf{w} \) é diferente de zero. 
 
**Explicação:** 
Para determinar se três vetores são linearmente independentes em \( \mathbb{R}^3 \), 
montamos uma matriz onde cada vetor é uma coluna. Assim, consideramos a matriz \( A = 
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix} \). 
 
O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz. A condição necessária e suficiente 
para que os vetores sejam linearmente independentes é que o determinante seja diferente 
de zero. Se o determinante for igual a zero, isso implica que os vetores são linearmente 
dependentes e que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor nulo. 
 
Vamos calcular o determinante: 
 
\[ 
\text{det}(A) = 2 \begin{vmatrix} 
0 & 1 \\ 
-2 & 1 
\end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 
-1 & 1 \\ 
3 & 1 
\end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 
-1 & 0 \\ 
3 & -2 
\end{vmatrix} 
\]