RELATORIO DE VIBRAÇÕES

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Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará - UNIFESSPA 
Instituto de Geociências e Engenharias - IGE 
Faculdade de Engenharia Mecânica - Femec 
Disciplina IGEM01053 - LABORATÓRIO DE VIBRAÇÃO E ACÚSTICA - Turma 2015. 
Folha 17, Quadra 04, Lote Especial, s/nº, 68505-080, Marabá, PA, Brasil 
 
Relatório de construção de pêndulo experimental para estudo 
de seu movimento com Decremento Logarítmico 
Abiassafe Rodenbergue Araújo Lima – Mat: 201440608001, araltos-cris@hotmail.com; 
Cledenilson R. de Oliveira – Mat: 201440608011, cledenilsonribeiro@hotmail.com; 
Francivan Do Nascimento Silva – Mat: 201440608011, francivansilva56@gmail.com; 
Petri Willian dos Santos Furtado – Mat: 201440608022, petrywillian@gmail.com. 
 
RESUMO 
 
No estudo de vibrações mecânicas, pode-se levar em consideração para análise de vibrações, o 
movimento de um pêndulo. Uma vez que sua trajetória, por meio de modelagem, pode mostrar 
como ocorre o amortecimento, que é um dos objetos de estudo no ramo. 
Esse amortecimento, pode ocorrer de diversas formas, e como se trata de um pêndulo, o 
amortecimento abordado é o amortecimento viscoso, o qual ocorre quando um sistema 
mecânico (pêndulo) vibra em meio a um fluido (ar). A resistência que o fluido exerce sob o 
corpo em movimento, faz com que sua energia seja dissipada. Como temos um sistema 
oscilatório, chamamos esse tipo de amortecimento de subamortecido. 
 
Palavra-chave: Vibrações Mecânicas, Pêndulo, Subamortecido. 
 
1. INTRODUÇÃO 
No estudo de vibrações mecânicas, o movimento de um pêndulo depende de suas 
propriedades, das propriedades do meio o qual o mesmo está sendo analisado e as forças que são 
aplicadas sobre ele. Essas propriedades devem ser levadas em consideração para que o estudo de 
análise, ocorra de forma eficiente. 
A oscilação do pêndulo é equivalente a sua vibração e como podemos observar, após uma 
certa excitação do sistema, conforme o tempo passa, há perda de intensidade da vibração 
(oscilação) do sistema. Isso ocorre por conta da força de atrito que o ar exerce sobre o sistema 
conforme ocorre seu movimento oscilatório. A força que o ar exerce para parar o sistema, é 
considerada como um tipo de amortecimento, conhecido como amortecimento viscoso ou 
viscoelástico. Onde esse amortecimento, é diretamente proporcional à velocidade. 
 
2. OBJETIVOS 
O presente relatório, tem por objetivo descrever a aplicação dos conhecimentos adquiridos 
durante o curso de vibrações mecânicas para a construção de um sistema de pêndulo simples. De 
forma que se pudesse mostrar o movimento deste pêndulo a partir de uma plotagem gráfica 
simples e analisar a partir do gráfico os efeitos de amortecimento para assim e realizar o cálculo 
do fator de amortecimento a partir do método de decremento logarítmico. 
 
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
Um pêndulo simples, consiste em um sistema onde têm-se uma massa qualquer suspensa 
por uma haste que oscila no campo gravitacional da terra. 
 
 
Figura 1: Exemplo de pêndulo simples: Fonte: Autor 
 
O movimento oscilatório de um pêndulo simples, depende de uma excitação inicial para 
que o sistema inicie seu movimento. Após essa excitação, o pêndulo continua a oscilar por conta 
própria, e essa vibração resultante (oscilação do pendulo) é conhecida como vibração livre. 
Segundo Rao 2008, P.30: 
Se nenhuma energia for perdida ou dissipada por atrito ou outra resistência 
durante a oscilação, a vibração é conhecida como vibração não amortecida. 
Todavia, se qualquer energia for perdida dessa maneira, ele é denominada 
vibração amortecida. 
Com o movimento oscilatório do pêndulo, a resistência do ar e outros fatores como: o 
material que constitui o pêndulo e sua base de fixação central, fazem com que ocorra a 
diminuição gradual da amplitude das oscilações. Nesse caso, temos um sistema de vibração 
amortecida, uma vez que a força de atrito atua diretamente sobre o sistema. 
A verificação do amortecimento viscoso se dá por meio do conhecimento em mecânica 
dos fluidos. Pois tem-se um fluido (ar) atuando sobre o sistema. Com isso, podemos utilizar a lei 
de Newton de fluxo viscoso, onde a tensão de cisalhamento (τ) desenvolvida na camada de 
fluido a uma distância y pode ser expressa por: 
τ = μ ∗
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 (1) 
Sendo du/dy = v/h é o gradiente de velocidade. A resistência (𝐹) desenvolvida na 
superfície inferior da placa em movimento é: 
𝐹 = τA =
μAv
ℎ
= 𝑐 ∗ 𝑣 (2) 
Onde: 
A é área da superfície da placa em movimento; 
C é a constante de amortecimento viscoso (𝑐) 
Podemos então representar da seguinte maneira: 
𝑐 =
μ∗A
ℎ
 (3) 
A equação (2) pode ser denotada com um sinal de negativo, uma vez que a força de 
amortecimento é oposta ao sentido do movimento: 
𝐹 = −𝑐 ∗ 𝑣 = −𝑐 ∗ ẋ (4) 
De acordo com o estudo, para um sistema com um grau de liberdade com um 
amortecedor viscoso. Se considerarmos x a medida em relação à posição de equilíbrio da massa 
m, a aplicação da lei de Newton do movimento ficará: 
𝑚ẍ + 𝑐ẋ + 𝑘𝑥 = 0 (5) 
A solução da equação acima nos permite encontrar a equação a seguir: 
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡 + 𝜙) (6) 
Outro fator importante, é determinar a constante de amortecimento crítico (𝑐𝑐) e o fator 
de amortecimento (ζ), sendo que o amortecimento crítico é definido como o valor da constante 
de amortecimento c para o qual o radical da equação a seguir é igual a zero: 
(
𝑐𝑐
2∗𝑚
)2 −
𝑘
𝑚
= 0 (7) 
Rearranjando a equação, tem-se o a constante de amortecimento crítico: 
𝑐𝑐 = 2 ∗ 𝑚 ∗ 𝑤𝑛 (8) 
Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento é definido como a razão 
entre a constante de amortecimento pela constante de amortecimento crítico: 
ζ =
𝑐
𝑐𝑐
 (9) 
Existem três casos de classificação de sistemas de amortecimento que são definidas a 
partir do valor do fator de amortecimento. 
Para ζ > 1: há duas soluções reais e chamamos de caso superamortecido 
Para ζ = 1: há uma solução real e chamamos de caso criticamente amortecido; 
Para 0 ≤ ζ < 1: há duas soluções complexas e chamamos de caso subamortecido. 
 
Para o sistema em analise, podemos calcular a amplitude e a fase da seguinte forma: 
𝐴 = √
(ẋ0+ʓ∗𝜔𝑛∙𝑥0)2+(𝑥0+𝜔𝑑)2
𝜔𝑑²
 (10) 
ɸ = 𝑡𝑔−1(
𝑥0∙𝜔𝑑
ẋ0+ʓ∙𝜔𝑑∙𝑥0
) (11) 
Onde o 𝜔𝑑 é denominado de frequência de vibração amortecida e sempre será um valor 
menor que a frequência natural não amortecida (𝜔𝑛), e a respectiva equação que representativa 
está descrita a seguir: 
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 ∗ √1 − ʓ
2 (12) 
O sistema estudado, é um exemplo de Movimento Harmônico, pois o seu movimento 
oscilatório é periódico e pode repetir-se regularmente. Esse tipo de movimento, é mostrado por 
uma curva senoidal, onde temos a aceleração diretamente proporcional ao deslocamento. Tal 
vibração, com aceleração proporcional ao deslocamento e dirigida à posição média é conhecida 
como movimento harmônico simples (Rao, 2008. P 44), expressa por: 
𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡) (13) 
Onde: 
x é seu deslocamento; 
A sua amplitude; 
𝜔 a frequência de oscilação; 
t o período do oscilação ou tempo. 
 
Figura 2: Gráfico com curva senoidal de movimento de oscilação de um pêndulo simples. Fonte: ATCP 
Engenharia Física 
A perda de intensidade da vibração (oscilação) do sistema em função do tempo após uma 
excitação está ligada às forças de atrito do ar exercidas por conta do seu movimento. A 
intensidade da força de amortecimento viscoso é expressa na forma: 
𝐹 = c ∗ ẍ (14) 
Onde: 
c é uma constante de proporcionalidade chamada de coeficiente de amortecimento viscoso; 
ẍ é a velocidade de deslocamentode uma massa em relação a um ponto fixo. 
Método do Decremento Logarítmico 
 O decremento logarítmico, está ligado à excitação aplicada no sistema, como em nosso 
pêndulo de estudo. Ele é determinado pela razão entre duas amplitudes sucessivas do sinal, 
conforme analisado na figura 2. 
Segundo Cossolino (2010, p.10): 
O termo decremento logarítmico refere-se à taxa de redução logarítmica, 
relacionada com a redução do movimento após o impulso, pois a energia é 
transferida para outras partes do sistema ou é absorvida pelo próprio 
elemento. Representa o método mais utilizado para calcular o amortecimento. 
Quando um sistema oscilatório com um grau de liberdade, com amortecimento viscoso é 
excitado por um impulso sua resposta vem na forma de decaimento no tempo (Figura 2). 
O decremento logarítmico é definido por: 
𝛿 = 𝑙𝑛 [
𝑥(𝑡)
𝑥(𝑡+𝑇)
] (14) 
Sendo T o período de oscilação se 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑 + 𝜙) (15), então: 
𝛿 = 𝑙𝑛 [
𝐴𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑+𝜙)
𝐴𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑑⁄ (𝑡+𝑇+𝜙)
] (16) 
Se 𝜔𝑑𝑇 = 2𝜋 
𝛿 = 𝑙𝑛𝜉𝜔𝑛𝑡 = 𝜉𝜔𝑛𝑡 (17) 
Se 𝑇 =
2𝜋
𝜔𝑑
 
𝛿 = 𝜉𝜔𝑛
2𝜋
𝜔𝑛√1−𝜉2
=
𝜉2𝜋
𝜔𝑛√1−𝜉2
 (18) 
Então: 
𝜉 =
𝛿
√4𝜋2−𝛿2
 (19) 
 
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
O modelo matemático que utilizamos ao longo do experimento, busca verificar o 
decremento logaritmo da vibração por meio do experimento do pendulo simples. A partir do 
experimento, podemos encontrar o coeficiente de amortecimento e rigidez máxima do material, 
em seguida podemos então classifica por analise do gráfico apresentado de que forma ocorre a 
vibração (oscilação) e seu amortecimento. 
Tendo em vista a complexidade e o intuito de uma melhor apresentação e aplicabilidade 
do conteúdo de vibração mecânica ministrado em sala de aula e no laboratório selecionamos os 
seguintes materiais para a confeccionar a bancada de experimento: 
4.1 Materiais 
 Base 
1 Folha de MDF (1000x40mm) 
 Sistema de transmissão de 
engrenagem 
3 Engrenagens de material polímero 
 Suporte lateral 
2 folhas de MDF (525x350mm) 
 Sistema de base da esteira 
5 roletes 
2 Sistema de guia. 
 Sistema de injeção direta 
1 bico injetor (agulha) 
1 mangueira de borracha 
 Pêndulo 
1 haste de aço 
 Ferramentas 
Furadeira 
Chaves de Fedas e alicates 
 
4.2 Métodos 
O processo de fabricação do experimento do sistema de pêndulo simples, iniciou-se com a 
seleção do material. Optou-se pela utilização do material de base (fig.3) MDF (médium density 
fiberboard). O material foi cortado, onde iniciou-se o processo de montagem a partir do 
acoplamento de conjunto de engrenagens (fig. 4), suporte do pêndulo (fig.5) e o rolete principal 
(fig.6) na base (fig.3). Esses materiais foram retirados de sistemas de impressoras, o qual 
aproveitou-se desde seu sistema elétrico, até seu conjunto de mecanismo de movimento. 
A impresso foi desmontada, e a partir desse processo, obteve-se os materiais necessários 
para a construção da esteira. 
 
Figura 3: Base da estrutura em MDF. Fonte: Autores 
 
Figura 4: Conjunto de engrenagens de movimento de esteira de papel. Fonte: Autores 
 
Figura 5: Suporte do pêndulo. Fonte: Autores 
 
 
Figura 6: Rolete principal de movimentação. Fonte: Autores 
Em seguida foi fixado o sistema de esteira (fig.7), composto com 5 roletes na base, juntamente 
com o sistema de guia (fig.8) e ajuste de tensão da esteira. 
 
Figura 7: Rolete Principal. Fonte: Autores 
 
 
Figura 8: Sistema de guia e ajuste. Fonte: Autores. 
A etapa seguinte, consistiu em se confeccionar o sistema de injeção direta de tinta para a 
plotagem do gráfico. Onde utilizou-se um cateter acoplado em uma pequena mangueira de 
borracha junto com uma seringa. 
 
Figura 9: Sistema de injeção de tinta. Fonte: Autores 
 
 
 
Figura 10: Cateter. Fonte: Autores 
A última etapa do processo, foi a confecção do pêndulo onde o mesmo foi pesado para a 
determinação da massa, e a esteira, para a realização dos primeiros testes; para a confecção da 
esteira utilizamos o rolo de papel para fax. 
 
Figura 11: Pendulo montado. Fonte: Autores 
 
Figura 12: Rolo de papel. Fonte: Autores 
Após juntar todos os materiais, teve-se por fim, o conjunto montado. 
 
 
 
Figura 13: Protótipo em funcionamento. Fonte: Autores 
6. RESULTADOS 
Após realizar a construção do sistema de pendulo simples, partiu-se para análise do 
sistema para a realização de modelagem matemática afim de se obter valores satisfatórios 
para a comprovação do que outrora havia sido confirmado teoricamente. 
Para isso, os parâmetros do sistema consistiram em se ter o valor da massa do pêndulo, a 
constante de rigidez do sistema dadas as condições inicias. Pelo sistema construído, obteve-
se os seguintes valores: 
 𝑚 = 0,141𝑘𝑔; 
 𝑥0 = 0,1 𝑚; 
 𝑥0̇ = 0,0 𝑚/𝑠; 
Para determinar a constante de rigidez da mola, primeiramente devemos calcular a 
frequência natural do pêndulo, que é dada por: 
𝜔𝑛 = √
𝑔
𝑙
= √
9,81𝑚/𝑠2
0,40𝑔
= 4,95 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Com o valor obtido, podemos calcular o valor da rigidez do sistema: 
𝑘 = 𝑚𝜔𝑛
2 
𝑘 = 0,141 ∙ 4,952 
= 0.487𝑁/𝑚 
Para o cálculo do fator de amortecimento e da frequência natural amortecida, calculemos 
primeiramente o decremento logarítmico, onde teremos: 
𝛿 = 𝑙𝑛 [
0,079
0,075
]=0,051 
Logo nosso fator de amortecimento será: 
𝜁 =
0,051
√4𝜋2 + 0,051²
= 0,0081 
Portanto, nossa frequência natural amortecida será: 
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁2 
𝜔𝑑 = 4,95√1 − 0,0081² = 4,94 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 A partir de então, temos todos os parâmetros necessários para modelar a função resposta 
do sistema. 
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒−ʓ∙𝜔𝑛∙𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑 ∙ 𝑡 + ɸ) 
 Onde: 
𝐴 = √
(ẋ0+ʓ∗𝜔𝑛∙𝑥0)2+(𝑥0+𝜔𝑑)2
𝜔𝑑²
= √
(0,0081∙4.95∙0,5)2+(0,5+4.94)2
4.94²
= 0,13 𝑚 
ɸ = tan−1 (
𝑥0∙𝜔𝑑
ẋ0+ʓ∙𝜔𝑑∙𝑥0
) = tan−1 (
0,079∙4.94
0,0081∙4.94∙0,079
) = 1,23 𝑟𝑎𝑑 
 Logo, nossa função será: 
𝑥(𝑡) = 0,1𝑒−0,165594𝑡 sin(4.94𝑡 + 1,23) 
 Plotando a função no Octave, teremos: 
 
 
Após realização do procedimento experimental usando o sistema de pêndulo, pode-se 
analisar a forma como o gráfico plotado se assemelha ao gráfico do software o que nos leva a 
afirmar que realmente temos um subamortecimento do nosso sistema. 
 
Figura 14: Fonte : Autores 
Após realização do experimento, pode-se notar a forma como o gráfico se comporta 
conforme o movimento do pêndulo, o que nos leva a afirmar que de fato, o amortecimento 
viscoso que ocorre nesse sistema é subamortecido. 
O método do decremento logaritmo, mostrou de eficiente como se pode determinar o fator 
de amortecimento de um sistema, uma vez que se confirmou na prática o que outrora havia sido 
estudado em teoria. 
Analisando o gráfico que foi plotado, podemos perceber o efeito da força de atrito com o 
meio visco (ar). 
 
7. CONCLUSÕES 
Tal experimento se deu de forma satisfatória, uma vez que os objetivos traçados 
anteriormente, foram alcançados. Pois podemos analisar na pratica como de fato ocorre o 
amortecimento de sistemas. 
Outro ponto importante, e muito satisfatório no desenvolvimento desta atividade, foi poder 
utilizar o conhecimento de outras disciplinas para desenvolver o projeto, como: mecânica dos 
fluidos, na utilização de fluidos para a plotagem do gráfico. Ajustagem para o desenvolvimento 
da estrutura do sistema. E também elétrica para o desenvolvimento do sistema de movimento da 
folha de papel para a plotagem gráfica. 
Com isso, podemos concluir que o conhecimento na área de vibrações mecânica é de suma 
importânciapara a formação técnico cientifica dos discentes. 
 
8. REFERÊNCIAS 
RAO, Singiresu. Vibrações Mecânicas. 4ª Ed. Editora Pearson. São Paulo. 2008 
ARAÚJO, Adriano. Estudo das Técnicas de Medição do Auto Amorteciento de Cabos 
Condutores. Unb.2014 
CASSOLINO. Luiz Carlos. Amortecimento: classificação e métodos de determinação. 
Informativo Técnico Cientifico. São Carlos – SP. 2010