Vibrações Mecânicas: Forçadas e Amortecidas

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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA</p><p>CENTRO DE TECNOLOGIA</p><p>DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA</p><p>VIBRAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS</p><p>VIBRAÇÕES FORÇADAS HARMONICAMENTE DE</p><p>SISTEMAS DE 1 GL</p><p>N O T A S D E A U L A S</p><p>Virgílio Mendonça da Costa e Silva</p><p>S e t e m b r o – 2 0 2 4</p><p>2</p><p>4. Vibrações Forçadas com e sem Amortecimento de Sistemas com 1 GL</p><p>Comentamos nos capítulos anteriores que a resposta de um sistema mecânico</p><p>depende do amortecimento presente no sistema e da força de excitação imposta ao</p><p>mesmo. No capitulo anterior vimos como o amortecimento interfere nos sistemas</p><p>com vibrações livres. Neste capitulo observaremos como o sistema se comporta sob</p><p>a ação de uma força de excitação na presença ou não de um amortecimento.</p><p>Começaremos com excitação harmônica e em seguida estenderemos para excitação</p><p>não harmônica.</p><p>4.1 Vibrações Forçada Harmonicamente</p><p>A excitação harmônica é muitas vezes encontrada em sistemas mecânicos. O</p><p>caso mais comum é o desequilíbrio ou desbalanceamento de sistemas rotativos.</p><p>Embora a excitação harmônica pura seja menos frequente que a periódica ou outros</p><p>tipos é essencial analisarmos o comportamento de um sistema a ela submetido, a fim</p><p>de compreendermos como o mesmo responderá a tipos mais comuns de excitação. A</p><p>excitação harmônica pode ser sob a forma de uma força ou um deslocamento,</p><p>aplicada em qualquer pondo do sistema.</p><p>4.1.1 Determinação da Equação Diferencial do Movimento</p><p>4.1.1.1 Método de Somatório de Forças (Newton)</p><p>Considere um sistema de um grau de liberdade, composto de uma massa M ,</p><p>uma mola de massa desprezível e rigidez K e um amortecedor viscoso de massa</p><p>desprezível, com coeficiente de amortecimento C , excitado por uma força harmônica</p><p>ω0F F sen t= , como representado pela Figura 4.1:</p><p>M</p><p>CK</p><p>∆</p><p>CK</p><p>M</p><p>Peso</p><p>K ∆</p><p>Posição sem Deflexão</p><p>Sistema em Equilibrio Estático</p><p>MX</p><p>K (∆+X)</p><p>Peso</p><p>Xɺ Xɺɺ</p><p>Sistema em Movimento</p><p>C Xɺ</p><p>Diagrama de Corpo livre</p><p>0F sen t ω</p><p>Figura 4.1 – Sistema de 1 GL com Amortecimento, Excitado Harmonicamente.</p><p>3</p><p>Aplicando somatório de forças (Segunda Lei do Movimento de Newton), ao</p><p>modelo físico da Figura 4.1, obtém-se:</p><p>( )∆ ω0M X = Peso - C X - K X F sen tɺɺ ɺ + +</p><p>ou</p><p>ω0M X + C X + K X = F sen tɺɺ ɺ (4.1)</p><p>Na equação (4.1), temos:</p><p>M Xɺɺ → Força relacionada ao movimento (Força de Inércia).</p><p>C Xɺ → Força do amortecedor (Força de Amortecimento).</p><p>K X → Força da mola (Força de Rigidez).</p><p>ω0F sen t → Força de Excitação</p><p>0F → Amplitude da Força de Excitação.</p><p>ω → Frequência de Excitação em [rad/s]</p><p>4.1.1.2 Método de Energia Usando Equação de Lagrange</p><p>Observando o que foi feito para sistema com vibrações livres amortecidos, com</p><p>um GL, basta introduzimos o valor da força externa generalizada kQ .</p><p>A equação de Lagrange é representada por:</p><p>k</p><p>k k k k</p><p>d T T D U</p><p>- + + = Q</p><p>d t q q q qɺ ɺ</p><p>∂ ∂ ∂ ∂</p><p>∂ ∂ ∂ ∂</p><p>(4.2)</p><p>onde:</p><p>T é a energia cinética do sistema</p><p>U é a energia potencial do sistema</p><p>D é a energia dissipada do sistema</p><p>kQ é a k-éssima força externa generalizada aplicada ao sistema</p><p>kq é a k-éssima coordenada generalizada do sistema</p><p>Para um sistema de um grau de liberdade com amortecimento temos apenas</p><p>uma coordenada generalizada 1q X= . As equações de energia para o sistema são:</p><p>4</p><p>Energia Cinética:</p><p>⋅ 21</p><p>T = M X</p><p>2</p><p>ɺ (4.3)</p><p>Energia Potencial:</p><p>( )∆ 21</p><p>U K + X - MgX</p><p>2</p><p>= (4.4)</p><p>Energia Dissipada:</p><p>⋅ 21</p><p>D = C X</p><p>2</p><p>ɺ (4.5)</p><p>Calculando as parcelas da equação (4.2) com base nas equações (4.3), (4.4) e</p><p>(4.5), temos:</p><p>k</p><p>T T 1</p><p>= = M 2 X</p><p>q X 2</p><p>ɺ</p><p>ɺɺ</p><p>∂ ∂ ⋅ ⋅</p><p>∂ ∂</p><p>(4.6)</p><p>k</p><p>d T d T</p><p>= = M X</p><p>d t q d t X</p><p>ɺɺ</p><p>ɺɺ</p><p>∂ ∂ ⋅</p><p>∂ ∂</p><p>(4.7)</p><p>k</p><p>T T</p><p>= = 0</p><p>q X</p><p>∂ ∂</p><p>∂ ∂</p><p>(4.8)</p><p>k</p><p>D D 1</p><p>= = C 2 X = C X</p><p>q X 2</p><p>ɺ ɺ</p><p>ɺɺ</p><p>∂ ∂ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>∂ ∂</p><p>(4.9)</p><p>∆</p><p>k</p><p>U U 1</p><p>= = K + K 2 X - Mg = K X</p><p>q X 2</p><p>∂ ∂ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>∂ ∂</p><p>(4.10)</p><p>( )k 0Q = F Sen tω (4.11)</p><p>Substituindo as equações (4.7), (4.8), (4.9), (4.10) e (4.11) na equação (4.2),</p><p>obtém-se:</p><p>( )0M X + C X + K X = F Sen tωɺɺ ɺ (4.12)</p><p>5</p><p>4.1.2 Solução e Análise da Equação Diferencial do Movimento</p><p>A equação (4.12) é uma equação diferencial ordinária, de segunda ordem, não</p><p>homogênea com coeficientes constantes. Portanto, sua solução é composta de duas</p><p>partes:</p><p> 1ª. Parte - Solução geral da equação diferencial homogênea associada, ou</p><p>seja: Solução geral da equação diferencial,</p><p>M X + C X + K X = 0ɺɺ ɺ (4.13)</p><p>Esta solução é a de um sistema de vibração livre com amortecimento de 1 GL,</p><p>determinada no capitulo anterior. Considerando o caso de sistema subamortecido,</p><p>tem-se:</p><p>( ) ( )ζω ζ ω ϕnt 2</p><p>n X t = Xe sen 1 - t + − (4.14)</p><p> 2ª. Parte – Uma solução particular (qualquer uma) da equação diferencial não</p><p>homogênea dada pela equação (4.12).</p><p>Esta solução particular será uma oscilação de estado permanente com a</p><p>mesma frequência da força excitação, ou seja, ω . Podemos supor que esta solução</p><p>particular seja da forma:</p><p>( )ω φx = X sen t − (4.15)</p><p>onde, X é a amplitude de oscilação e φ é a fase do deslocamento, com relação ‘a</p><p>força de excitação.</p><p>Substituindo a solução dada pele equação (4.15) na equação (4.12), obtém-se:</p><p>( ) ( ) ( )ω ω φ ω ω φ ω φ ω2</p><p>0- M Xsen t - + C Xcos t - + KXsen t - = F sen t (4.16)</p><p>Observa-se na solução encontrada pela equação (4.16), que a aceleração e a</p><p>velocidade estão defasadas de 90 graus, enquanto que a aceleração e o</p><p>deslocamento estão defasados de 180 graus. Esta solução é representada</p><p>graficamente pela Figura 4.2.</p><p>6</p><p>Referênciaφ</p><p>ωt KX</p><p>Mω2 X</p><p>F0</p><p>x</p><p>Cω X</p><p>Figura 4.2 – Diagrama Vetorial para Vibração Forçada com Amortecimento.</p><p>Do diagrama da Figura 4.2 concluir-se facilmente que</p><p>( ) ( )ω ω</p><p>0</p><p>2 22</p><p>F</p><p>X =</p><p>K - M + C</p><p>(4.17)</p><p>ωφ</p><p>ω</p><p>1</p><p>2</p><p>C</p><p>= tg</p><p>K - M</p><p>−  </p><p> </p><p> </p><p>(4.18)</p><p>Os mesmos resultados obtidos nas equações (4.17) e (4.18), podem ser</p><p>encontrados através da equação (4.16) para quaisquer dois valores diferentes do</p><p>ângulo ( )ω φt − , ou seja, se a equação (4.16) é válida para qualquer quantidade</p><p>angular, então ela é válida para ( )ω φt 0− = e ( )ω φt 90− = . Substituindo estes valores,</p><p>obtém-se:</p><p>( ) ( ) ( )ω ω φ2</p><p>0 M Xsen 0 + C Xcos 0 + KXsen 0 = F sen −</p><p> ω φ0C X = F sen (4.19)</p><p>( ) ( ) ( ) ( )ω ω φ2</p><p>0 M Xsen 90 + C Xcos 90 + KXsen 90 = F sen 90− +</p><p> ( )ω φ φ2</p><p>0 0 M X + KX = F sen 90 = F cos − − (4.20)</p><p>Elevando as equações (4.19) e (4.20) ao quadrado e somando membro a</p><p>membro, chega-se a:</p><p>7</p><p>( ) ( )ω ω</p><p>0</p><p>2 22</p><p>F</p><p>X =</p><p>K - M + C</p><p>(4.21)</p><p>ωφ</p><p>ω</p><p>1</p><p>2</p><p>C</p><p>= tg</p><p>K - M</p><p>−  </p><p> </p><p> </p><p>(4.22)</p><p>Para possibilitar uma apresentação gráfica concisa desses resultados,</p><p>expressamos as equações (4.21) e (4.22) na forma adimensional. Dividindo por K o</p><p>numerador e denominador de ambas as equações, obtém-se:</p><p>ω ω</p><p>0</p><p>2 22</p><p>F</p><p>KX =</p><p>M C</p><p>1 - +</p><p>K K</p><p>   </p><p>   </p><p>  </p><p>(4.23)</p><p>ω</p><p>φ</p><p>ω</p><p>1</p><p>2</p><p>C</p><p>K = tg</p><p>M</p><p>1 -</p><p>K</p><p>−</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>(4.24)</p><p>As equações (4.23) e (4.24) podem ainda ser expressas em termos das</p><p>seguintes quantidades.</p><p>ωn</p><p>K</p><p>M</p><p>= → Frequência natural de oscilação não amortecida em [rad/s]</p><p>ζ</p><p>C</p><p>C</p><p>=</p><p>C</p><p>→ Fator de Amortecimento</p><p>ωC nC = 2M → Amortecimento Crítico</p><p>ωω ωζ</p><p>ω</p><p>C</p><p>C n</p><p>CC C</p><p>2</p><p>K C K</p><p>= =</p><p>As expressões adimensionais para amplitude e fase tornam-se:</p><p>ω ωζ</p><p>ω ω</p><p>2 220</p><p>n n</p><p>XK 1</p><p>=</p><p>F</p><p>1 - + 2</p><p>      </p><p>             </p><p>(4.25)</p><p>8</p><p>ωζ</p><p>ω</p><p>φ</p><p>ω</p><p>ω</p><p>n1</p><p>2</p><p>n</p><p>2</p><p>= tg</p><p>1 -</p><p>−</p><p>  </p><p>  </p><p>  </p><p> </p><p>  </p><p>  </p><p>  </p><p>(4.26)</p><p>As equações (4.25) e (4.26) mostram que a amplitude adimensional e a fase φ</p><p>são funções somente da razão de frequências ω ωn/ e do fator de amortecimento ζ e</p><p>podem ser representadas graficamente como mostra as Figuras 4.3 (a) e (b).</p><p>Figura 4.3 (a) – Resposta de um Sistema de 1GL com Vibração Forçada.</p><p>Figura 4.3 (b) – Fase de um Sistema de 1GL com Vibração Forçada.</p><p>0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5</p><p>0</p><p>0.5</p><p>1</p><p>1.5</p><p>2</p><p>2.5</p><p>3</p><p>3.5</p><p>Razão de Frequências n /ω ω</p><p>0</p><p>X K</p><p>F</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>= 0.</p><p>= 0.</p><p>375</p><p>= 0</p><p>= 0</p><p>1</p><p>.</p><p>= 0.25</p><p>5</p><p>5</p><p>= 1</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>= 0.15</p><p>= 0.375</p><p>= 0.05</p><p>= 1</p><p>Razão de Frequências n /ω ω</p><p>Â</p><p>ng</p><p>ul</p><p>o</p><p>de</p><p>F</p><p>as</p><p>e</p><p>9</p><p>Estas curvas mostram que o fator de amortecimento tem uma grande</p><p>influência na amplitude do movimento e no ângulo de fase, na zona de frequência</p><p>próxima da ressonância. Pode-se obter melhor compreensão do comportamento do</p><p>sistema, pelo estudo do diagrama de forças correspondente a Figura 4.4, nas zonas</p><p>onde ω ωn/ é pequena, ω ωn/ 1= e ω ωn/ é grande.</p><p>Tanto a inércia como as forças de amortecimento são pequenas para valores</p><p>de ω ωn/ muito menores que um, do que resulta um pequeno ângulo de fase φ . A</p><p>magnitude da força aplicada é então aproximadamente igual à força da mola, como</p><p>se observa no diagrama vetorial da Figura 4.4 (a).</p><p>φ KX</p><p>CωXMω2 X</p><p>x</p><p>φ</p><p>ωt</p><p>KX</p><p>CωX</p><p>x</p><p>φ</p><p>KX</p><p>x</p><p>(b) ω/ω</p><p>n</p><p>= 1(a) ω/ω</p><p>n</p><p>> 1</p><p>CωX</p><p>F0</p><p>Mω2 X</p><p>Mω2 X</p><p>ωt ωt</p><p>F0</p><p>F0</p><p>Figura 4.4 – Diagrama Vetorial na Vibração Forçada.</p><p>Para ω ωn/ 1= , o ângulo de fase é 90o e o diagrama apresenta-se como na</p><p>Figura 4.4 (b). A força de inércia, que é maior agora, é equilibrada pela força da</p><p>mola, ao passo que a força aplicada supera a força de amortecimento. O valor da</p><p>amplitude na ressonância, tanto se pode obter pela equação (4.23) ou equação</p><p>(4.25), ou pela Figura 4.4 (b), e tem a seguinte expressão:</p><p>ω ζ</p><p>0 0</p><p>n</p><p>F F</p><p>X = =</p><p>C 2 K</p><p>(4.27)</p><p>Para valores de ω ωn/ muito maior que um, φ aproxima-se de 180o e a força</p><p>aplicada é gasta quase que inteiramente para vencer a grande força de inércia,</p><p>conforme se observa na Figura 4.4 (c).</p><p>De posse desses resultados, podemos agora escrever equação diferencial do</p><p>movimente para vibrações forçadas com amortecimento, dada pela equação (4.1), e</p><p>sua solução geral como:</p><p>ζω ω ω2 0</p><p>n n</p><p>F</p><p>X + 2 X + X = sen t</p><p>M</p><p>ɺɺ ɺ (4.28)</p><p>10</p><p>( ) ( ) ( )ζω ω φ</p><p>ζ ω φ</p><p>ω ω</p><p>nt 2 0</p><p>n 2 22</p><p>sen tF</p><p>x t = Xe sen 1 - t + +</p><p>K M C</p><p>1 - +</p><p>K K</p><p>− −</p><p>   </p><p>   </p><p>  </p><p>(4.29)</p><p>Observe que a primeira parte da equação (4.29) é um transiente, ou seja, após</p><p>um determinado tempo ela tende para zero, enquanto que a segunda parte é</p><p>permanente. Nas experimentações práticas somente a segunda parte é observada.</p><p>4.1.3 Desbalanceamento Rotativo</p><p>O desbalanceamento em máquinas rotativas é uma fonte comum de excitação</p><p>vibratória. Consideramos aqui um sistema massa-mola obrigado a se mover na</p><p>direção vertical e excitado por uma máquina rotativa que está desbalanceada,</p><p>conforme mostra a Figura 4.5. O desbalanceamento é representado por uma massa</p><p>excêntrica m com excentricidade e , que está girando com velocidade angular ω .</p><p>ωt</p><p>e</p><p>m</p><p>M</p><p>K/2 K/2C</p><p>X</p><p>Figura 4.5 – Sistema de 1 GL com Desbalanceamento Rotativo.</p><p>Sendo x o deslocamento da posição de equilíbrio estático da massa que não</p><p>gira ( )M m− , o deslocamento de m será:</p><p>ωx + e sen t (4.30)</p><p>A equação do movimento será então:</p><p>( ) ( )ω</p><p>2</p><p>2</p><p>d</p><p>M m x + m x + e sen t = - K x - C x</p><p>dt</p><p>ɺɺ ɺ− (4.31)</p><p>Rearranjando os termos chega-se a:</p><p>11</p><p>( )ω ω2M x + C x + K x = m e sen tɺɺ ɺ (4.32)</p><p>Observa-se que a equação (4.32) é idêntica a equação (4.1), onde 0F está</p><p>substituída por ω2me , e, nestas condições, a solução de estado permanente da seção</p><p>anterior, ver equações (4.21) e (4.22), podem ser substituídas por:</p><p>( ) ( )</p><p>ω</p><p>ω ω</p><p>2</p><p>2 22</p><p>m e</p><p>X =</p><p>K - M + C</p><p>(4.33)</p><p>ωφ</p><p>ω</p><p>1</p><p>2</p><p>C</p><p>= tg</p><p>K - M</p><p>−  </p><p> </p><p> </p><p>(4.34)</p><p>Reduzindo à forma adimensional, tem-se:</p><p>ω</p><p>ω</p><p>ω ωζ</p><p>ω ω</p><p>2</p><p>n</p><p>2 22</p><p>n n</p><p>M X</p><p>=</p><p>m e</p><p>1 - + 2</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>      </p><p>             </p><p>(4.35)</p><p>ωζ</p><p>ω</p><p>φ</p><p>ω</p><p>ω</p><p>n1</p><p>2</p><p>n</p><p>2</p><p>= tg</p><p>1 -</p><p>−</p><p>  </p><p>  </p><p>  </p><p> </p><p>  </p><p>  </p><p>  </p><p>(4.36)</p><p>Observa-se que uma massa m situada a uma distancia radial e do eixo de</p><p>rotação resulta numa força centrifuga ω2me . Tal força provoca o desbalanceamento.</p><p>Veremos mais tarde que este desbalanceamento poderá ser estático ou dinâmico,</p><p>conforme a distribuição de massas. As Figuras 4.6 (a) e (b) mostra a representação</p><p>gráfica das equações (4.35) e (4.36).</p><p>12</p><p>Figura 4.6 (a) – Resposta de um Sistema de 1 GL com Desbalanceamento Rotativo.</p><p>Figura 4.6 (b) – Fase de um Sistema de 1 GL com Desbalanceamento Rotativo.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Um peso excitador, formado de peças excêntricas que giram em sentidos</p><p>contrários, é utilizado para produzir oscilações forçada em massa suportada por</p><p>molas, como mostra a Figura 4.7. Foi registrada uma amplitude ressonante de 0.60</p><p>polegadas, com variação da velocidade de rotação. Quando se aumentou a</p><p>velocidade de rotação muito além da frequência de ressonância, notou-se que a</p><p>amplitude se aproximava de um valor fixo de 0.08 polegadas. Calcular o fator de</p><p>amortecimento do sistema.</p><p>Razão de Frequências n /ω ω</p><p>M X</p><p>m e</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>= 0.15</p><p>= 0.375</p><p>= 0.05</p><p>= 1</p><p>Razão de Frequências n /ω ω</p><p>Â</p><p>ng</p><p>ul</p><p>o</p><p>de</p><p>F</p><p>as</p><p>e</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>= 0.</p><p>= 0.</p><p>375</p><p>= 0</p><p>= 0</p><p>1</p><p>.</p><p>= 0.25</p><p>5</p><p>5</p><p>= 1</p><p>13</p><p>M</p><p>K/2 K/2C</p><p>Figura 4.7 - Sistema de 1 GL com Desbalanceamento Rotativo.</p><p>Solução:</p><p>De acordo com a equação (4.35), a amplitude se transforma em:</p><p>ζ</p><p>me</p><p>MX = = 0.60 in</p><p>2</p><p>Quando ω é muito maior que ωn , a mesma equação se transforma em:</p><p>me</p><p>X = = 0.08 in</p><p>M</p><p>A solução simultânea das duas equações dá o valor de fator de amortecimento,</p><p>ou seja:</p><p>ζ 0.08</p><p>= = 0.0666</p><p>2 0.6×</p><p>4.1.4 Movimento do Suporte</p><p>Em muitos casos o sistema dinâmico é excitado pelo movimento do ponto de</p><p>suporte, conforme indicado na Figura 4.8. Chamamos de y o deslocamento</p><p>harmônico do ponto de suporte e medimos o deslocamento x da massa m a partir de</p><p>uma referencia fixa.</p><p>14</p><p>M</p><p>CK</p><p>x</p><p>y</p><p>M</p><p>K (x-y)C (x-y)</p><p>. .</p><p>Figura 4.8 - Sistema de 1 GL Excitado pela Base.</p><p>Na posição deslocada, as forças desbalanceadas são devidas ao</p><p>amortecimento e às molas, e a equação diferencial do movimento torna-se:</p><p>( ) ( )M x = - K x y - C x yɺɺ ɺ ɺ− − (4.37)</p><p>Rearranjando os termos chega-se a:</p><p>M x + C x + K x= K y + C yɺɺ ɺ ɺ</p><p>(4.38)</p><p>Por questão de simplificação, usamos para excitação e resposta as equações</p><p>complexas, que seguem:</p><p>ωi ty = Y e (4.39)</p><p>e</p><p>( )ω φ φ ωi t - i i tx = X e = X e e (4.40)</p><p>Observa-se que a resposta x está defasada pelo ângulo φ do deslocamento y .</p><p>Substituindo as equações (4.39) e (4.40) na equação (4.38), obtém-se:</p><p>( ) ( )φω ω ω2 i - M + i C + K X e = K + i C Y− (4.41)</p><p>ou</p><p>( )</p><p>φ ω</p><p>ω ω</p><p>i</p><p>2</p><p>X e K + i C</p><p>=</p><p>Y K - M + i C</p><p>−</p><p>(4.42)</p><p>15</p><p>O valor absoluto da razão de amplitudes será:</p><p>( )</p><p>( ) ( )</p><p>ωζ</p><p>ωω</p><p>ω ω ω ωζ</p><p>ω ω</p><p>2</p><p>22</p><p>n</p><p>2 22 222</p><p>n n</p><p>1 + 2</p><p>K + CX</p><p>= =</p><p>Y K - M + C</p><p>1 - + 2</p><p>  </p><p>   </p><p>  </p><p>      </p><p>             </p><p>(4.43)</p><p>O ângulo de fase φ pode ser obtido igualando-se as partes real e imaginária na</p><p>equação (4.42) a fim de determinar o seno e o cosseno de φ . O resultado obtido,</p><p>será:</p><p>( )</p><p>ωζ</p><p>ωωφ</p><p>ω ω ωω ζ</p><p>ω ω ω</p><p>3</p><p>3</p><p>n</p><p>22 2</p><p>22</p><p>n n n</p><p>2</p><p>M C</p><p>tg = =</p><p>K 1 - + C 1 - + 2</p><p>               </p><p>          </p><p>                      </p><p>(4.44)</p><p>As Figuras 4.9 (a) e (b) mostra a representação gráfica das equações (4.43) e</p><p>(4.44). Observa-se que as curvas relativas às amplitudes para diferentes</p><p>amortecimentos, todas elas apresentam o mesmo valor de X / Y 1= para razão de</p><p>frequências ω ωn/ 2= .</p><p>Razão de Frequências n /ω ω</p><p>X</p><p>Y</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>= 0.</p><p>= 0.</p><p>375</p><p>= 0</p><p>= 0</p><p>1</p><p>.</p><p>= 0.25</p><p>5</p><p>5</p><p>= 1</p><p>16</p><p>Figura 4.9 (a) – Resposta de um Sistema de 1 GL Excitado pela Base.</p><p>Figura 4.9 (b) – Fase de um Sistema de 1 GL Excitado pela Base.</p><p>Exemplo 2:</p><p>Encontrar a solução da Equação Diferencial do Movimento (4.38), admitindo para</p><p>excitação e solução dada pelas equações (E2.1) e (E2.2) a seguir:</p><p>( ) ( )y t = Y sen tω (E2.1)</p><p>( ) ( )x t = X sen t - ω φ (E2.2)</p><p>Solução:</p><p>Substituindo as equações (E2.1) e (E2.2) na Equação do Movimento (4.37)</p><p>obtemos:</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>2- M Xsen t - + C Xcos t - +</p><p>+ KXsen t - C Ycos t + KYsen t</p><p>ω ω φ ω ω φ</p><p>ω φ = ω ω ω</p><p>(E2.3)</p><p>Como temos apenas uma equação, E(2.3), e precisamos encontrar dois</p><p>valores, X / Y e φ , podemos atribuir dois valores quaisquer diferentes do ângulo</p><p>( )ω φt − , ou seja, se a equação (E2.3) é válida para qualquer quantidade angular,</p><p>Razão de Frequências n /ω ω</p><p>Razão de Frequências n /ω ω</p><p>Â</p><p>ng</p><p>ul</p><p>o</p><p>de</p><p>F</p><p>as</p><p>e</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>ζ</p><p>= 0.15</p><p>= 0.375</p><p>= 0.05</p><p>= 1</p><p>17</p><p>então ela é válida para ( )ω φt 0− = e ( )ω φt 90− = . Substituindo estes valores, a</p><p>equação (E2.3) obtém-se:</p><p>Para ( )− = ot 0ω φ</p><p>C X = C Y cos + K Y sen ω ω φ φ (E2.4)</p><p>Para ( )ω φt 0− =</p><p>( ) ( )2- M X + K X C Ycos 90 + K Y sen 90ω = ω + φ + φ</p><p>ou</p><p>( ) ( )2- M X + K X - C Y sen + K Y cosω = ω φ φ (E2.5)</p><p>Elevando as equações (E2.4) e (E2.5) ao quadrado e somando membro a</p><p>membro, chega-se a:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )( )</p><p>( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )</p><p>22 22</p><p>2 22</p><p>C X + K X - M X = C Y cos + 2 C Y cos K Y sen +</p><p>+ K Y sen + C Y sen - 2 C Y sen K Y cos + K Y cos</p><p>ω ω ω φ ω φ φ</p><p>φ ω φ ω φ φ φ</p><p>ou</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   +      </p><p>22 2 2 2 22 2 2C X + K X - M X = C Y + K Y cos C Y + K Y sen ω ω ω φ ω φ</p><p>ou</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>2 2</p><p>2 22</p><p>K + C X</p><p>=</p><p>Y K - M + C</p><p>ω</p><p>ω ω</p><p>(E2.6)</p><p>Para obtermos o ângulo de fase é conveniente (mais fácil) colocarmos as</p><p>equações (E2.4) e (E2.5) na forma matricial, ou seja:</p><p>18</p><p>( )2</p><p>C Xsen K Y C Y</p><p>=</p><p>cos K - M X- C Y K Y</p><p> ω  φ ω</p><p>    φ ωω      </p><p>ou</p><p>( )</p><p>- 1</p><p>2</p><p>C Xsen K Y C Y</p><p>=</p><p>cos K - M X- C Y K Y</p><p> ω φ  ω</p><p>   φ ωω       </p><p>ou</p><p>( )2</p><p>K Y - C Y</p><p>C Xsen</p><p>=</p><p>cos K - M XC Y K Y</p><p> ω</p><p>   ωφ  ∆ ∆    φ ω ω     </p><p>  ∆ ∆ </p><p>(E2.7)</p><p>onde ∆ é o determinante dado por:</p><p>( ) ( )2 2</p><p>= K Y + C Y∆ ω (E2.8)</p><p>Da equação (E2.7) obtém-se:</p><p>3 XY</p><p>sen C M φ = ω</p><p>∆</p><p>i (E2.9)</p><p>2 2 2 2 X Y</p><p>cos = C + K - K M φ ω ω</p><p>∆</p><p>(E2.10)</p><p>Dividindo a equação (E2.9) pela equação (E2.10), obtém-se:</p><p>( )</p><p>3</p><p>-1</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>n</p><p>M C</p><p>tg</p><p>K 1 - + C</p><p> </p><p> </p><p>ω φ =</p><p>  ω</p><p> ω  ω  </p><p>(E2.11)</p><p>As equações (E2.6) e (E2.11) podem ainda ser expressas em termos das</p><p>seguintes quantidades.</p><p>ωn</p><p>K</p><p>M</p><p>= → Frequência natural de oscilação não amortecida em [rad/s]</p><p>19</p><p>ζ</p><p>C</p><p>C</p><p>=</p><p>C</p><p>→ Fator de Amortecimento</p><p>ωC nC = 2M → Amortecimento Crítico</p><p>ωω ωζ</p><p>ω</p><p>C</p><p>C n</p><p>CC C</p><p>2</p><p>K C K</p><p>= =</p><p>As expressões adimensionais para amplitude e fase tornam-se:</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>  </p><p>   </p><p>  </p><p>      </p><p>             </p><p>2</p><p>2 2</p><p>n</p><p>2 22 222</p><p>n n</p><p>1 + 2</p><p>K + C X</p><p>= =</p><p>Y K - M + C</p><p>1 - + 2</p><p>ωζ</p><p>ω ω</p><p>ω ω ω ωζ</p><p>ω ω</p><p>(E2.12)</p><p>      </p><p> </p><p>     </p><p>      </p><p>     </p><p>3</p><p>n- 1</p><p>22</p><p>n n</p><p>2</p><p>= tg</p><p>1 - + 2</p><p>ωζ</p><p>ω</p><p>φ</p><p>ω ωζ</p><p>ω ω</p><p>(E2.13)</p><p>4.1.5 Instrumentos de Medidas</p><p>A Figura 4.10 mostra os elementos essenciais de um instrumento</p><p>medidor de vibração. Ele consiste de uma massa sísmica suportada por molas dentro</p><p>de uma caixa, a qual é para ser presa ao corpo em vibração. O movimento a ser</p><p>medido é y e o movimento relativo ( )x y− entre a massa m e a caixa que a contém é</p><p>sensorizado.</p><p>M</p><p>C</p><p>K</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>Figura 4.10 – Elementos Essenciais de um Instrumento Medidor de Vibração.</p><p>20</p><p>Consideramos, para determinar o comportamento de tais instrumentos, a</p><p>equação de movimento da massa M , que é:</p><p>( ) ( )M x = - K x y - C x yɺɺ ɺ ɺ− − (4.45)</p><p>Sendo o movimento relativo da massa e da caixa,</p><p>( )z = x - y (4.46)</p><p>a equação (4.45) torna-se:</p><p>M z + C z + K z= - M yɺɺ ɺ ɺɺ (4.47)</p><p>Admitindo para o corpo em vibração o movimento senoidal ωy = Y sen t ,</p><p>obtém-se:</p><p>ω ω2M z + C z + K z= - M Y sen tɺɺ ɺ (4.48)</p><p>que é idêntica a forma da equação (4.32), com z e ω2MY substituindo x e ω2me</p><p>respectivamente. Examinando, constatamos então que está disponível a solução de</p><p>estado permanente ( )ω φz = Z sen t − , que será:</p><p>( ) ( )</p><p>ω</p><p>ωω</p><p>ω ω ω ωζ</p><p>ω ω</p><p>2</p><p>2</p><p>n</p><p>2 22 222</p><p>n n</p><p>Y</p><p>M Y</p><p>Z = =</p><p>K - M + C</p><p>1 - + 2</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>      </p><p>             </p><p>(4.49)</p><p>ωζ</p><p>ωωφ</p><p>ω ω</p><p>ω</p><p>n</p><p>22</p><p>n</p><p>2</p><p>C</p><p>tg = =</p><p>K - M</p><p>1 -</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>(4.50)</p><p>21</p><p>A Figura 4.11 apresenta um gráfico da equação (4.49) que é idêntico ao da</p><p>Figura 4.7 com Z / Y substituindo MX / me . O tipo do instrumento é indicado pela sua</p><p>faixa útil de frequências com relação à frequência natural.</p><p>Figura 4.11 – Resposta de um Instrumento Medidor de Vibração.</p><p>4.1.5.1 Sismômetro</p><p>Um sismômetro é um instrumento de frequência natural baixa. Nestas</p><p>condições, a faixa de frequência para qual ele é destinado caracteriza-se por valores</p><p>grandes de ω ωn/ . Um exame da equação (4.49) mostra que à medida que</p><p>ω ωn/ → ∞ , o deslocamento relativo Z torna-se igual a Y , ou Z / Y 1= . Então, a</p><p>massa m permanece estacionaria enquanto a caixa de suporte movimenta-se com o</p><p>corpo em vibração.</p><p>Uma das desvantagens do sismômetro é o seu tamanho grande. Uma vez que</p><p>Z Y= , o movimento relativo da massa sísmica deve ser da mesma ordem de</p><p>magnitude que a vibração a ser medida.</p><p>O movimento relativo é geralmente convertido numa voltagem</p><p>elétrica,</p><p>fazendo-se da massa sísmica um magneto que se move em relação a bobinas fixadas</p><p>na caixa. Uma vez que a voltagem gerada é proporcional à taxa de variação do</p><p>campo magnético, a leitura do instrumento será proporcional à voltagem do corpo</p><p>em vibração.</p><p>Razão de Frequências n /ω ω</p><p>Z</p><p>Y</p><p>22</p><p>Um instrumento típico dessa espécie tem frequências naturais entre 2 a 5 cps</p><p>e uma faixa útil entre 10 a 500 cps. A sua sensibilidade varia em torno de 100mV por</p><p>in/s, com deslocamento limitado a 0.2 in.</p><p>4.1.5.2 Acelerômetro</p><p>Os instrumentos medidores de vibração são atualmente, na sua maioria,</p><p>construídos de acelerômetros. Mesmo os terremotos são registrados por esses</p><p>transdutores, sendo sua velocidade e o deslocamento obtidos por integração. A</p><p>preferência pelos acelerômetros como aparelhos medidores de vibração baseia-se no</p><p>seu tamanho pequeno e alta sensibilidade.</p><p>Acelerômetros são instrumentos de frequência natural alta, e a faixa útil do</p><p>seu funcionamento é ω ωn/ entre zero e cerca de 0.4. O exame de equação (4.49)</p><p>para valores de ω ωn/ 0→ conduz a:</p><p>ω</p><p>ω ω</p><p>2</p><p>2 2</p><p>n n</p><p>Y aceleração</p><p>Z = = (4.51)</p><p>e, em consequência, Z torna-se proporcional a aceleração do movimento a ser</p><p>medido. A sensibilidade baixa, entretanto, à medida que ωn aumenta, de modo que</p><p>ωn não deve ser mais alta que o necessário. Por exemplo, acelerômetros utilizados</p><p>extensivamente para medições em terremotos têm uma frequência natural de 20</p><p>cps, o que permite reproduzir com fidelidade movimentos do terreno com</p><p>frequências inferiores a 8 cps. Efetivamente, uma correção na calibração do</p><p>instrumento permite a medida de movimentos até 16 cps.</p><p>Acelerômetro de cristal piezelétrico é utilizado extensivamente par uma maior</p><p>faixa de frequências. Sua frequência natural é geralmente muito alta, o que torna</p><p>sua aplicação possível para frequências até 100 cps ou mais.</p><p>A faixa útil de frequência do acelerômetro não amortecido é, de certa forma,</p><p>limitada, em face da queda rápida do denominador ( )ω ω 2</p><p>n1 /− à medida que ω</p><p>aumenta. Entretanto, com o amortecimento dentro dos limites de ζ a 0.65 0.70= , a</p><p>redução do termo ( )ω ω 2</p><p>n1 /− é compensada pelo termo adicional ( )ζω ω 2</p><p>n2 / , de</p><p>modo a aumentar bastante a faixa útil do instrumento.</p><p>23</p><p>A Figura 4.12 mostra o fator</p><p>ω ωζ</p><p>ω ω</p><p>22 2</p><p>n n</p><p>1</p><p>1 - + 2</p><p>    </p><p>    </p><p>     </p><p>(4.52)</p><p>Para vários valores de amortecimento, representado graficamente, em uma</p><p>escala aumentada. A maioria dos acelerômetros utiliza o amortecimento próximo de</p><p>ζ 0.70= , o que não só estende a faixa de frequência como evita a distorção de fase.</p><p>Figura 4.12 – Erro do Acelerômetro em Função da Frequencia.</p><p>Para reproduzir uma onda complexa sem mudar a sua forma, a fase de todos</p><p>os componentes harmônicos deve variar igualmente ao longo do eixo do tempo. Isto</p><p>pode se realizar se o ângulo de fase φ da saída do acelerômetro aumenta</p><p>linearmente com a frequência. Por exemplo, se φ π ω ωn/ 2 /= × , que é satisfeito</p><p>aproximadamente por ζ 0.70= , a distorção de fase é praticamente eliminada.</p><p>Exemplo 3:</p><p>Investigar a saída de um acelerômetro com amortecimento ζ 0.70= quando</p><p>usado para medir um movimento periódico com deslocamento dado pela equação:</p><p>Razão de Frequências n /ω ω</p><p>24</p><p>ω ω1 1 2 2y = Y sen t + Y sen t</p><p>Solução:</p><p>Para ζ 0.70= , φ π ω ωn/ 2 /≅ × , de modo que φ π ω ω1 1 n/ 2 /≅ × e φ π ω ω2 2 n/ 2 /≅ ×</p><p>. A saída será:</p><p>( ) ( )ω φ ω φ1 1 1 2 2 2z = Z sen t + Z sen t− −</p><p>Substituindo 1Z e 2Z , de acordo com a equação (3.51), a saída do</p><p>instrumento será:</p><p>π πω ω ω ω</p><p>ω ω ω</p><p>2 2</p><p>1 1 1 2 2 22</p><p>n n n</p><p>1</p><p>z = Y sen t + Y sen t</p><p>2 2</p><p>     − −    </p><p>     </p><p>Nestas condições, o instrumento reproduz fielmente a aceleração yɺɺ sem</p><p>distorção.</p><p>4.1.6 Isolação das Vibrações</p><p>Muitas vezes as forças geradas por máquinas e motores são inaceitáveis.</p><p>Consegue-se, entretanto, a redução substancial dos seus efeitos sobre um sistema</p><p>dinâmico pelo emprego de molas projetadas adequadamente, que são denominadas</p><p>de isoladores.</p><p>Na Figura 4.13, seja ω0F sen t a força de excitação atuante sobre o sistema de</p><p>um grau de liberdade. A força transmitida através das molas e amortecedor será:</p><p>( ) ( ) ωω</p><p>2</p><p>2 2</p><p>T</p><p>C</p><p>F = KX C X = KX 1 +</p><p>K</p><p> +  </p><p> </p><p>(4.53)</p><p>25</p><p>φ KX</p><p>Cω X</p><p>M ω2 X</p><p>F0</p><p>x</p><p>FT</p><p>M</p><p>M</p><p>CK</p><p>F</p><p>Figura 4.13 – Força Perturbadora Transmitida Através das Molas e do Amortecedor.</p><p>Visto que a amplitude X desenvolvida sob a força ω0F sen t á dada pela</p><p>equação (4.23). A equação (4.53) fica reduzida a:</p><p>ωω ζ</p><p>ω</p><p>ω ω ω ωζ</p><p>ω ω</p><p>22</p><p>00</p><p>n</p><p>T 2 222 2 2</p><p>n n</p><p>C F 1 + 2F 1 +</p><p>K</p><p>F = =</p><p>M C</p><p>1 - + 1 - + 2K K</p><p>  </p><p>  </p><p>   </p><p>        </p><p>                 </p><p>(4.54)</p><p>Comparando as equações (4.54) e (4.43) observa-se T 0F / F é idêntica a</p><p>ω ω2 2X / Y = X / Y . Desta forma, o problema do isolamento de uma massa do</p><p>movimento do ponto de apoio é idêntico ao isolamento das forças perturbadoras.</p><p>Cada uma destas razões é definida como transmissibilidade, e a ordenada da Figura</p><p>4.8 representa igualmente transmissibilidade de força ou de deslocamento. Essas</p><p>curvas mostram que a transmissibilidade é menor que a unidade apenas para</p><p>ω ωn/ > 2 , estabelecendo deste modo o fato de que o isolamento da vibração é</p><p>possível somente para ω ωn/ > 2 . Conforme se vê na Figura 4.8, na região</p><p>ω ωn/ > 2 , uma mola não amortecida é superior à outra mola amortecida, na</p><p>redução da transmissibilidade. É desejável algum amortecimento quando é</p><p>necessário que ω varie através da região de ressonância, embora a grande</p><p>amplitude na ressonância possa ser limitada por paradas.</p><p>Quando o amortecimento é desejável, a equação de transmissibilidade se</p><p>reduz a:</p><p>26</p><p>ω</p><p>ω</p><p>2</p><p>n</p><p>1</p><p>TR =</p><p>- 1</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>(4.55)</p><p>ficando entendido que o valor de ω ωn/ a ser usado é sempre maior que 2 . E mais,</p><p>substituindo-se ω2</p><p>n por ∆g / , onde g é a aceleração da gravidade e ∆ é a deflexão</p><p>estática, a equação (4.55) ficará:</p><p>( )π ∆2</p><p>1</p><p>TR =</p><p>2 f</p><p>- 1</p><p>g</p><p>(4.56)</p><p>Resolvendo em relação a f e convertendo-o para ciclos por minuto, obtemos a</p><p>seguinte equação:</p><p>∆</p><p>1 1</p><p>f = 188 + 1</p><p>TR</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>(4.57)</p><p>ou</p><p>∆</p><p>1 2 - R</p><p>f = 188</p><p>1 - R</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>(4.58)</p><p>onde R é a redução percentual na transmissibilidade definida como R = (1 - TR) . A</p><p>Figura 4.14 apresenta a equação (4.58) para f em função da deflexão estática tendo</p><p>o R como parâmetro.</p><p>Figura 4.14 – Eficiência do Isolamento em Sistemas Montados com Flexibilidade.</p><p>R = 0 %</p><p>R = 50 %</p><p>R = 60 %</p><p>R = 70 %</p><p>R = 80 %</p><p>R = 90 %</p><p>27</p><p>Lembramos que esta discussão foi limitada a corpos em translação apenas ao</p><p>longo de uma só coordenada. Regra geral, um corpo rígido tem seis graus de</p><p>liberdade, a saber, translação ao longo e rotação em volta dos três eixos</p><p>perpendiculares das coordenadas. Para esses casos mais avançados recomendamos</p><p>leitura mais avançadas.</p><p>Exemplo 4:</p><p>Uma máquina, com peso de 200 lb e suportadas por molas com rigidez total de</p><p>4000 lb/in, tem um elemento rotativo desbalanceado do qual resulta uma força</p><p>perturbadora de 80 lb a uma velocidade de 3000 rpm. Supondo um fator de</p><p>amortecimento ζ 0.20= , determinar:</p><p>a) Amplitude de movimento em face do desbalanceamento.</p><p>b) Transmissibilidade</p><p>c) Força transmitida.</p><p>Solução:</p><p>A deflexão estática do sistema será:</p><p>∆ 200</p><p>= = 0.05 in</p><p>4000</p><p>A frequência</p><p>natural será:</p><p>π</p><p>60 386</p><p>f = = 841 cpm</p><p>2 0.05</p><p>a) Substituindo na equação (4.25), tem-se a amplitude de vibração:</p><p>2 22</p><p>80</p><p>4000X = = 0.00169</p><p>3000 3000</p><p>1 - + 2 0.20</p><p>841 841</p><p>      ×           </p><p>in</p><p>28</p><p>b) A transmissibilidade, conforme equação (4.54) será:</p><p>2</p><p>22 2</p><p>3000</p><p>1 + 2 0.20</p><p>841</p><p>TR = = 0.148</p><p>3000 3000</p><p>1 - + 2 0.20</p><p>841 841</p><p> × × </p><p> </p><p>    × ×         </p><p>c) A força transmitida é a força perturbadora multiplicada pela</p><p>transmissibilidade, ou seja:</p><p>TRF = 80 0,148 = 11,8× lb</p>