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Microeconomia II Capítulo 1 
 
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Capítulo 1 – Axiomas das preferências reveladas 
Cabazes de bens {X = (x1,x2)} – objetos de escolha do consumidor, sendo a lista completa dos 
bens e serviços envolvidos no problema de escolha em estudo. 
O mesmo bem, disponível em locais ou contextos diferentes, pode constituir um bem distinto, 
uma vez que o consumidor pode valorizar esse bem de modos diferentes em função do 
contexto. 
Preferências 
A ideia de preferências baseia-se no comportamento do consumidor, na medida em que é a 
escolha que faz perante dois cabazes que traduz as suas preferências. 
Comparação entre dois cabazes (X e Y): 
 X Y – o cabaz X é estritamente preferido ao cabaz Y; 
 X Y – os cabazes X e Y são indiferentes, isto é, o consumidor, face às suas 
preferências, retira a mesma satisfação de qualquer dos cabazes; 
 X Y – o cabaz X é fracamente preferido ao cabaz Y. 
Pressupostos acerca das preferências 
Relação completa – o consumidor sabe sempre como comparar quaisquer dois cabazes; 
X Y ˅ Y X 
Reflexividade – qualquer cabaz é, pelo menos, tão bom como ele mesmo; 
X X 
Transitividade - X Y ˄ Y Z → X Z 
Este último axioma é uma hipótese acerca do modo como as pessoas se comportam quando 
escolhem, não é uma afirmação de pura lógica, no entanto também não é isso que nos 
interessa admitir. Se quisermos ter uma teoria que garanta que as pessoas fazem as melhores 
escolhas, então as preferências devem seguir este axioma, caso contrário poderá existir um 
conjunto de cabazes para os quais não existe melhor escolha. 
Curvas de indiferença 
Curvas de indiferença – conjunto de cabazes de consumo que o consumidor considera que são 
indiferentes entre si e, como tal, lhe dão a mesma satisfação. Quanto mais afastadas estiverem 
da origem maior a satisfação que dão ao consumidor. 
 
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Um dos problemas das curvas de indiferença é o facto de só nos darem conta dos cabazes a 
que o consumidor é indiferente, não revelando quais são os melhores e quais são os piores. 
 
Apesar dos diferentes formatos possíveis das preferências, as curvas de indiferença mais 
comuns estão associadas a preferências bem comportadas. 
Características das preferências bem comportadas: 
 Estáveis (razoável para períodos pequenos – meses e trimestres); 
 Mais é melhor do que menos (preferências monotónicas); 
 
 
 Cabazes médios são preferidos aos cabazes extremos (convexidade). 
 
 
 
Definição formal de convexidade: � ���çã� �� = �(��)é ������� �� � �ó �� ∀��, �� ����� 
��(��) + (1 − �)�(��) ≥ �(��� + (1 − �)��) 
 
Curvas de indiferença não se podem cruzar 
Se: X Y e Y Z 
Então: X Z → X e Z estão na mesma curva de 
indiferença, logo estas curvas não se cruzam 
Curvas de indiferença têm declive negativo e quanto mais afastadas estão da 
origem mais preferidas são pelo consumidor 
Curvas de indiferença são convexas porque se fossem lineares o cabaz médio 
estaria na mesma curva de indiferença que os extremos (não seria preferível) 
Microeconomia II Capítulo 1 
 
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Definição formal de concavidade: � ���çã� �� = �(��)é ������� �� � �ó �� ∀��, �� ����� 
��(��) + (1 − �)�(��) ≤ �(��� + (1 − �)��) 
 
 
Preferências reveladas 
Até agora temos assumido as preferências dos consumidores para inferir as suas escolhas de 
forma dedutiva. No entanto, na vida real, não é possível observar diretamente as preferências 
dos consumidores, tendo de as descobrir com base no seu comportamento. Deste modo, a 
partir de agora, vamos ver como podemos utilizar a informação sobre a procura do 
consumidor para descobrir as suas preferências. 
Assumir que as preferências são estritamente convexas implica que para cada nível de 
rendimento exista um único cabaz de consumo ótimo: 
 
 
Como o cabaz Y está abaixo da restrição orçamental sabemos que era acessível ao 
consumidor, ou seja, ele poderia adquiri-lo se assim o desejasse e ainda lhe sobrava dinheiro. 
No entanto, sendo o cabaz X o cabaz ótimo, este é melhor que qualquer outro que o 
consumidor possa comprar. Assim, o cabaz X é melhor que o cabaz Y. Do mesmo modo, 
qualquer cabaz sobre a reta orçamental, como W, poderia ter sido adquirido mas não foi, pelo 
que se revela pior que X. 
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Princípio das preferências reveladas (revelação direta) – se o cabaz (x1,x2) foi o escolhido aos 
preços (p1,p2) e o rendimento do consumidor é dado por m, qualquer outro cabaz onde 
� = �� ∗ �� + �� ∗ �� ≥ �� ∗ �� + �� ∗ �� 
Então: (��, ��) (��, ��) 
 
Admitamos agora que o cabaz Y é procurado aos preços (q1,q2) e que se revela preferido ao 
cabaz Z (quando o cabaz Y foi escolhido Z estava disponível mas não foi adquirido), ou seja, 
�� ∗ �� + �� ∗ �� ≥ �� ∗ �� + �� ∗ ��. 
Sabemos então, pelo principio das preferências reveladas diretamente, que (��, ��) (��, ��) 
e, concluímos agora que (��, ��) (��, ��). Pelo axioma da transitividade, concluímos que 
(��, ��) (��, ��), o cabaz X revelou-se indiretamente preferido ao cabaz z. 
Construção da curva de indiferença através das preferências reveladas 
Através das preferências reveladas anteriormente podemos sombrear no gráfico o conjunto de 
cabazes que se revelaram piores do que X: 
 
No entanto, pouco sabemos acerca do conjunto de cabazes melhores que X. Admitindo que 
em dado momento o comportamento dos consumidores nos permitiu aferir que existe um 
cabaz A preferido a X (A é escolhido quando X está disponível) então o conjunto de cabazes 
que se encontram no segmento de reta [AX] também são preferidos a X: �� + (� − �)� � 
Deste modo, e assumindo a monotonia das preferências podemos sombrear o conjunto de 
cabazes que são preferíveis a X (com base na informação até agora disponível): 
 
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Se continuarmos a analisar o comportamento dos consumidores e aferirmos a existência de 
mais cabazes de consumo preferidos a X podemos definir mais rigorosamente o conjunto de 
cabazes preferidos a X: 
 
Combinando a informação aferida acerca do conjunto de cabazes piores que X e do conjunto 
de cabazes preferidos a X, podemos estimar a região onde a curva de indiferença se localizará: 
 
Axioma fraco das preferências reveladas (WARP) 
Até agora temos assumido sempre que o consumidor tem o comportamento que maximiza a 
sua utilidade, no entanto isso pode não acontecer. Para saber se tal acontece ou não 
utilizamos o axioma fraco das preferências reveladas. 
 
A figura ilustra uma situação em que o consumidor num momento tinha disponível o cabaz Y 
mas escolheu consumir o cabaz X e num outro momento tinha disponível o X mas escolheu 
adquirir o cabaz Y, ou seja: (��, ��) (��, ��) e (��, ��) (��, ��) o que não faz qualquer 
sentido já que assumimos que as preferências são estáveis. Deste modo, concluímos que este 
consumidor não tem um comportamento maximizador da utilidade. 
Axioma Fraco das preferências reveladas (WARP) – se (x1,x2) se revela diretamente preferido 
a (y1,y2), e os dois cabazes não são idênticos, então não é possível que (y1,y2) seja diretamente 
revelado preferido a (x1,x2). 
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Verificação do axioma fraco das preferências reveladas 
Partindo da observação das escolhas dos consumidores para diferentes cabazes com 
diferentes preços construímos uma tabela do tipo: 
 
1º Passo: Construir uma matriz com a despesa que o consumidor tem de incorrer para 
comprar cada cabaz para cada nível de preços, sendo a despesa incorrida igual a p1*x1+p2*x2 e 
a tabela da despesa: 
 
Os valores inscritos na diagonal principal da tabela são os que o consumidor gasta em cada 
escolhaque de facto faz. Assim, os restantes valores constituem o dinheiro que o consumidor 
hipoteticamente gastaria para adquirir um cabaz diferente daquele que escolheu. 
2º Passo: Para cada nível de preço (para cada linha) marcar com um asterisco os cabazes que 
estando disponíveis (dentro do orçamento) não foram escolhidos: 
 
3º Passo: Verificar se existem situações em que a célula (i,j) e a célula (j,i) ambas têm asterisco: 
 
A B ^ B A → Violação do axioma fraco das preferências reveladas 
Se a condição enunciado no passo três se verificar então existe uma violação do axioma fraco 
das preferências reveladas, já que um cabaz que inicialmente é preferido a outro 
posteriormente, embora ainda esteja disponível, deixa de o ser (não é escolhido). 
 
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Axioma forte das preferências reveladas (SARP) 
Axioma forte das preferências reveladas (SARP) – se (x1,x2) se revela preferido a (y1,y2) (direta 
ou indiretamente) e se (y1,y2) é distinto de (x1,x2), então (y1,y2) não pode revelar-se, direta ou 
indiretamente, preferido a (x1,x2). 
Um comportamento para ser maximizador tem de verificar o SARP, caso contrário um 
consumidor admitia que X Y e que Y X, o que é uma contradição e não um 
comportamento maximizador. 
O SARP é uma condição necessária e suficiente para que as escolhas observadas sejam 
compatíveis com o modelo económico da escolha do consumidor. 
Verificação do axioma forte das preferências reveladas 
Os dois primeiros passos para a verificação do axioma forte das preferências reveladas são 
idênticos aos da verificação do WARP. 
3º Passo: Procura de cadeias de observações que levem a que um cabaz seja indiretamente 
revelado preferido a outro, usando a transitividade das preferências, e marcação desse cabaz 
com um asterisco entre parêntesis: 
 
 
A B ^ B C → A C 
4ª Passo: Verificar se existem situações em que a célula (i,j) e a célula (j,i) ambas têm asterisco 
entre parêntesis. Caso isso aconteça estamos perante uma violação do axioma forte das 
preferências reveladas (não acontece no exemplo dado). 
Números índices 
Os números índices são utilizados quando queremos examinar os cabazes de consumo de um 
consumidor em dois momentos diferentes e queremos comparar a forma como o consumo se 
alterou. 
Terminologia: 
b – período base 
t – período de tempo em estudo 
w1 e w2 – ponderadores que permitem calcular a média de consumo 
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Índices de quantidades 
�� =
�� ∗ ��
� + �� ∗ ��
�
�� ∗ ��
� + �� ∗ ��
� 
 Iq > 1 então o consumo médio aumentou; 
 Iq < 1 então consumo médio diminuiu. 
A escolha natural para os ponderadores são os preços dos bens, já que estes de alguma forma 
medem a importância relativa dos dois bens. Se utilizarmos os preços do período base estamos 
perante o índice de Lapeyres. Se utilizarmos os preços do período t estamos perante o índice 
de Paasche. 
Índice de quantidade de Laspeyres: 
��
�|�
=
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
��
�|�
> 1 ó ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� > ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
→ Quando o consumidor escolheu o cabaz do período b o do período t não estava disponível 
pelo que nada se pode concluir sobre a ordem de preferência do consumidor pelos cabazes. 
��
�|�
< 1 ó ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� < ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
→ O consumidor está pior no período t do que no período b, uma vez que no período b 
poderia ter consumido o cabaz do período t e optou por não o fazer. 
 
Índice de quantidade de Paasche: 
��
�|�
=
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
��
�|�
> 1 ó ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� > ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
→ O consumidor está melhor no período t do que no período b, pois poderia, no período t, ter 
consumido o cabaz do período b e optou por não o fazer. 
��
�|�
< 1 ó ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� < ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
→ Quando o consumidor optou pelo cabaz do período t o do período b não estava disponível 
pelo que nada se pode concluir sobre a ordem de preferência do consumidor pelos cabazes. 
 
Microeconomia II Capítulo 1 
 
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Índices de preços 
�� =
��
� ∗ �� + ��
� ∗ ��
��
� ∗ �� + ��
� ∗ ��
 
 Ip > 1 então os preços médios aumentaram; 
 Ip < 1 então os preços médios diminuiram. 
A escolha natural para ponderadores são as quantidades. Se utilizarmos as quantidades do 
período base estamos perante o índice de Lapeyres. Se utilizarmos as quantidades do período 
t estamos perante o índice de Paasche. 
Índice de preços de Laspeyres: 
��
�|�
=
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
Índice de preços de Paasche: 
��
�|�
=
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
Saber que os índices de preços são maiores ou menores que 1 nada nos diz acerca das 
preferências dos consumidores, já que existem diferentes preços no numerador e no 
denominador e, por isso, a comparação da preferência revelada não pode ser feita. Assim tem 
de ser definido um novo índice, o índice de valor: 
� =
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
 
��
�|�
> ��|� ó 
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� >
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
 ó ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� > ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
→ Quando o consumidor escolheu o cabaz do período t o do período b não estava disponível 
pelo que nada se pode concluir sobre a ordem de preferência do consumidor pelos cabazes. 
��
�|�
< ��|� ó 
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� <
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
 ó ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� < ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
→ O consumidor está melhor no período t do que no período b, uma vez que no período t 
poderia ter consumido o cabaz do período b e optou por não o fazer. 
 
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��
�|�
> ��|� ó 
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� >
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
 ó ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� > ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
→ O consumidor está pior no período t do que no período b, pois poderia, no período b, ter 
consumido o cabaz do período t e optou por não o fazer. 
��
�|�
< ��|� ó 
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� <
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
�
��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
 ó ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� < ��
� ∗ ��
� + ��
� ∗ ��
� 
→ Quando o consumidor optou pelo cabaz do período b o do período t não estava disponível 
pelo que nada se pode concluir sobre a ordem de preferência do consumidor pelos cabazes. 
 
 
	Capítulo 1 – Axiomas das preferências reveladas
	Preferências 
	Pressupostos acerca das preferências
	Curvas de indiferença
	Preferências reveladas
	Construção da curva de indiferença através das preferências reveladas
	Axioma fraco das preferências reveladas (WARP)
	Verificação do axioma fraco das preferências reveladas
	Axioma forte das preferências reveladas (SARP)
	Verificação do axioma forte das preferências reveladas 
	Números índices
	Índices de quantidades
	Índices de preços