Perímetro e área

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COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Exercícios de Geometria Plana. 
Perímetro e área. 
 
QUESTÃO 1 
Terminou a colheita. Os grãos de soja, arroz, milho 
e trigo já estão a caminho do mercado. É a hora de 
pensar na próxima safra. O primeiro passo é reunir 
todos os restos que ficaram no chão, na estrada e 
nos terreiros e espalhar sobre os campos a fim de 
reter as águas da chuva, proteger o solo e liberar 
nutrientes, mantendo as boas condições para o 
novo plantio. 
 
A tabela a seguir apresenta as porcentagens de N, 
P e K por hectare de palhadas dos cereais 
indicados. 
 
Nutriente Milho Arroz Soja Trigo 
N 1,0 0,5 2,0 0,5 
P 0,2 0,1 0,2 0,1 
K 1,5 1,0 1,0 1,0 
 
(Adaptado de Globo Rural. Fevereiro 1989. p. 49 a 
51) 
 
Na figura seguinte tem-se um esboço gráfico do 
campo ABCDE, em que as regiões I, II e III serão 
cobertas com palhadas de milho, arroz e trigo, 
respectivamente. 
 
 
 
Se BC = 9 cm, a área da região que representa a 
parte do campo a ser coberta com palhada de milho, 
em centímetros quadrados, é igual a 
 
(A) 81 
(B) 40,5 
(C) 20,25 
(D) 13,5. 
(E) 4,5. 
QUESTÃO 2 
Acopla-se, exteriormente, a cada lado de um 
triângulo retângulo um quadrado cujo lado é o 
respectivo lado do triângulo, formando assim uma 
figura plana composta do triângulo retângulo e dos 
três quadrados, de tal modo que cada quadrado 
tenha em comum com o triângulo exatamente o lado 
ao qual está acoplado. As medidas dos catetos do 
triângulo são respectivamente 6 m e 8 m. A figura 
será pintada. Sabe-se que para pintar o quadrado 
menor usou-se 1,8 litros de tinta. Mantida a 
homogeneidade da pintura, a quantidade de tinta 
necessária para pintar toda a figura é 
 
A) 12,8 litros. 
B) 12,4 litros. 
C) 11,9 litros. 
D) 11,2 litros. 
QUESTÃO 3 
Em um triângulo ABC, o lado e a mediatriz 
de se interceptam no ponto D, sendo 
que é bissetriz do ângulo . Se AD = 9 cm 
e DC = 7 cm, a área do triângulo ABD, em cm², é 
 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 21. 
(D) 28. 
(E) 14 . 
QUESTÃO 4 
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é 5/3 o 
tamanho do cateto menor. O cateto maior tem 
tamanho igual a 4/3 do cateto menor. 
 
Sendo 60 cm o perímetro desse triângulo, sua área 
será de: 
 
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a. 135 cm² 
b. 120 cm² 
c. 150 cm² 
d. 100 cm² 
e. 187,5 cm² 
QUESTÃO 5 
Na figura, os triângulos PQR e RST são equiláteros 
e congruentes e a medida de cada um de seus 
lados é x metros. O ponto M é a interseção dos 
segmentos PS e QR e os pontos P, R e T são 
colineares. 
 
 
 
Assinale a alternativa na qual se encontra a área, 
em metros quadrados, do triângulo PMT. 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
QUESTÃO 6 
Na ilustração abaixo, ABCD é um quadrado e DEF 
um triângulo equilátero. Se o quadrado tem lado 1, 
qual a área do triângulo DEF? 
 
 
 
A) 
B) 0,68 
C) 
D) 
E) 
QUESTÃO 7 
No quadrado ABCD, de lado 4cm, E é ponto médio 
de BC, e o ponto F do lado CD é tal que o ângulo 
AÊF é reto. 
 
I II 
0 0 Os triângulos ABE e AEF são congruentes. 
1 1 Os triângulos ABE e EFC são semelhantes. 
2 2 
A área do triângulo ADF é 6 cm
2
. 
3 3 
A área do triângulo EFC é 2 cm
2
. 
4 4 A área do triângulo AEF é 30% da área do 
quadrado. 
QUESTÃO 8 
Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência 
de raio 5 cm. Sabe-se ainda que AB é o diâmetro, 
BC mede 6 cm e a bissetriz do ângulo ABC 
intercepta a circunferência no ponto D. 
Se α é a soma das áreas dos triângulos ABC e ABD 
e β é a área comum aos dois, o valor de α − 2β, em 
cm
2
, é igual a 
 
A ( ) 14. 
B ( ) 15. 
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C ( ) 16. 
D ( ) 17. 
E ( ) 18. 
QUESTÃO 9 
Uma empresa de publicidade foi contratada para 
confeccionar um outdoor com a sigla RN, conforme 
as medidas determinadas na figura a seguir. 
 
 
 
Para estimar a quantidade de tinta a ser utilizada na 
pintura, a empresa precisa calcular as áreas das 
letras. 
 
Sabendo que as medidas acima estão em 
centímetros, determine, em metros quadrados, a 
área de cada uma das letras. 
QUESTÃO 10 
A, B e D são pontos sobre a reta r e C1 e C2 são 
pontos não pertencentes a r tais que C1, C2 e 
D são colineares, como indica a figura a seguir. 
 
 
 
Se S1 indica a área do triângulo ABC1 e S2, a 
área do triângulo ABC2, e sabendo 
que , e , 
determine . 
QUESTÃO 11 
Na figura ao lado, 
os pontos A e P 
pertencem à 
circunferência de 
centro na origem e 
raio 1, o ponto R 
pertence ao eixo 
das abscissas e o 
ângulo t, em 
radianos, pode 
variar no 
intervalo , dependendo da posição ocupada 
por P. Com base nessas informações, considere as 
afirmativas a seguir: 
 
1. O comprimento do segmento AP é 2cos t. 
2. A área do triângulo OAP, em função do ângulo t, 
é dada por . 
3. A área do triângulo ORP, em função do ângulo t, 
é dada por . 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
QUESTÃO 12 
A origem do papel data do ano 105 a. C., na China. 
Os árabes, ao capturarem artesãos chineses, 
levaram o conhecimento da fabricação de papel 
para Bagdá. Em Xavita, 1 085 d.C., foi instalado o 
primeiro moinho papeleiro da Europa, na região 
dominada pelos mouros. Só depois é que a 
produção de papel se disseminou por toda a 
Europa, deixou de ser artesanal e, hoje em dia, no 
mundo todo, o papel é largamente utilizado. 
 
Na Figura 1, temos uma folha retangular de papel 
(a) medindo 21 cm x 30 cm. Um pentágono irregular 
é construído, em dois tempos, por dobraduras, 
nessa folha. Primeiro, uma das pontas é dobrada (b) 
de modo a definir um triângulo (c). No segundo 
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passo, a ponta oposta à primeira é dobrada, 
definindo um novo triângulo (d). A folha assim 
dobrada define o pentágono mostrado na Figura 2. 
Obtenha a área deste pentágono. 
 
 
QUESTÃO 13 
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
 
01. A figura a seguir representa uma trilha com as 
28 peças do jogo de dominó. No jogo de dominó 
uma trilha é uma linha formada por peças que se 
“casam”: nas ligações, as duas partes sempre 
devem ter o mesmo número de pontos. Se a trilha 
representada na figura começa com o número três, 
então ela também termina com o número três. 
 
 
02. m
2
 é a área da figura resultante das 
instruções a seguir: 1
a
) Ande 10 m; 2
a
) Gire 90º 
para a esquerda; 3
a
) Ande 10 m; 4
a
) Gire 30º para a 
esquerda; 5
a
) Ande 10 m; 6
a
) Gire 120º para a 
esquerda; 7
a
) Ande 10 m; 8
a
) Gire 30º para a 
esquerda; 9
a
) Ande 10 m. 
04. A figura a seguir representa 
a tesoura do telhado de uma casa. A telha que vai 
ser usada é a telha francesa, que exige uma 
inclinação de pelo menos 40% para que a água das 
chuvas escoe. Essa inclinação de 40% é obtida da 
seguinte maneira: partindo da extremidade para o 
topo do telhado, para cada metro na horizontal, 
sobe-se 40% de metro na vertical. Portanto, o 
comprimento da viga AC é m. 
 
 
08. Os 100 quartos de um hotel serão numerados 
de 1 a 100 utilizando placas do tipo: 
 
 
Para efetuar esta numeração serão necessárias ao 
todo 190 placas.QUESTÃO 14 
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
 
01. As figuras a seguir mostram dois triângulos 
semelhantes. Se a área do menor é de 10 cm
2
, 
então a área do maior é de 50 cm
2
. 
 
 
 
02. A medida da temperatura em graus Farenheit é 
uma função linear da medida em graus centígrados. 
Usando esta função para converter 20º centígrados 
em Farenheit obtém-se 68º. 
 
04. Se você dispõe de R$ 143,00, então o valor 
máximo que sua despesa pode alcançar em um 
restaurante que cobra 10% sobre a despesa é de 
R$ 133,00. 
 
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08. Considere o retângulo ABCD cujos lados AB e 
BC medem, respectivamente, 4 cm e 3 cm. Seja A’ 
um ponto do lado AB; B’ um ponto do lado BC; C’ 
um ponto do lado CD e D’ um ponto do lado DA, tal 
que AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = x (ver figura). A área 
do quadrilátero A’B’C’D’ em função de x é dada por: 
A(x) = 2x
2
 – 7x + 12. 
 
 
 
16. A soma dos múltiplos de 6, não negativos, 
menores do que 110, é 816. 
QUESTÃO 15 
Considere a família de circunferências 
concêntricas , em que n é um inteiro 
positivo. O valor do raio da única circunferência 
dessa família que circunscreve um triângulo 
isósceles de área cuja base está sobre 
o eixo x, é: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 16 
Na figura a seguir, determine o valor numérico 
de , em metros quadrados, sabendo que A é a 
área da região cinza. 
 
 
 
Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta. 
QUESTÃO 17 
Na figura a seguir, os pontos D, E e F pertencem, 
respectivamente, aos lados AB, BC e AC do 
triângulo ABC. Eles foram escolhidos de tal forma 
que o quadrilátero ADEF é um quadrado. Sabe-se 
que o lado AB mede cm e que a área do 
quadrado ADEF é igual a 1 cm
2
. 
 
 
 
Determine: 
 
a) o perímetro do quadrado ADEF; 
b) a medida dos dois outros lados do triângulo ABC; 
c) o cosseno do ângulo ACB. 
QUESTÃO 18 
Na figura a seguir, todos os triângulos são 
equiláteros e os vértices de cada triângulo inscrito 
coincidem com os pontos médios dos lados do 
triângulo que o circunscreve. O perímetro do 
triângulo sombreado é 5 cm. 
 
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O perímetro do maior triângulo é: 
 
a) 20 cm. 
b) 40 cm. 
c) 80 cm. 
d) 120 cm. 
e) 240 cm. 
QUESTÃO 19 
No terreno ABC da figura abaixo, pretende-se 
construir um escritório na área hachurada. 
 
 
 
Sendo = 40 m; = 60 m e = 20 m, 
então a área livre que poderá ser usada como 
estacionamento tem área igual a 
 
A) 600 m
2
 
B) 150 m
2
 
C) 400 m
2
 
D) 450 m
2 
QUESTÃO 20 
O triângulo ABC foi dividido em duas regiões de 
áreas iguais pelo segmento de reta , com M 
sobre o lado , a 2 metros do vértice C e a 10 
metros do vértice A. O ponto P encontra-se sobre o 
lado , a 9 metros do vértice A. Veja a figura a 
seguir: 
 
 
 Qual é a distância, em metros, do ponto P ao 
vértice B? 
 
a) 1,4 
b) 1,8 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
QUESTÃO 21 
Sejam r e s duas retas paralelas distando 10 cm 
entre si. Seja P um ponto no plano definido por r e s 
e exterior à região limitada por estas retas, distando 
5 cm de r. As respectivas medidas da área e do 
perímetro, em cm
2
 e cm, do triângulo equilátero 
PQR cujos vértices Q e R estão, respectivamente, 
sobre as retas r e s, são iguais a 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
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QUESTÃO 22 
Um terreno plano tem formato composto de dois 
triângulos retângulos, ABC e BDC como ilustrado a 
seguir. O segmento AE divide ABDC em duas 
regiões de mesma área. Se AB mede 6 km, BC 
mede 8 km, BD mede 6,4 km e os 
ângulos e são retos, quanto mede CE? 
 
 
 
A) 3,936 km 
B) 3,934 km 
C) 3,932 km 
D) 3,930 km 
E) 3,928 km 
QUESTÃO 23 
Uma calha para drenagem de água é construída 
usando-se uma chapa metálica retangular medindo 
60 cm × 20 m, dobrada no sentido longitudinal. A 
seção transversal da calha é mostrada na figura. 
 
 
 
O ângulo é medido a partir da reta 
horizontal que contém a base da seção da calha e 
as medidas x e y satisfazem à equação x + 2y = 60 
cm. 
 
Sobre o conteúdo exposto anteriormente, assinale 
a(s) alternativa(s) correta(s). 
01) Se x = y e , a área da seção transversal 
da calha é 0,4 m
2
. 
 
02) Se x = y, o comprimento de B é dado por B = 
20(1+ 2cos t) cm. 
 
04) Se x = y, a área da seção transversal da calha 
em termos de t, em cm
2
, é representada pela 
função real f, sendo f(t) = 200 (2sen t + sen 2t). 
 
08) Se x = y, a área da seção transversal da calha 
para é menor do que a área da seção 
transversal para . 
 
16) Se t for fixado, a altura da calha em termos de x, 
em cm, é dada pela função h(x) = (60 − x) sen t, 0 < 
x < 60 . 
QUESTÃO 24 
 
 
Na figura, os triângulos ABC e ABD são retângulos 
em A, AB mede 20 cm, o segmento BE é paralelo 
ao segmento AD e os 
ângulos e são iguais a e , 
respectivamente. Com base nessas informações, 
julgue os itens que se seguem (certo ou errado). 
 
• A partir das 
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relações e , 
conclui-se que < 0,92. 
 
• Se a é o comprimento do segmento BD e b é o 
comprimento do segmento BC, 
então . 
 
• A área do triângulo BCD, em , é igual 
a . 
QUESTÃO 25 
A letra V da figura a seguir está em um retângulo 
com 10 cm de largura e 12 cm de altura. Qual a 
área ocupada pela letra V? 
 
 
 
A) 30 cm
2 
B) 36 cm
2 
C) 38 cm
2 
D) 40 cm
2 
E) 42 cm
2 
QUESTÃO 26 
Calcule a área, em cm
2
, de um triângulo retângulo 
cuja hipotenusa mede 10 cm e cujo raio da 
circunferência inscrita mede 1 cm. 
QUESTÃO 27 
Considere um triângulo equilátero ABC cuja base 
AB está apoiada sobre uma reta r e mede L cm. A 
partir do ponto B, constrói-se um novo triângulo 
equilátero BB’C’ cuja base BB’ também está 
apoiada na reta r e mede a metade de AB. Esse 
processo é novamente repetido a partir do ponto B’ 
e assim por diante, gerando uma sequência infinita 
de triângulos. Com base nessas informações, 
assinale o que for correto. 
 
01) A sequência numérica, formada pelas medidas 
das áreas dos triângulos em ordem decrescente, é 
uma progressão geométrica de razão . 
02) A soma das áreas dos triângulos mede 
cm
2
. 
04) Para qualquer que seja L > 0, a sequência 
numérica formada pelas áreas dos triângulos 
sempre conterá pelo menos um número inteiro. 
 
08) A sequência numérica, formada pelas medidas 
das alturas dos triângulos em ordem decrescente, é 
uma progressão aritmética de razão 2. 
 
16) A soma das medidas das alturas é cm. 
QUESTÃO 28 
Na figura, os triângulos MNP e MNQ são retângulos 
com hipotenusa comum MN, o triângulo MNP é 
isósceles, e seus catetos medem cinco unidades de 
comprimento. 
 
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Considerando e a área de MNQ igual a x 
unidades de área, determine o valor de 4x. 
QUESTÃO 29 
O perímetro do triângulo que tem lados sobre as 
retas y = 2, x = 2 e x + y = 2 é: 
(A) . 
(B) 2 . 
(C) 2. 
(D) 2 + . 
(E) 4 + 2 . 
QUESTÃO 30 
O triângulo equilátero XYZ, cuja medida do lado é 4 
m, é dividido em dois triângulos pelo segmento de 
reta XP, onde P é um ponto sobre o lado ZY cuja 
distância a Z é 1 m. O produto dos números que 
representamrespectivamente as medidas, em 
metros quadrados, das áreas dos triângulos XPZ e 
XPY é 
 
A) 4,50. 
B) 6,75. 
C) 9,00. 
D) 11,25. 
QUESTÃO 31 
Para comemorar o aniversário de independência, o 
Governo da Guiana comprou um lote de bandeiras 
para distribuir para a população. A Figura 1 
representa a bandeira e a Figura 2, as 
características geométricas desta. 
 
 
 
Sabendo que e que F é o ponto de 
interseção das diagonais do retângulo ABCD, 
justifique por que a quantidade de tecido utilizada na 
confecção da bandeira correspondente ao triângulo 
ADF é a mesma que a utilizada para o quadrilátero 
AFDE. 
QUESTÃO 32 
Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, 
utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de 
largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às 
instruções abaixo. 
1 - Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento 
MN, e abri-lo novamente: 
 
 
 
2 - Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB', de 
modo que B coincida com o ponto P do segmento 
MN: 
 
 
 
3 - Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP. 
 
 
 
A área construída da bandeirinha APBCD, em cm
2
, 
é igual a: 
a) 
b) 
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c) 
d) 
QUESTÃO 33 
Sobre o triângulo, cujos lados medem 8, 7 e 5, 
podemos afirmar que: 
 
0-0) um dos ângulos internos do triângulo mede 60º. 
1-1) o maior dos ângulos internos mede mais que o 
dobro da medida do menor dos ângulos internos do 
triângulo. 
2-2) a área deste triângulo é 17,5. 
3-3) o triângulo é obtusângulo; 
4-4) o menor dos ângulos internos tem seno igual a 
. 
QUESTÃO 34 
Sobre uma circunferência com raio de 6 cm, 
marcam-se os pontos A, B e C, equidistantes entre 
si, e um ponto D diferente dos anteriores. Sobre 
essa situação, é correto afirmar que 
 
01) a área do triângulo ABC supera metade da área 
do círculo delimitado pela circunferência na qual ele 
está inscrito. 
 
02) o triângulo ABD possui, necessariamente, área 
menor do que a do triângulo ABC. 
 
04) o triângulo ABC é isósceles. 
 
08) se o triângulo ABD é isósceles seu maior lado é 
o lado AB. 
 
16) a área da circunferência é menor do que 100 
cm
2
. 
QUESTÃO 35 
Um ambientalista, desejando estimar a área de uma 
região de preservação ambiental, observou em um 
mapa, com escala de 1 cm para cada 100 km, que o 
formato da região era, aproximadamente, um 
triângulo retângulo de catetos medindo 2 cm e 3 cm. 
Com base nesses dados, conclui-se que a área da 
região de preservação ambiental era, 
aproximadamente, de: 
 
a) 20.000 km
2
. 
b) 30.000 km
2
. 
c) 35.000 km
2
. 
d) 40.000 km
2
. 
e) 60.000 km
2
. 
QUESTÃO 36 
Um círculo de raio 2 está inscrito em um triângulo 
retângulo. Considere as seguintes afirmativas: 
 
I. Numericamente, o comprimento do círculo 
coincide com sua área. 
II. Numericamente, o perímetro do triângulo coincide 
com sua área. 
III. No caso de o triângulo ser isósceles, a 
hipotenusa é 4 + 4 . 
Se n é o número de afirmativas verdadeiras, então é 
CORRETO afirmar que 2
n
 é: 
 
a) 2 
b) 4 
c) 8 
d) 1 
QUESTÃO 37 
Um detalhe arquitetônico, ocupando toda a base de 
um muro, é formado por uma sequência de 30 
triângulos retângulos, todos apoiados sobre um dos 
catetos e sem sobreposição. A figura a seguir 
representa os três primeiros triângulos dessa 
sequência. 
 
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Todos os triângulos têm um metro de altura. O 
primeiro triângulo, da esquerda para a direita, é 
isósceles e a base de cada triângulo, a partir do 
segundo, é 10% maior que a do triângulo 
imediatamente à sua esquerda. 
Com base no exposto, 
 
a) qual é o comprimento do muro? 
 
b) quantos litros de tinta são necessários para pintar 
os triângulos do detalhe, utilizando-se uma tinta que 
rende 10 m
2
 por litro? 
 
Dado: 11
30
 ≈ 1,745 × 10
31 
QUESTÃO 38 
A figura a seguir mostra uma peça plana feita de 
uma folha de metal com a forma de um triângulo 
equilátero de 18 cm de lado, onde dois triângulos 
equiláteros iguais foram retirados. 
 
O perímetro da peça é de 62 cm. 
A área da peça em cm
2
 é igual a 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 39 
A medida, em metros, de cada um dos lados de um 
triângulo equilátero é x, seja S(x) a expressão da 
área deste triângulo em função de x. O valor, em m², 
de é 
A) 
B) 
C) 
D) 
QUESTÃO 40 
A partir de um triângulo escaleno, unem-se os 
pontos médios de seus lados obtendo-se um novo 
triângulo escaleno que, por sua vez, tem os pontos 
médios de seus lados unidos, formando outro 
triângulo escaleno, e assim sucessivamente. É 
correto afirmar que 
 
(A) os valores das áreas dos triângulos escalenos 
formados estão em uma progressão geométrica de 
razão . 
(B) os valores das áreas dos triângulos escalenos 
formados estão em uma progressão geométrica de 
razão . 
(C) os valores das áreas dos triângulos escalenos 
formados estão em uma progressão geométrica de 
razão 4. 
(D) os valores dos perímetros dos triângulos 
escalenos formados estão em uma progressão 
geométrica de razão 2. 
(E) os valores dos perímetros dos triângulos 
escalenos formados estão em uma progressão 
geométrica de razão . 
QUESTÃO 41 
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As figuras a seguir apresentam uma decomposição 
de um triângulo equilátero em peças que, 
convenientemenente justapostas, formam um 
quadrado. 
 
 
 
O lado do triângulo medo e 2 cm, então, o lado do 
quadrado mede, em centímetros, 
 
(A) 
(B) 
(C) . 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 42 
Considere o triângulo ABC inscrito na circunferência 
de raio 1 com ângulos = 60° e = 45°, 
conforme a figura a seguir: 
 
 
a) Calcule o comprimento de cada um dos três lados 
do triângulo ABC. 
 
b) Calcule a área do triângulo ABC. 
QUESTÃO 43 
Considere um quadrado de lado 2a. Unindo os 
pontos médios de 3 lados consecutivos desse 
quadrado, obteremos um triângulo cuja área é igual 
a 
 
A) 4a
2 
B) 
C) 2a
2 
D) a
2
 
E) 
QUESTÃO 44 
Em um triângulo retângulo, a medida de um dos 
catetos corresponde a 60% da medida da 
hipotenusa. Nas condições dadas, o perímetro 
desse triângulo supera a medida da hipotenusa em: 
 
a) 140%. 
b) 160%. 
c) 180%. 
d) 220%. 
e) 240%. 
QUESTÃO 45 
Na figura a seguir, um retângulo ABCD possui lados 
menor e maior, respectivamente, iguais (em metros) 
a 1 e 2. Os pontos P e Q indicados na figura são, 
respectivamente, os pontos médios dos segmentos 
AB e AD. O valor mais próximo da área do triângulo 
PQC é, em m
2
, 
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A) 1 
B) 4/3 
C) 3/4 
D) 1/2 
E) 2/3 
QUESTÃO 46 
Na figura, e são diagonais do quadrado 
ABCD de lado x, M e N são pontos médios de e 
, respectivamente. 
 
 
 
a) Calcule a área da região sombreada na figura, 
em função de x. 
 
b) Calcule o perímetro do quadrilátero PQRS, em 
função de x. 
QUESTÃO 47 
Na ilustração a seguir, temos um paralelepípedo 
retângulo, e estão indicados três de seus vértices A, 
B e C. A diagonal AB mede cm e forma com a 
horizontal um ângulo de 45º. A diagonal AC forma 
com a horizontal um ângulo de 30º. 
 
0-0) A altura do paralelepípedo, com relação à base 
que não contém B e C, mede 1 cm. 
1-1) BC mede2 cm. 
2-2) O cosseno do ângulo BAC é . 
3-3) A área do triângulo BAC mede cm
2
. 
4-4) As diagonais do paralelepípedo medem 
cm. 
QUESTÃO 48 
Nesta figura plana, há um triângulo equilátero, ABE, 
cujo lado mede a, e um quadrado, BCDE, cujo lado 
também mede a: 
 
 
 
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Com base nessas informações, é CORRETO 
afirmar que a área do triângulo ABC é 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
QUESTÃO 49 
Nesta figura, o triângulo ABC é retângulo em 
B, = 60°, = = = x e = 1: 
 
 
Considerando essas informações, 
1. EXPRESSE a área do triângulo CED em função 
de x. 
2. EXPRESSE a área do triângulo EBF em função 
de x. 
3. CALCULE o valor de x tal que a soma das áreas 
dos triângulos CED e EBF seja igual à área do 
quadrilátero EFAD. 
QUESTÃO 50 
No retângulo PQRS as medidas dos lados PQ e PS 
são, respectivamente, 15 m e 10 m. Pelo ponto 
médio, F, do lado PS traça-se o segmento FR 
dividindo o retângulo em duas partes. Se E é o 
ponto do lado PQ tal que a medida do segmento EQ 
é 5 m, traça-se por E uma perpendicular a FR 
determinando o ponto G em FR. Nestas condições, 
a medida da área, em metros quadrados, do 
quadrilátero PFGE é 
 
A) 50,25. 
B) 53,25. 
C) 56,25. 
D) 59,25. 
QUESTÃO 51 
No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são 
respectivamente pontos médios dos lados e 
. 
O segmento mede 6 cm. 
 
 
A área do triângulo ABC mede: 
 
a. cm
2 
b. cm
2 
c. cm
2 
d. cm
2 
e. cm
2 
QUESTÃO 52 
O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 
m e as medidas dos lados estão em progressão 
aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a 
 
a) 3,0 m
2
. 
b) 2,0 m
2
. 
c) 1,5 m
2
. 
d) 3,5 m
2
. 
QUESTÃO 53 
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O perímetro do triângulo equilátero circunscrito a um 
círculo de raio 3 é: 
 
a) 18 . 
b) 20 . 
c) 36. 
d) 15 . 
e) 38. 
QUESTÃO 54 
Os lados do quadrilátero da figura a seguir são 
segmentos das retas y = x + 2, y = –x – 2, y = –2x + 
2 e y = 2x – 2. 
 
A área desse quadrilátero é: 
 
a) 18. 
b) 19. 
c) 20. 
d) 21. 
e) 22. 
QUESTÃO 55 
Os pontos U e V dividem respectivamente os lados 
XZ e XY do triângulo XYZ em segmentos que 
satisfazem às igualdades e . Se 
a medida da área do triângulo XVU é 8 m
2
, então a 
medida, em m
2
, da área do triângulo XYZ é 
 
a) 20. 
b) 24. 
c) 28. 
d) 30. 
QUESTÃO 56 
Os triângulos 1 e 2 da figura são retângulos 
isósceles. Então, a razão da área de 1 para a de 2 
é: 
 
 
a. 
b. 
c. 2 
d. 
e. 
QUESTÃO 57 
Qual é a razão entre a área do triangulo equilátero 
inscrito e a área do triângulo equilátero circunscrito 
a um mesmo círculo? 
 
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(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 58 
Segundo o Instituto de Pesquisa Econômica 
Aplicada (Ipea), existem 43 milhões de brasileiros 
abaixo da linha da pobreza, correspondendo, na 
figura a seguir, ao valor da área do triângulo 
equilátero cujo lado mede 5 cm. Esse total é 
distribuído nas regiões do Brasil, conforme a 
representação (observação: a legenda indica cada 
região com o correspondente valor da área do 
triângulo que a representa): 
 
 
 
Considerando o exposto, assinale o que for correto. 
01) O total de brasileiros abaixo da linha da pobreza 
corresponde ao triângulo de área . 
02) A região Nordeste contém mais da metade do 
total da população abaixo da linha da pobreza no 
Brasil. 
04) As regiões Sul e Sudeste, juntas, têm 
exatamente 25% do total da população abaixo da 
linha da pobreza. 
08) Dois milhões de brasileiros é o total abaixo da 
linha da pobreza na região Centro-Oeste. 
16) A base do triângulo que representa a região 
Norte mede 0,65 cm. 
QUESTÃO 59 
Sobre os lados opostos AB e CD de um retângulo 
ABCD são marcados, respectivamente, os pontos P 
e Q. A soma das áreas dos triângulos AQB e CPD 
resulta exatamente em 240 u.a. Então, a área do 
retângulo ABCD é igual a: 
 
a) 360 u.a. 
b) 120 u.a. 
c) 240 u.a. 
d) 200 u.a. 
e) 300 u.a. 
QUESTÃO 60 
Um quadrilátero convexo ABCD tem ângulos retos 
nos vértices C e D, e as medidas dos lados 
e são iguais. Se E é um ponto qualquer do 
segmento , distinto de A e de B, assinale a(s) 
alternativa(s) correta(s). 
 
01) Os ângulos e são ângulos retos. 
 
02) A medida de é igual à medida de . 
 
04) A medida da área do triângulo CDE é igual à 
soma das medidas das áreas dos triângulos ABC e 
BCD. 
 
08) A medida da área do triângulo CDE é igual à 
metade da medida da área do quadrilátero ABCD 
para qualquer posição do ponto E no segmento 
. 
 
16) Se a medida de é igual à medida de , 
então a medida da área do triângulo EBD é um 
quarto da medida da área do quadrilátero ABCD. 
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QUESTÃO 61 
Um triângulo ABCé retângulo em A. Sabendo que 
BC = 5 e = 30°, pode-se afirmar que a área 
do triângulo ABCé: 
a) 3,025 
b) 3,125 
c) 3,225 
d) 3,325 
e) 3,425 
QUESTÃO 62 
Um triângulo acutângulo de vértices A, B e C está 
inscrito numa circunferência de raio . Sabe-se 
que mede e mede . Determine 
a área do triângulo ABC. 
QUESTÃO 63 
Uma pizza com formato circular tem diâmetro de 40 
cm. Recorta-se da pizza um pedaço com o formato 
de um triângulo equilátero, com todos os vértices na 
borda da pizza. A área, em centímetros quadrados, 
do pedaço recortado é: 
 
A) 240 
B) 270 
C) 300 
D) 320 
E) 350 
QUESTÃO 64 
Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo 
equilátero intercepta os outros dois lados 
determinando um triângulo menor e um trapézio, os 
quais têm o mesmo perímetro. A razão entre a área 
do triângulo menor e a área do trapézio é 
 
A) 6/4. 
B) 7/5. 
C) 8/6. 
D) 9/7. 
QUESTÃO 65 
Uma sequência de triângulos equiláteros (T1, T2, ...) 
e circunferências (C1, C2, ...) é constituída de tal 
forma que, a partir de um triângulo inicial T1 
circunscrito numa circunferência C1, constrói-se o 
próximo triângulo inscrito na circunferência e 
circunscrito numa circunferência seguinte, e assim 
por diante. 
 
A partir dessa construção, formam-se várias 
sequências, a saber: 
 
• (R1, R2, ...) formada pelos raios das 
circunferências (C1, C2, ...). 
• (A1, A2, ...) formada pelas áreas interiores às 
circunferências (C1, C2, ...). 
• (L1, L2, ...) formada pelos lados dos triângulos (T1, 
T2, ...). 
• (B1, B2, ...) formada pelas áreas interiores aos 
triângulos (T1, T2, ...). 
• (S1, S2, ...) formada pelas interseções entre as 
áreas interiores aos triângulos (T1, T2,...) e 
exteriores às circunferências (C1, C2,...), onde Sn = 
Bn – An 
 
 
 
A partir dos dados fornecidos, assinale a(s) 
afirmação(ões) verdadeira(s): 
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(001) (R1, R2,...) é uma progressão aritmética de 
razão 0,5. 
(002) (B1, B2,...) é uma progressão geométrica de 
razão 0,5. 
(004) (S1, S2,...) é uma progressão geométrica de 
razão 0,25. 
(008) An = [ ] / 12 para qualquer n 
natural não nulo. 
(016) para qualquer n natural não 
nulo. 
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QUESTÃO 1 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Os triângulosBCD e BED são congruentes, pois 
têm três ângulos e um lado congruente. Assim, 
como BC = 9 cm, então BE = 9 cm. 
 
O triângulo ABE é isósceles, tem dois ângulos de 
45°. Sua área é: 
 
 
 
QUESTÃO 2 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
O enunciado sugere a construção da seguinte 
figura: 
 
Se os catetos do triângulo retângulo medem 6 m e 8 
m, a hipotenusa mede 10 m. Assim, a área total da 
figura é: 
 
Por proporção, encontramos a quantidade x de litros 
de tinta necessários para pintar toda a figura: 
 litros 
 
QUESTÃO 3 
E 
RESOLUÇÃO: 
Como o triângulo BCD tem altura DE que pertence 
à sua mediatriz, BCD é isósceles, como mostra a 
figura. 
 
 
 
Aplicando a lei dos senos nos triângulos ABC e 
ABD, tem-se: 
 
 
 
 
Como sen
2
a + cos
2
a = 1, então sen
2
a = 
, e sen a = . 
 
 cm. 
 
Assim, a área do triângulo ABD é: 
 
. 
 
QUESTÃO 4 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
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Seja x a medida do cateto menor. Então, os lados 
do triângulo são e . Se o perímetro é 60 
cm, tem-se: 
 
 cm. 
 
Assim, a área do triângulo é: 
 
 cm². 
 
QUESTÃO 5 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Como os triângulos PQR e RST são equiláteros, os 
ângulos e medem 60°, e portanto, o 
ângulo também mede 60°. 
Assim, o triângulo PRS, que é isósceles (PR = RS = 
x), tem ângulos medindo 
e . 
Logo, o segmento PM é bissetriz do ângulo . 
Como o triângulo PQR é equilátero, a bissetriz PM 
coincide com a altura, e portanto, . 
A área do triângulo PMT é: 
 
 
QUESTÃO 6 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Seja x a medida do lado do triângulo DEF. 
Temos BD = = x /2 + x/2 e x = 2 
/(3 + 1) . A área de DEF é x2 /4 = 8 
/[4(4 + 2 )] = (2 – ) = 2 – 3. 
 
QUESTÃO 7 
GABARITO: 
I: 1, 2 
II: 0, 3, 4 
RESOLUÇÃO: 
Observe a figura, onde, além das informações do 
enunciado, foram destacados os ângulos α e β do 
triângulo EFC: 
 
Como α + β = 90°, temos que os ângulos AÊB e 
EÂB medem, respectivamente, α e β. 
 
0. Falsa. 
No triângulo ABE, AE é hipotenusa. No triângulo 
AEF, AE é cateto. Os triângulos não são 
congruentes. 
 
1. Verdadeira 
De fato, ambos possuem três ângulos congruentes, 
por isso os dois triângulos são semelhantes. 
 
2. Verdadeira 
Pela semelhança dos triângulos ABE e EFC, temos: 
cm. 
Assim, DF = DC – FC = 4 – 1 = 3, e a área do 
triângulo ADF é . 
3. Falsa 
A área do triângulo EFC é . 
4. Falsa 
Pelo teorema de Pitágoras, nos triângulos ABE e 
EFC: 
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A área do triângulo AEF é , que 
representa da área do 
quadrado. 
 
QUESTÃO 8 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Representando a situação descrita, temos: 
 
 
No triângulo ABC temos, pelo teorema da 
bissetriz do ângulo interno, . E 
como o triângulo ABC é retângulo, temos 
que 
 
 
Como x é um ângulo agudo, 
No triângulo retângulo ADE, temos 
que: 
Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo ADE, 
obtemos: 
Como A1 e A2 são as áreas dos triângulos ADE e 
BCE, temos que: 
 
 
QUESTÃO 9 
GABARITO: 
 
Área do R: 
A área do retângulo que contém o R é: A = 
80 cm · 120 cm = 9.600 cm2 (0,96 m2). 
A área dos triângulos que aparecem na 
figura é: . 
A área do retângulo menor é: AR = 20 
cm · 40 cm = 800 cm2. 
A área solicitada é dada por: AS = 9600 
cm2 – 2 · 1.200 cm2 – 800 cm2 = 6.400 cm2 
ou AS = 0,64 m
2. 
Outra solução é calcular a área de cada 
paralelogramo que forma a letra R. 
 
Área do N 
A área do retângulo que contêm o N é: A = 
80 cm × 120 cm = 9.600 cm2 (0,96 m2). 
A área dos triângulos que aprecem na 
figura é: . 
A área solicitada é dada por: AS = 9.600 
cm2 – 2 · 1.600 cm2 = 6.400 cm2 ou AS 
= 0,64 m2. 
Outra solução é calcular a área de cada 
paralelogramo que forma a letra N. 
 
QUESTÃO 10 
GABARITO: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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 Os triângulos DC1E1 e DC2E2 são 
semelhantes, de modo que: 
 
 
 
 
QUESTÃO 11 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Somente as afirmativas 2 e 3 são 
verdadeiras. 
 
(1) Falsa 
 
(2) Verdadeira 
 
 
(3) Verdadeira 
 
 
Portanto, somente as afirmativas 2 e 3 são 
verdadeiras. 
 
QUESTÃO 12 
GABARITO: 
 
 
 
A área do pentágono é igual à diferença 
entre a área da folha de papel e as áreas 
dos triângulos retirados pela dobradura. 
 
 Área 
= 
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Resposta: A área do pentágono é 369 cm2. 
 
QUESTÃO 13 
05 
 
RESOLUÇÃO: 
01 + 04 = 05 
 
01. Correto. 
As peças com o número 3 são: 
 
Assim, temos 8 “metades” com o número 3, 
que é uma quantidade par. 
As ligações envolvendo peças com o 
número 3 são duas: 
 
Nos dois casos, usa-se uma quantidade par 
de “metades” com número 3. Como 
usamos uma das oito “metades” com o 
número 3 no começo, usando 28 peças só 
se pode terminar a trilha com uma “metade” 
3. 
 
02. Incorreto. 
Sendo A o ponto de partida, temos: 
 
 
Portanto, a área da figura é a soma das 
áreas do triângulo equilátero CDE e do 
quadrado ABCE. Assim: 
S = S = S = 
25( + 4) m2 
 
04. Correto. 
 
Se a inclinação do telhado é de 40% e AM 
= 5 m, então: 
CM = CM = 2 m 
 
No triângulo AMC, temos: 
AC2 = AM2 + CM2 ⇒ AC2 = 25 + 4 ⇒ AC 
= m 
 
08. Incorreto. 
Número de quartos numerados com uma 
placa: 9 {1, 2, 3, ..., 9}, ou seja, são 
necessárias 9 placas. 
 
Número de quartos numerados com 2 
placas: 90 
 
 
{11, 12, 13, ..., 99}. Portanto, são 
necessárias 90 · 2 = 180 placas. 
 
Número de quartos numerados com 3 
placas: 1, que é o quarto número 100. 
Portanto, são necessárias 3 placas. 
 
Sendo assim, o número total de placas é 9 
+ 180 + 3 = 192 placas. 
 
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QUESTÃO 14 
10 
 
RESOLUÇÃO: 
02 + 08 = 10 
 
01. Falsa 
A razão de semelhança entre os triângulos é de 5. 
Assim, sendo A1 a área do triângulo menor e A2 a 
área do maior, temos: 
 
 
02. Verdadeira 
A função de transformação de graus centígrados em 
Farenheit é: . Assim, para 20° 
centígrados, temos: 
 
 
04. Falsa 
 
 
08. Verdadeira 
Para encontrar a área do quadrilátero A'B'C'D', 
basta subtrair da área do retângulo ABCD, 4 
triângulos, congruentes dois a dois, cujos lados 
medem AA' = x e AD' = 3 - x, e A'B = x e BB' = 4 - x: 
 
 
16. Falsa 
Os múltiplos de 6 não negativos são {6, 12, 18, 24, . 
. . , 108}. Trata-se de uma progressão aritmética de 
18 termos, primeiro termo igual a 6 e razão igual 
a 6. Sua soma será: 
. 
 
QUESTÃO 15 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
Área = 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 16 
35 
 
RESOLUÇÃO: 
A área da região cinza é a área do retângulo, 
subtraídas as áreas de 4 triângulos retângulos. 
 
 
QUESTÃO 17 
GABARITO: 
a) Se a área do quadrado é igual a 1 cm2, 
então seu lado mede 1 cm e, portanto, seu 
perímetro é igual a 4 cm. 
 
b) Seja x a medida do segmento CF. Como 
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os ângulos e são congruentes, 
os triângulos retângulos CEF e EBD são 
semelhantes. Portanto, 
, isto é, 
Logo, e, 
portanto, 
. Usando-se agora o Teorema de Pitágoras, 
conclui-se que: 
 
 
 
c) 
 
 
QUESTÃO 18 
BRESOLUÇÃO: 
Inicialmente vamos nomear os vértices 
desses triângulos conforme ilustrado na 
figura a seguir. 
 
 
Como todos os triângulos são equiláteros 
tem-se: 
PerímetroABC = 3 × AB 
PerímetroDEF = 3 × DF 
PerímetroGHI = 3 × HI 
PerímetroJKL = 3 × KJ 
 
Como D e F são pontos médios de dois 
lados do triângulo ABC, segue que DF 
= , ou seja, 
 
AB = 2 × DF (1) 
 
Como H e I são pontos médios de dois 
lados do triângulo DEF, segue que 
HI = DF, ou seja, 
 
DF = 2 × HI (2) 
 
Como K e J são pontos médios de dois 
lados do triângulo GHI, segue que KJ 
= HI, ou seja, 
 
HI = 2 × KJ (3) 
Substituindo (3) em (2) obtém-se: DF = 2 × 
(2 × KJ) = 4 × KJ (4) 
Substituindo (4) em (1) obtém-se: AB = 2 × 
(4 × KJ) = 8 × KJ (5) 
Multiplicando ambos os membros de (5) por 
3 obtém-se: 3 × AB = 3 × (8 × KJ), ou seja, 
3 × AB = 8 × (3 × KJ) 
 
Mas essa última relação fornece: 
 
PerímetroABC = 8 × PerímetroJKL = 8 × 5 = 
40 cm. 
 
QUESTÃO 19 
D 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 são semelhantes, logo: 
 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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QUESTÃO 20 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Do enunciado temos que = 2 
× Seja a medida do ângulo BÂC, 
temos: 
 × (9 + PB) × 12 × sen = 2 × × 9 × 
10 × sen 
 12PB + 108 = 180 12PB = 72 PB = 6 
 
QUESTÃO 21 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Do enunciado podemos construir a 
seguinte figura: 
 
 
Seja l a medida, em centímetros, do lado 
do triângulo equilátero PQR, temos do 
triângulo retângulo APR, que: 
l2 = AR2 + 152 ⇒ AR = 
Ainda, no triângulo BRQ, do mesmo modo: 
l2 = RB2 + 102 ⇒ RB = 
Da figura, observamos que PC = AB = AR 
+ RB, portanto, PC = 
. 
No triângulo CPQ, temos, novamente pelo 
teorema de Pitágoras, que: 
l2 = (PC)2 + 
52 
 , pois . 
Sendo assim, a área A do triângulo 
equilátero PQR é dada por: 
 
E seu perímetro p é dado por: 
 
 
QUESTÃO 22 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Temos = 10 km 
e = 4,8 km. 
A área de ABC é = 24 km
2 e a de BDC 
é = 15,36 km
2 . Já a área de AEC 
mede = 19,68 km
2. 
 
O triângulo AEC é retângulo em pois os 
triângulos ABC e BDC são semelhantes. 
 
Assim, = 19,68 e EC = 3,936 km. 
 
QUESTÃO 23 
14 
 
RESOLUÇÃO: 
02 + 04 + 08 = 14 
 
01) Falsa. Se x = y e , temos que a 
secção é um quadrado de lado 20 cm. 
Portanto, sua área é de 400 cm2 = 0,04 m2. 
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02) Verdadeira. Se x = y, temos a seguinte 
situação: 
 
 
 
Da figura, temos que: 
cos t = k = 20 × cos t 
Dessa forma, B = 20 + 2k = 20 + 40 × cos t 
= 20(1 + 2 × cos t) cm 
 
04) Verdadeira. 
Da figura anterior, temos sen t = , então: 
h = 20 × sen t 
Sendo assim, se x = y, a área da secção, 
em termos de t,é: 
A = A = (40 + 40 × 
cos t) × 10 × sen t ⇒ 
⇒ A = 200(2 × sen t + 2 × sen t × cos t) ⇒ A 
= 200(2 sen t + sen2t) 
 
08) Verdadeira. Se x = y, a área da secção 
é A = 200(2 sen t + sen2t). 
 
Para t = rad = 30º, temos: A = 200(2 sen 
30º + sen 60º) ⇒ 
⇒ A = A = (200 + 
100 ) cm2 
 
Para t = rad = 90º, temos: A = 200(2 sen 
90º + sen 180º) ⇒ A = 200(2 + 0) ⇒ A = 400 
cm2 
Portanto, a área da seção transversal da 
calha para rad é menor do que a 
área da seção transversal para rad. 
 
16) Falsa. Sabemos que x + 2y = 60 ⇒ y = 
30 – . Dessa forma, 
sen t = h= y × sen t ⇒ h = × sen t 
 
QUESTÃO 24 
E C C 
 
RESOLUÇÃO: 
• E 
 
 
• C – O ângulo CBD mede 15°. O ângulo ABC mede 
60°. O ângulo ACB mede 30°, que é externo 
ao triângulo BCD, portanto o ângulo CDB também 
mede 15° e o triângulo BCD é isósceles, com BC = 
CD = b. Pela lei dos senos: 
 
 
• C 
 
Como 
 e 
 , então: 
. 
 
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QUESTÃO 25 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A área do retângulo é 120 cm
2
. A região do 
retângulo não ocupada por V consiste em 2 
triângulos com áreas 30 cm
2
 e 24 cm
2
. Portanto, a 
área de V é 120 – 60 – 24 = 36 cm
2
. 
 
QUESTÃO 26 
GABARITO: 
A partir dos dados do enunciado, obtemos: 
I) Sendo A a área do triangulo, P o 
semiperímetro e R o raio da circunferência, 
temos, de acordo com a figura a seguir: 
 
 
 
P = = 11 cm 
A = P · R 
A = 11 · 1 
A = 11 cm2 
 
II) 
 
b – 1 + a – 1 = 10 
a + b = 12 
2P = a + b + 10 
2P = 22 cm 
A = P · R 
A = 11 · 1 
A = 11 cm
2 
RESOLUÇÃO: 
 
 
QUESTÃO 27 
02 + 16 = 18 
 
RESOLUÇÃO: 
01) Incorreta. A área de um triângulo equilátero é 
dada por . Uma vez que cada triângulo 
apresenta lado igual à metade do triângulo anterior 
e que a área é diretamente proporcional ao 
quadrado do lado, a sequência numérica, formada 
pelas medidas das áreas dos triângulos em ordem 
decrescente, é uma progressão geométrica de 
razão . 
 
02) Correta. A soma das áreas dos triângulos, que 
corresponde à soma dos termos de uma P.G. 
infinita, é dada por: 
 
Sn = 
Sn = 
Sn = cm
2
. 
 
04) Incorreta. Uma vez que a área de um triângulo é 
dada por , a área dos triângulos formados 
sempre será um número irracional, devido ao 
fator . 
 
08) Incorreta. A altura de um triângulo equilátero é 
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dada por , ou seja, a altura é diretamente 
proporcional ao lado e, uma vez que o lado vai 
sendo reduzido à metade do anterior, temos uma 
P.G. de razão . 
 
16) Correta. A soma das alturas dos triângulos, que 
corresponde à soma dos termos de uma P.G. 
infinita, é dada por: 
 
Sn = 
Sn = 
Sn = cm. 
 
QUESTÃO 28 
GABARITO: 
Triângulo MNP: 
 
MN
2
 = 5
2
 + 5
2
 
 
 
Triângulo MNQ: 
 
 
QM = 3NQ 
 
Pitágoras em MNQ: 
 
NQ
2
 + QM
2
 = (5 )
2
 = 50 
 
Montando um sistema: 
 
QM = 3NQ 
NQ
2
 +QM
2
 = 50 
 
Solução: NQ = u.c. e QM = u.c. 
Área do triângulo MNQ = x = u.a. 
Logo, 4x = . 
RESOLUÇÃO: 
 
 
QUESTÃO 29 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Temos um triângulo retângulo de catetos medindo 2 
e hipotenusa , logo o perímetro vale 
. 
 
QUESTÃO 30 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com a figura a seguir, temos as seguintes 
relações: 
 
 
I) Área do triangulo XPZ = . 
II) Área do triangulo XPY = . 
 
III) Produto = . 
 
QUESTÃO 31 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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GABARITO: 
Solução 1: 
Sendo G o ponto de interseção da semirreta EF com 
o lado AD, FG é a altura relativa à base AD 
e 
Logo, a área do triângulo ADF é dada 
por e a área do triângulo ADE é 
dada 
por 
 
Por outro lado, A2 = A1 + AAFDE 2A1 = A1 + 
AAFDE A1 = AAFDE. 
Portanto, a quantidade de tecido na parte ADF é a 
mesma da parte AFDE. 
 
Solução 2: 
 
 
A figura acima mostra que S(ADF) = e 
que S(DCE) = S(ABE) = isto é, 
S(ADF) = S(DCE). 
Como S(ADF) + S(AFDE) + 2S(DCE) = S(ABCD), 
segue-se que: 
S(AFDE) = 
S(ABCD) ou seja, 
S(AFDE) = . 
Solução 3: 
 
 
 
Pelas hipóteses conclui-se que GF = FE. 
S(GFA) = S(FEA). 
S(GFA) = S(FEA), porque as medidas das 
bases são iguais e as das alturas também. 
S(ADF) = 2S(GFA) e S(AFDE) = 2S(FEA), 
logo S(ADF) = S(AFDE). 
Portanto, a quantidade de tecido na parte 
ADF é a mesma da parte AFDE. 
 
Solução 4: 
 
 
Pelas hipóteses, conclui-se que GF = FE. 
Sendo H ponto médio de AG, S(GFH) = S(HAF) = 
S(FIA) = S(FIE). 
S(GFH) = S(HAF) = S(FIA) = S(FIE), porque as 
medidasdas bases são iguais e as das alturas 
também. 
S(ADF) = 2S(GFA) e S(AFDE) = 2S(FEA), logo 
S(ADF) = S(AFDE). 
Portanto, a quantidade de tecido na parte ADF é a 
mesma da parte AFDE. 
 
Solução 5: 
 
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Pelas hipóteses, conclui-se que GF = FE. 
S(GFA) = S(FEA). 
S(GFA) = S(FEA), porque S(GFA) = S(HAF) e 
S(FIA) = S(IHA) = S(FIE). 
S(ADF) = 2S(GFA) e S(AFDE) = 2S(FEA), logo 
S(ADF) = S(AFDE). 
Portanto, a quantidade de tecido na parte ADF é a 
mesma da parte AFDE. 
 
QUESTÃO 32 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Após a segunda instrução, fica definido o triângulo 
retângulo APN, em que = 10 cm e = 5 cm. 
 
 
 
O triângulo retângulo BPN é congruente com APN, 
porque , e é um cateto comum, 
então = 10 cm. Logo, o triângulo APB é 
equilátero. A área S da bandeirinha é igual a área 
do retângulo ABCD menos a área do triângulo 
equilátero ABP: 
 
 
 
QUESTÃO 33 
VVFFV 
 
RESOLUÇÃO: 
Supondo que AB = 5, AC = 7 e BC = 8; e 
denominando α, β e γ os ângulos, respectivamente, 
dos vértices A, B e C, usando lei dos cossenos 
temos: 
. O ângulo β 
mede 60º. 
 
 como a 
função cosseno é decrescente no 1º quadrante, 
temos que . 
Todos os cossenos são positivos, logo os ângulos 
são todos agudos. Como a área de um triângulo é 
 < 17,5, pois < 
. 
 
QUESTÃO 34 
02 + 04 + 08 = 14 
 
RESOLUÇÃO: 
01) Incorreta. 
Sendo R = 6, temos 6 = · ⇒ L = cm. 
Área do triângulo ABC = = 27 · = 47 
cm
2
, por aproximação. 
Área do círculo = (6)
2
 = 36 · = 133 cm
2
, sendo, 
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então, inferior à área do círculo. 
 
02) Correta. O triângulo ABD possui menor altura e 
menor base que o triângulo ABC, logo, terá menor 
área. 
 
04) Correta. Se o triângulo ABC é equilátero, tem os 
três lados e os três ângulos iguais. Então tem dois 
lados iguais e dois ângulos de base iguais; portanto, 
o triângulo equilátero é um caso especial de 
isósceles. 
 
08) Correta. Pensando em uma posição em que D 
não coincida com C, ABD será isósceles para um 
arco AD menor que um arco AB, de tal forma que os 
lados iguais AB e BD tenham valores de medida 
maiores em relação a AD. 
 
16) Incorreta. A = (6)
2
 = 133 cm
2
. 
 
QUESTÃO 35 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
1 cm .....100 km 
Área deo triângulo 2 · 100 = 200 km de altura e 
base 3 · 100 km = 300 km: 
 
QUESTÃO 36 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
I. Correta. 
Comprimento do círculo = 
Área do círculo = 
II. Correta. Sendo P o perímetro de um triângulo, 
temos que a área A pode ser calculada 
multiplicando o semiperímetro (0,5P) pelo raio do 
círculo inscrito. Assim, temos: 
A = r · 0,5P = 2 · 0,5 · P = 1 · P = P 
 
III. Correta. Para um triângulo retângulo, a área 
também pode ser calculada como metade do 
produto dos catetos. Sendo esse triângulo isósceles, 
os catetos são iguais. Assim, temos: 
a = hipotenusa 
c = catetos 
área = 0,5c
2 
perímetro = a + 2c 
 
Pelo teorema de Pitágoras, temos: 
 
 
Usando a conclusão obtida em II (A = P), temos: 
 
Como as três afirmativas são verdadeiras, temos 
que 2
3
 = 8. 
 
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QUESTÃO 37 
GABARITO: 
a) O comprimento do muro é dado pela soma das 
medidas das bases dos triângulos, ou seja, 
. 
 
b) A área total do detalhe é numericamente igual à 
metade do comprimento do muro 
, o que corresponde a 82,25 m
2
. 
Como cada litro de tinta cobre 10 m
2
,
 
 são 
necessários 8,225 litros de tinta. 
 
QUESTÃO 38 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo x a medida do lado dos triângulos equiláteros 
que foram retirados, temos: 
 
1) o perímetro da peça é 3 · 18 + 2x = 62 ⇔ x = 4 
cm. 
2) a área, em cm
2
, da peça 
é . 
 
QUESTÃO 39 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Se x é a medida do lado do triângulo equilátero, 
então . Assim: 
 
 
QUESTÃO 40 
GABARITO: 
A 
RESOLUÇÃO: 
Como cada triângulo tem seus lados divididos 
proporcionalmente, o novo triângulo terá lados e 
altura iguais à metade do anterior. Assim, se o 
primeiro triângulo tem um lado de medida x e 
respectiva altura y, temos: 
 
 
Logo, as áreas dos triângulos estão em progressão 
geométrica de razão . 
 
QUESTÃO 41 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Como o quadrado e o triângulo têm a mesma área, 
chamando de x o lado do quadrado, temos: 
 
 
 
QUESTÃO 42 
GABARITO: 
a) Pela Lei dos Senos, temos 
 e calculando 
, 
temos . 
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b) Área do triângulo: 
. 
 
Resposta alternativa: 
 
 
a) Colocando os eixos coordenados com a origem 
em O, temos A = (0,1), B = e C = 
(1,0). Assim 
 e 
 
 e 
 e 
 
b) A área pode ser calculada cortando o triângulo 
em três a partir de O. Já obtivemos as bases dos 
três triângulos (são os lados!). As alturas podem ser 
obtidas por Pitágoras. 
Seja hC a altura do triângulo OAB com relação ao 
lado AB. 
, 
logo e 
, 
, logo e 
, 
, logo e 
, 
Logo, 
 
QUESTÃO 43 
GABARITO: 
D 
RESOLUÇÃO: 
Considerando a figura: 
 
 
O triângulo tem base 2a e altura a. Portanto, sua 
área é: 
. 
 
QUESTÃO 44 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Admitindo-se que a hipotenusa tenha medida x, um 
dos catetos deve ter medida 0,6x, uma vez que 
corresponde a 60% da medida da hipotenusa. A 
medida do segundo cateto pode ser obtida através 
do Teorema de Pitágoras: 
(h)
2
 = (c1)
2
 + (c2)
2 
(x)
2
 = (0,6x)
2
 + (c2)
2 
c2 = 0,8x 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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O perímetro do triângulo formado entre os catetos 
c1 e c2 e a hipotenusa h é dado por: 
P = h + c1 + c2 
P = x + 0,6x + 0,8x 
P = 2,4x 
ou seja, o perímetro desse triângulo supera a 
medida da hipotenusa em 140%. 
 
QUESTÃO 45 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
A área do triângulo PQC é igual à àrea do retângulo 
ABCD, subtraídas as áreas dos triângulos APQ, 
CDQ e BCP. Sabendo que AQ = QD = 1 e AP = PB 
= , então: 
. 
 
QUESTÃO 46 
GABARITO: 
a) As diagonais de um quadrado são 
perpendiculares, portanto, temos: 
 
 
 
 
PD = PC = 
Q é baricentro de ΔABC, e S é baricentro do ΔBCD, 
portanto: 
 
PQ = PS = ⇒ PQ = PS = 
SC = PC – PS 
 
SC = ⇒ SC = 
 
Do DPS segue que: 
SD
2
 = ⇒ SD2 = ⇒ SD = 
 
 
Como QS é diagonal de um quadrado, temos: 
QS = ⇒ QS = 
De ΔCSR~ΔDSP, temos: 
 ⇒ SR = 
 
Do ΔRSQ segue que: 
 ⇒ RQ = 
ÁreaPQRS = → 
ÁreaPQRS = 
Áreasombreada = 2 (ÁreaDBN – ÁreaPQRS) 
 
Áreasombreada = ⇒ 
Áreasombreada = 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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b) 
PerímetroPQRS = ⇒ 
PerímetroPQRS = 
 
QUESTÃO 47 
VVVVF 
 
RESOLUÇÃO: 
Usando a face lateral que contém A e B e o ângulo 
que AB forma com a horizontal, deduzimos que a 
altura (e a profundidade) do paralelepípedo 
medem · sen 45º = 1 cm. Usando o ângulo que 
AC forma com a horizontal, obtemos que o 
comprimento do paralelepípedo mede = 
cm. BC mede = 2 cm. 
O triângulo ABC é isósceles e o cosseno do ângulo 
BAC é . O seno do ângulo BAC 
é e a área de BAC mede 
cm
2
. As diagonais do 
paralelepípedo medem cm. 
 
QUESTÃO 48 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Como o triângulo ABE é equilátero, o ângulo ABEmede 60°. E o ângulo CBE é reto. Portanto, o 
ângulo ABC mede 90° + 60° = 150°. 
Assim, a área do triângulo ABC é: 
 
 
QUESTÃO 49 
GABARITO: 
1. . 
 
2. No triângulo ABC, o ângulo  mede 30°. Assim, 
 
. 
 
3. 
 
 
 
 
 
Assim, 
 (não convém, pois x < BC) 
. 
 
QUESTÃO 50 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com as informações do enunciado, temos 
a seguinte figura: 
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Os triângulos retângulos PFE e QER são 
congruentes (pelo caso LAL), sendo α + β = 90°. 
Assim, o ângulo FÊR mede 90°. Como o triângulo 
FER é isósceles, o ângulo EFR mede 45°. 
 
 
 
QUESTÃO 51 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Se M e N são pontos médios dos lados dos 
triângulos, então o segmento MN divide o triângulo 
em dois semelhantes: , com 
AMN também equilátero. 
Logo, se AM = MN = AN = 6 cm, temos AB = BC = 
CA = 12 cm. 
 
A área do triângulo ABC é: 
. 
 
QUESTÃO 52 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Vamos chamar os lados do triângulo de (x – r), x e 
(x + r), sendo o último a hipotenusa, pois é o maior 
lado. 
Se o perímetro é igual a 6 m, temos: 
 
Pelo teorema de Pitágoras: 
 
 
 
Logo, a área do triângulo é: 
 
 
QUESTÃO 53 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
A altura (h) do triângulo é igual a 3 vezes o raio da 
circunferência. Além disso, se o lado do triângulo 
tem medida a, temos que h = . Logo, h = 3 · 3 
= 9. 
Assim, 
. 
Portanto, o perímetro do triângulo 
é . 
 
QUESTÃO 54 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com as equações de retas 
dadas, constrói-se o seguinte gráfico: 
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Assim, a figura tem área de dois triângulos de base 
|–2 – 1| = 3 e altura 6. Logo, a área A do 
quadrilátero da figura é: 
 
. 
 
QUESTÃO 55 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Observe a figura: 
 
 
Seja x a medida do ângulo YXZ, podemos escrever 
a área do triângulo XVU como 
sendo 
 . 
 
Aplicando a fórmula da área no triângulo XYZ, 
temos: 
. 
De onde conclui-se que a área de XYZ é 
. 
 
QUESTÃO 56 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja x a medida dos catetos do triângulo 2. Pelo 
Teorema de Pitágoras, a hipotenusa y do triângulo 2 
mede: 
 
 
 
Assim, os catetos do triângulo 1 medem . As 
áreas dos triângulos são: 
 
 
 
Portanto, a razão procurada é: 
 
 
 
QUESTÃO 57 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Observando a figura temos que . 
 
QUESTÃO 58 
19 
 
RESOLUÇÃO: 
01 + 02 + 16 = 19 
 
01) Verdadeira. No triângulo equilátero, a área A em 
função da medida l do lado é dada por . 
Então: 
 cm
2
. 
02) Verdadeira. A metade da população abaixo da 
linha de pobreza equivale a uma área 
de cm
2
. 
Na região Norteste, a área é de 
cm
2
. 
04) Falsa. A soma das áreas correspondentes às 
regiões Sul e Sudeste é , o 
que equivale a 30% da área total do triângulo. 
 
08) Falsa. Se x é o total de brasileiros abaixo da 
linha da pobreza na região Centro-Oeste, então: 
 milhões. 
 
16) Verdadeira. O triângulo que representa a região 
Norte tem área cm
2
, e altura igual à do 
triângulo maior, de cm. Assim, a base b 
mede 
 cm. 
 
QUESTÃO 59 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Como AB = CD, temos: 
 
 
 
QUESTÃO 60 
27 
 
RESOLUÇÃO: 
01 + 02 + 08 + 16 = 27 
 
 
 
01) Correta. 
Se um quadrilátero tem dois ângulos retos 
consecutivos e dois lados não consecutivos 
congruentes, esse quadrilátero é um retângulo. 
 
02) Correta. 
Como o quadrilátero é um retângulo, AB = CD. 
 
04) Incorreta. 
A soma das medidas das áreas dos triângulos ABC 
e BCD é igual à área do retângulo ABCD. 
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08) Correta. 
A altura do triângulo CDE é AD. 
 
 
 
16) Correta. 
. 
 
QUESTÃO 61 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 Considere a figura a seguir: 
 
 
 
Assim, a área (S) do triângulo ABC é: 
 
 
QUESTÃO 62 
GABARITO: 
Com os dados do enunciado, podemos 
montar a seguinte figura: 
 
 
 
Assim, no triângulo retângulo BMO, temos: 
 
E no triângulo retângulo BNO, temos: 
 
Com os resultados obtidos podemos obter 
a área do triângulo ABC: 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 63 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Sabe-se que, no triângulo equilátero, a altura é 
dividida pelo circuncentro (centro da circunferência) 
na razão de 2:1. Logo, se o raio da pizza é 20 cm, a 
altura é de 30 cm, conforme mostra a figura: 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Assim, 
 
 
 cm
2
. 
 
QUESTÃO 64 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Observe a figura: 
 
 
 
Como o triângulo original é equilátero, ao passar 
uma reta paralela a um dos lados, formamos outro 
triângulo equilátero. Assim: 
 
 
Agora comparamos as áreas: 
 
 
 
QUESTÃO 65 
12 
 
RESOLUÇÃO: 
004 + 008 = 12 
 
Para qualquer triângulo equilátero de altura Hn, 
vale: 
 e (I) 
Para qualquer circunferência inscrita no triângulo 
equilátero: 
 (II
) 
Para qualquer circunferência circunscrita no 
triângulo equilátero: 
 (III) 
De (I) e (II), temos que: 
 (IV) 
 
Vejamos as afirmações: 
 
(001) Falsa. 
Da equação (II), temos: 
Substituindo em (III): 
 
Cada elemento da sequência é a metade do 
anterior. Portanto, a sequência forma uma 
progressão geométrica de razão 0,5. 
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(002) Falsa. 
Utilizando (I) e (IV): 
 
Cada elemento da sequência é igual a do 
anterior. Trata-se de uma progressão geométrica de 
razão . 
(004) Verdadeira. 
 
Cada elemento da sequência é do elemento 
anterior. Trata-se de uma progressão geométrica de 
razão . 
(008) Verdadeira. 
Utilizando (II): 
 
(016) Falsa. 
Como visto na equação II. 
 
 
 
	Exercícios de Geometria Plana.
	Perímetro e área.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Questão 11
	Questão 12
	Questão 13
	Questão 14
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	Questão 18
	Questão 19
	Questão 20
	Questão 21
	Questão 22
	Questão 23
	Questão 24
	Questão 25
	Questão 26
	Questão 27
	Questão 28
	Questão 29
	Questão 30
	Questão 31
	Questão 32
	Questão 33
	Questão 34
	Questão 35
	Questão 36
	Questão 37
	Questão 38
	Questão 39
	Questão 40
	Questão 41
	Questão 42
	Questão 43
	Questão 44
	Questão 45
	Questão 46
	Questão 47
	Questão 48
	Questão 49
	Questão 50
	Questão 51
	Questão 52
	Questão 53
	Questão 54
	Questão 55
	Questão 56
	Questão 57
	Questão 58
	Questão 59
	Questão 60
	Questão 61
	Questão 62
	Questão 63
	Questão 64
	Questão 65
	Questão 1
	B
	Resolução:
	Questão 2
	D
	Resolução:
	Questão 3
	E
	Resolução:
	Questão 4
	C
	Resolução:
	Questão 5
	C
	Resolução:
	Questão 6
	C
	Resolução:
	Questão 7
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 8
	A
	Resolução:
	Questão 9
	Gabarito:
	Questão 10
	Gabarito:
	Questão 11
	C
	Resolução:
	Questão 12
	Gabarito:
	Questão 13
	05
	Resolução:
	Questão 14
	10
	Resolução:
	Questão 15
	B
	Resolução:
	Questão 16
	35
	Resolução:
	Questão 17
	Gabarito:
	Questão 18
	B
	Resolução:
	Questão 19
	D
	Resolução:
	Questão 20
	C
	Resolução:
	Questão21
	B
	Resolução:
	Questão 22
	A
	Resolução:
	Questão 23
	14
	Resolução:
	Questão 24
	E C C
	Resolução:
	Questão 25
	B
	Resolução:
	Questão 26
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 27
	02 + 16 = 18
	Resolução:
	Questão 28
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 29
	E
	Resolução:
	Questão 30
	C
	Resolução:
	Questão 31
	Gabarito:
	Questão 32
	B
	Resolução:
	Questão 33
	VVFFV
	Resolução:
	Questão 34
	02 + 04 + 08 = 14
	Resolução:
	Questão 35
	B
	Resolução:
	Questão 36
	C
	Resolução:
	Questão 37
	Gabarito:
	Questão 38
	A
	Resolução:
	Questão 39
	D
	Resolução:
	Questão 40
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 41
	C
	Resolução:
	Questão 42
	Gabarito:
	Questão 43
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 44
	A
	Resolução:
	Questão 45
	C
	Resolução:
	Questão 46
	Gabarito:
	Questão 47
	VVVVF
	Resolução:
	Questão 48
	B
	Resolução:
	Questão 49
	Gabarito:
	Questão 50
	C
	Resolução:
	Questão 51
	E
	Resolução:
	Questão 52
	C
	Resolução:
	Questão 53
	A
	Resolução:
	Questão 54
	A
	Resolução:
	Questão 55
	D
	Resolução:
	Questão 56
	C
	Resolução:
	Questão 57
	A
	Resolução:
	Questão 58
	19
	Resolução:
	Questão 59
	C
	Resolução:
	Questão 60
	27
	Resolução:
	Questão 61
	B
	Resolução:
	Questão 62
	Gabarito:
	Questão 63
	C
	Resolução:
	Questão 64
	D
	Resolução:
	Questão 65
	12
	Resolução: