lista 5

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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matema´tica
MTM141 - Matema´tica Aplicada a`s Cieˆncias Biolo´gicas
Lista de Exerc´ıcios 5 - Tiago de Oliveira
1. Calcule pela definic¸a˜o os seguintes logaritmos:
(a) log2
(
1
8
)
(b) log8 (4)
(c) log 1
2
(8)
(d) log7
(
1
7
)
(e) log125 (25)
(f) log100
(
3
√
10
)
(g) log 3√5
(
4
√
5
)
(h) log√27
(
3
√
9
)
(i) log 1√
3
(√
27
)
(j) log 3√4
(
1√
8
)
(k) log 4√3
(
3
3
√
3
)
Respostas: (a) −3; (b) 2
3
; (c) −3; (d) −1; (e) 2
3
; (f)
1
6
; (g)
3
4
; (h)
4
9
; (i) −3; (j) −9
4
; (k)
8
3
2. Determine a soluc¸a˜o da equac¸a˜o log 3
5
(
3
√
25
9
)
= x.
Resposta: x = −2
3
3. Determine o valor de x, na equac¸a˜o y = 2log3(x+4), para que y seja igual a 8.
Resposta: x = 5
4. Calcule o valor de:
(a) 3log3(2) (b) 31+log3(4) (c) 21+log2(5) (d) 32−log3(6)
Respostas: (a) 2; (b) 12; (c) 10; (d)
3
2
5. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logartimos (a, b e c sa˜o reais positivos):
(a) log2
(
2ab
c
)
(b) log3
(
a3b2
c4
)
(c) log
(
a3
b2
√
c
)
(d) log5
(
5a
bc
)
(e) log3
(
ab2
c
)
(f) log2
(
a2
√
b
3
√
c
) (g) log3
(
ab3
c
3
√
a2
)
(h) log
(√
ab3
c2
)
Respostas: (a) 1+log2(a)+ log2(b)− log2(c); (b) 3 log3(a)+2 log3(b)−4 log3(c); (c) 3 log(a)−2 log(b)−
1
2
log(c);
(d) 1 + log5(a) − log5(b) − log5(c); (e) log3(a) + 2 log3(b) − log3(c); (f) 2 log2(a) +
1
2
log2(b) −
1
3
log2(c); (g)
1
3
log3(a) + 3 log3(b)− log3(c); (h)
1
2
log(a) +
3
2
log(b)− log(c)
6. O pH do sangue humano e´ calculado por pH = log
1
x
, sendo X a molaridade dos ı´ons H3O∗. Se essa molaridade
for dada por 4, 0.10−8 e, adotando-se log 2 = 0, 30. Qual o valor desse pH?
Resposta: pH = 7, 40
7. Se f(x) = loge
(
1
x
)
, calcule o valor de f(e3).
Resposta: f(e3) = −3
8. Construa os gra´ficos das func¸o˜es:
(a) f(x) = log3(x).
(b) f(x) = log 1
3
(x).
(c) f(x) = log(x).
(d) f(x) = log 1
10
(x).
(e) f(x) = log2(x− 1).
(f) f(x) = 1 + log 1
2
(x).
9. Determine o domı´nio das func¸o˜es:
(a) f(x) = log2(1− 2x).
(b) f(x) = log3(4x− 3)2.
(c) f(x) = log5
(
x + 1
1− x
)
.
(d) f(x) = log(x2 + x− 12).
(e) f(x) = logx+1(2x
2 − 5x + 2).
(f) f(x) = log3−x(x + 2).
Respostas: (a) (−∞, 1
2
; (b) (
3
4
,+∞); (c) (−1, 1); (d) (−∞,−4) ∪ (3,+∞); (e) (−1, 0) ∪ (0, 1
2
) ∪ (2,+∞); (f)
(−2, 2) ∪ (2, 3);
10. Resolva as equac¸o˜es:
(a) 3x =
1
2
.
(b) 7
√
x = 2.
(c) 2x = 3x+2.
(d) log4(3x + 2) = log4(2x + 5).
(e) log3(5x− 6) = log3(3x− 5).
(f) log 1
2
(3 + 5x) = 0.
(g) log√2(3x
2 + 7x + 3) = 0.
(h) log4(2x
2 + 5x + 4) = 2.
Respostas: (a) x = log3
(
1
2
)
; (b) x = [log7(2)]
2; (c) x =
2 ln(3)
ln(2)− ln(3) ; (d) x = 3; (e) Na˜o existe x; (f) x = −
2
5
;
(g) x = −2 ou x = −1
3
; (h) x = −4 ou x = 3
2
;
11. Um certo medicamento e´ injetado no sangue de um paciente; t segundos depois, a concentrac¸a˜o do medicamento
e´ C gramas por cent´ımetro cu´bico, onde C(t) = 0, 1(1 + 3e−0,03t).
(a) Qual e´ a concentrac¸a˜o do medicamento apo´s 10 segundos?
(b) Qual e´ o tempo necessa´rio para que a concentrac¸a˜o do medicamento atinja o valor de 0, 12 g/cm3?
Respostas: (a) C(10) ≈ 0, 3 g/cm3; (b) t ≈ 1, 5 min
12. A concentrac¸a˜o de um medicamento nos rins de um paciente no instante t (em segundos) e´ C gramas por
cent´ımetro cu´bico (g/cm3), onde C(t) = 0, 4(2− 0, 13e−0,02t).
(a) Qual e´ a concentrac¸a˜o do medicamento apo´s 20 segundos? E apo´s 60 segundos?
(b) Qual e´ o tempo necessa´rio para que a concentrac¸a˜o do medicamento atinja o valor de 0, 75 g/cm3?
Respostas: (a) C(20) ≈ 0, 72 g/cm3;C(60) ≈ 0, 76 g/cm3; (b) t ≈ 2 s
13. Foi observado que o volume da gema do ovo de uma mosca dome´stica diminui de acordo com a equac¸a˜o V (t) =
5e−1,3t mm3, onde t e´ o nu´mero de dias apo´s a postura. A larva sai do ovo apo´s 4 dias.
(a) Qual e´ o volume da gema quando a larva sai do ovo?
(b) Calcule a meia-vida do volume da gema, ou seja, o tempo necessa´rio para que o volume da gema seja
reduzido a` metade do volume original.
Respostas: (a) V (4) ≈ 0, 028 mm3; (c) t ≈ 0, 5 dia
14. Uma cidade cresce de tal forma que, daqui a t anos, a populac¸a˜o sera´ de P (t) milhares de habitantes, onde
P (t) = 51 + 100 ln(t + 3).
(a) Qual e´ a populac¸a˜o atual da cidade?
(b) Quanto tempo sera´ necessa´rio para que a populac¸a˜o se torne duas vezes maior?
Respostas: (a) P (0) ≈ 161 mil habitantes; (b) t ≈ 12 anos
15. Pela evaporac¸a˜o, um reservato´rio perde, em um meˆs, 10% da a´gua que conte´m. Se na˜o chover, em quanto tempo
a a´gua se reduzira´ a um terc¸o do que era no in´ıcio?
Respostas: 10, 42(10 meses e 13 dias)
16. As populac¸o˜es de duas cidades,A e B, sa˜o dadas em milhares de habitantes pelas func¸o˜es
2
A(t) = log8(1 + t)
6 e B(t) = log2(4t + 4),
onde a varia´vel t representa o tempo em anos.
(a) Qual e´ a populac¸a˜o de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7?
(b) Apo´s certo instante t, a populac¸a˜o de uma dessas cidades e´ sempre maior que a da outra. Determine o
valor mı´nimo desse instante t e especifique a cidade cuja populac¸a˜o e´ maior a partir desse instante.
Respostas: (a)Na cidade A, 2000 e 6000. Na cidade B, 3000 e 5000; (b) O menor valor do instante e´ 3. A
cidade cuja populac¸a˜o e´ maior a partir desse instante e´ a cidade A.
3