Numeros hipercomplexos 2D

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Nu´meros Hipercomplexos− 2D
(Uma Nova Generalizac¸a˜o dos Nu´meros Reais )
Gentil Lopes da Silva∗
04 de abril de 2007
∗www.profgentil.com ∴ gentil.silva@gmail.com
Algumas Pe´rolas
“Um exame superficial da matema´tica pode dar uma impressa˜o de que ela e´ o
resultado de esforc¸os individuais separados de muitos cientistas espalhados por
continentes e e´pocas diversas. No entanto, a lo´gica interna de seu desenvolvi-
mento nos lembra muito mais o trabalho de um u´nico intelecto, desenvolvendo
o seu pensamento sistema´tico e consistentemente, usando a variedade das indi-
vidualidades humanas somente como um meio. Assemelha-se a uma orquestra
executando uma sinfonia composta por algue´m. Um tema passa de um instru-
mento a outro, e quando chegou a hora de um dos participantes abandonar o
tema, ele e´ substitu´ıdo por outro, que o executa com precisa˜o irrepreens´ıvel...”
I.R. Shafarevich
“Nenhuma produc¸a˜o de ordem superior, nenhuma invenc¸a˜o jamais procedeu do
homem, mas emanou de uma fonte ultraterrena. Portanto, o homem deveria
considera´-la um dom inspirado do Alto e aceita´-la com gratida˜o e venerac¸a˜o.
Nestas circunstaˆncias, o homem e´ somente o instrumento de uma Poteˆncia Su-
perior, semelhante a um vaso julgado digno de receber um conteu´do divino”.
Goethe
“A obtenc¸a˜o de um resultado novo em pesquisa e´, para o cientista, uma fonte
de intenso prazer, ligado intimamente ao instinto de criac¸a˜o e eternidade, pois,
independentemente da importaˆncia da contribuic¸a˜o no contexto da cieˆncia, ou
de sua utilizac¸a˜o, representa algo acrescentado ao conhecimento humano que
marca sua existeˆncia na terra”.
Pierre Curie (F´ısico)
“O geˆnio, porque sabe encontrar relac¸o˜es novas entre as coisas, revela-nos novas
harmonias e nos aproximam do pensamento de Deus.” E = m · c2
Pietro Ubaldi
“Sois de tal modo levados a vos tomar por tipos do Universo, que credes sempre
que fora do vosso mundo na˜o ha´ mais nada. Pareceis verdadeiramente com
esses selvagens que nunca sa´ıram de sua ilha e creˆem que o mundo na˜o vai mais
longe”.
O Livro dos Me´diuns
“Eu penso que seria uma aproximac¸a˜o relativamente boa da verdade (que e´
demasiadamente complexa para permitir qualquer coisa melhor que uma apro-
ximac¸a˜o) dizer que as ide´ias matema´ticas teˆm a sua origem em situac¸o˜es emp´ıri-
cas... Mas, uma vez concebidas, elas adquirem uma identidade e crescimento
pro´prios governados quase que inteiramente por motivac¸o˜es este´ticas. . . ”.
J. Von Newmann (1903− 1957)
“A matema´tica e´ um campo demasiadamente a´rduo e ino´spito para agradar
a`queles a quem na˜o oferece grandes recompensas. Recompensas que sa˜o da
mesma ı´ndole que as do artista.
...Acrescenta ainda que e´ no ato de criar que o matema´tico encontra sua cul-
minaˆncia e que ‘nenhuma quantidade de trabalho ou correc¸a˜o te´cnica pode sub-
stituir este momento de criac¸a˜o na vida de um matema´tico, poeta ou mu´sico’
”.
Norbert Wiener
“E´ uma experieˆncia como nenhuma outra que eu possa descrever, a melhor
coisa que pode acontecer a um cientista, compreender que alguma coisa que
ocorreu em sua mente corresponde exatamente a alguma coisa que aconteceu na
natureza. E´ surpreendente, todas as vezes que ocorre. Ficamos espantados com
o fato de que um construto de nossa pro´pria mente possa realmente materializar-
se no mundo real que existe la´ fora. Um grande choque, e uma alegria muito
grande”.
Leo Kadanoff
“Apenas aqueles que pensam por metades se tornam ateus, aqueles que se
aprofundam em seus pensamentos e veˆem as maravilhosas relac¸o˜es entre as leis
universais reconhecem um poder criador”.
Max Planck
“O prazer e´ apenas um artif´ıcio imaginado pela natureza para obter do ser
vivo a conservac¸a˜o da vida; mas na˜o indica a direc¸a˜o em que a vida e´ lanc¸ada.
Ja´ o deleite anuncia sempre que a vida teve eˆxito, que ganhou terreno, que
alcanc¸ou uma vito´ria: todo deleite tem um acento triunfal.” Bergson
“Na˜o sabemos sena˜o em raza˜o da nossa faculdade de recepc¸a˜o”. Pita´goras
“Tenho agarrado pela garganta as inferiores leis biolo´gicas da animalidade,
para estrangula´-las e supera´-las. Tenho vivido minhas afirmac¸o˜es como reali-
zac¸a˜o biolo´gica antes de formula´-las em palavras”.
Pietro Ubaldi/As Nou´res
“A fusa˜o entre fe´ e cieˆncia, ta˜o auspiciada, ja´ se completou em meu esp´ırito:
visa˜o u´nica na substaˆncia e de uma a outra eu passo unicamente por uma
mudanc¸a de perspectiva visual ou de focalizac¸a˜o de meus centros ps´ıquicos
”. Pietro Ubaldi/As Nou´res
“Na˜o se pode imaginar que tenacidade de resisteˆncia, que massa de ine´rcia rep-
resenta o homem me´dio, justamente o que impo˜e as normas da vida social”.
Pietro Ubaldi/As Nou´res
“Um teorema possui vida em abundaˆncia: nasce, cresce, reproduz-se e . . . na˜o
morre”.
Gentil
“Mas a atividade mais feliz e mais bem-aventurada e´ aquela que produz. Ler e´
delicioso, mas ler e´ uma atividade passiva, enquanto que criar coisas dignas de
serem lidas e´ ainda mais precioso”.
Ludwig Feuerbach
“. . . que o meu pensamento quis aproximar-se dos problemas do esp´ırito pela
via de uma diversa experimentac¸a˜o de cara´ter abstrato, especulativo, resultante
das concluso˜es de processos lo´gicos da mais moderna f´ısico-matema´tica.”
Pietro Ubaldi/Ascenso˜es Humanas
Suma´rio
1 Os Nu´meros Hipercomplexos−2D 9
1.1 Considerac¸o˜es de ordem geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Como se Cria um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Definic¸a˜o: Nu´meros Hipercomplexos . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Propriedades das operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Imersa˜o de R em H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Unidade hiperimagina´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 Forma alge´brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2 Exegese da unidade hiperimagina´ria . . . . . . . . . . . . 28
1.6 Forma trigonome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.1 Rotac¸a˜o & Oscilac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7 Potenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Equac¸o˜es 51
2.1 Resoluc¸a˜o da equac¸a˜o a · w = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 Radiciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3 Func¸o˜es Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.1 Fo´rmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.2 Func¸o˜es trigonome´tricas com argumentos hipercomplexos . . . 64
5
6
TESOUROS NO CE´U
− Na˜o ajunteis tesouros na terra, onde a trac¸a e a ferrugem tudo consomem,
e onde os ladro˜es minam e roubam. Mas ajuntai tesouros no ce´u, onde nem a
trac¸a nem a ferrugem consomem, e onde os ladro˜es na˜o minam nem roubam.
(Mt. 6 : 19− 20)
− Exegese: Daqui podemos inferir que tudo o que se deteriora com o tempo,
ou que e´ pass´ıvel de furto, na˜o pode ser tesouro no ce´u. Ao contra´rio, o que e´
atemporal e a` prova de furtos, tem chances de ser um tesouro no ce´u.
Como por exemplo, cada uma das pe´rolas a seguir:
a
nm
= (−1 )
⌊
n−1
2
m−1
⌋
a
nm
= (−1 )(
n−1
2
m−1 )
a
nm
= (−1 )
µn−1
2m−1
1m + 2m + 3m + · · ·+ nm =
m∑
j=0
(
n
j + 1
)
a
(m−j)
a
(m−j)
=
j∑
k=0
(−1)k
(
j
k
)
(1− k + j)m
(x, y, z) ≡ (X, Y ) = ( y − x · sen θ, z − x · cos θ)
a
nm
=
m∏
j=0
a
(n−1j )
1(m−j)
a
nm
=
m∑
j=0
(
n− 1
j
)
a
1(m−j)
{
i = ⌊n−1N ⌋+ 1
j = n−N⌊n−1N ⌋
0, 999 . . . =
9
10
+
9
100
+
9
1000
+ · · · = 0 n = f(i, j) = N(i− 1) + j
0 1
(0, 23 )
1 (1, 1)
s
λ
⇒ λ(t) =


2
3 +
1
3 t, 0 ≤ t < 1;
0, t = 1.
n
2j−1
∈ N ⇐⇒ (n−1
2j−1
)
e
(
n
2j−1
)
teˆm paridadesdistintas.
Topologia Qua^ntica
O Milagre!:conexo por caminhos
r G
e
n
t
i
l
/
f
e
v
−
2
0
0
9
Gentil 7
Prefa´cio
Neste trabalho construimos um novo sistema nume´rico: os nu´meros Hiper-
complexos−2D (uma nova generalizac¸a˜o dos nu´meros reais). Notac¸a˜o: H.
Este sistema, tal como acontece com C, e´ construido sobre o R2. Na˜o raro
uma primeira pergunta que se coloca de imediato e´ se este novo sistema e´ um
corpo. Respondemos que na˜o, se o fosse − muito provavelmente − seria des-
tituido de intereˆsse uma vez que um corpo ja´ existe: o pro´prio C. Enta˜o, um
novo sistema nume´rico (sobre R2), para que tenha algum intereˆsse, natural-
mente deve ter “novas propriedades” na˜o partilhadas pelo corpo C. De fato,
assim acontece com nosso sistema, nele existe um nu´mero, j = (0, 1), o qual
possui duas propriedades que, em conjunto, na˜o sa˜o partilhadas por nenhum
nu´mero complexo, quais sejam,{
j2 = −1,
−1 · j = j
Esta “hiperestranha” propriedade foi obtida com o sacrif´ıcio da associatividade,
como se veˆ.
Uma pequena digressa˜o: Ao passarmos de R para C trocamos uma proprie-
dade do primeiro conjunto em favor de uma do segundo, qual seja: sacrificamos
a ordenac¸a˜o e, por conta disto, ganhamos um nu´mero com uma propriedade na˜o
partilhada por nenhum nu´mero do “velho conjunto”: i2 = −1. De posse desta
nova propriedade somos capazes de resolver toda uma nova classe de problemas
insolu´veis em R. De fato, esta nova propriedade (da unidade imagina´ria) ja´ nos
patenteia o tipo destes problemas a que estamos nos referindo, assim:
Propriedade Problema
C : i2 = −1 x2 + 1 = 0
De igual modo, ao passarmos de R para H (hipercomplexos) trocamos duas
propriedades do primeiro conjunto em favor de duas do segundo, quais sejam:
sacrificamos a ordenac¸a˜o e a associatividade; por conta disto, ganhamos as
duas novas propriedades mencionadas anteriormente; propriedades estas (em
conjunto), na˜o partilhadas por nenhum nu´mero real ou mesmo complexo. De
posse desta nova propriedade e´ de se esperar que sejamos capazes de resolver
toda uma nova classe de problemas insolu´veis nos antigos conjuntos. De fato,
esta nova propriedade (da unidade hiperimagina´ria) ja´ nos patenteia o tipo
destes problemas a que estamos nos referindo, veja:
Propriedade Problema
H :
{
j2 = −1,
−1 · j = j
{
x2 + 1 = 0,
−1 · x− x = 0
Ou seja, na˜o existe nenhum nu´mero complexo x satisfzendo, simultaˆneamente,
as duas condic¸o˜es a` direita.
Acontece que, como diz o velho ada´gio popular, “onde passa um boi,
passa uma boiada” , quero dizer: se a hiperpropriedade nos faculta um problema
insolu´vel em C enta˜o pode nos facultar uma infinidade deles. Vejamos mais um
exemplo, o sistema a seguir:
8
x+ y = 0
(−1 · x− y) · y = 2
na˜o tem soluc¸a˜o no corpo complexo C, em H sim.
E´ bem verdade que este e´ um problema artificial, no sentido de na˜o ter se
originado de questo˜es pra´ticas; no entanto, como e´ imposs´ıvel provar-se que
toda uma classe de problemas† e´ (ou vira´ a ser) destitu´ıda de intereˆsse, nossos
argumentos − em defesa de H − continuam de pe´.
(05.12.2008) Adendo: Das duas equac¸o˜es abaixo:
x2 + 1 = 0
(−1 · x+ x) · x + 1 = 0
Com o nu´mero i resolvemos apenas a primeira, ao passo que, com o nu´mero j
resolvemos as duas, estaremos provando isto oportunamente (prop. 6, pa´g. 26).
Alia`s − como nos referimos − hiperestranha propriedade me faz lem-
brar as hiperestranhas part´ıculas subatoˆmicas: temos fortes razo˜es para crer
que os nu´meros hipercomplexos venham a ter utilidade no estranho mundo das
part´ıculas subatoˆmicas (f´ısicas nuclear e quaˆntica).
A bem da verdade, em nosso sistema sacrificamos mais uma propriedade iner-
ente aos corpos: a distributividade. Mas nem por isto estes sistemas alge´bricos
(na˜o distributivos) deixam de ter intereˆsse para a cieˆncia, vejamos a seguinte
citac¸a˜o ( [4], pa´g. 167 ):
“No tocante aos sistemas quaˆnticos, tudo muda de figura. . . Procedendo-se
analogamente ao caso cla´ssico, o reticulado a que se chega, conforme Birkhoff e
Von Neuman, na˜o e´ a a´lgebra de Boole, pore´m um reticulado na˜o distributivo;”
Mais a` frente (pa´g. 169):
“Ele observa, seguindo a trilha de Birkhoff e Von Neuman, que o reticulado
das proposic¸o˜es da mecaˆnica quaˆntica na˜o e´ distributivo. Mas, em vez de con-
siderar as operac¸o˜es definidas entre as proposic¸o˜es do reticulado como novas
operac¸o˜es que se superporiam aos conectivos cla´ssicos, trata de mostrar que a
posic¸a˜o mais sensata e´ a de se aceitar tais operac¸o˜es como as operac¸o˜es de uma
nova lo´gica proposicional, na˜o distributiva, a qual, ao ser aplicada a proposic¸o˜es
relativas a fenoˆmenos macrosco´picos, recai na lo´gica cla´ssica.”
A interpretac¸a˜o geome´trica do produto complexo, como se sabe, e´ a de
uma rotac¸a˜o; a do produto hipercomplexo, como veremos, combina as trans-
formac¸o˜es: rotac¸a˜o, reflexa˜o e oscilac¸a˜o. O nosso sistema possui divisa˜o.
Uma outra particularidade dos nu´meros hipercomplexos (H ) e´ que podem
ser generalizados para o R3 ver ( [8]).
− Minha gratida˜o maior ao bom Deus, por ter me concedido gestar e dar
a` luz este trabalho. Isto e´, assentar este tijolinho em sua magnaˆnima obra.
Gentil Lopes da Silva.
Boa Vista-RR, 03 de junho de 2009.
†Como e´ a que se origina da hiperpropriedade de j, como ja´ exemplificamos.
Cap´ıtulo 1
Os Nu´meros
Hipercomplexos−2D
“Deus criou os inteiros e todo o
resto e´ obra do homem.”
(Leopold Kronecker)
1.1 Considerac¸o˜es de ordem geral
A ingenuidade expressa na frase em ep´ıgrafe so´ e´ perdoa´vel em func¸a˜o de
que para Kronecker (1823 − 91) o conceito de nu´mero ainda na˜o havia sido
devidamente compreendido. Por oportuno, em [6], lemos:
A ambivaleˆncia dos matema´ticos do se´culo XVIII em relac¸a˜o aos nu´meros complexos pode mais
uma vez ser evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles,
afirma
“Como todos os nu´meros conceb´ıveis sa˜o maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica
enta˜o claro que as ra´ızes quadradas de nu´meros negativos na˜o podem ser inclu´ıdas entre os nu´meros
poss´ıveis [nu´meros reais]. E esta circunstaˆncia nos conduz ao conceito de tais nu´meros, os quais,
por sua pro´pria natureza, sa˜o imposs´ıveis, e que sa˜o geralmente chamados de nu´meros imagina´rios,
pois existem somente na imaginac¸a˜o.”
Observe que, na mente de Euler, “todos os nu´meros conceb´ıveis sa˜o maiores
ou menores do que zero ou iguais a zero”; o que prova que, tambe´m Euler, na˜o
havia atinado ainda com uma compreensa˜o necessa´ria do conceito de nu´mero†.
A bem da verdade, o conceito de nu´mero − assim como o de func¸a˜o − veio
evoluindo ao longo dos se´culos. Enquanto o conceito de func¸a˜o hoje encontra-
se “fechado”, digo, bem definido, o mesmo ja´ na˜o acontece com o de nu´mero,
assim creio.
Agora aqui vai um parecer particular meu: o leitor estaria equivocado se
acreditasse que os matema´ticos de hoje esta˜o mais a` vontade com o conceito
de nu´mero; isto mesmo, acredito que os matema´ticos, ainda hoje, na˜o teˆm
uma noc¸a˜o exata do que seja um nu´mero. Com efeito, uma das razo˜es que me
fazem acreditar nisto e´ que, por exemplo, na˜o sabem interpretar o significado da
igualdade 0, 999 . . . = 1. Em func¸a˜o desta igualdade muitos creˆem que 0, 999 . . .
seja um nu´mero. Acreditamos que esta˜o equivocados, por conta de que em [5]
provamos que 0, 999 . . . = 0. E agora? Dentro do contexto em questa˜o leia
tambe´m nosso artigo [7].
†Evidentemente que isto em nada diminui os me´ritos destes grandes matema´ticos, o que
na˜o nos impede, todavia, de poˆr em evideˆncia esta curiosa particularidade.
9
10
1.1.1 Como se Cria um Conjunto
O matema´tico William Rowan Hamilton (1805-1865) ([3]) ao perceber que
os nu´meros complexos poderiam ser representadospor pontos no plano, isto
e´, por pares ordenados (x, y) de nu´meros reais, teve a ide´ia de generaliza´-los
para pontos no espac¸o a treˆs dimenso˜es. Isto e´, para ternos ordenados (x, y, z).
Por nada menos que dez anos Hamilton procurou pelos nu´meros na terceira
dimensa˜o sem lograr sucesso.
O que significa procurar por estes nu´meros? eles, por acaso, estariam perdi-
dos em algum canto da natureza?
Certamente que na˜o. Como ja´ dissemos o homem, a` semelhanc¸a de Deus,
tambe´m tem o poder de criar, e foi isto o que Hamilton intentou.
E como se cria um conjunto nume´rico?
Respondemos: Definindo uma soma e uma multiplicac¸a˜o∗. Por exemplo:
Nu´meros Complexos:
{
(a, b) + (c, d) = (a+ b, c+ d)
(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
(1.1)
pronto! esta˜o criados os nu´meros complexos. Portanto, o que Hamilton procurou
foi definir uma soma e uma multiplicac¸a˜o de ternos ordenados.
A soma nunca apresentou problemas, e´ fa´cil, veja
Nu´meros 3−D :
{
(a, b, c) + (d, e, f) = (a+ d, b+ e, c+ f)
(a, b, c) · (d, e, f) = ( ?, ?, ?)
O que Hamilton intentou, sem lograr sucesso, foi preencher as treˆs interrogac¸o˜es
acima.
O leitor poderia perguntar: porque Hamilton na˜o tomou, por exemplo
Nu´meros 3−D :
{
(a, b, c) + (d, e, f) = (a+ d, b+ e, c+ f)
(a, b, c) · (d, e, f) = ( ad, be, cf)
(1.2)
ou uma outra definic¸a˜o, dentre as inu´meras que sa˜o poss´ıveis? E, de igual modo,
porque na˜o se define a multiplicac¸a˜o complexa como (a, b) · (c, d) = (ac, bd) ?
Esta na˜o facilitaria bem mais nossa vida que a outra multiplicac¸a˜o, sem du´vida,
mais complicada?
Respondemos por uma analogia: Podemos inventar um jogo com regras ar-
bitra´rias. Se este jogo resultar interessante na˜o so´ tera´ sua sobreviveˆncia garan-
tida como conquistara´ muitos adeptos; caso contra´rio estara´ fadado ao esqueci-
mento.
Ultimamente esta´ na moda a invenc¸a˜o de esportes. Por exemplo, outro dia
vi na T.V., que algue´m criara o “surf na montanha”, logo apo´s a reportagem
vaticinei a morte do esporte (sem nenhuma grac¸a).
Pois bem, o produto dado em (1.2) resulta desinteressante e por isto na˜o
conquistou adeptos. Por outro lado, o produto definido em (1.1) resultou assaz
interessante e, por conta disto, conquistou muitos adeptos.
∗Existem condic¸o˜es adicionais sobre estas operac¸o˜es. Condic¸o˜es “intr´ınsecas” e
“extr´ınsecas” , diriamos. A mais importante, dentre estas u´ltimas, − assim cremos − e´ que
resultem de utilidade nas cieˆncias.
Gentil 11
“Conjuntos” nume´ricos na˜o sa˜o conjuntos
“No in´ıcio era o caos . . . e Deus disse:
‘Que exista a luz!’ E a luz comec¸ou a
existir.” (Gn 2: 3)
Acreditamos ser de algum proveito ao leitor tecermos alguns comenta´rios
sobre a diferenc¸a entre conjunto e estrutura.
Em matema´tica sa˜o frequ¨entes conjuntos munidos de uma ou mais operac¸o˜es,
que gozam de certas propriedades. Esses conjuntos com tais operac¸o˜es e respec-
tivas propriedades constituem aquilo que denominamos estruturas alge´bricas.
Primeiramente observamos que quando nos referimos − na maioria das vezes
− aos “conjuntos nume´ricos” Z, R, C, por exemplo; estamos nos referindo, a
estes conjuntos com suas respectivas operac¸o˜es, isto e´, a`s estruturas (Z, +, ·),
(R, +, ·), etc.
Para que o leitor perceba que na˜o e´ sem importaˆncia essa distinc¸a˜o, fac¸amos
uma analogia: Suponhamos que os elementos do nosso conjuntoM sejam alguns
materiais de construc¸a˜o, assim: M = {tijolo, cimento, telha, pedra, areia, . . .}.
“Sobre” este conjunto podemos construir diversas estruturas, por exemplo:
M
- Edif´ıcio
- Casa
- Ponte
Ha´ tanta imprecisa˜o em considerar um “conjunto” nume´rico como um con-
junto, quanto confundir o edif´ıcio com o conjunto M .
Um outro s´ımile: Com um jogo de xadrez tambe´m podemos jogar damas.
Em outras palavras, com o conjunto das pec¸as de um xadrez podemos construir
duas estruturas: dama e xadrez.
Com as cartas de um baralho (conjunto das cartas) podemos ter diversos
jogos (estruturas).
Vejamos um exemplo retirado da matema´tica. Considere o conjunto de pon-
tos R2 =
{
(a, b) : a, b ∈ R} cuja versa˜o geome´trica e´ vista a seguir:
R2
0
s(x, y)
12
sobre este conjunto podemos construir, por exemplo, treˆs estruturas, assim:
R2
0
s(x, y) − Espac¸o vetorial
− Nu´meros complexos
− Anel
Ou ainda,
R2
- Espac¸o vetorial :
{
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
λ(a, b) = (λa, λb)
- Nu´meros C :
{
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
- ANEL:
{
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
(a, b) · (c, d) = (ab, cd)
Assim o nu´mero de estruturas que podemos construir sobre um mesmo con-
junto estara´ limitado apenas por nossa criatividade.
O objetivo do presente trabalho consiste, precisamente, em estudarmos mais
uma estrutura construida sobre R2: Os nu´meros hipercomplexos (ver pa´g. 15).
Em matema´tica e´ extremamente importante a distinc¸a˜o entre conjunto e es-
trutura. Em alguns livros ao inve´s de conjunto dos nu´meros reais diz-se sistema
dos nu´meros reais, designac¸a˜o esta mais apropriada, uma vez que nos permite
uma distinc¸a˜o entre conjunto e estrutura.
Em func¸a˜o do exposto sugerimos a seguinte notac¸a˜o:
R =conjunto dos nu´meros reais; R =sistema dos nu´meros reais
C =conjunto dos nu´meros complexos; C =sistema dos nu´meros complexos
Observe que, de acordo com nossa convenc¸a˜o, C = R2 e C =
(
R2, +, · )
A Identidade de um Elemento
Uma outra distinc¸a˜o que se faz necessa´ria e´ quanto a natureza (identidade)
de um elemento.
Gentil 13
Perguntamos: afinal de contas o par ordenado (3, 2) e´ um vetor ou um
nu´mero complexo?
Respondemos: o par ordenado (3, 2), por si so´, na˜o e´ nem uma coisa nem
outra, e´ apenas um elemento do conjunto R2. Agora dependendo do contexto
em que nos situamos, este elemento pode ser um vetor ou um nu´mero com-
plexo.
Se, por exemplo, o par ordenado (3, 2) estiver inserido no contexto de
espac¸o vetorial ele sera´ um vetor, se estiver inserido no contexto de nu´meros
complexos ele sera´ um nu´mero complexo.
Uma analogia: E´ como se fose um mesmo ator desempenhando va´rios pape´is.
Mais uma analogia: Nada nos impede de jogarmos dama com as mesmas
pec¸as do jogo de xadrez. A pec¸a “bispo”, por exemplo, perderia esta designac¸a˜o
(perderia sua identidade) no jogo de dama.
Observe ainda que as treˆs estruturas apresentadas anteriormente na˜o diferem
na adic¸a˜o, mas na multiplicac¸a˜o. Enta˜o o que vai conferir a identidade de um
elemento e´ a regra de multiplicac¸a˜o. Estabelecemos agora algumas definic¸o˜es:
Definic¸a˜o 1 (Operac¸a˜o). Sendo E um conjunto na˜o vazio, toda aplicac¸a˜o
f : E × E → E recebe o nome de operac¸a˜o sobre E.
Para construirmos um sistema nume´rico sobre um dado conjunto basta
definirmos duas operac¸o˜es sobre este conjunto, uma das quais sera´ chamada
de adic¸a˜o e a outra de multiplicac¸a˜o, simbolizadas por + e ·, respectivamente.
Mais formalmente,
Definic¸a˜o 2 (Sistema nume´rico). Dado um conjunto E na˜o vazio e duas operac¸o˜es
sobre E,
+ : E×E → E
(x, y) x+y7→
· : E×E → E
(x, y) x·y7→
A terna (E, +, ·) e´ o que entendemos por um sistema nume´rico (ou estrutura
nume´rica). Usaremos da seguinte notac¸a˜o (E, +, ·) = E.
Definic¸a˜o 3 (Nu´mero). Um “elemento” de um conjunto continuara´ a ser
chamado de elemento; agora, ao construirmos uma estrutura alge´brica sobre
este conjunto, este elemento tera´ adquirido o status de nu´mero. Por exemplo,
1 e´ um elemento do conjunto dos naturais N = {1, 2, 3, . . .} enquanto que 1 e´
um nu´mero da estrutura N =
(
N, +, ·).
Continuaremos a usar o s´ımbolo de pertineˆncia (∈) tanto de elemento
para conjunto quanto de nu´mero para estrutura. Por exemplo,
1 ∈ N, 1 ∈ N
No primeiro caso 1 e´ um reles elemento do conjunto dos naturais; enquanto no
segundo caso, 1 tera´ adquiridoo status de nu´mero do sistema nume´rico dos
naturais.
Apo´s a definic¸a˜o de nu´mero queremos colocar em relevo (fazer uma cr´ıtica)
a uma citac¸a˜o do lo´gico e filoso´fo Bertrand Russel, ei-la:
Um dos erros que retardaram a descoberta de definic¸o˜es corretas nessa regia˜o e´ a ide´ia
comum de que cada extensa˜o de nu´mero inclui os geˆneros anteriores como casos especiais.
14
Pensou-se, ao se tratar de nu´meros positivos e negativos, que os inteiros positivos podiam
ser identificados com os inteiros originais sem sinal. Pensou-se tambe´m que uma frac¸a˜o cujo
denominador e´ 1 pudesse ser identificada com o nu´mero natural que e´ o seu numerador. E
pensou-se que os nu´meros irracionais, tais como a raiz quadrada de 2, tivessem lugar entre as
frac¸o˜es racionais, como maiores do que algumas delas e menores do que outras, de modo que
os nu´meros racionais e os irracionais pudessem ser tomados juntos como uma classe, chamada
“nu´meros reais”. E quando a ide´ia de nu´mero foi mais estendida de forma a incluir os nu´meros
“complexos”, isto e´, nu´meros envolvendo a raiz quadrada de −1, pensou-se que os nu´meros
reais pudessem ser considerados como aqueles entre os nu´meros complexos nos quais a parte
imagina´ria (isto e´, a parte que era um mu´ltiplo da raiz quadrada de −1) fosse zero. Todas
essas suposic¸o˜es eram erroˆneas, devendo ser rejeitadas, como veremos, para que possam ser
dadas definic¸o˜es corretas.
Do livro: “Introduc¸a˜o a` filosofia matema´tica” de Bertrand Russell/ZAHAR EDITORES/Rio
de Janeiro.
Seremos forc¸ados a discordar do eminente filo´sofo. Sena˜o, vejamos:
“Um dos erros que retardaram a descoberta de definic¸o˜es corretas nessa regia˜o e´ a ide´ia
comum de que cada extensa˜o de nu´mero inclui os geˆneros anteriores como casos especiais.”
“Pensou-se, ao se tratar de nu´meros positivos e negativos, que os inteiros positivos podiam
ser identificados com os inteiros originais sem sinal.”
O erro de Russel esta´, precisamente, em confundir conjunto com estrutura,
ou ainda: elemento com nu´mero. De fato, na construc¸a˜o dos inteiros a partir
dos naturais, temos (por exemplo),
1 ∈ N
1′ = (1, 0) =
{
(1, 0); (2, 1); (3, 2); (4, 3); . . .
} ∈ Z
De fato, na˜o temos N ⊂ Z, porquanto 1 ∈ N e 1 6∈ Z. Entretanto, temos
1 ∈ N e 1′ ∈ Z+ ⇒ 1 = 1′
Em func¸a˜o da existeˆncia do isomorfismo (entre estruturas):
a ∈ N (a, 0) ∈ Z+φ
onde, Z+ =
( { (a, 0): a ∈ N }, +, · ). Ou seja, a existeˆncia de uma imersa˜o
entre estruturas nume´ricas, nos permite sim identificar nu´meros.
“Pensou-se tambe´m que uma frac¸a˜o cujo denominador e´ 1 pudesse ser identificada
com o nu´mero natural que e´ o seu numerador.” Isto tambe´m e´ verdade.
Gentil 15
1.2 Definic¸a˜o: Nu´meros Hipercomplexos
Seja R o conjunto dos nu´meros reais. Consideremos o produto cartesiano
R ×R = R2:
R2 =
{
(x, y) : x, y ∈ R}
Vamos tomar dois elementos neste conjunto, (a, b) e (c, d) para dar treˆs
importantes definic¸o˜es:
( i ) Igualdade: dois pares ordenados sa˜o iguais se, e somente se, ocorre o
seguinte:
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d.
( ii ) Adic¸a˜o: chama-se adic¸a˜o de dois pares ordenados a um novo par ordenado,
obtido da seguinte forma:
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
( iii ) Multiplicac¸a˜o: chama-se multiplicac¸a˜o de dois pares ordenados a um novo
par ordenado, obtido da seguinte forma:
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| ),
onde, na abscissa do produto, tomamos − se a c ≥ 0, tomamos + caso contra´rio.
Definic¸a˜o 4 (Nu´meros hipercomplexos). Chama-se sistema dos nu´meros hiper-
complexos, e representamos por H, ao sistema de pares ordenados de nu´meros
reais para os quais esta˜o definidas a igualdade, a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o con-
forme o ı´tem acima.
(11.12.2008) Adendo: Poderia-se perguntar: Quais as propriedades que uma
estrutura† deveria satisfazer para ser considerada uma estrutura nume´rica; isto
e´, para que tenhamos creado alguma espe´cie de nu´meros?
A este respeito, os matema´ticos − na˜o raro − sa˜o guiados por motivac¸o˜es
“este´ticas” (no que na˜o esta˜o errados) e por “dogmas”, isto e´ pre´-conceitos
(no que esta˜o errados). A bem da verdade, no que diz respeito a`s creac¸o˜es
matema´ticas, as aplicac¸o˜es pra´ticas sempre dira˜o a u´ltima palavra; de outro
modo: a utilidade de uma teoria sempre tera´ ascendeˆncia sobre as prefereˆncias
ou motivac¸o˜es dos matema´ticos.
Digo, se algo deu provas cabal de sua utilidade, na˜o sera˜o os matema´ticos
que, por algum ou outro capricho, o colocara˜o no ı´ndex. Veja-se por exemplo,
o caso da func¸~ao delta ( δ ) de Dirac, na Fs´ica.
Definic¸a˜o 5 (Nu´meros hipercomplexos). Chama-se sistema dos nu´meros hiper-
complexos, e representamos por H, ao sistema de pares ordenados de nu´meros
reais para os quais esta˜o definidas a igualdade, a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o con-
forme o ı´tem acima.
Representaremos cada elemento gene´rico (x, y) ∈ H com o s´ımbolo w, por-
tanto:
w ∈ H ⇔ w = (x, y) ∈ (R2, +, ·)
†Digo, um conjunto munido com duas operac¸o˜es.
16
Nota: Na pa´g. 65 mostramos um programa para multiplicar dois hipercom-
plexos.
Exemplos:
1o ) Calcule a soma e o produto dos pares dados a seguir:
( i ) w
1
= (0, 1), w
2
= (0, −1)
( ii ) w
1
= (−1, 0), w
2
= (0, 1)
( iii ) w
1
= (1, −1), w
2
= (0, 1)
( iv ) w
1
= (0, 1), w
2
= (1, 1)
( v ) w
1
= (−1, 1), w
2
= (1, 1)
Soluc¸a˜o:
( i ) Temos,
w
1
+ w
2
= (0, 1) + (0, −1) = (0 + 0, 1 + (−1)) = (0, 0)
O produto e´ calculado assim:
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(0, 1) · (0, −1) = (0 · 0− 1 · (−1), |0| · (−1) + 1 · |0| ) = (1, 0)
( ii ) Temos,
w
1
+ w
2
= (−1, 0) + (0, 1) = (− 1 + 0, 0 + 1) = (−1, 1)
O produto e´ calculado assim:
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(−1, 0) · (0, 1) = (− 1 · 0− 0 · 1, | − 1| · 1 + 0 · |0| ) = (0, 1)
( iii ) Temos,
w
1
+ w
2
= (1, −1) + (0, 1) = (1 + 0, −1 + 1 ) = (1, 0)
O produto e´ calculado assim:
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(1, −1) · (0, 1) = (1 · 0− (−1) · 1, |1| · 1 + (−1) · |0| ) = (1, 1)
( iv ) Temos,
w
1
+ w
2
= (0, 1) + (1, 1) =
(
0 + 1, 1 + 1
)
= (1, 2)
O produto e´ calculado assim:
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(0, 1) · (1, 1) = (0 · 1− 1 · 1, |0| · 1 + 1 · |1| ) = (−1, 1)
( v ) Temos,
w
1
+ w
2
= (−1, 1) + (1, 1) = (− 1 + 1, 1 + 1) = (0, 2)
Gentil 17
O produto e´ calculado assim:
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(−1, 1) · (1, 1) = (− 1 · 1 + 1 · 1, | − 1| · 1 + 1 · |1| ) = (0, 2)
2o ) Dados w
1
= (−1, 1) e w
2
= (1, 2), calcule w de modo que w
1
· w = w
2
.
Soluc¸a˜o: Tomemos w = (x, y), enta˜o,
w1 · w = w2 ⇒ (−1, 1) · (x, y) = (1, 2),
Temos,
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(−1, 1) · (x, y) = (− 1 · x ∓ 1 · y, | − 1| · y + 1 · |x| ) = (1, 2)
− Inicialmente vamos pesquisar a soluc¸a˜o de nossa equac¸a˜o no semi-plano x > 0;
sendo assim, temos: (− x + y, y + x ) = (1, 2)
Sendo assim, resulta:{
−x + y = 1
x+ y = 2
⇒ (x, y) =
( 1
2
,
3
2
)
− Agora vamos pesquisar uma (poss´ıvel) soluc¸a˜o para a nossa equac¸a˜o no semi-
plano x ≤ 0; sendo assim, temos:(− x − y, y − x ) = (1, 2)
Sendo assim, resulta:{
−x − y = 1
−x+ y = 2
⇒ (x, y) =
(
− 3
2
,
1
2
)
Observe que, em H, uma equac¸a˜o do 1o grau pode ter mais que uma soluc¸a˜o.
Evidentemente isto acontece por que H na˜o e´ um corpo.
1.3 Propriedades das operac¸o˜es
Proposic¸a˜o 1. A operac¸a˜o de adic¸a˜o define em H uma estrutura de grupo co-
mutativo, isto e´, verifica as seguintes propriedades:
A1) Propriedade associativa;
A2) propriedade comutativa;
A3) existeˆncia do elemento neutro;
A4) existeˆncia do elemento sime´trico (ou oposto).
Prova: Deixamos como exerc´ıcio. �
Apenas observamosque, 0 = (0, 0) e´ o elemento neutro para a adic¸a˜o. Dado
w = (x, y) temos que −w = (−x, −y) e´ o seu oposto aditivo, isto e´,
w + (−w) = 0.
18
Subtrac¸a˜o
Decorre da proposic¸a˜o anterior que, dados os hipercomplexos w
1
= (a, b) e
w
2
= (c, d) existe um u´nico w ∈ H tal que w
1
+ w = w
2
. Esse nu´mero w e´
chamado diferenc¸a entre w
2
e w
1
e indicado por w
2
− w
1
.
Proposic¸a˜o 2. A operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o em H verifica as seguintes pro-
priedades:
M1) Propriedade comutativa;
M2) na˜o associativa;
M3) existeˆncia do elemento neutro;
M4) existeˆncia do elemento inverso;
M5) na˜o distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o.
M1) Propriedade comutativa.
Dados w
1
= (a, b) e w
2
= (c, d) temos:
w
1
· w
2
= (a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
w2 · w1 = (c, d) · (a, b) = ( c a ∓ d b, |c| b+ d |a| ),
comparando estas equac¸o˜es concluimos pela comutatividade do produto.
M2) Na˜o associativa. Tomando, por exemplo,
w
1
= (0, 1), w
2
= (−1, 0), w
3
= (1, −1).
Resulta (confira),
(w
1
· w
2
) · w
3
= (1, 1)
w1 · (w2 · w3) = (−1, 1)
M3) Existeˆncia do elemento neutro. Existe 1 = (1, 0) ∈ H com a seguinte
propriedade: w · 1 = w, ∀w ∈ H. De fato, considerando w = (a, b) temos,
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(a, b) · (1, 0) = (a · 1 ∓ b · 0, |a| · 0 + b · |1| ) = (a, b)
Nota: Da comutatividade da multiplicac¸a˜o decorre a unicidade do elemento
neutro.
Com efeito, assim: sejam u e u˜ dois elementos neutros para a multiplicac¸a˜o.
Sendo assim, ter-se-a`, por um lado, w · u = w, para todo w ∈ H; em particular
u˜ · u = u˜ (∗). Por outro lado tambe´m temos w · u˜ = w, para todo w ∈ H; em
particular u · u˜ = u. Esta u´ltima igualdade pode ser reescrita como u˜ · u = u.
Daqui e de (∗) concluimos que u = u˜.
Gentil 19
M4) Existeˆncia do elemento inverso. Desejamos mostrar que,
∀w ∈ H∗, ∃w−1 ∈ H / w · w−1 = 1.
De fato, tomando w = (a, b) 6= (0, 0), procuramos w′ = (x, y) satisfazendo
w · w′ = (1, 0); enta˜o:
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(a, b) · (x, y) = (a · x ∓ b · y, |a| y + b |x| ) = (1, 0)
Daqui montamos o seguinte sistema,

a x ∓ b y = 1
|a| y + b |x| = 0
Para resolver este sistema temos quatro possibilidades quanto aos sinais de
a e x, de acordo com a tabela a seguir:
a x
+ +
+ −
− +
− −
( i )
( ii )
( iii )
( iv )
Enta˜o,
( i ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x− b y = 1
a y + b x = 0
Este sistema, na forma matricial fica,(
a −b
b a
)
·
(
x
y
)
=
(
1
0
)
Cuja soluc¸a˜o e´,
x = aa2+b2 , y =
−b
a2+b2
( ii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x+ b y = 1
a y − b x = 0
Este sistema, na forma matricial fica,(
a b
−b a
)
·
(
x
y
)
=
(
1
0
)
20
Cuja soluc¸a˜o e´,
x = aa2+b2 , y =
b
a2+b2
Esta soluc¸a˜o, no´s descartamos, pois contradiz a hipo´tese de que a e x teˆm sinais
contra´rios.
( iii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x+ b y = 1
−a y + b x = 0
Este sistema, na forma matricial fica,(
a b
b −a
)
·
(
x
y
)
=
(
1
0
)
Cuja soluc¸a˜o e´,
x = aa2+b2 , y =
b
a2+b2
Esta soluc¸a˜o, no´s descartamos, pois contradiz a hipo´tese de que a e x teˆm sinais
contra´rios.
( iv ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x− b y = 1
−a y − b x = 0
Este sistema, na forma matricial fica,(
a −b
−b −a
)
·
(
x
y
)
=
(
1
0
)
Cuja soluc¸a˜o e´,
x = aa2+b2 , y =
−b
a2+b2
Esta soluc¸a˜o, coincide com a primeira. Portanto existe,
w′ =
(
a
a2+b2 ,
−b
a2+b2
)
(e e´ u´nico, pelo que vimos), chamado inverso ou inverso multiplicativo de w,
que multiplicado por w = (a, b) da´ como resultado 1 = (1, 0).
Divisa˜o
Devido a existeˆncia do inverso multiplicativo, podemos definir emH a operac¸a˜o
de divisa˜o, simbolizada por
w
1
w
2
, estabelecendo que
w
1
w
2
= w
1
· w′
2
= w
1
· w−1
2
,
onde mudamos de notac¸a˜o: w′
2
= w−1
2
.
M5) A multiplicac¸a˜o e´ na˜o distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o.
Tomando, por exemplo, a = (1, 1), b = (−1, −1) e c = (0, −1), obtemos
a · (b+ c) = (−3, −1)
a · b+ a · c = (−1, −1)
Gentil 21
1.4 Imersa˜o de R em H
Consideremos agora a subestrutura R˜ de H na qual R˜ e´ formado pelos pares
ordenados cujo segundo termo e´ nulo:
R˜ =
{
(a, b) ∈ R2 : b = 0}
Consideremos agora a aplicac¸a˜o f , de R em R˜, que leva cada x ∈ R ao par
(x, 0) ∈ R˜, tipo assim:
R R˜
H
f
a (a, 0)
b (b, 0)
a+ b (a+ b, 0)
a · b (a · b, 0)
f : R R˜
x (x, 0)
Primeiramente notemos que f e´ bijetora, porquanto:
( i ) todo par (x, 0) ∈ R˜ e´ o correspondente, segundo f , de x ∈ R (isto quer
dizer que f e´ sobrejetora);
( ii ) Dados x ∈ R e x′ ∈ R, com x 6= x′ os seus correspondentes (x, 0) ∈ R˜
e (x′, 0) ∈ R˜ sa˜o distintos, de acordo com a definic¸a˜o de igualdade de pares
ordenados (isto quer dizer que f e´ injetora).
Em segundo lugar, notemos que f preserva as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o pois,
f(a+ b) = (a+ b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = f(a) + f(b)
No que concerne a` multiplicac¸a˜o, temos: f(a b) = (a b, 0). Desejamos mostrar
que
f(a b) = f(a) · f(b)
Isto e´, que
f(a) · f(b) = (a, 0) · (b, 0) = (a b, 0)
?
Enta˜o,
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(a, 0) · (b, 0) = (a · b ∓ 0 · 0, |a| · 0 + 0 · |b| ) = (ab, 0)
22
Devido ao fato de existir uma aplicac¸a˜o f : R→ R˜ que preserva as operac¸o˜es
de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o, dizemos que R e R˜ sa˜o isomorfos.
Devido ao isomorfismo, operar com (x, 0) leva a resultados ana´logos aos obti-
dos operando com x; em raza˜o disto, de agora em diante, faremos a identificac¸a˜o
que se segue:
x = (x, 0), ∀x ∈ R
Aceita esta convenc¸a˜o, em particular resulta:
0 = (0, 0), 1 = (1, 0), −1 = (−1, 0), a = (a, 0)
Assim o corpo R dos nu´meros reais passa a ser considerado uma subestrutura
do sistema H dos nu´meros hipercomplexos: R ⊢ H.
Demonstraremos agora algumas proposic¸o˜es elementares, em H:
Proposic¸a˜o 3. Para todo w = (a, b) ∈ H, vale:
0 · w = 0
Prova: Temos:
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(0, 0) · (a, b) = (0 · a ∓ 0 · b, |0| · b+ 0 · |a| ) = (0, 0)
�
Proposic¸a˜o 4. Sejam, w = (a, b), w′ = (c, d) ∈ H, temos:
w · w′ = 0 ⇒ w = 0 ou w′ = 0.
Prova: Temos:
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(a, b) · (c, d) = (a · c ∓ b · d, |a| · d+ b · |c| ) = (0, 0)
Enta˜o, {
ac ∓ bd = 0
|a|d+ b|c| = 0
Devemos considerar quatro possibilidades de acordo com os sinais de a e c:
a c
+ +
+ −
− +
− −
( i )
( ii )
( iii )
( iv )
Enta˜o,
Gentil 23
( i ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a c− b d = 0
a d+ b c = 0
Suponhamos que w = (a, b) 6= 0 e vamos determinar w′ = (c, d). Neste caso o
sistema toma a forma,
(
a −b
b a
)
·
(
c
d
)
=
(
0
0
)
Cuja soluc¸a˜o e´,
c = 0a2+b2 , d =
0
a2+b2
Portanto, w′ = 0.
( ii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a c+ b d = 0
a d− b c = 0
Suponhamos que w = (a, b) 6= 0 e vamos determinar w′ = (c, d). Neste caso o
sistema toma a forma
(
a b
−b a
)
·
(
c
d
)
=
(
0
0
)
Cuja soluc¸a˜o e´,
c = 0a2+b2 , d =
0
a2+b2
Portanto, w′ = 0. E assim prova-se os outros dois casos restantes. �
Provaremos agora uma importante propriedade do sistema H:
Proposic¸a˜o 5. Para todo k ∈ R, e para todo w = (a, b) em H, a seguinte
identidade
k · (a, b) = ( k a, |k| b ) =
{
(k a, k b), se k ≥ 0;
(k a, −k b), se k < 0.
se verifica.
Prova: De fato,
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(k, 0) · (a, b) = (k · a ∓ 0 · b, |k| · b+ 0 · |a| ) = ( k a, |k| b )
�
Esta proposic¸a˜o nos proporciona um fenoˆmeno que na˜oocorre em R ou em C.
24
Corola´rio 1. Em H a seguinte identidade
−1 · x = −x
e´ falsa.
Prova: De fato, tomando x = (0, 1), resulta,
−x = −(0, 1) = (0, −1)
−1 · x = (−1 · 0, | − 1| · 1) = (0, 1)
�
Sendo assim e´ importante estar atento para o fato de que, ao contra´rio do
que ocorre em R, ou em C, em H e´ necessa´rio distinguir entre −x e −1 · x.
Observe que, enquanto no primeiro caso temos o oposto aditivo de x, no se-
gundo caso temos o produto de dois hipercomplexos: −1 = (−1, 0) e x = (a, b).
Podemos visualizar isto graficamente, assim:
C : −x = −1 · x
x
−x
H : −x 6= −1 · x
x
−x
−1 · x
Observe, outrossim, que em H na˜o vale a propriedade de cancelamento
para a multiplicac¸a˜o; para se convencer disto considere a seguinte igualdade,
1 · (0, 1) = −1 · (0, 1)
Isto se deve ao fato da multiplicac¸a˜o na˜o ser associativa.
Definic¸a˜o 6 (Oposto multiplicativo). Dado w ∈ H definiremos como seu oposto
multiplicativo o nu´mero −1 · w.
1.5 Unidade hiperimagina´ria
Chamamos unidade hiperimagina´ria e indicamos por j o nu´mero hipercom-
plexo (0, 1). Este nu´mero possui duas propriedades que, em conjunto, na˜o sa˜o
partilhadas por nenhum nu´mero complexo, quais sejam:
j2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1 · 1, 0) = −1,
por outro lado, como vimos antes, −1 · j = j. Em resumo:{
j2 = −1
−1 · j = j
(1.3)
Nos referiremos a estas duas propriedades como a: hiperpropriedade.
Gentil 25
Problemas insolu´veis em C, mas com soluc¸a˜o em H
E´ de se esperar que, de posse desta propriedade u´nica de j, consigamos resolver
toda uma classe de novos problemas que na˜o teˆm soluc¸a˜o no sistema C.
E de fato isto acontece. Com efeito, estas propriedades ja´ nos da˜o uma
indicac¸a˜o do tipo destes problemas, observe:
Propriedade Problema
H :
{
j2 = −1,
−1 · j = j
{
x2 + 1 = 0,
−1 · x− x = 0
Ou seja, na˜o existe nenhum nu´mero complexo x satisfazendo, simultaˆneamente,
as duas condic¸o˜es a` direita.
Acontece que, como diz o velho ada´gio popular, “onde passa um boi, passa
uma boiada” , quero dizer: se a hiperpropriedade nos faculta resolver um prob-
lema insolu´vel em C enta˜o pode nos facultar uma infinidade deles. Vejamos
mais um exemplo, o seguinte sistema:
{
x+ y = 0
(−1 · x− y) · y = 2
na˜o possui soluc¸a˜o nos complexos, apenas nos hipercomplexos.
1.5.1 Forma alge´brica
Dado um nu´mero hipercomplexo qualquer w = (x, y), temos:
w = (x, y) = (x, 0) + (0, y)
Temos,
( i ) (x, 0) = x.
( ii ) Se y ≥ 0, enta˜o (0, y) = y (0, 1) = y j.
Se y ≤ 0 ( |y| = −y ), enta˜o
−j y = y · (−j) = y · ( 0, −1 ) = ( y · 0, |y| · (−1) ) = ( 0, (−y) · (−1) ) = (0, y)
Tendo em conta estes resultados podemos escrever,
w = (x, y) =
{
x+ j y, se y ≥ 0;
x− j y, se y ≤ 0.
(1.4)
Assim, todo nu´mero hipercomplexo w = (x, y) pode ser escrito sob a forma
acima, chamada forma alge´brica. O nu´mero real x e´ chamado parte real de w,
o nu´mero real y e´ chamado parte hiperimagina´ria de w.
Neste momento precisamos fazer um esclarecimento assaz importante: A
estas alturas o leitor ja´ percebeu que a a´lgebra hipercomplexa e´ “ligeiramente”
distinta da a´lgebra real ou complexa. Isto nos obriga a estar (bastante) atentos
26
quanto a`s notac¸o˜es. Por exemplo, consideremos as quatro formas seguintes
x− j y
x− y j
x+ j(−y)
x+ y(−j)
Vejamos o significado da segunda parcela em cada uma delas:
−jy, significa: o oposto de j que multiplica y
−yj, significa: o oposto de y que multiplica j
j(−y), significa: o oposto de y que multiplica j
y(−j), significa: o oposto de j que multiplica y
O leitor pode mostrar, a partir da proposic¸a˜o 5, que
−jy 6= −yj = j(−y)
Um milagre aos olhos dos habitantes Complexos
Se, algum dia, um matema´tico do Universo complexo se defrontar com a
seguinte equac¸a˜o elementar: (−1 · x + x) · x = −1, eˆle teria duas sa´ıdas: aban-
donar o “jogo”, ou consultar um matema´tico do “universo Hipercomplexo”∗.
De fato, esta e´ uma equac¸a˜o imposs´ıvel de se resolver dentro dos universos
nume´ricos conhecidos dos matema´ticos (hodiernos), em raza˜o de que vale:
(−1 · x+ x) · x = −1 ⇐⇒ 0 · x = −1
Pois bem, vamos assumir o desafio.
Proposic¸a˜o 6 (Gentil/04.12.2008). A seguinte equac¸a˜o,
(−1 · x+ x) · x = −1 (1.5)
possui soluc¸a˜o em H.
Prova: Tomando x = (c, d ), temos −1 · x = −1 · (c, d ) = (−c, d ), pela
prop. 5, pa´g. 23. Portanto,
−1 · x+ x = (−c, d ) + (c, d ) = (0, 2d )
Substituindo este resultado em (1.5), obtemos
(0, 2d ) · (c, d ) = −1
O produto acima fica,
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(0, 2d) · (c, d) = (0 · c ∓ 2d · d, |0| · d+ 2d · |c| )
= (−2d2, 2|c|d ) = (−1, 0)
∗No caso eu, que por enquanto, sou o u´nico habitante deste Universo.
Gentil 27
E´ fa´cil ver que para c 6= 0 o problema na˜o tem soluc¸a˜o. Para c = 0 concluimos
que d = ±√2/2. Portanto,
x =
(
0, ±
√
2
2
)
⇒ x =
√
2/2 j ou x = −(√2/2 j ).
Observe que o nu´mero j foi o responsa´vel por este milagre! �
A t´ıtulo de curiosidade, observe que, das duas equac¸o˜es abaixo:
x2 + 1 = 0
(−1 · x+ x) · x + 1 = 0
Com o nu´mero i resolvemos apenas a primeira, ao passo que, com o nu´mero j
resolvemos as duas.
− Considerando a equac¸a˜o,
0 · x = b, b 6= 0 (1.6)
nos reais, ou complexos; como, nestes universos, vale
0 = −1 · x+ x
0 = −1 · (−x) + (−x)
Segue-se que,
0 · x = b ⇐⇒


(−1 · x+ x) · x = b
(−1 · (−x) + (−x)) · x = b
(1.7)
Em H, embora na˜o possamos resolver diretamente a equac¸a˜o (1.6), podemos
resolver suas equivalentes, dadas acima.
Se b > 0, resolvemos a segunda das equac¸o˜es em (1.7), caso contra´rio re-
solvemos a primeira. Por exemplo, seja a equac¸a˜o 0 · x = 1, enta˜o,
0 · x = 1 ⇐⇒ (−1 · (−x) + (−x)) · x = 1
Tomando x = (c, d), temos, −x = (−c, −d), logo,
−1 · (−x) + (−x) = −1 · (−c, −d) + (−c, −d) = (c, −d) + (−c, −d) = (0, −2d)
Enta˜o,
(−1 · (−x) + (−x)) · x = 1 ⇒ (0, −2d) · (c, d) = 1
O produto acima fica,
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(0, (−2d)) · (c, d) = (0 · c ∓ (−2d) · d, |0| · d+ (−2d) · |c| )
= (2d2, −2|c|d ) = (1, 0)
E´ fa´cil ver que para c 6= 0 o problema na˜o tem soluc¸a˜o. Para c = 0 concluimos
que d = ±√2/2. Portanto,
x =
(
0, ±
√
2
2
)
⇒ x =
√
2/2 j ou x = −(√2/2 j ).
28
1.5.2 Exegese da unidade hiperimagina´ria
Sabemos que, dado um nu´mero complexo z, a interpretac¸a˜o geome´trica do
produto i z e´ a de uma rotac¸a˜o de 90o − no sentido positivo, isto e´ anti-hora´rio
− do complexo z. Pretendemos saber o que acontece, geometricamente, quando
multiplicamos um hipercomplexo w pela unidade hiperimagina´ria j.
Inicialmente recordamos a fo´rmula para rotac¸a˜o − de um aˆngulo θ − de um
ponto (x, y) no plano:
(x′, y′) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) (1.8)
Desta fo´rmula obtemos,
R( 90o ) = (x cos 90o − y sen 90o, x sen 90o + y cos 90o) = (−y, x) (1.9)
R(−90o ) = (x cos 90o + y sen 90o, −x sen 90o + y cos 90o) = (y, −x) (1.10)
Seja w = (x, y) ∈ H, enta˜o
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(0, 1) · (x, y) = (0 · x ∓ 1 · y, |0| · y + 1 · |x| )
Enta˜o,
j w = (−y, |x| )
Enta˜o,
Se x ≥ 0 ⇒ j w = (−y, x )
Se x ≤ 0 ⇒ j w = (−y, −x ) = −1 · (y, −x )
Comparando estes resultados com as equac¸o˜es (1.9) e (1.10), concluimos que
pontos do lado direito do eixo y sa˜o rotacionados de 90o no sentido anti-hora´rio,
assim:
0
x
y
wjw
qq
q
e que pontos do lado esquerdo do eixo y sofrem uma rotac¸a˜o de 90o no sentido
hora´rio seguida de uma reflexa˜o em torno do eixo y, assim:
0
x
y
w
jw
qqq
q
0
x
y
w
jw
qqq
q
q
q
Gentil 29
“Intersec¸a˜o” entre H e C
Agora vamos confrontar a multiplicac¸a˜o (a, b) · (c, d) nos sistemas H e C
para efeito de comparac¸a˜o, assim:
(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c|)
Comparando as duas regras concluimos que estas multiplicac¸o˜es coincidem
no semi-plano x ≥ 0.
0
x
y
H=C
A “igualdade” H = C na figura acima, significa ta˜o somente isto: Ao
tomarmos dois pontos nesta regia˜o sua soma e multiplicac¸a˜o fornecem o mesmo
resultado nestes dois sistemas.
Observe que j encontra-se nesta regia˜o, o que significa que (no semi-plano
x ≥ 0) ele tem as mesmas propriedades operato´rias que i, enquanto que no
semi-plano x < 0 verifica-se,
j = (0, 1) 6= (0, 1) = i
Aqui na˜o vale o axioma:
“Duas quantidades iguais a uma terceira, sa˜o iguais entre si.”
De um modo mais esote´rico: i e j habitam um mesmo corpo, todavia, sa˜o
esp´ıritos distintos. Sa˜o como geˆmeos.
Transformac¸o˜es geome´tricas
No universo Complexo, o significado geome´trico da operac¸a˜o de adic¸a˜o e´ uma
translac¸a˜o, assim:
(x, y) + (a, b) = (x+ a, y + b)
O significado geome´trico da operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o e´ uma rotac¸a˜o, assim:
(x, y) · (cos θ, sen θ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ)
Atrave´s da multiplicac¸a˜o vejamos como implementar uma outra transformac¸a˜o
geome´trica, a reflexa˜o em torno do eixo y, por exemplo. De outro modo: dado o
ponto de coordenadas (x, y) como, atrave´s da multiplicac¸a˜o, obter uma reflexa˜o
deste ponto em torno do eixo y? Geometricamente:
0
x
y
(x, y)(−x, y)
?
qq
q
0
x
y
(x, y)(−x, y)
qq
q
θ
30
A figura da direita nos sugere que devemos rotacionar o ponto (x, y) de um
certo aˆngulo θ de tal modo que o produto venha a coincidir com a reflexa˜o
desejada.
Para encontrar o “aˆngulo de reflexa˜o” devemos resolver a equac¸a˜o,
(x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) = (−x, y)
Ou ainda: {
x cos θ − y sen θ = −x
x sen θ + y cos θ = y
Multiplicando a primeira equac¸a˜o por x, a segunda por y e somando as duas
obtemos cos θ. Multiplicando a primeira equac¸a˜o por y, a segunda por −x e
somando as duas obtemos sen θ, assim:
cos θ =
−x2 + y2
x2 + y2
, sen θ =
2xy
x2 + y2
Observe que para obtermos o mesmo resultado nos Hipercomplexos, basta
multiplicar por −1, assim:
−1 · (x, y) = (−x, y)
1.6 Forma trigonome´trica
Definic¸a˜o 7 (Conjugado). Chama-se conjugado do hipercomplexo w = (a, b)
ao hipercomplexo w = (a, −b), isto e´:
w = (a, b) ⇔ w = (a, −b)
Definic¸a˜o 8 (Norma). Chama-se norma do hipercomplexo w = (a, b) ao nu´mero
real
N(w) = a2 + b2
Definic¸a˜o 9 (Mo´dulo). Chama-se mo´dulo (ou valor absoluto) do hipercomplexo
w = (a, b) ao nu´mero real
|w| =
√
N(w) =
√
a2 + b2
Nota: Alternativamente podemos usar a notac¸a˜o: ρ, para o mo´dulo.
Deixamos como exerc´ıcio ao leitor, mostrar que w · w = |w|2.
Observe que o inverso de w = (a, b) pode ser escrito como,
w−1 =
( a
a2 + b2
,
−b
a2 + b2
)
⇔ w−1 =
( a
|w|2 ,
−b
|w|2
)
Ou ainda,
w−1 =
1
|w|2 ( a, −b ).
Gentil 31
Definic¸a˜o 10 (Argumento). Chama-se argumento de um hipercomplexo w =
(x, y), na˜o nulo, ao aˆngulo θ tal que
cos θ =
x
ρ
, sen θ =
y
ρ
Observe que existe ao menos um aˆngulo θ satisfazendo a definic¸a˜o, pois
cos2 θ + sen 2θ =
( x
ρ
)2
+
( y
ρ
)2
=
x2 + y2
ρ2
= 1.
Fixado o hipercomplexo w 6= 0, esta˜o fixados cos θ e sen θ, mas o aˆngulo θ
pode assumir infinitos valores, congruentes dois a dois. Assim o hipercomplexo
w 6= 0 tem argumento,
θ = θ
0
+ 2 k pi; k ∈ Z
onde θ0 e´ chamado argumento principal de w, e´ tal que
cos θ
0
=
x
ρ
, sen θ
0
=
y
ρ
.
e
0 ≤ θ
0
< 2pi. (1.11)
Por vezes trabalharemos com θ0 chamando-o simplesmente argumento de w.
Exemplos:
1o) Para w =
√
3 + i, temos ρ =
√
(
√
3)2 + 12 + 02 = 2, enta˜o

cos θ
0
=
x
ρ
=
√
3
2
sen θ0 =
y
ρ
=
1
2
Tendo em conta (1.11), resulta
θ
0
=
pi
6
⇒ θ = pi
6
+ 2kpi
2o) Para w = (0, 1), temos ρ =
√
02 + 12 = 1, enta˜o

cos θ0 =
x
ρ
=
0
1
= 0
sen θ
0
=
y
ρ
=
1
1
Sendo assim, temos
cos θ
0
= 0
⇒ θ
0
= pi2
sen θ
0
= 1
Temos
θ =
pi
2
+ 2kpi
32
Plano de Argand-Gauss
Podemos representar gra´ficamente um hipercomplexo w = (x, y), no assim
chamado plano de Argand-Gauss, do seguinte modo:
O
X
Y
x
y
ρ
P
θ0
Note que a distaˆncia entre w = (x, y) e O = (0, 0) e´ o mo´dulo de w:
|w| =
√
x2 + y2 = ρ
Nomenclatura:
XOY = plano de Argand-Gauss;
OX = eixo real;
OY = eixo hiperimagina´rio;
P = afixo de w.
A seguinte inequac¸a˜o:
| − 1 · x+ x| > 1
na˜o possui soluc¸a˜o no campo complexo. No hipercomplexo sim. Com efeito,
tomemos x = (a, b), enta˜o:
−1 · x+ x = −1 · (a, b) + (a, b)
= (−a, b) + (a, b) = (0, 2b)
Portanto,
| − 1 · x+ x| = |(0, 2b)| =
√
02 + (2b)2 = |2b| > 1,
enta˜o,
2|b| > 1 ⇔ |b| > 1
2
⇔ b > 1
2
ou b < −1
2
Podemos visualizar o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o proposta, assim:
Gentil 33
x
y
0
1/2
−1/2
Forma trigonome´trica
Podemos escrever um hipercomplexo w da seguinte forma,
w = ρ (cos θ, sen θ)
chamada forma trigonome´trica de w. Na forma alge´brica temos,
w =
{
ρ (cos θ + j sen θ), se sen θ ≥ 0;
ρ (cos θ − j sen θ), se sen θ ≤ 0.
(1.12)
Ver equac¸a˜o (1.4), pa´g. 25. De outro modo:
w =
{
ρ (cos θ + j sen θ), se 0 ≤ θ ≤ pi;
ρ (cos θ − j sen θ), se pi ≤ θ ≤ 2pi.
(1.13)
34
Multiplicac¸a˜o na forma trigonome´trica
Sejam w
1
= ρ
1
(cos θ
1
, sen θ
1
) e w
2
= ρ
2
(cos θ
2
, sen θ
2
). Temos,
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos θ1 , sen θ1) · (cos θ2 , sen θ2)
= ρ
1
ρ
2
(cos θ
1
· cos θ
2
∓ sen θ
1
· sen θ
2
, | cos θ
1
| · sen θ
2
+ sen θ
1
· | cos θ
2
|)
Podemos abrir esta equac¸a˜o em quatro, de acordo com a tabela a seguir:
cos θ
1
cos θ
2
+ +
+ −
− +
− −
( i )
( ii )
( iii )
( iv )
Enta˜o,
( i ) Neste caso temos,
w
1
· w
2
= ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
+ θ
2
), sen (θ
1
+ θ
2
) ) (1.14)
( ii ) Neste caso temos,
w
1
· w
2
= ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
− θ
2
), − sen (θ
1
− θ
2
) )
( iii ) Neste caso temos,
w
1
· w
2
= ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
− θ
2
), sen (θ
1
− θ
2
) )
( iv ) Neste caso temos,
w
1
· w
2
= ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
+ θ
2
), − sen (θ
1
+ θ
2
) ) (1.15)
Nota: Os casos ( ii ) e ( iii ) reduzem-se a um u´nico ao permutarmos: w
1
↔ w
2
.
Corola´rio 2. Sejam w
1
e w
2
hipercomplexos, enta˜o: |w
1
· w
2
| = |w
1
| · |w
2
|.
Nota: Esta deduc¸a˜o na˜o inclui o caso em que cos θ
1
= 0 ou cos θ
2
= 0 (isto
e´, na˜o vale para pontos no eixo y, como j, por exemplo).
Interpretac¸a˜o geome´trica
Sabemos que a interpretac¸a˜o geome´trica do produto complexo e´ uma rotac¸a˜o
(positiva, isto e´, anti-hora´ria). Vejamos uma interpretac¸a˜o geome´trica para o
produto hipercomplexo. Este produto depende da posic¸a˜o relativa dos pontos
envolvidos. Enta˜o,
( i ) Se ambos os pontos situam-se do lado direito do eixo y enta˜o o produto
hipercomplexo coincide com o produto complexo, portanto e´ uma rotac¸a˜o pos-
itiva.
( iv ) Se ambos os pontos situam-se do lado esquerdo do eixo y enta˜o o produto
Gentil 35
hipercomplexo coincide com o produto complexo, a menos de uma reflexa˜o. Em
outras palavras: e´ uma rotac¸a˜o seguida de uma reflexa˜o em torno do eixo x.
( ii ) Neste caso, para interpretar o produto w
1
· w
2
, convencionaremos chamar
o fator a` direita (isto e´, w
2
) de indutor e o fator a` esquerda de induzido. Sendo
assim interpretamos o produto,
w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2), − sen (θ1 − θ2) )
dizendo que w2 induz uma rotac¸a˜o (negativa, isto e´, hora´ria) de um aˆngulo θ2
em w
1
(induzido) seguidade uma reflexa˜o em torno do eixo x.
Em resumo: no produto acima, w
1
sofre uma rotac¸a˜o (hora´ria) seguida de
uma reflexa˜o∗.
Este mesmo produto comporta uma nova interpretac¸a˜o se trocarmos os
pape´is de indutor e induzido, assim
w
1
· w
2
= ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
− θ
2
), − sen (θ
1
− θ
2
) )
= ρ
2
ρ
1
(cos(θ
2
− θ
1
), sen (θ
2
− θ
1
) ) = w
2
· w
1
Neste caso dizemos que w
1
(indutor) induz uma rotac¸a˜o (hora´ria) de θ
1
em w
2
(induzido).
( iii ) Este caso e´ tratado de modo ana´logo ao anterior.
Vejamos geometricamente um exemplo de cada um dos produtos acima:
( i ) Sejam w
1
= (1, 1) e w
2
=
(
2, − 2
√
3
3
)
. Temos,
w
1
=
√
2 (cos 45o, sen 45o)
w
2
= 4
√
3
3
(cos 330o, sen 330o)
Vamos multiplicar estes nu´meros de duas formas:
• Forma trigonome´trica;
w1 · w2 =
√
2 · 4
√
3
3
(
cos(45o + 330o), sen (45o + 330o)
)
= 4
√
6
3
( cos 375o, sen 375o )
• Forma cartesiana;
(a, b) · (c, d) = ( a c∓ b d, |a| d+ b |c| )
(1, 1) ·
(
2, −2
√
3
3
)
=
(
1 · 2− 1 · (− 2
√
3
3
)
, |1| · (− 2
√
3
3
)
+ 1 · |2|
)
=
2
3
(3 +
√
3, 3−
√
3)
Graficamente, temos
∗Estamos, de propo´sito − para simplificar nossa ana´lise −, ignorando o produto dos
mo´dulos.
36
0
x
y
q q
q
q
q
w
1
w
2
1 2
1
2
−1
0
x
y
q q
q
q
q
w
1
w
2
1 2
1
2
−1
w
1
·w
2
Podemos interpretar o produto acima de dois modos distintos:
1o ) w
2
e´ o indutor e w
1
e´ o induzido:
w
1
· w
2
= ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
+ θ
2
), sen (θ
1
+ θ
2
) )
=
√
2 · 4
√
3
3
(
cos(45o + 330o), sen (45o + 330o)
)
Neste caso o indutor induz uma rotac¸a˜o de 330o no sentido positivo, assim:
x
y
q q
q
q
q
w
1
w
2
1 2
1
2
−1
w
1
·w
2
2o ) Invertendo os pape´is: w
1
e´ o indutor e w
2
e´ o induzido.
w
2
· w
1
= ρ
2
ρ
1
(cos(θ
2
+ θ
1
), sen (θ
2
+ θ
1
) )
= 4
√
3
3
·
√
2
(
cos(330o + 45o), sen (330o + 45o)
)
Neste caso o indutor induz uma rotac¸a˜o de 45o no sentido positivo, assim:
x
y
q q
q
q
q
w
1
w
2
1 2
1
2
−1
w1 ·w2
Gentil 37
Observe que hipercomplexos positivos se comportam, para a multiplicac¸a˜o,
como se fossem nu´meros complexos.
( ii ), ( iii ) Sejam w
1
= (1, 1) e w
2
=
( − 2√33 , 2). Temos,
w
1
=
√
2 (cos 45o, sen 45o)
w
2
= 4
√
3
3
(cos 120o, sen 120o)
Vamos multiplicar estes nu´meros de duas formas:
• Forma trigonome´trica;
w
1
· w
2
=
√
2 · 4
√
3
3
(
cos(45o − 120o), − sen (45o − 120o) )
= 4
√
6
3
( cos 75o, sen 75o )
• Forma cartesiana;
(a, b) · (c, d) = ( a c∓ b d, |a| d+ b |c| )
(1, 1) ·
(
− 2
√
3
3
, 2
)
=
(
1 · (− 2√3
3
)
+ 1 · 2, |1| · 2 + 1 · ∣∣− 2√3
3
∣∣ )
=
2
3
(3−
√
3, 3 +
√
3 )
Graficamente, temos
0
x
y
q q
q
q
w1
w
2
1 2
1
0
x
y
q q
q
q
w1
w
2
1 2
1
w1 ·w2
Podemos interpretar o produto acima de dois modos distintos:
1o ) w2 e´ o indutor e w1 e´ o induzido:
w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2), − sen (θ1 − θ2) )
=
√
2 · 4
√
3
3
(
cos(45o − 120o), − sen (45o − 120o) )
Neste caso o indutor induz uma rotac¸a˜o de 120o (no sentido negativo, isto e´,
hora´rio), seguida de uma reflexa˜o em torno do eixo x, assim:
38
0
x
y
q q
q
q
w1
w
2
1 2
1
0
x
y
q q
q
q
w1
w
2
1
1
2
w1 ·w2
2o ) Invertendo os pape´is: w
1
e´ o indutor e w
2
e´ o induzido.
w
2
· w
1
= ρ
2
ρ
1
(cos(θ
2
− θ
1
), − sen (θ
2
− θ
1
) )
= ρ
2
ρ
1
(cos(θ
1
− θ
2
), sen (θ
1
− θ
2
) )
= 4
√
3
3
·
√
2
(
cos(120o − 45o), sen (120o − 45o) )
O indutor induz uma uma rotac¸a˜o de 45o no sentido negativo, assim:
0
x
y
q q
q
q
w
1
w2
1 2
1
w
1
·w
2
Multiplicac¸a˜o por −1
Sejam w
1
= (1, 1) e w
2
= (−1, 0). Temos,
w1 =
√
2 (cos 45o, sen 45o)
w2 = 1 (cos 180
o, sen 180o)
Vamos multiplicar estes nu´meros de duas formas:
• Forma trigonome´trica;
Gentil 39
w
1
· w
2
=
√
2 · 1 ( cos(45o − 180o), − sen (45o − 180o) )
=
√
2 ( cos−135o, − sen − 135o )
• Forma cartesiana;
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(1, 1) · (−1, 0) = (1 · −1 ∓ 1 · 0, |1| · 0 + 1 · | − 1| ) = (−1, 1)
Graficamente, temos
0
x
y
q q
q
q
w
1
w
2
1 2
1
0
x
y
q q
q
q
w
1
w
2
w
1
·w
2
1 2
1
Vejamos uma poss´ıvel interpretac¸a˜o para o produto acima:
• w2 como indutor e w1 como induzido:
w
1
· w
2
= ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
− θ
2
), − sen (θ
1
− θ
2
) )
=
√
2 · 1( cos(45o − 180o), − sen (45o − 180o) )
Neste caso o indutor induz uma rotac¸a˜o de 180o (no sentido negativo, isto e´,
hora´rio), seguida de uma reflexa˜o em torno do eixo x, assim:
x
y
q q
q
q
w
1
1 2
1
x
y
q q
q
q
w
1
w
1
·w
2
1 2
1
Observe a diferenc¸a entre os produtos −1 · (1, 1) = (−1, −1), nos Complexos, e
−1 · (1, 1) = (−1, 1), nos hipercomplexos. No primeiro caso temos uma rotac¸a˜o
de 180o; no segundo caso temos uma rotac¸a˜o de 180o seguida de uma reflexa˜o
em torno do eixo x; no final resultando numa reflexa˜o em torno do eixo y.
40
( iv ) Sejam w
1
= (−1, 1) e w
2
=
( − 2√33 , −2). Temos,
w
1
=
√
2 (cos 135o, sen 135o)
w
2
= 4
√
3
3
(cos 240o, sen 240o)
Vamos multiplicar estes nu´meros de duas formas:
• Forma trigonome´trica;
w
1
· w
2
=
√
2 · 4
√
3
3
(
cos(135o + 240o), − sen (135o + 240o) )
= 4
√
6
3
( cos 375o, − sen 375o )
• Forma cartesiana;
(a, b) · (c, d) = ( a c∓ b d, |a| d+ b |c| )
(−1, 1) ·
(
− 2
√
3
3
, −2
)
=
(
(−1) · (− 2
√
3
3
)− 1 · (−2), | − 1| · (−2) + 1 · ∣∣− 2
√
3
3
∣∣ )
=
2
3
(3 +
√
3, −3 +
√
3 )
Graficamente, temos
x
y
q q
q
q
q
w
1
w
2
1 2
1
−1
−2
x
y
q q q q
q
q
q
w
1
w
2
2 3
1
−1
−2
w
1
·w
2
Podemos interpretar o produto acima de dois modos distintos:
1o ) w
2
e´ o indutor e w
1
e´ o induzido:
w
1
· w
2
= ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
+ θ
2
), − sen (θ
1
+ θ
2
) )
=
√
2 · 4
√
3
3
(
cos(135o + 240o), − sen (135o + 240o) )
Neste caso o indutor induz uma rotac¸a˜o de 240o no sentido positivo, seguida de
uma reflexa˜o em torno do eixo x, assim:
Gentil 41
x
y
q q q q
q
q
q
w
1
w
2
1 2 3
1
−1
−2
x
y
q q q q
q
q
q
w
1
w
2
2 3
1
−1
−2
w
1
·w
2
2o ) Invertendo os pape´is: w
1
e´ o indutor e w
2
e´ o induzido.
w
2
· w
1
= ρ
2
ρ
1
(cos(θ
2
+ θ
1
), − sen (θ
2
+ θ
1
) )
= 4
√
3
3
·
√
2
(
cos(240o + 135o), − sen (240o + 135o) )
Neste caso o indutor induz uma rotac¸a˜o de 135o no sentido positivo, seguida de
uma reflexa˜o em torno do eixo x, assim:
x
y
q q q q
q
q
q
w
1
w2
1 2 3
1
−1
−2
x
y
q q q q
q
q
q
w
1
w2
2 3
1
−1
−2
w
1
·w
2
Nota: Pudemos observar que um hipercomplexo w > 0 comporta-se como
um nu´mero complexo; isto e´, como indutor, produz apenas uma rotac¸a˜o. Com
uma ressalva: se o induzido for um nu´mero negativo, a rotac¸a˜o se da´ no sentido
negativo (hora´rio).
Ja´ um hipercomplexo w < 0 comporta-se como um auteˆntico hipercomplexo;
isto e´, como indutor, produzuma rotac¸a˜o seguida de uma reflexa˜o.
1.6.1 Rotac¸a˜o & Oscilac¸a˜o
Vamos tomar w
1
= ρ(cos θ, sen θ) um paraˆmetro indutor e w
2
= (x, y) um
induzido arbitra´rio. Para o ca´lculo do produto w
1
· w
2
, temos:
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(cos θ, sen θ) · (x, y) = ( cos θ · x ∓ sen θ · y, | cos θ| · y + sen θ · |x| )
42
Vamos considerar cos θ > 0, sendo assim temos:
w1 · w2 =
{
ρ(x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ), se x ≥ 0;
ρ(x cos θ + y sen θ, −x sen θ + y cos θ), se x < 0.
(1.16)
Convenc¸a˜o: Vamos adotar a seguinte notac¸a˜o: w (n )
1
·w2 , significa multiplicar
w
2
, sucessivamente, por w
1
n vezes, ou seja:
w ( 2 )
1
· w2 = w1 · (w1 · w2)
w ( 3 )
1
· w
2
= w
1
· (w
1
· (w
1
· w
2
)
)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Para realizar uma simulac¸a˜o, vamos tomar w
1
com ρ = 1 e θ = 20o e
w2 = (2, 0). Na figura a seguir temos o esboc¸o da multiplicac¸a˜o w
(n )
1
· w2 .
0
x
y
q q
q
q
w
2
w
1
1 2
1
2
• w(n)
1
· w2 (n = 1, 2, 3, . . .)
0
x
y
q q
q
q
w
2
1 2
Vejamos como interpretar, matema´ticamente, o gra´fico acima; para isto
reproduzimos a equac¸a˜o (1.8) (pa´g. 28) aqui:
R (θ) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) (1.17)
Desta equac¸a˜o, obtemos:
R (−θ) = (x cos(−θ)− y sen (−θ), x sen (−θ) + y cos(−θ) )
= (x cos θ + y sen θ, −x sen θ + y cos θ ) (1.18)
Comparando estas equac¸o˜es com as equac¸o˜es (1.16) concluimos que um ponto∗,
ao ser multiplicado sucessivamente por um paraˆmetro indutor†, sofre rotac¸o˜es
positivas enquanto “sua” abscissa for positiva (isto e´, enquanto permanece do
lado direito do eixo y); quando este ponto atravessa a “faixa” x = 0 o sentido
de sua rotac¸a˜o e´ invertido; isto e´, passa a ser hora´ria.
Aplicando esta ana´lise ao nosso caso particular concluimos que o ponto (in-
duzido) permanecera´ oscilando indefinidamente.
Na figura seguinte temos a mesma simulac¸a˜o anterior com o acre´scimo de
uma “atenuac¸a˜o” com ρ = 0, 9.
∗Do lado direito do eixo y.
†Com cos θ > 0.
Gentil 43
0
x
y
q q
q
q
w2
1 2
Na figura da direita temos uma plotagem com mais pontos e sem os eixos
coordenados.
Observe que a sequ¨eˆncia
(
w(n)
1
· w
2
)
converge para a origem (em azul).
− Na figura a seguir, ainda com θ = 20o e ρ = 1, 1, tomamos o induzido
como w
2
= (−1, −1).
x
y
q q q
q
q
q
w2
w
1
1 2
1
2
−1
x
y
q q q
q
q
qw
2
1 2
2
−1
Divisa˜o na forma trigonome´trica
Sejam w
1
= ρ
1
(cos θ
1
, sen θ
1
) e w
2
= ρ
2
(cos θ
2
, sen θ
2
). Sendo,
w−1
2
=
1
ρ
2
(cos θ
2
, − sen θ
2
)
Vamos calcular o produto,
w
1
· w−1
2
= ρ
1
1
ρ
2
(cos θ
1
cos θ
2
∓ sen θ
1
(− sen θ
2
), | cos θ
1
|(− sen θ
2
) + sen θ
1
| cos θ
2
| )
=
ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
∓ θ
2
), −| cos θ
1
| sen θ
2
+ sen θ
1
| cos θ
2
| )
Nesta u´ltima equac¸a˜o tome − se cos θ1 cos θ2 > 0, tome + caso contra´rio.
Podemos abrir esta equac¸a˜o em quatro, de acordo com a tabela a seguir:
44
cos θ1 cos θ2
+ +
+ −
− +
− −
( i )
( ii )
( iii )
( iv )
Enta˜o,
( i ) Neste caso temos,
w
1
· w
2
=
ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
− θ
2
), sen (θ
1
− θ
2
) )
( ii ) Neste caso temos,
w1 · w2 =
ρ
1
ρ2
(cos(θ1 + θ2), − sen (θ1 + θ2) )
( iii ) Neste caso temos,
w
1
· w
2
=
ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
+ θ
2
), sen (θ
1
+ θ
2
) )
( iv ) Neste caso temos,
w
1
· w
2
=
ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
− θ
2
), − sen (θ
1
− θ
2
) )
Corola´rio 3. Sejam w
1
e w
2
hipercomplexos, enta˜o:
∣∣w1
w
2
∣∣ = |w1 ||w
2
| .
Nota: Os casos ( i ) e ( iv ) reduzem-se a um u´nico ao permutarmos: w
1
↔ w
2
.
Aqui cabem interpretac¸o˜es ana´logas a`s do produto.
Rotac¸a˜o & oscilac¸a˜o
Para que possamos obter rotac¸o˜es e oscilac¸o˜es em sentido contra´rio a`s da
multiplicac¸a˜o devemos proceder a uma divisa˜o entre dois hipercomplexos.
Vamos tomar w
1
= ρ(cos θ, sen θ) um paraˆmetro indutor e w
2
= (x, y) um
induzido arbitra´rio. Para o ca´lculo do produto w−1
1
· w
2
, temos:
w−1
1
=
1
ρ
· (cos θ, − sen θ)
Enta˜o,
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(cos θ, (− sen θ)) · (x, y) = ( cos θ · x ∓ (− sen θ) · y, | cos θ| · y + (− sen θ) · |x| )
Vamos considerar cos θ > 0, sendo assim temos:
w2
w1
=


1
ρ(x cos θ + y sen θ, −x sen θ + y cos θ), se x ≥ 0;
1
ρ(x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ), se x < 0.
(1.19)
Para uma ana´lise destes resultados compare com as equac¸o˜es (1.17) e (1.18).
Gentil 45
Convenc¸a˜o: Vamos adotar a seguinte notac¸a˜o: w (−n )
1
· w2 , significa di-
vidir w
2
, sucessivamente, por w−1
1
n vezes, ou seja:
w (−2 )
1
· w
2
= w−1
1
· (w−1
1
· w
2
)
w (−3 )
1
· w
2
= w−1
1
· (w−1
1
· (w−1
1
· w
2
)
)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Para realizar uma simulac¸a˜o, vamos tomar w
1
com ρ = 1 e θ = 20o e
w
2
= (2, 0). Na figura a seguir temos o esboc¸o da multiplicac¸a˜o w (−n )
1
· w
2
.
0
x
y
q q
q
q
w2
w
1
1 2
1
2
• w(−n)
1
· w
2
(n = 1, 2, 3, . . .)
0
x
y
q q
q
q
w
2
Em vermelho temos as multiplicac¸o˜es w (−n )
1
· w2 e, em azul, − para efeito
de comparac¸a˜o −, temos as multiplicac¸o˜es w (n )
1
· w
2
(pa´g. 42).
Rotac¸a˜o & Oscilac¸a˜o em torno de um ponto (eixo) arbitra´rio
Vamos construir agora uma aplicac¸a˜o, do plano no plano, que nos permita
rotacionar um ponto arbitra´rio (x, y) em torno de um ponto a = (x
0
, y
0
), arbi-
trariamente fixado, e este ponto ao cruzar a reta (eixo) x = x0 estara´ submetido
a, sucessivas, oscilac¸o˜es.
Devemos fazer a composic¸a˜o das seguintes transformac¸o˜es:
( i ) Translac¸a˜o para que o ponto a = (x
0
, y
0
) coincida com a origem. Isto se
consegue com a aplicac¸a˜o
T
−a
(x, y) = (x, y) + (−x
0
, −y
0
) = (x− x
0
, y − y
0
)
( ii ) Substituimos este ponto na equac¸a˜o (1.19), assim:
w
2
w
1
= 1
ρ
·


(
(x−x
0
) cos θ+(y−y
0
) sen θ,−(x−x
0
) sen θ+(y−y
0
) cos θ
)
, se x−x
0
≥0;(
(x−x
0
) cos θ−(y−y
0
) sen θ, (x−x
0
) sen θ+(y−y
0
) cos θ
)
, se x−x
0
<0.
( iii ) Agora aplicamos, neste ponto, a translac¸a˜o T
a
, para que o ponto retorne
a` sua posic¸a˜o inicial, assim:
w
2
w
1
= 1
ρ
·


(
(x−x
0
) cos θ+(y−y
0
) sen θ,−(x−x
0
) sen θ+(y−y
0
) cos θ
)
+(x
0
, y
0
), se x≥ x
0
;(
(x−x
0
) cos θ−(y−y
0
) sen θ, (x−x
0
) sen θ+(y−y
0
) cos θ
)
+(x
0
, y
0
), se x<x
0
.
46
Fac¸amos algumas simulac¸o˜es: Na figura a seguir,
0
x
y
q q
q
q
q
(2, 2)
1 2
1
2
3
0
x
y
q q
q
q
q
(2, 2)
1 2
1
2
3
Rotacionamos − sucessivamente − o ponto (1, 3) em torno do ponto (2, 2),
com θ = 15o. Uma poss´ıvel interpretac¸a˜o f´ısica: e´ como se a “banda” x > 2
fosse proibida a` “part´ıcula” , ela oscila indefinidamente. A “part´ıcula” na˜o pode
prosseguir do lado direito do eixo x = 2.
Na figura a seguir,
0
x
y
q q
q
q
q
q
(2, 2)
1 2 3
1
2
3
0
x
y
q q
q
q
q
q1 2 3
1
2
3
Rotacionamos − sucessivamente − o ponto (3, 3) em torno do ponto (2, 2),
com θ = 30o. O ponto fica oscilando, indefinidamente, em torno do eixo x = 2.
− Na figura a seguir,
0
x
y
q q
q
q
q
q1 2 3
1
2
3Gentil 47
Rotacionamos − sucessivamente (em azul) − o ponto (1, 3) em torno do
ponto (2, 2), com θ = 30o. Plotamos− para efeito de comparac¸a˜o− juntamente
com o gra´fico da figura anterior.
Pontos do lado direito da faixa x = 2 sa˜o rotacionados no sentido negativo
enquanto pontos do lado esquerdo sa˜o rotacionados no sentido positivo.
Forma Polar de um nu´mero hipercomplexo
Aqui vamos apenas assinalar uma outra forma - por vezes u´til - de repre-
sentac¸a˜o de um nu´mero hipercomplexo: a forma polar, assim designada,
w = ρ θ
1.7 Potenciac¸a˜o
Definic¸a˜o 11. Sejam w um nu´mero hipercomplexo e n um nu´mero natural.
Poteˆncia de base w e expoente n e´ o nu´mero wn tal que:{
w0 = 1;
wn = wn−1 · w, ∀n, n ≥ 1.
Desta definic¸a˜o decorre que:
w1 = w0 · w = 1 · w
w2 = w1 · w = w · w
w3 = w2 · w = (w · w) · w
w4 = w3 · w = [ (w · w) · w ] · w
Proposic¸a˜o 7. A seguinte identidade e´ va´lida
jn =
{−1, se n e´ par;
j, se n e´ ı´mpar.
Prova: Induc¸a˜o sobre n.
1o) n par.
Para n = 2 ja´ mostramos que a proposic¸a˜o e´ verdadeira. Suponhamos a
validade da mesma para n = k, isto e´, jk = −1. Mostremos que a proposic¸a˜o
continua va´lida para o pro´ximo par n = k + 2:
jk+2 = (jk · j) · j = (−1 · j) · j = j · j = j2 = −1
2o) n ı´mpar. Ana´logo. �
Lema 1. Seja w = (x, y) ∈ H, temos
w2 = (x2 − y2, 2 |x| y ) (1.20)
48
Prova: Temos,
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(x, y) · (x, y) = (x · x ∓ y · y, |x| · y + y · |x| )
= (x2 − y2, 2 |x| y )
�
Vamos ainda calcular a terceira poteˆncia de um nu´mero, assim:
Lema 2. Seja w = (x, y) ∈ H, temos
w3 =
(
(x2 − y2)x∓ 2|x| y2, |x2 − y2|y + 2x2 y
)
(1.21)
Prova: Temos,
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
((x2 − y2), 2 |x| y) · (x, y) = ((x2 − y2) · x ∓ 2 |x| y · y, |(x2 − y2)| · y + 2 |x| y · |x| )
Simplificando temos o resultado desejado. �
Observe que em (1.21) tomamos “−” se (x2 − y2)x ≥ 0, tomamos “+” caso
contra´rio.
Dado w = (x, y) ∈ H observamos, em (1.20), que a ordenada de w2 tem o
mesmo sinal de y. Isto significa que ao multiplicarmos um hipercomplexo por
ele mesmo o resultado permanece no mesmo semi-plano (y ≥ 0 ou y < 0) de w.
A mesma observac¸a˜o vale para w3. Vamos mostrar que isto vale para qualquer
poteˆncia de w.
Proposic¸a˜o 8. Seja w = (x, y) ∈ H. Temos,
Se wn = (x′, y′), enta˜o sign (y′) = sign (y), ∀n ≥ 2.
Prova: Induc¸a˜o sobre n. Para n = 2 a proposic¸a˜o decorre do lema (1).
Suponhamos a proposic¸a˜o verdadeira para n = k. Isto e´,
wk = (a, b), onde sign (b) = sign (y) (hipo´tese de induc¸a˜o)
E mostremos que vale para n = k + 1. Isto e´,
wk+1 = (x′, y′) ⇒ sign (y′) = sign (y) (tese de induc¸a˜o)
Enta˜o,
wk+1 = wk · w = (a, b) · (x, y)
= ( a x ∓ b y, |a| y + b |x| )
Temos y′ = |a| y + b |x|, donde decorre a tese, tendo em conta a hipo´tese de
induc¸a˜o. �
Gentil 49
Potenciac¸a˜o na forma trigonome´trica
Para os nu´meros hipercomplexos vale uma versa˜o (mais fraca) da lei de De
Moivre,
Proposic¸a˜o 9. Dados o hipercomplexo w = ρ (cos θ, sen θ ), na˜o nulo, e o
natural n ≥ 2, temos:
wn = ρn (cosn θ, senn θ ) (1.22)
desde que: cos θ ≥ 0, cos 2θ ≥ 0, . . . , cos(n− 1)θ ≥ 0.
Prova: Princ´ıpio da Induc¸a˜o Finita. Para n = 2, a proposic¸a˜o e´ verdadeira
(devido a equac¸a˜o (1.14), pa´g. 34).
Admitamos a validade da proposic¸a˜o para n = k − 1:
wk−1 = ρk−1
(
cos(k − 1) θ, sen (k − 1) θ )
onde, cos θ ≥ 0, cos 2θ ≥ 0, . . . , cos ((k − 1)− 1)θ ≥ 0.
E provemos que vale para n = k:
wk = wk−1 · w = ρk−1 [ cos(k − 1) θ, sen (k − 1) θ ] · ρ (cos θ, sen θ )
Pela equac¸a˜o (1.14) podemos escrever:
wk = (ρk−1 · ρ ) [ cos ((k − 1) θ + θ), sen ((k − 1) θ + θ) ]
= ρk (cos k θ, sen k θ )
�
A fo´rmula (1.22) vale, por exemplo, para
−pi
2
≤ (n− 1) θ ≤ pi
2
⇔ − pi
2(n− 1) ≤ θ ≤
pi
2(n− 1) (1.23)
Exemplos: Calcular as seguintes poteˆncias:
a) (j+1)2 b) (j− 1)2 c) ( j+1 )2( j−1 )2 d)
(
j+1
j−1
)2
e) (1+ j)3 f) (1− j)3
Soluc¸a˜o:
a) Temos, j + 1 = (0, 1) + (1, 0) = (1, 1). Enta˜o,
(j + 1)2 = (12 − 12, 2 |1| · 1) = (0, 2)
Observe que,
(j + 1)2 = j2 + 2 · j · 1 + 12
b) Temos, j − 1 = (0, 1) + (−1, 0) = (1, −1). Enta˜o,
(j − 1)2 = (12 − (−1)2, 2 |1| · (−1)) = (0, −2)
Portanto,
(j − 1)2 = −(j + 1)2
50
c) Temos,
( j + 1 )2
( j − 1 )2 =
(0, 2)
(0, −2) = (0, 2) ·
( 0
02 + (−2)2 ,
−(−2)
02 + (−2)2
)
= (0, 2) · (0, 1
2
)
= −1
d) Temos,
j + 1
j − 1 =
(1, 1)
(−1, 1) = −1 ⇒
( j + 1
j − 1
)2
= 1
e) Temos, 1 + j = (1, 0) + (0, 1) = (1, 1). Enta˜o (ver lema (2), pa´g. 48),
w3 =
(
(x2 − y2)x∓ 2|x| y2, |x2 − y2|y + 2x2 y
)
(1 + j)3 =
(
(12 − 12) · 1∓ 2|1| 12, |12 − 12| · 1 + 2 · 12 · 1
)
= (−2, 2)
f) Temos, 1− j = (1, 0) + (0, −1) = (1, −1). Enta˜o,
w3 =
(
(x2 − y2)x∓ 2|x| y2, |x2 − y2|y + 2x2 y
)
(1− j)3 =
(
(12 − (−1)2) · 1∓ 2|1| · (−1)2, |12 − (−1)2| · (−1) + 2 · 12 · (−1)
)
= (−2, −2)
Cap´ıtulo 2
Equac¸o˜es
2.1 Resoluc¸a˜o da equac¸a˜o a · w = b
Vamos resolver a equac¸a˜o, a · w = b , onde a = (a, b) 6= 0 e b = (c, d) sa˜o
dados e w = (x, y) e´ a inco´gnita. Isto e´, procuramos x e y tais que,
(a, b) · (x, y) = (c, d)
Enta˜o,
(a, b) · (c, d) = ( a c ∓ b d, |a| d+ b |c| )
(a, b) · (x, y) = (a · x ∓ b · y, |a| · y + b · |x| ) = (c, d)
Temos o seguinte sistema: 

a x ∓ b y = c
|a| y + b |x| = d
Para resolver este sistema temos diversas possibilidades a considerar:
1a ) Vamos inicialmente considerar a = 0 e x > 0. Sendo assim, o sistema
reduz-se a: 

a x− b y = c
a y + b x = d
Este sistema, na forma matricial fica,
(
a −b
b a
)
·
(
x
y
)
=
(
c
d
)
Cuja soluc¸a˜o e´,
x = a c+b da2+b2 , y =
a d−b c
a2+b2
Substituindo a = 0, nesta soluc¸a˜o, oblemos: x = db , y = − cb . Observe que esta
soluc¸a˜o so´ e´ va´lida se db = x > 0 (faz parte da hipo´tese).
51
52
2a ) Vamos agora considerar a = 0 e x < 0. Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x− b y = c
a y − b x = d
Este sistema, na forma matricial fica,(
a −b
−b a
)
·
(
x
y
)
=
(
c
d
)
Cuja soluc¸a˜o e´,
x = a c+b da2−b2 , y =
a d+b c
a2−b2
Substituindo a = 0, nesta soluc¸a˜o, obtemos: x = − db , y = − cb . Observe que
esta soluc¸a˜o so´ e´ va´lida se − db = x < 0 (faz parte da hipo´tese), isto e´, se db > 0.
Conclusa˜o: Se a = 0 so´ existe soluc¸a˜o se d/b > 0 e, neste caso, duas soluc¸o˜es,
assim:
S =
{(d
b
, −c
b
),
(− d
b
, −c
b
)
}
Concluimos que, em H, uma equac¸a˜o a · w = b, do 1o grau, pode ter duas
soluc¸o˜es, como e´ o caso da equac¸a˜o (0, 1) ·w = (1, 2); como pode ter nenhuma,
como e´ o caso da equac¸a˜o (0, −1) · w = (1, 2).
3a ) Vamos agora considerar x = 0 e a > 0. Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x− b y = c
a y + b x = d
Este sistema, na forma matricial fica,(
a −b
b a
)
·
(
x
y
)
=
(
c
d
)
Cuja soluc¸a˜o e´,
x = a c+b da2+b2 , y =
a d−b c
a2+b2
Ora,
x =
a c+ b d
a2 + b2
= 0 ⇔ a c+ b d = 0
Isto e´, se: a c+ b d = 0 ⇒ S =
{(
0, a d−b ca2+b2
)}
4a ) Vamos agora considerar x = 0 e a < 0. Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x− b y = c
−a y + b x = d
Este sistema, na forma matricial fica,(
a −b
b −a
)
·
(
x
y
)
=
(
c
d
)
Gentil 53
Cuja soluc¸a˜o e´,
x = −a c+b d−a2+b2 , y =
a d−b c
−a2+b2
Ora,
x =
−a c+ b d
−a2 + b2 = 0 ⇔ −a c+ b d = 0
Isto e´, se: a c = b d ⇒ S =
{ (
0, a d−b c−a2+b2
)}
. Observe que se −a2+b2 = 0,
isto e´, |a| = |b| enta˜o a equac¸a˜o na˜o possui soluc¸a˜o com x = 0.
Podemos resumir o que foi visto ate´ aqui, da seguinte forma:
a = 0


d
b > 0 ⇒ S =
{(
d
b , − cb ),
(− db , − cb )}
d
b < 0 ⇒ S = ∅
a > 0 ∧ ac+ bd = 0 ⇒ S =
{(
0, a d−b ca2+b2
)}
a < 0 ∧ ac− bd = 0 ⇒ S =
{(
0, ad−b c−a2+b2
)}
, |a| 6= |b|
◮
◮
◮
(a, b) · (x, y) = (c, d)
5a ) Vamos agora considerar x 6= 0 e a 6= 0. Este caso se desdobra em quatro
outros, de acordo com a tabela a seguir:
a x
> 0 > 0
> 0 < 0
< 0 > 0
< 0 < 0
( i )
( ii )
( iii )
( iv )
Enta˜o,
( i ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x− b y = c
a y + b x = d
Este sistema, na forma matricial fica,(
a −b
b a
)
·
(
x
y
)
=
(
c
d
)
Cuja soluc¸a˜o e´,
x = a c+b da2+b2 , y =
a d−b c
a2+b2
54
( ii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x+ b y = c
a y − b x = d
Este sistema, na forma matricial fica,(
a b
−b a
)
·
(
x
y
)
=
(
c
d
)
Cuja soluc¸a˜o e´,
x = a c−b da2+b2 , y =
a d+b c
a2+b2
( iii ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x+ b y = c
−a y + b x = d
Este sistema, na forma matricial fica,(
a b
b −a
)
·
(
x
y
)
=
(
c
d
)
Cuja soluc¸a˜o e´,
x = a c+b da2+b2 , y =
−a d+b c
a2+b2
( iv ) Neste caso, o sistema reduz-se a:

a x− b y = c
−a y − b x = d
Este sistema, na forma matricial fica,(
a −b
−b −a
)
·
(
x
y
)
=
(
c
d
)
Cuja soluc¸a˜o e´,
x = a c−b da2+b2 , y =
−a d−b c
a2+b2
Juntando estas quatro u´ltimas possibilidades, temos:
(a, x)
x =
a c+ b d
a2 + b2
, y =
a d− b c
a2 + b2
(> 0 , > 0) (2.1)
x =
a c− b d
a2 + b2
, y =
a d+ b c
a2 + b2
(> 0 , < 0) (2.2)
x =
a c+ b d
a2 + b2
, y =
−a d+ b c
a2 + b2
(< 0 , > 0) (2.3)
x =
a c− b d
a2 + b2
, y =
−a d− b c
a2 + b2
(< 0 , < 0) (2.4)
Gentil 55
Observe que, como os produtos em C e H coincidem no semi-plano x ≥ 0, enta˜o
devem coincidir quando a ≥ 0 e x ≥ 0. Em (2.1) temos a soluc¸a˜o complexa.
Ana´lise: Estes resultados nos mostram que uma equac¸a˜o do 1o grau em H
pode ter ate´ duas soluc¸o˜es. De fato, se a > 0 podemos ter como soluc¸a˜o de nossa
equac¸a˜o (2.1) e (2.2); se a < 0 podemos ter como soluc¸a˜o de nossa equac¸a˜o (2.3)
e (2.4). Em qualquer dos casos as soluc¸o˜es sempre estara˜o em lados opostos do
eixo y.
Das soluc¸o˜es anteriores concluimos que, para a 6= 0, teremos duas ra´ızes
distintas quando a seguinte condic¸a˜o for satisfeita:
( a c+ b d > 0 ) ∧ (a c− b d < 0 ) (2.5)
Na˜o teremos duas ra´ızes distintas quando,
( a c+ b d < 0 ) ∨ (a c− b d > 0 ) (2.6)
Observe que para a c+ b d = 0 ou a c− b d = 0 o quadro da pa´g. 53 pode nos
fornecer uma soluc¸a˜o com x = 0.
Exemplos: Resolva, em H, as seguintes equac¸o˜es:
(a ) (1, 1) · (x, y) = (3, 1).
Soluc¸a˜o: Como, a c+ b d = 4 > 0 ∧ a c− b d = 2 > 0, teremos uma u´nica raiz
dada em (2.1):
x =
a c+ b d
a2 + b2
=
1 · 3 + 1 · 1
12 + 12
= 2, y =
a d− b c
a2 + b2
=
1 · 1− 1 · 3
12 + 12
= −1,
portanto, w = (2, −1).
(b ) (−1, 1) · (x, y) = (3, 1).
Soluc¸a˜o: Como, a c+ b d = −2 < 0 ∧ a c− b d = −4 < 0, teremos uma u´nica
raiz dada em (2.2):
x =
a c− b d
a2 + b2
=
−1 · 3− 1 · 1
(−1)2 + 12 = −2, y =
−a d− b c
a2 + b2
=
−(−1) · 1− 1 · 3
(−1)2 + 12 = −1
portanto, w = (−2, −1). Esta na˜o e´ a soluc¸a˜o em C. Temos,
U = H ⇒ S= { (−2, −1) }
U = C ⇒ S= { (−1, −2) }
( c ) (−1, 1) · (x, y) = (1, 2).
Soluc¸a˜o: Como, a c + b d = 1 > 0 ∧ a c − b d = −3 < 0, teremos duas ra´ızes
dadas em (2.3) e (2.4), enta˜o:
x = a c+b da2+b2 =
−1·1+1·2
(−1)2+12 =
1
2 , y =
−a d+b c
a2+b2 =
−(−1)·2+1·1
(−1)2+12 =
3
2 ,
x = a c−b da2+b2 =
−1·1−1·2
(−1)2+12 = − 32 , y = −a d−b ca2+b2 = −(−1)·2−1·1(−1)2+12 = 12 ,
56
Enta˜o:
U = H ⇒ S= { ( 12 , 32), (− 32 , 12) }
U = C ⇒ S= { ( 12 , − 32) }
Interpretac¸a˜o geome´trica
Ao propor a equac¸a˜o a ·w = b estamos procurando um nu´mero w (indutor)
que nos leve do ponto a ao ponto b. Ou ainda, um nu´mero w que nos permita,
atrave´s de uma multiplicac¸a˜o, justapor o nu´mero a ao nu´mero b. Considerando
a equac¸a˜o (−1, 1) · w = (1, 2), no sistema H temos dois caminhos para ir do
ponto (−1, 1) ao ponto (1, 2), enquanto no sistema C temos apenas um caminho,
por sinal diferente dos dois de H. As soluc¸o˜es na forma polar ficam:
U = H ⇒ S= { 1, 58 71, 57o; 1, 58 161, 57o }
U = C ⇒ S= { 1, 58 288, 43o }
Nos complexos justapomos os pontos a e b por uma rotac¸a˜o do primeiro,
no sentido anti-hora´rio, de 288, 43o como na figura a seguir:
x
y
q q q
q
q
a
b
1 2−1
1
2
x
y
q q q
q
q
a
b
1 2−1
1
2
288, 43o
- Soluc¸a˜o em C: Rotac¸a˜o positiva
Para interpretar os produtos a · w, hipercomplexos, isto e´,
a · w = 1, 41 135, 00o · 1, 58 71, 57o (2.7)
a · w = 1, 41 135, 00o · 1, 58 161, 57o (2.8)
Devemos reconsiderar a tabela,
cos θ
1
cos θ
2
+ +
+ −
− +
− −
( i )
( ii )
( iii )
( iv )
para multiplicac¸a˜o na forma trigonome´trica. Observe que cos θ
1
= cos 135o < 0,
Gentil 57
de formas que estamos situados nas linhas ( iii ) e ( iv ) da tabela. Nestes casos,
temos:
( iii ) w
1
· w
2
= ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
− θ
2
), sen (θ
1
− θ
2
) )
( iv ) w
1
· w
2
= ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
+ θ
2
), − sen (θ
1
+ θ
2
) )
A multiplicac¸a˜o em ( iii ) nos diz que o indutor dado pela soluc¸a˜o (2.7) induz
uma rotac¸a˜o de 71, 57o no sentido hora´rio, como na figura a seguir:
x
y
q q q
q
q
a
b
1 2−1
1
2
x
y
q q q
q
q
a
b
1 2−1
1
2
71, 57o
- Soluc¸a˜o em H: Rotac¸a˜o negativa
A multiplicac¸a˜o em ( iv ) nos diz que o indutor dado pela soluc¸a˜o (2.8)
induz uma rotac¸a˜o de 161, 57o no sentido anti-hora´rio, seguida de uma reflexa˜o
no eixo x, como na figura a seguir:
x
y
q q q
q
q
a
b
1 2−1
1
2
x
y
q q q
q
q
a
b
1 2−1
1
2
161, 57o
- Soluc¸a˜o em H: Rotac¸a˜o & Reflexa˜o
Vamos agora permutar os pontos a e b no problema em ( c ):
(d ) (1, 2) · (x, y) = (−1, 1).
Soluc¸a˜o: Como, a c + b d = 1 > 0 ∧ a c − b d = −3 < 0, teremos duas ra´ızes
dadas nas equac¸o˜es (2.1) e (2.2), enta˜o:
(a x)
x = a c+b da2+b2 =
1·(−1)+2·1
12+22 =
1
5 , y =
a d−b c
a2+b2 =
1·1−2·(−1)
12+22 =
3
5 ,
x = a c−b da2+b2 =
1·(−1)−2·1
12+22 = − 35 , y = a d+b ca2+b2 = 1·1+2·(−1)12+22 = − 15 ,
Neste caso, nossa equac¸a˜o do primeiro grau, possui duas soluc¸o˜es, ambas
58
diferentes da soluc¸a˜o complexa.
U = H ⇒ S= { (15 , 35), (− 35 , − 15) }
U = C ⇒ S= { (15 , 35) }
Interpretac¸a˜o geome´trica
Para voltar do ponto (1, 2) para o ponto (−1, 1) emC, novamente (e sempre),
temos apenas um caminho; em H continuamos com dois caminhos, por sinal um
deles e´ o mesmo nos dois sistemas. As soluc¸o˜es na forma polar ficam:
U = H ⇒ S= { 0, 63 71, 57o ; 0, 63 198, 43o }
U = C ⇒ S= { 0, 63 71, 57o }
Nos complexos justapomos os pontos a e b por uma rotac¸a˜o do primeiro,
no sentido anti-hora´rio, de 71, 57o como na figura a seguir:
x
y
q q q
q
q
a
b
1 2−1
1
2
x
y
q q q
q
q
a
b
1 2−1
1
2
71, 57o
- Soluc¸a˜o em C: Rotac¸a˜o positiva
Multiplicando esta soluc¸a˜o pela anterior, em C, temos
(
1
5 ,
3
5
) · ( 12 , − 32) = 1
O que mostra que estes caminhos sa˜o inversos.
Para interpretar os produtos a · w, hipercomplexos, isto e´,
a · w = 2, 24 63, 43o · 0, 63 71, 57o (2.9)
a · w = 2, 24 63, 43o · 0, 63 198, 43o (2.10)
na tabela considerada no exemplo anterior, nos situamos nas duas primeiras
linhas, porquanto cos θ1 = cos 71, 57
o > 0. Nestes casos, temos:
( i ) w
1
· w
2
= ρ
1
ρ
2
(cos(θ
1
+ θ
2
), sen (θ
1
+ θ
2
) )
( ii ) w1 · w2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 − θ2), − sen (θ1 − θ2) )
A multiplicac¸a˜o em ( i ) nos diz que o indutor dado pela soluc¸a˜o (2.9) induz
uma rotac¸a˜o de 71, 57o no sentido anti-hora´rio, como na figura a seguir:
Gentil 59x
y
q q q
q
q
a
b
1 2−1
1
2
x
y
q q q
q
q
a
b
1 2−1
1
2
71, 57o
- Soluc¸a˜o em H: Rotac¸a˜o positiva
A multiplicac¸a˜o em ( ii ) nos diz que o indutor dado pela soluc¸a˜o (2.10)
induz uma rotac¸a˜o de 198, 43o no sentido hora´rio, seguida de uma reflexa˜o no
eixo x, como na figura a seguir:
x
y
q q q
q
q
a
b
1 2−1
1
2
x
y
q q q
q
q
a
b
1 2
1
2
198, 43o
- Soluc¸a˜o em H: Rotac¸a˜o & Reflexa˜o
Vamos multiplicar as soluc¸o˜es em H:(
1
5 ,
3
5
) · ( 12 , 32) = (− 45 , 35)(
1
5 ,
3
5
) · (− 32 , 12) = (0, 1)(− 35 , − 15) · ( 12 , 32) = (− 35 , 45)(− 35 , − 15) · (− 32 , 12) = (1, 0)
Estes dois u´ltimos caminhos sa˜o inversos.
60
2.2 Radiciac¸a˜o
Definic¸a˜o 12. Dado um nu´mero hipercomplexo w, chama-se raiz ene´sima de
w, e denota-se, n
√
w, a um nu´mero hipercomplexo w
k
tal que wn
k
= w. Enta˜o,
n
√
w = w
k
⇐⇒ wn
k
= w
Exemplos: Calcular,
a)
√
1 b)
√−1 c) √j d) √1 + j e) √−1 + j f) 3√1
Soluc¸a˜o: a) Devemos resolver a seguinte equac¸a˜o,
√
1 = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = 1.
Podemos nos valer do lema 1 (pa´g. 47), assim,
w2 = (x2 − y2, 2 |x| y ) = (1, 0)
Temos, {
x2 − y2 = 1
2 |x| y = 0
Da segunda equac¸a˜o inferimos que x = 0 ou y = 0, da primeira inferimos que
x 6= 0, logo y = 0, no que resulta x = ± 1. Portanto, sa˜o em nu´mero de duas as
ra´ızes quadradas de 1:
√
1 = (1, 0) ⇒
√
1 = 1.
√
1 = (−1, 0) ⇒
√
1 = −1.
b) Por definic¸a˜o de raiz quadrada, temos
√−1 = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = −1.
Ou ainda,
w2 = (x2 − y2, 2 |x| y ) = (−1, 0)
Temos, {
x2 − y2 = −1
2 |x| y = 0
Da segunda equac¸a˜o inferimos que x = 0 ou y = 0, da primeira inferimos que
y 6= 0, logo x = 0, no que resulta y = ± 1. Portanto, sa˜o em nu´mero de duas as
ra´ızes quadradas de -1:
√−1 = (0, 1) ⇒ √−1 = j.
√−1 = (0, −1) ⇒ √−1 = −j.
c)
√
j =?. Temos, √
j = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = j.
Gentil 61
Ou ainda,
w2 = (x2 − y2, 2 |x| y ) = (0, 1)
Temos, {
x2 − y2 = 0
2 |x| y = 1
Da primeira equac¸a˜o inferimos que |x| = |y|. Este resultado na segunda equac¸a˜o
nos fornece: 2 |y| y = 1. Desta equac¸a˜o concluimos que y > 0, logo, y =
√
2
2 ;
enta˜o, x = ±
√
2
2 . Portanto,
√
j =
( √
2
2 ,
√
2
2
)
,
√
j =
( − √22 , √22 )
Nos complexos (para efeito de comparac¸a˜o) temos,
√
i =
( √
2
2 ,
√
2
2
)
,
√
i =
( − √22 , −√22 )
Em resumo, √
j = ± 1 · ( √22 , √22 ) 6= ± ( √22 , √22 ),
√
i = ± 1 · ( √22 , √22 ) = ± ( √22 , √22 )
d)
√
1 + j. Temos,√
1 + j = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = 1+ j.
− A bem da verdade vamos obter uma fo´rmula (algoritmo) para extrac¸a˜o de
ra´ızes quadradas em H, assim:√
(a, b) = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = (a, b). (2.11)
Temos, {
x2 − y2 = a
2 |x| y = b
(2.12)
Vamos resolver este sistema supondo b 6= 0 (um hipercomplexo puro); sendo
assim, da segunda equac¸a˜o concluimos que x e y sa˜o na˜o nulos. Tirando |x| na
segunda equac¸a˜o e substituindo na primeira, obtemos:
b2
4y2
− y2 = a ⇒ 4y4 + 4ay2 − b2 = 0
Fac¸amos y2 = z, para obter a equac¸a˜o auxiliar 4z2 + 4az − b2 = 0. Resolvendo
esta equac¸a˜o, obtemos:
z =
−a ± √a2 + b2
2
=


−a+√a2+b2
2 (∗)
−a−√a2+b2
2 (∗∗)
A expressa˜o (∗) e´ sempre maior ou igual a zero, de sorte que:
y2 = z ⇒ y = ±
√
−a + √a2 + b2
2
(2.13)
62
Por outro lado,
2 |x| y = b ⇒ |x| = b
2y
⇒ x = ± b
2
1
y
De sorte que, para cada valor de y dado em (2.13) temos dois valores para x
(opostos, sime´tricos). Invertendo y em (2.13) e racionalizando, obtemos:
1
y
= ±
√
2
|b| ·
√√
a2 + b2 + a
Sendo assim, as poss´ıveis ra´ızes sa˜o dadas por:

√
2
2
(
b
|b|
√√
a2 + b2 + a ,
√√
a2 + b2 − a
)
√
2
2
(
− b|b|
√√
a2 + b2 + a , −
√√
a2 + b2 − a
)
√
2
2
(
− b|b|
√√
a2 + b2 + a ,
√√
a2 + b2 − a
)
√
2
2
(
b
|b|
√√
a2 + b2 + a , −
√√
a2 + b2 − a
)
(2.14)
Nota: Nem sempre os quatro nu´meros acima sa˜o ra´ızes quadradas de (a, b),
precisamos substituir em (2.11) para decidir.
Por exemplo,
√
1 + j = ±1 ·
√
2
2
(√√
2 + 1,
√√
2− 1 ) 6= ± √22 (√√2 + 1, √√2− 1 )
Para efeito de comparac¸a˜o, temos:
√
1 + i = ±1 ·
√
2
2
(√√
2 + 1,
√√
2− 1 ) = ± √22 (√√2 + 1, √√2− 1 )
Temos ainda,
√
j = ±1 · ( √22 , √22 ) 6= ± ( √22 , √22 )
Para efeito de comparac¸a˜o, temos:
√
i = ±1 · ( √22 , √22 ) = ± ( √22 , √22 )
Vejamos quando a segunda equac¸a˜o em (2.14) e´ uma raiz quadrada de (a, b).
Seja:
x =
√
2
2
−b
|b|
√√
a2 + b2 + a
y =
−√2
2
√√
a2 + b2 − a
x e y devem satisfazer as duas equac¸o˜es em (2.12), por exemplo,
2|x|y = 2
∣∣∣∣∣
√
2
2
−b
|b|
√√
a2 + b2 + a
∣∣∣∣∣ · −
√
2
2
√√
a2 + b2 − a
= −
√√
a2 + b2 + a ·
√√
a2 + b2 − a = −|b|
Gentil 63
A primeira equac¸a˜o, em (2.12), e´ satisfeita (exerc´ıcio); donde concluimos que a
segunda equac¸a˜o em (2.14) e´ uma raiz quadrada de (a, b) quando |b| = −b, isto
e´, quando b < 0.
O´bviamente que a mesma conclusa˜o vale para a u´ltima equac¸a˜o em (2.14).
Uma ana´lise semelhante vale para a primeira e terceira equac¸o˜es em (2.14),
de sorte que podemos escrever:
√
(a, b) =


± 1 ·
√
2
2
(√√
a2 + b2 + a ,
√√
a2 + b2 − a
)
, se b > 0;
± 1 ·
√
2
2
(√√
a2 + b2 + a , −
√√
a2 + b2 − a
)
, se b < 0.
Ra´ızes quadradas nos Complexos
Vamos deduzir uma fo´rmula para extrac¸a˜o de raizes quadradas nos com-
plexos. Temos: √
(a, b) = (x, y) = w ⇔ (x, y)2 = (a, b). (2.15)
Sendo (x, y)2 = (x2 − y2, 2xy), devemos resolver o seguinte sistema:{
x2 − y2 = a
2 x y = b
(2.16)
Vamos resolver este sistema supondo b 6= 0 (um complexo puro); sendo assim,
da segunda equac¸a˜o concluimos que x e y sa˜o na˜o nulos. Tirando x na segunda
equac¸a˜o e substituindo na primeira, como antes, obtemos:
y = ±
√
−a + √a2 + b2
2
= ±
√
2
2
√√
a2 + b2 − a (2.17)
Por outro lado,
2 x y = b ⇒ x = b
2y
∴ x =
b
2
1
y
Invertendo y em (2.17) e racionalizando, obtemos:
1
y
= ±
√
2
|b| ·
√√
a2 + b2 + a
Sendo assim, as duas ra´ızes sa˜o dadas por:

√
2
2
(
b
|b|
√√
a2 + b2 + a ,
√√
a2 + b2 − a
)
√
2
2
(
− b|b|
√√
a2 + b2 + a , −
√√
a2 + b2 − a
)
Ou ainda:
√
(a, b) =


± 1 ·
√
2
2
(√√
a2 + b2 + a ,
√√
a2 + b2 − a
)
, se b > 0;
± 1 ·
√
2
2
(
−
√√
a2 + b2 + a ,
√√
a2 + b2 − a
)
, se b < 0.
64
2.3 Func¸o˜es Transcendentes
Podemos definir algumas das func¸o˜es complexas no contexto dos hipercom-
plexos.
2.3.1 Fo´rmula de Euler
Consideremos a fo´rmula de Euler,
eix = cosx+ i senx
No contexto dos hipercomplexos definimos,
ejx = cosx+ j senx (2.18)
Vejamos em que uma fo´rmula se diferencia da outra. A primeira pode ser
vista como uma func¸a˜o de R em C, a segunda de R em H. Por exemplo, a func¸a˜o
de Euler (complexa) transforma o intervalo [ 0, 2pi ] no c´ırculo unita´rio, enquanto
que a func¸a˜o dada por (2.18) transforma este mesmo intervalo no semi-c´ırculo
(unita´rio) superior ( 2× ), assim:
¬ ¬ ¬
0 pi2 pi
3pi
2
2pi
eix
C
−1 1
−1
1
¬ ¬ ¬
0 pi2 pi
3pi
2
2pi
ejx
H
−1 1
1
Observe que,
ejx = cosx+ j senx = cosx+ j | senx|
Porquanto,
j senx = senx · j = senx · (0, 1) = ( senx · 0, | senx| · 1)
= | senx| · (0, 1) = j | senx|
Logo,
ejx = cosx+ j senx = ej(−x)
Ainda:
e−jx = cosx− j senx
2.3.2 Func¸o˜es trigonome´tricas com argumentos hipercomplexos
Definimos,
cosw = e
j w + e−j w
2 , senw =
ej w − e−j w
2 j ,
Gentil 65
Hiperfractais
No que concerne as aplicac¸o˜es, os nu´meros complexos invadiram tambe´m as
Artesatrave´s dos fractais, tais como os a seguir
Um tema a ser explorado (deixamos aqui a sugesta˜o): os hiperfractais, que sa˜o
os fractais gerados no contexto dos hipercomplexos, ao inve´s dos complexos.
Programa para multiplicar dois hipercomplexos: (a, b) · (c, d)
Nota: Para a famı´lia de calculadoras HP − 48, 49, 50, . . .
≪ → a b c d
≪ IF pa ∗ c ≥ 0 p
THEN pa ∗ c− b ∗ d p EVAL
pABS(a) ∗ d+ b ∗ABS(c) p EVAL
R→C
ELSE pa ∗ c+ b ∗ d p EVAL
pABS(a) ∗ d+ b ∗ABS(c) p EVAL
R→C
END
≫
≫
66
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] Ubaldi, Pietro. As Nou´res: Te´cnica e recepc¸a˜o das correntes de pensamento.
Traduc¸a˜o de Clo´vis Tavares. 4. ed. Rio de Janeiro: FUNDA´PU, 1988.
[2] Fundamentos de matema´tica elementar (por) Gelson Iezzi (e outros). Sa˜o
Paulo, Atual Ed., 1977- v.6
[3] Boyer, Carl Benjamin. Histo´ria da Matema´tica. Sa˜o Paulo - Edgar Blu¨cher,
1974.
[4] Newton C. A. da Costa. Ensaio sobre os fundamentos da lo´gica. Sa˜o Paulo:
HUCITEC: Ed. da Universidade de Sa˜o Paulo, 1980.
[5] Silva, Gentil Lopes. Palestra: 0, 999 . . . = 1 ? www.dmat.ufrr.br/gentil, 2008.
[6] Carmo, Manfredo Perdiga˜o do, et all., Trigonometria/Nu´meros complexos.
Rio de Janeiro − IMPA/VITAE, 1992.
[7] Silva, Gentil Lopes. Sobre as va´rias definic¸o˜es de nu´meros Complexos
www.dmat.ufrr.br/gentil, 2009.
[8] Silva, Gentil Lopes. Nu´meros Hipercomplexos− 3D(Uma Nova General-
izac¸a˜o dos Nu´meros Complexos
www.dmat.ufrr.br/gentil, 2007.
67