CEUE2016 MATEMATICA Modulo III

Prévia do material em texto

MÓDULO III 
 
 
 
 
 
𝑴 = [
𝑨 𝑻 𝑬
𝑴 𝑨 𝑻
𝑰 𝑪 𝑨
] 
 
Professores: 
Edgard Kretschmann 
Vinícius Fernandes Moretti 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2016 
MÓDULO III 2 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. A massa de Newton é de 80kg, enquanto a de Gauss é de 60kg. Sendo assim, a razão entre a massa de 
Newton e Gauss é: 
 
 
 
 
2. No concurso vestibular da UFRGS, o número de candidatos para o curso de Medicina em 2015 era de 
7742, e havia 98 vagas. A razão entre o número de candidatos e o número de vagas no curso de medicina 
na UFRGS em 2015 era de: 
 
 
 
 
3. O preço de 80m² em Porto Alegre é de R$416.000,00, assim o metro quadrado custa: 
 
 
 
 
4. Um carro leva 3 horas para ir de uma cidade A para uma cidade B, cuja distância é de 252km: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Razão – é a relação entre dois termos a e b, dada pela divisão entre eles. 
𝑎
𝑏
 
 
 
Proporção – É a igualdade entre duas razões 
𝑎
𝑏
= 
𝑐
𝑑
 
Diz-se que a está para b, assim como c está para d. 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 3 
 
Exemplos: 
1. Encontre o valor para x, sabendo que 7 está para 9, assim como 12 está para x. 
 
 
 
 
2. Se uma cana-de-açúcar produz 70 litros de álcool, quantas canas são necessárias para produzir 12 bilhões 
de litros de álcool. 
 
 
 
 
3. Um metal de 5kg ocupa um espaço de 40 litros, se esse mesmo metal ocupar um espaço de 32 litros, a 
massa dele será: 
 
 
 
 
4. Uma estrada de 315 km foi asfaltada por 3 equipes, A, B e C, cada uma delas atuando, respectivamente, 
em um trecho proporcional a 2, 3 e 4. Quantos quilômetros ficaram responsáveis pela equipe A, B e C. 
 
 
 
 
5. Se 25 balas custam R$ 7,50, então o custo de 85 balas é: 
 
 
 
 
6. Se em 12 meses uma empreiteira constrói 6 andares, em quanto tempo será construído 30 andares. 
 
 
 
7. Se 15 homens executam um trabalho em 12 horas, quantas horas levarão 10 homens para executar o 
mesmo serviço. 
 
 
 
 
8. Se um trem com velocidade média de 300 km/h leva 4 horas para fazer um percurso. Em quanto tempo 
faria esse mesmo percurso se a velocidade média fosse de 400 km/h. 
 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 4 
 
PORCENTAGEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. O valor de 15% de 80 é: 
 
 
 
 
2. Os ¾ de 20% de 600 são: 
 
 
 
 
3. Calculando 5% de 20% de 20.000, obtemos: 
 
 
 
 
4. Em uma sala de aula existem 50 pessoas. Se apenas dez dessas são homens, qual o percentual de ho-
mens presentes na aula. 
 
 
 
 
5. Uma loja faz um desconto de 15% caso o cliente faça compras a vista. Se um produto está anunciado por 
R$120,00, quanto o cliente pagará quanto. 
 
 
 
 
6. Numa compra paga a vista, o valor é R$60,00. Se o cliente preferir pagar em 30 dias, com um acréscimo 
de 5%. Optando pelo pagamento a prazo, qual o valor pago pelo cliente. 
 
 
 
7. (ENEM) A eficiência de anúncios num painel eletrônico localizado em uma certa avenida movimentada 
foi avaliada por uma empresa. Os resultados mostraram que, em média: 
- passam, por dia, 30.000 motoristas em frente ao painel eletrônico; 
Porcentagem – Indica uma proporção/razão de uma certa 
quantidade, onde o denominador vale 100. 
x % = 
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 5 
 
- 40% dos motoristas que passam observam o painel; 
- um mesmo motorista passa três vezes por semana pelo local. 
Segundo os dados acima, se um anúncio de um produto ficar exposto durante sete dias nesse painel, é es-
perado que o número mínimo de motoristas diferentes que terão observado o painel seja: 
a) 15000 
b) 28000 
c) 42000 
d) 71000 
e) 84000 
 
8. (ENEM) O tabagismo (vício do fumo) é responsável por uma grande quantidade de doenças e mortes 
prematuras na atualidade. O Instituto Nacional do Câncer divulgou que 90% dos casos diagnosticados de 
câncer de pulmão e 80% dos casos diagnosticados de enfisema pulmonar estão associados ao consumo de 
tabaco. Paralelamente, foram mostrados os resultados de uma pesquisa realizada em um grupo de 2000 
pessoas com doenças de pulmão, das quais 1500 são casos diagnosticados de câncer, e 500 são casos diag-
nosticados de enfisema. 
Com base nessas informações, pode-se estimar que o número de fumantes desse grupo de 2000 pessoas é, 
aproximadamente, 
a) 740 
b) 1100 
c) 1310 
d) 1620 
e) 1750 
 
Gabarito: 7-b;8-e 
QUESTÕES - RAZÃO/PROPORÇÃO/PORCENTAGEM 
 
1. Uma mercadoria que custa R reais sofre um 
desconto de 60%. Um aumento de 60% sobre o 
novo preço fará a mercadoria ficar custando em 
reais: 
a) 0,36R 
b) 0,40R 
c) 0,60R 
d) 0,64R 
e) R 
 
2. O preço de venda de um bem de consumo é 
R$100,00. O comerciante tem um ganho 25% so-
bre o preço de custo desse bem. O valor do preço 
de custo é: 
a) R$25,00 
b) R$70,50 
c) R$75,00 
d) R$80,00 
e) R$125,00 
 
3. Considere as proposições abaixo. 
I. 125% de 1/5 é igual a ¼. 
II. Se 
1
𝑎
+
1
𝑏
=
1
4
 , então a=b=4. 
III. 20 metros por segundo correspondem a 72 
quilômetros por hora. 
 
Analisando as proposições, conclui-se que 
a) Apenas I é correta. 
b) Apenas I e II são corretas. 
c) Apenas I e III são corretas. 
d) Apenas II e III são corretas. 
e) I, II e III são corretas. 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 6 
 
4. Considerando uma taxa mensal constante de 
10% de inflação, o aumento de preços em 2 meses 
será de 
a) 2% 
b) 4% 
c) 20% 
d) 21% 
e) 121% 
 
5. Entre 10 de fevereiro e 10 de novembro, o pre-
ço do quilograma de mercadorias num determi-
nado “sacolão” sofreu um aumento de 275%. Se o 
preço do quilograma em 10 de novembro era R$ 
67,50, qual era o preço em 10 de fevereiro. 
a) R$19,00 
b) R$18,00 
c) R$18,50 
d) R$19,50 
e) R$17,00 
 
6. Se um entre cada 320 habitantes de uma cidade 
é engenheiro, então a porcentagem de engenhei-
ros nessa cidade é dada por: 
a) 0,32% 
b) 3,2% 
c) 0,3215% 
d) 0,3125% 
e) 3,125% 
 
7. Um apartamento está alugado por R$1.500,00. 
Este aluguel sofrerá um reajuste anual de 
R$520,00. A porcentagem de variação do aluguel 
depois de 1 ano do primeiro reajuste é: 
a) 74,2% 
b) 25,7% 
c) 14,7% 
d) 59,0% 
e) 12,8% 
 
8. De cada 100 pessoas com suspeita de dengue 
atendidas no hospital, 60% eram homens. Saben-
do-se que, para ambos os sexos, o número de 
casos confirmados era igual, e que apenas 30% 
das mulheres estavam infectadas, o percentual de 
homens infectados por essa doença era: 
a) 18% 
b) 20% 
c) 24% 
d) 40% 
e) 50% 
 
9. Em três bimestres consecutivos, um indivíduo 
obteve reajustes salariais de 20% por bimestre. 
Seu aumento acumulado no semestre foi de: 
a) 60% 
b) 68,4% 
c) 72,8% 
d) 78,2% 
e) 81,4% 
 
Gabarito 
1 – d 
2 – d 
3 – e 
4 – d 
5 – b 
6 – d 
7 – b 
8 – b 
9 – c 
 
QUESTÕES UFRGS 
1. Se num determinado período o dólar sofrer uma alta de 
100% em relação ao real, no mesmo período o real, em 
relação ao dólar, sofrerá uma: 
a) queda de %. 
b) alta de %. 
c) queda de 50%. 
d) queda de 100%. 
e) queda de 200%. 
 
2. Se num paralelepípedo o comprimento é reduzido em 
10%, alargura é reduzida em 5% e a altura é aumentada 
em 15%, então o volume: 
a) não se altera. 
b) aumenta em 0,75%. 
c) se reduz em 0,75%. 
d) aumenta em 1,675%. 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 7 
 
e) se reduz em 1,675%. 
3. No quadro abaixo foram publicadas na edição 1815 da 
revista Veja, de 13 de agosto de 2003. 
As informações do O Brasil 
tem uma 
dívida de 
Os Estados Unidos têm 
uma dívida de 
285 bilhões de dólares e 
paga 
6,7 trilhões de dólares e 
pagam 
50 bilhões de dólares de 
juros por ano. 
70 bilhões de dólares de 
juros por ano. 
Segundo as 
Com as informações do quadro, comparando as taxas de 
juros anuais pagas pelo Brasil e pelos Estados Unidos, 
conclui-se que a taxa de juros anuais brasileira é: 
a) menor que a americana. 
b) igual à americana. 
c) o dobro da americana. 
d) inferior à americana multiplicada por 5. 
e) superior à americana multiplicada por 10. 
 
4. O salário bruto de uma pessoa sofre um desconto de 
25%. Com um novo desconto de 11% sobre do seu 
salário bruto, o total de descontos sobre o salário bruto 
será de: 
a) 21,6% 
b) 26,4% 
c) 31,6% 
d) 33,3% 
e) 36,3% 
 
5. O gráfico abaixo representa o valor de um dólar em 
reais em diferentes datas do ano de 2003. 
 
A partir desses dados, pode-se afirmar que, no primeiro 
semestre de 2003, o real, em relação ao dólar, 
a) desvalorizou 0,661. 
b) desvalorizou mais de 10% 
c) manteve seu valor. 
d) valorizou menos de 10%. 
X e) valorizou mais de 20%. 
 
6. A tabela abaixo apresenta o cálculo do custo da violên-
cia, feito pela Organização Mundial de Saúde. 
 
 Custo da violência 
Estados Unidos 3,3% do PIB 
Europa 5% do PIB 
Brasil 10,5% do PIB 
América Latina 13% do PIB 
África 14% do PIB 
OMS. The economic dimensions of interpersonal violence. jul. 2004. 
 
 
a) 100% 
b) 130% 
c) 160% 
d) 200% 
e) 260%. 
 
7. Uma pessoa gastava, em julho de 1994, apenas 100 
reais para comprar o que, em julho de 2004, custava 270 
reais. De acordo com essa informação, o percentual mais 
próximo da perda do poder de compra do real nesse perí-
odo de 10 anos é o da alternativa: 
a) 37% 
b) 63% 
c) 80% 
d) 170% 
e) 270%. 
 
8. Para pagar uma dívida de x reais no seu cartão de 
crédito, uma pessoa, após um mês, passará a fazer pa-
gamentos mensais de 20% sobre o saldo devedor. Antes 
de cada pagamento, serão lançados juros de 10% sobre o 
saldo devedor. Efetuados 12 pagamentos, a dívida, em 
reais, será: 
a) zero. 
b) 
c) . 
d) . 
e) . 
 
9. Supondo-se que o número de vagas de um curso em 
um concurso vestibular aumentou 25% e que o número de 
candidatos aumentou 35%, o número de candidatos por 
vaga para esse curso aumentou: 
a) 8% 
b) 9% 
c) 10% 
d) 11% 
e) 12%. 
 
10. No Brasil, o número de cursos superiores via internet 
tem crescido nos últimos anos, conforme mostra o gráfico 
abaixo. 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 8 
 
 
Desde 2001, quando foram autorizados pelo governo, até 
2004, o percentual de aumento desses cursos foi de: 
a) 6% 
b) 7% 
c) 70% 
d) 600% 
e) 700%. 
 
11. A tabela abaixo apresenta valores da dívida externa 
brasileira e a razão entre essa dívida e o PIB (Produto 
Interno Bruto). 
 Em 2002 Em 2005 
Dívida externa 
160 bilhões 
de dólares 
130 bilhões de dólares 
Dívida externa / PIB 31,9% 20% 
 
Dados publicados em Veja, 3 ago. 2005. 
De acordo com esses dados, é possível concluir que o PIB: 
a) decresceu mais de 12% 
b) decresceu menos de 12% 
c) não se altertou 
d) cresceu menos de 30% 
e) cresceu mais de 30%. 
 
12. O proprietário de um carro bicombustível verificou que 
percorria a mesma distância gastando 60 litros de álcool 
ou 42 litros de gasolina. Concluiu, então, que só seria 
vantajoso abastecer o veículo com gasolina quando a 
razão entre o preço do litro do álcool e o preço do litro da 
gasolina fosse: 
a) menor que 0,4. 
b) maior que 0,4 e menor que 0,5. 
c) maior que 0,5 e menor que 0,6. 
d) maior que 0,6 e menor que 0,7. 
e) maior que 0,7. 
 
 
 
13. Em 2006, segundo notícias veiculadas na imprensa, a 
dívida interna brasileira superou um trilhão de reais. Em 
notas de R$50,00, um trilhão de reais tem massa de 
20.000 toneladas. 
Com base nessas informações, pode-se afirmar correta-
mente que a quantidade de notas de R$50,00 necessárias 
para pagar um carro de R$24.000,00 tem massa, em 
quilogramas, de: 
a) 0,46 
b) 0,48 
c) 0,50 
d) 0,52 
e) 0,54 
 
14. Consideremos a renda per capita de um país como a 
razão entre o Produto Interno Bruto (PIB) e sua popula-
ção. Em 2004, a razão entre o PIB da China e o do Brasil, 
nesta ordem, era 2,8; e a razão entre suas populações, 
também nesta ordem, era 7. 
Com base nessas informações, pode-se afirmar correta-
mente que, em 2004, a renda per capita do Brasil superou 
a da China em: 
a) menos de 50% 
b) exatamente 50% 
c) exatamente 100% 
d) exatamente 150% 
e) mais de 150%. 
 
15. O custo de uma embalagem é diretamente proporcio-
nal à superfície do sólido que se deseja embalar. Se o 
custo para embalar um cubo de 40 cm de aresta é 
R$10,00, a embalagem de um cubo de 80 cm de aresta 
custa, em reais, 
a) 15 
b) 20 
c) 25 
d) 40 
e) 80 
 
16. Em março de 2007, o menor preço oferecido por uma 
companhia telefônica para uma ligação do Brasil para os 
Estados Unidos era de R$0,95 o minuto. O mesmo serviço 
pela internet custava R$0,05 o minuto e mais R$0,10 da 
taxa de conexão da chamada. Em ambas as situações, o 
preço por segundo correspondia a do preço por 
minuto. 
Nessas condições, para que uma ligação telefônica, do 
Brasil para os Estados Unidos, tivesse um custo menor via 
companhia telefônica do que via internet, a duração dessa 
ligação deveria ser, em número inteiro de segundos, no 
máximo, de: 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 9 
 
17. A tabela abaixo, veiculada na imprensa local em 
19/08/2007, apresenta os principais destinos das exporta-
ções gaúchas entre janeiro e julho de 2007. Para cada 
destino, a tabela apresenta o valor das exportações, em 
milhões de reais; sua variação em relação ao período de 
janeiro a julho de 2006; e o percentual de participação no 
total de exportações gaúchas. 
 
Com base nos dados da tabela, considere as seguintes 
afirmações. 
I - Entre janeiro e julho de 2007, o valor das exporta-
ções gaúchas ficou entre 7,6 bilhões e 8,6 bilhões de 
reais. 
II - Os números da primeira e da terceira colunas são 
valores aproximados de grandezas diretamente 
proporcionais. 
III - De janeiro a julho de 2006, o valor das exportações 
gaúchas para a China foi de 317 milhões de reais. 
Quais estão corretas? 
a) Apenas I 
b) Apenas III 
c) Apenas I e II 
d) Apenas I e III 
e) I, II e III. 
 
18. Em grande parte das operações bancárias, é pago um 
imposto chamado Contribuição Provisória sobre Movimen-
tação Financeira (CPMF). 
Os gráficos abaixo referem-se à arrecadação da CPMF e ao 
seu percentual sobre o Produto Interno Bruto (PIB). 
 
De acordo com as informações desses gráficos, a estima-
tiva para o PIB brasileiro, em 2007, em trilhões de reais, 
está entre 
a) 1,1 e 2 
b) 2,1 e 3 
c) 3,1 e 4 
d) 4,1 e 5 
e) 5,1 e 6 
 
19. O Estádio Nacional de Pequim, construído para a reali-
zação dos Jogos Olímpicos de 2008, teve um custo de 500 
milhões de dólares, o que representa 1,25% do investi-
mento total feito pelo país anfitrião para as Olimpíadasde 
2008. Portanto, o investimento total da China foi, em 
dólares, de: 
 
a) 4.106. 
b) 4.107. 
c) 4.108. 
d) 4.109. 
e) 4.1010. 
 
20. O gráfico, publicado na edição de 30.07.2008 da revis-
ta Veja, mostra as taxas de fecundidade no Brasil e na sua 
população urbana e rural, nos anos de 1996 e 2006. 
 
a) 7% 
b) 15% 
c) 18% 
d) 28% 
e) 33%. 
 
21. O gráfico abaixo apresenta a distribuição em ouro, 
prata e bronze das 90 medalhas obtidas pelo Brasil em 
olimpíadas mundiais desde as Olimpíadas de Atenas de 
1896 até as de 2004. 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 10 
 
Considerando-se que o ângulo central do setor circular 
que representa o número de medalhas de prata mede 
96°, o número de medalhas desse tipo recebidas pelo 
Brasil em olimpíadas mundiais, nesse período de tempo, 
é: 
a) 22 
b) 24 
c) 26 
d) 28 
e) 30 
 
22. Na conta de energia elétrica de agosto de 2008, um 
consumidor recebeu o gráfico abaixo, onde ele verificou 
que seu consumo mensal médio nos oito primeiros meses 
do ano fora de 190 kWh. 
 
Se, com base nesses oito meses, esse consumidor quiser 
reduzir exatamente em 10% o consumo mensal médio de 
energia elétrica de 2008, ele deverá gastar mensalmente, 
nos quatro últimos meses desse ano, em média, 
a) 100 
b) 133 
c) 166 
d) 200 
e) 250 
 
 
Gabarito 
1 – c 
2 – e 
3 – e 
4 – c 
5 – e 
6 – c 
7 – b 
8 – c 
9 – a 
10 – d 
11 – d 
12 – e 
13 – b 
14 – d 
15 – d 
16 – a 
17 – c 
18 – b 
19 – e 
20 – d 
21 – b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 11 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1.Determinar o valor de x para que a sequência (21, 32, x) seja uma P.A. 
 
 
 
 
2. Se numa P.A. de razão 4, o quinto termo é 97, então qual a ordem do termo que é igual a 141. 
 
 
 
 
3. Calcule o décimo quinto termo da P.A. cujo primeiro termo é 5 e o terceiro 11. 
 
 
 
 
4. Quantos múltiplos de 7 estão entre 50 e 1000. 
 
 
 
 
 
(a1, a2, a3, ..., an) 
an = a1 + r.(n-1) 
ou 
an = am + r.(n-m) 
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... 
onde: 
n => n-ésimo termo 
m => m-ésimo termo 
r => razão da P.A. 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. Na P.A. (7 – x, 𝑥 2⁄ , 3x-15,...), o valor da razão é: 
 
 
 
 
2. Na P.A. o primeiro, o quarto e o sétimo termos são, respectivamente, 2x, x+7 e 4x – 2. Sabendo disso, o 
oitavo termo vale: 
 
 
 
 
3. Os ângulos internos de um triângulo formam uma P.A., quais são os ângulos desse triângulo. 
 
 
 
 
4. Sejam x, y e z tais que a sequência (x, 1, y, 
1
4
 , z) é uma P.A., Sendo assim a soma x+y+z é igual a: 
 
 
 
 
5. Se o oitavo termo de uma P.A. vale 10 e o sétimo vale 8, então a soma do quinto e do décimo termos 
valem: 
 
 
 
 
Propriedades da P.A. 
 A média entre dois termos de uma P.A. é o termo cen-
tral. 
o Ex1.: 
𝒂𝟔 + 𝒂𝟒 
𝟐
 = a5 
o Ex2.: 
𝒂𝟖 + 𝒂𝟐 
𝟐
 = a5 
 Se n + m = p + q, então an + am = ap + aq. 
o Ex.: a6 + a4 = a8 + a2 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 13 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. A soma dos trinta primeiros termos da P.A. (3, 7, 11, ...) é: 
 
 
 
 
2. Em uma progressão aritmética, o termo geral é 4n+1. A soma dos dez primeiros termos é: 
 
 
 
 
3. O resultado 2².2³.24.25. ... .246 vale: 
a) 552 
b) 226 
c) 2552 
d)1104 
e) 2113 
 
4. No Theatro São Pedro, em um certo show, para comprar um ingresso com uma poltrona na 
primeira fileira custa R$ 3,00; na segunda fileira custa R$ 9,00; na terceira R$ 18,00; na quarta R$ 
30,00; e assim por diante. Então, para esse show, quanto custará um ingresso para a vigésima filei-
ra. 
 
 
 
 
 
5. O salário do professor Moretti é pago da seguinte maneira: no primeiro dia do mês ele recebe 
R$0,02; no segundo dia do mês R$0,06; no terceiro R$0,12; e assim por diante. Com base nesses 
dados, o salário mensal do professor é: 
 
 
 
 
 
Soma de n termos de uma P.A. 
Sn = 
𝒂𝟏+𝒂𝒏
𝟐
. 𝒏 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 14 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. Obtenha a razão de uma progressão geométrica se inserirmos (interpolarmos) 5 meios geomé-
tricos entre 3 e 192. 
 
 
 
 
2. Sendo a P.G. (1/9, 1/3, 1, ...) calcule o sétimo termo. 
 
 
 
 
3. Se o quinto termo de uma P.G. é 7 e o sétimo termo é 14, calcule a razão. 
 
 
 
 
4. Nas sequências A (3, 6, 12, 24, 48, 96) e B (4, 7, 10, 13, 16, 19), aponte qual sequência tem mai-
or razão. 
 
 
 
(a1, a2, a3, ..., an) 
an = a1.q(n-1) 
ou 
an = am.q(n-m) 
q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... 
onde: 
n => n-ésimo termo 
m => m-ésimo termo 
q => razão da P.G. 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. Na P.G. cujos três primeiros termos são x-10, 15, 3x a razão positiva é: 
 
 
 
 
2. Se os números 1,5; a; b formam, nessa ordem, uma P.A. e os números 2, a, b formam, nessa ordem, uma 
P.G., calcule quanto vale a e b. 
 
 
 
 
3. Numa P.G. o segundo termo vale 2/3 e o sexto vale 16/81; O produto entre o terceiro termo e o quinto 
termo dessa P.G. é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades da P.G. 
 O produto entre dois termos de uma P.G. é o 
quadrado do termo central. 
o Ex1.: a6 x a4 = a52 
o Ex2.: a8 x a2 = a52 
 Se n + m = p + q, então an x am = ap x aq. 
o Ex.: a6 x a4 = a8 x a2 
 
Soma de n termos de uma P.G. 
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏.
𝒒𝒏 − 𝟏
𝒒 − 𝟏
 
Soma de infinitos termos de uma P.G. 
(apenas quando 0<q<1) 
𝑺∞ =
𝒂𝟏
𝟏 − 𝒒
 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 16 
 
Exemplos: 
1. A soma dos oito primeiros termos da P.G. (1/8; 1/4; ...) é: 
 
 
 
 
2. A soma de infinitos termos da P.G. (1/8; 1/4; ...) é: 
 
 
 
 
3. O valor de x da equação 10 = x + x/2 + x/4 + ... é: 
 
 
 
 
4. A dívida de uma pessoa dobra a cada três meses. Se a dívida está acumulada, hoje, em 1200 reais, há seis 
meses a dívida era de: 
 
 
 
 
5. Os três lados de um triângulo estão em P.G., se o menor lado mede 6 m, e a razão da P.G. é 4, qual é o 
perímetro desse triângulo. 
 
 
 
 
6. O salário do professor Edgard é pago da seguinte maneira: No primeiro dia do mês, ele recebe R$ 0,01; 
no segundo dia R$ 0,03; no terceiro R$ 0,07; assim por diante, até o décimo dia do mês, quando ele já re-
cebeu todo o seu salário. Quanto o sor Edgard recebe no mês. 
 
 
 
 
7. Qual o valor de x na equação 2 = 2/x + 4/x² + 8/x³ + ... 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 17 
 
QUESTÕES UFRGS - PROGRESSÕES 
1*. A figura abaixo representa a estrutura de madeira que 
apoia o telhado de um pavilhão. A altura do pilar EE' é de 
y metros. A distância entre dois pilares consecutivos 
quaisquer é de x metros, assim como a distância da base 
do pilar BB' ao ponto A. 
 
Então, a seqüência das alturas dos pilares BB´, CC´ e DD' 
forma uma progressão: 
a)aritmética de razão . 
X b) aritmética de razão . 
c) aritmética de razão . 
d) geométrica de razão . 
e) geométrica de razão . 
 
2. Se f(x) = –3( )x e g(x) = – 3x, então as seqüên-
cias f(1), f(2), f(3),... e g(1), g(2), g(3),... formam: 
X a) respectivamente, uma progressão geométrica de 
razão e uma progressão aritmética de razão – 3. 
b) respectivamente, uma progressão aritmética de ra-
zão e uma progressão geométrica de razão – 3. 
c) respectivamente, uma progressão geométrica de razão 
– 3 e uma progressão aritmética de razão . 
d) ambas, progressões aritméticas de razão – 3. 
e) ambas, progressões geométricas de razão . 
 
 
 
3. Considere a disposição de números abaixo. 
 
O primeiro elemento da quadragésima linha é 
a) 777 
b) 778 
c) 779 
d) 780 
x e) 781 
 
4*. Na figura abaixo, os círculos que se interceptam são 
tangentes, e as duas retas são tangentes a todos os círcu-
los. Sabendo que a área do disco menor é 6 m2 e a do 
maior é 24 m2, conclui-se que a área do outro disco, em 
m², é 
 
 
a) 8 
b) 10 
c) 11 
x d) 12 
e) 15 
 
5. Considere os triângulos I, II e III caracterizados abaixo 
através das medidas de seus lados. 
- triângulo I: 9, 12 e 15. 
- triângulo II: 5, 12 e 13. 
- triângulo III: 5, 7 e 9. 
Quais são triângulos retângulos com as medidas dos lados 
em progressão aritmética? 
X a) Apenas I 
b) Apenas II 
c) Apenas III 
d) Apenas I e III 
e) Apenas II e III 
 
 
6. Considere os segmentos representados na figura abai-
xo. 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 18 
 
 
Seguindo o mesmo padrão de construção, a soma dos 
comprimentos dos segmentos da quinta linha é 
a) . 
b) . 
X c) . 
d) . 
e) . 
 
7. Considere o enunciado abaixo, que descreve etapas de 
uma construção. 
Na primeira etapa, toma-se um quadrado de lado 1. Na 
segunda, justapõe-se um novo quadrado de lado 1 adja-
cente a cada lado do quadrado inicial. Em cada nova eta-
pa, justapõem-se novos quadrados de lado 1 ao longo de 
todo o bordo da figura obtida na etapa anterior, como está 
representado abaixo. 
 
Seguindo esse padrão de construção, pode-se afirmar que 
o número de quadrados de lado 1 na vigésima etapa é: 
a) 758 
b) 759 
c) 760 
x d) 761 
e) 762 
 
8*. Considere que a espiral representada na figura abaixo 
é formada por oito semicírculos cujos centros são colinea-
res. O primeiro semicírculo tem diâmetro 8 e, para cada 
um dos demais semicírculos, o diâmetro é a metade do 
diâmetro do semicírculo anterior. 
 
O comprimento dessa espiral é: 
a) . 
b) . 
c) . 
X d) . 
e) 
 
9. Numa progressão aritmética de razão , o primeiro, o 
sétimo e o décimo nono termo formam, nesta ordem, uma 
progressão geométrica cuja soma dos termos é: 
a) 17 
b) 18 
c) 19 
d) 20 
x e) 21 
 
10. Sobre uma superfície plana são dispostos palitos for-
mando figuras, como mostrado abaixo. 
Contando os palitos de cada uma dessas figuras e deno-
tando por o número de palitos da n-ésima figura, 
encontra-se 
a1 = 3, a2 = 9, a3 = 18, ... 
Então, é igual a: 
X a) 15150 
b) 15300 
c) 15430 
d) 15480 
e) 15510 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 19 
 
11. Uma seqüência de pontos foi tomada sobre o gráfico 
da função exponencial de base a, como indica a figura 
abaixo. 
 
Considerando-se que as abscissas dos pontos da seqüên-
cia estão em progressão aritmética crescente, suas orde-
nadas estão em progressão: 
a) aritmética de razão a. 
b) aritmética de razão . 
c) geométrica de razão . 
d) geométrica de razão . 
X e) geométrica de razão . 
 
12. Numa seqüência de quadrados, o primeiro tem lado 
igual a 1, e o lado de cada um dos seguintes é igual à 
diagonal do quadrado anterior. 
A soma das áreas dos dez primeiros quadrados dessa 
seqüência é: 
X a) 1023 
b) 1024 
c) 2047 
d) 2048 
e) 4096 
 
13. Observe a figura abaixo, onde o ponto inicial da poli-
gonal representada é a origem do sistema de coordena-
das. Os comprimentos dos lados dessa poligonal formam a 
seqüência 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5. 
 
Considerando-se que a poligonal continue evoluindo de 
acordo com o padrão acima apresentado, o primeiro ponto 
do 50º lado é: 
a) (-13,-13) 
b) (-13,13) 
c) (12,-12) 
x d) (13,-12) 
e) (13,-13) 
 
14. Os lados de um terreno triangular têm medidas dife-
rentes, as quais, em certa ordem, formam uma progres-
são geométrica crescente. O conjunto dos possíveis valo-
res da razão dessa progressão é o intervalo: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 e) 
 
Gabarito 
1 – b 
2 – a 
3 – e 
4 – d 
5 – a 
6 – c 
7 – d 
8 – d 
9 – e 
10 – a 
11 – e 
12 – a 
13 – d 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 20 
 
EXERCÍCIOS - SEQUÊNCIA, P.A. E P.G. 
1. Na sequência (a1, a2, a3, ...) com a1=1 e an = 
n + an-1. O quinto termo vale: 
a) 10 
b) 12 
c) 15 
d) 16 
e) 18 
 
2. A sequência de Fibonacci descreve alguns 
eventos da natureza, assim como a reprodu-
ção dos coelhos. Ela é dada por an+1 = an + an-1. 
No caso da reprodução de coelhos, n repre-
senta o mês e an o número de casais de coe-
lhos no fim do mês. Se nos finais do primeiro 
e do segundo mês temos apenas 1 casal, no 
fim do quinto mês terá: 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 8 
e) 13 
 
3. (ENEM - Modificada) Edgard era um garoto 
que adorava brincar com números. Numa 
dessas brincadeiras ele escreveu em seu ca-
derno a seguinte sequência de números: 
1 
1 2 1 
1 2 3 2 1 
1 2 3 4 3 2 1 
... 
Então ele percebeu que a soma de cada linha 
tinha um padrão, e assim ele conseguia calcu-
lar a soma de qualquer linha. 
Na 9ª linha, qual é o valor da soma: 
a) 9 
b) 45 
c) 64 
d) 81 
e) 285 
 
 
 
 
4. (3m, m+1, 5) é uma P.A.. Sua razão é: 
a) -3 
b) 3 
c) 7 
d) -7 
e) Impossível determinar. 
 
5. (ENEM) O número mensal de uma determi-
nada empresa aérea aumentou no ano passa-
do nas seguintes condições: em janeiro, foram 
vendidas 33000 passagens; em fevereiro, 
34500; em março 36000. Esse padrão de cres-
cimento se mantém nos meses subsequentes. 
O número de passagens vendidas em julho do 
ano passado foi de: 
a) 38000 
b) 40500 
c) 41000 
d) 42000 
e) 48000 
 
6. Interpolando-se 7 meios aritméticos entre 
os números 10 e 98, obtém-se uma P.A. cujo 
termo central é: 
a) 45 
b) 52 
c) 54 
d) 55 
e) 57 
 
7. A quantidade de múltiplos de 5 entre 21 e 
1877 é: 
a) 370 
b) 371 
c) 369 
d) 330 
e) 390 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 21 
 
8. Três números positivos formam uma P.A. 
crescente. A sua soma é 15 e a soma de seus 
quadrados é igual a 107. O primeiro desses 
números é: 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
e) 0,5 
 
9. As medidas dos três lados de um triângulo 
retângulo são números em P.A. Qual o valor 
da área do triângulo sabendo que o menor 
lado vale 6. 
a) 12 
b) 18 
c) 20 
d) 24 
e) 30 
 
10. A soma dos 1000 primeiros números ím-
pares é: 
a) 1.000.000 
b) 512.000 
c) 1.210.020 
d) 780.324 
e) 2.048.000 
 
11. Numa P.A. a soma dos p primeiros termos 
é dado por p.(p - 2). O décimo primeiro termo 
dessa sequência é: 
a) 15 
b) 17 
c) 19 
d) p - 1 
e) 10.p 
 
12. A soma dos 15 primeiros termos de uma 
P.A. é 150. O oitavo termo dessa P.A. vale: 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
13. Na P.A. finita (-5,..., 15), sabe-se que oúltimo termo é igual à soma de todos os ter-
mos dessa P.A., então o produto entre a razão 
e o número de termos é: 
a) 12 
b) 15 
c) 18 
d) 24 
e) 30 
 
14. Numa P.G. de termos positivos, a3 = 1/3 e 
a6 = 243. Calculando a5, pode-se afirmar que o 
resultado é um número: 
a) par 
b) primo 
c) divisível por 7 
d) quadrado perfeito 
e) múltiplo de 5 
 
15. Dada a P.G. (..., 1, 2√3, 12, ...)o termo que 
precede o 1 é: 
a) √3 
b) √3/2 
c) √3/6 
d) √3/12 
e) √3/24 
 
16. Numa P.G. de razão positiva, o primeiro 
termo é o dobro da razão e a soma dos dois 
primeiros termos vale 40. Então o quarto 
termo dessa progressão vale: 
a) 1024 
b) 512 
c) 2048 
d) 16384 
e) 256 
17. As medidas do lado, do perímetro e da 
área de um quadrado, estão, nessa ordem, 
em P.G. A diagonal desse quadrado mede: 
a) 10√2 
b) 12√2 
c) 14√2 
d) 16√2 
e) 18√2 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 22 
 
18. A soma 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 21000 é: 
a) 21001 - 1 
b) 21002 - 1 
c) 21001 
d) 21000 - 1 
e) 21001 + 1 
 
19. Na sequência geométrica de termos posi-
tivos, ilimitada e decrescente, o segundo ter-
mo é igual à razão. Se a soma de todos os 
termos tende a 2, então o quarto termo vale: 
a) 1/4 
b) 1/8 
c) 1/12 
d) 1/16 
e) 1/32 
 
20. Considere uma sequência infinita de cubos 
que a aresta do primeiro mede 2 e cada cubo 
seguinte tem aresta igual à metade da aresta 
do cubo anterior. A soma dos volumes desses 
infinitos cubos é: 
a) 32/7 
b) 24/7 
c) 64/7 
d) 4 
e) 16 
 
21. Uma bola é solta verticalmente de uma 
altura de 1m, e quando quica no chão sobe a 
uma altura de ¼ m, e quando quica no chão 
volta a uma altura de 1/16 m, e esse padrão 
se repete até ela parar (suponha que esse 
padrão se repete infinitamente). Com base 
nesses dados calcule quantos metros ela per-
correu desde que foi solta até parar. 
a) 5/4 
b) 5/3 
c) 4/3 
d) 21/16 
e) 1/3 
 
22. Se os números 1, a, b formam, nessa or-
dem, uma P.A., e se os números 1, 7, a+46 
formam, nessa ordem, uma P.G., então: 
a) a + b = 6 
b) a + b = 8 
c) ab = 6 
d) ab = 8 
e) ab = 30 
 
23. A soma das raízes da equação 1 + x² + x4 + 
x6 + ... = 9/8 
a) -3 
b) -2 
c) -1 
d) 0 
e) 1 
 
24. O produto 2.√2.√2
4
.√2
8
... vale: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 8 
 
25. Qual a diferença entre a soma dos infini-
tos termos da P.G. (4, 2, 1, ...) e a soma dos 
seis primeiros termos dessa mesma P.G. 
a) 0 
b) 1 
c) 1/2 
d) 1/4 
e) 1/8 
 
Gabarito 
1 – c 2 – c 
3 – d 4 – c 
5 – d 6 – c 
7 – b 8 – d 
9 – d 10 – a 
11 – c 12 – c 
13 – e 14 – d 
15 – c 16 – b 
17 – d 18 – a 
19 – a 20 – c 
21 – b 22 – b 
23 – b 24 – d 
25 – d 
MÓDULO III 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
As figuras geométricas espaciais, ou sólidos geométricos, são divididos em poliedros e corpos redondos. 
 
1. POLIEDROS: são figuras geométricas formadas por faces, arestas e vértices. 
 
 
 
Um poliedro é dito regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes e em cada vértice 
concorre o mesmo número de arestas. 
 
Poliedros de Platão: existem somente cinco poliedros regulares convexos. São os únicos sólidos formados 
unicamente por polígonos regulares idênticos. 
 
 TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO 
 
Relação de Euler: está atribuída a relação de dependência entre os elementos de um poliedro. 
 
 𝑉: vértices 𝐴: arestas 𝐹: faces 
 
Poliedro V A F Forma da Face Relação de Euler 
Tetraedro 4 6 4 Triangular 4 + 4 = 6 + 2 
Cubo 8 12 6 Quadrangular 8 + 6 = 12 + 2 
 
 
 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 24 
 
PRISMAS: são poliedros convexos que têm duas bases (face superior e face inferior) paralelas e congruen-
tes, e suas faces laterais são formadas por paralelogramos. 
 
 
Representando as arestas laterais por "𝐿" e a altura por "𝐻", podemos notar que no prisma reto a aresta 
lateral e a altura são iguais (𝐿 = 𝐻), e no prisma oblíquo não (𝐿 ≠ 𝐻). 
 
 Prismas regulares: são prismas retos cujas bases são polígonos regulares. 
 
 
Os prismas recebem sua nomenclatura de acordo com a forma da base. Por exemplo, se a base for um pen-
tágono teremos um prisma pentagonal; se a base for um triângulo teremos um prisma triangular e etc. 
Áreas 
A área total de um prisma é a área da superfície total, formada pelas faces laterais e pelas bases. Para cal-
cular as áreas das superfícies lateral e total de um prisma, utilizaremos os nossos conhecimentos de geo-
metria plana como, por exemplo, as áreas de um triângulo, retângulo, hexágono e etc. 
 
Exemplo: Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 3 cm e a aresta da face lateral mede 6 
cm. Vamos calcular a área total desse prisma. 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 25 
 
Podemos observar pela figura que: 
 
Área lateral: 𝐴𝐿 = 6 ⋅ 𝐴𝐹𝐴𝐶𝐸 = 6 ⋅ 6 ⋅ 3 = 6 ⋅ 18 = 108 cm² 
Área da base: 𝐴𝐵 = área do hexágono regular 
 
A região hexagonal é formada por 6 triângulos equiláteros. Já é conhecido, em geometria plana, que a área 
de um triângulo equilátero é dada por 
𝐴𝐻𝐸𝑋Á𝐺𝑂𝑁𝑂 =
ℓ2 ⋅ √3
4
 
 
Nesse caso, temos: 
𝐴𝐵 = 6 ⋅ (
𝑏² ⋅ √3
4
) = 6 ⋅ (
3² ⋅ √3
4
) = 
6 ⋅ 9 ⋅ √3
4
=
54 ⋅ √3
4
=
27 ⋅ √3
2
cm² 
Como são duas bases, temos: 
2 ⋅ 𝐴𝐵 = 2 ⋅ (
27 ⋅ √3
2
) = 27√3 cm² 
 
Área total = área lateral + área das bases 
 
 
 
Assim, a área total do prisma hexagonal é dada por: 
 
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 2 ⋅ 𝐴𝐵 = (108 + 27√3) cm² ≅ 153,9 cm
2 
 Prismas especiais: 
 
 
PARALELEPÍPEDO 
A particularidade dos paralelepípedos é que qualquer uma de suas faces 
pode ser tomada como base, pois duas faces opostas quaisquer são 
paralelas e ligadas por arestas paralelas entre si. 
 
Diagonal: 
 
 CUBO 
O cubo é um caso particular do paralelepípedo retângulo, no qual cada 
face é uma região quadrada. 
 
 
Diagonal: 
 
 
Volume 
Para calcularmos o volume basta lembrar que este é a capacidade que o sólido possui, ou seja, o espaço 
ocupado pelo sólido, assim devemos multiplicar a área da base pela altura. 
 
 
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 2 ⋅ 𝐴𝐵 
 
 𝐷 = 
 𝐷 = 
 𝑉 = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐻 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 26 
 
Exemplo: Uma barra de ouro é fundida na forma de um prisma cuja base é um trapézio. As bases desse 
trapézio medem 8 cm e 12 cm e a altura da barra é 5 cm. O comprimento da barra é 30 cm; qual é seu vo-
lume? 
 
 
 
 
 
 
 
PIRÂMIDES 
 
 
 
Áreas 
𝐴𝐿: área lateral → composta por triângulos 
𝐴𝐵: área da base → pode ser triangular, quadrangular, hexagonal entre outras. 
 
 
 
 
 
Volume 
𝐴𝐵: área da base 
𝐻: altura da pirâmide 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵 
𝑉 =
𝐴𝐵 ⋅ 𝐻
3
 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 27 
 
 Pirâmides Regulares: 
 
 
 
 Elementos da pirâmide: 
 
 
 
 Relações entre os elementos nas principais pirâmides: 
 
Base da Pirâmide Raio do polígono da base Apótema do polígono da base 
Triangular 𝑅 =
2
3
ℓ 𝑚 =
1
3
ℓ 
Quadrangular 𝑅 =
1
2
𝑑 𝑚 =
1
2
𝐵 
Hexagonal 𝑅 = lado do triângulo da base 𝑚 = altura do triângulo da base 
 
 
 
𝑚2 + 𝐻2 = 𝑀2 
 
𝑅² + 𝐻² = 𝐿² 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015MÓDULO III 28 
 
Tronco de pirâmide 
 
 
 
𝐴𝐵: área da base da pirâmide maior 
𝐴𝑠𝑒𝑐: área da seção cortada pelo plano de corte (área da base da pirâmide menor) 
𝐴𝐺: área total da pirâmide maior 
𝐴𝑃: área total da pirâmide menor 
𝐵: aresta da base da pirâmide maior 
𝑏: aresta da base da pirâmide menor 
𝐻: altura da pirâmide maior 
ℎ: altura da pirâmide menor 
𝑉𝐺: volume da pirâmide maior 
𝑉𝑃: volume da pirâmide menor 
 
 Proporções entre pirâmide grande e pirâmide pequena: 
 
 
 
 
 
 
 Área do tronco de pirâmide: 
 
 
 
 
 
 Volume do tronco de pirâmide: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑏
𝐵
=
ℎ
𝐻
 
𝐴𝑠𝑒𝑐
𝐴𝐵
=
ℎ2
𝐻2
 
𝑉𝑃
𝑉𝐺
=
ℎ3
𝐻3
 
𝐴𝑇𝑅𝑂𝑁𝐶𝑂 = (𝐴𝐺 − 𝐴𝑃) + 𝐴𝑠𝑒𝑐 
𝑉𝑇𝑅𝑂𝑁𝐶𝑂 = 𝑉𝐺 − 𝑉𝑃 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 29 
 
4. CORPOS REDONDOS 
 
CILINDRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴𝐵: área da base do cilindro 
𝐻: altura do cilindro 
𝑅: raio do círculo da base do cilindro 
𝑉: volume do cilindro 
𝐺: geratriz do cilindro 
 
Área e Volume 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴𝑇 = 2 ⋅ 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿 𝑉 = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐻 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 30 
 
𝐴𝐵: área da base do cone 
𝐻: altura do cone 
𝑅: raio do círculo da base do cone 
𝑉: volume do cone 
𝐺: geratriz do cone 
 
Área e volume 
 
 
 
 
TRONCO DE CONE 
 
 
 
𝐴𝐵: área da base do cone maior 
𝐴𝑠𝑒𝑐: área da seção cortada pelo plano de corte (área da base do cone menor) 
𝐴𝐺: área total do cone maior 
𝐴𝑃: área total do cone menor 
𝐻: altura do cone maior 
ℎ: Altura do cone menor 
𝑅: raio do círculo da base do cone maior 
𝑟: raio do círculo da base do cone menor 
𝑉𝐺: volume do cone maior 
𝑉𝑃: Volume do cone menor 
 
 Proporções: 
 
 
 
 Área do tronco de pirâmide: 
 
 
 
 
 Volume do tronco de pirâmide: 
 
 
 
 
 
𝐴𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿 𝑉 = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐻 
𝑟
𝑅
=
ℎ
𝐻
 
𝐴𝑠𝑒𝑐
𝐴𝐵
=
ℎ2
𝐻2
 
𝑉𝑃
𝑉𝐺
=
ℎ3
𝐻3
 
𝐴𝑇𝑅𝑂𝑁𝐶𝑂 = (𝐴𝐺 − 𝐴𝑃) + 𝐴𝑠𝑒𝑐 
𝑉𝑇𝑅𝑂𝑁𝐶𝑂 = 𝑉𝐺 − 𝑉𝑃 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 31 
 
ESFERA 
 
 Área 
 
 
 
 Volume 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS - GEOMETRIA ESPACIAL 
1. (UFRGS/2003) Se num paralelepípedo o com-
primento é reduzido em 10%, a largura é redu-
zida em 5% e a altura é aumentada em 15%, 
então o volume 
 
(A) não se altera. 
(B) aumenta em 0,75%. 
(C) se reduz em 0,75%. 
(D) aumenta em 1,675%. 
(E) se reduz em 1,675%. 
 
2. (UFRGS/2003) No cubo 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 da figura 
abaixo, 𝑀 é o ponto médio de 𝐵𝐹 e 𝑁 é o pon-
to médio de 𝐷𝐻. 
 
 
Se a aresta do cubo mede 1, a área do quadri-
látero 𝐴𝑀𝐺𝑁 é 
 
(A) 
5
4
. (B) 2. 
(C) 
√6
2
. (D) 3. 
(E) 
√5
2
. 
3. (UFRGS/2003) Considere uma esfera inscrita 
num cubo. Dentre as alternativas abaixo, a me-
lhor aproximação para a razão entre o volume 
da esfera e o volume do cubo é 
 
(A) 
2
5
. 
(B) 
1
2
. 
(C) 
3
5
. 
(D) 
2
3
. 
(E) 
3
4
. 
 
4. (UFRGS/2004) Na figura abaixo, os vértices do 
quadrilátero ABCD são pontos médios de qua-
tro das seis arestas do tetraedro regular. 
 
 
 
Se a aresta desse tetraedro mede 10, então a 
área do quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 é 
 
(A) 25. 
(B) 25√3. 
(C) 75. 
(D) 50√3. 
(E) 100. 
 
𝐴 = 4𝜋𝑅2 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 32 
 
5. (UFRGS/2004) No desenho abaixo, em cada um 
dos vértices do cubo está centrada uma esfera 
cuja medida do diâmetro é igual à medida da 
aresta do cubo. 
 
 
A razão entre o volume da porção do cubo 
ocupado pelas esferas e o volume do cubo é 
 
(A) 
𝜋
6
. 
(B) 
𝜋
5
. 
(C) 
𝜋
4
. 
(D) 
𝜋
3
. 
(E) 
𝜋
2
. 
 
6. (UFRGS/2005) Considere o trapézio 𝐴𝐵𝐶𝐷 da 
figura abaixo, obtido pela interseção de um 
cubo de aresta 1 com um plano que passa por 
dois vértices opostos 𝐴 e 𝐷 de uma face e pe-
los pontos médios 𝐵 e 𝐶 de arestas da face não 
adjacente. 
 
 
A área do trapézio 𝐴𝐵𝐶𝐷 é 
 
(A) 
3√2
5
. 
(B) 
5
3
. 
(C) 
3√5
2
. 
(D) 
√6
2
. 
(E) 
9
8
. 
7. (UFRGS/2005) A figura abaixo representa a 
planificação de um cubo cujas faces foram nu-
meradas de 1 a 6. 
 
 
 
O produto dos números que estão nas faces 
adjacentes à face de número 1 é 
 
(A) 120. 
(B) 144. 
(C) 180. 
(D) 240. 
(E) 360. 
 
8. (UFRGS/2005) Um cone circular reto é tal que 
cada seção obtida pela interseção de um plano 
que passa por seu vértice e pelo centro da sua 
base é um triângulo retângulo de catetos 
iguais. Se cortarmos esse cone ao longo de 
uma geratriz, abrindo e planificando sua super-
fície lateral, será obtido um setor circular cujo 
ângulo central tem medida 𝛼. Então, 
 
(A) 𝛼 < 180°. 
(B) 180° ≤ 𝛼 < 200°. 
(C) 200° ≤ 𝛼 < 220°. 
(D) 220° ≤ 𝛼 < 240°. 
(E) 𝛼 ≥ 240°. 
 
9. (UFRGS/2006) A figura abaixo, formada por 
trapézios congruentes e triângulos equiláteros, 
representa a planificação de um sólido. 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 33 
 
Esse sólido é um 
 
(A) tronco de pirâmide. 
(B) tronco de prisma. 
(C) poliedro regular. 
(D) prisma trapezoidal. 
(E) prisma triangular. 
 
10. (UFRGS/2006) Na figura abaixo está represen-
tada a planificação de um prisma hexagonal 
regular de altura igual à aresta da base. 
 
 
 
Se a altura do prisma é 2, seu volume é 
 
(A) 4√3. 
(B) 6√3. 
(C) 8√3. 
(D) 10√3. 
(E) 12√3. 
 
11. (UFRGS/2006) Duas esferas de raio 𝑟 foram 
colocadas dentro de um cilindro circular reto 
com altura 4𝑟, raio da base 𝑟 e espessura des-
prezível, como na figura abaixo. 
 
 
 
Nessas condições, a razão entre o volume do 
cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das 
esferas é 
 
(A) 
1
5
. 
(B) 
1
4
. 
(C) 
1
3
. 
(D) 
1
2
. 
(E) 
2
3
. 
 
12. (UFRGS/2007) A figura abaixo representa um 
prisma reto de base hexagonal regular. 
 
 
 
 
 
Considere as seguintes planificações. 
 
 
I. 
 
 
 
 
II. 
 
 
 
 
III. 
 
 
Quais delas podem ser planificações do pris-
ma? 
 
(A) Apenas I. 
(B) Apenas II. 
(C) Apenas I e II. 
(D) Apenas II e III. 
(E) I, II e III. 
 
13. (UFRGS/2007) A partir de quatro dos vértices 
de um cubo de aresta 6, construído com ma-
deira maciça, foram recortadas pirâmides tri-
angulares congruentes, cada uma tendo três 
arestas de medida 3, conforme representado 
na figura 1, abaixo. 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 34 
 
 
 
O sólido obtido após a retirada das pirâmides 
está representado na figura 2, abaixo. 
 
 
 
O volume do sólido obtido é 
 
(A) 198. 
(B) 204. 
(C) 208. 
(D) 212. 
(E) 216. 
 
14. (UFRGS/2008) O custo de uma embalagem é 
diretamente proporcional à superfície do sóli-
do que se deseja embalar. Se o custo para em-
balar um cubo de 40 cm de aresta é R$ 10,00, 
a embalagem de um cubo de 80 cm de aresta 
custa, em reais, 
 
(A) 15. 
(B) 20. 
(C) 25. 
(D) 40. 
(E) 80. 
 
15. (UFRGS/2008) A areia contida em um cone fe-
chado,de altura 18 cm, ocupa 
7
8
 da capacidade 
do cone. 
 
 
 
Voltando-se o vértice do cone para cima, con-
forme indica a figura, a altura ℎ do tronco de 
cone ocupado pela areia, em centímetros, é 
 
(A) 7. 
(B) 8. 
(C) 9. 
(D) 10. 
(E) 11. 
 
16. (UFRGS/2008) As figuras abaixo representam 
um octaedro regular e uma de suas planifica-
ções. 
 
Aos vértices 𝐴, 𝐵, 𝐸, 𝐹 do octaedro correspon-
dem, respectivamente, os pontos 𝑎, 𝑏, 𝑒, 𝑓 da 
planificação. Ao vértice 𝐷 do octaedro corres-
pondem, na planificação, os pontos 
 
(A) 𝑚, 𝑛, 𝑝. 
(B) 𝑛, 𝑝, 𝑞. 
(C) 𝑝, 𝑞, 𝑟. 
(D) 𝑞, 𝑟, 𝑠. 
(E) 𝑟, 𝑠, 𝑚. 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 35 
 
17. (UFRGS/2009) Observe o quadrado abaixo, cu-
jas diagonais medem 2 dm. A rotação desse 
quadrado em torno de uma reta que contém 
uma de suas diagonais gera um sólido. 
 
A superfície desse sólido, em dm2, é de 
 
(A) 𝜋√2. 
(B) 2𝜋√2. 
(C) 2𝜋√3. 
(D) 3𝜋√2. 
(E) 3𝜋√3. 
 
18. (UFRGS/2009) O volume de um cubo de madei-
ra foi diminuído em 32 cm3, fazendo-se cavi-
dades a partir de cada uma de suas faces até a 
face oposta. 
Com isso, obteve-se o sólido representado na 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada cavidade tem a forma de um prisma reto 
de base quadrada de 2 cm de lado. As bases do 
prisma, contidas nas faces do cubo, têm centro 
no centro dessas faces e um lado paralelo a um 
dos lados da face. A aresta do cubo mede 
 
(A) 2. (B) 3. 
(C) 4. (D) 6. 
(E) 8. 
19. (UFRGS/2009) Considere a figura abaixo, que 
representa a planificação de um cubo. 
 
 
Qual dos cubos apresentados nas alternativas 
pode corresponder ao desenho da planifica-
ção? 
 
 
(A) 
 
 
 
 
(B) 
 
 
 
 
(C) 
 
 
 
 
(D) 
 
 
 
 
(E) 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 36 
 
20. (UFRGS/2010) Observe abaixo as planificações 
de duas caixas. A base de uma das caixas é um 
hexágono regular; a base da outra é um triân-
gulo equilátero. 
 
 
 
 
Se os retângulos 𝐴𝐵𝐶𝐷. e 𝐴’𝐵’𝐶’𝐷’ são congru-
entes, então a razão dos volumes da primeira e 
da segunda caixa é 
 
(A) 
1
2
. 
(B) 
2
3
. 
(C) 1. 
(D) 
3
2
. 
(E) 2. 
 
21. (UFRGS/2010) Considere um cubo de aresta 10 
e um segmento que une o ponto 𝑃, centro de 
uma das faces do cubo, ao ponto 𝑄, vértice do 
cubo, como indicado na figura abaixo. 
 
 
A medida do segmento 𝑃𝑄 é 
 
(A) 10. 
(B) 5√6. 
(C) 12. 
(D) 6√5. 
(E) 15. 
 
22. (UFRGS/2010) Um reservatório tem forma de 
um cilindro circular reto com duas semiesferas 
acopladas em suas extremidades, conforme 
representado na figura abaixo. 
 
 
 
O diâmetro da base e a altura do cilindro me-
dem, cada um, 4 dm, e o volume de uma esfe-
ra de raio 𝑟 é 
4
3
𝜋𝑟3. 
 
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo 
da capacidade do reservatório, em litros, é 
 
(A) 50. 
(B) 60. 
(C) 70. 
(D) 80. 
(E) 90. 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 37 
 
23. (UFRGS/2011) O paralelepípedo reto 𝐴, com 
dimensões de 8,5 cm, 2,5 cm e 4 cm, é a re-
produção em escala 1: 10 do paralelepípedo 𝐵. 
Então, o volume do paralelepípedo 𝐵, em cm3, 
é 
 
(A) 85. 
(B) 850. 
(C) 8.500. 
(D) 85.000. 
(E) 850.000. 
 
24. (UFRGS/2011) Na figura abaixo, estão repre-
sentados um cubo de aresta 3 e uma pirâmide 
triangular de altura 9. Os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são 
vértices da pirâmide e do cubo, e 𝑉 pertence 
ao prolongamento de 𝐵𝐺. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O volume comum aos dois sólidos é 
 
(A) 
15
2
. (B) 8. 
(C) 
17
2
. (D) 9. 
(E) 
19
2
. 
 
25. (UFRGS/2011) Observe o sólido 𝑆 formado por 
6 cubos e representado na figura abaixo. 
 
 
 
Dentre as opções a seguir, o objeto que, con-
venientemente composto com o sólido 𝑆, for-
ma um paralelepípedo é 
 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
 
(E) 
 
 
26. (UFRGS/2011) Um tipo de descarga de água 
para vaso sanitário é formado por um cilindro 
com altura de 2 m e diâmetro interno de 8 cm. 
 
Então, dos valores abaixo, o mais próximo da 
capacidade do cilindro é 
 
(A) 7 L. 
(B) 8 L. 
(C) 9 L. 
(D) 10 L. 
(E) 11 L. 
 
27. (UFRGS/2012) Se duplicarmos a medida da 
aresta da base de uma pirâmide quadrangular 
regular e reduzirmos sua altura à metade, o vo-
lume desta pirâmide 
 
(A) será reduzido à quarta parte. 
(B) será reduzido à metade. 
(C) permanecerá inalterado. 
(D) será duplicado. 
(E) aumentará quatro vezes. 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 38 
 
28. (UFRGS/2012) Um cilindro tem o eixo horizon-
tal como representado na figura abaixo. Nessa 
posição, sua altura é de 2 m e seu comprimen-
to, de 5 m. 
 
 
 
A região sombreada representa a seção do ci-
lindro por um plano horizontal distante 1,5 m 
do solo. A área dessa superfície é 
 
(A) √3. 
(B) 2√2. 
(C) 2√3. 
(D) 5√2. 
(E) 5√3. 
 
29. (UFRGS/2013) Considere as seguintes proposi-
ções de modelos de planificação de um cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entre essas proposições de modelos de planifi-
cação, quais podem resultar em um cubo? 
 
(A) I, II e V. 
(B) III, IV e V. 
(C) II, III e IV. 
(D) II, IV e V. 
(E) I, III e V. 
 
30. (UFRGS/2013) Um sólido geométrico foi cons-
truído dentro de um cubo de aresta 8, de ma-
neira que dois de seus vértices, 𝑃 e 𝑄, sejam os 
pontos médios respectivamente das arestas 
𝐴𝐷 e 𝐵𝐶, e os vértices da face superior desse 
sólido coincidam com os vértices da face supe-
rior do cubo, como indicado na figura a seguir. 
 
 
O volume desse sólido é 
 
(A) 64. 
(B) 128. 
(C) 256. 
(D) 512. 
(E) 1024. 
 
31. (ENEM) Num parque aquático existe uma pis-
cina infantil a forma de um cilindro circular re-
to, de 1 m de profundidade e volume igual a 
12 m³, cuja base tem raio 𝑅 e centro 𝑂. Deseja-
se construir uma ilha de lazer seca no interior 
dessa piscina, também na forma de um cilindro 
circular reto, cuja base estará no fundo da pis-
cina e com centro da base coincidindo com o 
centro do fundo da piscina, conforme a figura. 
O raio da ilha de lazer será 𝑟. Deseja-se que 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 39 
 
após a construção dessa ilha, o espaço desti-
nado à água na piscina tenha um volume de, 
no mínimo, 4 m³. 
 
 
 
Considere 3 como valor aproximado para 𝜋. 
Para satisfazer as condições dadas, o raio má-
ximo da ilha de lazer r em metros, estará mais 
próximo de: 
 
(A) 1,6. 
(B) 1,7. 
(C) 2,0. 
(D) 3,0. 
(E) 3,8. 
 
32. (ENEM) Uma cozinheira, especialista em fazer 
bolos, utiliza uma forma no formato represen-
tado a figura: 
 
 
Nela identificasse a representação de duas fi-
guras geométricas tridimensionais. 
Essas figuras são: 
(A) Um tronco de cone e um cilindro. 
(B) Um cone e um cilindro. 
(C) Um tronco de pirâmide e um cilindro. 
(D) Dois troncos de cone. 
(E) Dois cilindros. 
GABARITO 
 
1. E 17. B 
2. C 18. C 
3. B 19. A 
4. A 20. D 
5. A 21. B 
6. E 22. D 
7. C 23. D 
8. E 24. E 
9. A 25. A 
10. E 26. D 
11. D 27. D 
12. D 28. E 
13. A 29. E 
14. D 30. C 
15. C 31. A 
16. D 32. DMÓDULO III 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
1. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Dados os pontos 𝑨(𝟐, 𝟏) e 𝑩(𝟕, 𝟏𝟑), determinar a distância entre eles. 
 
 
 
 
Exemplo 2. A distância entre os pontos 𝑷(𝟎, 𝒃) e 𝑸(𝟑, 𝟐) vale 𝟓. Determine 𝒃. 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. Dados os pontos 𝑨(𝟔, 𝟏𝟎), 𝑩(𝟏, −𝟐) e 𝑪(𝟔, −𝟐), determine o perímetro do triângulo 𝑨𝑩𝑪. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 41 
 
2. PONTO MÉDIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4. Determinar as coordenadas do ponto médio de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , sendo 𝑨(𝟑, 𝟕) e 𝑩(𝟓, 𝟏). 
 
 
 
 
3. BARICENTRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5. Determine as coordenadas do baricentro do triângulo formado pelos vértices 𝑨(−𝟏, 𝟐), 
𝑩(𝟎, −𝟓) e 𝑪(𝟕, −𝟔). 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6. O ponto 𝑮(𝟑, −𝟐) é baricentro do triângulo 𝑫𝑬𝑭, onde 𝑫(𝟕, −𝟒) e 𝑬(−𝟏, 𝟖). Quais as coorde-
nadas do ponto 𝑭(𝒙, 𝒚)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 42 
 
4. ÁREA DE UM TRIÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7. Calcular a área do triângulo de vértices 𝑨(𝟑, 𝟐), 𝑩(𝟏, −𝟒) e 𝑪(𝟎, −𝟏). 
 
 
 
 
 
5. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS (COLINEARIDADE) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8. Verificar se os pontos 𝑬(−𝟔, −𝟏), 𝑭(𝟎, 𝟑) e 𝑮(𝟑, 𝟓) são colineares. 
 
 
 
 
Exemplo 9. Dados os pontos 𝑨(𝒙, −𝟐), 𝑩(𝟐, 𝟎) e 𝑪(−𝟒, 𝟑), determinar o valor de 𝒙 para que: 
a) 𝑨, 𝑩 e 𝑪 sejam colineares. 
b) 𝑨, 𝑩 e 𝑪 sejam vértices de um triângulo. 
 
 
 
 
 
 
𝐴 =
|𝐷|
2
 
onde 
𝐷 = |
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
𝑥3 𝑦3 1
| 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 43 
 
6. ESTUDO DA RETA 
 
EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSAR POR DOIS PONTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EQUAÇÃO GERAL EQUAÇÃO REDUZIDA 
 
 
 
 
Exemplo 10. Escrever a equação da reta que passa por 𝑨(𝟐, 𝟑) e 𝑩(𝟒, 𝟓) nas duas formas geral e reduzida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 11. Dada a reta de equação geral 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑 = 𝟎, obter o seu coeficiente angular e os seus 
interceptos com os eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 44 
 
EQUAÇÃO DA RETA DADOS UM PONTO E A SUA INCLINAÇÃO (DIREÇÃO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 12. Obter a equação da reta que passa pelo ponto 𝑷(𝟐. 𝟑) e tem inclinação igual a 𝟔𝟎°. 
 
 
 
 
 
 
 
RETAS PARALELAS E PERPENDICULARES 
 
Duas retas 𝒓 e 𝒔 não-verticais são: 
1. Paralelas entre si se, e somente se, suas declividades são idênticas. 
2. Perpendiculares se, e somente se, o produto de suas declividades valer −𝟏. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 13. Obter a reta 𝒕 que passa pelo ponto 𝑷(𝟑. 𝟐) e é perpendicular à reta 𝒔 de equação 𝟑𝒙 + 𝒚 =
𝟐. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA CEUE PRÉ-VESTIBULAR/2015 
MÓDULO III 45 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 14. Calcule a distância entre o ponto 𝑸(𝟓, 𝟒) e a reta 𝒓: 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟏 = 𝟎. 
 
 
 
 
 
 
 
7. ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 15. Obtenha a equação da circunferência que passa pelos pontos 𝑨(−𝟏, 𝟑), 𝑩(𝟎, 𝟒) e 𝑪(−𝟏, −𝟑).