ap1 2010 2 gabarito

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Instituto de Física -UFRJ 
 
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Nota 
 
 Avaliação Presencial de Fisica IA – 1
o
 Semestre de 2010 
19 de Setembro de 2010 
Caro aluno, você lembra que solicitamos na AD e enfatizamos no cronograma da 
disciplina para que você estudasse pelo módulo e resolvesse os problemas lá 
disponíveis? As questões abaixo foram retiradas integralmente dos módulos 1 e 2 de 
Fisica 1 A. Lembre-se que todas as respostas devem ser justificadas 
 
1- (2,5) Responda: 
a- (0,7) Considere a situação discutida no exemplo 19.8, no qual uma partícula 
de massa m, que só pode se movimentar no plano OXY, está sujeita a uma 
força F = -kr. Descreva, qualitativamente, qual o movimento dessa partícula, 
caso ela seja abandonada em repouso de um ponto qualquer do plano OXY, 
não necessariamente pertencente a um dos eixos cartesianos. (obs. Você não 
precisa lembrar qual é o exemplo 19.8. Apenas reproduzimos aqui o 
enunciado do módulo) 
 
 
Resposta: Como a força é restauradora, ou seja, aponta para a origem, o movimento da 
partícula será o de um oscilador harmônico simples. A equação de Newton fica: F=-kr 
= ma= md2r/dt2, cuja solução é r(t) =rosen(ωt+φ), onde ro e φ são determinados pelas 
condições iniciais e ω = (k/m)1/2 
 
 
 
b- (0,6) Defina movimento de translação de um corpo rígido? 
 
Resposta: Dizemos que um sistema de partículas está em movimento de 
translação se, a cada instante, as velocidades de todas as suas partículas 
são iguais. 
 
 
c- (0,6) A posição do centro de massa de um sistema deve coincidir 
obrigatoriamente com a posição de alguma partícula do sistema? Ilustre sua 
resposta com alguns exemplos; 
 
Resposta: Não. Por exemplo, em um círculo, o centro de massa está situado 
no centro. Outro exemplo é uma ferradura de cavalo. 
 
d- (0,6) O quê é um movimento harmônico simples? O que é a amplitude desse 
movimento? 
 
Resposta: É um tipo particular de movimento periódico descrito pela 
equação a(t) = -ω2r(t), onde a(t) é a aceleração e r(t) é a função posição, 
cuja solução é dada por r(t) =A cos(ωt+φ), onde A é a amplitude do 
movimento. 
 
2- (2,5) Um avião sai da cidade A, vai até a cidade B e, por não ser possível pousar 
nessa cidade devido ao mau tempo, retorna imediatamente à cidade A. Por 
simplicidade, despreze o tempo gasto pelo avião para fazer a volta sobre a 
cidade B e retornar para a cidade A e suponha que ele se movimente em linha 
reta tanto de A para B quanto de B para A. Seja l a distância entre A e B e u o 
módulo da velocidade do avião em relação ao ar. 
a) (0,8) Caso não haja vento durante todo o vôo, determine o tempo total de 
viagem, isto é, o intervalo de tempo entre a saída da cidade A e o retorno a 
ela. 
 
 
Resposta: como 
t
x
v
∆
∆
=
r
r
, o espaço percorrido (ida e volta) é igual a 2l, logo ∆t=2l/u. 
 
b) (0,8) Caso sopre um vento constante durante o vôo, cuja velocidade tenha 
módulo V e direção do segmento de reta que une A e B (escolha o sentido 
que mais lhe convier), determine o tempo total de viagem. 
 
Resposta:Supondo que o vento sopre de A para B, a velocidade do avião em relação ao 
solo será u+V durante a ida e u-V durante a volta. O tempo total será então: 
∆t=l/(u+V) +l/(u-V) 
 
c) (0,9) Caso sopre um vento constante durante todo o vôo, cuja velocidade 
tenha módulo V e direção perpendicular ao segmento de reta que une A e B 
(escolha o sentido que desejar), determine o tempo total de viagem. 
 
 
Resposta: A figura abaixo ilustra a situação. Para que o avião siga de A para B, a sua 
velocidade em relação ao vento (módulo u) deve ser tal que a sua componente 
perpendicular a direção AB anule a velocidade do vento, de modo que a sua 
velocidade em relação ao solo (módulo w apontando de A para B na ida e de B para a 
na volta) seja tal qual é ilustrada na figura. Ou seja, V = usenθ e w = ucosθ. Como 
senθ = V/u (com V<u), então cosθ = (1-sen2θ)1/2=(1-(V/u)2)1/2 = [(u2-V2)/u2]1/2. 
Logo, w=(u 2-V2)1/2 (tanto na ida, quanto na volta). Logo o tempo total de ida e volta 
será:∆t =2l/w = 2l/[(u 2-V2)1/2] 
 
 
 
 
 
3- (1,5) Em 1947, numa experiência cujo objetivo era estudar a distribuição de 
velocidades em feixes atômicos, a queda livre dos átomos pôde ser constatada. 
Nessa experiência, átomos de Césio foram produzidos por um “forno” a uma 
temperatura de 450 K. Suponha que a essa temperatura, a média dos módulos 
das velocidades dos átomos seja 300 m/s. Um feixe desses átomos, colimado na 
direção horizontal, isto é, um feixe de átomos no qual todos eles possuem 
velocidades horizontais e paralelas entre si, foi posto para se propagar dentro de 
um tubo de alto vácuo (para que não houvesse resistência alguma ao movimento 
dos átomos do feixe) de 2m de comprimento. O quanto caíram os átomos do 
feixe sob a ação da gravidade após terem percorrido o tubo? 
 
 
Resposta: Direção x (paralela à direção da velocidade inicial do feixe) x(t)=vot (1) 
Direção y (perpendicular à direção da velocidade inicial) . y (t) =-gt2/2 (2). 
Substituindo (1) em (2): y(t)=-(g/2)(x(t)/vo)
2. Usando g = 10m/s2, temos : |y| =5(2/300)2 
=2,2×10-4m 
 
 
 
4- (1,0) A função-movimento de uma partícula é dada por fx(t) = 8 +Bt-2t
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, onde B 
é uma constante. Sabendo que a partícula inverte o sentido de seu movimento no 
instante t =5 segundos, determine o valor da constante B. 
 
Resposta: A função velocidade da partícula é dada por vx(t) = B-4t. Como a partícula 
inverte o seu movimento em t = 5s, isto significa que a sua velocidade se anula 
neste ponto, ou seja: B=4×5 = 20 m/s( não se esquecer a unidade) 
 
 
5- (2,5) Se a Terra for considerada uma esfera homogênea, de massa M e raio R, 
pode-se mostrar que, dentro dela, a força gravitacional exercida por ela sobre 
uma partícula de massa m é dada por: F=- (mgr/R)ur, onde g = GM/R
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 é o 
módulo da aceleração da gravidade na superfície terrrestre r, a distância da 
partícula de massa m ao centro da Terra e ur, como de costume, o vetor unitário 
na direção radial, tomando o centro da Terra como origem dos eixos. Imagine, 
agora, que se faça um túnel retilíneo, bem estreito, de um lado a outro da Terra, 
passando pelo seu centro. 
a) Mostre que, se uma partícula fosse abandonada em repouso em uma das 
extremidades desse túnel, ela descreveria um movimento harmônico simples 
dentro dele. 
b) Calcule o tempo gasto para a partícula atingir um ponto diametralmente 
oposto à superfície terrestre (se você fez corretamente os cálculos, deve estar 
impressionado com a rapidez com que esse percurso seria feito e, 
certamente, deve estar pensando em por que não constroem “trens 
gravitacionais” utilizando essa idéia, certo?). 
 
Resposta: 
 
A) A situação é ilustrada na figura abaixo. Como a força aponta para o 
centro da Terra (força restauradora), a situação é completamente 
análoga ao item a da primeira questão com k =mg/R. 
A equação do movimento fica: 
ma=md2r/dt2 = -kr 
d2r/dt2 = -(k/m)r = -ω2r. 
cuja solução é r(t)=ro cos(ωt+φ). 
A velocidade é então dada por 
v(t) =-roωsen(ωt+φ). Como em t=0 a velocidade era nula, temos que φ = 
0 e como a sua posição inicial era R (ro =R) , a solução fica: 
r(t)=Rcos(ωt). 
 
 
 
 
 
 
 
B) Para ir a um ponto diametralmente oposto (-R), o tempo gasto será a 
metade do seu período (tempo de ida e volta). Ou seja, fazendo r(t) = -
R = Rcos(ωt), encontramos que cos(ωt)=-1, ou seja, 
ωt =pi. O que implica t = pi/ω =pi/(k/m)1/2 , ou utilizando o valor de k 
do item A: t=pi(R/g)1/2.