Velocidade e Energia em Ondas em Cordas

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Aula	
  7	
  
2.3	
  -­‐	
  Velocidade	
  de	
  Uma	
  Onda	
  em	
  uma	
  Corda	
  
As	
  grandezas	
  .sicas	
  que	
  determinam	
  a	
  velocidade	
  de	
  uma	
  	
  onda	
  transversal	
  
em	
  uma	
  corda	
  são	
  a	
  tensão	
  na	
  corda	
  e	
  sua	
  massa	
  por	
  unidade	
  de	
  comprimento	
  	
  
(densidade	
  linear).	
  
Considere	
  uma	
  corda	
  perfeitamente	
  flexível,	
  	
  
A força transversal constante Fy determina que todos os pontos da parte da corda 
em movimento se desloquem com uma velocidade constante vy. então, de acordo 
com o teorema do impulso-momento linear, tem-se: 
observa-­‐se	
  que	
  a	
  força	
  Fy	
  tem	
  o	
  efeito	
  de	
  fazer	
  aumentar	
  a	
  quanDdade	
  de	
  massa	
  em	
  
	
  movimento	
  e,	
  portanto,	
  a	
  quanDdade	
  de	
  movimento	
  mvy	
  varia	
  em	
  virtude	
  da	
  variação	
  
da	
  massa	
  m	
  e	
  não	
  por	
  causa	
  de	
  vy.	
  
yy mvtF =
Então,	
  tem-­‐se	
  a	
  equação	
  para	
  a	
  velocidade	
  da	
  onda	
  v	
  	
  na	
  corda,	
  
da	
  figura	
  19.7(b)	
  (aplicando	
  semelhança	
  de	
  triângulo),	
  
v
v
FF
vt
tv
F
F y
y
yy =⇒=
Impulso	
  transversal,	
   t
v
v
FtF yy =
E,	
  como	
  a	
  massa	
  da	
  parte	
  da	
  corda	
  que	
  está	
  em	
  movimento	
  é:	
  
vtm µ=
Tem-­‐se:	
  
y
y vtvt
v
v
F µ=
Momento	
  linear	
  transversal	
   yvvt)(µ=
Então,	
  encontramos	
  
E,	
  finalmente,	
  
µ
Fv= (velocidade	
  de	
  uma	
  onda	
  	
  transversal	
  em	
  uma	
  corda)	
  
2.4	
  –	
  Energia	
  No	
  Movimento	
  Ondulatório	
  
Considere	
  a	
  figura	
  a	
  seguir,	
  
Na	
  figura	
  19.13,	
  oberve	
  que:	
  
x
txyFtxFy ∂
∂
−=
),(),(
E,	
  ainda,	
  que	
  o	
  movimento	
  do	
  ponto	
  a	
  é	
  devido	
  ao	
  trabalho	
  da	
  força	
  Fy	
  sobre	
  este	
  
ponto,	
  logo	
  a	
  taxa	
  de	
  realização	
  do	
  trabalho	
  é:	
  
t
txy
x
txyFtxvtxFtxP yy ∂
∂
∂
∂
−==
),(),(),(),(),(
A	
  equação	
  anterior	
  é	
  válida	
  para	
  qualquer	
  onda	
  se	
  propagando	
  em	
  uma	
  corda,	
  senoidal	
  
ou	
  não.	
  Quando	
  a	
  onda	
  for	
  senoidal,	
  
)(),( kxtAsintxy −= ω
Encontramos:	
  
Potência	
  instantânea,	
  
Potência	
  máxima,	
  
Potência	
  média,	
  
)(cos),( 222 kxtAFtxP −= ωωµ
22),( AFtxP ωµ=
22
2
1),( AFtxP ωµ=
Ex. 19.11 – Uma onda senoidal se propaga ao longo de uma corda esticada 
sobre o eixo ox. O deslocamento da corda em função do tempo é indicado na 
figura 19.15 para partículas nos pontos x = 0 e x = 0,0900 m. 
(a) A = ? (b) T = ? (c) v = ? e λ = ? Onda no sentido de +x. 
(d) v = ? e λ = ? Onda no sentido de –x. 
Ex. 19.15 – Uma das extremidades de um fio é presa a um dos ramos de um 
diapasão excitado eletricamente com uma freqüência igual a 120 Hz. A outra 
extremidade passa sobre uma polia e suporta um objeto com massa igual a 1,50 kg. 
A densidade linear do fio é igual a 0,0550 kg/m. 
(a) Qual é a velocidade de propagação de uma onda transversal na corda? 
(b) Qual é o comprimento de onda? 
(c) Como suas respostas dos itens (a) e (b) se modificam se a massa do objeto 
aumentar para 3,00 kg? 
Ex. 19.28 – O fio de um piano de massa igual a 3,00 g e comprimento de 8,00 cm 
é submetido a uma tensão de 25,0 N. Uma onda com freqüência de 120,0 Hz e 
amplitude igual a 1,6 mm se desloca no fio. 
(a)  Ache a potência média transportada pela onda. 
(b)  O que ocorrerá com a potência média se a amplitude da onda 
for reduzida à metade?