Lista_de_Exerccios_4_Solues

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Introdução à Física Clássica II – Prof. Neemias Alves de Lima 
 
Soluções da “Lista de Exercícios 4” 
7 – Velocidade de uma onda transversal. Ondas harmônicas. Energia. 
1. A Figura 1 mostra um pulso de onda em uma corda em dois instantes diferentes: (i) 𝑡 = 0 s (linha 
contínua) e (ii) 𝑡 = 2 s (linha pontilhada). Qual é a velocidade do pulso? 
Figura 1 
 
R: Podemos estimar a velocidade do pulso a partir da posição da crista do pulso. No instante 𝑡 = 0,0 s a 
posição da crista do pulso é 𝑥 = 5 m, e em 𝑡 = 2,0 s sua posição está em 𝑥 = 10 m, logo a velocidade é 𝑣 = 10 − 52 − 0 = 2,5 m/s 
 
2. Quando a massa suspensa na situação da Figura 2 é 𝑚 = 3,00 kg, uma onda se propaga com velocidade 
de 24,0 m/s na corda horizontal. Qual é a velocidade da onda se a massa suspensa for 𝑚 = 2,00 kg? 
Figura 2 
 
R: (a) A velocidade de uma onda em uma corda é dada por 𝑣 = √𝑇𝜇 
daí que 𝜇 = 𝑇𝑣2 
Como a massa 𝑚 está em equilíbrio estático, então 𝑇 = 𝑚𝑔, logo 𝜇 = 𝑚𝑔𝑣2 = 3,0(9,8)(24,0)2 = 0,0510 kg/m 
(b) Se a massa for de 2,0 kg, temos 𝑣 = √𝑚𝑔𝜇 = √2,0(9,8)0,0510 = 19,6 m/s 
 
3. Uma onda 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sen(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) em uma corda tem amplitude de 0,10 m e frequência de 2,0 Hz. (a) 
Qual é o valor de 𝑦 em 𝑥 = 0 para 𝑡 = 4,0 s? (b) Qual é a velocidade transversal máxima de um elemento 
de corda? 
R: (a) 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 4𝜋 rad/s 
 
Logo 𝑦(0, 𝑡) = 0,10𝑠𝑒𝑛(𝑘(0) − 4𝜋(4)) = 0,10 𝑠𝑒𝑛(−8𝜋) = 0 m 
(b) A velocidade transversal é dada por 𝑣𝑦 = 𝜕𝑦𝜕𝑡 = 0,10𝜔cos (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
A amplitude desta velocidade é 𝑣𝑦,𝑚á𝑥 = 0,10𝜔 = 0,10(4𝜋) = 1,3 m/s 
 
4. Uma corda esticada possui uma densidade linear de massa de 12,0 g/m. Se nela viaja a onda 𝑦 =(0,15 m)sen[(0,80 rad/m) 𝑥 − (50 rad/s)𝑡], determine: (a) A velocidade �⃗� de propagação; (b) O 
comprimento de onda; (c) A frequência; e, (d) A taxa de transferência de energia. 
R: (a) Para determinar a velocidade da onda expressaremos a sua função de onda no formato 𝑓(𝑥 ± 𝑣𝑡): 𝑦 = 0,15 sen(0,80𝑥 − 50𝑡) = 𝑦 = 0,15 sen[0,80(𝑥 − 62,5𝑡)] (1) 
Logo, a onda se propaga no sentido +𝑥, porque a função é do tipo 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡), e o módulo da velocidade é 𝑣 = 62,5 m/s. Ou seja: �⃗� = (62,5 m/s)𝑖̂ 
(b) Obtemos o comprimento de onda escrevendo a onda harmônica na forma: 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 [2𝜋 (𝑥𝜆 − 𝑡𝑇)] (2) 
Comparando (1) e (2), temos 0,80 = 2𝜋𝜆 → 𝜆 = 2𝜋0,80 = 7,85 m 
(c) Comparando (2) com a função da onda: 2𝜋𝑇 = 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 50 → 𝑓 = 502𝜋 = 7,96 Hz 
(d) A potência média transmitida é �̅� = 12 𝜇𝑣𝜔2𝐴2 = 12 (12,0 × 10−3)(62,5)(50)2(0,15)2 = 21,1 W 
 
5. Uma onda transversal senoidal em uma corda tem um período de 50,0 ms e se move na direção 𝑥 
negativa com uma velocidade de 20,0 m/s. Em 𝑡 = 0, o elemento da corda em 𝑥 = 0 tem uma posição 
vertical de 1,00 cm e se move para baixo com uma velocidade de 1,50 m/s. Determine a expressão 𝑦(𝑥, 𝑡) da 
função de onda. 
R: (a) Os dados fornecidos do problema são 𝑇 = 1𝑓 = 25,0 ms → 𝜔 = 2𝜋𝑇 = 2𝜋50,0 × 10−3 = 125,7 rad/s (1) 𝑣 = 𝜆𝑓 = 20,0 m/s (2) 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝜙) → 𝑦(0,0) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜙) = 1,00 cm = 0,0100 m (3) 𝑣𝑦(𝑥, 𝑡) = −𝐴𝜔𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝜙) → 𝑣𝑦(0,0) = −𝐴𝜔𝑠𝑒𝑛(𝜙) = −1,50 m/s (4) 
Para determinar a amplitude 𝐴 usamos estas duas últimas equações: 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜙) = 1,50125,7 = 0,01194 (5) 
Somando os quadrados de (3) e (5) 
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𝐴2 cos2 𝜙 + 𝐴2𝑠𝑒𝑛2𝜙 = 𝐴2 = 2,426 × 10−4 → 𝐴 = 0,01557 m = 1,56 cm (6) 
(b) Substituindo (6) em (3) e resolvendo para 𝜙: 𝜙 = cos−1 ( 0,01000,01557) = 0,8734 rad 
(c) A velocidade transversal máxima de um elemento de corda é 𝑣𝑦,𝑚á𝑥 = 𝐴𝜔 = 0,01557 (125,7) = 1,96 m/s 
(d) A função de onda para a onda é 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝜙), para obter todos os parâmetros falta 
apenas o número de onda 𝑘 = 2𝜋𝜆 = 2𝜋𝑣𝑇 = 2𝜋20,0(50,0 × 10−3) = 6,28 rad/m 
Enfim: 𝑦(𝑥, 𝑡) = (1,56 cm) cos [(6,28 rad/m)𝑥 + (125,7rad/s)𝑡 + 0,873 rad] 
 
8 – Reflexão e transmissão. Interferência de ondas. Ondas estacionárias em uma corda. 
1. Uma onda é resultante da superposição das funções de onda: 𝑦1 = (5,00 cm) sen[(4,00𝜋 rad/m) 𝑥 − (1200𝜋 rad/s)𝑡] 𝑦2 = (5,00 cm) sen[(4,00𝜋 rad/m) 𝑥 − (1200𝜋 rad/s)𝑡 − 0,250𝜋rad] 
(a) Qual é a amplitude da onda? (b) Qual é a frequência da onda? ((a) 9,24 cm; (b) 600 Hz.) 
R: (a) A amplitude da interferência de duas ondas com iguais amplitudes, número de onda e frequência 
angular é dada por 𝐴𝑟𝑒𝑠 = 2𝐴 |𝑐𝑜𝑠 (∆𝜙2 )| = 2(5,00) |𝑐𝑜𝑠 (−0,250𝜋 − 02 )| = 9,24 m 
(b) A frequência da função de onda resultante é igual às das ondas que interferem, já que as frequências 
destas são iguais: 𝑓 = 𝜔2𝜋 = 1200𝜋2𝜋 = 600 Hz 
 
2. Duas ondas 1 e 2 estão presentes em uma corda: 𝑦1 = (35 mm) sen[(8,4 rad/m)𝑥 − (15,7 rad/s)𝑡] 𝑦2 = (35 mm) sen[(8,4 rad/m)𝑥 + (15,7 rad/s)𝑡] 
(a) Escreva a expressão de 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 na forma 𝑦 = 2𝐴 𝑐𝑜𝑠[𝑘𝑥 + (𝜙1 + 𝜙2)/2] 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + ∆𝜙/2). (b) Dê 
as coordenadas 𝑥 dos dois primeiros antinós, partindo da origem e seguindo na direção +𝑥. (c) Qual é a 
coordenada 𝑥 do nó que está entre os antinós da parte (b)? (d) Qual é a distância entre os antinós da parte 
(b)? 
R: (a) A expressão geral da onda resultante 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 onde 𝑦1 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙1) (1) 
 
𝑦2 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝜙2) (2) 
é 𝑦 = 2𝐴 cos [𝑘𝑥 + 12 (𝜙1 + 𝜙2)] cos (𝜔𝑡 + ∆𝜙2 ) (3) 
Como as funções de onda estão escritas como senos, precisamos escrevê-las como cossenos. Uma vez que 𝑠𝑒𝑛(𝐴) = cos (𝐴 + 𝜋/2), temos que 𝑦1 = (35 mm)cos [(8,4 radm ) 𝑥 − (15,7 rads ) 𝑡 + 𝜋2] (4) 
𝑦2 = (35 mm)cos [(8,4 radm ) 𝑥 + (15,7 rads ) 𝑡 + 𝜋2] (5) 
Substituindo os parâmetros: 𝑦 = 2(35 mm) cos [(8,4 radm ) 𝑥 + 12 (𝜋2 + 𝜋2)] cos ((15,7 rads ) 𝑡 + 02)
= (70 mm) sen [(8,4 radm ) 𝑥] cos [(15,7 𝑟𝑎𝑑𝑠 ) 𝑡] 
(b) Antinós são os pontos em que ocorrem as amplitudes das oscilações harmônicas: Pela função da onda 
resultante temos |sen [(8,4 radm ) 𝑥]| = 1 → 8,4𝑥𝑛 = 𝑛𝜋2 , 𝑛 = 1,3,5, … 
Os dois primeiros antinós ocorrem nas posições em que 𝑛 = 1 e 3: 𝑥1 = 𝜋2(8,4) = 0,187 𝑚 = 18,7 cm 
𝑥3 = 3𝜋2(8,4) = 0,561 𝑚 = 56,1 cm 
(c) Os nós estão nas posições em que |sen [(8,4 radm ) 𝑥]| = 0 → 8,4𝑥 = 𝑛𝜋, 𝑛 = 1,2,3, … 
Entre os dois antinós calculados em (b) está o nó de 𝑛 = 1, que está na posição: 𝑥 = 𝜋8,4 = 0,374 m = 37,4 cm 
 
3. Um objeto de peso 𝑀𝑔 é usado para tensionar um fio de 4,5 m de comprimento e 0,252 kg de massa. Se 
nesta corda uma onda estacionária de comprimento de onda de 1,5 m é produzida por uma fonte que oscila a 
30 Hz, calcule o valor de 𝑀. 
 
R: A velocidade de uma onda estacionária em uma corda é 
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𝑣 = 𝜆𝑓 = 1,5(30) = 45,0 ms 
Esta velocidade está relacionada com a tensão na corda e a densidade linear de massa desta: 
𝑣 = √𝑇𝜇 
Tiramos daí a tensão da corda: 𝑇 = 𝜇𝑣2 = 𝑚𝐿 𝑣2 = 0,2524,5 (45,0)2 = 113,4 N 
Supondo que a corda esteja fixa em um suporte e ligada na outra extremidade ao objeto de massa 𝑀, temos 
que 𝑇 = 𝑀𝑔 → 𝑀 = 𝑇𝑔 = 113,49,8 = 11,6 kg 
 
4. Em uma corda de 2,0 m de comprimento fixa pelas duas extremidades são observadas ondas estacionárias 
com frequências sucessivas de 31,0 Hz e 46,5 Hz. (a) Quanto vale a frequência fundamental? (b) Quanto 
vale a velocidade da onda? (c) Desenhe o padrão de onda estacionária correspondente à situação em que a 
corda oscila a 36 Hz. 
R: (a) As frequências de ondas estacionárias em uma corda fixada nas duas extremidades são: 𝑓𝑛 = 𝑛 𝑣2𝐿 
Se duas frequências sucessivas são conhecidas, então 𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛 = ( 𝑛 + 1) 𝑣2𝐿 − 𝑛 𝑣2𝐿 = 𝑣2𝐿 = 𝑓1 
Assim: 𝑓1 = 46,5 − 31,0 = 15,5 Hz 
(b) A partir do resultado de (a) temos 𝑣2𝐿 = 𝑓1 → 𝑣 = 2𝑓1𝐿 = 2(12)(2,0) = 62,0 m/s 
(c) Conhecendo-se 𝑓1 podemos determinar a ordem da frequência de 36 Hz: 𝑓𝑛+1 = 𝑛𝑓1 →𝑛 = 𝑓𝑛+1𝑓1 = 46,515,5 = 3 
Ou seja, o padrão da onda estacionária possui 3 antinós, como ilustra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
5. Onda estacionária em uma corda com uma extremidade livre e outra fixa. Uma corda de 4,0 m e 0,50 
kg é submetida a uma tensão de 200 N. A extremidade da corda em 𝑥 = 𝐿 está fixa, mas a extremidade em 𝑥 = 0 corresponde a um antinó de qualquer onda harmônica estacionária. (a) Faça uma representação 
gráfica dos movimentos dos quatro primeiros modos normais de oscilação da corda. (b) Qual é a frequência 
fundamental da onda estacionária? (c) Com que frequência é preciso agitar a extremidade livre da corda para 
produzir uma onda estacionária com três antinós? 
 (a) 
 
(b) 14 𝜆1 = 𝐿 => 𝜆1 = 4𝐿 
𝑣 = 𝜆𝑓 → 𝑓 = 𝑣 𝜆1 = 𝑣4𝐿 = 14𝐿 √𝑇𝜇 = 14(4) √ 200(0,5/4) = 2,50 Hz 
(c) 34 𝜆1 = 𝐿 => 𝜆1 = 4𝐿3 
 𝑣 = 𝜆𝑓 → 𝑓3 = 𝑣 𝜆3 = 𝑣4𝐿/3 = 3𝑓1 = 7,50 Hz 
 
	8 – Reflexão e transmissão. Interferência de ondas. Ondas estacionárias em uma corda.