FISICA a05 08 valuno completo revisto

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física i
ExErcícios das aulas 5 a 8
Gil da Costa Marques
EXERCÍCIO 1
As coordenadas das posições ocupadas por uma partícula em movi-
mento obedecem as equações:
x(t) = 2t ; y(t) = 8 – 2t² e z(t) = 0 (unidades do SI).
a. Escreva a expressão cartesiana do vetor posição r→(t) que posiciona 
a partícula. 
b. Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração da partícula. 
c. Esboçar a trajetória ao longo da qual a partícula se move. 
EXERCÍCIO 2
As posições de uma partícula em movimento num plano são determi-
nadas pelas coordenadas polares 
ρ = 10+2t (m) e φ = πt (s; rad) .
a. Escrever as coordenadas cartesianas do ponto P. 
b. Escrever o vetor posição em coordenadas polares. 
c. Determinar a velocidade vetorial da partícula no instante t = 0. 
d. Esboçar a trajetória da partícula no plano xy. 
EXERCÍCIO 3
Uma partícula move-se no plano cartesiano xy e as posições por ela 
ocupadas são descritas pelo vetor posição 
r→(t) = (10 t) i→ + (6 t – 5 t²) j→ (unidades do SI).
Determine a posição, a velocidade e a aceleração da partícula nos ins-
tantes t = 0 e t = 4 s.
EXERCÍCIO 4
Uma bola é lançada horizontalmente de certa altura em relação ao solo. 
O eixo 0x do referencial adotado pertence ao solo horizontal e o eixo 0y 
se eleva na vertical. O movimento da bola segue as equações horárias: 
x = 20 t e y = 20 – 5 t² e z = 0 (em unidades do SI).
Física I / Exercícios das Aulas 5 a 8 2
a. Escreva o vetor posição r→(t) que posiciona a bola em função do tempo. 
b. Escreva as expressões cartesianas da velocidade e da aceleração 
para um instante t qualquer. 
c. No instante em que a bola atinge o solo ( y = 0 ) qual o módulo da 
velocidade e da aceleração e a posição x? 
EXERCÍCIO 5
Uma partícula movimenta-se no plano z = 0 segundo o vetor posição
r→ (t) = (3 t) i→ + (– 4t + 2 t²) j→ + 0.k→ (em unidades do SI).
a. Escreva as equações x = x(t) e y = y(t) . 
b. A expressão cartesiana da velocidade. 
c. A expressão cartesiana da aceleração. 
d. A posição, a velocidade e a aceleração no instante t = 0 . 
EXERCÍCIO 6
Duas crianças partem simultaneamente de uma esquina. A criança A 
segue para norte com velocidade constante 1 m/s e a criança B segue 
para leste com velocidade constante 2 m/s.
a. Qual o comprimento do segmento de reta que une as duas crianças 
depois de 20 s? 
b. Qual a velocidade relativa de B em relação a A? 
EXERCÍCIO 7
Um avião de acrobacia realiza movimentos circulares de raio R = 1.000 
m contidas num plano vertical. Em relação ao eixo 0x, o azimute da 
coordenada polar varia conforme φ = πt
v
→
v
→
v
→
v
→
Física I / Exercícios das Aulas 5 a 8 3
Dados: d(e
→
ρ)
dt
 = ω. e→φ e 
d(e→φ)
dt
 = – ω. e→ρ onde ω = 
dφ
dt
a. Escrever o vetor posição em coordenadas polares. 
b. Determinar o vetor velocidade do avião. 
c. Determinar o vetor aceleração do avião. 
EXERCÍCIO 8
As posições de uma partícula em movimento num plano são determi-
nadas pelas coordenadas polares ρ = 10.cosφ (m) e φ = 2πt (s; rad) .
a. Qual o valor da coordenada radial ρ no instante t = 0? 
b. Escrever o vetor posição em coordenadas polares. 
c. Determinar a velocidade vetorial da partícula no instante t = 0. 
EXERCÍCIO 9
No instante t = 0 um projétil é lançado da origem do referencial carte-
siano. As projeções do vetor posição que posiciona o projétil durante 
o movimento são: 
x(t) = 40 t e y(t) = 30 t – 5t² (em unidades do SI).
a. Escreva a equação horária do vetor posição. 
b. Escreva a equação horária da velocidade. 
c. Escreva a equação horária da aceleração. 
d. No instante em que vy = 0, o projétil passa pela posição y = ymax ; 
determine ymax . 
EXERCÍCIO 10
Um projétil é lançado da origem do referencial cartesiano xy com velo-
cidade v0 com certa inclinação com relação a horizontal, conforme ilus-
tra a figura.
vo
→
x
y
θ
As projeções nos eixos x e y, dos pontos que o projétil ocupa durante 
o movimento, seguem as equações: x(t) = 250t e y(t) = 400t – 5t² (SI).
Física I / Exercícios das Aulas 5 a 8 4
Pedem-se:
a. O instante t ( e a respectiva coordenada y) no qual y(t) = ymax ;
b. A coordenada x do ponto de impacto do projétil com o eixo 0x. 
EXERCÍCIO 11
Um avião a serviço humanitário voa a uma altitude H = 845 m a veloci-
dade horizontal constante v = 216 km/h (60 m/s). No instante t = 0 um 
pacote é solto do avião que continua o seu vôo sem mudar a sua velo-
cidade. O vetor posição do pacote é r→(t) = (60 t) i→+ (845 – 5 t²) j→ (em 
unidades do SI). No instante t = 0 a origem do vetor posição coincide 
com o pé da vertical do solo até o avião. Determinar:
a. A expressão analítica do vetor velocidade do pacote. 
b. As componentes vx e vy da velocidade do pacote quando este atin-
gir o solo (y = 0). 
c. A equação da trajetória do pacote. 
	
  
	
  	
  
Disciplina:	
  Física	
  I,	
  Autor:	
  Gil	
  da	
  Costa	
  Marques	
  
Engenharia	
  -­‐	
  UNIVESP 
DISCIPLINA FÍSICA I 
BIMESTRE 2 
LISTA	
  DE	
  EXERCÍCIOS	
  RESOLVIDA	
  DA	
  SEMANA	
  2	
  (AULAS	
  5	
  A	
  8)	
  
Para	
  mediadores 
EXERCÍCIOS	
  PARA	
  O	
  PORTFÓLIO:	
  4	
  E	
  6. 
Exercício 1 
As coordenadas das posições ocupadas por uma partícula em movimento obedecem as equações: 
x(t) = 2 t ; y)t) = 8 - 2 t² e z (t) = 0 (unidades do SI). 
a) Escreva a expressão cartesiana do vetor posição (t) que posiciona a partícula. 
b) Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração da partícula. 
c) Esboçar a trajetória ao longo da qual a partícula se move. 
 
Respostas 
(a) Vetor posição.	
  
 
O vetor (t) com origem em 0 e extremidade em P(x;y;z) é o vetor posição. 
A sua extremidade acompanha a posição que partícula ocupa em cada instante. 
É um vetor que posiciona a partícula em relação à origem do referencial. 
O seu módulo = r(t) = OP = distância da origem até o ponto P. 
Ele pode ser expresso em função de suas componentes:	
  
( ; ; ) = . . + . . 
Se a particular mudar de posição na superfície de um plano, o movimento é dito ser plano, é o vetor posição é caracterizado por 
duas componentes.	
  
 
	
  
	
  	
  
Disciplina:	
  Física	
  I,	
  Autor:	
  Gil	
  da	
  Costa	
  Marques	
  
No plano, o vetor posição tem a seguinte expressão analítica: ( ; ) = . . se o movimento for no plano xy. 
Neste caso, as componentes são:	
  
• (t) = x(t) = r.cos 	
  
• (t) = y(t) = r.sen 
onde = ângulo azimutal (medido do eixo 0x até o vetor , no sentido anti-horário olhando do eixo 0z para a origem. 
Desta maneira, o vetor posição é assim expresso: (t) = x(t). + y(t). . 
Neste exercício, o enunciado afirmar que: x(t) = 2 t e y(t) = 8 - 2 t²; logo, (t) = (2t). + (8 - 2t²). . 
(b) Vetor velocidade e vetor aceleração. 
Conforme definição: 
 (t) = = = + = + = 2. +[-4t]. 	
  
(t) = 2. - 4t. 
Por procedimento semelhante determinamos o vetor aceleração: 
 
(t) = = = + = 0. - 	
  
(t) = 
 
(c) Esboço da trajetória. 
 
Para esboçar a trajetória precisamos conhecer os valores das coordenadas x e y para diversos valores de t. Vamos preencher a 
tabela de valores para facilitar a tarefa, inclusive com os valores das velocidades e aceleração. 
 
 t = 0 t= 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s 
x(t) = 2.t (m) 0 2 4 6 8 
y(t) = 8 -2t² (m) 8 6 0 -10 -24	
  
(t) (m/s) 2 2. - 4. 2. - 8. 2. - 12. 2. - 16. 	
  
(t) (m/s²) - 4 - 4 - 4 - 4 - 4 
 
	
  
	
  	
  
Disciplina:	
  Física	
  I,	
  Autor:	
  Gil	
  da	
  Costa	
  Marques	
  
	
   
A variavel t R e t 0 
A trajétória é parabólica e cada posição é definida por um 
vetor posição e também por um par de valores 
coordenados x(t) e y(t). 
No gráficoda trajetória foram desenhados as 
componentes (t) = 2 m/s e = - 4t (SI) que 
cresce no sentido oposto ao eixo 0y. 
 EQUAÇÕES PARAMÉTRICA E EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA MOVIMENTO NO PLANO 
As equações x(t) = 2.t e y(t) = 8-2t² são denominadas Equações paramétricas (dependem do parâmetro t). 
Explicitando t = e substituindo em y(t) obtem y(x) = 8 – 2( )² = 8 – ( )x² que, matematicamente, é uma 
polinomial de 2 grau ( Parábola). Resumindo: eliminando-se t entre as equações paramétricas tem-se uma 
função y = f(x) que é a equação da trajetória da partícula. 
Exercício 2 
As posições de uma partícula em movimento num plano são determinadas pelas coordenadas polares = 
10+2t (m) e = t (s; rad) .	
  
 
a) Escrever as coordenadas cartesianas do ponto P. 
b) Escrever o vetor posição em coordenadas polares. 
c) Determinar a velocidade vetorial da partícula no instante t = 0. 
d) Esboçar a trajetória da partícula no plano xy. 
 
Respostas comentadas. 
 
	
  
	
  	
  
Disciplina:	
  Física	
  I,	
  Autor:	
  Gil	
  da	
  Costa	
  Marques	
  
Uma partícula move-se no plano cartesiano xy e as posições por ela ocupadas são descritas pelo vetor 
posição (t) = (10 t) + (6 t – 5 t²) (unidades do SI). 
Determine a posição, a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes t = 0 e t = 4 s. 
 
Respostas comentadas. 
 
A análise do vetor de posição permite inferir que: 1) x(t) = 10t (SI) e y(t) = (6t - 5t²) SI. 
Sendo (t) = (10 t) + (6 t – 5 t²) , a velocidade da partícula é = =10. + (6 - 10t). e a 
aceleração vetorial é = = -10. . A tabela mostra as coordenadas (x;y) da posição da partículas, a 
velocidade e a aceleração nos instantes t = 0 e t = 4s. 
 
 x = 10t (m) y = 6t – 5t² (m)	
   = 10 +(6-10t) (m/s)	
   = - 10. (m/s²) 
t = 0 0 0 10 + 0. - 10. 
t = 4 40 -56 10 – 34. - 10. 
 
Exercício 4 
Uma bola é lançada horizontalmente de certa altura em relação ao solo. O eixo 0x do referencial adotado 
pertence ao solo horizontal e o eixo 0y se eleva na vertical. O movimento da bola segue as equações 
horárias: x = 20 t e y = 20 – 5 t² e z = 0 (em unidades do SI). 
a) Escreva o vetor posição que posiciona a bola em função do tempo. 
b) Escreva as expressões cartesianas da velocidade e da aceleração para um instante t qualquer. 
c) No instante em que a bola atinge o solo ( y = 0 ) qual o módulo da velocidade e da aceleração 
e a posição x? 
Respostas comentadas. 
Item (a): (t) = 20t. + (20 – 5 t²). ) 
Item (b): (t) = 20. -10t. e (t) =-10. (m/s²). 
Item (c): Para a solução calculamos o instante t em que a bola atinge o solo e para tal igualamos a equação 
horária y(t) = 20-5t² = 0 donde se extrai t = = 2 s ( t 0). 
Substituindo-se t = 2 s na equação da velocidade e do vetor posição teremos (t= 2s) = 20. - 20. (m/s) e 
(t=2 s) = 40. + 0. (m). Quanto a aceleração, ela é constante, = - 10. (m/s²). 
karine.tressler
Retângulo
	
  
	
  	
  
Disciplina:	
  Física	
  I,	
  Autor:	
  Gil	
  da	
  Costa	
  Marques	
  
Exercício 5 
Uma partícula movimenta-se no plano z = 0 segundo o vetor posição (t) = (3 t) + (- 4t + 2 t²) + 0. (em 
unidades do SI). 	
  
 
a) Escreva as equações x = x( t) e y = y( t). 
b) A expressão cartesiana da velocidade. 
c) A expressão cartesiana da aceleração. 
d) A posição, a velocidade e a aceleração no instante t = 0 
Respostas comentadas. 
a) x(t) = 3t (SI) e y(t) = 2t² -4t (SI). A função horária da abscissa do ponto ocupado pela partícula é uma 
função de grau 1; logo, o movimento da projeção do ponto no eixo x é uniforme ( velocidade constante). E 
o movimento da projeção do ponto no eixo y é uniformemente acelerado ( função horária do espaço segue 
uma polinomial de grau 2 no tempo). 
b) = = 3 + (4t – 4) (SI). Observe que a componente = 3 m/s² (constante) e = 0; A 
componente =(4t-4 )(m/s) varia uniformemente com tempo e = 4 m/s², constante. 
c) (t) = = = 0. + 4. (m/s²) 
d) No instante t = 0 
 
• (0) = 0, ou seja, x=y = 0 ( a partícula passa 
pela origem do referencial)	
  
• (0) = 3. -4. ( =3 e – 4 (SI). O esquema 
ao lado mostra os respectivos vetores.	
  
• = 4. m/s² (SI)	
   
 
Exercício 6 
Duas crianças partem simultaneamente de uma esquina. A criança A segue para norte com velocidade 
constante 1 m/s e a criança B segue para leste com velocidade constante 2 m/s. 
a) Qual o comprimento do segmento de reta que une as duas crianças depois de 20 s? 
b) Qual a velocidade relativa de B em relação a A? 
	
  
	
  	
  
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  Autor:	
  Gil	
  da	
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Exercício 7 
Um avião de acrobacia realiza movimentos circulares de raio R = 1.000 m contidas num plano vertical. Em 
relação ao eixo 0x, o azimute da coordenada polar varia conforme = .t	
  
 
Dados: = . e = - . onde = 
a) Escrever o vetor posição em coordenadas polares. 
b) Determinar o vetor velocidade do avião. 
c) Determinar o vetor aceleração do avião. 
Respostas comentadas. 
a) (t) = . = 1000. (SI).	
  
 (t) = = = 1000 = 1000 . Precisamos determinar a derivada = = 
. Portanto, o vetor velocidade assim se escreve: (t) = 1000 . . 
c) 1000 . = -1000. . 
Exercício 8 
As posições de uma partícula em movimento num plano são determinadas pelas coordenadas polares = 
10.cos (m) e = t (s; rad) . 
a) Qual o valor da coordenada radial no instante t = 0? 
b) Escrever o vetor posição em coordenadas polares. 
c) Determinar a velocidade vetorial da partícula no instante t = 0. 
Respostas comentadas. 
a) No instante t = 0, a variável angular = 2 (0) = 0 e, portanto, a coordenada radial é = 10.cos(0) = 10 
m. 
	
  
	
  	
  
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  Autor:	
  Gil	
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b) (t) = 10.cos . , substituindo = t, tem-se: (t) = 10.cos( t). . 
c) (t) = = = 20 sen( t). + 10.cos(2 t). . 
É preciso calcular a derivada = -( . ; como = 2 t, a derivada = 2 portanto, a 
derivada = - 2 . . Temos então: 
 (t) = 20 ( t). + 10.cos(2 t).[-2 . ] = [20 sen( t)]. + [-20 .cos(2 t). . 
 (t) = [20 sen( t)]. + [-20 .cos(2 t). . (salvo melhor juízo) 
No instante t = 0: (t=0) = -20 . 
Exercício 9 
No instante t = 0 um projétil é lançado da origem do referencial cartesiano. As projeções do vetor posição 
que posiciona o projétil durante o movimento são: x( t) = 40 t e y( t) = 30 t – 5 t² (em unidades do SI). 
 a. Escreva a equação horária do vetor posição. 
 b. Escreva a equação horária da velocidade. 
 c. Escreva a equação horária da aceleração. 
 d. No instante em que = 0, o projétil passa pela posição y = ; determine . 
Respostas comentadas. 
a) (t) = (40t) + (30t – 5t²) (SI) 
b) (t) = = 30. + (30 – 10.t) 
c) A função horária y(t) = 30t – 5t² é a polinomial que descreve o movimento da projeção do projétil no 
eixo y. Aprendemos, quando do estudo de máximo e mínimo de funções, que se igualando a zero a 
primeira derivada da função, descobrimos o valor da variável ( no caso, a variável t) para o qual a função se 
anula. Assim: = = 30 – 10t. Igualando este resultado a zero temos: 30-10t = 0 donde t = 3 
s. A segunda derivada, no mesmo instante t, é: = -10. Como a segunda derivada é negativa, a 
função y(t) no ponto t = 3 corresponde a um ponto de máxima. Logo, = 30(3) – 5(3)² = 45 m. E neste 
ponto, a componente = 30 – 10(3) = 0, ou seja, momentaneamente a componente da velocidade do 
projétil é nula no ponto de altura máxima. Imediatamente o projétil atingir o ponto de altura máxima, ele 
inicia o movimento de retorno. 
Exercício 10 
	
  
	
  	
  
Disciplina:	
  Física	
  I,	
  Autor:Gil	
  da	
  Costa	
  Marques	
  
Um projétil é lançado da origem do referencial cartesiano xy com velocidade com certa inclinação com 
relação a horizontal, conforme ilustra a figura. 	
  
 
As projeções nos eixos x e y, dos pontos que o projétil ocupa durante o movimento, seguem as equações: 
 x(t) = 250 t e y(t) = 400t – 5t² (SI). 
Pedem-se: 
 a. O instante t ( e a respectiva coordenada y) no qual y(t) = 
 b. A coordenada x do ponto de impacto do projétil com o eixo 0 x. 
Respostas comentadas. 
a) = = 400 – 10t = 0 t = 40 s. Logo, y (t=40 s) = 400(40) – 5(40)² = 8.000 m. 
b) No ponto de impacto, y (t) = 0, logo y = 400t – 5t² = (400-5t)t = 0, resultam dois valores de t: t’ = 0 s e 
t” = 80 s. Para determinar a respectiva coordenada x, vamos substituir na função horária da componente x da 
posição, os valores t’ = 0 e t” = 80s. Assim, para t = 0 x =250(0) = 0 e para t = 80 s x = 250(80) = 
20.000 m. Portanto, a coordenada do ponto de impacto é = 20.000 m. 
Exercício 11 
Um avião a serviço humanitário voa a uma altitude H = 845 m a velocidade horizontal constante v = 216 
km/h (60 m/s). No instante t = 0 um pacote é solto do avião que continua o seu vôo sem mudar a sua 
velocidade. O vetor posição do pacote é (t) = (60 t) + (845 – 5 t²) (em unidades do SI). No instante t 
= 0 a origem do vetor posição coincide com o pé da vertical do solo até o avião. Determinar: 
a. A expressão analítica do vetor velocidade do pacote. 
b. As componentes e da velocidade do pacote quando este atingir o solo (y = 0). 
c. A equação da trajetória do pacote. 
Respostas 
	
  
	
  	
  
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  Autor:	
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a) (t) = = 60.i + (-10t). (SI) 
b) Precisamos calcular o instante t em que o pacote atinge o 
solo. Para tal fazemos y = 0, ou seja, y(t) = 845-5t² = 0; 
desde igual, extraímos t = 13 s. Substituindo em (t) = 60.i 
+ (-10t). , resulta, (t=13 s) = 60.i + (-130). . Portanto, no 
instante em que o pacote atinge o solo, = 60 m//s e = - 
130 m/s ( sinal negativo, indica que o movimento é para 
baixo).	
  
 
 
c) A equação da trajetória pode ser obtida eliminando-se o tempo t de x(t) e y(t). Assim, de x(t) = 60 t tem-se 
que t = x/60. Substituindo em y = 845-5t², resulta y = 845 - (m) que é equação de uma parábola. 
 
 
	
  
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