Trigonometria: Triângulo Retângulo e Funções Básicas

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6 TRIGONOMETRIA
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.
6.1 TRIÂNGULO RETÂNGULO
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.
Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade dos conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.
A hipotenusa com base de um triângulo retângulo
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
Projeções no triângulo retângulo. Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo 
retângulo.
 
m = projeção de c sobre a hipotenusa.
n = projeção de b sobre a hipotenusa.
a = m+n.
h = média geométrica entre m e n. 
6.2 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C. 
Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
Assim:
a/b = b/n = c/h 
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
logo:
a/c = c/m    equivale a    c² = a.m
a/b = b/n    equivale a    b² = a.n
a/c = b/h    equivale a    a.h = b.c
h/m = n/h    equivale a    h² = m.n
Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a = m + n, somando c² com b², obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
que resulta no Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
6.3 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.
Para dois ângulos complementares e , isto é, , são válidas as seguintes propriedades:
	PROPRIEDADE 01: O seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar.
 ou 
	PROPRIEDADE 02: A tangente de um ângulo é igual ao inverso da tangente de seu complementar.
 ou 
Daí vem que: 
Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação: cos²(x) + sen²(x) = 1 
Ângulos Notaveis
Os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30o, 45o e 60o são mostrados na tabela a seguir:
6.4 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 
Seja uma circunferência de centro O sobre a qual marcamos dois pontos distintos, A e B. A cada uma das partes em que a circunferência fica dividida chamamos arco de circunferência. 
Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos, são relações úteis entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer, não necessariamente retângulo, ampliamos o domínio das funções, colocando:
Lei dos senos: 
Em todo triângulo ABC, vale a seguinte relação: 
Lei dos cossenos: 
Em todo triângulo ABC, valem as relações: 
 cos A
 cos B
 cos C
6.5 UNIDADES DE MEDIDA DE ARCOS
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.
 
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
O grau é uma unidade de medida que tem como sub-unidades: o minuto e o segundo. Chama-se minuto a do grau e segundo a do minuto. 
Não confunda minuto (') e segundo (''), submúltiplos do grau, com minuto (min) e segundo (s) submúltiplos da hora! 
Uma vez que uma circunferência qualquer tem comprimento umc, o arco de uma volta tem medida igual a 2π radianos.
Unidades de medida de comprimento
De modo geral, dado um arco cujo comprimento é L umc, dizemos que sua medida, em radianos, é igual a . Assim, se a circunferência do arco considerado tem raio unitário, a medida do arco, em radianos, é numericamente igual ao comprimento do arco.
Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2πr, então: 
m(AB)= comprimento do arco (AB) = 2πr = 2π
 comprimento do raio r
Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2π rad, isto é, 2π rad = 360 graus.
Podemos estabelecer os resultados seguintes
0 graus = 0 grado = 0 radianos
Mudança de unidades
Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,
Assim, temos a igualdade R/2π=G/360.
Exemplos
Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos 
Assim R=π/3 ou 60 graus=π/3 rad
Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos: 
Asim 1 rad=180/πgraus.
6.6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Determine a diagonal maior de um losango cujos lados medem 10cm e sabendo que um dos ângulos mede 120o.
É dado um losango, representado na figura abaixo: 
Solução
Como as diagonais do losango são perpendiculares e cada diagonal do losango é a bissetriz dos ângulos opostos, podemos, a partir da figura, observar que basta considerar o
 de onde, 
pois 
Logo e, como as diagonais de um losango se interceptam mutuamente no ponto médio, a diagonal maior mede cm, isto é, aproximadamente 17 cm.
2) Um agrimensor quer encontrar a distância entre duas árvores A e B que se encontram em margens opostas de um rio. A partir de um ponto C, que se encontra na mesma margem do que A, ele tomou as seguintes medidas: AC=14m, e . Com esses dados, é possível encontrar a distância entre as árvores?
Solução
Esquematizando o problema, temos:
Pela Lei dos senos, aplicada ao triângulo ABC, temos:
pois a medida do ângulo é 40o. 
Logo 
Fisicamente, o valor de 12,18 m apresenta um erro: ele tem quatro algarismos significativos e o valor de AC que foi dado tem apenas dois algarismos significativos. Respeitando esse fato, a resposta deve ter no máximo dois algarismos significativos.
A distância entre as árvores é pois de, aproximadamente, 12 m.
04) (UEPA – PRISE) O mastro de um navio é preso verticalmente por cabos de aço fixo na proa (A) e na popa (B), conforme mostra a figura a seguir. Se o cabo mede m então, a altura do mastro é:
 
a) b) c) d) e) 
Solução
Destacamos o triângulo BCD retângulo em D: 
	A razão trigonométrica a ser aplicada é o seno, poiso mastro (CD) é o cateto oposto ao ângulo de 30o e o cabo BC é a hipotenusa.
 e como , temos:
 
Portanto a altura do mastro é m (alternativa b).
5. (UEPA – PRISE) Um botânico interessado em descobrir qual o comprimento da copa de uma árvore fez as observações indicadas na figura abaixo a partir de um ponto no solo. O comprimento (H), em metros, dessa copa é:
 
a) b) 15 c) d) e) 30 
Solução:Observe o esquema
 H + x = y
Destacamos os dois triângulos retângulos a seguir:
	
 e como tg 45o = 1, temos , logo x = 10. A medida do tronco da árvore é 10 m.
Observe que y representa a altura da árvore e para calcular este valor aplicamos a tangente de 60o, pois y é o cateto oposto e a medida 10 m é o cateto adjacente. 
 e como , temos , logo .
	Substituindo x e y na relação H + x = y, temos:
m,,
6.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (TRIGONOMETRIA)
6. (UFSM-RS) Um estudante de engenharia vê um prédio do campus da UFSM construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio mais 40 m, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível dos olhos do estudante, então a altura h do prédio é igual a:
a) b) c) 10 d) e) 28
7. (UFJF-MG) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento para medir ângulos) a 200 m do edifício e mediu o ângulo de 30º, como indicado na figura a seguir:
Sabendo que o teodolito está a 1,5 m do solo, pode-se concluir que, dentre os valores a seguir, o que melhor aproxima a altura do edifício, em metros, é:
a) 112 b) 115 c) 117 d) 120 e) 124
8. (CEFET-PR) A Rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, se cruzam segundo um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul se encontra na Avenida Teófilo Silva a 4000 m do citado cruzamento. Portanto, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros, em quilômetros, é igual a:
a) 4 b) 12 c) 2 d) 5 e) 8
9. (CEFET-PR) Patrik Onom Étrico, um jovem curioso, observa da janela do seu quarto (A) uma banca de revistas (R), bem em frente ao seu prédio, segundo um ângulo de 60º com a vertical. Desejando avaliar a distância do prédio à banca, Patrik sobe seis andares (aproximadamente 16 metros) até o apartamento de um amigo seu, e passa a avistar a banca (do ponto B) segundo um ângulo de 30º com a vertical. Calculando a distância “d”, Patrik deve encontrar, aproximadamente, o valor: (Dados: )
a) 8,0 m b) 11,2 m c) 12,4 m d) 13,6 m e) 15,0 m
10) Utilizando o Teorema de Pitágoras, determine o valor de x nos triângulos retângulos:
3x
4x
20
6
x
	a)					 			b)
3
x
x
x
x
 + 1	
c) 								d) 
11) A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada é de:
8 
m
15 
m12 m.
30 m.
15 m.
17 m.
20 m.
A
B
C
D
E
F
x
x12) Na figura tem-se que e F é ponto médio do lado do retângulo BCDE.
	Determine:
	a) a medida x indicada na figura.
	b) a área do retângulo BCDE.
13) O triângulo retângulo ABC ao lado é retângulo em A. Então o valor de x é:
			 A
				 6
			 12	 x
	 B				 C
3.
4.
5.
6.
14) O valor de x no triângulo retângulo abaixo é:
	 	 A
		x
	
		 9	 
	 B		 25		 C
10.
12.
15.
18.
15) Aplicando as relações métricas nos triângulos retângulos abaixo, determine o valor de x:
6
n
12
3
9
ba)								b)
3
x
y
h
b
c
a
2
4c) 								d)
16) Uma escada, apoiada sobre um muro vertical, forma com ele um angulo de 30o. O pe da escada fica a 3 m do muro. Determine:
a) o comprimento da escada;
b) que altura do muro atinge.
17) Uma pessoa caminhou 5 km para o norte, 5 km para o leste e 7 km para o norte, novamente. A que a distancia esta do seu ponto de partida?
18) O perímetro de um triângulo retângulo e igual a 56 cm e a hipotenusa mede 25 cm. De quantos centímetros um dos catetos excede o outro?
19) Qual e a medida da hipotenusa de um triangulo retângulo isósceles cujo perímetro e igual a 2 2 m
20) Uma escada de 25 dm de comprimento se apóia num muro do qual seu pé dista 7 dm . Se o pé da escada se afastar mais 8 dm do muro, qual o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada ?
21) Para realizar um treinamento de salvamento em altura, os bombeiros amarraram uma das extremidades de uma corda no topo de uma torre vertical e prenderam a outra extremidade no solo, medindo 50 metros a distancia entre as duas extremidades. Sabe-se que a referida corda estava totalmente esticada e formava um angulo de 45 graus com o solo que era horizontal e plano. Qual a altura da torre utilizada no treinamento?
Considere 
22) Uma pessoa esta distante 80m da base de um prédio e vê um ponto mais alto do prédio sob um angulo de 16° em relação a horizontal. Qual e a altura do prédio?
23) Um avião levanta vôo em B, e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando passar pela vertical que passa por uma igreja situada a 2km do ponto de partida?
24) Uma torre vertical de altura 12m e vista sob um angulo de 30° por uma pessoa que se encontra a uma distancia x da sua base e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa base. Determina a distancia x
25) Dois observadores A e B vêem um balão, respectivamente, sob ângulos visuais de 20° e 40°. Sabendo que a distancia entre A e B e de 200m, calcule a altura do balão. Obs.: os observadores encontram-se do mesmo lado em relação ao balão.
26) Num exercício de tiro, o alvo se encontra numa parede cuja base esta situada a 82m do atirador. Sabendo que o atirador vê o alvo sob um angulo de 12° em relação a horizontal, calcula a que distancia do chão esta o alvo.
27) A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um angulo de 30°. Caminhando 23m em direção ao prédio, atingimos outro ponto, onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60°. Desprezando a altura do observador, calcula, em metros, a altura do prédio.
28) Queremos encostar uma escada de 8m de comprimento numa parede, de modo que forme um ângulo de 60°com o solo. A que distancia da parede devemos apoiar a escada no solo?
29) Um avião levanta vôo sob um angulo de 30°. Quando tiver percorrido meio quilometro, a que altura estará do solo?
30) Um observador em A vê uma torre vertical CD sob um angulo de 30° e caminhados 40m em direção a torre, passa a vê-la sob 40° Sabendo que a altura do observador e 1,70m, calcule a altura da torre e a que distancia ela se encontra do observador.
31) Um mergulhador percorreu uma distancia de 40m, entre a superfície e o fundo do mar, segundo uma trajetória retilínea que forma um ângulo de 50° com a superfície.
a) Qual e, aproximadamente, a profundidade do local alcançado pelo mergulhador?
b) Subindo verticalmente para a superfície, a que distância do ponto em que mergulhou ele sairá aproximadamente?
32) Em cada caso, calcule sen, cos e tg dos ângulos agudos dos triângulos retângulos abaixo.
33) Um barco atravessa um rio de 80 m de largura, seguindo uma direção que forma 70o com a margem de partida. Qual a distância percorrida pelo barco? Quantos metros, em relação ao ponto de partida, ele se desloca rio abaixo?
35) Encontre o valor de x em cada caso:
36) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15o com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igrejasituada a 2 km do ponto de partida? (Dados sen 15o = 0,259 e tg 15o = 0,268.)
37) Um guarda florestal, postado numa torre de 20 m no topo de uma colina de 500 m de altura, vê o início de um incêndio numa direção que forma com a horizontal um ângulo de 17o. A que distância aproximada da colina está o fogo ? (Use a tabela trigonométrica).
6.9 GABARITO TRIGONOMETRIA
6) B
7) C
8)C
9) D
10) a) x = 5 b) x = 3 c) x = 3 d) x = 3
11) d
12) a) x = 6 b) A = 72
13) a
14) c 
15) a) n = 3 b) b = 6 c) x = 8 e y = d) a = 6 b = 2 c = 2 e h = 2
16) 
17) 13
18) 17
19) 9,1
22 h = 22,93 m (sem levar em conta a altura da pessoa)
23) h = 0,53589 km = 535,89 m d 2,07055 km = 2070,55 m
24) x = 20,78m
25) h = 128,56m 26) d = 17,43m
27) h = 19,92m 28) d = 4m
29) h = 0,25 km = 250m 30) h = 75,73 m d = 128,23 m
31) a) h = 30,64 m b) x = 25,71 m
16