1 Introducao

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
VIBRAÇÕES MECÂNICAS
PROFESSOR VICTOR CESAR PANUCI 
INTRODUÇÃO
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BIBLIOGRAFIA
● Básica
RAO, Singiresu. Vibrações mecânicas. 4ª ed. Pearson, 
2009. SP.
● Complementar
KELLY, Graham. Mechanical Vibrations Theory and 
Applications. Cengage Learning, 2012. USA.
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BIBLIOGRAFIA
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TEMAS ABORDADOS
● Unidades e conversões;
● Introdução à vibração;
● Procedimento de análise;
● Elemento de mola;
● Elemento de massa;
● Elemento de amortecimento;
● Movimento harmônico;
● Definições;
● Exercícios.
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UNIDADES E CONVERSÕES
● Sistema Internacional (S.I.)
– Massa: [Kg]
– Tempo: [s]
– Força: [N]
– Deslocamento: [m]
– Ângulo: [rad]
– Constante de mola: [N/m]
– Constante de amortecimento viscoso: [N.s/m]
– Tensão: [Pa] = [N/m²]
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UNIDADES E CONVERSÕES
● Constante gravitacional (S.I.):
– g= 9,81 [m/s²]
● Propriedades do aço (S.I.)
– Módulo de Elasticidade, E= 206,8 Gpa
– Módulo de Rigidez, G= 80,8 GPa
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UNIDADES E CONVERSÕES
● Sistema Inglês (U.I.)
– Massa: [lb] (libra massa)
– Tempo: [s] 
– Força: [lb] (libra força)
– Deslocamento: [in]
– Ângulo: [rad]
– Constante de mola: [lb/in]
– Constante de amortecimento viscoso: [lb.s/in]
– Tensão: [psi] = [lb/in²]
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UNIDADES E CONVERSÕES
● Constante gravitacional (U.I.)
– g= 386,4 [in/s²]
● Propriedades do aço (U.I.)
– Módulo de Elasticidade, E= 30 Mpsi
– Módulo de Rigidez, G= 11,7 Mpsi
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INTRODUÇÃO À VIBRAÇÃO
● Vibração
– Qualquer movimento que se repita ao longo do tempo é 
chamado de vibração ou oscilação, por exemplo um pêndulo, 
corda de violão.
– As partes elementares de um sistema vibratório inclui um 
meio para armazenar energia potencial (mola ou 
elasticidade), um meio para armazenar energia cinética 
(massa ou inércia) e um meio gradual de perda de energia 
(amortecedor).
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INTRODUÇÃO À VIBRAÇÃO
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INTRODUÇÃO À VIBRAÇÃO
● Graus de liberdade
– O número mínimo de coordenadas independentes 
requeridas para determinar completamente as posições de 
todas as partes de um sistema a qualquer instante define o 
grau de liberdade.
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INTRODUÇÃO À VIBRAÇÃO
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INTRODUÇÃO À VIBRAÇÃO
● Sistemas discretos e contínuos
– Uma grande parte dos sistemas práticos podem ser 
descritos utilizando um número finito (sistema discreto) 
de graus de liberdade, como os sistemas anteriores.
– Alguns sistemas, em especial os que envolvem 
elementos elásticos contínuos, têm um número infinito 
de graus de liberdade (sistema contínuo ou distribuído), 
como exemplo a viga em balanço.
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INTRODUÇÃO À VIBRAÇÃO
– Na maioria das vezes, sistemas contínuos são aproximados 
como sistemas discretos, e as soluções são obtidas de 
maneira mais simples. A quantidade de graus de liberdades 
vai depender da precisão requerida para a solução do 
problema.
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INTRODUÇÃO À VIBRAÇÃO 
● Classificação de vibração
– Vibração Livre e Forçada
● Se um sistema, após perturbação inicial, continua a vibrar por conta 
própria, dizemos que ele esta em vibração livre.
● Se um sistema está sujeito a uma força externa, a vibração resultante é 
conhecida como vibração forçada.
– Vibração Amortecida e Não Amortecida
● Se nenhuma energia for perdida ou dissipada por atrito ou outra 
resistência durante a oscilação, a vibração é conhecida como não 
amortecida.
● Se qualquer energia for dissipada, então ela é amortecida.
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INTRODUÇÃO À VIBRAÇÃO 
– Vibração Linear e Não Linear
● Se todos o componentes básicos de um sistema vibratório comportarem-se 
linearmente, a vibração resultante é linear, caso contrário é dita não linear.
– Vibração Determinística e Aleatória
● Se o valor ou magnitude da excitação (força ou movimento) que está 
agindo sobre um sistema vibratório for conhecido a qualquer dado 
instante, a excitação é denominada determinista e a vibração resultante é 
determinística.
● Em alguns casos, a excitação é não determinística ou aleatória, pois o valor 
da excitação em dado instante não pode ser previsto. Neste casos, um 
grande numero de registros da excitação pode exibir alguma regularidade 
estatística, é possível estimar médias como os valores médios e valores 
médio ao quadrado da excitação.
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INTRODUÇÃO À VIBRAÇÃO
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PROCEDIMENTO DE ANÁLISE
● Um sistema vibratório é um sistema dinâmico para a qual as 
variáveis como as excitações (entradas) e resposta (saídas) 
são dependentes do tempo, em geral as respostas de um 
sistema depende das condições iniciais, bem como das 
excitações externas.
● Assim a análise de um sistema vibratório normalmente 
envolve modelagem matemática, obtenção de equações 
governantes, soluções das equações e interpretações dos 
resultados.
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ETAPA 1: MODELAGEM MATEMÁTICA
● A finalidade da modelagem matemática é representar todos os 
aspectos importantes do sistema com o propósito de obter as 
equações matemáticas que governam o comportamento do 
sistema. O modelo deve incluir detalhes suficientes para conseguir 
descrever o sistema em termo das equações sem torná-lo complexo.
● Às vezes, o modelo matemático é aperfeiçoado gradativamente para 
obter resultados mais precisos. Nessa abordagem, em primeiro 
lugar, é usado um modelo muito grosseiro ou elementar para ter 
uma ideia rápida do comportamento global do sistema, na 
sequência, o modelo é refinado com a inclusão de mais 
componentes ou detalhes de modo que o comportamento do 
sistema possa ser observado com maior precisão.
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ETAPA 1: MODELAGEM MATEMÁTICA
● Exemplo de modelo matemático:
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ETAPA 1: MODELAGEM MATEMÁTICA
● Primeira aproximação, 1 grau de liberdade:
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ETAPA 1: MODELAGEM MATEMÁTICA
● Aproximação com 2 graus de liberdade:
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ETAPA 2: DERIVAÇÃO DAS EQUAÇÕES
● Há varias abordagens que costumam ser usadas para 
derivar as equações, entre elas a segunda lei de Newton, o 
princípio de D’Alembert e o princípio da conservação de 
energia. 
● As equações de movimento de um sistema vibratório estão 
normalmente na forma de um conjunto de equações 
diferenciais ordinárias para um sistema discreto e equações 
diferenciais parciais para um sistema contínuo.
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ETAPA 3: SOLUÇÃO E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS
● As equações de movimento podem ser resolvidas para 
determinar as respostas do sistema vibratório. 
● A solução das equações governantes fornece os 
deslocamentos, velocidades e acelerações das massas do 
sistema, estes resultados podem ser interpretados com uma 
clara visão da finalidade da análise e das possíveis 
implicações dos resultados no projeto.
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ELEMENTO DE MOLA
● Uma Mola linear é um tipo de elo mecânico com massa e 
amortecimento desprezível. Tem-se a força dado por:
● O trabalho realizado, U, na deformação de uma mola é armazenado 
como deformação ou energia potencial na mola, é dada por:
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ELEMENTO DE MOLA
● Um elemento elástico como uma viga, também comporta-se como 
mola, por exemplo:
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ELEMENTO DE MOLA
● Associação de molas
– Em aplicações reais, normalmente as molas são utilizadas por 
meio de associações, sendo em série ou em paralelo. Para 
simplificar o modelo, podemos substituir por uma equivalente.
● Molas em paralelo
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ELEMENTO DE MOLA
● Molas em série
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EXERCÍCIO 1 
A figura abaixo mostra o sistema de suspensão de um vagão ferroviário 
de carga com um arranjo de molas em paralelo. Determine a constante 
elástica equivalente da suspensão se cada uma das três molas 
helicoidais for fabricada em aço com um módulo de elasticidade 
transversal G = 80 x 109 N/m² e tiver cinco espiras efetivas, diâmetro de 
enrolamento D = 20 cm, e diâmetro do arame d = 2 cm.
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EXERCÍCIO 2 
● Determinea constante elástica torsional do eixo de hélice em aço 
mostrada na figura.
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ELEMENTO DE MASSA (INÉRCIA)
● Admite-se que elemento de massa é um corpo rígido, que pode ganhar 
ou perder energia cinética sempre que a velocidade do corpo mudar.
● A energia cinética é dada por:
● Associação de elementos de massa
– Assim como as molas, em sistemas reais, os elementos podem ser 
associados, para realizar uma analise simples, podemos substituir 
estas massas por uma equivalente.
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ELEMENTO DE MASSA (INÉRCIA)
● Massas de translação ligadas por uma barra rígida
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ELEMENTO DE MASSA (INÉRCIA)
● Massas de translação e rotação acopladas (m equivalente)
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EXERCÍCIO 3 
● Determine a massa equivalente do sistema abaixo, no qual a ligação 
rígida 1 está ligada à polia e gira com ela.
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ELEMENTO DE AMORTECIMENTO
● O elemento de amortecimento é o responsável pela dissipação da energia 
em um sistema vibratório. Admite-se que o elemento não tem massa e nem 
elasticidade e o amortecimento só ocorre se existir uma velocidade relativa 
entre as extremidades.
● Os principais tipos de amortecimentos são:
1 . Amortecimento Viscoso: é o mais comum e ocorre quando o sistema 
vibra em um meio fluido (gases, óleos);
2. Amortecimento de Coulomb: Conhecido como atrito seco, é causado 
pelo atrito das superfícies de contato;
3. Amortecimento por Histerese: Quando o material é deformado, ele 
absorve e dissipa energia. O gráfico tensão deformação apresenta o 
seguinte comportamento: 
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ELEMENTO DE AMORTECIMENTO
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ELEMENTO DE AMORTECIMENTO
● Associação de amortecedores
– Segue o mesmo raciocínio da associação de elementos de massa e 
elásticos.
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EXERCÍCIO 4 
● Determine uma única constante de amortecimento equivalente 
quando três amortecedores estão conectados a uma barra rígida e o 
amortecedor equivalente está no ponto c1.
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EXERCÍCIO 5
● Verificou-se que um mancal, que 
pode ser aproximado como duas 
placas planas separadas por uma 
fina película de lubrificante, 
oferece uma resistência de 400 N 
quando é usado óleo SAE30 como 
lubrificante e a velocidade relativa 
entre as placas é 10 m/s. Se a área 
das placas for 0,1 m², determine a 
folga entre as placas. Suponha que 
a viscosidade absoluta do óleo 
SAE30 seja 50 μreyn ou 0,3445 
Pa.s.
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MOVIMENTO HARMÔNICO
● Um movimento oscilatório pode-se repetir ao longo do tempo, 
caracterizando um movimento periódico. 
● O tipo mais simples de movimento periódico é o movimento 
harmônico.
● Este pode ser representado por funções harmônicas (seno e 
cosseno) que são contínuas em suas derivadas primeira e 
segunda.
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MOVIMENTO HARMÔNICO
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MOVIMENTO HARMÔNICO
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MOVIMENTO HARMÔNICO
● Representação por número complexo
– Qualquer vetor no plano cartesiano pode ser representado por um 
numero complexo, assim:
Aplicando a identidade de Euller:
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MOVIMENTO HARMÔNICO
● Operações de funções harmônicas 
– Usando a representação por número complexo, um vetor girante X pode 
ser escrito como:
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MOVIMENTO HARMÔNICO
● Assim, obtemos:
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MOVIMENTO HARMÔNICO
● Soma
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MOVIMENTO HARMONICO
● Se o deslocamento for dado por uma senóide:
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DEFINIÇÕES
● CICLO - O movimento de um corpo vibratório de sua posição de equilíbrio 
até sua posição extrema em um sentido, retorno para aposição de 
equilíbrio, movimento até a posição extrema no outro sentido e retorno para 
a posição de equilíbrio.
● AMPLITUDE – É o máximo deslocamento em relação seu ponto de equilíbrio.
● PERÍODO DE OSCILAÇÃO – É o tempo que leva para concluir um ciclo.
● ÂNGULO DE FASE – Se existe um ângulo de fase θ entre dois vetores, então o 
máximo do segundo vetor ocorreria θ radianos que o primeiro vetor. O 
movimento pode ser síncrono, quando a velocidade angular é igual aos dois 
vetores.

 2
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DEFINIÇÕES
● FREQUÊNCIA DE OSCILAÇÃO – O número de ciclos por unidade de tempo, é 
dado por:
● FREQUÊNCIA NATURAL – Se após uma perturbação inicial o corpo 
permanecer vibrando por si só, a frequência que ele vibrará será na sua 
frequência natural.
● BATIMENTOS – Quando dois movimentos harmônicos cuja as frequências 
estão próximas uma da outra são somados, o movimento resultante exibe 
um fenômeno conhecido como batimento, por exemplo:
f=1τ=
ω
2π
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DEFINIÇÕES
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LISTA
● Exercícios (RAO)
1-7; 1-8; 1-9; 1-10; 1-22; 1-23; 1-28; 1-31; 1-32; 1-34; 1-57; 1-80.
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